2009 Soruları. c

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "2009 Soruları. c"

Nazar Sabancı
5 yıl önce
İzleme sayısı:

Hırvt ıstn Ulusl Mtemt ık Ol ımp ıytı Tkım Seçme Sınvı Geometr ı 2009 Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.

1 Hırvt ıstn Ulusl Mtemt ık Ol ımp ıytı Tkım Seçme Sınvı Geometr ı 2009 Sorulrı c sbelinwordpress@gmil.com Hırvtistn d ypıln 2009 yılı TST yni Tkım Seçme Sınvın it geometri sorulrı bu ders notund özgün çözümleri ile birlikte verilmiştir. Ayrıc çözümlerin sonund elipslerle lklı bir kç ilginç özeliğe de değinilmiştir. Sorulrın çevirisini ve çözümlerini ypn Sbelin Grubu destekçilerinden syın LOKMAN GÖKÇE ye de teşekkür ederiz. Koly gelsin. SBELIAN 1

2 Soru 1. Bir ABC üçgeninde AB > AC veriliyor. l doğrusu ABC nin çevrel çemberine A noktsınd teğettir. A merkezli ve AC yrıçplı çember AB yi D de, l doğrusunu E, F de kesiyor. (C ve E noktlrı AB ye göre ynı yrı düzlemdedir) DE doğrusunun, ABC nin iç teğet çember merkezinden geçtiğini isptlyınız.[imo Test] Çözüm 1. ACB = 2α olsun. ACB nin çıortyı DE doğrusunu I noktsınd kessin. ACI = BCI = α dir. Aynı yyı gören çevre çı ve teğet - kiriş çı eşitliğinden F AB = ACB = 2α olur. Eşit yrıçp uzunluklrındn AD = AE olup ADE = AED = α dır. AD = AC ve ADI = ACI olduğundn ADIC dörtgeni bir içbükey deltoit olup DI = CI ve DAI = CAI elde edilir. Böylece AI ışını, BAC nin çıortyı olup I noktsı ABC üçgeninde iç teğet çember merkezidir. F 2 A O E B D I C Soru 2. Dışbükey bir ABCD dörtgeninde B + C < 180 o veriliyor. AB ve CD doğrulrı E noktsınd kesişiyor. olduğunu isptlyınız.(memo Test 2) CD. CE = AC 2 + AB. AE B = D Çözüm 2. ADE üçgeninin çevrel çemberi AC doğrusunu bir K noktsınd dh kessin. ADEK bir kirişler dörtgeni olduğundn ADC = EKA = α ve CD. CE = CA. CK (1) Şimdi B = D kbul edelim. Bu hlde B = EKA olup EKBC dörtgeni çembersel olur. Burdn AC. AK = AE. AB (2) yzılır. [1] ve [2] den Bu belge sbelinwordpress.com ittir. 2 c

CD. CE AB. AE = AC. CK AC. AK = AC. ( CK AK ) = AC 2 olup elde edilir. Tersine olrk CD. CE = AC 2 + AB. AE CD. CE = AC 2 + AB. AE eşitliğinin sğlndığını kbul edersek [1] yrdımı ile AC. AK = AE.

3 CD. CE AB. AE = AC. CK AC. AK = AC. ( CK AK ) = AC 2 olup elde edilir. Tersine olrk CD. CE = AC 2 + AB. AE CD. CE = AC 2 + AB. AE eşitliğinin sğlndığını kbul edersek [1] yrdımı ile AC. AK = AE. AB eşitliğine kolyc ulşbiliriz. Bu hlde ADEK bir kirişler dörtgeni olup B = EKA = α bulunur. Dolyısıyl B = D dir. Soru 3. Bir ABC üçgeninde [AB], [AC] kenrlrı üzerinden D, E noktlrı lınıyor. [DE] doğru prçsı ABC nin iç teğet çemberine teğet ve DE BC olsun. olduğunu isptlyınız. [MEMO Test 1] AB + AC + BC 8. DE Bu belge sbelinwordpress.com ittir. 3 c

Çözüm 3. İç teğet çemberin kenrlr ve DE ye teğet olduğu noktlrı şğıdki şekilde görüldüğü gibi F, G, H, J olrk hrflendirelim. ABC nin kenr uzunluklrı, b, c ve yrı çevre uzunluğu u olsun.

4 Çözüm 3. İç teğet çemberin kenrlr ve DE ye teğet olduğu noktlrı şğıdki şekilde görüldüğü gibi F, G, H, J olrk hrflendirelim. ABC nin kenr uzunluklrı, b, c ve yrı çevre uzunluğu u olsun. ABCÃDE olduğundn dir. ve olduğundn BC DE = AC AE = AB AD AE = AH JE, AD = AG DJ AH = AG = u AE + AD = (u ) JE + (u ) DJ AE + AD = 2.(u ) DE dir. Orntı özelliklerinden yzılbildiğinden dir. Burdn elde edilir. Bizden BC AB + AC + BC = DE AE + AD + DE DE = + b + c 2(u ) DE = olduğunu göstermemiz istenmektedir. Bu ise (u ) u AB + AC + BC DE 2u 2 (u ). 8 Bu belge sbelinwordpress.com ittir. 4 c 8

eşitsizliğine denktir. Aritmetik - geometrik ortlm eşitsizliğinden Aritmetik - geometrik ortlm eşitsizliğinden ( ) (u ) + 2 (u ). (u ). u2 2 4 elde ederiz. Bun göre olur.

5 eşitsizliğine denktir. Aritmetik - geometrik ortlm eşitsizliğinden Aritmetik - geometrik ortlm eşitsizliğinden ( ) (u ) + 2 (u ). (u ). u2 2 4 elde ederiz. Bun göre olur. Göstermek istediğimiz de zten buydu. 2u 2 (u ). 2u2 u 2 /4 = 8 Alterntif Çözüm. ABC nin A noktsın göre dış teğet çemberinin merkezi I olsun. Dış teğet çember, üçgenin kenrlrın N, L, S noktlrınd teğet olsun. İç teğet çember ve dış teğet çemberin yrıçp uzunluklrını sırsıyl r, R ile gösterelim. AN = AS = u eşitliği vrdır Gerçekten, eşit uzunluklu teğet prçlrındn BN = BL olup CS = CL AN + AS = ( AB + BL ) + ( AC + CL ) = AB + AC + ( BL + CL ) = AB + AC + BC = 2u Bu belge sbelinwordpress.com ittir. 5 c

6 elde edilir. olduğundn AN = AS AN = AS = u sonucun ulşırız. Şimdi AGI ANI benzer dik üçgenlerini göz önüne llım. olduğundn IG I N = AG AN r = u R u bulunur. (A(ABC) = u.r = (u ).R ln bğıntısını iyi bilen okuyuculr,hızlı bir şekilde burdn d r = u R u olduğunu gösterebilirler) ABC ADE olduğundn bu üçgenlerin dış teğet çemberlerinin yrıçplrı ornı d benzerlik ornın eşittir. I merkezli çember ynı zmnd ADE nin A noktsın göre dış teğet çemberi olduğundn (3) r = DE R BC (4) olcktır. Bun göre [3] ve [4] eşitliklerinden DE BC = u u olup (u ). DE = u elde edilir. Bundn sonr ilk çözümdeki dımlr tkip edilerek AB + AC + BC DE 8 olduğu gösterilir. Çözümümüz burd bitti m biz devm edelim. Şimdi AB + AC + BC = 8. DE eşitlik durumunun ne zmn sğlndığını belirleyelim. A - G ortlm eşitsizliğinden bulmuştuk. Burd eşitlik hli sdece iken sğlnır. (u ). u2 4 u = 2u = + b + c Bu belge sbelinwordpress.com ittir. 6 c

olduğundn elde edilir. Yni kenrlrı rsınd eşitliği sğlnn tüm üçgenlerde b + c = 3 b + c = 3 dir. Birz dh somutlştırmk için ve oln tüm üçgenlerde dir. Bu üçgenlerden birkç tnesini yzrsk vey olbilir.

7 olduğundn elde edilir. Yni kenrlrı rsınd eşitliği sğlnn tüm üçgenlerde b + c = 3 b + c = 3 dir. Birz dh somutlştırmk için ve oln tüm üçgenlerde dir. Bu üçgenlerden birkç tnesini yzrsk vey olbilir. Burdn görüyoruz ki oln bir üçgende A köşesi AB + AC + BC = 8. DE = 4 b + c = DE = 16 DE = 2 = 4, b = 6, c = 6 = 4, b = 7, c = 5 BC = 4 AB + AC = 12 eşitliğine bğlı olrk değişiyor. A noktlrının geometrik yeri nedir? sorusunu kendimize sorrsk bunun cevbı sl eksen uzunluğu 12, odklr rsındki uzunluğu 4 oln bir elips olduğunu kolyc nlrız. Acb herhngi bir elips için bun benzer bir özellik vr mıdır? Şimdi bu soruy cevp rylım. Bu belge sbelinwordpress.com ittir. 7 c

8 Soru 4., c sbit syılr olmk üzere sl eksen uzunluğu A 1 A 2 = 2, odklr rsındki uzunluk F 1 F 2 = 2c oln elipsin üzerinden (A 1, A 2 den frklı) bir P noktsı lınıyor. [P F 1 ], [P F 2 ] üzerinden DE F 1 F 2 ve DE doğrusu P F 1 F 2 nin iç teğet çemberine teğet olck şekilde D, E noktlrı llım. DE uzunluğunun P noktsının konumundn bğımsız olrk sbit bir uzunluk olduğunu gösteriniz. Çözüm 4. Elipsin üzerinden lınn bir noktdn odklr oln uzklıklrın toplmı sbit olrk sl eksen uzunluğun eşit olduğundn P F 1 + P F 2 = 2 dır. F 1 F 2 = 2c olduğunu d kullnırsk evre(p F 1 F 2 ) = 2u = 2 + 2c olur. SORU 3 ün çözümündeki DE uzunluğunu hesplmk için bulduğumuz eşitliği kullnırsk olur. Bun göre DE = (u F 1F 2 ). F 1 F 2 u DE = 2c( c) + c elde edilir. ve c değerleri sbit olduğundn DE uzunluğu, P noktsının elips üzerindeki konumundn bğımsız olrk sbit bir değerdir. Bu belge sbelinwordpress.com ittir. 8 c

Benzer belgeler

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,