ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI"

Emel Akşit
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI PROJENİN ADI: ANA ÇOKGEN YAVRU ÇOKGEN İLİŞKİSİ: KENAR VE ALAN BAĞINTILARI HAZIRLAYANLAR: AYŞENUR İREM OKAY EZGİ HARPUT ÖZEL MÜRÜVVET EVYAP KOLEJİ İSTANBUL 014 1

2 AMAÇ: Çalışmalarımızı geel amacı düzgü çkgei ve u ikicil çkgeii kearları ve alaları raıı frmülüü üretmektir. Özel amaçlar: 1. Düzgü bir çkgei ikicil çkgeii taımlamak. İkicil çkgei düzgü lduğuu ispatlamak 3. İkicil çkgei kearlarıı aa çkgei kearları ciside ifade etmek 4. Aa çkge ile ikicil çkgei kearları raıı bulmak 5. Aa çkge ile ikicil çkgei alaları raıı bulmak GİRİŞ: Dörtte fazla kearı la her düzgü çkgei köşegelerii kesişim ktaları birleştirildiğide kedide küçük bir çkge luşturur. Bu çkgei kear sayısı büyük çkgeikie eşittir. Biz bu aa ve ikicil çkgeleri arasıdaki kear ve ala bağıtılarıı bulup ispatlayacağız. A) BASİT TANIMLAMALAR: 1) ÇOKGEN: N + ve 3 lmak üzere, ayı düzlemde yalız A 1, A, A 3,..., A ktalarıda kesişe ve ardışık üç kta dğrusal lmayacak şekilde [ A, A 1 ],[ A, A 3 ],...,[ A, A 1 ] parçalarıı birleşim kümesie çkge deir. A 6 A 5 A 7 A 4 A A 3 A 1 A Şekil-1

3 ) DÜZGÜN ÇOKGEN: Bütü açılarıı ölçüleri birbirie eşit ve bütü kearlarıı uzulukları birbirie eşit la çkgelere düzgü çkge deir. 3) KÖŞEGEN: Çkgelerde, kmşu lmaya, iki köşeyi birleştire dğru parçasıa köşege deir. KÖŞEGEN Şekil- 4) EN KISA KÖŞEGEN: Verile düzgü -ge içi ( 5 ) ardışık köşeleri A 1, A, A 3,..., A, A -1 lsu. Bu -ge içi A1A 3, AA 4, A3A 5... A-A, A-1A1 köşegeleri çkgei e kısa köşegeleridir. A 1 A p 4 A p 1 p A 1 p p 1 A 3 p 3 A Şekil-3 3

4 5) İKİNCİL ÇOKGEN: A 1, A, A 3,..., A düzgü -ge lsu. E kısa köşegeleri kesişimiyle meydaa gele içteki -gee ikicil çkge diyelim. A 1 A p p 1 5 A 5 p p 4 p 3 A 3 A 4 Şekil-4 Şekil-5 Şekil-6 Şekil-7 Şekil-8 4

5 METOD: A) ANA ÇOKGENİN BİR KENARININ EN KISA KÖŞEGENE ORANI: d 1 d 8 d d 3 d 4 d d6 5 d 7 Şekil-9 Düzgü -ge içi köşegeleri d 1, d, d 3,...d-1 lsu. (Şekilde =9 içi gösterilmiştir). d 1 ve d -1 kearları dahil lsu. Ayrıca d i i uzuluğu d -i ye eşittir. d k d j k si dir. j si Özel larak d d 1 si si 5

6 C C D G D B I G H E E A B F A F CB BA ˆ m ABC ˆ m FCB lduğuda C D B G D B F E A ABCF ikizkear yamuktur. Dlayısıyla; FB CA lur. Ayı zamada; CD DB lur. ( CDB ) ikizkear üçgedir. 6

7 Öyleyse, m( DCB ˆ ) m( DBC ˆ ) dır. L (LFCB) ve (FCBA) ikizkear yamukları eştir. Öyleyse, ˆ ˆ m FCG m GFC lur. FABC ve CIAB ikizkear yamukları da birbirie eştir. Öyleyse, ˆ ˆ m EBA m BAE lur. 7

8 Çkgei iç açıları birbirie eşit lduğuda ˆ ˆ m GCD m DBE lur. ( GCD ) ile ( DBE ) üçgelerii bir açıları ve iki kearları eşittir. K.A.K. (Kear-Açı-Kear) bağıtısıda ( GCD ) ile ( DBE ) üçgeleri birbirie eştir, GD DE lur. İkicil çkgei bütü kearları eşittir. Yai, ikicil çkge düzgüdür. İkicil çkge düzgü ve ikicil çkgei kear sayısı aa çkgei kear sayısıa eşit lduğuda ikicil çkge aa çkgee bezerdir. B) İKİNCİL ÇOKGENİN BİR KENARININ ANA ÇOKGENİN BİR KENARI CİNSİNDEN BULUNMASI: B K C D H E A Şekil-10 Şekilde [AB] ve [BC] düzgü -gei ardışık iki kearı lsu. ( ABC ) i ikizkear üçgedir. AB = BC dır. Dlayısı ile [DE] ikicil çkgei bir kearıdır. (ABC) ˆ Düzgü üçgei bir iç açısıdır..( - ) m( ABC ˆ ) dır

9 - ( ABC) 360 lur. ikizkear lduğuda ˆ 360. mc ( ) - -. mc ( ˆ) mc ( ˆ ) 360 lur. cs( Cˆ ) CH BC CH cs BC CH BC.cs lur. (1) Ayrıca, cs( Cˆ ) CK CD ; CK CD.cs ( BDC ) ikizkear lduğuda CD = DB dir, dlayısıyla CK = KB lur. CK CB dir. CB CD.cs CD cs CB () 9

10 Bize DE uzuluğu gerekli DE DH HE dir. DE. DH ( EBD ) ikizkear EB BD lduğuda DH HE dir. DH CH - CD (1) ve () de DH CB BC.cs - cs DH BC 1 cs -.cs.cs -1. BC.cs 360 cs BC..cs DE. DH BC. cs cs

11 C) ANA ÇOKGEN İLE İKİNCİL ÇOKGENİN ALANLARININ ORANI: Terem-1: Aşağıdaki teremler ve ispatları çeşitli gemetri kitaplarıda görülebilir. Bir kearıı uzuluğu s la kearlı bir düzgü çkgei alaı: A 4.ta s. dir. İspat 1: s s s s a r Şekil-11 Siüs teremide bulumuştu. 11

12 .si.si.cs si s r. r. r. si si - cs s. r.si (3) Pisagr teremide s a r s s a.si a 1 - si s s s - 4 si 4 si a s.ct lur. (4) Çkgei Alaı A as.. A s. ct. s 1

13 s A..ct 4 A s. 4.ta Terem-: İkicil Çkgei Alaı Aa Çkgei Alaı cs cs 360 İspat.1: A 4.ta s. deklemii kullaarak A i. Si 4.ta A a 4.ta S a S i 4.ta İkicil Çkgei Alaı A i Aa Çkgei Alaı Aa Sa 4.ta 360 Sa.cs. cs 4.ta Sa 4.ta 13

14 S 360 a.cs 360 cs cs. Sa cs İspat-.: İkicil çkgei kearıı aa çkgei kearıa bezerlik raıı karesii alarak iki çkgei alalarıı raıı hesaplayabiliriz. cs 360 İkicil Çkgei Kearı Aa Çkgei Kearı cs cs cs İkicil Çkgei Alaı İkicil Çkgei Kearı Aa Çkgei Alaı Aa Çkgei Kearı cs cs Terem-3: değeri ssuza yaklaştıkça ikicil çkgei alaıı aa çkgei alaıa raı 1 e yaklaşır. cs lim cs 360 =1 14

15 İspat-3: İkicil Çkgei Alaı Aa Çkgei Alaı cs cs 360 deklemii kullaarak 360 cs lim cs 360 cs lim cs cs 0 1 cs lim Tablda i farklı değerleri içi ikicil çkgei alaıı aa çkgei alaıa raları gösterilmiştir. KENAR SAYISI() ALANLAR ORANI KENAR SAYISI() ALANLAR ORANI 5 0, , , , , , , , , , , , , , SONUÇ: Tabl-1 Bilie teremleri ve sayısal verileri kullaarak aa ve ikicil çkgei arasıdaki ala ve çevre ilişkisii bulmuş lduk. 1- İkicil çkgei bir kearıı aa çkgei bir kearıa raı aşağıdaki gibidir: İkicil Çkgei Kearı Aa Çkgei Kearı 360 cs cs 15

16 - İkicil çkgei alaıı aa çkgei alaıa raı aşağıdaki gibidir: İkicil Çkgei Alaı Aa Çkgei Alaı cs cs değeri ssuza yaklaştıkça ikicil çkgei alaıı aa çkgei alaıa raı 1 e yaklaşır: 360 cs lim 1 cs KAYNAKLAR: DEMİR, Hüseyi ; Euclid Gemetrisi, ODTÜ Vakfı, Akara 1986 ŞAHİN, Ramaza; Lise Gemetri, Zambak Yayıları, İzmir

Benzer belgeler

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide