ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ 3-BOYUTLU LORENTZ-MİNKOWSKİ UZAYINDA BOUR TEOREMİ VE KONFORMAL DÖNÜŞÜM ÜZERİNE

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN İLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ -OYUTLU LORENT-MİNKOWSKİ UAYINDA OUR TEOREMİ VE KONFORMAL DÖNÜŞÜM ÜERİNE eha OKURT MATEMATİK ANAİLİM DALI ANKARA He haı salıdı

2 ÖET Yüse Lisans Tezi -OYUTLU LORENT-MİNKOWSKİ UAYINDA OUR TEOREMİ VE KONFORMAL DÖNÜŞÜM eha OKURT Anaa Ünivesitesi Fen ilimlei Enstitüsü Matemati Anabilim Dalı Danışman Doç. D. F. Nejat EKMEKİ u tez altıbölümden oluşmatadı. İl bölüm giiş ısmına ayılmıştı. İinci bölümde, Ölid uzayında helisoidal, dönel ve spial yüzeylele ilgili aateizas yonla veilmişti. Üçüncü bölümde, Loentz-Minowsi uzayında helisoidal, dönel ve spial yüzeylele ilgili aateizasyonla veilmişti. Dödüncü bölümde, Ölid uzayında ou teoemi onfomal açıdan incelenmişti. eşinci bölümde, helisoidal, dönel ve spial yüzeyle aasındai ilişi veilmişti. Altıncıbölümde, Loentz-Minowsi uzayında ou teoemi onfomal açıdan incelenmişti. Hazian, sayfa Anahta Kelimele Loentz-Minowsi uzayı, Spacelie yüzeyle, Timelie yüzeyle, Helisoidal yüzeyle, Dönel yüzeyle, Spial yüzeyle, ou teoemi. i

3 ASTRAT Maste Thesis OUR S THEOREM AND ONFORMAL MAP İN -DİMENSİONAL LORENT-MİNKOWSKİ SPAE eha OKURT Anaa Univesity Gaduate School of Natual And Applied Sciences Depatment of Mathematics Supeviso Doç. D. F. Nejat EKMEKİ This thesis consists of six chaptes. The fist chapte is devoted to the intoduction. The second chapte, the chaacteizations of helicoidal, otational and spial sufaces in Euclidean space ae given. The thid chapte, the chaacteizations of helicoidal, otational and spial sufaces in Loentz-Minowsi space ae given. The fouth chapte, ou s theoem with espect to confomal map in Euclidean space is given. The fifth chapte, the elations of helicoidal, otational and spial sufaces ae given. The sixth chapte, ou s theoem with espect to confomal map in Loentz-Minowsi space is given. June, pages Key Wods Loentz-Minowsi space, Spacelie sufaces, Timelie sufaces, Helicoidal suface, Rotational sufaces, Spial sufaces, ou s theoem. ii

4 TEŞEKKÜR ana aaştıma olanağısağlayan ve çalışmalaımın he safasında yaın ilgi ve öneilei ile beni yönlendien danışman hocam Doç. D. F. Nejat EKMEKİ (Anaa Ünivesitesi Fen Faültesi, Matemati Anabilim Dalı) ye, yadımlaınıbenden esigemeyen değeli hocalaım Pof. D. Yusuf YAYLI (Anaa Ünivesitesi Fen Faültesi, Matemati Anabilim Dalı) ya ve Yd. Doç. D. İsmail GÖK (Anaa Ünivesitesi Fen Faültesi, Matemati Anabilim Dalı) e teşeüleimi bi boç biliim, Finansal desteğinden dolayıtüitak a teşeü edeim. Çalışmalaım sıasında elleinden gelen he tülü desteği gösteen aileme teşeüleimi sunaım. eha OKURT Anaa, Hazian iii

5 İÇİNDEKİLER ÖET... i ASTRAT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİİNİ... v ŞEKİLLER DİİNİ... vi. GİRİŞ.... ÖKLİD UAYINDA TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR.... LORENT UAYINDA TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR..... n-oyutlu ÖKLİD UAYINDA KONFORMAL DÖNÜŞÜM ÜERİNE OUR TEOREMİ.... n-oyutlu ÖKLİD UAYINDA HELİSOİDAL, DÖNEL VE SPİRAL YÜEY ARASINDAKİ İLİŞKİ.... n-oyutlu LORENT-MİNKOWSKİ UAYINDA KONFORMAL DÖNÜŞÜM ÜERİNE OUR TEOREMİ... KAYNAKLAR.... ÖGEÇMİŞ... iv

6 SİMGELER DİİNİ E, F, G iinci Temel Fomun ileşenlei R(u,v) Dönel Yüzey H(u,v) Helisoidal Yüzey S(u,v) Spial Yüzey a Helisoidal Yüzeyin Adımı L, M, N İinci Temel Fomun ileşenlei ε İşaet Matisi H Otalama Eğili γ (u) pofil eğisi n IE n boyutlu Ölid Uzayı IE n n boyutlu Minowsi Uzayı ds Yay Elementi v

7 ŞEKİLLER DİİNİ Şeil. IE de, sıasıyla helisoidal yüzey, dönel yüzey ve spial yüzey... Şeil. Sıasıyla minimal helisoidal yüzey, atenoid ( minimal dönel yüzey) ve minimal spial yüzey... Şeil. IE de, sıasıyla, spacelie esenli helisoidal, dönel ve spial yüzey... Şeil. IE de, sıasıyla, timelie esenli helisoidal, dönel ve spial yüzey... Şeil. IE de, sıasıyla, lightlie (null) esenli helisoidal, dönel ve spial yüzey... Şeil. i genelleştiilmiş helisoid ve izometi olduğu spial yüzey.. Şeil. i genelleştiilmiş helisoid ve onfomal olaa eş olduğu spial yüzey... Şeil. Helisoidal, dönel ve spial yüzey aasındai bağıntı... Şeil. i spial yüzey ve onfomal olaa eş olduğu dönel yüzey... Şeil. Spacelie esenli genelleştiilmiş helisoid ve onfomal olaa eş olduğu spial yüzey... Şeil. Timelie esenli genelleştiilmiş helisoid ve onfomal olaa eş olduğu spial yüzey... 8 Şeil. Lightlie esenli genelleştiilmiş helisoid ve onfomal olaa eş olduğu spial yüzey vi

8 . G IR IŞ Ölid uzay nda yüzeyle teoisi uzun zamand çal ş lmatad. Klasi difeensiyel geometide minimal yüzey olaa aş m za ç an te egle yüzeyin helisoidal yüzey oldu¼gu ve atenoidin de minimal olan te dönel yüzey oldu¼gu bilinmetedi. Spialle ve spialleden oluşan yüzeyle do¼gada hezaman aş laşabilece¼gimiz özel e¼gi ve yüzeyledi. Öne¼gin, bi şahinin av na yalaşmas, böcelein ş ayna¼g na yalaşmas, oneadai sini hücelei, bi ço biyoloji canl n n yap s, booli, inci çiçe¼gi, gülle, ay çiçe¼gi, salyangoz abu¼gu ve daha sayamad ¼g m z biço yap n n şeli bie spial e¼gi veya spial yüzey şelindedi. Ay ca baz spial yüzeyleinde minimal oldula gösteilmişti. u yüzeyle daha pe ço özelli¼ge sahipti. u yüzden ilgi çemiş ve incelenmişledi. Şeil. E de, s as yla, helisoidal yüzey,dönel yüzey ve spial yüzey ou bi genelleştiilmiş helisoidal yüzey ile bi dönel yüzeyin boyutlu Ölid uzay nda izometi oldu¼gunu, bu duumda da helisoidal yüzey üzeindei helislein dönel yüzey üzeindei çembelee aş l geldi¼gini göstemişti. Iawa, Minowsi- uzay nda, yüzeylei esen ve po l e¼gisinin tüüne göe s n and aa saca, (S,S), (S,T), (T,S), (T,T)- tü yüzey olaa göstemiş ve bu tü yüzeyle için ou teoeminin geçelendi¼gini göstemişti. Ay ca, ou teoemi ile bilite hem boyutlu Ölid uzay nda hem de boyutlu Minowsi uzay nda, e özellilele bi-

9 lite bu ii yüzeyin ayn Gauss dönüşümüne sahip oldula nda minimal oldula n göstemişti. Güle, dönme esenini null esen alaa, -boyutlu Minowsi uzay nda spacelie(timelie) helisoidal yüzeyle ile spacelie(timelie) dönel yüzeyle için ou teoeminin geçelendi¼gini göstemişti. Ay ca bu yüzeylein ayn Gauss dönüşümüne sahip ien de minimal olma duumla n incelemişti. Daha sona, - boyutlu Ölid uzay nda Gauss dönüşümü üzeine ou teoemini vemişti, Ay ca, -boyutlu Minowsi uzay nda üeteç e¼gilei null olan timelie dönel yüzeylei belileyee (S,L), (T,L) ve (L,L)- tüünden timelie dönel yüzeyle ve spacelie helisoidal yüzeyle için ou teoeminin geçelendi¼gini göstemişti. amo ve Dajcze, ou teoeminin sonuçla n ullanaa veilen bi helisoidal yüzeye izometi olan ii paameteli helisoidal yüzeyle ailesinin va oldu¼gunu göstemişle ve bunun sayesinde de sabit otalama e¼gilili helisoidal yüzeyle için bi temsili fomül bulmuşlad. Spial yüzeyle il olaa Levy taaf ndan incelenmişti. Daha sona, Stüble, Lie ve Whittemoe da spial yüzeylele ilgili çal şmala yapm şlad. Ay ca, minimal spial ve minimal dönel yüzeylele ilgili baz aateizasyonla vemişledi. u tezde n boyutlu Ölid uzay nda ve n boyutlu Minowsi uzay nda ii paameteli helisoidal, dönel ve spial yüzeyle için bou teoemini onfomal aç dan inceledi..

10 . ÖKL ID UAYINDA TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR Tan m. (A n Uzay) A boş olmayan bi cümle, V de F cismi üzeinde bi vetö uzay olsun. i dönüşümü 8P; Q; R A için A A! V (P; Q)! (P; Q) =! P Q şelinde tan mlans n. E¼ge, aşa¼g dai ii asiyom sa¼glan yosa A ya V ile bileştiilmiş bi a n uzay deni. (i) 8P; Q; R A için! P Q =! P R +! RQ (ii) 8P A ve 8 V için! P Q = olaca şeilde Q A vad (Hac saliho¼glu 98). Tan m. (Reel iç çap m uzay ) R eel say la cismi ve V de bi vetö uzay olma üzee, 8v; w V için V de bi h; i V V! R (v; w)! h; i (v; w) = hv; wi R iç çap m fonsiyonu tan mlanabilise, V vetö uzay na iç çap m uzay deni (Hac saliho¼glu 9).

11 Tan m. (Ölid uzay ) n boyutlu bi eel iç çap m uzay V olma üzee, V ile bileştiilmiş bi A a n uzay na, Ölid uzay deni ve E n ile gösteili (Hac saliho¼glu 9). Tan m. (Standat iç çap m) n boyutlu Ölidiyen uzay E n de 8x = (x ; x ; ; x n ) ; y = (y ; y ; ; y n ) E n için hx; yi = nx x i y i i= şelinde tan mlanan fonsiyona standat iç çap m veya Ölid iç çap m deni (Hac saliho¼glu 9). Tan m. (Nom) E n ; n boyutlu Ölidiyen uzay nda 8x = (x ; x ; ; x n ) E n için x = p hx; xi şelinde tan mlanan fonsiyona x vetöünün nomu deni (Hac saliho¼glu 99. Tan m. (Vetöel çap m) E ; boyutlu Ölid uzay nda 8x = (x ; x ; x ) ; y = (y ; y ; y ) E için Ölidiyen vetöel çap m x y = (x y y x ; x y y x ; x y y x ) şelinde tan mlan (Hac saliho¼glu 9)

12 Tan m. E n ; n boyutlu Ölid uzay n n aç bi alt cümlesi U olma üzee, bi f U! R fonsiyonunun. metebeden bütün smi tüevlei mevcut va ve süeli isele f fonsiyonuna s n f ndan difeensiyellenebilidi deni ve f (U; R) ile gösteili (Hac saliho¼glu 98). Tan m.8 (Homeomo zim) U ve V, E n Ölid uzay n n ii aç alt cümlesi olma üzee f U! V bi fonsiyon olsun. E¼ge f fonsiyonu biebi, öten, süeli ve teside süeli ise f fonsiyonuna homeomo zimdi deni (Hac saliho¼glu 98). Tan m. (Di eomo zim) U ve V, E n Ölid uzay n n ii aç alt cümlesi olma üzee f U! V bi fonsiyon olsun. f bi homeomo zim ay ca f ve f fonsiyonla n n he iiside s n f ndan ise f fonsiyonuna s n f ndan di eomo- zim deni. = ise saca f di eomo zimdi. U dan V ye bi di eomo zim vasa U cümlesi V cümlesine di eomoftu deni (Hac saliho¼glu ve Sabuncuo¼glu 98). Tan m. (Yüzey) U E bi aç cümle ve f U! E n difeensiyellenebili bi dönüşüm olsun. O halde f(u) E n cümlesine bi loal yüzey, veya ii paameteli yüzey veya yama deni (Gay 99). M cümlesi E uzay n n bi alt cümlesi olsun. He p M için p nin E üzeinde bi V omşulu¼gu ve E nin bi aç alt cümlesinden V \ M ye bi f di eomo zimi vasa M cümlesine E de bi yüzeydi deni (Hac saliho¼glu ve Sabuncuo¼glu 98).

13 Tan m. (I.Temel fom) 8u; v R; (U; X) paametizasyonu ile veilen X U E! E n (u; v)! X(u; v) = (X (u; v); X (u; v); ; X n (u; v)) ile belili olan X(U) yüzeyi göz önüne al ns n. Linee ba¼g ms z fx u ; X v g cümlesi yüzeyin vetö alanla n n bi baz d. Yüzeyin biim nomal vetö alan N = X u X v X u X v ile belilidi. I = (ds) = Edu + F dudv + Gdv eşitli¼gine yüzeyin I. temel fomu yada meti¼gi deni. uada (X u ; X v ) baz na aş l gelen E; F ve G biinci temel fomun bileşenlei E = hx u ; X u i F = hx u ; X v i G = hx v ; X v i şelinde tan ml d. Yüzeyin iinci temel fomunun bileşenlei ise L = hx uu ; Ni M = hx uv ; Ni N = hx vv ; Ni şelinde tan ml d. X(u; v) yüzeyinin biinci ve iinci temel fomla n n bileşenleini

14 ullanaa elde etti¼gimiz otalama ve Gauss e¼gililei aşag dai gibidi. H = EN + GL F M (EG F ) K = LN M EG F (O Neil 98). Tan m. (Minimal yüzey) Ölid uzay nda he notada otalama e¼gili fonsiyonu s f (H = ) olan yüzeylee minimal yüzey deni. i başa ifadeyle ayn s n laa sahip olan yüzeyle aas nda en üçü alanl yüzeye minimal yüzey deni [Gay 998]. Tan m.9 ( E n de helisoidal, dönel ve spial yüzeyle) E + ; te boyutlu Ölid uzay nda (; ; ; ) do¼gultman vetöü ile veilen do¼gula invayant b aan otogonal dönme matisi v olma üzee şelinde veili. cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v A = cos v sin v sin v cos A E ; çift boyutlu Ölid uzay nda sp f(; ; ; ; ; ); (; ; ; ; ; )g vetöü ile ve-

15 ilen düzlemlei invayant b aan otogonal dönme matisi v olma üzee A cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v A ile belilidi. uada i A i ` = ` ii A t ia = ; iii det A i = di ( i ). E +, ( + )-boyutlu Ölid uzay nda eseni (; ; ; ) timelie vetöü olan a ad ml ve üeteç e¼gisi (u) = ( f(u); ; ; f(u); ; f(u); ; '(u)) olan helisoidal, dönel ve spial yüzeylein paameti ifadelei s as yla aşa¼g dai gibidi. H (u; v) cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v f(u) f(u) f(u) (u) A + A 8

16 R (u; v) cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v f(u) f(u) f(u) (u) A S (u; v) cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v g(v)f(u) g(v)f(u) g(v)f(u) g(v) (u) A E, ()-boyutlu Ölid uzay nda eseni sp f(; ; ; ; ); (; ; ; ; )g timelie vetöü olan a ad ml ve üeteç e¼gisi (u) = ( f(u); ; ; f(u); ; f(u); ; '(u); '(u)) (; i R) olan helisoidal, dönel ve spial yüzeylein paameti ifadelei, s as yla, u I; v ; a R= fg ve g I R! R 8v I için difeensiyellenebili bi 9

17 fonsiyon olma üzee H (u; v) cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v f(u) f(u) f(u) (u) (u) A A ; R (u; v) cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v f(u) f(u) f(u) (u) (u) A ;

18 S (u; v) cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v g(v)f(u) g(v)f(u) g(v)f(u) g(v) (u) g(v) (u) A şelindedi. Öne. Şeil. S as yla minimal helisoidal yüzey, atenoid(minimal dönel yüzey) ve minimal spial yüzey

19 Tan m. X ve Y ii yüzey, f X! Y bi dönüşüm olma üzee, e¼ge X in bütün te¼get vetölei için X üzeinde f v p = (p) v p eşitli¼gini sa¼glayan eel de¼geli > fonsiyonu vasa f ye onfomal dönüşüm ve fonsiyonuna da f nin deece fatöüdü deni. E¼ge sabitse, f ye homoteti, = ise, f ye izometi deni (Hac saliho¼glu ). Tan m. X ve Y ii yüzey, f X! Y bi dönüşüm olma üzee.f nin bi onfomal dönüşüm olmas için gee ve yete şat E = E; F = F ; G = G eşitlileinin sa¼glanmas d uada E, F; G ve E, F ; G de¼gelei, s as yla, X ve Y nin biinci temel fomla n bileşenleidi (O Neil 99).

20 . LORENT UAYINDA TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR Tan m. (Sala çap m uzay ) V bi eel vetö uzay olma üzee, V üzeinde tan ml g V V! V dönüşümü bilinee, simeti ve nondegenee ise g ye V üzeinde bi saala çap m, bu duumda V vetö uzay na da bi Sala çap m uzay deni (O Neil 98). Tan m. (Simeti bilinee fomun indesi) V bi sala çap m uzay, W da üzeinde sala çap m negatif tan ml olaca şeilde V nin en büyü boyutlu alt uzay olsun. u duumda W n n boyutuna g sala çap m n n indesi deni. g sala çap m n n indesi v ise v boyv di. Ay ca V sala çap m n n indesi, üzeinde tan ml g sala çap m n n indesi olaa tan ml d (O Neil 98). Tan m. (Loentz uzay ) V bi sala çap m uzay olsun. V nin indesi v olma üzee v = ve boyv ise V sala çap m uzay na bi Loentz uzay deni (O Neil 98). Tan m. (spacalie, timelie, lightlie(null) vetö) V bi Loentz uzay olsun. 8v V için E¼ge, g(v; v) > veya v = ise v ye spacelie vetö, g(v; v) < ise v ye timelie vetö, g(v; v) = ise v ye lightlie(null) vetö deni (O Neil 98). Tan m. (i vetöün nomu) V bi sala çap m uzay ve v V olsun. v = jg(v; v)j =

21 eşitli¼gi ile tan ml v eel say s na v vetöünün nomu deni. Nomu olan vetöe de biim vetö ad veili (O Neil 98). Tan m. (Ya Ölidiyen uzay) R n ; n boyutlu standat vetö uzay üzeinde 8p R n ve 8v p ; w p T p R n için nx m hv p ; w p i = v i w i i= nx i=n m+ v i w i eşitli¼giyle veilen v indesli meti tensöle bilite elde edilen uzaya ya Ölidiyen uzay deni ve E n v ile gösteili. uada i n olma üzee, v i ve w i ; s as yla v p ve w p tanjant vetölein bileşenleidi (O Neil 98). Tan m. (Minowsi uzay ) E n v ya Ölidiyen uzay nda v = ve n ise E n ya Ölidiyen uzay na Minowsi n-uzay deni (O Neil 98). Tan m.8 (Riemann Manifoldu) M bi difeensiyellenebili ( ) manifold olsun. M üzeinde vetö alanla n n uzay (M) ve M den R ye fonsiyonla n uzay (M; R) olma üzee, M üzeinde h; i (M) (M)! (M; R) şelinde tan mlanan pozitif tan ml, simeti, -linee h; i fonsiyonuna M üzeinde bi iç çap m, meti tensö, difeensiyellenebili meti veya Riemann meti¼gi deni. (M; h; i) iilisine de Riemann manifoldu deni (Kobayashi ve Nomizu 9). Tan m.9 (Ya Riemann Manifoldu) M bi difeensiyellenebili ( ) manifold olsun. M üzeinde vetö alanla n n uzay (M) ve M den R ye

22 fonsiyonla n uzay (M; R) olma üzee, M üzeinde g (M) (M)! (M; R) olma üzee i simeti 8X; Y (M) için g(x; Y ) = g(y; X), ii -linee 8X; Y; (M) ve 8a; b R için g(ax + by; ) = ag(x; ) + bg(y; ); g(x; ay + b) = ag(x; Y ) + bg(x; ); iii non-degenee 8X (M) için g(x; Y ) = ise Y = özellileini sa¼glayan g tensöüne bi ya Riemann meti¼gi ve (M; g) iilisine de ya -Riemann manifoldu deni (O Neil 98). Tan m. (Loentz manifoldu) M bi ya -Riemann manifoldu olma üzee, boym ve M nin indesi ise M ye bi Loentz manifoldu deni. u tan ma göe bi M Loentz manifoldu için Xn g(v p ; w p ) = v i j p w i j p i= v n j p w n j p ; 8p M ve 8v p ; w p T p M

23 di (O Neil 98). Tan m. (I.Temel fom) 8u; v R (U; X) paametizasyonu ile veilen X U E! E (u; v)! X(u; v) = (X (u; v); X (u; v); X (u; v)) ile belili olan X(U) yüzeyi göz önüne al ns n. Linee ba¼g ms z fx u ; X v g cümlesi, yüzeyin vetö alanla n n bi baz d. Yüzeyin biim nomal vetö alan N = X u X v X u X v ile belilidi. I = (ds) = Edu + F dudv + Gdv eşitli¼gine yüzeyin I. temel fomu yada meti¼gi deni (O Neil 989. Tan m. ( Immesiyon) M ve M, s as yla, n ve (n + d) boyutlu bie manifold olma üzee x M! M difeensiyellenebili bi dönüşüm olsun. 8p M için dx p T p M! T x(p) M tüev dönüşümü biebi ise x fonsiyonuna bi immesiyon deni (hen 9). Tan m. M yüzeyinin bi spacelie immesiyonu x M! E olsun. x in Gauss ve otalama e¼gili¼gi H = K = ln m EG F En + Gl F m (EG F ) olu (immesiyonun timelie olmas duumunda sadece fomül işaet de¼giştii.) u-

24 ada l; m; n l = g(x uu ; N) m = g(x uv ; N) n = g(x vv ; N) şelinde tan ml olup yüzeyin iinci temel fomunun bileşenleidi (Lopez 8). Tan m. (Spacelie yüzey) U E bi aç cümle ve f U! E n difeensiyellenebili bi dönüşüm olsun. O halde f(u) E n cümlesine bi loal yüzey, veya ii paameteli yüzey deni. E, -boyutlu Minowsi uzay nda bi yüzey M olsun. M yüzeyi üzeinde indigenmiş meti pozitif tan ml ise M ye E de bi spacelie yüzey deni (eem ve Ehlich 98). Tan m. (Timelie yüzey) U E bi aç cümle ve f U! E n difeensiyellenebili bi dönüşüm olsun. O halde f(u) E n cümlesine bi loal yüzey, veya ii paameteli yüzey deni. E, -boyutlu Minowsi uzay nda bi yüzey M olsun. M yüzeyi üzeinde indigenmiş meti Loentz meti¼gi ise ise M ye E de bi timelie yüzey deni (eem ve Ehlich 98). Tan m. ( E de egle yüzey) E, -boyutlu Minowsi uzay nda bi yüzeyin he notas ndan geçen bi do¼gunun üzeindei tüm notala yine bu yüzeyin üzeinde al yosa bu yüzeye bi egle yüzey deni (eem ve Ehlich 98). E, -boyutlu Minowsi uzay nda dönme eseni spacelie, timelie ve lightlie olabilece¼ginden, bu uzayda helisoidal, dönel ve spial yüzeyle esenin spacelie, timelie veya lightlie olma duumuna göe üç çeşitti.

25 Tan m.8 ( E n de eseni spacelie olan helisoidal, dönel ve spial yüzeyle) E + ( + < n), te boyutlu Minowsi uzay nda (; ; ; ) do¼gultman vetöü ile veilen spacelie do¼gula invayant b aan semi-otogonal dönme matisi v olma üzee, şelindedi. cos v sin v sin v cos v cos v sin v S = sin v cos v cosh v sinh A sinh v cosh v E ( < n), çift boyutlu Minowsi uzay nda sp f(; ; ; ); (; ; ; ; )g vetölei ile veilen spacelie düzlemlei invayant b aan semi-otogonal dönme matisi v olma üzee, cos v sin v sin v cos v S = cos v sin v sin v cos v cosh v sinh A sinh v cosh v şelindedi. uada, 8

26 i S i ` = ` ii S t i" S i = "; " = diag(; ; ) iii det S i = (i = ; ) di. E +, (+)-boyutlu Minowsi uzay nda eseni (; ; ; ) spacelie vetöü olan a ad ml ve üeteç e¼gisi (u) = ('(u); f(u); ; f(u); ; ; f(u); ; f(u); ) olan helisoidal, dönel ve spial yüzeylein paameti ifadelei s as yla aşa¼g dai gibidi. H (u; v) cos v sin v sin v cos v cosh v sinh v sinh v cosh v (u) f(u) f(u) f(u) A + A R (u; v) cos v sin v sin v cos v cosh v sinh v sinh v cosh v (u) f(u) f(u) f(u) A 9

27 S (u; v) cos v sin v sin v cos v cosh v sinh v sinh v cosh v g (v) (u) g (v) f(u) g (v) f(u) g (v) f(u) A E, ()-boyutlu Minowsi uzay nda eseni sp f(; ; ; ); (; ; ; )g vetölei olan a ad ml ve üeteç e¼gisi (u) = ('(u); '(u); f(u); ; f(u); ; ; f(u); ; f(u); ) olan helisoidal, dönel ve spial yüzeylein paameti ifadelei, s as yla, u I; v ; a R= fg ve 8 v I için g I R! R difeensiyellenebili fonsiyon olma üzee H (u; v) cos v sin v sin v cos v cosh v sinh v sinh v cosh v (u) (u) f(u) f(u) f(u) A A ;

28 R (u; v) cos v sin v sin v cos v cosh v sinh v sinh v cosh v (u) (u) f(u) f(u) f(u) A ; S (u; v) cos v sin v sin v cos v cosh v sinh v sinh v cosh v g (v) (u) g (v) (u) g (v) f(u) g (v) f(u) g (v) f(u) A şelindedi. Öne. ;, Şeil. E de, s as yla, spacelie esenli helisoidal, dönel ve spial yüzey

29 Tan m.9 ( E n de eseni timelie olan helisoidal, dönel ve spial yüzeyle) E + ; te boyutlu Loentz uzay nda (; ; ; ) do¼gultman vetöü ile veilen timelie do¼gula invayant b aan semi-otogonal dönme matisi v olma üzee şelinde veili. cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v T = cos v sin v sin v cos A E ; çift boyutlu Loentz uzay nda sp f(; ; ; ; ; ); (; ; ; ; ; )g vetöü ile veilen timelie düzlemlei invayant b aan semi-otogonal dönme matisi v olma üzee cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v T = cos v sin v sin v cos A ile belilidi. uada i T i ` = `

30 ii T t i " T = "; " = diag(; ; ) iii det T i = (i = ; ) di. E +, ( + )-boyutlu Minowsi uzay nda eseni (; ; ; ) timelie vetöü olan a ad ml ve üeteç e¼gisi (u) = ( f(u); ; ; f(u); ; f(u); ; '(u)) olan helisoidal, dönel ve spial yüzeylein paameti ifadelei,s as yla, H (u; v) cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v f(u) f(u) f(u) (u) A + A ; R (u; v) cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v f(u) f(u) f(u) (u) A ;

31 S (u; v) cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v g(v)f(u) g(v)f(u) g(v)f(u) g(v) (u) A şelindedi. E, ()-boyutlu Minowsi uzay nda eseni sp f(; ; ; ; ); (; ; ; ; )g timelie vetöü olan a ad ml ve üeteç e¼gisi (u) = ( f(u); ; ; f(u); ; f(u); ; '(u); '(u)) olan helisoidal, dönel ve spial yüzeylein paameti ifadelei, s as yla, u I; v ve a R= fg olma üzee H (u; v) cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v f(u) f(u) f(u) (u) (u) A A ;

32 R (u; v) cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v f(u) f(u) f(u) (u) (u) A ; g I R! R 8v I için difeensiyellenebili bi fonsiyon olma üzee S (u; v) cos v sin v sin v cos v cos v sin v sin v cos v g(v)f(u) g(v)f(u) g(v)f(u) g(v) (u) g(v) (u) A şelindedi. Öne. ;, Şeil. E de, s as yla, timelie esenli helisoidal, dönel ve spial yüzey

33 Tan m. ( E n yüzeyle) de eseni lightlie(null) olan helisoidal, dönel ve spial E + ; te boyutlu Loentz uzay nda (; ; ; ; ) vetöü ile geilen do¼gula invayant b aan semi-otogonal dönme matisi v olma üzee cos v sin v sin v cos v L = cos v sin v sin v cos v v v v v v v + v di. E ; çift boyutlu Loentz uzay nda (; ; ; ) ve (; ; ; ; ) vetöü ile geilen düzlemlei invayant b aan semi-otogonal dönme matisi cos v sin v sin v cos v L = cos v sin v sin v cos v v v v v A v v + v A

34 di. E¼ge dönel yüzeyin eseni l ve po l e¼gisi (u) = ( f(u); ; f(u); ; ; f(u); ; f(u); (u) f(u); (u) + f(u)) ise bu duumda helisoidal, dönel ve spial yüzeyin paameti ifadesi u I; v ; a R= fg ; 8v I için g I R! R difeensiyellenebili bi fonsiyon olma üzee H (u; v) cos v sin v sin v cos v v v v v v v v + v f(u) f(u) f(u) f(u) (u) f(u) (u) + f(u) A A ; R (u; v) cos v sin v sin v cos v v v v v v v v + v f(u) f(u) f(u) f(u) (u) f(u) (u) + f(u) A ;

35 S (u; v) cos v sin v sin v cos v v v v v v v v + v g(v)f(u) g(v)f(u) g(v)f(u) g(v)f(u) g(v)( (u) f(u)) g(v)( (u) + f(u)) A şelindedi. E¼ge dönel yüzeyin eseni l ve po l e¼gisi (u) = (f(u); ; f(u); ; ; f(u); ; f(u); (u) f(u); (u) + f(u)) ise bu duumda helisoidal, dönel ve spial yüzeyin paameti ifadesi, s as yla, u I; v ; a R= fg ve 8v I için g I R! R difeensiyellenebili bi fonsiyon olma üzee H (u; v) cos v sin v sin v cos v v v v v v v v + v f(u) f(u) f(u) (u) f(u) (u) + f(u) A A ; 8

36 R (u; v) cos v sin v sin v cos v v v v v v v v + v f(u) f(u) f(u) (u) f(u) (u) + f(u) A S (u; v) cos v sin v sin v cos v v v v v v v v + v g(v)f(u) g(v)f(u) g(v)f(u) g(v) (u) g(v)f(u) g(v) (u) + g(v)f(u) A di. 9

37 Öne. ; ; Şeil. E de, s as yla, lightlie(null) esenli helisoidal, dönel ve spial yüzey Tan m. X ve Y ii yüzey, f X! Y bi dönüşüm olma üzee. E¼ge X bütün te¼get vetölei için X üzeinde in g(f v p ; f v p ) = (p) g(v p ; v p ) eşitli¼gini sa¼glayan eel de¼geli > fonsiyonu vasa f ye onfomal dönüşüm ve fonsiyonuna da f nin deece fatöüdü deni. E¼ge sabitse, f ye homoteti, = ise, f ye izometi deni. [Weinstein 99]. Tan m. X ve Y ii yüzey, f X! Y bi dönüşüm olma üzee.f nin bi onfomal dönüşüm olmas için gee ve yete şat E = E; F = F ; G = G eşitlileinin sa¼glanmas d uada E, F; G ve E, F ; G; s as yla, X ve Y nin biinci temel fomla n atsay la d [O Neil 99].

38 . n-oyutlu ÖKL ID UAYINDA KONFORMAL DÖNÜŞÜM Ü- ER INE OUR TEOREM I Teoem. (ou teoemi) i genelleştiilmiş helisoidal yüzey H(u; v) = u cos v u sin v (u) + av (.) ile bi dönel yüzey R(u; v) = p a + u cos(v + p a + u sin(v + q a +u du a +u a a +u du) a a +u du) (.) izometiti. Dolay s yla helisoidal yüzey üzeindei helisle dönel yüzey üzeindei paalel çembelee aş l geli [ou 8]. Öne.! Şeil. i genelleştiilmiş helisoid ve izometi oldu¼gu dönel yüzey

39 Teoem. (.) ve (.) ile veilen helisoidal yüzey ile dönel yüzey ou teoemiyle bilite izometi olsunla. u duumda bu ii yüzey ayn Gauss dönüşümüne sahip ise, b a ; v ; u; a; b R=fg ve d R olma üzee H(u; v) = u cos v u sin v (u) + av helisoidal yüzeyi ile R(u; v) = p a + u cos(v + p a + u sin(v + mb ag ch( p a +u b ) a a +u du) a a +u du) dönel yüzeyi minimaldi. uada (u) = p s pa b a a actan( + u log( + p a + u b p p a a + u a + u b )) + d di [Iawa ].

40 Teoem. ( E + de onfomal dönüşüm alt nda ou teoemi) i genelleştiilmiş helisoidal yüzey H(u; v) = ile bi spial yüzey f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v (u) + av S(u; v) = e g (v) a +( P i= i +)f b s ( P cos(v) i= i +)(b +) e g (v) a +( P i= i +)f b s ( P sin(v) i= i +)(b +) e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) a +( P i= i +)f b s ( P cos(v) i= i +)(b +) a +( P i= i +)f b s ( P i= i +)(b +) a +( P i= i +)f b s ( P i= i +)(b +) sin(v) cos(v) a +( P i= i +)f b s ( P sin(v) i= i +)(b +) ; e g (v) = sabit e g (v) s loal olaa onfomaldi. Dolay s yla helisoidal yüzey üzeindei helisle spial

41 yüzey üzeindei spiallee aş l geli. uada S (u) = ( P i= i + )ab (b + ) p A ( P i= i + )b f + ( P i= i + )b (b + ) ve X A = ( i + ) a b b + X + (( i + ) b f i= X +( i= X +( i= i + )b b + X )(( X i + )b a f ( i= i= i= i + ) b f f i + )a b + ) di. Ispat. Po l e¼gisi ve esen, s as yla, aşa¼g dai gibi veilsin (u) = ( f(u); ; f(u); ; ; f(u); ; f(u); ; (u)) ve (; ; ; ) u duumda helisoidal yüzey a; i ( i ) = sabit olma üzee H(u; v) = ( f(u) cos v; f(u) sin v; ; f(u) cos v; f(u) sin v; f(u) cos v; f(u) sin v; (u) + av) di. u duumda, H u (u; v) = ( f (u) cos v; f (u) sin v; ; f (u) cos v; f (u) sin v; f (u) cos v; f (u) sin v; (u)) H v (u; v) = ( f(u) sin v; f(u) cos v; ; f(u) sin v; f(u) cos v; f(u) sin v; f(u) cos v; a)

42 olup helisoidal yüzeyin biinci temel fom bileşenlei X E = hh u ; H u i = ( i + )f + i= F = hh u ; H v i = a X G = hh v ; H v i = ( i + )f + a şelinde veili. Dolay s yla da yay elementi aşa¼g dai gibidi. i= i= X X ds = (( i + )f + )du + a dudv + (( i + )f + a )dv (.) Di¼ge taaftan spial yüzeyin paameti ifadesi i= S(u S ; v S ) = ( e g (v S ) f S (u S ) cos v S ; e g (v S ) f S (u S ) sin v S ; ; e g (v S ) f S (u S ) cos v S ; e g (v S ) f S (u S ) sin v S ; e g (v S ) f S (u S ) cos v S ; e g (v S ) f S (u S ) sin v S ; e g (v S ) (u S )) şelindedi. g (v) = b = sabit oldu¼gundan S us (u S ; v S ) = ( e g (v S ) f S(u S ) cos v S ; e g (v) f S(u S ) sin v S ; ; e g (v S ) f S(u S ) cos v S ; e g (v) f S(u S ) sin v S ; e g (v S ) f S(u S ) cos v S ; e g (v) f S(u S ) sin v S ; e g (v S ) (u S ))

43 S vs (u S ; v S ) be g (v S ) f S (u S ) cos v S e g (v S ) f S (u S ) sin v S be g (v S ) f S (u S ) sin v S + e g (v S ) f S (u S ) cos v S be g (v S ) f S (u S ) cos v S e g (v S ) f S (u S ) sin v S be g (v S ) f S (u S ) sin v S + e g (v S ) f S (u S ) cos v S be g (v S ) f S (u S ) cos v S e g (v S ) f S (u S ) sin v S be g (v S ) f S (u S ) sin v S + e g (v S ) f S (u S ) cos v S be g (v S ) S (u S ) A şelindedi. Dolay s yla spial yüzeyin biinci temel fom bileşenlei ve yay elementi aşa¼g dai gibidi.! E S = hs us ; S us i = e g (v S ) X ( i + )fs + S X F S = hs us ; S vs i = e g (v S ) (( i + )bfsf S + b S S) i= i= G S = hs vs ; S vs i = e g (v S ) X X (b (( i + )fs + S) + ( i + )fs) i= i= X X ds S = e g (v S ) [(( i + )fs + S )du S + (( i + )bfsf S X +b S S)du S dv S + (b (( i + )fs + S) + fs)dv S] (.) i= helisoidal yüzeyin (.) dei yay elementiyle, spial yüzeyin (.) dei yay elementini aş laşt sa S fonsiyonunu i= i= S (u) = ( P i= i + )ab (b + ) p ( P i= i + )b f + ( P i= i + )b (b + )

44 uada di. u duumda, X = ( i + ) a b b + X + (( i + ) b f + E = i= X ( i= X ( i= i + )b b + X )(( X i + )b a f ( i= i= i= i + ) b f f + i + )a b + ) e g (v S ) ES ; F = e g (v S ) FS ; G = e g (v S ) GS di. Dolay s yla H(u; v) helisoidal yüzeyi ile S(u; v) spial yüzey aas nda bi loal onfomal dönüşüm bulmuş oluuz. O halde, H(u; v) = f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v (u) + av

45 helisoidal yüzeyi ile S(u; v) = e g (v) a +( P i= i +)f b s ( P cos(v) i= i +)(b +) e g (v) a +( P i= i +)f b s ( P sin(v) i= i +)(b +) e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) a +( P i= i +)f b s ( P cos(v) i= i +)(b +) a +( P i= i +)f b s ( P i= i +)(b +) a +( P i= i +)f b s ( P i= i +)(b +) sin(v) cos(v) a +( P i= i +)f b s ( P sin(v) i= i +)(b +) ; e g (v) = sabit e g (v) s spial yüzeyi loal olaa onfomaldi. E¼ge e g (v S ) sabit yani b = ise bu duumda S(u S ; v S ) spial yüzeyi aşa¼g dai yay elementine sahip dönel yüzeye dönüşü " # X X ds S = e g (v S ) (( i + )fs + S )du S + (( i + )fs)dv S (.) u duumda i= i= v v u ut( X u s = i + )fs + u X S du S ; h S (u S ) = t ( i + )f s ; v S = v S ; al n sa, (.) dei yay elementi i= i= ds S = e g (v S ) du S + h S(u S )dv S (.) şeline dönüşü. Di¼ge taaftan, H(u; v) helisoidal yüzeyi üzeindei helisle u =sabit 8

46 ile veili. Helislee otogonal olan e¼gile için otogonalli duumu, eşitli¼gi ile veili. uadan,! X a du + ( i + )f + a dv = i= v = di. uada c sabit. E¼ge a ( P i= i + )f + a du + c v = v a ( P i= i + )f + a du al n sa helislee di olan e¼gile v =sabit ile veili. uadan dv = dv a ( P i= i + )f + a du elde edili. Son eşitli¼gi H(u; v) helisoidal yüzeyinin (.) de veilen yay elementinde yeine yazasa, X ds = (( i + )f + (P i= i + )f X ( P i= i + )f + a )du + (( i + )f + a )dv i= elde edili. E¼ge, v u ut( X u = i= i + )f + (P i= i + )f i= ( P du ve h(u) = i= i + )f + a v u X t ( i + )f + a i= olaa al n sa ds = du + h(u) dv (.) elde edeiz. (.) ve (.) dei yay elementleini aş laşt sa ve u = u s, v = v s ve h(u) = h s (u s ) 9

47 al n sa v u ut( X i + )f + (P i= i + )f ( P i= i + )f + a du i= = = = = = v u ut( X i + )fs + S du S i= v u ut( X i + )( df S ) du + ( d S ) S du du S S i= v u ut( X i + )( df S du ) ( du ) du + ( d S S du ) ( du ) du du S S i= v u ut( X i + )( df S du ) + ( d S du i= v u ut( X i + )fs + S du i= ) du du S du S elde edili. Di¼ge taaftan v v u X u X t ( i + )f + a = t ( i + )f s i= i= eşitli¼ginde he ii taaf n u ya göe tüev al n sa v u X t ( i + )fs = i= ff q ( P i= i + )f + a elde edili. u son eşitli aşa¼g da yeine yaz l sa = v u ut( X i + )f + (P i= i + )f ( P i= i + )f + a du i= v u ut( X i + )fs + S du i= S = (P i= i + )a f + ( P i= i + )f ( P i= i + )f + a

48 olup S(u; v) dönel yüzeyinin S fonsiyonu aşa¼g dai gibi elde edili. S (u) = s ( P i= i + )a f + ( P i= i + )f ( P du. i= i + )f + a O halde, H(u; v) = f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v (u) + av helisoidal yüzeyi ile S(u; v) = q e g (v) f a + ( P cos(v + i= i +) q e g (v) f a + ( P sin(v + +) i= i q e g (v) f a + ( P cos(v + i= i +) q e g (v) f a + ( P sin(v + q i= i +) e g (v) f a + ( P cos(v + q i= i +) e g (v) f a + sin(v + +) e g (v) ( P i= i ( P ( P a i= i +)f +a du) a i= i +)f +a du) ( P ( P ( P ( P a i= i +)f +a du) a i= i +)f +a du) a i= i +)f +a du) a i= i +)f +a du) ( P i= i +)a f +( P i= i +)f ( P du i= i +)f +a ; e g (v) = sabit dönel yüzeyi loal olaa homotetiti.

49 E¼ge, e g (v) = ise H(u; v) = f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v (u) + av helisoidal yüzeyi ile S(u; v) = q f a + ( P cos(v + i= i +) q f a + ( P sin(v + +) i= i q f a + ( P cos(v + i= i +) q f a + ( P sin(v + i= i +) q f a + ( P cos(v + i= i +) q f a + ( P sin(v + i= i +) ( P ( P a i= i +)f +a du) a i= i +)f +a du) ( P ( P ( P ( P a i= i +)f +a du) a i= i +)f +a du) a i= i +)f +a du) a i= i +)f +a du) ( P i= i +)a f +( P i= i +)f ( P du i= i +)f +a dönel yüzeyi loal olaa izometiti.

50 Özel olaa = f(u) = u için E de H(u; v) = u cos v u sin v (u) + av helisoidal yüzeyi ile S(u; v) = q e g (v) q e g (v) a +u b s b + a +u b s b + e g (v) s cos(v) sin(v) ; (v) eg = sabit spial yüzeyi loal olaa onfomaldi. Dolay s yla helisoidal yüzey üzeindei helisle spial yüzey üzeindei spiallee aş l geli. uada ve S (u) = ab (b + ) p A b + b (b + ) A = a b b + + b + b b + b u + b a a b + di. Öne.. f(u) = u; (u) = u ve b = önelei aşa¼g dai gibidi. için onfomal olaa eş olan yüzey! Şeil. i genelleştiilmiş helisoid ve onfomal olaa eş oldu¼gu spial yüzey

51 Teoem. ( E de ou teoemi) i genelleştiilmiş helisoidal yüzeyi H(u; v) = f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v (u) + av (u) + av ; a R ile bi spial yüzey S(u; v) = e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) ( +)a +( P i= i +)f b s ( P cos(v) i= i +)(b +) ( +)a +( P i= i +)f b s ( P sin(v) i= i +)(b +) ( +)a +( P i= i +)f b s ( P cos(v) i= i +)(b +) ( +)a +( P i= i +)f b s ( P sin(v) i= i +)(b +) ( +)a +( P i= i +)f b s ( P i= i +)(b +) cos(v) ( +)a +( P i= i +)f b s ( P sin(v) i= i +)(b +) e g (v) s ; e g (v) = sabit e g (v) s loal olaa onfomaldi. Dolay s yla helisoidal yüzey üzeindei helisle spial

52 yüzey üzeindei spiallee aş l geli. uada uada di. S (u) = ab (b + ) (( P i= i + )) p (( P i= i + ))b f + b (b + ) = a b b + X X ( i + ) + (( i + )b f i= +b b + )(a b + X ( i + ) b f f X ( + )b a ( i + )f ) i= i= i= Ispat. Po l e¼gisi ve esen s as yla aşa¼g dai gibi veilsin (u) = ( f(u); ; f(u); ; ; f(u); ; f(u); ; (u); (u)) ; ve sp f(; ; ; ); (; ; ; )g u duumda helisoidal yüzey ; a sabit olma üzee H(u; v) = ( f(u) cos v; f(u) sin v; ; f(u) cos v; f(u) sin v; f(u) cos v; f(u) sin v; (u) + av; (u) + av) oldu¼gundan H u (u; v) = ( f (u) cos v; f (u) sin v; ; f (u) cos v; f (u) sin v; f (u) cos v; f (u) sin v; (u); (u)) H v (u; v) = ( f(u) sin v; f(u) cos v; ; f(u) sin v; f(u) cos v; f(u) sin v; f(u) cos v; a; a)

53 olup helisoidal yüzeyin biinci temel fom bileşenlei X E = hh u ; H u i = ( i + )f + ( + ) i= F = hh u ; H v i = a( + ) X G = hh v ; H v i = ( i + )f + ( + )a şelinde veili. Dolay s yla da yay elementi aşa¼g dai gibidi. i= i= X ds = (( i + )f + ( + )) du + a( + ) dudv X +(( i + )f + ( + )a )dv (.8) i= Di¼ge taaftan spial yüzeyin paameti ifadesi S(u S ; v S ) = ( e g (v S ) f S (u S ) cos v S ; e g (v S ) f S (u S ) sin v S ; ; e g (v S ) f S (u S ) cos v S ; e g (v S ) f S (u S ) sin v S ; e g (v S ) f S (u S ) cos v S ; e g (v S ) f S (u S ) sin v S ; e g (v S ) (u S ); e g (v S ) S(u S )) şelindedi. g (v) = b = sabit olup S(u S ; v S ) spial yüzeyin u S ve v S paameteleine göe smi tüevlei S us (u S ; v S ) = ( e g (v S ) f S(u S ) cos v S ; e g (v) f S(u S ) sin v S ; ; e g (v S ) f S(u S ) cos v S ; e g (v) f S(u S ) sin v S ; e g (v S ) f S(u S ) cos v S ; e g (v) f S(u S ) sin v S ; e g (v S ) (u S ); e g (v S ) (u S ))

54 S vs (u S ; v S ) be g (v S ) f S (u S ) cos v S e g (v S ) f S (u S ) sin v S be g (v S ) f S (u S ) sin v S + e g (v S ) f S (u S ) cos v S be g (v S ) f S (u S ) cos v S e g (v S ) f S (u S ) sin v S be g (v S ) f S (u S ) sin v S + e g (v S ) f S (u S ) cos v S be g (v S ) f S (u S ) cos v S e g (v S ) f S (u S ) sin v S be g (v S ) f S (u S ) sin v S + e g (v S ) f S (u S ) cos v S be g (v S ) S (u S ) be g (v S ) S (u S ) A di. uadan spial yüzeyin biinci temel fom bileşenlei E S = hs us ; S us i = X e g (v S ) (( i + )fs + ( + )) S i= X F S = hs us ; S vs i = e g (v S ) (( i + )bfsf S + b( + ) S S) G S = hs vs ; S vs i = e g (v S ) X (b (( i + )fs + S) + ( şelindedi. Dolay s yla da yay elementi aşa¼g dai gibidi. i= i= i= i= )f S) X X ds S = e g (v S ) [( i + )fs + ( + ) S du S + (( i + )bfsf S + X X b( + ) S S)du S dv S + (b (( i + )fs + S) + ( i + )fs)dv S] (.9) i= helisoidal yüzeyin yay elementiyle (.8), spial yüzeyin yay elementini (.9) aş laşt sa S fonsiyonunu i= S (u) = ab (b + ) ( P i= i + ) p ( P i= i + )b f + b (b + )

55 uada di. u duumda, = a b b + X X ( i + ) + (( i + )b f E = i= +b b + ) (a b + X ( i + ) b f f X ( + )b a ( i + )f ) i= i= i= e g (v S ) ES ; F = e g (v S ) FS ; G = e g (v S ) GS di. Dolay s yla H(u; v) helisoidal yüzeyi ile S(u; v) spial yüzey aas nda bi loal onfomal dönüşüm bulmuş oluuz. O halde, H(u; v) = f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v (u) + av (u) + av 8

56 helisoidal yüzeyi ile S(u; v) = q e g (v) ( +)a +( P i= i +)f b s cos(v) ( )(b +) e g (v) ( +)a +( P i= i +)f b s ( P sin(v) i= i +)(b +) q e g (v) ( +)a +( P i= i +)f b s cos(v) q ( )(b +) e g (v) e g (v) e g (v) ( +)a +( P i= i +)f b s q ( +)a +( P i= i +)f b s q ( )(b +) sin(v) cos(v) ( )(b +) ( +)a +( P i= i +)f b s sin(v) ( )(b +) e g (v) s ; e g (v) = sabit e g (v) s spial yüzeyi loal olaa onfomaldi. E¼ge e g (v S ) sabit yani b = ise bu duumda S(u S ; v S ) spial yüzeyi aşa¼g dai yay elementine sahip dönel yüzeye dönüşü X X ds S = e g (v S ) [(( i + )fs + ( + ) S du S + (( i + )fs)dv S] (.) u duumda i= i= v v u ut( X u s = i + )fs + u X ( + ) S du S ; h S (u S ) = t ( i + )f s ; v S = v S ; al n sa, bu duumda (.) dei yay elementi i= i= ds S = e g (v S ) du S + h S(u S )dv S (.) şeline dönüşü. Di¼ge taaftan, H(u; v) helisoidal yüzeyi üzeindei helisle u =sabit 9

57 ile veili. Helislee otogonal olan e¼gile için otogonalli duumu, eşitli¼gi ile veili. uadan, X ( + )a du + (( i + )f + ( + )a )dv = i= v = a( + ) ( P i= i + )f + ( + )a du + c di. uada c sabit. E¼ge v = v a( + ) ( P i= i + )f + ( + )a du al n sa helislee di olan e¼gile v =sabit ile veili. uadan dv = dv a( + ) ( P i= i + )f + ( + )a du elde edili. Son eşitli¼gi H(u; v) helisoidal yüzeyinin (.) de veilen yay elementinde yeine yazasa, elde edili. E¼ge, X ds = (( i + )f + (P i= i + )( + )f ( P i= i + )f + ( + )a )du i= X +(( i + )f + ( + )a )dv i= u = ve h(u) = olaa al n sa v u ut( X i + )f + (P i= i + )( + )f i= ( P i= i + )f + ( + )a du v u X t ( i + )f + ( + )a i= ds = du + h(u) dv (.)

58 elde edeiz. (.) ve (.) dei yay elementleini aş laşt sa ve u = u s, v = v s ve h(u) = h s (u s ) al n sa v u ut( X i + )f + (P i= i + )( + )f ( P i= i + )f + ( + )a du i= = = = = = v u ut( X i + )fs + ( + ) S du S i= v u ut( X i + )( df S ) du + ( + )( d S ) S du du S S i= v u ut( X i + )( df S du ) ( du ) du + ( + )( d S S du ) ( du ) du du S S i= v u ut( X i + )( df S du ) + ( + )( d S du i= v u ut( X i + )fs + ( + ) S du i= ) du du S du S elde edili. Di¼ge taaftan v v u X u X t ( i + )f + ( + )a = t ( i + )f s i= i= eşitli¼ginin he ii taaf u ya göe tüevlenise v u X t ( i + )fs = i= ( P i= i + )ff q ( P i= i + )f + ( + )a

59 bulunu. uadan v u ut( X i + )f + (P i= i + )( + )f ( P i= i + )f + ( + )a du i= = v u ut( X i + )fs + ( + ) S du i= S = (P i= i + )( + )f ( P i= i + )f + ( + ) a olup S(u; v) dönel yüzeyinin S fonsiyonu aşa¼g dai gibi elde edili. O halde, S (u) = s ( P i= i + )( + )f ( P i= i + )f + ( + ) a du. H(u; v) = f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v (u) + av (u) + av

60 helisoidal yüzeyi ile S(u; v) = e g (v) f + ( +)a ( P cos(v + i= i +) e g (v) f + ( +)a ( P sin(v + +) i= i e g (v) f + ( +)a ( P cos(v + i= i +) e g (v) f + ( +)a ( P sin(v + i= i +) f + ( +)a ( P cos(v + i= i +) f + ( +)a ( P sin(v + +) e g (v) e g (v) e g (v) i= i e g (v) ( P i= i +)( +)f ( P a( +) ( P du) i= i +)f +( +)a a( +) ( P du) i= i +)f +( +)a a( +) ( P du) i= i +)f +( +)a a( +) ( P du) i= i +)f +( +)a a( +) ( P du) i= i +)f +( +)a a( +) ( P du) i= i +)f +( +)a i= i +)f +( +) a du ( P i= i +)( +)f ( P du i= i +)f +( +) a dönel yüzeyi loal olaa homotetiti. uada e g (v) = sabit E¼ge, e g (v) = ise H(u; v) = f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v (u) + av (u) + av

61 helisoidal yüzeyi ile S(u; v) = f + ( +)a P cos(v + i= i + f + ( +)a P sin(v + + i= i f + ( +)a P cos(v + + P i= i i= i f + ( +)a sin(v + + ( P a(+) ( P du) i= i +)f +( +)a a(+) ( P du) i= i +)f +( +)a a(+) ( P du) i= i +)f +( +)a a(+) ( P du) i= i +)f +( +)a i= i +)( +)f +( +) a a (+) ( P du i= i +)f +( +) a ( P i= i +)( +)f +( +) a a (+) ( P du i= i +)f +( +) a dönel yüzeyi loal olaa izometiti.

62 . n-oyutlu ÖKL ID UAYINDA HEL ISO IDAL YÜEY, DÖNEL YÜEY VE SP IRAL YÜEY ARASINDAK I IL IŞK I Teoem. E + de bi spial yüzey ile bi dönel yüzey loal onfomal olaa eşti. Dolay s yla da spial yüzey üzeindei spialle dönel yüzey üzeindei paalel çembelee aş l geli. S(u S ; v S ) = e g (v S ) f(u S ) cos v S e g (v S ) f(u S ) sin v S e g (v S ) f(u S ) cos v S e g (v S ) f(u S ) sin v S f S (u S )e g (v S ) cos v S f S (u S )e g (v S ) sin v S e g (v S ) S (u S )

63 spial yüzeyi ile R(u S ; v S ) = q b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )f S cos(v (( P i= + i +)bf S f S+b S S) (b (( P i= i +)f S + S )+(P i= i q +)f S) du) b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )f S sin(v (( P i= + i +)bf S f S+b S S) (b (( P i= i +)f S + S )+(P i= i +)f S) du) q q b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )f S cos(v (( P i= + i +)bf S f S+b S S) (b (( P i= i +)f S + S )+(P i= i +)f S) du) b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )f S sin(v (( P i= + i +)bf S f S+b S S) (b (( P i= i +)f S + S )+(P i= i q +)f S) du) b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )f S cos(v (( P i= + i +)bf S f S+b S S) (b (( P i= i +)f S + S )+(P i= i q +)f S) du) b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )f S sin(v (( P i= + i +)bf S f S+b S S) (b (( P i= i +)f S + S )+(P i= i +)f S) du) e g (v) R dönel yüzeyi loal olaa onfomaldi. Dolay s yla spial yüzey üzeindei spialle dönel yüzey üzeindei çembelee aş l geli. uada S (u) = ( P i= f( i + )a f + ( P i= i + )f b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )fs X X [( i + )(b + ) fsf S + ( i + ) S S i= i= i= X X +( i + ) S S(b + )f S fs]=[b (( i + )fs X + S) + ( i + )fs])g dus. i= i= di.

64 Ispat. Po l e¼gisi ve esen s as yla aşa¼g dai gibi veilsin (u) = ( f S (u S ); ; f(u S ); ; ; f S (u S ); ; f S (u S ); ; S (u S )) ; ve (; ; ; ) u duumda spial yüzeyin paameti ifadesi S(u S ; v S ) = ( e g (v S ) f S (u S ) cos v S ; e g (v S ) f S (u S ) sin v S ; ; e g (v S ) f S (u S ) cos v S ; e g (v S ) f S (u S ) sin v S ; e g (v S ) f S (u S ) cos v S ; e g (v S ) f S (u S ) sin v S ; e g (v S ) (u S )) şelindedi. g (v) = b = sabit oldu¼gundan S(u S ; v S ) spial yüzeyinin u S ve v S paameteleine göe smi tüevlei S us (u S ; v S ) = ( e g (v S ) f S(u S ) cos v S ; e g (v) f S(u S ) sin v S ; ; e g (v S ) f S(u S ) cos v S ; e g (v) f S(u S ) sin v S ; e g (v S ) f S(u S ) cos v S ; e g (v) f S(u S ) sin v S ; e g (v S ) (u S )) S vs (u S ; v S ) be g (v S ) f S (u S ) cos v S e g (v S ) f S (u S ) sin v S be g (v S ) f S (u S ) sin v S + e g (v S ) f S (u S ) cos v S be g (v S ) f S (u S ) cos v S e g (v S ) f S (u S ) sin v S be g (v S ) f S (u S ) sin v S + e g (v S ) f S (u S ) cos v S be g (v S ) f S (u S ) cos v S e g (v S ) f S (u S ) sin v S be g (v S ) f S (u S ) sin v S + e g (v S ) f S (u S ) cos v S be g (v S ) S (u S ) A

65 di. uadan spial yüzeyin biinci temel fom bileşenlei! E S = hs us ; S us i = e g (v S ) X ( i + )fs + S X F S = hs us ; S vs i = e g (v S ) (( i + )bfsf S + b S S) i= i= G S = hs vs ; S vs i = e g (v S ) X X (b (( i + )fs + S) + ( i + )fs) şelindedi. Dolay s yla da yay elementi aşa¼g dai gibidi. i= i= X X ds S = e g (v S ) [(( i + )fs + S )du S + (( i + )bfsf S + b S S)du S dv S i= i= i= X X +(b (( i + )fs + S) + ( i + )fs)dv S] (.) S(u S ; v S ) spial yüzeyi üzeindei spialle u S =sabit ile veili. Spiallee otogonal olan e¼gile için otogonalli duumu, X (( i= X i + )bfsf S + b S S)du S + (b (( eşitli¼gi ile veili. uadan, i= X i + )fs + S) + ( i= i= i + )f S)dv S = v S = ( P i= i + )bfs f S + b S S b (( P i= i + )fs + S) + ( P du S + c i= i + )fs di. E¼ge v S = v S ( P i= i + )bfs f S + b S S b (( P i= i + )fs + S) + ( P du S i= i + )fs al n sa spiallee di olan e¼gile v =sabit ile veili. uadan dv S = dv S ( P i= i + )bfs f S + b S S b (( P i= i + )fs + S) + ( P du S i= i + )fs 8

66 elde edili. Son eşitli¼gi S(u S ; v S ) spial yüzeyinin (.) de veilen yay elementinde yeine yazasa, X ds S = (( i + )fs + S i= (( P i= i + )bfs f S + b S S) (b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )fs ))du S elde edili. E¼ge, X X +(b (( i + )fs + S) + ( i + )fs)dv S (.) i= i= u S = ve h S (u S ) = olaa al n sa X [( i= i + )f S + S ( P i= i + )bfs f S + b S S b (( P i= i + )f S + S) + ( P i= i + )f S v u X t b (( i= i + )fs + X S) + ( i= i + )f S ] du ds S = du S + h S (u S ) dv S (.) elde edeiz. Dige taaftan, Po l e¼gisi ve esen s as yla aşa¼g dai gibi veilen (u) = ( f S (u S ); ; f(u S ); ; ; f S (u S ); ; f S (u S ); ; S (u S )) ; ve (; ; ; ) R(u R ; v R ) spial yüzeyinin yay elementine aşa¼g dai gibidi di. u duumda X ds R = [(( i + )fr + R)du R + frdv R] (.) i= v u ut( X u R = i + )fr + Rdu S ; h S (u S ) = f R ; v S = v S ; i= 9

67 al n sa, (.) dei yay elementi ds S = du R + h R(u R )dv R (.) şeline dönüşü(.) ve (.) dei yay elementleini aş laşt sa ve u = u R, v = v R ve h R (u R ) = h S (u S ) al n sa v X u t( i + )fs + S i= ( P i= i + )bfs f S + b S S b (( P i= i + )fs + S) + ( P du i= i + )fs = = = = = v u ut( X i + )fr + Rdu S i= v u ut( X i + )( df R ) du + ( d R ) R du du R R i= v u ut( X i + )( df R du ) ( du ) du + ( d R R du ) ( du ) du du R R i= v u ut( X i + )( df R du ) + ( d R du ) du R du du R i= v u ut( X i + )fr + Rdu i= ve f R = v u X t b (( i + )fs + X S) + ( i + )fs i= i= f R = f (b + )f S fs + S S q b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )fs R = (b + ) fs f S + S S + S S(b + )f S fs b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )fs

68 elde edili. uadan v X u t( i + )fs + S i= ( P i= i + )bfs f S + b S S b (( P i= i + )fs + S) + ( P du i= i + )fs = v u ut( X i= i + ) (b + ) f S f S + S S + S S(b + )f S f S b (( P i= i + )f S + S) + ( P i= i + )f S + Rdu olup S(u; v) dönel yüzeyinin S fonsiyonu aşa¼g dai gibi elde edili. S (u) = ( P i= ( i + )a f + ( P i= i + )f b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )fs X X [( i + )(b + ) fsf S + ( i + ) S S i= i= i= X X +( i + ) S S(b + )f S fs]=[b (( i + )fs X + S) + ( i + )fs]). i= i= S (u) = ( P i= f( i + )a f + ( P i= i + )f b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )fs X X [( i + )(b + ) fsf S + ( i + ) S S i= i= i= X X +( i + ) S S(b + )f S fs]=[b (( i + )fs X + S) + ( i + )fs])g dus. i= i=

69 O halde, spial yüzeyi ile S(u S ; v S ) = e g (v S ) f(u S ) cos v S e g (v S ) f(u S ) sin v S e g (v S ) f(u S ) cos v S e g (v S ) f(u S ) sin v S f S (u S )e g (v S ) cos v S f S (u S )e g (v S ) sin v S e g (v S ) S (u S ) R(u S ; v S ) = q b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )f S cos(v (( P i= + i +)bf S f S+b S S) (b (( P i= i +)f S + S )+(P i= i q +)f S) du) b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )f S sin(v (( P i= + i +)bf S f S+b S S) (b (( P i= i +)f S + S )+(P i= i +)f S) du) q q b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )f S cos(v (( P i= + i +)bf S f S+b S S) (b (( P i= i +)f S + S )+(P i= i +)f S) du) b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )f S sin(v (( P i= + i +)bf S f S+b S S) (b (( P i= i +)f S + S )+(P i= i q +)f S) du) b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )f S cos(v (( P i= + i +)bf S f S+b S S) (b (( P i= i +)f S + S )+(P i= i q +)f S) du) b (( P i= i + )fs + S) + ( P i= i + )f S sin(v (( P i= + i +)bf S f S+b S S) i= i +)f S) du) (b (( P i= i +)f S + S )+(P e g (v) R

70 dönel yüzeyi loal olaa onfomaldi. Sonuç olaa aşa¼g dai şeilde veilen ilişi elde edili. Şeil. Helisoidal, dönel ve spial yüzey aas ndai ba¼g nt Teoem. de özel olaa = f(u) = u al n sa E de S(u S ; v S ) = e g (v S ) u S cos v S e g (v S ) u S sin v S e g (v S ) S spial yüzeyi ile R(u S ; v S ) = q b u S + Su S cos(v (bus +b S + S S) du (b +)fs +b S ) S q b u S + Su S sin(v (bus +b S + S S) du (b +)fs +b S ) S ; b = S dönel yüzeyi loal olaa onfomaldi. Dolay s yla spial yüzey üzeindei spialle dönel yüzey üzeindei paalel çembelee aş l geli. uada s a S (u) = + u S (b + ) u S + S S + S S(b + )u S (b + )u S + du S S di.

71 Öne. f(u) = u; b = ve (u) = u için onfomal olaa eş olan yüzey önelei aşa¼g dai gibidi.! Şeil. i spial yüzey ve onfomal olaa eş oldu¼gu dönel yüzey

72 . n-oyutlu LORENT-M INKOWSK I UAYINDA KONFORMAL DÖNÜŞÜM ÜER INE OUR TEOREM I Teoem. ( E + de spacelie esenli yüzeyle için onfomal dönüşüm alt nda ou teoemi) i genelleştiilmiş helisoidal yüzey H(u; v) = (u) + av f(u) cos v f(u) sin v n n f(u) cos v f(u) sin v f(u) cosh v f(u) sinh v ile bi spial yüzey S(u; v) = e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) s a +( P i= i )f b s b ( P i= i +)+P a +( P i= i )f b s b ( P i= i +)+P i= i cos(v) i= i sin(v) a +( P i= i )f b s b ( P i= i +)+P a +( P i= i )f b s b ( P i= i +)+P a +( P i= i )f b s b ( P i= i +)+P a +( P i= i )f b s b ( P i= i +)+P i= i cos(v) i= i sin(v) i= i cosh(v) i= i sinh(v) ; e g (v) = sabit

73 loal olaa onfomaldi. yüzey üzeindei spiallee aş l geli. uada uada S (u) = Dolay s yla helisoidal yüzey üzeindei helisle spial ab b ( P i= i + ) + ( P i= i ) p D ( P i= i )b f + b b ( P i= i + ) + ( P i= i ) X X X D = a b (b ( i + ) + i ) + (b ( i )f di. i= i= i= X X X X +b (b ( i + ) + i ) )((b ( i + ) + i )a X (b ( i= X i + ) ( i= i= i= i= Xn i )f ) a b ( i= i= i + ) f ) Ispat. Po l e¼gisi ve esen s as yla aşa¼g dai gibi veilsin (u) = ((u); f(u); ; f(u); ; ; f(u); ; f(u); ) ; ve (; ; ; ) u duumda helisoidal yüzey a sabit olma üzee H(u; v) = ((u) + av; f(u) cos v; f(u) sin v; ; f(u) cos v; f(u) sin v; f(u) cosh v; f(u) sinh v) di. u duumda, H u (u; v) = ( (u); f (u) cos v; f (u) sin v; ; f (u) cos v; f (u) sin v; f (u) cosh v; f (u) sinh v) H v (u; v) = (a; f(u) sin v; f(u) cos v; ; f(u) sin v; f(u) cos v; f(u) sinh v; f(u) cosh v)

74 olup helisoidal yüzeyin biinci temel fom bileşenlei X E = hh u ; H u i = ( i + )f + i= F = hh u ; H v i = a X G = hh v ; H v i = ( i )f + a şelinde veili. Dolay s yla da yay elementi aşa¼g dai gibidi. i= i= X X ds = (( i + )f + )du + a dudv + (( i )f + a )dv (.) Di¼ge taaftan spial yüzeyin paameti ifadesi g (v) = b = sabit olma üzee i= S(u S ; v S ) = (e g (v S ) (u S ); e g (v S ) f S (u S ) cos v S ; e g (v S ) f S (u S ) sin v S ; ; e g (v S ) f S (u S ) cos v S ; e g (v S ) f S (u S ) sin v S ; e g (v S ) f S (u S ) cosh v S ; e g (v S ) f S (u S ) sinh v S ) şelindedi. uadan S(u S ; v S ) spial yüzeyinin u S ve v S paameteleine göe smi tüevlei S us (u S ; v S ) = (e g (v S ) (u S ); e g (v S ) f S(u S ) cos v S ; e g (v) f S(u S ) sin v S ; ; e g (v S ) f S(u S ) cos v S ; e g (v) f S(u S ) sin v S ; e g (v S ) f S(u S ) cosh v S ; e g (v) f S(u S ) sinh v S )

75 S vs (u S ; v S ) be g (v S ) S (u S ) b e g (v S ) f S (u S ) cos v S e g (v S ) f S (u S ) sin v S b e g (v S ) f S (u S ) sin v S + e g (v S ) f S (u S ) cos v S b e g (v S ) f S (u S ) cos v S e g (v S ) f S (u S ) sin v S b e g (v S ) f S (u S ) sin v S + e g (v S ) f S (u S ) cos v S be g (v S ) f S (u S ) cosh v S + e g (v S ) f S (u S ) sinh v S be g (v S ) f S (u S ) sinh v S + e g (v S ) f S (u S ) cosh v S A di. u duumda spial yüzeyin biinci temel fom bileşenlei E S = hs us ; S us i = X e g (v S ) (( i + )fs + S ) X F S = hs us ; S vs i = e g (v S ) (b( i + )fsf S + b S S) G S = hs vs ; S vs i = e g (v S ) X X (b (( i + )fs + S) + ( i= i= i= i= i )f S) şelindedi. Dolay s yla da yay elementi aşa¼g dai gibidi. X X ds S = e g (v S ) [(( i + )fs + S )du S + (b( i + )fsf S + b S S)du S dv S i= X X +(b (( i + )fs + S) + ( i )fs)dv S] (.) i= Helisoidal yüzeyin yay elementiyle (.), spial yüzeyin yay elementini (.) aş laşt - i= i= 8

76 sa S fonsiyonu X X D = a b (b ( i + ) + i ) + i= i= i= X X X X (b ( i )f + b (b ( i + ) + i ) )((b ( i + ) + X i= X i )a (b ( i= i= X i + ) ( i= i= i= X i )f ) a b ( i= i + ) f ) olma üzee S (u) = ab b ( P i= i + ) + ( P i= i ) p D ( P i= i )b f + b b ( P i= i + ) + ( P i= i ) di. u duumda, E = e g (v S ) ES ; F = e g (v S ) FS ; G = e g (v S ) GS di. Dolay s yla H(u; v) helisoidal yüzeyi ile S(u; v) spial yüzey aas nda bi loal onfomal dönüşüm bulmuş oluuz. O halde, H(u; v) = (u) + av f(u) cos v f(u) sin v n n f(u) cos v f(u) sin v f(u) cosh v f(u) sinh v 9

77 helisoidal yüzeyi ile S(u; v) = e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) s a +( P i= i )f b s b ( P i= i +)+P a +( P i= i )f b s b ( P i= i +)+P i= i cos(v) i= i sin(v) a +( P i= i )f b s b ( P i= i +)+P a +( P i= i )f b s b ( P i= i +)+P a +( P i= i )f b s b ( P i= i +)+P a +( P i= i )f b s b ( P i= i +)+P i= i cos(v) i= i sin(v) i= i cosh(v) i= i sinh(v) ; e g (v) = sabit spial yüzeyi loal olaa onfomaldi. E¼ge e g (v S ) sabit yani b = ise bu duumda S(u S ; v S ) spial yüzeyi ds S = " X e g (v S ) (( i= i + )f X S + S )du S + (( i= i )f S)dv S # (.) yay elementine sahip olan bi dönel yüzeye dönüşü. u duumda v v u ut( X u s = i + )fs + u X S du S ; h S (u S ) = t ( i )f s ; v S = v S ; i= al n sa, (.) dei yay elementi i= ds S = e g (v S ) du S h S(u S )dv S (.) şeline dönüşü. Di¼ge taaftan, H(u; v) helisoidal yüzeyi üzeindei helisle u =

78 sabit ve helislee otogonal olan e¼gile için otogonalli duumu, eşitli¼gi ile veili. uadan,! X a du + ( i )f + a dv = i= v = a ( P du + c; c = sabit i= i )f + a di. E¼ge v = v a ( P i= i )f + a du al n sa helislee di olan e¼gile v =sabit ile veili. uadan dv = dv a ( P i= i )f + a du elde edili. Son eşitli¼gi H(u; v) helisoidal yüzeyinin (.) dei eşitli¼gi ile veilen yay elementinde yeine yazasa, X ds = (( i + )f + a X ( P i= i )f + a )du + (( i )f + a )dv i= elde edili. E¼ge, i= u = ve h(u) = olaa al n sa v u ut( Xn i + )f + a ( P n i= i= i )f + a du v u Xn t ( i )f a i= ds = du h(u) dv (.) elde edeiz. (.) ve (.) eşitlileiyle veilen yay elementlei aş laşt l sa ve u = u s, v = v s ve h(u) = h s (u s )

79 al n sa v u ut( X i + )f + a ( P i= i )f + a du i= = = = = = v u ut( X i + )fs + S du S i= v u ut( X i + )( df S ) du + ( d S ) S du du S S i= v u ut( X i + )( df S du ) ( du ) du + ( d S S du ) ( du ) du du S S i= v u ut( X i + )( df S du ) + ( d S du i= v u ut( X i + )fs + S du i= ) du du S du S elde edili. Di¼ge taaftan, v v u X u X t ( i )f s = t ( i )f a i= i= eşitli¼ginde he ii taaf n u ya göe tüevi al n sa v u X t ( is)fs = i= q ( ff P i= i )f a ve bu eşitli aşa¼g da veilen denlemde yeine yaz l sa v u ut( X i + )fs + S du i= = v u ut( X i + )f + a ( P n i= i )f + a du i=

80 X i + )f ( i= olu. O halde, S = helisoidal yüzeyi ile X S + S = ( i= i + )f + a ( P i= i )f + a S = (P i= i + )f + a ( P i= i + )f ( P i= i )f + a s ( P i= i + )f + a ( P i= i + )f ( P du. i= i )f + a H(u; v) = (u) + av f(u) cos v n f(u) sin v n f(u) cos v f(u) sin v f(u) cosh v f(u) sinh v S(u; v) = e g (v) ( P i= i +)f +a ( P i= i +)f ( P e g (v) ( P i= i )f a ( P cos(v + i= i ) e g (v) ( P i= i )f a ( P sin(v + i= i ) e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) cos(v + i= i ) sin(v + i= i ) cosh(v + i= i ) ( P i= i )f a ( P sinh(v + i= i ) ( P i= i )f a ( P ( P i= i )f a ( P n ( P i= i )f a ( P i= i )f +a du ( P ( P a i= i )f +a du) a i= i )f +a du) ( P ( P ( P ( P a i= i )f +a du) a i= i )f +a du) a i= i )f +a du) a i= i )f +a du)

81 dönel yüzeyi loal olaa homotetiti. uada e g (v) = sabit E¼ge, e g (v) = ise H(u; v) = (u) + av f(u) cos v f(u) sin v n n f(u) cos v f(u) sin v f(u) cosh v f(u) sinh v helisoidal yüzeyi ile S(u; v) = e g (v) ( P i= i +)f +a ( P i= i +)f ( P ( P i= i )f a ( P cos(v + i= i ) ( P i= i )f a ( P sin(v + i= i ) ( P i= i )f a ( P cos(v + i= i ) ( P i= i )f a ( P sin(v + i= i ) cosh(v + i= i ) ( P i= i )f a ( P sinh(v + i= i ) ( P i= i )f a ( P i= i )f +a du ( P ( P a i= i )f +a du) a i= i )f +a du) ( P ( P ( P ( P a i= i )f +a du) a i= i )f +a du) a i= i )f +a du) a i= i )f +a du) ; e g (v) = sabit dönel yüzeyi loal olaa izometiti.

82 Teoem. de özel olaa = f(u) = u al n sa E de H(u; v) = (u) + av u cosh v u sinh v helisoidal yüzeyi ile S(u; v) = e g (v) q s e g (v) a u b s cosh(v) q b ; b = ; e g (v) a u b s sinh(v) b spial yüzeyi loal olaa onfomaldi. Dolay s yla helisoidal yüzey üzeindei helisle spial yüzey üzeindei spiallee aş l geli. uada S (u) = ab (b ) p A b + b (b ) ve A = a b b + b + b b a b b u b a di.

83 Öne.. f(u) = u; (u) = u ve b = için onfomal olaa eş olan yüzey önelei aşa¼g dai gibidi.! Şeil. Spacelie esenli genelleştiilmiş helisoid ve onfomal olaa eş oldu¼gu spial yüzey Teoem. ( E + de timelie esenli yüzeyle için onfomal dönüşüm alt nda ou teoemi) i genelleştiilmiş helisoidal yüzeyi H(u; v) = f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v (u) + av

84 ile bi spial yüzey S(u; v) = e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) ( P i= i +)f +b s a ( P cos(v) i= i +)(b +) ( P i= i +)f +b s a ( P sin(v) i= i +)(b +) ( P i= i +)f +b s a ( P cos(v) i= i +)(b +) ( P i= i +)f +b s a ( P sin(v) i= i +)(b +) ( P i= i +)f +b s a ( P i= i +)(b +) cos(v) ( P i= i +)f +b s a ( P sin(v) i= i +)(b +) ; e g (v) = sabit e g (v) s loal olaa onfomaldi. Dolay s yla helisoidal yüzey üzeindei helisle spial yüzey üzeindei spiallee aş l geli. uada S (u) = ( P i= i + )ab (b + ) p E ( P i= i + )b f ( P i= i + ) b (b + ) ve X E = ( i + ) a b b + X + (( i + )b b + i= X ( i= X +( i= X i + ) b f )(( i= X i + ) b f f ( i= i + )a b + i= i + ) b a f ) di.

85 Ispat. Po l e¼gisi ve esen s as yla aşa¼g dai gibi veilsin (u) = ( f(u); ; f(u); ; ; f(u); ; f(u); ; (u)) ve (; ; ; ) u duumda helisoidal yüzey a; i ( i ) = sabit olma üzee H(u; v) = ( f(u) cos v; f(u) sin v; ; f(u) cos v; f(u) sin v; f(u) cos v; f(u) sin v; (u) + av) di. u duumda, H u (u; v) = ( f (u) cos v; f (u) sin v; ; f (u) cos v; f (u) sin v; f (u) cos v; f (u) sin v; (u)) H v (u; v) = ( f(u) sin v; f(u) cos v; ; f(u) sin v; f(u) cos v; f(u) sin v; f(u) cos v; a) olup helisoidal yüzeyin biinci temel fom bileşenlei X E = hh u ; H u i = ( i + )f i= F = hh u ; H v i = a X G = hh v ; H v i = ( i + )f a şelinde veili. Dolay s yla da yay elementi aşa¼g dai gibidi. i= i= X X ds = (( i + )f )du a dudv + (( i + )f a )dv (.) i= 8

86 Di¼ge taaftan S(u S ; v S ) spial yüzeyinin paameti ifadesi S(u; v) = e g (v S ) f s (u S ) cos(v S ) e g (v S ) f s (u S ) sin(v S ) e g (v S ) f s (u S ) cos(v S ) e g (v S ) f s (u S ) sin(v S ) e g (v S ) f s (u S ) cos(v S ) e g (v S ) f s (u S ) sin(v S ) e g (v) S (u S ) şelinde veilsin. g (v S ) = b = sabit oldu¼gundan yüzeyin biinci temel fom atsay la ve yay elementi aşa¼g dai şeilde veili E S = e g (v S ) (( P i= i + )f s S ) F S = e g (v S ) (( P i= i + )bf S f S b S S) G S = e g (v S ) (( P i= i + )(b + )f S b S) X X ds S = e g (v S ) [(( i + )fs S )du S + (( i + )bfsf S i= i= b S S)du S dv S X +(( i + )(b + )fs b S)dvs] (.) i= E¼ge helisoidal yüzeyin (.) eşitli¼giyle veilen yay elementiyle spial yüzeyin (.) eşitli¼giyle veilen yay elementini aş laşt sa spial yüzeyin s fonsiyonu aşa¼g dai gibi elde edili. S = ( P i= i + )ab (b + ) p E ( P i= i + )b f ( P i= i + ) b (b + ) 9

87 ve X E = ( i + ) a b b + X + (( i + )b b + i= X ( i= X ( i= X i + ) b f )(( i= X i + ) b f f ( i= i + )a b + + i= i + ) b a f ) uadan, E s = e (v) g E; Fs = e (v) g F; Gs = e (v) g G di. Dolay s yla H(u; v) helisoidal yüzeyi ile S(u s ; v s ) spial yüzeyi aas nda bi loal onfomal dönüşüm elde etmiş oluuz. O halde H(u; v) = f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v (u) + av 8

88 ile bi spial yüzey S(u; v) = e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) e g (v) ( P i= i +)f +b s a ( P cos(v) i= i +)(b +) ( P i= i +)f +b s a ( P sin(v) i= i +)(b +) ( P i= i +)f +b s a ( P cos(v) i= i +)(b +) ( P i= i +)f +b s a ( P sin(v) i= i +)(b +) ( P i= i +)f +b s a ( P i= i +)(b +) cos(v) ( P i= i +)f +b s a ( P sin(v) i= i +)(b +) ; e g (v) = sabit e g (v) s loal olaa onfomaldi. Dolay s yla helisoidal yüzey üzeindei helisle spial yüzey üzeindei spiallee aş l geli. uada S (u) = ( P i= i + )ab (b + ) p A ( P i= i + )b f ( P i= i + ) b (b + ) ve X A = ( i + ) a b b + X + (( i + )b b + i= X ( i= X i + ) b f )(( X +( i= i= X i + ) b f f ( i= i + )a b + i= i + ) b a f ) di. E¼ge e g (v S ) sabit yani b = ise bu duumda S(u S ; v S ) spial yüzeyi aşa¼g dai yay 8

89 elementine sahip dönel yüzeye dönüşü X X ds S = e g (v S ) [(( i + )fs S du S + (( i + )fs)dv S] (.8) u duumda i= i= v v u ut( X u X u s = i + )fs S du S ; h S (u S ) = t ( i + )f s ; v S = v S ; al n sa, (.8) dei yay elementi i= i= ds S = e g (v S ) du S + h S(u S )dv S (.9) şeline dönüşü. Di¼ge taaftan, H(u; v) helisoidal yüzeyi üzeindei helisle u = sabit ve helislee otogonal olan e¼gile için otogonalli duumu, eşitli¼gi ile veili. uadan,! X a du + ( i + )f a dv = i= v = a ( P du + c; c = sabit i= i + )f a di. E¼ge v = v a ( P i= i + )f a du al n sa helislee di olan e¼gile v = sabit ve buadan dv = dv a ( P i= i + )f a du olu. Son eşitli¼gi H(u; v) helisoidal yüzeyinin (.) de veilen yay elementinde yeine yazasa, X ds = (( i + )f + (P i= i + )f X ( P i= i + )f a )du + (( i + )f a )dv i= i= 8

90 elde edili. E¼ge, olaa al n sa u = ve h(u) = v u ut( X i + )f + (P i= i + )f i= ( P i= i + )f a du v u X t ( i + )f a i= ds = du + h(u) dv (.) elde edili. (.9) ve (.) dei yay elementleini aş laşt l sa ve u = u s, v = v s ve h(u) = h s (u s ) al n sa v u ut( X i + )f + (P i= i + )f ( P i= i + )f a du i= = v u ut( X i + )fs i= S du S = v u ut( X i + )( df S ) du S i= ( d S du S ) du S = v u ut( X i + )( df S du ) ( du ) du S i= ( d S du ) ( du du S ) du S = v u ut( X i + )( df S du ) i= ( d S du ) du S du du S = v u ut( X i + )fs i= S du elde edili. Di¼ge taaftan v v u X u X t ( i + )f a = t ( i + )f s i= i= 8

91 eşitli¼ginde he ii taaf n u ya göe tüevi al n sa v u X t ( i + )fs = i= ( P i= i + )ff q ( P i= i + )f a bulunu. uadan v u ut( X i + )f + ( (P i= i + )f ( P i= i + )f a du = i= ( P i= i + )f + a f ( P = i= i + )f a S v u ut( X i + )fs i= S du olup S(u; v) dönel yüzeyinin S fonsiyonu aşa¼g dai gibi elde edili. S = s ( P i= i + )f + a ( P i= i + )f ( P du. i= i + )f a O halde, H(u; v) = f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v (u) + av 8

92 helisoidal yüzeyi ile S(u; v) = q e g (v) f a ( P cos(v i= i +) q e g (v) f a ( P sin(v i= i +) ( P ( P a i= i +)f a du) a i= i +)f a du) q e g (v) f a ( P a cos(v i= i +) ( P du) q i= i +)f a e g (v) f a ( P a sin(v i= i +) ( P du) q i= i +)f a e g (v) f a ( P a cos(v i= i +) ( P du) q i= i +)f a e g (v) f a ( P a sin(v i= i +) ( P du) i= i +)f a e g (v) ( P i= i +)f +( P i= i +)a f ( P du i= i +)f a dönel yüzeyi loal olaa homotetiti. uada ; e g (v) = sabit E¼ge, e g (v) = ise H(u; v) = f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v f(u) cos v f(u) sin v (u) + av 8

93 helisoidal yüzeyi ile S(u; v) = q f a ( P cos(v i= i +) q f a ( P sin(v +) i= i ( P ( P a i= i +)f a du) a i= i +)f a du) q f a ( P a cos(v i= i +) ( P du) i= i +)f a q f a ( P a sin(v i= i +) ( P du) i= i +)f a q f a ( P a cos(v i= i +) ( P du) i= i +)f a q f a ( P a sin(v i= i +) ( P du) i= i +)f a ( P i= i +)f +( P i= i +)a f ( P du i= i +)f a dönel yüzeyi loal olaa izometiti. Teoem. de özel olaa = f(u) = u al n sa E de H(u; v) = u cosh v u sinh v (u) + av helisoidal yüzeyi ile S(u; v) = e g (v) q s e g (v) u +b s a cos(v) q b + e g (v) sin(v) u +b s a b + ; b = ; spial yüzeyi loal olaa onfomaldi. Dolay s yla helisoidal yüzey üzeindei helisle spial yüzey üzeindei spiallee aş l geli. uada S (u) = ab (b ) p E b + b (b ) 8

94 ve E = a b b + b + b b a b b u b a di. Öne.. f(u) = u; (u) = u ve b = önelei aşa¼g dai gibidi. için onfomal olaa eş olan yüzey! Şeil. Timelie esenli genelleştiilmiş helisoid ve onfomal olaa eş oldu¼gu spial yüzey 8