DUAL BİRİM KÜRE VE STUDY DÖNÜŞÜMÜ

Transkript

1 Bölüm 1 DUAL BİRİM KÜRE VE STUDY DÖNÜŞÜMÜ 1.1 Dal Birim Küre ve Stdy Dönüşümü 1 R reel sayılar cümlesini göstermek üere, : R R R R, (a,b)(c,d) = (ac,ad +bc) olarak tanımlanan işleme dal çarpım adı verilir (K). (R R,) ikilisi kısaca D ile gösterilir ve dal sayılar cümlesi olarak isimlendirilir. Bir d = (a, b) dal sayısı, d = (a,b) = (a, 0) + (0,b) = a(1, 0) +b(0, 1) 1 Edart Stdy bir öğretmenin oğldr. 23 Mart 1862 de Cobrg/Almanya da doğd ve 6 Nisan 1930 da Born/ Almanya da öldü den itibaren Jena, Strasborg, Leipig ve Mnich Üniversitesi nde çalıştı. Doktorasını 1884 de Münich Üniversitesi nde aldı. Stdy kompleks sayıların geometrisinde bir liderdir. Stdy enmerative geometrinin temel prensiplerini yeniden formülie etti te reel ve kompleks cebirdeki önemli çalışmasını yayınladı. Stdy eliptik aydaki doğrlar üerine de çalıştı de Geometrie der Dynamen yayınladı. B eseri, Öklidiyen kinematik ve katı cisimlerin mekaniği ağırlıklıdır. Stdy hakkında ilginç bir not: Öğrencilik günlerinden itibaren biyolojiyle çok ilgiliydi ve önemli bir kelebek koleksiyonna sahipti. 1

2 2 DUAL BİRİM KÜRE VE STUDY DÖNÜŞÜMÜ olarak yaılırsa, (1, 0) dal sayısınadnin reel birimi, (0, 1) dal sayısına da dal birim denir. (0, 1) sayısıǫile gösterilir ve dır. Şöyle ki; ǫǫ =ǫ 2 = (0, 0) = 0 ǫǫ = (0, 1)(0, 1) = (0.0, ) = (0, 0). Ayrıca, {(a, 0) (a, 0) D} R birebir tekabülünden hareketle, ǫ 2 = 0 dır. D üerinde toplama işlemi, (a,b) (c,d) = (a +c,b +d) şeklinde tanımlanır. (D,, ) üçlü sistemi birimli ve değişimli halkadır. d = (a,b) =a +ǫb dal sayısının eşleniği olarak tanımlanır. 2 d =a ǫb D 3 = D D D cümlesi üerinde toplama ve skaler ile çarpma, A = (A 1,A 2,A 3 ) = (a 1 +ǫa 1,a 2 +ǫa 2,a 3 +ǫa 3 ) A +B = (A 1 +B 1,A 2 +B 2,A 3 +B 3 ) λa = (λa 1,λA 2,λA 3 ) olarak tanımlansın. (D 3, +) bir abel grbdr. (D 3, +), D üerinde bir modüldür. 2 d = (a,b) =a +ǫb dal sayısı, genel olarakd =a +ǫa şeklinde gösterilir.

3 1.1 Dal Birim Küre ve Stdy Dönüşümü 3 Tanım D 3 modülünün her elemanına dal vektör denir. D 3 ün bira = (A 1,A 2,A 3 ) elemanı, A = (a 1 +ǫa 1,a 2 +ǫa 2,a 3 +ǫa 3) = (a 1,a 2,a 3 ) +ǫ(a 1,a 2,a 3) = a +ǫ a, a, a R 3 şeklinde de yaılabilir. D 3 üerinde bir çarpım: A,B D 3 için, a +ǫa, b +ǫ b A,B = = a, b +ǫ( a, + b a, b ) = c +ǫ c şeklinde tanımlanan bir işlemdir ve iç-çarpım öelliklerini sağlar (okyc kolayca gösterebilir ve göstermelidir). BirA D 3 dal vektörünün norm, A = a +ǫ a için a, a A = ( a, a ) dal sayısıdır. 3 A = (1, 0) = 1 iseaya birim dal vektör denir. B drmda a = 1 ve a, a = 0 dır. B haırlıktan sonra asıl konya, E. Stdy dönüşümüne geçebiliri. 3 d = a +ǫ a D için d yi hesaplayalım. a +ǫ a = c +ǫ c a +ǫ a = ( c +ǫ c ) 2 = c 2 +ǫ(2 c c ) a = c 2, a = 2 c c c = a c = a 2 yani a +ǫa = a +ǫ a a 2 dır. Bna göre; a A = a +ǫ a için A = A,A 1 2 = ( a, a +ǫ2 a, a = ( a 2 +ǫ2 a, a ) 2 1 a, a ) 1 2 elde edilir. = ( a +ǫ a )

4 4 DUAL BİRİM KÜRE VE STUDY DÖNÜŞÜMÜ Tanım DS ={ A = a +ǫ a A = (1, 0), a, a R 3 } D 3 cümlesine birim dal küre denir. Teorem (E. STUDY) Birim dal kürenin noktaları R 3 deki yönlü doğrlar ile birebir eşlenir. İspat. İspat için R 3 deki her yönlü doğrnn bir tek birim dal vektör tanımladığını ve her birim dal vektörün de R 3 te bir tek yönlü doğr tanımladığını göstermek yeter. X * P O x y x Doğrnn vektörel denklemini Şekil 1.1: ( x p ) = 0 vektörel çarpımıyla ele alalım. Vektörel denklemde = 0 dan dolayı, = 1 alınması genelliği boma. x =

5 1.2 DS ÜZERİNDEKİ İÇ-ÇARPIMIN YORUMU 5 vektörüne, vektörününo noktasına göre vektörel momenti adı verilir. vektörü,x noktasının doğr üerindeki seçilişinden bağımsıdır. 4 Dolayısıyla X geici temsilci nokta, O noktasının doğr üerindeki dikme ayağı olanz noktası alınabilir. = OZ olp,, doğrnnoya aklığıdır ve, = 0 dır. Böylece, (, ) vektör çifti, = 1,, = 0 öelliklerini gerçekleyen bir vektör çiftidir ve +ǫ dal vektörü için, +ǫ = 1 dir. Yani, +ǫ DS dir. Sonç olarak, R 3 te bir yönlü doğr verildiğinde tek türlü belli bir +ǫ dal birim vektörü elde edilebilir. Şimdi ispatın diğer yönüne geçelim. (, ) DS verilsin. = 1,, = 0 dır. Orijinden geçen ve a dik olan düleme olsn.omerkeli, =r yarıçaplı çember çiilsin. B çemberin teğet vektörlerinin, ve ile çakıştığı noktalardaki doğrlara bakalım.aveb noktalarından geçen, ve y doğrltman vektörü kabl eden iki doğr vardır. nn belirlediği yöne sahip olan doğr (, ) ile tek türlü belli doğrdr. 1.2 DS ÜZERİNDEKİ İÇ-ÇARPIMIN YORUMU D 3 de ikid 1 = +ǫ,d 2 = +ǫ dal vektörünün iç çarpımı, D 1,D 2 = +ǫ, +ǫ =, +ǫ(, + v, v ) dir.d 1,D 2 DS olsn.d 1 ile belli olan yönlü doğrd 1 ved 2 ile belli olan yönlü doğrd 2 olsn. 4 Doğr üerindex den başka biry noktası seçilmiş olsaydı. ( y p ) = 0 y p = 0 y = p =

6 6 DUAL BİRİM KÜRE VE STUDY DÖNÜŞÜMÜ A * O y x - B Şekil 1.2: d 1 için, doğrltman vektörü, vektörel moment,d 2 için, doğrltman vektörü, vektörel momenttir. d 1 ved 2 doğrlarının ortak dikme ayaklarıaveb noktaları olsn. a =, b = v A d 1 a b B d 2 Şekil 1.3: vektörü her iki doğrya da diktir ve AB, AB = a b

7 1.2 DS ÜZERİNDEKİ İÇ-ÇARPIMIN YORUMU 7 olp,d 1 ved 2 arasındaki aklıkθ ise a b = θ dır. D 1,D 2 =, +ǫ(, +, ) iç çarpımına dönelim. Reel kısım için;, = cosθ, θ =açı(, ) = cosθ dır. Dal kısmı hesaplayalım., v +, =, b + a, = (, b, ) + ( a,, ) = (,, b ) + (,, a ) = v, b +, a = a b, = θ, = θ =..sinθ.θ = sinθ.θ elde edilir. Dolayısıyla D 1,D 2 = cosθ +ǫ sinθ.θ = cos(θ +ǫθ ) θ+ǫθ a dal açı denir.θ iki doğr arasındaki açıdır veθ iki doğr arasındaki (en kısa) aklıktır.