11. DENKLEMLER Değişenlerin arşılılı ilişilerini ifade eden matematisel denlemler ii gruba arılabilir: Cebirsel denlemler ve diferensiel denlemler. Cebirsel bir denlem türev olara ifade edilen bir değişen bulundurma. Örneğin, a b Cebirsel bir denlem, buna arşılı d/a b Diferensiel bir denlemdir. Burada d/ türevi ifade eder..1. Lineerli Denlemlerin lineer olup olmaması önemlidir. Lineerli denlemde er alan değişenlerin arşılılı değişimlerinin sabit olmasını ifade eder. Örneğin içerisinde üseliği h olan sıvı bulunan bir abın (Şeil.1.a) tabanındai basınç lineer bir eşitlile gösterilebilir. Phφ P 0 P 0 : Yüedei basınç P: h derinliğindei basınç φ: Sıvının oğunluğu P 0 P P P h h P h h (a) (b) Şeil.1. Bir apta bulunan sıvının üseliği ile tabana aptığı basınç arasındai ilişi P ile h arasındai ilişinin gösterildiği grafitei (b) dügün doğru herhangi bir h seviesinde anı büülütei h değişimlerinin sabit P değişimlerine arşılı geldiğini göstermetedir. Buna arşılı lineer olmaan eşitlilerde değişenlerin arşılılı değişimleri sabit değildir. Örneğin bir vanadan geçen aışanın debisi ile basınç düşüşü arasındai ilişii veren,
1 Q Cv P 1 P Q: Aım debisi; C v : Vana sabiti; P 1 -P : Basınç düşüşü denleminde Q, basınç düşüşü P 1 -P dei verilen bir değişimle orantılı değildir. Bununla birlite aışan debisi ile vana sabiti arasında lineer bir ilişi vardır. Bir eşitlitei değişenler arasındai ilişi a doğrudan bir ilişi ada dolalı bir ilişidir. Örneğin doğrudan bir ilişii gösteren QC v (P 1 -P ) 1/ Denleminde P 1, P ve C v verildiğinde Q diret olara bulunabilir. Buna arşılı Şeil. de görülen bir tana apılan Q F toplam besleme hıı ile tantai sıvı ve sava üselileri arasında verilen, Q F 3,336(H-H w ) 1,5 0.5 C v H w Eşitliğinde Q F, C v ve H w bilindiği tadirde H diret olara bulunama. H ın hesaplanması için öel bir taım işlemler gereir. Q F Q 1 H H C V Q Şeil.1. Savalı boşaltma sistemi.. Eş Zamanlı Denlemler Bilinmeenin hesaplanmasının birden fala denlemin anı amanda çöülmesi ile gerçeleştirilebildiği denlemlerdir. Örneğin Şeil.3 de görülen sistemde pompa P 1 ve P basınçlarına arşı sabit Q F debisi ile aışan sağlamatadır. Bu sistem için denlemler, Q F Q 1 Q Q Cv P P 1 1 1
13 Q C P v P F verilen P 1, P, C V1, C V ve Q F den Q 1, Q ve P F in hesabı üç eşitliğin anı amanda çöümünü geretirir. Diğer bir ifade ile bir dii eş amanlı denlemdei değişenler dolalı olara tanımlanır, hiçbiri eşitlilerden biri çöülere doğrudan hesaplanama. Q F P F Q 1 Pompa Şeil.3. Eş amanlı çöüm geretiren tan boşaltma sistemi Q P P 1.3. Yeterlili ve Geresili Ço saıda eşitliği çöebilme için bağımlı değişenlerin saısı adar bağımsı denlem tanımlanmalıdır. Bağımsı denlem diğer denlemlerden türetilmemiş denlem demetir. Örneğin, 5 3 3 4 denlemlerinden sonuncusu geresidir. Çünü bu denlem il ii denlemin toplamlarının iie bölümüle elde edilmiştir. Bu sebepten arı bir tanım değildir. Dolaısıla bu üç denlem,, nin hesabı için eterli değildir. Bu durum eş amanlı diferensiel denlemler için de geçerlidir. Bağımsı denlemlerden daha fala saıda değişen içeren sistemler için sınırsı saıda çöüm bulunur. Anca bir masimuma vea minimuma götüren şart belirtildiğinde bir optimum çöüm seçilebilir. Bu genel problem alanı, lineer vea lineer olmaan programlama olara isimlendirilir. Diğer daha fala arşılaşılan durum olan bilinmeen değişenlerden daha fala denlemin varolması hali bütün denlemlere minimum hata ile uan en ii bir çöümün bulunmasını geretirir. Bu da verileri udurma genel alanıdır.
14 3. DİFERENSİYEL DENKLEMLER Diferensiel denlemlerin doğru formüllendirilmesini apabilme için türevin ne deme olduğu bilinmelidir. dv/ sadece v nin t e göre değişim hıını belirtir. Eğer v ile t arasında aşağıdai şeilde görüldüğü gibi bir ilişi varsa dv/ herhangi bir t notasında eğrinin eğimidir. v Şeil 3.1. v değişeninin t e göre değişimi t Örneğin eğer bir ap F(t) hıı ile dolduruluorsa (bu gösterim F in sabit olmadığını amanla değiştiğini vea amanın bir fonsionu olduğunu belirtir.) dv F ani amanla v dei değişim, besleme hıı F e eşittir. Bu denlemin her ii tarafı integrallenere, denlem bir integral denlemi şelinde de gösterilebilir. v t 0 F Bunun anlamı her hangi bir t anındai v hacminin 0 amanındai hacimle 0 t aman periodundai bütün F aımının toplamı olmasıdır. Doldurulan hacim sabit bir A esitine sahipse, v AH dır. Burada H sıvı üeinin başlangıç seviesinden itibaren üseliğidir. Bu tadirde, dv da dv d ( AH ) 0 dh A dh A olduğundan, da H olur. Yani besleme hıı, sabit A esidi ile üseliğin değişim hıının çarpımına eşittir. Bu şeildei bir işlem baen denlemleri basitleştirmede ullanılır.
15 3.1. Diferensiel Model Denlemlerin Öellileri 3.1.1 Model denlemlerin boutları Sisteme bağlı olara diferensiel denlemler bir, ii vea üç boutlu eşitliler olabilir. e boutlu model: Uun ince bir çubutan esenel doğrultudai () ondüsion ve çubuğun sonundai onvesion ele alınırsa aşağıdai model denlemi aılabilir. ) ( a ha d d İi boutlu model: Hem radal hem de esenel doğrultudai sıcalı değişimlerinin ele alındığı silindiri bir çubutai ısı ondüsionu için aşağıdai model denlemi aılabilir. 0 1 r r r r Üç boutlu model:,, doğrultularındai sıcalı değişimlerinin ele alındığı didörtgen bir çubutai ısı ondüsionu için aşağıdai model denlemi aılabilir. r 0 3.1. Model Denlemlerin Hali Model denlemler sistemde amana bağlı değişim olup olmadığına göre geçiş hali vea ararlı (atışın) denlemler olabilir. Kararlı-Hal Model: Büülü ve değişenler amanla değişme. 0 Kararlı (atışın) sistem Kararsı-Hal (Geçiş hali vea dinami) Model: Büülü ve değişenler amanla değişir. t C v ρ Kararsı (atışın olmaan) sistem
16 3.1.3 Model Eşitlilerin Faı Model eşitliler te falı vea ço falı sistemler için aılabilirler. Homojen model: sistemde sadece ga vea sıvı vea atı fa varsa Heterojen model: sistemde birden fala fa varsa. Ga-sıvı-atı atali sistemleri Yalancı homojen model: heterojen sistemlerin sistemde te bir fa varmış gibi çöülmesi. 3.1.4 Diferensiel Denlemlerin Mertebesi Bir diferensiel denlemin mertebesi, bağımlı değişenin aç defa diferensiellendiğini gösterir. Bu saı anı amanda denlemi çöme için ne adar sınır oşulunun gereli olduğunu gösterir. d v Birinci mertebe (hı eşitliği) Yuarıdai örnete v bir defa diferensiellendiği için denlem birinci mertebedendir. Baen diferensiel eşitliler birden fala mertebee sahip olabilir. Örneğin, lasi ivme ve ısı ondüsionu denlemleri, d M F d q d Kütle ivme Kuvvet İinci mertebe (ısı ondüsionu eşitliği) iinci mertebe diferensiel denlemlerdir. Genellile üse mertebeli diferensiel denlemler bir seri eş amanlı ara değişenler bulunduran birinci mertebeden denlemlere arılabilir. Örneğin uarıdai durumda, ivmei hıın amanla değişimi, hıı da ualığın amanla değişimi biçimlerinde ifade edebiliri. dv d M F ve v Bir modeldei denlemleri çömede bir bilgisaar ullanıldığında denlemlerin birinci mertebe denlemler şelinde programlanması geretiği için, erine oma işlemi ugulanara üse mertebeli bir diferensiel eşitli türetmenin ararı otur. emel bağıntı, birinci mertebe bir ilişidir. Örneğin uarda tanımlanan iinci mertebe ilişi ütlenin sabit olduğu öel bir durumu gösterir. Daha temel bir ilişi,
17 d Kuvvet Momentumun değişme hıı F (Mv) Hı Ualığın değişme hıı d v Bu bağıntıların bilgisaar ile ele alınması, bu fonsionları fiisel gerçeli içinde bağlaan sebep-sonuç ilişisi olula apılabilir. Bölece hiçbirinin amanla sabit olması geremeen ve bilinen bir ütle ve uvvet ile işe başlanır. Bu bilgisaar programında hesaplama sırası aşağıdai gibidir. 1. Kuvvet integrallenere momentum bulunur.. Momentum ütlee bölünere hı hesaplanır. 3. Hı integrallenere ualı bulunur. Bu programın ürüüşü semboli olara aşağıdai şeilde verilmetedir. F M F Mv Mv v ( Mv) v M v Yuarıda gösterilen basamaların avranması oladır. Çünü uvvet momentumu, hı ualığı değiştirir. O halde analiti bir çalışmaı başarmada durumu ihni olara bu şeilde avrama en önemli fatördür. Bu sistemin genel bağıntısı, d M d F Bu şelile olaca anlaşılıp programlanama. Bu düşünce tarı analiti modellemee alaşımın temelidir. ecrübeler analiti tanım ve ifadelerin ihni olara avranmasının ararsı olduğunu göstermetedir. Bundan dolaı güç ve omples tanımların daha ola anlaşılır ve programlanabilir ısımlara bölünmesi ararlıdır. 3.1.5 Diferensiel Denlemlerin ipi Adi Diferensiel Denlemler (ODE): ürevlerin sadece te bir bağımsı değişene göre alındığı denlemlerdir. d d h( a) ""dei değişim sadece "" e bağlı f() Kısmi Diferensiel Denlemler (PDE): ürevlerin birden fala bağımsı değişene alındığı denlemlerdir. Diferensiel denlemlerin büü ve önemli bir ısmında birden fala bağımsı değişene göre alınmış türev terimleri bulunur.
18 δ t ""dei değişim ", ve t " amanına bağlı f(,, t) Aşağıda verilen ii örne adi ve ısmi diferensiel denlemler arasındai farı göstermetedir. ÖRNEK.1. Birim amanda Q birim ısı veren bir dalgıç ısıtıcı ile ısıtılan bir tantai ço ii arıştırılan sıvı için, d ( wc ) Q w, aışan ütlesi; c, ısı apasitesi;, sıcalıtır. Ço ii arıştırma sonucu aışanın her notasında sıcalı anıdır. Bu durumda üerinde durulaca sadece bir sıcalı vardır. Sadece bir bağımsı değişeni olan basit diferensiel denlem eterlidir. ÖRNEK. Bir tarafından ısıtılan, diğer bütün tarafları iole edilmiş atı bir çubu ile ilgili geçiş durumu ısmi bir diferensiel denlem ortaa çıarır. Sıcalı, aman ve ualığı birbirine bağlaan eşitli şöledir. t Bu eşitli, sıcalığı hem t amanının hem de ualığının bir fonsionu olara tanımlamatadır. Yani belli bir amanda sıcalı ualığı ile değişir vea belli bir değerinde sıcalı t amanı ile değişir. Bu denlem değişenler arasındai ilişii tam ve doğru olara ifade etmele beraber fiisel gerçeler açısından avranması ordur. Bu nedenle bu tür problemlere alaşım sınırlı farlar alaşımı ullanılması olula ugulanan pragmati bir alaşımdır. Bölece fiisel sistemin alaşı faat anlaşılabilir adi diferensiel eşitlilere göre diret olara tanımlanması gerçeleşebilmetedir.
19 3.. Sınır Koşulları Q V dv Q V 0 am tanımlanmış bir diferensiel denlem sınır şartları için saısal değerler içerir. Yuarıda ele alınan tantai sıvı hacmi için verilen eşitliği örne olara alalım. Eşitli her hangi bir amandai V hacmini tanımlar. Faat t0 amanındai V 0 başlangıç hacmi de belirtilmelidir. Bu başlangıç hacmi bir sınır şartı olara tanımlanır. Diferensiel eşitliğin çöülmesi için bu durum için bir değer verilmelidir. Biraç diferensiel denlem bulunduran bu matematisel modelle temsil edilen herhangi bir sistemde endileri için türev terimlerinindenlemlerde er aldığı bütün değişenler için bağımsı değişenin belli değerlerine arşılı gelen bağımlı değişenlerin değerleri verilmelidir. Örneğin aşağıdai eş amanlı denlemler X, Y ve Z değişenlerini tanımlıorsa, dy X Y 3Z dz Y Z X X 5Z Y 6 bağımsı değişen t nin belli bir değeri için Y ve Z değerleri gereir. Son eşitli cebirsel olduğundan X endiliğinden tanımlanmış olmatadır. Çoğunlula bağımlı değişenlerin sınır değerleri, bağımsı değişenin başlangıç değeri için belirtilir ve başlangıç şartları olara adlandırılır. Bununla beraber, bunlar nadiren bağımsı değişenin farlı değerleri için belirtilir ve bölünmüş sınır değeri problemi olara adlandırılır. Denlemlerin üse mertebeli diferensieller içermesi durumunda denlemin mertebesine arşılı gelen sınır değerleri gereir. Örneğin, d 3 denleminde t0 için 0 ve (d/) 0 başlangıç değerleri gereir.
0 4. GENEL KÜLE İLEİMİ MODEL DENKLEMLERİ Konsantrason değişimlerinin önemli olduğu, sabit hacimde ürüen bir reasion sistemi, bir difüonla aış sistemi, bir ığın aışı sistemi vb. gibi erlerde ütle dengesi urulması geremetedir. Kütle iletimi model denlemlerinin nasıl aılacağını ii farlı durum için ele alalım. Durum 1: Didörtgen oordinatlar için düenlenen bir ütle iletimi modeli, aşağıda gösterilen sistem diliminden aan "A" maddesinin geçiş durumu onsantrason dağılımını verir: Molar Aı N A Denge bölgesi olara seçilen Diferensiel hacim ( ) Adım 1: Kontrol hacmi seçimi (sistemin bir dilimi) N N Adım : Sistemdei taşınım parametrelerinin belirtilmesi N A A maddesinin Molar Aısı, F A A maddesinin Molar Aış Hıı F mol mol [ m s m s A N A AC ] N A[ ] A [ ] C Kütle taşınımı model denlemleri hem ütlee hem de molar aıa göre türetilebilir. Burada, N A molar aı için ullanılan terimdir. C A molar onsantrason, r A hacimsel reasion hıı,