KONTROL SİSTEMLERİ EEM 306

Transkript

1 İSTANBUL GELİŞİM ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK VE MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRİK VE ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ (EEMB) KONTROL SİSTEMLERİ EEM 306 DOÇ. Dr. İndrİt Myderrİzİ VI ÖZET II. İkinci Dereceden Sistemlerin Zaman Domeni Davranışı Aşırı Sönümlü Sistem Az Sönümlü Sistem Sönümsüz Sistem Kritik Sönümlü Sistem Genel 2. Dereceden Sistemler Az Sönümlü 2. Dereceden Sistemler 2. Dereceden Sistemlerin Kutup Çizimi 1 1

2 Giriş 1. dereceden sistemlerde parametrenin değişimi sadece sistemin cevap hızını etkiler ama 2. dereceden sistemlerde parametre değişimi cevabın şeklini de değiştirebilir. Aşağıdaki genel 2. dereceden sistem ele alınsın; sistemin iki sonlu kutbu var ve sıfırı yok. Paydadaki b sayısı sadece girişi çarpan bir katsayıdır. a ve b ye değişik değerler vererek 2. dereceden sistemin davranışı incelenir. Kutupların ve sıfırların kullanılması ve bunların sistemin zaman cevabı ile ilişkisi, sistemin cevabın değerlendirmesini daha basit bir hale getiren bir tekniktir. 2 Aşırı Sönümlü İki kök reel eksen üzerindeyken oluşan cevaptır. Giriş fonksiyonu sabit olan zorlanmış çözümü, reel eksen üzerindeki iki kutup da doğal çözümü oluşturur. 3 2

3 Az Sönümlü Kompleks eşlenik kökler varken olan cevaptır. 4 Üstel azalma kompleks kutup çiftin reel kısımdan oluşur Sinüzoidal salınım kompleks kutup çiftin imajiner kısımdan oluşur Bu tür cevaplara sönümlü cevaplar adı verilir ve kararlı hale sönümlü osilasyon ile ulaşır. Sinüzoidal ın frekansına sönümlü osilasyon/salınım frekansı denir, ω d. 5 3

4 Örnek: Sisteminin birim basamak cevabını yazın. veya 6 Sönümsüz İki kök imajiner eksen üzerindeyken oluşan cevaptır. Orijindeki giriş zorlanmış çözümü oluştururken imajiner eksen üzerinde ±3j deki kutuplar sinüzoidal doğal çözümü oluşturur. 7 4

5 Kritik Sönümlü İki katlı kök negatif reel eksen üzerindeyken oluşan cevaptır. Orijindeki giriş zorlanmış çözümü oluştururken reel eksen üzerinde -3 deki katlı kutuplar üstel ve üstel ile zamanın çarpımı doğal çözümü oluştururlar. 8 Genel olarak ifade edilirse; 1) Aşırı sönümlü cevapta iki gerçek kök vardır ve geçici hal cevabı dir. 2) Az sönümlü cevapta karmaşık kökler vardır ve geçici hal cevabı dir. 3) Sönümsüz cevapta köklerin karmaşık kısmı vardır ve geçici hal cevabı dir. 4) Kritik sönümlü cevapta gerçek ve katlı kökler vardır ve geçici hal cevabı dir. 9 5

6 Sönümsüz Az sönümlü Kritik sönümlü Aşırı sönümlü 10 Örnek : Aşağıdaki transfer fonksiyonu için basamak cevap formunu belirleyin. Cevap formu sönümlüdür. 11 6

7 Örnek : Aşağıdaki transfer fonksiyonu için basamak cevap formunu belirleyin. Cevap formu aşırı sönümlüdür. 12 Örnek : Aşağıdaki transfer fonksiyonu için basamak cevap formunu belirleyin. Cevap formu kritik sönümlüdür. Örnek : Aşağıdaki transfer fonksiyonu için basamak cevap formunu belirleyin. Cevap formu sönümsüzdür. 13 7

8 Genel 2. Dereceden Sistemler Doğal frekansı (ω n ) ve sönüm oranı (ζ) 2. dereceden sistemlerin parametreleridir. Sönümsüz bir sistemin salınım frekansı, doğal frekansı verir. Sönüm oranı, ζ, zaman değişkenine bağlı olmaksızın bir oran elde etmek amacıyla tarif edilmiştir. ζ = üstel sönüm frekansı/doğal frekansı veya ζ = (1/2π) doğal peryot/zaman sabiti Genel durumda sıfırı olmayan, 2. dereceden sistemin gösterilişi aşağıdaki gibidir; Sönümsüz sistemin kutupları imajiner eksen üzerinde olacaktır ve sistem cevabı sönümsüz sinüzoidaldır. Sistemin sönümsüz olması için a=0 olmalıdır. 14 Böylece tanım gereği sistemin sönüm frekansı sistemin doğal frekansıdır. Sistem kutupları imajiner eksende ± b de olduğu için ω n = b ve b = ω n 2 dir. Sistem az sönümlü kabul edilirse zaman sabiti kökün reel kısmı olur. Sistemin genel ifadesi aşağıdaki gibidir. 2. dereceden bir sistemde ζ ve ω n nin bulunmasında G(s) transfer fonksiyonu kullanılır. G(s) in kökleri aşağıdaki gibidir. 15 8

9 16 Cevabın ζ ile Karakterize Edilmesi 17 9

10

11 Az Sönümlü 2. Dereceden Sistemler 2. dereceden sistemin birim basamak cevabı aşağıdaki gibidir. 20 Şekil de ζ nın değişik değerleri için sistemin yaptığı salınımlar görülmektedir

12 Tepe Zamanı (T p ): cevabın maksimum değerine ulaşması için geçen süre. Yükselme Zamanı (T r ): sistem cevabının %10 nun dan %90 nına ulaşıncaya kadar geçen süre. Yerleşme Zamanı (T s ): sistem cevabının %98 ine ulaşıncaya kadar geçen süre Maksimum Aşım (M p - %OS): sistem cevabının tepe veya maksimum noktası ile kararlı haldeki değeri arasındaki farkın kararlı haldeki değere oranıdır. 22 Tepe Zamanın Bulunması 23 12

13 Maksimum Aşımın Bulunması c(t) fonksiyonunda t = T p konularak elde edilen değer c max tır. Birim basamak c final = 1 dir

14 Yükselme zamanı Doğal frekans Yerleşme Zamanın Bulunması Tanımın yanısıra yerleşme zamanın işaretin zaman sabitin yaklaşık 4 katı olduğu incelendi. 2. dereceden kontrol sistemi için zaman sabiti 1/ζω n olduğuna göre, yerleşme zamanın sonu aşağıdaki gibi verilebilir Yükselme Zamanın Bulunması Normalize yükselme zamanı ve sönüm arasındaki ilişki aşağıdaki şekil ile bulunabilir. 26 Sönüm oranı Örnek: Aşağıdaki transfer fonksiyonunun tepe zamanı, yerleşme zamanı, yükselme zamanı ve maksimum aşım değerlerini bulun

15 28 Sönümlü 2. Dereceden Sistemlerin Kutup Çizimi Olduğu için eğimli çizgiler sabit sönüm oranı çizgileridir. %OS sadece sönüm oranının fonksiyonu olduğundan bu çizgilere sabit %OS çizgileri denilir

16 - Tepe süresi, T p, kutbun imajiner kısmı ile ters orantılıdır. s düzleminde yatay çizgiler sabit tepe sürelerini gösterir. - Yerleşme süresi, T s, kutbun reel kısmı ile ters orantılıdır. s düzleminde dikey çizgiler sabit yerleşme sürelerini gösterir. 30 s-düzlemi Kutup hareketi Aynı sarma zarfı 31 16

17 s-düzlemi Kutup hareketi Aynı frekans 32 s-düzlemi Kutup hareketi Aynı aşım 33 17

18 Örnek: Şekilde gösterilen kutup diyagramı için, ζ, ω n, T p, %OS ve T s yi bulun. s-düzlemi 34 18