T.C. HEİSENBERG GRUBUNUN GEOMETRİSİ VE HEİSENBERG GRUBUNDA ÖZEL

Transkript

1 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HEİSENBERG GRUBUNUN GEOMETRİSİ VE HEİSENBERG GRUBUNDA ÖZEL EĞRİLER HÜLYA BAŞEĞMEZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR AĞUSTOS

2 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HEİSENBERG GRUBUNUN GEOMETRİSİ VE HEİSENBERG GRUBUNDA ÖZEL EĞRİLER HÜLYA BAŞEĞMEZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN: DOÇ. DR. LEVENT KULA KIRŞEHİR AĞUSTOS

3 Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğü ne Bu çalışma jürimiz tarafından MATEMATİK Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Başkan: PROF. DR. KAZIM İLARSLAN İmza: Üye: DOÇ. DR. LEVENT KULA İmza: Üye: YRD. DOÇ. DR. BAKİ YAĞBASAN İmza: Onay Yukarıdaki imzaların, adı geçen öğretim üyelerine ait olduğunu onaylarım..../.../20.. DOÇ. DR. MUSTAFA KURT Enstitü Müdürü

4 ÖZET Yüksek Lisans Tezi HEİSENBERG GRUBUNUN GEOMETRİSİ VE HEİSENBERG GRUBUNDA ÖZEL EĞRİLER Hülya BAŞEĞMEZ Ahi Evran Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Ağustos 2011, 68 sayfa Danışman: Doç. Dr. Levent KULA Bu yüksek lisans tezi dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde çalışmamızda kullanılan temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde ilk olarak R n2, n n tipindeki matrislerin cümlesi olan M n (R) ve genel lineer grup GL(n, R) nin manifold yapıları incelendi. Daha sonra da Lie grup yapılarına bakıldı. Üçüncü bölüm, çalışmamızın esas kısmıdır. Bu bölümde, öncelikle N 3, H ve H Heisenberg grupları ve özellikleri verildi, ardından grup yapıları, manifold yapıları ve Lie grup yapıları incelendi. Dördüncü bölümde, H Heisenberg grubundaki eğrilerin helis ve slant helis olma karakterizasyonları incelendi. Anahtar Kelimeler: Heisenberg Grubu, Lie Grubu, Lie Cebiri, Slant Helis i

5 ABSTRACT Master Thesis THE GEOMETRY OF HEISENBERG GROUP AND SPECIAL CURVES IN HEISENBERG GROUP Hülya BAŞEĞMEZ Ahi Evran University Institute of Science and Technology Department of Mathematics August 2011, 68 pages Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Levent KULA This master thesis consist of four parts. The first chapter, fundamental definitions and theorems used in our study are given. In second chapter, firstly manifold strucrure of R n, the group of all n n matrices with real enries M n (R) and general linear group over the real numbers are examined. Afterwards, Lie groups structure of theese manifolds are given. Third chapter is original part of our study. In this chapter, firstly, N 3, H and H Heisenberg groups and their properties are given, later group structures, manifold structures and Lie group structures of these groups was examined. The fourth chapter, the characterizations to be helix and slant helix of curves in Heisenberg group H are examined. Key Words : Heisenberg Group, Lie Group, Lie Algebra, Slant Helix ii

6 TEŞEKKÜR Yüksek Lisans çalışmalarım boyunca beni yönlendiren, araştırmalarımın her a- şamasında bilgi, öneri ve yardımlarını esirgemeyen danışman hocam Sayın Doç. Dr. Levent KULA ya teşekkürü bir borç bilirim. Gerek tez çalışmam süresince, gerekse tüm hayatım boyunca desteklerini ve sabırlarını esirgemeyen, haklarını hiçbir zaman ödeyemeyeceğim çok değerli aileme sonsuz teşekkürlerimi ve sevgilerimi sunarım. iii

7 İÇİNDEKİLER DİZİNİ ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii İÇİNDEKİLER DİZİNİ iv SİMGELER VE KISALTMALAR vi 1 TEMEL KAVRAMLAR R n VEKTÖR UZAYI VE GENEL LİNEER GRUP 18 n 2.1. R İN MANİFOLD YAPISI R n in Topolojisi R n in Hausdorff Uzay Yapısı R n in Haritası R n in Atlası R n in Tam Atlası M n (R) NİN MANİFOLD YAPISI M n (R) nin Topolojisi M n (R) nin Hausdorff Uzay Yapısı M n (R) nin Atlası M n (R) nin Tam Atlası GL(n, R) NİN LİE GRUP YAPISI iv

8 3 HEİSENBERG GRUBU N H HEİSENBERG GRUBU N 3 Heisenberg Grubunun Lie Grup Yapısı N 3 Heisenberg Grubunun Lie Cebiri HEİSENBERG GRUBU H Heisenberg Grubunun Lie Grup Yapısı H HEİSENBERG GRUBU H Heisenberg Grubunun Lie Grup Yapısı H Heiseberg Grubu Üzerinde Metrik Kavramı 44 4 H HEİSENBERG GRUBUNDA ÖZEL EĞRİLER 51 KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

9 SİMGELER VE KISALTMALAR P (X) : X kümesinin kuvvet kümesi M n (R) : Reel sayılar cismi üzerinde n n tipinde matrislerin cümlesi GL(n, R) : Genel Lineer grup A T : A matrisinin transpozu A 1 : A matrisinin inversi à : A matrisinin eki A : A matrisinin determinantı S n : n elemanlı bir kümenin permütasyonlarının kümesi T p (M) : M manifoldunun p M noktasındaki tanjant uzayı Tp (M) : M manifoldunun p M noktasındaki kotanjant uzayı F(M) : Tanım kümesi M manifoldu olan reel değerli bütün düzgün (diferensiyellenebilir) fonksiyonların cümlesi χ(m) : M manifoldu üzerinde düzgün vektör alanlarının uzayı χ (M) : M manifoldu üzerinde düzgün 1 formların uzayı χ L (G) : G Lie grubu üzerindeki sol invaryant vektör alanlarının uzayı D : Riemann koneksiyonu : Levi- Civita koneksiyonu [, ] : Lie operatörü vi

10 1 TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, manifold, Lie grubu, Lie cebiri ve çalışmamızda gerekli olan bazı tanımlar, teoremler ve notasyonlar hatırlatılacaktır. Tanım 1.1 X boş olmayan bir cümle ve τ ailesi de P (X) kuvvet cümlesinin herhangi bir alt cümlesi olsun. Eğer τ P (X) aşağıdaki özelikleri sağlarsa, τ ya X üzerinde bir topoloji, (X, τ) ikilisine de bir topolojik uzay denir. T1), X τ dur. T2) τ dan alınan herhangi sayıda elemanın birleşimi τ ya aittir; yani, I (sonlu veya sonsuz) herhangi bir indis cümlesi olmak üzere, {U i } i I τ için, i I U i τ dur. T3) τ dan alınan sonlu sayıda elemanların kesişimi τ ya aittir; yani, J sonlu indis cümlesi olmak üzere, {U i } i J τ için, i J U i τ dur [12]. Tanım 1.2 X, bir topolojik uzay olsun. x y özelliğindeki x, y X için x U, y V ve U V = olacak şekilde U, V τ kümeleri varsa X topolojik uzayına bir Hausdorff uzayı denir [12]. Tanım 1.3 X ve Y iki topolojik uzay olsun. fonksiyonu için, Bir f : X Y (i) f sürekli, (ii) f 1 ters fonksiyonu mevcut, (iii) f 1 sürekli, ise f fonksiyonuna X den Y ye bir homeomorfizm denir [12]. Tanım 1.4 p = {p 1, p 2,..., p n } R n ve 1 i n olmak üzere, u i : R n R p u i (p) = u i (p 1, p 2,..., p n ) = p i 1

11 fonksiyonlarına R n in doğal koordinat fonksiyonları veya Öklidyen koordinat fonksiyonları ve {u 1, u 2,..., u n } sistemine de Öklidyen koordinat sistemi denir [17]. Tanım 1.5 R n in bir U açığından reel sayılara tanımlı bir f fonksiyonunun her mertebeden kısmi türevleri mevcut ve sürekli ise f ye düzgündür denir. f i1...i q = i q f u i1... u iq, 1 i l n, 1 l q kısmi türevleri mevcut ve sürekli ise f ye C (q) sınıfındandır denir. M den R ye tanımlı bütün düzgün fonksiyonların cümlesi bir halkadır ve bu halka F(M) veya C (M, R) ile gösterilir [17]. Tanım 1.6 S bir topolojik uzay olsun. S nin bir U açığından R n in bir ξ(u) açık cümlesine giden ξ homeomorfizmine n boyutlu bir koordinat sistemi veya harita denir. olmak üzere, p U için, ξ : U S ξ(u) R n ξ(p) = {x 1 (p),..., x n (p)} dir. Burada x i = u i ξ : U S R fonksiyonlarına S topolojik uzayında ξ nin koordinat fonksiyonları denir [17]. Tanım 1.7 S üzerinde n boyutlu koordinat sistemleri olan ξ ve η dönüşümlerinin düzgün kesişmesi için gerek ve yeter şart η ξ 1 ve ξ η 1 düzgün olmasıdır [17]. Açıkça, ξ : U S ξ(u) R n ve η : V S η(v ) R n ise, o zaman ξ η 1 : ξ(u V ) η(u V ) şeklinde tanımlıdır ve ters fonksiyonu olan η ξ 1 de onun tersi yönde tanımlıdır. Tanım 1.8 Bir S topolojik uzayı üzerinde, n boyutlu bir A atlası S deki n boyutlu koordinat sistemlerinin aşağıdaki önermeleri sağlayan kolleksiyonudur: 2

12 A1) S nin her bir noktası A daki en az bir koordinat sisteminin tanım bölgesinde bulunur. A2) A daki herhangi iki koordinat sistemi düzgün kesişirler. Yani, ξ, η A için [17]. ξ ve η düzgün kesişirler η ξ 1 ve ξ η 1 düzgündür Tanım 1.9 A, S topolojik uzayı üzerinde n boyutlu bir atlas olsun. A nın her bir koordinat sistemiyle düzgün kesişen S deki her koordinat sistemi yine A nın elemanı oluyorsa, bu A atlasına n boyutlu tam atlas denir [17]. Tanım 1.10 M Hausdorff uzayı üzerinde n boyutlu bir tam atlas varsa bu uzaya n boyutlu düzgün manifold denir [17]. Bu tezde, manifold deyince düzgün manifold anlaşılacaktır. Tanım 1.11 M ve N iki manifold ve φ : M N düzgün bir dönüşüm olmak üzere φ 1 : N M ters dönüşümü de düzgün ise φ ye bir diffeomorfizm denir [17]. Teorem 1.12 M, n boyutlu bir manifold olsun. Bu durumda, ξ : U M ξ(u) R n koordinat sistemi bir diffeomorfizmdir [17]. Teorem 1.13 M bir manifold olsun. N, M nin bir açık alt kümesi ise N, M nin bir alt manifoldudur ve N ye M nin açık alt manifoldu denir [3]. Tanım 1.14 M bir manifold olsun. p M için, v p : F(M) R f v p (f) reel değerli fonksiyonu aşağıdaki önermeleri sağlıyorsa, v p ye p M de bir tanjant vektör denir: 3

13 (i) v p, R-lineerdir. Yani, a, b R ve f, g F(M) olmak üzere, dir. v p (af + bg) = av p (f) + bv p (g) (ii) v p, Leibniz kuralını sağlar. Yani, p M ve f, g F(M) olmak üzere, dir [17]. v p (fg) = v p (f)g(p) + f(p)v p (g) M manifoldunun bir p M noktasındaki bütün tanjant vektörlerinin cümlesi, T p (M) = {v p : F(M) R v p, R lineer ve Leibniz kuralını sağlar} ile gösterilir. T p (M) cümlesi üzerinde + : T P (M) T P (M) T P (M) (v p, u p ) v p + u p (v p + u p )(f) = v p (f) + u p (f), f F(M) (1.1) ve : R T P (M) T P (M) (c, v p ) cv p (cv p )(f) = cv p (f), f F(M) (1.2) biçiminde tanımlanan toplama ve skalerle çarpım işlemleriyle birlikte bir reel vektör uzayı olur. T p (M) vektör uzayına M nin p noktasındaki tanjant uzayı denir [17]. Tanım 1.15 M bir manifold ve ξ = (x 1, x 2,..., x n ), p M de bir koordinat sistemi olsun. f F(M) ise i p = x i p : F(M) R, (1 i n) 4

14 olmak üzere, f (p) = (f ξ 1 ) (ξ(p)), (1 i n) x i u i biçiminde tanımlanır. Burada u 1, u 2,..., u n R n in doğal koordinat fonksiyonlarıdır ve p M için x i (p), (1 i n) birer tanjant vektördür [17]. Teorem 1.16 M bir manifold { ve ξ = (x 1,..., x n ), p } M de bir koordinat sistemi olsun. (p), (p),..., (p) cümlesi x 1 x 2 x n T p (M) nin bir bazıdır [17]. Tanım 1.17 φ : M N düzgün dönüşüm olsun. p M, v p T p (M) ve g F(N) için, şeklinde tanımlı φ p (v p )(g) = dφ p (v p )(g) = v p (g φ) (1.3) φ p = dφ p : T p (M) T φ(p) (N) lineer fonksiyonuna p M de φ nin diferensiyel dönüşümü denir [17]. Tanım 1.18 I, R nin açık bir aralığı olmak üzere, diferensiyellenebilen bir α : I R n dönüşümüne, R n uzayı içinde bir eğri denir [18]. Bir t I değerine karşılık eğrinin elde edilen α(t) noktası, α(t) = (α 1 (t), α 2 (t),..., α n (t)) şeklindedir. Buradaki α i fonksiyonları α i : I R, (1 i n) 5

15 biçiminde tanımlı olup, diferensiyellenebilir fonksiyonlardır. M nin α(t) noktasındaki koordinat fonksiyonları {x 1, x 2,..., x n } ise, biçimindedir. α i = x i α, (1 i n) Tanım 1.19 α : I M bir eğri olsun. α nın t I noktasındaki, α (t) = dα ( dα1 = dt t dt (t),..., dα ) n dt (t) T α(t) (M) vektörüne eğrinin hız vektörü denir ve (α(t), α (t)) ikilisi bir tanjant vektör olup, bu vektör kısaca α (t) şeklinde gösterilir [17]. Tanım 1.20 Bir M manifoldu üzerindeki bir vektör alanı, manifoldun her noktasına o noktadaki tanjant uzayın bir elemanını karşılık getiren dönüşümdür. V, M üzerinde bir vektör alanı ve f F(M) ise (V f)(p) = V p (f), p M ile tanımlı V f, M üzerinde reel değerli bir fonksiyondur. Her f F(M) için V f düzgün bir fonksiyon ise V ye düzgündür denir. M üstünde tanımlanan tüm düzgün vektör alanlarının cümlesi χ(m) ile gösterilir. f F(M) ve V, W χ(m) olmak üzere, (fv ) p = f(p)v p, p M (V + W ) p = V p + W p işlemleriyle birlikte χ(m) kümesi F(M) halkası üzerinde bir modüldür. Ayrıca V, W χ(m), f F(M) için V + W χ(m) ve fv χ(m) dir [17]. Tanım 1.21 ξ = (x 1, x 2,..., x n ), U M üzerinde bir koordinat sistemi olsun. O zaman her 1 i n için her p U ya i p tanjant vektörünü karşılık getiren i = x i düzgün vektör alanına ξ nin i. koordinat vektör alanı denir [17]. 6

16 Tanım 1.22 χ(m), M üzerinde tanımlanan düzgün vektör alanlarının uzayı olmak üzere, χ(m) üzerinde bracket operatörü olarak bilinen, [, ] : χ(m) χ(m) χ(m) (V, W ) [V, W ] işlemi aşağıdaki özellikleri sağlıyor ise χ(m) vektör uzayına [, ] operatörü ile χ(m) üzerinde Lie cebiri denir; (i) Bilineerlik özeliği; V, W, X χ(m) ve a, b R için [av + bw, X] = a[v, X] + b[w, X], [X, av + bw ] = a[x, V ] + b[x, W ]. (ii) Antisimetrik (alterne) olma özeliği; V, W χ(m) için; [V, W ] = [V, W ]. (iii) Jakobi özdeşliği; V, W, X χ(m) olmak üzere; dır [17]. [V, [W, X]] + [W, [X, V ]] + [X, [V, W ]] = 0 Tanım 1.23 M manifoldunun bir p M noktasındaki tanjant uzayı T p (M) olsun. T p (M) nin cebirsel duali olan T p (M) uzayına M nin p noktasındaki kotanjant uzayı denir ve T p (M) = {v v : T p (M) R, v lineer} ile gösterilir. Tp (M) nin her bir elemanına, p M noktasında kotanjant vektör adı verilir [9]. Tanım 1.24 M manifoldunun her bir p noktasına T p (M) kotanjant uzayının bir elemanını karşılık getiren fonksiyona, M üstünde bir 1 form denir. 1 formların cümlesi χ (M) ile gösterilir. 7

17 Tanım 1.25 f F(M) olsun. p M, v p T p (M) için eşitliğiyle tanımlanan (df) p (v p ) = v p (f) (1.4) (df) p : T p (M) R fonksiyonuna f fonksiyonunun p noktasındaki diferensiyeli denir. M uzayının her bir p noktasına df : p (df) p fonksiyonunu karşılık getiren df fonksiyonuna f fonksiyonunun diferensiyeli denir. Açıkça df, M uzayı üstünde bir 1 formdur [18]. U M üzerinde bir koordinat sistemi ξ = (x 1, x 2,..., x n ) olsun. df dönüşümünde f yerine x i alınırsa, U üzerinde dx 1, dx 2,..., dx n koordinat 1 formlarını elde edilir. dx i ( x i ) = x j (x i ) = x i x j = δ ij olduğu için χ(m) uzayının standart bazı olan { } : 1 i n x i ile χ (M) uzayının standart bazı olan bazı, dual bazlardır [17]. {dx i : 1 i n} Tanım 1.26 x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n için d(x, y) = n (x i y i ) 2 i=1 şeklinde tanımlanan d : R n R n R fonksiyonuna R n üzerinde Öklid metriği denir [15]. 8

18 Tanım 1.27 M bir manifold, M üstündeki vektör alanlarının uzayı χ(m) ve düzgün fonksiyonların cümlesi de F(M) olmak üzere,, : χ(m) χ(m) F(M) dönüşümü aşağıdaki önermeleri sağlıyorsa, bu dönüşüme M üzerinde Riemann metriği ya da metrik tensör denir: (i), dönüşümü 2-lineerdir, yani a, b R olmak üzere ax 1 + bx 2, Y = a X 1, Y + b X 2, Y, X, ay 1 + by 2 = a X, Y 1 + b X, Y 2, X 1, X 2, Y χ(m), X, Y 1, Y 2 χ(m). (ii), dönüşümü simetriktir, yani X, Y = Y, X, X, Y χ(m). (iii), dönüşümü pozitif tanımlıdır, X, X 0, X, X = 0 X = 0, X χ(m). Üzerinde Riemann metriği tanımlanmış olan düzgün manifolda ise Riemann manifoldu denir ve (M,, ) ile gösterilir [11]. Tanım 1.28 M, n boyutlu bir Riemann manifoldu ve M üstündeki düzgün vektör alanlarının uzayı χ(m) olsun. D : χ(m) χ(m) χ(m) (X, Y ) D X Y operatörü, f F(M) ve X, Y, Z χ(m) için, D1) D X (Y + Z) = D X Y + D X Z, D2) D (X+Y ) Z = D X Z + D Y Z, D3) D fx Y = fd X Y, D4) D X (fy ) = fd X Y + X[f]Y, 9

19 önermelerini sağlıyor ise D ye M üzerinde bir lineer koneksiyon (afin koneksiyon) denir ve D X ise X vektör alanı yönünde kovaryant türev olarak adlandırılır. Ayrıca, D5) D X Y D Y X = [X, Y ] (sıfır torsiyon özeliği), D6) X[ Y, Z ] = D X Y, Z + Y, D X Z (koneksiyonun metrikle bağdaşması özeliği), önermeleri de sağlanıyor ise D, M nin Riemann koneksiyonu ya da Levi-Civita koneksiyonu olarak adlandırılır ve D yerine genellikle sembolü kullanılır. Levi-Civita koneksiyonu genellikle 2 X Y, Z = X Y, Z + Y Z, X Z X, Y X, [Y, Z] + Y, [Z, X] + Z, [X, Y ] Koszul formülüyle karakterize edilir. (D5) özeliğine sahip D koneksiyonuna, simetrik koneksiyon da denir. Şu halde Riemann koneksiyonu bir simetrik koneksiyondur [17]. Teorem 1.29 M, bir Riemann manifoldu olsun. üzerindeki metrik tensörün ifadesi; n, = g ij dx i dx j i,j=1 O zaman, M dir. Burada x 1, x 2,..., x n ile M nin koordinat komşuluğundaki koordinat fonksiyonları gösterilmektedir [11]. Tanım 1.30 M bir Riemann manifoldu, D, M nin Levi-Civita koneksiyonu ve g de M nin metriği olsun. X, Y, Z, W χ(m) için, R : χ(m) χ(m) χ(m) χ(m) F(M) (X, Y, Z, W ) R(X, Y, Z, W ) R(X, Y, Z, W ) = X, R(Z, W )Y = g(x, R(Z, W )Y )) 10

20 olarak tanımlanan 4. mertebeden kovaryant tensöre Riemann-Christoffel eğrilik tensörü denir. Burada, R : χ(m) χ(m) χ(m) χ(m) (X, Y, Z) R(X, Y, Z) = R(X, Y )Z R(X, Y )Z = D X D Y Z D Y D X Z D [X,Y ] Z = ([D X, D Y ] D [X,Y ] )Z biçiminde tanımlı fonksiyona Riemann eğrilik tensörü adı verilir [11]. Riemann eğrilik tensörünün diğer bir ifadesi de R(e j, e k )e i = 3 l=1 R l ijke l şeklindedir. Bu eşitlikteki Rijk l katsayılarına M nin Riemann eğrilik tensörünün katsayıları denir [10]. Teorem 1.31 Bir (yarı) Riemann manifoldu M ve M üzerindeki Riemann koneksiyonu D olsun. Buna göre aşağıdaki bağıntılar, M üzerinde geçerlidir: (i) R(X, Y )Z + R(Y, Z)X = 0, (ii) R(X, Y )Z+R(Y, Z)X+R(Z, X)Y = 0, (Birinci Bianchi özeliği), (iii) g(r(x, Y )Z, W ) + g(r(x, Y )W, Z) = 0, (iv) g(r(x, Y )Z, W ) = g(r(z, W )X, Y ) [11]. Tanım 1.32 G bir grup, aynı zamanda da düzgün bir manifold olsun. Bu durumda a G için ters eleman a 1 olmak üzere, : G G G ( ) 1 : G G (a, b) ab a a 1 dönüşümleri düzgün ise, G ye bir Lie grubu denir [17]. 11

21 Tanım 1.33 G bir Lie grubu ve a G olsun. ve L a : G G g L a (g) = ag R a : G G g R a (g) = ga biçiminde tanımlı diffeomorfizmlere, sırasıyla, a G ile belirli sol çarpım (sol öteleme) ve sağ çarpım (sağ öteleme) denir [12, 11]. Tanım 1.34 G, bir Lie grubu ve a G için sol ve sağ çarpımlar, sırasıyla, L a ve R a olsun. X χ(g) olmak üzere ve dl a = (L a ) : T G (g) T G (ag) X g (L a ) (X g ) = X ag dr a = (R a ) : T G (g) T G (ga) X g (R a ) (X g ) = X ga biçiminde tanımlı dönüşümlere, sırasıyla, sol grup paralelizmi ve sağ grup paralelizmi denir [12, 11]. Tanım 1.35 G, bir Lie grubu ve G üzerinde bir vektör alanı X olmak üzere, a, g G için; (L a ) (X g ) = X ag ise X vektör alanına bir sol-invaryant vektör alanı denir. Sol invaryant vektör alanları düzgündür. Vektör alanlarının alışılmış toplama ve skalerle çarpım işlemleri sol invaryant vektör alanlarının cümlesini bir vektör uzayı yapar. Bu vektör uzayı χ L (G) ile gösterilir. χ L (G) de [, ] parantez operatörü tanımlanarak χ L (G) bir Lie cebiri olur. χ L (G), boyg = n (sonlu) boyutuna sahiptir [11, 17]. 12

22 Teorem 1.36 X χ L (G) elemanını X e T e (G) vektör alanına dönüştüren, : χ L (G) T e (G) dönüşümü bir lineer izomorfizmdir. Bu izomorfizm χ L (G) = T e (G) biçiminde gösterilir. Burada e, G nin grup işlemine göre birim elemanıdır [17]. Tanım 1.37 G, Lie grubu üzerinde tanımlı, metriği, a, b G ve u, v T b G için, u, v b = (dl a ) b u, (dl a ) b v ab (1.5) şartını sağlıyorsa, metriğine sol invaryanttır denir. şekilde, metriği a, b G ve u, v T b G için, Benzer u, v b = (dr a ) b u, (dr a ) b v, ba (1.6) şartını sağlıyorsa, metriğine sağ invaryanttır denir. Hem sol invaryant hem de sağ invaryant olan bir Riemann metriğine biinvaryant metrik denir [8]. Teorem 1.38 G, Lie grubu üzerindeki sol invaryant (sağ invaryant) metrikler ile G nin g Lie cebiri üzerindeki iç çarpımları arasında bijektif eşleme vardır [8]. İspat. G üzerindeki metrik sol invaryant ise o zaman a G ve u, v T a G için, u, v a = d(l a L a 1) a u, d(l a L a 1) a v a yazabiliriz. = d(l a ) e ((dl a 1) a u), (dl a ) e ((dl a 1) a v) a = (dl a 1) a u, (dl a 1) a v e Bu eşitlik metriğin g = T e G ye kısıtlaması ile tam olarak ifade edilebilir. Tersine, g üzerindeki iç çarpım, olsun ve g G ve u, v T g G için, u, v g = (dl g 1) g u, (dl g 1) g v (1.7) 13

23 dir. Açık olarak, g iç çapım ailesi, G üzerindeki Riemann metriğini verir. Sol invaryantlığı ispatlamak için zincir kuralı ve sol ötelemelerin grup izomorfizmleri oluşu kullanılacaktır. a, b G ve u, v T b G için, (dl a ) b u, (dl a ) b v ab = (dl (ab) 1) ab ((dl a ) b u),(dl (ab) 1) ab ((dl a ) b v) e yazabiliriz. = d(l (ab) 1 L a ) b u, d(l (ab) 1 L a ) b v e = d(l b 1 a 1 L a) b u, d(l b 1 a 1 L a) b v e = (dl b 1) b u, (dl b 1) b v e = u, v b G üzerindeki sağ invaryant metrik için de benzer hesaplamalar yapılarak, u, v T g G ve g G için, elde edilir. u, v g = (dr g 1) g u, (dr g 1) g v (1.8) Tanım 1.39 Girdileri reel sayı olan bütün n n tipindeki matrislerin cümlesi gl(n, R) veya M n (R) ile gösterilir yani, dir. gl(n, R) = M n (R) = {A = [a ij ] n n a ij R, 1 i, j n} Teorem 1.40 M n (R) cümlesi R cismi üzerinde n 2 boyutlu bir vektör uzayıdır [19]. İspat. M n (R) cümlesi üzerinde iki matrisin toplamı işlemi A, B M n (R) için, A + B = [a ij ] n n + [b ij ] n n = [a ij + b ij ] n n kuralıyla tanımlıdır. Buna göre, 1. A, B M n (R) için A + B tanımlıdır ve A + B M n (R) dir. 14

24 2. A, B, C M n (R) için (A + B) + C = A + (B + C) dir. 3. A M n (R) için A + 0 = 0 + A = A olacak şekilde tüm bileşenleri sıfır olan 0 M n (R) matrisi vardır. 4. A M n (R) için M n (R) kümesinde A ile gösterilen ve A + ( A) = ( A) + A = 0 eşitliğini sağlayan ve bileşenleri A nın bileşenlerinin toplama işlemine göre tersi olan bir A elemanı vardır. 5. M n (R) kümesinin toplama işlemine göre değişme özelliği vardır. A, B M n (R) için A + B = B + A dır. M n (R) cümlesi üzerinde skalerle çarpma işlemi; λ R ve A M n (R) için, λa = λ[a ij ] n n = [λa ij ] n n kuralıyla tanımlıdır. Buna göre, 6. λ R, A, B M n (R) için λ(a + B) = λa + λb dır. 7. λ, µ R, A M n (R) için (λ + µ)a = λa + µa dır. 8. λ, µ R, A M n (R) için (λµ)a = λ(µa) dır. 9. R cisminin çarpmaya göre birim elemanı 1 olduğuna göre, M n (R) nin her elemanı için 1A = A dır. Tanım 1.41 A matrisi m n tipinde ve B matrisi n p tipinde olmak üzere, A = [a ij ] m n ve B = [b ij ] n p olsun. Bu durumda A ile B matrisinin çarpımı AB ile gösterilir ve [ n [a ij ] m n [b jk ] n p = eşitliğiyle verilebilir [19]. j=1 a ij b jk ] m p 15

25 Tanım 1.42 n n tipindeki reel bileşenli bütün tersinir matrislerin cümlesi GL(n, R) ile gösterilir. O halde, GL(n, R) = {A = [a ij ] n n M n (R) det A 0} dir. GL(n, R) matris çarpım işlemi altında gruptur. GL(n, R) cümlesine genel lineer grup denir. Tersinir matrislerin çarpımı da tersinirdir. Birim matris, bu grup için birim elemandır [13]. Tanım 1.43 A = [a ij ] n n M n (R) olmak üzere det A = σ S n S(σ)a σ(1)1 a σ(2)2... a σ(n)n eşitliğiyle tanımlanan det : M n (R) R fonksiyonuna M n (R) uzayında tanımlı determinant fonsiyonu denir. A = [a ij ] n n olmak üzere σ S n S(σ)a σ(1)1 a σ(2)2... a σ(n)n sayısına A matrisinin determinantı denir ve bu sayı deta veya A biçiminde gösterilir [19]. Tanım 1.44 Bir A matrisi m n tipinde bir matris olsun. A matrisinin satırları sütun yapılarak elde edilen yeni matrise A nın transpozu denir ve A T ile gösterilir [19]. Tanım 1.45 A, n n tipinde bir matris ve a ij, A nın i nci satır ve j nci sütundaki bileşeni olsun. i nci satır ve j nci sütun atıldıktan sonra geriye kalan bileşenlerin oluşturduğu matrisin determinantına, a ij bileşeninin minörü denir. a ij bileşeninin minörünün ( 1) i+j ile çarpımına, a ij bileşeninin eşçarpanı (kofaktörü) denir ve A ij ile gösterilir [19]. Tanım 1.46 [A ij ] T n n matrisine, A matrisinin adjoint matrisi (ek matrisi) denir ve adj(a) ile (veya à ile) gösterilir [19]. 16

26 Tanım 1.47 (G, ) ve (G, ) iki grup ve f : G G bir fonksiyon olsun. a, b G için, f(a b) = f(a) f(b) ise f ye G den G ye bir grup homomorfizmi denir [7]. Teorem 1.48 V, R cismi üzerinde n boyutlu bir vektör uzayı ise V vektör uzayı R n vektör uzayına izomorftur [19]. Teorem 1.49 f : X Y ve g : Y Z fonksiyonlar olsun. g f örtendir gerek ve yeter koşul f örtendir [1]. 17

27 2 R n VEKTÖR UZAYI VE GENEL LİNEER GRUP Bu bölümde R n, M n (R) ve GL(n, R) nin önce manifold yapıları ardından da Lie grup yapıları incelenmiştir. n 2.1. R İN MANİFOLD YAPISI R n in Topolojisi Tanım 1.26 daki gibi tanımlı Öklid metriği ile birlikte Rn bir topolojik uzaydır: τ d = {U i } i I aşağıdaki (p) önermesini sağlayan R n in tüm alt cümlelerinin ailesini göstersin, (p) U i açıktır { a U i r, r R +, B r (a) U i }. T1) { a, a r, r R +, B r (a) } açıktır { a R n, a R n r, r R +, B r (a) R n } R n açıktır. T2) I (sonlu veya sonsuz) herhangi bir indis kümesi olmak üzere, {U i } i I τ d U i τ d i I olduğu gösterilecektir. { a i I U i i 0 I, a U i0 i 0 I, r R +, B r (a) U i0 i I } U i U i açıktır. i I 18

28 T3) i {1, 2,..., n} olmak üzere, {U i } i I τ d, 1 i n için n U i τ d i=1 olduğunu göstermeliyiz. n a U i a U i, (i = 1, 2,..., n) i=1 olup, r 1 R + B r1 (a) U 1 r 2 R + B r2 (a) U 2. r n R + B rn (a) U n ve r = min {r 1, r 2,..., r n } olmak üzere, B r (a) B r1 (a) U 1 B r (a) B r2 (a) U 2. B r (a) B rn (a) U n n B r (a) i=1 U i bulunur. Böylece, τ d ailesi R n üzerinde bir topolojik yapı teşkil eder R n in Hausdorff Uzay Yapısı R n, d metriği ile birlikte bir Hausdorff uzayıdır: R n de farklı iki nokta a ve b olsun. Bu takdirde d(a, b) > 0 olup, 0 < r 1 2 d(a, b) seçilirse B r(a) B r (b) = olur. Böylece R n bir Hausdorff uzaydır. 19

29 R n in Haritası I : R n R n x I(x) = x özdeşlik dönüşümü bir homeomorfizmdir: I birebirdir: x, y R n için I(x) = I(y) x = y olur. I örtendir: I süreklidir: x R n için I(x) = x olacak şekilde x R n vardır. U R n için, U cümlesi açık olup, { } I 1 (U) = x R n I(x) U = U ters görüntü cümlesi de açıktır. I 1 süreklidir: I 1 : R n R n fonksiyonu için V, R n de bir açık olmak üzere (I 1 ) 1 (V ) = I 1 (V ) = V olup, I 1 süreklidir R n in Atlası A = {I} cümlesi R n nin bir atlasıdır: A1) I nın tanım kümesi R n olduğundan, R n in her bir noktası A daki bu koordinat sisteminin tanım bölgesinde yer alır. A2) A daki herhangi iki koordinat sistemi düzgün kesişir. I 1 I = I bileşke dönüşümü düzgün olduğundan, I ile I düzgün kesişirler. u i : R n R, 1 i n olmak üzere, u i = u i I : R n R için, u i koordinat fonksiyonları düzgün olduğundan I düzgündür. 20

30 R n in Tam Atlası ξ : U R n sistemi olsun. ξ(u) R n, R n de herhangi bir koordinat ξ I 1 I ξ 1 = ξ = ξ 1 dönüşümlerini ele alırsak R n in tam atlasında, R n in U açığından ξ(u) açığına giden diffeomorfizmler mevcuttur. R n in tam atlasını A ile göstereceğiz M n (R) NİN MANİFOLD YAPISI Teorem 2.1 olmak üzere, M n (R) = {A = [a ij ] n n a ij R, 1 i, j n} f : M n (R) R n2 A = [a ij ] n n f([a ij ]) = (a 11,..., a 1n,..., a n1,..., a nn ) dönüşümünü ele alalım. Teorem 1.40 ve Teorem 1.48 den M n (R), R n2 ye izomorftur. Yani, f birebir ve örtendir M n (R) nin Topolojisi R n2 manifoldunun topoloji ailesi τ olmak üzere, τ = { f 1 (U) U τ } cümlesi de M n (R) nin topoloji ailesidir. Böylece M n (R), τ topoloji ailesiyle birlikte bir topolojik uzaydır: 21

31 T1) τ f 1 ( ) = τ R n2 τ f 1 (R n2 ) τ, (f, örtendir) f 1 (R n2 ) = M n (R) τ bulunur. T2) I (sonlu veya sonsuz) bir indis kümesi ve {U i } i I τ için, ( ) U i τ f 1 U i τ i I i I f 1 (U i ) τ i I elde edilir. T3) J = {1, 2,..., n} bir indis kümesi ve {U i } i J τ için, elde edilir. n U j τ j=1 ( n ) f 1 U j τ j=1 n f 1 (U j ) τ Dolayısıyla, M n (R), τ cümlesi ile birlikte bir topolojik uzaydır. Ayrıca, τ nün tanımından f sürekliliği ve ek olarak f nin örtenliğinden f nin açık fonksiyon olduğu kolayca görülebilir. j= M n (R) nin Hausdorff Uzay Yapısı f : M n (R) R n2 22

32 olmak üzere, A B ve A, B M n (R) olsun. f, 1 : 1 olduğundan A B için f(a) = a b = f(b) olacak şekilde a, b R n2 vardır. R n2 Hausdorff uzay olduğundan, a ve b yi içeren açıklar, sırasıyla, U ve V olmak üzere; U V = dir. Ayrıca A ve B yi içeren açıklar, sırasıyla, f 1 (U) ve f 1 (V ) dir. Buna göre; bulunur. U V = f 1 (U V ) = f 1 ( ) f 1 (U) f 1 (V ) = f 1 ( ) f 1 (U) f 1 (V ) = M n (R) nin Atlası cümlesi M n (R) nin atlasıdır: B = {f f : M n (R) R n2} A1) f fonksiyonunun tanım kümesi M n (R) olduğundan, M n (R) nin her bir elemanı B nin f koordinat sisteminin tanım bölgesinde bulunur. A2) f B için, f f 1 = I bileşke dönüşümü düzgün olup, f ile f düzgün kesişirler. Dolayısıyla, B, M n (R) nin atlasıdır. 23

33 M n (R) nin Tam Atlası ξ : U R n2 ξ(u) R n2, R n2 nin tam atlasındaki bir koordinat sistemi olsun. f : M n (R) R n2 olmak üzere, için, M n (R) f R n2 U ξ ξ(u) R n2 ξ f : f 1 (U) M n (R) ξ(u) R n2 bileşke fonksiyonu da M n (R) de bir koordinat sistemidir: ξ f birebirdir: ξ, bir homeomorfizm olduğundan 1 : 1 dir. f ise tanımı gereği 1 : 1 dir. Dolayısıyla, ξ f bileşke fonksiyonu 1 : 1 dir. ξ f örtendir: ξ bir homeomorfizm olduğu için örtendir. Dolayısıyla, Teorem 1.49 dan ξ f örtendir. ξ f süreklidir: f : M n (R) R n2 dönüşümü için açık U R n2 açık ve f 1 (U) M n (R) olmak üzere, açık cümlenin ters görüntü cümlesi de açık olduğu için f süreklidir. ξ ise homeomorfizm olduğu için süreklidir. Böylece sürekli fonksiyonların bileşkesi olan ξ f dönüşümü süreklidir. (ξ f ) 1 süreklidir: (ξ f) 1 = f 1 ξ 1 bileşke fonksiyonun sürekli olması için ξ 1 ve f 1 bileşen fonksiyonları sürekli olmalıdır. ξ, homeomorfizm olduğu için tersi var ve süreklidir. h = f 1 : R n2 M n (R) ve açık açık U R n2 alt cümlesi için f 1 (U) M n (R) olsun. Buna göre; f 1 (U) = W için, h 1 (W ) = (f 1 ) 1 (W ) = (f 1 ) 1 (f 1 (U)) = f(f 1 (U)), (f örtendir) = U 24

34 bulunur. f 1 fonksiyonuna göre, açık cümlenin ters görüntü cümlesi açık olduğundan f 1 süreklidir. Böylece, f 1 ve ξ 1 sürekli olduğundan (ξ f) 1 de süreklidir. Sonuç olarak ξ f de bir koordinat sistemidir. Ayrıca, B = {f} atlası için, f (ξ f) 1 = (f f 1 ) ξ 1 = ξ 1 (ξ f) f 1 = ξ (f f 1 ) = ξ bileşke fonksiyonları düzgündür. Dolayısıyla, ξ f ve f düzgün kesişirler. B, M n (R) nin atlası olmak üzere, B de ξ f koordinat sistemleri mevcuttur. Böylece, M n (R), üzerinde tanımlı B tam atlasıyla birlikte bir manifolddur. Teorem 2.2 M n (R) üzerinde tanımlı determinant fonksiyonu süreklidir. İspat. A = [a ij ] n n M n (R) ve a = (a 11,..., a 1n,..., a n1,..., a nn ) R n2 olmak üzere, f : M n (R) R n2 A f(a) = (a 11, a 12,..., a 1n,..., a n1, a n2,..., a nn ) ve u ij : R n2 R a u ij (a) = a ij, 1 i, j n dönüşümleri için, x ij = u ij f olmak üzere, x ij (A) = a ij dir. x 11 x x 1n x 21 x x 2n A = [x ij (A)] n n = [x ij ] n n (A) = x n1 x n2... x nn (A) 25

35 şeklindeki karesel A matrisi için, det(a) = S(σ)a σ(1)1 a σ(2)2... a σ(n)n σ S ( n ) = S(σ)x σ(1)1 x σ(2)2... x σ(n)n (A) σ S n olup, determinant fonksiyonu det = S(σ)x σ(1)1 x σ(2)2... x σ(n)n (2.1) σ S n eşitliği ile belirlidir. Determinant fonksiyonu koordinat fonksiyonlarına göre bir polinomdur. Polinomlar ise diferensiyellenebilir yapılar olduğundan determinant fonksiyonu süreklidir. Teorem 2.3 Sonlu boyutlu bir reel vektör uzayı V olsun. Bu durumda V vektör uzayı bir manifolddur [12]. Teorem 2.4 GL(n, R), M n (R) nin bir açık alt manifoldudur. İspat. M n (R) üzerinde tanımlı toplama ve skalerle çarpım işlemleriyle birlikte bir vektör uzayı, dolayısıyla bir manifolddur. f : M n (R) R n2 A f(a) = (a 11, a 12,..., a 1n,..., a n1, a n2,..., a nn ) dönüşümünü ve det : M n (R) R determinant fonksiyonunu ele alalım. {0}, R de kapalı bir cümle olduğu için f nin sürekliliğinden, det 1 {0} ters görüntü cümlesi de M n (R) de kapalıdır. Bu sebeple ( 1 det {0}) = {A M n (R) det A 0} = GL(n, R) tümleyen cümlesi M n (R) nin açık bir alt cümlesidir. Dolayısıyla, Teorem 1.13 den GL(n, R), M n (R) nin bir açık alt manifoldudur. 26

36 2.3. GL(n, R) NİN LİE GRUP YAPISI GL(n, R), M n (R) nin bir açık alt manifoldu, aynı zamanda da matris çarpım işlemine göre bir gruptur. Ayrıca, det(ab) = det(a) det(b) olup, A ve B matrisleri regüler ise AB de regülerdir. AB çarpım matrisinin bileşenleri, A ve B nin bileşenlerinden oluşan polinomlardır ve bu bileşenler çarpım dönüşümünün yerel koordinatları yardımıyla tam olarak ifade edilebilir, böylece düzgündür. A = [a ij ] GL(n, R) matrisinin tersi A 1 = 1 det A A ji olarak yazılabilir. Burada A ij, A nın kofaktörleridir ve A nın bileşenlerinden oluşan polinomlardır. Ayrıca det A, A nın bileşenlerinin bir polinomudur. Dolayısıyla, A 1 in bileşenlerinin GL(n, R) de paydası sıfırdan farklı olacak şekilde rasyonel fonksiyonlar olduğu sonucu çıkarılır ve böylece düzgündür. Dolayısıyla, hem (A, B) AB, hemde A A 1 dönüşümleri düzgündür. Sonuç olarak, GL(n, R) bir Lie grubudur. Özel olarak GL(1, R) = R, sıfırdan farklı reel sayıların çarpım grubudur. 27

37 3 HEİSENBERG GRUBU Heisenberg grubu için üzerinde tanımlanan işleme göre farklı tanımlar kullanılmaktadır. Bu tanımlar içinde en çok bilineni N 3 cümlesi ile gösterilen matris grup modelidir. Ancak diğer tanımlar da en az bunun kadar kullanışlıdır. Bu bölümde, sırasıyla, bu tanımlamalar verilip, her biri için manifold yapıları, Lie grup yapıları, Lie cebirleri ve sol invaryant vektör alanlarını incelenecektir N 3 HEİSENBERG GRUBU Teorem 3.1 M 3 (R) nin N 3 = K = 1 x t 0 1 y : x, y, t R biçiminde tanımlanan alt cümlesi matris çarpım işlemi altında bir gruptur. İspat. K 1 = olsun. 1 x 1 t y 1, K 2 = 1 x 2 t y 2, K 3 = 1 x 3 t y 3 N 3 G1) Kapalılık Özeliği: K 1 K 2 = = 1 x 1 t y 1 1 x 2 t y 2 1 x 1 + x 2 t 1 + t 2 + x 1 y y 1 + y 2 N 3 28

38 dır. G2) Birleşme Özeliği: K 1(K 2 K 3 ) = (K 1 K 2 )K 3 eşitliği sağlanır: 1 x 1 t 1 1 x 2 t 2 1 x 3 t 3 K 1 ( K 2 K 3 ) = 0 1 y y y 3 ve = = 1 x 1 t y 1 1 x 2 + x 3 t 2 + t 3 + x 2 y y 2 + y 3 1 x 1 + x 2 + x 3 t 1 + t 2 + t 3 + x 1 y 2 + x 1 y 3 + x 2 y y 1 + y 2 + y 3 (K 1 K 2 )K 3 = = = 1 x 1 t y 1 1 x 1 + x 2 t 1 + t 2 + x 1 y y 1 + y 2 1 x 2 t y 2 1 x 3 t y 3 1 x 3 t y 3 1 x 1 + x 2 + x 3 t 1 + t 2 + t 3 + x 1 y 2 + x 1 y 3 + x 2 y y 1 + y 2 + y 3 olup, K 1 (K 2 K 3 ) = (K 1 K 2 )K 3 eşitliği sağlanır. G3) Birim eleman: n n tipindeki her kare matris için K I = I K = K olduğundan, N 3 grubunun birim elemanı I birim matrisidir. 1 x t G4) Ters eleman: K = 0 1 y N 3 matrisi için K 1 K = K K 1 = I 29

39 olacak şekilde bir tek K 1 = 1 x xy t 0 1 y N 3 vardır. N 3 cümlesi matris çarpma işlemi ile birlikte bir gruptur, fakat değişmeli grup değildir. Sonuç 3.2 K N 3 için det K 0 olduğundan K GL(3, R) dir ve N 3, GL(3, R) nin alt grubudur. Teorem 3.3 N 3, M 3 (R) de kapalıdır. İspat. f : M 3 (R) R 9 dönüşümü Teorem 2.1 ve M n (R) nin topolojik yapısından dolayı birebir, örten ve süreklidir. S = { (1, x, t, 0, 1, y, 0, 0, 1) R 9 x, y, t R } R 9 ve k = (k 11, k 12, k 13, k 21, k 22, k 23, k 31, k 32, k 33 ) R 9 için S cümlesinin tümleyeni, S = { k R 9 : k 11 > 1 } { k R 9 : k 11 < 1 } { k R 9 : k 21 > 0 } { k R 9 : k 21 < 0 } { k R 9 : k 22 > 1 } { k R 9 : k 22 < 1 } { k R 9 : k 31 > 0 } { k R 9 : k 31 < 0 } { k R 9 : k 32 > 0 } { k R 9 : k 32 < 0 } { k R 9 : k 33 > 1 } { k R 9 : k 33 < 1 } formundaki açık yarı uzayların birleşim kümesi olduğundan dolayı S açıktır. Dolayısıyla, S cümlesi R 9 da kapalıdır. O halde S nin f sürekli fonksiyonu altındaki ters görüntü kümesi olan f 1 (S) = N 3 = K = cümlesi de M 3 (R) de kapalıdır. 1 x t 0 1 y : x, y, t R 30

40 Lemma 3.4 Y, X in bir alt uzayı olsun. U, Y de açık ve Y, X de açık ise U, X de açıktır. Yani, dir [16]. Burada, p : U, Y de açıktır. q : Y, X de açıktır. r : U, X de açıktır. açık U Y ve açık Y X açık U X önermeleri için, Lemma 3.4 ün sembolik olarak ifadesi (p q) r şeklindedir. (p q) r r (p q) r (p q ) r (q p ) r (q p ) denk önermelerinden r (q p ) önemesinin bir yorumu olarak Y, X in bir alt uzayı olmak üzere, U, X de kapalı ise U, Y de kapalıdır. diyebiliriz. Teorem 3.5 N 3, GL(3, R) de kapalıdır. İspat. Lemma 3.4 de X = M 3 (R), Y = GL(3, R) ve U = N 3 olarak alınırsa GL(3, R), M 3 (R) nin bir alt uzayı olduğundan, N 3, M 3 (R) de kapalı ise N 3, GL(3, R) de kapalıdır. ifadesine ulaşılır. Teorem 3.6 GL(n, R) nin kapalı alt grubu bir manifolddur [2]. Teorem 3.7 N 3 Heisenberg grubu bir manifolddur. İspat. Teorem 3.5 ve Sonuç 3.2 den N 3 Heisenberg grubu GL(3, R) nin kapalı alt grubudur. Böylece, Teorem 3.6 dan, N 3 bir manifolddur. 31

41 N 3 Heisenberg Grubunun Lie Grup Yapısı N 3 cümlesi Teorem 3.1 den dolayı gruptur. Aynı zamanda da düzgün bir manifolddur. Bu durumda K 1, K 2 N 3 için, : N 3 N 3 N 3 (K 1, K 2 ) K 1 K 1 2 işlemini tanımlayalım. Burada, 1 x 1 t 1 K 1 K2 1 = 0 1 y 1 = = 1 x 1 t y 1 1 x 2 t y x 2 x 2 y 2 t y 2 1 x 1 x 2 x 2 y 2 y 2 x 1 + t y 1 y 2 N 3 dir. Sonuç matrisinin bileşenleri sabitlerden ve koordinat fonksiyonlarından oluşmaktadır. Yani sonuç matrisi koordinat fonksiyonlarının bir polinomudur. O halde N 3 cümlesi üzerinde tanımlanan matris çarpım işlemi düzgündür. Dolayısıyla, N 3 bir Lie grubudur N 3 Heisenberg Grubunun Lie Cebiri Teorem 3.8 N 3 Lie grubu için, X I =, Y I = olmak üzere, T I (N 3 ) = Sp {X I, Y I, Z I } ve Z I = 32

42 dır. İspat. X I T I (N 3 ) olsun. N 3 içinde α(0) = I ve α(0) = X I olacak şekilde en az bir eğrisi vardır. dır. α(u) = α : I R N u α(u) = α(0) = u = X I T I (N 3 ) Y I T I (N 3 ) olsun. N 3 içinde β(0) = I ve β(0) = Y I olacak şekilde en az bir eğrisi vardır. dır. β(u) = β : I R N 3 u β(u) = β(0) = u = Y I T I (N 3 ) Z I T I (N 3 ) olsun. N 3 içinde γ(0) = I ve γ(0) = Z I olacak şekilde en az bir γ : I R N 3 u γ(u) = 1 0 u

43 eğrisi vardır. γ(u) = γ(0) = = Z I T I (N 3 ) elde edilir. T I (N 3 ), I N 3 noktasından geçen eğrilerin hız vektörlerinin kümesidir. T I (N 3 ) deki her vektörü, I noktasındaki teğet uzayının {X I, Y I, Z I } bazındaki vektörlerin lineer bileşimi olarak yazabiliriz. Buna göre T I (N 3 ) Sp{X I, Y I, Z I } dir. boyn 3 = boyt I (N 3 ) = 3 olduğundan T I (N 3 ) = Sp{X I, Y I, Z I } bulunur. Burada elde edilen X I, Y I, Z I için Lie parantezlerine bakılırsa, [X I, Y I ] = X I Y I Y I X I = = = Z I, [X I, Z I ] = X I Z I Z I X I = = = 0, [Y I, Z I ] = Y I Z I Z I Y I =

44 = = 0 dır. Yani [X I, Y I ] = Z I, [Y I, Z I ] = 0, [X I, Z I ] = 0 elde edilir. Buradan N 3 Heisenberg grubunun χ L (N 3 ) sol invaryant vektör alanlarının uzayı için χ L (N 3 ) = T I (N 3 ) olduğundan, χ L (N 3 ) = Sp {X, Y, Z} elde edilir H HEİSENBERG GRUBU Heisenberg grubunu ifade etmenin diğer bir yolu sıralı üçlüleri kullanmaktır. İlk olarak, H = {(x, y, t) : x, y, t R} cümlesini (x 1, y 1, t 1 ), (x 2, y 2, t 2 ) H için (x 1, y 1, t 1 ) (x 2, y 2, t 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, t 1 + t 2 + x 1 y 2 ) (3.1) işlemi ile birlikte ele alalım. Teorem 3.9 (H, ) bir gruptur. İspat. G1) Kapalılık özeliği: k 1 = (x 1, y 1, t 1 ), k 2 = (x 2, y 2, t 2 ) H için dir. k 1 k 2 = (x 1, y 1, t 1 ) (x 2, y 2, t 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, t 1 + t 2 + x 1 y 2 ) H 35

45 G2) Birleşme özeliği: k 1 = (x 1, y 1, t 1 ), k 2 = (x 2, y 2, t 2 ), k 3 = (x 3, y 3, t 3 ) H için k 1 (k 2 k 3 ) = (k 1 k 2 ) k 3 dir. Gerçekten, ve k 1 (k 2 k 3 ) = (x 1, y 1, t 1 ) ((x 2, y 2, t 2 ) (x 3, y 3, t 3 )) = (x 1, y 1, t 1 ) (x 2 + x 3, y 2 + y 3, t 2 + t 3 + x 2 y 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3, y 1 + y 2 + y 3, t 1 + t 2 + t 3 + x 2 y 3 + x 1 y 2 + x 1 y 3 ) (k 1 k 2 ) k 3 = ((x 1, y 1, t 1 ) (x 2, y 2, t 2 )) (x 3, y 3, t 3 ) dir. = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, t 1 + t 2 + x 1 y 2 ) (x 3, y 3, t 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3, y 1 + y 2 + y 3, t 1 + t 2 + t 3 + x 1 y 2 + x 1 y 3 + x 2 y 3 ) G3) Birim eleman: k = (x, y, t) H için k e = e k = k olacak şekilde bir tek e = (0, 0, 0) H vardır. G4) Ters eleman: k = (x, y, t) H için k k 1 = k 1 k = e olacak şekilde bir tek k 1 = ( x, y, t + xy) H vardır. H grubu değişmeli değildir H Heisenberg Grubunun Lie Grup Yapısı H cümlesi, g 1 = dx 2 + dy 2 + (dz + xdy) 2 (3.2) 36

46 metriği ile birlikte bir manifolddur. Şimdi, k 1 = (x 1, y 1, t 1 ), k 2 = (x 2, y 2, t 2 ) H için h 1 : H H H (k 1, k 2 ) h 1 (k 1, k 2 ) = k 1 k 1 2 dönüşümünü tanımlayalım. Burada, bulunur. h 1 (k 1, k 2 ) = k 1 k 1 2 = (x 1, y 1, t 1 ) (x 2, y 2, t 2 ) 1 = (x 1, y 1, t 1 ) ( x 2, y 2, t 2 + x 2 y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2, t 1 t 2 + x 2 y 2 x 1 y 2 ) H h 1 (k 1, k 2 ) = k 1 k 1 2 = (x 1 x 2, y 1 y 2, t 1 t 2 + x 2 y 2 x 1 y 2 ) fonksiyonu koordinat fonksiyonlarına göre polinomlardan oluştuğu için h 1 işlemi düzgündür. Dolayısıyla, H bir Lie grubudur. Teorem 3.10 ϕ : N 3 = K = 1 x t 0 1 y GL(3, R) : x, y, t R (H, ) dönüşümünü K N 3 için ϕ(k) = (x, y, t) olacak şekilde tanımlayalım. ϕ bir grup izomorfizmidir. İspat. ϕ birebirdir: K 1, K 2 N 3 için ϕ(k 1 ) = ϕ(k 2 ) = K 1 = K 2 olduğu gösterilmelidir. 1 x 1 t 1 1 x 2 t 2 K 1 = 0 1 y 1, K 2 = 0 1 y 2 N 3 olsun. Bu durumda; ϕ(k 1 ) = (x 1, y 1, t 1 ) = k 1 ve ϕ(k 2 ) = (x 2, y 2, t 2 ) = k 2 37

47 olup, bulunur. ϕ(k 1 ) = ϕ(k 2 ) (x 1, y 1, t 1 ) = (x 2, y 2, t 2 ) x 1 = x 2, y 1 = y 2, t 1 = t 2 ) K 1 = K 2 ϕ örtendir: k = (x, y, t) H için ϕ(k) = k olacak şekilde 1 x t K = 0 1 y N 3 vardır. ϕ grup homomorfizmidir: 1 x 1 t 1 K 1 = 0 1 y 1, K 2 = olmak üzere, dır. Böylece, ve olup, K 1 K 2 = ϕ(k 1 K 2 ) = ϕ 1 x 2 t y 2 1 x 1 + x 2 t 1 + x 1 y 2 + t y 1 + y 2 N 3 1 x 1 + x 2 t 1 + x 1 y 2 + t y 1 + y 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, t 1 + x 1 y 2 + t 2 ) ϕ(k 1 ) ϕ(k 2 ) = (x 1, y 1, t 1 ) (x 2, y 2, t 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, t 1 + t 2 + x 1 y 2 ) ϕ(k 1 K 2 ) = ϕ(k 1 ) ϕ(k 2 ) dir. O halde, ϕ bir grup homomorfizmidir. 38

48 Teorem 3.11 V 1 =, V 2 = + x 1, V 3 = (3.3) x 1 x 2 x 3 x 3 vektör alanları, (3.1) işlemiyle verilen H Lie grubuna göre sol invaryanttır [5]. İspat. a = (a 1, a 2, a 3 ), x = (x 1, x 2, x 3 ) H için sol öteleme L (a1,a 2,a 3 )(x 1, x 2, x 3 ) = (a 1 + x 1, a 2 + x 2, a 3 + x 3 + a 1 x 2 ) şeklindedir. X, sol invaryant vektör alanı olsun. Bu durumda a = (a 1, a 2, a 3 ) H için X a = (L a ) X e dir. x i, i. koordinat vektör alanı ve X e de X vektör alanının birim noktadaki değeri olmak üzere, X i a = X a (x i ) = (L a ) X e (x i ) = X e (x i L a ) (3.4) dır. b = (b 1, b 2, b 3 ) H olsun. O zaman, (x 1 L a )(b) = x 1 (L a (b)) = x 1 (a b) = a 1 + b 1 = x 1 (a) + x 1 (b), (x 2 L a )(b) = x 2 (L a (b)) = x 2 (a b) = a 2 + b 2 = x 2 (a) + x 2 (b), (x 3 L a )(b) = x 3 (L a (b)) = x 3 (a b) = a 3 + b 3 + a 1 b 2 = x 3 (a) + x 3 (b) + x 1 (a)x 2 (b) dir. Burada eşitliğin her iki tarafından b atılırsa, x 1 L a = x 1 (a) + x 1, x 2 L a = x 2 (a) + x 2, x 3 L a = x 3 (a) + x 3 + x 1 (a)x 2 bulunur. Bu değerler (3.4) eşitliğinde yerine yazılır ve olarak alınırsa, X e = ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 x 1 x 2 x 3 X 1 a = X e (x 1 (a) + x 1 ) = ξ 1, Xa 2 = X e (x 2 (a) + x 2 ) = ξ 2, Xa 3 = X e (x 3 (a) + x 3 + x 1 (a)x 2 ) = ξ 3 + x 1 (a)ξ 2 39

49 bulunur. Dolayısıyla, X sol invaryant vektör alanı X = ξ 1 + ξ 2 + (ξ 3 + x 1 ξ 2 ) x 1 x 2 x 3 = ξ 1 ( ) + ξ 2 + x 1 + ξ 3 x 1 x 2 x 3 x 3 = ξ 1 V 1 + ξ 2 V 2 + ξ 3 V 3 formundadır. O halde, V 1, V 2 ve V 3 lineer bağımsız vektör alanları χ L (H) nin bir bazını oluşturur H HEİSENBERG GRUBU Heisenberg grubunu ifade etmenin bir diğer yolu H = C R = {(z, t) : z C, t R}, z = x + iy C cümlesini (x, y, t), ( x, ỹ, t) H için ( x, ỹ, t) (x, y, t) = ( x + x, ỹ + y, t + t xy (3.5) 2 2ỹx) işlemi ile birlikte tanımlamaktır. Teorem 3.12 H cümlesi bir gruptur. İspat. G1) Kapalılık Özeliği: k 1, k 2 H için k 1 k 2 H dir. G2) Birleşme Özeliği: k 1 = (x 1, y 1, t 1 ), k 2 = (x 2, y 2, t 2 ), k 3 = (x 3, y 3, t 3 ) H için, (k 1 k 2 ) k 3 = k 1 (k 2 k 3 ) dir. Gerçekten, (k 1 k 2 ) k 3 = ((x 1, y 1, t 1 ) (x 2, y 2, t 2 )) (x 3, y 3, t 3 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, t 1 + t x 1y x 2y 1 ) (x 3, y 3, t 3 ) 40

50 = (x 1 + x 2 + x 3, y 1 + y 2 + y 3, t 1 + t 2 + t x 1y x 2y y 3(x 1 + x 2 ) 1 2 x 3(y 1 + y 2 )) = (x 1, y 1, t 1 ) (x 2 + x 3, y 2 + y 3, t 2 + t x 2y x 3y 2 ) = (x 1, y 1, t 1 ) ((x 2, y 2, t 2 ) (x 3, y 3, t 3 )) = k 1 (k 2 k 3 ) dir. G3) Birim eleman: k = (x, y, t) H için k e = e k = k olacak şekilde bir tek e = (0, 0, 0) H vardır. G4) Ters eleman: k = (x, y, t) H için k k 1 = k 1 k = e olacak şekilde bir tek k 1 = ( x, y, t) H vardır. H grubu değişmeli değildir H Heisenberg Grubunun Lie Grup Yapısı H cümlesi, g 2 = dx 2 + dy 2 + ( dt (ydx xdy) ) 2 (3.6) Riemann metriği ile birlikte bir manifolddur. Şimdi, k 1 = (x 1, y 1, t 1 ), k 2 = (x 2, y 2, t 2 ) H için, h 2 : H H H (k 1, k 2 ) h 2 (k 1, k 2 ) = k 1 k2 1 41

51 dönüşümünü tanımlayalım. Burada, dır. h 2 (k 1, k 2 ) = k 1 k 1 2 = (x 1, y 1, t 1 ) (x 2, y 2, t 2 ) 1 h 2 (k 1, k 2 ) = k 1 k 1 2 = = (x 1, y 1, t 1 ) ( x 2, y 2, t 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2, t 1 t (x 1y 2 + y 1 x 2 )) H ( x 1 x 2, y 1 y 2, t 1 t 2 1 ) 2 (x 1y 2 + y 1 x 2 ) fonksiyonu koordinat fonksiyonlarına göre polinomlardan oluştuğu için h 2 fonksiyonu düzgündür. Teorem 3.13 X 1 = 1 x 1 2 x 2, X 2 = + 1 x 3 x 2 2 x 1, X 3 = (3.7) x 3 x 3 vektör alanları, (3.5) işlemiyle verilen H Lie grubuna göre sol invaryanttır. İspat. k = (x, y, t), l = (x, y, t ) H için sol öteleme L k : H H l L k (l) = k l = (x + x, y + y, t + t (xy yx )) şeklindedir. X, sol invaryant vektör alanı olsun. x i, i. koordinat vektör alanı ve X e de X vektör alanının e = (0, 0, 0) birim noktadaki değeri olmak üzere, (dl k ) e (X e ) = X k = 3 i=1 X i k k x i dır. Burada X i k bileşenleri, X i k = (dl k ) e (X e )[x i ] = X e [x i L k ] 42

52 olur. (x 1 L k )(l) = x 1 (L k (l)) = x 1 [k l] = x + x = x 1 (k) + x 1 (l) (x 1 L k )(l) = x 1 (k) + x 1 (l) x 1 L k = x 1 (k) + x 1 bulunur. Benzer şekilde, (x 2 L k )(l) = x 2 (L k (l)) = x 2 [k l] = y + y = x 2 (k) + x 2 (l) ve (x 2 L k )(l) = x 2 (k) + x 2 (l) x 2 L k = x 2 (k) + x 2 (x 3 L k )(l) = x 3 (L k (l)) = x 3 [k l] = 1 2 (xy yx ) + t + t (x 3 L k )(l) = 1 2 (x 1(k)x 2 (l) x 1 (l)x 2 (k)) + x 3 (k) + x 3 (l) (x 3 L k ) = 1 2 (x 1(k)x 2 x 1 x 2 (k)) + x 3 (k) + x 3 bulunur. Böylece, X 1 k = X e [x 1 L k ] = X e [x 1 (k) + x 1 ] = X e [x 1 ] = X 1 e X 2 k = X e [x 2 L k ] = X e [x 2 (k) + x 2 ] = X e [x 2 ] = X 2 e X 3 k = X e [x 3 L k ] = X e [ 1 2 (x 1(k)x 2 x 1 x 2 (k)) + x 3 (k) + x 3 ] = 1 2 (x 1(k)X 2 e x 2 (k)x 1 e ) + X 3 e elde edilir. Böylece, ve X 1 = ξ 1, X 2 = ξ 2, X 3 = ξ (x 1ξ 2 x 2 ξ 1 ) X 1 e = ξ 1, X 2 e = ξ 2, X 3 e = ξ 3 eşitlikleri yazılabilir. Bu durumda X sol invaryant vektör alanı, ( X = ξ 1 + ξ 2 + ξ ) x 1 x 2 2 (x 1ξ 2 x 2 ξ 1 ) x ( 3 = ξ 1 1 ) ( x 1 2 x 2 + ξ ) x 3 x 2 2 x 1 + ξ 3 x 3 x 3 = X 1 + X 2 + X 3 x 1 x 2 x 3 43

53 olarak bulunur. Dolayısıyla, X 1, X 2, X 3 lineer bağımsız vektör alanları χ L (H ) ın bir bazını oluşturur. Ayrıca, L k (l) = k l sol çarpım operatörünün dl k = y 1 2 x 1 diferensiyeline sahip olduğu da görülebilir H Heiseberg Grubu Üzerinde Metrik Kavramı H cümlesinin g 2 metriğine göre ortonormal bir bazı (3.7) eşitliğiyle verilen ψ = {X 1, X 2, X 3 } olmak üzere, ψ bazının dual bazı, dır. θ 1 = dx, θ 2 = dy, θ 3 = dt + 1 (ydx xdy) 2 g 2 : H H F(H ) (U, V ) g 2 (U, V ) = { (θ 1 ) 2 + (θ 2 ) 2 + (θ 3 ) 2} (U, V ) olur. g 2 metriğinin simetri, bilineer ve pozitif tanımlı olma özeliğini sağladığı kolayca gösterilebilir. U = (u 1, u 2, u 3 ), V = (v 1, v 2, v 3 ) H için, g 2 = (θ 1 ) 2 + (θ 2 ) 2 + (θ 3 ) 2 = dx 2 + dy 2 + (dt + 12 ) 2 ydx xdy olup, metriğe uygulanırsa, dx 2 (U, V ) = (dx dx)(u, V ) = (dx)(u)(dx)(v ) = v 1 u 1 44

54 dy 2 (U, V ) = (dy dy)(u, V ) = (dy)(u)(dy)(v ) = v 2 u 2 (dz+ 1 2 (ydx xdy))2 (U, V ) =(dt (ydx xdy)) (dt + 1 (ydx xdy))(u, V ) 2 =(dt (ydx xdy))(u)(dt + 1 (ydx xdy))(v ) 2 =(v (yv 1 xv 2 ))(u (yu 1 xu 2 )) değerleri elde edilir. Dolayısıyla, g 2 (U, V ) = {dx 2 + dy 2 + (dt (ydx xdy))2 }(U, V ) = v 1 u 1 +v 2 u 2 + (v (yv 1 xv 2 ))(u (yu 1 xu 2 )) = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u v 3(yu 1 xu 2 ) u 3(yv 1 xv 2 ) (y2 v 1 u 1 xyv 1 u 2 ) 1 4 (xyu 1v 2 x 2 v 2 u 2 ) = (1 + 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4 y2 v 1 u 1 4 xy v 1 u 2 4 xy v 2 u 1 + (1 + 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4 x2 v 2 u y v 1 u 3 2 x v 2 u 3 ( 1 ) ( 1 ) + 2 y v 3 u 1 2 x v 3 u 2 + v 3 u 3 = (1 + 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4 y2 u 1 v 1 4 xy u 2 v y u 3 v 1 ( 1 ) 4 xy u 1 v 2 + (1 + 1 ) ( 1 ) 4 x2 u 2 v 2 2 x u 3 v 2 ( 1 ) ( 1 ) + 2 y u 1 v 3 2 x u 2 v 3 + v 3 u 3 45

55 olur. Bu metriğe karşılık gelen matris [(g 2 ) ij ] ise, y2 1 4 xy 1 2 y [(g 2 ) ij ] = 1 4 xy x2 1 2 x 1 2 y 1 2 x 1 olup, det [(g 2 ) ij ] = 1 0 bulunur. Bu matris regülerdir ve tersi [(g 2 ) ij ] 1 ile gösterilirse, 1 0 y [(g 2 ) ij ] 1 2 = x y x (x2 + y 2 ) dır. Teorem 3.14 g 2 = dx 2 + dy 2 + (dt + 12 ) 2 (ydx xdy) metriğinin Riemann koneksiyonunun kovaryant türevlerine ait matris; X X X Y X Z = Y X Y Y Y Z = 1 0 Z Y Z 0 X 2 Z X Z Y Z Z Y X 0 şeklindedir. Burada X, Y ve Z, sırasıyla, (3.7) denkleminde verilen X 1, X 2 ve X 3 sol invaryant vektör alanlarıdır [4]. İspat. X, Y, Z vektör alanları için Koszul formülü X Y, Z = 1 { [X, Y ], Z [Y, Z], X + [Z, X], Y } 2 46

56 biçimde tanımlanır. X X, Z = 1 { [X, X], Z [X, Z], X + [Z, X], X } 2 = 1 { 0, Z 0, X + 0, X } 2 = 0 bulunur. (3.7) den Z 0 olduğundan dolayı, X X = 0 dır. Benzer hesaplamalarla, X Y, Z = 1 { [X, Y ], Z [Y, Z], X + [Z, X], Y } 2 = 1 { Z, Z 0, X + 0, Y } 2 = 1 2 elde edilir. Buradan, X Y, Z = XY = Z X Y = Z 2 dir. Diğer kovaryant türevler de benzer hesaplamalar sonucu, X X Y X = 0, X Y = 1 2 Z, XZ = 1 2 Y = 1 2 Z, Y Y = 0, Y Z = 1 2 X Z X = 1 2 Y, ZY = 1 2 X, ZZ = 0 elde edilir. Burada X, Y, Z vektör alanları için bracket operatörü, [X, Y ] = Z, [X, Z] = 0, [Y, Z] = 0 47

57 şeklinde tanımlıdır. Gerçekten, dir. Yani, Tanım 1.30 dan, [X, Y ] = X Y Y X = 1 2 Z ( 1 2 Z ) = (0, 0, 1 2 ) (0, 0, 1 2 ) = (0, 0, 1) = Z [Y, Z] = Y Z Z Y = (0, 0, 0) (0, 0, 0) = (0, 0, 0) [X, Z] = X Z Z X = (0, 0, 0) (0, 0, 0) = (0, 0, 0) [X, Y ] = Z, [X, Z] = 0, [Y, Z] = 0. (3.8) R abc = R(e a, e b )e c, R abcd = R(e a, e b, e c, e d ) yazılır. X, Y, Z χ(m) olmak üzere, R(X, Y )Z = X Y Z + Y X Z + [X,Y ] Z den R 121 = R(X, Y )X hesaplanırsa, R 121 = R(X, Y )X = X Y X + Y X X + [X,Y ] X ( = X 1 ) 2 Z + Y 0 + Z X = 1 1 ( 2 2 Y + 12 ) Y = 3 4 Y 48

58 olur. Benzer şekilde, R 133 = R(X, Z)Z = X Z Z + Z Z X + [X,Z] Z ( = X 0 + Z 1 ) 2 Y + 0 Z = X = 1 4 X R 122 = R(X, Y )Y = X Y Y + Y X Y + [X,Y ] Y = X 0 + Y ( 1 2 Z) + ZY = X X = 3 4 X R 232 = R(Y, Z)Y = Y Z Y + Z Y Y + [Y,Z] Y ( ) 1 = Y 2 X + Z Y ( = 1 ) ( 12 ) 2 Z = 1 4 Z R 133 = R(X, Z)Z = X Z Z + Z X Z + [X,Z] Z ( = X 0 + Z 1 ) 2 Y + 0 Z ( = 1 ) ( ) X = 1 4 X 49

59 R 1212 = R(X, Y, X, Y ) = g(r(x, Y )X, Y ) = g ( 34 ) Y, Y = 3 4 R 2323 = R(Y, Z, Y, Z) = g(r(y, Z)Y, Z) ( ) 1 = g 4 Z, Z elde edilir. Sonuç olarak, = 1 4 R 121 = 3 4 Y, R 133 = 1 4 X, R 122 = 3 4 X (3.9) R 232 = 1 4 X, R 133 = 1 4 X R 1212 = 3 4, R 2323 = 1 4 (3.10) yazılabilir. 50