T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BİHARMONİK EĞRİLER

Transkript

1 .C. BALIKESİR ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ MAEMAİK ANABİLİM DALI BİHARMONİK EĞRİLER YÜKSEK LİSANS EZİ ESİN KESEN BALIKESİR, OCAK - 03

2 .C. BALIKESİR ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ MAEMAİK ANABİLİM DALI BİHARMONİK EĞRİLER YÜKSEK LİSANS EZİ ESİN KESEN BALIKESİR, OCAK - 03

3

4 ÖZE BİHARMONİK EĞRİLER YÜKSEK LİSANS EZİ ESİN KESEN BALIKESİR ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ MAEMAİK ANABİLİM DALI (EZ DANIŞMANI: PROF. DR. CİHAN ÖZGÜR) BALIKESİR, OCAK - 03 Bu çalışmada Sasakian uzay formlarda Legendre ve Legendre olmayan eğrilerin biharmonik olması için gerekli ve yeterli şartlar belirlenmiştir. Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölümde, çalışmanın sonraki bölümlerinde kullanılan temel tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde bir Sasakian uzay formunda tanımlı Legendre bir eğrinin biharmonik olma koşulları incelenmiştir. Biharmonik Legendre eğrileri sınıflandırılmıştır. Son bölüm olan dördüncü bölümde bir Sasakian uzay formunda tanjant vektör alanı ve karakteristik vektör alanı arasındaki açısı sabit olan biharmonik Legendre olmayan eğriler sınıflandırılmıştır. ANAHAR KELİMELER: biharmonik eğri, has biharmonik eğri, Sasakian uzay form, Legendre eğri, Legendre olmayan eğri. i

5 ABSRAC BIHARMONIC CURVES MSC HESIS ESIN KESEN BALIKESIR UNIVERSIY INSIUE OF SCIENCE MAHEMAICS (SUPERVISOR: PROF. DR. CİHAN ÖZGÜR ) BALIKESİR, JANUARY 03 In this thesis, the necessary conditions for a Legendre or non-legendre curve in a Sasakian space to be biharmonic curve are found. his thesis consists of four chapters. he first chapter is introduction. In the second chapter the necessary notions and definitions which we use in the next sections are given. In the third chapter we investigate the necessary conditions for a Legendre curve in a Sasakian space form to be biharmonic. We classify biharmonic Legendre curves. In the final chapter, we classify non-legendre curves in a Sasakian space form which the angle between tangent vector field and characteristic vector field is constant. KEYWORDS: biharmonic curve, proper biharmonic curve, Sasakian space form, Legendre curve, non-legendre curve. ii

6 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZE... i ABSRAC... ii İÇİNDEKİLER... iii SEMBOL LİSESİ... iv ÖNSÖZ... v. GİRİŞ.... EMEL KAVRAMLAR.... Riemann Manifoldları.... Değme Manifoldlar SASAKİAN UZAY FORMLARDA BİHARMONİK LEGENDRE EĞRİLER SASAKİAN UZAY FORMLARDA LEGENDRE OLMAYAN BİHARMONİK EĞRİLER SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR... 5 iii

7 SEMBOL LİSESİ M : Manifold g : Metrik ensörü : (,) ensör Alanı : Karakteristik Vektör Alanı : Değme Yapı, : Lie Parantez Operatörü M p : pm noktasındaki tanjant uzay ( M) : Vektör Alanları Uzayı : Levi-Civita Koneksiyonu : Laplas Operatörü R : Sasakian Eğrilik ensörü n : Eğrilik : Diferansiyellenebilir ve birim hızlı eğri : anjant Vektör Alanı iv

8 ÖNSÖZ Bu çalışmada, bir Sasakian uzay formunda biharmonik Legendre ve Legendre olmayan eğriler ile ilgili literatürde yapılmış olan çalışmalar incelenmiştir. ez çalışmamın her aşamasında, çok değerli bilgi ve deneyimleri ile bana yol gösteren, ilgi ve anlayışını eksik etmeyen tez danışmanım Sayın Prof. Dr. Cihan ÖZGÜR e ve her türlü yardımlarıyla yanımda olan Sayın Araş. Gör. Şaban GÜVENÇ e teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca hayatım ve eğitimim boyunca maddi manevi hiçbir fedakarlıktan çekinmeyen her durumda yanımda olan ve beni destekleyen aileme sonsuz teşekkürü bir borç bilirim. v

9 . GİRİŞ 964 yılında J. Eells ve J. H. Sampson poly-harmonik dönüşüm kavramını harmonik dönüşümlerin doğal bir genelleştirmesi olarak tanıtmıştır. :( M, g) ( N, h) Riemann manifoldları arasındaki harmonik dönüşüm E( ) d vg enerji fonksiyonelinin kritik noktası iken, biharmonik dönüşüm M E ( ) ( ) vg bienerji fonksiyonelinin kritik noktası olarak tanımlanmıştır M 5. Diğer taraftan, Laplas operatörünü, H da ortalama eğrilik vektör alanını göstermek üzere B. Y. Chen H=0 şartını sağlayan altmanifoldları biharmonik olarak tanımlamıştır 7. Fakat iki kavram tamamen birbirinden farklıdır. ( ) iz d olmak üzere enerji foksiyoneli için Euler-Lagrange denklemi ( ) 0 olarak tanımlanmıştır. Bienerji fonksiyoneli için Euler- Lagrange denklemi G.Y. Jiang tarafından türetilmiş olup ( ) ( ) N (, ( )) 0 izr d d biçiminde verilir 6. Her harmonik dönüşüm biharmoniktir. Fakat tersi doğru değildir. Bu çalışmada has biharmonik olarak adlandıracağımız harmonik olmayan biharmonik dönüşümler düşünülecektir. 3 nolu çalışmada bir Sasakian uzay formunun biharmonik Legendre eğrileri incelenmiştir. 6 nolu çalışmada ise tanjant vektör alanı ile karakteristik vektör alanı arasındaki açı sabit olan biharmonik Legendre olmayan eğriler incelenmiştir. Bu tezde 3 ve 6 nolu çalışmalarda elde edilen sonuçların ispatları ayrıntılı olarak verilmiş ve konuyla ilgili derleme yapılmıştır.

10 . EMEL KAVRAMLAR Bu bölümde diğer bölümlerde kullanılacak olan bazı temel tanımlar ve kavramlar verilecektir.. Riemann Manifoldları.. anım M bir diferansiyellenebilir ( C ) manifold olsun. M üzerinde pozitif, simetrik ve -lineer bir g metriği var ise M ye bir Riemann manifoldu adı verilir ve ( M, g ) şeklinde gösterilir []... anım M n-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold ve M üzerindeki C vektör alanlarının uzayı ( M ) olmak üzere; dönüşümü; lineer : ( M ) ( M ) ( M ) X, Y ( X, Y) Y i) ( Y Z) Y Z ; X, Y, Z ( M) X X X ii) Z f Z g Z ; X, Y, Z ( M) f, g C ( M, ) fx gy X Y iii) ( fy) f Y X ( f ) Y; X, Y, Z ( M) f C ( M, ) X X özelliklerini sağlıyor ise ya M üzerinde bir Afin Koneksiyon adı verilir., M üzerinde tanımlanan bir afin koneksiyonu olmak üzere; Y X X, Y ; X, Y ( M ), i) X Y ii) Xg( Y, Z) g( Y, Z) g( Y, Z); X, Y, Z ( M ) X X X şartlarını sağladığında ya M üzerinde sıfır torsiyonlu Riemann Koneksiyon veya M nin Levi-Civita Koneksiyonu adı verilir [].

11 ..3 anım (M, g) bir Riemann manifoldu, da M üzerindeki Levi-Civita koneksiyonu olsun. M M M M R: R( X,Y )Z Z Z X Y Y X X,Y Z (.) ile tanımlanan R fonksiyonu M üzerinde bir (, 3)-tensör alanıdır ve M nin Riemann eğrilik tensörü olarak adlandırılır. Ayrıca R(X, Y, Z, W) = g(r(x, Y)Z,W) tensörüne M nin Riemann-Christoffel eğrilik tensörü adı verilir anım (M, g) bir Riemann manifoldu olsun. Mtanjant p uzayının iki boyutlu alt uzayı olmak üzere V, W tanjant vektörleri için Q alan fonksiyonu; Q( V, W) g( V, V) g( W, W) g( V, W) biçiminde tanımlansın. Q( V, W) 0 olmak üzere; K( V, W ) g( R( V, W ) W, V ) Q( V, W ) ye nin kesitsel eğriliği denir ve K() ile gösterilir [3]...5 anım ( M, g ) n -boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. M nin eğrilik tensörü, c sabit olmak üzere X, Y, Z, W ( M ) için;,,,,,,, R X Y Z W c g Y Z g X W g X Z g Y W n biçiminde ise M ye sabit eğrilikli uzay adı verilir ve M () c ile gösterilir. Sabit eğrilikli, tam, bağlantılı manifoldlara ise uzay form denir. Eğer; n c 0 ise M () c E n Öklid uzayı, c ise n n M ( c) S ( r) küresi, r c ise n n M ( c) H ( r) Hiperbolik uzay r 3

12 dır anım M bir Riemann manifoldu, M üzerindeki vektör alanlarının uzayı ( M ) ve C - sınıfından fonksiyonların cümlesi C ( M, ) olmak üzere, grad : C ( M, ) ( M ) f grad( f ) n f x x i i i olarak tanımlanan fonksiyona f fonksiyonun gradienti denir. Ayrıca div : ( M ) C ( M, ) X div( X ) dönüşümünde X n i f i x i alınırsa, div( X ) n i fi x i bir gösterim olmak üzere div( X ), X şeklinde tanımlı fonksiyona divergens fonksiyonu denir...7 anım M bir Riemann manifoldu ve f, M üzerinde diferensiyellenebilir bir fonksiyon olsun. M üzerindeki Laplas operatörü, şeklinde tanımlanır []. f div(grad f) 4

13 ..8 anım (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldu olsun. :( M, g) ( N, h) dönüşümünün bienerji fonksiyoneli, E( ) ( ) g (.) M ile tanımlanır. Eğer, E nin bir kritik noktası ise, ye biharmonik dönüşüm denir anım (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldu olsun. :( M, g) ( N, h) dönüşümünün enerji fonksiyoneli, E( ) d g (.3) M denklemi ile tanımlanır. Eğer, E nin bir kritik noktası ise ye harmonik dönüşüm adı verilir 5. ( ) iz d olarak tanımlansın. Enerji fonksiyoneli için Euler-Lagrange denklemi =0 ( ) dır. Bienerji fonksiyoneli için Euler- Lagrange denklemi ise ( ) ( ) N (, ( )) 0 izr d d ile verilir. Yani : I M eğrisi verildiğinde ( ) 0 ise eğrisine biharmonik eğri denir. Geodezik olmayan biharmonik eğriye ise has biharmonik eğri adı verilir anım M n-boyutlu bir C manifold ve : I M olsun. Eğer nın yüksek mertebeden türevleri bir birim hızlı eğri 5

14 ( r) ( s), ( s), ( s),..., ( s) lineer bağımsız ve ( ) ( ) ( ), ( ), ( ),..., r r s s s ( s), ( s) s I için lineer bağımlı ise ya oskülatör mertebesi r olan bir Frenet eğrisi denir. r. mertebeden her Frenet eğrisi için boyunca ( s) E ( s) olmak üzere bir E, E E3,... E r ortonormal çatısı bulunabilir. Bu çatıya Frenet çatısı denir ve,,,..., : I ( r ) fonksiyonları Frenet eğrilikleri olmak üzere 3 r aşağıdaki şekilde tanımlanır: E E E E E E 3 (.4) Er r Er burada, M de Levi-Civita koneksiyonudur 7... anım M n-boyutlu bir C manifold ve : I M bir Frenet eğrisi olsun. Eğer, i) eğrisinin oskülatör mertebesi ve 0 ise eğrisine geodezik, çember, ii) eğrisinin oskülatör mertebesi, 0 sabit ve 0 ise eğrisine iii) eğrisinin oskülatör mertebesi r ve,, 3,..., r Frenet eğrilikleri sabit ise eğrisine r. mertebeden helis denir. 3. mertebeden bir helise kısaca helis adı verilir. 6

15 . Değme Manifoldlar.. anım M, (n +)-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold olsun. M üzerinde her yerde; n ( d) 0 olacak şekilde bir -diferensiyel -formu var ise ya değme form, ( M, ) ikilisine de değme manifold adı verilir. Burada ( d ) n ile d nın kendisiyle n. mertebeden dış çarpımı gösterilmiştir. Yani; dir8. ( d ) n = d d d ndefa.. anım M, (n+)-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold olsun. (,)-tipinden bir tensör alanı, bir vektör alanı, da M üzerinde bir diferensiyel -form olmak üzere, X (M) için,, üçlüsü; lineer : χ(m) χ(m) dif.bilir : χ(m) C (M, R ) ve X X X (.5) koşullarını sağlıyor ise bu üçlüye bir hemen hemen değme yapı, M,,, dörtlüsüne de bir hemen hemen değme manifold adı verilir anım M, (n+)-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold olsun. M üzerinde bir diferensiyel -form olmak üzere, 7

16 D M C M X X M (.6) dif. bilir : ( ) (, ), ( ) 0, ( ) lineer cümlesine bir değme distribüsyon denir anım M hemen hemen değme manifoldu üzerinde X için, olacak biçimde bir tek M karakteristik vektör alanı denir 8. ve d X, 0 vektör alanı var ise, ye -değme yapısının..5 Örnek 3 deki standart koordinatlar ( x, y, z) ( x, x, x3), a 0 olmak üzere, kontak -formu ( dz ydx), a ( M ) a z ve : ( M) ( M) lineer dönüşümüne 3 ün standart bazına karşılık gelen matris de y 0 3 olsun. (,,, ) dörtlüsü bir hemen hemen değme manifolddur. Gerçekten ( ) dz ydx a a z dz ydx z z 8

17 dır. Burada dz z ve dx z =0 olmak üzere ( ) olarak bulunur. Böylece ilk koşul sağlanmış olur. Diğer taraftan X x x x3 ( M ) x y z olmak üzere, ( X ) dz ydxx x x3 a x y z dz x x x3 ydx x x x3 a x y z x y z 3 bulunur. X ( M) in matris formu a dır ve ( X ) x yx X x x x 3 olmak üzere x ( X ) ( ( X )) x 0 y 0 0 y 0 x x ( X) 0 0 x y 0 0 x x x 0 0 y 0 x 3 0 I3( X) 0 yx 3 x 0 X ( x3 yx) 0 0 X ( x 3 yx ) 0 a a 9

18 0 dir. ( M ) nin matrissel formu 0 a ( ) ( ) olup a ve X x3 yx ( X ) X ( X ) elde edilir. Dolayısıyla anım.. deki koşullar sağlanır ve bir hemen hemen değme manifold olur. 3 (,,, ) dörtlüsü..6 eorem (n+)-boyutlu M hemen hemen değme manifoldu üzerinde, X, M, X vektör alanları ve : M lineer M için, 0 0 rank n eşitlikleri sağlanır anım (n+)-boyutlu M hemen hemen değme manifoldu üzerinde, X, Y (M) ve (M) için; ve X g X, (.7),, g X Y g X Y X Y (.8) koşullarını sağlayan bir g metriği var ise;,,, g dörtlüsüne bir hemen hemen değme metrik yapı, M,,,, g beşlisine de bir hemen hemen değme metrik manifold adı verilir eorem (n+)-boyutlu M hemen hemen değme manifoldu üzerinde X, Y (M) için,,, g X Y g X Y X Y 0

19 olacak şekilde bir g Riemann metriği daima vardır Sonuç (n+)-boyutlu M hemen hemen değme metrik manifoldu verilmiş olsun. X, Y (M) için,,, g X Y g X Y (.9) dir. Bu da, nin g ye göre anti-simetrik bir tensör alanı olduğunu gösterir eorem (n+)-boyutlu M hemen hemen değme manifoldu verilmiş olsun. M üzerinde bir değme yapısı verildiğinde, X, Y (M) için, lineer : M M,, g X Y d X Y olacak şekilde bir,,, g hemen hemen değme metrik yapısı vardır 9... anım (n+)-boyutlu M hemen hemen değme metrik manifoldu için; g( X, Y) d( X, Y) yazılabiliyor ise,,,g ye değme metrik yapı, M,,,, gye de değme metrik manifold adı verilir. Her değme metrik manifold aynı zamanda bir değme manifolddur 9... anım M diferensiyellenebilir bir manifold olmak üzere, M üzerinde (,)-tipinde bir tensör alanı olsun. X, Y ( M) için, N X Y X Y X Y X Y X Y (, ) [, ] [, ] [, ] [, ]

20 şeklinde tanımlı N tensör alanına tensör alanının Nijenhuis torsiyon tensörü adı verilir. Eğer nin Nijenhuis torsiyon tensörü sıfır ise,, yapısına normal denir. Yukarıda verilen normallik tanımı olmasına denktir 8. X Y d X Y,,, 0..3 anım (n+)-boyutlu bir M,,,, g değme metrik manifoldu olsun. Eğer M nin değme metrik yapısı normal ise,,, g yapısına Sasakian yapı (veya normal değme metrik yapı) ve M,,,, g ye de Sasakian manifold (veya normal değme metrik manifold) denir eorem Bir,,, g hemen hemen değme metrik yapısının Sasakian olması için gerek ve yeter şart (, ) ( ) olmasıdır. Burada ( Y) ( ) Y Y X Y g X Y Y X (.0) dır X X X 9. Sasakian bir manifold için X (.) X dir 4. distribüsyonu..5 anım Bir M,,,, g Sasakian manifoldunun değme ( X ) 0, X ( M ) ile tanımlanır ve bu değme yapının bir integral eğrisine Legendre eğrisi denir 3.

21 ..6 anım M,,,, g bir Sasakian manifold olsun. Mtanjant p uzayında ya dik bir X birim vektörü X, X ortonormal olacak şekilde var ise X, X düzlemine Mnin p - kesitseli denir. K( X, X ) g( R( X, X ) X, X ) şeklinde tanımlanan K( X, X ) e M nin -kesitsel eğriliği denir9...7 anım M bir Sasakian manifold olsun. M nin -kesitsel eğriliği bir c sabitine eşit ise M bir Sasakian uzay form olarak adlandırılır ve Mc () şeklinde gösterilir4...8 eorem Mc () Sasakian uzay formunun R eğrilik tensörü X, Y, Z ( M) için, dir 9. c 3 c R( X, Y) Z g( Z, Y) X g( Z, X ) Y Z X Y 4 4 Z Y X g Z, X Y g Z, Y X,,, g Z Y X g Z X Y g X Y Z (.) 3

22 3. SASAKİAN UZAY FORMLARDA BİHARMONİK LEGENDRE EĞRİLER Bu bölümde (n+)-boyutlu -kesitsel eğriliği bir c sabitine eşit olan M,,,, g Sasakian uzay formunun Legendre eğrilerinin biharmonik olma koşulları incelenecektir. : I M oskülatör mertebesi r olan, geodezik olmayan bir Legendre Frenet eğrisi olsun. nın biharmonik denklemi ( ) 3 (, ) 0 R dır3. Bu eğri için (.4) eşitlikleri yardımıyla, E E E ( ) ( E ) E ( E ) E E E 3 ( ) ( E E E ) 3 E E E E ( ) E E 3 3 ( 3 ) E ( ) E ( ) E E (3.) elde edilir ve (.) denkleminden R(, ) R(, E ) R(, E ) c3 c g(, E ) g(, ) E ( ) ( ) E 4 4 ( ) ( E ) g(, ) ( E ) g(, E ) ( ) g E g E g E (, ) (, ) (, ) (3.) 4

23 bulunur. Burada E, E, E3... Er ortonormal Frenet çatısı olduğu için g(, E ) =0 dir. Legendre eğrisi olduğu için anım..5 gereği ( ) 0 ve (.7) eşitliğini kullanarak ( ) 0 g(, ) (3.3) yazılır. (3.3) ifadesinin türevi alınır ve (.4), (.9), (.) kullanırsa g(, ) g(, ) 0, g( E, ) g(, ) 0, ge (, ) 0 elde edilir. geodezik olmayan Legendre eğrisi olduğundan g( E, ) ( E ) 0 (3.4) dır. Böylece (3.) denklemi kısaca c3 c R(, ) E 3 g(, E) 4 4 ( c3) 3( c) E g( E, ) (3.5) 4 4 olarak yazılabilir. ( ) biharmonik eğri denklemi (3.) ve (3.5) eşitliklerinden 3 ( c 3) ( ) ( 3 ) E E E3 4 3( c ) 3E4 g( E, ) 0 (3.6) 4 5

24 olarak hesaplanır. Eşitlik (3.6) gereği eğer katsayısı sıfırdan farklı ise, E, E, E3, E4 ün lineer birleşimi olarak yazılabilir. Aksi takdirde ile ilgili özel koşullar koymaya gerek yoktur. Öncelikle nin katsayısının sıfır olması durumları Durum ve Durum de, daha sonra için ek koşullar koyarak Durum 3 ve Durum 4 te ele alınacaktır.. Durum: c olsun. ve yeter şart 3. eorem c olmak üzere eğrisinin has biharmonik olması için gerek sabit 0, sabit, (3.7) (3.8), olmasıdır (3.9) İspat: has biharmonik eğri olsun. Bu durumda ( ) 0 dır. c olduğu için (3.6) denklemi 3 E ( ) 3 ( ) E ( ) E E (3.0) biçimine dönüşür. Böylece 0 (3.) 3 0 (3.) 0 (3.3) 3 0 (3.4) 6

25 yazılabilir. Buradan geodezik olmadığından (3.) denklemi gereği 0 yani sabit 0 dır. 0 0 ise (3.) denkleminden (3.3) denkleminden, yani sabit, (3.4) denkleminden 3 0 olarak bulunur. ersine sabit 0, sabit,, 3 0 olsun. Bu eşitlikler (3.0) denkleminde kullanıldığında ( ) 0 elde edilir. Böylece anım..8 gereği eğrisi has biharmoniktir. 3. Sonuç, n ve c olacak biçimde bir Legendre Frenet eğrisi olsun. nın has biharmonik eğri olması için gerek ve şart nın eğrilikli bir çember veya eğrilikleri arasında 3. bağıntısı bulunan bir helis olmasıdır İspat: has biharmonik eğri olsun. eorem 3. gereği eğrisi (3.7), (3.8), (3.9) denklemlerini sağlar. (3.9) gereği 0 veya 3 0 dır. İlk olarak 0 durumu incelenirse (3.8) gereği olur. Böylece anım..0 gereği bir çemberdir. 0 olsun. Bu durumda 3 0 olur. (3.7) gereği ve pozitif sabitler ve 3 0 olduğundan anım..0 gereği bir helistir. Ayrıca dır. ersine, olan bir çember veya olan bir helis olsun. ( ) 0 olacağı kolayca gösterilebilir. Böylece anım..8 gereği has biharmoniktir. 7

26 3.3 Uyarı eorem 3. n durumunda geçersizdir. n ve geodezik olmayan Legendre eğrisi olmak üzere,, nın Frenet çatı alanıdır. Bu durumda dır 5. (.4) Frenet denklemlerinden E, E E 3, E (3.5) ve (.0) eşitliği kullanılarak ( ) ( ) g(, ) ( ) ( ) (3.6) bulunur. Legendre eğri oldugu için anım..5 gereği ( ) 0 dır. Böylece (.5) eşitliğinden dolayı (3.6) eşitliği, (3.7) ( ) olarak bulunur. (3.5) ve (3.7) denklemlerinden, elde edilir. Ayrıca 0 olduğundan dır ve eorem 3. gereği eğrisi biharmonik olamaz 3. 8

27 eğrisi ve E 3.3 Yardımcı eorem oskülatör mertebesi 3 olan bir Legendre Frenet olsun. Bu takdirde E, E, E3,,, lineer bağımsızdır ve böylece n 3 tür 3. İspat: oskülatör mertebesi 3 olan bir Legendre Frenet eğrisi ve E olsun. anım..9 gereği E, E, E 3 lineer bağımsız ve E, E E, E E E, 3 E E 3 dır. S E, E, E3,,, sisteminin elemanları sıfır olmayan vektörlerdir. E 3 S E, E, E, kümesinin lineer bağımsız olduğunu gösterelim: (.9) eşitliğinden g(, ) 0 olur. Böylece dir. Kabul gereği olup g(, E) 0 dır ve bu eşitliğin türevi alınırsa, g(, E ) g(, E ) 0 (3.8) dır. Burada eorem..4 gereği, ) + ( ) =g(,) -( ) ( E ) = + E dır. Böylece (3.8) eşitliği, 9

28 g(, E ) g( E,E ) g(,e ) g(,e ) 0 3 biçimine dönüşür. (.9) ve (3.4) denklemleri kullanılarak g(, E3) 0 olur, yani E3 dır. Böylece S lineer bağımsızdır. 3 3 S E, E, E,, kümesinin lineer bağımsız olduğunu gösterelim: eğrisi bir Legendre eğrisi olduğundan ( ) 0 yani g (, ) 0 dır. Böylece dır. (3.4) denkleminden E dir. (3.4) denkleminin türevi alınırsa bulunur. g(, ) ( ) ( )( ) ve eorem..6 gereği olur. E 3 Son olarak S E E E,,,,, kümesini inceleyelim: 3 yerine + E yazılırsa, g(, E ) g(, ) g(, E ) g(, ) g( E, ) olur. Burada Legendre eğri ve E olduğundan g(, ) 0 yani dır. g( E, ) 0 olduğundan bu ifadenin türevi alınırsa, g( E, ) g( E, ) 0 g( E, ) g( E, ) g( E, ) 0 3 dır. Burada E3 ve antisimetrik olduğundan g( E, ) 0 yani E olarak bulunur. Yine E3 olduğundan g(, E3) 0 eşitliğinin türevi alındığında E elde edilir. g(, ) için yerine + E yazılırsa, 3 g(, E ) g(, ) g(, E ) olur ve (.8) eşitliği gereği, g(, E ) g(, ) ( g(, E ) ( Τ) ( )) biçimine dönüşür. Burada dır. ve Legendre olduğundan g(, ) = 0 yani 0

29 Şimdi ve nın lineer bağımlı olduklarını kabul edelim. Böylece f olacak şekilde f C ( M, ) vardır. yerine E yazılırsa, f (3.9) E, ( f ) g(, ) g( E, ) (3.0) elde edilir. (3.0) denkleminde (.7) eşitliği ve eorem..6 kullanılırsa f bulunur. Bu durumda (3.9) denklemi E olarak yazılırsa 0 elde edilir ki, eğrisinin geodezik olmaması ile çelişir. Böylece ve lineer bağımsızdır. Bu durumda S sistemi lineer bağımsızdır ve n 3 tür.. Durum: c ve E olsun. 3.4 eorem c ve E olsun. Legendre eğrisinin has biharmonik eğri olması için gerek ve yeter şart sabit 0, sabit, (3.) 3 c, (3.) 4 olmasıdır (3.3) İspat: has biharmonik bir Legendre eğrisi olsun. g( E, ) 0 olduğundan (3.6) eşitliğinin son kısmı sıfıra eşittir. Böylece (3.6) denkleminden, 0 3 c 3 0, 4 0, 3 0

30 elde edilir. has biharmonik eğri olduğundan ilk eşitlikten 0 sabit 0 olur. Buna göre denklem sistemi sırasıyla çözüldüğünde c 3, sabit, 3 0 bulunur. 4 ersine sabit 0, sabit, c 3 0 3, 4 şartlarını sağlayan bir eğrisi (3.6) eşitliğini gerçekler. Böylece anım..8 yani gereği eğrisi has biharmoniktir. 3.5 Sonuç: c ve E olsun. olmasıdır. i) Eğer c 3 ise nın biharmonik olması için gerek ve şart nın geodezik ii) Eğer c 3 ise nın has biharmonik olması için gerek ve yeter şart a) n ve, E, E,,, lineer bağımsızdır. veya c 3 eğrilikli bir çember olmasıdır ki bu durumda 4 b) n 3 ve, eğrilikleri arasında c 3 bağıntısı olan bir helis 4 olmasıdır ki bu durumda E, E, E3,,, İspat: c ve E olsun. lineer bağımsızdır 3. i) biharmonik eğri olsun. Böylece ( ) 0 eşitliğini sağlar. E olarak verildiğinden g( E, ) 0 dır. Böylece (3.6) eşitliği

31 3 c 3 ( ) 3 E ( ) E E3 3E4 0 4 biçimine dönüşür. E in katsayısı olan 0 eşitliğinden 0 veya 0 dır. 0 ise nın geodezik olduğu açıktır. 0 ise 0 olur ve integral alındığında pozitif sabiti elde edilir. Bu durumda c 3 olduğundan elde edilir. Böylece 0 c 3 0 çelişkisi 4 dır ve anım..0 gereği bir geodeziktir. ersine geodezik eğri ve c 3 olsun. anım..0 gereği 0 dır. Böylece ( ) 0 eşitliğinin sağlandığı kolayca görülür. ii) c 3 olmak üzere has biharmonik olsun. eorem 3.4 gereği (3.), (3.), (3.3) denklemlerini sağlar. (3.3) gereği 0 veya 3 0 dır. a) n olmak üzere 0 ise (3.) eşitliği gereği c 3 olur. Böylece 4 anım..0 gereği bir çemberdir ve Yardımcı eorem 3.3 yardımıyla E, E,,, sisteminin lineer bağımsızlığı açıktır. b) n 3 olmak üzere 0 ise 3 0 olur. (3.) gereği ve pozitif sabitler ve 3 0 olduğundan anım..0 gereği bir helistir. Ayrıca eorem3.4 gereği c 3 dır. Yardımcı eorem 3.3 gereği 4 E, E, E3,,, sistemi lineer bağımsızdır. ersine (i) ve (ii) koşullarını sağlayan eğrisi için ( ) 0 has biharmonik şartının sağlandığı açıktır. 3. Durum: c ve E olsun. 3.6 eorem c ve E olsun. Legendre eğrisinin has biharmonik olması için gerek ve yeter şart 3

32 sabit 0, sabit, c, 3 0 olmasıdır 3. İspat: c ve E olsun. bir has biharmonik Legendre eğri olsun. Buradan g(, ) g(, ) ( ) ( ) ve E birim vektörü için g( E, ) olur. E olsun. Böylece (3.6) eşitliği 3 ( ) ( 3 ) E c E E E biçimine dönüşür. Son denklemden 0, 3 c 0, 0, 3 0 yazılabilir. Denklem sistemindeki ilk eşitlikten has biharmonik olduğundan 0 yani sabit 0 dır. 0 sabiti için diğer eşitlikler çözüldüğünde sırasıyla c sabit ve 3 0 elde edilir., ersine sabit 0, sabit, c, 3 0 4

33 şartları (3.6) eşitliğinde kullanılır ve E olarak seçilirse ( ) 0 elde edilir. Böylece anım..8 gereği eğrisi has biharmoniktir. dir. Ayrıca, 3.7 Sonuç Eğer c ve E ise eğrisinin Frenet çatı alanı,, i) Eğer c ise eğrisinin biharmonik olması için gerek ve yeter şart nın geodezik olmasıdır. ii) Eğer c ise eğrisinin has biharmonik olması için gerek ve yeter şart nın eğrilikleri c (ve =) olan bir helis olmasıdır 3. İspat: c olmak üzere, M n () c Sasakian uzay formunda birim hızlı bir Legendre eğrisi üzerindeki Frenet çatı alanının,, olduğunu gösterelim. Öncelikle Legendre eğri olduğundan bulunur. birim hızlı eğri olduğundan dir. (3.4) ve (.8) eşitliklerinden g g, 0 (3.4) g,, g, g, g(, ) elde edilir. karakteristik vektör alanı olduğundan (.7) ve anım..4 gereği sonucuna ulaşılır. Böylece, g, ve vektör alanları birimdir. Bu vektör alanlarının ikişer ikişer ortogonal olduğunu gösterelim. anti-simetrik bir tensör alanı olduğundan (.9) eşitliği kullanılarak g, g(, ) 0 bulunur. Ayrıca Legendre eğri olduğundan (.7) eşitliği gereği 5

34 g, ( ) 0 dır. Son olarak eorem..6 ve (.9) eşitliği birlikte düşünüldüğünde g(, ) g, g(, ) 0 bulunur. Böylece,, kümesi ortonormal bir kümedir ve Legendre eğrisinin Frenet çatı alanını oluşturur. Ayrıca E için g(, ) olduğundan E olsun. (.5) denklemi kullanılarak E E yani E (3.5) elde edilir. (.4), (3.7), (3.5) birlikte kullanılırsa E E, E E E (3.6), 3 E E E E (3.7) yazılabilir. Böylece (3.6) eşitliğinden ve E3 olarak düşünülebilir. Bu durumda (3.7) eşitliğinden 3 0 elde edilir. i) biharmonik eğri olsun. Böylce ( ) 0 şartını sağlar. Ayrıca olarak bulunduğundan eorem 3.6 gereği c olur ve c için 0 dır. Böylece anım..0 gereği eğrisi bir geodeziktir. ersine geodezik eğri ve c olsun. anım..0 gereği 0 dır. Böylece ( ) 0 eşitliğinin sağlandığı açıktır. 6

35 ii) c ve eğrisi has biharmonik olsun. eorem 3.6 gereği sabit 0 ve olduğundan elde edilir. Ayrıca 3 0 c edildiğinden anım..0 gereği eğrisi bir helistir. elde ersine c ve eğrisi (ve c =) eğrilikli bir helis olsun. eorem 3.6 gereği ( ) 0 eşitliğinin sağlandığı açıktır. 4.Durum: c ve ge (, ),0, olsun. t parametresiyle parametrelendirilmiş, eğrisi boyunca diferansiyellenebilir bir f fonksiyonu f : I C ( M, ) t f ( t) g( E, ) (3.8) biçiminde tanımlansın. f ( t) g( E, ) eşitliğinin her iki taraftan türevi alınırsa, f ( t) g( E, ) g( E, ) g( E, ) g( E, ) g( E, ) g( E, E ) 3 dır. Burada Legendre bir eğri olduğundan ( E) 0 ve antisimetrik olduğundan g( E, ) 0 ve g( E, E) 0 dır. Böylece f ( t) g( E, ) 3 (3.9) olarak bulunur. Ayrıca biharmonik eğrisi için nın ortonormal açılımı g(, E ) E g(, E ) E g(, E ) E (3.30) olup (3.9) ve (3.30) eşitliklerinden (3.6) denklemi yeniden düzenlenirse, 7

36 3 ( c 3) ( ) ( 3 ) E E E3 3E4 4 3( c ) f fe g(, E3) E3 g(, E4) E4 4 0 (3.3) elde edilir. 3.8 eorem c ve f ( t) g( E, ),0, olsun., 4 r n, n için oskülatör mertebesi r olan bir Legendre Frenet eğrisi olsun. nın has biharmonik olması için gerek ve yeter şart sabit 0, (3.3) c3 3( c) f, (3.33) 4 4 3( c ) 4 fg(, E ), 3 (3.34) 3( c ) 3 fg(, E4) (3.35) 4 olmasıdır3. İspat: c ve f() t ge (, ),0, olsun. has biharmonik olsun. Böylece (3.3) denklemini sağlar. Buna göre, 0 (3.36) 3 ( c3) 3( c) f (3.37) 3( c ) fg(, E3) 0 4 (3.38) 3( c ) 3 fg(, E4) 0 (3.39) 4 8

37 denklem sistemi elde edilir. has biharmonik olduğundan (3.36) denkleminden 0 yani sabit 0 dır. 0 sabiti için (3.37), (3.38), (3.39) denklemleri çözüldüğünde sırasıyla (3.33), (3.34), (3.35) eşitlikleri elde edilir. ersine (3.3), (3.33), (3.34), (3.35) eşitlikleri (3.3) denkleminde yerlerine yazıldığında ( ) 0 eşitliğinin sağlandığı açıktır. Böylece anım..8 gereği eğrisi has biharmoniktir. 3.9 Sonuç (3.9) denklemi (3.34) eşitliğinde yerine yazılır ve (3.34) denkleminin integrali alınırsa w 0 sabit olmak üzere, 3( c ) f w0 (3.40) 4 elde edilir. (3.40) denklemi (3.33) denkleminde yerine yazılır ve (3.33) denklemi düzenlenirse c3 3( c) f w 4 0 olur. sbt, c sbt, w0 sbt olduğundan f ( t) g( E, ) de sabittir. Böylece (3.40) denkleminden sabit 0 dır. sabit 0 ise (3.34) gereği g(, E ) 0 (3.4) 3 olur. Bu durumda biharmonik eğrisi için ortonormal açılımı fe g(, E ) E (3.4) 4 4 olacaktır. Böylece f ( t) g( E, ) cos0 ve g(, E4) sin0 olacak biçimde bir 3 tek 0 (0, )\,, sabiti vardır Sonuç c, n ve oskülatör mertebesi r 4 olan bir Legendre Frenet eğrisi olsun. g( E, t),0, olmak üzere, i) c 3 için eğrisinin biharmonik olması için gerek ve yeter şart nın bir geodezik olmasıdır. 9

38 ii) c 3 için eğrisinin has biharmonik olması için gerek ve yeter şart sabit 0, sabit, c3 3( c) cos 0, 4 4 3( c ) 3 sin( 0) 8 olmasıdır. Burada 0 (0, ) \ 3( c )sin( ) 0 0 3,,, olacak şekilde bir sabittir 3. c c cos ve 3 3( ) 0 0 İspat: c, n ve oskülatör mertebesi r 4 olan bir Legendre Frenet 3 eğrisi ve 0 (0, )\,, için g( E, ) cos0 olsun. i) c 3 ve eğrisi biharmonik olsun. Böylece (3.3) eşitliğini sağlar. anım..9 gereği E in katsayısı olan 0 için 0 veya 0 dır. 0 ise nın geodezik olduğu açıktır. 0 ve 0 olsun. sabit 0 ve c 3 için c3 3( c) f 0 olacaktır. Bu durum 0 olması ile 4 4 sağlanır. anım..0 gereği eğrisi bir geodeziktir. 0 ersine c 3 olmak üzere bir geodezik olsun. anım..0 gereği dır ve ( ) 0 biharmonik denklemini sağladığı açıktır. ii) c 3 için has biharmonik eğri olsun. Buna göre eorem 3.8 gereği (3.3), (3.33), (3.34), (3.35) denklemlerini sağlar. Sonuç 3.9 da g( E, ) cos0 g(, E ) sin olarak alınırsa, ve 4 0 sabit 0, sabit, c3 3( c) cos 0,

39 3( c ) 3 sin( 0) 8 ifadelerinin sağlandığı açıktır. ersine c 3 için 0 (0, ) \ 3( c ) sin( ) 0 olmak üzere 0 3,,, c c cos ve 3 3( ) 0 0 sabit 0, sabit, c3 3( c) cos 0, 4 4 3( c ) 3 sin( 0) 8 şartlarını sağlayan eğrisi eorem 3.8 gereği has biharmoniktir. 3. Sonuç Helis olmayan biharmonik eğriler de vardır 3. 3

40 4. SASAKİAN UZAY FORMLARDA LEGENDRE OLMAYAN BİHARMONİK EĞRİLER Bu bölümde (n+)-boyutlu -kesitsel eğriliği bir sabit c sayısı olan M,,,, g Sasakian uzay formunun Legendre olmayan bir eğrisinin biharmonik olma koşulları incelenecektir. : I M oskülatör mertebesi r olan, Legendre olmayan bir Frenet eğrisi olsun. f, eğrisi boyunca tanımlı ve sıfırdan farklı bir fonksiyon olmak üzere ( ) f olarak tanımlansın. eğrisinin biharmonik denklemi ( ) 3 (, ) 0 R dır. Bu eğri için (.4) eşitlikleri yardımıyla, E,, E E ( ) ( E ) E ( E ) E E E, 3 ( ) ( E E E ) 3 E E E E ( ) E E 3 3 ( 3 ) E ( ) E ( ) E E (4.) elde edilir. Böylece eorem..8 gereği 3

41 R(, ) R(, E ) R(, E ) c3 c g(, E) g(, ) E ( ) ( ) E ( ) ( E) 4 4 g(, ) ( E ) g(, E ) ( ) g(, E ) g(, ) E g(, E ) (4.) elde edilir. Burada E, E, E3... Er Frenet çatısı olduğu için g(, E ) =0 dir. Legendre olmayan bir eğrisi için ( ) f fonksiyonun türevi alınır ve (.4), (.7), (.) kullanılırsa ( E) f (4.3) elde edilir. Böylece (4.) denklemi c 3 c c R(, ) f E ff c 3( c) f g( E, ) 4 4 (4.4) biçiminde yazılabilir.(4.) ve (4.4) eşitliklerinden 3 ( ) (, ) R c 3 c 3 c 3 ff E f E c 3( c) E3 3E4 f g( E, ) (4.5) elde edilir. 4. eorem Eğer c ise Legendre olmayan eğrisinin has biharmonik olması için gerek ve yeter şart sabit 0, sabit, (4.6) (4.7), olmasıdır (4.8) 33

42 İspat: has biharmonik eğri olsun. Bu durumda ( ) 0 dır ve c olduğundan (4.5) denklemi 3 ( ) 3 E ( ) E E E biçimine dönüşür. Böylece 0, (4.9) 3 0, (4.0) 0, (4.) 3 0 (4.) denklem sistemi yazılabilir. geodezik olmadığından (4.9) eşitliğinde 0 yani sabit 0 dır. 0 0 ise (4.0) denkleminden (4.) denkleminden, yani sabit, (4.) denkleminden 3 0 olarak bulunur. ersine sabit 0, sabit,, 3 0 olsun. Bu eşitlikler (4.5) denkleminde kullanıldığında ( ) 0 elde edilir. Böylece anım..8 gereği eğrisi has biharmoniktir. 4. Sonuç eğrisi has biharmonik eğri ve M nin kesitsel eğriliği c olsun. nın has biharmonik eğri olması için gerek ve şart eğrililikli bir çember veya eğrilikleri arasında 6. bağıntısı bulunan bir helis olmasıdır İspat: eğrisi has biharmonik eğri ve M nin kesitsel eğriliği c olsun. Bu takdirde, eorem 4. deki şartları sağlar. (4.8) denkleminden 0 veya 34

43 3 0 dır. 0 ise (4.7) denkleminden elde edilir. Bu durumda anım..0 gereği bir çember belirtir. 0 ve 3 0 durumunda ise, (4.7) denklemini sağlayan bir helistir. ersine Legendre olmayan bir eğri ve M nin -kesitsel eğriliği sabit c olsun., değerleri (4.5) eşitliğinde yerlerine yazıldığında ( ) 0 elde edilir ki anım..8 gereği eğrisi has biharmoniktir. 4.3 eorem (n+)-boyutlu, c olan M,,,, g Sasakian uzay formunda Legendre olmayan eğrisinin has biharmonik eğri olması için gerek ve yeter şart sabit 0, (4.3) c 3 c c 3( c ) f ( f ) ( g( E, )), (4.4) c 3( c) f ( E ) g( E, ) g( E, ) 0, (4.5) c 3( c) f ( E ) g( E, ) g( E, ) 0 (4.6) olmasıdır 6. İspat: Legendre olmayan eğrisi has biharmonik eğri olsun. g( E, ) E g( E, ) E g( E, ) E, ( E ) E ( E ) E ( E ) E ( E ) E ortonormal açılımlarını kullanarak (4.5) denklemi, 35

44 c 3 c 3 c ( ) ( 3 ff ) E ( f ) E c ( ) E3 3E4 f fe f E ( E3) E3 ( E4) E4 4 3( c ) g( E, ) g( E, ) E g( E3, ) E3 g( E4, ) E4 4 0 (4.7) biçiminde yazılabilir. Böylece c c 3 ff ff 0, 4 4 (4.8) 3 c3 c f 4 4 c 3( c) ( f ) ( g( E, )) (4.9) c 3( c) f ( E3) g( E, ) g( E3, ) 0, 4 4 (4.0) c 3( c) 3 f ( E4) g( E, ) g( E4, ) (4.) denklem sistemi elde edilir. Burada eğrisi has biharmonik olduğundan (4.8) eşitliğinden 0 yani sabit 0 dır. Buna göre (4.9), (4.0), (4.) denklemleri çözülürse sırayla (4.4), (4.5), (4.6) eşitlikleri elde edilir. ersine (4.3), (4.4), (4.5), (4.6) eşitlikleri (4.5) denkleminde yerlerine yazıldığında ( ) 0 biharmonik olma şartının sağlandığı açıktır. 4.4 Sonuç (n+)-boyutlu kesitsel eğriliği sabit c olan M,,,, g Sasakian uzay formunda, oskülatör mertebesi r olan, Legendre olmayan bir Frenet eğrisi olsun. ( ) cos sabit,0, eğrisinin has biharmonik olması için gerek ve yeter şart nın olmak üzere 36

45 sin E olmak üzere ( c )sin 0 eğrilikli bir çember i) veya ii). sine olmak üzere eğrilikleri arasında ( c ) sin 0 bağıntısı bulunan bir helis veya sin cos E sin sin E olmak üzere iii) 4 sabit 0, sabit, c 3 c 3( c ) cos sin cos, ( c ) 3 sin sin( ) 8 eşitliklerini sağlayan, oskülatör mertebesi r 4 olan bir Frenet eğrisi olmasıdır. Burada (0, ) \ değme açısı tanjant vektör alanı ile karakteristik vektör alanı arasındaki açı, (0, ) sabit olmak üzere c 3 ( c ) cos 3( c ) sin cos 0, 3( c ) sin( ) 0 ve n dir 6. İspat: c ve, oskülatör mertebesi r olan has biharmonik eğri olsun. Bu durumda ( ) 0 dır. eorem 4.3 te geçen f fonksiyonu (0, ) \ için f ( ) g(, ) cos (4.) olsun. (4.) eşitliğinin türevi alınır, (.9) ve (.) denklemleri kullanılırsa; f ge (, ) 0 (4.3) elde edilir. Ayrıca eğrisi boyunca tanımlı bir fonksiyon olmak üzere 37

46 g( E, ) (4.4) olsun. Eşitliğin türevi alınırsa, g( E, ) g( E, ) (4.5) elde edilir. Burada (.0) denkleminden faydalanılarak, ) ( g(, ) ( ) ( E ) f E (4.6) olur. (.4) ve (4.6) eşitlikleri kullanılırsa, g( E, ) g( E, ) g( E, ) fg( E, ) g( E, E ) 3 bulunur. Buradan (.9) ve (4.3) denklemlerinden g( E, ) (4.7) 3 olur. has biharmonik eğri olduğu için eorem 4.3 gereği (4.5) eşitliğinde ve değerlerini yerine yazılıp eğriliği ile çarpılırsa, 3( c ) 0 4 (4.8) dır. Böylece eşitliğin integrali alındığında w 0 sabit olmak üzere 3( c ) wo 0 (4.9) 4 elde edilir. Buradan (4.9) eşitliği, (4.4) denkleminde yerine yazılırsa, c3 c f w

47 elde edilir. Böylece c sbt, w0 sbt, sbt ve f sbt olduğundan de sabittir. sabit ise (4.9) denkleminden sabittir. Buna göre (4.7) denkleminden 0 veya g( E3, ) 0 olmak üzere iki durum karşımıza çıkar: i) 0 ise (4.5) biharmonik denklemi 3 c 3 c 3( c ) f E ( ) biçimine dönüşür. Burada sbt, c sbt, f sbt, =sbt olduğundan E elde edilir. Böylece g(, ) f sin ve E ortonormal vektöründen g( E, ) sin dir. Buradan sine olarak ifade edilir. Ayrıca g( E, ) sin ve f fonksiyonun sabitliğini kullanarak (4.4) eşitliğinden ( c ) sin 0 elde edilir. Böylece anım..0 gereği eğrisi bir çemberdir. ii) 0 olsun. Bu durumda g( E3, ) 0 dır ve 3 0 ise ve sabit olduğundan anım..0 gereği eğrisi bir helis olur. Ayrıca (4.5) biharmonik denkleminden E dir. Böylece sine ve (4.4) denkleminden ( c ) sin 0 elde edilir. iii) 0 ve g( E3, ) 0 olsun. eğrisinin oskülatör mertebesi r 4 olmak üzere (4.5) biharmonik denkleminden spane, E elde edilir. 4 Ayrıca g(, ) f sin ve (0, ) ve E arasındaki açı olmak üzere g(, E ) = = sincos ve g(, E4) sinsin olarak bulunur. Böylece ortonormal açılımından sin cos E sin sin E 4 dır. Diğer taraftan has biharmonik eğrisi için sabit ve eorem 4.3 gereği sbt 0, g(, E ) = sincos, g(, E4) sinsin değerleri de (4.4), (4.6) denklemlerinde yerlerine yazıldığında 39

48 sabit 0, sabit, c 3 c 3( c ) cos sin cos, olarak bulunur. 3( c ) 3 sin sin( ) 8 ersine (n+) boyutlu -kesitsel eğriliği sabit c olan M,,,, g Sasakian uzay formunda (i), (ii), (iii) şartlarını sağlayan Legendre olmayan bir Frenet eğrisi olsun. Bu durumda eğrisinin ( ) 0 has biharmonik olma şartını sağladığı açıktır. g(, E ), ( ) 0 biharmonik denkleminde önemli bir rol oynar ve oskülatör mertebesi r olan bir Frenet eğrisinde ( ) f ( s) cos( s) her zaman sabit olmak zorunda değildir. Bununla beraber E durumlarında da özel sonuçlar elde edilir. veya E olması.durum: c, E olsun. 4.5 eorem E olmak üzere (n+) boyutlu, c olan M,,,, g Sasakian uzay formunda Legendre olmayan eğrisinin has biharmonik eğri olması için gerek ve yeter şart sabit 0, (4.30) c 3 c c f f, (4.3) c f ( E ) 0, 3 4 c f ( E ) (4.3) (4.33) 40

49 olmasıdır 6. İspat: Legendre olmayan eğrisi has biharmonik eğri olsun. Bu durumda eğrisi (4.3), (4.4), (4.5), (4.6) denklemlerini sağlar ve E g( E, ) 0 dır. Böylece (4.3),(4.3),(4.33) denklemleri elde edilir. kabulünden ersine E olmak üzere (4.30), (4.3), (4.3), (4.33) denklemleri (4.7) denkleminde yerlerine yazıldığında ( ) 0 biharmonik denklemini sağladığı açıktır. f g(, ) ( ) fonksiyonun türevi alınırsa, f g(, ) g(, ) g( E, ) g(, ) olup buradan (.9) gereği f g( E, ) dir ve f g( E, ) ( E) (4.34) denkleminin de türevi alınırsa, f g( E, ) g( E, ), yani f g( E E3, ) g( E, ) elde edilir. Burada E olduğundan ( E ) f f 3 (4.35) dır. Diğer taraftan (4.3) denkleminde (4.35) eşitliği yerine yazılırsa 4

50 c f f f 4 0 (4.36) dır ve eşitlik ile çarpılırsa, c f f ff 0 4 (4.37) elde edilir. (4.37) eşitliğinin integrali alınırsa w sabit olmak üzere, c ( f ) f w 0 4 (4.38) olur. (4.3) denkleminde yerine (4.38) eşitliği yazılırsa, c 3 w 4 elde edilir ki burada sbt, c sbt, w sbt olduğundan de sabit olacaktır. Böylece (4.37) denklemi sabit 0 ve c olmak üzere f ( f f ) 0 (4.39) dır. Ayrıca g( E, ) 0 varsayımının türevi alınırsa, g( E, ) g( E, ) g( E, ) fg( E, ) g( E, E ) 0 3 f denklemi elde edilir. Burada antisimetrik ve ( E) olduğundan f g( E3, ) (4.40) biçimine dönüşür. Ayrıca (4.35) ifadesinin türevi alınırsa yani g( E, ) g( E, ) f f 3 3 4

51 g( E, ) g( E, ) g( E, ) f f dır. Burada (4.34) ve (4.40) ifadeleri yerlerine yazılırsa, ( E ) f ( ) f 3 4 (4.4) elde edilir. Diğer taraftan eğrisi has biharmonik olduğu için ( ) 0 eşitliğini sağlar. Böylece ( ( )) 0 olacaktır. sabit olmak üzere ( ), ( ) f, ( ) 0, (4.34), (4.35), (4.36) ifadeleri yerlerine yazılırsa, c 3 c 3 c ( ) f f f f c ( f ( ) f ) f 4 0 elde edilir. Böylece f 0 olarak bulunur. Ayrıca (4.39) ifadesinin türevi alınır ve f 0 olduğu göz önüne alınırsa ( f ) ( f f ) f 0 elde edilir. sabit 0 olduğundan f 0 yani f sabittir. Böylece E koşuluyla 3 eorem 4.5 de f fonksiyonu yerine f ( ) cos0 (0, ) \,, sabiti alınabilir Sonuç c, n ve E olsun. Legendre olmayan eğrisinin has biharmonik olabilmesi için gerek ve yeter şart nın i) ( ) cos0 ve veya c3 c cos eğrilikli bir çember,

52 c3 c ii) ( ) cos0 ve eğrilikleri arasında cos 0 bağıntısı 4 4 bulunan bir helis olmasıdır. Burada 0 (0, ) \ c3 c cos 0 0 dır İspat: c, n ve E olsun. 3,, sabit ve Legendre olmayan eğrisi has biharmonik olsun. Böylece eorem 4.5 şartlarını sağlar. f ( ) cos0 sabiti için (4.33) eşitliği 3 0 olur. 0 ve 3 0 ise (4.3) denklemlerinden edilir. Bu durumda eğrisi bir çemberdir. c3 c cos elde ve 3 0 ise (4.3) eşitliğinden sabittir ve (4.3) denkleminden c3 c cos 0 elde edilir. Böylece eğrisi bir helistir. 4 4 ersine Legendre olmayan eğrisi (i) ve (ii) şartlarını sağlayan bir eğri olsun. Bu durumda eğrisinin ( ) 0 has biharmonik olma şartını sağladığı açıktır..durum: c ve E olsun. Bu durumda eorem..6 gereği g(, ) ( ) ( )( ) 0 olduğundan g( E, ) f 0 dır. Böylece f ( ) cos0 sabittir. g(, ) ( ( )) sin ve sin0e dır. 0 Yardımcı eorem 4.7 c ve E olsun. eğrisinin has biharmonik olması için gerek ve yeter şart nın i) ( ) cos0 ve veya c ( c ) cos eğrilikli bir çember, 0 44

53 ii) ( ) cos0 ve eğrilikleri arasında c ( c ) cos bağıntısı 0 bulunan bir helis olmasıdır. Burada 0 (0, ) \ c c cos dır ( ) ,, sabit ve İspat: c ve E olmak üzere has biharmonik olsun. Bu durumda (4.5) denklemini sağlar. eorem 4.3 gereği sabit 0, f cos0 olmak üzere g( E, ) sin, 0 sin0e değerleri (4.5) denkleminde yerlerine yazılırsa, c 3 c 3( c ) cos 0 sin 0 E E3 3E olur. Böylece c 3 c 3( c ) cos 0 sin 0, (4.4) (4.43) 0, 3 0 (4.44) denklem sistemi elde edilir. sbt 0 için (4.43) eşitliğinden 0 yani sabittir ve (4.44) eşitliğinden 3 0yani 0 veya 3 0 dır. Eğer 0 ise (4.4) denkleminden böylece eğrisi bir çemberdir. c ( c ) cos elde edilir ve 0 Eğer 3 0 ise (4.4) denkleminden eğrilikleri arasında c ( c ) cos bağıntısı bulunan bir helis elde edilir. 0 ersine (i) veya (ii) şartlarını sağlayan bir eğrisi (4.5) denklemini sağlar. Bu durumda anım..8 gereği has biharmonik eğridir. 45

54 4.8 eorem c ve E olsun. r 3 olmak üzere, oskülatör mertebesi r olan bir Frenet eğrisi olsun. eğrisinin has biharmonik olması için gerek ve yeter şart i) ( ) nın bir çember veya c c c ( c ) 5 5 ve c c c olmakla birlikte ii) ( ) cos0 ve eğriliği cos( ) ( c) sin 0 bağıntısını sağlamakla birlikte nın bir helis olmasıdır. Burada 0 sabit (0, ) \,, ve ( cot ) dir 6. 0 İspat: c ve E için Legendre olmayan has biharmonik bir eğri olsun. ( ) cos0 için E olmak üzere sin E (4.45) 0 dır. (4.45) denklemi ile işlem alınır ve (.5) eşitliği gereği cos0 sin0 E ( ) (4.46) cos0 elde edilir. Buradan ( E) sin sin biçiminde yazılabilir. Diğer yandan (4.45) eşitliğinin türevi alınırsa, 0 0 sin E (4.47) 0 dır. Burada aynı zamanda ( ) ( ) cos ( E ) (4.48) 0 olduğundan (4.47) ve (4.48) denklemleri birlikte kullanılırsa 46

55 cos cos sin E sin0 sin0 elde edilir. Böylece cos 0 E cos0 sin0 sin0 sin0 sin0 (4.49) olur. Ayrıca E E 3 ifadesinin her iki tarafının ile iççarpımı yapılırsa, cos 0 ( ) ( E3) cos 0 ( ) ( ) sin0 sin0 sin0 sin0 dır. Burada ( ) cos0 ve ( ) olmak üzere, ( E ) ( sin cos ) (4.50) biçimine dönüşür. Diğer taraftan E olduğundan g(, E3) 0 ve g(, ) 0 E4 dır. 3 g(, E ) 0 ifadesinin türevi alınırsa g(, E ) g(, E E ) 0, g( cos E, E ) g(, E E ) 0, ( E ) cos g(, E ) g( E, E ) g(, E ) 0, ( E ) g( E, E ) sin (4.5) elde edilir. Ayrıca (4.46) eşitliğinde E 3 ile iççarpım alınır ve her iki taraf ile çarpılırsa, cos g( E, ) sin g( E, E ) (4.5) olur. Böylece (4.5) ve (4.5) eşitlikleri kullanılarak 47

56 sin 0 ( E3) sin cos (4.53) 0 0 olarak bulunur. (4.50) ifadesinde ( E3) yerine yazılırsa cos sin (4.54) 0 0 sin 0 elde edilir. Burada eğer 0 tan0 0 ise eğrisi bir çemberdir ve (4.54) eşitliğinden olmalıdır. Yardımcı eorem 4.7 gereği has biharmonik eğrisinin bir çember olması için gerek ve yeter şart tan0 için cos 0 olmasıdır. Yine Yardımcı eorem 4.7 gereği c ( c ) cos ifadesinde 0 cos 0 yerine yazılır ve düzenlenirse c c c 5, ( ( )) c c c = cos 0 ( c ) 5 eşitlikleri elde edilir. Böylece (i) ispatlanmış olur. Eğer 0 ise E E 3 denkleminin türevi alınır, ( E) ( E3) eşitliğinde (4.49), (.4), E E E değerlerleri yerlerine yazılır ve düzenlenirse sin cos 0 0 sin 0 E E 3 4 eşitliği elde edilir. Eşitliğin her iki tarafı E 4 vektörü ile çarpılırsa 3 0 olarak bulunur. sabit 0 olduğundan 3 0 dır. Böylece eğrisi bir helistir. (4.4) 48

57 denkleminde f cos, 0 yerine yazılır ve düzenlenirse g( E, ) sin0 ve cos sin değerleri 0 0 sin 0 cos( ) ( c) sin elde edilir. Böylece (ii) ispatlanmış olur. ersine c ve E olsun. r 3 olmak üzere, oskülatör mertebesi r olan (i) ve (ii) şartlarını sağlayan bir eğri olsun. Bu durumda eğrisinin ( ) 0 has biharmonik olma şartını sağladığı açıktır. 49

58 5. SONUÇ VE ÖNERİLER 3.bölümde Sasakian uzay formunda Legendre eğrilerin biharmonik ve has biharmonik olma koşulları incelenmiş ve eorem 3., eorem 3.4, eorem 3.6, eorem 3.8 ile sonuçları ispatlanmıştır. 4.bölümde Sasakian uzay formunda tanjant vektör alanı ile karakteristik vektör alanı arasındaki açısı sabit olan, Legendre olmayan eğrilerin biharmonik ve has biharmonik olma koşulları incelenmiş ve eorem 4., eorem 4.3, eorem 4.5 ve sonuçları ile Yardımcı eorem 4.7, eorem 4.8 ispatlanmıştır. 50

59 6. KAYNAKLAR [] Kobayashi, S. and Nomizu, K., Foundations of differential geometry, New York: John Wiley and Sons, Inc., (996). [] Hacısalihoğlu, H. H., Diferensiyel Geometri, İnönü Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Yayınları, (983). [3] O Neill, B., Elementary differantial geometry, Newyork, London: Academic Press, (996). [4] Chen, B. Y., Geometry of submanifolds, Pure and Applied Mathematichs,, Marcel Dekker, Inc., New York, (973). [5] Eells, J. and Sampson, J. H., Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Amer. J. Math., 86, 09 60, (964). [6] Jiang, G., Y., -harmonic maps and their first and second variational formulas, Chinese Ann. Math., 7 (4), , (986). [7] Ferus, D. and Schirrmacher, S., Submanifolds in Euclidean space with simple geodesics, Math Ann., 60, 57 6, (98). [8] Blair, D. E., Riemannian geometry of contact and symplectic manifolds Second Edition, Boston, MA: Progress in Mathematics, 03. Birkhäuser Boston, Inc., (00). [9] Yano, K. and Kon, M., Structures on manifolds, Series in Pure Mathematics, 3, Singapore: World Scientific Publishing Co., (984). 5

60 [0] Blair, D. E., Contact Manifolds in Riemannian Geometry, Lecture Notes in Math., 509, Berlin: Springer-Verlag, (976). [] Kocayiğit, H., Lorentz 3-Manifoldlarında Biharmonik Eğriler ve Kontakt Geometri., Doktora ezi, Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilimdalı, Ankara, (004). [] Yano, K. and Kon, M., Anti-invariant submanifolds, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, (), New York, Basel: Marcel Dekker, Inc., (976). [3] Fetcu, D. and Oniciuc, C., Explicit formulas for biharmonic submanifolds in Sasakian space forms, Pacific J. Math., 40 (), 85-07, (009). [4] Verstraelen, L. and Vrancken, L., Pinching eorems for C-otally Real Submanifolds of Sasakian Space Forms, Journal of Geometry, 33 (), 7-84, (988). [5] Baikoussis, C. and Blair, D. E., On Legendre curves in contact 3- manifolds, Geometria Dedicata, 49, 35-4, (994). [6] Fetcu, D. A note on biharmonic curves in Sasakian space forms Ann. Mat. Pura Appl., 89 (4), , (00). [7] Chen, B. Y., A report on submanifolds of finite type, Soochow J. Math.,, 7 337, (996). 5