BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.

Transkript

1 MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir ij m n Burd ij, mtrisinin i -inci stır j -inci sütunundki elemnıdır Tblodki yty sırlr mtrisin stırlrı, düşey sırlr d mtrisin sütunlrı ( kolonlrı) dı verilir mtrisi m tne stırdn ve n tne sütundn oluşmuş, m n tipindedir Örnek:, birer mtristir X B 5 X, C X 7

2 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 5 MTRİS ÇEŞİTLERİ ) Kre ve Dikdörtgen Mtris m n boyutlu mtrisinde m n ise dikdörtgen mtris, m n ise kre mtris olrk dlndırılır Örnek: kre mtris, X B 5 ve C ise dikdörtgen mtrislerdir X X ) Birim (Etkisiz) Mtris ) Toplm işlemine göre Bütün terimleri sıfır oln mtrise mtrisi denir ve ile gösterilir x mtrisi toplm işlemine göre birim mtristir Tnım: Bir kresel mtrisde tüm ii elemnlrının oluşturduğu köşegene ess köşegen denir Örnek: 7 mtrisinde ess köşegen üzerindeki elemnlrı,, tür 9 5 7

3 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev b) Çrpm işlemine göre Ess köşegen üzerindeki elemnlrı, diğer elemnlrı oln kresel mtrislere çrpm işlemine göre birim mtris denir ) Köşegen Mtris Ess köşegen üzerindeki elemnlrı frklı, diğer tüm elemnlrı oln kre mtrislere köşegen mtris denir Ι n (birim mtris) ynı zmnd köşegen mtristir ) Üçgensel Mtris ) Üst üçgensel mtris Bir kre mtrisin elemnlrı i > j için ise bu mtrise üst üçgensel mtris denir ij b) lt üçgensel mtris Elemnlrı i< j için oln mtrise lt üçgensel mtris denir ij 7

4 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 5) Simetrik Mtris Bir kre mtrisin elemnlrı ess köşegene göre simetrik ise bu tür mtrislere simetrik mtris denir Yni ij dir ji Örnek: ) Devrik Mtris Boyutu m n oln bir mtrisinin stır ve sütunlrının yer değiştirilmesi ile elde edilen ve boyutu n m oln mtrise mtrisinin devriği (trnspozesi) denir ve T ile gösterilir m n n mn ise T n m m mn Örnek: T ise? Çözüm: T

5 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 5 MTRİSLERDE İŞLEMLER 5MTRİSLERİN EŞİTLİĞİ Tnım: ynı tipteki iki mtrisin krşılıklı tüm elemnlrı birbirine eşit ise bu iki mtris eşittir denir ij, B bij ve ij bij B dir Örnek: x y + ise x+ y? Çözüm: x - x x y+ y olup x+ y + bulunur 5 MTRİSLERDE TOPLM VE ÇIKRM Tnım: ynı tipteki iki mtrisin krşılıklı elemnlrı toplnrk bulunn yeni mtrise toplm mtrisi denir ij, B b m n ij olmk üzere + B ij + bij C dir m n m n İki mtrisin çıkrm işlemi de ynı yöntemle ypılır Yni, B ij bij şeklindedir m n 75

6 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev Örnek: 8 ve B 5 ise B? ve + B? Çözüm: B B MTRİSİN REEL SYI İLE ÇRPIMI Bir mtrisin tüm elemnlrı k ile çrpılırs mtris de k ile çrpılmış olur Yni, k k ij dir m n Özellikler BveC, ynı boyutlrd mtrisler ve kk,, k olsun ) k ( + B) k + k B )( k + k ) k + k )( k k ) k ( k ) k ( k ) ) ve 5) k ve Örnek: Çözüm: ise 5 mtrisini bulunuz

7 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev Örnek: 6 8 ise + Ι? 6 Çözüm: + Ι İKİ MTRİSİN ÇRPIMI İki mtrisin çrpılbilmesi için birinci mtrisin sütun syısının ikinci mtrisin stır syısın eşit olmsı gerekirçrpm işleminde birinci mtrisin tüm stır elemnlrı ikinci mtrisin tüm sütun elemnlrı ile krşılıklı olrk çrpılıp toplnır Çözüm: B B Örnek: 5 ve 5 B ise B? ve B? Çözüm: B B işlemi ypılmz, çünkü B mtrisinin sütun syısı mtrisinin stır syısın eşit değildir 77

8 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 55 KRE MTRİSLERİN KUVVETLERİ kresel bir mtris olmk üzere, her kre mtris kendisi ile çrpılbilir n n Ι n Örnek: mtrisi ve f( x) x x fonksiyonu veriliyor f ( ) mtrisini bulunuz Çözüm: Ι olup sırsı ile f( ) ve mtrislerini bulup f ( ) d yerine yzlım f( ) bulunur 5 DETERMİNNT Tnım: Determinnt kresel bir mtrisi reel syıy dönüştüren bir fonksiyondur n n boyutlu bir kre mtrisinin determinntı det( ) ile gösterilir 78

9 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev n det( ) dır n n nn 5 DETERMİNNTIN ÖZELLİKLERİ ) Bir determinntın bir stırdki vey bir sütundki elemnlrı ise, o determinntın değeri dır ) Bir determinntt ynı numrlı stırlr ve sütunlr yer değiştirirse, determinntın değeri değişmez ) Bir determinntın iki stırı vey sütunu yer değiştirirse, determinntın işreti değişir ) Bir determinntın bir syı ile çrpılmsı demek, her hngi bir stırın vey sütunun o syı ile çrpılmsı demektir 5) Bir determinntın iki stır vey sütunu ynı elemnlrdn oluşuyors vey orntılı ise, o determinntın değeri dır 6) Bir determinntt bir stırın vey sütunun elemnlrını bir syı ile çrpıp bir bşk stırın y d sütunun krşılıklı elemnlrın eklemek determinntın değerini değiştirmez 5 İKİNCİ MERTEBEDEN DETERMİNNT CILIMI yedek köşegen ess köşegen Örnek : 5 ( ) 5 Örnek : Örnek : x x ise x? 79

10 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev Çözüm : ( x) x olup x x ise ( x )( x+ ) burdn x ve x bulunur 5 ÜÇÜNCÜ MERTEBEDEN DETERMİNNT ÇILIMI ) SRRUS kurlı Bu kurl göre ilk iki stır lt trf vey ilk iki sütun sğ trf yzılıp ess köşegen çrpımlrındn yedek köşegen çrpımlrı çıkrılır + + bulunur b)lprce kurlı Bu kurll herhngi bir stır vey sütun göre çılım ypılır nck sıfır elemnının yoğun olduğu stır vey sütunlr kolylık sğlr Bu çılım her boyuttki determinnt için geçerlidir mtrisinin determinntını stır göre çlım 8

11 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev ( ) + ( ) + ( ) dir Örnek: 5 ise? Çözüm: Bu mtrisin determinntını üçüncü sütun göre çmkt kolylık vrdır Çünkü bu sütundki sıfır elemnlrı yoğunluktdır Örnek: + + ( ) + (6 ) ( 6) bulunur 5 7 ise? Çözüm: Bu mtrisin determinntını üçüncü stır göre çmkt kolylık vrdır ( ) ( ) 5 (5 6) 6 ( ) 6 bulunur 5 BİR DETERMİNNTIN MİNÖRLERİ VE KOFKTÖRLERİ + Tnım: i, j ve ij kre mtrisinin i nci stır ve j nci sütunu nxn silindikten sonr elde edilen yeni mtrisin determinntın ij elemnının lt determinntı vey minörü denir ve M ij ile gösterilir ij ( ) i + j M ifdesine de ij elemnın kofktörü denir: ij 8

12 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev Örnek : mtrisinin stır elemnlrının minör ve kofktörünü bulunuz Çözüm : in minörü M ve kofktörü ise ( ) M M + in minörü M 8 5 ve kofktörü ise ( ) M M 5 + ün minörü M 9 7 ve kofktörü ise ( ) M M EK MTRİS Tnım: kresel mtris olmk üzere ij elemnının yerine o elemnın kofktörleri konulrk bulunn mtrisin trnspozun nın ek mtrisi denir ve Ek( ) ile gösterilir Örnek: Çözüm: ise Ek( )? + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) Ek( ) dir T 8

13 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev boyuttki bir mtrisin ek mtrisini bulmk için, ess köşegen üzerindeki elemnlr yer, yedek köşegen üzerindeki elemnlrd işret değiştirir Örnek : Çözüm: ise Ek( )? + ( ) + + ( ) 6 + ( ) ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) Ek( ) 5 5 T bulunur 8

14 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 56 BİR MTRİSİN TERSİ (İNVERSİ) Tnım: n n tipinde bir mtris olmk üzere, B B I n n eşitliğini sğlyn B mtrisi vrs, B mtrisine mtrisinin tersi(inversi) denir ve B ile gösterilir Bun göre I n n dir Tnım: n n tipinde bir mtris olmk üzere, mtrisinin tersi şeklinde gösterilir ve Ek( ) formülünden bulunur Not: Bir mtrisin tersinin olbilmesi için mtrisin kresel ve determinntı sıfırdn frklı olmlıdır Örnek : ise 5? Çözüm: yol : b Ι olduğundn, c d b 5 c d olsun + c 5 + c b + d 5b + d + c b+ d 5+ c 5b+ d denklem sistemini çözersek,, 7 5 b, c, d bulunur o hlde

15 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev b 7 7 c d dir yol : Ek( ) olduğundn, önce bullım 7 ve Ek( ) Ek( ) Örnek: ise? Çözüm: olduğundn mtrisinin tersi yoktur dir Örnek: 7 ise? Çözüm: 7 ( + 6) ( + 8) Şimdide tüm kofktörleri bullım 85

16 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev ( ) 5 + ( ) (9 8) 7 + ( ) ( ) (6 ) 7 + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 + ( ) Ek( ) T bulunur 86

17 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 57 BİR MTRİSİN RNKI Tnım: Bir ij mtrisinin kresel lt mtrisleri rsınd, determinntı m n sıfırdn frklı olnlrın mertebesi en büyük oln mtrisinin rnkı denir ve rnk() ile gösterilir Örnek : Çözüm: 5 ise rnk ( )? ( ) ( ) ( ) ( 9) 8 olduğundn rnk ( ) dir Örnek : Çözüm: 5 6 ise rnk ( )? ( ) + + ( ) olduğundn rnk ( )< olduğundn 6 + (+ ) llım + 5 Yni rnk ( ) dir 87

18 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 58 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ x + x + + x b denklemine dereceden n bilinmeyenli Tnım: n n lineer denklem denir Bu tip lineer denklemlerden oluşn sistemine lineer denklem sistemi(tkımı) denir x + x + + nxn b x + x + + nxn b x + x + + x b m m mn n m Sisteminin ktsyılr mtrisi: olup sbit vektörü b b B b m mx ve n n m m mn bilinmeyenler vektörü mxn X x x xn dir O hlde lineer denklem sistemi n x b x b n x b m m mn n m X B şeklinde yzılbilir 88

19 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev Örneğin, x y + z x + z x y + z denklem sistemini x y z şeklinde yzbiliriz 58 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN CRMER METODU İLE ÇÖZÜMÜ Ktsyılr mtrisi kre mtris oln bir lineer denklem sisteminin çözümü bu kurl göre ypılır Örneğin n için uygulnırs ; x + x + x b x + x + x b x + x + x b b B b, b X x x x olmk üzere lineer denklem sistemini X B şeklinde ifde edebiliriz Burd b b b b b b 89

20 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev b dir b b Eğer, ) ise lineer denklem sisteminin bir tek çözümü olup x, x, dir x ) ise ; ),, syılrındn en z biri sıfırdn frklı ise sistemin çözümü yoktur b) sistemin sonsuz çözümü vrdır Örnek : x 6y+ z 5 x y+ z x+ y z denklem sistemini Crmer kurlı ile çözünüz Çözüm: Verilen lineer denklem sistemini 6 x 5 y z yzrız x y 5 9 9

21 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev z 6 5 x x, y 9 y, z z 7 olup {( )} ÇK,, 7 bulunur Örnek : x y 8 x + 5y 9 denklem sistemini Crmer kurlı ile çözünüz Çözüm: x y x x y 6 y ÇK {(, ) } bulunur Örnek : x y x 6y 9 denklem sistemini Crmer kurlı ile çözünüz Çözüm: 6 x 9 6 9

22 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev y olup, sisteminin sonsuz çözümü vrdır 9 x y x y y t dersek x t Ç K {( t, t)} bulunur Örnek : x y x 6y 9 denklem sistemini Crmer kurlı ile çözünüz Çözüm 6 x y sistemin çözüm kümesi boş kümedir BÖLÜM LIŞTIRMLRI ) ise + T? x + y ) B 5 x y mtrisleri veriliyor B ise x+ y? ) mtrisine göre 6 ise? ) ve f ( x) x x ise f( )? 5) ve B + B B ise ( ) ( )? 9

23 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 6) mtrisi için ise? + x 5 7) x denklemini çözünüz 8) x+ y+ z 6 x y z x y + z sistemini çözünüz 9) x+ x + x 8 x + x x 9 x + x + x sistemini çözünüz y z ) x z sistemini çözünüz x y+ z x y ) x 6y denklem sistemini çözünüz x 8y ) x - y+ 5 z x-6y+ z x+ y+ z ) xy z x y + z 6 denklem sistemini çözünüz denklem sistemini çözünüz ) determinntının stırının minör ve kofktörlerini bulunuz cos x sin x 5) sin x cos x ise? 9

24 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev x y 6) mtrisinin tersi 5 z t ise x + y + z + t? x+ y 7) x y lineer denklem sistemini çözünüz 8) x y ise x y? 9) x y 5 sisteminin çözümü oln ( y) x, bulunuz x ) b y olduğun göre, + b + x + y toplmı kçtır 7 ) ve B olduğun göre, + B mtrisini bulunuz 5 8 ) M ise M mtrisi nedir? ), B mtrisleri verildiğine göre ( + B) toplmı nedir? ) C ve D ise C D frk mtrisi nedir? 5 6 5) ve B olduğun göre, B mtrisini bulunuz 5 6) ve B ise B çrpım mtrisi nedir? 5 7) ve B olduğun göre, B mtrisi nedir? 6 9

25 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 8) ve B mtrisleri verildiğine göre, B? 9), B ve C olduğun göre, B + C? 5 7 ) mtrisinin tersi nedir? 7 ) mtrisinin determinntı kçtır? k ) 5 8 olduğun göre k kçtır? ) 5 determinntının değeri kçtır? ) ise Ek( )? 5) 5 mtrisinin rnkı nedir? 6) ise? 95

26 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev BÖLÜM TESTİ ) x+ y x y lineer denklem sistemi, şğıdki mtris gösterimlerinden hngisi ile ifde edilir? ) x y B) x y C) [ xy ] [ ] x D) y E) [ xy ] x 5 ) y ifdesi şğıdki denklem sistemlerinden hngisinin 6 mtrislerle yzılmış biçimidir? ) x+ y 5 x+ y 6 B) x 5y x y 6 C) x+ y 5 x + y 6 D) x y 6 x+ y 6 E) x+ y 5 x+ y 6 ) x y 5 sisteminin çözümü oln ( x, y) şğıdkilerden hngisidir? ) (,) B) (,) C) (, ) D) (,) E) (, ) ) x y sisteminin çözümü oln ( x, y ) şğıdkilerden hngisidir? ) (,) B) (,) C) (,) D) (, ) E) (,) 96

27 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev x y 5) z 5 olduğun göre, x + y + z toplmı kçtır? ) B) C) D) 9 E) 7 6) ve B olduğun göre + B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? ) [ ] B) [] C) D) 8 E) 7 7), B olduğun göre, + B mtrisi şğıdkilerden 5 hngisidir? 8 5 ) 5 9 B) C) 6 D) E) 8), B olduğun göre B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 D) 5 B) 6 9 E) 9 C) 9 9) ve B 5 olduğun göre B çrpım mtrisi nedir? ) D) 6 5 B) 6 E) 5 6 C) 5 97

28 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 5 ) [ ] ve B olduğun göre B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? ) B) 5 C) 8 5 E) 8 D) [ ] ) ve B olduğun göre, B çrpımı nedir? 5 ) B) C) D) 5 5 E) çrpımı şğıdkilerden hngisine eşittir? ) [ ] ) 6 6 B) 8 C) D) 8 E) [ 8] ) ve B olduğun göre B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? ) [ 6 ] B) [ ] 6 C) 6 D) E) 6 98

29 99 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev ) ve B mtrisleri verildiğine göre, C B eşitliğini sğlyn C mtrisi nedir? ) 5 B) 5 C) 5 D) 5 E) 5 5) ve B mtrisleri için şğıdki ifdelerden hngisi doğrudur? ) B B) + B C) 9 D) 8 B E) 8 B 6) T ise mtrisi şğıdkilerden hngisidir? ) [ ] B) [ ] C) D) 6 E) 7) şğıdki mtrislerden hngisinin ters mtrisi yoktur? ) B) C) D) E) 8) şğıdki mtrislerden hngisinin tersi vrdır? ) B) C) 5 D) E)

30 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev 9) 5 mtrisinin tersi şğıdkilerden hngisidir? ) B) 5 5 C) 5 D) 5 E) ) 5 6 determinntının değeri kçtır? ) B) C) D) E) ) k olduğun göre, k kçtır? ) B) C) D) E) ) x y+ 7 x + y denklem sisteminin ( x, y) çözüm kümesi nedir? ) {(,)} B) {(,) } C) {(, ) } D) {(,) } E) {(,)} x+ y ) x+ y şğıdkilerden hngisidir? lineer denklem sisteminin çözümü oln ( x, y) ) (, ) B) (,) C) (,) D) (,) E) (,) x+ y+ z ) x + y + z x + y z şğıdkilerden hngisidir? lineer denklem sisteminin çözümü ( x, yz, ) ) (,,) B) (,,) C),, D),, E),,

31 MTEMTİK Tşkın, Çetin, bdullyev x+ y+ z 5 5) x + y + z x + y z şğıdkilerden hngisidir? lineer denklem sisteminin çözümü ( x, yz, ) ) (,, ) B) (,, ) C) (,,) D) (,, ) E) (,, ) x+ y+ z 5 6) x y + z x+ y z şğıdkilerden hngisidir? lineer denklem sisteminin çözümü oln ( x, yz, ) ) (,, ) B) (,,) C) (,,) D) (,5, ) E) (,, ) x+ y 7) z x y + z 9 şğıdkilerden hngisidir? denklem sisteminin çözümü oln ( x, yz, ) ) (,,7) B) (,, 7) C) (,,5) D) (,, 5) E) (,,5 ) x+ y+ z 8) x + y z x y + z şğıdkilerden hngisidir? lineer denklem sisteminin çözümü ( x, y, z) ) (,,) B) (,, ) C) (,, ) D) (,, ) E) (,,)