TÜREV. lim limiti bir gerçel sayı ise bu limite. lim. lim 1 ( ' f:(a, b) R ve x o (a, b) olmak üzere;

Transkript

1 8 :a, b R ve o a, b olmak üzere; o o o lim limiti bir gerçel aı ie bu limite onkionunun o aki türev i enir. o ile göterilir. = o + olarak alınıra ; o o o lim 0 olur. lim 0 o o o lim 0 o o o UYARI: Fonkionun o a türevinin olmaı için gerek ve eter şart, olan ve ağan türevlerinin var ve eşit olmaıır. c R ve R için; =c ie =0 ır. = n ie = n. n- c = c g = g.g =.g +.g.. g g g g. g g g o o TÜREV

2 F F, 0 ie F t ve gt ie in ie co t t co ie in tan ie tan cot ie cot ec ie ec. tan cc ie cc. cot arcin ie arcco ie arctan ie arccot ie a ie a. ln a e ie e log ie a.ln a ln ie 8

3 Eġitlik, tablo ve graiği kullanarak onkionların itenen noktalarınaki TÜREVLERİNİ bulunuz. = -+ g g =/, = =-, =, =-. = g-=. = g -=. = g0-=. = g =. = g =. = g= 7. = g= 8. = g= 8

4 9. = g= 0. =0 g=. = g+=. = g +=. = g=. = +g=. =0 g +=. = += 7. =0 gin = 8. = cog= 9. = g = 0. = g e = YANITLAR: / / 0. Aġağıaki onkionların türevlerini alınız...in..co. in. in. co. in.co 7, +in 8, co 9. in 0..e..ln. e. in.in. co.co. e.e 8

5 . 7. in in 8. co in co in. co in 7. in 8. co e ln. in.. in+. in +. in. in 7. co - 8. co co 0. co 7 e. tan. in e. inco. co.. e in 7. 7 e 8. e e 9. e tan 0. e. ln+7. ln +. lnin. ln. lntan. ln+ 7. ln7-co e +. +in 8

6 . e +co 8. in +co. in ln 7. e in YANITLAR:. co in. in co. co in. co in. in co. in co 7. co in 8. in co 9. co in 0. e e. ln. e e. in. co. in. co. e.. co in 7. co 8. in in co co in. co 8

7 co in. in co 7. in e 9.. e in. in co in co. in in co 8. ln 0....co..in co.. co.. co. 7. co.in. 8. in in. 0. 7co e. in e. e. ec.. co e. e. coco. in. in.. in e.. e. co 7. 7 e e. 9. e tan. ec 0. e. 87

8 . 7.. co in....ec tan. 7. in 7 co e e 7.. in. co. 8. e co e in..in co co in. co in ln 7. e co e in 88

9 = onkionunun a = için türevi? a== a+=+=+ =++ a+-a=+ a a a lim 0 a a lim 0 lim 0 = nin = eki teğet enklemi : = a-a + a = +- =- = - onkionunun a= için türevi? a== a+=+=+ -=+0+ a+-a=0+ a a 0 0 a lim 0 a a lim 0 lim0 0 0 = - nin = eki teğet enklemi : = a-a + a =+0-, =0-7 89

10 90 = onkionunun a= için türevi? a== a+=+=+ =++ a+-a=+ a a a a a lim 0 lim lim 0 0 = nin = eki teğet enklemi : = a-a + a =-+ =- = onkionunun = için türevi?. a a lim lim 0 0 ; raonel. = 0 ; irraonel onkionu için 0=0 ır.

11 9 lim 0 = için =? +- = + - = + lim lim 0 0 = - için =? 0 ] [ 0 lim0 lim 0 0 = için =? lim lim 0 0

12 9 için =? lim lim 0 0 için =? lim lim 0 0 TEOREM: onkionunun tanım kümeinin bir a elemanı türevi bulunabiliora, onkionu bu noktaa ürekliir. SONUÇ: onkionu = a noktaına ürekli eğil ie, onkionunun = a için türevi alınamaz.

13 ÖRNEK : = ; 0 + ; > 0 onkionunun =0 a türevli olmaığını göteriniz. lim lim lim lim 0 0 lim oktur 0 0 onkionu = 0 a ürekli eğilir. = 0 a ürekli olmaan onkionunun = 0 a türevi alınamaz. SOLDAN VE SAĞDAN TÜREV: lim 0 lim 0 NOT: onkionunun ol vea ağ limitinen öz eilebilmei için, onkionun o noktanın oluna vea ağına tanımlı olmaı gerekir. TEOREM: onkionu açık arılıkta tanımlı,bu aralıktaki bir eğeri için türevli olmaı için gerek ve eter koşul ; bu noktaa olan ve ağan türevlerinin var ve eşit olmaıır. 9

14 onkionunun = 0 noktaınaki türevini araştırınız? 0 lim lim 0 0 lim lim oluğunan 0 oktur. = 0 ; < 0 ; 0 onkionu için 0 =? lim lim lim lim oluğunan 0 0 ır. onkionunun =0 noktaınaki türevini araştırınız? _ 0 lim 0 0 lim oluğunan 0 oktur. 9

15 onkionunun =0 noktaınaki türevini araştırınız? lim lim lim lim lim lim Hareketlinin oğru bounca t zamana alığı ol ile göteriliğine ; v t v t t anınaki HIZ ı verir. t,, 0 w w 0w 9 TEOREM: Bir açık aralıkta tanımlı ve bu aralıktaki =a için türevli olan ve g onkionları için ; c, g, g, g ve onkionları a = a için türevliir. g g a 0 9

16 9 a c a c u için u c cu ir. w w w w w w a g a a g u ve g v için: v u v u ir. 0 a g a a g a a g u ve g v için: v u v u uv ir.

17 97 9 =? için? 7 a g a g a a g a a g u ve g v için: v v u v u v u ir.? 0 9

18 98 w için? w w? Q r için ; r r r ir. 7 7 w w w

19 onkionu için ; şekline göterilioru. iaeine nin ieranieli enir.

20 u ve u g onkionları için ; u ir. u u ve r Q için ; r u r u ru ir. 0 F ie F? F ie F? F F 7 9 F ie F? F F ie F? F 00

21 0 F ie? F F g F ie? F g g F

22 w w w w w w w w w w w w w w w w 0 in co t t t t.tan ec ec

23 0 in eğriinin noktaınaki teğetinin enklemini azınız? co m t,,in P P tan eğriinin noktaınaki teğetinin enklemini azınız? ec m t, tan, P P ec tan oluğunu kanıtlaınız? ec co co in co co in in.co co co in tan co in co in in

24 0 co 8 in co in in in co in ec co tanin.cotan tan ec.9.ec. tan cotan.ec tan cotan tan tan cotan tan cotan intan

25 u in u co u. u co u in u. tan u ec cot u cc u u. u u. u ecu ecu.tan u. u ccu ccu.cot u. F F, 0 ie F t ve gt ie t t için ; =? ve =? n 0 n 0

26 in co in 8co co co in n n in n=,,,,. n n n n n n için ;,,, 0,.... 0

27 için ;,,, için,, için, ir için?????????????? 07

28 ie?, 0 0,, için,, için, ir ie?

29 09 in ie? in 0 in in 0. co in 0. co in 0. co co in co co in 9 ie?

30 0 7 ie? ie ; bulunu, olur.

31 in ie ; in co. ec ec ec.tan ec.tan ec.tan.ec ec ec :[a, b] R onkionu bu aralıkta ürekli, a, b aralığına türevli olun. Bu onkion o a, b noktaına etremum eğerini alıora, bu nokta için türevi ıırır. onkionunu [-, ] aralığına inceleiniz? Yerel minimum. 9 Yerel Mutlak makimum. 9 Mutlak minimum.

32 [a, b] e ürekli, a, b e türevli onkionu için; a = b ie c = 0 olacak şekile ca, b varır. [a, b] e ürekli, a, b e türevli onkionu için; b a c olacak şekile ca, b varır. b a [a, b] e ürekli, a, b e türevli onkionu için; a, b e 0 oluora, onkion [a, b] e abit eğerler alır. ve g, [a, b] e ürekli, a, b e türevli onkionlar olun. a, b için g ie a, b için g C ir. onkionunu inceleiniz?, R ve için ; oluğunan onkion artan. onkionunu,0 aralıklarına inceleiniz? ve aralığına 0 olun. 0 olup onkion bu aralıkta artanır.,0 aralığına 0 olun. 0 olup onkion bu aralıkta azalanır.

33 . :[a, b] R onkionu bu aralıkta ürekli, a, b aralığına türevli olun. a, b e 0 oluora, onkion bu aralıkta artanır. :[a, b] R onkionu bu aralıkta ürekli, a, b aralığına türevli olun. a, b e 0 oluora, onkion bu aralıkta azalanır. 8 onkionunu inceleiniz?, için 0 azalan.,0 için 0 artan. 0, için 0 azalan., için 0 artan. onkionunu inceleiniz. 7,0 için 0 artan. 0, için 0 7 artan., için 0 7 azalan., için 0 artan.

34 onkionunun kritik noktaı =c olun. c 0 c en küçük eğerler için 0, c en büük eğerler için 0 ie =c e onkion erel makimum apar. c en küçük eğerler için 0, c en büük eğerler için 0 ie =c e onkion erel minimum apar. 8 onkionunu inceleiniz? 0 0 =-, =0, = kritik noktalar., için 0 azalan. =- erel minimum,0 için 0 artan. =0 erel makimum 0, için 0 azalan. = erel minimum, için 0 artan. onkionunu inceleiniz =0, =, = kritik noktalar. 7,0 için 0 artan. =0 büküm noktaı 0, için 0 artan. = erel makimum. 7 7, için 0 azalan. = erel minimum. 7, için 0 artan.

35 Bir onkion o a türevli ie bu noktaa ürekliir. :a, b R onkionu bu aralıkta artan ve türevli ie türevi pozititir. :a, b R onkionu bu aralıkta azalan ve türevli ie türevi negatitir. Bir onkionun o noktaınaki türevi, graiğine bu noktaan çizilen teğetin eğimiir. Bir areketlinin t anınaki ızı, l t onkionunun t eki türeviir. Bir areketlinin t anınaki ivmei, vt onkionunun t eki türeviir. :[a, b] R onkionu bu aralıkta ürekli, a, b aralığına türevli olun. Bu onkion o a, b noktaına etremum eğerini alıora, bu nokta için türevi ıırır. İkinci türevin poziti oluğu aralıkta onkionun graiğine eğrilik ukarıa oğruur. konvek İkinci türevin negati oluğu aralıkta onkionun graiğine eğrilik aşağıa oğruur. konkav Bir eğri parçaının üzerine alınan bir nokta ile arılan parçalarının bükelikleri arklı ie bu noktaa bükülme önüm noktaı enir. Bu noktaa onkionun ikinci türevi vara ıırır. ROLLE TEOREMİ: [a, b] e ürekli, a, b e türevli onkionu için; a = b ie c = 0 olacak şekile ca, b varır.

36 ORTALAMA DEĞER TEOREMİ: [a, b] e ürekli, a, b e türevli onkionu için; b a c olacak şekile ca, b varır. b a L HOSPİTAL TEOREMİ: lim 0 a vea ve lim g 0 a vea ie lim a g lim ir. a g GRAFİK ÇİZİMİ: Tanım aralığı bulunur. Aimtotlar bulunur. :R R için; lim g 0 ie g eğriine, in aimtotu enir. g = c ie ata aimtot. lim a ie = a üşe aimtot. a b nin aimtotu a ir. Ekenleri ketiği noktalar bulunur. Türev alınır. Değişimi incelenir. Değişim tablou çizilir. Tabloa bakılarak graik çizilir.

37 Bir oğru bounca areket een noktanın t anie zamanına bağlı olarak alığı ol metre t=t ile verilmiştir. t,7 için ; Yolculuk bounca ortalama ızı? t=. Sanieeki ızı? t=. Sanieeki ivmei? onkionu ÇÖZÜM: 7 v ort. 7 m / n 7 v t. 7 m/ n a t. m/ n Aşağıaki koşullarla belirli bir graik çiziniz. I. lim 0 II. 0 ve alnız = için =0 III. Tanımlı oluğu tüm eğerleri için > 0 ÇÖZÜM: 7

38 = in + co + e ie 999 =? ÇÖZÜM: co in e in co e co in e in co e.9 co in e n N için ; = n ie n 0 =? ÇÖZÜM: = n. n- = nn-. n- = nn-n-. n-. n = n! oluğunan n 0 = n! ir. eğriinin = noktaınaki teğetinin enklemi? ÇÖZÜM: m t mt 8

39 Verilenlere göre lim b? a 0 ÇÖZÜM: m t a a m n m t a a a a =0 için b= a lim 0 0 a a Aġağıaki onkionların TÜREVLERİNİ alınız :. = = = ln. = tan. = +in.co 9

40 EN BÜYÜK EN KÜÇÜK PROBLEMLERİ:. a ve b poziti tamaıları için; a + b = 9 ie a.b iaeinin alabileceği en büük eğer kaçtır? A 7 B 8 C 00 D 08 E. Şekileki ikörtgen biçimineki tarla paralel üç çitle ört parçaa arılacaktır. Çevre ve araa kullanılan çitin toplam uzunluğu 00 m. oluğuna göre toplam alan en çok kaç metre kare olabilir? A 000 B 00 C 000 D0 E metrekarelik malzemeen ütü açık, kare tabanlı bir prizma apılacaktır. Hacmi en çok kaç metreküp olabilir? A B 8 C D E 0. metrekarelik malzemeen ütü açık ilinir epo apılacaktır. Hacmi en çok kaç metreküp olabilir? A / B / C D / E 0

41 . Boutları m. ve m. olan ikörtgen şeklineki bir levanın köşelerinen eşit büüklükte kareler keilecektir. Kalan kımın anları ukarıa kıvrılarak ütü açık bir ikörtgenler prizmaı apılacaktır. Hacminin en büük olmaı için keilecek karelerin bir kenar uzunluğu kaç metre olmalıır? A / B D 7 7 E C /. Analitik üzleme 8/9, noktaınan geçen oğrularla ekenlerin oluşturuğu ik üçgenleren ipotenü uzunluğu en küçük olanın alanı kaç birimkareir? A B 9/7 C /9 D 7 E 7. eğrii üzerine A,0 noktaını en akın ; noktaının apii kaçtır? A B 7/ C D 9/ E

42 8. Hacmi 0 metreküp olan ilinir şekline bir epo apılacaktır. Taban ve tavana kullanılacak malzemenin metrekarei 0 YTL., an üze kullanılacak malzemenin metrekarei 8 YTL. ir. Deponun en az paraa apılabilmei için ükekliği kaç metre olmalıır? A B C D E 9. km. genişliğineki nerin karşı kııına bulunan kişi, karşı kııa km. uzakta bulunan evine giecektir. Sua aatte km. üzebilen kişi, karaa aatte km. ürüebilmekteir. En kıa zamana eve ulaşabilmei için karşı kııa angi noktaan çıkmalıır? A B / C D / E / 0. A B / C D 7/ E

43 . Bir elma baçeine 0 ağaç bulunmakta ve er ağaçtan bir ıla 800 elma alınmaktaır. Bunlar ışına baçee ekilecek er ağaç için baçeeki ağaçların ıllık üretimi 0 ar elma azalacaktır. Baçeen en çok üretim apılmaı iteniğine baçee kaç ağaç ikilmeliir? A 0 B C D 8 E 0. =8- eğrii üzerine alınan A, noktaı ve ekenlerle oluşturulan ikörtgenin alanı en çok kaç birimkareir? A B C D 8 E 0. Çevrei cm. olan ikörtgen şeklineki leva bir kenarı etraına önürülerek önel ilinir oluşturuluor. Oluşturulan ilinirin acmi en çok kaç cm. olabilir? A B 8 C D E 0

44 . Tabanan 0 m. ükeklikte bulunan, 0 m. uzunluktaki bir inema perei uvaran kaç metre uzaklıktan en geniş açı altına izlenebilir? A 0 B C 0 D 0 E 0. Yarıçapı m. olan küre içine erleştirilebilecek konileren acmi en büük olanın ükekliği kaç m. olmalıır? A B 8/ C D 0/ E 7/. Eş kenar uzunlukları cm. olan ikizkenar üçgenin alanını en büük olmaı içintepe açıının ölçüü kaç erece olmalıır? A 0 B 7 C 90 D 0 E 0 7. eğriinin teğetleri içine eğimi en küçük olanın eğimi kaçtır? A - B -/ C 0 D / E 8. P,0 noktaının, A, ve O0,0 noktalarınan uzaklıklarının karelerinin toplamı en küçük oluğu biliniğine göre kaçtır? A / B C / D E /

45 9. A noktaınan Kuzee oğru 0 km/ ızla ve B noktaınan A a oğru 90 km/ ızla anı ana iki araç ola çıkıor. AC AB ve AB =0 km. ie ; iki araç araınaki uzaklık kaç aat onra en az olacaktır? A / B / C / D / E 7/ 0. Boutları cm. ve cm. olan ikörtgen şeklineki kağıt EF oğruu bounca kıvrılarak B köşei [AD] üzerine getirilior. EF nin en küçük eğeri kaçtır? A 7 B 9 / C 8 D E 9.D.D.C.C.B.B 7.B 8.D 9.A 0.C.C.B.C.D.B.C 7.B 8.C 9.B 0.B

46 KONU TESTİ:.Bir oğru bounca l t t t eşitliğine göre ol alan areketlinin, arekete başlaıktan onra ızının ıır oluğu anaki ivmei neir? A -0 B -/ C 0 D E 0.Dike olarak 0 m/n ilk ız ile ukarıa ırlatılan bir ciim t anie onuna = 0t-t ükekliğe ulaşıor. Cimin ulaşabileceği en büük ükeklik neir? A B 0 C 0 D E 0. = eğrii üzerine eğrie teğet olan oğruların ekenine paralel oluğu noktalaran birinin apii aşağıakileren angiiir? A 0 B C / D E /. = +c eğriinin = oğruuna teğet olmaı için c abitinin eğeri ne olmalıır? A / B / C D E. = a +b+c eğrii, noktaınan geçior ve koorinat merkezine = oğruuna teğet oluora b nin eğeri neir? A - B - C 0 D E. + = çemberinin P a, b noktaınaki teğetinin eğimi neir? A a/b B b/a C a/b D b/a E ab

47 arctan lim 0 7.? A 0 B / C D / E lim? A B 8 C D E 9. 0 onkionunun türevi aşağıakileren angiiir? A B C D E 0. onkionunun türevi aşağıakileren angiiir? A B D E C = eğriinin, noktaınaki teğetinin eğimi neir? A - B -/ C D E ie?. A B C D E 7

48 ie? D E. t ve t A B C.A0, ve B, - noktalarını birleştiren oğru parçaının c eğriine teğet olmaı için c ne olmalıır? A B C D E. = eğrii bounca areket een bir areketlinin apii t t enklemini ağlıor. t için? t A 9/ B /9 C 9 D E 98. eğriinin =0 noktaınaki teğetinin eğimi neir? A -7 B -/7 C /7 D E 7 7. lnin ie =? A. tan B. cot C. ec D. tan E. cot 8. = parabolü üzerineki A, noktaınan parabole çizilen teğetin üzerine, eğme noktaınan itibaren AB = birim olacak şekile bir B noktaı alınıor. B nin ve A nın apileri arkı kaçtır? A B C D E 8

49 9. = + oğruunun, = - +9+m eğriinin imetri merkezinen geçtiği biliniğine göre m=? A B C D E 0. Yukarıa verilen onkionu için aşağıakileren kaç tanei oğruur?. lim 0. lim 7. =0. lim 0. lim lim 0 A B C D E 7. a eğriinin imetri merkezi b c, - oluğuna göre c a =? A -/ B / C - D E 8 in. lim? 0 tan A / B C ln D / E 0.E.D.D.A.D.C 7.C 8.C 9.B 0.D.B.B.B.D.E.B 7.B 8.A 9.D 0.E.C.E 9

50 ÇÖZÜMLÜ ALIĠTIRMALAR:.?. = + eğriinin, noktaınaki teğetinin enklemini azınız?. co?. e eğriinin 0, noktaınaki teğetinin enklemini azınız?. eğriinin,0 noktaınan geçen teğetinin enklemini azınız? e.? 7. e.in? 8. 9? 9. ln? 0. in?. in, için eğeri neir?.?.?. arctan? 0

51 . k in ne olmalıır? onkionunun terinin olmaı için k. g= - onkionunun kritik noktalarını bulunuz? 7. = - onkionunun [0,] aralığınaki ektremum noktalarını bulunuz? 8. =- + onkionunun eğişimini inceleiniz? 9. =in.co onkionunun 0, aralığına eğişimini inceleiniz? 0. =-ln onkionunun eğişimini inceleiniz?. = - - onkionunun eğişimini inceleiniz?. graiğinin aimptotlarını bulunuz?. Çarpımları 9 olan poziti iki aının toplamlarının en küçük eğeri kaçtır?. Bir eşkenar üçgen ile bir karenin çevrelerinin toplamı 0 birimir. Bu üzlemel bölgelerin alanları toplamı en az kaç birimkareir?.

52 ÇÖZÜMLER:. 0.. = + eğriinin, noktaınaki teğetinin enklemini azınız? =, m t = =.= -=-, --=0. co in. e eğriinin 0, noktaınaki teğetinin enklemini azınız? =+e, m t = 0=+e 0 =+= -=-0, -+=0. eğriinin,0 noktaınan geçen teğetinin enklemini azınız?, m t a a a 0 a a a a,0 noktaınan geçiora ;. 0 0, 0-a=0, a= a a 8 8 0, 8+-0=0. e e.e 7. e. in e e.in e.co e in co e e co in co co in

53 ln.. 0. in.co in in. in.in in in. in, için eğeri neir?.....? 0....? ln ln.ln. ln ln

54 . arctan?. k in ne olmalıır? onkionunun terinin olmaı için k in terinin olabilmei için ; bire-bir ve örten olmalıır. bire-bir olmaı için ; aima azalan vea aima artan olmaı gerekir. Bunun içine türevi in tüm eğerleri için aima negati vea aima poziti olmalıır. k co co oluğunan k 0, k 0 ır. k olmalıır. k in onkionu tanımlı oluğu eğerler için örtenir.. g= - onkionunun kritik noktalarını bulunuz? g = -+ = -8 Türevi ıır apan eğerler kritik noktalarır. g = -8=0, -=0 =0, =, = 0,0,-,- noktaları kritik noktalarır. 7. = - onkionunun [0,] aralığınaki ektremum noktalarını bulunuz? Yerel makimum vea minimum noktalarına türevi ıır olacağınan ; = -=0, -=0 =0, = kritik noktalarır. < 0 için > 0 0 < < için < 0 < için > 0 oluğunan =0 erel makimum 0,0 = erel minimum noktalarıır., UYARI: Bu noktalar anı zamana verilen aralık için mutlak makimum ve minimum eğerlerini verir.

55 8. =- + onkionunun eğişimini inceleiniz? =0 için =, ekenini ketiği nokta. - +=0,, =, =- ekenini ketiği noktalar. = e teğet =-++- =-+=0 = ve =- kritik noktalar. < - için > 0 ARTAN =- için -=0, -= makimum. - < < için < 0 AZALAN = için =0, =0 minimum. < için > 0 ARTAN ==0 =0 < 0 için < 0 konkav. =0 için 0=0 önüm noktaı. X > 0 için > 0 konvek. 9. =in.co onkionunun 0, aralığına eğişimini inceleiniz? =in.co= in in=0 =,, =,, ekenini ketiği noktalar. 7 =co=0 =,,, 7 =,,, kritik noktalar. Konkav Konvek Konkav Konvek =-in=0 =,,, =,, önüm noktaları.

56 0. =-ln onkionunun eğişimini inceleiniz? = 0, = kritik nokta = < için 0 AZALAN 0 VE 0 erel MİNİMUM. > için 0 ARTAN. = - - onkionunun eğişimini inceleiniz? = --=0 --=0, +-=0, =-, = =-=0, =/ Dönüm noktaı -=0, -=-8<0 Makimum =0, =8>0 Minimum. graiğinin aimptotlarını bulunuz? -=0, -+=0, =, =- Düşe aimptotlar. = Eğik aimptot.. Çarpımları 9 olan poziti iki aının toplamlarının en küçük eğeri kaçtır? 9.=9, = 9 9 T=+=+ T = 0 = 8, = 8 T=+= =

57 . Bir eşkenar üçgen ile bir karenin çevrelerinin toplamı 0 birimir. Bu üzlemel bölgelerin alanları toplamı en az kaç birimkareir? 0 a a+b=0, b= a 0 a T= a T 0 a = 0 90 a= olmalıır. 9. 7