1.BÖLÜM LİTERATÜR ÖZETİ

Transkript

1 .BÖÜM İTERATÜR ÖZETİ Bu bölüde boacc ucas -boacc dzler le lgl lteratürde yer alış ola bazı çalışalar ve boacc dzler bölüeble özeller odülüe göre -boacc dzler peryodu peryod uzuluğu le lgl yapıla çalışalar verlştr. Bollger R.C. Burchard C p br asal ve her hag ve ta sayıları 0 < ç p olduğuda p ve p od p olur. Eğer > se 0 dır. Bu aalede geşletlş Pascal üçgeler T le taılayara.bölüde T C grdlere bezeye ucas ı geşletes düşüeceğz..bölüde 0 sıralaasıda ç C 0od p delğ sağlaadığıda C ı bazı bölüeble özeller celeştr. x x... x geşletesde atsayıları dzsde sırada Pascal üçgelere bezeye geşletlş Pascal üçgeler ortaya çıar. T dzsde satır ve sütuda C sayısı 0 ç; x x... x C 0 x le taılaara bazı özeller ve uygulaaları verlştr.

2 Ehrlch A. 989 Bu aalede u 0 u boacc dzler ve 0 u u u odülüe göre drgee boacc dzler peryod uzuluğu ola artet fosyou üzerde yapıla çalışalar verlştr. alco S. Plaza A. 007 Klas boacc ve Pell dzler br geelleştres } 0 ola br -boacc dzs verlyor. Bu geel. boacc dzs { geoetr döüşüü eşhur dört üçge e uzu earıda 4ÜEUK terar terar uygulaası le buluuştur. Bu sayıları pe ço özeller doğruda teel atrs cebrde çıarılıştır. alco S. Plaza A. 007 Klas boacc ve Pell dzler br geelleştres } 0 ola br -boacc dzs verlyor. Bu geel. boacc dzs { geoetr döüşüü eşhur dört üçge e uzu earıda 4ÜEUK terar terar uygulaası le buluuştur. Bu aalede bu sayıları pe ço özeller ç Pascal- üçge le bağlatı uruluş ve souç çıarılıştır. alco S. Plaza A. 008 Bu çalışada odülüde yararlaara - boacc dzler peryod uzuluğu celed. Bu peryod Psao peryodu olara ble devrl dzler gbdr. Peryot uzuluğuu π le taıladı ve burada her te sayısı ç; olduğu spatladı. π alco S. Plaza A boacc poloları -boacc sayılarıı doğal br geşleesdr ve oları özeller brçoğuu spatı açıtır. Özellle burada -boacc pololarıı döü otaları bçde bu poloları türevler verlştr. Bu gerçe ye ve dret br yolla ta sayı dzler br ales olay br bçde suar. boacc pololarıı türevler ç brço bağıtı spatladı.

3 uca. 000 Herhag poztf ta sayısı ç σ ve φ sırasıyla; ı böleler toplaı ve le aralarıda asal ve ya eşt veya daha üçü poztf ta böleler sayısı olsu. Bu aalede φ eştlğ çözüü sadece ± ± ± ± 4 ± ± 6 ± 9 ç φ eştlğ çözüü sadece 0 ± ± ± ç σ eştlğ çözüü sadece ± ± ± 4 ± 8 ç σ eştlğ çözüü sadece ± ± ± 4 ç buludu. uca. 999 Herhag 0 ve ta sayıları ç σ ve φ sırasıyla; böleler. uvvetler toplaı ve Euler fosyou olsu. Bu aalede aşağıda verle eştszller çalışılıştır. Her ç φ φ dr. Eştl sadece ç buludu. Her ve ç σ dr. Eştl sadece veya σ ç buludu. Her ç σ 0 σ 0 dr. Eştl sadece 4 ç buludu. McDael W.. 99 Bu aalede P ve Q aralarıda asal ta sayılar x Px Q fades sıfırları α ve β α > β olsu ç; α β U U P Q ve V α β değerler gcd s le lgl çalışalar verlştr. V P Q α β } Morto H.R. 99 { f boacc dzs dat çee br özelğ olduğuda dz. ter f f e büyü orta böledr. Başlagıç şartı f 0 0 ve a ve b her hag asal ta sayıları ç; f af bf reqüras bağıtısı le dz oluşur. Hardy ve Wrght { f } dzs ve yardıcı br dz arasıda lşy ullaara t at b dele öler terlerde her

4 4 dzy taılaışlardır. Bu aale aacı { f } dzs sadece bast uygu özeller ullaara f f ± f eştlğ ve f N poztf br d ta sayısı le bölüdüğüde N ta sayılarıı dzs S alara S ; d ye bağlı değşe ola bazı ta sayılarıı bütü çarpalarıda eydaa geldğ spat etetr. M.arro D.G. 007 { } {... } boacc sayıları dzs olsu. Bu çalışada br doğal sayısı ç eştlğ ve bleye sayıları le çözüü ç bazı oşullar verlyor. Ayı zaada > ç eştlğ e fazla br çözüü olduğu gösterlyor. Reault M. 996 Bu çalışada boacc sayılarıı tarhçes boacc dzs bazı özeller boacc dzler odüler tesl peryod peryod uzuluğu ve zcr gb avralar ve uygulaaları verlştr.

5 .BÖÜM TAM SAYIARDA BÖÜNEBİME VE ÖZEİKERİ.. Böle Algortası Br a ta sayısı poztf br b ta sayısı le bölüsü. Bu tatrde ola şartıyla br te q bölüü ve br te r alaı vardır. Burada b ye se böle sayı der. 0 r < b ç a b. q r 0 r < b a ya bölüe r yazılır. Burada 0 < b ç a olup souç olara; q b ve r a bq a b q r b olur. Böle algortasıda varsayalı r 0 olsu. Burada a bq 0 bq olup bu fade; b böler a yı b a ı br çarpaıdır a b le bölüeblr veya a b br atıdır şelde ouur ve b a le gösterlr. Eğer b a ı br çarpaı değlse b a yı bölez der... Bölüeble Özeller. a ve b poztf ta sayıları ç a b ve b a se. a b c s t her hag ta sayıları ç a b ve b c se a c a b olur.

6 6 a b ve a c se a sb tc a b se a bc olur.. a ve b herhag poztf ta sayıları ç b le bölüe ve a da üçü ola poztf ta sayıları sayısı a b dr... E Büyü Orta Böle a ve b gb poztf ta sayıı br çarpaı poztf br ta sayı olablr. a ve b bu gb çarpalarıa orta böleler veya orta çarpalar der. a ve b sayılarıı her s de böle poztf ta sayıları e büyüğüe e büyü orta böle der ve a b le gösterlr..4. E Büyü Orta Böle Özeller. a b d se d a ve d b. ' ' ' d a ve d b se d d.. a ve b aralarıda asal se a b. a b. a b d se d d ve a a b d. 4. a ve b poztf ta sayılarıı e büyü orta böle a ve b br leer obasyoudur. dr. s ve t her hag ta sayılar ola üzere a b d se d sa tb. a b ve c her hag poztf ta sayılar se ac bc c a b. 6. a c b c ve a b se ab c. 7. a b ve a bc se a c.

7 7 8. ç; a a... a poztf ta sayıları verls. Bu ta sayıı e büyü orta böle; a a... a a a... a a dr. 9. ç d a a... a ve a 0. p br asal ve p ab se p a veya p b. d se d a.. a a... poztf ta sayılar ve ç p br asal ve p a a... a se a bazı ler ç; p a dr.. p q q... asal sayılar ve ç p q q... se bazı ler ç; p q. q q.. E Küçü Orta Kat a b poztf ta sayılarıı e üçü orta atı a ve b her s le de bölüe poztf ta sayıları e üçüğüdür ve [ a b] le gösterlr..6. E Küçü Orta Kat ı Özeller a b a. [ ] se ve. b ' ' ' '. poztf br ta sayı a ve b se.. a ve b poztf ta sayıları ç a b.[ a b] ab 4. a ve b poztf ta sayılarıı aralarıda asal olası ç gere ve yeter oşul [ a b] ab olasıdır.. ç a a... a poztf ta sayıları verls. Bu ta sayıı e üçü orta atı; [ a a... a ] [[ a a... a ] a ] dr. 6. a a... a poztf ta sayıları şer şer aralarıda asal se [ a a... a ] aa... a a.

8 ve a poztf ta sayıları ç a se [... ] a..7. Euclda Algortası a ve b ta sayı b 0 olsu. a ve b e büyü orta böle bulalı. a b le bölüsü böylece; a bq r 0 r < b olur. Bu şelde deva ederse b r le bölüsü böylece; b r 0 r < b q r olur. Bu şelde deva ederse. adıda; r r q r 0 r < r ve. adıda; r ve r 0. r q r Çüü alalar eslle azala olduğuda a ve b e büyü orta böle yuarıda böle algortasıda sıfırda farlı so aladır. a b elde edlr. r.8. erat Teore p asal sayı p a se a p od p. dr..9. Bo Teore poztf br ta sayı olsu. Bu tatrde dr.... a b a a b a b ab b

9 9.0. Bo Kat Sayılarıı Çarpaları p br asal olsu. br ta sayıdır. Burada! p p!! p! p! br çarpaıdır. Eğer p se! le p! p aralarıda asaldır ve bu edele! p! br çarpaı olalıdır. Burada p! p le bölüür. p! p! p! p 0od p p.. ve p od p özelğde p p p od p olur. Tüevarı yöte le p od p p. Dğer tarafta p 0od p p ve 0od p p

10 0 olup burada elde edlr. p 0od p p.4.. Ç Kala Teore... r a a... a r Ζ olsu. Bu duruda sayıları şer şer aralarıda asal ola r tae poztf ta sayı x a od x a od.... x a r od Sste orta çözüler vardır. Ayrıca... odülüe göre. sste br te çözüü vardır.. r r.. Taba ve Tava osyoları x ta sayıdır. reel sayısıı tabaı; x reel sayısıı tavaı se üçü ta sayıdır. Taba fosyou x le taılaır. x sayısı x le taılaır. x sayısı; x te üçü e büyü x te büyü e x x ve tava fosyou g x x f ayı zaada sırasıyla e üçü ta sayı fosyou ve e büyü tasayı fosyou olara blr. Koshy T Taba ve Tava osyolarıı Özeller

11 x herhag reel sayı ve herhag ta sayı olsu... x x. te sayı se dr. 4. x x x Z. x x 6. te sayı se dr. Koshy T. 00. BÖÜM

12 IBONACCI VE UCAS SAYIARININ TEME ÖZEİKERİ Bu bölüde ta sayı dzler çde büyü öee sahp boacc ve ucas dzler tarhçesde bahsedeceğz. Bu sayı dzler taıları bazı teel avraları ve özeller üzerde duracağız... boacc ve ucas Dzler Tarhçes eoardo boacc. yüzyılda yaşaış br İtalya ateatçsdr. Psa şehrde doğa eoardo çoculuğuu babasıı çalışata olduğu Cezayr de geçrştr. İl ateat blgler Müslüa eğtclerde alış olup üçü yaşlarda olu Arap sayı sste öğreştr. Üles İtalya da ullaılata ola Roa raa sste hatallığı yaıda Arap sste üeellğ göre boacc 0 yılıda ber Abac sl tabıı yazıştır. Artet ve Cebr çere tcaret le lgl bu tapta Arap sayı sste taıtıı ve üdafasıı yapıştır. İl ada tabı İtalya da tüccarlar üzerde ets az olasıa rağe zaala bu tap Arap sayı sste Batı Avrupa ya gresde büyü rol oyaıştır. Bu tapta bulua br proble ortaçağ ateatğe atıları ola boacc y 600 yıl sora 9 ucu yüzyılı başlarıda güüüze eşhur hale gelese sebep oluştur. Bu proble Tavşa Proble dr. Erg br tavşa çft her ay ye br yavru çft verdler ve ye doğa br çft ay zarfıda ta ergelğe erştler varsayııyla yavru ola br tavşa çftde başlayıp yılda çftler sayısı e olur? Bua göre bell br ayda çft sayısı öce ayı toplaıa eşttr. O halde tavşa çft sayıları aylara göre br yıl çde olacatır. boacc bu proble tabıa byoloj blde br uygulaa olsu dye ya da üfus patlaasıa br çözü getrs dye oyaış; problee br toplaa alıştırası olara baıştır.

13 boacc eds bu sayı dzs üzerde br çalışa yapaıştır. Hatta bu sayı dzs üzerde 9 ucu yüzyılı başlarıa adar cdd br araştıra yapıladığı da belrtletedr. boacc sayılarıı ales üç ayrı edele br lg odağı oluştur. Brcs; dz daha üçü elealarıı doğada beleed yerlerde terar terar arşııza çıasıdır; btlerde böcelerde ççelerde vb. İc ede; boacc dzs br ter öcee bölüdüğüde ç bölü altı ora dee ve rrasyoel br sayı ola sayısıa yaısadığı görületedr. Bu sayı oyu artlarıı bçde Mısır da pratlere adar brço yapıı ateatsel teel oluşturatadır. Üçücü ede; daha ço sayıları edler sayılar teorsde beleed bçde farlı brço ullaıı ola lgç özellleryle lgldr. Belrl br süre sora bu dz üzerde yapıla araştıraları sayısı artıştır. Hatta boacc Dereğ ble uruluştur. Bu dereğ 96 yılıda tbare yayıladığı The boacc Quartery dergs bu sayı dzsyle lgl lgç araştıralar yayılaatadır. Bazısı ble bazısı öe sürülüp spatlaaaya ve bleyp eşfedles belee brço özelğe sahptr. Bu sayı dzs elealarıı bağıtısı ullaılara hesapladığı düşüülürse l sayı seçlede dzy oluştura eleaları bleeyeceğ açıtır. boacc dzs 0 0 ve le başlar dğer boacc sayıları verle boacc delee göre belrler. Aca bu başlagıç sayısıı özel br yaı oladığıda başlagıç ç başa değerlerde seçleblr ve ayı taılayıcı dele ullaara tüüyle farlı br sayı dzs elde edleblr. rasız ateatçs Edward ucas başlagıç sayıları ç seçleblece c e bast ve 0 sayılarıı seçere ve de bağıtısıı

14 4 ullaara boacc dzse bezer br sayı dzs elde etştr. Güüüze de süregele araştıralar bu sayı dzs arasıda lgç bağıtıları olduğuu aıtlaıştır. Bu özelller brço çalışada bulablrz. Bu sayılar baze doğada ve blsel alalarda görületedr. Öreğ sağ saralı ve 76 sol saralı ola ucas ayççeler olduğu bletedr... ucas Dzler ucas dzler b a b a V b a V b a U b a U başlagıç oşulları ola üzere; D b a Q D P ab P b a 4 bağıtılarıı sağlaya P ve Q ta sayılarıa bağlı Q P QV Q P PV Q P V Q P QU Q P PU Q P U reüras bağıtıları ullaılara taılaa dzlere der. b a Q P V b a b a Q P U şelde Bet forüller taılaıştır Su Zh-H 006. ucas dzler le boacc dzler arasıda lşy aşağıda tabloda gösterel.

15 PQ U V - boacc Dzs ucas Dzs Tablo.. boacc sayıları ve özelller Taı.. boacc Dzs. 0 0 ve ola üzere; 0. leer reüras bağıtısı le verle { } şelde ta sayı dzse boacc Dzs der. boacc dssde her ta sayısıa arşılı gele değere. boacc sayısı der.... değerlere arşılı gele boacc sayıları 0 tür. Tablo de de görüldüğü gb boacc dzs { } U şelde özel br ucas dzsdr. ucas dzler Bet forülüde boacc sayıları ç Bet bezer forülü elde edlr. Negatf dsl boacc sayılarıı

16 6. şelde taılı olduğu görülür. Bo atsayısı ve.boacc sayısı ola üzere; 0 > apalı forülü le fade edleblr. boacc sayılarıı ürete fosyou g x x x x x x x x x 4 x... Spso forülü. ve topla forülü şelde verlr.koshy T ucas sayıları ve özeller Taı.. ucas Dzs. 0 ve ola üzere 0

17 7 leer reüras bağıtısı le verle { } şelde ta sayılar dzse ucas dzs der. ucas dzsde her ta sayısıa arşılı gele her br değere. ucas sayısı der. değerlere arşılı gele ucas sayıları dr. Tablo de de görüldüğü gb ucas dzs { } V şelde özel br ucas dzsdr. ucas dzler Bet forülüde ucas sayıları ç Bet bezer forülü elde edlr. ucas sayılarıı ürete fosyou h x x x x x x Spso forülü ve topla forülü şelde verlr Koshy T. 00.

18 8.. Geelleştrlş boacc Sayıları G a G ve ç b G G G taılaa dzye Geelleştrlş boacc dzs der. Dz terler a b a b a ba ba bk şeldedr. Burada a ve b atsayılarıı boacc sayıları olduğu görülür..6.geelleştrlş boacc Sayılarıı Özeller. G. geelleştrlş boacc sayısı ve ç; dr.. G G G G a b. c a a b β ve d a a b α ç G cα dβ α β dr. 4. µ cd a ab b ç dr. G G G µ. G G G.7. boacc ve ucas Sayıları le lgl Bazı Özdeşller

19 9 Özdeşl. ç Z İspat: üzerde düsyo le ç;.. olup doğrudur. Özdeşl ç doğru olsu.. Şd ç doğru olduğuu gösterel... olup spat taalaır. Özdeşl.. İspat:. - 4

20 Özdeşl. İspat: 4... olup eştller taraf tarafa toplarsa; elde edlr. Özdeşl 4.

21 İspat: üzerde düsyo le ç; olup doğrudur. ve ç özdeşl doğru olsu. Eştller taraf tarafa toplarsa; olup ç de özdeşlğ doğru olduğu görülür ve spat taalaır. Özdeşl. İspat: üzerde düsyo le ve ç; 0 ve olup doğrudur. ve ç özdeşl doğru olsu. eştller taraf tarafa toplarsa; elde edlr ve spat taalaır. Özdeşl 6. İspat: Özdeşl.4 ve Özdeşl. ullaılara;

22 elde edlr. Özdeşl 7. İspat: Özdeşl.4 le elde edlr. Özdeşl 8. İspat: üzerde düsyo le ç; 0 0. olup doğrudur. ç özdeşl doğru olsu. Şd ç özdeşlğ doğru olduğuu gösterel. elde edlr ve spat taalaır. Özdeşl 9. İspat: üzerde düsyo le

23 4... olup eştller taraf tarafa toplarsa; elde edlr. Özdeşl 0. İspat: Özdeşl.4 le elde edlr. Özdeşl. İspat: Özdeşl. le eştller taraf tarafa toplaırsa;

24 4 elde edlr. Özdeşl. İspat: Özdeşl : İspat: Özdeşl 4. İspat: Özdeşl. İspat: Özdeşl.6 da elde edlr. Özdeşl 6. ç; dr. İspat: Özdeşl.4 le elde edlr.

25 Özdeşl 7. Ζ ç α β ola üzere α β ve α β α β dr. İspat: üzerde düsyo le ç olup doğrudur. ve ç eştl doğru olsu. α β α β α α α β β β α β olup spat taalaır. Ayı şelde üzerde düsyo le; ç olup doğrudur. ve ç eştl doğru olsu. α β α β α α α β β β α β olup spat taalaır. Özdeşl 8.

26 6 İspat: β α β α β α β α β β α β α α β α β α β α β α Özdeşl İspat: β α elde edlr. Özdeşl 0. K 4

27 7 İspat: β α Özdeşl. ç α dr. İspat: < β α Özdeşl. ç α dr. İspat: αβ α β α α < β β α β Özdeşl. İspat: β α αβ β α

28 8 Özdeşl 4. ç Ζ r r r r r dr. İspat: a ve b r alalı. [ ] b a b a b b a b r r [ ] b b a b b a b b b a b b a b a b a r r Özdeşl. çft te ve çft te dr. İspat: ve eştller taraf tarafa toplayara ve çıarara souca ulaşablrz. te se; çft se;

29 9 elde edlr. te se; çft se; elde edlr. Özdeşl 6. İspat: β α β α β α β α β α β α β α elde edlr. Özdeşl 7. 4 İspat: β α β α β α β α β α β α 4 αβ 4 4. BÖÜM

30 0 IBONACCI VE UCAS SAYIARININ BÖÜNEBİME ÖZEİKERİ Bu bölüde T.Koshy 00 ve S.Vajda 989 tarafıda verle boacc ve ucas sayılarıı bölüeble özeller ve bazı uygulaaları verlecetr. 4.. Bölüeble Özeller boacc sayılarıda Özdeşl 6 da geelleştreye çalışacağız. Dğer br fadeyle hag şartlar altıda göstereceğz. Şd vereceğz teore j se olduğuu gösterr. j dr. Bz burada buu j olduğuu Teore 4... İspat. Tüevarı yöte le ç doğruluğu açıtır. Varsayalı bütü ta sayıları ç de doğru olsu. O halde ç olduğuu varsayalı. Burada olduğuu gösterelyz. boacc sayılarıda Özdeşl 4 de; yazarız. Tüevarı hpotezde olduğuda olduğu görülür. Böylece her ta sayıları ç teore doğrulaır. Koshy T. 00. Öre olara; 6 8 ve ç 6 4 ve dr. Souç 4.. Her. boacc sayısı le bölüeblr. Koshy T. 00.

31 Öre olara; her. boacc sayısı le bölüeblr. Burada sayıları le bölüeblr. Ayı şelde sayıları da 6 8 le bölüeblr. Teore 4.. se. İspat: Böle algortası le qr 0 r < dr. Varsayalı olsu. Bu tatrde ta sayılarda bölüeble özellerde ve 964 te. Carltz tarafıda verle Özdeşl 6 da; dr. aat olduğuda dr. Bezer şelde dr. Bu şelde deva ederse ve dr. Bu se r 0 ve q q r oladıça olaasızdır. Böylece dr. Koshy T. 00. Souç 4.. gere ve yeter oşul olasıdır. Bu souç Teore 4. ve Teore 4. br soucudur. Koshy T. 00. Souç 4.. se bu tatrde dr. İspat: Teore 4. de v e dr. Bu edele dr. [ ] aat olduğuda [ ] dır. Böylece dr. Koshy T. 00. Öre olara 4 7 ve 78 dr. Burada olup dr. Souç Her hag ardışı boacc sayısı aralarıda asaldır. İspat: Euclda algortası ullaılara bölüe sayı böle sayı olsu..

32 Euclda algortası le ç eştlğ elde edlr. Şd vereceğz leada Souç 4.4 ü geelleştreceğz. ea 4.. q dr. İspat: d q olsu. Bu tatrde d ve d dr. Teore 4. de q q olup d q dr. Böylece d q ve d q dr. Souç 4. 4 te dr. Bu edele d olduğuda d ve böylece q q elde edlr. Koshy T. 00. q ea 4.. q r olsu. Bu tatrde r dr. İspat: Özdeşl. 4 ve ea 4. ullaılara q r q r q r q r elde edlr. r r

33 Ye teorede boacc sayısıı e büyü orta böle daa br boacc sayısı olduğuu göstereceğz. Koshy T. 00. Teore 4... İspat: ç Euclda algortası le bölüe sayı böle sayı olsu. q 0 r < 0 r qr r 0 r < r r qr r 0 r < r... r q r r 0 r < r r qr 0 ea 4. de r r... r r r olur. olduğuda Teore 4. de dr. Bu edele r r r r r r r olup böylece olur. Euclda algortasıda r olup elde edlr. r edlr. Öre verece olursa 8 dr ve elde Br alteratf spat.

34 4 d ve d ' olsu. Teore 4. de d ve d dr. Böylece d d' olur. d olduğuda d a b olaca şelde a ve b ta sayıları vardır. d > 0 olduğuda a 0 ya da b 0 olsu. Varsayalı a 0 olsu. 0 ola üzere a alalı. Bu tatrde b d yazarız. Özdeşl 4 de b d d d 4. elde edlr. ' Teore 4. de d d ' dr. d ' ve böylece d ' olur. Burada d ' ve d ' b bu edele 4. eştlğde d' d olur. aat b b d ' ve olduğuda d ' olur bu edele d ' d böylece d' ve d ' olduğuda d d d ' dr. Dğer br deyşle d dr.mchaelg.964 Bu teore e üçü orta at ç sağlaaz. Ya dr. Öre verece olursa; [ ] [ ] 4 ] [] 6 ve [ 40] olup [ 4 0 ] [40] olduğu görülür. [ 0 Souç 4.. Eğer ve aralarıda asal se bu tatrde ve de aralarıda asaldır. Öre olara ve 4470 dr.. Teore ola üzere olası ç gere ve yeter oşul olasıdır.carltz.964

35 Öre olara 0 0 ç 0 ya 676 olur. Teore 4.. ve ola üzere olası ç gere ve yeter oşul olasıdır..carltz.964 Öre olara 4 ve.4.o halde olup 4 ya 7 olur. 96 te George C.Cross ve Hele G.Rez : b : 4 7 a se [ a b] a b a b olduğuu spatladılar. Öre olara a ve b 8 ç [ b] a b a olur. Cross ve Rez ayrıca a : b : e [ a b] a b a b olduğuu spatladılar. Öre olara a 4 ve b 7 ç [ b] a b a olur. duruda Daha geel olara varsayalı a : b : veya a : b : olsu. Bu [ a b] a b ve G..reea tarafıda aşağıda teorede verlştr. Teore a b arasıda lşy araştıralı. Bu duru;. a b : se bu tadrde ola üzere : [ a b] a a b b dr.. c d a : b c : d se ç a b [ a b] a b dr. c : d oraıı çözüler sayısı poztf çarpalarıı sayısıı yarısıa eşttr. Bu poztf çarpalarda br de İspat:. dr.. a b : olsu. Bu tadrde bazı poztf ta sayıları ç : dr. a a b b [ a b] a b

36 6 elde edlr. [ a b] a b. c d ola üzere a : b c : d olsu. Bu tatrde bazı poztf ta sayıları ç a c b d eştlğde ve [ a b] cd a b dır. [ a b] a a b b c d cd dr. c d d d 4. d Eğer 0 < d < se bu tatrde c < 0 dır. Böylece d > dr. c br ta sayı d. Böylece 4. eştlğde her poztf çarpaı ç c br değer buluur. aat c a d b ; c : d oraıı br çözüü se c b d a dr. Böylece poztf çarpalarıı sayısı c : d oraıı farlı değerler sayısıa eşttr. Özel olara d alalı. Bu tatrde c olur. Böylece bu değer c : d : oraıı br değerdr. reea G..967

37 7 Öre ç a b : 4 : dr. a 8 b 8 ç a : b 4 : dr. [ a b] a b : a b [ a b] a a b 8 de 8 b c d d d dr olup 44 poztf çarpaları; ve 44 dr. Böylece d sez değer alablr. Bular; v 46 olur. Souç olara c : d çeştl değerler; 46: 4: : 4 47: 8 8: 47 4: : 4 ve : 46 dr.dat ederse pay ve paydalar yer değştrştr. c : d payı e üçü ola dört değer; 8: 47 4: : 4 ve : 46 dür. Bu oralarda 4 : 9. 0 dr. Koshy T. 00. Teore 4. ucas sayıları ç de bezerdr. ea 4.. ç dr. Koshy T. 00. Teore a b : se ç :. a b se ç : : a b [ a b] a b dr. a b [ a b] a b. c d ç a : b c : d.eğer ç dr. b [ a b] a b a se c : d oraları poztf çarpaları le belrler. Bularda br İspat: : dr.

38 8. a : b :. olup bazı poztf ta sayıları ç a b [ a b] dır. O zaa a b elde edlr buda steedr. a b [ a b] a b. Varsayalı a b olsu. O zaa bazı poztf ta sayıları ç : a b a b ve [ a b] dır. O zaa a b olduğuda elde edlr. [ a b] a b. c d ç a : b c : d. Burada bazı poztf ta sayıları ç a c b d a b a b cd [ ] dır. eştlğde [ a b] a b a b elde edlr. c d cd d d c 4. d c ve d poztf ta sayılardır. c : d oraı poztf çarpaları le belrler.

39 9 Özel olara alalı. ea 4. te d c olup böylece oraıı br çözüü dr. Br çözüü de dr. d c : : : Teore 4. 6 ı ase duruu göz öüe alıırsa bütü çözüler elde edeeyz. Öre olara; > d d seçel. 4. eştlğde c - - Böylece oraıı br çözüü de dr. reea G d c : : Şd de bu Teore ç br öre verel.

40 40 Öre olsu. 4 ve 60 olur. 9. a : b : 8 : 9 47 : 76 a ve b 80 alalı. Bu tatrde [ a b] a b [ 80] a b. a : b : 6 : 7 8 :. a 96 ve b6 alalı. O zaa [ a b] a b [ 966] a b. c : d.7 ve 7 olduğuda a : b 80 : 04 : 7 alalı. Teore 4. 7 üçücü ısıda c d d 4 d 4 Burada ı 6 tae poztf çarpaı vardır. Bular; ve46 dır. Bezer oralar; :80 6:07 7:6 40: 4: 47:76 48:7 :60 60: 7:48 76:47 :4 :40 6:7 07:6 ve 80: dr. c d le sez farlı c : d oraları vardır. Bular; 7:6 8: : 6:07 7:6 4: 47:76 ve 48:7 tür. Dat ederse 8: de br çözüdür. Burada 47 : 76 ve 8 : 8 : 9 oraları bu oralar arasıdadır. Koshy T : 7 Teore boacc dzs her hag ardışı ter çarpıı l ter çarpıı le bölüeblr. İspat: Bu teore ucas878 ve Carchael9/4 tarafıda farlı yöteler le spatlaıştır. Şd Özdeşl 4 de

41 4 olup ardıda yazarız. Burada le gösterrse 4.4 de t t t J t elde ederz. Açıça J J J J t ve J t t dr. düşüel. Şd Bo atsayılarıı oluşturduğu Pascal üçgee bezer br üçge J J J J J J J 4 J J J 4

42 4.. J J J J J J J Bu üçge sol earıda bütü elealar e eşt ve sağ earıda elealar ç. sırada elea ya eşttr ve bular brer ta sayıdır. Varsayalı o zaa l öce - sırasıda bütü değerler ta sayıdır ve sırasıda değerler düşüel. İl değer ve so değer arasıda herhag br değer dr. Bu değer J olsu. Bu değer ve ve bulara atıla ta sayılar tarafıda sırasıyla buları çarpıları le ta üzerde değerde buluur. Bu çarpılar terar br ta sayıdır ve bz bu fadez tüevarı le spatlarız. Doğal sayılar dzs boacc sayılarıı dzs yere oyalı. O zaa bz Bo atsayıları ta sayıdır ble gerçeğ elde ederz. Br bezer açılaa da ucas sayıları ç yapılablr. Teore İds te sayı ola ucas sayılarıı oluşturduğu dzs date alalı. Bu dz her hag ardışı ter çarpıı le bölüeblr. İspat: ve P... Q... alalı. ve bütü ler ç teore doğru olduğu görülür.... ardışı ter çarpıı l dr. Ye ve bütü ler ç P Q olur. P Q

43 4 Varsayalı N - ve bütü ler ve N ve M ç teore doğru olsu. M ve N ç doğru olduğuu gösterelyz. P M N PM N PM N M 4N M 4N M Özdeşl.6 da M N ve N alalı. Bu tatrde elde edlr. Burada P M 4N M M N N M N PM N PM N N M 4N M N elde edlr. Şd varsayalı le bölüebls bu edele P Q le PM N QN M N N bölüeblr. Böylece eştlğ sağıda her topla Q le bölüeblr. ç teore sağlaış olur. Vajda S. 989 N P M N N Teore a le bölüeblr....;... b le bölüeblr....;... İspat: a ç a özdeşlğ doğrudur. ç Özdeşl 7 y ullaara ç de doğru olduğu görülür. Şd a özdeşlğ bazı lar ç doğru olsu. Burada ç de doğru olduğuu gösterel. Özdeşl 4 de olur.

44 44 Eştlğ sağıda l ter le bölüeblr. Çüü le bölüeblr olduğuu Teore 4. de gösterşt. Eştlğ sağıda c ter varsayııız le odülüe göre eşttr. Burada le bölüeblr ve spat taalaır. İspat : b ç b özdeşlğ doğrudur. Eğer b bazı lar ç doğru se ç de doğru olduğuu gösterel. Varsayalı b bazı lar ç doğru olsu. odülüe göre e detr. Şd Özdeşl 4 de yazarız. Bu a da az öce spatladı. Şd varsayı le odülüe göre [ ] 4. eştlğ de olduğu fadey bulalı. Bz bu otada br lea verel. ea Eştlğde ve se o zaa

45 4 fades le bölüeblr. Bu lea 4. eştlğ odülüe göre e de olduğuu gösterr. Böylece b spatı taalaır. Cavach M. 980 Souç le bölüeblr. İspat: yere yazalı. Teore 4. 0 da a ve b özdeşllerde [ ]od olur. Ayı zaada dr. Şd 0 olduğuu hatırlayalı. İl ter çere topla souda sırasıyla... terler heps le bölüeblr. Ayı zaada.ter de le bölüeblr. So ter se dr. Böylece od ve bu edele ya odülüe göre ; 0 eştlğe detr. Dğer br söyleyşle le bölüeblr. Vajda S. 989 Cavach bezer br ddayı gösterd. Bu dda şu şeldedr;...;... ç ola üzere le bölüeblr.

46 46 Şd bazı boacc sayılarıı br çarpaıı her hag ble sayı olup oladığı sorusuu ele alalı. ucas sayıları ç değl de sırada boacc sayıları ç bu duruu spat edel. Düşüeye asal sayılar le başlayalı. y çere boacc sayıları vardır öre olara.. Ayı şelde çere boacc sayıları vardır öre olara Burada ve te başa asalları düşüeceğz. Teore 4.. Eğer p t ± bçde br asal se p od p. Eğer p t ± bçde br asal se p od p. İspat: Özdeşl 9 da p p... p p p p p yazarız.. ve. de p p od p elde edlr. p od p olası ç gere ve yeter oşul p t ± bçde olasıdır. ve p od p olası ç gere ve yeter oşul p t ± bçde olasıdır. t 0... Teore.4. arşıtı doğru değldr. Öre olara faat br asal değldr. Vajda S od Teore.4.. Eğer p t ± bçde br asal se 0od dr t 0... dr. İspat: Özdeşl.9 da p ç p p

47 47 p p p p... p p p dr.. de p p... p 4 p od p p olur. Bu edele eğer od p se o zaa 0od olur. p p Vajda S. 989 Teore 4.. Eğer p asalı t ± t 0... bçde se 0od dr. İspat: Özdeşl.9 da p ç p p p p p p... p p p.4 de p P od p P p dr. Eğer od p se 0od olur. p p Bu üç teore boacc sayılarıı Spso forülüe uygudur. Gerçete p br te asal sayı se veya de br p odülüe göre 0 a detr ve p p p od p dr. Açıça p veya p- p le bölüeble br boacc sayısıı e üçü ds olası şart değldr. Öre olara üçü dsl boacc sayısı sayısı 7 le bölüeblr. aat 7 le bölüeble daha 9 7. dır.

48 48 Souç olara; her asal sayı bazı boacc sayılarıı çarpaıdır. Teore 4. Teore 4. ve Teore 4. te yararlaara ucas sayıları ç de bezer souçlar çıaracağız. Vajda S. 989 Teore p br asal se p od p dr. İspat: Özdeşl 0 de p p p p... 4 p p p olup burada. ve. özdeşller ullaılara p od p elde edlr. Teore.4.4 ü arşıtı doğru değldr. Öre olara halde 70 br asal sayı değldr. Vajda S od 70 olduğu Teore 4.. Eğer p asalı t ± t ta sayı bçde se o zaa p od p dr. İspat: Özdeşl 0 de ve. de p p... p 4 p od p p elde ederz. Eğer od p p se od p olur. Burada p p p 4 od p ve od p P buluur.. eştlğ ullaara elde edlr. Vajda S. 989 p od p

49 49 Teore 4.6. Eğer p asalı t ± t ta sayı bçde se o zaa p od p dr. İspat: Özdeşl 0 de p p p p... 4 p p p olup burada.4 özdeşlğde yararlaıyoruz. Bu eştlğ varlığı le p p p od p p elde edlr. Terar. eştlğ ullaırsa od p de elde edlr. Burada p p. od p p p p od p buluur.. ullaılara p od p elde edlr. Vajda S. 989 Teore 4. 4 ve t t t t 4.6 eştlğe uya daha başa fadeler üreteceğz. t br te asal sayı se 4.6 da t t t

50 0 yazarız. Burada t ç elde ederz. Çüü ve od p p dr. Burada t te asal sayı se t odt dr. Br öel gerçe de od olup doğrudur. eğer le bölüeblyorsa ı çft olduğuu blyoruz. O zaa le bölüeblr ve çfttr. Dğer tarafta te se ya od ya da od olur. Burada ya od ya da od olup tetr. Şd t t br ta sayı ola duruuu düşüel. Bz öce blglerzle ı te sayı olacağıı blyoruz. Şd aşağıda teoree baalı. Teore Eğer te sayı se t t de br te sayıdır. İspat: Burada ayrı duruu ele alalı. t böle l olara te sora se çft alalı. a te olsu. Burada t eslle ü br atı değldr. Çüü eğer yı te t farz ederse he he de t de ü br atı değldr. O halde t de te sayı olur. İ te sayıı oraı ye te sayı olacağıda t t oraı br te sayıdır. b t çft olsu. Burada t ds ü br atı olalıdır ve burada t de ü br atı olup br çft sayı olur. Bz te sayısı ç ve ayı e yüse t uvvet apsadığıı göstereceğz. Bz blyoruz br e yüse uvvet veya 4 te farlı olayablr. Şd de e yüse uvvet 4 se ayı zaada 4 ü t çerecetr ve hç br ucas sayısı daha büyü uvvet çereyecetr.. Bu edele bölüede uvvetler dışarıda bıraılara ptal edlr. Eğer t t t t de e yüse uvvet se o zaa 4.6 da bu t de de çerle e yüse uvvet olacatır. Burada t t oraı her duruda da tetr. Vajda S. 989

51 Teore 4. 7 ters doğru değldr. Ya çft e t t oraı te veya çft olablr. Öre olara Teore s t d se s d ve t d oralarıı her s de te sayı ola şartıyla dr. s t d İspat: Bz hag şartlarda ve orta böle olacağıı blyoruz 4.6 s t d le.. Şd d e büyü orta böle olduğuu spatlayalı. Özdeşl. 6 da ve s s s t t t dr. st d varsayıı le s t d br orta böledr. s t d olduğuda; d s t br atıdır ve böylece d d s br atıdır. t Bz Özdeşl 7 de blyoruz ve de büyü orta s s çarpaı yotur ve bu ayı zaada ve ve br çarpaı ola t s t t d ç de geçerldr. Böylece bz ve ayı zaada ve de büyü orta çarpaı yotur dye söylerz. İ duruda da orta çarpa d. O zaa s d s t t olacatı. Bz bu d d edele Şd s d ve t d her s de çft olaayacağıı gösterelyz. s d ve t d oralarıı her s de le bölüeyeblr. Eğer olar bölüseyd; d s ve t d de daha büyü orta çarpaı olacatı. Bu edele s d ve e az br te olalıdır. Burada Teore 4. 7 de s d veya t d t d veya her s de te olalıdır. Böylece spat taalaır. Vajda S. 989 Br Dğer boacc Dzs

52 97 yılıda Uderwood Dudley ve Besse Tucer boacc dzs braz değştrere ola üzere S Şelde taılaışlardır. Oları yaptığı lgç gözle Tablo. de görülüyor. S S satırıda... elealar boacc sayılarıdır. Ye bu satırda elealar se.. 7. ucas sayılarıdır S S S Tablo. Teore Dudley ve Tucer

53 İspat: İspatı yapare boacc sayılarıı Özdeşl ullaacağız. Burada. 4 4 ve. 4 4 ve olur. Hoggatt tarafıda 97 de celee soucu ardıda bu teore olay olduğu görülür. Souç Hoggatt

54 4 İspat: İspatı yapare Teore 4.9 da yararlaacağız. 7. ve buluur.. Sosuz çoluta asalları apsaya boacc dzs olup oladığı heüz bleese rağe bu teore { } ve { } Aşağıda souçta buu göstereceğz. dzlerde oları solu yapar. Souç se bleş 7 se bleş sayıdır. İspat: ç bleş 4 dür. ç Teore 4. 0 de 4 aşar olaya çarpalardır. Böylece 4 ç br bleştr. Ayı şelde 7 ç br bleştr. Dat ederse < 4 ç br asaldır ve < 7 ç de br asaldır. Koshy T. 00. Daha öce yaptığıız gözle soucuu ye souç le doğrulayacağız. Souç 4.9. ola üzere S 4 S 4 S 4 S 4 ve 4 S 4 S dr. Koshy T. 00. İspat: Teore 4. 9 da S S

55 Souç 4.0. H olsu. ç H H 4 4 H 4 H 4 ve H 4 H 4 dr. Koshy T. 00..BÖÜM

56 6 IBONACCI DİZİERİNİN MODÜER TEMSİİ Bazı odüller altıda boacc sayılarıı egatf olaya e üçü alalarıı dzs düşüülere boacc dzler bazı büyüleyc özeller öğreeblrz. Bu alada l oder araştıra 960 yılıda D.D.Wall tarafıda yapıldı. Buula beraber J..agrage 8.asırda bu tür dzler üzerde bazı celeeler yaptı. değşe ullaara br odül taıladı. Bu bölüde Reault M. 996 tarafıda verle boacc dzler odüler tesl ve alco S. Plaza A. 008 tarafıda verle odülüe göre -boacc dzler çalışaları celeştr... Peryod boacc dzler odülüe göre üçültere peryodu elde ederz. od od Her hag geelleştrlş boacc dzs odülüe göre terar eder. Her hag br çft ler ve gerye doğru her s de taae br dz belrtece ve alaları çftler olara sadece odülüe göre her hag boacc dzsde alablrz. tae vardır. 00 çft aşar olup bz peryodu asu uzulu olara Daa l çft yelee üzere başladığıız çfte ger döeceğz. Varsayalı bu böyle olası. x y... x y blolarıda ab çft çereye a b... x y... x y... dzs alalı. Buula beraber bz bu bloları ler ve gerye doğru terarladığıı blyoruz ve böylece ab çft dzde olayablr. Bu se br çelşdr. boacc dzler tesl ede odüllerde eydaa çıaca sıfırlar haıda bazı şeyler söyleyeblrz. s t s t s t st t s t s t

57 7 Özdeşllerde 0 se 0 ve 0 olduğu açıtır. Bu edele s t st st od bütü sıfırları ta olara dzde baştabaşa yer alır. od her hag ve 0 0 ç peryod olup bz her hag br ta sayıı sosuz çoluta boacc sayısı le bölüebleceğ söyleyeblrz. bütü boacc sayıları ta olara dzde baştabaşa yer ala verle br ta sayı tarafıda bölüeblr. od peryod olduğuu blyoruz. Şd peryod le br dz odülü arasıda lş üzerde duracağız. Bu alada Wall tarafıda verle taılar aşağıda verlştr. odülüe göre boacc dzler peryoduu le taılayalı. odülüe göre her hag geelleştrlş boacc dzs peryoduu se h le taılayalı. 4 ç 4 6 ve ç 0 olur. Taıda elde edle bazı souçlar aşağıda verlştr. G r G r. od. h od 0od od Eğer 0od ve od se olduğuu sı sı ullaacağız. Bu se od peryod olasıı br soucudur. Bz şd bazı otasyolar ullaara od geel özellerde bazılarıı spat edeceğz. Reault M. 996 Teore... ç çfttr. İspat: olara alalı ve bütü uygu odüller düşüel.. eştlğde t te se t t ve t çft se t t olduğuu blyoruz. Şd varsayalı te olsu. ye eşt olduğuu gösterel. olduğuu blyoruz. te se - çft olup olur. Böylece olup olduğu görülür. Reault M. 996

58 8 Dğer tarafta od bazı özellerde olduğuda dr. Bu şaşırtıcı özel geelleştrlş boacc dzler ç de doğrudur. Teore... se verlş br boacc dzs ç h h dr. İspat: h h olsu. h uzuluğuu blolarıda terarı God le gösterel. Seçle ç G G od le göstereceğz. 0 a < ola üzere h olduğu zaa olduğuu blyoruz. G a x ve a y G. r alalırsa G h G h od G a rx ve a ry G h elde edlr. a a ' ' w 0 a < alalı. Bu tatrde elde edlr. Elbette bu olduğuu gösterr. Reault M. 996 ' ' G a w rx ve a w ry G G h G h od Teore... asal çarpaları dr. e p şelde se e p h lc[ h ] İspat: Teore... de her ç e e lc[ h p ] h h p h olduğuda e e dr. h p lc[ h p ] olduğuda lc[ h ] uzuluğuu blolarıda terarı e p God e p le gösterel. Burada her ç G lc e [ h p ] G 0 ve G [ ] od G p lc h p e e dr. Bütü e p ler aralarıda asal olduğuda. de G lc e [ h p ] G 0 ve G [ ] od e G lc h p

59 9 e p elde edlr. Böylece lc [ h ] uzuluğuu blolarıda terar God olup e p h lc[ h ] olduğu görülür ve spat taalaır. Reault M. 996 Teore..4. h [ ] [ h h ] dr. İspat: [ ] ve [ ] olup Teore... de [ ] h h dr. h h [ ] ve e üçü orta atıı asal çarpaları alalı. Bu tatrde Teore... de e e et [ ] p. p... p t ve e e et e e [ ] h p. p... p [ h p... h p t ] h elde edlr. p her ç veya y böler burada her h de h veya h y böler. Böylece e elde edlr. Başa br deyşle olup e [ e t t h p... h p ] [ h h ] h [ ] [ h h ] [ ] [ h h ] h elde edlr ve spat taalaır. Reault M. 996 t t e p.. Modülüe Göre -boacc Dzler Burada odülüde yararlaara - boacc dzler peryod uzuluğuu çalışacağız. Bu peryod Psao peryodu olara ble devrl dzler gbdr. Peryot uzuluğuu π le taılayalı. Burada her te sayısı ç; π olduğu spatladı. Bu çalışada odülüde faydalaara - boacc dzler drgees le bulua dzler peryod uzuluğuu göstereceğz. Bu proble

60 60 las od boacc dzler br geelleştresdr. alco S. Plaza A. 008 Taı... Her hag ta sayısı ç. boacc dzs { } N le taılayalı. ç 0 0 ve. reüras bağıtısı elde edlr. Eğer x gb br reel değşe se x olur ve. eştlğ; o x x. x x x > le taılaa boacc pololarıı verr. Taıda; Eğer se las boacc dzler buluur. Eğer se Pell dzler oluşur. - boacc sayılarıı taııda l 8 ter Tablo- de verlştr. alıara ayrı ayrı -boacc dzler buluur. Bular; { } { } N { } { } N { } { } N { } { } 4 N } N şeldedr. Öre olara { 4 4-boacc dzler yedc eleaı olduğu görülür İl sez - boacc sayısı

61 Tablo- Şd -boacc dzler bazı özeller verel. 4 α 0 r r araterst dele poztf öü ola üzere; α α α α olur r r r r

62 6 0 f şeldedr. alco S. Plaza A x x x x.... -boacc Dzler İç Psao Peryotları Bu ısıda dzler br ta sayı ola üzere -boacc od dzler alaları düşüere buludu. Her hag br sabt ta sayısı ve... paraetreler değşe değerler ç odüller alaları le ye br dz elde edld. od terarlı -boacc sayı dzs. Psao peryodu π le gösterlr. Her Psao peryodu sıfır le başlar ve le soa erer. Peryod uzuluğu odülüe göre br peryod çde alaları sayısıdır ve π le gösterlr. Her hag br peryod br veya daha ço sıfırı çerdğ ç l sıfır dahl c sıfır arasıda alaları ües zcr olara taılaır. Her br zcrde eleaları sayısı ayı ola Psao peryodu veya 4 zcr çerr. odülüe göre -boacc dzs alalarıı dzs { od } N le gösterel. alco S. Plaza A. 008 Teore... { od dzs de daha üçü peryotlu bast br peryod dzdr. } N { od } N alalarıı dzs { r...} r le gösterel. İfadez alaşılası ç r r r r... r p r p alalarıı çftler düşüeceğz. Eğer çftler her hag br br dğerde farlı se od sayılarıı sadece çft var olduğu ç çlerde br 0 şelde olacatır. Eğer r p r p 0 se aşar olara rp rp ve bu edele alaları dzs p peryodu le peryodtr.

63 6 Dğer tarafta eğer bu çftler s ayı se öre olara; eğer < j ç r r rj rj se bu tatrde r r rj rj ve bu şelde deva ederse r r rj rj elde edlr ve böylece dz j- peryodu le peryodtr. Wall DD.960 Wuderlch M. 96. Souç... Eğer > se her Psao peryodu 0... le başlar. Souç... Eğer asal çarpaları şelde se o zaa olur. alco S. Plaza A. 008 e p e e π lc p lc π p Souç... Eğer r se π r π dr. Uyarı... r... ç şeldedr. alco S. Plaza A. 008 π r ve π r Teore... Eğer { od } Psao dzs l zcr se bu tatrde 0 a... a r ar a ve 0 b b... b r b a r ve b a r olur. İspat: r r r ve 0 r od düşüere elde ederz. Şd b r od r od r r r a r

64 64 eştlğde b r r ala ala ar elde edlr. So olara öce edeler terarlaara spat yapılır. alco S. Plaza A. 008 Souç.. de -boacc od dzler alalarıı br dzsde Psao peryoduu so eleaı ve tap ede peryodu l eleaı 0 olduğuda ve 0 ardışıtır. > ola üzere her Psao peryoduu elea sayısı çfttr. Souç..4. Eğer br zcr elealarıı sayısı çft se bu tatrde Psao peryodu br veya zcr gösterr. İspat: Eğer zcr e so eleaı se o zaa tap ede zcr l eleaı 0 dır ve bu edele l zcr Psao peryodudur. Dğer duruda eğer so elea değl se o zaa brc zcr so eleaı le tap ede zcr c eleaı ayıdır ve böyle deva edlere c zcr so eleaı l zcr c eleaı le ayıdır ve bu dr. Böylece peryot soa erer. alco S. Plaza A. 008 Souç... Eğer br zcr elealarıı sayısı te se o zaa Psao peryodu 4 zcrdr. İspat: Eğer l zcr elealarıı sayısı te se o zaa c zcr so eleaı dr ve buda üçücü zcr c eleaı le ayıdır ve böylece dördücü zcr so eleaı -- dr vepsao peryodu soa erer. alco S. Plaza A. 008 Souç..6. Her Psao peryodu veya 4 zcrdr. Teore... Eğer te sayı se bu tatrde π 4 4 4

65 6 olur. İspat: - boacc dzler geel ter ç. de 4 se olup 4 ü atı olduğuda; 4 0od 4 4 elde edlr. Böylece bu elealar gelece zcr l terdr. Ayrıca te olduğuda 4 de te olup Souç.. te Psao peryoduu uzuluğu 4 4 olur. alco S. Plaza A. 008 Uyarı... π ; her ç 6 e eşt veya daha üçütür. redy P Brow KS 99. Teore... de π olası ç gere ve yeter şart ı te olasıdır. Bua bağlı olara aşağıda souç verlr. Souç..7. Her hag te sayısı ç olur. alco S. Plaza A. 008 π ü her uvvet ç π r r olup bu edele her hag - boacc dzlerde. eştlğ elde ete ç odülüü sosuz değerler vardır. r r r r π 4 π. π 4 π. π r Uyarı... Eğer te sayı ve 4 asal olaya br sayı se o zaa 4 le bölüür ve arşılı gele -boacc dzsde π 4. ve 4 4 π 4

66 66 olup ayı zaada çarpaları br obasyoudur. Eğer te sayı ve olaya br sayı se 0 r ± bçdedr. O zaa 0 r ± se olup ve Ν ç a bçde her sayısı ç bağıtısı vardır. gb 4 asal 4 a π 4 Öre olara 9 ç ve her hag obasyou ç π 4 doğrudur. 9 Teore..4. Eğer ve çft sayı se π 4 olur. Eğer ve te sayı se π 6 olur. İspat: Eğer r r se poloları -boacc dzs { 0 r r r r... } şeldedr. Dat ederse r r 4rr elde ederz { 0 r} zcr ayı zaada br Psao peryoduu belrtre dzsdr ve π 4 olur. 0 { 0...} 0 r od 4r alalarıı Eğer r r se l -boacc poloları aşağıda gbdr; 0 r r 4r 4r 4 r r 8r r 0r 4 4 r r 6r r 6r 0r 4 6 r 4r r r 80r r 88r 40r 8 4r odülüü alalarıı dzs olup böylece { 0 r r } { 0 r r r 0... } r zcr br Psao peryodudur ve π 6 elde edlr. alco S. Plaza A. 008 Teore... r ve her hag ta sayısı ç π r.

67 67 şeldedr. İspat: r.- boacc dzs { 0 r... } dzs { 00...} şeldedr. alco S. Plaza A. 008 r olur ve odülüü alalarıı Modülü 6 atı ola Psao peryoduu uzuluğu ç -boacc dzler bazı öreler aşağıda verlştr. ç π 0 ve ayı zaada π 0 π π π 0 π. π. π π 0 π. π. π vb. ç π 4. ve ayı zaada π 6 π π 4. 6 π. π π vb. ç π ve ayı zaada π.9 π. π π.9 π. π vb. 7 ç π ç olup π 9 4. π π π 9 4. vb. dr.... -boacc Dzler İç Psao Peryot Uzuluğu Dzler ç ala sadece 0 dır ve bu edele her hag -boacc dzs Psao peryotlarıı uzulularıı dzs le başlaalıdır. İl beş -boacc dzs ç Psao peryot uzuluğuu dzs gösterel; { od } { } { od } { }

68 68 { od } { } { od } { } 4 { od } { } { od } dzs las boacc dzlerdr. { od } dzler yer tutar. alco S. Plaza A dzs se Pell.. Sabt Modüllü Psao Peryot Uzuluğuu Peryod Dzler Tablo...0 ç l 0 -boacc dzlerde elde edle dzler gösterr. -boacc dzsde her çft elea ı br fosyou olasıa arşılı her te elea da boacc dzler ç elde edlr. f şelde yazılır. Bu edele her hag - { 0} π π Dğer tarafta her r ç düşüürse π π eştlğ doğrulaır. } N r r O zaa { π dzs peryodu le peryodtr. Ayı zaada her r ç π π eştlğde bu dzde Tablo- e arşılı gele dzy elde ete r r ç l 008 uzuluğuda peryotları bula gereldr. alco S. Plaza A

69 Tablo- Öre... Eğer 7 se π 7 dr. Şd l 8 Psao peryoduu 7 uzuluğuu bulalı. Bu duruda ç Psao peryod dzs souçları ola las boacc dzler buluur { } ve burada π 7 6 elde edlr. ç od7 ye göre Psao peryoduda elde edle Pell dzs { } olur ve π 7 6 dır ç ayı yolla deva ederse peryod dzs buluruz...4. Modülü İç Psao Peryotları Bu ısıda odülü -boacc sayısı ola üzere -boacc dzler alalarıda elde edle dzler çalışıldı. { } alalarıı ele alalı. r od dzs l zcr { od r }: 0... r r r0 a a a... a r. Teore..6.. eştlğde verle dzde 0... ç;

70 70 a ve a r r r dr. İspat: İspatı düsyo le yapacağız. r r r r a ala ala ala r r r r a r r r r ala ala ala r r r r r r a ala r r r ala r r ala r r r r r r ala r r a r 4 r r 4 ala ala r r r r r4 r r Şelde deva eder ve spat taalaır. alco S. Plaza A. 008 Teore..7. Her ta sayısı ve r 4... değerler ç Psao peryotlarıı zcrler sayısı { } olup her zcr r elealıdır. İspat: r ç ve açı olara peryoduda sadece br zcr vardır. r { } { } od böylece 0 Taı.. de verle -boacc pololarıı taııda { } alaları dzs; { } { } te br zcrdr. od od olup böylece peryod {0} şelde Souç olara eğer r te se a olup böylece ayı r r r yolla elde edle c br zcr buluacatır. Burada so ter ola dördücü br zcr elde edlecetr. Bu otada alaları dzs terar eder ve böylece Psao peryodu dört zcrdr souç olara; π r 4 r. Dğer tarafta eğer r çft se a r ve bu otada alaları dzs terar eder ve böylece; π r elde r edlr. alco S. Plaza A. 008

71 7 Souç..8. Modülü ardışı -boacc sayıları ola br -boacc dzs zcrler uzuluğu br artet dz bçdedr. Eğer r ve çft sayı se dz aralığı 4 olur. alco S. Plaza A. 008 { } { 4} { } elde edlr. Eğer r ve te sayı se dz aralığı 8 dr. elde edlr. her { 4 } { } Klas boacc dzler ç ardışı zcrler uzuluğu { } dır ve r te sayısı ç uzulu { 08...} dr. Çüü las boacc dzs sadece -boacc dzs olara gb eşt elea vardır ve böylece ardışı Psao peryotlarıda zcrler sayısıı dzs { } olup bu edele Psao peryotlarıı uzulularıı dzs { } olur

72 7 Tablo- -boacc dzler Psao peryotları ve oları uzuluları r r od π r { } r Tablo-4 Öre... { } { } ola üzere odülü Ν alara 4... ç -boacc dzs alalarıı düşüel Tablo-4 te ardışı Psao peryotları ve oları uzuluları gösterlştr. r... ç odül peryoduu uzuluğuu dzs r ye göre -boacc dzsde Psao { } olur. Üçücü eleada sora te terler dzs 4 { } şelde 8 aralılı br artet dzdr ve çft terler dzs 4 { 4...} şelde 4 aralılı br artet dzdr.

73 7 SONUÇ VE ÖNERİER Bu tez çalışasıda boacc ucas -boacc dzler le lgl bazı çalışalar ve boacc dzler bölüeble özeller odülüe göre -boacc dzler peryodu peryod uzuluğu le lgl yapıla çalışalar verlştr. Ye reqüras bağıtıları taılaara odülüe göre peryod peryod uzuluğu çalışılablr.

74 74 KAYNAKAR Bollger 990 ucas s theore ad soe related results for exteded Pascal tragles Aerca Matheatcal Mothly Carchael 9/4 O the uercal factors of the arthetc fors α ± β A.of Math Cavach 980 Uele propretat de terelor şrulu lu boacc Gazeta Mate Carltz 964 A Note o boacc Nubers The boacc Quartly: -8. Dudley Tucer 97 Greatest Coo Dvsors Altered boacc Sequeces The boacc Quartly Ehrlch 989 O the perods of the boacc sequece odulo The boacc Quartly 7:-. alco Plaza 007 O the boacc -ubers Chaos Soltos ad ractals : 6-4. alco Plaza 007 The boacc sequece ad the Pascal -tragle Chaos Soltos ad ractals : alco Plaza 008 -boacc sequeces odulo Chaos Soltos ad ractals do:0. 06/j.chaos

75 7 alco Plaza 009 O -boacc sequece ad polyoals ad ther dervatves ChaosSoltos ad ractals 9: lorca 999 Arthetc fuctos of boacc ubers The boacc Quartly 7: o lorca 000 Equatos volvg arthetc fuctos of boacc ad ucas ubers The boacc Quartly8: 49-. redy Brow 99 The perod of boacc sequeces odulo A Math Mo 99: reea 967 O Ratos of boacc ad ucas Nubers The boacc Quartly: Hoggatt 97 Proble H-8 The boacc Quartly9: Hoggatt Bergu 974 Dvsblty ad Cogruece Relatos The boacc Quartly: Hoggatt Bcell 974 Soe cogrueces of the boacc ubers odulo a pre p.math.mag Koshy 00 boacc ad ucas Nubers wth Applcatos Joh Wley & Sos Ic. ucas 878 Theore des foctos uerques spleet perodques Aer J. Math.I McDael 99 The g.c.d ucas sequeces ad eher uber sequeces The boacc Quartly 9: 4-9.

76 76 M.arroh 007 Soe Rears O the Equato Nubers Joural of Iteger Sequeces. I boacc Morto 99 boacc le sequeces ad greatest coo dvsors The Aerca Matheatcal Mothly 0: Parer 964 Proble H - The boacc Quarterly:. Reault 996 Master tess Wae orest Uversty. Sloae 006 The o le Ecyclopeda of teger sequeces. Su Zh 006 Expasos ad Idettes Cocerg ucas Sequeces The boacc Quartly 44 o. 4-. Vajda 989 boacc&ucas Nubers ad Golde Secto Joh Wley & Sos Ic. Wall 960 boacc seres odulo A Math Mo 676: -. Weste 966 A Dvsblty Property of boacc Nubers The boacc Quarterly4: Wuderlch 96 O the o exstece of boacc squares Math Cop 784: 4-7.

77 77