MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:"

Transkript

1 MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y) : x,y Z ve x - y ilebölünür.} bağıntısı denklik bağıntısıdır. Bir x tam sayısı ile bölündüğünde kalan 0,,, sayılarından biri olur. Buna göre Z tam sayılar kümesi modülüne göre 0,,, kalan sınıflarına ayrılır. Z tam sayılar kümesinde modülüne göre kalan sınıflar; 0 {...,,,,0,,,,6,...}, {...,, 7,,,,9,,7,...}, {..., 0, 6,,,6,0,,,...}, {..., 9,,,,7,,,9,...} şeklinde olur. modülüne göre kalan sınıfların kümesi Z / ile gösterilir. Z / {0,,, } tür. Bu sınıfların her birinde bulunan elemanların ile bölünmesinden elde edilen kalan, o elemanın bulunduğu sınıfı verir. Örneğin 0 un ile bölümünden kalan olduğundan, 0 olarak yazılır. m modülüne göre kalan sınıfların kümesi; Z / m {0,,,,..., m } olur. a ile b aynı kalan sınıfına ait ise bu durum a b (mod m) biçiminde gösterilir. in 7 ile bölümünden kalan olduğu için (mod 7) dir. ün 0 ile bölümünde kalan olduğu için (mod 0) dur. nin ile bölümünde kalan olduğundan (mod ) tür. 6 ün 9 ile bölümünde kalan 0 olduğu için 0 (mod 9) dur. in 9 ile bölümünde kalan olduğu için (mod 9) dur. sayısı, sayısı, sayısı ve sayısının ile bölümünde kalanlar eşit olduğundan (mod ) tir Yine in ile bölümünden kalan olduğundan dir. Ayrıca aynı sınıfta bulunan iki elemanın denk olduğunu biliyoruz. Bu durumda ün kalan sınıflarına göre 0 sayısı e denktir. Bunu 0 (mod ) biçiminde yazar ve modülüne göre 0, e denktir diye okuruz. Sonuç m pozitif tam sayısı için Z tam sayılar kümesi m modülüne göre 0,,,,..., m olmak üzere m tane kalan sınıfına ve 7 sayısının 9 ile bölümünde kalan 0 dır. Buna göre, 7 0 (mod 9) dur. 6 nın ile bölümünde kalan olduğu için (mod ) tir.

2 Sonuç A B (mod m) ve B C (mod m) ise A C (mod m) ve C A (mod m) dir. ve sayılarının 7 ile bölümünde kalan 0 dır. Buna göre, (mod 7) ve (mod 7) dir. Uyarı A D (mod m) ise A ve D nin m ile bölümünden kalanlar eşittir. 0 (mod 6) olduğundan ve 0 sayılarının 6vile bölümünden kalanlar eşittir. Kural A B (mod m) ve C D (mod m) ise olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler yazılabilir.. A C B D (mod m) dir. Yani m modülüne göre yazılmış iki denklik taraf tarafa toplanabilir.. A C B D(mod m) dir. Yani m modülüne göre yazılmış iki denklik taraf tarafa çıkarılabilir.. A.C B.D (mod m) dir. Yani m modülüne göre yazılmış iki denklik taraf tarafa çarpılabilir.. k bir sabit sayı olmak üzere k.a k.b (mod m) dir. Yani m modülüne göre yazılmış bir denkliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılabilir. n n. A B (mod m) dir. Yani m modülüne göre yazılmış bir denkliğin her iki tarafının aynı kuvveti alınabilir. (mod 7) ve (mod 7) dir. Buna göre, a) (mod 7) 9 (mod7) b).6. (mod 7) 6 0 (mod7) (mod7) elde edilir. 6 (mod7) elde edilir. c) (mod 7) 6 (mod7) 00 x (mod ) ise x kaçtır? (mod ) olduğundan, (mod7) elde edilir (mod ) (mod) olacağından x = bulunur. Kural k, tam sayı olmak üzere x y (mod m) ise x y m. k dır. x x (mod 7) ise x in alabileceği en küçük üç farklı doğal sayı değerini bulalım. x x (mod 7) x x 7k x 7k elde edilir. k 0 ise x 7.0 x 0 dır. k ise x 7. x 7 dir. k ise x 7. x tür sayısının ile bölümünde kalan kaçtır?

3 99 (mod ) dir. (mod ) (mod ) (mod ) dir. Buna göre, 99 (mod ) 99 (mod) olur. 0 sayısının 9 ile bölümünde kalan kaçtır? 6 sayısının 9 ile bölümünden kalan 0 dır. Bu durumda 6 dur. Buradan (mod 9) 0 (mod 9) bulunur. 0 (mod 9) 0 (mod 9) 0 (mod 9) olacağından; 0 0 (mod 9) 0 (mod 9) 0 9 (mod 9) 0 (mod 9) bulunmuş olur. 7 sayısının ile bölümünden kalan kaçtır? (mod ) (mod ) (mod ) 7. (mod ). (mod ). (mod) (mod) bulunmuş olur. Kısaca nin. kuvveti olduğuna göre ün katı olan kuvvetleri de dir. Bunun için üssün ile bölümünden kalan bulunur. Buradan sonuca gidilir. sayısının birler basamağındaki rakamı bulalım. Bir sayının birler basamağındaki rakam 0 ile bölümündeki kalana eşittir. Buna göre sayısının birler basamağındaki rakamı 0 ile bölümündeki kalan verir. (mod 0) 9 (mod 0) 7 (mod 0) (mod 0). (mod ). (mod ).9 (mod) 9 (mod) bulunmuş olur. 7 6 sayısının ile bölümündeki kalan kaçtır? (mod )

4 6 (mod ) (mod ) 0 (mod ) 0 (mod ) 7 0 (mod ) bulunmuş olur x (mod 0) olduğuna göre x in alabileceği en küçük değer kaçtır? 00 (mod 0) (mod ) tir. Burada asal sayı ve sayısı in katı değildir. 00 x (mod ) olduğuna göre x in alabileceği en küçük doğal sayı değeri kaçtır? sayısı in katı olmayıp asal sayı olduğundan (mod ) yazılabilir (mod ) (mod ) (mod ) bulunur (mod 0) (mod 0) 6 (mod 0) (mod 0) 00 in 0 ile bölümünden kalan 00 in 0 ile bölümündeki kalan ile aynıdır. Buna göre 00 in ile bölümünden kalan olduğu için, (mod 0) (mod 0) bulunur. Kural x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m asal sayı m - ise x (mod m) dir. 6 Son verdiğimiz kuraldan hareketle, nın 7 ile bölümünden kalanın olduğunu söyleyebiliriz. Buna göre, 6 (mod 7) dir. x (mod ) olduğuna göre, x pozitif tam sayısının alabileceği en küçük değeri bulalım. (mod ) (mod ) x olduğuna göre, (mod ) ifadesini doğrulayan en küçük pozitif tam sayı dir.

5 Uyarı x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m asal sayı m - ise, x (mod m) dir. Ancak x in m- den küçük kuvvetleri için de denklik e eşit olabilir. Örneğin (mod ) ve (mod ) olur. 00 x (mod ) olduğuna göre x in alabileceği en küçük doğal sayı değeri kaçtır? sayısı in katı olmayıp asal sayı olduğundan (mod ) yazılabilir. 00 Buna göre in kuvveti olan 00 in ile bölümünden kalan 0 olduğu için (mod ) (mod ) bulunur. sayısının 7 ile bölümünden elde edilen kalanı bulalım. Son verdiğimiz kural gereği, 6 (mod 7) dir. Buna göre sayısının kuvveti olan sayısının 6 ile bölümünden kalan olduğu için, (mod 7) (mod 7) olur. 7 a (mod ) olduğuna göre, a nın alabileceği en küçük doğal sayı değerini bulalım. 6 (mod ) (mod ) 0 (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) a 0 bulunmuş olur. Takvim ve Saat Problemleri Akrep ve yelkovanı olan bir saat şu anda 0 u gösteriyor. Bu saat saat sonra kaçı gösterir? Problemini çözelim: 0+= dir. Saatin üzerinde sayısı yoktur. Saat üzerinde 0 dan itibaren birim sayarsak;,,,,,,,6 üzerine geliriz. Yani öğleden sonra saat 6 yı gösterir. Bu toplama, tam sayılarda yaptığımızdan farklı bir toplamadır. 0 (mod ) 6 (mod ) olur. Akrep ve yelkovanı olan bir saat şu anda 0 u gösteriyor. saat sonra kaçı gösterir? 0+ = tir. Fakat saat üzerinde yoktur. Her saatte bir saat tekrar 0 olacağından sayısının modülüne göre kaça denk olacağını bulmalıyız. 7 (mod ) olacağından saat 7 yi gösterecektir. Bugün Ağustos 00 Cumartesidir. Buna göre 7 gün sonraki günü bulalım.

6 Bir hafta 7 gün olduğuna göre, bugünden itibaren her 7 gün sonrası Cumartesi olacaktır. 7 (mod 7) olduğuna göre istenen gün Cumartesi gününden gün sonrasıdır. Yani Salı günü. Buna göre Ağustos 00 Cumartesi gününden 7 gün sonraki gün 0 Ağustos 00 Salı günüdür. Bu ay Ağustos ayıdır. Buna göre 7 ay öncesi hangi ay olduğunu bulalım. Bir yıl ay olduğuna göre, ay öncesi ve nin katı ile ifade edilen aylar hep Ağustos olacaktır. 7 (mod ) olduğuna göre istenen ay Ağustostan ay öncesindeki aydır. Yani Marttır. Tam saat i gösteriyorken çalıştırılan bir saatin akrebi 0 saat sonra kaçı gösterir? Akrep ile yelkovan her saat sonra tekrar i gösterecektir. Buna göre 0 0(mod) olacağından istenen saat, in 0 saat sonrasıdır. Yani dir. Bir hasta A hapını günde bir yutuyor. Bu hasta, B hapını günde bir yutuyor. Bu hasta A ve B hapını birlikte ilk kez Pazar günü yutuyor. Buna göre, A ve B hapını ikinci kez birlikte yuttuğu gün hangisidir? E.K.O.K.(,) = olduğu için bu hasta A ve B hapını birlikte günde bir yutar. (mod 7) olduğundan ve hapları birlikte ilk kez Pazar günü yuttuğundan A ve B hapını ikinci kez birlikte yutacağı gün Pazar gününden gün sonrasındaki gün olan Çarşamba günü olacaktır. 9 (mod m) olduğuna göre m pozitif tam sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır? 9 (mod m) 9 (mod m) 0(mod m) olduğuna göre; m, 6 nın tam bölenleri olmalıdır. 6 nın pozitif bölenleri,,,,6,9,,,6 dır. Modüler aritmetik tanımı gereği m = olamaz. Bu durumda m sayısı tane pozitif değer alabilir. 7 x (mod 6) olduğuna x sayısı kaçtır? 0(mod m) 0 (mod6) 7 7 (mod6) ( ) (mod 6) 7 7 (mod 6) (mod 6) x = bulunur. a b (mod 0), a.b (mod 0) ve a b x (mod 0) olduğuna göre x kaçtır? a a a a b ab b olduğundan; b b a b ab (mod 0). (mod 0) a b 0 (mod 0) 6

7 a b (mod 0) a b (mod 0) x bulunur. x 0 6 (mod 7) denkliğini sağlayan en küçük pozitif x sayısı kaçtır? x 0 6 (mod 7) x 7 6 (mod 7) x 6 (mod 7) x (mod 7) Z/ {0,,, } kümesinde; Z/ {0,,, } kümesinde tanımlı ve işlemleri aşağıdaki tablo ile gösterilebilir. x (mod 7).x. (mod 7) x 6 (mod 7).x 6 (mod 7) x 6 (mod 7) x (mod ) olduğuna göre, x in alabileceği en küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı kaçtır? x (mod ) x x x (mod ) x (mod ) x (mod ) x (mod )..x (mod ) x (mod ) olduğuna göre x sayısı, 9,,, gibi değerleri alabilir. Buna göre x in en küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı; +9= tür. Z/m Kümesinde Toplama ve Çarpma İşlemleri x, y Z / m olsun. Bu elemanlar arasındaki toplama işlemi ile ve çarpma işlemi ile gösterilirse; Z/m Kümesinde Toplama ve Çarpma İşlemlerinin Özellikleri. Değişme Özelliği Z/m kümesi toplama ve çarpma işlemlerinin değişme özellikleri vardır.. Birleşme Özelliği Z/m kümesi toplama ve çarpma işlemlerinin birleşme özellikleri vardır. Z/ kümesinde ve olduğundan tür. ve olduğundan tür. x y x y ve x y x. y dir.. Toplama İşleminin Etkisiz Elemanı Z/m kümesinde toplamanın birim elemanı 0 dır. 7

8 Her x Z / m için x 0 0 x x dir. Z/ {0,,, } kümesinde 0 0 ve 0 0 dir. Z/ {0,,, } kümesinin işlemine göre etkisiz elemanı 0 dır. Çarpma işleminin etkisiz elemanı üzerinde çalışılan kümeye göre değişmektedir.. Toplama İşlemine Göre Bir Elemanın Tersi Her x Z / m için x ( x) x ( x) 0 ve ( x) x x x 0 olduğundan her x in tersi x tir. x Z / m için işlemine göre işleminde her x Z / için x 0 x olduğundan etkisiz eleman 0 dır olduğundan 0 ın tersi 0 dır. 0 olduğundan in tersi tür. 0 olduğundan nin tersi tür. 0 olduğundan ün tersi dir. 0 olduğundan ün tersi dir. işleminde her x Z / için x x olduğundan etkisiz eleman dir. 0 x olacak şekilde x Z / bulunmadığından Z/ kümesinde işlemine göre 0 ın tersi yoktur. Z/ {0,,, } kümesinde ( ) ( ) 0 olduğundan in tersi tür. ( ) ( ) 0 olduğundan nin tersi Çarpma işlemine göre bir elemanın tersi üzerinde çalışılan kümeye göre değişebilmektedir olduğundan in tersi dir. olduğundan nin in tersi tür. olduğundan ün tersi dir. olduğundan ün tür. Z/ {0,,,, } kümesinde ve işlemlerinin tablosunu yapıp birim elemanları ve her elemanın tersini bulalım. Z/6 kümesinde.x denklemini çözelim.

9 .x.x x veya x 6 dir. O halde.k., Ç tir. Z/ kümesinde.x denklemini çözelim..x.x 6 x dir. O halde Ç.K. dir. 6.x 0.x x.x 0.x x O halde.k., Ç dır. Z/ kümesinde x denklemini çözelim. 6.x.x x x x veya x olur. O halde.k., Ç dır. Çözümlü Sorular Z/7 kümesinde.x 6 denklemini çözelim.. sayısının 7 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?.x.x x 6 O halde Ç.K. 6 dır. Z/ kümesinde.x..x 0 denklemini çözelim..x..x 0 x 0 veya x 0 dır. (mod 7) (mod 7) (mod 7) Buna göre, 7. (mod 7) 7 (mod 7) 7. (mod7) 9

10 7. x (mod ) olduğuna göre x sayısı kaçtır? (mod ) 7 7 (mod ) 7 (mod ) olduğundan x dir toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır? 97 (mod 6) 97 (mod 6) 97 (mod 6) olur (mod 6) (mod 6) (mod 6) (mod 6) 9 (mod 6) olduğundan 97 9 (mod 6) 97 9 (mod 6) bulunur sayısının birler basamağındaki rakam, bu sayının 0 ile bölümündeki kalana eşittir (mod 0) 9 (mod 0) (mod 0) 997 (mod 0) ( ) (mod 0) (mod 0) (mod 0) (mod 0) (mod 0) (mod 0) bulunur.. x (mod 0) olduğuna x sayısı kaçtır? (mod 0) (mod 0) (mod 0) sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? 6 (mod 0) (mod 0) 6 (mod 0) 0

11 7 (mod 0) 6k 6.( k) (mod 7) 6 (mod 0) 6k 6.( k) (mod 7) Görüldüğü gibi nin ten sonraki kuvvetlerinden elde edilen kalanlar ilk bulunan kalanlarla aynıdır. 9 k... (mod 0) 6k 6k k 6. (mod 7) k. (mod 7) 6 0 k... (mod 0) 6k. (mod 7) 7 k... (mod 0) 6k (mod 7) bulunur. k... 6 (mod 0).9 (mod 0 ) bulunur. 6. x 997 (mod 7) olduğuna göre, x in alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır? 997 (mod 7) 997. (mod 7). x 0 6 (mod 7) denkliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır? x 0 6 (mod 7) x 6 (mod 7) x (mod 7) x 6 (mod 7) x 6 (mod 7) bulunur (mod 7) (mod 7) x 997 (mod 7) olduğuna göre x tür x (mod ) olduğuna göre x in alabileceği en küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı kaçtır? - x (mod ) - x (mod ) 7. 6k k Z olmak üzere sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? 7, in tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve 7 asal sayı olduğundan, 6 (mod 7) dir. Buna göre, x (mod ) 9 6x (mod ) x (mod ) olduğuna göre x sayısı,9,,, gibi değerleri alabilir. Buna göre x in alabileceği en küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı, += tür.

12 0. Bugün günlerden Salı olduğuna göre, gün sonrası hangi gündür? Bir hafta 7 gündür. Bugün günlerden ne ise 7 gün sonra yine aynı gündür. (mod 7) olduğundan istenen gün Salı gününden gün sonraki gündür. Yani Cumartesi günüdür.. Bir öğretmen günde bir ( gün arayla) nöbet tutmaktadır. 6. nöbetini Çarşamba günü tuttuğuna göre. nöbetini hangi gün tutmuştur? Bir hafta 7 gün olduğuna göre işlemlerimizi mod 7 ye göre yapmalıyız. 6. nöbet Çarşamba günü tutulduğuna göre 7 gün önce de Çarşamba dır. Bunun için kalanı 0 olan günler Çarşamba ya, kalanı olan günler Salıya, kalanı olan günler Pazartesi ye, rastgelir.. nöbetten ile 6. nöbete zaman geçene kadar defa nöbet tutulmuştur. Her nöbet günde bir tutulduğundan,. nöbet, 6. nöbetten. = gün önce tutulmuştur. (mod 7) olduğundan ilk nöbet Çarşamba gününden gün önceki gün olan Pazar günü tutulmuştur.. Bir asker günde bir nöbet tutmaktadır. Bu asker ilk nöbetini Pazartesi günü tuttuğuna göre, 00. nöbetini hangi gün tutar? Asker günde bir nöbet tuttuğuna göre 00. nöbetini tutması için 99. = 96 gün geçmesi gerekir. 9 (mod 7) olduğundan bizden istenen Pazartesi den gün sonrasıdır. Yani 00. nöbetini Cuma günü tutar.. Bir elektronik saat şu anda :00 i gösterdiğine göre, 7 saat sonra kaçı gösterir? Elektronik saat saatte bir aynı vakti göstereceğine göre, işlemleri mod e göre yapmalıyız. 7 (mod ) olduğundan bizden istenen saat :00 den saat sonrası yani :00 dır. 7 (mod ) olduğu için, saat 07:00 yi gösterir. x x. (mod 7) olduğuna göre x in alabileceği en küçük doğal sayı değeri kaçtır? x x (mod 7).x.x (mod 7) Burada ve ün mod 7 ye göre tersini bulmalıyız.. (mod 7) olduğundan in mod 7 ye göre tersi,. (mod 7) olduğundan ün mod 7 ye göre tersi bulunur. Bu durumda,.x.x (mod 7).x.x (mod 7).x (mod 7).x (mod 7) x (mod 7) Buna göre, x in alabileceği değerlerden bazıları -,-,,0,7, tür. Bu durumda x in alabileceği en küçük doğal sayı değeri tür.. x iki basamaklı bir doğal sayı, x (mod 6) ve x (mod ) olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı değer vardır? x (mod 6) olduğuna göre, x in 6 ile bölümünden kalan dir. Buna göre, iki basamaklı x in alacağı değerler,,0,6,,6,9,9 dir.

13 x (mod ) olduğuna göre, x in ile bölümünden kalan dir. Buna göre, iki basamaklı x in alacağı değerler, 0,,6,,,90,9 dir. 6 ile in E.K.O.K u olduğundan x iki basamaklı sayısı 6,0,7,9 değerlerini alabilir günlük bir yıldaki Salı ve Çarşamba günleri sayısının toplamı en çok kaçtır? Bir hafta 7 gündür. 6 =.7+ olduğu için, tane Salı ve Çarşamba sayılır. Sayma işlemine Salı günü başlanırsa, artan gün Salı olur. Böylece, Salı ve Çarşamba günü olur. Toplam +=0 Salı ve Çarşamba günü olur. ( x ).(x ) x 0.x x 6 olur. 9. Z/ kümesinde.x.y 0 ve x 7.y 0 olduğuna göre, x + y toplamını bulunuz..x.y 0 ve x 7.y 0 eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa,. x.x.y 7.y 0 9.x 9.y 0 0.x.y 0 x y x y 6 bulunur. 7. x olmak üzere - x 0 (mod x ) denkliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır? 0. Z/ kümesinde toplamı kaçtır? x ve k tam sayı olmak üzere, - x 0 (mod x ) ise, - x 0 xk (k )x tir. Buna göre, x tam sayısı in tam bölenidir. Bu durumda x in alabileceği değerler,,7,, olmak üzere beş tanedir.. Z/7 kümesinde ( x ).(x ) ifadesinin en sade şeklini bulunuz. Z/7 {0,,,,,, 6} dır. Bu kümede işlemler mod 7 ye göre yapılır. Buna göre, ( x ).(x ).x.x 6.x 6 Z/ {0,,,, } tür. Bu kümede işlemler mod e göre yapılır. Buna göre, -. 6 (mod ). (mod ) (mod ) tir (mod ). (mod ) (mod ) dir. O halde (mod ) bulunur.. f(x ) x ve g(x ) x olduğuna göre (f g)() nin Z/ kümesindeki değeri kaçtır? (f g)() f(g()) f() dir. (mod ) olduğundan g)() (f nin Z/ kümesindeki değeri tür.

14 . 0 x (mod ) olduğuna x sayısı kaçtır? 0 (mod ) tir. Buna göre, 0 (mod ) 0 (mod ) bulunur x (mod 9) ifadesinde x i bulmalıyız. 97 (mod 9) ve 9 7 (mod 9) olup, (mod 9) dur. 97 (mod 9) 97 (mod 9) olduğundan, x (mod 6) olduğuna göre x kaçtır? ( )(mod 6) (mod 9) olur. Buna göre, (mod 9) bulunur (mod 6) (mod 6) x 0 bulunur. 0. x (mod 7) olduğuna x sayısı kaçtır? 6 (mod 7) 9 (mod 7) 0 (mod 7) olduğuna göre 6 nın ten büyük tüm kuvvetleri mod 7 de 0 a denktir. 0 Buna göre, 0 (mod 7) olup x 0 bulunur.. x 97 ve y 96 olduğuna göre 9 ile bölümünden kalan kaçtır? y x.y x sayısının 6. Bir fabrikada yöneticiler 9 günde bir toplantı yapıyorlar. İlk toplantılarını Çarşamba günü yapmışlardır.. toplantılarını hangi gün yaparlar? Bir hafta 7 gün olduğuna göre işlemlerimizi mod 7 ye göre yapmalıyız. Bugün günlerden ne ise 7 gün sonra da aynı gündür.. toplantının yapılabilmesi için tane 9 gün geçmelidir..9. (mod 7).9 (mod 7) olduğuna göre istenen gün Çarşamba gününden gün sonrası olan Perşembe günüdür. 7. 0!!! 6!...! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? Bir sayının 0 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamı verir. 0!!! 6!...!

15 6! Sayısı 0 ile tam bölünür. 6! den sonra gelen tüm terimler de 0 ile tam bölünür. Buna göre, 0!!! 6!...! 7 (mod 0) olur. O halde 0!!! 6!...! toplamının birler basamağındaki rakam 7 dir.. sayısının 9 a bölümünde kalan kaçtır? (mod 9) (mod 9) dur. 7.x 7.(mod ) x 7 (mod ) x (mod ) bulunur.. x - 6 (mod 7) olduğuna göre x in alabileceği en küçük iki basamaklı pozitif tam sayı kaçtır? x - 6 (mod 7) x 6 (mod 7) x (mod 7).x. (mod 7) x 0 (mod 7) x 6 (mod 7) 6 (mod 9) olduğundan, (mod 9) olur. O halde sayısının 9 ile bölümünden kalan dir. 9. x (mod 6), y (mod 6) ve x y a (mod 6) olduğuna göre a kaçtır? x y (x y).( x y) dir. x (mod 6) ve y (mod 6) ise, x x y ( ).( ) (mod 6) y. (mod 6) bulunur.. ax (mod 7) denkliği x için sağlandığına göre, a kaçtır? ax (mod 7) denkliği x için sağlanıyorsa, a. (mod 7) a (mod 7) a - - (mod 7) a (mod 7) a.. (mod 7) a (mod 7) bulunur.. f( x ) 6x 7 olduğuna göre f( 0) nin Z/9 kümesindeki değeri kaçtır? f( x ) 6x 7 f( x ) 6x 0. x - (mod ) denkliğini sağlayan x değeri kaçtır? x - (mod ) x 6 (mod ) x (mod ) f( x ).(x ) f(a).a f( 0).0 bulunur. Konu Bitmiştir.

16 6

MODÜLER ARİTMETİK Test -4

MODÜLER ARİTMETİK Test -4 MODÜLER ARİTMETİK Test -4 1. A doğal sayısının 7 ye bölümündeki kalan 4, B doğal sayısının 7 ye bölümündeki kalan 5 tir. Buna göre, A toplamının 7 ye bölümündeki kalan 3B A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 5. I. 1

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI

MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI MODÜLER ARĐTMETĐK Z={..,-,-,0,, } kümesinde tanımlanan β ={(x,y): mi(x-y), m Z + {}} bağıntısı denklik bağıntısıdır. β denklik bağıntısı olduğuna göre, ( x, y) β için x y (mod m) ÖRNEK: Z de β ={(x,y)

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

YGS ÖNCESİ. 1) 1! + 3! + 5! ! Toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?

YGS ÖNCESİ.   1) 1! + 3! + 5! ! Toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? 1) 1! + 3! + 5! +. + 1453! Toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? 6) Rakamları sıfırdan farklı iki basamaklı bir AB doğal sayının rakamları yer değiştiğinde sayının değeri 63 artıyor. Buna göre,

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Operatörler 5 Bibliography 19 Index 23 1 Operatörler İşlemler 1.1 Operatör Nedir? İlkokulden

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

Atatürk Anadolu. Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar

Atatürk Anadolu. Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 07 Bölme, Bölünebilme,

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF TEST SORULARI 1. a ve b birer pozitif tamsayıdır. 12. a = b³ olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 21 B) 23 C) 24 D) 25 3. Beş kişinin yaşlarının aritmetik ortalaması 24 tür. Aşağıda

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR

ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme

Detaylı

FERMAT VE EULER TEOREMLERİ

FERMAT VE EULER TEOREMLERİ FERMAT VE EULER TEOREMLERİ 1. 8 103 sayısı 13 e bölündüğünde elde edilen kalanı bulunuz. Çözüm: Fermat teoreminden 8 12 1 (mod 13) 8 103 (8 12 ) 8 8 7 8 7 2 21 2 9 2 4 2 4 2 3 3 2 5 (mod 13). 2. 3 619

Detaylı

5. Üç basamaklı ABC doğal sayısı 2 ile, 5 ile ve 9 ile tam. 6. Dört basamaklı AB24 sayısının 36 ile bölümünden kalan iki

5. Üç basamaklı ABC doğal sayısı 2 ile, 5 ile ve 9 ile tam. 6. Dört basamaklı AB24 sayısının 36 ile bölümünden kalan iki Bölme ve Bölünebilme BÖLÜM 03 Test 01 1 Üç basamaklı 5AB sayısı iki basamaklı AB sayısına bölündüğünde, bölüm 13 ve kalan 8 olmaktadır Buna göre, A + B toplamı A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 5AB = 13 AB + 8

Detaylı

MODÜLER ARÝTMETÝK TEST / 1

MODÜLER ARÝTMETÝK TEST / 1 MODÜLER ARÝTMETÝK TEST / 1 1. m Z, x y(mod m) ise xy=m.k, k Z olduðuna göre, aþaðýdaki eþitliklerden hangisi yanlýþtýr? 5. 3x+1 2(mod 7) olduðuna göre, x in en küçük pozitif tam sayý deðeri kaçtýr? A)

Detaylı

CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir?

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir? 1. 36 x A) [- 6, ] B) [- 6, 6 ] C) [, 36] D) [, 36 ] E) [- 36, ] 5. x + 4x + 4 > A) (, ) B) - } C) D) R E) R - {- } 6. x + 8x + 16. x x 8 < aşağıdalerden hangisidir? A) (- 4, ) B) (-, ) C) (- 4, ) A) {

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA 3. Ondalık Sayılarda İşlemler: Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama-çıkarma

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

KPSS soruda SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

KPSS soruda SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI KPSS 019 10 soruda 86 SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Komisyon KPSS LİSANS MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN 978-605-41-77-0 Kitapta yer alan bölümlerin

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

GENEL AÇIKLAMA. 1. Bu kitapçıkta, 8. Sınıf Matematik dersi Ünite Değerlendirme Sınavı bulunmaktadır.

GENEL AÇIKLAMA. 1. Bu kitapçıkta, 8. Sınıf Matematik dersi Ünite Değerlendirme Sınavı bulunmaktadır. 8. Sınıf Matematik 01 Ünite ÇARPANLAR VE KATLAR / ÜSLÜ İFADELER Konular Çarpanlar ve Katlar EBOB ve EKOK Aralarında Asal Sayılar Adım Soyadım :... Sınıfım :... Numaram :... Doğru :... Yanlış:... Boş:...

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak kıl YGS MTEMTİK ENEME SINVI 1 01511-1 Ortak kıl dem ÇİL li an GÜLLÜ yhan YNĞLIŞ arbaros GÜR arış EMİR eniz KRĞ Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Hatice MNKN Kemal YIN Köksal YİĞİT Muhammet YVUZ Oral YHN

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

GENEL AÇIKLAMA. 1. Bu kitapçıkta, 6. Sınıf Matematik dersi Ünite Değerlendirme Sınavı bulunmaktadır.

GENEL AÇIKLAMA. 1. Bu kitapçıkta, 6. Sınıf Matematik dersi Ünite Değerlendirme Sınavı bulunmaktadır. Matematik 02 Ünite DOĞAL SAYILAR VE KÜMELER Konular Çarpanlar ve Katlar Adım Soyadım :... ım :... Numaram :... Doğru :... Yanlış:... Boş:... 1. Bu kitapçıkta, Matematik dersi Ünite Değerlendirme Sınavı

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır.

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır. 0.1 GRUPLAR Tanım 1 A kümesi boştan farklıolmak üzere işlemine göre aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa (A, ) ikilisine bir Grup denir. 1. kapalılık özelliğine sahiptir, yani her x, y A için x y A olur.

Detaylı

Örnek...3 : 8 x (mod5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif doğal sayısı ile en büyük negatif tam sa yısının çarpım ı kaçtır?

Örnek...3 : 8 x (mod5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif doğal sayısı ile en büyük negatif tam sa yısının çarpım ı kaçtır? MOD KAVRAMI (DENKLİK) a ve b tam sayıları arasındaki fark bir m pozitif tam sayısına tam bölünebiliyorsa bu sayılara m modülüne göre denktir denir ve a b(modm) yazılır. Yani m Z +,m (a b) a b (mod m) dir

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

ÇÖZÜMLER İSABET YAYINLARI. Ders 07. Ondalık Gösterim. Örnek. Çözüm. Alıştırma. Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi

ÇÖZÜMLER İSABET YAYINLARI. Ders 07. Ondalık Gösterim. Örnek. Çözüm. Alıştırma. Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi Ders 0 Ondalık Gösterim Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi Bir rasyonel sayıyı ondalık olarak yazmak için paydası, 0, 00,... gibi un kuvveti olacak şekilde sayı genişletilir veya sadeleştirilir. Elde

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. B) 2f(x)-6

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. B) 2f(x)-6 1. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1. Pozitif baş katsayılı bir P(x) polinomunda P(P(x)+x)=x 6 eşitliği sağlandığına göre ; P x polinomunun sabit terimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) 5 C) 0 D)

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız

Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol

Detaylı

MATDER HARRAN ÜNİVERSİTESİ 2017 MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

MATDER HARRAN ÜNİVERSİTESİ 2017 MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI Soru 1: Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu üçgenin en kısa kenar uzunluğu 6 cm ve en uzun kenarı 14 cm ise, ortanca kenar uzunluğu kaç cm dir? A) 2 37 B) 39 C) 13 D)

Detaylı

Bölünebilme Kuralları. Birler basamağındaki rakamı : {0, 2, 4, 6, 8} rakamlarından herhangi biri olan her sayı 2 ile tam bölünür.

Bölünebilme Kuralları. Birler basamağındaki rakamı : {0, 2, 4, 6, 8} rakamlarından herhangi biri olan her sayı 2 ile tam bölünür. 2 İLE BÖLÜNEBİLME: Birler basamağındaki rakamı : {0, 2, 4, 6, 8} rakamlarından herhangi biri olan her sayı 2 ile tam bölünür. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir Dört basamaklı 729x sayısı 2 ile

Detaylı

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

Temel Matematik Testi - 9

Temel Matematik Testi - 9 Test kodunu sitemizde kullanarak sonucunuzu öğrenebilir, soruların video çözümlerini izleyebilirsiniz. Test Kodu: 0109 1. u testte 40 soru vardır.. Tavsiye edilen süre 40 dakikadır. Temel Matematik Testi

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÇÖZÜMLER. a b ve b a a b, a, b a b a b ve b c a c olduğundan a b ve c d ise a c b d olmayabilir. ve 5., ve olduğundan sonsuz çözüm vardır...9.9

Detaylı

örnektir örnektir Temel Matematik TYT Yeni müfredata tam uygun MİKRO KONU TARAMA TEST AYRINTILARI VE ÖRNEKLERİ (1-10. Testler)

örnektir örnektir Temel Matematik TYT Yeni müfredata tam uygun MİKRO KONU TARAMA TEST AYRINTILARI VE ÖRNEKLERİ (1-10. Testler) TYT Temel Matematik MİKRO KONU TARAMA TEST AYRINTILARI VE ÖRNEKLERİ (-0. Testler) Yeni müfredata tam uygun Değerli öğretmenimiz, branşınızla ilgili TYT konu tarama testlerimizden bazı örnekleri incelemeniz

Detaylı

Asal Çarpanlara Ayırma / EBOB-EKOK ORTAK DERSLER MATEMATİK. Prof. Dr. Emin KASAP

Asal Çarpanlara Ayırma / EBOB-EKOK ORTAK DERSLER MATEMATİK. Prof. Dr. Emin KASAP 3 Asal Çarpanlara Ayırma / EBOB-EKOK ORTAK DERSLER MATEMATİK Prof Dr Emin KASAP 1 Ünite: 5 ASAL ÇARPANLARA AYIRMA / EBOB - EKOK Prof Dr Emin KASAP İçindekiler 51 ASAL ÇARPANLARA AYIRMa 3 511 Asal Sayılar

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

Çarpanlar ve Katlar Föyü KAZANIMLAR

Çarpanlar ve Katlar Föyü KAZANIMLAR 1 Çarpanlar ve Katlar Föyü KAZANIMLAR Verilen pozitif sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulur, pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar. İki doğal

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz. Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 11 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 11 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / Mayıs 008 Matematik Soruları ve Çözümleri. Yüzde 0 indirimli fiyatı 8,8 YTL olan bir malın indirimsiz fiyatı kaç YTL

Detaylı

FAKTÖRİYEL. TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur.

FAKTÖRİYEL. TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur. FAKTÖRİYEL TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı 1.2.3 n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur. 1!=1 2!=1.2=2 3!=1.2.3=6 4!=1.2.3.4=24 5!=1.2.3.4.5=120 gibi. Özel olarak; 0! = 1 olarak tanımlanmıştır.

Detaylı

1 -> :25

1 -> :25 1 -> 12 28.02.2013 14:25 1 Salı 04:58 06:40 11:47 14:17 16:33 18:04 2 Çarşamba 04:58 06:41 11:47 14:18 16:34 18:05 3 Perşembe 04:58 06:41 11:47 14:19 16:35 18:05 4 Cuma 04:58 06:41 11:48 14:20 16:36 18:06

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

SAYILAR VE TEMEL KAVRAMLAR

SAYILAR VE TEMEL KAVRAMLAR Sayıları göstermeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,,5,6,7,8 ve 9 dur. N = {0,1,2,3,, n, n + 1, } kümesinin elemanlarına doğal sayı denir. En küçük doğal sayı 0 dır. N + = {1,2,3,, n,

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

için Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak

için Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak 7. Bölüm Grupları olmak üzere grubunu nasıl inşa ettiğimizi hatırlayalım. grubunun alt grubu grubu tüm olacak şekilde tüm sınıflardan oluşmuştur. Sınıfların toplamını ile, yani ile tanımlamıştık. Şimdi

Detaylı

1. ÜNİTE:SAYILAR VE İŞLEMLER

1. ÜNİTE:SAYILAR VE İŞLEMLER 1. ÜNİTE:SAYILAR VE İŞLEMLER 2 DERS SAATİ:Verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirler. ASAL SAYILAR 1 ve kendisinden başka hiçbir sayma sayısı ile bölünemeyen 1 den büyük doğal sayılara

Detaylı

Temel Matematik Testi - 3

Temel Matematik Testi - 3 Test kodunu sitemizde kullanarak sonucunuzu öğrenebilir, soruların video çözümlerini izleyebilirsiniz. Test Kodu: 003. u testte 0 soru vardır. 2. Tavsiye edilen süre 0 dakikadır. Temel Matematik Testi

Detaylı

OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR

OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 4, 36 ve 48 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü kaçtır? A) 1 B)16 C) 18 D) 4 E) 7 1) Sayılarınhepsini aynı anda asal çarpanlarına ayıralım; 4 36 48 1 18 4 6 9 1 3 9 6

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF TEST SORULARI 1. x ile y pozitif tam sayılardır. EBOB(x,y) = 9 ve x+y = 7 olduğuna göre, x kaç farklı değer alır? 3. 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 9 7 49 1 5 36 10 4? n n-5. Uygun yerlere parantezler yerleştirilerek, 1::3:4:5:6:7:8

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

Çarpan Kavramı ve Asal Çarpanlara Ayırma 5. A B C A) 25 B) 60 C) 75 D) A) 78 B) 138 C) 246 D) 576 MATEMATİK 8

Çarpan Kavramı ve Asal Çarpanlara Ayırma 5. A B C A) 25 B) 60 C) 75 D) A) 78 B) 138 C) 246 D) 576 MATEMATİK 8 8 MTEMTİK Çarpan Kavramı ve sal Çarpanlara yırma Test. 8 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir? ). ) 8.7 C). D)..7. C D Yanda verilen bölen listesi yöntemine göre, ) ) 6

Detaylı

sayısının binler bölüğündeki 5 rakamının basamak değeri kaçtır? Yukarıdaki toplama işlemine göre verilmeyen toplanan kaçtır?

sayısının binler bölüğündeki 5 rakamının basamak değeri kaçtır? Yukarıdaki toplama işlemine göre verilmeyen toplanan kaçtır? 5.SNF MTEMTİK UYG. 1.DÖNEM 1.YZ SOU 1. 398 531 793 sayısının binler bölüğündeki 5 rakamının basamak değeri kaçtır? ) 500 ) 5000 C) 50000 D) 500000 6. 3 6 4 8 2 1 0 9 9 5 7 1 Yukarıdaki toplama işlemine

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar

Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar Bölüm BÖLÜNEBİLME VE ÇARPANLARA AYIRMA. Bölünebilme Kuralları Bir a doğal sayısı bir b sayma sayısına bölündüğünde bölüm bir doğal sayı ve kalan sıfır ise, a doğal sayısı b sayma sayısına bölünebilir.

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI KRTEZYEN ÇRPIM VE BĞINTI 3. Bölüm TEST -2 1. β={(x,y):2x+y=8,x,y N} şeklinde tanımlı β bağıntısı kaç elemanlıdır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. R'de bağıntısı yansıyan ise a.b kaçtır? ) 18 B) 9 C) 2 D) 18

Detaylı

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c 138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,

Detaylı

A { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER

A { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER KÜMELER Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x nesnesi A kümesinin

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı