Bu bölümde soraca m z ve olumlu olarak yan tlayaca m z

Transkript

1 6. Abel Ya sal Teore Bu bölüde soraca z ve olulu olara ya tlayaca z soru flu: Dyel ya sal yar çap R ola br 0 a uvvet sers verlfl. = R e ser ya sa ya da rasa oldu uu bleeyz. Aa dyel br bçde, 0 a R sers ya sa oldu uu a tlad. O zaa l R 0 a = 0 a R olur u? Ya t olulu. Bu souç, Abel Ya sal (ya da Lt) Teore olara blr. Abel Ya sal l Teore bu geellle a tlaada öce ay teore 0 a R sers utla ya sa oldu u duruda a tlayal. Bu duruda a t ço daha olay, hatta Weerstrass M-test sayesde erdeyse barz. Nte bu ser utla ya sasa, Weerstrass M-testde, X = [R, R], M = a R, M = 0 a R, ƒ () = a 659

2 Abel Ya sal Teore olara al rsa, 0 a sers [R, R] üzerde düzgü ya sa oldu uu görürüz. Ya ƒ() = 0 a se, [R, R] üzerde u ( ) l ( a0 a a ) olur. Teore 56.9 da dolay ƒ, X üzere süreldr. Dee ( R) l ( ) l a. R R 0 fd teore e geel halyle yaz p a tlayal : Teore 6.3 [Abel Ya sal Teore]. 0 a sers R < R ç ya sa olsu. O zaa l R 0 a = 0 a R olur, ya (R, R] üzere ta la fl ola, ƒ() = 0 a fosyou R de (ya da R sa da) süreldr. Ka t: Kolayl olsu dye, a yere a R alara R oldu uu varsayablrz. > 0 verlfl olsu. Öyle br > 0 bulaca z, e er 0 < < se, ƒ() ƒ() < olaca ve böylece dled z a tla fl olaca z. 0 da büyü ala br zarar olaaz, öyle yapaca z. Teore 3.6 olara a tlad z Cauchy Çarp Forülü ü ullaaca z: E er (, ) se, c j a 0 j

3 6. Abel Ya sal Teore 66 ta yapara, 0 0 a 0 c ( ) efltl buluruz. Burada, ( ) ( ) ( ) c ( ) 0 ( ) c ( ) ( ) 0 0 ( ) c ( ) ( ) 0 0 ( ) ( c ( )) 0 ç ar. Dolay s yla, ( ) ( ) ( ) c ( ) 0 Öte yada varsay a göre, l c = ƒ(). Dee öyle br N var, her > N ç, c ƒ() < / olur. Buu da ale alara hesaplara yuarda ald z yerde deva edel: ( ) ( ) ( ) c ( ) 0 N ( ) c ( ) ( ) 0 N N ( ) c ( ) ( ) 0 N N N ( ) c ( ) ( ) 0 N N ( ) c ( ) 0 N ( ) c ( ) 0

4 66 6. Abel Ya sal Teore buluruz. A = a{ c 0 ƒ(),..., c N ƒ() } ta yap p terar hesaplara ald z yerde deva edel: ƒ() ƒ() ( )AN + / elde ett. fd y /3AN seçerse dled z 0 < < ƒ() ƒ() < öeres elde ederz.

5 63. Geellefltrlfl Bo Aç l Lsede ber bld z bo aç l a sayal : E er br gerçel say ve br do al say ysa, olur. ler öüde!!( )! Bo atsay lar sade- der. atsay lar a lefltrere yazal : ( ) 0! ( ) ( ).!( )!! Es ta uutup, bo atsay lar buda böyle, ( ) ( )! olara ta layal. Arada br far yo gb görüse de bu ye ta öcee göre avataj var: 663

6 Geellefltrlfl Bo Aç l ) > e es ta alas zd, oysa fld > e ye ta 0 soucuu veryor, çarp ortalar da ( ) belryor çüü. Dolay s yla, bu ye ta la, bo aç l ( ) 0 olara yazablrz. Böylece fade (bastleflez bel aa) br serye döüflür. ) Bo atsay lar ye ta da br do al say ola zoruda de ldr, herhag br gerçel say s da olablr: ( ) ( ) ( ) ( ( )).!! Ayr ca e er yere X yazarsa, atsay lar de ola c derecede br polo elde ederz: E er = 0 se ta olara abul edyoruz: X X( X) ( X( )) [ X].! X. 0 Buda böyle her gerçel say s ve her do al say s ç, ( ) ( )! ta yapal. = 0 ç ta gee e eflt abul edyoruz. Bu bölüde - bze göre - düya e flafl rt c olgular da br a tlayaca z:

7 63. Geellefltrlfl Bo Aç l 665 Teore 63.. Herve (, ) ç ( ) 0. ( ) Ayr ca ya sal utla ve düzgüdür. Ayr ca sa da ser ya sal yar çap dr. E er se ( * ) efltl geçerl oldu uu blyoruz. Hatta bu duruda, efltl sadece (, ) aral da say lar ç de l, tü gerçel say lar ç geçerl. Efltl = ç de geçerl oldu uu otrol edel. Buu ç öce, ( )( ) ( ) ( )! hesab yapal. fd sery hesaplarsa, ( ) ( ) 0 0 buluruz. Dee ( * ) efltl = ç de do ruyufl. Öte yada, e er br gerçel say ysa, ( * ) efltl sa taraf da ser ya sa oldu uu bled z gb, ya sasa da poztf br say ya ya sad ble blyoruz. fdl tab... Öce sa tarafta ser utla ya sal a tlayal. d Alebert Ya sal K stas ullaaca z [Teore 3. ]. ( ) ( ) ( )! ( ) ( ( ))! oldu uda, sosuza gtt de, sa tarafta ora lt olur. Mutla de erler ald zda, lt ç ar, ya de

8 Geellefltrlfl Bo Aç l üçütür. d Alebert Ya sal K stas a göre ( * ) efltl sa taraf da ser utla ya sar. Buda ayr ca (*) efltl sa da ser ya sal yar çap oldu u alafl l r. Buda böyle bu serye ƒ () ad verel: ( ). 0 c aac z her ve (, ) ç ƒ ()ƒ () = ƒ + () () efltl, ya efltl a tlaa. Buu ç Cauchy Çarp Forülü ü ullaaca z (bz. Teore 3.6). Dee j efltl a tlaal y z. j Ösav 63.. Her ve gerçel say lar ve her do al say s ç, j j efltl geçerldr. Ka t: yere Y yaz p efltl Y csde polou efltl olara görel: Y Y j. j Her taraf da c derecede pololar. Ayr ca baflatsay lar eflt: Her s de baflatsay s /! Dee bu polou de fl say da ay de erler ald lar a tlaa yeterl

9 63. Geellefltrlfl Bo Aç l 667 (bz. bölüü souda paragraf). Bu de erler 0,,..., olara alaca z. Dee flu sav a tlaa yeterl: Sav. Her = 0,,..., ç, j j. Sav Ka t : E er < j se, solda fadede bo atsay lar 0 oldular blyoruz. Dee, a tlaa sted z efltl, j, j j efltl e bürüüyor. yere X yazara, bu so efltszl de br polo olara görel: X X j j j,. Bu so efltl a tlayaca z. Her taraf da atsay lar de ola br polo. Toplada, ye eflt olablyor. Dee sol taraf c derecede br polo. Sa tarafta de c derecede elbette. Ayr ca her polou baflatsay s /!. Dee e er bu polo de fl say da ay de erler al yorlarsa eflt olacalar. Nte bu polou 0,,..., say lar da eflt de erler ald lar a tlayaca z. Dee her = 0,,..., do al say s ç, j j j, efltl a tlaal y z. Gee de büyü ler geresz. Dee her = 0,,..., do al say s ç, j, j, j

10 Geellefltrlfl Bo Aç l efltl a tlaal y z. Bast br obator proble bu. tae ad ve tae erete olufla br topluluta fly aç de fl bçde seçeblrz? Elbette sa da fade adar. Öte yada seçece z fl aras da 0 ad, ad, ad,..., ad olaca ayr ayr düflüürse, solda fadey buluruz. Dee fade brbre eflttr. Böylece he sav he de Ösav 63. a tla fl oldu. Art, her, gerçel say s ç, ƒ ()ƒ () = ƒ + () () efltl blyoruz. Dolay s yla her do al say s ç ve her ç, ƒ () = ƒ () () efltl de blyoruz. A = {: (, ) ( + ) = ƒ ()} olsu. Aac z A = efltl a tlaa. Açdel blyoruz. Ayr ca de A da oldu uu a tlad. Ve () efltl de dolay A toplaa alt da apal - d r: E er, Ase, ƒ + () = ƒ ()ƒ () = ( + ) ( + ) = ( + ) +. Dolay s yla Ave se Aolur. Buda da = ()A çdel ç ar. fd Açdel a tlayal. ve ç, () de dolay, ƒ / () = ƒ () = ( + ) olur. Dee, ƒ / () = ( + ) / ve /A. Dolay s yla, A çdel a tla fl oldu. Ay fley ç yapa braz daha zaa z alaca. Buu ç öce flu soucu a tlayaca z.

11 63. Geellefltrlfl Bo Aç l 669 Ösav Sabt br [, ] ve 0 ç, g, ( ) ( ) ( ( ))! ta yapal. Elbette ƒ () = 0 g, () efltl geçerldr. g () = ƒ () = 0 g, () sers, ües her s rl altües üzere düzgü ve utla ya sar. E er se, ser, 0 ües her s rl altües üzere düzgü ve utla ya sar. Dee, g fosyou üzere süreldr ve e er se 0 üzere süreldr. Ka t: 0 g, () sers br do al say s ç [, + ] aral da düzgü ve utla ya sad a tlaa yeterl. Serye Weerstrass M-Test uygulayaca z (bz. Teore 57.). [, + ] olsu. > olsu. O zaa, ( )! ( ) ( ) ( ) ( )! ( )( )( ) ( )! ( )!( )! ( )!! ( )( ) ( ) olur. ( c sat rda üçücü sat ra geçere + olara belre lar yere +, olara belre lar yere oyu.) E er se, burada, ( )! ( )! ( )( ) ( ) ( )

12 Geellefltrlfl Bo Aç l ç ar. olsu. O zaa, olur. M sers ya sa oldu uda (telesop dz oldu- uda öre ), Weerstrass M-Test uygulayablrz: [, ] se g () = ƒ () = 0 g, () sers her do al say s ç [, + ] üzere düzgü ya sat r. fd = 0 olsu. O zaa, br öce sütuda hesaplarda, her > = 0 ç ç ar. Dee M ( )! ( ) M ( )! ( )( ) ( ) olur. Bu sefer M = olsu. E er se, M sers ya sa oldu uda, Weerstrass M-Test uygulayablrz: [, ] se g () = ƒ () = 0 g, () sers [0, ] üzere de düzgü ya sat r. fd art g fosyou sürell ullaara, A = efltl a tlayablrz. (, ) ve 0 olsu. ya ya saya poztf ve esrl br (q ) say lar dzs alal :

13 63. Geellefltrlfl Bo Aç l 67 ( + ) = l ( + ) q = l ƒ q () = l g (q ) = g (l q ) = g () = ƒ (). Dee A, ya 0 A. Öte yada, ƒ ()ƒ ()= ƒ () = ƒ () = ƒ 0 () = = ( + ) ( + ) = ƒ ()( + ) oldu uda ve ƒ () = ( + ) 0 oldu uda, ƒ () = ( + ) buluruz. Dee, he he de say lar A da. Böylece her gerçel say s ve (, ) ç, efltl a tla fl oldu. Düzgü ya sal Teore 57. de Weerstrass M-Test de ç ar. Teorez a tla flt r. olur. Souç Her 0 ç l 0 fd, aalz e heyecal oular da br ola s r otalar da e oldu uyla lgleel. Teore E er = se 0 sers 0 ç utla ya sar, < 0 ç rasar. E er = se, ser ç rasar, > 0 ç utla ya sar, < < 0 ç oflullu ya sar. Ka t: Ösav 63.3 te dolay se utla ya sal blyoruz. Dolay s yla sadece < duruuu ele ala z laz. Buda böyle < olsu.

14 Geellefltrlfl Bo Aç l ç, ( )( ) ( ( ))! ( )( ) (( ) ) ( )! oldu uda, = se, ( ) 0 0 ( )( ) (( ) )! olur. Sa tarafta alt da tü paratezler poztf oldular da, ya sal varsa aca utla olablr. E er < 0 se, = > 0 olsu. Her j > 0 do al say s ç, j + = j > j oldu uda, yuarda hesab deva ettrere, ( ) 0 0 ( )( ) (( ) )! ( )( ) (( ) )! ( ) buluruz. Dee = ve < 0 se ser rasar. = ve (0, ) duruuu e soa b ra yoruz.

15 63. Geellefltrlfl Bo Aç l 673 E er = se, 0 0 ( )( ) (( ) ) ( )! elde ederz. E er se, geel ter 0 a gtez çüü utla de er sosuza gder; te = olsu. se, ( )( ) (( ) ) ( )( ) ( )!! ( )( ) ( ) ( )!!!! ( )( ) ( )! olur. Dee bu duruda ser rasar. = ve (, 0) se, = (0, ) olsu; 0 0 ( )( ) ( ( ))! ( )( )( ) ( ( ))! ( )( ) ( ( )) ( )! olur. Geel ter utla de er, ya, ( )( ) ( ( ))! dzs azald göre olay. E er bu dz, sosuza gtt de 0 a gtt gösterrse, o zaa Lebz dalgalaa serler üzere teore [Teore 39.] ullaara ser ya sa oldu uu a tlayablrz. Buu gösterel. (Serdar Boztafl a

16 Geellefltrlfl Bo Aç l sosuz tefleürler...) = olsu. 0 < < olur. O zaa, ( )( ) ( ( )) ( )( ) ( )!! ep( )ep( / ) ep( / ) ep( / / ) ep( ( / / ) ep( ( / / ) olur. (Bz. Al flt ra.) E er y sosuza götürürse, + / + + / ve dolay s yla ( + / + + /) fades sosuza ya sar ve Sadövç Teore de, sted z lt gerçete de 0 buluruz. Dee bu duruda ser oflullu ya sar (ya ya sar aa utla ya saaz). E soa 0 < < duruu ald. Bu duruda utla ya sal a tlayaca zda = alablrz. Raabe Ya sal K stas (Teore 38.) ullaaca z: ( ) ( ( ))( ) ( )! ( ) ( ( ))! ( ) oldu uda ve bu fade lt + > oldu uda, Raabe K stas a göre, 0 sers utla ya sar. Teore 5 a tla flt r.

17 63. Geellefltrlfl Bo Aç l 675 Souç 6. Her 0 ve her [, ] ç, ( ) 0 olur. Ya sal düzgü ve utlat r. Ka t: Ser ya sal düzgü ve utla oldu u Teore ve 5 te bell. Efltl (, ) ç Teore de blyoruz. Efltl = ve = ç a tlaal y z. Bu da Bölü 6 te a tlaa Abel Ya sal Teore de ç ar. Al flt ralar. 0 olsu. ep() efltszl a tlay. pucu: 0. ( )! ( )!. 0 < < se, ( ) ( ) l 0 ( )! efltl do ru udur? Pololar Efltl Sav. E er ƒ, g[x] pololar dereceler ve baflatsay lar efltse ve dereceler adar de fl say da ay de erler al - yorlarsa, o zaa ƒ = g olur. Ka t: Pololar dereces olsu. a,..., a say lar da ƒ ve g pololar ay de erler als lar. O zaa ƒ g polouu dereces de üçütür ve a,..., a say lar bu polouu de fl öüdür. Dee ƒ g = 0 olur. Sav a tla flt r. Bu sav ay a tla, elbette, sadece ç de l, her tal bölges ç, öre ya da ç de geçerldr.

18 64. T z Küeler Bu bölüde aac z, buda sora braç teore a tlaa ç geree topoloj blgs vere. Daha sora ders otlar zda topolojye ço daha gefl yer ay raca z. fdl bu adar yla yetel. Kouu al flageld z aalzde zyade üeler ura sevyesde olas ouru bu bölüü ve br sora ders otlar fltahla ouas a yol açacat r dye düflüe styoruz Aç Küeler Gerçel say lar ües, aç aral lar blefl olara yaz la br üeye aç üe dyel. Dee br U altües aç olas ç yeter ve gere oflul, her a U ç, (a, a + ) U çdel sa laya (ve a ya göre de fleble) br > 0 say s olas d r. Ta a göre ve aç üelerdr. Her aç aral da aç br üedr. Aç üeler blefl elbette aç t r. Solu say da aç üe esfl de aç t r. [0, ] ya da (0, ] aral lar aç de ldrler, çüü çere her aç aral utlaa de büyü say lar da çere zorudad r. Yuarda verd z ta asl da aç üeler ta. E er X se, X br aç ües, ta gere, br aç üesyle X esfldr. X aç üelere X-aç dyeblrz. Br U 677

19 T z Küeler X ües X-aç olas ç yeter ve gere oflul, her auç, (a, a + ) X U çdel sa laya br > 0 say s olas d r. Ta a göre ve X üeler X-aç üelerdr. X-aç üeler blefl elbette aç t r. Solu say da X-aç üe esfl de aç t r. Our -aç üeyle (l verd z ta la) aç üe ay avra oldu uu alaata güçlü çeeyecetr. X X-aç üeler X te tüleyelere X-apal üe der. Aç üeler ç yazd z her özell uygu dle çevrere apal üeler ç yazablrz. Öre, ve X üeler X-apal üelerdr, X-apal üeler esfl apal d r ve solu say da X-apal üe blefl apal d r. Ösav 4.4 te a sayal : A ve se le A aras da esafe, d(, A) = f{ a : a A} = f aa a olara ta la r. E er Ase d(, A) = 0 olur. Aa buu ters yal flt r: X =, A = (0, ) se, A da de ldr aa A ya esafes 0 d r. Öte yada e er A apal ysa, her fley yoluda gder. Ösav 64.. E er A apal br altüe se. d(, A) = 0 A eflde erll geçerldr.. E er A üstte s rl ysa ve boflüe de lse, sup A A olur.. Terler A da ola br dz lt A dad r. Ka t: () Nte, e er Ase, A c aç oldu uda, çere ve A y eseye > 0 yar çapl aç br aral vard r, dolay s yla d(, A) > 0 olur. D er yöü a t barz. () sup A = s A olsu. O zaa s, aç br üe ola A c br elea d r. Dolay s yla br > 0 ç, (s, s + ) A = olur. Aa bu da s = sup A ta yla çelflr. () Br öce a t gb.

20 64. T z Küeler Sürell Aç üeler var olufl ede afla da souçta gzl:. Teore 64.. Xve ƒ : Xbr fosyo olsu. ƒ sürel olas ç yeter ve gere oflul, her aç ües ƒ alt da ögörütüsüü de aç (ya X-aç ) olas d r. Ka t: Öce ƒ sürel oldu uu varsayal. E er I aç br aral sa, ƒ (I) ües X-aç oldu uu a tlaa yeterl. Ya her a ƒ (I) ç, öyle br > 0 bulal y z, (a, a + ) X ƒ (I) olsu. fle oyulal : ƒ(a) I ve I br aç aral oldu uda, öyle br > 0 vard r, (ƒ(a), ƒ(a) + ) I olur. ƒ, a da sürel oldu uda, öyle br > 0 vard r, (a, a + ) ƒ() (ƒ(a), ƒ(a) + ) I, ya ƒ(a, a + ) I, ya (a, a + ) ƒ (I) olur. fd aç üeler ƒ-ögörütüler X-aç olduar varsayal. a X olsu. ƒ a da sürel oldu uu a tlayaca z. > 0 verlfl olsu. (ƒ(a), ƒ(a) + ) aç aral aç br aral oldu uda, bu aral öges ola ƒ (ƒ(a), ƒ(a) + ) ües X-aç t r. a,bu X-aç üe br elea oldu uda, (a, a + ) X ƒ (ƒ(a), ƒ(a) + ) çdel sa laya br > 0 vard r. fd X elea a < efltszl sa l yorsa, (a, a + ) X olur, dolay s yla ƒ (ƒ(a), ƒ(a) + ) olur, ya ƒ() (ƒ(a), ƒ(a) + ) olur, ya ƒ() ƒ(a) < olur.

21 T z Küeler T zl X olsu. (U ) I, X br altüeler ales olsu. E er X I U se, (U ) I alese X örtüsü ya da X-örtüsü ad verlr. E er her U aç sa, örtüye aç örtü der. E er I soluysa, örtü solu örtü ad al r. E er J I se ve (U j ) jj, X hâlâ daha br örtüsüyse, (U j ) jj alese (U ) I örtüsüü altörtüsü ya da daha aç ola gererse X-altörtüsü ad verlr. E er J soluysa, solu altörtüde sözedlr. E er X her aç örtüsüü solu br altörtüsü varsa, X e t z der. Ya X t z olas ç, X I U çdel sa laya X her U aç üeler ç, X U... U çdel sa laya solu say da,..., I göstergec olal d r. U ler aç aral lar blefl oldular da, bu oflulu flöyle de yazablrz: X t z olas ç, X I U çdel sa laya X her U aç aral lar ç, X U... U çdel sa laya solu say da,..., I göstergec olal d r. Yuarda ta da her sözcü üü alt çzerz; ta - lt sözcü üdür. Bulua solu örtü de orjal örtüü altörtüsü ola zorudad r... (Bular, b y ll ö retel tecrübesde da t l fl alt tel de uyar lard r.) Hee braç öre ve aöre verel. Öreler. her solu altües (dolay s yla boflüe de) t zd r. (0, ) aral t z de ldr, çüü öre ((/, )) =,,3,... aç örtüsüü solu br altörtüsü yotur. Aa brazda her apal aral t z oldu uu görece z. Solu say da t z üe blefl de t zd r. Daha fazla öre vereye gere yo, çüü fld tü t z üeler blece z.

22 64. T z Küeler 68 Teore [Hee-Borel]. br altües t z olas ç yeter ve gere oflul altüe s rl ve apal olas d r. Ka t: X t z olsu. ((, )), X br aç örtüsü oldu uda, X bular solu taes blefl çdedr; dolay s yla X s rl d r. fd X apal oldu uu a tlayal. Buu ç X tüleyee aç oldu uu a tlaa z laz. Xolsu. Poztf br do al say s ç [ /, + /] c üeler ( aç aral blefl oldular da) aç t rlar. Öte yada, =,,3,... [ /, + /] c = ( =,,3,... [ /, + /]) c = {}c = \ {} X oldu uda, [ /, + /] c üeler X br aç örtüsüdür. Dee bular solu taes X çerr. Dee büyü br ç X [ /, + /] c olur. Ya [ /, + /] X c, ve dolay s yla ( /, + /) X c, olur. Böylece çere br aç aral X tüleyede oldu uu gösterfl oldu. Bu da X tüleye aç deetr. Teore yar s a tla flt r. Teore d er yar s a tlaa ç yard c br souca htyac z var: Ösav Y X olsu. E er Y apal ve X t zsa Y de t zd r. Ka t: (U ) I, Y br aç örtüsü olsu. Bu örtüye aç br üe ola Y c y elerse, X br aç örtüsüü elde etfl oluruz. X t - z oldu uda, öyle solu br JIvard r, (U j ) jj ve Y c üeler X, dolay s yla Y y de örter. Aa tab Y y örte ç Y c üese htyaç yotur: (U j ) jj solu ales Y y örter.

23 T z Küeler fd Teore 64.3 ü a t a deva edel. s rl ve apal br K altües verlfl olsu. K s rl oldu uda, bell a < b say lar ç, K[a, b] olur. K apal oldu uda, Ösav 64.4 e göre [a, b] aral t z oldu uu a tlaa yeterl. (U ) I, [a, b] aral aç br örtüsü olsu. Br c[a, b] ç, (U ) I ay zaada [a, c] aral örtüsüdür. E er bu örtüü solu say da elea [a, c] apal aral örtüyorsa, c say s a bu a tl güzel say dyel. a elbette güzel br say d r. Dee güzel say lar ües bofl de ldr. Aac z c güzel br say oldu uu a tlaa. E er c güzel br say ysa ve c say s a c c efltszller sa l yorsa, o zaa c say s da güzel br say d r. Dee güzel say lar ües G, br aral d r. G, b taraf da üstte s rl oldu uda G e üçü üsts r vard r. Bu e üçü üsts ra g dyel. U ler aras da g y çere br U alal. U aç oldu uda ve g y çerd de, öyle br > 0 vard r, (g, g + ) U olur. Öte yada g < g oldu uda, g güzel br say d r. Dee solu say da,..., I göstergec ç [a, g] aral U,..., U aç üeler taraf da apla r. Aa o zaa, [a, g /] aral U,..., U, U taraf da apla r. Buda, her fleyde öce g güzel br ota oldu u ç ar. Sora g b de üçü olayaca ç ar, çüü as halde br 0 < / ç g < g + < b olur ve g +, g de büyü br güzel ota olur. Dee g = b ve b güzel br ota. Dolay s yla [a, b] aral (U ) I örtüsüü solu br altörtüsü taraf da örtülür.

24 64. T z Küeler 683 Yuarda verle a t fl, zarf, zece ve so derece alafl l r. Aa stadart a tlarda de l. Ortalaa br ateatç hee al a geleyece adar zece bu yazar zeve göre. Bu teore daha stadart a t topoloj yöteler aç s da daha e tc oldu uu düflüüyoruz. Daha stadart a t verel: Teore 64.3 ü c Yar s c Ka t : [a, b] aral - t z olad varsayal. O zaa [a, b] aral solu altörtüsü olaya br (U ) I aç örtüsü vard r. c, a ve b otalar ta orta otas olsu. Ya [a, c ] aral ya da [c, b] aral solu say da U taraf da örtülez. Dyel [a, c ] solu say da U taraf da örtülüyor. c, a ve c otalar ta orta otas olsu. Ya [a, c ] ya da [c, c ] aral taraf da örtülez. Dyel [c, c ] solu say da U taraf da örtülüyor. c 3, c ve c otalar ta orta otas olsu. Ya [c, c 3 ] ya da [c 3, c ] aral solu say da U taraf da örtülüyor... Buu böyle deva ettrere, öyle [a, b] = [d 0, e 0 ] [d, e ] [d, e ]... aral lar bulablrz, he (d e ) = (b a)/ olur he de [d, e ] aral lar solu say da U taraf da örtülez. Kapal Kutular Teore e göre (Teore 7.), bütü bu [d, e ] aral lar te br otada esflr, dyel ƒ = l d = l e otas da esflyorlar. ƒ [a, b] oldu uda, br I ç ƒ U olur. U aç oldu uda, br > 0 ç, (ƒ, ƒ + ) U olur. ƒ = l d = l e oldu uda, br göstergec ç, [d, e ] (ƒ, ƒ + ) U olur. Aa o zaa da [d, e ] te br (dolay s yla solu say - da) U taraf da apla r. Br çelfl. Dee [a, b] aral t z br üedr.

25 T z Küeler Lebesgue Say s S rl br A altües çap, d(a) = sup{d(, y) :, y A} olara ta la r. Afla da olduça te ösav t z üeler aç örtüler ço üçü çapl elealar geresz oldu uu söylüyor. Ösav 64.5 [Lebesgue Say s ] X, t z br altües ve U = (U ) I ales, X aç br örtüsü olsu. O zaa öyle br > 0 vard r, X çap e fazla ola her altüe U ales br elea (ya U lerde br) altüesdr. Ka t: E er U lerde br X e efltse, a tlayaca br fley yo. Buda böyle hçbr U X e eflt olad varsayal. U ales solu br V altörtüsüü seçel. Dyel, V = {U,..., U }. C = U c olsu. C apal d r. d(, C ), C ye ola uzal olsu (Ösav 4.4) U... U = X oldu uda, C... C = olur. Dee X her elea C üelerde e az br elea de ldr ve, C apal oldu uda, Ösav 64.. e göre, d(, C ) say lar da e az br poztftr ve afla da forülle ta laa ( ) d(, C ) 0 = fosyou poztf de erler al r. Böylece ta laa ƒ : X fosyouu sürel oldu uu da blyoruz (Ösav 4.4). X t z oldu uda, ƒ u de er al r. Bu u de er 0 da al fl olsu ve

26 64. T z Küeler 685 = ƒ( 0 ) > 0 olsu. B, yar çap da üçü br altüe olsu. Bolsu. Dee B B(, ). fd, d(, C ),..., d(, C ) say lar e büyü üe d(, C ) dyel. O zaa, ( ) d(, C) d(, C ) = olur. Dee B(, ) C =, ya B(, ) U. Aa B B(, ) oldu uda, bu so çdel sted z a tlar. X verlfl bru = (U ) I aç örtüsü ç, yuarda ösavda gb br > 0 say s a U u Lebesgue say s ad verlr. Elbette br Lebesgue say s da daha üçü say lar da Lebesgue say lar d r. Lebesgue say lar varl br sora altbölüde ullaaca z Düzgü Sürell Düzgü sürell, sürell ço özel br haldr. Aa geel olara tü topoloj uzaylarda de l, sadece etr uzaylarda geçerl ola br avrad r. Ta a satal : (X, d X ) ve (Y, d Y ) etr uzay ve ƒ : X Y br fosyo olsu. Öce ƒ sürel oldu uu e dee oldu uu a satal. ƒ sürel olas ç ƒ X her otas da sürel olas gereetedr; ya her axç flu özell do ru olal d r:

27 T z Küeler Her> 0 ç öyle br > 0 olal d r, her Xç d X (a, ) < d Y (a, ) <. Buu daha bçsel olara yazaca olursa, sürell a>0>0 (d X (a,)<d Y (a,)<) öerese detr. Burada say s verlfl ola a göre de- flr elbette, aa a ya göre de de fleblr, hatta ço u zaa a ya göre de flr. Bu yüzde zaa yere a, yaz l r. Aa zaa da say s a da ba s z (sadece a ba l ) seçeblrz. O zaa ço özel, ço daha güçlü br sürell söz ousu olur. Bu duruda ƒ düzgü sürel oldu u söyler. Ya e er Her > 0 ve X her a ve elealar ç d X (a, ) < d Y (a, ) < öeres sa laya br > 0 varsa o zaa ƒ fosyoua düzgü sürel der. Buu daha bçsel olara yazaca olursa, düzgü sürell, >0>0a (d X (a,)<d Y (a,)<) öerese detr. Burada a fades e baflta ortalara, >0 fadesde soraya gtt e datz çeer: Verlfl br > 0 ç tü a ve ler ç geçerl ola br > 0 buluuyor. Aa art a le aras da büyü br ayr yo, dolay s yla a ve yere ve y ulla rsa daha fl br ta a ulafl fl oluruz: Düzgü sürell >0>0y (d X (,y)<d Y (,y)<) öerese detr. E er A X se ve ƒ A fosyou düzgü sürelyse, o zaa ƒ A üzere düzgü sürel oldu u söyler. Öre. (0, ) üesde ye gde ƒ() = / forülüyle ta laa fosyo düzgü sürel de ldr çüü a üçüldüçe say s üçülür. Öte yada (s rl ya da s rs z) apal br aral a s tlarsa bu fosyo düzgü sürel olur. Ya ƒ() = / forülüyle ta la fl fosyo apal aral lar üzere düzgü süreldr.

28 64. T z Küeler 687 Düzgü sürell yararlar daha lerde görece z aa t z üelerde sözedere düzgü sürellte sözetee olazd. Teore Ta ües t z br altües ola her sürel fosyo düzgü süreldr. Ka t: Xve ƒ : Xsürel br fosyo olsu. > 0 olsu. ((y/, y + /) y yuvarlar ales aç br örtüsüdür. ƒ sürel oldu uda, (ƒ ((y /, y + /))) y ales de X br aç örtüsüdür. > 0 bu aç örtüü Lebesgue say s olsu. fd, X olsu ve d X (, ) < varsay yapal. O zaa {, } ües çap da üçütür. Dee br y Y ç, {, } ƒ (B(y, /)), ya, ƒ (B(y, /)), ya ƒ( ), ƒ( ) B(y, /), ya d Y (ƒ( ), ƒ( )) d Y (ƒ( ), y) + d Y (y, ƒ( )) < / + / = olur. Bu da ƒ düzgü sürell a tlar Uç De erler Br sora teoree htyac z olayaca aa he öeldr he de a t üeler ura sevyesdedr. Teore T z br üe sürel br fosyo alt da ges t zd r. Ka t: K X, K t z ve ƒ : X sürel br fosyo olsu. ƒ(k) t z oldu uu göstere styoruz. (V ) I, ƒ(k) aç br örtüsü olsu:

29 T z Küeler ƒ(k) I V. Dee K ƒ (ƒ(k)) ƒ ( I V ) = I ƒ (V ), ve (ƒ (V )) I ales K br örtüsü. ƒ sürel oldu uda, ƒ (V ) aç br üe. Ya bu ale K aç br örtüsü. K t - z oldu uda, K ƒ (V )... ƒ (V ) çdel sa laya solu say da,..., I göstergec vard r. Her taraf da ƒ-ges alal : ƒ(k)ƒ(ƒ (V )... ƒ (V )) = ƒ(ƒ (V ))... ƒ(ƒ (V )) olur. V... V Souç 64.8 [Uç De erler Teore]. X t z br üe ve ƒ : X sürel br fosyo olsu. O zaa ƒ fosyou X üzere u ve asu de er al r; ya öyle a, bxvard r her X ç ƒ(a) ƒ() ƒ(b) olur. Ka t: X t z ve ƒ sürel oldu uda, Teore 64.7 de dolay ƒ(x) de t zd r. Teore 64.3 e göre ƒ(x) apal ve s - rl d r. ƒ(x) s rl oldu uda sup ƒ(x) br gerçel say d r. ƒ(x) apal oldu uda sup ƒ(x) ƒ(x) olur (Ösav 64..). Bezer br a t f ƒ(x) ç de yap lablr.f

30 65. D Teore ve Br Uygulaas Br fosyo dzs düzgü ya sa olup olad a arar vere her zaa olay olayablece de, elzde düzgü ya sal a arar verece geel staslar olas yararl olur. Bularda e ülüsü D Teore dr. Sürel fosyo dzler düzgü lt de sürel oldu uu blyoruz. Dee lt sürel de lse, düzgü ya sal olaaz. Öte yada lt sürel olas da düzgü ya sal ç yetez; ta ües [0, ] aral ble olsa. flte bua br öre: Öre. Her > do al say s ç, ƒ : [0, ] [0, ] fosyolar flöyle ta las : ( ) e er se ( ) ( ) e er se e er, se 689

31 D Teore ve Br Uygulaas ƒ fosyouu graf flöyle: y + - Görüldü ü gb ƒ sürel br fosyo ve büyüdüçe / üçüldü üde, ƒ ler lt (elbette sürel ola) sabt fosyou s. Öte yada, s (/) ƒ (/) = 0 = oldu uda, s ƒ = olur ve ya sal düzgü de ldr. D Teore, oudu uda hee alafl laca üzere bu ouda büyü olayl sa lar. Teore 65. [D]. K, apal ve s rl (ya t z) br altües olsu. (ƒ : K), sürel br fosyoa otasal ya saya sürel br fosyo dzs olsu. E er her Kve her ç, ƒ + () ƒ () oluyorsa, ya dz azalara ya s yorsa, o zaa dz ya sal düzgüdür. Blelere: Bu teore K t z br topoloj uzay e de do rudur. Ka t da ay d r. Br sora ders tab zda teore bu geel halyle a tlayaca z.

32 65. D Teore ve Br Uygulaas 69 Ka t: Dz otasal lte ƒ dyel. ƒ yere (sürel ola) ƒ ƒ alara, ƒ fosyouu sabt 0 fosyou oldu uu varsayablrz. Dolay s yla, her ve her Kç 0 ƒ () olur. > 0 herhag br gerçel say olsu. U = {K: ƒ () < } = ƒ ((, )) ta yapal. ƒ sürel oldu uda, her U, K aç br altüesdr (Teore 64.). Her Kve her ç ƒ + () ƒ () oldu uda, her ç U U + olur. Her Kç, l ƒ () = 0 oldu uda, K = U olur. Dolay s yla, K t z oldu uda, solu say da,..., do al say lar ç, K = U U olur. Dee e er N = a{,..., } se K = U U = U N olur. Dolay s yla her > N ç de K = U olur. Buda da her > N ve her K ç ƒ () < ç ar, ya ƒ olur. Not: Ka tta sürell varsay ço s tl br halyle ulla l yor. K da ye gde br ƒ fosyou, her ç, {K: ƒ() < } ües aç t r özell sa l yorsa, ƒ fosyoua üstte yar sürel (upper secotuous) ad verlr. Ka tlaa teore bell sadece sürel fosyolar ç de l, üstte yar sürel fosyolar ç de geçerl. Bezer souç arta ve altta yar sürel fosyolar ç de geçerldr elbette.

33 D Teore ve Br Uygulaas t ye Düzgü Ya saya Pololar Öce [0, ] aral da [0, ] aral a gde ve t t ural yla ta la fl fosyoa düzgü ya saya br (p ) polo ales (daha do rusu br poloyal fosyo ales) bulaca z. p 0, sabt 0 fosyou olsu. E er 0 se, p + tüevar la flöyle ta layal : p t t p t ( ) ( ) olsu. Her ve her t[0, ] ç afla daler a t tüevar la çocu oyuca va dad r:. p br polodur.. p (0) = p (t). 4. (p (t)) dzs arta br dzdr. Her t[0, ] ç (p (t)) dzs arta ve üstte s rl oldu- uda, br lt vard r. Bu lte p(t) derse, tüevar sal ta da her taraf da lt alara, p( t) t p( t) buluruz, ya, p(t) p(t) + t = 0, ya p(t) p(t) + = t, ya (p(t) ) = t, ya, ta sted z gb olur. p ( t ) t

34 65. D Teore ve Br Uygulaas 693 Notasal ya sal a tlad. Düzgü ya sal a tlaa ç, her ve her t[0, ] ç p (t) p + (t) efltszl a tlayaca z. Ta da elde edle, p( t) t p( t) p( t) t p( t) efltller taraf tarafa brbrde ç ar rsa, p t p t p t p t ( ) ( ) ( ) ( ) elde ederz ve bu efltlte de tüevar la, p (t) p + (t) efltszl a tla r. fd D Teore uygulayara ya sal düzgü oldu uu görürüz: Buda ve Bölü 56 da a tlad z ço bast olgularda, l ( ) u p t t ç ar. E er q (t) = p ( t) ta yaparsa, p ler tüevar sal ta da, l ( ) u p t t. q0( t) 0 q( t) q( t) t q t ( ) elde ederz. Buu q poloyal fosyolar tüevar sal ta olara abul edeblrz. l q (t) = u t olur. Not : l q (t ) = u t olur. Not : l braç q polouu hesaplayara atsay lar zaala sabtlefled görü.

35 66. Weerstrass Yo ulu Teore Bu bölüde a tlayaca z teore [a, b] apal aral üzere ta la fl her sürel fosyou pololarda (asl da poloyal fosyolarda dee laz ) olufla br dz düzgü lt oldu uu söylüyor. Br bafla deyflle sürel fosyolar yalafl de erler, üasp pololar de erler hesaplayara bulablrz. Weerstrass Yo- ulu Teore dele bu soucu bezerlere asl da our aflad r. Öre, ep fosyou, 3! 3!! pololar her apal ve s rl aral üzerde düzgü ltdr. Ay fley, s ve cos fosyolar ç de geçerldr: 3 5 s l ( ) 3! 5! ( )! 4 cos l ( )!! ( )! 4 efltller (s ve cos fosyolar ta da dolay ) geçerldr ve ltler her apal ve s rl aral üzerde düzgüdür. [Souç 57., ya da Teore 57.3]. 695

36 Weerstrass Yo ulu Teore Bu ders otlar da göred z Taylor serler ble our da bu frle aflad r. Aa br fosyou Taylor sers olas ç, fosyou sosuz ez türevleeblr olas gerer brço sürel fosyo te br ez ble türevleeez. Ayr ca fosyo sosuz ez türevleeblr oldu u zaa ble fosyou Taylor sers fosyoa eflt olayablr. Öre fosyou [0, ] üzere süreldr aa 0 da türev yotur, öte yada bu fosyo Weerstrass Yo ulu Teore e göre pololar düzgü ltdr, te Teore 65. alt da e [0, ] üstüde düzgü ya saya pololar gördü. Yuarda tart flada da alafl laca üzere so derece geel br teore sözousu. Teore 66. [Weerstrass, 885] [a, b] apal da ta la fl her sürel fosyoa poloyal fosyolarla düzgü ya saablr; ya e er ƒ : [a, b] sürel br fosyosa ve> 0 se, öyle br P polou vard r ƒ P < olur. Br bafla deyflle, poloyal fosyolar ües (Bölü 56.8 de ta laa) C([a, b]) etr uzay da yo udur. Ka t: Elbette [a, b] yere [0, ] aral alablrz. (Nede?) ƒ : [0, ] herhag br sürel fosyo ve > 0 olsu. l olara bu fosyoa ço ya ola parçal do rusal br g fosyou bulal. Bulaca z bu parçal do rusal g fosyouu graf, afla da flelde gb ƒ üçü rfllerde oluflaca. [0, ] aral öyle üçü aral lara böle- Blelere: Bu teore, K yere, t z ve Hausdorff topoloj uzaylara ve uygu altcebrlere geellefltrleblr ve bu geel hal Stoe-Weerstrass Teore olara blr. Br sora ders tab zda teore bu geel halyle a tlayaca z.

37 66. Weerstrass Yo ulu Teore 697 y y = ƒ() Pololarla ya saaca ƒ fosyouu graf ce z, yola oyuldu uuz ƒ fosyouyla g parçal do rusal fosyou aras da esafe bu üçü aral larda e fazla olaca. Buu yapablr yz? Evet! He de aral lar eflt uzuluta seçere ble yapablrz. Nte, K t z oldu uda, ƒ düzgü süreldr (Teore 64.6), br bafla deyflle öyle br > 0 vard r, e er y < se ƒ() ƒ(y) < / olur. fd N do al say s /N < olaca bçde seçel ve [0, ] aral /N uzuluta aral lara bölel. g fosyouu, aral da ( = 0,,..., N) do rusal olaca ve y I, N N y = g() Graf yuarda ƒ fosyouu ço üçü rfllerde olufla parçal do rusal fosyo

38 Weerstrass Yo ulu Teore g g N ve N N N efltller gerçeleflece bçde seçel. E er I se, /N < / < oldu uda, afla da detay flelde de görülece üzere, ƒ() g() < / olur. Bu ded z her I aral da böyle oldu uda, her [0, ] ç, ƒ() g() < / olur, ya ƒ g / olur. y = ƒ() y = g() / N + N fd yuarda parçal do rusal g fosyoua br P polouyla / adar ya saa ald. Böylece, ƒ P ƒ g + gp / + / = olaca ve sted z a tla fl olaca. Her parçal do rusal fosyou gb, g fosyou da solu say da b, a,..., a, c,..., c ç, g b ( ) a c olara yaz lablr. (Nede? Asl da, N ye eflt al ablr.) E er her =,..., ve her [0, ] ç

39 66. Weerstrass Yo ulu Teore 699 a c P () < / efltszl sa laya br P polou bulablrse, o zaa olur ve dolay s yla, g( ) b P ( ) b a c b P ( ) a a P ( ) a a P ( ) efltszl elde ederz. Böylece g b P polouu flz gördü ü alafl l fl olur. P b P Gerye, verlfl a ve c say lar ve > 0 ç, her [0, ] ç a c p() < efltszl sa laya br p polou bula z al yor. a = 0 se, p = 0 olsu. E er a0 se, a tlaa z geree efltszl a ya bölere a = varsay yapablrz. Bölü 65 souda Not de bu fl c = 0 ç yapt. fd de fle ayd rara sted z elde edeblrz.

40 67. Berste Pololar Geçe bölüde, t z br altües üzere ta la fl her sürel fosyou pololarla ta la fl br dz düzgü lt oldu uu görüfltü. Bu bölüde verlfl herhag br sürel ƒ : [0, ] fosyoua ya saya br polo dzs aç aç bulaca z. Öce her ve her > 0 tasay s ç flu efltl a satal : ( ( )) 0 ( ) fd efltl sa taraf da toplaa fadeler ƒ(/) say lar yla çarpara toplayal : B ( )( ) ( ). 0 B (ƒ) pololar a, pololar bula Rus ateatç Serge Nataovch Berste ( ) ourua Berste pololar der. (Ala ola Cator-Berste-Schröder Teore Fel Berste le ar flt r laas...) 70

41 Berste Pololar Gelecete ƒ = Id, ya ƒ() = alaca z ve o zaa B ()() yazaca z. Burada brc ve c brbre ar flt r laal. Brc, ƒ() = ala a ulla l yor, cs se de fle ala a. Berste pololar barz özelller var: Fosyolar üesde pololar üese gde B fosyou do rusald r, ya her ƒ, g fosyou ve her a, b gerçel say s ç B (aƒ + bg) = ab (ƒ) + bb (g) olur. Ayr ca, sabt br fosyou B alt da ges sabt polodur ve sabt de flez, öre B () = olur. Ve e er ƒ g se, fosyo olara görüldü üde, B (ƒ) B (g) olur. So olara, Berste polouu ta da da olayca görülece üzere, B (ƒ) B ( ƒ ) olur. Bu özelller afla da so derece lgç teore a t da özgürce ullaaca z. Teore 67.. ƒ : [0, ] sürel br fosyo olsu. O zaa, l ( ) u B olur. Ka t:> 0 olsu. Yeterce büyü göstergeçler ç, B (ƒ) ƒ < efltszl do ru oldu uu a tlayaca z. ƒ sürel ve [0, ] t z oldu uda, ƒ düzgü süreldr (Teore 64.6). Dee öyle br > 0 vard r, e er a < se ƒ() ƒ(a) < / olur. M = ƒ = sup{ ƒ() : [0, ]}

42 67. Berste Pololar 703 olsu. ƒ, br t z üe üzere ta la fl sürel br fosyo oldu u ç M dye br say gerçete vard r. (Teore 47. ya da Teore 64.7) Öte yada, e er a > se ( a) M 0 oldu uda, ( ) ( a) ( ) ( a) M M ( a) olur. Dee, her, a[0, ] ç, M ( ) ( a) ( a ) buluur. fd a herhag br gerçel say olsu. O zaa, B( ) ( a) B( ( a)) B ( a) M B a ( ) M B ( a ) M B a a M B ( ) ab ( ) a olur. Sa da B ( ) ve B () terler hesaplayal fld; sora ald z yerde deva edece z. Sav. B () =. Sav Ka t : = ve = ta lar yla yapaca- z olduça bast br hesap:

43 Sav Ka t : S ras yla =, =, p =, r = ta lar ullaa bel braz uzu aa olduça bast br hesap: Berste Pololar Sav. B ( ). B 0 ( ) ( )!!( )! ( ) ( )! ( )!( )! ( ) ( )!! ( )! ( )!!( )! ( )!!( )! ( )! ( )!( )! ( ) r p r r p p r p r ( )! ( )!( )! ( )!!( )! ( ) ( ). B ( )( ) ( )!!( )! ( ) ( )! ( )!( )! ( )!!( )! ( ) 0 0.

44 67. Berste Pololar 705 Sav de öce ald z yerde deva edel: M B a B ab a ( )( ) ( ) ( ) ( ) M a a M ( a ) Buu özel br hal olara, her a[0, ] ç geçerl ola M a a 4M B( )( a) ( a) efltszl buluruz. E er y yeterce büyü al rsa, esela M 8 olursa, o zaa B ( )( a) ( a) olur ve a t z taala r. Dat edersez, Sav de görülece üzere, ƒ br polo oldu uda ble B (ƒ), ƒ ye eflt olayablyor. Al flt ralar. B ( ), B ( ), B 3 ( ) pololar hesaplay.. [0, ] üzerde e fazla 0,00 hatayla hesaplaa ç hag ç B ( ) polouu hesaplaal y z?