DERS 8. Artan ve Azalan Fonksiyonlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DERS 8. Artan ve Azalan Fonksiyonlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum"

Transkript

1 DERS 8 Artan ve Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum 8.. Artan ve Azalan Fonksionlar. Bir fonksionun vea onun grafiğinin belli bir aralık üzerinde artan vea azalan olmasının ne anlama geldiği aşağıdaki şekilden anlaşılabilir. a r t a n a f( b (,f() a z a l a n d f( a r t a n Tanım. (a, b) aralığında tanımlı bir f fonksionu verilmiş olsun. < olan her, (a, b) için f( ) < f( ) oluorsa, f fonksionu (a, b) aralığında artan fonksiondur denir. < olan her, (a, b) için f( ) > f( ) oluorsa, f fonksionu (a, b) aralığında azalan fonksiondur denir. Yukarıda grafiği verilen f fonksionu (a, b) aralığında ve (, d) aralığında artan, (b, aralığında azalandır. Türevli bir fonksionun bir aralık üzerinde artan vea azalan olduğu o fonksionun türevinin söz konusu aralıkta aldığı değerlere bakılarak belirlenebilir. Şöle ki Teorem. f, [a,b] aralığında sürekli ve (a,b) aralığında türevli bir fonksion olsun. Eğer (a, b) aralığındaki her için > 0 ise, f fonksionu (a, b) aralığında artan fonksiondur. Eğer (a, b) aralığındaki her için < 0 ise, f fonksionu (a, b) aralığında azalan fonksiondur. Eğer (a, b) aralığındaki bir için 0 ise, f fonksionunun grafiğine (,f() noktasındaki teğet atadır.

2 Ders Teorem de ifadesini bulan durumlar aşağıdaki şekil üzerinde özetlenmiştir. 0 Eğim sıfır > 0 Eğim pozitif < 0 Eğim negatif a r t a n ata teğet a z a l a n f( Örnek. f( 6 +0 ( ) + fonksionu için 6 ( ). Aşağıdaki tabloda da gösterildiği üzere, ) 0 olup < için < 0 ve > için > 0 dır. Dolaısıla, bu fonksion (,) aralığında azalan, (, ) aralığında artandır. (0,0) a z a l a n a r t a n (,) Örnek. f ( fonksionu (-, ) aralığında artandır. Çünkü, her reel saısı için + > 0 dır. 8.. Kritik Değerler. Türevli bir fonksionun hangi aralıklar üzerinde artan ve hangi aralıklar üzerinde azalan olduğunu araştırırken o fonksionun türevinin hangi aralıklar üzerinde pozitif ve hangi aralıklar üzerinde negatif değerler aldığını belirlemek eterlidir. Bunun için ise fonksionun türevinin sıfır olduğu vea tanımsız olduğu noktalar önem kazanmaktadır.

3 Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum Tanım. f ( in tanımlı olduğu; anak, in tanımsız olduğu vea 0 olan değerlerine f fonksionunun kritik değerleri denir. Örnek. f( 6 +0 un (0,0) kritik değeri tür: Örnek. f( + ün kritik değeri: 0 0. Örnek. f( ( - / -( - ) / ün kritik değerleri: ( ) ( ) ( ) f () tanımlı, ) tanımsız kritik. Örnek 4. f (, ( ) f () ve ) tanımsız kritik değer ok. Örnek 5. f ( fonksionunun tüm kritik değerlerini, artan ve azalan olduğu aralıkları belirleelim. f ( her için tanımlı. + 9 ( 4 + ) 0 vea ve kritik a r t a n a z a l a n a r t a n Yukarıda andaki grafikte gösterildiği üzere, f fonksionu (-, ) ve (, ) aralıklarında artan, (, ) aralığında azalandır.

4 Ders Örnek 6. f ( fonksionunun tüm kritik değerlerini, artan ve azalan olduğu aralıkları belirleelim. ( ) ( ( ) ) 4 + ( )( ) ( ) ( ) Bu ifadeden f nin kritik değerlerinin, ve olduğu, aşağıdaki tablodan da (-) f ( artan azalan azalan artan fonksionun (-,) ve (, ) aralıkları üzerinde artan, (,) ve (,) aralıkları üzerinde azalan olduğu görülür. 4 Örnek 7. f ( fonksionunun tüm kritik değerlerini, artan ve azalan olduğu aralıkları belirleelim ( ) Sağ tarafta parantez içindeki ifade (örneğin için bu ifadenin sıfır olduğuna dikkat edilerek) çarpanlara arılırsa, ( ) ( ) ve bölee, ve ün f nin kritik noktaları olduğu görülür. in işareti inelenine f nin (-, ) aralığında azalan, (, ) aralığında artan olduğu görülür.

5 Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum 8.. Konkavlık, İkini Türev. Bir fonksionun grafiğini çizerken fonksionun grafiğinin herhangi bir aralık üzerinde artan mı oksa azalan mı olduğunu bilmek kuşkusuz önemlidir. Bununla beraber, grafiğin eğriliğinin a da bükeliğinin ne önde olduğunu bilmek de önemlidir. Eğrilik vea bükelik ile ne sölemek istediğimizi biraz daha açalım. Tanım. (a,b) aralığında tanımlı bir f fonksionu ve (a, b) verilmiş olsun. Eğer f nin grafiği, (, f () noktasındaki teğet doğrusunun üstünde kalıorsa, bu takdirde, (, f () noktasında f nin grafiği ukarıa doğru konkavdır denir. Eğer f nin grafiği, (, f () noktasındaki teğet doğrusunun altında kalıorsa, bu takdirde, (, f () noktasında f nin grafiği aşağıa doğru konkavdır denir. Eğer (a, b) aralığındaki her için (,f () noktasında f nin grafiği ukarıa doğru konkav ise, f nin grafiği (a, b) aralığında ukarıa doğru konkavdır denir. Eğer (a, b) aralığındaki her için (,f () noktasında f nin grafiği aşağıa doğru konkav ise, f nin grafiği (a, b) aralığında aşağıa doğru konkavdır denir. f( f( a b a b (a, b) aralığında ukarıa doğru konkav (a, b) aralığında aşağıa doğru konkav Yukarıdaki şekillere baktığımız zaman, soldaki şekilde, (a, b) aralığında büüdükçe in de büüdüğü; sağdaki şekilde ise büüdükçe in küçüldüğünü görüoruz. Demek ki, bir fonksionun grafiğinin bir aralık üzerinde ukarıa vea aşağıa doğru konkav oması o fonksionun türevinin söz konusu aralıkta artan vea azalan olmasıla ilişkilidir. Şöle ki Eğer f ' fonksionu (a, b) aralığında artan ise, f nin grafiği (a, b) aralığında ukarıa doğru konkavdır. Eğer f ' fonksionu (a, b) aralığında azalan ise, aşağıa doğru konkavdır. f nin grafiği (a, b) aralığında Bir fonksionun bir aralık üzerinde artan vea azalan olması o fonksionun türevi ile ilişkili olduğundan, bir fonksionun grafiğinin konkavlığı belirlenirken o fonksionun türevinin türevine bakmak gerekeeği açıktır. Bu düşüne, ikini türev kavramının tanımına ol açar. Tanım. f fonksionunun birini türevi mevutsa ve in de türevi mevutsa, in türevine f nin ikini türevi denir ve f ''( ile gösterilir.

6 Ders f ( ise, f nin ikini türevi tir ve bu türev f ''( d d ( ) d f ''( '' d sembolleri ile de gösterilir. Üçünü, dördünü ve daha üksek mertebeden türevler de benzer şekilde tanımlanabilir. Bir fonksionun üksek mertebeden türevlerinden söz ederken, o fonksionun türevi için birini türev deimi kullanılır. Örnek. f ( f ''( Örnek. ' '' d d d d Örnek. ' '' ''' 4 Şimdi, ukarıda konkavlıkla ilgili olarak birini türev insinden verilen sonuç, ikini türev insinden şöle ifade edilebilir. Teorem. f, (a, b) aralığında birini ve ikini türevi mevut olan bir fonksion olsun. Eğer (a, b) aralığındaki her için f ''( > 0 ise, f nin grafiği (a, b) aralığında ukarıa doğru konkavdır. Eğer (a, b) aralığındaki her için f ''( < 0 ise, f nin grafiği (a, b) aralığında aşağıa doğru konkavdır. Örnek 4. f( 6 +0 fonksionu için 6, f ''( 6 olduğundan, her reel saısı için f ''( > 0 dır. Dolaısıla, bu fonksionun grafiği (-, ) aralığında ukarıa doğru konkavdır. Örnek 5. f( fonksionunun grafiğinin ukarı ve aşağı doğru konkav olduğu bölgeleri belirleelim., f ''( 6 tir ve f ''( in işaret değişimi aşağıdaki tablodan da anlaşılaağı üzere bu fonksionun grafiği (-, 0) aralığında aşağıa, (0, ) aralığında ukarıa doğru konkavdır. f (

7 Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum 5 Şimdie kadar apılanlardan şu sonuu çıkarabiliriz: Bir f fonksionunun artan vea azalan olduğu aralıklar f nin birini türevinin; fonksionun grafiğinin ukarıa vea aşağıa doğru konkav olduğu aralıklar da f nin ikini türevinin işaretinin değişimine bakılarak belirlenebilir. Şu kuralları elde ettik: (a, b) aralığında > 0 f artan < 0 f azalan 0 (, f () de ata teğet f ''( >0 f ( in grafiği ukarı doğru konkav f ''( < 0 f ( in grafiği aşağı doğru konkav Tanım. Bir f fonksionunun grafiğinde konkavlığın değiştiği noktaa f nin dönüm noktası denir. dönüm noktası Dönüm noktası ile ikini türev arasında şu ilişki vardır: Teorem. f fonksionu (a, b) de sürekli ve a < < b olmak üzere, f nin de dönüm noktası varsa, a f ''( 0 a da f ''( tanımsızdır. Örnek 6. f ( fonksionunun tüm kritik değerlerini, artan vea azalan, f nin grafiğinin ukarı doğru vea aşağı doğru konkav olduğu aralıkları, ve varsa dönüm noktalarını belirleelim. Fonksionun birini ve ikini türevlerini bulalım. f ( vea. Kritik değerler f ( 6 0. de f ( in işareti değiştiğinden, bu noktada konkavlık değişmektedir. Dolaısıla, de dönüm noktası vardır.

8 Ders f fonksionunun artan vea azalan olduğu aralıkları ve grafiğin ukarı doğru vea aşağı doğru konkav olduğu bölgeleri, bir tablo üzerinde belirleebiliriz. - 0 f ( f ''( Tablonun ilk satırında fonksionun bazı değerleri verilmektedir; ikini satırda in işaretinden fonksionun (,) ve (, ) aralıklarında artan, (,) aralığında azalan olduğunu; üçünü satırda f ''( in işaretinden fonksionun (,) aralığında aşağı doğru, (, ) aralığında ukarı doğru konkav olduğunu görüoruz. Son satırda bu hususları açıklaıı çizgiler çizilmiştir. Bu bilgiler ışığında verilen fonksionun grafiği aşağıdaki gibi çizilebilir. dönüm noktası 8.4. Yerel Maksimum ve Yerel Minimum. Bir sürekli fonksion bir aralığın bir kısmında artan bir kısmında azalan ise, o fonksion artan olma durumundan azalan olma durumuna geçerken erel olarak en üksek değere ve azalan durumundan artan durumuna geçerken de erel olarak en küçük değere ulaşaaktır. Bu tür değerlere erel ekstremum değerleri, bunlardan erel olarak en büük olan(lar)a erel maksimum ve erel olarak en küçük olan(lar)a da erel minimum değer(ler) denir.

9 Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum 7 Tanım. f, R de tanımlı bir fonksion olsun. (a,b) olan ve her (a,b) için f ( < f ( koşulunu sağlaan bir (a,b) aralığı varsa, f ( değeri f nin bir erel maksimum değeridir denir. Benzer şekilde, (a,b) olan ve her (a,b) için f ( ) > f ( ) koşulunu sağlaan bir (a,b) aralığı varsa, f ( değeri f nin bir erel minimum değeridir denir. Aşağıdaki şekiller bu tanımlar için açıklaıı olaaktır. f ( f ( a b m n a < < b f ( f ( ( f ( erel maksimum) a < < b f ( f ( ( f ( erel minimum) f ( değeri f nin erel maksimum (vea erel minmum) değeri ise, f nin de erel maksimum(vea erel minimum) değeri vardır denir. Bir fonksionun bir erel maksimum değeri belli bir aralık üzerinde fonksionun aldığı en büük değer, erel minimum değeri de belli bir aralık üzerinde aldığı en küçük değerdir. Dolaısıla, bir fonksionun birden çok erel maksimum vea erel minimum değerleri bulunabilir. f( Yukarıda grafiği verilen f fonksionu için f ( ), f ( 4 ), f ( 6 ), f ( 8 ) değerleri erel maksimum, f ( ), f ( ), f ( 5 ), f ( 7 ) değerleri de erel minimum değerleridir. Bu grafikte, iki tür erel maksimum değer bulunduğuna dikkat ediniz. Örneğin, f ( 6 ) erel maksimum değerini göz önüne alırsak, fonksionun 6 ivarındaki grafiği aşağıdaki gibi olup 6 ) tanımsızdır(bu noktada, grafiğe sonsuz çoklukta teğet çizilebileeğine dikkat ediniz). f ( ) tanımsız ' 6 6

10 Ders Diğer erel maksimum değerler, örneğin f ( 4 ) için fonksionun 4 ivarındaki grafiği aşağıdaki gibi olup, f ( )) noktasında ata teğet vardır; başka bir ifade ile, 4 ) 0 dır. ( Grafikte erel minimum değerlere karşılık gelen noktalara bakıldığı zamanda anı durum gözlemleneektir. Gerçekten, bir fonksionun erel maksimum ve erel minimum değerleri ile ilgili olarak aşağıdaki teorem ifade edilebilir. Teorem. Bir f fonksionu (a, b) aralığında sürekli ve (a, b) için f ( erel maksimum vea erel minimum ise,, f nin bir kritik değeridir ( ani, 0 vea tanımsızdır). Bir fonksionun bazı kritik değerleri erel maksimum vee erel minmum değerlere ol açmaabilirler. Örneğin, 0 değeri f ( küp fonksionu için bir kritik değerdir fakat f ( 0) 0 değeri küp fonksionunun ne erel maksimum ne de erel minimum değeridir., f nin kritik değeri ise, f ( nin erel ekstremum olma durumu in ivarında işareti inelenerek belirlenebilir. Teorem (Birini Türev Testi). [a,b] kapalı aralığında sürekli bir f fonksionu verilmiş olsun ve (a, b), f nin bir kritik değeri olsun. Arıa, f fonksionunun (a,b) aralığının belki hariç her noktasında türevli olduğunu kabul edelim. Bu takdirde, Eğer her (a, için > 0 ve her (, b) için < 0 ise, f (, f nin bir erel maksimum değeridir. Eğer her (a, için < 0 ve her (, b) için > 0 ise, f (, f nin bir erel minimum değeridir. Eğer her (a, b) için > 0 vea her (a, b) için < 0 ise, f (, f nin bir erel maksimum vea erel minimum değeri değildir.

11 Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum 9 Birini Türev Testinde söz konusu edilen durumlar aşağıda gösterilmiştir: a b erel maksimum a b erel minimum a b tanımsız; erel maks. vea erel min. ok a b erel maks. vea erel min. ok Örnek. f ( fonksionunun kritik değerlerini daha öne bulmuştuk. f ( in işareti inelenine vea de erel maksimum ( f ( ) 5 ) ve de erel minimum ( f ( ) ) değeri bulunduğu görülür. 4 Örnek. f ( fonksionunun kritik değerlerini bulalım ( ) 0 ( ) ( ) 0,. Bu örneğimizde de kritik değerlerin ve olduğunu görüoruz. in işareti inelenine

12 Ders sadee te erel minimum( f ( ) ) bulunduğu, de ne erel maksimum ne de erel minimum( f ( ) 4 ) bulunduğu görülür. 0 olan bir kritik değerin erel maksimum vee erel minmum durumu f ''( nin o değerdeki işaretile de belirlenir: Teorem (İkini Türev Testi). f, (a, b) aralığında türevli bir fonksion ve (a, b) için 0 olsun. Eğer f ''( < 0 ise, f nin de erel maksimum değeri vardır. Eğer f ''( > 0 ise, f nin de erel minimum değeri vardır. Yukarıdaki örneklerde bulunan kritk değerler için ikini türev testini ugulaarak da sonua gidebiliriz: Örnek. f ( in kritik değerlerini Örnek de bulmuştuk: ve. Şimdi bu kritik değerler için ikini türev testini ugulaalım. f ( f ''( 6 f ''() 6 ve f ''() 6 f ''() < 0 ve f ' ' () > 0 olduğundan, f ( ) 5 erel maksimum ve f ( ) erel minimumdur. 4 Örnek 4. f ( fonksionunun kritik değerlerini Örnek de bulmuştuk: ve. Şimdi bu kritik değerler için ikini türev testini ugulaalım. 4 f ( f ''( f ''() 0 ve f ''() 48 f ''() 48 > 0 olduğundan, f ( ) erel minimumdur. f ''() 0 olduğundan, kritik noktası için ikini türev testi ile herhangi bir şe sölenemez. Anak, birini türev testinden bilioruz ki f ( ) 4 ne erel maksimum ne de erel minimumdur. 0 ve f ''( 0 olduğunda ikini türev testinden kritik değerinin erel maksimum vea erel minimum olup olmadığı konusunda bir şe sölenemeeeğini unutmamalıız. Bu durumda, birini türev testi vea tanımlar kullanılır.

13 Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum. Bir fonksionun tanım kümesinde aldığı değerlerden en büüğü varsa, o en büük değere fonksionun mutlak maksimum değeri denir. Eğer fonksionun tanım kümesinde aldığı değerlerden en küçüğü varsa, o en küçük değere fonksionun mutlak minimum değeri denir. Örnek. f ( fonksionunun mutlak maksimum değeri f ( 0) dir. Bu fonksionun mutlak minimum değeri oktur. Örnek. f ( + fonksionunun mutlak minimum değeri f ( 0) dir. Bu fonksionun mutlak maksimum değeri oktur. Bir fonksionun bir aralık üzerinde mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerinden söz edilebileeği açıktır. Bu bağlamda aşağıdaki sonuç önemlidir. Teorem. f fonksionu [a, b] kapalı aralığında sürekli ise, f bu aralıkta mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlere sahiptir. f ( a b Şekilden de görüldüğü üzere, teoremde ifade edilen sonuç sağduusal olarak aşikârdır. [a, b] aralığında sürekli olan f fonksionunun grafiği olan eğrinin en aşağıda ve en ukarıda noktaları vardır. [a, b] aralığında sürekli bir f fonksionunun bu aralıktaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri a f nin (a, b) aralığındaki kritik noktalarında a da [a, b] aralığının uç noktalarında ( a ve b de) ortaa çıkar. Örnek. f ( denklemi ile verilen f fonksionunun aşağıdaki aralıklardan her birinde mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulalım: a) [0,] b) [,] [,4] ç) [,4]

14 Ders Çözüm. 8. te, Örnek 6 da ele almış olduğumuz bu fonksionun kritik noktaları ve tür. Her bir aralıktaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri şöle belirlenir. a) [0,] aralığında sadee kritik noktası vardır ve f ( 0), f ( ) 5, f ( ) değerlerinden f ( 0) değeri f nin bu aralıktaki mutlak minimum değeri, f ( ) 5 değeri de mutlak maksimum değeridir. b) [,] aralığında da sadee kritik noktası vardır ve f ( ), f ( ) 5, f ( ) 0 8 değerlerinden f ( ) değeri f nin bu aralıktaki mutlak minimum değeri, f ( ) 5 değeri de mutlak maksimum değeridir. [,4] aralığı ve kritik noktalarından her ikisini de içermektedir ve f ( ), f ( ) 5, f ( ), f ( 4) 5 8 değerlerinden f ( ) değeri f nin bu aralıktaki mutlak minimum değeri, f ( ) f (4) 5 değeri de mutlak maksimum değeridir. ç) [,4] aralığında sadee kritik noktası vardır ve f ( ), f ( ), f ( 4) 5 değerlerinden f ( ) değeri f nin bu aralıktaki mutlak minimum değeri, f ( 4) 5 değeri de mutlak maksimum değeridir. Örnek 4. Tenis raketi üreten bir firmanın, günde adet tenis raketi üretmesi durumunda, toplam gider fonksionu Gi( ve fiat talep fonksionu p 9 0.0, 0 0 0, birim para olarak verilior. a) Maksimum geliri bulunuz. b) Maksimum kârı ve bu kârın gerçekleşmesi için her bir raketin kaça satılması gerektiğini bulunuz. Çözüm. a) Gelir fonksionu, Ge ( p( 9 0.0, 0 00 olarak elde edilir. Kritik değerlere bakalım: Ge '(

15 Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum 4 ve Ge ( 0) 760, Ge ( 80) 4840, Ge ( 00) 900 olduğundan maksimum gelir 80 raket üretildiği zaman Ge ( 80) 4840 olarak gerçekleşir. b) Kâr fonksionu, K ( Ge( Gi( , 0 00 olarak elde edilir. Kritik değerlere bakıoruz: K '( ve K ( 0) 80, K ( 60) 50, K ( 00) 0 olduğundan maksimum kâr 60 raket üretildiği zaman K ( 80) 50 olarak gerçekleşir. Örnek 5. Bir firma, en az 0 bin en çok 0 bin YTL haramaı planladığı bir reklam kampanası düzenlemek istior. Firma, geçmiş satış bilgilerini de kullanarak, bu kampana için bin YTL hararsa, günde satabileeği ürün saısının N( olaağını tahmin edior. a) Reklam haramaları arttıkça satışın da artaağını gösteriniz. b) Satışın reklam haramalarına göre değişim oranını analiz ediniz. Bu oran hangi aralıklarda artmakta, hangi aralıklarda azalmaktadır? En üksek değişim oranı nedir? N ve onun türevi N ' nün grafiğini anı koordinat düzleminde çizerek bulduğunuz sonuçları grafik üzerinde orumlaınız. Çözüm. a) Satış saısını veren N fonksionunun türevi N '( ( ) -(-0)(-0) dir ve 0 < < 0 için N '( > 0 dır. Dolaısıla, N fonksionu (0,0) aralığında artan bir fonksiondur. Başka bir ifadele, reklam haramaları arttıkça satış saısı N ( de artar. b) Değişim oranı türeve karşılık geldiğinden, satışın reklam haramalarına göre değişim oranı N '( tir. Bu oranın hangi aralıklarda artan hangi aralıklarda azalan olduğunu anlamak için N ' nün türevine ani N nin ikini türevine bakmalıız: N ''( (-5). N '( ve N ''( in işaretlerini anı tablo üzerinde ineleelim N ( N '( N ''( Satışın reklam haramalarına göre değişim oranını veren N fonksionu, (0, 5) aralığında artan, (5, 0) aralığında azalandır. Başka bir deimle, satış, reklam haramalarına göre 0 bin YTL den 5 bin YTL e kadar olan haramalar için artan bir oranda, 5 bin YTL den 0 bin YTL e kadar olan haramalar için azalan bir oranda artar. Satışın reklam haramalarına göre en üksek artış oranı 5 bin YTL lik haramada gerçekleşir. Bu noktadan sonra satışın reklam haramalarına göre artış oranı azalmaa başlar.

16 Ders Tablodan ararlanarak N ve N ' nün grafiğini anı düzlemde çizioruz N( N' ( Grafikten görüldüğü üzere, N fonksionu (0, 0) aralığında artan olup, (0, 5) aralığında ukarıa doğru, (5, 0) aralığında aşağıa doğru konkavdır, 5 te dönüm noktası vardır. N ' nün de (0, 5) aralığında artan, (5, 0) aralığında azalan olduğu ve en üksek değerini 5 te aldığı görülmektedir.

17 Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum 45 Problemler 8. f ( in grafiği aşağıda verilmiştir. Grafikten ararlanarak izleen soruları anıtlaınız. u a b d h k m n r s t f( a) Koordinat kesişimlerini bulunuz. b) f ( in grafiği hangi aralıklar üzerinde artan, hangi aralıklar üzerinde azalandır? Hangi aralıklar üzerinde < 0 dır? Hangi aralıklar üzerinde > 0 dır? ç) f ( in grafiği hangi aralıklar üzerinde ukarı doğru, hangi aralıklar üzerinde aşağı doğru konkavdır? d) Hangi aralıklar üzerinde f ''( < 0 dır? Hangi aralıklar üzerinde f ''( > 0 dır? e) f nin dönüm noktalarının koordinatlarını bulunuz. f) f nin erel maksimum ve erel minimumlarının apsislerini bulunuz.. in işaret tablosu aşağıdaki gibi ise, f nin artan ve azalan olduğu aralıkları belirleiniz. a b Aşağıdaki fonksionlardan her birinin kritik noktalarını, artan vea azalan olduğu aralıkları belirleiniz. a) f ( b) f ( 4 6 f ( 4 ç) f ( d) + f ( e) e f ( f) 4 f ( g) f ( Aşağıdaki fonksionların ikini türevlerini bulunuz. a) f ( b) f ( f ( + 4 ç) f ( 6 d) / / f ( e) f ( ( + 4 ) 5. f ''( in işaret tablosu aşağıdaki gibi ise, f nin ukarıa ve aşağıa doğru konkav olduğu aralıkları belirleiniz. a b f ''(

18 Ders Aşağıdaki fonksionlardan her birinin ukarıa vea aşağıa doğru konkav olduğu aralıkları ve varsa dönüm noktalarını belirleiniz. a) f ( b) f ( 6 d) + f ( e) e f ( f) f ( 4 ç) f ( g) + f ( 4 4 f ( + 7. Öneki alıştırmadaki fonksionlardan her birinin erel maksimum, erel minimum, mutlak maksimum, mutlak minimum değerlerini (varsa) belirleiniz. 8. Aşağıdaki fonksionlardan her birinin sırasıla, [-4,-], [-,], [,4] ve [-,0] aralıklarında mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz. a) f ( b) f ( 6 f ( 4 ç) f ( 9. Kar gözlüğü üreten bir firmanın, günde adet kar gözlüğü üretmesi durumunda, toplam gider fonksionu Gi( ve fiat talep fonksionu p , , birim para olarak verilior. a) Maksimum geliri bulunuz. b) Maksimum kârı ve bu kârın gerçekleşmesi için her bir gözlüğün kaça satılması gerektiğini bulunuz. 0. Bir tür üründen en çok 00 adet üretip satan bir firma bu üründen adet üretip piasaa sürmesi durumunda fiat fonksionunun p( ve gider fonksionunun da Gi( YTL olaağını belirlior. a) Tanım kümesini de belirterek gelir fonksionunu, bu fonksionun artan vea azalan olduğu, ukarıa vea aşağıa doğru konkav olduğu aralıkları, mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz. b) Tanım kümesini de belirterek kâr fonksionunu, bu fonksionun artan vea azalan olduğu, ukarıa vea aşağıa doğru konkav olduğu aralıkları, mutlak maksimum değerini bulunuz.. Bir firma, en az 0 bin en çok 40 bin YTL haramaı planladığı bir reklam kampanası düzenlemek istior. Geçmiş satış bilgilerini de kullanarak, bu kampana için bin YTL hararsa, günde satabileeği ürün saısının N( olaağını tahmin edior. a) N fonksionunun sözü edilen harama aralığında artan olduğunu gösteriniz. b) Satışın reklam haramalarına göre değişim oranını olan N '( in ne zaman artan ne zaman azalan olduğunu belirleiniz.en üksek değişim oranı nedir? N fonksionunun dönüm noktasını bulunuz. ç) N ve onun türevi N ' nün grafiğini anı koordinat düzleminde çizerek bulduğunuz sonuçları grafik üzerinde orumlaınız.. Ateşi olan bir hastaa bir ateş düşürüü ilaçtan en çok 6 miligram verilerek hastanın ateşi düşürülmeğe çalışılıor. Hastaa miligram ilaç verildikten saat sonra, hastanın vüut sıaklığı T ( deree düşüor.. 7 a) T fonksionunun, [0,6] tanım aralığında, artan olduğunu gösteriniz. b) T '( in ne zaman artan ne zaman azalan olduğunu belirleiniz. T ( in en üksek değeri nedir? T fonksionunun dönüm noktasını bulunuz. ç) T ve onun türevi T ' nün grafiğini anı koordinat düzleminde çizerek bulduğunuz sonuçları grafik üzerinde orumlaınız. 4

Doğrusal Fonksiyonlar, Karesel Fonksiyonlar, Polinomlar ve Rasyonel Fonksiyonlar, Fonksiyon Çizimleri

Doğrusal Fonksiyonlar, Karesel Fonksiyonlar, Polinomlar ve Rasyonel Fonksiyonlar, Fonksiyon Çizimleri Doğrusal Fonksionlar, Karesel Fonksionlar, Polinomlar ve Rasonel Fonksionlar, Fonksion Çizimleri Bir Fonksionun Koordinat Kesişimleri(Intercepts). Bir fonksionun grafiğinin koordinat eksenlerini kestiği

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1... İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar

DERS 2. Fonksiyonlar DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin,

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar - I

DERS 2. Fonksiyonlar - I DERS Fonksionlar - I.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması belli büüklükleri belirleme vea tahmin

Detaylı

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz.

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz. a, b,c R,a 0 olmak koşulula f ()=a 2 +b+c fonksionuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksion ve bu fonksionun belirttiği eğrie de parabol denir. Uarı ir parabolün grafiği başkatsaı olan a saısına bağlı

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum DERS Çok Değişkenli onksionlarda Maksimum Minimum.. Yerel Maksimum Yerel Minimum. z denklemi ile tanımlanan iki değişkenli bir onksionu ve bu onksionun tanım kümesi içinde ab R verilmiş olsun. Tanım. Eğer

Detaylı

ÖRNEK : x. y = 1 biçiminde verilen fonksiyonun grafiğini. çiziniz. Çizim : x. y = 1 olması ancak x =1ve y =1 yada x =-1ve. x =1ve x =-1ve ÖRNEK :

ÖRNEK : x. y = 1 biçiminde verilen fonksiyonun grafiğini. çiziniz. Çizim : x. y = 1 olması ancak x =1ve y =1 yada x =-1ve. x =1ve x =-1ve ÖRNEK : MC www.matematikclub.com, 6 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Özel Tanımlı Fonksionlar. Tam değer fonksionu: Tanım: Tamsaı ise kendisi, tamsaı değilse kendinden önce gelen ilk tamsaı (kendinden

Detaylı

DERS 5. Çok Değişkenli Fonksiyonlar, Kısmi Türevler

DERS 5. Çok Değişkenli Fonksiyonlar, Kısmi Türevler DERS 5 Çok Değişkenli Fonksionlar Kısmi Türevler 5.1. Çok Değişkenli Fonksionlar. Reel saılar kümesi R ile gösterilmek üere ve her n için olarak tanımlanır. R R 3 {( ): R} = {( ) : R} = {( L ): L R} n

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI fonksionunun ekseninin kestiği k noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b c f()= denkleminin n kök leridir p in eksenini kestiği nokta ise (,p)

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI =f() fonksio - nunun ekseninin kestiği noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b f()= denkleminin kökleridir n =f() in p eksenini kestiği nokta

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

Ders 7: Konikler - Tanım

Ders 7: Konikler - Tanım Ders 7: Konikler - Tanım Şimdie kadar nokta ve doğrular ve bunların ilişkilerini konuştuk. Bu derste eni bir kümeden söz edeceğiz: kuadrikler ve düzlemdeki özel adı konikler. İzdüşümsel doğrular, doğrusal

Detaylı

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar, Bileşik Faiz 4.. Üstel Fonksionlar. > 0, olmak üzere fonksiona taanında üstel fonksion denir. f = ( ) denklemi ile tanımlanan gösterimi ile ilgili olarak, okuucunun

Detaylı

9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K

9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K M A T E M A T İ K www.akademitemellisesi.com ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: f:ar (A R) fonksionu için, 9. BÖLÜM ) Her A için f( ) = f() ise f e çift fonksion denir. olduğundan ne tek nede çifttir. MUTL AK DEĞER

Detaylı

MECHANICS OF MATERIALS

MECHANICS OF MATERIALS 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. T E CHAPTER 7 Gerilme MECHANICS OF MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Dönüşümleri Fatih Alibeoğlu 00 The McGraw-Hill

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. ( çocuk annenin

Detaylı

EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1

EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1 EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1 1. 9 5. 69 A) (, ] B) (, ) C) (, ) D) [, ] E) [, ) A) B) {} C) {, } D) R E) R {}. 5 6. 1 A) (, 5) B) [, 5] C) (, 5) D) (5, ) E) (, ) A) (, 1] B) (, ) C) [1, ) D) (, ] [1,

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : Örnek...3 : A={0,1,2} kümesinden reel sayılara tanımlı f(x)=x² x fonksiyonu bire bir midir? Örnek...4 :

Örnek...1 : Örnek...2 : Örnek...3 : A={0,1,2} kümesinden reel sayılara tanımlı f(x)=x² x fonksiyonu bire bir midir? Örnek...4 : FONKSİYONLAR BÖLÜM 4 FONKSİYON TÜRLERİ: BİRE BİR FONKSİYON Bir fonksionun grafiğinden bire bir olup olmadığını anlamak için verilen tanım aralığında çizilen ata doğruların sadece bir defa grafiği kesmesini

Detaylı

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ Ders Adı.ınıf Mezun LY MATEMATİK KONU ANLATIM FAİKÜLÜ TÜREV KAF 0 Konu Bir doğrunun eğimi dik koordinat sisteminde X ekseni ile aptığı pozitif önlü açının tanjantıdır. Örneğin, şekilde verilen d doğrusunun

Detaylı

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER GİRİŞ Birçok mühendislik, fizik ve sosal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade edildiği zaman bu problemler, bilinmeen fonksionun bir vea daha üksek mertebeden

Detaylı

C E V A P L I T E S T ~ 1

C E V A P L I T E S T ~ 1 C E V A P L I T E S T ~. 5. () 7 ( ).( ) A) B) C) 0 D) E) A) B) C) 0 D) E). 6. 5 A) 0 B) C) D) E) A) B) C) D) E) 5. b b ab a a A) B) a C) b D) b E) 7. ( 5 ) A) B) C) 0 D) E). 9 8. 5 8 A) B) 0 C) D) E)

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

Örnek...3 : f(2x 3)=4 3x ise f(1) kaçtır? Örnek...4 : f(x)=3x+1 ise f(2x) fonksiyonu nedir?

Örnek...3 : f(2x 3)=4 3x ise f(1) kaçtır? Örnek...4 : f(x)=3x+1 ise f(2x) fonksiyonu nedir? FONKSİYON HATIRLATMA ( FONKSİYON TANIMI ) A dan B e tanımlı f kuralının fonksion olm ası için; Örnek... : f( )= ise f() kaçtır? ) A daki her elemanın görüntüsü olmalı ( A da açıkta eleman kalmamalı) )A

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

DERS 1. İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DES İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler.. Doğrusal Denklem Sistemleri. Günlük aşamda aşağıdakine benzer pek çok problemle karşılaşırız. Problem. Manavdan alışveriş eden bir müşteri,

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI fonksionunun ek seninin k estiği k nok taların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b c f()= denk leminin n kök leridir p in eksenini kestiği nokta ise

Detaylı

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ YRIRMLI MTEMTİK TÜREV FSİKÜLÜ Maksimum-Minimum Problemleri MESUT ERİYES MKSİMUM - MİNİMUM PROLEMLERİ Maksimum ve minimum problemlerini çözmek için şu kurallar ugulanır; 1) Maksimum a da minimum olması

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. abba dört basamaklı, ab iki basamaklı doğal saıları için, abba ab. a b eşitliğini sağlaan kaç farklı (a, b) doğal saı ikilisi vardır? 7 olduğuna göre, a b toplamı kaçtır? 9.,,

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS- MATEMATİK (MF-TM). Bu testte Matematik ile ilgili soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz..

Detaylı

DERS 1. Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DERS Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler Sosal ve Beşeri Bilimlerde Matematik I kitabımıda doğrusal denklemleri tanımlamıştık (safa 85). Arıca, matematiksel modeli doğrusal denklemler içeren problem

Detaylı

Örnek...1 : ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR 14 ( FONKSİYONLARDA ÖTELEME VE SİMETRİ ) 2. X EKSENİNDE ÖTELEMELER FONKSİYONLAR BÖLÜM 14 FONKSİYONLARDA ÖTELEME

Örnek...1 : ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR 14 ( FONKSİYONLARDA ÖTELEME VE SİMETRİ ) 2. X EKSENİNDE ÖTELEMELER FONKSİYONLAR BÖLÜM 14 FONKSİYONLARDA ÖTELEME ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR BÖLÜM FONKSİYONLARDA ÖTELEME VE SİMETRİ FONKSİYONLARDA ÖTELEME. Y EKSENİNDE ÖTELEMELER a) =f() fonksionu verildiğinde k R + olmak üzere, =f()+k fonksionunu çizmek

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

AÇIK UÇLU SORULAR. h( 3) = 3 ise, f(1) değeri kaçtır? II. g(x) = 2x + 3. 5. f: R R, f nin grafiği y eksenine göre simetriktir.

AÇIK UÇLU SORULAR. h( 3) = 3 ise, f(1) değeri kaçtır? II. g(x) = 2x + 3. 5. f: R R, f nin grafiği y eksenine göre simetriktir. ÜNİTE FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALAR Bölüm TEK FONKSİYON, ÇİFT FONKSİYON AÇIK UÇLU SORULAR. R den R e I. () = +. : R R, nin graiği orijine göre simetriktir. h() = ( + ) ( + ) + onksionu tanımlanıor.

Detaylı

4. f(x) = x 3 3ax 2 + 2x 1 fonksiyonunda f ý (x) in < x < için f(x) azalan bir fonksiyon olduðuna

4. f(x) = x 3 3ax 2 + 2x 1 fonksiyonunda f ý (x) in < x < için f(x) azalan bir fonksiyon olduðuna Artan - Azalan Fonksionlar Ma. Min. ve Dönüm Noktalarý ÖSYM SORULARI. Aþaðýdaki fonksionlardan hangisi daima artandýr? A) + = B) = C) = ( ) + D) = E) = + (97). f() = a + fonksionunda f ý () in erel (baðýl)

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı

BAĞINTI - FONKSİYON Test -1

BAĞINTI - FONKSİYON Test -1 BAĞINTI - FONKSİYON Test -. A,,,4,5 B,, olduğuna göre, AB kümesinin eleman saısı A) 8 B) C) D) 4 E) 5 5. A ve B herhangi iki küme AB,a,,a,,a,,b,,b,,b olduğuna göre, s(a) + s(b) toplamı A) B) 4 C) 5 D)

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

Problemler. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Problemler. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Problemler 1 7 parabolü = k doğrusu ile ve B noktalarında kesişior. Oluşan OB üçgenlerinden alanı en büük olanının alanı kaç br dir? 7 O B OB k 7 7 k 7 7 ' 7 0 mak 7. 18 54br 0 1 parabolü içerisine, köşeleri

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ

BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ DÜZLEM-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME 3D durumda, bir noktadaki birim şekil değiştirme durumu 3 normal birim şekildeğiştirme bileşeni,, z, ve 3 kesme birim şekildeğiştirme bileşeninden,

Detaylı

SAYISAL BÖLÜM. 5. a, b, c gerçel sayıları için. 2 a = 3. 3 b = 4. 4 c = 8. olduğuna göre, a b c çarpımı kaçtır? 6. a, b, c gerçel sayıları için

SAYISAL BÖLÜM. 5. a, b, c gerçel sayıları için. 2 a = 3. 3 b = 4. 4 c = 8. olduğuna göre, a b c çarpımı kaçtır? 6. a, b, c gerçel sayıları için SYISL ÖLÜM ĐKKT! U ÖLÜM VPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. Đlk 45 soru Matematiksel Đlişkilerden Yararlanma Gücü, Son 45 soru Fen ilimlerindeki Temel Kavram ve Đlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir. şit ğırlık

Detaylı

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise

Detaylı

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır.

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum)

Detaylı

NÜMERİK ANALİZ. Sayısal Yöntemlerin Konusu. Sayısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! Denklem Çözümleri

NÜMERİK ANALİZ. Sayısal Yöntemlerin Konusu. Sayısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! Denklem Çözümleri Saısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! NÜMERİK ANALİZ Saısal Yöntemlere Giriş Yrd. Doç. Dr. Hatice ÇITAKOĞLU 2016 Günümüzde ortaa konan problemlerin bazılarının analitik çözümleri apılamamaktadır. Analitik

Detaylı

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK TÜRKİY GNLİ SINVI LYS - 1 7 MYIS 017 LYS 1 - TSTİ 1. u testte 80 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz. + k+ n 15 + 10 1. : = + 6 16 + 8 0 + 8 olduğuna

Detaylı

2005 ÖSS Soruları. 5. a, b, c gerçel sayıları için 2 a = 3 3 b = 4 4 c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır?

2005 ÖSS Soruları. 5. a, b, c gerçel sayıları için 2 a = 3 3 b = 4 4 c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? . + c m 9 + c9 m 9 9 20 ) ) 9 ) 27 ) ) 82 9 5. a, b, c gerçel saıları için 2 a = b = c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? ) ) 2 ) ) ) 5 6. a, b, c gerçel saıları için, a.c = 0 a.b 2 > 0 2. 2 2 +

Detaylı

ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ

ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ GRAFİK ÇİZİMİ Bir fonksiyonun denklemi verilip grafiği istendiğinde aşağıdaki yolu izlemeliyiz. ) Fonksiyonun en geniş tanım kümesi bulunur. ) ± için fonksiyonun limiti bulunur.

Detaylı

Soru 1: Şekil-1 de görülen düzlem gerilme hali için: b) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir

Soru 1: Şekil-1 de görülen düzlem gerilme hali için: b) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir Soru 1: Şekil-1 de görülen düzlem gerilme hali için: a) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir eden gerilme bileşenlerini, gerilme dönüşüm denklemlerini kullanarak

Detaylı

Çözüm: Örnek: 3. BÖLÜM TEST - 1. 4x 3 +3y 2 2x 4y=9 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?

Çözüm: Örnek: 3. BÖLÜM TEST - 1. 4x 3 +3y 2 2x 4y=9 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi nedir? . BÖLÜM TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TEST TEST - 4 + 4=9 eğrisinin (, ) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?. f()=( ). ( 5) fonksionun =4 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 6. fonksionun.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-II Fonksiyonların Bükeyliği Maksimum - Minimum Problemleri Belirsiz Haller MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların grafiklerinin

Detaylı

Sevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Yeni sisteme uygun ve çalışmalarınızda ışık tutacak MATEMATİK SORU BANKASI hazırladık.

Sevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Yeni sisteme uygun ve çalışmalarınızda ışık tutacak MATEMATİK SORU BANKASI hazırladık. Sevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Yeni sisteme ugun ve çalışmalarınızda ışık tutacak MATEMATİK SORU BANKASI hazırladık. MATEMATİK SORU BANKASI tamamıla Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbie Kurulu

Detaylı

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 :

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 : FONKSİYONLAR BÖLÜM 8 Örnek...3 : ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR ARTAN FONKSİYON f : A R R fonksionu verilsin. Her i B A için 1 < 2 f ( 1 )

Detaylı

( ) ( ) m = DERS 10. Türevin Uygulamaları: Kapalı Türev, Değişim Oranları Kapalı Türev(İmplicit Differentiation).

( ) ( ) m = DERS 10. Türevin Uygulamaları: Kapalı Türev, Değişim Oranları Kapalı Türev(İmplicit Differentiation). DERS Türevin Ugulamaları: Kapalı Türev, Değişim Oranları.. Kapalı Türev(İmplici Differeniaion). Eğer f (), denkleminde olduğu gibi kapalı(implici olarak verilmişse, ü bulmak için zincir kuralı kullanılabilir:

Detaylı

1998 ÖYS. 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7. iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir?

1998 ÖYS. 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7. iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? 99 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal saısının 7 katı, iki basamaklı bir doğal saısına eşittir. Buna göre, doğal saısı en az kaç olabilir? A) B) C) 6. Bugünkü aşları 6 ve ile orantılı olan iki kardeşin 6 ıl sonraki

Detaylı

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre, MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta GİRİŞ OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta Mühendislik açısından bir işin tasarlanıp, gerçekleştirilmesi yeterli değildir. İşin en iyi çözüm yöntemiyle en verimli bir şekilde yapılması bir anlam ifade eder.

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-3

Analiz II Çalışma Soruları-3 Analiz II Çalışma Soruları- Son güncelleme: 44 (I)( A ) Aşağıdaki fonksiyon için verilen noktaların ektremum nokta olup olmadıklarının gözlemini yapınız y y f ( ) a b c d e k r s ( B) Aşağıdaki fonksiyonların

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. a 9! 8!, 9! 8! OKEK (a, ) OBEB (a, ) ifadesinin değeri kaçtır?. a ve a ile arasındaki ağıntı nedir? a a a a a a a a. ( ). ( ). ( ) 8 nın insinden eşiti nedir?. z z z toplamı

Detaylı

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x)

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x) 6 II. DERECEDEN FNKSÝYNLR (Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MTEMTÝK 1. f(). f() 6 8 T Yukarıda grafiği verilen = f() parabolünün denklemi nedir?( = 6) Yukarıda grafiği verilen

Detaylı

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 :

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 : LOGARİTMA a b =c eşitliğini düşünelim. Mümkün olan durum larda; Durum 1: a ve b biliniorsa c üs alma işlemile bulunabilir. Örneğin 2 5 =c ise c=32 dir. Örnek...3 : f : R R, f ()=2 fonksionuna ait tablou

Detaylı

Mustafa YAĞCI, Parabol ile Eğrilerin Kesişimi

Mustafa YAĞCI, Parabol ile Eğrilerin Kesişimi www.mustafaagci.com.tr, 11 Ceir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Paraol ile Eğrilerin Kesişimi P araol İle Doğrunun Birirlerine Göre Durumları. Aslında sadece paraol ve doğru çifti için değil,

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak safası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE FNKSİYNLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI Fonksionların Simetrileri ve Cebirsel Özellikleri... 4 Tek ve Çift Fonksionlar... 4 Fonksionlarda İşlemler... 6 Konu Testleri -...

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Özgür EKER EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Eğim: ETKİNLİK : Bir bisiklet arışındaki iki farklı parkur aşağıdaki gibidir. I. parkurda KL 00 metre ve II. parkurda AB 00 metre olduğuna

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Diferansiyel Denklemler I (M) Çalışma Soruları

Diferansiyel Denklemler I (M) Çalışma Soruları Diferansiel Denklemler I (M Çalışma Soruları 800 ( A Aşağıdaki diferansiel denklemlerin çözümlerini bulunuz ( ( = d n d 0 d ( sin cos d = 0 3 ( cos sin d sin d = 0 4 5 6 7 ( 5 d ( 5 d = 0 ( ( = d d 0 =

Detaylı

Cebir Notları. Parabol Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Parabol Mustafa YAĞCI, www.mustaaagci.com, 005 ebir Notları Mustaa YĞI, agcimustaa@ahoo.com Notlara çemberin tanımıla gireim de siz de Ne alaka! dein Nedir çemberin tanımı? Yuvarlak geometrik şekil değil elbet. Düna uvarlak

Detaylı

KONU 13: GENEL UYGULAMA

KONU 13: GENEL UYGULAMA KONU : GENEL UYGULAMA Kahve üretimi apan bir şirket anı zamanda cezve ve fincan üretmektedir. Üretilen cezveler ve fincanlar boama kısmında işlem görmekte ve arıca fincanlar kaplanmaktadır. Bir cezve apımı

Detaylı

6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.5. Doğrusal olmayan fonksiyonların eğimi Doğrusal fonksiyonlarda eğim her noktada sabittir

Detaylı

1997 ÖSS Soruları. 5. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük doğal sayı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir?

1997 ÖSS Soruları. 5. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük doğal sayı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir? 997 ÖSS Soruları. ( ) + ( ).( ) işleminin sonucu kaçtır? ) ) ) ) 8 6 ) 6. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büük doğal saı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir? ) ) 9 ) 6 )

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MTEMTİK TESTİ. Bu testte soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. d + n - d + n d - + n- d + + n işleminin sonucu kaçtır?., R olmak üzere, + +

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x Ö.S.S. MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. olduğuna göre, kaçtır? A B C D E Çözüm. -. : ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A B C D E Çözüm :... :....... . olduğuna göre, - ifadesinin

Detaylı

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir

Detaylı

MATEMATİK 12. SINIF DERS KİTABI

MATEMATİK 12. SINIF DERS KİTABI ORTAÖĞRETİM MATEMATİK. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR Mustafa BAĞRIAÇIK Muslu LÖKÇÜ Zenel SAĞLAM Önder ÇOLAK Timur YURTSEVEN Turgut OĞUZ Asun Nükhet ELÇİ Yalçın YILDIRIM DEVLET KİTAPLARI BEŞİNCİ BASKI...,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)

Detaylı

25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ

25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ 25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ a-) Routh Hurwitz Kararlılık Ölçütü b-) Kök Yer Eğrileri Yöntemi c-) Nyquist Yöntemi d-) Bode Yöntemi 1 2 3 4 a) Routh Hurwitz Kararlılık

Detaylı