geometri kpss soru yeni konularla yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır

Transkript

1 kpss 04 akıcı ayrıntılı güncel knu anlatımları örnekler yrumlar uyarılar pratik bilgiler ösym tarzında özgün srular ve açıklamaları gemetri 0 kpss de 8 sru yeni knularla yeni srularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır

2 ditörler : Kerem Köker / Kenan Osmanğlu KPSS Gemetri ISN Kitapta yer alan bölümlerin tüm srumluluğu yazarına aittir. Pegem kademi u kitabın basım yayın ve satış hakları Pegem kademi Yay. ğt. an. izm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. nılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri kapak tasarımı; mekanik elektrnik ftkpi manyetik kayıt ya da başka yöntemlerle çğaltılamaz basılamaz dağıtılamaz. u kitap T.. Kültür akanlığı bandrlü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrlü lmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrlsüz yayınları satın almamasını diliyruz. u kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış lduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. angi amaçla lursa lsun tamamının veya bir kısmının kpya edilmesi ftğraflarının çekilmesi herhangi bir ylla çğaltılması ya da kullanılması yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni lmadan yapılamaz. Pegem kademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır. 0. askı: Ocak 04 nkara Yayın-Prje Yönetmeni: yşegül rğlu izgi-grafik Tasarım: hmet Resul Kaymakçı Kapak Tasarımı: Gürsel vcı askı: Tuna Matbaacılık Sanayi ve Ticaret.Ş. ahçekapı Mahallesi 460. Skak N: 7 Şaşmaz/NKR ( ) Yayıncı Sertifika N: 4749 Matbaa Sertifika N: 60 İletişim Karanfil Skak N: 4 Kızılay / NKR Yayınevi: Yayınevi elgeç: ağıtım: ağıtım elgeç: azırlık Kursları: ileti: pegem@pegem.net

3 SUNU eğerli daylar; u kitap Kamu Persneli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan Gemetri kapsamındaki veya 4 sruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap srulmuş ve srulması lası sruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş lup; MTMTİK -Gemetrik Kavramlar ve ğruda çılar - Çkgenler ve ikdörtgenler - Çember ve aire - nalitik Gemetri ve - Katı isimler bölümlerinden luşmaktadır. Kitapta; bölümlerin sınav frmatına uygun ve sru çözümünü klaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. er ünitenin snunda - çıkmış srular - çözümlü testler ve - cevaplı testlere; yer verilmiştir. u kitabın hazırlanmasında yardım destek ve katkılarını esirgemeyen ikret irer anan Sarıkaya da Tuğçe uluş ve tüm meslektaşlarımıza PGM KMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir brç biliriz. u kitap uzun bir birikimin ve yğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. eğerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız. Kitabın çalışmalarınızda yararlı lması dileğiyle KPSS de ve meslek hayatınızda başarılar. ditörler: Kerem Köker - Kenan Osmanğlu

4 İÇİNKİLR. ÖLÜM GOMTRİK KVRMLR V OĞRU ÇILR... Gemetrik Kavramlar... Tanımsız Kavramlar... çılar... çının Ölçüsü... çının üzlemde yırdığı ölgeler... çı Ölçü irimleri... erecenin lt irimleri... çı Çeşitleri... ar çı... ik çı... Geniş çı... ğru çı... Tam çı... Kmşu çılar... çırtay... Tümler çılar...4 ütünler çılar...4 Ters çılar... Paralel İki ğrunun ir Kesen ile Yaptığı çılar... Paralel İki ğrunun irden Çk Kesen İle Meydana Getirdiği çılar... Kenarları Paralel çılar...7 Kenarları ik çılar...7 Üçgenler...0 Üçgen Çeşitleri...0 çılarına Göre Üçgenler...0 Kenarlarına Göre Üçgenler...0 Üçgende Temel ve Yardımcı lemanlar... Yükseklik... çırtay... Kenarrtay... Üçgende çılar ile İlgili Özellikler... ik Üçgen...6 Pisagr Teremi...6 Öklid ağıntıları...7 Kenarlarına Göre Özel ik Üçgenler...8 çılarına Göre Özel ik Üçgenler...9 Üçgende çırtay Teremleri... İç çırtay Teremi... ış çırtay Teremi... Üçgende Kenarrtay Teremleri... ğırlık Merkezi... Kenarrtay ağıntıları...7 İkizkenar Üçgen...9 şkenar Üçgen... Üçgende lan... Üçgende enzerlik...40 çı çı çı enzerlik Kuralı...40 Tales Teremi...4 Temel Orantı Teremi...4 Çapraz Tales Teremi...4 Kenar çı Kenar enzerlik Kuralı...44 Kenar Kenar Kenar enzerlik Kuralı...4 Üçgende çı Kenar ağıntıları...48 Üçgen şitsizliği...48 Çıkmış Srular... evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test ÖLÜM ÇOKGNLR V ÖRTGNLR...8 Çkgenler...84 ışbükey ve İçbükey Çkgenler...84 üzgün Çkgen...8 örtgenler...90 Özellikleri...90 örtgenlerde lan...9 Paralelkenar...9 Paralelkenarda lan...94 Paralelkenarın lan Özellikleri...94 Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler...96 şkenar örtgen...97 ikdörtgen...98

5 Kare...00 Yamuk eltid...0 İkizkenar Yamuk...0 ik Yamuk...07 eltid...07 Çıkmış Srular...08 evaplı Test evaplı Test -... evaplı Test evaplı Test evaplı Test ÖLÜM ÇMR V İR... Çemberde çı... Çemberde Yardımcı lemanlar... Çemberde Yay ve çı Özellikleri... Merkez çı... Çevre çı...4 Teğet Kiriş çı... İç çı... ış çı... Çemberde Kiriş Yay Özellikleri...7 Kirişler örtgeni...7 Çemberde Uzunluk...8 ir Nktanın ir Çembere Göre Kuvveti...8 Kuvvet kseni...0 İki Çemberin Ortak Teğetleri... İki Çemberin irbirine Göre urumları... Üçgenin Çemberleri... Üçgenin İç Teğet Çemberi... Üçgenin ış Teğet Çemberi...4 Teğet örtgeni...4 airede lan... airenin lanı ve Çevresi... aire iliminin lanı... Çember Yayının Uzunluğu... aire Kesmesinin lanı... aire alkasının lanı...6 Çemberde enzerlik...7 Çıkmış Srular...9 evaplı Test evaplı Test evaplı Test ÖLÜM NLİTİK GOMTRİ...47 Nktanın nalitik İncelenmesi...48 nalitik üzlem...48 İki Nkta rasındaki Uzaklık...49 ğrusal Nktalar...0 ğrusal Olmayan Nktalar... ğrunun nalitik İncelenmesi... ğrunun ğim çısı ve ğimi... ğrunun Grafiğinin Çizimi...7 ğrunun enklemleri...8 Özel ğrular...60 İki ğrunun irbirine Göre urumları...60 ğru emeti...6 Simetriler...6 Nktanın Simetriği...6 ğrunun Simetriği...68 şitsizlikler...70 Çıkmış Srular...7 evaplı Test...7. ÖLÜM KTI İSİMLR...7 Prizma...76 ikdörtgenler Prizması...77 Küp...79 Silin...79 önel Silin...80 Piramit...8 üzgün Piramit...8 Kesik Piramit...8 Küre...8 Çıkmış Srular...86 evaplı Testler evaplı Testler

6 Genel Yetenek te 40

7 MTMTİK ÖSYM SORULRI 0 PGM KMİ SORULRI. : e : e : c + m 4 işleminin snucu kaçtır? 7 9 ) ) 0 ) 9 ) 9 ) 9 7 işleminin snucu kaçtır? ) - ) - ) ) 4 4 Genel Yetenek Genel Kültür eneme eneme 8 /. Sru ) işleminin snucu kaçtır? ) 0 7 ) 0 6 ) 0 ) 0 4 ) işleminin snucu kaçtır? ) 00 ) 0 ) ) 0 ) 00 Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Sru ankası / Test /. Sru işleminin snucu kaçtır? ) 0 ) 0 ) 0 ) 04 ) Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Sru ankası / Test / 4. Sru işleminin snucu kaçtır? ) 7 ) ) ) -9 ) işleminin snucu kaçtır? ) 8 8 ) 4 0 ) 8 0 ) ) Genel Yetenek Genel Kültür 0 eneme eneme 4 /. Sru 4. ( 4!) + (!) ( 4!) (!) işleminin snucu kaçtır? 9 ) 9 ) 7 ) ) ) 4. 0! 9! 8! + 7! işleminin snucu kaçtır? ) 64 ) 6 ) 68 ) 70 ) 7 Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Sru ankası / Test 7 / 4. Sru

8 MTMTİK. = ÖSYM SORULRI eşitliğini sağlayan değerlerinin tplamı kaçtır? ) 6 ) 4 ) ) -8 ) -0 0 PGM KMİ SORULRI = 6 eşitliğini sağlayan değerlerinin tplamı kaçtır? ) 4 ) ) ) 0 ) Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sayısal Sru ankası / Test 9 / 9. Sru 8. = eşitliğini sağlayan değerleri tplamı kaçtır? ) 4 ) 0 ) 6 ) 0 ) Lisans Mezunları İçin Knu nlatımlı Kitap Sayfa 9 / 8. Sru 6. a4 ab ( a+ b) : a+ ab+ b a4 b4 ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? a b a ba ( b) ) ) ) ( a+ b) ( a+ b) a+ b aa ( + b) a + b ) ) a+ b a+ b 8. a4+ ab a ab+ b ab b a b ^ + h ifadesinin snucu aşağıdakilerden hangisidir? a - ab ab - a a + ab ) ) ) b b b a- b a+ b ) ) b b Lisans Mezunları İçin Knu nlatımlı Kitap Sayfa 7 / 8. Sru 7. Pzitif gerçel sayılar kümesi üzerinde ve işlemleri y = : y+ Ty = + y y biçiminde tanımlanıyr. a( at ) = 8 lduğuna göre a kaçtır? ) ) ) ) ). Reel sayılar kümesinde tanımlı ve işlemleri ab = a b a b = a + ab + b şeklinde tanımlanıyr. una göre () () kaçtır? ) ) 4 ) 9 ) 6 ) Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kpar Yaprak Test - 7 /. Sru. Tam sayılar kümesi üzerinde 4y = + y y = - y işlemleri tanımlanıyr. una göre 4 ( 4) işleminin snucu kaçtır? ) 6 ) 8 ) 0 ) ) Genel Yetenek Genel Kültür Sru ankası Sayfa 7 /.Sru

9 MTMTİK ÖSYM SORULRI 8. İki gerçel sayının çarpımı bu sayılardan birine eklenip diğerinden çıkarılmasıyla elde edilen sayıların çarpımından 6 fazladır. una göre sayı dğrusu üzerinde bu iki sayı arasındaki uzaklık kaçtır? ) ) 4 ) ) ) 0 PGM KMİ SORULRI. mn ile y iki basamaklı dğal sayılardır. m nin sayısal değerinin arttırılıp in sayısal değerinin azaltılmasıyla luşan sayıların çarpımı mn y çarpımından 0 fazla lduğuna göre y - mn işleminin snucu kaçtır? ) 0 ) ) 4 ) ) 6 Lisans Mezunları İçin Sayısal Sru ankası Sayfa 44 /. Sru 9. Pzitif tamsayılarla yapılan bir bölme işleminde bölen bölümün iki katından bir fazladır. u bölme işleminde kalan lduğuna göre bölünen sayı en az kaçtır? ) 89 ) 87 ) 8 ) 8 ) y z gerçel sayıları için y z > 0 eşitsizliği veriliyr. una göre I. > 0 ve y < 0 ise z > 0 II. < 0 ve z < 0 ise y > 0 III. y > 0 ve z < 0 ise < 0 önermelerinden hangileri dğrudur? ) I ve II ) II ve III ) Yalnız I ) Yalnız II ) Yalnız III. ir bölme işleminde bölünen ile bölenin tplamı 7 ölüm 4 ve kalan 6 lduğuna göre bölünen sayı kaçtır? ) ) ) 7 ) 60 )6 Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Sru ankası / Sayfa 8 /. Sru. < 0 < y lmak üzere I. < y II. < y III. + y < 0 ifadelerinden hangileri kesinlikle dğrudur? ) Yalnız I ) Yalnız II ) Yalnız III ) I ve II ) I II ve III Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kpar Yaprak Test - 6 /. Sru. y reel (gerçel) sayılar < y ifadesi için aşağıda verilenlerin hangisi ya da hangileri kesinlikle dğrudur? I. a > 0 için a > a y II. a < 0 için a > a y III. a < 0için + a > y+ a IV. a > 0 için < y a a V. < y ) I ve III ) I ve II ) I II ve IV ) II III ve IV ) II ve IV Lisans Mezunları İçin Sayısal Sru ankası Sayfa 8 /. Sru

10 MTMTİK ÖSYM SORULRI + + = + lduğuna göre kaçtır? ) + ) + ) PGM KMİ SORULRI + + işleminin snucu kaçtır? ) ) ) ) ) ) + ) Lisans Mezunları İçin Sayısal Sru ankası Sayfa 9 / 4. Sru işleminin snucu kaçtır? ) ) ) ) ) Genel Yetenek Genel Kültür Sru ankası Sayfa 86 / 8.Sru 4. Üç saat süren bir yarışta bir tmbilin her bir saatlik zaman diliminde tamamladığı tur sayıları aşağıdaki grafikte verilmiştir. Tur sayısı saat.saat.saat Zaman u tmbil yarışın sn bir saatinde sabit hızla ilerlediğine göre yarışın başlangıcından dakika snra tplam kaç tur tamamlamıştır? ) ) 0 ) 4 ) 0 ) SORULRI ŞĞIKİ İLGİLR GÖR VPLYINIZ şağıdaki tablda bir fabrikadaki aynı malı üreten farklı makinenin zamana bağlı ürettikleri mal sayısı gösterilmiştir Mal sayısı(adet) 0 0 Zaman( dk) 4. irim zamanda en çk mal üreten makine hangisidir? ) ) ) ) ). angi iki makinenin birim zamanda ürettiği mal sayısı eşittir? ) ve ) ve ) ve ) ve ) ve 6. ve makinelerinin saatte ürettiği tplam malı makinesi kaç saatte üretir? ) ) ) ) ) 4 Lisans Mezunları İçin Knu nlatımlı Kitap Sayfa 488 / 4 ve 6. Sru

11 MTMTİK ÖSYM SORULRI şağıda ve şehirlerinden geçen yl hattı gösterilmiş ve bu yl hattına göre şehirler arasındaki bazı uzaklıklar kilmetre larak tablda verilmiştir ile şehirleri arasındaki uzaklık ile şehirleri arasındaki uzaklığın katından 0 km eksiktir. una göre ile şehirleri arasındaki uzaklık kaç km dir? ) 0 ) ) 40 ) 4 ) 0 PGM KMİ SORULRI. -. SORULRI ŞĞIKİ İLGİLR GÖR VPLYINIZ. İKKT! SORULRI İRİRİNN ĞIMSIZ OLRK VPLYINIZ. ynı yl üzerinde bulunan K L M N P kentleri arasındaki ylların uzunluklarını km türünden gösteren bir tabl hazırlanmıştır. şağıda bu uzunlukların bazıları verilmiştir. L M N 40 0 P K L M N Tablnun satır ve sütun kesişiminde verilen sayılar bulundukları satır ve sütunun belirttiği iki kent arasındaki ylun uzunluğudur. Örneğin K ile N kentleri arasındaki ylun uzunluğu 40 km. N ile P kentleri arasındaki ylun uzunluğu N ile K arasındaki ylun uzunluğundan kaç km fazladır? ) 70 ) 80 ) 8 ) 90 ) 9. Kentlerin yl üzerindeki sıralanışı M P K N L şeklindeyse M ile L kentleri arasındaki ylun uzunluğu kaç km dir? ) 40 ) ) 80 ) 600 ) 6. Kentlerin yl üzerindeki sıralanışı P L K N M şeklindeyse K ile M kentleri arasındaki ylun uzunluğu kaç km dir? ) 40 ) 0 ) 0 ) ) 80 Lisans Mezunları İçin Knu nlatımlı Kitap Sayfa 47 / Sru

12 MTMTİK ÖSYM SORULRI. Özdeş ksijen tüpleri kullanan ihan ve Levent isimli dalgıçların denizde bulundukları derinliğin zamana göre değişimi ve ksijen tüplerinin dluluk yüzdelerinin zamana göre değişimi aşağıdaki dğrusal grafiklerde verilmiştir. erinlik (m) 0 00 luluk () PGM KMİ SORULRI SORULRI ŞĞIKİ İLGİLR GÖR VPLYINIZ. kişi sayısı gelen öğrenci giden öğrenci Zaman (dk) ihan Levent 7 0 Zaman (dk) Levent metre derinlikte iken ksijen tüpünün yüzde kaçını kullanmıştır? ) ) 0 ) 8 ) 6 ) yıllar Yukarıdaki grafik bir ilçeye ilçede bulunan üniversitede kumak için gelenlerin sayısını ve bu ilçeden üniversite kumak için ilçe dışına giden öğrencilerin sayılarını yıllara göre göstermekte 8. Gelen öğrenci sayısı ile giden öğrenci sayısı arasındaki fark hangi yıl en fazladır? ) 00 ) 004 ) 00 ) 006 ) yıllarını kapsayan 6 yıllık dönemde bu ilçeden üni-versite kumak için yılda rta-lama kaç öğrenci ilçe dışına gitmiştir? ) 00 ) 0 ) 00 ) 0 ) İlçede bulunan üniversitede kumak için gelenlerin sayısı hangi yıl bir önceki yıla göre 0 azalmıştır? ) 00 ) 00 ) 004 ) 006 ) 007 Genel Yetenek Genel Kültür 0 eneme eneme 9 / 8 9 ve 0. Sru

13 MTMTİK ÖSYM SORULRI 6. Kesilen parçalar çıkarıldıktan snra kâğıt knumu değiştirilmeden katlandığı yerlerden tamamen açılıyr ve aşağıdaki görünüm elde ediliyr. 0 Şekil I Şekil II Şekil III una göre kâğıdın açılmadan önceki biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) Şekil I deki dikdörtgen biçimli kâğıt kesik çizgi byunca kla gösterilen bölge üzerine katlanıp Şekil II Şekil II'deki kâğıt da yine kesik çizgi byunca kla gösterilen bölge üzerine katlanıp Şekil III elde ediliyr. Şekil III'teki kâğıdın siyahla gösterilen bölgesi kesilip çıkarılıyr. Kesilip çıkarılan bölgeler ) ) siyahla gösterildiğine ) ) göre kâğıt açıldığında aşağıdakilerden hangisi elde edilir? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Sezn inali Sayısal Mantık Sayfa Yukarıdaki verilere göre kaç birimdir? ) ) ) 6 ) bir üçgen m ^ h = 4ο m^h = 60ο = birim = ) üçgen m( ) = ο m( ) = 60ο = 4 cm' = kaç cm dir? ) ( + 6) ) 8 ) 8 ) 4( + ) ) 4( + ) Genel Yetenek Genel Kültür Sru ankası Test 8 / 6. Sru 4

14 MTMTİK 9. ' ' ÖSYM SORULRI ' Kenar uzunlukları cm ve cm lan dikdörtgeninde nktasının nktasına göre simetriği alınarak ' nktası nktasının nktasına göre simetriği alınarak ' nktası nktasının nktasına göre simetriği alınarak ' nktası nktasının nktasına göre simetriği alınarak ' nktası elde ediliyr. ' ' ' ve ' nktalarının birleştirilmesiyle '''' dörtgeni luşturuluyr. una göre dörtgeninin alanı kaç cm dir? ) 0 ) 8 ) 4 ) 8 ) 6 ' 0 PGM KMİ SORULRI. L T R K S R paralelkenar dğru parçalarıdır. L K bulundukları kenarların rta nktaları ve taralı alan 6cm ' Yukarıda verilenlere göre () kaç cm 'dir? ) 60 ) 70 ) 80 ) 90 ) 00 Lisans Mezunları İçin Sayısal Sru ankası Sayfa 4 /. Sru 0 ve G kare? = G?? =? G ile G nktaları dğrusal G 6 = 0 cm G = 6 cm Yukarıda verilenlere göre ] Gg kaç cm dir? ) ) 4 ) 6 ) 8 ) Genel Yetenek Genel Kültür Sru ankası Sayfa 66 /.Sru 60. O O nktası beşgenin köşelerinden geçen bir çemberin merkezi lduğuna göre kaç derecedir? ) 0 ) 8 ) 6 ) 44 ) düzgün beşgen m(o) =. K 9 düzgün altıgeninde [K] açırtay m( K ) = 9 m( K ) = kaç derecedir? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 Lisans Mezunları İçin Knu nlatımlı Kitap Sayfa 0 /. Sru

15 Gemetrİk Kavramlar ve ğruda çılar GOMTRİK KVRMLR OĞRU ÇILR ÜÇGNLR ÜÇGN ÇŞİTLRİ ÜÇGN TML V YRIMI LMNLR ÜÇGN ÇILR İK ÜÇGNLR ÜÇGN ÇIORTY TORMLRİ ÜÇGN KNRORTY TORMLRİ ÜÇGN LN ÜÇGN NZRLİK ÜÇGN ÇI KNR ĞINTILRI Çıkmış Sru ğacı... vren her an gözlemlerimize açıktır; ama nun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. vren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler daireler ve diğer gemetrik biçimler unlar lmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirente dalanılır. Galıle

16 GOMTRİK KVRMLR V OĞRU ÇILR PGM KMİ GOMTRİK KVRMLR Tanımsız Kavramlar Nkta dğru düzlem gibi kavramlar tanımsız kavramlardır. Nkta Kalem ucunun kâğıt üzerine bıraktığı işaret veya iz Nktanın belli bir alanı hacmi veya byutu yktur. Nkta büyük harfle gösterilir. Örneğin; ğru nktası nktası İki ucu sınırsız aynı dğrultulu nktaların kümesi d ğrular genelde küçük harfle temsil edilirler. d dğrusu veya diye semblize edilebilir. ğru Parçası iki nkta ile bu iki nkta arasında kalan nktaların birleşim kümesine dğru parçası denir. dğru parçası semblü ile gösterilir. " dğru parçası Işın " dğru parçasının uzunluğu larak gösterilir. ir ucu başlangıç nktası lup diğer ucu snsuza giden nktaların luşturduğu kümeye ışın denir. 6 " ışını diye kunur. Yarı ğru 6 ışınından başlangıç nktası yani nktasının çıkartılması ile elde edilen nktaların kümesine yarı dğrusu " ışını diye kunur. üzlem d ir masanın üstü durgun su yüzeyi gibi tamamen düz ve aynı zamanda her yöne sınırsız lan nktaların luşturduğu kümeye düzlem denir. d ÇILR aşlangıç nktaları aynı lan iki ışının birleşimine çı denir. Yani; 6 ve 6 ışınlarının birleşimi ile luşan açı ya da açısıdır. açısı ya da açısı ile gösterilir. çının Ölçüsü 6 ve 6 ışınları arasında kalan bölgeye t nın ölçüsü denir. er t na 0 ile 80 arasında bir tek reel sayı karşılık gelir. u reel sayıya açısının (ya da açısının) ölçüsü denir. Yani açısının ölçüsü dır. ve m( ) = m( t ) = veya s( ) = s( t ) = ile gösterilir. ş çılar: Ölçüleri eşit lan açılara eş açılar denir. Yani; m ( t) = m ( t ) & ileaçýlarý eş açılardır. çının üzlemde yırdığı ölgeler erhangi bir açı düzlemi üç farklı bölgeye ayırır. u bölgeler I. çının kendisi I. II. çının iç bölgesi III. çının dış bölgesi II. III. çı Ölçü irimleri erece Grad Radyan açı ölçü birimleri Genelde ölçü birimi larak derece kullanılır şeklinde gösterilir. u üç farklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöyle verebiliriz : erece G: Grad R: Radyan lmak üzere G R = = bağıntısı vardır π [ [ =

17 Nt ir ışının başlangıç nktası etrafında bir tur döndürülmesi ile luşan açı Grad ve π Radyandır. erecenin lt irimleri _ " ir derece b = 60' ' " ir dakika ` ' = 60'' b '' " ir saniye = 600'' dýr. a ÇI ÇŞİTLRİ ar çı Ölçüsü 0 ile 90 arasında lan açılara dar açı denir. Yani; 0 < a < 90 + dar açýdýr. ik çı Ölçüsü 90 lan açıya dik açı denir. Yani; = 90 + dik açýdýr. O nktaları dğrusal m( O ) = m( O ) = 7 ve m( O ) = kaç derecedir? ) 0 ) ) ) 8 ) 0 O nktaları dğrusal lduğundan dğru açı tanımı gereği 80 lik açı meydana getirirler. Yani; + 7+ = 80 Kmşu çılar & = 80 & = bulunur. Köşeleri ve birer kenarı rtak lan iç bölgelerinin kesişimleri bş küme lan açılara kmşu açılar denir. Yani; O ile O kmşu iki açıdır. ÇIORTY O 7 O Geniş çı Ölçüsü 90 ile 80 arasında lan açılara geniş açı denir. Yani; 90 < a < 80 + geniþ açýdýr. çıyı iki eşit açıya ayıran ışına açırtay denir. Yani; m( O) = m( O ) dır. 6 O ye O nın açırtayı denir. 6 O ile 6 O ye açırtayın klları (kenarları) denir. O ğru çı Ölçüsü 80 lan açıya dğru açı denir. Yani; = 80 + dðru açýdýr. = 80 O nktaları dğrusal 6 O ile 6 O açırtay m( O ) = O m ( O ) kaç derecedir? Tam çı ) 00 ) 0 ) 0 ) 0 ) 40 Ölçüsü 60 lan açıya tam açı denir. Yani; = 60 = 60 + tam açýdýr.

18 4 O nktaları dğrusal lduğundan meydana gelen açıların ölçüleri tplamı m( O) = m( O ) = β β m( O) = m( O ) = β O dersek TÜMLR ÇILR Ölçüleri tplamı 90 lan iki açıya tümler iki açı denir. Yani ile β bulundukları açıların ölçüleri lmak üzere + β = 90 + a ile β tümler iki açıdır. O β + β+ 80 = 80 & a+ b = 00 & a+ b = 0 m( O) 80 = + β+ & m( O) = 0 bulunur. nın tümleri 90 - a nın tümleri 90 - b dır. Kmşu iki açının açırtayları arasında kalan açı 4 una göre bu iki açının ölçüleri tplamı kaç derecedir? ) 00 ) 04 ) 06 ) 08 ) 0 ÜTÜNLR ÇILR Ölçüleri tplamı 80 lan iki açıya bütünler açılar denir. Yani; ile β bulundukları açıların ölçüleri lmak üzere + β = 80 + ile β bütünler iki açıdır. nın bütünleri 80 - a β O O ile O kmşu iki açıdır. 6 O ile 6 O açırtaydır. m( O ) = 4 verilmiş m( O) = m( O ) = β nın bütünleri 80 - b dır. m( O ) = m( O ) = β dersek m ( O ) = 4 + β = uradan m( O) + m( O ) = + β & ( + β) = 08 S bulunur. 4 Nt çırtay üzerinde alınan herhangi bir nktanın açının kllarına lan dik uzunlukları birbirine eşittir. 6 O açırtay 6 O ile 6 O açırtayın klları lmak üzere 6K@ = 6O 6L@ = 6O 6 = 6O ve 6@ = 6O çizilirse K = L = ve KO = O LO = O dur. O K L ir açının 4 katının fazlası aynı açının tümlerine eşit lduğuna göre açının bütünleri kaç derecedir? ) 7 ) 9 ) 6 ) 6 ) 6 çı Tümleri 90 - a dır. enklem kurulursa; 4+ = 90 - dýr. = 8 & = 7 bulunur. O halde açının bütünleri - = 80-7 = 6 80 bulunur. ütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 4 kalan 0 una göre küçük açı kaç derecedir? ) ) 4 ) 6 ) 8 ) 40

19 ütünler iki açı ile β lsun O halde + β = 80 Verilen denklem yazılacak lursa β - 4 = 4β+ 0 0 uradan = 4β+ 0 denklemi + β = 80 denkleminde yerine yazılacak lursa 4β b = 80 & b = 70 & β = 4 & = 46 dýr. O halde küçük açı β = 4 bulunur. TRS ÇILR Kesişen iki dğrunun luşturduğu açılardan birbirine kmşu lmayan açılara ters açılar denir. Yani; Kesişen d ve d dğrularında at ile ct b t ile d t açıları ters açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. a = c ve b = d PRLL İKİ OĞRUNUN İR KSNL YPTIĞI ÇILR b a c d d// d a b c d y z t bulundukları açıların ölçüleri y z t (i) Yöndeş açılar d// d ise at ile t b t ile yt d t ile t t ct ile zt yöndeş açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yani; a = b = y c = z d = t d b a c d d d d (ii) İç ters açılar d// d ise ct ile t ve d t ile yt iç ters açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yani; c = ve d = y (iii) ış ters açılar d// d ise at ile zt ve b t ile t dış ters açılardır. ış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yani; a = z ve b = t (iv) Karşı durumlu açılar d// d ise ct ile yt ve d t ile t karşı durumlu iki açıdır. Karşı durumlu açıların ölçüleri tplamı 80 Yani; c+ y = 80 ve d+ = 80 Nt Karşı durumlu açıların açırtayları birbirine diktir. Yani; d// d 6 ile 6 açırtay & 6 = 6 PRLL İKİ OĞRUNUN İRN ÇOK KSN İL MYN GTİRİĞİ ÇILR (i) d// d; d+ d = 4 " δ β bulundukları açıların ölçüleri lmak üzere + δ = β dır. (ii) d// d ; β δ bulundukları açıların ölçüleri lmak üzere + β+ δ = 60 Nt δ β d β δ d d 4 d d d d d d Paralel dğrular n dğruyla kesilirse meydana gelen aynı yönlü açıların ölçüleri tplamı n : 80

20 6 (iii) d// d ise şekildeki açılar ardışık zıt yönlü açılardır. ynı yöndeki ardışık açıların ölçüleri tplamı ile bu açılara d göre ters yönde lan ardışık β aynı yönlü açıların ölçülerinin y δ tplamları birbirine eşittir. d Yani; βδ y bulundukları açıların ölçüleri lduğuna göre + β+ δ = + y d// d 6@ = 6@ β m( ) = m( ) = 80 m( ) = β β m( ) = β ve m( ) = 80 + β kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) d d 6 // 6 6@ = 6 m( ) = 40 m( ) = kaç derecedir? 40 ) 0 ) 40 ) 0 ) 60 ) 70 Paralel dğrular arasında luşan aynı yöne bakan açıların ölçüleri tplamı zıt yönlü açıların ölçüleri tplamına eşit lduğundan + = 90 & 6a = 90 & a = β+ β = 8β = 80 & β = 0 dir. O halde + β = + 0 = bulunur. Şekilde 6 // 6 lduğuna göre sağ tarafa bakan açıların ölçüleri tplamı sl tarafa bakan açıların ölçüleri tplamına eşit lacağından + 90 = 40 & a = 0 bulunur. 6 // 6 a b c d e bulundukları açıların ölçüleri G a+ b+ c+ d+ e kaç derecedir? ) 60 ) 40 ) 40 ) 60 ) 70 b c a d e 6 // 6 Paralel dğrular 6@ 6@ 6G@ 6 G@ ile kesildiğine göre dğru parçası sayısı 4 dür. O halde a+ b+ c+ d+ e = 4: 80 = 70 bulunur. 6 // 6 m( ) = 6 m( ) = m( ) = kaç derecedir? ) 00 ) 0 ) 0 ) 0 ) 40 K 6 6 = 0 nktasından K // 6 // 6 lacak biçimde K çizilirse m( K) = m( ) = 6 (iç ters açıların eşitliği) ve m( K) = m( ) = 0 (iç ters açıların eşitliği) O halde = 0 bulunur. 6

21 7 KNRLRI PRLL ÇILR (i) Kenarları aynı yönde paralel açılar: 6 // 6 ve 6 // 6 ise yöndeş açıların eşitliğinden m( ) = m( ) = dır. (ii) Kenarları ters yönden paralel açılar: 6 // 6 ve 6 // 6 ise yöndeş ve iç ters açıların eşitliklerinden dlayı; m( ) = m( ) = dır. (iii) Kenarlarından biri aynı diğeri ters yönde paralel açılar: 6 // 6 ve 6 // 6 ise yöndeş ve karşı durumlu açı tanımlarından m( ) + m( ) = + β = 80 KNRLRI İK ÇILR (i) 6 = 6 ve 6K = 6 ise m( K ) = m( ) = β lmak üzere = β dır. β β L K 6 // 6 ve 6K@ // 6@ lduğundan K ile kenarlarından biri aynı diğer kenarı ters yönde paralel açılardır. O halde m( K) = m( ) = üçgeninde iç açıların ölçüleri tplamı yazılırsa = 80 & a = bulunur. 6 // 6 6K@ = 6 6K = 6 ve m( K ) = 0 m( ) = kaç derecedir? ) 0 ) ) 60 ) 6 ) 70 ile K kenarları dik iki açıdır. O halde m( ) + m( K ) = 80 m( ) = & m( ) = 0 bulunur. ile karşı durumlu iki açı lduğundan m( ) + m( ) = = 80 & a = 0 bulunur. 0 K (ii) 6 = 6 ve 6 = 6 K ise m( ) = m( ) = β β lmak üzere + β = 80 L 6K@ // 6@ 6 // 6 K 6@ = 6K@ ve m( ) = m( ) = kaç derecedir? ) ) ) 4 ) ) 6 ütünleri tümlerinin katından 0 fazla lan açı kaç derecedir? ) 40 ) 0 ) 60 ) 70 ) 80 çı Tümleri ütünleri ütünleri tümlerinin katından 0 fazla ise (80 - ) = (90 - a) a = 80 - a+ 0 a a = 0 & a = 0 bulunur.

22 8 6 // 6 6@ = 6@ m( ) = m( ) m( ) = m( ) m( ) = kaç derecedir? ) 0 ) 4 ) 0 ) 60 ) 7 m( K) = m( K ) = a m( K) = m( K ) = b dersek ( a+ b) = 80 O halde a+ b = 90 6 // 6 6 // 6 lduğundan m( K) + m( K ) = m( K ) O halde a a K b b a+ b = dır. = 90 bulunur. Paralel dğrular arasındaki aynı yöne bakan açıla- a b rın ölçüleri tplamı zıt yöne a bakan açıların ölçüleri tplamına eşit lduğundan b m( ) + m( ) = m( ) ve m( ) + m( ) = m( ) m( ) = m( ) = a m( ) = m( ) = b dersek a+ b = ve a+ b = 90 bulunur. & a+ b = 4 = a bulunur. 6 // 6 6 P@ ile 6 KP@ açırtay m( ) = 60 m( ) = 0 ve m( PK ) = 0 m( K ) = kaç derecedir? ) 0 ) 4 ) 40 ) ) 0 K P 6 // 6 6 // 6 6 K@ ile 6 K@ açırtay m( K ) = kaç derecedir? ) 60 ) 7 ) 90 ) 0 ) ile bir kenarları aynı diğer kenarları zıt yönlü paralel açılar lduğundan ölçüleri tplamı 80 Yani; m( ) + m( ) = 80 K 6 // 6 lduğundan aynı yöne bakan K K K açılarının ölçüleri tplamı 70 PK de iç açıların ölçüleri tplamı yazılacak lursa m( PK) + m( KP ) + m( PK ) = 80 m( PK) + m( KP ) + 0 = 80 m( PK) + m( KP ) = 0 uradan (m( PK) + m( KP)) + a = = 70 & a = 0 bulunur. K P

23 9 6 // 6 // 6 0 m( K ) = 0 m( K ) = 0 ve 0 m( K ) = m( K ) K m( K ) = kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 6 // 6 // 6 // d çizilirse K ile KL K ile KL K ile KL karşı durumlu açılar lduğundan ölçüleri tplamı 80 uradan m( K) + m( KL ) = 80 & 0 + m( KL) = 80 & m( KL ) = 0 m( K) + m( KL ) = 80 & 0 + m( KL) = 80 & m( KL ) = 60 m( KL ) = m( KL) + m( K ) & 60 = 0 + m( K) & 0 = m( K) & m( K) = O halde m( KL) = m( K ) + m( KL ) m( KL ) = + 0 = 4 uradan m( K) + m( KL ) = 80 & m( K ) + 4 = 80 & m( K ) = bulunur. 6 // 6 m( K ) = 0 m( ) = + m( K ) = + 0 m ( ) kaç derecedir? ) ) 40 ) 4 ) 0 ) K 6 ile 6 dğrusal uzatılırsa ters açıların eşitliğinden m( ) = m( T ) = + m( ) = m( K ) = + 0 bulunur. T // lduğundan m( T) + m( ) = m( K ) & = 0 & + = 0 & = 0 Ohalde = m( ) = + = 40 bulunur. 6 // 6 6@ = 6@ m( ) = 0 ve m( ) = Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 60 ) 6 ) 70 ) 7 ) 80 KL // 6 // 6 çizilirse K ile karşı durumlu iki açı lduğundan K L 70 ölçüleri tplamı 80 m( K ) + m( ) = 80 0 m( K ) + 0 = 80 & m( K ) = 70 KL // 6 lduğundan m( L) + m( ) = m( ) & m( L) + = 90 & m( L ) = dir. K L nktaları dğrusal lduğundan m( K ) + m( ) + m( L ) = = 80 & = 7 bulunur. + T K 0 + 0

24 ÜÇGN ÇILR PGM KMİ 0 ÜÇGNLR ğrusal lmayan üç nktayı birleştiren dğru parçalarının birleşimi ile luşan gemetrik şekle üçgen denir. 6@ 6@ 6@ = " üçgeni diye kunur. (iii) Geniş açılı üçgen erhangi bir iç açısının ölçüsü 90 dan büyük lan üçgenlere geniş açılı üçgen denir. Yani; m ( t ) = > 90 ise geniş açılı üçgen nktaları nin köşeleri ve üçgenin kenarlarıdır. üçgeninde βδ üçgenin iç açıları β δ l l l üçgenin dış açılarıdır. = a = b = c uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir. Nt Üçgenin iç bölgesinde kalan açılara iç açılar üçgenin dış bölgesinde kalan ve iç açıların bütünleri lan açılara dış açılar denir. + = 80 β+ β = 80 δ+ δ = 80 l l l β c β a b δ δ Kenarlarına Göre Üçgenler (i) Çeşitkenar üçgen ir üçgeninin bütün kenar uzunlukları birbirinden farklı ise çeşitkenar üçgen Yani; üçgeninde = a = b = c lmak üzere!! ( a! b! c) ise çeşitkenar üçgen (ii) İkizkenar üçgen ir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları birbirine eşit ise üçgene ikizkenar üçgen denir. Yani; = ise üçgeni ikizkenar üçgen c a b ÜÇGN ÇŞİTLRİ çılarına Göre Üçgenler (i) ar açılı üçgen İç açılarından her birinin ölçüsü 90 den küçük lan üçgenlere dar açılı üçgenler denir. Yani < 90 β < 90 δ < 90 dar açılı üçgen (ii) ik açılı üçgen erhangi bir açısının ölçüsü 90 lan üçgenlere dik açılı üçgen denir. Yani; m ( t ) = 90 ise dik üçgen ' na hiptenüs denir. β δ ' na taban eşit kenarların taban ile yaptıkları açılara taban açıları ve köşesi nktası lan açıya tepe açısı denir. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. u ifadenin terside dğrudur. O halde m( ) = m( ) + = (iii) şkenar üçgen ütün kenar uzunlukları birbirine eşit lan üçgene eşkenar üçgen denir. şkenar üçgenin iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 60 Yani; = = ise m ( t) = m ( t) = m ( t ) = 60 uradan üçgeni eşkenar üçgen

25 ÜÇGN TML V YRIMI LMNLR ir üçgenin kenarlarına ve açılarına temel elemanlar yükseklik kenarrtay açırtay ve rta dikme gibi kavramlara da yardımcı elemanlar denir. (i) Yükseklik ir üçgende bir köşeden karşı kenara ya da uzantısına çizilen dik dğru parçasına yükseklik denir. Yani; üçgeninde 6@ = 6@ 6@ = 6@ 6@ = 6@ lmak üzere = ha " na ait yükseklik = hb na ait yükseklik = hc " na ait yükseklik Nt m( ) = 90 lursa ile üçgenin iki yüksekliği lur. m( ) > 90 lursa üçgenin yüksekliklerinin ikisi üçgenin sınırladığı bölgenin dışındadır. P ir üçgende üç iç açırtayın kesim nktası iç teğet çemberin merkezi Yani; üçgeninde = n " köşesine ait açırtay = n " köşesine ait açırtay Z = n " köşesine ait açırtaydır. ir üçgende bir içaçırtay ile diğer köşelere ait dış açırtaylar üçgenin dışında bir nktada kesişirler. u kesişim nktası üçgenin dış teğet çemberlerinden birinin merkezi Yani nktası üçgeninin dış teğet çemberlerinden birinin merkezi Nt ir üçgenin üç tane dış teğet çemberi vardır. Nt ir üçgenin üç farklı yüksekliği bir nktada kesişir. u kesişim nktasına üçgenin diklik merkezi denir. (ii) çırtay Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki (iii) Kenarrtay ir üçgenin bir kenarının rta nktasını karşısındaki köşe ile birleştiren dğru parçasına kenara ait kenarrtay denir. V a eşit parçaya ayıran dğru parçasına açırtay denir. n Yani ye ait kenarrtaydır. V a ile gösterilir. Yani üçgeninde n " köşesine ait iç açırtay üçgeninde n ' " köşesine ait dış açırtay N n N = Va " na ait kenarrtaydır. = Vb " na ait kenarrtaydır. = Vc " na ait kenarrtaydır. G

26 ir üçgende üç kenarrtay bir nktada kesişir. Kesişim nktasına üçgenin ağırlık merkezi denir. G ile gösterilir. Nt ir dik üçgende hiptenüse ait kenarrtayın uzunluğu hiptenüsün uzunluğu- nun yarısına eşittir. V a Yani; m( ) = 90 + = Va = ÜÇGN ÇILR İL İLGİLİ ÖZLLİKLR. Özellik: ir üçgenin iç açılarının ölçüleri tplamı 80 Yani; üçgeninde m( ) = m( ) = β ve β δ m( ) = δ lmak üzere; m( ) + m( ) + m( ) = + β+ δ = 80 dir. İç açıları sayıları ile dğru rantılı lan üçgenin en küçük iç açısı kaç derecedir? ) ) 48 ) 44 ) 40 ) 6 Üçgenin iç açıları sayıları ile dğru rantılı lduğundan açılar k k k şeklinde Üçgenin iç açıları ölçüleri tplamı 80 lduğundan k+ k+ k = 80 & 0k = 80 & k = 8 O halde en küçük iç açı k lduğundan : 8 = 6 bulunur. üçgeninde m( ) = m( ) = β m( ) = δ ve + β+ δ = 40 m( ) = kaç derecedir? ) 8 ) 80 ) 7 ) 70 ) 6 β δ. Özellik: ir üçgenin dış açıları ölçüleri tplamı 60 dır. Yani; β δ l l l üçgenin dış açıları lmak üzere l l l + β + δ = 60 dir. β δ üçgeninde ile bütünler iki açı lduğuna göre m( ) = 80 - b dır. ir üçgende iki iç açısının ölçüleri tplamı kendisine kmşu lmayan bir dış açının ölçüsüne eşit lduğundan β 80 -β δ. Özellik: ir üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine kmşu lmayan iki iç açının ölçüleri tplamına eşittir. Yani; üçgeninde m( ) = ve m( ) = β β +β m( ) + m( ) = m( ) Yani; b = d & a+ 80 = b+ d dır. + β+ δ = 40 S + 80 lduğundan + 80 = 40 & a = 60 & = 80 bulunur. lmak üzere m( ) + m( ) = + β = m( )

27 üçgen m( ) = m( ) m( ) = m ( ) kaç derecedir? 4. Özellik: üçgeninin iki iç açırtayının kesişmesi ile luşan açı m( ) = lsun m() t = 90 + ) 6 ) 60 ) ) 0 ) 4. Özellik: üçgeninde her- m( ) = m( ) = m( ) = β dersek üçgeninde iç açılar ölçüleri tplamı yazılacak lursa m( ) + m( ) + m( ) = 80 + β+ = 80 & a+ b = 6 uradan m( ) = + β = 6 bulunur. hangi iki dış açının açırtaylarının luşturduğu açı m( ) = lsun. m( t ) = 90 - üçgen açırtay 4 m( ) = 96 m( ) = m( ) = 4 m( ) = kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) üçgeninde ile dış açırtay m( ) = 4+ m( ) = 6+ 0 kaç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 üçgeninde ile dış açırtay lduğundan m( ) m( ) = 90 üçgeninde iç açılar ölçüleri tplamı 80 lduğundan m( ) + m( ) + m( ) = 80 m( ) = 80 m( ) 4 80 & + = & m( ) = m( ) = m( ) = üçgeninde iki iç açının ölçüleri tplamı kendisine kmşu lmayan bir dış açının ölçüsüne eşit lduğundan m( ) + m( ) = m( ) a = & a = m( ) = 0 bulunur. 6 0 Yani; = = 90 -(+ ) 4+ = 90 & 7 = 70 & = 0 bulunur. 6. Özellik: ir üçgende bir iç açırtay ve dış açırtayın üçgenin dışında kesiştiklerinde luşan açı m ( t ) m( ) = & = Yani m( ) = + m( ) = dır.

28 4 7. Özellik: β δ +β+δ β δ +β+δ = = m( ) = 0 Yukarıdaki verilenlere göre m ( ) kaç derecedir? ) 0 ) ) 60 ) 6 ) 70 0 βδ bulundukları açıların ölçüleri lmak üzere m( ) = + β+ δ dır. 8. Özellik: ir ikizkenar üçgende tepe nktasından tabana indirilen yükseklik hem açırtay hemde kenarrtaydır. Yani; ikizkenar üçgeninde 6@ = 6@ çizilirse = ve m( ) = m( ) dır. ile ikizkenar üçgenlerinde m( ) = m( ) = m( ) = m ( ) = β dersek; m( ) + m( ) + m( ) = m( ) özelliğinden + + β+ β = 0 & a+ b = 0 & + β+ 6 O halde m( ) = + β = 6 bulunur. β 0 β üçgen = = m( ) = 0 m ( ) kaç derecedir? ) ) 0 ) 0 ) 00 ) 9 ile ikizkenar üçgen lduğundan m( ) = m( ) = m( ) = m( ) = β dersek ve üçgeninde iç açıların ölçüleri tplamını yazarsak + β+ 0 = 80 + β = 60 & a+ b = 80 m( ) = + β+ 0 lduğundan m( ) = 00 bulunur. 0 0 β β üçgen 6@ = 6@ = = m( ) = 40 Yukarıdaki verilenlere göre m ( ) kaç derecedir? ) 0 ) 60 ) 6 ) 70 ) 7 çizilirse 6@ = 6@ 40 ve = lduğundan üçgeni ikizkenar 0 40 üçgen O halde m( ) = m( ) = dır. üçgeninde ile nin ölçüleri tplamı kendisine kmşu lmayan nin ölçüsüne eşit lduğundan m( ) + m( ) = m( )

29 uradan m( ) = m( ) = 80 lur. = ve üçgeni ikizkenar üçgen lduğundan = O halde üçgenide ikizkenardır. Yani m( ) = m( ) = 80 üçgeninde iç açılar ölçüleri tplamı yazılırsa m ( ) + m ( ) + m ( ) = m( ) = 80 & m ( ) = 60 bulunur. üçgen açırtay = m( ) = 8 m( ) = kaç derecedir? ) 8 ) 0 ) ) 4 ) 6 Şekilde açırtay. O halde m( ) = m( ) = β dersek ile ninde iki iç açının ölçüleri tplamı kendilerine kmşu lmayan bir dış açının ölçüsü- 8 ne eşit lacağından m( ) = β + 8 ve m( ) = + β dır. = ise m( ) = m( ) & + Yβ = Yβ + 8 & β = 8 bulunur. 9. Özellik: şkenar üçgende aynı tabana ait yükseklik açırtay ve kenarrtay çakışıktır. Uzunlukları eşittir. Yani; m ( t) = m ( t) = m ( t ) = 60 ise; β β +β=β+ 8 +β 0 0 G 0 0 şkenar üçgende bütün yardımcı elemanların uzunlukları birbirine eşittir. h = h = _ a b hc b b n = n = n`dir veh = a n = Vc dir. V = a V = b V b c a üçgen = = = = Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 80 ) 7 ) 6 ) 60 ) 4 = = ise üçgeni eşkenar üçgen Yani; m( ) = m( ) = m( ) = 60 = lduğundan üçgeni ikizkenar üçgen uradan m( ) = m( ) nin dış açısı lduğundan m( ) = m( ) = 60 dır. & m( ) = 0 = m( ) bulunur. = & m( ) = m( ) = dersek üçgeninde iç açıların ölçüleri tplamı yazılacak lursa = 80 & a = 4 bulunur. 0. Özellik: ir üçgende iki kenarın rta nktasını birleştiren dğru parçası üçüncü kenara paraleldir ve uzunluğu üçüncü kenarın uzunluğunun yarısına eşittir. urada rta taban denir. Yani; = ve = ise 6@ // 6@ uradan = = k k k

30 İK ÜÇGN PGM KMİ 6 ir iç açısının ölçüsü 90 lan üçgene dik üçgen denir. Yani m( ) = 90 ise üçgeni dik üçgen ve dik kenarlar hiptenüstür. Pisagr Teremi ir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerin c tplamı hiptenüs uzunluğunun karesine eşittir. a Yani dik üçgeninde = a = b ve = c lmak üzere b+ c = a ik kenarlar dörtgeninde 6@ = 6@ 6@ = 6@ = cm 6 = cm ve = 6cm = kaç cm dir? ) ) ) ) 4 ) çizilirse ile dik üçgen lur ve pisagr teremi uygulanırsa + = + = & + = + ^ h + = ^ h + ^ 6h 7 + = + 4 & 7 + = 6 & = 9 & = cm bulunur. hiptenüs b 6 dik üçgen = 4cm = 7 cm = kaç cm dir? ) 0 ) 6 0 ) 0 0 ) 4 0 ) 8 0 dik üçgeninde = 4 cm = k dersek = 7 cm = k lur. Pisagr teremi yazılacak lursa + = k & + ^kh = & k+ 9k = & = 0k & = 0k k = 4 lduğundan = 4 0 cm bulunur. 6@ = 6@ 6@ = 6@ 6@ = 6@ 6@ = 6@ = 4cm = cm = cm = 4cm ve = cm 4 ile nktaları arasındaki uzaklık kaç cm dir? ) 0 ) ) ) 7 )

31 7 ile nktaları bir dğru parçası ile birleştirilip şekildeki dikdörtgenler meydana getirilirse = cm ise L = cm = 4 cm ise = LK = 4cm 4 L = 4cm ise 4 4 L = K = 4cm ve = cm ise K 4 = cm uradan K = cm K = cm bulunur. K dik üçgeninde Pisagr tereminde K + K = + = & = + 44 = 69 & = cm bulunur. enklemleri çözümlersek + 4y = 64 " y = y = 9 & y = & y = cmdir. y = değeri denklemlerin birinde yerine yazılırsa = cm bulunur. Öklid ağıntıları ir dik üçgende dik köşeden hiptenüse çizilen yükseklik c b hiptenüsde ayırdığı parçalar ve dik kenarlar arasındaki bağıntılara öklid bağıntıları denir. Yani; dik üçgen p h a k 6@ = 6@ = b = c = a = h = p ve = k lmak üzere dik üçgeninde hiptenüs ve hiptenüse ait yüksekliğin çarpımı dik kenarların çarpımına eşittir. Yani 6@ = 6@ = a = b = c ve = h lmak üzere c h a b h = p: k b = k( p+ k) = k: a c = p( p+ k) = p: a = + bağıntıları sağlanır. h b c : = : dik üçgen a: h = b: c dik üçgen = = cm = 8 cm = kaç cm dir? ) ) 0 ) ) ) = = y dersek ve ve dik üçgenlerinde Pisagr teremlerini uygularsak + = + = uradan: + y = + 4y = 64 y 8 8 y 6@ = 6@ = ranı kaçtır? 6 ) ) ) ) ) = ise = k = k lur. dersek dik üçgeninde öklid bağıntısı uygulanacak lursa k k = : = k$ k = 0k & = 0 k = : = k$ k = k & = k uradan 0Yk : 6 = = = = k : bulunur. Y

32 8 dik üçgen = = = 8cm = cm Yukarıdaki verilenlere göre = kaç cm dir? ) 0 ) 4 6 ) 0 ) 6 ) ikizkenar üçgen lduğundan 6@ = 6@ çizilirse = = 4cm bulunur. dik üçgeninde öklid bağıntısı uygulanacak lursa = : = 9: & = cm bulunur. dik üçgen = = 6 = 0 cm 0 = 6cm Yukarıdaki verilenlere göre = kaç cm dir? ) 9 ) 8 ) 7 ) 6 ) çizilirse = = lduğundan 6@ = 6@ lur. 0 uradan öklid bağıntısı uygulanacak lursa = : & ( 0) = 6: ( 6 + ) & 90 = 6: ( 6+ ) & = 6 + & = 9 cmbulunur. Kenarlarına Göre Özel ik Üçgenler (-4-) Üçgeni Kenar uzunlukları 4 sayıları ve bu sayıların katları k lan dik üçgenler Yani; 4 k = k = 9 k = üçgenleri (-4-) üçgeninin katları lan üçgenlerden bir kaçıdır. (--) Üçgeni Kenar uzunlukları sayıları ve bu sayıların katları lan dik üçgenler Yani; k = k = 9 6 k = üçgenleri (--) üçgeninin katları lan üçgenlerden bir kaçıdır. (8--7) Üçgeni Kenar uzunlukları 8 7 sayıları ve bu sayıların katları lan dik üçgenler Yani; 7 8 k = k = k k 4 4k k k k 8k 4 k = 7k üçgenleri (8--7) üçgeninin katları lan üçgenlerden bir kaçıdır.

33 9 (7-4-) Üçgeni Kenar uzunlukları 7 4 sayıları ve bu sayıların katları lan dik üçgenler Yani; 7 4 k = k = 7 7 k = üçgenleri (7-4-) üçgeninin katları lan üçgenlerden bir kaçıdır. üçgen 6@ = 6@ = cm = cm ve = 9cm = kaç cm dir? ) 0 ) ) ) ) 4 dik üçgeni (-4-) üçgeninin kenarlarının uzunluklarının katı lan 9-- üçgeni O halde = cm -- üçgeni lduğundan = = cm bulunur. çılarına Göre Özel ik Üçgenler ( ) Üçgeni ir dik üçgende diğer iç açılar 0 ve 60 ise 0 nin karşısındaki dik k k kenarın uzunluğu hiptenüs uzunluğunun yarısına k 60 0 eşittir. ynı zamanda 60 nin karşısındaki dik kenarın uzunluğu 0 lik açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun katıdır. 7k k 4k 9 ( ) Üçgeni ir dik üçgenin diğer iç açıları 4 ise dik kenarlarının uzunluklarının katı hiptenüsün uzunluğuna eşittir. ( ) Üçgeni ir dik üçgeninin diğer iç açıları ve 7 ise hiptenüse çizilen yükseklik hiptenüsün 4 de i Yani; üçgenininde 6@ = 6@ çizilirse = h & = 4h dik üçgen m( ) = m( ) = 0 0 = cm = kaç cm dir? ) 8 ) 0 ) ) 4 ) 6 üçgeninde iki iç açının ölçüsü kendisine kmşu lmayan bir dış açının ölçüsüne eşit lacağından m( ) + m( ) = m( ) + 0 = m( ) & m( ) = 4 uradan üçgeni üçgeni üçgeni O halde = cm ise = = cm bulunur. dik üçgeninde 0 nin karşısındaki dik kenarın uzunluğu cm ise 90 nin karşısı 0 cm k 4 k k 4 h 7 4h 4 = 0 4 0

34 0 üçgen m( ) = 0 m( ) = 0 = 6 cm Yukarıdaki verilenlere göre = kaç cm dir? ) 8 ) 9 ) 0 ) ) dik üçgen = = = 8cm ve = cm = kaç cm dir? ) ) 4 ) ) 6 ) @ = 6@ çizilirse üçgenin iç açıları ölçüleri tplamı 80 lduğundan m( ) = m( ) = 4 m( ) = 60 bulunur. O halde üçgeni u özel üçgenlerin özelliklerini kullanacak lursak = 6 cm ise = = 6cm = 0 dik üçgeninde 6@ = 6@ çizilirse 6@ // 6@ lur. = lduğundan rta tabandır. uradan = = 4cm ve = lur. 8 4 = 8 dik üçgeninde 0 nin karşısındaki kenar uzunluğu Yani = cm = cm 6 cm ise 90 nin karşısındaki kenarın uzunluğu cm O halde üçgeni -4- üçgeni uradan = = cm bulunur. üçgen m( ) = = cm = 7cm dir. = kaç cm dir? ) 0 ) ) ) 7 ) 0 7 üçgeninde 6@ = 6@ = = cm ve Ç ( ) = 8 cm kaç cm dir? ) 0 ) ) ) ) 4 geniş açılı bir üçgen lduğundan yüksekliklerinden iki tanesi üçgenin dışına çizilir. = O halde 6@ = 6@ çizilirse m( ) = lduğundan üçgeni = cm ise = = cm lur. -- üçgeni lduğundan = = cm bulunur. dik üçgeninde hiptenüse çizilen kenarrtay ayırdığı parçaların uzunluklarına eşittir. O halde = = = a ve = b dersek Ç( ) = a+ b+ = 8 cm & a+ b = cm uradan = a+ b = cm bulunur. a a a b a + b

35 ÇIKMIŞ SORULR.. birer eşkenar üçgen Yukarıdaki verilere göre kaç derecedir? (007) ) ) 0 ) 8 ) 4 ) 0 çıklama: üçgeninde iç dış açırtay lduğundan m( ) m( ) = & = = 0 bulunur.. lanı cm iç açılarının ölçüleri 0 60 ve 90 lan üçgenin çevre uzunluğu kaç cm dir? (007) ) ) ) + ) + ) ^ + h çıklama: İç açıları 0 60 ve 90 lan üçgenin hiptenüsü cm ise dik kenarlar cm ve cm 0 Yukarıdaki şekilde = cm lduğuna göre dörtgeninin çevre uzunluğu kaç cm dir? (008) ) 6 ) ) 8 ) 4 ) 0 çıklama: = ve = y lsun. = = = = ve = = = = ylur. = cm & + y = cm dir. una göre Ç evre^h = + y = ^+ yh = ^ h = 4 cm bulunur. y y y y 60 O halde T : ( ) = & = = 4 = cmlur. una göre üçgenin çevre uzunluğu + + = + = ^+ h = ^ + h cm bulunur.

36 4 4. S Şekildeki üçgeninin alanı S dörtgeninin alanı S ve üçgeninin alanı S tür. S una göre ranı kaçtır? (008) S + S ) S ) ) 4 ) ) çıklama: ve üçgenleri benzer = = cm ve = cm lduğundan benzerlik ranı tür. h h S S S h S O halde = hise = hve = h+ h = 4hlur. una göre istenilen ran S h : h = = S + S h: h: 0h + = bulunur. bir dikdörtgen bir üçgen = cm = cm. şağıdaki şekilde uç nktaları ve lan bir su bitkisinin durgun ve rüzgârlı havadaki knumu gösterilmiştir. 6. O O una göre kaç cm dir? (009) 6O@ = 6@ = cm = cm = cm O = ) 6 ) 8 ) 0 ) ) çıklama: + + bir eşkenar üçgen bir ikizkenar dik üçgen = = a itkinin byu O = O lacağından O = O = + = + lur. O dik üçgeninde Pisagr bağıntısından: + = ( + ) + 44 = = 40 = cmlur. Taralı bölgenin alanı 6( - )cm lduğuna göre a kaç cm dir? (00) ) 4 ) 6 ) 8 ) 6 ) 8 çıklama: Su yüzeyi Sulak alanın dibi eşkenar ve ikizkenar dik üçgeninde = a ise a = = a a Taralý lan = 4 a a 6 6 = = a a & a = 8 cm dir. a : a a a a a a

37 7. bir üçgen 6 N@ açýrtay m( ) = 48 m( ) = 40 N = abirim N = bbirim N = cbirim Yukarıdaki verilere göre ab ve c arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir? (0) ) a b c ) a c b ) b a c ) b c a ) c b a çıklama: m( N) = m( N) = 46 çıklama: kenarrtay lduğundan = = lur. m( ) = m( ) = 0 m( ) = 60 vem( ) = 0 lur. üçgeni üçgeni lduğundan = = = ve = cm lur. = = = 4 cm ise = 4 = cm bulunur. N üçgeninde lduğundan a b lur. N üçgeninde lduğundan c a lur. layısıyla b a c lmalıdır. 9. bir üçgen m ^ h = 4ο m^h = 60ο = birim = 60 4 Yukarıdaki verilere göre kaç birimdir? (0) 8. 0 bir dik üçgen m( ) = 0 = = = = cm Şekildeki dik üçgeninde kenarrtaydır. una göre uzunluğu kaç cm dir? (0) ) ) ) 6 ) ) ) ) ) 6 ) çıklama: ) [] [] çizilirse 0ο 60ο 90ο 4ο 4ο 90οüç geni uradan 6 = cm = = + = = cm bulunur

38 6 VPLI TST - Gemetrik Kavramlar. ir açının tümlerinin bütünlerine ranı lan açı kaç derecedir? ) ) 0 ) 4 ) 60 ) // 6 m( ) = 0 m( ) = m( ) = β ve 0 β. ir açının tümleri ile bütünlerinin tplamı 00 ise bu açı kaç derecedir? ) ) ) ) 4 ) + β = 0 kaç derecedir? ) 00 ) 0 ) 0 ) ) Kmşu iki açının ölçüleri tplamı 7 lduğuna göre bu iki açının açırtayları arasında kalan açının ölçüsü kaç derecedir? ) 0 ) 4 ) 8 ) 6 ) 40 O nktaları dğrusal 6O = 6 O m( O) = m( O ) ve m( O) = m( O ) Yukarıdaki verilenlere göre m ( O ) kaç derecedir? ) 00 ) 0 ) 0 ) 0 ) O // 6 m( ) = 8 ve m( ) = m( ) = kaç derecedir? 8 ) 00 ) 0 ) 0 ) 0 ) 40 6 // 6 m( ) = m( ) m( ) = m( ) ve m( ) + m( ) = 0 m( ) = kaç derecedir? ) 70 ) 80 ) 90 ) 00 ) 0. 6 // 6 açırtay m( ) = 4 4 Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) ) 4 ) ) 6 ) // 6 // m( T ) = 0 0 m( P ) = β m( L ) = K L P m( K ) = β T β kaç derecedir? ) 70 ) 7 ) 74 ) 76 ) 78

39 // 6 m( ) = 8 ve m( ) = m( ) = kaç derecedir? 8 ) ) 4 ) 6 ) 8 ) // 6 ile açırtay ve m( ) = 08 Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? 08 ) 84 ) 86 ) 88 ) 96 ) // 6 m( K ) = 0 K β m( K ) = 0 0 m( ) = m( K ) = β m( ) = ve β = 0 m( ) = kaç derecedir? ) 4 ) 0 ) ) 60 ) 6. 6 // 6 6K@ = 6@ 6K@ = 6 ve m( ) = K m( K ) = kaç derecedir? ) 6 ) 7 ) 8 ) 0 ) 0. // 6 m( P ) = m( L ) = 60 m( R ) = 0 m( RP ) = 80 m( RP ) = + 0 R L m( LK ) = P ve 60 β m( LK ) = β K + β kaç derecedir? ) 00 ) 0 ) 0 ) ) 0. // 6 LN = N 6K@ = 6LT@ ve K T m( K ) = 00 0 P 00 Yukarıdaki verilenlere L göre m( ) = kaç derecedir? ) 0 ) 0 ) 40 ) 0 ) // 6 // 6 6@ = 6K@ 60 m( ) = 40 K m( K ) = 60 m( K ) = kaç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) )

40 8 VPLI TST - Üçgende çılar. İç açıları 4 sayıları ile dğru rantılı lan üçgenin en büyük dış açısı en küçük dış açısından kaç derece fazladır? ) ) 0 ) 4 ) 60 ) 7. üçgen ve nktaları dğrusal ile açırtay ve m( ) = Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 70 ) 90 ) 0 ) 0 ). üçgen m( ) = m( ) = β m( ) = δ ve + β+ δ = 00 δ Yukarıdaki verilenlere β göre m( ) = kaç derecedir? ) 0 ) 0 ) ) 0 ) 6. üçgen ile açırtay m( ) = m( ) m( ) = ve m( ) = β + β tplamı kaç dere- β cedir? ) 0 ) ) 0 ) 0 ) üçgen I nktası üçgeninin iç teğet çem-. üçgen m( ) = m( ) ve m( ) = 0 m ( ) kaç derecedir? ) 0 ) ) 60 ) 6 ) 70 0 berin merkezi nktası üçgeninin dış teğet çemberinin merkezi ve m() ti m ( t ) = 7 Yukarıdaki verilenlere göre m ( ) kaç derecedir? I ) 6 ) 4 ) 60 ) 7 ) üçgen açırtay m( ) = 8 m( ) = ve 9 8 m( ) = 9 m( ) = kaç derecedir? ) 6 ) ) ) 46 ) 0 üçgen açırtay m( ) = m( ) = m( ) = 70 Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? 70 ) ) 40 ) ) 6 ) 70

41 9 9. m( ) = m( ) m( ) = m( ) m( ) = 80 ve m( ) = 60 Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 00 ) 0 ) 0 ) ) üçgen = m( ) = m( ) = ve m( ) = Yukarıdaki verilenlere m( ) = kaç derecedir? ) ) 40 ) 48 ) 6 ) üçgen = = 6 m( ) = 6 Yukarıdaki verilenlere göre m ( ) kaç derecedir? ) 7 ) 90 ) 00 ) 08 ) 0 4. üçgeninde = m( ) = m( ) 40 m( ) = 40 Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) ) 40 ) 4 ) 0 ) 60. üçgen = = m( ) = 46 m( ) = kaç derecedir? ) 9 ) 96 ) 0 ) 06 ) 08. üçgeninde 6@ = 6@ = m( ) = ve m( ) = 0 m ( ) kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 0. üçgen 6@ = 6@ = = ve 70 m( ) = 70 m( ) = kaç derecedir? ) 40 ) 70 ) 7 ) 80 ) üçgeninde m( ) = 08 m( ) = 40 m( ) = m( ) m ( ) kaç derecedir? ) 40 ) 48 ) ) 64 )

42 60 VPLI TST - ik Üçgen. dik üçgen 6@ = 6@ = = cm = 6cm = kaç cm dir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) 6. 6@ = 6@ 6@ = 6@ = cm = cm ve = 7cm kaç cm dir? ) ) 6 ) 4 ) ) 8. dörtgeninde 6@ = 6@ 6@ = 6@ = cm = 4 cm = cm = kaç cm dir? ) 7 ) 9 ) 9 ) ) 4 6. dörtgen 6@ = 6@ 6@ = 6@ 6 6@ // 6@ = 6cm = 8cm kaç cm dir? ) 48 ) 64 ) 7 ) 96 ) 0. 6@ = 6@ 6@ = 6@ 6@ = 6@ 6@ = 6@ 6@ = 6@ = = = = = = cm = kaç cm dir? ) ) ) ) 6 ) 7 7. dik üçgen 6@ = 6@ = cm 0 = cm = 0cm = cm kaç cm dir? ) ) ) ) 4 ) 4. 6@ = 6@ 6@ = 6@ 6@ = 6@ 6@ = 6@ = = 6cm = = 4cm = cm 4 ile nktaları arasındaki uzaklık kaç cm dir? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) üçgen 6@ = 6@ m( ) = m( ) 4 = cm = 4cm = cm = kaç cm dir? ) ) 4 ) ) 6 ) 7

43 6 9. dik üçgen = 6@ = 6@ = 6cm = 9cm = kaç cm dir? ) ) ) ) ) üçgen 6@ = 6@ = cm = 7cm = 0cm = kaç cm dir? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) üçgen 6@ = 6@ = = 4cm = cm = kaç cm dir? ) ) 4 ) 6 ) ) @ = 6@ 6@ = 6@ = cm = cm = cm + tplamının en küçük değeri kaç cm dir? ) 0 ) ) ) 7 ) 0. dik üçgen 6@ = 6@ = = 6cm = cm = cm = kaç cm dir? ) ) ) 0 ) ) 4 6. üçgen m( ) = m( ) = cm = cm = = kaç cm dir? ) ) ) 0 ) 9 ) 8. üçgen 6@ = 6@ = 0cm = cm = cm kaç cm dir? ) ) 0 ) 8 ) 7 ) dik üçgen 6@ = 6@ = 6@ 6@ = 6@ 4 = = 4cm = kaç cm dir? ) ) 4 ) 6 ) 7 )

44 6 VPLI TST - 4 Üçgende çırtay Teremleri. dik üçgen. üçgen 6 N@ açırtay 6@ = 6@ : = 48cm 6 N@ açırtay = + 4 N = cm N N kaç cm dir? N = 6cm N = cm kaç cm dir? N 6 ) ) ) 4 ) ) 7 ) 4 ) ) 6 ) 7 ) 8. açırtay 6 = 6 = 6 N@ 6 = 6 = 6 N@ N = ( tcm ) N = (k + ) cm = ( tcm ) ve 4k + = c m cm t kaçtır? ) ) ) ) ) t N 4k + k+ t 6. dik üçgen 6@ = 6 N@ açırtay N = cm N = cm N = kaç cm dir? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 0 N. üçgen 6 N@ açırtay m( ) = 60 m( ) = 4 N = cm 4 60 N N = kaç cm dir? ) ) ) ) 4 ) 7. üçgen 6 N@ ve açırtay = N = 9cm N = cm N = kaç cm dir? ) ) ) ) ) 4 9 N 4. üçgen 6 N@ açırtay = 8cm N = 4cm N = cm Yukarıdaki verilenlere göre = kaç cm dir? ) ) 4 ) ) 6 ) N 8. ve S üçgen nktası iç açırtayların kesim nktası 6@ = 6@ 6@ // 6S@ S 6@ // 6@ = cm ve Ç ( S) = cm = kaç cm dir? ) 8 ) 9 ) 0 ) )