. KÜMELERİN YAPILARI. Açık Kümeler-Kapalı Kümeler vereceğiz. Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç ylla labilir. Biz bu ylların birkaçını.. Tanım: (X, ) metrik uzay x0 (i) B(x, r) { x X : (x, x) r} 0 0 X ve r > 0 lsun. = < kümesine x merkezli r yarıçaplı açık yuvar (küresel kmşuluk, açık küre) enir. (ii) B[x, r] { x X : (x, x) r} enir. = kümesine merkezli r yarıçaplı kapalı yuvar 0 0 x 0 0... Örnek: (i) 'e bilinen metriğe göre, B(x 0, r) = (x0 r, x0 + r) açık aralığıır. B e bilinen metriğe göre, (x, y ) 0 0 için; ((x 0, y 0), r ) = {(x, y) (x0 x) + (y0 y) < r } ((x 0, y 0) merkezli r yarıçaplı iskin içiir. ) (ii) B (, ) = (, 3) B [, ] = [, 3] (iii) (, ) metriğini göz önüne alalım. x = ( x, x ), y = (y, y ) için (x, y) = x y + x y hatırlayarak, x 0 = (a, b) ve r 0 için, > B (x 0, r) = {(x, x ) x a + x b r} < ir. luğunu r r B(x 0, r) r (a, b) r
(x, y) = (x y ) + (x y ) metriği için, r r (a, b) B (x 0, r) (x, y) max { x y, x y } = metriği için, B (x 0, r) (a, b) (iv) (X, ) ayrık metrik uzay lsun. x X ve r > 0 lsun. B(x, r) = { y X (x, y) < r } = { x} r ise, B[x, r ] = X r > ise, B(x, r) = X ve B[x, r] = X ir. (v) B[0, ( ] ) = { f f:[0, ] sınırlı fnksiyn} kümesini,
3 (f, g) = sup { f(x) g(x) : x [0, ] } metriği ile göz önüne alalım. Şimi, f B ([0, ] ) ve r 0 lsun. > B(f, r) { g B[0, ] : (f, g) r} = < açık iski, grafikleri gölgelenirilmiş şerit bölgeye üşen tüm g B ([0, ] ) fnksiynlarınan lur. f + ε f g f ε 0..3 Tanım: (i) (X, ) metrik uzay S X ve x S lsun. Eğer B(x, r) S lacak şekile bir r varsa x nktasına S nin bir iç nktası enir. (ii) S nin tüm iç nktalarının kümesi S veya iç (S) ile gösterilir. (iii) Eğer S nin tüm nktaları iç nktalar ise, yani S= S, S ye açık küme enir...4 Örnekler: (i) (,. ) uzayına (a, b) açık aralığı bir açık kümeir. Gerçekten bir x (a, b) nktası alalım. Bu uruma, a< x <b ir. Eğer, r min { b x, a x } larak alınırsa, B(x, r) (a, b) larak bulunur. (Öev) (,. ) uzayına (a, ), (, a) ve (, ) = küreleri e açıktır. Ancak [a, b), (a, b], [a, ), (, a] küreleri ise açık eğilir. Çünkü sırasıyla a, b, a, a öğeleri iç nkta eğilir. Buraan hareketle, [ a, b] = (a, b), (, 3] = (, 3), =, =, =, = lur. Ancak x için {x} = ir. Yani {x} açık eğilir.
4 (ii) a lmak üzere A = {(x, y) : x< a} kümesi alışılmış uzayına açık kümeir. Gerçekten B(x, ( 0 y), 0 r) (x 0, y 0) A A nktası için 0 lur. Bu ise A r x a larak alınırsa, nın açık luğunu gösterir. Buna rağmen, B = {(x, y) x a} kümesi bu uzaya açık y0 A ε eğilir. (Neen?) x 0 a ( Ca, b, int (iii) [ ] ) metrik uzayına A = f [a, b] f(t)t < kümesi açık bir kümeir. 0 Gerçekten g A için g(t)t = k < luğuna, eğer r = k larak alınırsa, 0 B(g, r) A lur. f B (g, r) lsun: ( ) = f(t)t f(t) g(t) t + g(t)t < k + k 0 0 0 Oluğunan f A bulunur. O hale istenen ele eilir. Kümelerin açık veya, aha snra göreceğimiz gibi, kapalı luşları bağıl bir kavramır. Bir uzaya göre açık lan küme, başka uzaya göre açık lmak zruna eğilir. Örneğin, üzlemini ve (0, ) açık aralığını üşünelim: (0, ) aralığınaki x merkezli ε yarıçaplı yuvar bu aralığa ait lmayan nktaları a kapsamaktaır. Bu neenle (0, ) aralığı e açık eğilir. Ancak (0, ), e açık bir kümeir. )..5 Terem: (X, metrik uzay, x X lsun. r > 0 için B(x, r) yuvarı bir açık kümeir. Kanıt: y B(x, r) (x, y) < r ir. Eğer r (x, y) = r larak alırsak r > 0 ve B(y, r ) B(x, r) ir. Gerçekten, z B(y, r ) ise (y, z) < r = r (x, y) (x, z) (x, y) + (y, z) < r lup z B(x, r) bulunur. Snuç larak, bir kümenin açık lmaması için gerek ve yeter kşul kümee iç nktaa lmayan en az bir nktanın lmasıır.
5..6 Terem: (X, ) metrik uzay lsun. Bu hale; (i) X ve açık kümelerir. (ii) (iii) Snlu sayıa açık kümelerin arakesiti açıktır. Açık kümelerin herhangi bir ailesinin birleşimi açıktır. Kanıt: (i) Eğer x X ve r > 0 ise B( x, r) X luğunan X açıktır. nin hiçbir öğesi lmaığınan r > 0 için, x B(x, r) Y gerektirmeleri ğru luğunan e açıktır. (ii) U, V X açık kümeler lsun. min seçilip, snlu sayıa lması (iii) i I, { b } X açık kümelerin bir ailesi lsun.. i Y..7 Terem: metrik uzay ve lsun. G nin açık lması için gerek ve yeter (X, ) G X kşul Kanıt: G (Gereklilik): nin açık kümelerin birleşimi lmasıır. G açık küme lsun. G = ise i için Ui X açık lmak üzere G = Ui = luğunan istenen ele eilir. Eğer G ise her x G için rx > 0 lmak i üzere B(x, r ) açık kümeler lup G = B(x, r ) larak yazılabileceğinen istenen ele x x G eilir. (Yeterlilik): G, δ açık kümeler ailesinin birleşimi luğunu kabul eelim. Eğer δ kümesi bş ise G = lup istenen ele eilir. Eğer δ ise G lur. Şimi x G lsun. Bu uruma bir x N δ açık kümesi için x N lur. N açık luğunan bir r > 0 için x B(x, r ) N G x luğunan istenen ele eilir...8 Snuç: ( X, ) metrik uzayına A, A nın en büyük alt kümesiir.
6..9 Öevler: ) () ( X, metrik uzay ve A, B X lsun. Aşağıakileri gösteriniz. (i) ( A ) A = (ii) ( ) A B A B (iii) ( ) A B = A B (iv) ( ) A B A B lup lmaığını gösteriniz. = (v) A B A B () Bir metrik uzaya keyfi sayıa açık kümelerin arakesitinin açık lamayacağına air bir örnek veriniz. (X, ) ( X, ) (3) Öevler.3 (ii) eki metriğini göz önüne alalım. Bu uruma ile uzaylarının aynı açık kümelere sahip luğunu gösteriniz. (4) (X, ) metrik uzay lsun. x, y X ve x y içeren ayrık açık kümelerin bulunuğunu gösteriniz. iki nkta lmak üzere, x ve y nktalarını (i) A ve B, A.B { x.y x A, y B} (5) alışılmış uzayına açık kümeler ise = açık lması gerekir mi? n (ii) A, B açık kümeler ise A+ B= { x+ y x A, y B} nin açık luğunu gösteriniz. (iii) X = {(x, y) x.y> } kümesinin e açık luğunu gösteriniz.. Kapalı Kümeler Kapalı küme tanımını birbirine eşeğere lan ifaelerle verebiliriz. Bunlaran biri açık küme, iğeri e limit (yığılma) nktaları tanımınan hareket yöntemiir... Tanım: (X, ) metrik uzay ve A X lsun. X\A kümesi açık ise A kümesine kapalıır enir. Örneğin, x X için {x} kümesi kapalıır. Gerçekten, y X\{x} ise y x tir. O hale (x, y) > 0 lur. Eğer r = (x, y) larak alırsak, B(y, r) X \{x} ir. z B(y, r) (y, z) < r ir. Buraan, lup x z ir. O hale, z X\{x} bulunur. 0 < (x, y) (y, z) (x, y) (y, z) (x, z)
7 Bunun yanı sıra, bir metrik uzaya ne açık ne e kapalı lan kümeler varır. Bunlaran ) en iyi bilineni (,. metrik uzayına [a, b) ve (a, b] yarı açık-kapalı aralıklarıır. O hale, bir küme açık eğilse tümleyeni kapalıır veya küme kapalı eğilse tümleyeni açıktır iyemeyiz. ).. Terem: (X, metrik uzay lsun. O hale, (i) X ve kapalıır. (ii) (iii) Kapalı kümelerin snlu sayıa birleşimleri kapalıır. Kapalı kümelerin keyfi sayıa arakesiti kapalıır. Kanıt: (i) X\X= açık ve X\ = X açık luğunan X ve kapalıır. (ii) n { } kapalı lsun. O hale, i F = X =,,..., n için X\F i açıktır. i i n = n i ( i) X\ F X\F i= i= açık luğunan n i= F i kapalıır. (iii) Açıktır...3 Terem: Bir metrik uzayaki snlu her alt küme kapalıır. Kanıt: (X, ) metrik uzay ve { } A = x, x,..., x X lsun. A = X\(X\A) luğunan n X\A nın açık luğunu gösterebilirsek ispat tamamlanmış lur. y X\A lsun. Biz p = (y, x ), p = (y, x ),..., pn = (y, x n ) iyelim. Şimi p = min{ p i i =,,..., n} lsun. Buraa ikkat eilirse, B( y, p) X \ A ır. Gerçekten, z B(y, p) (y, z) < p luğunan i,,..., n için z x lur. O hale z X\A bulunur. = i..4 Tanım: (X, ) metrik uzay, A X ve p X lsun. p, A nın limit (yığılma) nktasıır ( r > 0)( B(p, r)\{p} A ) ( )( )( : G X açık p G G\{p} A ) A kümesinin yığılma nktalarınan luşan kümeyi A nın türetilmişi iyeceğiz. A ile göstereceğiz ve bu kümeye
8 A =,,, 3 n Örneğin, yuvarı (ki bu yuvar r kümesinin yığılma nktası 0 ır. Çünkü, B( 0, r) uzunluğuna bir aralıktır) A kümesinen en az bir nkta içermekteir. Diğer yanan, [, ) kümesinin bir yığılma nktası lan küreye ait lmasına rağmen iğer yığılma nktası lan kümeye ahil eğilir. Üstelik (, 4) aralığınaki her gerçel sayı bu kümenin yığılma nktasıır. Ancak (,. ) uzayına tamsayılar kümesinin yığılma nktaları yktur, ama her gerçel sayı kümesinin bir yığılma nktasıır...5 Uyarı: Bir kümenin limit (yığılma) nktaları ile ilerie göreceğimiz (ayrıca analizen biliğiniz) bir izinin limiti birbirinen farklıır. Dikkat eilirse, (,. ) uzayına bir elemanlı bir kümenin hiç bir yığılma nktası yktur, ama [0, ] = (0, ) ır. Buna göre sezgisel larak bir kümenin kapalı lması için yığılma nktalarına içine alması gerekir...6 Terem: (X, ) metrik uzay ve A X lsun. A nın kapalı lması için gerek ve yeter kşul A nın tüm yığılma nktalarını kapsamasıır. Kanıt: (Gereklilik) A kapalı lsun. Biz A A luğunu göstermeliyiz. Biz tersini varsayalım ve x X nktası için x A ama x A lsun. X\A açık ve x X\A ır. Ancak (X \ A) \{x} A = luğunan x A ele eilir. Bu ise varsayımımızla çelişir. (Yeterlilik): A A lsun. Biz X\A nın açık luğunu gösterirsek işimiz biter. x X\A lsun. x A ve buraan x A bulunur. O hale, B(x, r) \{x} A = lacak şekile r> 0 varır. Buraan B(x, r) X \ A lup x öğesi X\A nın bir iç nktasıır...7 Örnekler: (i) X = {(x, y) 0< x, 0 y } { } kümesi kapalı eğilir, ancak M = (x, y) x + y kümesi kapalıır.
9 (ii) metrik uzayına yığılma nktasıır. Grafikten görülüğü gibi a = (x, y) y= sin, x > 0 kümesi için x p nktasını bulunuran her yuvar A nın p en farklı bir nktasını a bulunurur. p= 0, nktası bir Aslına y [, ] lmak üzere her (0, y) nktası A nın yığılma nktasıır. Buna göre, { } A = (x, y) x = 0, y ir. A ) (X, metrik uzay ve A X lsun. A nın içi A tarafınan kapsanan en geniş açık alt kümeir. Benzer larak, A kümesini kapsayan en küçük kapalı kümeyi üşünebiliriz. )..8 Tanım: (X, metrik uzay ve A X lsun. A yı kapsayan en küçük kapalı kümeye A nın kapanışı enir ve A semblü ile gösterilir. Yani, A = { F X F kapalı ve A F} ir. Bu kavram aha farklı biçimlere e ifae eilebilir. Örneğin, A A A = luğu tanım kullanılarak ele eilebilir. (Öev)..9 Önerme: (X, ) metrik uzay ve A X lsun. (i) A kapalıır. (ii) F, A nın kapalı bir üst kümesi ise A A F ir. (iii) A kapalıır A= A ır. Kanıt: (i) ve(i i) tanıman açıktır. Biz (i ii) yi kanıtlayalım. İlk larak, A kapalı lsun. A tanımınan A A kapsaması açıktır. Ayrıca A kapalı ve A Aluğunan A nın tanımınan A A bulunur. Tersine, A = A lsun. A kapalı luğunan A a kapalı lur. { } kümesinin kapanışı A= { x x } A= x : x < ir. Ayrıca (0, ) = [0, ], (a, b] = [a, b] lukları açıktır. Ayrıca A = [0, ] {} kümesinin kapanışı yine A = [0, ] {} ir.
0 Diğer yanan A kümesinin kapanışı ile aşağıaki basit snuçları klayca görebiliriz. (i) A A, (ii) A= A, (iii) (A B) = A B, (iv) = ve (v) X= X; ancak A B= A B lmaığına air bir örnek veriniz...0 Terem: metrik uzay lsun. F nin kapalı lması için gerek ve yeter (X, ) F X kşul x X\F için ( x, F) 0 lmasıır. Kanıt: ( : ) F kapalı lsun. Bu uruma X\F açık lur. Bir x X\F seçelim. Buraan B(x, r) X \ F lacak şekile r varır. Şu hale F B(x, r) = ir. Eğer (x, F) = 0 lsayı, z F (x, z) = 0 ır. Buraa z B(x, r) lup 0= (x, z) r çelişkisi ele eilir. ( : ) x X\F alalım ve (x, F) 0 lsun. r = (x, F) iyelim. Bu uruma B(x, r) X \ F ir. Gerçekten, z B(x, r) ise (x, z) < r lur. Buraa r (x, z) > 0 ır. Eğer z X\F z F ir. O hale (x, F) (x, z) ir. (x, F) > 0 luğunan (x, F) (x, z) 0 çelişkisi ele eilir. Şimi A = { x (x, A) = 0} luğunu gösterelim: (x, A) = 0 lsun. O hale için B( x, r) A lur. Dlayısıyla x A lur. r Tersine, x A lsun. Eğer r = (x, A) larak alırsak r B x, A = lur. O hale x A lup istenen ele eilir. x A ( G X)( x G)( G A ) (Öev).. Örnek: (X, ) ayrık metrik uzay lsun. Her bir x X için { x } kümesinin bu uzaya hem açık hem e kapalı luğunu gösteriniz. Çözüm: { x } in açık luğunu gösterelim. y { x} { x} B(x, r) = luğunu.. en biliyruz. O hale kümesi açıktır. lsun. y = x ir. r lmak üzere (iv) B(x, r) { x} luğunan { x } Herhangi bir metrik uzaya tek nkta kümesinin kapalı luğunu zaten biliyruk... Tanım: (X, ) metrik uzay ve A X lsun. Eğer A X X te yğunur enir. = luyrsa A alt kümesine
..3 Örnekler: (i) rasynel sayılar kümesi alışılmış uzayına yğunur. Gerçekten, bir x için her ε> 0 için (x ε, x +ε) luğunan x lur. Buraan = lur. (ii) (,. ) metrik uzayına A=,,,, alt kümesini göz önüne alalım. 3 4 A= 0,,,, 3 luğunan A, (,. ) uzayına yğun eğilir. (iii) (X, ρ) ayrık metrik uzay ise X in kenisinen başka yğun alt kümesi yktur. Aksini varsayalım ve A= X lacak şekile bir A X alt kümesi alalım. O hale, bir x X için x A ır. Böylece x A lup r> 0 için B(x, r) A ır. Ancak, 0< r için { x} B(x, r) = lup B(x, r) A = ır. (iv) (X, ) metrik uzay ve bir A X için A X = lsun. Bu uruma, G X açık kümesi için G A lur. (ÖDEV)..4 Tanım: (X, ) metrik uzay, A X ve p X lsun. Eğer bir r 0 için ( veya G X açık, p G için G A { p} > B(p, r) { p} = ) ise p ya A nın ayrık(yalıtık) nktası enir...5 Öevler: ) () ( X, metrik uzay, A X ve p X lsun. Aşağıaki önermeyi kanıtlayınız. ( ) p, A nın yığılma nktasıır p, A ({p}) = 0 ır. () Aşağıakileri gösteriniz. (i) X = {(x, y) x.y } kümesi kapalı mıır? (ii) X = {(x, y) x = 0, 0< y< } (iii) M= { x x } kümesi kapalı mıır? kümesi kapalı mıır?
(3) (i) S = {(x, y) 0 x veya x = } yerine kümesi yığılma nktalarını kapsar mı? alınırsa yanıtınız ne luru? ise A =? (ii) X = {(x, y) y< x + } = ise Y =? (iii) Y {(m, n) m, n } (4) Aşağıaki kümelerin açık veya kapalı luklarını bulunuz. (i) i=, n (i i) { r r (0, ) } (i ii) {(x, y) x ve y < } (5) (X, ) metrik uzay ve A, B X lsun. (i) A B A B lur mu? (ii) A B A B lur mu?.3 Kümenin Dış ve Sınır Nktaları.3. Tanım: (X, ) metrik uzay ve A X lsun. (i) A nın ış nktaları kümesi ış(a) ile gösterilir ve ış(a) = (X \ A) larak tanımlanır. (ii) A nın sınır(kenar) nktaları kümesi (A) ile gösterilir ve (A) = A (X \ A) larak tanımlanır. Dikkat eilirse, (A) = (X \ A) ır. Ayrıca, (A) kümesi tanıman kapalı bir kümeir..3. Terem: metrik uzay ve A X lsun. x (A lması için gerekli ve yeterli (X, ) ) kşul r için B(x, r) A ve B(x, r) (X \ A) lmasıır. Kanıt: Tanıman açıktır. Dikkat eilirse, birim airenin sınırının birim çember üzerineki nktalar, açık aralığın sınırı uç nktalar luğunu sezgisel larak söyleyebiliriz. Ancak yapısı karmaşık lan kümeler için sınır nktalarını bulmak kaar klay eğilir.
3.3.3 Örnekler: ise (A) = [0, ] lur. Gerçekten, x [0, ] için ε > 0 (i) A = { x x [0, ] ve x } lacak şekile B(x, r) = (x r, x + r) aralığı hem rasynel hem e irrasynel nktalar kapsar. (ii) Eğer x (A) ise x A lmak zruna eğilir. Örneğin, A = {0} larak alırsak A = ama (A) = {0} ır. (iii) (a, b], [a, b), (a, b), [a, b] kümelerinin yığılma nktaları kümesi {a, b} ir. (iv) A = {(x, y) : y x} lsun. { } (A) = (x, y) y = x ir. y = x.3.4. ÖDEVLER: () ( X, ) m.u. ve A X lsun. Aşağıakileri gösteriniz. (i) A= A ( A) (ii) A = A/ A (iii) ( A B) ( A) ( B ) () ( X, ) m.u. ve A X lsun. Aşağıakileri gösteriniz. (i) ( A) A Akapalıır. (ii) ( A) A= Aaçıktır. (iii) ( A) = A hem açık hem e kapalıır. (iv) A B = ise ( A B) = ( A) ( B) (v) ( A ) ( A) luğunu gösteriniz. Eşitliğin lmayacağına air örnek veriniz. (3) (i) A = n =,,... ( A) =? n (ii) x A/ A ise x ( A) luğunu gösteriniz. Tersi ğru muur?
4.4 ALT METRİK UZAYLARDA AÇIK VE KAPALI KÜMELER ( X, ) m.u. ve Y bunun bir alt metrik uzayı lsun. Y alt m.u a açık(kapalı) bir küme X uzayına açık(kapalı) lması gerekmez. Örneğin ( ab, ) kümesi e açıktır ama e bu küme açık eğilir..4..tanım: ( X, ) m.u ve Y bunun alt m.u. lsun. Bir B Y için B = Y A.ş. bir A X açık kümesi varsa B kümesine alt uzayına açık kümeir enir. Y.4..Uyarı: () Y alt uzayınaki açık kümeler Y nin arakesitinen başka bir şey eğilir. X metrik uzayınaki açık kümeler ile () Bu tanıma göre Y alt metrik uzayınaki açık yuvarlar { B ( y, ε ) = x Y ( x, y) < ε = Y B ( y, ε) y } x y Y.ü. lur. Örneğin lur. Yani [0, ) Benzer şekile, B alışılmış m.uzayın Y = [0,] alt uzayını ikkate alırsak By (0, ) = Y B(0, ) = [0,] (, ) = [0, ) kümesi Y alt uzayınaki açık bir kümeir., (,. ) metriğini göz önüne alalım. (, ) = {} = (, 3) = B (, ).4.3. Önerme: ( X, ) m.u ve Y bunun alt metrik uzayı lsun. F Y * * kapalıır F = Y F.ş. F X kapalı kümesi varır. Kanıt: Açıktır.
5.4.3.Örnekler: () Herhangi [ ab, ) aralığı e açık (kapalı) eğilir. Ancak alışılmış uzayının ([ ab, ), ) alt uzayına [ ab, ) kümesi açıktır (kapalıır). [ ab, ) () ( X, ) m.u ve Y alt m.u. lsun. A Y alt kümesi ( X, ) uzayına açık ise, A kümesi alt uzayına a açıktır. ( Kapalı kümeler içine geçerliir.) Y (3) ( X, ) m.u ve Y alt m.u. lsun. A kümesi Y alt uzayına a açık Y kümesi e (, ) açık ise A, ( X, ) m.u. açık lur. ( Kapalı kümeler için e benzer urum varır.) X m.u. (4) B [, ] = {,, 3} = [, 3] = B [, ].5 KOMŞULUKLAR.5.. Tanım: ( X, ) m.u x X ve V X alt kümesi için x G V kşulunu sağlayan bir G X açık kümesi varsa V ye x in bu uzaya bir kmşuluğu enir. Bir x X nktasının kmşuluklar ailesini N ( x) ya a başka metrik ile karıştırma tehlikesi yksa N( x) ile göstereceğiz!.5.. Snuç: () Her açık küme keni nktalarına kmşuluk eer. () ( X, ) m.u. a lmasıır. V N( x ) lması için g.y.k. B( x, r) V.ş. bir r > 0 sayısının var.5.3. Örnek: () uzayına herhangi bir p için[ p ε, p+ ε ] kapalı aralığı p nin bir kmşuluğuur. Çünkü ( p ε, p+ ε ) [ p ε, p+ ε ] ır. () uzayına (,] ve (,] kümeleri 0 ın kmşuluğuur. Ancak (0,) ve [,0) kümeleri 0 ın kmşuluğu eğilir. (3) ( X, ) ayrık metrik uzay ve x X lsun. Bu uruma N( x ) = { A X x A } lur..5.4: Önerme: Bir ( X, ) m.u x X nktasının N( x) kmşuluklar ailesi aşağıaki özellikleri taşır.
6 ( K ) Her V N( x) için x V ir. ( K ) Her UV, Nx ( ) için ir. ( K ) Her V N( x) ve her V U için U N( x) lur. 3 ( K ) Eğer V N( x) ise her y U için V N( y).ş. bir U N( x) varır. 4 Kanıt: ( K), ( K), (K 3) tanıman klayca çıkar. Biz ( K 4) ü kanıtlayalım. V N( x) ise x G V.ş. bir G X açık kümesi varır. Snuç.5..() en G N( x) ir. Eğer G= U eyip bir y U alınırsa, U N( x) ve y U V luğu içine ( K ) ten 3 V N( y) lur. geçer. Yukarıa sözü geçen ( )- ( K ) özellikleri kaynaklara kmşuluk aksiymları larak K 4.5.5.Önerme: ( X, ) m.u ve A açıktır A X lsun. A, keni nktalarının kmşuluğuur. Kanıt: (Gereklilik): Snuç.5..() e verilmiştir. (Yeterlilik): Her x A için A N( x) lsun. Tanıman, x Gx Abiçimine bir Gx X açık kümesi varır. Buraan; A { x} Gx böylece A açık lur. ya a A Gx = A x A x A = ele eilir ve x A
7.6. DENK METRİKLER Bştan farklı bir X kümesi üzerine farklı metriklerin tanımlanabileceğini aha önce belirtmiştik. Bu metrikleren bazıları, açık ifaeleri ikkate alınığına farklı görülmesine rağmen snuçta X üzerine aynı açık küme yapısını belirtebilir.( Yani bir metriğe göre açık lan bir küme başka bir metriğe göre e açık labilir.) Kabaca bu özellikteki metriklere enk metrikler iyeceğiz. Daha snraki bölümlere göreceğiz ki enk metrikleren birine göre yakınsak lan bir izi iğer metriğe göre e yakınsak, birine göre sürekli lan fnksiyn iğerine göre e sürekli lacaktır..6..tanım: ve m bş lmayan X kümesi üzerine farklı iki metrik lsun. Eğer metriğine göre açık lan bir küme m metriğine göre e açık ve m metriğine göre açık lan bir küme metriğine göre e açık ise ve m metriklerine enk metrikler enir..6.. Uyarı: Bir kümenin açık lmasını, tamamen açık iske bağlı larak şu şekile ifae eebiliriz: A,( X, ) m.u. açıktır x A için B( xr, ) A.ş. r varır..6.3. Önerme: ( X, ) ve ( X, m ) m.u. lsun ve m enktir keyfi bir x X için Bm( x, ε ) B( x, ε) ve B( xr, ) Bm( xr, ).b. r, r, ε, ε sayıları varır. Kanıt: ( :) ve m enk metrikler lsun.herhangi bir x X nktası için B ( x, ε) açık iskini alalım. B ( x, ε ), ( X, m) uzayına açık bir küme luğunan, her y B ( x, ε) nktası için Bm( y, ε ) B( x, ε).b. bir B (, ) m y ε açık iski varır. Özel larak x = ylarak alınırsa Bm( y, ε ) B( x, ε ) luğu görülür. Benzer şekile, B( xr, ) Bm( xr, ) luğu ele eilir. ( :) A kümesi metriğine göre açık bir küme ve x A lsun. A kümesinin m metriğine göre e açık luğunu görelim. A, metriğine göre açık luğunan B ( x, ε) A.b. bir
8 ε > 0 varır. Varsayıman Bm( x, ε ) B( x, ε) A.b. bir ε > 0 sayısı varır. Buna göre A kümesi m metriğine göre açıktır. Benzer şekile A kümesinin m metriğine göre açık luğu varsayılırsa, metriğine göre e açık luğu görülür. O hale ve m metrikleri enktir..6.4. Örnek: () xy,.ü. üzerine Örnekler.3.(3) e geçen = + ( x, y) = { ( x y ) + ( x y ) } ( x, y) x y x y, { } ( x, y) = max x y, x y metrikleri birbirine enktir. n (),,..., üzerineki alışılmış metrikler, ayrık metriğe enk eğilir. Çünkü her bir x için { x} tek öğeli kümesi ayrık metriğe göre açıktır. Fakat ğal metriklere göre açık eğilir. (3) C[0,] üzerine tanımlanan sup metriği; sup { } ( f, g ) = sup f ( x ) g ( x ) : x [0,] ile L ' metriği; ( f, g) = f( x) g( x) x 0 enk eğilir. Gerçekten f ( x ) = 3 fnksiynu ve ε = için sup { sup } B ( f,) = g ( f, g) < = { g x [0,] için f( x) g( x) < } = { g x [0,] için < gx ( ) < 4} ır. Yani B ( sup f,) açık yuvarı; grafiği y = ve y = 4 ğruları arasına kalan fnksiynlaran luştuğu görülür. Şimi bu iskin içine kalan f merkezli hiçbir B ( f, δ ) iskinin lmaığını görelim. g fnksiynunu
9 4x 5,0 x δ δ gx ( ) = 3, δ x larak alırsak δ ( f, g) = f( x) g( x) x = lur. O hale, g B ( f, δ ) ır. Ancak 0 ( f, g ) = sup luğunan g B (,) f ır. Yani her δ > 0 sayısı için sup B ( f, δ ) B sup ( f,) ir. Bununla birlikte, metriğine göre açık lan her küme metriğine göre e açıktır. sup Bunu görmek için bir f C[0,] alalım ve B ( f, ε ) iskini luşturalım. Eğer δ = ε larak seçilirse B (, ) (, ) f δ B sup f ε lur, gerçektene {sup f( x) g( x) : x [0,] < δ ve layısıyla } g B (, ) sup f δ ise ( f, g) = f( x) g( x) x sup f( x) g( x) : x [0,] x 0 0 { } < δ x = δ = ε ve böylece g B ( f, ε ) lur. 0.6.5.Tanım: Bş lmayan X kümesi üzerine ve m metrikleri verilsin. Eğer c( x, y) m( x, y) c( x, y) lacak biçime c, c > 0 sayıları bulunabilir ise ve m metriklerine Lipshitz anlamına enk metrikler enir..6.6.önerme: Eğer ve m metrikleri X üzerine Lipshitz anlamına enk metrikler ise ve m metrikleri enktir.
0 Kanıt: Bunun için Bm( x, εc ) B( x, ε ) ve gerekiyr. Eğer y B (, ) m x εc ise mxy (, ) < cε ve layısıyla ε B( x, ) Bm( x, ε ) luğunu göstermemiz c mxy (, ) c < ε lur ki bu mxy (, ) ( x, y) < ε yani y B ( x, ε ) emektir. O hale Bm( x, εc ) B( x, ε ) luğu ele c eilir. Diğeri e benzer şekile gösterilir. n.6.7.örnek: xy, için, ve metrikleri Lipshitz anlamına enktir. Biz Örnekler.3.(3) e geçen Nt(iii) e ( x, y) ( x, y) ( x, y) n ( x, y) ve ( x, y) n( x, y) luğunu biliyruz. O hale, ( xy, ) ( xy, ) n( xy, ) ( xy, ) ( xy, ) n( xy, ) lup istenen ele eilir.