ITAP Fizik Olimpiyat Okulu

Transkript

1 n 8 Eylül Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventilav Dimitrov) Konu: Karmaşık ekanik Soruları Soru. Yarıçapı R olan iki homojen küre yatay pürüzüz bir çubuğa şekildeki gibi geçirilmiştir. Kütlei m olan hareketiz küreye, yay abiti k, uzunluğu ie R olan bir yay bağlıdır. Kütlei m olan küre, v hızı ile hareket etmektedir. Yayın makimum ıkışma miktarını ve küre ile yay araındaki tema üreini bulunuz. ci Çözüm: Denklemleri daha kıa yazmak için şu birim itemini kabul edelim: m, R, v, ıraıyla kütle, meafe ve hız birimi olarak kullanalım. Buna göre, R meelat,zaman, E mv ie enerji birimi olacaktır. v Sitemi Laboratuar (L) referan itemine göre inceleyelim. Ciimlere etki eden kuvvetler şekildeki gibidir. Bu şekle göre konumları x ve x olan ciimlerin hareket denklemleri şunlardır: && x Fx 7 & x & x Fx. Hook yaaına göre F x k( L( t) L() ), burada && x Fx L ( t) x x yayın uzunluğu zamana bağlı fonkiyondur. Yani 7 u&+ & ku () Burada u L( t) L() x x 8. İlk anda u( ) ve u& ( ) v v dir. Denk() ilk koşullarıyla birlikte şu şekli alıyor: 7 u && + ku u& () () u() Denk() in çözümü ie harmonik bir titreşim denklemidir: u( t) Aco( ω t + α ) (3) 7 Burada ω k açıal frekan, A ve α ie abittir. Denk(3) ye göre

2 Aω inα u& () A ω Acoα u() π α. u( t) inωt (4) Buradan yayın ıkışmaının makimumu R k 7 mv / R v m ye eşittir, boyutlu şeklinde (Cevap). Yay ile küçük küre araındaki tema ürei yarı T periyottur T m π boyutlu şeklinde ie π (Cevap). ci Çözüm: Hareketi kütle merkezi (C) referan itemine göre inceleyelim. Bu referan itemine göre ciimlerin ilk anda (çarpışma başlamadan bir an önce) hızları: vc v VC. Burada v, v ciimlerin çarpışmadan bir an önce L- v v V c C mv + m itemine göre hızlarıdır, V C v ie kütle merkezin hızıdır. Yani 7m 7 7 vc 7. () v c 7 Sitemin toplam enerjii, E Ek + k( L) Ei () Burada E i itemin çarpışmadan bir an önce ( L iken) enerjiidir: 3 ( E i mvc + mvc ) + (3) Denk() den k( L) Ek ye eşit olduğu gözleniyor, yani yay makimum 7 ıkıştırıldığında (E k iken) ( L) max. Buradan ( L) max bulunuyor, boyutlu m max v (Cevap). C iteminde yayın ıkışmaı bilinen bir ω açıal frekanı ile harmonik şeklindedir (birinci küre ile yay araında tema var olduğu ürede, yani yarım periyot zaman m içinde). Bu titreşimde konum genliği ( L) max v, hız ie ciimler araındaki şeklinde ie ( L) makimum bağıl hızdır, yani v dir. Buradan v ( L) m ω max ωv, yani

3 ω m, yarım periyot ie (tema ürei) T m π ya eşittir. (Cevap) mx mx 3cü Çözüm: C referan iteminde kürelerin kütle merkezi konumu x + C 7m her bir an için tanım olarak ıfırdır, yani her bir an içinx x. Birinci küre yayın erbet ucu ile tematayken bu konumlar yayın uçlarının konumlarıdır ve yayı : oranla bölen yayın noktaı bu üreçte hareketiz olup C referan itemin başlangıç noktaıdır. Yani kütle merkezi nokta yayı C noktaya aılan iki bağımız yaya böler. k k Yayların abitleri yayın uzunluğuna ter orantılıdır: buna göre k ve k, 7 7 k k k k titreşimlerin açıal frekanları ie ω ve ω birbirine eşit m 7m m 7m k T m olup ω dir. Tema yatım periyot olarak π ya eşittir. (Cevap) 7m vc max v Lmax ω 7ω Titreşimlerin genlikleri ye eşittir. Buradan yayın makimum vc max v L max ω 7ω ıkışma miktarı L L + L v v v + 7ω 7ω ω max max max v 7m ya eşittir. (Cevap) k

4 Soru. Açıı α olan eğik bir düzlemde kütlei olan kalın duvarlı bir boru kaymadan yuvarlanmaktadır (şekildeki gibi). Borunun kütle merkezinin ivmeini ve düzlemle araındaki ürtünme kuvvetini bulunuz. Harekette kayma olmamaı için ürtünme katayıı µ ve açı α araındaki naıl bir bağlantı olmalıdır? (Yer çekim ivmei g dir, hava ürtünmeini ihmal ediniz). Çözüm: Boruya etki eden kuvvetler şekildeki gibidir. Yuvarlanmada hareket denklemleri aşağıdaki gibidir: a F () R ε τ () Burada a borunun laboratuar (L) referan itemine göre kütle merkezinin eğik düzleme paralel olan ivmeinin bileşenidir, F boruya etki eden net kuvvetin eğik düzleme paralel olan bileşenidir, ε açıal ivme, τ kuvvetlerin kütle merkezine göre alınan net momentidir, R ie borunun yarıçapıdır. Kayma olmadığı durumda v ωr veya a εr (3) Denklemleri daha kıa yazmak için, R ve g, ıraıyla kütle, meafe ve ivme birimi olun. Buna göre kuvvet birimi F g dir. Şekle göre F in α F, moment ie τ F (F ürtünme kuvvetidir). Buradan Denk(-) şu şekilde yazılabilir: a inα F (4) a F Buradan a inα, F inα ; boyutlu şeklinde ie a g inα ve F g inα (Cevap). Sürtünme kuvvetin makimum değeri µ N µ coα olduğuna göre F in α µ coα. Buradan tanα µ olmalıdır. (Cevap)

5 Soru 3. Kütlei m olan bir hokey taşı, pürüzüz yatay bir düzlemde bulunan, kütlei ve eğim açıı α olan bir eğik düzlemde ürtünmeiz kaymaya başlamaktadır. Eğik düzlemin ivmeini, taşın eğik düzleme etki ettiği kuvveti ve taşın hızının yatayla yaptığı açıyı bulunuz.(yer çekim ivmei g dir) Çözüm: Denklemleri daha kıa ve boyutuz şeklinde yazmak için ve g ıraıyla kütle ve ivme birimi olarak alalım, buna göre kuvvet birimi F g olacaktır. Ciimlere etki eden kuvvetler şekildeki gibidir. Eğik düzleme etki eden net kuvvet yatay yönde olup a F N () ivme oluşturuyor, burada inα, N ie m cime etki eden tepki kuvvetidir. Aynı anda R Fc, burada c coα ama bu denklem ilerde lazım olmayacaktır. m cimin eğik düzlem ile bağlı olan bir referan iteme göre incelemei en uygundur, fakat bu referan item eylemiz değildir onun ivmei a e eşittir. Bu itemde m cimine F i ma mn ek bir eylemizlik kuvveti etki etmektedir. m ciminin eğik düzleme göre dik yönde yer değişimi olmadığı için bu yönde net kuvvetin bileşeni ıfır olmalıdır: N + mn mc mc F N () + m mc mcoα Denk(-) ye göre a, boyutlu şeklinde ie F g (Cevap) ve + m + m.in α mcoα inα a g (Cevap) + m.in α Hokey taşın hızı ilk anda ıfır olduğu için hızı zamanla ivmeine paralel olacaktır. Buna göre hızın yatayla açıı (β) ivmenin yatayla açıına eşit olacaktır, yani ay tan β, burada a a taşın yere göre ivmeidir (a x ve a y ie ivmenin x bileşenleridir). Şekle göre ax N. (3) ay m Nc m c + m Denk()-(3) ten tan β c ( + m) N c, boyutlu şeklinde ie c in α ( + m ) + m tan β β arctan tanα (Cevap) co α

6 Soru 4. Kütlei m olan bir ciim, pürüzüz yatay bir düzlemde bulunan, kütlei ve eğim açıı α olan bir eğik düzlemin tepeine yay abiti k olan bir yayla bağlıdır (şekildeki gibi). Sitemin yapacağı harmonik titreşimin periyotunu bulunuz. (Yer çekim ivmei g dir) Çözüm: Denklemleri daha kıa ve boyutuz şeklinde yazmak için m, g ve k ıraıyla kütle, ivme ve yay abitin birimi olarak alalım, buna göre kuvvet, meafe ve mg m zaman birimi ıraıylaf mg, L ve T olacaktır. m cimine etki eden k k kuvvetler şekildeki gibidir. Problemi eğik düzleme bağlı olan bir referan itemine göre inceleyelim. Fakat bu item ivmelidir ve N ivmei a ' ye eşittir. Burada inα, N ie cime etki eden tepki kuvvetidir. Buna göre bu referan iteminde cime ek olarak N F i ma eylemizlik kuvveti etki etmektedir. Ciim eğik düzleme dik yönde hareket etmediği için bu yönde bileşke kuvvet N ıfırdır, buradan N + c, burada c c coα dır. Yani N. Buna göre cimin kütleine orantılı olan kuvvetin eğik + N Nc c düzleme paralel olan bileşkei G + c + me +. Burada + m c + e + m cimin eylemiz olmayan referan iteminde etkin kütleidir. Bu durumda ciim yay abiti k olan bir yayın ucuna bağlı olduğunda titreşim periyotu me c T π π + olacaktır. k + T Boyutlu şeklinde ie: c m + m πt + π k + min + m α. (Cevap)

7 Soru 5. Hafif kütleli bir çubuğun uçlarına kütleleri m olan iki tane özdeş kürecik tutturulmuştur. Çubuk başlangıçta yatay pürüzüz bir düzlemde düzleme dik olarak bulunmaktadır. Küçük bir itmeyle çubuk ağa doğru dikey durumdan aptırılıyor. Sağ küre düzleme çarpmadan hemen önce anda ol küre düzleme naıl bir etki uygulamadadır? (Yer çekim ivmei g dir) Çözüm: Denklemleri daha kıa ve boyutuz şeklinde yazmak için m, g ve R ıraıyla kütle, ivme ve meafe birimi olun, burada R çubuğun uzunludur. Bilinen bir anda düşey ile çubuk araındaki açı α olun, şekildeki gibi. Çubuğun hareket denklemleri bir katı cimin denklemleridir: a F Iε τ Burada a kütle merkezinin ivmei, itemin toplam kütlei, F mg + N bileşke kuvvet, ε açıal ivme, I kütle merkezinden geçen dönme ekenine göre eylemizlik momenti, τ ie kütle merkezine göre kuvvetlerin bileşke momentidir. (N zeminden kaynaklanan tepki kuvvettir) Çubuğun hareketi için Denk() ri kalar şeklinde yazalım: a N ε N () Burada inα ve m ve I mr bağlantılar üzere alınmıştır. Kürelerin hızları (v ol, v ie ağa kürenin hızı) Laboratuvar (zemin) referan itemine göre aşağıdaki gibidir: v vc + ω R v vc + ω R (3) Burada ω açıal hız, R ie kütle merkezine göre kürelerin konum vektörüdür. Denk(3) Karteziyan koordinat şeklinde de yazılabilir: v ωrci + ( ωr vc ) j v ωci + ( ω vc ) j (4) v ωrci + ( ωr vc ) j v ωci + ( ω vc ) j Burada c coα ve R olduğu üzere alınmıştır. Zemindeki kürenin hızının dikey bileşeni ıfır olduğuna göre Denk(4) ten v C ω inα (5) bağlantıı gözleniyor. Şimdi, enerji koruma yaaını kullanarak açıal hızı ve ivmeyi a açının fonkiyonu olarak bulalım. Çubuğun mekanik enerjii E Ek + Ep Iω + vc + gyc ω + vc + coα ya eşittir. Başlangıçta ( vc, ω, α ) E i, buradan ω + v C ( c) () ( c) Denk(5-) ya göreω veya + ()

8 ( coα ) ω (7) + in α Denk(7) in zamana göre türevini aldığımızda ( + ) ( c) cdα ( + ) ( c) c ω ε ε veya + + ( ) dt ( + in α ) ( coα ) ( + in α ) ( ) inα coα inα ε (8) dα π Burada ω üzere alınmıştır. α iken (ikinci küre zemine çarpmadan bir an dt ( + ) ( ) ε önce) ε ve Denk() ye göre N. Boyutlu şeklinde ie ( + ) N mg. (Cevap)

9 Soru. Bir nükleerin uyarılmış durumundan temel durumuna geçiş ürecinde yayınladığı elektromanyetik dalgaya gama ışınımı denir. Ter geçişte oğuran dalgaya ie gama oğurma denir. 9 Sn kalay atomun nükleeri v3m/ hızı ile hareket etmektedir ve hareketin yönü boyunca bir γ-fotonu oluşuyor ve bu foton başka bir hareketiz kalay atomun tarafından oğuruyor. γ-fotonun enerjiini bulunuz. Hareketiz kalay nükleerin enerjii E m c 8 n 3GeV, c 3 m /. Işınlamada da oğurmada da geçişler nükleerin aynı enerji eviyeleri araında yer almaktadır. Çözüm: m, c ıraıyla kütle ve hız birimi olun (buna göre ε mc enerji, p mc ie lineer momentum birimi oluyor). γ-foton nükleerin enerjiinin E kadar değişiminden olduğundan kabul edelim. Nükleer-foton itemin enerjii ve lineer momentumu (bir boyutlu hareket için) koruma yaalarına göre aşağıdaki ifadelerle veriliyor: p p f En + Enf + + Eγ () p pf + pγ Burada E n nükleerin iç enerjii, p n ie nükleerin lineer momentumu ışımadan önce, E nf ve p f ie ışınadan onradır. E hf γ fotonun enerjii, h Eγ p γ E λ c γ ie lineer momentumudur; h Planck abiti, f dalganın (fotonun) frekanı, λ dalga boyu, c ie ışık hızıdır. Verilere göre E E n Enf, yani p pf E + + Eγ Eγ p pf + pf + Eγ c Eγ E Eγ + pe y () Soğurma olayında (foton ile çarpılan nükleerin momentumu p iken) koruma ps En + Eγ Enf + Eγ yaalarına göre ve p γ Eγ üzere alıp p p c γ S Eγ E Enf En Eγ buluruz. (3) Eλ Eλ Denk()-(3) ten Eγ E peγ E γ p. Boyutlu şeklinde ie E γ p v E γ mc (Cevap). Verilere göre ayıal cevap: Eγ 3keV ε c p

10 Soru 7. Yay abiti k olan pürüzüz yatay bir düzlemde bulunan bir yayın uçlarına kütleleri m olan iki tane özdeş kürecik bağlıdır (şekildeki gibi). Kütlei m olan bir kürecik v hızı ile ağıdaki küreye çarpıp küreye yapışıyor. İki periyot titreşim yapıp item duvara çarpıyor. Duvar ile yay araındaki ilk meafeyi bulunuz. Çözüm: m, k ve v ıraıyla kütle, yay abiti ve hız birimi olun. Buna göre m m zaman τ, meafe birimi ie l v ye eşittir. İlk çarpışma enek olmadığı k k için 3m kütleli cimin hızı lineer momentum koruma yaaına göre çarpışmadan hemen onra 3 v, itemin kütle merkezi hızı ie 4 V C dir, yani V C. Buna göre duvarla yay araındaki meafe S VC T T ye eşittir. () Sitemin titreşimini ol küreye göre bağıl titreşim olarak inceleyelim (titreşim periyodu her bir referan itemde aynıdır). İki cimin birbirine göre bağıl hareket mm denkleminde, µ a F, µ m + m indirgenmiş kütle, F ie ciimler araındaki m 3m 3 kuvvettir. Örnekte µ, F ie abiti k olan bir yay kuvvetidir. Buna göre m + 3m 4 µ 3 titreşim periyotu T π π π 3 ye eşittir. Duvar ile yay arındaki meafe k 4 de Denk() re göre S π 3 tür. Boyutlu şeklinde 3m S π 3l πv. (Cevap) k

11 Soru 8. Eğim açıı α, kütlei ie olan eğik bir düzlem pürüzüz yatay bir düzlemde durmaktadır. Kütlei m olan küçük bir hokey taşı yatay düzleminde eğik düzleme doğru v hızı ile hareket etmektedir ve hareketi yumuşak bir şekilde eğik düzleme geçiş yapıyor. Ne kadar zaman onra hokey taşı yatay düzleme dönecektir? Çözüm: m, v ve g, ıraıyla kütle, hız ve ivme birimi olun. Ciimlere etki eden kuvvetler şekildeki gibidir. Eğik düzleme etki eden net kuvvet yatay yönde olup düzleme ivme kazandırıyor: F N a, burada inα, N ie m cime etki eden tepki kuvvetidir. m cimin incelemei eğik düzlem ile bağlı ve ivmei a olan bir referan iteme göre en uygundur. Bu N itemde m cime F i ma ek bir eylemizlik kuvveti etki etmektedir. m cimin eğik düzleme göre dik yönde yer değişimi olmadığı için bu N yönde net kuvvetin bileşeni ıfır olmalıdır: N + c, burada c coα, yani c F N () + Denk() re göre m cimin ivmei eğik düzlemde aşağı doğru olup N c a + c + ye eşittir, yani + + a () + Enerji ve lineer momentum korunma yaaına göre ciim eğik düzlemde en fazla h L yol alabilir, burada yükeklik h korunma yaa denklemlerinden bulunur mgh + ( m + ) v mv h + ( + ) v h ( m + ) v mv ( + ) ( + ) v L + (3) ( ) Bu meafeyi hokey taşı L + t + ürede a ( + ) ( + ) ( + ) geçmektedir. Taş eğik düzlemden yatay düzleme toplam onra dönecektir. Boyutlu şeklinde ie v T + T t m ( m + ) g in α v durumunda (eğik düzlem hareketiz haldeyken) T. g inα ( + ) + (Cevap) >>m

12 Soru 9. Kütlei m olan hareketiz bir ilindire yay abiti k olan bir yayla kütlei m olan bir ciim aılıdır. Bilinen bir anda ilindir erbet bırakıyor ve ekeni her bir anda dikey durumunda olup yer çekim alanında düşmeye başlıyor. Yay bir buçuk periyotluk titreşim yaptığında ilindir ne kadar yol alacaktır? Çözüm: Sitem erbet bırakıldığında g ivmeiyle düşmeye başlıyor. Titreşimi itemin kütle merkezi referan iteme göre inceleyelim. Bu itemde yayın ucunda bulunan cime net etkin yer çekim kuvveti ıfırdır (eylemizlik kuvvet yer çekim kuvvetine eşit olup zıt yöndedir), yani adece yay iç kuvveti etki etmektedir. Buna m göre ilindire bağıl olarak baktığımızda kütleyi indirgenmiş gibi almalıyız: µ, m titreşim periyotu ie T π ya eşittir. k π Silindirin konumu kütle merkezine göre x x Aco t dir, burada x bilinen bir T mg abit, A titreşimin genliğidir. Buna göre t.5t ürede ilindirenin kütle k merkezine göre yer değişimi x Aco 3π + A A dır. Silindirin yere göre yer değişimi ie 9 9 mg mg 9 mg x x + xc gt + A π + x π + (Cevap) 8 4 k k 4 k

13 Soru. Hafif kütleli bir çubuğun uçlarına kütleleri m olan iki tane özdeş kürecik tutturulmuştur. Çubuk başlangıçta bir birine dik olan iki tane pürüzüz duvarların köşeinde dikey durumda bulunmaktadır. Küçük bir itmeyle yatay düzlemde kürecik harekete geçiriliyor. Üt küre dikey duvardan ayrıldığı anda yatay düzlemin tepki kuvvetini bulunuz. (Yer çekim ivmei g dir) Çözüm: Denklemleri daha kıa ve boyutuz şeklinde yazmak için m, g ve R ıraıyla kütle, ivme ve meafe birimi olun, burada R çubuğun uzunludur. Bilinen bir anda düşey ile çubuk araındaki açı α olun, şekildeki gibi. Çubuğun hareket denklemleri bir katı cimin denklemleridir: a F Iε τ Burada a kütle merkezin ivmei, itemin toplam kütlei, F m g + N + N bileşke kuvvet, ε açıal ivme, I kütle merkezinden geçen dönme ekenine göre eylemizlik momenti, τ ie kütle merkezine göre kuvvetlerin bileşke momentidir. (N zeminden, N ie duvardan kaynaklanan tepki kuvvettir) Çubuğun hareketi için Denk() ri kaler şekilde yazalım: ax N ay N ε N N c () Burada inα, c inα ve m ve I mr olarak kullanılmıştır. Kürelerin hızları (v ol, v ie ağa kürenin hızı) Laboratuar (zemin) referan itemine göre aşağıdaki gibidir: v vc + ω R v vc + ω R (3) Burada ω açıal hız, R ie kütle merkezine göre kürelerin konum vektörüdür. Denk(3) Kartezyen koordinatlara göre de yazılabilir: v ( vcx ωrc) i + ( vcy + ωr) j v ( vcx ωc) i + ( vcy + ω) j v ( vcx + ωrc) i + ( vcy ωr) j v ( vcx + ωc) i + ( vcy ω) (4) j Burada R olarak alınmıştır. Zemindeki kürenin hızının dikey, duvardaki kürenin ie yatay bileşeni ıfır olduğuna göre Denk(4) ten vcy ω v C ω vcx ωc (5) bağlantıı gözleniyor. Şimdi, enerji koruma yaaını kullanarak açıal hızı ve ivmeyi a açının fonkiyonu olarak bulalım. Çubuğun mekanik enerjii E Ek + Ep Iω + vc + gyc ω + vc + coα ya eşittir. Başlangıçta ( vc, ω, α ) E i, buradan ω ( c) veya ω ( coα ) () Denk() in zamana göre türevini aldığımızda ()

14 dα ω ε inα ε inα (7) dt dα Burada ω üzere alınmıştır ve Denk() ye göre dt N + N cotα (8) BuradanN iken N. Boyutlu şeklinde ie N mg. (Cevap)

15 Soru. Bir nükleerin uyarılmış durumdan temel duruma geçiş ıraında yayınladığı elektromanyetik dalgaya gama ışınımı denir. Ter geçişte oğurulan dalgaya ie gama oğurma denir. Hareketiz olan 9 Sn kalay nükleeri uyarılmış durumdayken enerjii Eγ.5keV olan γ-fotonu ışınlıyor. Bu foton karşıına belirli bir hız ile gelen 9 Sn nükleer tarafından oğuruluyor. Nükleerin hızını bulunuz. Hareketiz kalay nükleerin enerjii E m c 8 n 3GeV, c 3 m /. Işınlamada da oğurmada da geçişler nükleerin aynı enerji eviyeleri araında yer almaktadır. Çözüm: m n m, c ıraıyla kütle ve hız birimi olun (buna göre ε mc enerji, p mc ie lineer momentum birimi oluyor). γ-foton nükleerin enerjiinin E kadar değişiminden olduğundan kabul edelim. Nükleer-foton iteminin enerjii ve lineer momentumu (bir boyutlu hareket için); enerji ve momentum koruma yaalarına göre aşağıdaki ifadelerle veriliyor: p p f En + Enf + + Eγ () p pf + pγ Burada E n nükleerin iç enerjii, p n ie nükleerin ışımadan önce lineer momentumu, E nf ve p f ie ışınmadan onradır. E hf γ fotonun enerjii, h Eγ p γ E λ c γ ie lineer momentumudur; h Planck abiti, f dalganın (fotonun) frekanı, λ dalga boyu, c ie ışık hızıdır. Uyarımış nükleer için verilere göre E E nf En, yani pf E + Eγ Eγ E Eγ + () Eγ pf + pf + Eγ c omentumu p olan nükleer fotonu oğururken koruma yaalarına göre p pf En + + Eγ Enf +, burada p f çarpışmadan onra nükleerin momentumudur ve p pγ pf Eγ p γ Eγ üzere alıp c Eγ E Enf En Eγ + peγ buluruz. (3) Eλ Eλ Denk()-(3) ten E Eγ peγ p Eγ. Boyutlu şeklinde ie p E γ E γ v c (Cevap). Verilere göre: v m / (Sayıal Cevap) p mc ε