ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MEUSNIER TEOREMİNİN 3 BOYUTLU ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIĞI.

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MEUSNIER TEOREMİNİN 3 BOYUTLU ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIĞI Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2008 Her Hakkı Saklıdır

2 ÖZET Yüksek Lisans Tezi MEUSNIER TEOREMİNİN 3 BOYUTLU ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIĞI Fatma KARAKUŞ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman:Prof.Dr.H.HilmiHACISALİHOĞLU Bu tez dokuz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, tanımlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, n 3 halinde Meusnier teoremi ile teoremin sonuçları açıklanmıştır. Dördüncü bölümde, E-Study teoremi ifade ve ispat edilmiştir. Ayrıca dual açı incelenmiştir. Beşinci bölümde, çizgiler geometrisi incelenmiştir. Lineer ışın kompleksi ve lineer doğru kongrüansı özetlenmiştir. Regle yüzeyler incelenmiş vedmodül de regle yüzeyler için genellemeler yapılmıştır. Altıncı bölümde, DModül de birim dual küre üzerindeki çemberlerin Study resimleri incelenmiştir. Yedinci bölümde, birim dual küre üzerindeki eğrilik çemberleri incelenmiş ve çizgiler uzayında genellemeler yapılmıştır. Son bölümde ise, birim dual küre üzerindeki eğrilik eksenlerinin çizgiler uzayındaki karşılığı incelenmiştir. 2008, 102 sayfa Anahtar Kelimeler : Meusnier Teoremi, Eğrilik Çemberi, Eğrilik Ekseni, Meusnier Küresi, Helikoid, Birim Dual Küre, E-Study Dönüşümü, Dual Açı, Regle Yüzey, Çizgiler Geometrisi, Lineer Doğru Kongrüansı, Lineer Işın Kompleksi. i

3 ABSTRACT Master Thesis MEUSNIER S THEOREM FOR 3 DIMENSIONAL LINE SPACE Fatma KARAKUŞ Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU This thesis consists of eight chapters. The first chapter has been devoted to the the introduction. In Chapter two, definitions which are needed in the further chapters are given. In Chapter three, the Meusnier Theorem and its results are obtained at the E n (n 3). In Chapter four, it is expressed and proved the E-Study mapping. Also it is studied that the dual angle at the D Module. In Chapter five, Line Geometry is examined. The linear closed half-line complexe and the linear congruence are summarized. The ruled surfaces are studied and generalized about the ruled surfaces at the D Module. In Chapter six, Study mapping of the circles on the unit dual sphere at the D Module are examined. In Chapter seven, the circles of curvature on the unit dual sphere are examined and generalized in the line spaces. In the final chapter, the polar axises on the unit dual sphere are expressed in the line spaces. 2008, 102 pages Key Words: Muesnier s Theorem, Circle of Curvature, Polar Axis, Meusnier Sphere, Helicoid, Unit Dual Sphere, E-Study Mapping, Dual Angle, Ruled Surface, Line Geometry, Linear Congruence, Linear Complexe. ii

4 TEŞEKKÜR Bana bu çalışmayı vererek, çalışmamın hersafhasında benden yardım ve bilgilerini esirgemeyen, bugüne ulaşmamdaki en önemli destekçim, değerli hocam, Sayın Prof.Dr. H.Hilmi HACISALİHOĞLU (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) na, en derin saygılarımla teşekkürlerimi sunarım. Sorduğum her soruyu sabırla cevaplayan değerli hocam Sayın Prof.Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) ya ve değerli hocam Sayın Doç.Dr. NejatEKMEKÇİ (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) ye en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Yüksek lisans öğreniminm boyunca burs vererek çalışmalarımı destekleyen TÜBİTAK ateşekkürlerimi sunarım. Çalışmamın heraşamasında yanımda yer alarak her daim beni destekleyen sevgili aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Fatma KARAKUŞ Ankara, Temmuz 2008 iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... v 1. GİRİŞ TANIMLAR MEUSNIER TEOREMİ n=3 Halinde Meusnier Teoremi n=3 Halinde Meusnier Teoreminin Sonuçları n>3 Halinde Meusnier Teoremi n>3 Halinde Meusnier Teoreminin Sonuçları Reel Küre Yüzeyi İçin Meusnier Teoremi Dual Küre Yüzeyi İçin Meusnier Teoremi E-STUDY DÖNÜŞÜMÜ Birim Dual Küre Dual Açı ÇİZGİLER GEOMETRİSİ Lineer Işın Kompleksi Lineer Doğru Kongüransı Regle Yüzeyler ÇEMBERİN STUDY RESMİ Bir Çemberin Study Resmi EĞRİLİK ÇEMBERLERİNİN R 3 ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIKLARI Birim Dual Küre Üzerindeki Eğrilik Çemberlerinin Denklemleri Eğrilik Çemberlerinin Çizgiler Uzayındaki Karşılıkları EĞRİLİK EKSENLERİNİN R 3 ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIKLARI KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ iv

6 SİMGELER DİZİNİ V2 E n T p (E n ) M X p u o S K H Asli normal vektör n boyutlu Öklid uzayı E n uzayının p noktasındaki tanjant uzayı yüzey P noktasındaki teğet vektörü vektörel moment Birim Dual küre üzerindeki çember Birim Dual küre Dual eğrilik 1 d dağılma parametresi Φ, Ψ Dual açılar k 1 1 yinci eğrilik ρ Dual eğrilik yarıçapı v

7 1. GİRİŞ Bu yüksek lisans tezinde E 3 teki bir eğrinin bir noktasından geçen ve asimptotik olmayan bütün eğrilerin bu noktadaki eğrilik çemberleriyle ve eğrilik eksenleriyle ilgili olan Meusnier teoremi ve teoremin sonuçları incelenmiştir. n>3 halinde Meusnier teoremi ve teoreminin sonuçları açıklanmıştır. D Modül de birim dual küre üzerindeki bir çemberin Study resminin tek kanatlı hiperbolidlerin iki parametreli ailesi olduğu görülmüştür. Birim dual küre üzerindeki eğrilik çemberlerinin Study resimlerinin dik helikoidler olacak şekilde Study dönüşümünün seçilebileceği gösterilmiştir. Birim dual küre üzerindeki eğrilik eksenlerinin R 3 çizgiler uzayında ikinci dereceden bir doğru kongrüansına karşılık geldiği açıklanmıştır. Bu çalışmada E 3 deki bir eğrinin eğrilik çemberleri ve eğrilik eksenleriyle ilgili olan Meusnier teoreminin çizgiler uzayındaki karşılıklarının verilmesi amaçlanmıştır. 1

8 2. TANIMLAR Tanım2.1. n X X p T M (P ) olsun. p, o N p kümesinin gerdiği düzlemle M yüzeyinin arakesiti olan ve σ 0 (0) = X p eşitliğini sağlayan (yani X p teğet vektörüne sahip olan) σ eğrisine X p doğrultusundaki Dik Kesit Eğrisi denir (Sabuncuoğlu 2004). Tanım 2.2. α : I R 3 eğrisinin α (t 0 ) noktasında eğriye ikinci basamaktan değen çembere, α eğrisinin α (t 0 ) noktasındaki Eğrilik Çemberi denir (Hacısalihoğlu 2000). Tanım 2.3. Eğrilik çemberinin merkezinden geçen ve V 3 (t 0 ) binormal vektörüne parelel olan doğruya, α eğrisinin α (t 0 ) noktasına ilişkin Eğrilik Ekseni denir (Hacısa lihoğlu 2000). Tanım 2.4. α : I R 3 eğrisinin α (t 0 ) noktasındaki eğrilik çemberinin merkezine Eğrilik Merkezi denir (Hacısalihoğlu 2000). Tanım 2.5. α : I R 3 eğrisinin α (t 0 ) noktasındaki birinci eğriliği k 1 (t 0 ) ol- 1 mak üzere sayısına α eğrisinin α (t k 1 (t 0 ) 0) noktasına ilişkin Eğrilik Yarıçapı denir (Hacısalihoğlu 2000). 2

9 3. MEUSNIER TEOREMİ 3.1 n = 3 Halinde Meusnier Teoremi E 3 te bir yüzey M ve M üzerinde bir eğri α, α : I M eğrisinin P = α (t) noktasındaki birinci eğriliği k 1 olsun. X P T P (E 3 ), P = α (t) olmak üzere t I için α 0 (t) = X P olur. Myüzeyinin birp = α (t) noktasındaki X P teğet vektörü doğrultusundaki dik kesit eğrisinin k 1 eğriliği ile M yüzeyi üzerinde aynı X P teğet vektörüne sahip olan ve asimptotik olmayan α eğrilerinin k 1 eğrilikleri arasındaki ilişkiyi görelim. M yüzeyi üzerinde bir P = α (t) noktasında aynı X P teğet vektörüne sahip olan eğrilerin k 1 eğriliklerini incelemek demek,p = α (t) noktasındaki X P teğet vektörünün sabit tutulup V 2 asli normal vektörünün değiştirilmesiyle oluşan oskülatör düzlemlerin Myüzeyi ile arakesitleri olan eğrilerin k 1 eğriliklerini incelemek demektir. Buna göre, M yüzeyi üzerindeki P = α (t) noktasından geçen aynı X P teğet ³ ³ X vektörüne sahip olan ve asimptotik olmayan II P, X P 6= 0, eğrilerin ailesini α =((α) 1, (α) 2 (α) n ) ile gösterelim. Bu eğri ailesine ait bir (α) i eğrisinin birinci 3

10 ³ V eğriliği (k 1 ) i ve asli normal vektörü ise 2 = n i ile gösterilsin. i ³ V 2 = n i ile P = α (t) noktasındaki N P yüzey normali, arasındaki açının ölçüsü i ϕ i olmak üzere 0 ϕ i π olur. k n 2 i k =1ve N P =1alınabildiğinden, D³ V 2 i, N P E D = n i, E N P = k n i k N P cos ϕi = cosϕ i elde edilir. ³ X İkinci esas formun özeliğinden, II P, X P olduğundan, D N E 1 = P,α 00 (t) olup, α 00 (t) =k V 2 ³ X II P, X P k 1 = D N P, E V 2 4

11 dır. Buna göre, (α) i eğrisinin birinci eğriliği (k 1 ) i olmak üzere ³ X II P, X P (k 1 ) i = cos ϕ i olur. Buradan ³ X (k 1 ) i cos ϕ i = II P, X P ((*)) elde edilir. ³ X Bu()eşitliğinden II P, X P değeri sabit olduğundan (k 1 ) i ve cos ϕ i değiştiği zaman çarpımlarının sabit kaldığını görüyoruz. Şimdi de P = α (t) noktasındaki X P teğet vektörü doğrultusundaki σ dik kesit eğrisinin birinci eğriliği (k 1 ) σ ile (α) i eğrisinin birinci eğrililiği (k 1 ) i arasındaki bağıntıyı gösterelim. M yüzeyi üzerindeki bir P = α (t)noktasındaki X P teğet vektörü doğrultusundaki n X dik kesit eğrisi σ olsun. Dik kesit eğrisinin oskülatör düzlemi, P, o N P cümlesinin gerdiği Sp P, o n X N P düzlemidir. σ dik kesit eğrisinin P = α (t) noktasındaki ³ V ³ V n X asli normal vektörü 2 olmak üzere, 2 vektörü Sp P, o N P düzleminin σ σ içindedir. σ dik kesit eğrisi olduğundan σ 0 (t) = ³ V X P olup, 2 σ 0 (t) dır. ³ V 2 σ olduğundan, ve N P vektörleri düzlemsel ve her ikisi de σ 0 (t) = X P teğet vektörüne dik olur. Buna göre, ³ V 2 ³ V 2 σ σ = N P veya ³ V 2 σ = N P = N P olduğundan ³ V N P ile 2 σ σ vektörlerinin belirttiği açının ölçüsü0 dır. σ dik kesit eğrisinin, P = α (t) noktasındaki X P teğet vektörü doğrultusundaki birinci eğriliği (k 1 ) σ olmak üzere, ikinci esas formun özeliğinden, ³ X II P, X P (k 1 ) σ = cos ϕ i 5

12 ϕ i =0dan, cos ϕ i =cos0=1olduğundan, ³ X (k 1 ) σ = II P, X P ((**)) olur. σ dik kesit eğrisinin eğrilik yarıçapı R olmak üzere, 1 cos ϕ i 1 olduğundan (k 1 ) σ,p = α (t) noktasından geçen aynı X p teğet vektörüne sahip asimptotik olmayan α eğrilerinin (k 1 ) i asimptotik eğriliklerinin en küçüğüdür. R = 1 (k 1 olduğundan, R ise eğrilik yarıçaplarının enbüyüğüdür. () ) σ bağıntısından, 1 ³ X R = II P, X P ((***)) olur. (α ) i eğrisinin P = α (t) noktasındaki eğrilik yarıçapı, ρ i olmak üzere ρ i = 1 (k 1 ) i olup, () ve() bağıntısından; elde edilir. ρ i = 1 (k 1 ) i olduğundan, (k 1 ) i cos ϕ i = 1 R 1 ρ i cos ϕ i = 1 R bulunur. ρ i = R cos ϕ i Böylece M yüzeyinin P = α (t) noktasında aynı X P teğet doğrultusuna sahip ve asimptotik olmayan α eğrilerinin eğrilik yarıçapları ile M yüzeyinin P = α (t) noktasındaki X P teğet doğrultusuna sahip ve asimptotik olmayan σ dik kesit eğrisinin eğrilik yarıçapı R arasındaki ilişkiyi göstermiş olduk. σ dik kesit eğrisinin P = α (t) noktasındaki eğrilik çemberinin merkezi C olmak üzere, C = P + R N P 6

13 yazabiliriz. Burada, C merkezli ve R yarıçaplı küreyi (A) ile gösterelim. σ dik kesit eğrisinin P = α (t) noktasındaki eğrilik çemberi (A) küresinin bir büyük çemberidir. Teorem ( Meusnier Teoremi) : M yüzeyinin P = α (t) noktasında X P teğet vektörü doğrultusundaki dik kesit eğrisi σ olsun. Merkezi C = P + R N P ve yarıçapı R olan küre (A) ile gösterilsin. E 3 de bir M yüzeyi üzerinde bulunan ve P M noktasında aynı X P teğet vektörüne sahip asimptotik olmayan bütün α eğrilerinin, P noktasındaki eğrilik çemberleri, yarıçapı R ve merkezi C = P + R N P noktası olan (A) küresinin üzerinde bulunurlar. (α) i eğrilerinin C i eğrilik merkezlerinin geometrik yeri PC çaplı bir çember üzerinde bulunurlar (Hacısalihoğlu 2000, Sabuncuğlu 2004 ). İspat : (α) i eğrisinin P = α (t) noktasındaki eğrilik merkezi C i ve eğrilik çemberinin yarıçapı r olsun. ³ V C noktasından (α) i eğrisinin 2 C i noktası olur. i vektörüne bir dikme çizilirse bu dikmenin ayağı 7

14 Gerçekten bu şekilde alındığında PCC i üçgeninde PC i C açısı dik olduğundan, cos ϕ i = r R den, r = R cos ϕ i olur. Diğer yandan, aynı X p eğrisinin yarıçapı ρ i olmak üzere teğet vektörüne sahip olan ve asimptotik olmayan (α) i ρ i = R cos ϕ i olduğundan, elde edilir. r = ρ i C i ile P = α (t) noktasını birleştiren doğru (α) i eğrisinin V 2 asli normali olduğundan 8

15 bu doğru X P teğet vektörüne ve C i C vektörüne diktir. Buna göre, C i noktası C i = P + r V 2 biçimindedir. r = ρ i olduğundan C i = P + ρ i V 2 olur. Buna göre; C i noktası (α) i eğrisinin eğrilik çemberinin merkezidir. Sonuç olarak n X P, V 2 o çember, (α) i eğrisinin eğrilik çemberidir. cümlesinin gerdiği düzlemle (A) küresinin arakesiti olan Tanım M E 3 yüzeyinin bir P noktasında asimptotik olmayan ve ortak bir X P teğet doğrultusuna sahip olan eğrilerin eğrilik çemberlerini üzerinde bulunduran küreye, M yüzeyinin P noktasındaki Meusnier Küresi denir (Hacısalihoğlu 2000). Şimdi de σ dik kesit eğrisinin eğrilik çemberinin merkezinin C = P + R N P noktası olduğunu gösterelim (Tokeşer 2005). Teorem σ : I R 3, t yay parametreli bir eğri ve t I, P = σ (t) olsun. Bu durumda γ (0) = σ (t), γ 0 (0) = σ 0 (t), γ 00 (0) = σ 00 (t) olacak biçimde t yay parametreli (birim hızlı) birγ : J R 3 çemberi vardır. Bu çemberin merkezi C = P + R N P noktasıdır (Sabuncuoğlu 2004). İspat : Aranılan çemberin merkezi C ve yarıçapı R olsun. Bu çemberin içinde bulunduğu düzlemin ortonormal bir bazı {a, b} olmak üzere β (ϕ) çemberi, biçiminde verilebilir. β (ϕ) =C + (R cos ϕ) a + (R sin ϕ) b ((3.1.1)) Öncelikle β eğrisini birim hızlı olacak biçimde yeniden parametrelendirelim. β nın yay uzunluğu fonksiyonu f olmak üzere, 9

16 f (ϕ) = f (ϕ) = Z ϕ 0 Z ϕ 0 β 0 (u) du Rdu f (ϕ) = Ru ϕ 0 f (ϕ) = Rϕ olur. f (ϕ) =θ dersek, f 1 (θ) =ϕ den ϕ = θ R olur. Buradan da h = f 1 (θ) olmak üzere β h eğrisi birim hızlı bir eğridir. β h = γ diyelim. Buna göre, olup, (3.1.1) denkleminden β µ θ R γ (θ) = C + γ (θ) = (β h)(θ) = β (h (θ)) µ θ = β R µ = C + R cos θ µ a + R sin θ b R R µ R cos θ µ a + R sin θ b R R olur. θ =0için γ (0) = C + Ra bulunur. Hipotezden γ (0) = σ (t) olmasını istiyoruz. Buna göre, 10

17 σ (t) =C + Ra dır. Buradan da C = σ (t) Ra ((3.1.2)) elde edilir. Diğer yandan, hipotezden, γ 0 (0) = σ 0 (t) olmalı. µ γ 0 (θ) = sin θ µ a + cos θ b R R olduğundan, γ 0 (0) = b olur. σ 0 (t) = X P den, b = X P dir. γ 00 (θ) = 1 R olup, γ 00 (0) = σ 00 (t) olacağından, µ cos θ a 1 µ sin θ b R R R γ 00 (0) = 1 R a dır. σ 00 (t) =k 1 (t) V 2 (t) olduğundan, 1 R a = k 1 V 2 11

18 elde edilir. R>0, k 1 > 0 ve σ dik kesit eğrisi için V 2 = N P olduğundan, 1 R a = k 1 N P eşitliğinden, bulunur. 1 R = k 1 ve a = N P R = ρ = 1 k 1 olduğundan, (3.1.2) ifadesinde yerine yazılırsa, C = σ (t) R ³ N P σ (t) =P den, C = P + R N P elde edilir n = 3 Halinde Meusnier Teoreminin Sonuçları Sonuç E 3 te bir M yüzeyi üzerinde bulunan ve belli bir P = α (t) noktasında aynı X P teğet vektörüne (asimptotik olmayan) sahip olan bütün eğrilerin eğrilik merkezleri; merkezi N P normal doğrusu üzerinde olan ve P = α (t) noktasından n V geçen bir çember üzerinde bulunurlar. Bu çember, 2, o N P düzleminde yarıçapı R ve merkezi D = P + R 2 2 N P noktası olan çemberdir (Hacısalihoğlu 2000). İspat : C i noktası PC doğru parçasını 90 lik açı altında görür. O halde C i lerin geometrik yeri PC çaplı bir çemberdir. Sonuç E 3 te bir M yüzeyi üzerinde bulunan ve belli bir P = α (t) noktasında 12

19 aynı X P teğet vektörüne (asimptotik olmayan) sahip olan bütün eğrilerin P = α (t) ³ V noktasındaki eğrilik eksenleri; tepesi Meusnier küresinin merkezi olan ve 2, N P düzleminde bulunan düzlemsel bir doğru demeti oluştururlar (Hacısalihoğlu 2000). İspat : (α) i eğrilerinin P = α (t) noktasındaki eğrilik eksenleri eğrilik çemberinin düzlemine C; eğrilik merkezinden çıkılan dik doğrudur. Bu dikme C den geçer. Sonuç E 3 te bir M yüzeyi üzerinde bulunan ve P M noktasında yüzeye teğet olanveasimptotik doğrultu olmayan bütün doğrultuları,ortakteğet doğrultusu kabul eden eğri ailelerinin P noktasına karşılık gelen, i) Eğrilik çemberleri, yarıçapı R ve merkezi C = P + R N P noktası olan Meusnier küresi üzerinde bulunurlar. ii) Eğrilik merkezleri, yarıçapı R ve merkezi D = P + R 2 2 N P noktası olan bir çember üzerinde bulunurlar. iii) Eğrilik eksenleri, tepesi Meusnier küresinin merkezi yani C = P + R N P noktası olan uzaysal bir doğru demeti oluştururlar (Hacısalihoğlu 2000) n  3 Halinde Meusnier Teoremi Teorem E n de bir hiperyüzey M ve M üzerinde asimptotik olmayan bir eğri α : I M olsun. α nın birp noktasından ve P deki X P teğetinden geçen ve M yüzeyinin P noktasındaki birim normali N p ile bir ϕ i 0 ϕi π 2 açısı yapan bir düzlem ile M yüzeyinin arakesit eğrisi de α i olsun. M yüzeyinin α ve α i doğrultusundaki normal eğriliklerinin P α α i noktasındaki değerleri, sırası ile, k 1 ve (k 1 ) i olmak üzere dir (Hacısalihoğlu 2000). k 1 =(k 1 ) i cos ϕ i 13

20 İspat : α eğrisinin P noktasındaki Frenet ayaklısı n X P, V 2,...,V n o ve α i eğrisinin P noktasındaki Frenet ayaklısı da olsun. n X P, ³ V 2 i ³ V o,..., n i Hipotezden, D³ V 2 D³ V 2 i i, N P E, N P E = ³ V 2 N P cos (π ϕi ) = cos ϕ i i dir. X P doğrultusu asimptotik olmadığından, ³ X S P = k 1X P dir. Buna göre; iç çarpım bilineer olduğundan, D ³ X S P, E X P = Dk 1X P, E X P D ³ X S P, E D X X P = k 1 P, E X P D X X P birim teğet vektör olduğundan P, E X P =1olup, D ³ X S P, E X P = k 1 ((3.3.1)) 14

21 elde edilir. Diğer yandan, α i eğrisinin de teğet doğrultusu X P olduğundan II. esas formun özeliğinden, D ³ X S P, E X P D ³ X S P, E X P ³ X = II P, X P = D = α 00 i (t), E N P D α 00 i (t), N P E olur. α i eğrisinin yay parametresi t olmak üzere, olur. Buradan ³ α 00 i t =(k1 ) i t V 2 t i iç çarpım bilineer olduğundan, D ³ X S P, E ³ V X P = D(k 1 ) i 2, E N P i ³ V 2 i = n i olmak üzere, D ³ X S P, E D³ V X P = (k 1 ) i 2, E N P i D ³ X S P, E X P D = (k 1 ) n i i, E N P = (k 1 ) i k n i k N P cos (π ϕi ) = (k 1 ) i ( cos ϕ i ) elde edilir. Buna göre (3.3.1) ve (3.3.2) den, D ³ X S P, E X P =(k 1 ) i cos ϕ i ((3.3.2)) k 1 =(k 1 ) i cos ϕ i 15

22 olur. Geometrik olarak ifade edersek; E n de bir M hiperyüzeyi üzerinde yatan ve teğet doğrultuları ortak olan fakat bu teğet doğrultuları asimptotik olmayan bütün eğrilerin oskülatör çemberleri bir tek küre üzerinde yer alırlar. Tanım E n de bir hiperyüzey M olsun. M üzerinde yatan ve bir P M noktasında teğet doğrultuları ortak olan bütün eğrilerin P deki oskülatör hiperçemberlerini üzerinde taşıyan hiperküreye M nin P noktasındaki Meusnier Küresi denir (Hacısalihoğlu 2000) n>3 Halinde Meusnier Teoreminin Sonuçları Meusnier teoreminin n = 3 halinde geçerli olan sonuçları n > 3 halinde de geçerlidir. (Hacısalihoğlu 2000) Sonuç E n de bir M hiperyüzeyi üzerinde bulunan ve belli bir P = α (t) noktasında aynı X P teğet vektörüne (asimptotik olmayan) sahip olan bütün eğrilerin eğrilik merkezleri; merkezi N P normal doğrusu üzerinde olan ve P = α (t) noktasından geçen bir hiperçember üzerinde bulunurlar. Bu hiperçember, 2, ³ V N P düzleminde yarıçapı R ve merkezi D = P + R 2 2 N P noktası olan hiperçemberdir. İspat : C i noktası PC doğru parçasını 90 lik açı altında görür. O halde C i lerin geometrik yeri PC çaplı bir hiperçemberdir. Sonuç E n de bir M hiperyüzeyi üzerinde bulunan ve belli bir P = α (t) noktasında aynı X P teğet vektörüne (asimptotik olmayan) sahip olan bütün eğrilerin P = α (t) noktasındaki eğrilik eksenleri; tepesi Meusnier küresinin merkezi olan ve n V 2, N P o düzleminde bulunan düzlemsel bir doğru demeti oluştururlar. İspat : (α) i eğrilerinin P = α (t) noktasındaki eğrilik eksenleri eğrilik çemberinin düzlemine C ; eğrilik merkezinden çıkılan dik doğrudur. Bu dikme C den geçer. Sonuç E n de bir M hiperyüzeyi üzerinde bulunan ve P M noktasında yüzeye teğet olan ve asimptotik doğrultu olmayan bütün doğrultuları, ortak teğet 16

23 doğrultusu kabul eden eğri ailelerinin P noktasına karşılık gelen, i)eğrilik çemberleri, yarıçapı R ve merkezi C = P + N P küresi üzerinde bulunurlar. noktası olan Meusnier R ii ) Eğrilik merkezleri, yarıçapı 2 ve merkezi D = P + R 2 N P noktası olan bir hiperçember üzerinde bulunurlar. iii ) Eğrilik eksenleri, tepesi Meusnier küresinin merkezi yani C = P + R N P noktası olan uzaysal bir doğru demeti oluştururlar. 17

24 3.5. Reel Küre Yüzeyi İçin Meusnier Teoremi Meusnier teoreminde M yüzeyi yerine merkezi O =(0, 0, 0) noktası ve yarıçap uzunluğu r olan S 2 O küresini alalım (Tokeşer 2005). 18

25 Kürenin denklemi, x x x 2 3 = r 2 dir. P noktası küre üzerinde olduğundan küre denklemini sağlar. Küre üzerindeki P =(x 1,x 2,x 3 ) noktasının koordinatları, x 1 = = OA 1 OP 0 cos u x 2 = = OA 2 OP 0 sin u x 3 = 0 OA 1 = PP = r sin v olup OP 0 = r cos v 19

26 olduğundan x 1 = r cos v cos u ((3.5.1)) x 2 = r cos v sin u x 3 = r sin v Buna göre, P =(x 1,x 2,x 3 ) den P = r cos v cos u, r cos v sin u, r sin v olur. Şimdi de N P yi bulalım. f = R 3 R (x 1,x 2,x 3 ) f (x 1,x 2,x 3 )=x x x 2 3 = r 2 f (x 1,x 2,x 3 )=x x x 2 3 r 2 =0 f N P = f f = 3X f x i x i i=1 = f + f + f x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2x 1 +2x 2 +2x 3 x 1 x 2 x 3 f 2 = D E f, f = h(2x 1, 2x 2, 2x 3 ), (2x 1, 2x 2, 2x 3 )i = 4x x x 2 3 = 4 x x x 2 3 = 4r 2 20

27 Buradan N P = 2x 1, 2x 2, 2x 3 2r 2r 2r f =2r ³ x1 N P = r, x 2 r, x 3 r olup (3.5.1) bağıntısından (x 1,x 2,x 3 ) değerleri yazılırsa N P =(cosv cos u, cos v sin u, sin v) elde edilir. Orientasyona bağlı olarak r + R veya r R alınarak OC =(r R) N P yazarız. Meusnier küresinin temsilci bir noktasını P =(x, y, z) olarak alalım. Bu noktaya göre, OC = OP + PC PC = OC OP olup olduğundan PC = R OC OP = R olur. Merkezi C olan S 2 c küresinin denklemi (x (r R)cosv cos u) 2 +(y (r R)cosv sin u) 2 +(z (r R)sinv) 2 = R 2 21

28 dir. OC =(r + R) N P alalım. = R 2 x 2 2x (r + R)cosv cos u +(r + R) 2 cos 2 v cos 2 u + y 2 2y (r + R)cosv sin u +(r + R) 2 cos 2 v sin 2 u + z 2 2z (r + R)sinv +(r + R) 2 sin 2 v den x 2 + y 2 + z 2 2(r + R)[cosv (x cos u + y sin u)+z sin v]+(r + R) 2 = R 2 olur. Buradan da merkezi C olan S 2 C küresinin denklemi x 2 + y 2 + z 2 + r 2 +2rR 2(r + R)[cosv (x cos u + y sin u)+z sin v] =0 olarak bulunur. Merkezi O olan S 2 O küresinin denklemi x 2 + y 2 + z 2 = r 2 olduğundan iki denklemi ortak çözersek r 2 + r 2 +2rR 2(r + R)[x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v] =0 2r 2 +2r [R (x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v)] 2R x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v =0 R (x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v) =λ R (x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v) =μ alınırsa r 2 + λr + μ =0 ((3.5.2)) 22

29 olur. (3.5.2) denkleminin köklerini bulmak için yı hesaplayalım. = λ 2 4μ ise =[R (x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v)] 2 +4R x cos u cos v +y sin u cos v + z sin v olup t = x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v alınırsa = (R t) 2 +4Rt = R 2 2Rt + t 2 +4Rt = R 2 +2Rt + t 2 = (R + t) 2 = R + t olur. Bulunan yı r 1,2 = λ 2 ifadesinde yerine yazarsak r 1,2 = (R t) (R + t) 2 den r 1 = R r 2 = t r 2 = x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v 23

30 olur. r 2 = x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v D = OP, N P E D = r N P, N P E r 2 = r olur. Benzer şekilde alarak aynı işlemler yapılırsa OC =(r R) N P r 1 = R r 2 = r elde edilir. Buna göre aşağıdaki teoremi verebiliriz. 24

31 Teorem 3.5.1: Merkezi O (başlangıç) noktası ve yarıçap uzunluğu r olan S 2 O küresinin bir P noktasındaki Meusnier küresi S 2 O küresinin kendisidir (Tokeşer 2005). 25

32 Teorem O merkezli bir küre SO 2 E3 olsun. Eğer M SO 2 ise M eğrisinin her noktasındaki oskülatör küre SO 2 dir (Hacısalihoğlu 2000). Aynı noktadan geçen oskülatör küre ile Meusnier küresi arasındaki ilişki nedir? Meusnier teoreminde M yüzeyi yerine merkezi O =(0, 0, 0) noktası ve yarıçap uzunluğu r olan SO 2 küresini aldığımızda Meusnier küresi SO 2 küresinin kendisidir. Bu durumda Meusnier küresinin merkezi yüzey normali üzerindedir. SO 2 oskülatör küresinin merkezi ise V 3 üzerindedir. N = V 3 olunca oskülatör küre ile Meusnier küresi çakışırlar. Diğer hallerde yarıçapları mukayese ederiz. 26

33 3.6. Dual Küre Yüzeyi İçin Meusnier Teoremi Meusnier teoreminde M yüzeyi yerine merkezi O =(0, 0, 0) noktası ve yarıçap uzunluğu 1 birim olan K birim dual küresini alalım. 27

34 X 1,X 2,X 3 D 3 olmak üzere X 1 = x 1 + εx 1 X 2 = x 2 + εx 2 X 3 = x 3 + εx 3 olup K birim dual küresinin denklemi X X X 2 3 =1 ((3.6.1)) olur. (3.6.1) denkleminden x x x 2 3 = 1 x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 = 0 sağlanır. Dual küre üzerinde P (x, y, z; x,y,z )=(X, Y, Z) dual noktasını alalım. P,küre üzerinde olduğundan küre denklemini sağlar. 28

35 Küre üzerindeki P =(X 1,X 2,X 3 ) noktasının koordinatlarını, X 1 = = OA 1 OP 0 cos Ψ X 2 = = OA 2 OP 0 sin Ψ 29

36 X 3 = = OA 3 OP sin Φ OP 0 = OP cos Φ OP = 1 olduğundan OP 0 =cosφ olur. Buna göre Φ ve Ψ dual açılar olmak üzere X 1 = cosφ cos Ψ X 2 = cosφ sin Ψ X 3 = sinφ olup P =(cosφ cos Ψ, cos Φ sin Ψ, sin Φ) yazabiliriz. N P yüzey normalini bulalım. F : D 3 D (X 1,X 2,X 3 ) F (X 1,X 2,X 3 )=X X X 2 3 1=0 F =(2X 1, 2X 2, 2X 3 ) 2 F = D E F, F = 4X1 2 +4X2 2 +4X3 2 = 4 X1 2 + X2 2 + X3 2 = 4 30

37 F =2 olup µ 2X1 N P = 2, 2X 2 2, 2X 3 2 N P = (X 1,X 2,X 3 ) N P = (cosφ cos Ψ, cos Φ sin Ψ, sin Φ) olur. Burada orientasyona bağlı olarak (1 + R) veya (1 R) alınarak OC =(1 R) N P yazabiliriz. Buradan C dual vektörünün koordinatları C =[(1 R)cosΦ cos Ψ, (1 R)cosΦ sin Ψ, (1 R)sinΦ] elde edilir. Meusnier küresinin temsilci bir noktası P =(X 1,X 2,X 3 ) noktasına göre OC = OP + PC PC = OC OP yazabiliriz. olduğundan PC = R OC OP = R olur. 31

38 Merkezi C noktası olan Meusnier küresinin denklemi OC =(1+R) N P alınırsa (X (1 + R)cosΦ cos Ψ) 2 +(Y (1 + R)cosΦ sin Ψ) 2 +(Z (1 + R)sinΦ) 2 = R 2 dir. X 2 2X (1 + R)cosΦcos Ψ +(1+R) 2 cos 2 Φ cos 2 Ψ + Y 2 2Y (1 + R)cosΦsin Ψ +(1+R) 2 cos 2 Φ sin 2 Ψ +Z 2 2Z (1 + R)sinΦ +(1+R) 2 sin 2 Φ = R 2 X 2 2X (1 + R)cosΦcos Ψ +Y 2 2Y (1 + R)cosΦsin Ψ +Z 2 2Z (1 + R)sinΦ +(1+R) 2 = R 2 olur. X 2 + Y 2 + Z 2 2(1+R) X cos Φ cos Ψ +Y cos Φ sin Ψ + Z sin Φ +(1+R) 2 = R 2 ((3.6.2)) yazabiliriz. X cos Φ cos Ψ + Y cos Φ sin Ψ + Z sin Φ = λ olmak üzere (3.6.1) ve (3.6.2) denklemlerinin ortak çözümünden 32

39 1 2(1+R) λ +(1+R) 2 = R 2 1 2λ 2λR +1+2R + R 2 = R 2 2 2λ 2λR +2R = 0 1 λ λr + R = 0 (1 + R) λ (1 + R) = 0 (1 + R)(1 λ) = 0 olur. 1 λ 6= 0 olduğundan 1+R = 0 R = 1 bulunur. Benzer şekilde orientasyona bağlı olarak OC =(1 R) N P alınırsa R = 1 Meusnier küresinin denklemi (X (1 R)cosΦ cos Ψ) 2 +(Y (1 R)cosΦ sin Ψ) 2 +(Z (1 R)sinΦ) 2 = R 2 olur. Denklem düzenlenirse X 2 + Y 2 + Z 2 2(1 R) X cos Φ cos Ψ +Y cos Φ sin Ψ + Z sin Φ +(1 R) 2 = R 2 ((3.6.3)) 33

40 bulunur. X cos Φ cos Ψ + Y cos Φ sin Ψ + Z sin Φ = λ olmak üzere (3.6.1) ve (3.6.3) denklemlerinin ortak çözümünden 1 2(1 R) λ +(1 R) 2 = R 2 1 2λ +2λR +1 2R + R 2 = R 2 2 2λ +2λR 2R = 0 1 λ + λr R = 0 (1 λ) R (1 λ) = 0 (1 R)(1 λ) = 0 olur. (1 λ) 6= 0 olduğundan 1 R = 0 R = 1 bulunur. Buradan aşağıdaki teoremi verebiliriz. 34

41 Teorem 3.6.1: Merkezi O (başlangıç) noktası ve yarıçap uzunluğu 1 birim olan K birim dual küresinin bir P noktasındaki Meusnier küresi K birim dual küresinin kendisidir. Bu bölümde yapılan çalışma daha önce kimse tarafından yapılmamış bir çalışma olup ilk defa bu tezde çalışılmış orjinal bir çalışmadır. 35

42 4. E - STUDY DÖNÜŞÜMÜ 4.1. Birim Dual Küre n X = x + x X =(1, 0), x, o x R 3 Küre denir (Hacısalihoğlu 1983). cümlesine D Modül de Birim Dual R 3 teki bir doğru bir O başlangıç noktasına göre üzerindeki bir M noktası ve doğrunun yönünü belirten bir u vektörü tarafından tamamen belirlidir. Buna göre, bu doğrunun vektörel denklemi; OX = OM + MX MX = OX OM OX = x, OM = m, MX = u alınırsa, u = x m 36

43 her iki tarafın u ile vektörel çarpımını yaparsak, u u =( x m) u u u =0olduğundan, olur. ( x m) u = 0 ((4.1.1)) (4.1.1) denklemini elde etmek için MX = u olarak aldık. Eğer MX = λ u,λ R alınsaydı sonuç değişmeyeceğinden MX = u birim vektör olarak alabiliriz. Vektörel çarpımdan, ( u + v ) w =( u w )+( v w ) olduğundan, (4.1.1) denkleminden x u = m u olur. Burada, x u = m u = u 0 denirse u 0 vektörüne u birim vektörünün O başlangıç noktasına göre Vektörel Momenti denir (Hacısalihoğlu 1983). u 0, vektörel moment vektörü, X noktasınındoğru üzerindeki seçilisinden bağımsızdır. Doğru üzerinde X noktasından başka bir Y noktası alalım. Buna göre, doğrunun vektörel denklemi; OY = OM + MY MY = OY OM 37

44 OY = y OM = m MY = u olmak üzere u = y m olup, u ile vektörel çarpım yapılırsa u u =( y m) u den, y u = m u olur. m u = u 0 olduğundan, y u = m u = u 0 elde edilir. Şimdi de y u = u 0 olduğunu gösterelim. OY = OX + XY OY = y, OX = x, XY = λ u olduğundan y = x + λ u 38

45 yazabiliriz. Buradan her iki tarafın u ile vektörel çarpımı yapılırsa, y u = ( x + λ u ) u = ( x u )+(λ u u ) = x u + λ ( u u ) = x u x u = u 0 olduğundan, y u = u 0 elde edilir. Bu da gösteriyor ki; u 0, vektörel moment vektörü, noktanın doğru üzerindeki seçilişinden bağımsızdır. u 0 vektörünün boyu, O başlangıç noktasının doğruya olan dik uzaklığına eşittir. O başlangıç noktasından doğruya inilen dikmenin ayağı Z olsun. u 0 vektörü doğru üzerindeki noktanın seçilişinden bağımsız olduğundan, OZ = z olmak üzere z u = u 0 yazabiliriz. Buna göre, u 0 vektörünün boyu, u 0 = k z u k = k z k. k u k. sin φ olur. φ = π 2 olmak üzere, u birim vektör alınabileceğinden k u k =1olup, u 0 = k z k olur. k z k = δ alınırsa u 0 = δ elde edilir. O halde u 0 vektörü O başlangıç noktasının seçilişine bağlıdır. 39

46 ³ Buna göre u, u 0 vektör çifti verilmiş iser 3 deki yönlü doğru tek olarak bellidir. u 0 = x u olduğundan u 0 x ve u 0 u dir. O başlangıç noktasından geçen ve u 0 vektörüne dik olan düzlem içinde O merkezli ve δ yapıçaplı çember çizilirse, O başlangıç noktasından u vektörüne çizilen dik ³ doğru çemberi iki noktada keser. Bu noktalardan çembere çizilen teğetler u, u 0 ³ ve u, u 0 vektör çiftlerine karşılıkgelenyönlüdoğrulardır. Momentin pozitif ³ olduğu yani u, u 0 vektör çiftine karşılık gelenyönlüdoğruyu göz önüne alınırsak, bu doğru bir tanedir. Yani bu doğru tek olarak bellidir. Burada u R 3, ³ u 0 R 3 olmak üzere u, u 0 vektör çiftine R 3 te karşılık gelen ³ doğru d 1, u, u 0 vektör çiftine R 3 te karşılık gelendoğru ise d 2 ile gösterilmiştir. u 0 vektörel moment vektörü, doğru üzerindeki noktanın seçilişinden bağımsız veo ³ başlangıç noktasının seçilişine bağlı olduğundan verilen u, u 0 vektör çiftine R 3 te ³ karşılık gelen doğru bir tanedir. Buna göre u, ³ u 0 ve u, u 0 vektör çiftlerine R 3 te karşılık gelen d 1 ve d 2 doğruları birer tanedir. 40

47 ³ u, u 0 vektör çifti u R 3, u 0 R 3 olmak üzere, u 0 = x u olup u 0 u ve k u k =1 olduğundan, h u, u i = 1 ((4.1.2)) D u, E u 0 = 0 koşullarını sağlamaktadır. u R 3, u 0 R 3 olduğundan R 3 ün standart bazına göre, u = u1 e1 + u 2 e2 + u 3 e3 u 0 = u 01 e1 + u 02 e2 + u 03 e3 şeklinde yazabiliriz. ³ u, u 0 vektör çiftinin ³ u, u 0 =(u 1,u 2,u 3,u 01,u 02,u 03) altı bileşenine Normlanmış Homogen Olmayan Plücker Doğru Koordinatları denir (Hacısalihoğlu 1983). Buna göre normlanmış homogen olmayan Plücker doğru koordinatlarını R 6 uzayının bir elemanı gibi düşünebiliriz. h u, u i = 1 u u u 2 3 =1 D u, E u 0 = 0 u 1.u 01 + u 2.u 02 + u 3.u 03 =0 41

48 denklemleri belli olduğundan alabiliriz. ³ u, u 0 vektör çiftini R 6 uzayının R 4 alt uzayı içinde u vektörü birim vektör olmasaydı ρ Â 0 olmak üzere u vektörü yerine v = ρ u u 0 vektörü yerine de v 0 = ρ u 0 vektörleri alınırsa, ve D u, E u 0 =0 u 0 = x u olduğundan ve D v E, v 0 =0 v 0 = x u gerçeklenir. Buna göre ³ v, v 0 vektör çiftinin ³ v, v 0 =(ρu 1,ρu 2,ρu 3,ρu 01,ρu 02,ρu 03) altı bileşeni normlanmış homogen Plücker doğru koordinatlarıdır. Teorem (E-Study Teoremi) : ³ 0 A 6=, a D Modül olmak üzere D Modül de denklemi A =(1, 0) olan birim dual kürenin dual noktaları, R 3 teki yönlü doğrulara karşılık gelir(hacısalihoğlu 1971). İspat : A = a + ε a D Modül, A bir birim dual vektör olsun. A, birim 42

49 dual vektör olduğundan, k a k = h a, a i =1 ve D a, a E =0 olur. Bu ise (4.1.2) ile verilen h u, D u i =1, u, E u 0 =0ifadesidir. O halde a vektörü u vektörüne, a vektörü de ³ u 0 vektörüne karşılık gelmektedir. Buna göre u, u 0 ³ vektör çiftine a, ³ a vektör çifti karşılık gelmektedir. u, u 0 vektör çiftine R 3 te bir tek yönlü doğru karşılıkgeldiğinden A = a +ε a birim dual vektörü verildiğinde R 3 te yönlü doğru tek olarak bellidir. O halde, R 3 teki yönlü doğrularla D Modül ün birim dual vektörleri birebir karşılık gelirler. Eğer A = a + ε a birim dual vektörleri birim dual küreye ait noktaların OA = A yer vektörleri olarak alınırlarsa R 3 teki yönlü doğrular, denklemi A =(1, 0) olan birim dual kürenin dual noktalarına birebir karşılık gelirler. A = a + ε a birim dual vektörü R 3 te bir tek yönlü doğru belirtmektedir. Burada a birim vektörü doğrunun yönünü, a vektörü ise O başlangıç noktasına göre a nın vektörel momentini gösterir. Teorem 4.1.2: O başlangıç noktası yerine başka bir P noktası seçildiğinde R 3 teki yönlü doğruyu belirten birim dual vektör, ³ A = a + ε PO a + a vektörüdür(hacısalihoğlu 1983). 43

50 İspat : a birim vektörünün P noktasına göre vektörel momenti a P yönlü doğruyu P noktasına göre belirten birim dual vektör olmak üzere, R 3 teki A = a + ε a P dır. a nın O başlangıç noktasına göre vektörel momenti a = x a olduğundan, a P = PX a olur. PX = PO+ OX = PO+ x olacağından, ³ a P = PO+ x a vektörel çarpımın özeliğinden ³ a P = PO a +( x a ) 44

51 olup, a = x a olduğundan a P = PO a + a olur. Buna göre A = a + ε a P dan ³ A = a + ε PO a + a elde edilir. 45

52 4.2. Dual Açı A ve B iki birim dual vektör olmak üzere A =(1, 0) k D a k =1, a, a E =0 ve B =(1, 0) b D b E =1,, b =0 olup, bu iki birim dual vektörün iç çarpımı ise D A, B E = = D a + εa, b + ε E b D a, E ³D a b + ε, E D b + a, E b şeklindedir. E-Study teoremine göre A ve B birim dual vektörleri R 3 te iki yönlü doğru belirtirler. A ve B birim dual vektörlerinin R 3 te belirttiği yönlü doğrular, d 1 ve d 2 olsunlar. d 1 ve d 2 doğrularınınyeriveyönübelliolduğundan a ve b birim vektörleri arasındaki 46

53 açı ϕ olmak üzere D A, E D B = a, E ³D a b + ε, E D b + a, E b iç çarpımının reel kısmı, D a, E b = k a k b cos ϕ olup olduğundan k a k = b =1 D a, E b =cosϕ, 0 ϕ π, ϕ R olur. a ve b vektörleri, sırasıyla, d 1 ve d 2 doğrularının üzerindeki X ve Y noktalarının seçilişinden bağımsızdırlar. Buna göre X ve Y noktalarını d 1 ve d 2 doğrularının ortak dikmesinin ayakları olarak alabiliriz. Bu ortak dikme yönündeki birim vektör, a b n = + a b olur. d 1 ve d 2 doğruları arasındaki en kısa uzaklık ϕ ile gösterilirse, OY = OX + XY OY = y OX = x XY = nϕ 47

54 olduğundan y = x + nϕ y x = nϕ = + a b a b ϕ olur. a b = y a = x b olduğundan, D a, E D b + a, E b = = = = = D y E D a, b + a, E x b D y E D a, b + x E b, a D y, E D a b + x, E b a D y, E D a b x, E a b D y x, E a b D a, E D b + a, E b * + a b = a ϕ, a b b ϕ D = a a b, E a b b ϕ a b 2 = a b = ϕ a b D a, E D b + a, E b = ϕ k a k b sin ϕ k a k = b =1 48

55 olduğundan, D a, E D b + a, E b = +ϕ sin ϕ olur. Buna göre A ve B birim dual vektörlerinin iç çarpımını, D A, E D B = a E,b hd a + ε E,b + D a Ei,b olduğundan D A, E B =cosϕ+ ε (ϕ sin ϕ) ((4.2.1)) olarak yazabiliriz. (4.2.1) ifadesinde ( ) işareti göz önüne alınırsa, D A, E B =cosϕ ε (ϕ sin ϕ) ((4.2.2)) olur. A ve B birim dual vektörleri arasındaki açı Φ = ϕ + εϕ olmak üzere, D A, B E = A. B. cos Φ ((4.2.3)) = cosφ = cos(ϕ + εϕ ) dır. Buna göre (4.2.2) ve (4.2.3) ifadelerinden, cos ϕ ε (ϕ sin ϕ) =cos(ϕ + εϕ ) elde edilir. A ve B birim dual vektörleri arasındaki en kısa uzaklık, y x vektörünün n birim vektörü yönündeki dik izdüşümüdür. A ve B birim dual vektörleri arasındaki en kısa uzaklığa h dersek h = h y x, n i y x = + nϕ 49

56 olduğundan h = + n.ϕ, n À = +ϕ h n, n i olup, n birim vektör olduğundan, h = +ϕ bulunur. Tanım Φ = ϕ + εϕ dual sayısına A ve B birim dual vektörleri arasındaki Dual Açı denir(hacısalihoğlu 1983). Φ = ϕ + εϕ olduğundan Φ dual açısı, A ve B birim dual vektörlerinin R 3 te temsil ettikleri yönlü doğrular arasındaki ϕ açısı ile bu iki doğru arasındaki en kısa uzaklık olan ϕ dan oluşmaktadır. OA = A ve OB = B birim dual vektörlerinin uçları D Modül de O merkezli birim dual kürenin A ve B birim dual noktalarını belirtir. O merkezli birim dual küre, AOB den geçen düzlemle kesilirse arakesit büyük dual dairedir. A ve B birim dual vektörleri dual açı Φ olmak üzere, AB dual yayının uzunluğu Φ ile ölçülür. A ve B dual vektörleri birim vektör değil iseler, A U = A B V = B eksenleri birim dual vektörlerdir. U ve V birim dual vektörleri arasındaki dual açı, Φ olmak üzere D U, E V =cosφ 50

57 olur. Buna göre * A + B, A B 1 1 D A, E. A B B D A, E B = cosφ = cosφ = A. B. cos Φ elde edilir. A ve B birim dual vektörlerine karşılık gelenr 3 teki yönlü doğruların birbirine göre durumlarını inceleyelim(hacısalihoğlu 1971). D A, E cos ϕ =0 ϕ = π 1.) B 2 =Sırf Dual olur. ϕ 6=0 D A, E B =Sırf Dual ise A ve B birim dual vektörlerinin R 3 te belirttikleri yönlü doğrular, dik durumlu aykırı doğrulardır. D A, E 2.) B =Sırf Reel ϕ =0olur. D A, E B =Sırf Reel ise A ve B birim dual vektörlerinin R 3 te belirttikleri yönlü doğrular, kesişirler. Buna göre A = a + ε a, B = b + ε b olmak üzere D A, E D B = a, E b ³D + ε a, E D b a +, E b olup, ise D A, E B = SırfReel D a, E D b a +, E b =0 51

58 olacaktır. O halde doğruların kesişme koşulu, D a, E D b a +, E b =0 olur. D A, E 3.) B =0 cos ϕ εϕ sin ϕ =0+ε.0 cos ϕ =0 ϕ = π 2 ve ϕ sin ϕ = 0 ϕ sin π 2 = 0 ϕ = 0 olur. Buna göre D A, E B =0 ϕ = π 2 ve ϕ =0 elde ederiz. D A, E B =0 ise A ve B birim dual vektörlerinin R 3 te belirttikleri yönlü doğrular, birbirlerini dik olarak keserler. D A, E 4.) B =(1, 0) cos ϕ εϕ sin ϕ =1+ε0 cos ϕ =1 ϕ =0 ve ϕ sin ϕ = 0 ϕ sin 0 = 0 ϕ 6= 0 veya ϕ =0 52

59 olup buradan D A, E B =(1, 0) ϕ =0ve (ϕ 6=0veya ϕ =0) olacaktır. D A, E B =(1, 0) ϕ =0ve ϕ 6=0ise A ve B birim dual vektörlerinin R 3 te belirttikleri yönlü doğrular, paralel ve aynı yönlüdürler. D A, E B =(1, 0) ϕ =0ve ϕ =0ise A ve B birim dual vektörlerinin R 3 te belirttikleri yönlü doğrular, aynı yönlü ve çakışıktırlar. D A, E 5.) B =( 1, 0) cos ϕ εϕ sin ϕ = 1+ε0 cos ϕ = 1 ϕ = π ve ϕ sin ϕ = 0 ϕ sin π = 0 ϕ = 0 veya ϕ 6=0 olup buradan da D A, E B =( 1, 0) ϕ =0ve (ϕ 6=0veya ϕ =0) olur. D A, E B =( 1, 0) ϕ =0ve ϕ 6=0ise A ve B birim dual vektörlerinin R 3 te belirttikleri yönlü doğrular, paralel ve zıt yönlüdürler. D A, E B =( 1, 0) ϕ =0ve ϕ =0ise A ve B birim dual vektörlerinin R 3 te belirttikleri yönlü doğrular, zıt yönlüveçakışıktırlar. 53

60 5. ÇİZGİLER GEOMETRİSİ 5.1. Lineer Işın Kompleksi E-Study teoreminden D Modül deki birim dual X = x + ε x vektörü R 3 te bir yönlü doğru gösterir. Burada x =(x 1,x 2,x 3 ) birim reel vektörü X doğrusunun yönünü ve x =(x 1,x 2,x 3) vektörü de O başlangıç noktasına göre X doğrusunun vektörel momenti ifade eder.³ x, x =(x 1,x 2,x 3 ; x 1,x 2,x 3) normlanmış homogen olmayan Plücker doğru koordinatlarında 6 parametre vardır. X = x + εx birim dual vektör olduğundan X = 1 x x x 2 3 =1 ((5.1.1)) D x, x E = 0 x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 =0 koşulu sağlanacağından normlanmış homogen olmayan Plücker doğru koordinatlarında 4 parametre vardır. x, x ³ =(x 1,x 2,x 3 ; x 1,x 2,x 3) normlanmış homogen olmayan 6 parametreli Plücker doğru koordinatları arasında, X = 1 D x, x E = 0 bağıntısından başka bir ikinci F (x 1,x 2,x 3 ; x 1,x 2,x 3)=0 ((5.1.2)) bağıntısı varsa X doğrusunun bağımsız parametre sayısı 3olur. Tanım R 3 te 3 bağımsız parametreyebağlı olan 3 sayıdaki doğruların cümlesine Işın Kompleksidenir(Hacısalihoğlu 1983). 54

61 Tanım A = a + ε a bir has dual vektör olmak üzere D a, D x E a +, E x =0 denklemini sağlayan X = x + ε x birim dual vektörüne R 3 te karşılık gelen X = x + ε x doğruların cümlesine Lineer Işın Kompleksidenir(Hacısalihoğlu 1983). Verilen A = a + ε a has dual vektörü birim değilse, D a, D x E a +, E x =0 denklemini sağlayan X = x + ε x doğruları A nın eksenini belirtir. kesen doğruları Verilen A = a + ε a has dual vektörü birim ise, D a, D x E a +, E x =0 denklemini sağlayan X = x + ε x doğruları A yı kesen doğruları belirtir Lineer Doğru Kongrüansı X = x + ε x = X (x 1,x 2,x 3 ; x 1,x 2,x 3) doğrusunun normlanmış homogen olmayan 6 parametreli Plücker doğru koordinatları arasında X = 1 x x x 2 3 =1 D x, x E = 0 x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 =0 F (x 1,x 2,x 3 ; x 1,x 2,x 3) = 0 φ (x 1,x 2,x 3 ; x 1,x 2,x 3) = 0 55

62 bağıntıları varsa X doğrusunun bağımsız parametresayısı 2olur. Tanım İki bağımsız parametreye bağlı 2 sayıdaki X doğrularınıncümlesine Işın Kongrüansı (Doğru Kongrüansı) denir (Hacısalihoğlu 1983). Tanım A = a + ε a, a 6= 0ve B = b + ε b, b 6= 0has dual vektörleri için X = x + ε x = X (x 1,x 2,x 3 ; x 1,x 2,x 3) olmak üzere x x x 2 3 = 1 x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 = 0 D F... a, D x E a +, E x = 0 D b D φ..., x E b +, E x = 0 bağıntılarını sağlayan X = x + ε x doğrularınının cümlesine Lineer Işın Kongrüansı denir(hacısalihoğlu 1983). D a, D x E a +, E x =0bağıntısının anlamı, X = x + ε x doğruları A = a + ε a has dual vektörünün, U = A k, eksenini keser. Ak D b D, x E b +, E x =0bağıntısı da X = x + ε x doğruları B = b + ε b has dual vektörünün V = B k eksenini keser anlamındadır. Bk Lineer doğru kongrüansı, R 3 te verilen iki doğruyu kesen bütün doğruların cümlesidir. Kongrüansın içinde iki tane ışın kompleksi vardır. Buna göre her kongrüans lineer ışın kompleksidir. Bu ifadenin tersi yani, Her lineer ışın kompleksi kongrüanstır. doğru değildir (Hacısalihoğlu 1983). F =0ve φ =0iki farklı lineer ışın kompleksi olup X = x + ε x doğruları hem 56

63 F =0hemde φ =0kompleksine dahildirler. F =0ve φ =0iki farklı lineer ışın kompleksi olduklarından lineer ışın kongrüansının 2 sayıdaki X = x + ε x doğruları, F =0ve φ =0lineer ışın komplekslerinde ortak olan doğrulardır. Bu nedenle X = x + ε x doğruları F + vφ =0 lineer ışın kompleksi demetine de dahildirler. λ ve μ homogen parametreler olmak üzere v = μ λ alalım. Buna göre F + vφ =0 lineer ışın kompleksi demeti, D a, D x E a +, E x + μ ³D b D, x E b +, E x D λ λ a, D x E a + λ, E D b D x + μ, x E b + μ, E x Dλ a + μ b, E D x + λ a + μ b, E x = 0 ((5.2.1)) = 0 = 0 olur. Bu (5.2.1) bağıntısı lineer ışın kompleksi ailesi yani kompleks demetidir. O halde her μ λ değerine ışın kongrüansını kapsayan bir ışın kompleksi karşılık gelir. Her Dλ a + μ b, E x + D λ a + μ b, E x =0 kompleks demetinde olmak üzere k = D a, a E D b, b E D a, a E k a k 2 = 0 k 1 =0 = 0 k 2 =0 bağıntılarını sağlayan dejenere iki lineer ışın kompleksi vardır. Bu dejenere komplekslerin eksenlerine ışın kongrüansının Kılavuz Hatları denir(hacısalihoğlu 1983). 57

64 Buna göre kongrüans iki kılavuz hattını kesen doğruların bütününden oluşur. Buna göre kongrüans, iki kılavuz hattını kesen doğruların bütününden oluşur. Bu oluşma şeklinden dolayı kongrüansa Işın Ağı da denir(hacısalihoğlu 1983) Regle Yüzeyler X = x + ε x = X (x 1,x 2,x 3 ; x 1,x 2,x 3) doğrusunun normlanmış homogen olmayan 6 parametreli Plücker doğru koordinatları arasında X = 1 x x x 2 3 =1 D x, x E = 0 x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 =0 F (x 1,x 2,x 3 ; x 1,x 2,x 3) = 0 φ (x 1,x 2,x 3 ; x 1,x 2,x 3) = 0 ψ (x 1,x 2,x 3 ; x 1,x 2,x 3) = 0 bağıntıları varsa X = x + ε x doğrusunun bağımsız parametre sayısı 1tanedir. Tanım E-Study dönüşümüne uyan ve tek bağımsız parametreyebağlı 1 sayıdaki X doğrularının cümlesine Regle Yüzey (Işın Yüzeyi,Doğrusal Yüzey) denir(hacısalihoğlu 1983). Tanım X = x + ε x birim dual vektör, A = a + ε a, a 6= 0 B = b + ε b, b 6= 0 C = c + ε c ; c 6= 0 has dual vektörler olmak üzere 58

65 x x x 2 3 = 1 x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 = 0 D F... a, D x E a +, E x = 0 D b D φ..., x E b +, E x = 0 D ψ... c D, x E c +, E x = 0 bağıntılarını sağlayan X = x + ε x doğrularının cümlesineregle Yüzey denir (Hacısalihoğlu 1983). Bir regle yüzey, bir t parametresine bağlı X = X (t) birim dual vektörel fonksiyon olmak üzere X = x (t)+εx (t) şeklinde de yazılabilir. 1 parametreli K dual küresel hareketinde, K da tespit edilmiş birx dual noktası, K 0 K 0 sabit birim dual küresi üzerinde t R parametresine bağlı bir X = X(t) X(t) = 1 dual küresel eğrisini çizer(hacısalihoğlu 1983). E-Study dönüşümüne göre t parametresine göre diferensiyellenebilen X = X (t) dual küresel eğrisine R 3 çizgiler uzayında bir 1 parametreli doğru ailesi (Regle Yüzey) karşılık gelir. O halde birim dual küre üzerindeki her dual küresel eğri, R 3 çizgiler uzayında bir regle yüzey belirtir. 59

66 Tanım X = X(t), t R dual küresel eğrisine R 3 çizgiler uzayındaki X regle yüzeyinin Dual Küresel Resmi denir(hacısalihoğlu1983). Tanım X = X (t), X(t) =1t R regle yüzeyinde X(t) ve X (t + dt) komşu ana doğruları arasındaki dual açı dφ = dϕ + εdϕ olmak üzere 1 Dd x,d E x d = hd x,d x i ((5.3.1)) büyüklüğüne regle yüzeyin X(t) ana doğrusu boyunca Dağılma Parametresi veya Drall ı denir(hacısalihoğlu 1983). Tanım Komşu ana doğruları kesişen regle yüzeylere Açılabilir Regle Yüzeyler veya Torslar denir(hacısalihoğlu 1983). Drall in sıfır olması torslar için karakteristiktir(hacısalihoğlu 1983). 60

67 6. ÇEMBERİN STUDY RESMİ D, birimli ve değişimlidualsayılar halkası üzerinde D D D = D 3 bir modüldür. Elemanları dual vektörler olan D 3 de Abel grubu ve skalar ile çarpma işlemi, +:D 3 D 3 D 3 ve : D D 3 D 3 şeklinde tanımlanır. D dual sayılar halkası üzerinde tanımlanan modülü D Modül şeklinde gösteriyoruz. E-Study teoremine göre, ³ 0 A 6=, a D Modül olmak üzere D Modül de denklemi A =(1, 0) olan birim dual kürenin dual noktaları R 3 teki yönlü doğrulara birebir karşılık gelir. Buna göre E-Study dönüşümü D Modül R 3 şeklindedir. K, D Modül de merkezi O başlangıç noktası olan birim dual küre ve O noktasındaki ortonormal sistem no; E 1, E 2, o E 3 olmak üzere E i = e i + ε e i ;1 i 3 ((6.1)) şeklindedir(hacısalihoğlu 1977). 61

68 {O; e 1, e 2, e 3 } sistemi R 3 çizgiler uzayında ortonormal bir sistem olduğundan, e i moment vektörlerini şeklinde yazabiliriz. e i = MO e i, 1 i 3 ((6.2)) e i moment vektörleri R 3 çizgiler uzayının vektörleri olduğundan R 3 ün bazları cinsinden, yazabiliriz. Buna göre, e i = 3X λ ij ej,λ ij R, 1 i 3 ((6.3)) j=1 e 1 = λ 11 e1 + λ 12 e2 + λ 13 e3 ((6.4)) e 2 = λ 21 e1 + λ 22 e2 + λ 23 e3 e 3 = λ 31 e1 + λ 32 e2 + λ 33 e3 olup, matris formunda yazarsak, e 1 e 2 = λ 11 λ 12 λ 13 λ 21 λ 22 λ 23 e1 e2 e 3 λ 31 λ 32 λ 33 e3 elde edilir. MO =(a1,a 2,a 3 ),a i R 62

69 olmak üzere e i = MO e i olduğundan, olup e 1 = MO e 1 e1 e2 e3 e 1 = a 1 a 2 a = e 1 (0) e 2 ( a 3 )+ e 3 ( a 2 ) e 1 =0 e 1 + a 3 e2 a 2 e3 olur. olduğundan e 2 = MO e 2 e1 e2 e3 e 2 = a 1 a 2 a = e 1 ( a 3 ) e 2 (0) + e 3 (a 1 ) e 2 = a 3 e1 +0 e 2 + a 1 e3 ve den e 3 = MO e 3 e1 e2 e3 e 3 = a 1 a 2 a = e 1 (a 2 ) e 2 (a 1 )+ e 3 (0) 63

70 e 3 = a 2 e1 a 1 e2 +0 e 3 olur. O halde e 1 = 0 e 1 + a 3 e2 a 2 e3 ((6.5)) e 2 = a 3 e1 +0 e 2 + a 1 e3 e 3 = a 2 e1 a 1 e2 +0 e 3 olup (6.4) ve (6.5) ifadelerinden λ 11 = λ 22 = λ 33 =0 λ 12 = λ 21 λ 13 = λ 31 λ 23 = λ 32 olur. Buradan da 1 i, j 3 olmak üzere λ ii = 0 λ ij = λ ji yazabiliriz. λ ij = λ i alırsak, e i = 3X λ ij ej j=1 ifadesinin matris formu e 1 e 2 e 3 = 0 λ 1 λ 3 λ 1 0 λ 2 λ 3 λ 2 0 e1 e2 e3 ((6.6)) 64

71 şeklindedir. Buna göre, K R 3 şeklinde tanımlanan E-Study dönüşümü, K birim dual küredeki dual ortonormal sistemden R 3 çizgiler uzayındaki reel ortonormal sisteme bir dönüşüm olarak verilebilir. E i = e i + ε e i ve e i = MO e i bağıntılarından E-Study dönüşümünün matris formu, E 1 E 2 E 3 = e1 e2 e3 + ε 0 λ 1 λ 3 λ 1 0 λ 2 λ 3 λ 2 0 e1 e2 e3 olup E 1 E 2 E 3 = 1 λ 1 ε λ 3 ε λ 1 ε 1 λ 2 ε λ 3 ε λ 2 ε 1 e1 e2 e3 ((6.7)) olur. Buna göre E-Study dönüşümüne bir dual ortogonal matris karşılık gelir. Lineer dönüşümler ve matrisler arasında birebir bir eşleme olduğundan aşağıdaki teoremi ispatsız verebiliriz. Teorem 6.1. E-Study dönüşümü bir lineer izomorfizmdir(hacısalihoğlu 1977). E-Study dönüşümü bir lineer izomorfizm olduğundan, iki doğru arasındaki açı ve uzaklığı değişmez bırakan R 3 çizgiler uzayının Öklid hareketlerinin D Modül deki karşılığı olan dönüşümlerde iç çarpımı korurlar. R 3 çizgiler uzayının Öklidhareketlerinin D Modül deki karşılığı olan dönüşümler, dual katsayılı ortogonal bir matrisin hareketidir(hacısalihoğlu 1977). K birim dual kürenin merkezinin sabit kalması koşuluyla D Modül deki dönüşümler grubu (R 3 çizgiler uzayının Öklid hareketlerinin resmi), hiçbir öteleme içermez. Sadece dönme hareketinden oluşur. Guggenheimer (1963) tarafından bildirildiğine göre; D Modül deki Öklid hareket- 65

72 lerini belirtmek için şu teoremi verebiliriz(hacısalihoğlu 1977). Teorem 6.2. R 3 çizgiler uzayının Öklid hareketleri, ortogonal dual matrisler ile birebir eşleşirler(hacısalihoğlu 1977). Blaschke(1960) ve Guggenheimer (1963) tarafından bildirildiğine göre D Modül deki birim dual kürenin dual dönmeleri yani ortogonal dual matrislere karşılık gelen dönüşümler, R 3 çizgiler uzayının Öklid hareketi olan dönme hareketine karşılık gelirler. Bir reel t parametresine bağlı K birim dual küre üzerindeki diferensiyellenebilir X = X (t),t R eğrisi, R 3 çizgiler uzayında parelel doğruların diferensiyellenebilir bir ailesi olan bir regle yüzey belirtir. X = X (t) = x (t)+ε x (t) denklemiyle belli olan bu regle yüzeyin ana doğruları X (t) doğrularıdır(hacısalihoğlu 1977). 66

73 6.1. Bir Çemberin Study Resmi E 3 = e 3 +ε e 3 birim dual vektörüne R 3 çizgiler uzayında karşılık gelen doğru g olsun. E 3 = e 3 +ε e 3 birim dual vektörüne karşılık gelen doğru g olmak üzere E 3 birim dual vektörünün dual kısmı e 3 =0olmalıdır. e 3 = λ 3 e1 λ 2 e2 +0 e 3 olduğundan λ 2 = λ 3 =0 olmalıdır. g doğrusu üzerinde bir M noktası seçersek E-Study dönüşümüne karşılık gelen matris, E 1 E 2 E 3 1 λ 1 ε 0 = λ 1 ε e1 e2 e3 ((6.1.1)) olur. Bu dönüşümün inversi ise e1 e2 e3 = 1 λ 1 ε 0 λ 1 ε E 1 E 2 E 3 ((6.1.2)) olacaktır. K birim dual küre üzerindeki n X D X, S = E3 =cosφ = sabit, Eo X K çemberini ve bu S çemberinin bir X noktasını alalım. 67

74 Küresel koordinatları kullanarak X noktasının koordinatlarını bulabiliriz. K birim dual küre olduğundan OX =1 olup, X dual vektörünü X =sinφ cos Ψ E1 +sinφ sin Ψ E 2 +cosφ E 3 ((6.1.3)) şeklinde yazabiliriz. Φ ve Ψ dual açıları için cos Φ = cosϕ εϕ sin ϕ ((6.1.4)) cos Ψ = cosψ εψ sin ψ sin Φ = sinϕ + εϕ cos ϕ sin Ψ = sinψ + εψ cos ψ bağıntıları vardır. (6.1.1) bağıntısından E 1 = e 1 + λ 1 ε e 2 +0 e 3 E 2 = λ 1 ε e 1 + e 2 +0 e 3 E 3 = 0 e 1 +0 e 2 + e 3 68

75 olup (6.1.3) bağıntısında yerine yazılırsa X = sinφ cos Ψ ( e1 + λ 1 ε e 2 +0 e 3 )+sinφ sin Ψ ( λ 1 ε e 1 + e 2 +0 e 3 ) +cosφ (0 e 1 +0 e 2 + e 3 ) X = (sinφ cos Ψ λ1 ε sin Φ sin Ψ) e 1 ((6.1.5)) +(sinφ sin Ψ + λ 1 ε sin Φ cos Ψ) e 2 +cosφ e 3 elde edilir. (6.1.4) ifadesinden sin Φ cos Ψ = (sinϕ + εϕ cos ϕ)(cosψ εψ sin ψ) = sinϕ cos ψ ε (ψ sin ϕ sin ψ ϕ cos ϕ cos ψ) sin Φ sin Ψ = (sinϕ + εϕ cos ϕ)(sinψ + εψ cos ψ) = sinϕ sin ψ + ε (ψ sin ϕ cos ψ + ϕ cos ϕ sin ψ) cos Φ = cosϕ εϕ sin ϕ olur. Bu denklemleri (6.1.5) bağıntısında yazarsak X = (sinϕ cos ψ) e1 ε (ψ sin ϕ sin ψ ϕ cos ϕ cos ψ) e 1 λ 1 ε (sin ϕ sin ψ) e 1 +(sinϕ sin ψ) e 2 + λ 1 ε (sin ϕ cos ψ) e 2 + ε (ψ sin ϕ cos ψ + ϕ cos ϕ sin ψ) e 2 +(cosϕ) e 3 ε (ϕ sin ϕ) e 3 olup X dual vektörünü X = (sinϕ cos ψ) e1 +(sinϕsin ψ) e 2 +(cosϕ) e 3 ((6.1.6)) (ϕ cos ϕ cos ψ ψ sin ϕ sin ψ λ 1 sin ϕ sin ψ) e 1 ε +(ϕ cos ϕ sin ψ + ψ sin ϕ cos ψ + λ 1 sin ϕ cos ψ) e 2 (ϕ sin ϕ) e 3 69