BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a."

Transkript

1 MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir ij m n Burd ij, mtrisinin i -inci stır j -inci sütunundki elemnıdır Tblodki yty sırlr mtrisin stırlrı, düşey sırlr d mtrisin sütunlrı ( kolonlrı) dı verilir mtrisi m tne stırdn ve n tne sütundn oluşmuş, m n tipindedir Örnek:, birer mtristir X B 5 X, C X 7

2 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 5 MTRİS ÇEŞİTLERİ ) Kre ve Dikdörtgen Mtris m n boyutlu mtrisinde m n ise dikdörtgen mtris, m n ise kre mtris olrk dlndırılır Örnek: kre mtris, X B 5 ve C ise dikdörtgen mtrislerdir X X ) Birim (Etkisiz) Mtris ) Toplm işlemine göre Bütün terimleri sıfır oln mtrise mtrisi denir ve ile gösterilir x mtrisi toplm işlemine göre birim mtristir Tnım: Bir kresel mtrisde tüm ii elemnlrının oluşturduğu köşegene ess köşegen denir Örnek: 7 mtrisinde ess köşegen üzerindeki elemnlrı,, tür 9 5 7

3 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev b) Çrpm işlemine göre Ess köşegen üzerindeki elemnlrı, diğer elemnlrı oln kresel mtrislere çrpm işlemine göre birim mtris denir ) Köşegen Mtris Ess köşegen üzerindeki elemnlrı frklı, diğer tüm elemnlrı oln kre mtrislere köşegen mtris denir Ι n (birim mtris) ynı zmnd köşegen mtristir ) Üçgensel Mtris ) Üst üçgensel mtris Bir kre mtrisin elemnlrı i > j için ise bu mtrise üst üçgensel mtris denir ij b) lt üçgensel mtris Elemnlrı i< j için oln mtrise lt üçgensel mtris denir ij 7

4 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 5) Simetrik Mtris Bir kre mtrisin elemnlrı ess köşegene göre simetrik ise bu tür mtrislere simetrik mtris denir Yni ij dir ji Örnek: ) Devrik Mtris Boyutu m n oln bir mtrisinin stır ve sütunlrının yer değiştirilmesi ile elde edilen ve boyutu n m oln mtrise mtrisinin devriği (trnspozesi) denir ve T ile gösterilir m n n mn ise T n m m mn Örnek: T ise? Çözüm: T

5 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 5 MTRİSLERDE İŞLEMLER 5MTRİSLERİN EŞİTLİĞİ Tnım: ynı tipteki iki mtrisin krşılıklı tüm elemnlrı birbirine eşit ise bu iki mtris eşittir denir ij, B bij ve ij bij B dir Örnek: x y + ise x+ y? Çözüm: x - x x y+ y olup x+ y + bulunur 5 MTRİSLERDE TOPLM VE ÇIKRM Tnım: ynı tipteki iki mtrisin krşılıklı elemnlrı toplnrk bulunn yeni mtrise toplm mtrisi denir ij, B b m n ij olmk üzere + B ij + bij C dir m n m n İki mtrisin çıkrm işlemi de ynı yöntemle ypılır Yni, B ij bij şeklindedir m n 75

6 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev Örnek: 8 ve B 5 ise B? ve + B? Çözüm: B B MTRİSİN REEL SYI İLE ÇRPIMI Bir mtrisin tüm elemnlrı k ile çrpılırs mtris de k ile çrpılmış olur Yni, k k ij dir m n Özellikler BveC, ynı boyutlrd mtrisler ve kk,, k olsun ) k ( + B) k + k B )( k + k ) k + k )( k k ) k ( k ) k ( k ) ) ve 5) k ve Örnek: Çözüm: ise 5 mtrisini bulunuz

7 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev Örnek: 6 8 ise + Ι? 6 Çözüm: + Ι İKİ MTRİSİN ÇRPIMI İki mtrisin çrpılbilmesi için birinci mtrisin sütun syısının ikinci mtrisin stır syısın eşit olmsı gerekirçrpm işleminde birinci mtrisin tüm stır elemnlrı ikinci mtrisin tüm sütun elemnlrı ile krşılıklı olrk çrpılıp toplnır Çözüm: B B Örnek: 5 ve 5 B ise B? ve B? Çözüm: B B işlemi ypılmz, çünkü B mtrisinin sütun syısı mtrisinin stır syısın eşit değildir 77

8 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 55 KRE MTRİSLERİN KUVVETLERİ kresel bir mtris olmk üzere, her kre mtris kendisi ile çrpılbilir n n Ι n Örnek: mtrisi ve f( x) x x fonksiyonu veriliyor f ( ) mtrisini bulunuz Çözüm: Ι olup sırsı ile f( ) ve mtrislerini bulup f ( ) d yerine yzlım f( ) bulunur 5 DETERMİNNT Tnım: Determinnt kresel bir mtrisi reel syıy dönüştüren bir fonksiyondur n n boyutlu bir kre mtrisinin determinntı det( ) ile gösterilir 78

9 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev n det( ) dır n n nn 5 DETERMİNNTIN ÖZELLİKLERİ ) Bir determinntın bir stırdki vey bir sütundki elemnlrı ise, o determinntın değeri dır ) Bir determinntt ynı numrlı stırlr ve sütunlr yer değiştirirse, determinntın değeri değişmez ) Bir determinntın iki stırı vey sütunu yer değiştirirse, determinntın işreti değişir ) Bir determinntın bir syı ile çrpılmsı demek, her hngi bir stırın vey sütunun o syı ile çrpılmsı demektir 5) Bir determinntın iki stır vey sütunu ynı elemnlrdn oluşuyors vey orntılı ise, o determinntın değeri dır 6) Bir determinntt bir stırın vey sütunun elemnlrını bir syı ile çrpıp bir bşk stırın y d sütunun krşılıklı elemnlrın eklemek determinntın değerini değiştirmez 5 İKİNCİ MERTEBEDEN DETERMİNNT CILIMI yedek köşegen ess köşegen Örnek : 5 ( ) 5 Örnek : Örnek : x x ise x? 79

10 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev Çözüm : ( x) x olup x x ise ( x )( x+ ) burdn x ve x bulunur 5 ÜÇÜNCÜ MERTEBEDEN DETERMİNNT ÇILIMI ) SRRUS kurlı Bu kurl göre ilk iki stır lt trf vey ilk iki sütun sğ trf yzılıp ess köşegen çrpımlrındn yedek köşegen çrpımlrı çıkrılır + + bulunur b)lprce kurlı Bu kurll herhngi bir stır vey sütun göre çılım ypılır nck sıfır elemnının yoğun olduğu stır vey sütunlr kolylık sğlr Bu çılım her boyuttki determinnt için geçerlidir mtrisinin determinntını stır göre çlım 8

11 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev ( ) + ( ) + ( ) dir Örnek: 5 ise? Çözüm: Bu mtrisin determinntını üçüncü sütun göre çmkt kolylık vrdır Çünkü bu sütundki sıfır elemnlrı yoğunluktdır Örnek: + + ( ) + (6 ) ( 6) bulunur 5 7 ise? Çözüm: Bu mtrisin determinntını üçüncü stır göre çmkt kolylık vrdır ( ) ( ) 5 (5 6) 6 ( ) 6 bulunur 5 BİR DETERMİNNTIN MİNÖRLERİ VE KOFKTÖRLERİ + Tnım: i, j ve ij kre mtrisinin i nci stır ve j nci sütunu nxn silindikten sonr elde edilen yeni mtrisin determinntın ij elemnının lt determinntı vey minörü denir ve M ij ile gösterilir ij ( ) i + j M ifdesine de ij elemnın kofktörü denir: ij 8

12 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev Örnek : mtrisinin stır elemnlrının minör ve kofktörünü bulunuz Çözüm : in minörü M ve kofktörü ise ( ) M M + in minörü M 8 5 ve kofktörü ise ( ) M M 5 + ün minörü M 9 7 ve kofktörü ise ( ) M M EK MTRİS Tnım: kresel mtris olmk üzere ij elemnının yerine o elemnın kofktörleri konulrk bulunn mtrisin trnspozun nın ek mtrisi denir ve Ek( ) ile gösterilir Örnek: Çözüm: ise Ek( )? + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) Ek( ) dir T 8

13 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev boyuttki bir mtrisin ek mtrisini bulmk için, ess köşegen üzerindeki elemnlr yer, yedek köşegen üzerindeki elemnlrd işret değiştirir Örnek : Çözüm: ise Ek( )? + ( ) + + ( ) 6 + ( ) ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) Ek( ) 5 5 T bulunur 8

14 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 56 BİR MTRİSİN TERSİ (İNVERSİ) Tnım: n n tipinde bir mtris olmk üzere, B B I n n eşitliğini sğlyn B mtrisi vrs, B mtrisine mtrisinin tersi(inversi) denir ve B ile gösterilir Bun göre I n n dir Tnım: n n tipinde bir mtris olmk üzere, mtrisinin tersi şeklinde gösterilir ve Ek( ) formülünden bulunur Not: Bir mtrisin tersinin olbilmesi için mtrisin kresel ve determinntı sıfırdn frklı olmlıdır Örnek : ise 5? Çözüm: yol : b Ι olduğundn, c d b 5 c d olsun + c 5 + c b + d 5b + d + c b+ d 5+ c 5b+ d denklem sistemini çözersek,, 7 5 b, c, d bulunur o hlde

15 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev b 7 7 c d dir yol : Ek( ) olduğundn, önce bullım 7 ve Ek( ) Ek( ) Örnek: ise? Çözüm: olduğundn mtrisinin tersi yoktur dir Örnek: 7 ise? Çözüm: 7 ( + 6) ( + 8) Şimdide tüm kofktörleri bullım 85

16 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev ( ) 5 + ( ) (9 8) 7 + ( ) ( ) (6 ) 7 + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 + ( ) Ek( ) T bulunur 86

17 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 57 BİR MTRİSİN RNKI Tnım: Bir ij mtrisinin kresel lt mtrisleri rsınd, determinntı m n sıfırdn frklı olnlrın mertebesi en büyük oln mtrisinin rnkı denir ve rnk() ile gösterilir Örnek : Çözüm: 5 ise rnk ( )? ( ) ( ) ( ) ( 9) 8 olduğundn rnk ( ) dir Örnek : Çözüm: 5 6 ise rnk ( )? ( ) + + ( ) olduğundn rnk ( )< olduğundn 6 + (+ ) llım + 5 Yni rnk ( ) dir 87

18 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 58 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ x + x + + x b denklemine dereceden n bilinmeyenli Tnım: n n lineer denklem denir Bu tip lineer denklemlerden oluşn sistemine lineer denklem sistemi(tkımı) denir x + x + + nxn b x + x + + nxn b x + x + + x b m m mn n m Sisteminin ktsyılr mtrisi: olup sbit vektörü b b B b m mx ve n n m m mn bilinmeyenler vektörü mxn X x x xn dir O hlde lineer denklem sistemi n x b x b n x b m m mn n m X B şeklinde yzılbilir 88

19 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev Örneğin, x y + z x + z x y + z denklem sistemini x y z şeklinde yzbiliriz 58 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN CRMER METODU İLE ÇÖZÜMÜ Ktsyılr mtrisi kre mtris oln bir lineer denklem sisteminin çözümü bu kurl göre ypılır Örneğin n için uygulnırs ; x + x + x b x + x + x b x + x + x b b B b, b X x x x olmk üzere lineer denklem sistemini X B şeklinde ifde edebiliriz Burd b b b b b b 89

20 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev b dir b b Eğer, ) ise lineer denklem sisteminin bir tek çözümü olup x, x, dir x ) ise ; ),, syılrındn en z biri sıfırdn frklı ise sistemin çözümü yoktur b) sistemin sonsuz çözümü vrdır Örnek : x 6y+ z 5 x y+ z x+ y z denklem sistemini Crmer kurlı ile çözünüz Çözüm: Verilen lineer denklem sistemini 6 x 5 y z yzrız x y 5 9 9

21 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev z 6 5 x x, y 9 y, z z 7 olup {( )} ÇK,, 7 bulunur Örnek : x y 8 x + 5y 9 denklem sistemini Crmer kurlı ile çözünüz Çözüm: x y x x y 6 y ÇK {(, ) } bulunur Örnek : x y x 6y 9 denklem sistemini Crmer kurlı ile çözünüz Çözüm: 6 x 9 6 9

22 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev y olup, sisteminin sonsuz çözümü vrdır 9 x y x y y t dersek x t Ç K {( t, t)} bulunur Örnek : x y x 6y 9 denklem sistemini Crmer kurlı ile çözünüz Çözüm 6 x y sistemin çözüm kümesi boş kümedir BÖLÜM LIŞTIRMLRI ) ise + T? x + y ) B 5 x y mtrisleri veriliyor B ise x+ y? ) mtrisine göre 6 ise? ) ve f ( x) x x ise f( )? 5) ve B + B B ise ( ) ( )? 9

23 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 6) mtrisi için ise? + x 5 7) x denklemini çözünüz 8) x+ y+ z 6 x y z x y + z sistemini çözünüz 9) x+ x + x 8 x + x x 9 x + x + x sistemini çözünüz y z ) x z sistemini çözünüz x y+ z x y ) x 6y denklem sistemini çözünüz x 8y ) x - y+ 5 z x-6y+ z x+ y+ z ) xy z x y + z 6 denklem sistemini çözünüz denklem sistemini çözünüz ) determinntının stırının minör ve kofktörlerini bulunuz cos x sin x 5) sin x cos x ise? 9

24 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev x y 6) mtrisinin tersi 5 z t ise x + y + z + t? x+ y 7) x y lineer denklem sistemini çözünüz 8) x y ise x y? 9) x y 5 sisteminin çözümü oln ( y) x, bulunuz x ) b y olduğun göre, + b + x + y toplmı kçtır 7 ) ve B olduğun göre, + B mtrisini bulunuz 5 8 ) M ise M mtrisi nedir? ), B mtrisleri verildiğine göre ( + B) toplmı nedir? ) C ve D ise C D frk mtrisi nedir? 5 6 5) ve B olduğun göre, B mtrisini bulunuz 5 6) ve B ise B çrpım mtrisi nedir? 5 7) ve B olduğun göre, B mtrisi nedir? 6 9

25 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 8) ve B mtrisleri verildiğine göre, B? 9), B ve C olduğun göre, B + C? 5 7 ) mtrisinin tersi nedir? 7 ) mtrisinin determinntı kçtır? k ) 5 8 olduğun göre k kçtır? ) 5 determinntının değeri kçtır? ) ise Ek( )? 5) 5 mtrisinin rnkı nedir? 6) ise? 95

26 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev BÖLÜM TESTİ ) x+ y x y lineer denklem sistemi, şğıdki mtris gösterimlerinden hngisi ile ifde edilir? ) x y B) x y C) [ xy ] [ ] x D) y E) [ xy ] x 5 ) y ifdesi şğıdki denklem sistemlerinden hngisinin 6 mtrislerle yzılmış biçimidir? ) x+ y 5 x+ y 6 B) x 5y x y 6 C) x+ y 5 x + y 6 D) x y 6 x+ y 6 E) x+ y 5 x+ y 6 ) x y 5 sisteminin çözümü oln ( x, y) şğıdkilerden hngisidir? ) (,) B) (,) C) (, ) D) (,) E) (, ) ) x y sisteminin çözümü oln ( x, y ) şğıdkilerden hngisidir? ) (,) B) (,) C) (,) D) (, ) E) (,) 96

27 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev x y 5) z 5 olduğun göre, x + y + z toplmı kçtır? ) B) C) D) 9 E) 7 6) ve B olduğun göre + B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? ) [ ] B) [] C) D) 8 E) 7 7), B olduğun göre, + B mtrisi şğıdkilerden 5 hngisidir? 8 5 ) 5 9 B) C) 6 D) E) 8), B olduğun göre B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 D) 5 B) 6 9 E) 9 C) 9 9) ve B 5 olduğun göre B çrpım mtrisi nedir? ) D) 6 5 B) 6 E) 5 6 C) 5 97

28 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 5 ) [ ] ve B olduğun göre B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? ) B) 5 C) 8 5 E) 8 D) [ ] ) ve B olduğun göre, B çrpımı nedir? 5 ) B) C) D) 5 5 E) çrpımı şğıdkilerden hngisine eşittir? ) [ ] ) 6 6 B) 8 C) D) 8 E) [ 8] ) ve B olduğun göre B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? ) [ 6 ] B) [ ] 6 C) 6 D) E) 6 98

29 99 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev ) ve B mtrisleri verildiğine göre, C B eşitliğini sğlyn C mtrisi nedir? ) 5 B) 5 C) 5 D) 5 E) 5 5) ve B mtrisleri için şğıdki ifdelerden hngisi doğrudur? ) B B) + B C) 9 D) 8 B E) 8 B 6) T ise mtrisi şğıdkilerden hngisidir? ) [ ] B) [ ] C) D) 6 E) 7) şğıdki mtrislerden hngisinin ters mtrisi yoktur? ) B) C) D) E) 8) şğıdki mtrislerden hngisinin tersi vrdır? ) B) C) 5 D) E)

30 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 9) 5 mtrisinin tersi şğıdkilerden hngisidir? ) B) 5 5 C) 5 D) 5 E) ) 5 6 determinntının değeri kçtır? ) B) C) D) E) ) k olduğun göre, k kçtır? ) B) C) D) E) ) x y+ 7 x + y denklem sisteminin ( x, y) çözüm kümesi nedir? ) {(,)} B) {(,) } C) {(, ) } D) {(,) } E) {(,)} x+ y ) x+ y şğıdkilerden hngisidir? lineer denklem sisteminin çözümü oln ( x, y) ) (, ) B) (,) C) (,) D) (,) E) (,) x+ y+ z ) x + y + z x + y z şğıdkilerden hngisidir? lineer denklem sisteminin çözümü ( x, yz, ) ) (,,) B) (,,) C),, D),, E),,

31 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev x+ y+ z 5 5) x + y + z x + y z şğıdkilerden hngisidir? lineer denklem sisteminin çözümü ( x, yz, ) ) (,, ) B) (,, ) C) (,,) D) (,, ) E) (,, ) x+ y+ z 5 6) x y + z x+ y z şğıdkilerden hngisidir? lineer denklem sisteminin çözümü oln ( x, yz, ) ) (,, ) B) (,,) C) (,,) D) (,5, ) E) (,, ) x+ y 7) z x y + z 9 şğıdkilerden hngisidir? denklem sisteminin çözümü oln ( x, yz, ) ) (,,7) B) (,, 7) C) (,,5) D) (,, 5) E) (,,5 ) x+ y+ z 8) x + y z x y + z şğıdkilerden hngisidir? lineer denklem sisteminin çözümü ( x, y, z) ) (,,) B) (,, ) C) (,, ) D) (,, ) E) (,,)

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81.

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81. LOGARİTMA Test -. olduğun göre, şğıdkilerden log log log. log olduğun göre, kçtır? 6 6 8. olduğun göre, şğıdkilerden 6. logm olduğun göre, m kçtır? log log log 6 log 6. olduğun göre, şğıdkilerden log log

Detaylı

JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim

JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim JOVO STEFNOVSKİ NUM CELKOSKİ Sekizyıllık İlköğretim Syın Öğrenci! u kitp, ders proğrmınd öngörülen ders mlzemesini öğrenmek için yrdımcı olcktır. Vektörler, öteleme ve dönme hkkınd yeni ilginç bilgiler

Detaylı

SAYI KÜMELERİ. Örnek...1 :

SAYI KÜMELERİ. Örnek...1 : SAYILAR SAYI KÜMELERİ RAKAM S yı l r ı i f d e e t m ek i ç i n k u l l n d ı ğ ı m ız 0,,,,,,6,7,8,9 semollerine rkm denir. DOĞAL SAYILAR N={0,,,...,n,...} k üm e s i n e d o ğ l s yı l r k üm e s i d

Detaylı

[ 1 i 6 2i. [ a b. Örnek...3 : Örnek...4 : 0 0 0. Örnek...5 : 1 3 2. Örnek...6 : i sanal sayı birimi olmak üzere, i. Örnek...1 : 3 4 2 8 =?

[ 1 i 6 2i. [ a b. Örnek...3 : Örnek...4 : 0 0 0. Örnek...5 : 1 3 2. Örnek...6 : i sanal sayı birimi olmak üzere, i. Örnek...1 : 3 4 2 8 =? A=[a i j] r x r bir kare matris ise bu kare matrisi reel bir sayıya eşleyen fonksiyona determinant denir. Örnek...3 : i sanal sayı birimi olmak üzere, [ 1 i 6 2i 3+i 2+2i] matrisinin determinantı kaça

Detaylı

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5 Komisyon LES EŞİT ĞRILIK ve SYISL DYLR TMMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 97-605-36-1-5 Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem kdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem kdemi Yy. Eğt. Dn.

Detaylı

1.BÖLÜM SORU. (x+3) (4x 2 13) = 3(x+3) denklemini sa layan x de- erlerinin çarp m kaçt r? x+3 kümesi afla dakilerden hangisidir?

1.BÖLÜM SORU. (x+3) (4x 2 13) = 3(x+3) denklemini sa layan x de- erlerinin çarp m kaçt r? x+3 kümesi afla dakilerden hangisidir? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin u s s nd kinci Dereceden Denklemler, Eflitsizlikler ve Prol konusund çözümlü sorulr er lmktd r. Bu konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik ollr,

Detaylı

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ] 3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2

Detaylı

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri Yükseköğretime Geçiş Sınvı (Ygs) / Nisn 0 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. 0,5, işleminin sonuu kçtır? 0,5 0, A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7 Çözüm 0,5 0,5, 0, 05 50 5.5.4 5.5. 4 4 0 5 .. 4.6 6 işleminin sonuu

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. Reel say larda her a ve b için a 2 b 2 = (a+b) 2 2ab biçiminde bir ifllemi tan mlan yor.

1.BÖLÜM SORU SORU. Reel say larda her a ve b için a 2 b 2 = (a+b) 2 2ab biçiminde bir ifllemi tan mlan yor. .BÖLÜM MATEMAT K Derginin u sy s n fllem ve Moüler Aritmetik konusun çözümlü sorulr yer lmkt r. Bu konu, ÖSS e ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içine

Detaylı

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER 1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Örnek...3 : 3 x+ y= 5 2x 3 =2 y s i s t e m i n i s a ğ l a ya n y d e ğ e r i k aç t ır? a, b, c R, a 0, b 0, x v e y d e ğ i şk e n o l m a k ü ze r e, a x+ b

Detaylı

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER.

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER. Mutlk Değer YILLAR 4 6 8 9 1 11 ÖSS-YGS - - - 1 - - 1 - - 1/1 MUTLAK DEĞER ε R olmk üzere;, -, ise < ise ve b reel syı olmk üzere; 1) dır Eğer ise dır ) 14) + n n Z olmk üzere dır 1) f ( ) > g( ) f ( )

Detaylı

DERS 1. Sayı Kümeleri ve Koordinatlar

DERS 1. Sayı Kümeleri ve Koordinatlar DERS Syı Kümeleri ve Koordintlr. Kümeler. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri küme kvrmıdır. Okuyucunun küme kvrmın ybncı olmyıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kbul ediyoruz. Bununl berber, kümelerle

Detaylı

ege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16

ege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16 Orn Ornt Özellikleri TEST : 91 1. 0,44 0,5 = 0,22 5. + 3 = 5 2 2. 3. 4. oldu un göre, kçt r? A) 0,2 B) 0,25 C) 0,5 D) 0,6 E) 0,75 y = 3 4 + y oldu un göre, y orn kçt r? A) 7 B) 1 C) 1 D) 7 E) 10 oldu un

Detaylı

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre,

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre, TI BSINCI TEST - 1 1 1 π dir π Bun göre, 4 > 1 CEV B de ve cisimlerinin e ypt klr s nçlr eflit oldu un göre, SX S Z + 4 8 S Y I II III CEV B Tu llr n X, Y ve Z noktlr n ypt s nç, X S Y S Z S dir Bun göre,

Detaylı

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. KÜMELER urada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. iyi tanımlanmış: herkes tarafından kabul edilen

Detaylı

BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI

BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI Dilek ARDAÇ, Ebru MUĞALOĞLU Boğziçi Üniversitesi, Eğitim Fkültesi, OFMA Eğitimi Bölümü, İSTANBUL ÖZET: Çlışm bilimsel süreçlerin kznımını mçlyn

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Matris ve Determinant

SAYISAL ANALİZ. Matris ve Determinant SAYISAL ANALİZ Mtris ve Determinnt Syısl Anliz MATLAB ile Temel Mtris İşlemleri Genel Mtris Oluşturm Özel Mtris Oluşturm zeros komutu ile sıfırlr mtrisi ones komutu ile birler mtrisi eye komutu ile birim

Detaylı

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir. KÜMELER Küme : Nesnelerin iyi tanımlanmış listesine küme denir ve genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,a A biçiminde

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

ALES / SONBAHAR 2008 DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-1 TESTİ

ALES / SONBAHAR 2008 DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-1 TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınvın bu bölümünden lcğınız stndrt pun, Syısl Ağırlıklı ALES Punınızın (ALES-SAY) hesplnmsınd

Detaylı

Vektör Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN

Vektör Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN Vektör Uzayları Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Matematik ve mühendislikte birçok uygulamaları olan cebirsel yapılardan vektör uzayı ve alt uzay kavramlarını

Detaylı

Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullanabiliriz? Alan tahmin etmede kullanabiliriz.

Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullanabiliriz? Alan tahmin etmede kullanabiliriz. 4.1 Aln Neler Ö renece iz? Geometrik flekillerin lnlr n hesplyc z. Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullnbiliriz? Aln thmin etmede kullnbiliriz. Söz Vrl Prlelkenrsl bölge Bir y içinde yklfl k lt metre krelik

Detaylı

A A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 4.

A A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki TEMEL MATEMAT K TEST  bölümüne iflaretleyiniz. 4. TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevplyc n z soru sy s 40 t r + u bölümdeki cevplr n z cevp k d ndki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflretleyiniz.. ( + )y + = 0 (b ) + 4y 6 = 0 denklem sisteminin çözüm

Detaylı

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DERS ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler.. Do rusal Denklem Sistemleri. Günlük a amda a a dakine benzer pek çok problemle kar la r z. Problem. Manavdan al veri eden bir mü teri, kg armut

Detaylı

Bahçe Mah. Soğuksu Cad. No:73 MERSİN www.sratanitim.com info@sratnitim.com. Tel :0.324 336 41 24 :0.324 336 41 26 Gsm :0.

Bahçe Mah. Soğuksu Cad. No:73 MERSİN www.sratanitim.com info@sratnitim.com. Tel :0.324 336 41 24 :0.324 336 41 26 Gsm :0. Tnıtım Bhçe Mh. Soğuksu Cd. No:73 MERSİN www.srtnitim.com info@srtnitim.com Tel :0.324 336 41 24 :0.324 336 41 26 Gsm :0.532 592 60 05 çık hvdki prestijiniz 1 Tnıtım ,Büfe Durk Rket 118 x 178 cm Gintbord

Detaylı

Uzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme

Uzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme MTEMT K Uzunluklr Ölçme Çevre ln Zmn Ölçme S v lr Ölçme Hcmi Ölçme Temel Kynk 5 Uzunluklr Ölçme UZUNLUKLRI ÖLÇME Çevremizde metre, sntimetre, milimetre vey bunlr n herhngi ikisi ile söyledi imiz uzunluklr

Detaylı

ORAN ORANTI. Örnek...1 : Örnek...4 : Örnek...2 : Örnek...5 : a 1 2 =2b+1 3 =3c 4. Örnek...6 : Bir karışımda bulunan a, b ve c maddeleri arasında

ORAN ORANTI. Örnek...1 : Örnek...4 : Örnek...2 : Örnek...5 : a 1 2 =2b+1 3 =3c 4. Örnek...6 : Bir karışımda bulunan a, b ve c maddeleri arasında ORAN ORANTI syısının 0 dn frklı oln b syısın ornı :b vey olrk gösterilir. b İki vey dh fzl ornın eşitlenmesiyle oluşn ifdeye orntı denir. b =c d ifdesine ikili orntı denir. Bir orntı orntı sbitine eşitlenerek

Detaylı

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) ÖSS MT-1 / 008 MTMTİK 1 TSTİ (Mt 1) 1. u testte 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik 1 Testi için yrıln kısmın işretleyiniz. 1. 1 + 4 1 ( ) 4. syısı b 0 ) b syısının kç ktıdır? ) b ) b işleminin

Detaylı

LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI

LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI- MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 09 BU SORU KİTAPÇIĞI LYS- MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. . Bu testte 0 soru vrdýr. MATEMATİK TESTİ. Cevplrýnýzý,

Detaylı

ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT MAİ, DEEMİNAN ve DOUAL DENKLEM İEMLEİ ÜNİE. ÜNİE. ÜNİE. ÜNİE. ÜNİ Mtrisler. Kznım : Mtrisi örneklerle çıklr, verilen ir mtrisin türünü elirtir ve istenilen stırı, sütunu ve elemnı gösterir.. Kznım : Kre

Detaylı

OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI

OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI Uygulm Yönerge Kitpçığı 11.02.2015 ESOGÜ Eğitim Fkültesi Özel Eğitim Bölümü ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAKÜLTESİ ÖZEL EĞİTİM BÖLÜMÜ 2014-2015 BAHAR

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır. gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır? 988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?

Detaylı

Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır?

Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır? www.mustafayagci.com, 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com (a, b) şeklinde sıra gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili Burada a ve b birer sayı olabileceği gibi herhangi iki nesne

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır. YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır

Detaylı

1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x

1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x MC www.mtemtikclub.com, 006 Cebir Notlrı Çrpnlr Ayırm Gökhn DEMĐR, gdemir3@yhoo.com.tr Đki ifdenin çrpımı ypılırken, sonuc çbuk ulşmk için, bzı özel çrpımlrın eşitini klımızd tutr ve bundn yrrlnırız. Bu

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız. Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

İLKÖĞRETİM TEMATİKTİK. 8. Sınıf. Ders Kitabı. Yazar. Mehtap CANPEKEL

İLKÖĞRETİM TEMATİKTİK. 8. Sınıf. Ders Kitabı. Yazar. Mehtap CANPEKEL İLKÖĞRETİM MTEM TEMTİKTİK 8. Sınıf ers Kitı Yzr Mehtp NPEKEL u kitp, Millî Eğitim knlığı, Tlim ve Teriye Kurulu şknlığı nın 8..009 trih ve 8 syılı kurul krrıyl 00-0 öğretim yılındn itiren 5 (eş) yıl süreyle

Detaylı

Limit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit

Limit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit Kpk Konusu: Gerçel S lr V: Süreklilik Limit Limit v = ƒ() Bir bflk örne e bkl m. < c < b olsun. ƒ: [, b] \ {c}, grfi i fl dki gibi oln bir fonksion olsun. Fonksion c nokts nd tn mlnmm fl. Os fonksion c

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J

Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J DERS 13 Amortize Edilmiş Analiz Dinamik Tablolar Birleşik Metod Hesaplama Metodu Potansiyel Metodu Prof. Charles E. Leiserson Kıyım tablosu ne kadar büyük olmalı? Amaç

Detaylı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı Ankr Üniversitesi Mühendislik Fkültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207 Temel ElektronikI Doç. Dr. Hüseyin Srı 2. Bölüm: Dirençli Devreler İçerik Temel Yslrın Doğrudn Uygulnışı Kynk Gösterimi ve Dönüşümü

Detaylı

TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ

TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., Cilt:4, Syı:2, 2014,57-69/Ordu Univ. J. Sci. Tech., Vol:4, No:2,2014,57-69 TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ ÖZET Emine

Detaylı

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4.

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4. IV. HTTİN TTIŞ MTEMTİK YRIŞMSI u test 30 sorudn oluşmktdır. İREYSEL YRIŞM SORULRI 1. 4 3 + 1 4. 3 3 + = + 1 + 1 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 3 ) ) 3 D) 13 3 ) { 0 } ) { 1} ) { }

Detaylı

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler Ünite ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f() g() log.. Üstel Fonksion / / / /.. Logritm Fonksionu.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR KAZANIM ve İÇERİK.

Detaylı

Volkan Karamehmetoğlu

Volkan Karamehmetoğlu 1 Doğal Sayılar Tanımlar Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Sayı: Rakamların çokluk belirten ifadesine denir. 365 sayısı 3-6-5 rakamlarından oluşmuştur. 2 Uyarı: Her

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d

Detaylı

Yrd. Doç. Dr., Süleyman Demirel Üniversitesi, Yalvaç Meslek Yüksek Okulu

Yrd. Doç. Dr., Süleyman Demirel Üniversitesi, Yalvaç Meslek Yüksek Okulu PERSONEL SEÇĐMĐNĐN ANALĐTĐK HĐYERARŞĐ PROSESĐ YÖNTEMĐYLE GERÇEKLEŞTĐRĐLMESĐ ÖZET Orhn ADIGÜZEL Glolleşmenin neden olduğu ilgi ve teknolojideki gelişmeler, işletmeleri ve kurumlrı dh kliteli insn kynğın

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

İDEAL PERFORMANS DEĞERLENDİRME FORMU TASARIMINDA ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YAKLAŞIMI

İDEAL PERFORMANS DEĞERLENDİRME FORMU TASARIMINDA ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YAKLAŞIMI Gzi Üniv Müh Mim Fk Der J Fc Eng Arch Gzi Univ Cilt 20, No 1, 95-106, 2005 Vol 20, No 1, 95-106, 2005 İDEAL PERFORMANS DEĞERLENDİRME FORMU TASARIMINDA ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YAKLAŞIMI Ergün ERASLAN

Detaylı

BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI

BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI 6.1. SĐSTEM... 6/ 6.. YÜKLER... 6/4 6..1. Düşey Yükler...

Detaylı

ALES / İLKBAHAR 2008 DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

ALES / İLKBAHAR 2008 DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ LES / İLKHR 008 İKKT! SORU KİTPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "" OLRK EVP KÂĞIIN İŞRETLEMEYİ UNUTMYINIZ. SYISL ÖLÜM SYISL- TESTİ Sınavın bu bölümünden alacağınız standart puan, Sayısal ğırlıklı LES Puanınızın (LES-SY)

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)

Detaylı

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI KARŞI AKIŞI SU SOĞUTMA KUESİ BOYUTANIDIRIMASI Yrd. Doç. Dr. M. Turh Çob Ege Üiversitesi, Mühedislik Fkultesi Mkie Mühedisliği Bölümü turh.cob@ege.edu.tr Özet Bu yzımızd ters kışlı soğutm kulelerii boyut

Detaylı

5. a ve b pozitif tamsay lard r say taban olmak üzere,

5. a ve b pozitif tamsay lard r say taban olmak üzere, 1. ve b pozitif tmsy lrd r. + b = 13 oldu un göre, + 3b toplm n n en büyük de eri kçt r? 5. ve b pozitif tmsy lrd r. Yndki bölme iflleminde, n n lbilece i en büyük de er kçt r? b 8 b 8 ) 4 ) 8 ) 34 ) 37

Detaylı

KILAVUZ SORU ÇÖZÜMLERİ Matematik

KILAVUZ SORU ÇÖZÜMLERİ Matematik FRAKTALLAR -. Ünite 9. A seçeneğinde verilen şekil adet doğru parçası, B seçeneğinde bulunan şekil 6 adet doğru parçası C seçeneğinde bulunan şekil ise 0 adet doğru parçası kullanılarak oluşturulmuştur.

Detaylı

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n

Detaylı

10. SINIF. 5. P(x)=2x n 4 +3x 6 n Aþaðýdakilerden hangisi polinom deðildir? 2. Aþaðýdaki polinomlardan hangisi üçüncü derecedendir?

10. SINIF. 5. P(x)=2x n 4 +3x 6 n Aþaðýdakilerden hangisi polinom deðildir? 2. Aþaðýdaki polinomlardan hangisi üçüncü derecedendir? MTMTÝK 0. SINIF POLÝNOMLR Test No:. þðýdkilerden hngisi polinom deðildir? ) P(x)=0 ) P(x)= 2 ) P(x)=2x ) P(x) = 2 x ) P(x) = 2x 2. þðýdki polinomlrdn hngisi üçüncü derecedendir? ) P(x)=x 3 +3x 4 + ) P(x)=x

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ KARMA / TEST-1

ANALİTİK GEOMETRİ KARMA / TEST-1 NLİTİK GEMETRİ KRM / TEST-. (, ) noktasından geçen ve + = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun eksenini kestiği noktanın ordinatı ) ) 7 ) 9 ). = (k 6) + b k = k doğrularının ekseni üzerinde dik kesişmeleri

Detaylı

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin

Detaylı

LKÖ RET M MATEMAT K 8 Ö RETMEN KILAVUZ K TABI. Lokman GÜNDO DU

LKÖ RET M MATEMAT K 8 Ö RETMEN KILAVUZ K TABI. Lokman GÜNDO DU LKÖ R M MM K 8 Ö RMN KILVUZ K I Lokmn GÜNO U u kitp, Millî itim knl lim ve erbiye Kurulu flknl n n 8.06.00 trih ve 6 sy l krr yl 0-0 ö retim y l ndn itibren (befl) y l süreyle ders kitb olrk kbul edilmifltir.

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

12. 13. Faktöryel: 01. 02. 03.

12. 13. Faktöryel: 01. 02. 03. ĐZMĐR FEN LĐSESĐ SINIF MATEMATĐK ÇALIŞMA SORULARI: (Permütasyon-Kominasyon-Binom ve Olasılık) Çarpmanın Temel Đlkesi: 0 Faktöryel: 06. 06. 11. 1 11. 4. a. b. 5. c. 6. 7. 8. 16. 9. 17. 30. 31. Permütasyon:

Detaylı

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR YILLAR 00 003 00 00 006 00 008 009 00 0 3 - - ÖYS ORAN ORANTI ve t. t. t.e zılilir. f Or: E z iri sıfır frklı ı iste iki çokluğu ölümüe or eir. Or irimsizir. Ortı : iki ve h fzl orı eşitliğie ortı eir.

Detaylı

PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ. (19-22 Ağustos 2013 Akyaka)

PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ. (19-22 Ağustos 2013 Akyaka) PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ (19-22 Ağustos 213 Akyk) Pljlr Çevre Bilinçlenirme Projesi 19-22 Ağustos trihleri rsın TÜRÇEV Muğl Şuesi ve Akyk Beleiyesi iş irliği ile gerçekleştirili. Proje TÜRÇEV

Detaylı

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi.

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi. KÜMELER Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(a) = 3 tür. tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya

Detaylı

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın

Detaylı

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS Rsonel Sılr YILLAR 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 ÖSS-YGS RASYONEL SAYILAR KESĐR: Z ve 0 olmk üzere şeklindeki ifdelere kesir denir p pd kesirçizgisi KESĐR ÇEŞĐTLERĐ: kesri için i) < ise kesir sit kesirdir

Detaylı

S ralama. Kapak Konusu: S ralamalar

S ralama. Kapak Konusu: S ralamalar Mtemtik Dünys, 00 K fl Kpk Konusu: S rlmlr S rlm x lk yz d her fleyin s rlnmyc n gördük. Am bu, hiçbir fley s rlnmz nlm n gelmez tbii ki. Bz fleyler bl gibi s rln r. Örne in ÖSS s nv sonuçlr n göre gençlerimiz

Detaylı

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir. FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle

Detaylı

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır? RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine

Detaylı

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye

Detaylı

SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER

SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER 1. (p + 1) q sayısının hangi p ve q asal sayıları için bir tam kare olduğunu 2. n+2n+n+... +9n toplamının bütün basamakları aynı rakamdan oluşan bir sayıya eşit olmasını sağlayan

Detaylı

14) ( 2) 6 üslü sayısının kesir olarak yazılışı A) ) 2 3 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 16) -6 2 üslü sayısının eşiti kaçtır?

14) ( 2) 6 üslü sayısının kesir olarak yazılışı A) ) 2 3 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 16) -6 2 üslü sayısının eşiti kaçtır? ÜSLÜ SAYILAR KAZANIM PEKİŞTİRME SORULARI ) üslü syısı şğıdkilerden hngisine eşittir? 6 9 7 ) +++++++ işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi ile ifde edilebilir?. + )... işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi

Detaylı

Mil li E i tim Ba kan l Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Bafl kan l n n 30.12.2009 ta rih ve 334 sa y l ka ra r ile ka bul edi len ve 2010-2011 Ö re tim

Mil li E i tim Ba kan l Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Bafl kan l n n 30.12.2009 ta rih ve 334 sa y l ka ra r ile ka bul edi len ve 2010-2011 Ö re tim Mil li i tim kn l T lim ve Ter bi ye u ru lu fl kn l n n 0..009 t rih ve s y l k r r ile k bul edi len ve 00-0 Ö re tim Y l n dn iti b ren uy gu ln ck oln prog r m gö re h z r ln m flt r. Genel Müdür Temel

Detaylı

ph Hesabı Prof. Dr. Mustafa DEMİR M.DEMİR(ADU) 16-PH HESABI 1

ph Hesabı Prof. Dr. Mustafa DEMİR M.DEMİR(ADU) 16-PH HESABI 1 p esbı Prof. Dr. Mustf DEMİR M.DEMİR(ADU) 6-P ESABI . uvvetli sit ve bz çözeltilerinde p hesbı. Zyıf sit çözeltilerinin p ı. Zyıf Bz Çözeltisinin p ı 4. Zyıf sidin tuzunu içeren bir çözeltinin p ının hesbı

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı