MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler

1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni 6. İki Kümenin Farkı 7. İki Kümenin Simetrik Farkı 8. Sonlu ve sonsuz Küme Kavramları 9. Kümeler Ailesi 10. Alt Aile 11. Kümeler Ailesinin Birleşimi 12. Kümeler Ailesinin Kesişimi 13. Bir Kümenin Kuvvet Kümesi 14. Bir Kümenin Ayrımı 15. Bir Kümenin Örtüsü 16. Sıralı ikili 17. Kümelerin Kartezyen Çarpımı

1. Altküme 1.Tanım. A ve B herhanği iki küme olsun. A kümesinin her bir elemani B kümesinin de bir elemanı ise, a kümesi B kümesinin bir altkümesidir, denir. A kümesinin B nin bir altkümesi oluşu A B biçiminde gösterilir. «A B» ifadesi «A, B nin altkümesidir» diye okunur. «A B» bazan «B A» biçiminde yazılır ve «B kapsar A» diye okunur. A B [ x x A x B ] 1.Örnek: Sınıfımızdaki ögrencilerin kümesi, okulumuzdaki öğrenciler kümesinin bir altkümesidir. 2.Örnek: A={0,1,3,5}, B={-2,-1,0,1,2,3,4,5} A B 2.Tanım. A kümesi B kümesinin bir altkümesi ve A B ise, A kümesine B nin öz altkümesi denir. 3.Örnek: Alfabemezdeki sesli harfler kümesi, tüm harflerin kümesinin bir öz altkümesidir.

1. Altküme 1.Teorem: A, B ve C herhanği üç küme olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden her biri doğrudur. a) Her A kümesi için A A dir (Yansıma özeliği), b) (A B ve B A) A=B (Ters simetri özeliği), c) (A B ve B C) A C (Geçişme özeliği). İspat: a) [ x x A x A ] önermesi doğrudur. Bu önermeye denk olan A A önermesi de doğrudur. b) (A B ve B A) [ x x A x B x x B x A ] İki yönlü koşullu önerme tanımına göre, [ x x A x B x x B x A ] x[x A x B] A = B c) (A B ve B C) x[ x A x B ve x B x C ] x A x C A C 2.Teorem: Boş küme her kümenin altkümesidir. İspat: A bir küme, boş küme olsun. «x, x» önermesi yanlış olduğuna göre, x x x A önermesi doğrudur. A

2. Evrensel Küme 1.Tanım: Belirli bir tartışma ya da incelemede sözü geçen tüm kümeleri alt küme olarak alan belirli bir kümeye evrensel küme denir. Evrensel kümeyi E ile göstereceğiz. 1:Örnek: Bir okulun birinci sınıfında bulunan öğrencileri ile ilgili bir araştırmada evrensel küme kaıtılı olan tüm öğrencilerin kümesidir. Doğal sayılarla ilgili özeliklerin incemesinde evrensel küme tüm doğal sayılar kümesidir.

3. Kümelerin Birleşimi 1.Tanım: A ve B herhanği iki küme olduğuna göre, A da B de bulunan tüm elemanların kümesine A ile B kümelerinin bireleşimi denir. A ve B kümelerinin birleşimi A B biçiminde gösterilir. «A B» ifadesi «A birleşim B» diye okurus. A B { x x A veya x B } 1.Örnek: A={a,b,c} ve B={c,d,e,f} oduğuna göre, A kümesi ile B kümesinin birleşimi nedir? Çözüm: A B = x x A veya x B = ={a,b, c,d,e,f} 1.Teorem: A,B ve C kümeler olduğuna göre, aşağıdaki önermeler doğrudur. a) A A = A b) A B= B A c) A B C = A B C d) A = A e) A A B ve B A B f) A B= (A = ve B= ) g) A B B= A B

3. Kümelerin Birleşimi İspat: a) A A = x x A veya x A} = x x A} = A b) A B= x x A veya x B} = x x B ve x A}= B A c) A B C = x x A veya x B C} = x x A veya (x B veya x C)} = x x (A veya x B) veya x C} = x x A B veya x C} = x A B C} = A B C d) A = x x A veya x } = x x A} = A e) x A x A veya x B x A B olduğundan, A A B dir. x B x A veya x B x A B olduğundan, B A B dir. f) A A B olduğundan, A B= ise, A. Oysa A olduğu teoremden bilinmektedir. A B= (A A ) A =. Yukarıda A yerine B ve B yerine A yazylsa A B= B = elde edilir. A B= (A = ve B= ). A = ve B= ise A B= olduğu açıktır.

İspat: 3. Kümelerin Birleşimi g) ( ) A B B= A B olduğunu gösterelin. x A B x A veya x B A B x x A x B önermelerinden, (A B x A B ) x B veya x B x B önermeleri elde edilir. Buna göre, A B A B B dir. Oysa B A B olduğunu biliyorus. Bunlardan, B= A B elde edilir. : B= A B A B olduğunu gösterelin. A A B olduğunu biliyorus. B= A B A B B olduğu göz önüne alınırsa, A A B ve A B B önermelerinden, A B =B A B elde edilir.

4. Kümelerin Kesişimi 1.Tanım: A ve B herhanği iki küme olduğuna göre, hem A da hem de B de bulunan (A ve B nin ortak olan) elemanlarının kümesine A ve B kümelerinin kesişimi veya arakesiti denir. A ve B kümelerinin kesişimi A B biçiminde gösterilir. «A B» ifadesi «A kesişim B» diye okurus. A B { x x A ve x B } 1.Örnek: A={a,b,c,d} ve B={c,d,e,f,g,h} oduğuna göre, A kümesi ile B kümesinin arakesiti nedir? Çözüm: A B = x x A ve x B = {c,d}. 2.Tanım: A ve B herhanği iki küme olduğuna göre, A B = ise A ve B cümlelerine ayrık kümeler denir. 2.Örnek: Bir sınıfdakı erkek öğrencilerinin kümesi ile kız ögrencilerinin kümesi ayrık iki kümedir.

4. Kümelerin Kesişimi 1.Teorem: A,B ve C kümeler olduğuna göre, aşağıdaki önermeler doğrudur. a) A A = A b) A B= B A c) A B C = A B C d) A B A ve A B B e) A = f) A B A B=A İspat: a) A A = x x A ve x A} = x x A} = A b) A B= x x A ve x B} = x x B ve x A}= B A c) A B C = x x A ve x B C} = x x A ve (x B ve x C)} = x x A ve x B ve x C} = x x A B ve x C} = x A B C} = A B C d) x A B (x A ve x B) x A olduğundan, A B A dır. x A B (x A ve x B) x B olduğundan, A B B dir. e) A B B. B yerine yazılırsa, A. Öte yandan, A biliyorus. Buna göre, A = önermesi doğrudur.

İspat: 4. Kümelerin Kesişimi g) ( ) A B A B=A olduğunu gösterelin. x A B x A ve x B A B x x A x B önermelerinden, (A B ve x A ) x A ve x B x A B önermeleri elde edilir. Buna göre, A B A A B önermesi doğrudur. Oysa A B A olduğunu biliyorus. Buna göre, (A A B ve A B A) A B=A elde edilir. : A= A B A A B dir. A B B olduğunu göz önüne alınırsa, (A A B ve A B B) A B elde edilir.

4. Kümelerin Kesişimi 2.Teorem: A,B ve C kümeler olduğuna göre, aşağıdaki önermeler doğrudur. a) A B C = A B (A C) b) A B C = A B (A C) İspat: a) A B C = x x A x B C} = = x x A (x B x C)} = x (x A x B) (x A x C)} = x x A B x A C} = A B (A C) b) A B C = x x A x B C} = = x x A (x B x C)} = x (x A x B) (x A x C)} = x x A B x A C} = A B (A C)

5. Bir Kümenin Tümleyeni 1.Tanım: E evrensel küme A E olsun. E nin A da bulunmayan elemanlarının kümesine A nın tümleyeni denir. A kümesinin tümleyeni A ile gösterilir. A = x x E ve x A} 1.Örnek: Afabemizdeki tüm harflerin kümesi, sessiz harflerin kümesi A olduğuna göre A nin E ye göre tümleyeni nedir? Çözüm: Sesli harflerin kümesi. 1. Teorem: E evrensel kümesinin iki alt kümeleri A ve B olduğuna göre, aşağıdaki önermeler doğrudur. a) A E = E, b)a E = A, c)a A =E d) x A x A e) A A = f) (A B) = A B g) (A B) = A B h) ı) E = i) =E j) A B B A

5. Bir Kümenin Tümleyeni İspat: a) A B A B = B oldugunu önceki teoremlerden biliyorus. Bu önermede B yerine E yazılırsa, A E = E önermesinin doğru olduğu sonucuna varılır. b)a B A B = A olduğunu biliyorus. B yerine E alınırsa, A E = A elde edilir. c) x E (x A veya x A ) x A A önermelerinden, E A A elde edilir. A A E olduğuna göre, A A =E önermesi doğru olur. d) x A ((x A)) (x A) (x A ) x A e) A A olduğunu biliyorus. Öte yandan, x A A (x A ve x A ) (x A ve x A) x olduğundan, A A dir. Buna göre, A A = elde edilir. f) x A B x A B (x A x B) (x A x B) x A B. g) x A B x A B (x A x B) (x A x B) x A B. h) x A x A x A olduğundan, (A ) = A bulunur. ı) x E x E x olduğundan E = elde edilir. i)x x x E olduğundan = E elde edilir. j) A B x (x A x B) x (x B x A) x (x B x A ) B A

6. İki Kümenin Farkı 1.Tanım: A ve B herhanği iki küme olduğuna göre, A kümesinin B de bulunmayan elemanlarının kümesine A ile B nin farkı veya B nin A dan farkı denir. B nin A dan farkı A B ya da A/B ile gösterilir. «A B» ifadesi «A eksi B» diye okurus. A B = x x A x B} dir. 1.Teorem: A ve B iki küme olduğuna göre, A B = A B dır. İspat: A B = x x A x B} = x x A x B } = A B dır.

7. İki Kümenin Simetrik Farkı 1.Tanım: A ve B herhanği iki küme olduğuna göre, A B kümesinin A B de bulunmayan elemanlarının kümesine A küme ile B kümenin simetrik farkı denir. A küme ile B kümenin simetrik farkı A B ile gösterilir. «A B» ifadesi «A simetrik fark B» diye okurus. A B = x x A B x A B} dir. 1.Örnek: A={a,b,c,d} ve B={d,e,f} olduğuna göre, A B nedir? Çözüm: A B = x x A B x A B} ={a,b,c,e,f} 1.Teorem: A ve B herhanği iki küme olduğuna göre,a B = B A dir. İspat: A B = x x A B x A B} = x x B A x B A} = B A

7. İki Kümenin Simetrik Farkı 1.Teorem:A B = (A B) (B A) dir. İspat: A B = x x A B x A B} = x x A x B ve x A x B } = x x A x B x A x B } = x [ x A x B x A ] [ x A x B x B ]} Buna göre, A B = x [(x A x A ) (x B x A ] [x A x B ] [x B x B ]} = x (x x A B) (x A B x )} = x (x A B) (x A B )} = (B A) (A B)= (A B) (B A)

8. Sonlu ve sonsuz Küme Kavramları Herhanği bir kümenin elemanlarını sayarak bu kümenin kaç elemanı olduğu soylenibiliyorsa bu kümenin sonlu bir küme olduğunu düşüneceğiz. Sonlu olmayan bir kümeye de sonsuz küme diyeceğiz. Sonlu bir kümenin elemanlarının sayısı değişik simgelerde gösterilir. Herhanği bir sonlu A küme için bu kümenin elemanlarının sayısı n(a), s(a) veya A simgelerinden biri ile gösterilir. 1. Teorem: A ve B sonlu iki küme olduğuna göre, n A B = n A + n B n(a B) olduğu açıktır. İspat: A ve B kümeleri ayrık iki küme iseler yani, A B = ise n A B = n A + n(b) olduğu açıktır. A B olsun. Bu durumda A B A B = A ve A B A B = B eşitliklerinin doğru olduğu kolayca gösterilebilir. Öte yandan, A B ve A B kümeleri ayrık olduklarından, n(a B) + n A B olduğundan, = n A yazılabilir. Benzer biçimde, A B ve A B kümeleri ayrık n A B + n A B = n B yazılabilir. Öyleyse, n A B + n A B + n A B + n A B = n A + n B veya n A B + n A B + n A B = n A + n B -n A B elde edilir. A B, A B ve A B kümeleri ikişer ikişer ayrık we birleşimleri A B olduğundan bu eşitliğin birinci yani n(a B) ye eşitdir.

8. Sonlu ve sonsuz Küme Kavramları 2.Teorem: Sonlu n elemanlı bir A kümeyin 2 n tane altkümesi vardır.

9. Kümeler Ailesi 1.Tanım: Herhangi bir İ kümesi verilmişn olsun. İ nin her bir elemanı için bir A i kümesi varsa, İ kümesine indisleyen küme, bu kümenin her bir i elemanına bir indis, A i kümelerinden her birine indislenmiş küme denir. 2.Tanım: İ indisler kümesi olmak üzere, her bir i için bir A i kümesi varsa, {A i i İ} kümesine kümeler ailesi denir. 1.Örnek: I={1,2,3,4}, A 1 ={a,d}, A 2 = a, b, c, A 3 = e, f, g, A 4 = c, b, d. {A 1, A 2, A 3, A 4 } bir kümeler ailesidir. 3.Tanım: A = {A i i } olduğuna göre, A ailesine boş aile denir.

10. Alt Aile 1.Tanım: A = {A i i İ} ve B = {B j j J} olmak üzere ve B aileleri verilmişn olsun. Eğer, J İ ise, B ailesine A ailesinin bir alt ailesi denir. B ailesi A ailesinin bir alt ailesi olduğu B A biçiminde gösterilir. 1.Örnek: {A 1, A 2, A 3 } ailesi {A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 } ailesinin alt ailesidir.

11. Kümeler Ailesinin Birleşimi 1.Tanım: A = {A i i İ} olduğuna göre, {x k İ, x A k } kümesine A ailesinin birleşimi denir. A ailesinin birleşimi i İ A i, A, ya da A Ai i, biçiminde gösterilir. A 1.Örnek: I={1,2,3,4,5}, A 1 = {a, b}, A 2 ={b,c,d}, A 3 = {e, d, f}, A 4 = {c, d} ve A 5 = {h, d, b} olduğuna göre, i İ A i nedir? Çözüm: i İ A i = {a, b, c, d, f, h, e} 1.Teorem: Boş ailenin birleşimi boş kümeye eşitdir. İspat: A = {A i i } A i= {x k, x A k } i k, x A k önermesi yanlış olduğundan, A i kümesinin elemanı i yoktur. Buna göre, A i =. i

12. Kümeler Ailesinin Kesişimi 1.Tanım: A = {A i i İ} olduğuna göre, {x k İ, x A k } kümesine A ailesinin arakesiti denir. A ailesinin arakesiti i İ A i, A, ya da A Ai i, biçimlerinden biri ile A gösterilir. x i İ A i i (i İ x A i ) 1.Örnek: I={1,2,3}, A 1 ={b,c,d,e}, A 2 = {e, d, f}, A 3 = {h, d, b} olduğuna göre, i İ A i nedir? Çözüm: i İ A i ={x k İ, x A k } = {d} 1.Teorem: Boş ailenin arakesiti evrensal kümesine eşitdir. İspat: A = {A i i } A i= {x k, x A k } i Buna göre, A i = E. i

13.Bir Kümenin Kuvvet Kümesi 1.Tanım: Herhangi bir A kümesinin bütün alt kümelerinin ailesine A nin kuvvet kümesi denir. A nin kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir. 1.Örnek: A={a,b,c} olduğuna göre,p(a)nedir? Çözüm: P(A)={, a, b, c, a, b, a, c, b, c, a,b,c }

14.Bir Kümenin Ayrımı 1.Tanım: Boş olmayan bir A kümesinin alt kümelerinden oluşmuş bir A ailesi aşağıdaki özelikleri sağlarsa bu aileye A kümesinin bir ayrımı denir. A = {A i i İ} olmak üzere, a) A, b) k, t İ,(k t A k A t = ), c) A = i İ A i dır. 1.Örnek: Ç={0,2,4,, 2n, },T={1,3,5,, 2n+1,.} {Ç,T} doğal sayılar kümesinin bir aırımıdır.

15. Bir Kümenin Örtüsü 1.Tanım: A = {A i i İ} olmak üzere A ailesinin birleşimi A kümesini kapsıyorsa, yani A kümesi oluşmuş bir A ailesinin birleşiminin alt kümesi ise, A ailesinine A kümesinin bir örtüsüdür denir. 3.Örnek: A = 1,2,3, 0,2,5, 3,4 ve A= 0,1,2 olduğuna göre, A ailesini A kümesinin bşr örtüsü olur mu? Çözüm: A = 0,1,2,3,4,5 dir. A A olduğundan A ailesini A kümesinin bir örtüsüdür.

16. Sıralı ikili 1.Tanım: Herhangi iki a ve b elemanları sıra önemli olmak üzere, (a,b) biçiminde yazılırsa, (a,b) yeni bir eleman olur. Bu elemana sıralı ikili denir. a ya sıralı ikilinin birinci bileşeni, b ye sıralı ikilinin ikinci bileşeni denir. Herhangi iki (a,b) ve (c,d) sıralı ikililerinin eşit olması için a=b ve c=d olması gerektir ve yeter.

17. Kümelerin Kartezyen Çarpımı 1.Tanım: A ve B herhangi iki küme olduğuna göre, x, y x A ve y B kümesine A kümesi ile B kümesinin kartezyen çarpımı denir. A kümesi ile B kümesinin kartezyen çarpımı AxB ile gösterilir. AxB = x, y x A ve y B AxA kısaca A 2 ile gösterilir. 2.Tanım: AxA kümesinin (x,x) biçimindaki elemanlarının kümesine AxA nin köşegeni denir.