Mustafa YAĞCI, Geometrik Kombinasyon

Transkript

1 Mustafa YĞI w 0 ebir Notları Mustafa YĞI, yagcimustafa@yahoo.com Geometri Kombinasyon H er farlı ii notanın bir oğru belirttiğini biliyoruz. Pei hangi oğruyu belirtiyorları? O ii notaan geçen oğruyu. Pei her farlı nota aç oğru belirtir? nota oğru belirtiyorsa, nota,5 oğru belirtir emeyin e iğer her cevaba enimi alıştırabilirim. Uzatmayayım, bu sorunun cevabı yotur, çünü soru üzgün bir soru eğil! farlı nota oğrusalsa te bir oğruyu belirtirler ama oğrusal eğillerse farlı oğruyu belirtirler. eme i belirttileri oğru sayısı notaların onumuna göre eğişiyor. Eğer onumlarını belirtmeen bir soru sorma istiyorsa, en az ya a en ço aç tane geçer filan iye sormalıyız veya sormalılar. En az oluğu urum tabii i hepsinin oğrusal olmasıyla mümünür, veya izin varsa hepsini çaışı alırız hiçbir oğru belirtmezler. En ço olması a herhangi üçünün oğrusal olmamasıyla mümünür. İi farlı nota, belirttiğimiz üzere ne yaparsanız yapın, her zaman oğrusal olur. enzer şeile her oğrusal olmayan nota a bir üçgen, ayrıca bu üçgenin üstüne bulunuğu bir üzlem ve bu üçgenin çevrel çemberi olan bir çember belirtir. Üçü oğrusal olmayan ört farlı nota a örtgen belirtir. Örne. 9 farlı nota en ço aç üçgen belirtir? ) 9 ) 8 ) 7 ) E) 8 Çözüm: En ço üçgen için, 9 notayı yine çemberselmiş gibi üşüneceğiz. Çembersel olan 9 notanın herhangi üçü her zaman bir üçgen belirtir. u a (9, ) = 8 tane üçgen emetir. oğru cevap: E. Örne. 9 farlı nota en ço aç örtgen belirtir? ) 5 ) 8 ) 9 ) E) 5 Çözüm: En ço örtgen için 9 notayı yine çemberselmiş gibi üşüneceğiz. Çembersel olan 9 notanın herhangi örü her zaman bir örtgen belirtir. u a (9, ) = tane örtgen emetir. oğru cevap:. Örne. 9 nota en az aç oğru belirtir? ) 0 ) ) 9 ) E) 7 Çözüm: Tabii i 0! (0 fatöryel eğil, biliğin 0). Çünü 9 nota a çaışı olursa herhangi bir oğruyu belirtmezler. ma sorua eğer farlı 9 nota eseyi, hepsinin oğrusal oluğunu farz eere cevaba eri. oğru cevap:. Örne. 9 farlı nota en ço aç oğru belirtir? ) 9 ) 8 ) 7 ) E) 7 Çözüm: öyle sorulara notaların mümün oluğunca ço oğru belirtmesi için notaların herhangi üçünün oğrusal olmaığını üşünmeliyiz. iz bu herhangi üçü oğrusal olmayan notalara bunan böyle çembersel veya ağını iyeceğiz. O hale çembersel olan 9 notanın herhangi iisi her zaman farlı bir oğru belirtir. u a (9, ) = tane oğru emetir. oğru cevap:. Örne. 5 i oğrusal, ü çembersel 9 farlı nota en ço aç oğru belirtir? ) 9 ) 8 ) 7 ) E) 7 Çözüm: İi farlı yolan çözeceğiz. irinci yol. oğrusal olan 5 nota te bir oğru belirtir. Çembersel olan nota a (, ) = oğru belirtir. ir e oğrusal notaların birinen ve çembersel notaların birinen geçen oğrular var. unlar a (5, ) (, ) = 0 taneir. unu a hesaba attı mı, işlem tamam! = 7. İinci yol. Tüm notaların ağını oluğunu üşünün bir an. (9, ) = oğru oluru. oğrusal olan 5 nota a ağını olsayı (5, ) = 0 tane oğru oluştururu ama saece tane oluşturuyorlar. 9 tane oğru aybolmuş yani: 9 = 7. oğru cevap:. 7

2 Mustafa YĞI Geometri Kombinasyon Örne. 5 i oğrusal, ü çembersel olan 9 farlı nota en ço aç üçgen belirtir? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) 5 Çözüm: Yine ii yol vereceğiz. irinci yol. oğrusal olan 5 nota hiçbir üçgen belirtmez. Çembersel olan nota a (, ) = üçgen belirtir. yrıca oğrusal 5 notanın sinen ve çembersel notanın inen geçen oğrularla, i bunlar (5, ) (, ) = 0 = 0 taneir, oğrusal 5 notanın inen ve çembersel notanın sinen geçen oğruları a sayacağız, i bunlar a (5, ) (, ) = 5 = 0 taneir. O hale = 7. İinci yol. Tüm notaların ağını oluğunu üşünün. (9, ) = 8 üçgen oluşuru. oğrusal 5 nota (5, ) = 0 üçgen belirtmeliyen hiç belirtmiyor. 8 0 = 7. oğru cevap:. Örne. Yan şeilei 0 nota, saece ii öşesi çember üzerine olan aç farlı üçgen belirtir? ) 0 ) ) ) 0 E) 0 Çözüm: Çember üzerinei 7 notaan sini seçelim. unu (7, ) = aar farlı şeile yapabiliriz. Şimi üçüncü öşeyi seçeceğiz. Üçüncü öşe çember üzerine olamayacağınan geri alan notaan birini seçeceğiz. unu a (, ) = aar eğişi şeile yapabiliriz. O hale bahsi geçen tane üçgen varır. Faat cevap eğil! Çünü ya çember üzerinen seçtiğimiz notanın si e aynı zamana oğrunun a üstüne olan notalarsa? O ii notayla, ışarıai notanın oluşturuğunu zanneere sayığımız üçgeni toplaman çıarmalıyız. O hale cevap = 0 olmalıır. oğru cevap:. Örne. Yan şeile verilen 0 nota en ço aç oğru belirtir? l Örne. 5 oğru en ço aç farlı notaa esişebilir? ) 5 ) 0 ) 0 ) 5 E) 5 ) 5 ) 5 ) ) 0 E) 7 Çözüm: Önce 0 notanın hepsinin ağını oluğunu üşünün, yani herhangi üç tanesi oğrusal olmasın. Öyle olsaları (0, ) = 5 tane oğru belirtirleri. Öyle bir uruma l oğrusu üzerinei beş nota a (5, ) = 0 tane oğru belirteceleri ama maalesef saece tane oğru belirtiyorlar. Yani 9 tane esiğimiz var. u yüzen cevap = 5 9 = olmalıır. oğru cevap:. Örne. Yan şeile verilen 0 nota en ço aç üçgen belirtir? ) 0 ) 0 ) 05 ) 90 E) 7 Çözüm: Önce 0 notanın hepsinin ağını oluğunu üşünün, yani herhangi üç tanesi oğrusal olmasın. Öyle olsaları (0, ) = 0 tane üçgen belirtirleri. Öyle bir uruma l oğrusu üzerinei beş nota a (5, ) = 0 tane üçgen belirteceleri ama maalesef saece tane bile belirtmiyorlar. Yani 0 tane esiğimiz var. u yüzen cevap 0 0 = 0 olmalıır. oğru cevap:. l Çözüm: Kesim notalarının ço olması isteniğinen mümün oluğunca oğruları birbirlerine paralel almayacağız. yrıca iien fazla oğrunun te bir notaa esiştiğini e üşünmeyeceğiz. Velhasıl, bir esim notası için farlı ii oğru lazım. O hale (5, ) = 0 tane esim notası olur. oğru cevap:. Örne. 5 çember en ço aç farlı notaa esişebilir? ) 5 ) 0 ) 0 ) 0 E) 5 Çözüm: Kesim notalarının mümün oluğunca ço olması isteniğinen, çemberlerin herhangi ii esim notasının çaışmaığını üşüneceğiz. İi çember en ço farlı notaa esişir. O hale (5, ) = 0 tane farlı ii çember seçilebileceğinen 0 = 0 esim notası olur. oğru cevap:. Örne. 5 üçgen en ço aç farlı notaa esişebilir? ) 5 ) 0 ) 0 ) 0 E) 5 Çözüm: Kesim notalarının mümün oluğunca ço olması isteniğinen, üçgenlerin herhangi ii esim notasının çaışmaığını üşüneceğiz. İi üçgen en ço farlı notaa esişir. O hale (5, ) = 0 tane farlı ii üçgen seçilebileceğinen 0 = 0 esim notası olur. oğru cevap:. 7

3 Mustafa YĞI Geometri Kombinasyon Örne. 5 oğrunun esim notası en ço aç üçgen belirtebilir? ) 0 ) 0 ) 0 ) 00 E) 0 Çözüm: oğruların herhangi iisinin birbirlerine paralel olmaılarını üşünelim i, esim notası fazla çısın. öyle bir uruma 5 oğrunun herhangi iisi bir esim notası belirteceğinen (5, ) = 0 farlı esim notası varır. Şimi soru, 0 nota en ço aç üçgen belirtebilir sorusuna önü gibimize geliyor ama tam öyle eğil. Çünü sistemei her oğru iğer ört oğruyla a esişmete oluğunan her oğrunun üzerine tane nota var. u notalar oğrusal oluğunan bazı üçgenler belireceleri yere belirmiyorlar. u 5 oğru üzerinei er notanın belirtmeileri üçgenleri toplam üçgen sayısınan çıartara sonuca ulaşacağız. 0 5 = 0 5 = 00. oğru cevap:. Örne. üzleme oğru ve farlı yarıçaplara çember veriliyor. u oğru ile çember en ço aç esim notası oluşturabilir? ) 8 ) 0 ) 75 ) 80 E) 00 Çözüm: En ço esim notası ele eebilme amacıyla oğruların hiçbirinin herhangi bir çembere teğet olmaığını üşünmeliyiz, her biri bir çemberi farlı notaa essin. O hale = 8 esim notası buraan gelir. iğer yanan oğru eni arasına (, ) = 5 tane esim notası oluşturur. ir e çemberler eni arasına (, ) = esim notası oluştururlar. O hale en ço = 75 esim notası oluşabilir. oğru cevap:. Örne. aşlangıç notaları aynı bir P notası olan ve herhangi iisi oğrusal olmayan tane ışın veriliyor. u ışınlaran öşesi P e olan aç tane açı oluşur? ) ) 9 ) ) 5 E) 0 Çözüm: Köşesi P e olan herhangi ışın bir açı oluşturacağınan (,) 5 = tane açı oluşur. oğru cevap:. i. Kaç farlı oğru belirtir? ynı oğru üstüne olmayan ii notaya ihtiyacımız var: (, ) (5, ) = 5 = 0. unlara bir e ve oğrularını elerse cevap olur. ii. Kaç farlı üçgen belirtir? Üçü aynı oğru üstüne olmayan notaya ihtiyacımız var. O hale si en i en ve i en si en olma üzere nota seçelim: (, ) (5, ) + (, ) (5, ) = 5+ 0 = 70. iii. Kaç farlı yamu belirtir? si en ve si en notaya ihtiyaç var: (, ) (5, ) = 0 = 0. iv. an geçen aç oğru belirtir? oğru mecburen an geçecese iğer notası mecburen oğrusu üstüne olaca. ir e oğrusunun enisi var: (5, ) + = 5 + =. v. an geçen ama en geçmeyen aç oğru belirtir? oğrusu üzerinei 5 notaan aı olan birini yasalaılar ama iğer üne hala izin var, bir e oğrusunun enisi var: (, ) + = + = 5. vi. ir öşesi olan aç üçgen belirtir? Ya iğer notayı en ya a ini en (ama notası ışınaileren), ini en seçeceğiz. iğer ii notayı a en seçerse, oğrusal olacalarınan üçgen ele eilemez: (5, ) + (, ) (5, ) = = 5. vii. ve öşelerine sahip aç üçgen belirtir? Üçüncü notayı hangi oğruan seçerse seçelim, ama ve ışınai notalar olma zoruna, her zaman üçgen oluşur (alan 7 taneen biri yani): (, ) + (, ) = + = 7. Örne. notasıyla birlite notası olan bir oğrusu ile notası ile birlite 5 notası bulunan ye paralel bir oğrusu veriliyor. u şeilei 9 nota; viii. ir öşesi olan ama iye bir öşesi olmayan aç yamu belirtir? ize üzerine en farlı bir nota ve üzerine an farlı nota lazım: (, ) (, ) = =. 7

4 Mustafa YĞI Geometri Kombinasyon Örne. Şeile paralel olan üç oğru ile bu oğruları esen notaaş oğru görülmeteir. u 9 oğru bu onumlarıyla aç farlı üçgen belirtirler? ) 5 ) 8 ) 0 ) 5 E) 0 Çözüm: ir üçgen ele eilebilme için te notaa esişen oğrularan herhangi iisi ve birbirlerine paralel olan oğrularan herhangi ine ihtiyacımız var. O hale bu seçimi aç farlı şeile yapabileceğimizi bulmalıyız. (, ) (, ) = 5 = 5. oğru cevap:. Örne. Şeilei üçgeni üzerine farlı nota varır. u notaları öşe abul een aç eğişi örtgen çizilebilir? ) 0 ) 0 ) 0 ) 80 E) 70 Çözüm: öyle sorulara tersten gitme aha avantajlıır. Önce nota çembersel olsaları aç eğişi örtgen oluru, onu bulalım. (, ) = 95 tane örtgen çizilebiliri. Şimi enarı üzerinei 5 notaya oalanalım. u beş nota oğrusal olsaları (5, ) = 5 tane örtgen oluştururu ama bu uruma oluları için oluşturamıyorlar. yrıca bu 5 tanenin ü ve iğer 7 tanenin i e (5, ) (7, ) = 70 tane örtgen oluşturabilirleri, faat bunu a oluşturamıyorlar. ynı urumlar ve enarlarına oalanılığına oluşacağınan = 70 farlı örtgen çizme mümünür. oğru cevap: E. Örne. Yatay olan oğru ve iey olan oğru birbirlerine paralel oluğuna göre şeile aç farlı paralelenar varır? ) 5 ) 8 ) 0 ) 5 E) 0 Çözüm: ir paralelenar oluşturma için, bize yataylaran herhangi iisi ve ieyleren herhangi iisi lazım. O hale bu seçimi aç farlı şeile yapabileceğimizi bulmalıyız. en bulum: (, ) (, ) = 5 = 5. oğru cevap: E. Örne. Şeilei iörtgenin üzerine bulunan notayı öşe abul een en fazla aç tane üçgen çizilebilir? ) 90 ) 08 ) 0 ) E) 98 Çözüm: Yine tersten gieceğiz. nota ağını olsayı (, ) = 0 farlı üçgen çizme mümün oluru. ve enarları üzerinei 5 er nota oğrusal olmasaları (5, ) = 0 ar tane, ve enarları üzerinei er nota a oğrusal olmasaları (, ) = er tane üçgen oluştururları. O hale bu urumai çizilebilece üçgen sayısı 0 0 = 98 ir. oğru cevap: E. Örne. Şeile taralı airenin herhangi bir parçasını apsayan aç farlı iörtgen varır? ) 50 ) 0 ) 70 ) 90 E) 00 Çözüm: u sorua a tersten gitme aha fayalıır. Tüm iörtgen sayısınan taralı airenin herhangi bir parçasını apsamayan iörtgenlerin sayısını çıartacağız. Toplam (7, ) (5, ) = 0 farlı iörtgen varır. En sol ve en sağ sütunlarai arelerin oluşturuları iörtgenler taralı bölgenin herhangi bir parçasını apsamıyorlar. aalım sol sütuna öyle aç iörtgen var? (, ) (5, ) = 0 tane varmış, 0 tane e sağa varır. O hale cevap = 90 tane olmalıır. oğru cevap:. Örne. Yanai şeile aç farlı üçgen varır? ) 0 ) 5 ) ) 0 E) Çözüm: En büyü üçgene iyelim. Şele iat eilece olursa, üçgenlerin hepsinin bir enarının oğrusu üzerine oluğunu anlarız. üzerine 9 farlı nota oluğunan (9, ) = tane farlı nota iilisi bulunur. nota iilisinin belirttiği oğru parçasının tamamı farlı üçgene aittir. eme i şeile farlı üçgen mevcuttur. oğru cevap:. 75

5 Mustafa YĞI Geometri Kombinasyon Örne. Yanai üçgenine, ve notaları oğrusalır. una göre şeile aç farlı üçgen mevcuttur? ) ) ) 8 ) 50 E) 5 Çözüm: İi farlı yolan çözelim. irinci yol. en çıan ışınların herhangi iisiyle oğrusu farlı birer üçgen belirtir. ynı urum en çıan ışınlar için e geçerliir. ir e tabanı olup, tepesi [[ üstüne olan üçgenler e mevcuttur. Şimi saymaya geçelim: + + = İinci yol. Şeilei 9 nota çembersel olsayı (9, ) = 8 üçgen oluşuru. u 9 notaan üzerinei 7 nota a o uruma (7, ) = 5 tane üçgen oluşturacaları ama maalesef hiç oluşturmuyorlar. enzer şeile,, oğrusal notaları a üçgeni oluşturacağı yere oluşturmuyorlar. nlayacağınız 5 + = tane ayıp var. unu 8 ten çıartalım, cevabı bulalım: = 8 [ 5 + ] = 8. oğru cevap:. Örne. Yuarai şeile aç tane üçgen varır? ) 8 ) 0 ) 0 ) 0 E) 00 Çözüm: Üçgenlerin hepsini eşenar abul etmemiz çözümü etilemeyecetir. iğer yanan tüm üçgenlerin veya şeline ii gruba ayrılabileceğini e far eelim. ir enar uzunluğu x birim olup, tepe notası yuara olan üçgenleri xy, bir enar uzunluğu x birim olup tepe notası aşağıa olan üçgenleri e x ile gösterelim. Y üçgenlerinin aei = Y üçgenlerinin aei = Y üçgenlerinin aei = Y üçgenlerinin aei = Y üçgenlerinin aei = + + Y üçgenlerinin aei = + 7Y üçgenlerinin aei = üçgenlerinin aei = + üçgenleri aeinin = üçgenleri aeinin = Geriye saece bu toplamları toplama alı. en toplaım, 8 çııyor. oğru cevap:. Örne. Yanai şeile aç üçgen varır? ) ) ) ) 0 E) 0 Çözüm: enarı an çıan bir oğru gibi e üşünülebilir, en çıan bir oğru gibi e. iz arışılığa mahal vermeme için, iisine e ahil etmeyelim. enarını önce bir silelim. ir öşesi olan üçgenleri sayalım. an çıan ışınlaran ii tanesiyle en çıan bir ışını üşüneceğiz. (, ) (, ) = 8 tane böyle üçgen varır. Şimi bir öşesi olan üçgenleri sayalım. en çıan ii ışınla an çıan ört ışını üşüneceğiz. (, ) (, ) = tane e böyle üçgen varır. Etti 0 ve bu 0 üçgenin hiçbir enarı eğil. Şimi bunlara bir enarı olan üçgenleri e eleyeceğiz olaca bitece. ve notaları ışınai tüm esişim notaları tabanına tepe oluşturabilir. an çıan ışınla, en çıan ışın (, ) (, ) = = esim notası oluşturuğunan toplam olara 0 + = üçgen varır. oğru cevap:. Örne. ir üzgün altıgenin tüm öşegenleri çiziliğine ortaya çıan şeile aç farlı üçgen mevcuttur? ) 00 ) 0 ) 0 ) 0 E) Çözüm: u tarz sorulara, ayrı nota grupları belirleme aha avantajlıır. O 5 7 u niyetle altıgenin öşelerini,,,, öşegenlerin altıgen içinei esim notalarını,,,, altıgenin merezini e O iye alanıralım. i, j, {,,, } ve m, n, p {,,, } olma üzere F E 7

6 Mustafa YĞI Geometri Kombinasyon i j üçgenlerinin aei: = 0, i j m üçgenlerinin aei: = 8, i m n üçgenlerinin aei: = 8, m n p üçgenlerinin aei: 0, O i j üçgenlerinin aei: =, O i m üçgenlerinin aei: =, O m n üçgenlerinin aei: 0 oluğunan = 0 olara bulunur. oğru cevap:. Örne. ir üçgenin herhangi ii öşesine ait n şer esen, üçgeni aç parçaya ayırır? ) n ) n + ) (n + ) ) n E) n Çözüm: Önce herhangi bir öşeye ait n tane eseni çizelim. Üçgen n + üçgenciğe ayrılır. Sonra iğer bir öşeen çizilen il esen bu n + tane parçayı (n + ) parça yapar, iinci esen (n + ) parça yapar,, n ninci esen bunan olayı (n + ) (n + ) = (n + ) parçaya ayırmış olur. Eğer üçüncü öşeen e n tane esen çizilseyi ve en fazla esen te notaa esişmeseyi, üçgen (n + ) + n (n + ) parçaya ayrılırı. unu a siz anıtlayın oğru cevap:. Serar yüz hocamızın ço güzel bir sorusuyla örnelerimize evam eelim. Örne. Şeile, O, notaları oğrusal olup O O veriliyor. rışı oğrusal notalar arasınai uzalılar eşit oluğuna göre O şeilei gibi sabitlenmiş 7 nota aç i üçgen belirtir? ) 8 ) ) 0 ) E) 8 Çözüm: Notaları şeilei gibi alanıralım. O i ve j {,,, } olma üzere, il göze çarpan i üçgenler i O j üçgenleriir. farlı ve farlı notası oluğunan farlı i O j üçgeni çizilebilir. O O u aar ayan beyan görülmeyen i üçgenler e mevcuttur. Muhteşem üçlü gereği i i i ve j j j üçgenleri e itir. i ve j eğişenleri er farlı eğer alabiliğinen farlı i i i üçgeni ve farlı j j j üçgeni varır. Sonuç olara bu 7 nota + + = farlı üçgen belirtir. oğru cevap:. Örne. Herhangi iisi paralel olmayan ve üçü te notaa esişmeyen n tane oğru, üzerine bulunuları üzlemi aç bölgeye ayırır? ) n ) n + ) (n + ) ) nn+ ( ) E) nn+ ( ) + Çözüm: Önce te oğru aç bölgeye ayırıyor ona baalım, sonra iinci oğruyu çizelim, şimi baalım, sonra üçüncüyü Görülen o i; oğru bölgeye ayırıyor, oğru bölgeye ayırıyor, oğru 7 bölgeye ayırıyor, oğru bölgeye ayırıyor iat ettiyseniz, bölge sayısı önce arttı, sonra, sonra. O hale iinci ereceen bir ilişi var oğru ile bölge sayıları arasına. Sabit artsayı birinci ereceen eri.,, 7,, sayılarının özelliği birer esilerinin yani,,, 0, sayılarının en başlayan sayma sayılarının toplamlarının sonucu oluğuur. nn+ ( ) O hale n oğru üzlemi + bölgeye ayırır. oğru cevap: E. 77

7 Mustafa YĞI Geometri Kombinasyon ulmaca Tablosunai Kare Sayısı Önce satır sayısıyla sütun sayısı aynı olan bir bulmaca tablosuna sayalım. Sonra ullanığımız teniği her türlü tablo için genelleştireceğiz. Örne olara boyutuna bir tablo çizelim. E F E F Kare sayısını hesaplama, iörtgen sayısını hesaplamaya göre biraz çetrefilliir ama olayır. ir enarı birim olan areleri, birim olanları ayrı, birim olanı ayrı ayrı hesaplama lazımır. Hesaplayalım: ir enarı birim olan areler rahatlıla görüleceği üzere = taneir. ir enarı birim olan arelerse şöyle hesaplanır: E F E F Önce saece en üsttei ii satırla yani satırıyla başlayalım. satırına yuvarlala gösterilmiş 5 tane bir enarı birim olan are varır. E böyle,,, E, EF olma üzere 5 farlı iili satır oluğunan 5 5 = 5 tane bir enarı birim olan are varır. u işlemlere aynı şeile evam eilirse, bir enarı birim olan are sayısının =, bir enarı birim olan are sayısının = 9, bir enarı 5 birim olan are sayısının = ve son olara bir enarı birim olan are sayısının a = oluğu görülür. O hale toplam are sayısı T = = ( i ) = = 9 i= olara bulunur. Eğer bulmaca tablosu boyutuna eğil e n n boyutuna olursa toplam are sayısı n n ( n+ ) ( n+ ) ( i ) = i= formülüyle hesaplanabilir. Üsttei problemi nasıl çözüyse, aynısını ullanara anıtlayabilirsiniz. Eğer satır sayısıyla sütun sayısı farlıysa ne yapacağımızı a anlatalım: Örne olara, 5 satır ve sütunan oluşan bir bulmaca tablosu çizelim. E E F ir enarı birim olan areler rahatlıla görüleceği üzere 5 = 0 taneir. E E F ir enarı birim olan arelerse şöyle hesaplanır: Önce saece en üsttei ii satırla yani satırıyla başlayalım. satırına yuvarlala gösterilmiş 5 tane bir enarı birim olan are varır. E böyle,,, E olma üzere farlı iili satır oluğunan 5 = 0 tane bir enarı birim olan are varır. u işlemlere aynı şeile evam eilirse, bir enarı birim olan are sayısının =, bir enarı birim olan are sayısının = ve son olara bir enarı 5 birim olan are sayısının = tane oluğu görülür. O hale toplam are sayısı T = olara bulunur. 5 i= 5 (( i ) i) = + ( i i) = + i= 5 5 = + = 70 Eğer bulmaca tablosu 5 boyutuna eğil e m n boyutuna olursa (m > n) toplam are sayısı n i= 0 (( ) ( )) T = m i n i formülüyle hesaplanabilir. Üsttei problemi nasıl çözüyse, aynısını ullanara anıtlayabilirsiniz. slına hepsinin suyunu sıınca şu alıyor: Önce tablo boyutunu yazın, m n şeline. aha sonra hem m yi hem n yi er azalatara çarpmaya evam ein, taa i biri 0 olana aar. Sonra o çarpımları toplayın! 78

8 Mustafa YĞI Geometri Kombinasyon TMOZ grubunan Yasin Temizan hocam, bu tip sorular için alternatif bir çözüm önermiş. izim önerimiz yuara anlatılanlarır ama farlı bir baış açısı olması masaıyla veriyoruz. Yuarai şeilleren e görülüğü üzere öşegeni [] olan te are varır. Yani her yatay [] oğru parçası bir areyi simgelemeteir. O hale problemi aç eğişi [] çizilebileceği üzerine uracağız. a b c a b c e e f a, b, c,, e, f oğrularının üstüne sırasıyla,,, 5,, 7 nota oluğunan bu oğrular üzerinei herhangi ii tane nota, eğişi bir [] belirtecetir. Yalnız a, b, c,, e oğrularınan iişer tane oluğunan, onları yle çarpacağız. O hale tabloai are sayısı = 9. Örne. birim areen oluşturulmuş yanai areei alanı br olan aç farlı iörtgen varır? ) ) ) ) E) 8 Çözüm: Eğer bir iörtgenin alanı br ise bu iörtgenin ebaı ya x ya a x olmalıır. Önce ebaı x olan iörtgenleri sayalım. Sağ şeilen e görülüğü üzere iey olara 5 tane, yatay olara a 5 tane olma üzere toplam 0 tane böyle iörtgen varır. Şimi e ebaı x olanları sayalım. En alt satıra böyle tane iörtgen olup satır satır yuarı çıarsa yatay pozisyona tane böyle iörtgen sayarız. tane e iey var. Etti tane. Ebaı x olan 0 taneyle birlite toplam tane iörtgen varır. oğru cevap:. Örne. birimareen oluşturulmuş yanai bulmaca tablosunun aresi, her satır ve sütuna saece tane are boyalı olaca şeile aç farlı şeile boyanabilir? ) ) 00 ) 0 ) 0 E) 70 Çözüm: İl sütunan başlayalım. İl sütunai areyi e boyayabiliriz. Herhangi birini boyaıtan sonra iinci sütun için 5 seçene alır. Üçüncü sütun için, örüncü sütun için, beşinci sütun için ve son sütun için seçeneğimiz oluğunan toplam 5 =! = 70 farlı şeile boyama gerçeleştirilebilir. oğru cevap: E. Örne. birim areen oluşturulmuş yanai areei iörtgen sayısı are sayısınan aç fazlaır? ) 50 ) 80 ) 0 ) 0 E) 50 Çözüm: Önce aç iörtgen oluğunu bulalım. 7 iey ve 7 yatay oğru oluğunan, iörtgen sayısı (7, ) (7, ) = =, are sayısı a 7 ( i ) = = 9 i= oluğunan cevap 9 = 50 olmalıır. oğru cevap: E. Meralısına ir Soru. ir öncei soruyu yazıtan sonra, bulmaca aresini biraz büyüteyim, bir e öyle çözeyim eim. Sonra a are büyüse e teni eğişmiyor i, bari her satır ve sütunai boyanaca are sayısını iiye çıarayım eim. emez olayım! en problemin altınan alamaım, beli siz bir şeyler bulabilirsiniz. 00 birimareen oluşturulmuş yanai bulmaca tablosunun 0 aresi, her satır ve sütuna saece tane are boyalı olaca biçime aç farlı şeile boyanabilir? 79

9 Mustafa YĞI Geometri Kombinasyon EVPLI TEST. Yanai şeile yatay olan oğru ve iey olan 7 oğru birbirlerine paralel oluğuna göre şeile aç farlı paralelenar var?. eşi oğrusunun, altısı a ye paralel olan oğrusunun üzerine bulunan farlı nota aç üçgen belirtir? ) 90 ) 05 ) 0 ) 5 E) 5 ) 5 ) 0 ) 08 ) E) 8. Yan şeile yatay olan oğru ve iey olan 7oğru birbirlerine paralelir. una göre şeile bir öşesi olan aç farlı paralelenar var? 7. eşi oğrusunun, altısı a ye paralel olan oğrusunun üzerine bulunan farlı nota aç örtgen belirtir? ) 50 ) 0 ) 5 ) 80 E) 0 ) 8 ) 0 ) ) 0 E). Yatay olan oğru birbirlerine paralel olup 5 farlı oğru bunları şeilei gibi esmeteir. Şeile aç farlı yamu varır? 8. notası başa notayla birlite oğrusunun üstüneir. u oğruya paralel bir oğrusu a ayrı notaya sahiptir. u nota, aç farlı bir öşesi olan üçgen belirtir? ) ) 9 ) 0 ) E) 5 ) 5 ) 0 ) ) 7 E) 90. Yanai şeil 0 üçü iörtgenen oluşmuştur. Şeile aç farlı iörtgen var? 9. eşi oğrusunun, altısı a ye paralel olan oğrusunun üzerine bulunan farlı nota en ço aç eğişi oğru parçası belirtir? ) 0 ) 5 ) 5 ) 8 E) 55 ) 0 ) 0 ) 0 ) 90 E) eşi oğrusunun, altısı a ye paralel bir oğrusunun üzerine bulunan farlı nota en ço aç oğru belirtir? 0. Şeile paralel olan üç oğru ile bu oğruları esen notaaş oğru görülmeteir. u 9 oğru bu onumlarıyla aç farlı üçgen belirtirler? ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 E) 50 ) ) 0 ) ) E) 0 80

10 Mustafa YĞI Geometri Kombinasyon EVPLI TEST. irer notaları orta ve oğruları şeilei gibi 0 nota taşımataırlar. Köşeleri bu notalar olan aç farlı üçgen çizilebilir?. 0 birimareen oluşturulmuş yanai iörtgene aç farlı are mevcuttur? ) 9 ) 85 ) 78 ) 75 E) 70 ) 0 ) 70 ) 80 ) 90 E) birimareen oluşturulmuş yanai aree, içine yılız işareti bulunmayan aç eğişi are varır?. ir üçgene bir öşeye ait, bir başa öşeye ait esen çizilirse, oluşaca yanai şeile aç farlı üçgen mevcuttur? ) 5 ) ) ) 0 E) 8. Yanai şeile aç farlı üçgen varır? ) 9 ) 70 ) 7 ) 7 E) birimareen oluşturulmuş yanai arenin 5 farlı birim aresi her satır ve sütuna saece tane boyalı birim are olaca şeile aç farlı şeile boyanabilir? ) 0 ) 50 ) 0 ) 08 E) 90 ) ) 8 ) ) E). İi notaları orta bir çember ile bir l oğrusu verilmiştir. Üzerlerinei bu 8 nota aç farlı üçgen belirtir? l 9. Yanai şeile aç farlı aire ilimi varır? ) 5 ) ) 75 ) 90 E) ) ) 8 ) 50 ) 5 E) 5 5. birim areen oluşturulmuş yanai aree aç farlı are varır? 0. Yanai şeile, L, oğruaş, L, oğruaş oluğuna göre şeile aç farlı üçgen varır? ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 E) 0 L ) 7 ) 8 ) 9 ) 00 E) 09 8

11 Mustafa YĞI Geometri Kombinasyon. Farlı oğrular üzerinen alınan herhangi ii nota oğrusal olmaığına göre şeile verilen 9 notaan herhangi üçünü öşe abul een aç farlı üçgen çizilebilir? EVPLI TEST F E G H K. oğru en az aç tane esim notası oluşturur? ) 0 ) ) ) 5 E) 0 ) 5 ) ) 8 ) 70 E) 7 7. oğru en fazla aç tane esim notası oluşturur?. Şeile verilmiş olan notaları öşe abul een en ço aç farlı üçgen çizilebilir? K F L M N E ) 0 ) ) ) 5 E) 0 R Q P ) 7 ) 8 ) 9 ) E) 8. enarlı bir çogenin aç öşegeni varır? 8. ir üçgenin herhangi ii öşesine ait 7 şer esen, üçgeni aç parçaya ayırır? ) 5 ) ) 9 ) E) 8 ) 5 ) 0 ) 7 ) 7 E). Yirmi enarlı bir çogenin belli bir öşesinen aç farlı öşegen çizilebilir? 9. Herhangi iisi paralel olmayan ve üçü te notaa esişmeyen 5 tane oğru, üzerine bulunuları üzlemi aç bölgeye ayırır? ) 5 ) ) 8 ) 0 E) ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 E) 5. Yirmi enarlı bir çogenin toplam aç öşegeni varır? 0. n tane nota en ço 0 tane üçgen belirtiyorsa, en ço aç tane beşgen belirtebilir? ) 5 ) ) ) 5 E) ) 70 ) 0 ) 50 ) 0 E) 0 8

12 Mustafa YĞI Geometri Kombinasyon EVPLI TEST. n tane üçgen en ço aç esişim notası oluşturabilir? ) ) ) ) E). Yanai yamu içine çizilen oğru parçaları tabanlara paralelir. una göre şeile aç farlı yamu varır? ) 0 ) 5 ) ) 8 E). n tane çember en ço esim notası oluşturabilir? ) ) ) ) E) 7. ir oğru bir çemberi ii notaa esiyor. oğrunun çemberi estiği notalar ve, çemberin üzerinei iğer farlı nota, ve E, oğrunun üzerinei iğer farlı nota ise F ve G ir. una göre bu notalar aç tane üçgen belirtir? ) ) 5 ) ) E) 8. n tane are en ço aç esim notası oluşturabilir? ) ) ) ) E) 8 8. Yan şeile işaretlenmiş 9 nota aç farlı üçgen belirtir?. Herhangi iisi paralel olmayan oğrunun ü bir notaa, başa notası a ayrı bir notaa esişmeteirler. u oğrular en ço aç esim notası oluştururlar? ) ) 7 ) 8 ) 9 E) 50 ) 75 ) 7 ) 79 ) 80 E) 8 9. tane farlı patlıcan özlenecetir. nca her ii patlıcan bir şişe taılacatır. una göre aç farlı şişleme işlemi yapılabilir? )!! )! )!! ) E) 5. ÖSS 000 üçü areen oluşan I. şelin her satır ve her sütununa bir ve yalnız bir üçü are aralanara II. şeilei gibi esenler ele eilmeteir. I.Şeil II.Şeil u urala göre, en ço aç farlı esen ele eilebilir? 0. 8 çemberin esişmeleri sonucuna oluşabilece en ço nota sayısı en az nota sayısınan ne aar fazlaır? ) 8 ) 7 ) ) 7 E) Sonsuz ) ) 0 ) ) E) 8