Ali Kocabýyýk

Transkript

1 u kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn, yazarlarýn izni olmaksýzýn elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayýt sistemi ile çoðaltýlmasý, yayýnlanmasý yasaktýr. u kitabýn tüm haklarý yazarlarýna aittir. Kitabýn dý : 10. Sýnýf Geometri Soru ankasý Yazarlar : Özkan Güner rhan Nemutlu Tarýk Þahin Kenan karbulut aský : Kanyýlmaz Matbaasý ðustos Kapak : Model jans izgi : ynur Sarýbüyük aynur_saribuyuk@hotmail.com ISN : ge Yayýncýlýk ðitim Hizmetleri Turizm Ýnþaat San. ve Tic. Ltd. Þti. Merkez mah. ligalip cad. kþioðlu iþhaný No : 1/9 Gaziosmanpaþa / ÝSTNUL Tel : 0 (1) web : Özkan Güner ozkanguner@hotmail.com li Kocabýyýk alikocabiyik@hotmail.com rhan Nemutlu enemutlu@hotmail.com

2 SUNUÞ Her þeyi içine alan ve ayný zamanda içinde olan Geometri, aslýnda son derece zevkli bir derstir. Kiþinin beyin gücünü ve görüþ yeteneðini, estetik ve düzen anlayýþýný geliþtiren bir alandýr. Çocuklara verilecek eðitim, þiir ve geometriden ibaret olmalý diyen filozof da ayný kanaati taþýyor olsa gerek. akat öðrencilerde Geometri dersine ait yersiz korku ve endiþe hakimdir. unun temel nedeni de kiþinin bilmediðinin düþmaný olmasýndandýr. Ýþte bu kitap, çeþitli okul ve dershanelerde çalýþmýþ eðitimcilerin tecrübe ve bilgi birikimlerinden yararlanýlarak hazýrlandý. Hedefi ise bu yersiz korku ve endiþeleri, ortaya koyduðu yeni anlayýþla ortadan kaldýrmak, bu dersi kolay ve zevkli hale getirmektir. Öncelikli hedefi geometriyi sevdirmek, sonra da geometriyi adým adým öðretmektir. Ýþte bu nedenle "dým dým Serisi (S)"nin 10. Sýnýf Geometri kitabý yazýldý. Sevgili Meslektaþýmýz, u kitaplarý; Matematik kitaplarýnda kullandýðýmýz HÜRLM SÝSTMÝ SRÝSÝ (HSS)'nin biraz daha geliþtirilmiþi olan IM IM SRÝSÝ (S) dediðimiz yeni bir anlayýþla sunuyoruz. una göre; Konular bir veya iki saatte anlatýlabilecek alt baþlýklara bölündü. öylelikle her dersin sonunda ödev verip takibinin yapýlabilmesi amaçlandý. u sistemde her öðrencinin bir þeyler öðrendiðini hissetmesini, kendine güveninin ve motivasyonunun artmasýný saðlayabilmek için öðreticilik ön planda tutuldu. yný tip sorular kolaydan zora doðru alt alta sýralandý. öylelikle zorluk basamaklarý daha kolay çýkýlýr hale getirildi. ÖSS - ÖYS (YGS - LYS) sorularýnýn benzeri bütün sorular, testlere konularak konu bütünlüðünün yakalanmasý amaçlandý. lýþtýrma Testleri öncesindeki kýsa konu bilgileriyle konularýn daha iyi öðrenilmesi ve öðrenilen konularýn öðrenciler tarafýndan lýþtýrma ve Konu Kavrama Testlerinin çözülerek pekiþtirilmesi hedeflendi. lt baþlýklara ayrýlmýþ testler, karma testler ile takviye edilerek öðrencilerin özelde öðrenilmiþ olan bilgileri genelde de uygulayýp baþarýlý olmalarý amaçlandý. Karma Testlerin arkasýna ÖSS - ÖYS (YGS - LYS) sorularý eklenerek öðrencinin kendisini ÖSS - ÖYS (YGS - LYS) sorularý ile sýnamasý amaçlandý. Hepimizin bildiði gibi, geometri dersi öðretim programýnda dersler; sarmal öðretim sistemi ile iþlenecektir. undan dolayý 10. Sýnýf Geometri kitabýmýzý 9. sýnýfta veya ilköðretimde öðrenilen bilgileri hatýrlatarak hazýrladýk. öylece konularýn daha iyi anlaþýlmasý amaçlandý. Sevgili Öðrencilerimiz, Geometri müfredatý tamamýyla yeni bir anlayýþla ele alýnmaktadýr. una göre, üst sýnýflarda geometri dersi almayacak olan öðrenciler için gerekli olan temel bilgi ve becerileri kazandýracak; 10, 11 ve 1. sýnýflarda Geometri dersi alacak öðrenciler için de alt yapý oluþturucak biçimde yapýlandýrýlmýþtýr. Geometri dersi öðretim programýnda dersler; sarmal öðretim sistemi ile iþlenecektir. undan dolayý 10. Sýnýf Geometri kitabýmýzý 9. sýnýfta veya ilköðretimde öðrenilen bilgileri hatýrlatarak hazýrladýk. öylece konular daha iyi anlaþýlacaktýr. Geometri ile ilgili temel kavramlar sentetik yaklaþýmla verildikten sonra koordinat doðrusu ve buna baðlý olarak analitik düzlem tanýmlanmýþtýr. Noktalarýn koordinatlarýndan yararlanarak da vektör kurgusu yapýlmýþtýr. iz bu yapýlandýrmayý esas alarak serinin ikinci kitabý olarak elinizdeki eseri hazýrladýk. yný zamanda, sizleri sýkýcý bir çalýþma ortamýndan kurtarýp; günlük, düzenli ve planlý ders çalýþma ve ödev yapma alýþkanlýðý kazandýrmak için hazýrladýk. Özellikle lýþtýrma Testleri Geometriye bakýþýnýzý deðiþtirecek sizi ders çalýþma masasýna oturtmayý baþaracaktýr. eðiþen sýnav sistemi YGS - LYS de 10. Sýnýf Geometri dersinden soru sorulmaktadýr. yrýca 10. Sýnýf Geometri dersinin 11. Sýnýf Geometri ve 1. Sýnýf Geometri derslerinin de temelini oluþturduðunu akýldan çýkartmamak gerekir. Üniversiteye giriþ sýnavlarýnda çýkan sorular karþýsýnda rahat olabilmenin yolu; sistemli, düzenli çalýþmanýza ve çok soru çözmenize baðlýdýr. u da öðrencilerin konularý kavrayarak öðrenip; lýþtýrma, Konu Kavrama, Karma ve ÖSYM sorularý ile pekiþtirmesiyle mümkündür. u kitabýn oluþmasýnda fikirleriyle bizi destekleyen, maddi ve manevi yardýmlarýný esirgemeyen li KOIYIK'a ve kitabýn tashihinde yardýmcý olan Öðretmen arkadaþýmýz umhur NGÝZ e ve deðerli öðrencilerimize teþekkür ediyoruz. Kitabýmýzýn sizlere yararlý olmasý dileðiyle... YZRLR

3 10. Sýnýf Geometri ersi Öðretim Programýnda Yaklaþýmlar üzlemin doðal geometrisi olarak öklid geometrisi; analitik geometri kurgusunda cebirsel yapý olarak vektörel yapý; geometrik ispatlarda da sentetik, analitik ve vektörel yaklaþýmlar esas alýnmýþtýr. unlar kullanýlarak 10. sýnýf Geometri ersi Öðretim Programý; a. Kavramlarýn anlaþýlmasýnýn, kullanýlmasý kadar önemli olduðu, b. Kavramlarýn oluþmasýndan sonra iþlem becerisinin devreye girmesi ve bunlarýn ayrýlmaz parçalar olarak devam etmesi gerektiði, c. Öðrencinin sadece bilgi ve beceri kazanmýþ olmasýnýn yanýnda bunlarý nasýl, nerede, ne zaman ve niçin uygulayacaðýna karar verebilecek duruma gelmesi, ç. Geometri ile ilgili kavramlarý sentetik, vektörel veya analitik yaklaþýmlarla ele almayý d. Teoremler ispatlanmadan önce mümkün olan analitik yaklaþýmlarý kullanýp örnek çözerek motivasyon saðlamayý, e. Ýspatlara sentetik, vektörel veya analitik yaklaþýmlarla gitmeyi, f. lde edilen sonuçlarý, gerçek hayattaki modelleri yardýmýyla pekiþtirmeyi, g. Konularýn iþlenmesinde mümkün olduðunca vektörel ve analitik yaklaþýmlarý esas almayý, ð. ir düzlem modelinde dik koordinat sistemi alarak düzlemsel þekillerin hareketlerini koordinatlara baðlý olarak incelemeyi, h. Ýlköðretim Geometri öðrenme laný ve Yükseköðretim Geometri Programlarý ile uyum Ýçinde olmayý, ý. ir düzlem modelinde dik koordinat sistemi alarak düzlemsel þekillerin hareketler altýnda deðiþmeyen özelliklerini koordinatlara baðlý olarak incelemeyi, i. üzlemin geometrik problemlerini sentetik, vektörel veya analitik yaklaþýmlarý kullanarak çözmeyi, j. üzlem geometrideki kavramlarýn özelliklerini sorgulatmayý öngörmektedir. þaðýda ir dik üçgende hipotenüsün karesi diðer kenarlarýn kareleri toplamýna eþittir. baðýntýsý üç yaklaþým kullanýlarak ispatlanmýþtýr. Sentetik Yaklaþýmla Ýspat c a a b b c a c c b a K G b b b a L a b L bir kare olmak üzere, () = (G) + (KL) c = a + b bulunur.

4 é Vektörel Yaklaþýmla Ýspat Kosinüs teoreminden = + cosθ q =θ= 90 ise = + veya c = a + b olduðu görülür. nalitik Yaklaþýmla Ýspat = 0 olacak þekilde bir dik koordinat sistemi seçersek = (0, 0), = (b 1, b ), = (c 1, c ) = (b, b ), = (c, c ), = (c b, c b ) b b, c c ve (c b ) (c b ) = 1 + = 1 + = olduðuna göre Y = = (c b ) (c b ) c c b b b c b c (b c b c ) b c + b c =<, >= (c 1, c ) elde edilir. una göre = + bulunur. q (0, 0) (b 1, b ) X

5 ÝÇÝNKÝLR 1. ÜNÝT üzlem Geometride Temel lemanlar ve Ýspat içimleri lýþtýrma 1, ÜNÝT üzlemde Nokta, oðru ve Vektörler lýþtýrma, Test 1, lýþtýrma 5,, Test lýþtýrma Test lýþtýrma 9, 10, Test lýþtýrma Test (Karma) Test (ÖSYM Sorularý) ÜNÝT Koordinat Sistemleri lýþtýrma 1, Test 7, lýþtýrma Test lýþtýrma Test 10, 11, lýþtýrma Test lýþtýrma Test (Karma) 1, Test (ÖSYM Sorularý) ÜNÝT oðrular lýþtýrma Test lýþtýrma 0, Test lýþtýrma Test lýþtýrma, Test lýþtýrma Test lýþtýrma Test lýþtýrma 7, Test Test (Karma),, Test (ÖSYM Sorularý) ÜNÝT Üçgenler lýþtýrma 9, Test lýþtýrma 1, Test (Karma) Test (ÖSYM Sorularý) lýþtýrma,, 5, Test lýþtýrma Test Test (Karma) 0, 1,, Test (ÖSYM Sorularý) lýþtýrma 8, Test lýþtýrma Test (Karma) lýþtýrma 1, Test lýþtýrma, Test Test (Karma) Test (ÖSYM Sorularý) lýþtýrma Test lýþtýrma Test lýþtýrma Test Test (Karma) Test (ÖSYM Sorularý) lýþtýrma Test lýþtýrma 9, 50, Test (Karma), lýþtýrma 5, 5, Test lýþtýrma Test Test (Karma) 8, lýþtýrma 5, Test (ÖSYM Sorularý) lýþtýrma Test lýþtýrma Test lýþtýrma 0, Test lýþtýrma Test lýþtýrma Test lýþtýrma, Test (Karma) 55, 5, Test (ÖSYM Sorularý) ÜNÝT önüþümlerle Geometri lýþtýrma Test lýþtýrma Test lýþtýrma 8, Test lýþtýrma 70, Test 1, Test (Karma) Test (ÖSYM Sorularý) lýþtýrma 7, 7, 7, 75, 7, Test lýþtýrma Test lýþtýrma 79, Test lýþtýrma Test Test (Karma) 8, Test (ÖSYM Sorularý) lýþtýrma Test lýþtýrma 8,

6 1. ÜNIT. üzlem GeometrIde Temel lemanlar ve.... ISPT IÇIMLRI.

7

8 üzlem Geometride Temel lemanlar ve Ýspat içimleri LIÞTIRM : þaðýdaki boþluklarý doldurunuz. a) oðruluðu ispatsýz kabul edilen önermelere. denir. b) Tanýmlar ve postulatlar yardýmýyla doðruluðu ispatlanan önermelere. denir.. Þekildeki 8 noktanýn birleþtirilmesiyle en G çok kaç doðru çizilir? H d c) d. doðrusu veya. doðrusu þeklinde gösterilir. 9. Sýnýf Geometri ersinden Hatýrlayalým : 19 * arklý iki doðrunun bir ortak noktasý varsa, bu doðrulara kesiþen doðrular denir. d),,, gibi þekiller. modelleridir. e) yný doðru üzerinde olan noktalara. denir. * arklý n doðru en çok n! (n, ) = (n )!.! farklý noktada kesiþir. f) 7 si doðrusal olan noktalardan. doðru geçer. g) oðruda sadece uzunluk vardýr ve. boyutludur.. þaðýdaki öklid postulatlarýný yorumlayýnýz. l. Ýki noktadan bir ve yalnýz bir doðru geçer. II. ir doðru parçasý sýnýrsýz bir þekilde uzatýlabilir. III. Merkezi ve yarýçapý verilen çember bir çember çizilebilir. IV. ütün dik açýlar eþittir. V. ir doðruya dýþýndaki bir noktadan yalnýz bir tek paralel doðru çizilir. ge Yayýncýlýk 5. 7 farklý doðru en çok kaç noktada kesiþir? : 1. eþi bir noktasýndan geçen 11 doðru en çok kaç noktada kesiþir? : 9. Sýnýf Geometri ersinden Hatýrlayalým * Herhangi üçü doðrusal olmayan n nokta en çok; n n! (n, ) = = (n )!.! adet doðru oluþturur.. Herhangi üçü doðrusal olmayan 7 nokta en çok kaç doðru belirtir? : 1 7. ü bir noktasýndan geçen, 5 i paralel 1 doðru en çok kaç noktada kesiþir? : 51 9

9 8. þaðýdaki ispat yöntemleri þemasýný inceleyiniz. Tümden Gelim Tüme Varým Ýfadeler : Ýki Kolonlu Ýspat: Gerekçeler olaylý Ýspat Olmayana rgi Yöntemiyle Ýspat Çeliþki Yöntemi ile Ýspat eneme Yöntemi ile Ýspat 1. m(ë) + m(ë) + m(ë) =... m(é) + m(é) =... m(ë) = m(é) + m(é) = m(ë) = m(é) 1. Üçgenin iç açýlarý ölçüleri toplamý. Komþu iki bütünler açýnýn toplamý. Geçiþme özelliði. Toplama iþleminin sadeleþme özelliði ksine Örnek Vererek Ýspat kýþ iyagramlý Ýspat: oðrudan Ýspat üçgen verilen é ve é komþu açlýar verilen Ýki Kolonlu Ýspat (Ýlk kolon; ifadeler, diðer kolon; gerekçelerdir. Ýspat sýra numaralý olarak yapýlýr.) kýþ iyagramlý Ýspat (Kutu ve oklar kullanýlarak yapýlýr.) ge Yayýncýlýk m(ë) + m(ë) + m(ë) = komþu bütünler açýlarýn toplamý m(ë) + m(ë) +... = m(é) +... Geçiþme Özelliði Paragraf içimi ile Ýspat (etaylý açýklamalara yer verilir.) m(ë) +... =... Toplama Ýþleminin Sadeleþme Özelliði 9. ir üçgenin iki iç açýsýnýn ölçüleri toplamý, diðer açýnýn dýþ açýsýnýn ölçüsüne eþittir. teoremini ispatlayan aþaðýdaki ispat biçimlerindeki boþluklarý doldurunuz. Paragraf içimli Ýspat: Ýspat : üçgeninin iç açýlarý toplamý m(ë) + m(ë) + m(ë) =.. dir. Komþu bütünler iki açýnýn ölçüleri toplamý m(é) +.. = 180 dir. u iki eþitliðin ikinci taraflarý eþit olduðundan birinci taraflarýda eþitlenerek ÿ de m(ë) + m(ë) = m(é) olduðunu ispatlayalým. 10 m(ë) + m(ë) +.. =.. + m(é) bulunur. uradan toplama iþleminin sadeleþme özelliðine göre, m(ë) + m(ë) =.. eþitliði bulunur.

10 Ýspat içimleri LIÞTIRM : 0 1. d 1 // d d 1 a m(é) = a m(é) = b b d m(é) = Teorem : Yandaki verilenlere göre, = a + b olduðunu aþaðýdaki ispat biçimlerindeki boþluklarý doldurarak ispatlayýnýz. b d Ýfadeler : Ýki Kolonlu Ýspat Gerekçeler a a b d 1 d 1. d 1 // d // d. m(é) =.. = a. m(é) =.. = b 1. d 1 ve d doðrularýna paralel d doðrusu çizilir.. d 1 // d - Ýç ters açýlar. d // d - Ýç ters açýlar b d. m(é) = =... Toplama iþlemi kýþ iyagramlý Ýspat d 1 //... // d d çizilir. m(é) =... = a Ýç Ters çýlar... = m(é) = b Ýç Ters çýlar = a + b... Paragraf içimli Ýspat d 1 ve d doðrularýna paralel.. doðrusu çizilir. Ýç ters açýlarýn eþitliðinden, m(é) =.. = a ve m(é) =.. = b olur. uradan toplama iþlemine göre = a + b bulunur. 11

11 . üzlemde kesiþen iki doðrunun oluþturduðu ters açýlarýn ölçüleri eþittir. teoremini akýþ diyagramý ve paragraf biçimi ile ispatlayýnýz.. ir düzlemde paralel iki doðrudan birine dik olan bir doðru diðer doðruya da diktir. teoremini iki kolonlu ve akýþ diyagramlý ispat biçimleri ile ispatlayýnýz. ge Yayýncýlýk 1

12 . ÜNIT üzlem NOKT, OÐRU ve VKTÖRLR.

13

14 üzlemde Nokta ve oðru LIÞTIRM : 0 1. þaðýdaki boþluklarý doldurunuz. a) ir doðrunun herhangi bir parçasýna. denir.. = { : <, R} ifadesini sayý doðrusu üzerinde gösteriniz ve tanýmlayýnýz. b) doðru parçasý. þeklinde gösterilir. c) ir doðrunun belirli bir yerinden baþlayýp düz sürekli olarak tek yöne uzatýlabilen, uzunluðu sýnýrsýz, kalýnlýðý bulunmayan geometrik terime.. denir. ç) d. ifadesinin sayý doðrusu üzerindeki görüntüsünü çizip tanýmlayýnýz. : Ýki tane ýþýn aþlangýç noktasý olan ýþýn. þeklinde gösterilir. d) ir doðrunun belirli bir yerinden baþlayýp düz sürekli olarak tek yöne uzatýlabilen, uzunluðu sýnýrsýz, kalýnlýðý bulunmayan geometrik terime (baþlangýç noktasý dahil deðil) denir. e) d ge Yayýncýlýk ifadesini sayý doðrusu üzerinde gösteriniz ve tanýmlayýnýz. aþlangýç noktasý ( noktasý dahil deðil) olan açýk yarý doðrusu.. þeklinde gösterilir.. Yukarýdaki þekle göre, ] Ç [ ifadesinin eþiti nedir? : [[. þaðýdaki tanýmlamalardan hangisi ya da hangileri doðrudur? I) [ : ýþýný ( kapalý yarý doðrusu) II) [[ : doðru parçasýndan noktasý çýkarýlmýþ. III) ] : açýk yarý doðrusu : Hepsi 7. Yukarýdaki þekle göre, aþaðýda verilen eþitliklerden hangisi ya da hangileri yanlýþtýr? I) ] [[ = [[ II) [] ] = [ III) ]] [ = [] : III 15

15 8. 1. þaðýdaki boþluklarý doldurunuz. Yukarýdaki þekle göre, aþaðýda verilen eþitliklerden hangisi veya hangileri doðrudur? I) [] [] = [] II) [] ] = [ III) [ ] = [[ : Hepsi a) Uzunluðu ve geniþliði, düz sýnýrsýz geniþletilebilen fakat kalýnlýðý bulunmayan geometrik terimlere. denir. b) efter yüzeyi, masa yüzeyi, yazý tahtasý gibi cisimler. modelidir. c) yný düzlemde olan noktalara. noktalar denir. (a) (b) ç) oðrusal olmayan farklý üç nokta daima. dir. (üzlem belirtir.) Koordinat doðrusu üzerindeki (a) ve (b) noktalarý arasýndaki uzaklýk d (, ) = = b a = a b dir. d) okunur.. diye 9. Koordinat doðrusu üzerindeki ( 5) ve (7) noktalarý arasýndaki uzaklýk kaç birimdir? : 1 ge Yayýncýlýk e) üzlemde uzunluk ve..... olduðundan,... boyutludur ve R olarak gösterilir. f) üzlemde alýnan bir doðru, düzlemi iki parçaya ayýrýrsa; her bir parçaya.... denir. g) yrýlan bu düzlem parçalarýna doðru dahil edilirse......, doðru dahil edilmezse denir. P 10. Koordinat doðrusu üzerindeki () ve () noktalarý arasýndaki uzaklýk birim olduðuna göre, deðerleri çarpýmý kaçtýr? : P h) Uzunluðu, geniþliði ve yüksekliði düz sýnýrsýz geniþletilebilen geometrik terimlere.. denir. ý) Kalem, kitap, ev, araba, top gibi cisimler 11. Sayý doðrusu üzerindeki K() ve L( ) noktalarý arasýndaki uzaklýk 7 birim olduðuna göre, deðerleri toplamý kaçtýr? : 8.. modelidir. j) Uzayda ayný düzlemde olmayan doðrulara denir. 1

16 üzlemde Nokta ve oðru LIÞTIRM : 0 [] ve [] nin uzunluklarý eþit ise [] = ~ [] = dir ifadesinin sayý doðrusu üzerinde belirttiði doðru parçasýnýn uzunluðu kaç birimdir? : 7 1. Koordinat doðrusu üzerinde ( ), (7) ve () noktalarý veriliyor. (O orijindir.) = O olduðuna göre, deðerleri çarpýmý kaçtýr? : Sýnýf Geometri ersinden Hatýrlayalým * Herhangi üçü doðrusal olmayan n nokta en çok n! (n, ) = (n )!.!. Sayý doðrusu üzerinde ( 8), (), () ve () noktalarý veriliyor. farklý düzlem belirtir. = olduðuna göre, in alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? : 1 ge Yayýncýlýk. n çok ikisi doðrusal olan 8 nokta en çok kaç düzlem belirtir?. (), ( 7), ( 1) ve () noktalarý veriliyor. : 5 [] [] olduðuna göre, kaçtýr? : 7 veya 1. ifadesinin sayý doðrusu üzerinde belirttiði doðru parçasýnýn uzunluðu kaç birimdir? : 8 7. Herhangi üçü doðrusal olmayan 8 nokta ile bu düzlemin dýþýnda bulunan farklý iki nokta daha veriliyor. una göre, en çok kaç düzlem oluþur? : 5 17

17 * ir düzlemi içindeki n farklý doðru en az : n + 1 n(n + 1) en çok : + 1 ayrýk bölgeye ayýrýr. 10. n farklý doðru düzlemi en çok 7 ayrýk bölgeye ayýrdýðýna göre, n kaçtýr? : Kaç farklý doðru düzlemi en az 10 bölgeye ayýrýr? : 9 ge Yayýncýlýk 9. yný düzlemde bulunan 8 farklý doðru düzlemi en az ve en çok kaç ayrýk bölgeye ayýrýr? : 9 ve Kaç farklý doðru düzlemi en çok bölgeye ayýrýr? : 1. þaðýdaki boþluklarý doldunuz. lemanlar oðruda üzlemde Ýki nokta oðrusaldýr. üzlemseldir. Üç nokta oðrusal olabilir. Herhangi üçü doðrusal deðilse doðru belirtir. = adet oðrusal ise düzlem belirtmez. Herhangi üçü doðrusal deðilse = 1 adet düzlem... ört nokta oðrusal olabilir. Herhangi üçü doðrusal deðilse en çok... adet doðru belirtir. oðrusal ise düzlem... Herhangi üçü doðrusal deðilse... adet düzlem belirtir. ir noktasý ve d doðrusu Ýki doðru Nokta, doðru üzerinde deðilse; 1 düzlem belirtir. Nokta doðrunun üzerinde ise düzlem... noktasýndan düzlemdeki bir doðruya dik sadece... doðru çizilir. Çakýþýr, paralel veya kesiþir. Çakýþýk deðilse uzayý en az..., en çok... bölgeye ayýrýr. 18

18 Nokta, oðru - üzlem Ýliþkileri TST : þaðýdaki ifadelerden kaçý doðrudur? l. Ýfadeler ve gerekçeleri karþýlýklý olarak eþlenip sýralanarak yapýlan ispat yöntemine iki kolonlu ispat yöntemi denir. 5. üzlemde ikisi paralel 8 doðru en çok kaç noktada kesiþir? ) 17 ) 0 ) 1 ) 7 ) 9 ll. lll. lv. çýklamalarý kutu içine yazýlýp oklarla yönlendirilerek yapýlan ispat yöntemine akýþ diyagramlý ispat yöntemi denir. Her adýmdaki açýklamalarý, geniþ detaylarla açýklayarak yapýlan ispat yöntemine paragraf biçimli ispat yöntemi denir. Ýki kolonlu, akýþ diyagramlý, paragraf biçimli ispat yöntemleri doðrudan ispat biçimindeki ispat yöntemleridir.. üzlemde verilen 7 doðrudan ü paralel olduðuna göre, en çok kaç kesim noktasý vardýr? ) 1 ) 15 ) 17 ) 18 ) 0 V. arklý iki noktadan sadece bir doðru geçer. ) 1 ) ) ) ) 5. Her hangi üçü doðrusal olmayan 8 nokta en çok kaç doðru oluþturur? ) 8 ) ) 1 ) 0 ) 18 ge Yayýncýlýk 7. üzlemde verilen 8 doðrudan ü bir noktada kesiþtiðine göre, en çok kaç kesim noktasý vardýr? ) ) ) ) 8 ) 0. n çok ikisi doðrusal olan n noktanýn birleþtirilmesiyle 5 doðru çizildiðine göre, n kaçtýr? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) yný düzlem üzerindeki 1 doðrudan ü paralel, ü bir noktada kesiþmektedir. una göre, en çok kaç kesim noktasý vardýr? ) 5 ) 58 ) 0 ) ) 9.. üzlemde dördü doðrusal olan 7 noktadan kaç doðru geçer? ) 1 ) 15 ) 1 ) 1 ) 11 Yukarýdaki þekle göre, [ Ç [[ iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisidir? ) ]] ) ]] ) ][ ) [] ) [[ 19

19 10. Yukarýdaki þekle göre, ýþýný ile açýk yarý doðrusunun kesiþim kümesi nedir? 1. 5 ifadesinin sayý doðrusu üzerinde belirttiði doðru parçasýnýn uzunluðu kaçtýr? ) ) ) 5 ) ) 7 ) [[ ) [] ) ][ ) ]] ) [] 11. Sayý doðrusu üzerinde verilen (1) ve (11) noktalarýnýn orta noktasýnýn ( ) ve () noktalarýnýn orta noktasýna uzaklýðý kaç birimdir? ) 1 ) ) ) 5 ) Her üçü doðrusal olmayan 8 nokta kaç düzlem belirtir? ) 1 ) 8 ) 5 ) 5 ) ge Yayýncýlýk 1. Kordinat doðrusu üzerindeki () ve () noktalarý arasýndaki uzaklýk birim olduðuna göre, deðerleri çarpýmý kaçtýr? ) 1 ) 15 ) 18 ) 0 ) 1. üzlem üzerinde herhangi üçü doðrusal olmayan 5 nokta ve düzlem dýþýnda nokta veriliyor. u verilenler en çok kaç düzlem belirtir? ) ) 5 ) ) ) 1. Kordinat doðrusu üzerindeki ( ), (), (5) ve (X) noktalarý veriliyor. = olduðuna göre, in alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? ) 9 ) 10 ) 11 ) 1 ) doðrunun düzlemi ayýrdýðý en az bölge m ve en çok bölge n olduðuna göre, m+n kaçtýr? ) 0 ) 1 ) ) )

20 Nokta, oðru ve üzlem Ýliþkileri TST : 0 1. þaðýdaki ifadelerden yanlýþ olanlara (Y), doðru olanlara () yazýnýz. ( ) Ýki yarý doðrunun birleþimi bir yarý doðru olabilir. ( ) ir ýþýnla bir yarý doðrunun birleþimi bir doðru olabilir. ( ) ir yarý doðruyla bir doðru parçasýnýn birleþimi ýþýn olabilir. ( ) Ýki tane yarý doðrunun birleþimi doðru olabilir. ( ) ir ýþýnla bir doðru parçasýnýn birleþimi yarý doðru olabilir.. I) ir noktadan sonsuz doðru geçer. II) Ýki noktadan bir doðru geçer. III) ört noktadan en çok altý doðru geçer. IV) ört nokta dört farklý düzlem belirtir. Yukarýdaki verilerden kaç tanesi hem düzlemde hem de uzayda doðrudur? ) ) ) ) 1 ) 0. þaðýdaki verilerden hangisi yanlýþtýr? ) üzlemde iki doðrunun ortak noktasý yoksa doðrular paraleldir. ) üzlemde doðrularýn birden fazla ortak noktasý varsa doðrular çakýþýktýr. ) üzlemde iki doðrunun birtek ortak noktasý varsa doðrular kesiþmektedir.. þaðýdaki ifadelerden; düzlemde daima doðru olanlarýna (), daima yanlýþ olanlarýna (Y) yazýnýz. ( ) ir doðru üzerindeki iki noktadan eþit uzaklýkta olan ve yine bu doðru üzerinde olan bir nokta vardýr. ( ) üzlemde iki noktaya eþit uzaklýkta olan noktalar, bir doðru üzerindedir. ( ) Kesiþen iki doðruyu farklý iki noktadan kesen doðrular ayný düzlemdedir. ( ) Paralel iki doðruya uzaklýklarý ayný olan noktalar yalnýzca bir doðru belirtir. ( ) arklý iki noktasý düzlemde olan doðru düzlemin elemanýdýr. ( ) ir noktadan eþit uzaklýktaki noktalar kümesi bir çember oluþturur. ( ) ir doðru ve dýþýndaki bir nokta bir düzlem belirtir. ( ) Paralel iki doðrudan birini kesen doðru diðerini keser. ( ) oðrusal olmayan üç noktadan bir tek düzlem geçer. ( ) Üç doðru ayný noktada kesiþiyorsa doðrular ayný düzlemdedir. ( ) Kesiþen üç doðru bir tek düzlem belirtir. ge Yayýncýlýk ) üzlemde üç doðru bir noktada kesiþebilir. ) üzlemde kesiþen iki doðrudan birini kesen doðru daima diðerini de keser. 5. þaðýdakilerden hangileri kesinlikle doðrudur? I) ik kesiþen iki doðrudan birine dik olan doðru diðerine de diktir. II) Paralel iki doðrudan birine paralel olan doðru diðerine paraleldir. III) ört doðru düzlemi en çok on bölgeye ayýrýr. ) I ve II ) I ve III ) II ve III ) Yalnýz I ) Yalnýz II. R de aþaðýda verilen önermelerden hangileri doðrudur? I) oðrunun dýþýnda alýnan bir noktadan geçen bir doðruya dik olan bir doðru çizilebilir. II) oðrunun üzerinde alýnan bir noktadan geçen doðruya dik olan sonsuz doðru çizilebilir. III) Ýki doðru düzlemi en az üç bölgeye ayýrýr. ) I ve II ) I ve III ) II ve III ) Yalnýz I ) Yalnýz III 1

21 7. þaðýdaki verilen önermelerden hangisi R de yanlýþtýr? ) üzlemde iki doðru paralel deðilse kesiþir. ) üzlemde kesiþen iki doðrudan birini kesen doðru diðerini de keser. ) üzlemde dik kesiþen iki doðrudan birine dik olan doðru diðerine paraleldir. ) ir doðruya dik olan doðrular paraleldir. ) ir doðruya eþit uzaklýktaki noktalarýn geometrik yeri doðruya paralel iki doðrudur. 11. þaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) ir doðru ve bir düzlemin ortak noktasý yoksa bunlar paraleldir. ) ir doðru ve bir düzlem aykýrý olamaz. ) ir doðru ile bir düzlemin ortak noktasý varsa kesiþiyorlardýr. ) ir doðru düzleme paralelse üzerindeki tüm doðrulara paraleldir. ) ir doðru düzleme dikse düzlemdeki tüm doðrulara dik deðildir. 1. þaðýdakilerden hangisi yada hangileri kesinlikle doðrudur? 8. þaðýdakilerden hangileri kesinlikle doðrudur? I) ir noktadan sonsuz düzlem geçer. II) Ýki noktadan bir düzlem geçer. III) Üç noktadan bir düzlem geçer. ) I ve II ) I ve III ) II ve III ) Yalnýz I ) Yalnýz II 9. þaðýdaki verilen önermelerden hangisi yada hangileri daima bir düzlem belirtir? I) ir doðru ve dýþýndaki bir nokta II) Üç nokta III) Paralel iki doðru ) I ve II ) II ve III ) I ve III ) Yalnýz I ) Yalnýz II 10. þaðýdaki önermelerden hangisi daima bir düzlem belirtir? ) ykýrý iki doðru ) Ýki nokta ) Üç nokta ) ört nokta ) Kesiþen iki doðru ge Yayýncýlýk I) Paralel iki doðru bir düzlem belirtir. II) ir nokta ve bir doðru düzlem belirtir. III) ykýrý doðrular düzlem belirtir. ) I ve II ) II ve III ) I ve III ) Yalnýz I ) Yalnýz II 1. I) Üç doðru paralel olabilir. II) ört doðru düzlemi en fazla 11 bölgeye ayýrýr. III) Paralel iki doðrudan birini kesen doðru diðerini de keser. R de yukarýdaki verilen önermelerden hangisi yada hangileri doðrudur? ) I ve II ) II ve III ) I ve III ) I, II ve III ) Yalnýz I 1. I) Ýki doðrunun birden fazla ortak noktasý varsa doðrular çakýþýktýr. II) Üç doðru bir noktada kesiþebilir. III) oðrusal olarak seçilen üç noktadan bir doðru geçer. IV) Paralel iki doðru düzlemi en az üç bölgeye ayýrýr. R de yukarýdaki verilen önermelerden hangileri doðrudur? ) I, II ) II, III ) I, IV ) I, II, III ) Hepsi

22 oðru Parçalarý Ýle esen Oluþturma LIÞTIRM : 05 oðru parçalarý ile desenler oluþturma sanatýna filografi denir. 1. þaðýdaki basamaklarý takip ederek desen oluþturalým.. ksenlerin birimlerinin oraný ½ olan üzerinde 8 er noktalý iki doðru parçasý belirleyip aralarýndaki açý 10 olacak þekilde uç noktalarýný birleþtirelim. Noktalarý birleþtirerek desen oluþturunuz. a) Ýki eþ doðru parçasý belirleyelim. G H G H b) oðru parçalarýný altý eþ parçaya ayýrýp, aralarýndaki açý, dik açý olacak þekilde uç noktalarýný birleþtirelim. 1 / c) yýrdýðýmýz noktalarý her iki doðru parçasý içinde ayný olacak þekilde adlandýralým. ge Yayýncýlýk. þaðýdaki doðru parçasý üzerinde belirtilen oranda iþaretlenmiþ noktalarý birleþtirerek desenler oluþturunuz. H G d) yný harflere ait noktalarý birleþtirerek tasarýmý oluþturalým. G H 1 / 1 / 1

23 . þaðýda verilen eksenlerde birimler iþaretlenmiþ, birimlerin oranlarý eksenlerin altlarýnda belirtilmiþtir. Noktalarý birleþtirerek desenler oluþturunuz.. þaðýdaki iþaretlenmiþ noktalarý birleþtirip renkli kalemlerle boyayarak desenler oluþturunuz. a) 1 / b) 1 / 1 1 / 1 ge Yayýncýlýk 7. þaðýda oluþturulmuþ desenin oluþturulma basamaklarýný yazýnýz. 5. þaðýdaki iþaretlenmiþ noktalarý birleþtirip renkli kalemlerle boyayarak desenler oluþturunuz. 1 /

24 Yönlü oðru Parçasý - Vektör LIÞTIRM : 0 9. Sýnýf Geometri ersinden Hatýrlayalým Yönlü oðru Parçasý : Uç noktalarýndan biri baþlangýç noktasý, diðeri bitim noktasý olarak belirlenen doðru parçasýna yönlü doðru parçasý denir.. N L M d K Yukarýdaki þekil için; KL ve NM doðru parçalarýna... denir. aþlangýç noktasý, bitim noktasý olan yönlü doðru parçasý biçiminde gösterilir. þeklinde ifade edilir. ir yönlü doðru parçasýnýn üzerinde bulunduðu doðruya o yönlü doðru parçasýnýn taþýyýcýsý yada doðrultusu (doðrultman doðrusu) denir. nin taþýyýcýsý d doðrusudur. d d,,. K L a) KL yönlü doðru parçasýnda K... noktasý, L... noktasýdýr. b) MK yönlü doðru parçasýnda M... noktasý, K... noktasýdýr. c) d doðrusuna KL, KM, LM yönlü doðru parçalarýnýn... denir. M d d 1 d aþlangýç ve bitim noktasý ayný noktasý olan yönlü doðru parçasý biçiminde gösterilir. Uyarý : Yönlü doðru parçasýnýn eþliði; uzunluklarý sýfýrdan farklý olan ve yönlü doðru parçalarý için d nýn taþýyýcýsý d 1, d, d... doðrularý olabilir. undan dolayý nýn taþýyýcýsý ve yönü belli deðildir. = O ile gösterilir. ir yönlü doðru parçasýnýn baþlangýç ve bitim noktalarý arasýndaki uzaklýða yönlü doðru parçasýnýn uzunluðu (büyüklüðü) ya da normu denir ve veya þeklinde gösterilir. ge Yayýncýlýk. aþaðýdaki önermelerin üçü de doðru ise yönlü doðru parçalarý eþtir, denir. ~ þeklinde gösterilir. i) // ii) = iii) ve ayný yönlüdür. d 1 ve = 0 dýr. K L M N P d Þekilde d 1 // d ve = = MN = birim 1. d = KL = NP = 1 birim Verilenlere göre; Yukarýdaki doðru parçasý için; aþlangýç noktasý... itim noktasý... oðrultusu... Taþýyýcýsý... yný yönlü doðru parçalarý... Zýt yönlü doðru parçalarý... yný doðrultulu doðru parçalarý... þ uzunluklu doðru parçalarý... þ yönlü doðru parçalarý... 5

25 5.. O 1 0 doðrusu üzerindeki noktalara göre, aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz. aþlangýç Noktasý itim Noktasý 1 Gösterimi G H 5 Uzunluðu (br) O O H K G H Sýnýf Matematik ersinden Hatýrlayalým Yansýma, simetri geçiþme özelliklerini saðlayan baðýntýya denklik baðýntýsý denir. enklik baðýntýsý olan bir iþlemin denklik sýnýfý da olur. 7. oðrular kümesinde tanýmlanan paralel olma baðýntýsýnýn denklik baðýntýsý olup olmadýðýný gösteriniz. 9. Sýnýf Geometri ersinden Hatýrlayalým Sýfýr Vektörü: Uzunluðu sýfýr olan yönlü doðru parçalarýnýn oluþturduðu denklik sýnýfýna sýfýr vektörü denir. 0 ile gösterilir. sýfýr vektörüdür. = 0, = 0 dýr. H G Þekildeki GH düzgün sekizgeninde ayný ve zýt yönlü, ayný doðrultulu, eþ uzunluklu ve eþ yönlü doðru parçalarýný yazýnýz. ge Yayýncýlýk Ters (zýt) vektörler: ve ters vektörlerdir. = dýr. d d,, Yönlü doðru parçalarýnýn bir paralellik baðýntýsý ile tanýmlanan denklik sýnýfýna vektör denir. yönlü doðru parçalarýna eþ olan tüm yönlü doðru parçasýnýn kümesi bir vektördür.,,... ayný denklik sýnýfýnda yönlü doðru parçalarýdýr. unlara vektörü denildiði gibi vektörü vektörü de denilebilir. vektörünün uzunluðu þeklinde gösterilir. Kolaylýk olmasý açýsýndan bu vektörler a,b,u, v gibi küçük harflerle de gösterilebilir. 8. þaðýdaki birimkarelere göre verilen vektörler için ayný yönlü, zýt yönlü, ayný doðrultulu vektörleri yazýnýz. M N T Áa Ác L Áb K Ád Áu

26 Vektörler ve Vektörlerde Ýþlemler LIÞTIRM : 07 (a) (b) Koordinat doðrusu üzerinde (a) ve (b) noktalarý için nün uzunluðu = b a = a b dir.. Koordinat doðrusu üzerinde () ve () noktalarý veriliyor. nin uzunluðu 7 olduðuna göre, in deðerleri çarpýmý kaçtýr? : 1. Koordinat doðrusu üzerindeki ( 5) ve (9) noktalarý için nün uzunluðu kaç birimdir? : 1 5. (), (), () noktalarý veriliyor. = O olduðuna göre, deðerleri toplamý kaçtýr? (O, orijin.) : 8. M( ), N(7) noktalarý için NM nin uzunluðu kaç birimdir? : 11 ge Yayýncýlýk. Koordinat doðrusu üzerinde ( 7), (), () ve () noktalarý veriliyor. = olduðuna göre, in alacaðý deðerler toplamý kaçtýr? : 1. K( + ñ5), L( ñ5) noktalarý için KL nin uzunluðu kaç birimdir? : ñ K(), L( ), M(), N(5) noktalarý veriliyor. KL = MN olduðuna göre, in deðerleri çarpýmý kaçtýr? : 11

27 9. Sýnýf Geometri ersinden Hatýrlayalým irim Vektör: Sayý doðrusu üzerinde uzunluðu 1 br olan vektörlere birim vektör denir. (a) ve (b) noktalarý için birim vektör ise; b a = a b = 1 dir. 8. Koordinat doðrusu üzerinde () ve (y) noktalarý veriliyor. (, y z + ) + y = 11 ve birim vektör olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? 10. (, ) ve (5, 1) noktalarý için, nedir? : (7, ) Ýki Vektörün þitliði : = (a,b) ve = (, y) vektörleri verilsin. = a = ve b = y ddir. (a,b) = (,y) 9. Ád Áa Áb : = (a, ), = (, b) vektörleri birbirine eþit olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? : 1 Ác Áe Yukarýdaki þekile göre aþaðýdaki doðru olanlara (), yanlýþ olanlara (Y) yazýnýz. Vektör Gösterimi Uzunluðu (br) Áa (, 0) Áb (0, 0)... Ác Ád (, ) 5 Áe Áf Áf ge Yayýncýlýk 1. K = (, + ), L = (y 1, ) vektörleri birbirine eþit olduðuna göre,. y çarpýmý kaçtýr? 1. = (a b, a + ), = (, ) : vektörleri birbirine eþit olduðuna göre, a + b nin deðeri kaçtýr? : 1 Koordinat düzleminde (a, b) ve (, y) noktalarý için vektörü, = = ( a, y b) þeklinde yazýlýr. NOT : 8 1. M(, m ) ve N(n + 1, 1) noktalarý veriliyor. MN = (, ) olduðuna göre, m + n toplamý kaçtýr? : 8

28 Yönlü oðru Parçalarý ve Vektörler TST : 0 1. þaðýdaki ifadelerden kaç tanesi doðrudur? l. ve noktalarý arasýndaki uzaklýða nýn uzunluðu denir. ll. = 1 dir. lll. lv. Taþýyýcýlarý ayný veya paralel olan yönlü doðru parçalarýna, paralel yönlü doðru parçalarý denir. yönlü doðru parçasýnýn yönü ve doðrultusu belirlidir. ) ) ) ) 1 ) 0. þaðýdaki ifadelerden kaç tanesi doðrudur? l. aþlangýç ve bitim noktasý ayný olan vektörlere birim vektör denir. ll. vektörünün normu veya ile gösterilir. lll. oðrultularý ayný, yönleri zýt olan vektörlere eþ vektörler denir. lv. ve noktalarý için vektörü birim vektör ise, vektörüde birim vektördür. ) 0 ) 1 ) ) ). Ýzometrik kâðýtta verilen vektörler için aþaðýdaki ifadelerden kaç tanesi doðrudur? M N S l. // GH ll. KL ~ MN lll. ~ GH lv. PR ~ ST V. ~ Vl. = Vll. V = 0 R ) ) ) ) 5 ) T H P V G K L. lv Kuzey G lll ge Yayýncýlýk atý H K oðu l Güney Yukarýdaki þekle göre, aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz. a) aracý ile aracý.. doðrultudadýr. b) aracý ile aracý.. doðrultudadýr. c) aracý ile aracý.. doðrultudadýr. ç) aracý ile aracýnýn I. kavþaða kadar ki aldýklarý yollar... d) ile G araçlarýnýn oðu - atý boyunca aldýklarý yollar... e) H ile K araçlarýnýn Kuzey - Güney boyunca aldýklarý doðru parçalarý... f) ile araçlarýnýn doðrultularý... ll 5. Koordinat doðrusu üzerindeki ( ) ve ( 7) noktalarý için nün uzunluðu kaç birimdir?. ) 11 ) 7 ) ) ) 1 noktalarý için ve nün uzunluðu kaç birimdir? ) ) ) ) )

29 7. Koordinat doðrusu üzerindeki ( + ñ) ve (5 + ñ) noktalarý için nün uzunluðu kaç birimdir? ) 0 ) ñ ) ) ) 1. irim kâðýtta verilen vektörler için, aþaðýdaki tabloda verilenlerde hangisi yanlýþtýr? G K H 8. Koordinat doðrusu üzerindeki farklý ( ), (8) ve () noktalarý için = olduðuna göre, in deðeri kaçtýr? ) 10 ) 11 ) 1 ) 1 ) 19 l ll lll lv V L Vektör Gösterimi Uzunluðu (br) (, 0) (, ) ñ (, ) ò1 KL (, ) ò1 GH (, 0) 9. Koordinat doðrusu üzerindeki ( ), (5), () ve () noktalarý veriliyor. = olduðuna göre, in deðerleri toplamý kaçtýr? ) ) 5 ) ) 8 ) 10 ge Yayýncýlýk ) l ) ll ) lll ) KL = ) V 1. Á = (, a ) ve Á = (b + 1, ) vektörleri birbirine eþit olduðuna göre, a + b kaçtýr? ) 1 ) 0 ) 1 ) ) 10. Koordinat doðrusu üzerindeki K(a) ve L(b) noktalarý veriliyor. (a, b Z + ) a + b = 7 ve KL birim vektör olduðuna göre, a. b kaçtýr? ) 1 ) 15 ) 0 ) 5 ) 0 1. Á = ( + y, 5) ve Á = ( 1, y) vektörleri birbirine eþit olduðuna göre,. y kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) (, ) ve (, ) noktalarý için, nedir? ) ( 1, ) ) ( 1, ) ) (1, ) ) (, ) ) (1, ) 15. ÁK = (. y, ) ve ÁL = (, + y) vektörleri birbirine eþit olduðuna göre, y farkýnýn mutlak deðeri kaçtýr? ) 0 ) 1 ) ) )

30 Vektörlerde Ýþlemler LIÞTIRM : Ýki Vektörün Toplamý ve arký : üzlemde = (a,b), = (,y) vektörleri verilsin. + = (a +, b + y) = (a, b y) dir. = (, ) ve = (, 1) vektörleri verilsin. una göre, + vektörünü bulunuz. : (, 5) ir Vektörün ir Reel Sayý Ýle Çarpýmý : = (a,b) ve k R olmak üzere; k = k(a,b) = (ka,kb) þeklinde tanýmlanýyor. * k 0 ise vektörü ile k. vektörünün doðrultularý aynýdýr. * k = 0 ise orijin noktasýdýr. (k. = (0,0)) * k > 0 ise vektörü ile k. vektörü ayný yönlüdür. * k < 0 ise vektörü ile k. vektörü zýt (ters) yönlüdür.. Á = (, y) ve Á = (, 5) vektörleri verilsin. Á + Á = (, ) olduðuna göre,. y çarpýmý kaçtýr? : 5 ge Yayýncýlýk 5. þaðýdaki boþluklarý uygun þekilde doldurunuz. a) Vektörlerde toplama iþleminin.,.,. özellikleri vardýr. b) Vektörlerde toplama iþleminin birim elemaný. vektörüdür. c) ÁU + ÁV = ÁO verilsin. ÁU, ÁV nün toplamaya göre. vektörüdür.. ÁK = ( 1, ) ve ÁL = (, y + ) vektörleri verilsin. ÁK ÁL = (, ) olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? : 10. = (,) vektörü veriliyor. vektörü nedir? : (, 1). Á = (, a) ve Á = (y, ) vektörleri verilsin. Á Á = (a, 0) olduðuna göre, doðal sayýsý kaçtýr? : 1 7. = (, ) vektörü veriliyor. vektörü nedir? : ( 1, ) 1

31 8. (, ) ve ( 1, ) noktalarý veriliyor. vektörü nedir? : ( 9, ) 1. K(, 1), L(, ), M(, ) ve N(, 0) noktalarý veriliyor. una göre, KL + MN vektörü nedir? : (0, 1) 9. K = (, ) ve L = (, ) vektörleri verildiðine göre K L vektörünü bulunuz. : (0, 1) 1. (, ), ( 5, ), (, ), (, 1) noktalarý veriliyor. una göre,. iþleminin sonucunu bulunuz. : ( 19, ) ge Yayýncýlýk 1. a = (, ) ve b = (, 1) vektörleri veriliyor. a b = eþitliðini doðrulayan vektörü nedir? : (, 1) 10. (1, ) ve (, ) noktalarý, U = (,1) vektörü veriliyor. + U vektörünü bulunuz. : (0, ) 15. K = (0, ), L = (, ) ve M = (,11) vektörleri verilsin. K + yl = M ise, ve y reel sayýlarýný bulunuz. : = 5 y = 11. K(1, ) ve L(, ) noktalarý ile V = (, ) vektörü veriliyor. KL + V vektörünü bulunuz. 1. olduðuna göre, K + L = (, 0) K L = ( 1, ) K vektörü nedir? : (7, 10) : ( 1, )

32 Vektörlerde Ýþlemler TST : 0 1. u = (,), v = (,5) olduðuna göre, u + v toplamý nedir? ) (5, 9) ) (, 5) ) (1, 10) ) (9, 1) ) ( 1, 9) 5. u = (,1) ve v = (,) vektörleri için u v vektörü nedir? ) (0, 11) ) (11, 0) ) (0, 1) ) (1, 0) ) (11, 1). K = (,) vektörünün katý aþaðýdakilerden hangisidir? ) (1, 8) ) (9, 9) ) (1, 10) ) (1, ) ) (1, ). = (,5) ve = (,) ise + toplamý nedir? ) (1, 1) ) ( 1, ) ) (, 7) ) (1, ) ) ( 1, 1) ge Yayýncýlýk 7. K = (,) ve L = ( 1,). (, ) ve ( 1, ) noktalarý veriliyor. vektörü nedir? ) (1, 0) ) (, 1) ) (, ) ) (1, 8) ) (1, 0) vektörleri veriliyor. una göre, K + L toplamý nedir? ) (1, 10) ) ( 1, 10) ) (0, 1) ) (8, 15) ) (7, 18). vektörünün katý + y kaçtýr? a = (, 1) b = (y +,y ) olduðuna göre, 8. K = (,a), L = (,) ve M = (b + 1, ) vektörleri için K + L = M olduðuna göre, a + b toplamý nedir? ) 5 ) ) ) ) 1 ) 11 ) 10 ) 9 ) 7 ) 5

33 9. = ( a, ), = (1, + b) vektörleri veriliyor. = (1, ) olduðuna göre, a. b kaçtýr? ) 5 ) 0 ) 1 ) 5 ) 7 1. olduðuna göre, = (, 5) + = (, 5) vektörü nedir? ) (, ) ) (, 1) ) (, 1) ) (, ) ) (, 1) 10. (1, ), (, ), (0, 1) noktalarý veriliyor. + toplam vektörünün bileþenleri nedir? ) (, 5) ) (, ) ) (1, 5) ) (1, 7) ) (, 7) 1. = (, ), = (, 0), = (5, ) vektörleri veriliyor. olduðuna göre, kaçtýr? Á Á =. Á ) 0 ) 1 ) ) ) 11. K = ( 1, 9), L = (, ), M = (, 5) vektörleri veriliyor. K =.L + y.m olduðuna göre, + y kaçtýr? ) ) 1 ) ) ) ge Yayýncýlýk 15. (, 0) ve (, 5) noktalarý, = (1, ) ve = (,1) vektörleri veriliyor. =. + y. olduðuna göre,. y kaçtýr? ) 1 ) 0 ) 1 ) ) 1. = (1, 1), = (, ), = (,1) vektörleri verili- yor. =. + y. olduðuna göre,. y çarpýmý kaçtýr? ) 8 ) ) ) ) 1 1. = (, ), = (, 1), = (, ) vektörleri veriliyor. Á vektörünün Á ve Á vektörleri cinsinden ifadesi nedir? ) Á Á ) Á Á ) Á Á ) Á Á ) Á + Á

34 Vektörlerde Ýþlemler LIÞTIRM : 09 Vektörlerde Toplama. Yandaki þekle göre, Áu Áv oðrultularý ve yönleri ayný olan iki vektörün toplamýnýn uzunluðu; doðrultusu ve yönü deðiþmeksizin uzunluklarý toplamýdýr. Áu Áu + Áv Áv a) + toplamýný analitik olarak bulunuz. : ( 1, 1) b) + toplamýný vektörel olarak gösteriniz. oðrultularý ayný ve yönleri farklý olan iki vektörün toplamýnýn uzunluðu; uzunluklarý farkýna eþit olup, yönü, büyük olan yöndedir.. Áu Áu Áv Áv Áu + Áv ge Yayýncýlýk Þekildeki bisikletlinin saatteki hýzý, yönü, þiddeti Áa = (8, 0) dýr. Rüzgârýn saatteki hýzý, yönü, þiddeti Áb = (1, 0) dir. a) isikletlinin bir saat sonraki toplam vektörü analitik olarak nedir? : Áa + Áb = (9, 0) b) isikletlinin bir saat sonraki toplam vektörünü soru üzerinde gösteriniz. 1. Yandaki þekle Áa göre,. Áb a) Áa + Áb toplamýný analitik olarak bulunuz. : (, 0) b) Áa + Áb toplamýný vektörel olarak soru üzerinde gösteriniz. Þekildeki yüzücünün saatteki hýzý, yönü, þiddeti Áu = (7, 0) dýr. Nehrin akýntýsýnýn hýzý, yönü, þiddeti Áv = (, 0) dýr. a) Yüzücünün bir saat sonraki toplam vektörü analitik çözümü nedir? : Áa + Áb = (5, 0) b) Yüzücünün bir saat sonraki toplam vektörününü soru üzerinde gösteriniz. 5

35 ir Vektörün ir Reel Sayý Ýle Çarpýmý Áu vektör ve k reel sayýdýr.. Áa Ác * k > 1 için; k. Áu (uzunluk büyüdü) Áb Ád Áe * 0 < k < 1 için; k. Áu (uzunluk küçüldü) Ág Áv * 1 < k < 0 için; k. Áu (yönü deðiþti, uzunluk küçüldü) Áu Áf * k < 1 için; k. Áu Yukarýda birim kaðýt üzerinde verilen vektörlere göre aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz. (yönü deðiþti, uzunluk büyüdü) * k = 0 için; k. Áu = Á0 * k = 1 için; (ayný) k. Áu I. Áa =.... Áb II. Áa =.... Ác III. Ác =.... Áb IV. Ác =.... Áf V. Áe =.... Ád VI. Ág =.... Ád VII. Áv =.... Áu VIII. Ág =.... Áe * k = 1 için; k. Áu (yönü deðiþti) ge Yayýncýlýk Áb Áa Áa Ác Ád Áe Áf Yukarýda birim kaðýt üzerinde verilen Áa vektörünün Áa ve Áa vektörlerini gösteriniz. vektörlerinin bileþen- a b c f,,, d, e, lerini yazýnýz.

36 Vektörlerde Ýþlemler LIÞTIRM : 10 oðrultularý farklý olan iki vektörün toplamý çokgen yöntemi veya paralelkenar yöntemi ile bulunur. Çokgen Yöntemi :. þaðýdaki Áu ve Áv vektörleri için, Áu vektörünün baþlangýcýný noktasýna taþýyarak Áu + Áv toplamýný a) analitik olarak bulunuz. Áa Áb Ýki vektör çokgen yöntemi ile toplanýrken birinin baþlangýç noktasý diðerinin bitim noktasýna taþýnýr. Ýlk vektörün baþlangýç noktasý diðer vektörün bitim noktasý ile birleþtirildiðinde oluþan vektör toplam vektörüdür. b) vektörel olarak þekil üzerinde gösteriniz. Áv Áa Áb Áu Áa Áb ge Yayýncýlýk Áa + Áb 1. Yandaki þekilde verilenlere göre, + + a) oranýný analitik olarak bulunuz. : 1. Áa, Áb, Ác vetörlerine göre, (Áa + Áb) + Ác toplamýný bulunuz. (irleþme özelliði olduðunu ispatlayýnýz.) Ác Áb Áa b) oranýný vektörel olarak soru üzerinde gösteriniz. 7

37 Paralelkenar Yöntemi : Áa Áb Ýki vektörün toplamý, paralelkenar yöntemi ile bulunurken vektörlerin baþlangýç noktasý bir noktaya taþýnýr. aþlangýç noktalarý ortak olan Áa ve Áb lerine eþ vektörler çizilir. aþlangýç noktasý vektörlerin baþlangýç noktasýyla ayný olan köþegen, bu iki vektörün toplam vektörüdür. NOT : oðrultularý farklý olan iki vektörün toplamýnýn; yönü ve doðrultusu bu iki vektörün yönü ve doðrultusundan farklý, uzunluðu iki vektörün uzunluklarý toplamýdýr. 5. þaðýdaki birim kareli kaðýttaki istenen vektörleri verilenlere göre, çiziniz. a) Áu + Áv b) Áv + Áw c) Áu + Áv + Áw Áa Áb Áu Áv Áb Áw Áa Áa + Áb Áa Áb Paralelkenar yöntemi kullanýlarak vektörlerde toplama iþleminin deðiþme özelliðinin olduðu ispatlanabilir. ge Yayýncýlýk. þaðýdaki þekilde Áu + Áv toplamýný a) analitik olarak bulunuz. b) vektörel olarak þekil üzerinde gösteriniz.. yný düzlemde alýnan farklý Áa ve Áb vektörleri için aþaðýdakilerden kaç tanesi doðrudur? Áu Áv I. (Áa + Áb) = Áa + Áb II. Áa Áb =. (Áb Áa) III. Áa. Áb = Áa. Áb =. Áa. Áb IV. Áa = ( Áa) V. (Áa + Áb) + Ác = Áa + (Áb + Ác) : 8

38 Vektörlerde Toplama LIÞTIRM : 11 Ýki vektörün farký Áa Áb = Áa + ( Áb) eþitliðinden yararlanýlarak bulunur.. Áa Áb Áb Áb Ác Áa Áa Áb Áb Vektörleri verildiðine göre, Áa + Áb Ác ifadesini a cinsinden çizerek bulunuz. :. a Áa Áa Áa +( Áb) Áb. Á 1. Áa Áb Á Á Á Yukarýdaki þekilde verilenlere göre, eþiti nedir? nün : Áb Áa ge Yayýncýlýk yný düzlemde bulunan þekildeki Á, Á, Á ve Á vektörleri için; l. Á + Á = Á ll. lll. Á + Á = Á Á Á = Á eþitliklerinden hangileri doðrudur? : l ve ll 5.. Yandaki þekilde verilenlere göre, nedir? : Á a yný düzlemde bulunan Á, Á, Á vektörleri þekildeki gibi ikizkenar yamuk üzerine yerleþtirilmiþtir. una göre, Á + Á + Á vektörünün eþiti Á cinsinden nedir? Á a Á : Á 9

39 . Áb Ác 9. noktasýndaki Áa = (, ) ile Áa Á Ád noktasýndaki Áb = (, ) vektörleri için Áa Áb vektörü nedir? Þekilde verilen vektörlere göre, Á vektörünü Áa, Áb, Ác, Ád cinsinden bulunuz. : Áa Áb Ác Ád : (, 1) 7. Yandaki þekilde bir üçgen, da bir paralelkenar olduðuna göre, aþaðýdaki ifadeleri gösterip bulunuz. 10. ) ) ) ) :,,, ge Yayýncýlýk nokasýndaki bir yüzücünün hýzý, yönü ve doðrultusu Áu = (, ) dür. kýntýnýn yönü hýzý ve doðrultusu Áv = (, ) tür. Yüzücü karþý kýyýya geçtiðindeki vektörü nedir? : (1, 5) 8. noktasýndaki Áu = (, ) ve Áv = (, 5) vektörlerinin toplam vektörünü çizip, toplam vektörünü bulunuz. 11. = k. olduðuna göre, k kaçtýr? : (1, 9) : 10 0

40 Vektörlerde Ýþlemler TST : Þekildeki karesi için aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? 5. N ) ~ ) ) N ~ N ) ) N ~ N ~ N N ~ toplamýnýn eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) 0 ) ) ). Þekilde, eþkenar üçgen;,, bulunduklarý kenarlarýn orta noktalarýdýr. þaðýdakilerden hangisi vektörüne denktir? ) ) ) ) ). Þekilde; P P = P olduðuna göre, + toplamýnýn eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? P ) ) P ) P ) P ) P ge Yayýncýlýk. þaðýdaki ifadelerden hangisi yanlýþtýr? ) = 0 ) + = ) = ) + = ) = 7. þaðýdaki ifadelerden kaç tanesi doðrudur? l. + = 0 ll. + = lll. + = lv. = V. + = + ) 1 ) ) ) ) 5. G G toplamýnýn eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) G ) G 8. =, = olduðuna göre, + toplamýnýn eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 1

41 9. 1. Þekildeki paralelkenarýnda, = = k. olduðuna göre, k reel sayýsý kaçtýr? nokasýndaki bir kayýðýn hýzý, yönü ve doðrultusu Áa = (, ) dür. kýntýnýn yönü hýzý ve doðrultusu Áb = (, ) tür. una göre, kayýk karþý kýyýya vardýðýndaki vektörü nedir? ) (, ) ) (, 5) ) ( 5, 7) 5 8 ) ) ) ) ) ) (, 7) ) (, ) 1. Yandaki üçgeni için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? 10.,, noktalarý bir üçgenin köþeleri ise, + + ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) 0 ) ) ) ) ge Yayýncýlýk ) + = ) + = ) = ) = ) = noktasýndaki Áa ve Áb vektörlerinin toplamý Áb nedir? Áu Áv Áa Áu ve Áv leri için, Áu + Áv vektörü nedir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) ( 5, ) ) (, ) ) (, 15) ) (, ) ) (5, ) ) ( 9, 15) ) ( 9, )

42 Vektörlerde Lineer aðýmlýlýk LIÞTIRM : 1 Vektörlerin Lineer aðýmlýlýðý : yný düzlemde doðrultularý ayný olan iki vektör lineer baðýmlýdýr. yný düzlemde ikiden fazla vektör doðrultularýna bakýlmaksýzýn daima lineer baðýmlýdýr. m, n R olmak üzere, 1. k, m, n R olmak üzere, Á = k. Á veya m. Á + n. Á = 0 eþitlikleri yazýlabiliyorsa, Á ve Á vektörleri lineer baðýmlýdýr. Á = (a, b) ve Á = (, y) vektörleri için a b pratik olarak, = eþitliði saðlanýyor ise, y Á ve Á lineer baðýmlýdýr denir. = (,), = (, ) vektörlerinin lineer baðýmlý olup olmadýðýný araþtýrýnýz. m. Á + n. Á = Á için Á vektörü Á ve Á vektörlerinin lineer bileþenidir. una göre, lineer baðýmlý veya lineer baðýmsýz vektörler birbirlerinin bileþimi olarak yazýlabilir. 5. þaðýdaki örnekleri inceleyiniz. * + vektörü ile nin lineer bileþenidir. * U + V vektörü U ile V vektörlerinin lineer bileþenidir. * k 5p vektörü k ile p vektörlerinin lineer bileþenidir.. = (1, ), = (, ) vektörlerinin lineer baðýmlý olup olmadýðýný araþtýrýnýz. ge Yayýncýlýk. = (,1), = (,0), = (,) verilsin. vektörünün, ve vektörlerinin lineer bileþimi olarak ifadesi nedir? : +. 1 = (,), =, vektörlerinin lineer baðýmlý olup olmadýklarýný araþtýrýnýz.. = (m, ), = (, m + ) vektörlerinin lineer baðýmsýz olmasý için m kaç olmamalýdýr? : 0 ve 1 7. = (1,), = (,0), = ( 5,) vektörleri veriliyor. vektörünün, ve vektörlerinin lineer bileþimi olarak ifadesi nedir? : +