T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HELMHOLTZ DENKLEMİ VE ONBİR KOORDİNAT SİSTEMİNDE ÇÖZÜMÜ OĞUZ BAĞRAN YÜKSEK LİSANS TEZİ
|
|
- Ebru Bayramoğlu
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HELMHOLTZ DENKLEMİ VE ONBİR KOORDİNAT SİSTEMİNDE ÇÖZÜMÜ OĞUZ BAĞRAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANA BİLİM DALI DANIŞMAN YRD. DOÇ. DR. CENGİZ DANE Edine 007
2 T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HELMHOLTZ DENKLEMİ VE ONBİR KOORDİNAT SİSTEMİNDE ÇÖZÜMÜ OĞUZ BAĞRAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANA BİLİM DALI Bu Tez / / 007 Taihinde Aşağıdaki Jüi Taafından Kabul Edilmişti. Yd. Doç. D. Cengiz DANE AKBAŞ (Danışman) Pof. D. Hasan (Üye) Pof. D. Hülya İŞCAN (Üye)
3 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET....i SUMMARY....ii ÖNSÖZ.. iii I. BÖLÜM. Giiş..... Eğisel Koodinatla...3. Otagonal Koodinat Sistemlei Gadyent, Divejans, Rotasyonel ve Laplasyenin Otagonal Eğisel Koodinatladaki İfadelei.9 II. BÖLÜM.. Katezyen koodinatla.... Daiesel Silindiik Koodinatla 5.3 Eliptik Silindiik Koodinatla Paabolik Silindiik Koodinatla...5 Küesel Koodinatla..5.6 Polate Küesel Koodinatla..8.7 Oblate Küesel Koodinatla Paabolik Koodinatla Konikal Koodinatla Elipsoidal Koodinatla Paabolidial Koodinatla...63 III. BÖLÜM 3.. Helmholtz Denklemi Basit Ayıştıma ve Stackel Matis...63
4 IV. BÖLÜM Helmholtz Difeansiyel Denkleminin 4.. Katezyen koodinatlada çözümü Daiesel Silindiik Koodinatlada çözümü Eliptik Silindiik Koodinatlada çözümü Paabolik Silindiik Koodinatlada çözümü Küesel Koodinatlada çözümü Polate Küesel Koodinatlada çözümü Oblate Küesel Koodinatlada çözümü Paabolik Koodinatlada çözümü Konikal Koodinatlada çözümü Elipsoidal Koodinatlada çözümü Paaboloidal Koodinatlada çözümü.. 95 TARTIŞMA...97 SİMGELER DİZİNİ.98 KAYNAKLAR...99 ÖZGEÇMİŞ..0
5 i ÖZET Doğadaki olaylaı açıklamak için en etkin ve sistematik yol Difeansiyel Denklem dilini kullanmaktı. Fizik, Kimya, Biyoloji, Astoloji, Mühendislik, Ekonomi ve diğe pek çok Uygulamalı Bilimle, Difeansiyel Denklemlein önemli uygulama alanlaıdı. Bunun dışında, matematiğin kendi içinde de difeansiyel denklemlein önemli bi yei vadı. Difeansiyel Denklemle ve koodinat sistemlei bibilei ile yakından ilişkilidile. Özellikle denklemlein çözümleinin bulunması denklemlein koodinat sistemleinde uygun ifade edilmeleine bağlıdı. Çalışmanın I. Bölümünde Eğisel Koodinatla ve Otogonal Koodinat Sistemlei hakkında genel kavamla ile Gadyent, Divejans, Rotasyonel ve Laplasyen ifadelei veilmişti. II. Bölümde Özel Otogonal Koodinat Sistemlei tanıtılaak özelliklei idelenmişti. III. Bölümde Helmholtz Denklemi tanıtılmış, Stackel Matis ve Helmholtz Denkleminin Basit Ayıştıması idelenmişti. IV. Bölümde Helmholtz Denkleminin Özel Koodinat Sistemleinde Çözümü veilmişti. Anahta Kelimele: Eğisel Koodinatla, Helmholtz Denklemi, Ayıştıma.
6 ii SUMMARY In ode to explain the events in the natue, the most effective and systematic way is to use the language of Diffeential Equation. Physics, Chemisty, Biology, Astnomy, Engineeing, Economics and many othe pactical Applied Sciences ae the impotant fields fo application of Diffeential Equation. A pat fom these, diffeential equation have an impotant place in mathematics itself. Diffeential Equations and coodinate systems ae closely elated to each othe. Especialy, finding the solutions of equations depens on the appopiate expession of the equations in coodinate systems. In the fist chapte of this study, the geneal concepts about Cuvilinea Coodinates ant Othogonal Coodinate Sysstems ae given and the tems Gadient, Divegence, Rotational and Laplacian ae detemined. In the second chapte, Special Othogonal Coodinate Systems ae given and thei chaacteistics ae studied. In the thid chapte, Helmholtz Equations is given and the Basic Sepaation of Helmholtz Equations and Stackel Matix ae studied. In the fouth chapte, The Solution of the Helmholtz Equation in Special Coodinate Systems ae given. Key wods: Cuvilinea Coodinates, Helmholtz Equation, Sepaation.
7 iii ÖNSÖZ Tez çalışmam boyunca he tülü yadımlaını esigemeyen ve çalışmamın otaya çıkmasında emeği geçen hocam Yd. Doç. D. Cengiz DANE ye teşekküleimi sunaım. Hem yadımlaı hem de manevi desteğiyle yanımda olan başta Pof. D. Hülya İŞCAN olmak üzee tüm Matematik Bölümüne şükanlaımı sunaım. En başından bei beni destekleyen ve daima yanımda olan sevgili eşime ve aileme en içten teşekküleimi sunaım.
8 I.BÖLÜM. GİRİŞ Matematik doğayı anlama ve anlatmada çok yaalı bi dildi. Öneğin bugün insanlaın gözleinin ve saçlaının engi gibi somut özellikleinin incelenmesi, gök cisimleinin haeketleinden atom altı paçacıklaının haeketleinin açıklaması gibi olayla ve kavamla matematik dili ile ifade edilile. Doğa ile matematik aasındaki ilişkiyi açıklamak doğadaki düzenin bilinmesi ve bu düzenin nasıl çalıştığının anlaşılması veya doğa sisteminin matematiksel olaak modellenmesi açısından önemlidi. Matematiksel model söz konusu olduğunda genellikle difeansiyel denklem veya difeansiyel denklem sistemlei ile kaşılaşıız. Matematiksel modellele fomüle edilen ve difeansiyel denklemlee dönüştüülebilen olaylaın analizi genellikle bu difeansiyel denklemlein çözümü olan fonksiyonlaın incelenmesi ile yapılı. Difeansiyel denklemlein matematiksel ifadelei denklemlein kaakteize edildiği koodinat sistemlei ile yakından ilgilidi. Bi denklem bi koodinat sisteminde uzun ve kamaşık matematik ifadelele belitildiği halde, uygun bi koodinat sisteminde aynı denklem daha özlü bi biçimde ifade edilebili ve çözümlei tam olaak elde edili. Fizik, Mühendislik ve Uygulamalı Bilimlede sıkça kaşılaştığımız denklemleden Laplace, Poisson, Difizyon ve Dalga Denklemlei gibi denklemle benze kaaktee sahip denklemledi. Bu denklemle Helmholtz Denklemi olaak bilinen ve çözümleini inceleyebildiğimiz bi özel denkleme dönüştüülebilen denklemledi. φ+ k φ 0 Helmholtz Denkleminin çeşitli koodinat sistemleinde yapılan çözümlei, yukaıda belitilen denklemlein çözümleinin bulunması ve bu çözümlein analizi açısından önemlidi. Bu çalışmada on bi koodinat sistemi incelenmiş ve bu sistemlede Helmholtz Difeansiyel Denkleminin ayıştıması yapılaak çözümlei bulunmuştu.
9 KOORDİNAT SİSTEMLERİ..Eğisel Koodinatla ( x,y,z ) Bi noktanın koodinatlaı olmak üzee, f( x,y,z ), f( x,y,z ), f3( x,y,z ) veilmiş bölgede x,y,z nin süekli fonksiyonlaı olsun. ( ) ( ) ( ) (.. ) u f x, y,z, u f x,y,z, u f x,y,z 3 3 denklemlei de x,y,z ye göe çözüleek ( ) ( ) ( ) x g u,u,u, y g u,u,u, z g u,u,u (.. ) 3 yazılabilsin. Ayıca g,g,g 3 fonksiyonlaı da zaman bölge içindeki koodinatlaı ( ) 3 u,u,u ün fonksiyonlaı olsun. O 3 x, y,z olan he P noktasına bi ( u,u,u ) değe takımı kaşılık geli. Bu u,u,u 3 fonksiyonlaına P noktasının eğisel koodinatlaı, (.. ) ve (.. ) denklemleine koodinat dönüşümü denklemlei deni. He ( ) 3 x, y,z değe takımına tek bi ( ) u,u,u değe takımı veya he 3 ( u,u,u ) değe takımına tek bi ( x, y,z ) değe takımı kaşı gelmesi için 3 u,u,u ü x,y,z nin süekli ve tüevi alınabilen fonksiyonlaı, x,y,z yi de 3 u,u,u ün süekli ve tüevi alınabilen fonksiyonlaı olaak kabul ediyouz. Bununla beabe biçok hallede bu koşullaın sağlanmadığı özel noktala da bulunu. He P noktasından koodinat yüzeylei denilen u c, u c u c (..3 ) 3 3 yüzeylei geçe. Buada c,c,c 3 bie sabiti göstemektedi. Bu üç yüzey ikişe ikişe koodinat eğilei denilen üç eği boyunca kesişile. Şekil (.. ) ve Şekil (.. ) He koodinat yüzeyi üzeinde bi koodinat sabit, diğe ikisi değişkendi. Öneğin u c yüzeyi üzeinde he yede u, sabit c değeine eşit olduğu halde u ile 3 u noktadan noktaya değişik değele alı. Bi yüzey sabit olan koodinatın adı ile adlandıılı.
10 3 Şekil (.. ) Şekil (.. ) Başlangıç noktasını değişken ( ) ye vektöü (.. ) bağıntılaı yadımı ile P x,y,z noktasına bileştien xi+ yj+ zk 3 u,u,u değişkenleinin fonksiyonu olaak u,u,u 3 ( ) (..4 ) şeklinde yazılı. fonksiyonun P noktası u e göe kısmi tüevi, u eğisi üzeinde değiştiileek elde edili. teğet olan bi vektödü. Buna göe vektöü e ile gösteilise, u ve u, 3 u sabit tutulaak, yani u eğisine P noktasında u in P noktasındaki teğeti doğultusundaki biim e u u (..5 ) olu. Eğe u h (..6 ) ile gösteilise he u (..7 )
11 4 elde edili. Benze şekilde e ile e3 sıası ile u ve 3 u eğileinin P noktasındaki teğetlei yönündeki biim vektölei gösteise u h 3 u h 3 (..8 ) olmak üzee u he he 3 3 u 3 (..0 ) biim şeklinde yazılı. h, h, h 3 büyüklei metik katsayıla olaak adlandıılı. e,e,e 3 vektöleinin yönlei sıası ile atan u u, P noktasında 3 u,u,u yönleindedi. Sekil(.) u c yüzeyinin nomali doğultusunda bi vektödü. u c yüzeyi nomali doğultusundaki biim vektöünü E u ile gösteisek, u u u E u u (.. ) yazılabili. Benze şekilde u c ve doğultusundaki biim vektölei E u ve E u 3 u u u u u 3 u E u ve E3 3 u u yazılı. Geek e,e,e 3 ile gösteilise 3 u c 3 yüzeyleinin nomallei u (.. ) u u u biim vektöleinin, geekse E,E,E 3 biim vektöleinin yönlei bu vektö takımlaı bi sağ el vektö sistemi meydana getiecek şekilde seçili. 3 Eğisel sistemin he keyfi P noktasında, u,u,u koodinat eğileinin teğetlei yönünde olan ( e,e,e 3 ) diğei 3 u c, u c u c3 koodinat u u u yüzeyleinin nomallei yönünde olan ( E,E,E 3 ) gibi iki sağ el biim vektö takımı u u u vadı. Genel olaak ( e,e,e 3 ) ile ( E,E,E 3) vektö takımlaı bibiinden faklıdı. Ancak eğisel koodinat sistemi otogonal olusa bu iki vektö takımı özdeş olu. He keyfi A u vektöü a,a,a3veya A,A,A 3 bileşenlei olmak üzee u A a e+ a e + a e3 3 (..3 )
12 5 u u u u A AE+ AE + A3E3 (..4 ) u u u şeklinde ( e,e,e 3 ) veya ( E,E,E 3) baz vektölei cinsinden yazılabili. u u u ( e,e,e 3 ) ve ( E,E,E 3) vektö takımlaı ayı ayı üç boyutlu uzayın genel olaak bibiinden faklı iki bazını oluştuula. veya Keyfi bi A u vektöünü genel olaak büyüklüklei biim olmayan,, u u u 3 uu uu uu.u,.u,.u 3 (..5 ) (..6 ) baz vektölei cinsinden yazmak mümkündü. (..5 ) ve (..6 ) baz vektöleine ünite baz vektölei deni. Bu baz vektölei cinsinden A u vektöü u uu uu uu A c + c + c 3 c 3 α + cα + c3α3 u u u u uu uu uu uu uu uu 3 A C.u + C.u + C.u C β + C β + C β şeklinde yazılabili. Buada uu uu uu α α α 3 3 u u u uu uu uu uu uu uu β.u, β.u, β.u 3 3 (..7 ) (..8 ) (..9 ) (..0 ) dı. C,C,C 3 bileşenleine A u vektöünün kovayant, c,c,c 3 bileşenleine de A u vektöünün kontavayant bileşenlei deni. Katezyen koodinatlada yay uzunluğunun denklemini; ds dx + dy + dz (.. ) şeklinde ifade edili. Eğisel koodinatlada d için difeansiyel tanımından, d du + du + du α.du + α.du + α.du u u u (.. ) elde edili. d nin bu değeini (.. ) de yeine yazılısa;
13 6 ds elde edili. Buada u u g α i. α j ij 3 3 i j gijdu du i j (..3 ) di. g ij ye metik katsayılaı deni. g ij g ji di. Yani bağıntısı, temel kuadatik fom veya metik fom olaak adlandıılı. Eğe i ile j otogonaldi. Otogonal koodinat sistemlei için, (..4 ) g ij simetikti. (..4 ) nin faklı değelei çin g ij 0 ise o zaman koodinat sistemi x y y gii h i i + + i (..5 ) u u ui ui ui di. Buada i,,3 değelei için ayı ayı üç denklem elde edili. Bu bağıntı h,h,h 3 metik katsayılaının hesaplanmasında kullanılı.
14 7.3. Otogonal Koodinat Sistemlei.4. Eğe koodinat eğilei he P( x,y,z ) noktasında bibiine dik ise u,u,u 3 eğisel koodinatlaı otogonaldi deni. e,e,e 3 (..5 ) de tanımlanan biim vektöle ve 3 s,s,s;u,u 3,u ün pozitif yönünde koodinat eğilei boyunca ölçülen yay uzunluklaını göstemek üzee ds ds ds ds + + (.3. ) 3 şeklinde yazılı. Bu ifade h,h,h 3 metik katsayılaı cinsinden ( ) ( ) ( ) ds h du h du h du + + (.3. ) 3 3 şeklinde yazılı. Ayıca dik koodinat sistemlei için, J 3 u u u x 3 u u u he. ( he xhe 3 3 ) hhh.e exe 3 3 hhh 3 ( ) di. uu (.u, uu.u, uu.u 3) vektö takımı,, 3 u u u sistemle olduğundan otogonal koodinat sistemlei için u u e u x 3 J u u hhh3 h uu u uu u e u x h 3 3e3x he J u u hhh 3 h (.3.3 ) vektö takımı ile tes (.3.4 ) (.3.5) dı. uu u u uu e u x h e x h e 3 3 J u u hhh 3 h3 (.3.6 )
15 8 Bu bağıntıla kullanılaak e,e,e 3 vektölei için, u uu 3 e hh 3.u xu uu uu 3 e h3h.u xu uu uu e h h.u xu 3 bağıntılaı bulunu. (.3.7 )
16 9.4. Gadyent, Divejans, Rotasyonel Laplasyen in Otogonal Eğisel Koodinatladaki İfadelei Bi f skale fonksiyonun Gadyenti bi vektödü. Gadyent vektöünün e,e,e ) bazındaki bileşenlei f,f,f 3 ise uu.f f e+ f e + f e 3 ( 3 3 (.4. ) şeklinde ifade edili. 3 f,f,f 3 bileşenlei nin eğisel koodinatla cinsinden ifadesi ; u,u,u ün fonksiyonu olmak üzee u uu uu d du + du + du hedu + hedu + h3e3du u u u dı. Ayıca df uu.f.d bağıntısından (.4.) ve (.4. ) bağıntılaını kullanaak df h f du h f du h f du (.4. ) (.4.3 ) + + (.4.4 ) elde edili. Diğe taaftan f fonksiyonu ( u,u,u) 3 eğisel koodinatlaının bi skale fonksiyonu olduğu dikkate alınaak df du + du + du 3 u u u 3 yazılı. (.3.4 ),(.3.5 ),(.3.6 ) ve (.4.5 ) bağıntılaından f fi i,,3 i h u i elde edili. Bu değele (.3. ) bağıntısında yeine konulusa f in gadyenti uu e f e f e f.f + + h u h u h u (.4.5 ) (.4.6 ) (.4.7 ) şeklinde elde edili. Buada u işlemcisinin dik eğisel koodinatladaki ifadesi u e e e h u h u h u olaak bulunu. 3 (.4.8 )
17 0 Eğisel koodinatladaki bileşenlei A,A,A 3 olan u A A e+ A e + A e3 3 vektö fonksiyonunun divejansını hesaplamak için (.4.7 ) bağıntısını kullanaak den u u f A e + A e + A e ( 3) u hhh 3 u u hhh 3 u u hhh u ( Ae) ( Ahh ) 3 ( Ae) ( Ahh) 3 ( Ae3) ( Ahh) bulunu. A A A3 özel değele için (.4. ) bağıntılaı u e ( h h ) 3 hhh 3 u u e ( h h ) 3 hhh 3 u u e ( h h ) 3 3 hhh 3 u (.4.9 ) (.4.0 ) (.4. ) (.4. ) şeklini alı. Böylece keyfi bi A u vektöünün eğisel koodinatladaki divejansı u u A ( Ah 3h) ( Ah3h) 3 ( A3hh) hhh u u u (.4.3 ) fomunda elde edili. Benze şekilde keyfi bi A u vektöünün otastyoneli için (.3.4 ),(.3.5 ),( ).3.6 bağıntılaından u e e3 x( A e ) ( A h ) + ( A h ) 3 hh 3 u hh u u u e3 e x A e A h A h 3 hh u hh 3 u u e e x A e 3 3 A h A h hh u hh u 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 (.4.4 ) elde edili. Bu bağıntıladan yaalanaak A u vektöünün dik eğisel koodinatladaki otasyoneli;
18 u u e e xa Ah Ah Ah Ah hh + u u hh u u ( 3 3) ( ) ( ) ( 3 3) (.4.5 ) e3 ( Ah ) ( Ah) hh u u olaak bulunu. (.4.5 ) ifadesini; he he he u u xa hhh 3 3 u u u Ah Ah Ah (.4.6 ) şeklinde de yazabiliiz. (.4.8 ) bağıntısından yaalanılaak f skale fonksiyonunun otogonal eğisel koodinatladaki Laplasyeninin ifadesi; hh 3 f hh 3 f hh f f hhh3 u h u u h u u h3 u olaak bulunu. Bu koodinat sisteminde hacim elemanı; dv Yüzey elemanı; ds olaak bulunu. (.4.7 ) 3 hhh3du du du (.4.8 ) hhdu du (.4.9 )
19 II.BÖLÜM ÖZEL ORTOGONAL KOORDİNAT SİSTEMLERİ Uzay değişik amaçla için faklı şekilde koodinatlandıılabili. Katezyen koodinat sistemi genel olaak matematiğin bi çok dalında kullanılmakla bilikte bazı matematiksel denklemlein sade ve basit biçimde ifadelei bu sistemde yazılamayabili. Başka bi deyişle katezyen koodinat sistemindeki bazı büyüklüklein hesaplanması başka koodinat sistemleinde daha sade biçimde yazılabili. Fizik veya Mühendislik alanlaında kullanılan denklemlein çözümlei için Katezyen koodinatla yeteli olmayabili. Faklı koodinat sistemlei bilim alanında ilelemeyi hızlandıan en önemli etkenleden biidi. Bu bölümde on bi koodinat sistemi inceleneek bazı özelliklei veilmişti... Katezyen koodinatla Katezyen koodinatla; u x x < <+ u y y < <+ 3 u z z < <+ Şekil (..) (.. )
20 3 şeklinde ifade edili. Katezyen koodinat sisteminde hehangi bi P( x, y,z ) noktasının ye vektöü, xi+ yj+ zk olaak yazılı. Metik katsayıla; (..3 ), (..4 ), ( )..5 bağıntılaından, i h h h3 g ij δ j.h ij i,j,,3 x y z (.. ) (..3 ) dı. g ij matisi ve bu matisin deteminantı; det g gij 0 0, ij şeklindedi. Bu koodinat sisteminde, Yay elemanı; (..5 ) ( ds) ( dx) + ( dy) + ( dz) (..6 ) Hacim elemanı; dv Alan elemanı; da u opeatöü; dxdydz (..7 ) dxdy (..8 ) u i+ j+ k x y z şeklinde veili. ( ) (..9 ) f f x,y,z bi skale fonksiyon ve E u de katezyen koodinatladaki skale bileşenlei E,E,E x y z olan bi vektö olmak üzee
21 4 f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u f f f gadf.f i + j+ k x y z E u vektöünün Divejansı; u u u dive.e E E E x y z x y + + z (..0 ) (.. ) E u vektöünün Rotasyoneli; i j k u u u RotE xe x y z E E E x y z (.. ) f fonksiyonunun Laplasyeni; f f f x y z f + + olaak ifade edili. (..3 )
22 5.. Daiesel Silindiik Koodinatla Şekil (..) P( x,y,z ) noktasının xy düzlemindeki izdüşümü P' olsun. u u u 3 ρ ϕ z 0 ρ< 0 ϕ< < z < (.. ) koodinatlaına P noktasının silindiik koodinatlaı deni. Katezyen koodinatla silindiik koodinatlaa, x ρcosϕ yρsinϕ (.. ) z z bağıntılaı ile bağlıdı. Bu koodinatlala Katezyen Koodinatla aasında ρ x + y, ϕ actan, z z x bağıntılaı vadı. y (..3 )
23 6 P x,y,z noktasının xi + yj+ zk ye vektöünün silindiik koodinatladaki ( ) ifadesi, ρcosϕ i +ρ.sinϕ j+ zk (..4 ) ise; bu koodinat sisteminde metik katsayıla ve ρ, ϕ,z nin atan yöndeki biim vektölei h h ρ h3 ρ ϕ z (..5 ) ve di. e eρ cosϕ i+ sinϕj e eϕ sinϕ i+ cosϕj e3 ez k (..6 ) Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde, g g, g ve g g g g g g 0 ρ (..7 ) dı. g ij matisi ve bu matisin deteminantı; 0 0 g ij 0 0 ρ 0 0 olaak bulunu. det g ρ, ij (..8 ) Silindiik koodinat sisteminde Yay elmanı; ( ) ( ) ds d +ρ ( dψ ) + ( dz) (..9 ) Hacim elemanı; dv Alan elemanı; ρρϕ d d dz (..0 ) da ρ.d ρ.dϕ (.. )
24 7 u opeatöü; u eρ + eϕ + e ρ ρ ϕ z şeklindedi. bileşenlei z (.. ) f f ( ρ, ϕ,z) bi skale fonksiyon ve E u de silindiik koodinatladaki skale E,E,E ρ ϕ z olan bi vektö olmak üzee f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u f f f gadf.f eρ + eϕ + e ρ ρ ϕ z E u vektöünün Divejansı; u u u Eρ Eρ Eϕ E.E dive z ρ ρ ρ ϕ z E u vektöünün Rotasyoneli; e ρ ρ.eϕ ez u u u ote xe ρ ρ ϕ z E ρ.e E ρ ϕ z z (..3 ) (..4 ) (..5 ) f fonksiyonunun Laplasyeni; f f f f ρ ρ ρ ρ ϕ z φ olaak elde edili. (..6 )
25 8.3. Eliptik Silindiik Koodinatla Şekil (.3.) u u u 3 η ψ z 0 η < 0 ψ < π 0 z<+ (.3. ) koodinatlaına Eliptik Silindiik koodinatlaı deni. Katezyen koodinatla Eliptik Silindiik koodinatlaa a R elipsin odak uzunluğu olmak üzee x acoshη cosψ y asinhη sinψ z z bağıntılaı ile bağlıdı. (.3. )
26 9 Bu koodinatlala Katezyen koodinatla aasında x y + a coshη a sinhη y y + acosψ asinψ z z bağıntılaı vadı. (.3.3 ) P noktasının xi + y j+ zk ye vektöünün Eliptik Silindiik koodinatladaki ifadesi a coshηcosψi + a sinhηsinψ j+ zk (.3.4 ) ise; metik katsayıla ve η, ψ,z nin atan yöndeki biim vektölei; ( ) h a cosh η cos ψ, h a ( cosh η cos ψ), h 3 η ψ z (.3.5 ) ve di. e e sinhη cosψi + coshηsinψ j e η e3 ez k ( cosh η cos ψ) sinhη cosψi + coshηsinψ j eψ ( cosh η cos ψ) (.3.6 ) Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde ( η ψ) g g a cosh cos g, 33 g g g g g g (.3.7 ) dı. g ij matisi ve bu matisin deteminantı; ( η ψ) a cosh cos 0 0 g ij 0 a ( cosh η cos ψ) 0 0 0, (.3.8 )
27 0 ( η ψ ) ij (.3.9 ) det g a cosh cos olaak bulunu. Bu koodinat sisteminde Yay elemanı; ( ds) a ( cosh η cos ψ) ( dη ) + ( dψ ) + ( dz) Hacim elemanı; Alan elemanı; u opeatöü; ( ) dv a cosh cos d d dz (.3.0 ) η ψ η ψ (.3. ) η ψ η ψ η ψ 4 da a cosh cos cosh cos d d (.3. ) u e e e η + ψ + η ψ ψ a cosh cos a cosh cos ( η ψ) ( η ψ) şeklindedi. ( ηψ ) ψ (.3.3 ) f f,,z bi skale fonksiyon ve E u eliptik silindiik koodinatladaki skale bileşenlei f fonksiyonunun gadyenti; E,E,E η ψ z olan bi vektö olmak üzee uuuu u f f f gadf.f e e e η + ψ + η ψ z a cosh ( η cos ψ) z (.3.4 ) E u vektöünün Divejansı; u u u dive.e ( cosh η cos ψ) + Eη η a cosh η cos ψ E z + ( cosh η cos ψ) + Eψ + ψ z (.3.5 )
28 E u vektöünün Rotasyoneli; u ote ( cosh η cos ψ) f fonksiyonunun Laplasyeni cosh η cos ψ a e cosh η cos ψ e e a η ψ z η ψ z ψ z ( η ψ) ψ( η ψ) E cosh cos E cosh cos η E a d f d f d f φ + + a cosh olaak elde edili. η cos ψ dη dψ dz (.3.7 )
29 .4. Paabolik Silindiik Koodinatla u u u 3 µ ν z 0 µ <+ < ν < + < z < + Şekil (.4.) (.4. ) koodinatlaına Paabolik Silindiik Koodinatla deni. Katezyen koodinatla Paabolik Silindiik koodinatlaa x y µν z z ( µ ν ) bağıntılaı ile bağlıdı. Bu koodinatlala katezyen koodinatla aasında x y z z ( x) ( ν x) µ µ ν + (.4. ) (.4.3 )
30 3 bağıntılaı vadı. P(x,y,z) noktasının xi + yj+ zk ye vektöünün paabolik silindiik koodinatladaki ifadesi ( ) i j zk µ ν + µν + ise; metik katsayıla ve µ, ν,z nin atan yöndeki biim vektölei (.4.4 ) ( ) h µ + ν h ( µ + ν ) h 3 η ψ z (.4.5 ) ve di. e e eµ eν e3 ez k µ.i + ν j ( µ + ν ) ν.i + µ.j ( µ + ν ) (.4.6 ) Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde g g µ + ν, g 33 g g g g g g (.4.7 ) bulunu. g ij matisi ve bu matisin deteminantı; µ + ν 0 0 g ij 0 µ + ν 0, 0 0 dı. Bu koodinat sisteminde, Yay elemanı; ( ds) ( µ + ν ) ( dµ ) + ( dν) + ( dz) Hacim elemanı; ij + (.4.8 ) det g µ ν (.4.9 )
31 4 Alan elemanı; u opeatöü; dı. ( ) dv µ + ν dµ dνdz (.4.0 ) ( ) da µ + ν dµ dν (.4. ) u e + e + e z µ ν µ ν ( µ + ν ) ( µ + ν ) ( µν ) z (.4. ) f f,,z bi skale fonksiyon ve E u paabolik silindiik koodinatladaki skale bileşenlei E µ,e ν,ez bi vektö olmak üzee f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u ( ) f f f gadf f µ + ν eµ + eν + e µ ν z z (.4.3 ) E u vektöünün Divejansı; u u u E dive E + E E µ ν z z ( µ ν ) ( µ ν ) µ ( µ ν ) ν ( ) E u vektöünün Rotasyoneli; u ote µ +ν ( ) e e e µ ν ( µ +ν ) ( µ +ν ) µ ν z µ ν ( µ +ν ) ( µ +ν ) E E E z z (.4.5 ) f fonksiyonunun Laplasyeni ; µ + ν µ ν z f f f f + + olaak elde edili. (.4.6 )
32 5.5. Küesel Koodinatla Şekil (.5.) Bi P( x, y,z ) noktasının küesel koodinatlaı, ; P noktasının başlangıç uuu noktasına uzaklığı. θ ; OP vektöünün Z ekseni ile yaptığı açı, ψ ; vektöünün XY düzlemi üzeindeki izdüşümünün ox ekseni ile yaptığı açı olmak üzee; u u u 3 θ ψ 0 < 0 θ < π 0 ψ < π (.5. ) koodinatlaına küesel koodinatla deni. Katezyen koodinatla küesel koodinatlaa x sinθ cosψ y sinθ sinψ z cosθ bağıntılaı ile bağlıdı. Bu koodinatlala katezyen koodinatla aasında, (.5. )
33 6 P( ) ( ) x + y x + y + z tan θ z bağıntılaı vadı. x,y,z noktasının xi + yj+ zk üzeindeki ifadesi; sin θcosψ i + sin θsin ψ j+ cos θk tan y x ψ (.5.3 ) ye vektöünün küesel koodinatla (.4.4 ) ise; metik katsayıla ve, θψ, nin atan yöndeki biim vektölei h h h3.sinθ ρ ϕ z (.5.5 ) ve e e sinθ cosψi + sinθsinψ j+ cosθk e eθ cos cos i + cos sin j sin k θ ψ θ ψ θ θ ψ θ ψ e3 eψ sin sin i+ sin cos j (.5.6 ) di. Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde g g g g g g g g g 0 (.5.7 ) olaak bulunu. g ij matisi ve bu matisin deteminantı; 0 0 g ij 0 0, det g ij 0 0 dı. Bu koodinat sisteminde, Yay elemanı; (.5.8 ) ( ) ( ) ( ) ds d + dθ +.sin θ( dψ) (.5.9 ) Hacim elmanı; dv sinθddθdψ (.5.0 )
34 7 Alan elemanı; da ddθdψ (.5. ) u opeatöü; u + + θ.sinθ ψ e eθ eψ (.5. ) f f(, θ, ψ ) bi skale fonksiyon ve E u de küesel koodinatladaki skale bileşenlei E,E,E θ ψ bi vektö olmak üzee f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u f f f θ sinθ ψ gadf.f e + eθ + ez E u vektöünün Divejansı; u u u E E cotθ Eψ θ sinθ ψ θ dive.e E Eθ E u vektöünün Rotasyoneli; u u u RotE xe sin e eθ eψsin θ θ ψ E E E sinθ θ ψ θ (.5.3 ) (.5.4 ) (.5.5 ) f fonksiyonunun Laplasyeni f f f cotθ f f θ θ sin θ ψ f olaak ifade edili. (.5.6 )
35 8.6. Polate Küesel Koodinatla Şekil (.6.) u u u 3 η θ ψ 0 η < 0 θ π 0 ψ < π (.6. ) koodinatlaına Polate Küesel Koodinatla deni. Katezyen koodinatla polate küesel koodinatlaa a R elipsin odak uzunluğu olmak üzee; x a sinhη sinθ cosψ y a sinhη sinθsinψ z a coshηcosθ (.6. ) bağıntılaı ile bağlıdı.
36 9 Bu koodinatlala katezyen koodinatla aasında x y z + + a sinh η a sinh η a cosh η x y z + a sin θ a sin θ a cos θ bağıntılaı vadı. P(x,y,z) noktasının xi + y j+ zk (.6.3 ) ye vektöünün polate koodinatladaki ifadesi, a sinhη sinθ cosψ i + a sinhη sinθ sinψ j+ a coshη cosθ k (.6.4 ) ise metik katsayıla ve η, θψ, nin atan yöndeki biim vektölei 3 ( θ θ ) ( ) θ θ η θ ( ) h a sinh + sin h a sinh + sin h a sinh sin.6.7 η ψ z ve coshη sinθcosψi + coshηsinθsinψ j+ sinhηcosθk e eη e e3 eψ sinψi+ cosψ j ( sinh θ + sin θ) sinhη cosθcosψi + sinhηcosθsinψ j coshηsinθk eθ ( sinh θ + sin θ) (.6.5 ) di. Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile, ( ) g g a sinh θ+ sin θ g a sinh ηsin θ 33 g g g g g g (.6.8 ) bulunu. g ij matisi ve bu matisin deteminantı; ( θ + θ) a sinh sin 0 0 g ij 0 a ( sinh θ sin θ) a sinh η sin θ ( ) η + θ η θ 3 det gij a sinh sin sinh.sin, (.6.9 )
37 30 olaak bulunu. Bu koodinat sisteminde; Yay elemanı; ( ds) a ( sinh θ+ sin θ) ( dη ) + ( dθ ) + a sinh ηsin θ( dψ) Hacim elmanı; Alan elemanı; ( ) (.6.0 ) dv a sinh sin a sinh sin d d d θ + θ η θ η θ ψ (.6. ) ( ) da a sinh sin d d θ + θ η θ (.6. ) u opeatöü; u e η + e η θ a ( sinh θ + sin θ) a ( sinh θ + sin θ) + eψ a sinhηsinθ ψ şeklindedi. ( η θ ψ ) θ (.6.3 ) f f,, bi skale fonksiyon ve E u paabolik küesel koodinatladaki skale bileşenlei E,E,E η θ ψ bi vektö olmak üzee, f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u f f f gadf f e + e + e η θ a sinhηsinθ ψ a sinh ( ) θ + sin θ E u vektöünün Divejansı; u u u dive.e a sinh ( η + sin θ ) η θ ψ ( sinh η+ sin θ) ( ) sinhηeη+ sinh θ + sin θ sinθeθ sinhη η sinθ θ Eψ + a sinhηsinθ ψ (.6.4 ) (.6.5 )
38 3 E u vektöünün Rotasyoneli; RotE u u xe u a ( sinh θ + sin θ) sinh η sin θ sinh θ sin θ e sinh θ sin θ e sinhηsinθe η θ ψ ( + ) ( + ) η θ ψ η θ ψ ( ) ( ) E sinh η + sin θ E sinh η+ sin θ E sinhη sinθ (.6.6 ) f fonksiyonunun Laplasyeni ; a sinh + sin η η θ θ f f f f f cothη cotθ ( θ θ) f + a sinh θ + sin θ ψ olaak ifade edili. (.6.7 )
39 3.7. Oblate Küesel Koodinatla Şekil (.7.) u u u 3 η θ ψ 0 η < 0 θ π 0 ψ < π (.7. ) koodinatlaına Oblate Küesel Koodinatla deni. Katezyen koodinatla oblate küesel koodinatlaa, a R elipsin odak uzunluğu olmak üzee; x a coshη sinθ cosψ y a coshη sinθ sinψ z asinhηcosθ (.7. ) bağıntılaı ile bağlıdı.
40 33 Bu koodinatlala katezyen koodinatla aasında, x y z + + a cosh η a cosh η a sinh η x y z + a sin θ a sin θ a cos θ bağıntılaı vadı. P(x,y,z) noktasının xi + y j+ zk (.7.3 ) ye vektöünün Oblate Küesel Koodinatladaki ifadesi a coshη sinθ cosψ i + a coshη sinθ sinψ j+ a sinhη cosθ (.7.4 ) ise; metik katsayıla ve η, θψ, nin atan yöndeki biim vektölei, h a(cosh η sin θ), h a(cosh η sin θ), h3 a cosh η.sinθ.7.5 η θ ψ ve sinhη sinθcosψi + sinhηsinθsinψ j+ sinhηcosθk e eη (cosh η sin θ) coshη cosθ cosψi + coshηcosθsinψ j sinhηsinθ e eθ (cosh η sin θ) ψ ψ e3 eψ sin i+ cos j (.7.6 ) ( ) di. Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde, ( ) g g a sinh sin θ+ θ 33 η θ (.7.7 ) g a sinh sin ve g ij matisi ve bu matisin deteminantı; a (cosh η sin θ) 0 0 g ij 0 a (cosh η sin θ) a cosh η sin θ 3 det g ij a ( sinh η+ sin θ) sinhηsinθ olaak bulunu., (.7.8 )
41 34 Bu koodinat sisteminde, Yay elemanı; (ds) a (cosh η sin θ)[(d η ) + (d θ ) ] + a cosh ηsin θ(d ψ ) (.7.9 ) Hacim elmanı; Alan elemanı; u opeatöü; 3 dv a (cosh sin )cosh sin d d d η θ η θ η θ ψ (.7.0 ) da a (cosh sin )d d η θ η θ (.7. ) u e η + e η θ a(cosh η sin θ) a(cosh η sin θ) + eψ acoshηsinθ ψ şeklinde veili. ( η θ ψ ) θ (.7. ) f f,, ve E u Obleyt Küesel koodinatladaki skale bileşenlei E,E,E η θ ψ bi vektö olmak üzee, f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u f f f gadf.f [ e e ] e η + θ + ψ η θ acoshηsinθ ψ a[(cosh η sin θ)] (.7.3 ) E u vektöünün Divejansı; u u u dive E a(cosh sin η θ ) ( cosh η sin θ) coshηeη+ ( cosh η sin θ) sinθeθ coshη η sinθ θ Eψ + acoshηsinθ ψ (.7.4)
42 35 E u vektöünün Rotasyoneli; u η θ η θ ote a(cosh sin )cosh sin (cosh sin ) e a (cosh sin ) e cosh sin e η θ η θ η θ θ η θ ψ η θ ψ η θ ψ E (cosh η sin θ) E (cosh η sin θ) E coshηsinθ (.7.5 ) f fonksiyonunun Laplasyeni ; a (cosh η sin θ) η η θ θ f f f f φ tanhη cotθ f + a cosh η.sin θ ψ (.7.6 ) olaak ifade edili.
43 36.8. Paabolik Koodinatla Şekil (.8.) u u u 3 µ ν ψ 0 µ < 0 ν < 0 ψ < π (.8. ) koodinatlaına koodinatlaa Paabolik Koodinatla deni. Katezyen koodinatla paabolik
44 37 x µν cosψ y µν sinψ z ( µ ν ) bağıntılaı ile bağlıdı. Bu koodinatlala katezyen koodinatla aasında, ( ) ( ν ) x + y µ µ z x + y ν + z y tanψ x bağıntılaı vadı. (.8. ) (.8.3 ) P(x,y,z) noktasının xi + yj+ zk ye vektöünün Paabolik Koodinatladaki ifadesi, µν cosψ i+ µν sinψ j+ ( µ ν ) k ise; metik katsayıla ve µ, νψ, nin atan yöndeki biim vektölei; (.8.4 ) ( ) h µ + ν, h ( µ + ν ), h 3 µν µ ν ψ (.8.5 ) ve di. e e ν cosψi + ν sinψ j+ µ k eµ ( µ + ν ) µ cosψ i + µ sinψ j νk eν ( µ + ν ) ψ + ψ e3 eψ sin i cos j (.8.6 ) Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde, g g µ ν +, g 33 µ ν (.8.7 ) ve g ij matisi ve bu matisin deteminantı;
45 38 µ + ν 0 0 g ij 0 µ + ν 0, 0 0 µ ν olaak bulunu. Bu koodinat sisteminde Yay elemanı; ( ds) ( µ + ν ) ( dµ ) + ( dν ) + µ ν ( dψ ) Hacim elmanı; Alan elemanı; u opeatöü; şeklindedi. ( ) µ + ν det g ij µ ν (.8.8 ) (.8.9 ) dv µ + ν µν dµ dνdψ (.8.0 ) ( ) da µ + ν dµ dν (.8. ) u e + e + e η µ ψ η θ µν ψ ( µ + ν ) ( µ + ν ) ( µ ν ψ ) (.8. ) f f,, bi skale fonksiyon ve E u Paabolik Koodinatladaki skale bileşenlei E µ,e ν,eψ bi vektö olmak üzee f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u f f eψ f gadf.f eµ + eν + µ ν µν ψ ( ) µ + ν (.8.3 ) E u vektöünün Divejansı; u u u E dive.e µ µ ν Eµ ν µ ν E µ µ ν ν µι ψ ( µ + ν ) ( ) ( ) ψ ν ( )
46 39 E u vektöünün Rotasyoneli; u u u η θ η θ RotE xe a(cosh sin )cosh sin ( µ + ν ) e ( µ + ν ) e µνe µ ν ψ. µ ν ψ µ + ν + ψ E ( µ ν ) E ( µ ν ) E µν (.8.5 ) f fonksiyonunun Laplasyeni; µ + η µ µ µ ν ν ν µ ν ψ f f f f f f olaak ifade edili. (.8.6 )
47 40.9. Konikal Koodinatla Şekil (.9.) u u u 3 θ λ 0 < b < θ < c 0< λ < b (.9. ) koodinatlaına Konikal Koodinatla deni. Katezyen koodinatla konikal koodinatlaa ( x) θλ bc ( y) ( θ )( λ ) b ( c b ) b b ( z) bağıntılaı ile bağlıdı. Bu koodinatlala katezyen koodinatla aasında, x + y + z ( θ )( λ ) c ( c b ) c c (.9. ) x y z 0 θ + θ b c θ x y z 0 λ b λ c λ (.9. )
48 4 bağıntılaı vadı. P(x,y,z) noktasının xi + yj+ zk ye vektöünün Konikal Koodinatla üzeindeki ifadesi, ( ) ( ). θλ. θ b b λ c θ c λ i+ j+ k b.c b c b c c b ise; metik katsayıla ve µ, νψ, nin atan yöndeki biim vektölei, (.9.4 ) ( θ λ ) ( θ λ ) h, h, h µ ν ( θ b )( c θ ) ψ ( b λ )( c λ ) ve ( ) θλ. θ b b λ θ b b λ e e i+ j e ( ) ( ) ( ) ( ) b.c b c b b c b c θ c λ c θ c λ + k c c b c c b ( ) ( ) ( θ λ ) ( θ b )( c θ ) ( ). λ θ b b λ θ b b λ i+ j b.c b c b b c b eθ ( θ λ ) ( θ b )( c θ ) + c θ c λ c θ c λ + ( ) k c c b c c b (.9.6.a ) (.9.6.b )
49 4 e 3 di.. θ ( θ b )( b λ ) ( θ b )( b λ) i+ j+ b.c b ( c b ) b ( c b ) eλ ( θ λ ) ( b λ )( c λ ) ( θ )( λ ) ( θ )( λ) ( ) ( ) ( θ λ ) ( b λ )( c λ ) c c c c k c c b c c b + (.9.6.c ) Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde, ( ) ( ) θ λ θ λ g, g, g 33 θ b c θ b λ c λ (.9.7 ) dı. g ij matisi ve bu matisin deteminantı; 0 0 ( θ λ ) g ij 0 0 ( θ b )( c θ ) ( θ λ ) 0 0 ( b λ )( c λ ) det g olaak bulunu. ( θ λ ) ij ( θ b )( c θ )( b λ )( c λ ) (.9.8 ) (.9.9 )
50 43 Bu koodinat sisteminde Yay elemanı; ( ds) ( d) ( θ b ) ( dθ) ( dλ) + + ( θ b )( c θ ) b λ c λ Hacim elmanı; dv θ λ θ λ ( ) ( ) θ b c θ b λ c λ Alan elemanı; u opeatöü; ( θ λ ) ( θ b )( c θ ) da ddθ ddθdλ u + + ( θ λ ) ( θ λ ) ( θ b )( c θ ) ( b λ )( c λ ) e e θ e ψ θ λ (.9.0 ) (.9. ) (.9. ) (.9.3 ) ( θ λ ) f f,, bi skale fonksiyon ve E u Konikal Koodinatladaki skale bileşenlei E,E,E f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u f gadf.f e + θ λ bi vektö olmak üzee, ( θ λ ) f b c e b c e θ ( θ ) ( θ ) θ + ( λ ) ( λ ) λ f λ (.9.4 ) E u vektöünün Divejansı; u u u d dive E ( E ) + d θ λ ( ) θ λ ( θ b ) ( c θ ) ( θ λ ) Eθ + ( b λ ) ( c λ ) ( θ λ ) Eλ (.9.5)
51 44 E u vektöünün Rotasyoneli; (.9.6 ) u u u RotE xe ( θ b )( c θ )( b λ )( c λ ) ( θ λ ) e ( θ λ ) θ λ e ( θ b ) ( c θ ) b λ c λ. θ ψ E Eθ ( ) ( ) ( ) f fonksiyonunun Laplasyeni; ( ) eλ ( ) ( ) θ Eλ ( ) ( ) ( ) θ λ θ λ θ b c θ b λ c λ f f f f f + + b c b + c θ olaak ifade edili. ( ) ( θ )( θ ) θ θ ( ) θ λ θ f λ ( b λ )( c λ ) λ λ ( b c ) (.9.7) + + f λ
52 45.0. Elipsoidal Koodinatla Şekil (.0.) a; elipsin asal eksen uzunluğu, b; elipsin yedek eksen uzunluğu, c elipsin odak uzunluğu olmak üzee u u u 3 η θ λ c b < η < < θ < c 0 λ < b (.0. ) koodinatlaına Elipsoidal Koodinatla deni. Katezyen koodinatla elipsoidal koodinatlaa, ηθλ ( η b )( θ b )( b λ ) bc b ( c b ) ( η c )( c θ )( c λ ) c ( c b ) ( x) ( y) ( z) (.0. )
53 46 bağıntılaı ile bağlıdı. Bu koodinatlala katezyen koodinatla aasında x y z + + η η b η c x y z + + θ θ b θ c x y z + + λ b λ c λ bağıntılaı vadı. (.0. ) P(x,y,z) noktasının xi + y j+ zk ye vektöünün Elipsiodal Koodinatladaki ifadesi, ( ) ( ) ( ) ( ) ηθλ η b θ b b λ η c c θ c λ.i +.j +.k bc b c b c c b (.0.3 ) ise metik katsayıla ve η, θλ, nin atan yöndeki biim vektölei; ( η θ )( η λ ) ( θ λ )( η θ ) h, h, µ ( η b )( η c ) ν ( θ b )( c θ ) ve h ( η λ )( θ λ ) ψ ( b λ )( c λ ) 3 (.0.4 ) e η ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θλ η b θ b b λ η b θ b b λ i+ j bc b c b b c b ( η θ )( η λ ) ( η b )( η c ) ( ) ( ) η c c θ c λ η c c θ c λ k c c b c c b + ( η θ )( η λ ) ( η b )( η c ) (.0.5.a )
54 47 e θ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ηθ η b θ b b λ η b θ b b λ.i +..j bc b c b b c b ( η λ )( θ λ ) ( b λ )( c λ ) ( ) ( ) η c c θ c λ η c c θ c λ. k c c b c c b + ( η λ )( θ λ ) ( b λ )( c λ ) (.0.5.b) e λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ηλ η b θ b b λ η b θ b b λ.i +.j + bc b c b b c b ( θ λ )( η θ ) ( θ b )( c θ ) ( ) ( ) η c c θ c λ η c c θ c λ k c c b c c b + ( θ λ )( η θ ) ( θ b )( c θ ) (.0.5.c) di. Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde ( η θ )( η λ ) ( θ λ )( η θ ) g ( η b )( η c ) ( b )( c ) g (.0.6 ) θ θ, ( η λ )( θ λ ) ( b λ )( c λ ) g 33, dı. g ij matisi ve bu matisin deteminantı;
55 48 ( η θ )( η λ ) ( η b )( η c ) 0 0 ( θ λ )( η θ ) g ij 0 0 ( θ b )( c θ ) ( η λ )( θ λ ) 0 0 ( b λ )( c λ ), (.0.7 ) det g ij ( η θ )( η λ )( θ λ ) ( η b )( η c )( θ b )( c θ )( b λ )( c λ ) olaak bulunu. Bu koodinat sisteminde, Yay elemanı; ( ) Hacim elmanı; ( η λ )( θ λ ) ( b λ )( c λ ) ( d ) η θ η λ θ λ η θ ds ( dη ) + dθ η b η c θ b c θ + λ ( ) (.0.8 ) (.0.9 ) η θ η λ θ λ η θ η λ θ λ ( ) dv dηdθdλ.0.0 η b η c θ b c θ b λ c λ Alan elemanı; η θ η λ θ λ η θ da d η.dθ η b η c θ b c θ (.0. )
56 49 u opeatöü; u e η + e η θ ( η θ )( η λ ) ( θ λ )( η θ ) ( η b )( η c ) ( θ b )( c θ ) + e λ λ ( η λ )( θ λ ) ( b λ )( c λ ) (.0. ) θ ( η θλ) f f,, bi skale fonksiyon ve E u Konikal Koodinatladaki skale bileşenlei E η,e θ,eλ bi vektö olmak üzee, f fonksiyonunun Gadyenti; ( b )( c ) ( η λ )( θ λ ) uuuu u η b η c φ θ b c θ gadf.f eη + e η θ η λ η θ λ η θ λ λ φ + eλ λ θ φ θ (.0.3 ) E u vektöünün Divejansı; ( η b ) ( η c ) ( η θ )( η λ ) ( θ b ) ( c θ ) ( η θ )( θ λ ) ( b λ ) ( c λ ) ( η λ )( θ λ ) u u u dive.e ( η θ ) ( η λ ) Eη η + ( η θ ) ( θ λ ) Eθ θ + ( η λ ) ( θ λ ) Eλ λ (.0.4 )
57 50 E u vektöünün Rotasyoneli; u ote ( η b )( η c )( θ b )( c θ )( b λ )( c λ ) ( η θ ). eη eθ eλ η θ θ λ θ λ η θ η λ θ λ η b η c θ b c θ b λ c λ η θ λ η θ θ λ θ λ η θ η λ θ λ Eη E E θ λ η b η c θ b c θ b λ c λ f fonksiyonunun Laplasyeni; ( ) ( ) η b η c f f ( η b ) ( η c ) η θ η λ η η ( ) ( ) θ b c θ f + ( θ b ) ( c θ ) η θ θ λ θ θ ( ) ( ) b λ c λ f + ( b λ ) ( c λ ) η λ θ λ λ λ olaak ifade edili. (.0.6 )
58 5.. Paabolidial Koodinatla Şekil (..) u u u 3 µ ν λ b < µ < 0< ν < c c λ < b (.. ) koodinatlaına Paabolidial Koodinatla deni. Katezyen koodinatla paabolidial koodinatlaa, ( ) ( µ )( ν)( λ) ( b c) 4 x b b b ( ) ( µ )( ν)( λ) ( b c) 4 y c c c z µ + ν + λ b c µ > b > λ > c> ν > 0 bağıntılaı ile bağlıdı. Bu koodinatlala katezyen koodinatla asında, (.. )
59 5 bağıntılaı vadı. x y + 4 z µ b µ c ( µ ) x y + 4 z b ν c ν x y + 4 z b λ λ c ( ν ) ( λ ) (.. ) P(x,y,z) noktasının xi + y j+ zk ye vektöünün Paaboloödial Koodinatla üzeindeki ifadesi, 4 4 b b b.i+ c c c.j ( ) ( µ )( ν )( λ ) ( µ )( ν)( λ) b c ( b c) + ( µ + ν + λ b c) k ise; metik katsayıla ve µ, ν, λ nin atan yöndeki biim vektölei, ( µ ν )( µ λ ) ( µ ν)( λ ν) h, h, µ ( µ b)( µ c) ν ( b ν)( c ν) ( λ ν )( µ λ) h3 ψ ( b λ)( λ c) (..3 ) (..4 ) e µ 4 ( ) ( ) 4 b b b ( ) ( b )( b ) µ ν λ ν λ.i b c b c ( µ ν )( µ λ) ( µ b)( µ c) 4 ( ) ( ) 4 c c c ( ) ( c )( c ) + µ ν λ ν λ.j+ k b c b c ( µ ν )( µ λ) ( µ b)( µ c) (..5.a )
60 53 e ν 4 ( ) ( ) 4 µ b b ν b λ ( µ b)( )( b λ).i b c ( b c) ( λ ν )( µ λ) ( b λ)( λ c) 4 ( ) ( ) 4 + µ c c ν c λ ( µ c)( )( c λ).j+ k b c ( b c) ( λ ν )( µ λ) ( b λ)( λ c) (..5.b ) e λ di. 4 4 b b b b b.i b c b c ( ) ( µ )( ν )( λ ) ( µ )( ν)( ) ( ) ( λ ν )( µ λ) ( b λ)( λ c) c c c c c.j+ k b c b c ( ) ( µ )( ν )( λ ) ( µ )( ν)( ) ( ) ( λ ν )( µ λ) ( b λ)( λ c) (..5.c ) Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde, g ( µ ν )( µ λ) ( µ ν)( λ ν) g ( µ b)( µ c) ( b ν)( c ν) g 33 ( λ ν )( µ λ) ( b λ)( λ c) (..6 ) ve g ij matisi ve bu matisin deteminantı; ( µ ν )( µ λ) ( µ b)( µ c) 0 0 ( µ ν)( λ ν) g ij 0 0 ( b ν)( c ν) ( λ ν )( µ λ) 0 0 ( b λ)( λ c), (..7 )
61 54 det[ g ] g ( µ ν )( µ λ)( λ ν) ( µ b)( µ c)( b ν)( c ν)( b λ)( λ c) (..8 ) olaak bulunu. ( η θλ) f f,, ve E u Paabolidial Koodinatladaki skale bileşenlei E,E,E bi vektö olmak üzee, Yay elemanı; ( ) µ ν λ µ ν µ λ µ ν λ ν λ ν µ λ ds ( dµ ) + ( dν) + dλ..9 µ b µ c b ν c ν b λ λ c ( ) ( ) Hacim Elemanı; µ ν µ λ µ ν λ ν λ ν µ λ dv µ b µ c b ν c ν b λ λ c Alan Elemanı; µ ν µ λ µ ν λ ν da d µ.dν µ b µ c b ν c ν dµ dνdλ (..0 ) (.. ) u Opeatöü u e + e ( µ ν )( µ λ ) µ ν λ ν ( µ b)( µ c) b ν c ν + e λ λ ( λ ν )( µ λ) ( b λ)( λ c) f fonksiyonunun Gadyenti; µ ν µ θ (.. ) ( λ)( λ ) uuuu u µ b µ c f b ν c ν f gadf f eµ + eν µ ν µ λ µ µ ν λ ν ν b c f + eλ λ ν µ λ λ (..3 )
62 55 E u vektöünün Divejansı; u dive ( b ν ) ( c ν ) ( b λ) ( λ c) ( µ b) ( µ c) ( µ ν ) ( µ λ) E µ µ ν µ λ µ + ( µ ν ) ( λ ν ) E ν µ ν λ ν ν + ( µ λ) ( λ ν ) E λ µ λ λ ν λ (..4 ) E u vektöünün Rotasyoneli; u u u RotE xe ( µ b)( µ c)( b ν)( c ν)( b λ)( λ c) ( µ ν )( µ λ)( λ ν) µ ν µ λ uu µ ν λ ν uu λ ν µ λ uu eµ eν eλ µ b µ c b ν c ν b λ λ c µ ν λ µ ν µ λ µ ν λ ν λ ν µ λ Eµ Eν Eλ µ b µ c b ν c ν b λ λ c (..5 ) f fonksiyonunun Laplasyeni; ( b)( c) µ µ φ φ ( µ b) ( µ c) µ ν λ ν µ µ ( b )( c ) ( b )( c) ν ν φ + ( b ν) ( c ν) µ ν λ ν ν ν λ λ φ + ( b λ) ( λ c) µ λ λ ν λ λ (..6 ) olaak ifade edili.
63 56 III. BÖLÜM ÖZEL KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE HELMHOLTZ DENKLEMİNİN AYRIŞTIRILMASI VE STACKEL MATRİSİ 3.. Helmholtz Denklemi Fizik, Mühendislik ve Uygulamalı Matematik alanında kaşılaşılan difeansiyel denklemleden pek çoğu φ φ( x,y,z,t) bi skale fonksiyon ve k sabit olmak üzee φ+ k φ f ( x,y,z,t) ( 3.. ) şeklinde ifade edilebili. Öneğin; f ( x,y,z,t) 0 ise denklem Helmholtz veya Dalga Denklemi adını alı. φ 0 ; Laplace Denklemi ( 3.. ) φ k ; Poisson Denklemi ( 3..3 ) φ φ h φ t φ c t k φ 0 ; Düfizyon Denklemi ( 3..4 ) ; Dalga Denklemi ( 3..5 ) φ+ ; Helmholtz Denklemi ( 3..6 ) denklemlei bu tüden ifade edilen denklemledi. Bu denklemlein otak özelliklei linee, ikinci deeceden ve kısmi tüevli difeansiyel denklemle olmalaıdı. Bu denklemle özel değelele ve ayıştımalala Helmholtz Denklemine indigenebilile.helmholtz Denkleminin çözümlei yadımı ile de bu denklemlein çözümlei ideleni. 3..Basit Ayıştıma ve Stackel Matisi Eğe ( ) ( ) ( ) 3 3 φ U u U u U u ( 3.. )
64 57 alınması ile ayıştıma deni. φ 0 denklemi üç adi denkleme ayılabilise bu ayıştımaya basit Helmholtz Denklemi; φ skale, f bi vektö fonksiyonu ve bi skale laplasyen olmak üzee φ+ k φ 0 ( 3.. ) ve F k F 0 + şeklinde veili. k0 için Helmholtz Denklemi Laplace Denklemine dönüşü. h.h 3 h.h 3 h.h h.h.h 3 u h u u h u u h u ( 3..3 ) ( 3..4 ) 3 olmak üzee φ φ( u,u,u ) ve h.h.h 3 g için 3 g du g du g du φ g U u g du U u g du U u g du ( 3..5 ) dı. φ Böylece 3 i g du g. i i i i U u gii du ( 3..6 ) φ+ k φ 0 şeklinde ifade edilen Helmholtz Denklemi 3 i g du g. k 0 i i i + φ i U u gii du ( 3..7 ) şeklinde yazılı. Buada k zamanı içeen teimlein ayılmasından elde edilen ayıma sabitidi. Bu denklem bazı koodinat sistemleinde ayılabili. Helmholtz Denkleminin basit ayılabilmesi için bi koodinat sisteminin sağlaması geeken koşullaı inceleyelim. Üç fonksiyonun çapımı olaak ifade edilen ( ) ( ) ( ) 3 3 φ U u U u U u ( 3..8 )
65 58 fonksiyonu ( 3..6) de yeine yazılısa, 3 i g du g.. k 0 i i i + i U u gii du ( 3..9 ) elde edili. ( 3..9 ) denklemi paantezin içindeki he nicelik bi tek bağımsız değişkene göe yazılamazsa denklem ayıştıılmaz. Bu koşul genel olaak sağlanmayabili. Çünkü g ve g ii üç koodinatın fonksiyonlaı olabili. Fakat duumlada ( 3..9) denklemi g g ii nin sabit olduğu özel sabit du 3 i g + k 0 i i i U du ( 3..0 ) olu. Buada toplamın he teimi bi bağımsız değişkenin fonksiyonudu. Diğe bi özel duum g g ii i i ( u ) f olması duumundadı. Bu duumda ( 3..9 ) d du + 3 i g i i fi k 0 i i U du du ( 3.. ) şeklini alı. Böylece toplamın he bi teimi yine sadece tek değişkenin bi fonksiyondu. Yani; Ayılabilme için en genel koşul g g g g g g 33 3 ( ) ( ) f u F u,u 3 ( ) ( ) f u F u,u 3 ( ) ( ) f u F u,u 3 3 g g ii nin iki fonksiyonun çapımı olmasıdı. ( 3.. )
66 59 koşulu basit ayıma için geekli koşuldu. ( 3.. ) Denklemi ( 3..9 ) denkleminde yeine yazılısa, F d du + ifadesi elde edili. 3 i i g. i i fi k 0 i i U du du Buada ( 3..3 ) g,f ve f koodinat sistemi taafından belitili. i i fonksiyonlaı koodinat sistemi ve ayıma sabitleinin olula. Ayıma sabitlei α ( ) 3 3 φ U.U.U nin i U he ikisinin de fonksiyonlaı k, α, α ile gösteilise f i ve F i le α ladan bağımsız iken ( 3..3 ) denkleminin U i lei α nın fonksiyonlaıdı. ( 3..3 ) Denkleminin α, α, α 3 göe difeansiyellenebildiği kabul edilise, 3 d du d du d du F f + F f F + 3 f 3 3 g α U du du α U du du α U du du d du d du d du F f + F f + F f α U du du α U du du α3 U du du ( ) 3 d du d du d du F f + F f F + 3 f α3 U du du α3 U du du α3 U du du elde edil.denklem yeni notasyonla kullanılaak daha kısa ve özlü olaak, vasa 3 φ + φ + 3 3φ3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) ( ) ( ) ( 3) ff u ff u ff u g ffφ u + ffφ u + ffφ u ffφ u + ffφ u + ffφ u ( 3..5 ) φ ij i ( u ) şeklinde yazılı. i d du i f i i i i fi ( u ) α j U du du ( 3..6 )
67 60 ( ff ), ( ff ) ve ( 3 3) çözülebili. Bu sistemden elde edilen, ff niceliklei için ij φ ( ) 3..5 denklemlei için S φ φ φ 3 det[ S] φ φ φ ( 3..7 ) 3 φ φ φ deteminantı Stackel Deteminant olaak adlandıılı.bu deteminantta Biinci satıın elemanlaı sadece u in, ikinci sıadakile sadece u nin ve üçüncü satıın elemanlaı sadece 3 u ün fonksiyonlaıdı. ( 3..5) sisteminin çözümü M i le Stackel Deteminant nın biinci sütunundaki φ i elemanlaının M φ φ φ 3 φ 3 33 M φ φ φ 3 φ 3 33 M 3 φ φ 3 ( 3..8 ) φ φ 3 şeklinde kofaktölei olmak üzee, g ff [ φ. φ33 φ3. φ3 ] g S M S g ff g S M S [ φ φ φ φ ] ( 3..9 ) g ff 3 3 [ φ. φ3 φ3. φ ] g S M S 3 dı. ( 3.. ) ve ( 3..8 ) denklemlei kaşılaştıılısa; g ii S M ( 3..0 ) i olduğunu göülü. Bu basit ayılabilme için biinci koşuldu. Aynı zamanda ( 3..9 ) denklemleinden, 3 ( ) ( ) g F u,u f ( u ) S M u,u 3
68 6 veya 3 ( ) ( ) g F u,u f ( u ) S M u,u 3 ( ) ( ) g F 3 3 u,u f ( u ) S M u,u 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 F u,u F u,u F u,u 3 f ( u ) f 3 ( u ) f 3 ( u ) M u,u M u,u M3 u,u bulunu. Bu sonuç sadece, ( 3.. ) ( 3..3 ) 3 f( u ).f( u ).f3( u ) S ( 3..4 ) g olması ile mümkündü. ( 3..3 ) Denklemi Helmholtz Denkleminin basit ayılabilmesi için ikinci koşuldu. Eğe ( 3..9 ) ve ( 3..3 ) denklemlei veilen bi metik katsayılaı kümesi taafından sağlanısa, denklem bu koodinat sisteminde basit bi şekilde ayılabili. Kısaca üç boyutlu Euclidean uzayda, Helmholtz Denkleminin basit ayılabilmesi için geekli ve yeteli koşullaın metik katsayılaın S gij i,,3 M g S i 3 ( ) ( ) ( ) f u f u f u 3 koşullaını sağlanması geektiğini söyleyebiliiz. Diğe taaftan bi Stackel Matis [ S] şeklinde ifade edili. φ φ φ 3 φ φ φ 3 φ3 φ3 φ 33 ( 3..5 ) ( 3..6 ) Bu matisin deteminantı S Stackel deteminantıdı. ( 3..8 ) da belitildiği gibi bi Stackel matis ve metik katsayıla aasında biebi uygunluk yoktu. φ ij elemanlaını uygun şekilde seçmek mümkündü.
69 6
70 63 IV. BÖLÜM HELMHOTLZ DENKLEMİNİN ÖZEL KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE ÇÖZÜMÜ Bu bölümde Helmholtz Denkleminin on bi koodinat sisteminde çözümü idelenecekti. 4.. Katezyen Koodinatlada Çözüm Bölüm 3 ( 3..7 ) bağıntısından bu koodinat sistemi için Stackel Matis ve deteminantı; 0 S [ ] şeklinde yazılı, ( 3..8 ) bağıntısından, S det[ S] ( 4.. ) M M M3 ( 4.. ) kofaktölei elde edili. (..5 ) Bağıntısından bu sistemdeki metik katsayılaı, g g g g 33 ( 4..3 ) şeklinde yazılaak f,f,f 3 değelei ise ( 3..4 ) bağıntısından, f f f3 ( 4..4 ) şeklinde hesap edili. olmak üzee Bu duumda ( 3..3 ) Helmotz Denklemi; α ( ) ( ) 3 ( ) ( 4..5 ) k, U Xx, U Yy, U Zz i 3 d du i i fi i + U φα ij j 0 fi du du j şeklini alı. Bu denklem ayıştıılısa; ( 4..6 )
71 64 dx ( α + α3 )X dx dy dy ( ) ( ) + α Y dz (k + α3 )Z dz şeklinde üç denklem elde edili. Eğe α p veα q alınısa ( ) 3 dx (p q )X ,( 4..8 ),( ) 4..9 denklemlei; ( ) dx + ( 4..0 ) dy py 0 dy + ( 4.. ) dz (k q )Z 0 dz + + ( 4.. ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; ( p + q ) x ( p + q ) x X A + B e e ( 4..3 ) ( py) ( py ) ( 4..4 ) Y A sin + B cos 3 3 Z A sin[( + ) ] + B cos[( + ) ] olaak bulunu. Eğe k q z k q z ( 4..5 ) α p ve α q alınısa ( ) 3 dx (p q )X ,( 4..8 ),( ) 4..9 denklemlei: dx + + ( 4..6 ) dy py 0 dy ( 4..7 ) dz (k q )Z 0 dz + ( 4..8 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; X A sin[( + ) ] + B cos[( + ) ] Y A + B p q x k q x ( 4..9 ) py py e e ( 4..0 )
72 Z A sin[( ) ] + B cos[( ) ] olaak bulunu. Eğe α α3 0 dx dy 0 dx dy k q z k q z ( 4.. ) alınısa ( 4..7 ),( 4..8 ),( ) 4..9 denklemlei; ( 4.. ) dz kz 0 dx + ( 4..3 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; X A+ Bx ( 4..4 ) Y A + By ( 4..5 ) ( kz) ( kz ) ( 4..6 ) Z A sin + B cos olaak bulunu. 3 3 φ ; z den bağımsız ise ( 4..7 ),( 4..8 ),( 4..9 ) denklemlei, dx dx dy halini alı. α X 0 ( 4..7 ) dy (k α )Y 0 Eğe + + ( 4..8 ) α p alınısa ( 4..7 ) ve ( 4..8 ) denklemlei, dx px 0 dx ( 4..9 ) dy (p q )Y 0 dy + + ( ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; X A + B px px e e ( 4..3 ) Y A sin[( + ) ] + B cos[( + ) ] k p y k p y ( 4..3 ) dı. Eğe α p alınısa ( 4..7 ) ve ( 4..8 ) denklemlei
73 66 dx px 0 dx + ( ) dy (k p )Y 0 dy + ( ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; ( px) ( px ) ( ) X A sin + B cos Y A sin[( ) ] + B cos[( ) ] k p y k p y ( ) Eğe α 0 alınısa ( 4..7 ) ve ( 4..8 ) denklemlei dx 0 dx ( ) dy ky 0 dy + ( ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; X A+ Bx ( ) Y A sin + B cos ky ky ( ) dı. φ ; y ve z den bağımsız ise ( 4..7 ),( 4..8 ),( 4..9 ) denklemlei d φ dx + k φ 0 ( 4..4 ) şeklini alı. Bu denklemin çözümü ise; olaak bulunu. φ Asin + Bcos kx kx ( 4..4 )
74 Daiesel Silindiik Koodinatlada Çözüm Bölüm 3 ( 3..7 ) bağıntısından bu koodinat sistemi için Stackel Matis ve deteminantı; 0 ρ S [ ] şeklinde yazılı. ( 3..8 ) bağıntısından, M M M 3 ρ, S det[ S] ( 4.. ) kofaktölei elde edili. (..5 ) Bağıntısından bu sistemdeki metik katsayılaı, 33 g, g, g, g ( 4.. ) ρ ρ ( 4..3 ) olaak bulunu. f,f,f 3 değelei ise ( 3..4 ) bağıntısından, f f f3 ( 4..4 ) şeklinde elde edili. olmak üzee Bu duumda ( 3..3 ) Helmotz Denklemi; 3 α ( ρ) Ψ ( ψ ) ( ) ( 4..5 ) k U R U U Z z i 3 d du i i fi i + U Φ ijα j 0 fi du du j şeklini alı. ( 4..6 ) denklemi ayıştıılısa; ( 4..6 ) α + + α3 R 0 dρ ρ dρ ρ dr dr ( 4..7 ) d Ψ + α Ψ 0 ( 4..8 ) dψ dz dz ( α3 ) + k + Z 0 ( 4..9 ) şeklinde üç denklem elde edili.
75 68 Bu denklemlede eğe α p α q alınısa; ( ) ,( 4..8 ),( 4..9 ) denklemlei, dr dr p + q R 0, + d ρ d ρ ( 4..0 ) d dψ Ψ + p Ψ 0 ( ) 4.. dz ( ) k q Z 0 dz + + ( 4.. ) şekline dönüşü. ( 4..0 ),( 4.. ), ( 4.. ) denklemlein çözümlei ise sıasıyla; ( ρ ) ( ρ ) ( 4..3 ) J iq J iq R A p + B p Ψ A sin p + B cos p ψ ψ ( 4..4 ) Z A 3sin( + ) + B3cos( + ) olaak bulunu. Eğe α p α q alınısa ( ) k q z k q z ( 4..5 ) ,( 4..9 ),( ) 4..0 denklemlei, dr dr p + + q R 0 dρ ρ dρ ρ ( 4..6 ) d dψ Ψ + p Ψ 0 ( ) 4..7 dz ( k q ) Z 0 dz + ( 4..8 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; R A J ( q ) + B J ( q ) ρ ρ ( 4..9 ) p p Ψ A sin p + B cos p ψ ψ ( 4..0 ) Z A 3sin( ) + B3cos( ) olaak bulunu. Eğe α k q z k q z ( 4.. ) 0 α3 q alınısa ( ) 4..8,( 4..9 ),( ) 4..0 denklemlei,
76 69 dr + dr qr 0 dρ ρ dρ ( 4.. ) d Ψ 0 ( 4..3 ) dψ dz ( k q ) Z 0 dz + + ( 4..3 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; R A J ( iq ) + B Y ( iq ) ρ ρ ( 4..3 ) 0 0 Ψ A + Bψ ( 4..4 ) Z A 3sin( + ) + B3cos( + ) olaak bulunu. Eğe α α3 0 k q z k q z ( 4..5 ) alınısa ( 4..7 ),( 4..8 ),( ) 4..9 denklemlei, dr + dr 0 dρ ρ dρ ( 4..6 ) d Ψ 0 ( 4..7 ) dψ dz kz 0 dz + ( 4..8 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; R A+ Blnρ ( 4..9 ) Ψ A + Bψ ( ) olaak bulunu. ( kz) ( kz ) ( 4..3 ) Z A sin + B cos 3 3 φ ; z den bağımsız ise ( 4..7 ),( 4..8 ), ( 4..9 ),denklemlei dr dr dρ ρ dρ ( α ρ ) + + k / R 0 ( 4..3 ) d Ψ + α Ψ 0 ( ) dψ olaak bulunu.
77 70 Eğe α p alınısa ( 4..3 ), ( ) denklemlei dr dr + + ( k p / ρ ) R 0 dρ ρ d ( ) d dψ Ψ + p Ψ 0 ( ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; elde edili. R A J ( x ) + B J ( x ) ρ p ρ ( ) ( pψ ) B cos( pψ ) ( ) p Ψ A sin + Eğe α 0 alınısa ( 4..3 ), ( ) denklemlei dr + dr + kr 0 dρ ρ dρ ( ) d Ψ 0 dψ şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; elde edili. R A J ( k ) + B Y ( k ) 0 0 ( ) ρ ρ ( ) Ψ A + Bψ ( 4..4 ) φ ; ψ den bağımsız ise ( 4..7 ) ( 4..8 ), ( 4..9 ),denklemlei dr dr dρ ρ dρ + α R 0 3 ( 4..4 ) dz olaak yazılı. dz (k α )Z 0 3 Eğe + + ( ) α 3 q alınısa ( 4..4 ), ( ) denklemlei; dr + dr qr 0 dρ ρ dρ ( ) dz (k q )Z 0 dz + + ( ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla;
78 7 R A J ( iq ) + B Y ( iq ) ρ ρ ( ) 0 0 ( ) ( ) / / Z Asin + + Bcos + olaak bulunu. Eğe k q z k q z ( ) α 3 q alınısa ( 4..4 ), ( ) denklemlei; dr + dr + qr 0 dρ ρ dρ ( ) dz (k q )Z 0 dz + ( ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; R A J (q ) + BY (q ) ρ ρ ( ) 0 0 ( ) ( ) / / Z Asin k q z+ Bcos k q z olaak yazılı. Eğe α 3 0 alınısa ( 4..4 ), ( ) denklemlei; ( 4..5 ) dr + dr 0 dρ ρ dρ ( 4..5 ) dz kz 0 dz + ( ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; R A + B ln ρ ( ) Z A sin + B cos olaak bulunu. kz kz ( ) φ ; ψ ve z den bağımsız ise ( 4..4 ), ( ) denklemlei; d φ dφ + + k φ 0 dρ ρ dρ şeklini alı ve bu denklemin çözümü dı. 0 0 ( ) φ A J ( kρ) + B Y ( kρ ) ( )
79 Eliptik Silindiik Koodinatlada Çözüm deteminantı; [ ] Bölüm 3 ( 3..7 ) bağıntısından bu koodinat sistemi için Stackel Matis ve 0 a cosh η S 0 a cosh ψ 0 şeklinde yazılı. ( 3..8 ) bağıntısından M M M3 a (cosh η cos ψ ), S det[ S] a (cosh η cos ψ) ( 4.3. ) ( 4.3. ) kofaktölei elde edili. (..5 ) bağıntısından bu sistemdeki metik katsayılaı; g g S g33 g a (cosh η cos ψ) ( ) olaak yazılı. f,f,f 3 değelei ise ( 3..4 ) bağıntısından yaalanılaak f f f3 ( ) şeklinde bulunu. olmak üzee, ( 3..3 ) Helmotz Denklemi; 3 ( ) Ψ ( ) ( ) ( ) α k, U H η, U ψ, U Zz i 3 d du i i fi i + U φα ij j 0 fi du du j şeklinde yazılı. Bu denklem ayıştıılısa; dh ( α a cosh )H 0 α3 η d ( ) η + ( ) d dψ Ψ + + Ψ ( ) ( α α3a cos ψ) 0 dz (k α )Z ( ) dz şeklinde üç denklem elde edili. Eğe denklemlei; + alınısa, ( ),( ), ( ) q α a /4 ve λ α α a / 3 3
ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014
YÖRÜNGE MEKANİĞİ Yöüngeden Hız Hesabı Küçük bi cismin yöüngesi üzeinde veilen hehangi bi noktadaki hızı ve bu hızın doğultusu nedi? Uydu ve çekim etkisinde bulunan cisim (Ye, gezegen, vs) ikili bi sistem
DetaylıVEKTÖRLER 1. BÖLÜM. Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : u = AB yada u ile gösterilir.
. BÖLÜM VEKTÖRLER Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallaında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektiksel yük, gibi büyüklükle, cebisel kallaa göe ifade edilile. B tü çoklklaa Skale
DetaylıNokta (Skaler) Çarpım
Nokta (Skale) Çapım Statikte bazen iki doğu aasındaki açının, veya bi kuvvetin bi doğuya paalel ve dik bileşenleinin bulunması geeki. İki boyutlu poblemlede tigonometi ile çözülebili, ancak 3 boyutluda
Detaylıaçılara bölünmüş kutupsal ızgara sisteminde gösteriniz. KOORDİNATLAR Düzlemde seçilen bir O başlangıç noktası ve bir yarı doğrudan oluşan sistemdir.
KUTUPSAL KOORDİNATLAR (POLAR Düzlemde seçilen bi O başlangıç noktası ve bi yaı doğudan oluşan sistemdi. açılaa bölünmüş kutupsal ızgaa sisteminde gösteiniz. Not: Kolaylık olması açısından Katezyen Koodinat
DetaylıVEKTÖRLER DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU
VEKTÖRLER DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1 Mekanik olaylaı ölçmekte ya da değelendimekte kullanılan matematiksel büyüklükle: Skale büyüklük: sadece bi sayısal değei tanımlamakta kullanılı, pozitif veya negatif
DetaylıMekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler:
VEKTÖRLER KT 1 Mekanik olaylaı ölçmekte ya da değelendimekte kullanılan matematiksel büyüklükle: Skale büyüklük: sadece bi sayısal değei tanımlamakta kullanılı, pozitif veya negatif olabili. Kütle, hacim
DetaylıBÖLÜM 2 KORUNUM DENKLEMLERİ
BÖLÜM KORUNUM DENKLEMLERİ.-Uzayda sabit konumlu sonlu kontol hacmi.- Debi.3- Haeketi takiben alınmış tüev.4- üeklilik denklemi.5- Momentum denklemi.6- Eneji Denklemi.7- Denklemlein bilançosu Kounum Denklemlei
DetaylıBÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU
BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU Linee İmpuls-Momentum Denklemi Haeket halinde bulunan bi cismin hehangi bi andaki doğusal hızı, kütlesi m olsun. Eğe dt zaman aalığında cismin hızı değişiyosa,
DetaylıİKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI
Uludağ Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık akültesi Degisi, Cilt 17, Sayı, 1 ARAŞTIRMA İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Gökhan SEVİLGEN Özet: Bu çalışmada, m kütleli paçacığın
DetaylıBÖLÜM 2 GAUSS KANUNU
BÖLÜM GAUSS KANUNU.1. ELEKTRİK AKISI Elektik akısı, bi yüzeyden geçen elektik alan çizgileinin sayısının bi ölçüsüdü. Kapalı yüzey içinde net bi yük bulunduğunda, yüzeyden geçen alan çizgileinin net sayısı
Detaylı2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları
LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve
DetaylıÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Öncelikle çembein tanımını hatılayalım. Neydi çembe? Çembe, düzlemde bi noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktala kümesiydi. O halde çembein analitik incelenmesinde en önemli
Detaylır r r r
997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde
DetaylıVIII ) E-M DALGA OLUŞUMU
94 VIII ) E-M DALGA OLUŞUMU A. HELMHOLTZ DENKLEMİNE GEÇİŞ B. F k : YAPI ÇARPANI 4-VEKTÖRÜ C. RADYASYON ALANLARI D. ELEKTRİK DİPOL RADYASYONU E. MAGNETİK DİPOL RADYASYONU 95 A) HELMHOLTZ DENKLEMİNE GEÇİŞ
DetaylıSİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ
SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ.Gup: Vize sou önekleindeki son gup (Routh-Huwitz testi) soula dahildi. Bunla PID soulaıyla bilikte de soulabili..) Tansfe fonksiyonu
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KONGRÜANSLARIN DİFERENSİYEL GEOMETRİSİ. Ufuk ÖZTÜRK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011
ANKARA ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KONGRÜANSLARIN DİERENSİYEL GEOMETRİSİ Ufuk ÖZTÜRK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 He hakkı saklıdı ÖZET Doktoa Tezi KONGRÜANSLARIN DİERENSİYEL GEOMETRİSİ
DetaylıBTZ Kara Deliği ve Grafen
BTZ Kaa Deliği ve Gafen Ankaa YEF Günlei 015 1-14 Şubat 015, ODTÜ Ümit Etem ve B. S. Kandemi BTZ Kaa Deliği Gafen ve Eği Uzay-zamanla Beltami Tompeti ve Diac Hamiltonyeni Eneji Değelei ve Gafen Paametelei
Detaylı3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10
Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık
Detaylı5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos
Detaylı3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek.
3. EŞPOTNSİYEL VE ELEKTRİK LN ÇİZGİLERİ MÇ i çift elektot taafından oluştuulan elektik alan ve eş potansiyel çizgileini gömek. RÇLR Güç kaynağı Galvanomete Elektot (iki adet) Pob (iki adet) İletken sıvı
DetaylıSAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ
SAYSAL ANALİZ Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ SAYSAL ANALİZ LİNEE DENKLEM SİSTEMİ ÇÖZÜMLEİ (Klasik Yöntemle) Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ İÇEİK Doğusal Denklem Takımlaının Çözümü Came Yöntemi Matisin
DetaylıA A A A A A A A A A A
LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 sou vadı.. Cevaplaınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için aılan kısmına işaetleiniz.. Veilen, ve z tamsaılaı için. =. z =. =f() olduğuna göe, + + z toplamı en çok kaçtı?
DetaylıElektromanyetik Teori Bahar Dönemi MANYETİK ALAN (2)
Elektomanyetik Teoi Baha -6 Dönemi MANYETİK ALAN () Buaya kada manyetikte kuvvetten hiç bahsetmedik. Hehangi bi yük manyetik alan içeisine u hızıyla gidiğinde manyetik alandan dolayı bi sapmaya uğa. Bu
DetaylıZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eigenfrequency Contours of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Crystals
Ç.Ü Fen e Mühendislik Bilimlei Deisi Yıl:0 Cilt:8-3 ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eienfequency Contous of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Cystals Utku ERDİVEN, Fizik Anabilim
DetaylıVECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS
Seventh Edition VECTOR MECHANICS OR ENGINEERS: STATICS edinand P. Bee E. Russell Johnston, J. Des Notu: Hai ACAR İstanbul Teknik Üniveistesi Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: acah@itu.edu.t Web: http://atlas.cc.itu.edu.t/~acah
DetaylıBölüm 11: Doğrusal Olmayan Optik Alıştırmalar
Bölüm : Dğusal Olmayan Optik Alıştımala. (a Şiddeti I (W/m laak veilen ışığın, dğusal kıılma indisi n lan madde tamı içinde elektik alanının (E laak veilebileceğini gösteiniz. 7, 4 I E = (b I=,5 W/cm laze
DetaylıEğrisel harekette çok sık kullanılan tanımlardan biri de yörünge değişkenlerini içerir. Bunlar, hareketin her bir anı için ele alınan biri yörüngeye
Eğisel haekee çok sık kullanılan anımladan bii de yöünge değişkenleini içei. Bunla, haekein he bi anı için ele alınan bii yöüngeye eğe, diğei ona dik iki koodina eksenidi. Eğisel haekein doğal bi anımıdıla
DetaylıLYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
LYS TÜREV KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Tüev... Sağdan Ve Soldan Tüev... Tüev Alma Kuallaı...7 f n () in Tüevi... Tigonometik Fonksionlaın Tüevi... 6 Bileşke Fonksionun Tüevi... Logaitma
DetaylıOtomotiv Mühendisliği Bölümü Dinamik Ders Notu
16 Otomotiv Mühendisliği Bölümü Dinamik Des Notu Pof. D. Halit KARABULUT 1.1.16 GİRİŞ Dinamik cisimlein kuvvet altında davanışlaını inceleyen bi bilim dalıdı. Kinematik ve kinetik konulaını kapsamaktadı.
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya
Detaylı4. f ( x ) = x m x + m. Cevap C. m açılımındaki bir terim, x. 5. cx 3 + Cevap D. 6. x 2 + ( a + 4 ) x + 3a + 3 ifadesinin tam kare olması için
Deneme - / YT / MT MTMTİ DNMSİ Çözümle. < n < 0. f ( ) m + m p ve q asal saıla olmak üzee, n p. q vea p şeklinde olmalıdı. n {.,.,. 7,.,.,. 7,. 9,.,. 9,.,. 7,.,.,. 7,. 9,. 7,.,, } 9 tane bulunu.. { 7,,,
DetaylıF 1 = 4. Yanıt B dir. Nihat Bilgin Yayıncılık = 1 2 P 3, = P, P F 4 F 4 2F 5 3, = P, kuvveti en küçüktür. a = 3
Basit Makinele Test in Çözümlei. aldıaçlada sistem dengede ise; uvvet x uvvet kolu Yük x Yük kolu. z bağıntısı geçelidi. y 5 5 x y z İpteki geilme kuvvetlei Bijon anataında kuvvet kolu y di. Bu nedenle
DetaylıBasit Makineler. Test 1 in Çözümleri
Basit Makinele BASİ MAİNELER est in Çözümlei. Şekil üzeindeki bilgilee göe dinamomete değeini göstei. Cevap D di.. Makaa ve palanga sistemleinde kuvvetten kazanç sayısı kada yoldan kayıp vadı. uvvet kazancı
DetaylıEvrensel kuvvet - hareket eşitlikleri ve güneş sistemi uygulaması
Evensel kuvvet - haeket eşitliklei ve güneş sistemi uygulaması 1. GİRİŞ Ahmet YALÇIN A-Ge Müdüü ESER Taahhüt ve Sanayi A.Ş. Tuan Güneş Bulvaı Cezayi Caddesi 718. Sokak No: 14 Çankaya, Ankaa E-posta: ayalcin@ese.com
DetaylıElektromanyetik Teori Bahar Dönemi. KOORDİNAT SİSTEMLERİ ve DÖNÜŞÜMLER
KOORDİNT SİSTEMLERİ ve DÖNÜŞÜMLER i önceki bölümde Kteen koodint sisteminde işlemleimii ptık. Kteen koodint sisteminden bşk biçok koodint sistemlei vdı. u bölümde kteen koodint sistemine ek olk silindiik
DetaylıFEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 8. KİTAP HELMHOLTZ DD
4 FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 8. KİTAP HELMHOLTZ DD k 5 İÇİNDEKİLER I. TANIMLAR ve İŞLEMLER A) Vektöle ve Skalala B) İşlemle C) Alanla II. KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER ( DO ) A) B) A
DetaylıBASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI
BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İE AÇAK GEÇİREN FİTRE TASARIMI Adnan SAVUN 1 Tugut AAR Aif DOMA 3 1,,3 KOÜ Mühendislik Fakültesi, Elektonik ve abeleşme Müh. Bölümü 41100 Kocaeli 1 e-posta: adnansavun@hotmail.com
DetaylıTG Haziran 2013 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI
KAMU PERSNEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ RTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI T.C. KİMLİK NUMARASI : ADI : SYADI : TG 9 Hazian DİKKAT! ÇÖZÜMLERLE İLGİLİ AŞAĞIDA VERİLEN UYARILARI
DetaylıSÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ
SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ DENEY ADI RADYAL KAYMALI YATAKLARDA SÜRTÜNME KUVVETİNİN ÖLÇÜLMESİ DERSİN ÖĞRETİM ÜYESİ YRD.DOÇ.DR.
DetaylıCevap C. 400 / 0 ( mod 8 ) A harfi. 500 / 4 ( mod 8 ) D harfi. Cevap C. 6. I. n tam sayı ise. n 2 = 4k 2 4k + 1 veya n 2 = 4k 2
MTMTİ NMSİ. 8 h + + h. ( a, b ) 0 h. + h h+ h h. + h + bulunu. 0... 7 sayısında asal çapanladan bie tane olduğundan pozitif bölen sayısı kada ( a, b ) sıalı ikilisi vadı. ( + ). ( + ). ( + ). ( + ) tane
DetaylıÜNİFORM OLMAYAN İÇ ISI ÜRETİMİ ETKİSİNDE UÇLARI SABİT BİR SİLİNDİRDE ELASTİK-PLASTİK GERİLME ANALİZİ
Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. J. Fac. Eng. Ach. Gazi Univ. Cilt 8, No 4, 33-44, 003 Vol 8, No 4, 33-44, 003 ÜNİFORM OLMAYAN İÇ ISI ÜRETİMİ ETKİSİNDE UÇLARI SABİT BİR SİLİNDİRDE ELASTİK-PLASTİK GERİLME
DetaylıGravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar
Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar Lisansüstü Ders Notları Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Harita Mühendisliği austun@selcuk.edu.tr Konya, 2016 A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme
DetaylıÖrnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540
Önek 1 1.8 kn yük altında 175 dev/dak dönen bi mil yatağında çalışacak bilyeli ulman için, 5 saat ömü ve %9 güvenililik istemekteyiz. Öneğin SKF kataloğundan seçmemiz geeken inamik yük sayısı (C 1 ) nedi?
DetaylıSİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ
SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa
DetaylıAMASYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü
AMASYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ Elektik Elektonik Mühendisliği Bölümü Denetim Sistemlei Laboatuvaı Deney Föyü Yd.Doç.D.Mehmet EKİCİ Aş.Gö.D.Kenan TEKBAŞ Aş.Gö.Bisen BOYLU AYVAZ DENEY 4-RAPOR ARAÇ
DetaylıDÝFERANSÝYEL DENKLEMLER ( Genel Tekrar Testi-1) KPSS MATEMATÝK
DÝFERANSÝYEL DENKLEMLER ( Genel Teka Testi-). Aşağıdaki difeansiel denklemlein hangisinin mete - besi (basamağı, sıası) tü?. Aşağıdaki difeansiel denklemlein hangisinin mete - besi (basamağı, sıası) ve
DetaylıKUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ ÖRNEKLER BİR KUYRUK SİSTEMİNİN ÖRNEKLER
KUYRUK SİSTEMİ VE SİSTEM SİMULASYONU 5. KUYRUK SİSTEMLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa ya da
DetaylıKOMPAKT ISI EŞANJÖRLERİNDE KANATÇIK DÜZENLEMELERİNİN BASINÇ KAYBINA ETKİSİ
PAMUKKAE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİ SİK FAKÜTESİ PAMUKKAE UNIVERSITY ENGINEERING COEGE MÜHENDİSİK BİİMERİ DERGİSİ JOURNA OF ENGINEERING SCIENCES YI CİT SAYI SAYFA : : 8 : : 7-3 KOMPAKT ISI EŞANJÖRERİNDE KANATÇIK
Detaylı( t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
İİ DDDDD IIII NN NN A MM MM KKK KK DD DD II NNN NN AAA MMM MMM İİİİ KK KK DD DD II NNNN NN AA AA MMMMMMM İİ KK KK DD DD II NNNNNNN AA AA MMMMMMM İİ KK KK DD DD II NN NNNN AA AA MM M MM İİ KKKK DD DD II
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 2
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DetaylıTG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK u testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya bi
DetaylıTG 3 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 9 Mat TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun testlein tamamının
Detaylı( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+
ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. a+ = b 4. a = b 0+ a b a b = b a+ b = 0. A ( a + 4, a) noktası y ekseni üzerinde ise, ( + ) a + 4 = 0 A 0, 5 a = 4 B b, b 0 noktası x ekseni
DetaylıİSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DAİRE EKSENLİ KİRİŞLERİN KARIŞIK SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE DİNAMİK ANALİZİ
İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DAİRE EKSENLİ KİRİŞLERİN KARIŞIK SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE DİNAMİK ANALİZİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Mehmet ÇOBAN Anabilim Dalı : İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ
DetaylıGauss Kanunu. Gauss kanunu:tanım. Kapalı bir yüzey boyunca toplam elektrik akısı, net elektrik yükünün e 0 a bölümüne eşittir.
Gauss Kanunu Gauss kanunu:tanım Kapalı bi yüzey boyunca toplam elektik akısı, net elektik yükünün e a bölümüne eşitti. yüzeydeki Gauss kanunu Coulomb kanununa eşdeğedi. Gauss kanunu : Tanım Bi yük dağılımını
DetaylıFİZ102 FİZİK-II. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B-Grubu Bahar Yarıyılı Bölüm-III Ankara. A.
FİZ12 FİZİK-II Ankaa Ünivesitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B-Gubu 214-215 Baha Yaıyılı Bölüm-III Ankaa A. Ozansoy Bölüm-III: Gauss Kanunu 1. lektik Akısı 2. Gauss Kanunu 3. Gauss Kanununun Uygulamalaı
DetaylıFİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu 3. Bölüm (Doğrusal Hareket) Özet
FİZ11 FİZİK-I Ankaa Üniesitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Gubu 3. Bölüm (Doğusal Haeket) Özet.1.14 Aysuhan Ozansoy Haeket Nedi? Mekanik; kuetlei e onlaın cisimle üzeine etkileini inceleyen fizik dalıdı
DetaylıBölüm 30. Biot-Savart Yasası Giriş. Biot-Savart Yasası Gözlemler. Biot-Savart Yasası Kurulum. Serbest Uzayın Geçirgenliği. Biot-Savart Yasası Denklem
it-savat Yasası Giiş ölüm 30 Manyetik Alan Kaynaklaı it ve Savat, elektik akımının yakındaki bi mıknatısa uyguladığı kuvvet hakkında deneyle yaptı Uzaydaki bi nktada akımdan ilei gelen manyetik alanı veen
DetaylıDiferensiyel Denklemler I Uygulama Notları
2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4
DetaylıSAE 10, 20, 30 ve 40 d = 200 mm l = 100 mm W = 32 kn N = 900 d/dk c = mm T = 70 C = 2. SAE 10 için
ÖRNEK mm çapında, mm uzunluğundaki bi kaymalı yatakta, muylu 9 d/dk hızla dönmekte ve kn bi adyal yükle zolanmaktadı. Radyal boşluğu. mm alaak SAE,, ve yağlaı için güç kayıplaını hesaplayınız. Çalışma
DetaylıAnkara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY
FİZ11 FİZİK Ankaa Üniesitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankaa Aysuhan OZANSOY Bölüm-III : Doğusal (Bi boyutta) Haeket 1. Ye değiştime e Haeketin Tanımı 1.1. 1 Mekanik Nedi? 1.. Refeans çeçeesi, Konum, Ye
DetaylıS4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun
Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel
DetaylıMÜHENDİSLİK MEKANİĞİ DİNAMİK DERS NOTLARI
MÜHENDİSLİK MEKNİĞİ DİNMİK DERS NOTLR Ya. Doç. D. Hüsein aıoğlu EKİM 00 İSTNUL İçindekile 1 İRİŞ EKTÖREL NLİZ.1 ektö fonksionu. ektö fonksionunun tüevi.3 ektö fonksionunun integali 3 EĞRİLERDE DİFERNSİYEL
DetaylıJournal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi
Jounal of Engineeing and Naual Sciences Mühendislik ve Fen Bilimlei Degisi Sigma 5/4 ENERGY DECAY FOR KIRCHHOFF EQUATION Müge MEYVACI Mima Sinan Güzel Sanala Ünivesiesi, Fen-Edebiya Fakülesi, Maemaik Bölümü,Beşikaş-İSTANBUL
DetaylıAST413 Gezegen Sistemleri ve Oluşumu. Ders 1 : Tarihçe ve Temel Yasalar
AST413 Gezegen Sistemlei ve Oluşumu Des 1 : Taihçe ve Temel Yasala Kopenik (ya da Sıadanlık) İlkesi: "Güneş sıadan bi yıldız ve Dünya da sıadan bi gezegen." Aslında çok uzun zamandı Güneş'ten başka yıldızlaın
DetaylıDÜĞÜM VE ÇEVRE ANALİZ TEKNİKLERİ
DÜĞÜM E ÇEE ANALİZ TEKNİKLEİ Öğrenme Hedefleri DÜĞÜM ANALİZİ ÇEE ANALİZİ EE-, Ö.F.BAY DÜĞÜM ANALİZİ Bir deredeki bütün akım e gerilimleri bulmak için sistematik yollardan birisidir. Dereyi tanımlamak için
Detaylı= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2
HAZİNE-1 HAZİNE-2 Bir eksen üzerinde verilen noktadan geçen ve eksen ile belirli açı yaparak dönen doğrunun oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir. Konik yüzeyin değişik düzlemler ile arakesit kümeleri çember,
DetaylıYTÜ İNŞAAT FAKÜLTESİ. Harita Mühendisliği Bölümü FİZİKSEL JEODEZİ. Doç. Dr. Cüneyt AYDIN
YTÜ İNŞAAT FAKÜLTESİ Haita Mühendisliği Bölümü FİZİKSEL JEODEZİ Doç. D. Cüneyt AYDIN İstanbul, 014 İÇİNDEKİLER Sayfa 1. ÇEKİM KUVVETİ, ÇEKİM İVMESİ ve POTANSİYEL KAVRAMLARI.... 1 1.1 Çekim Kuvveti ve Çekim
DetaylıMATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI MATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ TÜRKİYE GENELİ ÇÖZÜMLER MATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ. D 6. D. D 7. B. B 8. A 4. D 9. B 5. B. C 6. A. A 7. B. A 8. E. B 9. D 4. E. C 5. B. D 6.
DetaylıA A = A 2 x + A 2 y + A 2 z (1) A A. Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate alalım: A = Axˆx + A y ŷ + A z ẑ,
Vektör Analizi(Özet) Bir vektörün büyüklüğü(boyu) Birim vektör A A = A 2 + A 2 y + A 2 z (1) A â A (2) İki vektörün skaler(nokta) çarpımı Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate
DetaylıKominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar:
Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kllanılan Temel Matematiksel Fonksiyonla: Unit Step fonksiyon, Implse fonksiyon: Unit Step Fonksiyon: Tanim: Unit Step fonksiyon aşağıdaki gibi iki şekilde tanımlanabili
DetaylıHacimler ve Çift Katlı İntegraller
Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir Hacimler ve Çift Katlı İntegraller R [a,b] [c,d] {(x,y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım ve önce
DetaylıÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK
ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK DENEME SINAVI ÇÖZÜMLERİ ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ DENEME SINAVI / çözümlei. DENEME. Veile öemelede yalız III kesi olaak doğudu. Bu edele doğu cevap seçeeği B di..
DetaylıTork ve Denge. Test 1 in Çözümleri P. 2 = F 1 = 2P 2P. 1 = F F F 2 = 2P 3P. 1 = F F 3. Kuvvetlerin büyüklük ilişkisi F 1 > F 3
9 ok ve Denge est in Çözümlei. F. =. =. = F. F =. = F. F = uvvetlein büyüklük ilişkisi = F > F tü. Cevap D i. F Sistemlein engee olması için toplam momentin (tokun) sıfı olması geeki. Veilen üç şekil için
Detaylı4. 89 / 5 ( mod p ) 84 / 0 ( mod p ) 60 / 4 ( mod p ) 56 / 0 ( mod p ) Cevap E. Cevap C. 6. x 0 f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = 2,...
eneme - / YT / MT MTMTİK NMSİ Çözümle. O ( b, c ) d ise b dm, c dk O ( a, b ) d ise b dm, a dn I. d tek saı iken a çift ise m ve n nin otak böleni olu. O ( a, b ) d olmaz. d tek ise a tek saıdı. ( oğu
DetaylıDENEY 4 ÇARPIŞMALAR VE LİNEER MOMENTUMUN KORUNUMU
DEEY 4 ÇRPIŞMLR VE LİEER MOMETUMU KORUUMU MÇ: Deneyin amacı esnek ve esnek olmayan çapışmalada linee momentum ve kinetik eneji kounumunu incelemekti. GEEL İLGİLER: i nesnenin linee momentumu P ; kütlesinin
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
DetaylıVİDALAR VE CIVATALAR. (DĐKKAT!! Buradaki p: Adım ve n: Ağız Sayısıdır) l = n p
VİDALA VE CIVAALA d : Miniu, inö yada diş dibi çapı (=oot) d : Otalaa, noinal çap yada böğü çapı (=ean) d : Maksiu, ajö çap, diş üstü çapı λ : Helis açısı p : Adı (p=pitch) l (hatve): Civatanın bi ta dönüşüne
DetaylıELASTİK DALGA YAYINIMI
ELASTİK DALGA YAYINIMI Pof.D. Eşef YALÇINKAYA ( 06-4. des Geçiğimiz des; Zouna ieşimle Rezonans Sismomee eoisi Bu dese; Dalga haekei Yayılan dalgala Tek boyulu dalga denklemi Geçen hafanın ödevi; ω 0 ω
DetaylıÇembersel Hareket. Test 1 in Çözümleri
5 Çebesel Haeket est in Çözülei.. düşey eksen tabla He üç cisi aynı ipe bağlı olduğundan peiyotlaı eşitti. Açısal hız bağıntısı; ~ di. Bağıntısındaki sabit bi değedi. Ayıca cisilein peiyotlaı eşitti. hâlde
DetaylıAfyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi
Afyon Kocatee Ünivesitesi Fen ve Mühendislik Bilimlei Degisi Afyon Kocatee Univesity Jounal of Science and Engineeing AKÜ FEMÜBİD 7 (207) 0330 (899-905) AKU J. Sci. Eng. 7 (207) 0330 (899-905) DOI: 0.5578/fmbd.66209
DetaylıBölüm 5 Manyetizma. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU
ölüm 5 Manyetizma Pof. D. ahadı OYACOĞLU Manyetizma Manyetik Alanın Tanımı Akım Taşıyan İletkene Etkiyen Kuvvet Düzgün Manyetik Alandaki Akım İlmeğine etkiyen Tok Yüklü bi Paçacığın Manyetik Alan içeisindeki
DetaylıPARÇACIK İÇEREN KOMPOZİTLERİN ELASTİK KATSAYILARININ ANALİTİK YÖNTEMLE TAYİNİ
XVIII. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ 6-30 Ağustos 013, Celal Baya Ünivesitesi, Manisa PARÇACIK İÇEREN KOMPOZİTLERİN ELASTİK KATSAYILARININ ANALİTİK YÖNTEMLE TAYİNİ Osman Bulut, Necla Kadıoğlu ve Şenol Ataoğlu
DetaylıMATLAB GUI TABANLI ELEKTROMIKNATIS DEVRE TASARIMI VE ANALİZİ
PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 005 : 11 : 1 : 13-19
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
Detaylı5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte
Deneme - / Mat MTEMTİK DENEMESİ Çözümle. 7 7 7, 0, 7, + + = + + 03, 00,, 3 0 0 7 0 0 7 =. +. +. 3 = + + = 0 bulunu.. Pa ve padaa eklenecek saı olsun. a- b+ b =- a+ b+ a & a - ab+ a =-ab-b -b & a + b =
DetaylıÇembersel Hareket. Test 1 in Çözümleri
7 Çebesel Haeket est in Çözülei. 3 3. düşey eksen yatay tabla yatay He üç cisi aynı ipe bağlı olduğundan peiyotlaı eşitti. Açısal hız bağıntısı; ~ di. Bağıntısındaki sabit bi değedi. Ayıca cisilein peiyotlaı
DetaylıLYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / GMİ NM ÇÖZÜMLİ eneme -. 0 ' 0 ile l eş üçgenle olduğundan; = 0 cm l = 0 cm ve = desek l = olu. l de pisago ise l = cm. 0 @ nin ota noktasını olaak işaetlielim. u duumda, = cm ( de ota taan) = cm
DetaylıBasit Makineler. Test 1 in Çözümleri. 3. Verilen düzenekte yük 3 ipe bindiği için kuvvetten kazanç 3 tür. Bu nedenle yoldan kayıp da 3 olacaktır.
9 Basit Makinele BASİ MAİNEER est in Çözülei.. Veilen düzenekte yük ipe bindiği için kuvvetten kazanç tü. Bu nedenle yoldan kayıp da olacaktı. kasnak ükün 5x kada yükselesi için kasnağa bağlı ipin 5x.
DetaylıTanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu
FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İzdüşüm merkezi(o):
DetaylıFİZK Ders 6. Gauss Kanunu. Dr. Ali ÖVGÜN. DAÜ Fizik Bölümü.
FİZK 14- Des 6 Gauss Kanunu D. Ali ÖVGÜN DAÜ Fizik Bölümü Kaynakla: -Fizik. Cilt (SWAY) -Fiziğin Temellei.Kitap (HALLIDAY & SNIK) -Ünivesite Fiziği (Cilt ) (SAS ve ZMANSKY) http://fizk14.aovgun.com www.aovgun.com
DetaylıEMAT ÇALIŞMA SORULARI
EMAT ÇALIŞMA SORULARI 1) A = 4. ı x 2. ı y ı z ve B = ı x + 4. ı y 4. ı z vektörlerinin dik olduğunu gösteriniz. İki vektörün skaler çarpımlarının sıfır olması gerekir. A. B = 4.1 + ( 2). 4 + ( 1). ( 4)
DetaylıKesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
DetaylıTMMOB ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI ELEKTRİK TESİSLERİNDE TOPRAKLAMA ÖLÇÜMLERİ VE ÖLÇÜM SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ
TMMOB ELEKTİK MÜHENDİSLEİ ODASI ELEKTİK TESİSLEİNDE TOPAKLAMA ÖLÇÜMLEİ VE ÖLÇÜM SONUÇLAININ DEĞELENDİİLMESİ Not : Bu çalışma Elk.Y.Müh. Tane İİZ ve Elk.Elo.Müh. Ali Fuat AYDIN taafından Elektik Mühendislei
DetaylıBÖLÜM 2 VİSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI
ÖLÜM İSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI. Açısal hı, otisite e Sikülasyon. otisitenin eğişme Hıı.3 Sikülasyonun eğişme Hıı Kelin Teoemi.4 İotasyonel Akım Hı Potansiyeli.5 ida Üeindeki e Sonsudaki
DetaylıYX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b
Kadelen Bisküvi şiketinin on şehideki eklam statejisi Radyo-TV ve Gazete eklamı olaak iki şekilde geçekleşmişti. Bu şehiledeki satış, Radyo-TV ve Gazete eklam veilei izleyen tabloda veilmişti. Şehi No
DetaylıParçacıkların Kinetiği Impuls-Momentum Yöntemi: Çarpışma
Paçacıklaın Kinetiği Impuls-Momentum Yöntemi: Çapışma İki kütle bibii ile kısa süe içeisinde büyük impulsif kuvvetlee yol açacak şekilde temas edese buna çapışma (impact) deni. Çapışma 1. Diekt mekezcil
DetaylıFotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri
Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :
DetaylıKatı Cismin Uç Boyutlu Hareketi
Katı Cismin Uç outlu Haeketi KĐNEMĐK 7/2 Öteleme : a a a ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ / / /, 7/3 Sabit Eksen Etafında Dönme : Hız : wx bwe bwe wx be he x we wx bwe e d b be d be he b h O n n n ɺ ɺ θ θ θ θ θ ( 0 Đme : d d
DetaylıHacimler ve Çift Katlı İntegraller
Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir Hacimler ve Çift Katlı İntegraller R [a, b] [c, d] {(x, y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım ve önce
Detaylı