TMMOB Hara ve Kadasro Mühendsler Odası 6. Türke Hara Blmsel ve Teknk Kurulaı 3-6 Maıs 207 Ankara. Hara Projeksonlarında akoben Mars Yönem le Tersne Dönüşümler Özge ÖZTÜRK * Tolga YÜCEL 2 İsanbul Teknk Ünverses İnşaa Faküles Geomak Mühendslğ Bölümü 34469 İsanbul. 2 İsanbul Teknk Ünverses İnşaa Faküles Geomak Mühendslğ Bölümü 34469 İsanbul. Öze Karograk ugulamalar çn br projeksondan dğerne dk koordnaların dönüşümü çok önemldr. Bu sebepen öncelkle düzlem koordnalarından coğra koordnaları hesaplamak gerekr. Buna nverse a da ersne dönüşüm denr. Bu çalışmada gerçek anlamda olmaan ve kapalı denklemler çeren bazı slndrk projekson örneklernde jakoben mars önem ardımıla ersne dönüşüm ugulanmışır. Bunun çn 3 ane örnek pseudo slndrk projekson seçlmşr. Bunlar: Goode Boogs ve Mollwede projeksonlarıdır. Anahar Sözcükler Projeksonlar Tersne Dönüşüm akoben Mars Absrac In carographc pracce s ver necessar o ransorm he recangular coordnaes rom one projecon no anoher. In hs reason one mus rs calculae he geographcal coordnaes rom he recangular coordnaes. Ths s called nverse ransormaon. In hs applcaon nverse ransormaon have been appled usng jacoban mar or several pseudo-clndrcal map projecons wh closed equaons. For hs applcaon 3 pseudo-clndrcal map projecon has been seleced whch are; Goode Boogs and Mollwede. Kewords Projecons Inverse Transormaon acoban Mar. Grş.. Gerçek Anlamda Olmaan Slndrk Projeksonlar İzdüşüm üzenn küre saran a da kesen br slndr seçlmes durumunda slndrk projeksonlar elde edlr. Slndrk projeksonlar genellkle normal konumda ekvaor bölgesnde apılacak küçük ölçekl hara çalışmalarında denzclke Transversal konumda reerans üze elpso alınarak büük ve ora ölçekl opograk hara apımında ve jeodezk amaçlar çn kullanılırlar (Uçar ve dğerler 2004). Normal konumlu slndrk projeksonlarda slndr küree ekvaor bounca eğe olup ekvaor projekson düzlemne kend uzunluğunda akarılır. Paralel darelerde ekvaor uzunluğunda olup ekvaora paralel şeklde sıralanmışır. Paralel dareler arasındak uzunluk ᵠ enlemnn br onksonudur. Merdenler se ekvaora dk şeklde sıralanmışır. Merdenler arasındak uzunluk se merdenlern ekvaordak ara uzunlukları kadar olup heps brbrne eşr. Projeksonda koordna eksen ora merden koordna eksen ekvaor olarak kabul edlr. Ünlü slndrk projeksonlardan brbrne paralel olan düz merdenler erne kavsl ancak enlemn düz paralel modeln palaşan gerçek anlamda olmaan slndrk projeksonlar 20.üzıl başlarından baren en projeksonlar çn gözde br asarım halne geld (Snder 993). Genel olarak sözde slndrk projeksonlar emak haralar çn daha ugundur ve slndrk projeksonlara göre CBS çn daha çok erch edlr. Pseudo slndrk projeksonlar gerçek slndrk projeksonlara göre daha düşük br deormason göserrler (Delmelle 200). 805 ılına kadar öneml özellklere sahp ek sözde slndrk projekson 570 ılında apılan snüzodal a da Sanson Flamseed projeksonudur. 805 ılında Karl Brandan Mollwede snüzodalden esek açıdan daha memnun edc eş alanlı br düna harası projeksonu oluşurdu. asques Babne 857 de enden anıınca kadar Mollwede projeksonu keşedlemed. Sonuç olarak anı üzılın bazı alaslarında Berghaus zksel alasının bazı baskıları da dahl olmak üzere hem saısız emak özellklere hem de doğu ve baı arımküreler çn ek br düna harası olarak görülen Mollwede projeksonu çoğu sasksel verler çn Coğra Blg Ssemler nde aban hara olarak kullanılır (Delmelle ve Snder 200). Almana da Technsche Hochschule Aachen ünversesnde proesör olan Ma Ecker 6 ane sözde slndrk projekson asarladı (IIIIIIIVVVI). Bunlardan k popüler olanını 900 den sonra sundu. Bu projeksonlarda ç saılar ek saıların eş alan versonlarıdır. Ecker IV projeksonu bazı Amerkan alaslarında ve ders kaplarında emak ve dğer düna haralarında kullanıldı. Arıca apon Ulusal alasında ve Naonal Geographc Soce'nn düna harası haralarının her brndek emak erleşrmeler çn ıllarca kullanıldı. Ecker VI projeksonu 937 Sove Düna Alası'ndak emak düna haraları çn kullanıldı ve anı Alas'ak Pask ve Hn okanuslarının harasının emeln oluşurdu. Ecker VI projeksonu anı zamanda Avrupa da hazırlanmış klm haralarının emeln oluşuruordu. Ecker * Sorumlu Yazar E-posa: ozgeozurk@gmal.com (Özge ÖZTÜRK)
Hara Projeksonlarında akoben Mars Yönem le Tersne Dönüşümler VI projeksonu çoğu CBS pakende mevcuur ve sasksel ve demograk verler asvr emek çn prakr. Verler zksel olalarda araz kullanımı ve ekonomk kalkınma gb dğer amaçlar çn asvr emek de ugundur. 923'e Chcago Ünverses'nden ohn Paul Goode (862-932) snüzodal ve homolog grak projeksonlarını snüzodal kullanarak eş ölçeke 40 44.8enlemne kadar ererek en eş alan projeksonunu lan e. Yen projeksonunu k orjnal projeksonun smlernden ola çıkarak homolosne olarak adlandırdı. Kesnl Goode homolosn projeksonu Rand McNall's Goode'nn (Okul) Alas sersnde olduğu gb dğer alaslarda ve ders kaplarında da kullanıldı. 929'da ABD Dışşler Bakanlığı coğraacısı Samuel Whemore Boggs (889-954) Sanson'un snüsodal eş alan projeksonu ve Mollwede'n homolog ansıması [9] [0] arasında armek br oralama olan eumork projeksonunu sundu. 934'e Renholds V. Punnš on k sahe slndr projekson önerd ve bunları br al nds numarası olan P le anıı. 949'da F.Webser McBrde ve Paul D. Thomas ABD Sahl ve eodez Araşırması aınında düna sask haraları çn beş eş alanlı alancı slndr projeksonları sundu. McBrde ve Thomas projeksonları No.3'ü düz polar snüsodal No.4 düz polar quark ve son No. 5 düz polar parabolk projekson olarak smlendrmşr. McBrde'nn brleşrlmş projeksonlarının emel olarak çeşl coğraa ders kaplarındak arklı örnekler çn kullanılmışır. Çoğu masaüsü CBS's McBrde-Thomas düz kuup kuark projeksonunu deseklememekedr ancak genellkle ESRI ArcVew projekson programı gb dönüşüm olasılığı sunmakadır. Yrmnc üzılda İsveç Brleşk Devleler İnglere SSCB Almana ve Macarsan'dan gelen dğer nsanlar düna haraları çn oplamda brkaç düzne en sözde slndrk projekson üre. Bu hara apımcılarının smler arasında Arhur H. Robnson Oswald Wnkel Karlhenz Wagner Vladmr V.Kavrask Georg A. Gnzburg Karl Semon anos Baran ohn Barholomew Charles F. Arden-Close ve Waldo Tobler saılablr..2. Projekson Denklemler Br hara projeksonu reerans üzendek br nokaı (küre vea kürems) hara düzlemndek br nokaa eşleen k onksonla verlr. Bu durum ler dönüşüm olarak adlandırılır. Br nokanın Karezen koordnaları ( ) bu onksonları kullanarak hesaplanır. Normal konumlu Pseudo slndrk projeksonlar çn genel adeler şu şekldedr; ve vea ve vea ve 0 olduğu erde. (a) (b) (c) Coğra enlem () ekvaordan olan açısal uzaklık coğra bolam () an başlangıç merdennden olan açısal uzaklık ve paramerk değşken () değşkenlerdr. X eksen ekvaordan doğua doğru eksen merkez merdenden kuzee doğru pozr. Hara onksonlarındak () değşken genellkle aşağıda verlen lneer olmaan ransandanal br eşlkle ade edlr ve enlemn br onksonu olan ardımcı br açıdır. (2) 0 Karogralar araından graklerle çözülmesne rağmen bu denklem saısal analz önemlern Newon-Raphson a da Regula Fals le çözüleblr. Bu projeksonlar çn ers dönüşüm eşlğ eşlk (a) da verlmşr. Projeksonlar çn ers dönüşümün ormülü olan bu eşlk basçe zncr kuralı le gerçekleşrleblr. Eşlk (b) (c) ve (2) de anımlanan onksonların ers dönüşümlernn ürevlernn alınması bazen kola olmaablr. Bu çalışmada bu ür pseudo slndrk projeksonların ers dönüşümü çn genel br meo önerlmekedr. Bu meodu es emek çn 3 arklı projekson p seçld. Bu projesonlar; Boggs projeksonu Goode projeksonu ve Mollwede projeksonudur. Seçlen bu projeksonların ler dönüşüm eşlkler Tablo de br arada göserlmşr (Rchardus ve Adler 972). Tablo : İler Dönüşüm Eşlkler Projekson Mollwede 2R 2 cos R 2 sn 2 sn 2 sn
Özge ÖZTURK Tolga YÜCEL Goode R cos cos 2R R 2 R sn 0. 05280 sgn (4044 kuze güne enlemler çn) 2 sn 2 sn 2 (Dğerler çn) Boggs.3. Tersne Dönüşüm 2.00276R cos.072 cos 0.4993 R 2 sn 2 sn 2 sn Bu bölüm hara projeksonunun düzlem koordnalarından coğra enlem ve bolam değerlern ürer. Bu amaçla projekson denklemlernn parçalı ürevlern kullanan erasonlara bağlı br algorma gelşrlmşr. akoben marslernn parçalı ürevlern ersn alarak doğrusal olmaan denklemlern çözümüne daanan br önemdr. Yönem saısal analzde blnen kısm ürevlern akoben marsnn ersne çevrlmes le doğrusal olmaan denklemlern çözümüne daanmakadır (Malng 992). Bu çalışmada seçlen parçalı çözüm Newon-Raphson erason modelnn değşme uğramış şekldr. Bu çalışmada seçlen özel çözüm Newon-Raphson neleme önemnn değşrlmş br versonudur (İpbüker ve Bldrc 2002). Düzlem koordnaları olan ve değer verlmş projekson üzernde br noka düşünelm. Problem se bu nokanın coğra koordnaları olan bulmakır. Q + ve Q ( = 2...) vekörlern erason çn coğra koordnaların elemanları le aşağıdak gb anımlarız; Q ve (3) Q () erasonun asıl adımını göserr ve + ve + erasonun sonrak adımı çn ve kullanılarak elde edlen koordnaları belrr. F onksonu aşağıda verlen mars le medana gelr F (4) burada; X 0 Y 0 ve 0 (5) İerason prosedürü aşağıdak gb mars ormunda azılablr; Q Q Q (6) burada; Q F (7) (8) n mulak değer br doğruluk seves le karşılaşırılır; Q (8) Burada br akınsama değerdr ve 0-2 olarak alınablr. Denklem (9) le anımlanan durum gerçekleşrse erason durur. Bu ( ) bu erason adımında seçlen koordnalara ( ) eernce akın olduğu anlamına gelr (Özan İpbüker ve Uluğekn 200). Newon un erasonu (6) başlangıç ansııcılı denklemler vasıasıla verlen ve 'e aklaşık olan başlangıç enlem ve bolamdan oluşan br başlangıç ahmnne Q o haç duar. İlk ahmn Eşlk (4) ve Eşlk (5) le anımlanan ve şlevlerne daanmakadır. Bu onksonlar belrl br varsaım ve çn ve 'dek değşmler sırasıla ve 'e ncelemek çn kullanılır. Eşlk (7) Newon'un düzelme ermdr. Bu ermlern mulak değer br doğruluk seves le karşılaşırılır. Q ve Q + arasındak değşm bu akınsaklık değernden düşükse erason durur ve son ve verlen ve çn ers problem çözer. Kısm ürev mars blnen adıla akoben mars aşağıdak gb anımlanır (İpbüker 2009).
Hara Projeksonlarında akoben Mars Yönem le Tersne Dönüşümler (9) akoben marsnn ers ek marsn acoben marsnn deermnanına oranı alınarak çözülür De Adj (0) Eşlk mars üç boulu durum çn şu şeklde azılablr; Adj () ve akoben marsnn deermnanı da şu şeklde azılır; De (2) (0) 'da () ve (2)' değşrrsek azarsak; De (3) (6) 'da (4) ve (3) ü azarsak [4]: De (4) Mars elemanlarını arı arı azarsak şunları elde ederz: (5a) (5b) (5c) (6a) (6b) (6c)
Özge ÖZTURK Tolga YÜCEL İler denklemlern Eşlk (b) ormunda olması durumunda Kısm Türevler varsaarak Eşlk (5) erne ve sıır olacak şeklde aşağıdak ers denklem kullanılablr. Arıca ukarıdak üm projeksonlarda Boggs Eumorphc' kabul edersek aşağıdak kısm ürevler hesaba kaılmalıdır (İpbüker 2009). 0 0. Boggs Eumorphc çn ek ürevler; 2.00276R an 0. 4993R. 2.072 cos cos cos 0 0 0 0 Tablo 2: Parçalı ürevler Parçalı ürev Projekson Mollwede Goode Boggs cos cos cos 2 2 R cos 2 2R cos 2.00276R.072 cos cos 2 2 R sn sn 2 2R 2.2245056R an 2 cos.072 cos cos R 2 cos R 2 cos.4993 2R cos 2 4cos 2 cos2 2 cos2 0 2. Yönem Bu çalışmada arklı projeksonlarda verlen düzlem koordnalarını coğra koordnaları çevrmek çn kullanılan önem akoben Mars önemdr. Boggs Goode ve Mollwede projeksonları çn ukarıda verlen projeksonların eşlkler kullanılarak Forran ve Malab programları üzernde akoben mars eşlkler kullanılarak düzlem koordnalarını coğra koordnalarına dönüşüren ve verlen noka koordnalarını senlen projekson ürüne göre hesaplaan programlar azıldı. 2.. akoben Yaklaşım İearason kelme anlamı le neleme ekrarlama anlamına gelmekedr. Drek meodlarla çözümü çok uzun süren denklemlern çözümünde erasonlar kullanılır. Çok saıda erason meodu vardır. Bu çalışmada akoben aklaşımına er verlecekr. Bu meo kasaılar mars smerk olan vea olmaan denklem ssemlernde kullanılablr. Genel olarak öncelkle erason çn br başlangıç değer ahmn edlerek başlanır. İerason sonuna gelndğnde se erasonu durdurma koşulu konrol edlr sağlanıorsa erason durdurulur. Sağlanmıorsa en değerler başlangıç denklemnde erne konur ve durdurma koşulu sağlanıncaa kadar devam eder. 2.2. Forran FORTRAN ormül çevrc anlamına gelen İnglzce FORmula TRANslaor kelmelernden ürelmş br kısalmadır. 3. kuşak dllern en esks olarak kabul edlr. 954-957 ılları arasında br anlamda uza çağının (space era) başladığı ıllarda ohn Backus araından IBM rması çn blmsel-mühendslk hesaplamalarında kullanılması amacıla gelşrlmş br programlama dldr. Yoğun maemak hesaplamaların ve algormaların gerekğ mühendslk problemlernn çözümünde halen agın olarak kullanılmakadır. Forran programlama dl blgsaar eknolojsndek enlklere paralel olarak kendn sürekl enlemş ve ıllar çersnde değşk sürümler brbrn zlemşr. İlk sürümünde er alan problemlern gderldğ üs versonu Forran II 958 ılında gelşrlmşr. 962 ılında kullanıma gren Forran IV 5 ıl bounca programcılara hzme vermşr. 966 ılında ANSI sandarlarına ugun Forran 66 ve 978 ılında oraa çıkan ve Forran 77 olarak anılan k öneml sürümü vardır. 90 lı ılların başlarında ISO ve ANSI sandarları kabul edlerek Forran 90 adı verlen br sürümü kullanılmaa başlanmışır. Bunu Forran 95 ve son olarak Forran 2003 sürümler zlemşr. Bu en sürümler Forran PowerSaon sml br azılım (soware) le kodlanmaka ve derleneblmekedr. 2.3. Malab MATLAB emel olarak nümerk hesaplama graksel ver göserm ve programlamaı çeren eknk ve blmsel hesaplamalar çn azılmış üksek perormansa sahp br azılımdır. Malab programının pk kullanım alanları: Maemak
Hara Projeksonlarında akoben Mars Yönem le Tersne Dönüşümler ve hesaplama şlemler algorma gelşrme modelleme smülason (benzem) ve ön pleme ver analz ve görsel eeklerle desekl göserm blmsel ve mühendslk grakler ugulama gelşrme şeklnde özeleneblr. MATLAB adı MATr LABoraor (Mar Laborauarı) kelmelernden gelr. MATLAB lk olarak Forran Lnpack ve Espack projelerle gelşrlen ve bu programlara daha ekn ve kola erşm sağlamak amacıla 970 lern sonlarında azılmışır. İlk başlarda blm adamlarına problemlern çözümüne mars emell eknkler kullanarak ardımcı olmakadı. Bugün se gelşrlen erleşk küüphanes ve ugulama ve programlama özellkler le gerek ünverse oramlarında (başa maemak ve mühendslk olmak üzere üm blm dallarında) gerekse sana çevresnde üksek verml araşırma gelşrme ve analz aracı olarak agın br kullanım alanı bulmuşur. Arıca şare şleme konrol uzz snr ağları wavele analz gb br çok alanda oraa koduğu Toolbo adı verlen ardımcı al programlarla da özelleşrlmş ve kolalaşırılmış mkanlar sağlamış ve sağlamaa da devam emekedr. 3. Ugulama Bu çalışmanın ugulama aşamasında öncelkle düzlem koordnalarından coğra koordnalara dönüşüm şlem apırmak amacıla Forran programında her br projekson çn arı programlar azıldı. Bu programın akış dagramı şekl de göserlmşr. Program başla Düzlem koordnalarını Başlangıç değerlernn anımla Eşlk 5 hesapla Eşlk 9 u hesapla Eşlk 7 ve 4 ü hesapla False Eşlk 8 konrol e True göser Programı br Şekl : Program akış şeması Forran programında azılan programın kodları aşağıdak gbdr. program bogs neger:: ur real parameer:: p=3.4592653589793 R=63.7 real:: lorobldlcbsbs2c2scddbddb real:: ddbddddddddlddlddldedbdldkabal k=2 lo=0 ro=p/80 =30.78 =7.54 ur=0
Özge ÖZTURK Tolga YÜCEL b=0 l=0 =0 dl=l-lo do ur=ur+ prn*ur cb=cos(b*ro) sb=sn(b*ro) s2=sn(2**ro) c2=cos(2**ro) s=sn(*ro) c=cos(*ro) dl=l-lo =2.00276*ro*dl/(/cb+.072/c)-/R =0.4993*(b*ro+sqr(k)*s)-/R =2**ro+s2-p*sb ddb=2.00276*dl*ro*an(b*ro)/cb/(/cb+.072/c)/(/cb+.072/c) ddb=0.4993 ddb=-p*cb ddl=2.00276/(/cb+.072/c) dd=-2.2245056*dl*ro*an(*ro)/cos(*ro)/(/cb+.072/c)/(/cb+.072/c) dd=0.4993*sqr(k)*c dd=2*(+c2) ddl=0 ddl=0 de=ddb*(ddl*dd-ddl*dd)-ddl*(ddb*dd-ddb*dd)+dd*(ddb*ddl-ddb*ddl) db=(*(ddl*dd-ddl*dd)+*(ddl*dd-ddl*dd)+*(ddl*dd-ddl*dd))/de dl=(*(ddb*dd-ddb*dd)+*(ddb*dd-ddb*dd)+*(ddb*dd-ddb*dd))/de d=(*(ddb*ddl-ddb*ddl)+*(ddb*ddl-ddb*ddl)+*(ddb*ddl-ddb*ddl))/de b=b-db l=l-dl =-d ab=abs(db) al=abs(dl) prn*abal IF((al<0.000).and.(ab<0.000)) hen e else ccle end end do prn *urbl End program bogs Bu program Boggs projeksonu çndr. Goode ve Mollwede projeksonları çnse sadece ve onksonlarının ormüller değşrlerek hesaplanmışır. Anı dönüşüm şlemn Malab programında apırdığımızda se kodlar; orma long g l0=0; p=3.4592653589793; ro=p/80; R=63.7; =38.2; =78.26; ur=0; b=0; l=0; =0; dl=l-l0; whle () ur=ur+ cb=cos(b*ro); sb=sn(b*ro); s2=sn(2**ro); c2=cos(2**ro); s=sn(*ro); c=cos(*ro); dl=l-l0; =2*sqr(2)*ro*dl*c/p-/R; =sqr(2)*s-0.0528-/r; =2**ro+s2-p*sb; ddb=0; ddb=0; ddb=-p*cb; ddl=2*sqr(2)*c/p; dd=-2*sqr(2)*dl*ro*s/p; dd=sqr(2)*c;
Hara Projeksonlarında akoben Mars Yönem le Tersne Dönüşümler dd=2*(+c2); ddl=0; ddl=0; de=ddb*(ddl*dd-ddl*dd)-ddl*(ddb*dd-ddb*dd)+dd*(ddb*ddl-ddb*ddl); db=(*(ddl*dd-ddl*dd)+*(ddl*dd-ddl*dd)+*(ddl*dd-ddl*dd))/de; dl=(*(ddb*dd-ddb*dd)+*(ddb*dd-ddb*dd)+*(ddb*dd-ddb*dd))/de; d=(*(ddb*ddl-ddb*ddl)+*(ddb*ddl-ddb*ddl)+*(ddb*ddl-ddb*ddl))/de; b=b-db; l=l-dl; =-d; abs(db) abs(dl) abs(db) <0.00 && abs(dl) <0.00 break end 4. Sonuçlar Üç arı projeksonda alınan düzlem koordnalar ve bunların program çıkısı olan coğra koordnaları Tablo 3 Tablo 4 ve Tablo 5 e göserlmşr. Teşekkür Tablo 3: Boggs projeksonunda verlen düzlem koordnaların coğra koordna çıkıları Boggs X(cm) Y(cm) 30.78 7.54 5.0024 29.9924.847 47.84 5.6 44.9988 59.9902 36.300 30.88 82.39 75.000 89.9856 64.9670 Tablo 4: Goode projeksonunda verlen düzlem koordnaların coğra koordna çıkıları Goode X(cm) Y(cm) 29.39 5.08 4.9985 29.999.87 72.60 49.97 44.997 89.9929 36.2996 38.2 78.26 75.000 89.9984 64.9659 Tablo 5: Mollwede projeksonunda verlen düzlem koordnaların coğra koordna çıkıları Mollwede X(cm) Y(cm) 29.39 5.08 2.2476 29.7723 9.6347 72.60 49.97 4.9246 87.64 33.6897 38.2 78.26 70.7787 76.974 60.3500 Bu çalışmaa bz eşvk eden çalışmanın ürüülmes ve oluşumunda lg ve deseğn esrgemeen engn blg ve ecrübelernden ararlandığımız çalışmamızı blmsel emeller ışığında şekllendren saın Pro.Dr. Cengzhan İPBÜKER hocamıza sonsuz eşekkürlermz sunarız. Kanaklar Delmelle E.M. (200) Map Projecon Properes: Consderaons or small-scale GIS applcaons Maser o Ars SUNY Deparmen o Geograph p.7. Ipbuker C. (2002) An Inverse Soluon o he Wnkel Trpel Projecon Carograph and Geographcal Inormaon Scence 29pp.37-4 Ipbuker C. Bldrc I.O. (2002) A General Algorhm or he Inverse Transormaon o Map Projecons usng acoban Marces Proceedngs o he Thrd Inernaonal Conerence on Mahemacal & Compuaonal Applcaons Sepember 4-6 Kona Turke pp.75-82 IpbukerC. (2009) Inverse Transormaon For Several Pseudo-Clndrcal Map Projecons Usng acoban Mar Gervas e al.(eds.):iccsa2009 Par I LNCS 5592. Sprnger-Verlag Berln Hedelberg pp.553-564 ISSN: 0302-9743 Malng D.H. (992) Coordnae Ssems and Map Projecons Oord Pergamon 476 p. Özan O. İpbüker C. Uluğekn N. (200) A numercal Approach o Pseudo-projecons on Eample Franz Mar Projecon ournal o General Command o Mappng 25 pp. 37-50
Özge ÖZTURK Tolga YÜCEL Rchardus P. Adler R.K. (972) Map Projecons: For Geodesss Carographers and Geographers Norh Holland Publshng Compan p.74. Ruhead A. C. (998) Enhancemen o Inverse Projecon Algorhms wh Parcular Reerence o he Sran Sereographc Projecon Surve Revew 34 270 pp. 50-508. Snder.P. (993) Flaenng he Earh Two housand ears o map projecons The Unvers o Chcago Press 363 p. Srubecker K. (967) Enührung n de höhere Maemak Band II R. Oldenberg Verlag München Wen.