Bu çözüm sanırım Mehmet Yaşar hocamıza aitti:

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Bu çözüm sanırım Mehmet Yaşar hocamıza aitti:"

Ata Engin
5 yıl önce
İzleme sayısı:

3 3

4 4

5 Bu çözüm saırım Mehmet Yaşar hocamıza aitti: 5

6 6

7 ZİHİNLERİ BULANDIRAN 5.SORU Soru (Mustafa Yağcı). D oktası, ABC bir eşkear üçgeii iç bölgesidedir. m(abd) = 48 o ve m(acd) = 54 o olduğua göre; BAD açısıı ölçüsü kaç derecedir? Çözüm- (Mustafa Yağcı): BD doğrusu üzerideki bir E oktası içi BAE ikizkear üçgeii oluşturalım. AC = AB = AE olduğuda CAE üçgei de ikizkear olur. Şimdi CAE üç-geii ayısıı ABC eşkear üçgeii solua yapıştıralım. Daha sora m(lae) = 08 o ve LA = AE olduğuda L, A, E oktaları bir düzgü beşgei üç ardışık köşesidir. AEFKL düzgü beşgei oluşturulursa BCFK bir dikdörtge olur. Burada DEC ile FEC üçgelerii eşliği görülür. Souçta EF = ED çıkar ki ayı zamada EF = EA olduğuda EA = ED olur. O halde m(ade) = 66 o olduğuda m(bad) = = 8 o. Çözüm- (Mustafa Yağcı-Cem Yıldırım): BD doğrusu üzerideki bir E oktası içi BAE ikizkear üçgeii oluşturalım. AC = AB = AE olduğuda CAE üçgei de ikizkear olur. Şimdi de m(cef) = 30 o olacak şekilde bir F oktası ile AEF ikizkear üçgeii oluşturalım. m(caf) = o olur. m(kba) = m(kab) = 48 o olduğuda AK = KB dolayısıyla AKC ile BKC üçgeleri eştir. m(ekc) = m(fkc) = 4 o olur. EFK üçgeide EC ve KC birer içaçıortay olduğuda CF de iç açıortay olmak zorudadır. m(efc) = m(kfc) = 8 o dir. Souçta DEC ile FEC üçgeleri eş çıktığıda EF = ED dir ayı zamada EF = EA olduğuda EA = ED olur ki m(ade) = 66 o olduğuda m(bad) = = 8 o. 7

8 Çözüm-3 (Mustafa Yağcı): BDEC ikizkear yamuğuu oluşturalım. m(bcd) = m(cde) = m(ecd) = 6 o olduğuda BD = DE = EC dir. AB ve AC kearları üzerideki sırasıyla K ve F oktaları içi BDK ve CEF ikizkear üçgelerii oluşturalım. DEF üçgei de ikizkear olur. Gerekli açı ölçüleri yerlerie yazılırsa DFK üçgeii de ikizkear olduğu görülür ki bu da AKF eşkear üçge olmasıda dolayı DFA üç-geii ikizkear olmasıı alatır. m(fad) = 4 o diye m(dak) = m(dab) = 8 o olmalıdır. Çözüm-4 (Mustafa Yağcı): BC üzerideki bir E oktası içi BDE ikizkear üçgeii oluşturalım. CED üçgei de ikizkear olur. Şimdi DE üzerie üçgei içie doğru bir DEF eşkear üçgei işa edelim. BDF ve FEC üçgelerii de birer ikizkear olacaklarıa dikkat edelim. ABC üçgeide BF iç açıortay doğrusu çıktığıda ABF ile CBF eştir. Buu soucu olarak CFA üçgei de ikizkear olur. Şimdi m(fac) = 4 o olduğuda m(baf) = 36 o dir. Ayı zamada m(bdf) = 44 o olduğuda ABDF bir kiriş dörtgeidir, o halde m(bad) = m(bfd) = 8 o dir. Çözüm-5 (Mustafa Yurtseve): ABC üçgeii içide bıraka ve AC yi kear kabul ede ACEFK düzgü beşgeii işa edelim. AFC ikizkear üçgeide FB yük-seklik olduğuda m(kfb) = m(efb) = 54 o. Diğer yada CB = CE olduğuda m(cbe) = m(ceb) = 66 o. FC köşegei çizilirse m(bfc) = m(dcf) ve BD // FC olacağıda FBDC bir ikizkear yamuktur. O halde FB = DC. Ayı zamada FE = AC ve m(efb) = m(acd) = 54 o olduğuda EFB ile ACD üçgeleri eştir. m(cad) = m(feb) = 4 o olduğuda m(bad) = 60 o m(cad) = 60 o 4 o = 8 o. 8

Çözüm- 6 (Yuus Temelli): [BD] kearı üzerie üçgei dışıa doğru şekildeki gibi BFD eşkear üçgeii çizelim. BDC ile BFA üçgelerii eşliğii görerek BFKA ikizkear yamuğuu çizelim.

9 Çözüm- 6 (Yuus Temelli): [BD] kearı üzerie üçgei dışıa doğru şekildeki gibi BFD eşkear üçgeii çizelim. BDC ile BFA üçgelerii eşliğii görerek BFKA ikizkear yamuğuu çizelim. BD = BF = DF = FK = KA olduğuda DFK üçgei ikizkeardır. BDC üçgei [AC] üzerie AEC olarak kopyalaırsa KAE üçgei de eşkear olur. Burada DKAE dörtgeii bir deltoit olduğu görülür. O halde m(kad) = 30 o olmalı, dolayısıyla m(bad) = 30 o o = 8 o olarak buluur. Çözüm (Nail Karagöz): BC kearı üzerie şekildeki gibi BCEFK düzgü beşgeii işa edelim. Düzgü beşgei köşelerii açıları 08 o dir. Düzgü beşgele ilgili diğer bilgileri bildiğimizi varsayıyoruz. Bu arada, A oktasıı düzgü beşgei merkezi olmadığıı belirtelim, şekil aldatabilir. Şimdi BDC üçgeii BLA olarak ABC üçgeii dışıa kopyalayalım. m(kbl) = 36 o olduğuda (kaıtı kolay!), L BF. Öte yada BFC ikizkear üçgeide FA yüksekliği bir parçası olduğuda, m(bfa) = 8 o. Ayrıca m(fla) = 80 o m(bda) = m(dba) + m(bcd) = o + 6 o = 8 o. O halde AFL üçgei de ikizkeardır ve FA = AL = DC. Ayı zamada FE = BC = AC ve m(afe) = 08 m(bfk) m(bfa) = 08 o 36 o 8 o = 54 o = m(dca) olduğuda AFE ile DCA üçgeleri eştir. Dolayısıyla m(cad) = m(fea) = 08 o m(aec) = 08 o (80 o 48 o )/ = 08 o 66 o = 4 o ve souçta m(bad) = 60 o m(cad) = 60 o 4 o = 8 o olarak buluur. 9

10 0

11 ZİHİNLERİ BULANDIRAN 7.SORU

12 ZİHİNLERİ BULANDIRAN 8.SORU

13 MY MY 3

14 4

15 5

16 ZİHİNLERİ BULANDIRAN 4.SORU 6

17 [ZBS-5] ABC bir üçge, AB = AC, AD = BC =, CD =, m(cab) = o ise kaçtır? Çözüm : D oktasıda BC ye paralel çizile doğru AC yi E de kessi. DE = m diyelim. ADE ikizkear üçge olduğuda AD = AE = ve DBCE de bir ikizkear yamuk olduğuda, DB = deirse EC = ve BE = DC = olur. + -m A B θ θ θ D A C Şimdi DAF açısıı açıortayıı çizelim. FD yi K da kessi. m(eak) = m(eka) = + θ olacağıda AEK ikizkear olur, o halde EA = EK = olduğuda FK = ve KD = m olur. [DE üzeride bir L oktası içi KAL ikizkear üçgei çizilirse ADK ve AEL üçgelerii eşliğide EL = m olur. AEK ile LAK üçgeleri bezer olduğuda AK = KD KL olur ki burada AK = m buluur. Daha öce m = olduğuu bulduğumuzda AK = KF yai = θ çıkar. Şimdi caıızı istediği bir üçgei iç açılarıı ölçülerii toplarsaız 7 bulursuuz ki, bu da = 80 o demektir. 7 Çözüm : A A F K +θ -m D +θ m E +θ -m L D m E D m E K +θ -m B Diğer yada ikizkear yamuk ailesii her bireyi kiriş dörtgei olduğuda DBCE dörtgeide Batlamyus (Ptolemy) Teoremi gereği m + = yai m + = elde ederiz. Burada = m yai = m olduğuu bir keara ot edelim. Şimdi [ED üzeride AFE ikizkear olacak şekilde bir F oktası alalım. m(fad) = θ olsu. m(fae) = m(aef) = + θ = m(acb) = m(abc) olur. AFE ile CAB üçgelerie dikkat edilirse hem taba açıları ayı hem de taba uzulukları ayı olduklarıda eştirler. O halde m(afe) = ve FA = FE = + olur. Kiriş dörtgeleride karşılıklı kearları çarpımlarıı toplamı, köşegeler çarpımıa eşittir. ADE üçgeide üçge eşitsizliği gereği m < olduğuda = m eşitliğii sağlaya bir reel sayıdır. C 7 B C B θ θ Yie Batlamyus (Ptolemy) Teoremi gereği m + = yai m + = elde ederiz. O halde = m. Şimdi şekil çok karışık olması diye sağdaki şekle geçiyoruz: CBF ikizkear olacak şekilde [BF] yi çiziyoruz. CBF ile DAE üçgelerii eşliğie dikkat ediiz. O halde FC = m. ABF açısıı açıortayıı çizelim. BCK ikizkear üçge olur ki KF = m ve AK = olur. BKC üçgeide Stewart Teoremi uygulaırsa BK = m yai BK = çıkar. BKA üçgeii ikizkear bulduğumuzda = θ olur ki, herhagi bir üçgei iç açı ölçülerii toplarsak = 80 o olduğuu görürüz. 7 Mustafa YAĞCI F m C

18 Çözüm 3 [Eyüp Kamil Yeşilyurt]: Çözüm 4 [İbrahim Kuşçuoğlu]: x şekil x+ x+ a a şekil x+ -a Öce Şekil de Stewart Teoremi i uygulayalım: deklemide (x ).x x ( ) + + = x + 3 x x x + = 0 (*) elde edilir. Şekil de Stewart Teoremi i uygulayalım: (x ).(x a) a a(x + a) = a x + çıkar ki, deklemi düzelersek, (x + ) 3 a(x + ) + a = 0. a yı çekersek, a = (x + ) 3.(x + ) olur. a yı x ciside yazalım: 3 x + 3x + 3x + a =.x + 4x + Şimdi pay kısmıdaki yerie (*) eşitliğide 3 dolayı x + x x yerie yazalım. D A Trigoometrik Çözüm [Alper Çay]: m(b) = m(c) = x ve BD = diyelim. ABC üçgeide Stewart Teoremi uygulaırsa AC DB + CB DA CD = DA DB AB B C olduğuda, değerler yerlerie yazılırsa, 3 + = 0 () buluur. BCD üçgeide kosiüs teoremi uygulaırsa CD = BC + BD BC BD cos x olur ki, bu da cos x = 0 () demektir. () ve () eşitlikleride yok edilirse, 8 cos 3 x 4 cos x 4 cosx + = 0, si x (8 cos 3 x 4 cos x 4 cos x + ) = 0, 4 cos x si x cos x si x si x + si x = 0, cos x (si 3x + si x) si 3x si x si x + si x = 0, si 4x + si x + si x si 3x si x six + si x = 0, si 4x = si 3x x = (k + ) 7 π, k buluur. O halde π 3π x = veya x = 7 7 olur. BC < AB olduğuda x = 3 π olacağıda 7 buluur. m(a) = 7 π Çözüm [İbrahim Kuşçuoğlu]: 3 3 x + 3x + 3x + x + x x.x + 4x + 3 x + 4x + x =.x + 4x + x(.x + 4x + ) =.x + 4x + a = eşitliğide a = x buluur. x+ a x x+ x+ a a x+ -a Burada Şekil 3 elde edilir ki 7 = 80 o ve dolayısıyla da 80 = buluur. 7 a 3 şekil şekil Öce Şekil de Stewart Teoremi i uygulayalım: şekil 3 8

19 deklemide + + = x + (x ).x x ( ) 3 x x x + = 0 (*) elde edilir. Şekil de Stewart Teoremi i uygulayalım: a(x + a) = a x + (x ).(x a) a çıkar ki, deklemi düzelersek, (x + ) 3 a(x + ) + a = 0. a yı çekersek, a = 3 (x + ) +.(x ) olur. a yı x ciside yazalım: 3 x + 3x + 3x + a =.x + 4x + Şimdi pay kısmıdaki yerie (*) eşitliğide 3 dolayı x + x x yerie yazalım. 8 cos 3 x 4 cos x 4 cosx + = 0, si x (8 cos 3 x 4 cos x 4 cos x + ) = 0, 4 cos x si x cos x si x si x + si x = 0, cos x (si 3x + si x) si 3x si x si x + si x = 0, si 4x + si x + si x si 3x si x six + si x = 0, si 4x = si 3x x = (k + ) 7 π, k buluur. O halde π 3π x = veya x = 7 7 olur. BC < AB olduğuda x = 3 π olacağıda 7 buluur. m(a) = 7 π 3 3 x + 3x + 3x + x + x x.x 4x a = x + 4x + x =.x + 4x + x(.x + 4x + ) =.x + 4x + eşitliğide a = x buluur. x+ a a Burada Şekil 3 elde edilir ki 7 = 80 o ve dolayısıyla da 80 = buluur. 7 şekil 3 3 Trigoometrik Çözüm [Alper Çay]: m(b) = m(c) = x ve BD = diyelim. ABC üçgeide Stewart Teoremi uygulaırsa AC DB + CB DA CD = DA DB AB olduğuda, değerler yerlerie yazılırsa, B C 3 + = 0 () buluur. BCD üçgeide kosiüs teoremi uygulaırsa CD = BC + BD BC BD cos x olur ki, bu da cos x = 0 () demektir. () ve () eşitlikleride yok edilirse, D A 9

Benzer belgeler

2. ÖRNEK: 1. ÖRNEK: DC BC k 2 2. m k ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: AD = DC m(bda)=45 o. m(bao)=m(oac)=20 o m(bco)=30 o ve m(oca)=10 o m(obc)=x kaç derecedir?

2. ÖRNEK: 1. ÖRNEK: DC BC k 2 2. m k ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: AD = DC m(bda)=45 o. m(bao)=m(oac)=20 o m(bco)=30 o ve m(oca)=10 o m(obc)=x kaç derecedir? ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: 1. ÖRNEK: 2. ÖRNEK: AD = DC m(bda)=45 o m(bad)=m(dbc)=x kaç derecedir? m(bao)=m(oac)=20 o m(bco)=30 o ve m(oca)=10 o m(obc)=x kaç derecedir? 1. AB yi uzatıp, C den CE AE çizelim. AEC