65 BÖLÜM-9 SİSTEM HASSASİYETİ Parametre Değişimlerinin Hassasiyeti Belirsiz sistem elemanlarının davranışı o Parametre değerlerinin hatalı bilgileri o Çevrenin değişimi o Yaşlanma vb nedenlerle bozulma Kapalı döngülü kontrol: o İşlem çıkışında hissedici değişimleri o Doğru çıkışlar için girişimler o Değişim için azalan hassasiyet Hassasiyeti ölçmek gereklidir Hassasiyet Fonksiyon değişim yüzdesi ile onun parametrelerindeki değişim yüzdesi oranıdır. 0 küçük artımlı değişimler için; Sistem Hassasiyeti Sistem transfer fonksiyonundaki değişim ile işlem transfer fonksiyonundaki değişim oranıdır.
66 G(s)H(s) değerinin artması işlem değişimleri için sistem hassasiyetini azaltır. Geri bildirim olmaksızın (H(s)=0), G(s) deki değişim sistemi doğrudan etkiler (S 1). Geri Bildirim Hassasiyeti G(s)H(s) arttığında H(s) deki değişim sistemi doğrudan etkiler (S~1). Geri bildirim elemanları değişmemelidir. işlem Parametresinin Hassasiyeti Zincir kuralını kullanın: Daha güvenilir olanı: 0 nominal parametre değeri etrafında hassasiyet konusunda endişe duyulabilir. 0 daki hassasiyeti değerlendirin. Kütle konum kontrol sistemi Oransal kontrol: e(t)=r(t)-y(t) x(t)=k c e(t)
67 Sistem transfer fonksiyonu Yay sabiti k nın hassasiyeti Nominal M, k, c değerlendirin. k c arttığında hassasiyet azalır. Hassasiyet s nin bir fonksiyonudur! Hassasiyet (daha sonra) giriş frekansı (s j ) nın bir fonksiyonu olarak gösterilmelidir.
68 Geri bildirim sistemleri birliğindeki hatalar Geri bildirim birliği: H(s)=1 Kararlı durum hatası Birim giriş adımı için: G(0) DC kazancıdır G(0) >>>1 ise e ss çok küçüktür. (yüksek kazanç) Termal işlem kontrolünde hata
69 Kararlı durum termal kontrol hatası BÖLÜM-10 SİSTEM CEVABI Kontrol Sistemlerin Performansı Spesifikasyonlar (zaman alanı) Tasarımda kullanılan standart giriş sinyalleri Bilinmeyen gerçek sinyaller Standart test sinyalleri: Adım, rampa, parabol, etki, vb. sinüs eğrisi (daha sonra frekans cevabı işlenecek) Geçiş cevabı Kararlı durum cevabı Kutuplar ve sıfırların konumları ile ilgilidir.
70 S-düzlemi S-düzlemi: Karmaşık Kök S-düzlemi: Karmaşık eşlenik kökler
71 S-düzlemi: Büyüklük ve alternatif açı A genliğinin giriş adımı A eğiminin rampa fonksiyonu
72 A direncinin giriş etkisi Giriş etkisi A alanının geniş genlikli, dar enli darbeli bir sistem yaklaşık deneysel olarak göz önüne alınabilir. Bir sistem cevabı için giriş etkisi sistemin basitçe transfer fonksiyonu olarak tanımlanabilir. 1.Dereceden Sistem Modeli Zaman sabiti, kazanç K ile karakterize edilir. Transfer fonksiyonu: Kutup (paydanın kökü)
73 1.Dereceden Sistem Cevabı 1.Dereceden Sistem Rampa Cevabı 1.Dereceden sistem etki cevabı
74 1.Derece sistem kutup yerleşimi 2.Derece sistem modeli 2.Dereceden sistem adım cevabı
75 Adım cevabı ölçümleri Yükselme zamanı (geçtiğimiz komutu yükselten zaman) Tepe(pik) zamanı (ilk tepe için geçen zaman) Aşma yüzdesi Yerleşme zamanı (sınır içine yerleşme zamanı) Anahtar faktörler Cevap (tepki) hızı (yükselme zamanı, tepe zamanı) İstenen cevabın yakınlığı (taşma yüzdesi, yerleşme zamanı) Genellikle tasarımda uzlaşmaya ihtiyaç duyulur. Yükselme zamanı, T r %10-%90 yükselme zamanı, T r
76 Tepe (pik) zamanı, T p Aşma yüzdesi, % Oturma zamanı, T s
77 2.Dereceden sistem rampa cevabı 2.Dereceden sistem etki cevabı S-düzlemi: İki gerçek kök
78 S-düzlemi: karmaşık eşlenik kökler S-düzlemi: Sabit sönümleme çizgileri S-düzlemi: Sabit d çizgileri
79 S-düzlemi: Sabit n daireleri BÖLÜM-11 KARARLI DURUM HATASI Kararlı durum hatasının önemi Kararlı durum şartları (değişimsiz) Kontrol sistemlerinin düzenlemesi: Ayar noktasından sapma (kumanda) Daha hassas düzenleme için küçük hataları Servo kontrol sistemleri: Yeni kumanda sonrasında geçiş hatası Rampa kumandasını takip eden hata Sistem tipi : Şayet kararlı durum sıfır ise sonlu olduğunu gösterir. Tekli geri besleme sistemlerinde hata
80 Tekli olmayan geri besleme sistemlerinde hata Sistem tip numarası Bir sistemin tip numarası s=0 da G(s) H(s) kutbunun derecesine işaret eder. Diğer bir deyişle tip numarası G(s) H(s) paydasında (S+0) N =s N denklemindeki N gücüdür.
81 0 sistem tipi: Birim adım cevabı 0 sistem tipi: Birim rampa cevabı 1 sistem tipi: Birim adım cevabı
82 1 sistem tipi: Birim rampa cevabı Kararlı durum hatası-tip numarası DC motor-yükseltici sistemi Motor konum kontrol sistemi Motor-yükseltici modeli
83 Oransal konum kontrolü Giriş ölçekleme değişimi Eşdeğer birlik geri bildirim sistemi Motor konumu: Birim adım cevabı
84 Motor konumu: Birim adım cevabı Oransal motor kontrolü: adım girişi Oransal motor kontrolü: rampa girişi
85 Entegral motor kontrol sistemi? Entegral+sıfır motor kontrol sistemi
86 BÖLÜM-12 KÖKLERİN S-DÜZLEMİNE YERLEŞİMLERİ S Düzlemine Kök Yerleşimlerinin Önemi Geçici cevap, köklerin yerleşimi ile yakından ilgilidir. (kutuplar ve sıfırlar) Kök yerleşimlerinin grafiksel gösterimi: Kutuplar ve sıfırlar arasındaki ilişkiler Etkin ve önemsiz kökler Kararlılık Tasarım aletleri ve yöntemleri: Kök-yer eğrisi (parametrelere karşılık kök değişimleri) Kök yerleşimi değişimi için ödünler Adım Cevabı-S Düzlemi Yerleşimi 1.Dereceden sistemler için bir kutup ekleme Bir kutup ile transfer fonksiyonu: İlave kutup ile transfer fonksiyonu:
87 İlave Kutuplar ile Adım Cevabı Etkin ve Önemsiz Kutuplar Gerçek parçalar şiddet derecesinden farklı ise transfer fonksiyonları önemsiz kutuplar (ve sıfırlar) silinerek basitleştirilebilir. 2. Dereceden sistemler için bir kutup ekleme İki kutup ile transfer fonksiyonu: (sönümlenmemiş) İlave kutup ile transfer fonksiyonu:
88 İlave Kutuplar ile Adım Cevabı Etkin ve Önemsiz Kutuplar S-Düzlemi Üzerindeki Özellikler
89 Aşırı Sönümlenmiş Sistem Özellikleri Aşırı Sönümlenmiş Sistem İç Özellik 3. Dereceden Sistem İç Özellik
90 3.Dereceden Sistem Dış Özellik 4.Dereceden Sistem İç Özellik 4.Dereceden Sistem Dış Özellik
91 BÖLÜM-13 KARARLILIK Kararlılık Etkileri Kararsız bir sistem şunları sergiler: Düzensiz, güvensiz davranış Muhtemel yıkıcı davranış (Geçiş cevabı kontrolsüzdür) Bir kararlı sistem şunları sergiler: Yakınsak, güvenli davranış (Geçiş cevabı kontrollüdür) Tanımlama: Kararlı bir sistem sınırlı bir giriş için kontrollü bir cevaba sahiptir. Kararlı ve Kararsız Sistemler Kararlı ve Kararsız Sistemler 1.Dereceden sistemin etki cevabı
92 Kutup: -a a>0: üstel azalmalar 0 için (kararlı) a<0: üstel büyümeler için (kararsız) Etki Cevabı Kararlılık Kriteri Sistem transfer fonksiyonu: Kutuplar (paydanın kökleri): Mutlak kararlılık için: Sistem karakteristik eşitliği Sistem transfer fonksiyonu:
93 Karakteristik eşitlik: (paydayı sıfıra ayarlayın =0) Kutuplar karakteristik eşitliğin kökleridir. (Sistemin kararlı olabilmesi için tüp kutuplar negatif gerçek eksende olmalıdır.) Sınırlı Kararlılık Kutuplardan biri s=0 olduğunda sistem sınırlı kararlıdır. (Diğer kutup kararlı olsa da) S-Düzleminde Kararlılık Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri Routh kriteri, kökleri bulmadan kararlılık değerlendirmesi için bir yöntemdir. Yöntem tablolar halindedir, köklerin gerçek kısımlarını bulur ve birçok kontrol ders notlarında açıklanmıştır. Bu yöntem 1800 lü yılların sonunda bulunmuş olup o zamanlar kökleri bulmak zordu. Günümüzde güçlü hesaplama yazılımları mevcut olduğundan bu yöntemin önemi azalmıştır.
94 Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri Dizaynı yapılan bir sistem her zaman diliminde aynı ve istenilen performansı gösteriyorsa bu sistem kararlıdır. Routh-Hurwitz kararlılık kriteri; doğrusal, zamanla değişmeyen, sabit katsayılı karakteristik denklemlerin kararlılığı hakkında bilgi sağlayan cebirsel bir yöntemdir. Kriter, karakteristik denklem köklerinden herhangi birinin sağ yan s-düzleminde yer alıp almadığını belirler. Ayrıca jw- ekseni üzerindeki ve sağ yan s-düzleminde bulunan köklerin sayısını da verir. Routh-Hurwitz kriteri, sabit katsayılı polinom sıfırlarını, sağ ve sol yarı s-düzlemine göre, denklemi çözmeden belirleyen bir yöntemdir. Doğrusal zamanla değişmeyen, tek giriş, tek çıkışlı bir sistemin karakteristik denklemi, tüm katsayılar gerçek olmak üzere şeklinde verildiğinde denklemin pozitif gerçek kısımlı kökleri olmaması için aşağıdaki gerek ve yeter şartları sağlaması gerekir. 1. Denklem katsayılarının tümü aynı işaretli olmalı. 2. Katsayıların hiçbiri sıfır olmamalı. Bu matematiksel kurallara dayandırılan koşullar yukarıdaki denklemin katsayıları cinsinden şu şekilde ifade edilebilir: Buna göre köklerin pozitif gerçek kısımları olmadığı sürece bu oranların tümü sıfırdan farklı ve pozitif olmalıdır. Denklemin sağ yarı s-düzleminde bulunmamalı koşulu denklemler incelenerek belirlenebilir. Ancak bu koşullar yeterli değildir, sabit katsayılı bir denklemde katsayıların tümü sıfırdan farklı ve aynı işaretli olabilir. Buna rağmen köklerin tümü sol yarı s-düzleminde bulunmayabilir.
Çözüm aşamaları: 95
96
97 Örnek: Örnek:
98 Elde edilen yardımcı denkleme göre tabloyu tekrar düzenlersek; Elde edilen yardımcı denkleme göre tabloyu tekrar düzenlersek;
Konu ile ilgili örnekler: Örnek-1: 99
100 Örnek-2: Örnek-3:
101 BÖLÜM-14 KÖK YERİ YÖNTEMİ Kutup Yerleşiminin Önemi Bir kutup yerleşimi işlevinin performansı Geçiş cevabı Mutlak kararlılık (kararlı veya değil?) Bağıl kararlılık (nasıl kararlı?) Kontrol parametrelerindeki değişime bağlı kutup yer değişimi Kontrol kazançları, sıfırları ve köklerinin işlevi Hangi değerler iyi yerleşimi sağlar? Kök yeri (kutupların yeri) kullanılarak tasarım Geçiş Cevabı Mutlak Kararlılık
102 Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri Routh kriteri, kökleri bulmadan kararlılık değerlendirmesi için bir yöntemdir. Yöntem tablolar halindedir, köklerin gerçek kısımlarını bulur ve birçok kontrol ders notlarında açıklanmıştır. Bu yöntem 1800 lü yılların sonunda bulunmuş olup o zamanlar kökleri bulmak zordu. Günümüzde güçlü hesaplama yazılımları mevcut olduğundan bu yöntemin önemi azalmıştır. Bu noktada onu yüksek seviyede gözden geçireceğiz. Karakteristik Denklem Karakteristik Denklemin İşaretleri Karakteristik denklemin tüm katsayıları: Benzer işarete sahip olmak zorundadır Sıfır olmamak zorundadır Mutlak kararlılık için şart (fakat yeterli değildir) gereklidir (Routh s Kriteri) Örnekler: Bağıl Kararlılık Bir sistem nasıl kararlı olabilir? Bir diğer sistem ile karşılaştırılarak kararsızlık sınırlarına olan mesafesi ile Bağıl kararlılık ölçütleri Her kök ile ilişkili sönümleme Köklerin gerçek kısımları Kazanç ve faz payları (frekans cevap kavramı: daha sonra açıklanacaktır)
103 Bağıl kararlılık Sistem 1 ve 2 nin adım cevabı Kök Yeri Tanımlama: Kök yeri, karakteristik denklemin köklerinin s-düzlemine, sistem parametreleri değişimine bağlı olarak çizilmesi yöntemidir. Tasarım: Parametre değerini, s-düzleminde iyi alana yerleşecek şekilde seçin. (burada dinamik gereksinimler geçerlidir) Tekrarlama: Şayet s-düzleminde iyi alana yerleştirilecek kök yeri kısmı yoksa kontrolün yapısını değiştirmek üzere kökü değiştirin. Sonra parametre değerini değiştirin. Kök eğrilerinin temel özellikleri ve sistematik çizilişi ilk kez W. R. Evans tarafından geliştirilmiştir. Kök eğrilerinin kullanımı kontrol sistemlerinin incelenmesiyle sınırlı değildir. Genelde yöntem değişken parametreli matematiksel denklemlerin köklerini incelemede de kullanılabilir. Genel kök eğrisi problemi, karmaşık s değişkenine bağlı olarak aşağıdaki matematiksel denklemle ifade edilebilir. F(s) = P(s) + KQ(s) = 0 Burada P(s)
104 şeklinde n inci mertebeden, Q(s) ise Şeklinde m inci mertebeden s e bağlı bir polinom, n ve m ise pozitif iki tam sayıdır. Başlangıçta n ve m nin karşılıklı göreli değerleri ile ilgili herhangi bir sınırlandırma getirilmemektedir. F(s) denkleminde K gerçek sabiti -? ile +? arasında değişebilir. Ancak a0,a1,,an-1 ile b0,b1,,bm-1 sabitlerinin gerçek ve belirli oldukları varsayılır. Çok parametre değişkenli kök eğrileri her seferinde bir parametre değiştirilerek incelenebilir. Bu eğrilere kök çevreleri adı verilir. Benzer şekilde P(s) ve Q(s) ilişkilerinde s yerine z yazmak suretiyle doğrusal ayrık verili sistemlere ilişkin karakteristik denklemlerin de kök eğrileri oluşturulabilir. K nın işaretine ve değişken sayısına bağlı olarak aşağıdaki kök eğri türleri tanımlanır. PKE (Pozitif kök eğrisi) : Pozitif K değerlerine ilişkin kök yer eğrisi; 0? K < +? NKE (Negatif kök eğrisi) : Negatif K değerlerine ilişkin kök yer eğrisi; -? < K? 0 KÇ (Kök çevreleri) : Birden fazla parametrenin değiştiği kök eğrileri KE (Kök eğrisi) : Toplam KE= PKE+NKE kök eğrisini ifade eder. -? <K<? Kök Eğrilerinin Temel Özellikleri Transfer fonksiyonu yukarıdaki gibi olan bir kapalı çevrim sistemin karakteristik denklemi payda polinomu sıfıra eşitlenerek elde edilir. Buna göre karakteristik denklem kökleri 1 + G(s).H(s) = 0 ilişkisini sağlamalıdır. G(s).H(s) ifadesinde değişken parametre olarak K çarpanının bulunduğunu, P(s) ve Q(s) polinomlarının aşağıdaki gibi tanımlandığını düşünelim. Buna göre çevrim transfer fonksiyonun da aşağıdaki gibi tanımlandığını düşünelim. Bu durumda 1 + G(s).H(s) = 0 denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir. Bu denklemin pay polinomu F(s) = P(s) + KQ(s) = 0 denklemine eşdeğerdir. Öyleyse G(s).H(s) açık çevrim transfer fonksiyonu KQ(s) / P(s) biçiminde ifade edilebildiği sürece, sistemin kök yer eğrisi, genel kök eğrisi problemi ile özdeşleşmiş olur. Eğer değişken K parametresi G(s).H(s) nin bir çarpanı olarak düzenlenmezse fonksiyon her zaman F(s) = P(s) + KQ(s) = 0 ifadesine eşit olur. Genlik Koşulu: Açı Koşulları: i= 0, ±1, ±2,..şeklinde herhangi bir tamsayı olmak üzere;
105 G1(s).H1(s) = (2i +1).3,14, K? 0 için = tek sayıda 3,14 radyan ya da 180 nin katı G1(s).H1(s) = 2i 3.14, K? 0 için = çift sayıda 3,14 radyan ya da 180 nin katı s-düzleminde kök eğrilerine ilişkin noktalar yukarıdaki açı koşullarından yararlanılarak belirlenir. Kök eğrisi bir kez çizildikten sonra eğriye ilişkin K değerleri genlik koşulundan değiştirilir. Kök eğrilerinin çizimi için, bazı özellikler matematiksel olarak türetilse de genellikle grafiksel bir temele dayanır. Kök eğrilerini grafiksel çizmek için G(s).H(s) fonksiyonunun kutup ve sıfırlarını bilmek gerekir. Bu nedenle G(s).H(s) nin sıfır ve kutupları öncelikle aşağıdaki denklemle ifade edilmelidir. Eğer bu denkleme yukarıdaki genlik ve açı koşulları uygulanırsa; şeklinde ifade edilebilir ve bir kez kök eğrisi çizildikten sonra, kök eğrisi boyunca K değerleri ilişkisi aşağıdaki gibi hesaplanır.
106 Yer Kök Eğrisi Kök Yerlerinin Çiziminde Sıra İle İzlenmesi Gereken Kurallar
107
108 3. Dereceden Kök Yeri =0.707 için k nın seçimi k=3.5 için birim adım cevabı
109 BÖLÜM-15 KÖK YERİ YÖNTEMİ KULLANILARAK TASARIM Kök Yeri Yönteminin Kullanımı Aşağıdakiler kapalı döngülü bir sistemin karakteristik denkleminin kök yerleşimleri ile doğrudan ilişkilidir: Geçiş cevabı Bağıl kararlılık Uygun kök yerleşimleri alabilmek için sistem parametrelerini ayarlamak gereklidir (uygun geçiş cevabı, kararlılık, ) Değişik parametreleri ve tasarımı kullanarak kök yerlerini çizin (seçilmiş değerleri kullanın) Kök yeri çizim prosedürü (MATLab kullanılarak) 1. Karakteristik denklemi şu şekilde yazın: Buradaki k parametresi ilginçtir. 2. ( x ) p i kutuplarını ve ( 0 ) z j sıfırlarını çizin. 3. k değeri sıfırdan sonsuza kadar artırılarak karakteristik denklemin köklerini çizin. 3.Dereceden sistemlerin kök yeri 3.Dereceden sistemlerin kök yeri
3.Dereceden sistemlerin kök yeri 110
111
112 2.Dereceden sistemlerin kök yeri 3.Dereceden sistemlerin kök yeri
113 k c nin fonksiyonu olarak kutup yeri k c nin seçimi Kök yeri tasarım prosedürü S-düzleminde istenen baskın kök yerlerini belirleyin. İsteğe uygun s x kök yerlerini seçin. (Şayet yoksa sistemi veya karakteristikleri değiştirin) s x e bağlı k değerlerini bulun.
114 Beklentileri karşılayan k ve diğer yerleşimler için kökleri kontrol edin. 2.Dereceden sistemlerin kök yeri k kazancının belirlenmesi
115 k c nin belirlenmesi ( k p =1) Sıfır ile kök yerleşimi (s+10) Sıfır ile kök yerleşimi (s+5)
116 Sıfır ile kök yerleşimi (s+3) Sıfır ile kök yerleşimi (s+2)