Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme:

Transkript

1 Ardışık Syılr Toplm Formülleri Ardışık syılrın toplmı: n =.(+) Ardışık çift syılrın toplmı : n = n.(n+1) Ardışık tek syılrın toplmı: (2n 1) = n.n=n 2 Ardışık tm kre syılrın toplmı: n 2 =.(+).(+) Ardışık ve küp şeklindeki syılrın toplmlrı: n 3 =[.(+) ] 2 Ardışık 4.dereceli syılrın toplmı: n 4 = n.(n+1)(2n+1)(3n²+3n+1) 6 Terim syısı: (üü üçü ) ış ı + ( İ ) + ış ı Belirli bir syıdn bşlyn ve sbit rtış gösteren dizilerin toplm: r: ilk terim n:son terim x: rdışık iki terimin frkı ise, r+(r+x)+(r+2x)+ n= (+).( +) Devirli Ondlık Syıyı Rsyonel Syıy Çevirme: Syının tmmındn devretmeyen kısım çıkrılır. Pydy virgülden sonrki devreden bsmk syısı kdr 9 ve sğın devretmeyen bsmk syısı kdr sıfır yzılrk rsyonel syı oluşturulur.,bc = bcde bc 9900 Bir Syının Pozitif Tm Bölenlerinin Syısı: A = p.b r.c s frklı sl çrpnlrının çrpımı şeklinde olsun. * A syısının pozitif tm bölenlerinin syısı, (p + 1).(r + 1).(s + 1) * A syısının pozitif tm bölenlerinin ters işretlileri de negtif tm bölenidir. A syısının tm syı bölenleri syısı 2.(p + 1).(r + 1).(s + 1) * A syısının tm syı bölenlerinin toplmı sıfırdır. * A syısının pozitif tm bölenlerinin toplmı * A syısının sl olmyn tm syı bölenleri toplmı -( + b + c) * A syısının pozitif tm syı bölenlerinin çrpımı (+1).(+1).(+1) Çrpnlr Ayırm Özdeşlikler Tm Kre Özdeşliği: İki Terim Toplmının Kresi : ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 İki Terim frkının Kresi : ( - b) 2 = 2-2b + b 2 Üç Terim Toplmının Kresi: ( +b + c) 2 = 2 + b 2 + c (b + c + bc) İki Terim Toplmının Küpü: ( + b) 3 = b + 3b 2 + b 3 İki Terim Frkının Küpü : ( - b) 3 = b + 3b 2 - b 3 İki Kre Frkı Özdeşliği: 2 b 2 = ( + b).( b) x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy x 2 + y 2 = (x y) 2 + 2xy (x y) 2 = (x + y) 2 4xy (x + y) 2 = (x y) 2 + 4xy x 3 y 3 = (x y) 3 + 3xy (x y) x 3 + y 3 = (x + y) 3 3xy (x + y) x 2 + y 2 + z 2 = (x + y + z) 2 2 (xy + xz + yz) x n + y n vey x n - y n biçimindeki polinomlrın Özdeşliği İki Küp Toplmı : 3 + b 3 = ( + b).( 2 b + b 2 ) İki Küp Frkı : 3 - b 3 = ( - b).( 2 + b + b 2 ) 4 + b 4 = ( + b).( 3 2 b + b 2 b 3 ) 4 b 4 = ( 2 + b 2 ).( + b).( b) 5 + b 5 = ( + b).( 4 3 b + 2 b 2 b 3 + b 4 ) 5 b 5 = ( b).( b + 2 b 2 + b 3 + b 4 ) 6 + b 6 = ( + b).( 5 4 b + 3 b 2 2 b 3 + b 4 b 5 ) 6 b 6 = ( b).( 2 + b + b 2 ).(+ b).( 2 + b + b 2 ) 7 + b 7 = ( + b).( 6 5 b + 4 b 2 3 b b 4 b 5 + b 6 ) 7 b 7 = ( b).( b + 4 b b b 4 + b 5 + b 6 )

2 Ortlm Çeşitleri Aritmetik Ortlm: Verilerin toplmının veri syısın bölümüdür. 1, 2, 3... n gibi n tne syının ritmetik ortlmsı; AO= n n Geometrik Ortlm: ve b syılrı için x=. ise, x syın ile b nin geometrik ortlmsı vey x syısı ile b rsınd ort orntılı denir. 1, 2, 3... n gibi n tne syının geometrik ortlmsı; x= Hrmonik Ortlm: dir. ve b reel syılrı için x= 2.b +b syısın ile b nin hrmonik ortlmsı denir. 1, 2, 3... n gibi n tne syının hrmonik ortlmsı; n x= n Üslü Syılr R ve n Z + olmk üzere ;.. = n (: tbn, n: üs) 1) 0 için 0 =1 dir. (0 0 belirsizdir.) 1 =, 2 =. ( kre), 3 =.. ( küp) 2) > 0 için (-) 2n = 2n > 0 dır. 3) > 0 için (-) 2n-1 =- 2n-1 < 0 dır. 4) (-b) 2n =(b-) 2n, (-b) 2n-1 =-(b-) 2n-1 5) n = m ise n=m dir. ( 0, 1, -1) 6) x n +bx n +cx m -dx m +ex m = (+b)x n +(c-d+e)x m 7) m. n = m+n, m.b m =(.b) m 8) m : n = (m-n) 9) m :b m =(:b) m 10) ( m ) n = m.n 11) -m =1/( m ) Köklü Syılr = =.. =.. 4. ± = + ± 2 2 c= 2 dir = 7. : : 1 = = = NOT: syısı rdışık iki tmsyının çrpımın eşit ise sonuç büyük oln syıy eşittir. 9. = 10.. = = ( + ) 13. n çift ise x 0 dır. 14.Pydyı kökten kurtrmk =. = = Mutlk Değer. 1 1 = 1 Syı doğrusu üzerinde bir x R syısının sıfır oln uzklığın Mutlk Değer denir. x ifdesi lttki şrtlrd belirtilen değerleri lır. ) x > 0 ise x = x b) x < 0 ise x = -x c) x=0 ise x = 0 Özellikleri 1) x 0 2) x = -x 3) x² = x ²= x² ve x = x 4) x.y = x. y 5) x/y = x / y 6) c>0 için x- = c ise x- = ± c dir. x = ± c 7) x- c için -c x- c => -c x +c 8) x- c için x- c vey x- -c 9) - b +b + b Orn Orntı ve b reel syılrındn en z biri sıfırdn frklı olmk üzere ifdesine nın b ye ornı denir.

3 b vec ornlrı için,.d=b.c ise d dir. Yni iki ornın eşitliğine orntı denir. :b=c:d ile d ye dışlr, c ile b ye içler denir. 1.İçler yer değiştirebilir. ise c =b d de orntıdır. 2. Dışlr yer değiştirebilir. ise d b =c de orntıdır. 3. Orntı ters çevrilebilir. ise b = c dir. 4. m 0 ve n 0 için, = m.+n.c m.b+n.d olbilir. 5. ise +b = + 6. ise b = vey + = vey = 7. b =c 2 =k ise = 2 d 2 2 =k = 2 (k orntı sbiti) = üçlü orntısı :c:e=b:d:f şeklinde yzılbilir. Doğru Orntı: x,y R + ve k>0 sbit bir reel syı olmk: x ile y doğru orntılı ise: = ise y=k.x Ters Orntı x,y R + çokluklrı ters orntılı ise bunlrın çrpımı sbit olup y.x=k ise: = olur. KÜMELER Kümelerde Birleşim İşlemi Özellikleri * A ve B kümelerinin birleşimi, iki kümenin elemnlrı bir elemn bir kez kullnılck şekilde bir küme içinde birleştirilmesidir. * Kümelerde birleşim işlemi işreti sembolüdür. * A ve B kümelerinin birleşim işlemi A B şeklin de gösterilir. * A B = {x: x A vey x B} * Her A ve B kümesi için A B=B A dır. 1) A A=A 2) A B=B A 3) A =A 4) A (B C)=(A B) C 5) A B= ise A= ve B= dir. 6) A B ise A B=B dir 7) s(a B)=s(A)+s(B)-s(A B) 8) s(a B C)=s(A)+s(B)+s(C)-s(A B)- s(a C)-s(B C)+s(A B C) 9) s(a B)=s(A-B)+s(A B)+s(B-A) 10) A (A B) ve B (A B) 11) (A B) (A b) 12) A (A B) 13) B (A B) 14) (A B) (A b) Kümelerde Kesişim İşlemi Özellikleri * A ve B kümelerinin her ikisinde de ortk olrk bulunn elemnlrın kümesine bu iki kümenin kesişimi yd rkesiti denir. * Kümelerde kesişim işlemi işreti sembolüdür. * A ve B kümelerinin kesişim işlemi A B şeklin de gösterilir. * A B={x: x A ve x B} 1) A A=A 2) A B=B A 3) A = 4) A (B C)=(A B) C 5) A B= ise i) A= vey B= dir ii) A ve B kümeleri yrıktır. 6) A B ise A B=A dir 7) A (B C)= (A B) (A C) 8) A (B C)= (A B) (A C) 9) s(a B)= s(a)+s(b)-(a B) 10) s(a B)=s(A B)-s(A-B)-s(B-A) 11) (A B) A ve (A B) B 12) (A B) (A b) 13) (A B) A 14) (A B) B 15) (A B) (A b) Kümelerde Frk İşlemi Özellikleri A ve B iki küme olsun. A kümesine it olup B kümesine it olmyn elemnlrdn meydn gelen kümeye A frk B kümesi denir. A \ B vey A B şeklinde gösterilir. Bun göre, A \ B = { x x A ve x B} olur. Şekilde Venn şemsı ile gösterilmiştir. A,B,C birer küme olmk üzere 1) A\A= 2) A\ =A 3) \A= 4) A\B B\A 5) A \ ( B C) = (A \ B) (A\C) 6) A \ ( B C) = (A \ B) (A\C) 7) A \ ( B \ C) = (A \ B) (A C) 8) (A \ B) B = A B 9) (A \ B) ( A B)= 10) (B\A) ( A B)= 11) A \ (A \ B)=A B 12) A \ (B \ A)=A 13) B \ (A \ B)=B 14) (A \ B) (B \ A)= 15) (A \ B) \ (B \ A)=A \ B 16) (B \ A) \ (A \ B)=B \ A 17) (A \ B) A 18) (B \ A) B 19) (A \ B) B= 20) A\( A B)=A \ B 21) A=(A \ B) (A B) 22) B=(B \ A) (A B) 23) A B ise A \ B= 24) A U B = (A \ B) (B \ A) (A B)

4 Kümelerde Evrensel Küme ve Tümleyen Özellikleri Evrensel küme Elemnlrı incelenen kümeye göre, ypılmsı gereken bütün işlemleri içine lbilecek şekilde belirlenen, en geniş kümeye evrensel küme denir. Genel olrk E ile gösterilir. Evrensel küme sonlu vey sonsuz küme olbilir. Evrensel küme, incelenen probleme göre değişir. Hiç bir zmn boş küme olmz. Evrensel kümeyi Venn şemsı ile gösterirken, diğer kümelerden yırt etmek için dikdörtgen şeklinde gösterilir. Tümleme E evrensel kümesi içinde bir A kümesi veriliyor. A kümesi, E evrensel kümenin bir lt kümesidir. Bun göre, E evrensel kümesine it olup, A kümesine it olmyn elemnlrın oluşturduğu kümeye, A kümesinin tümleyeni denir. A' vey A sembolü ile gösterilir. E, evrensel küme A E, B E, A' A nın tümleyeni B' B nin tümleyeni olmk üzere, 1) A' E 2) A A'=E 3) A A'= 4) A E=E 5) E'= 6) '=E 7) A E=A 8) (A') ' =A 9) E\A=A' 10) A \ B=A B' (A B E ise) 11) (A \ B) ' =A' B 12) A \ B=B' (A B=E ise) 13) A\A'=A DE MORGAN KURALLARI 1) (A U B) ' =A' B' 2) (A B) ' =A' B' Alt Küme Sorulrınd Kullnıln Formüller Herhngi iki A ve B kümeleri verilmiş olsun. A kümesinin her elemnı B kümesinin de bir elemnı ise A kümesine B kümesinin bir lt kümesi denir. A B şeklinde yzılır A lt küme B diye okunur. Bu tnım göre, (A B) ( x A x B) dir. n elemnlı bir kümenin lt küme syısı 2 n formülüyle bulunur. Ayrıc n elemnlı bir kümeden seçilmiş 2 elemndn ) Her ikisinin de bulunduğu ltküme syısı : 2 n 2 b) Hiçbirinin bulunmdığı ltküme syısı : 2 n 2 c) En z birinin bulunmdığı ltküme syısı : 3.2 n 2 d) En z birinin bulunduğu ltküme syısı : 3.2 n 2 e) Herhngi birinin bulunmdığı ltküme syısı : 3.2 n 2 f) İkisinin berber bulunmdığı ltküme syısı : 3.2 n 2 g) Birinin bulunduğu, diğerinin bulunmdığı ltküme syısı : 3.2 n 2 n elemnlı bir kümeden seçilmiş r elemndn ) Hepsinin bulunduğu ltküme syısı : 2 n r b) Birrd bulunmdığı ltküme syısı : 2 n 2 n r c) Hiçbirinin bulunmdığı ltküme syısı : 2 n r d) r=x+y olmk üzere x tnesinin bulunduğu y tnesinin bulunmdığı ltküme syısı : 2 n r Küme Problemlerinde Kullnıln Formüller E, evrensel küme A E, B E, C E A' A nın tümleyeni olmk üzere, 1) s (A U B)= s(a)+s(b) ( A B= ise ) 2) s (A U B)= s(a)+s(b)-s (A B) ( A B ise ) 3) s(a B C)=s(A)+s(B)+S(C)-s (A B)- s (A C)-s (B C)+s (A B C) 4) s(a)+s(a')=s(e) 5) s(a)=s(a \ B)+s(A B) 6) s(b)=s(b \ A)+s(A B) 7) s(a U B) = s(a \ B) + s(b \ A) + s(a B) 8) s(a U B) = s(a \ B) + s(a) 9) s(e)=s(a U B)+s[(A U B) ' ] Fktöriyel n_n+-{1} olmk üzere; 1 den n ye kdr oln doğl syılrın çrpımın n fktöriyel denir, n! biçiminde gösterilir. n N+ için; ) n!=n.(n-1).(n-2) b) n!=n.(n-1)! n!=n.(n-1).(n-2)! n!=n.(n-1).(n-2).(n-3)! c) m<n ise m! ifdesi, n! içinde vrdır. Permütsyon n tne frklı elemnın bir sır üzerinde r li (r n) sırlnışlrındn her birine n nin r li permütsyonu denir. n elemnlı A kümesinin r li permütsyonlrının syısı; P(n,r)=! ( )! Not: r=n ise; n frklı elemnın n li permütsyonlrının syısı P(n,n)=n! dir.

5 Yni n frklı elemnın doğrusl bir sır üzerindeki frklı sırlnışlrının syısı n! tnedir. Tekrrlı Permütsyon n tne nesnenin n 1 tnesi bir türden, n 2 tnesi ikinci türden,...n r tnesi r. türden ve n 1 +n n r =n ise n nesnenin n li permütsyonlrının syısı; n tne elemn içerisinden; n1 tnesi 1. çeşit ve özdeş, n2 tnesi 2. çeşit ve özdeş, n3 tnesi 3. çeşit ve özdeş, nr tnesi r. çeşit ve özdeş olmk üzere; bu n elemn bir sır üzerinde! (1)!.(2)!.(3)! ()! Kombinsyon frklı sırlnbilir. n elemnlı bir A kümesinin r elemnlı (r n) lt kümelerinin her birine A kümesinin r li kombinsyonu denir. n elemnlı bir kümenin r li kombinsyonlrının syısı; C(n,r)= = n! (n r)!.r! Olsılık Bir deneyde olnklı sonuçlrın kümesine örnek uzy, örnek uzyın her lt kümesine oly denir. E örnek uzyı için boş kümeye olnksız oly(imkânsız oly), E kümesine kesin oly denir. E örnek uzyının A ve B gibi iki olyı için, A B = 0 ise, A ve B olylrın yrık olylr denir. Olsılık Nedir? Bir E örnek uzyının tüm lt kümelerinin kümesi T ve değer kümesi R={x R : 0 x 1} oln P fonksiyonu şğıdki ksiyomlrı gerçekliyors bun olsılık fonksiyonu denir. A T ise p(a) reel syısın d A olyının olsılığı denir. 1) A T için 0 p(a) 1 dir. 2) p(e)=1 dir. 3) A, B T ve A B = 0 ise p(a B)=p(A)+p(B) dir. Özellikler 1) P(0)=0 dır. 2) A B ise p(a) p(b) 3) p(a)=1 - p(a) (A olyının olmm olsılığı) 4) p(a B)=p(A)+p(B)-p(A B) dir. 5) E={x 1,x 2,x 3 } örnek uzylrı için: p(x 1 )+p(x 2 )+p(x 3 )=1 dir Eş Olumlu Örnek Uzy Nedir? Olylrın gerçekleşme olsılığı eşit oln örnek uzy denir. E eş olumlu örnek uzy ve A E bir oly ise, A nın olsılığı; P(A)= s(a) s(e) S(A)= Anın elemn syısı S(E)= Enin elemn syısı E örnek uzyı A E, B E ve p(a B)=p(A).p(B) ise, A ve B olylrın bğımsız olylr denir. [p(a) 0, p(b) 0] Bir E örnek uzyının iki olyı A ve B olsun. A olyının olsılığı B olyın bğlı ise, A olyının olsılığın, A olyının B koşullu olsılığı denir ve bu olsılık; p( A B )=p(a B) ile gösterilir. Örnek uzy p(b) eş olumlu ise; p( A B )=s(a B) s(b) olur. Trigonometri Krşı Dik Kenr Uzunluğu sinα= Komşu Dik Kenr Uzunluğu cosα= tnα= Krşı Dik Kenr Uzunluğu Komşu Dik Kenr Uzunluğu Komşu Dik Kenr Uzunluğu cotα= Krşı Dik Kenr Uzunluğu secα= 1 cosecα= 1 tnα= α α cotα= α α = Komşu Dik Kenr Uzunluğu tnα.cotα=1 sin 2 α+cos 2 α=1 Eğim=tn α = Krşı Dik Kenr Uzunluğu Merkezi Eğilim ve Yyılım Ölçüleri Ortnc (medyn): Veriler küçükten büyüğe vey büyükten küçüğe sırlndığınd tm ortd kln değer ortncdır. Eğer tm ortd syı yoks orty gelen iki syı lınır ve ikiye bölünür, çıkn sonuç virgüllüde ols ortncdır. Tepe değer (mod): Veriler küçükten büyüğe vey büyükten küçüğe sırlndığınd en çok tekrr eden syı tepe değerdir. Bir veri grubund birden fzl en çok tekrr eden terim bulunbilir. Bu durumd veri grubunun birden fzl tepe değeri vrdır. Aritmetik Ortlm: Verilerin toplmının veri syısın bölümüdür. 1, 2, 3... n gibi n tne syının ritmetik ortlmsı; AO= n n

6 Açıklık (rlık) (rnj): Veri grubu küçükten büyüğe sırlnır. En büyük değerden en küçük değer çıkrılır. Rnj= En Büyük Değer En Küçük Değer Çeyrek Açıklık Alt çeyrek, ortncy göre verilerin lt yrısının ortnc değeridir. Üst çeyrek, ortncy göre verilerin üst yrısının ortnc değeridir. Çeyrekler çıklığı = üst çeyrek lt çeyrek şeklinde hesplnır. Çeyrekler çıklığı, uçlrd yer ln verilerden dh z etkilendiği için verilerin yyılmsı hkkınd çıklıktn dh iyi bilgi verir. Fiz Problemleri (A npr, n fiz yüzdesi, t zmn) Yıllık Fiz=F= Aylık Fiz=F= Günlük Fiz=F=