3 Boyutlu Uzayda Örtük ve Parametrik Gösterimler Arası Dönüümler

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "3 Boyutlu Uzayda Örtük ve Parametrik Gösterimler Arası Dönüümler"

Alp Arıca
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 C. Ünsln nd A. Erçil, "Conversions between prmetric nd implicit orms in D spce", Proceedings o IEEE SIU'00, pp. - 7, June 000, Antl, Turke (in Turkish) Boutlu Ud Örtük ve Prmetrik Gösterimler Arsı Dönüümler Cem ÜNSALAN Atül ERÇL Ohio Stte Universit, Elektrik Mühendislii Bölümü unslnc@ee.eng.ohio-stte.edu Boiçi Üniversitesi, Endüstri Mühendislii Bölümü ercil@boun.edu.tr Öetce Prmetrik ve örtük gösterimlerin rklı geometrik ilemler için rklı vntjlrı olmsındn dolı bir ormdn dierine geçi önemli rrlr slbilir. Bu mklede, boutt örtük/prmetrik gösterimler rsınd geçii slmk mcıl cisimlerin çevritlerinin polr/küresel koordint gösterimlerine dlı oln eni bir öntem önerilmitir.. Giri Prmetrik üeler cisim modellemesinde oldukç brılı sonuçlr verdiklerinden dolı bilgisrlı grik ve geometrik modellemede gın olrk kullnılmktdırlr. Örtük üeler ise nesne tnımd çok brılı sonuçlr veren bir cisim modelleme öntemidir. Her iki öntemin de birçok vntjı ve devntjı vrdır []. Prmetrik gösterimden örtük gösterime geçi ilemine örtükletirme (implicitition) dı verilir. Her rsonel üe ve eri bir örtük homojen çokterimlinin sıır seti olrk gösterilebilir (üeler için (,,,w)0, iki boutlu eriler için (,)0) []. Sederberg [] bu çevrim için resultnt öntemini kullnmı, Homn [5] nı mç için Gröbner tbnını kullnmı; ve Wu-Ritt ise rklı bir öntem önermilerdir [6]. Örtük gösterimden prmetrik gösterime geçi ise prmetreletirme (prmeterition) olrk dlndırılır. Litertürdeki sonuçlr göre prmetreletirme her mn mümkün deildir, örnein dördüncü derece ve üksek derece ile modellenmi bı örtük çokterimlilerin prmetrik onksionlrl gösterimi mümkün deildir [9]. Bu mklede öel rtlrd bunun mümkün olduu gösterilmitir. Bu mklede, boutlu örtük/prmetrik gösterimler rsınd geçii slmk mcıl cisimlerin çevritlerinin polr/küresel koordint gösterimlerine dlı oln eni bir öntem önerilmitir. Litertürde bu konud bir çlım mevcut olmdıı için mklenin n ktkısı boutlu örtük/prmetrik dönüümler içindir. Bu mklede elde edilen sonuçlr tolerns kontrolü için de kullnılmıtır, bu d mklenin bir dier ktkısıdır. kinci bölümde prmetrik ormdn örtük orm geçi öntemi öetlenmekte, üçüncü bölümde ise örtük ormdn prmetrik orm geçi nltılmktdır. Dördüncü bölümde elde edilen sonuçlr irdelenmektedir.. Prmetrik Gösterimden Örtük Gösterime Çevrim

2 Prmetrik ormlrın örtükletirilmesi için bilinen üç öntem mevcuttur. Bu tekniklerin tümü üein örtükletirilmesi problemini üç prmetrik denklemden iki deikenin çıkrılmsı problemine dönütürülmesine dnmktdır. Genel olrk bu öntemler örtük gösterimin nınd ekstr ktörler oluturmkt ve bunlrın n onksiondn rıtırılmsı ilemi oldukç or olmktdır. Bu bölümde gelitirilen öntemler ıldı ekiller için geçerlidir. Bu öntemde, önceki öntemlerin ksine ekstr prçlr olummktdır. Teorem : (Usl eriler icin dönüüm) α, R de prmetrik bir usl eri olsun. α : (, b) R α ( t ) ( h( ), (, b) R Bu prmetrik erii gösteren iki örtük çokterimli u ekilde bulunbilir: h + + ( ( )) + g ( ( )) + k ( ( )) + h + ( ( )) + g ( ( )) + k ( ( )) + ( eklinde tersinir bir onksiondur. h( ( eklinde tersinir bir onksiondur. g ( + h ( ( eklinde tersinir bir onksiondur. spt: Teoremin isptı için [] nolu reerns bkını. Örnek : α ( t ) ( h( ) h( sin t, cost, cos t eklinde bir prmetrik eri olsun. ( ( cost sin t cost t rc cot ( cos t t rccos + t rccos Bu prmetrik erii gösteren iki örtük gösterim: + Bu usl erinin prmetrik gösterimi ekil de verilmitir. Bu usl erinin örtük gösterimi de ekil de verilmitir.

3 ekil. Prmetrik gösterim ekil. Örtük gösterim Teorem : ( boutt üe prçsı çevrimi) α, R de prmetrik bir üe prçsı olsun. α : [(0,π ),(0,π )] R, α( ( (, (, ( ). θ ve ϕ,, cinsinden çık olrk elde edilebilirse, bu üe prçsının örtük gösterimi ıdki ekilde bulunbilir: ( ( θ,, ( + ( + (, ( ( Örtük gösterim: + ( + ( + ( + spt: Teoremin isptı için [] nolu reerns bkını. Örnek : α( ( (, (, ( ) eklinde ekil de verilen nesnenin üe prçsı gösterimi olsun. ( cosθ sin ϕ, ( cosθ, ( θ, cosϕ. ϕ, sin ϕ eitliinden su ekilde elde edilir ϕ rcsin θ, cos θ ( + sin + cosϕ eitliinden su ekilde elde edilir θ rccos Elde edilen örtük çokterimli gösterim: 0

ekil. Örnek de verilen nesnenin üe prçsı gösterimi.örtük Gösterimden Prmetrik Gösterime Çevrim Bir örtük çokterimlinin krılık gelen prmetrik gösterime çevrimi her mn mümkün deildir.

Verilen reernst hngi durumlr icin tm çevrimin mümkün olduu, hngi durumlr için ise klık çevrimin pılbilecegi çıklnmıtır [].

4 ekil. Örnek de verilen nesnenin üe prçsı gösterimi.örtük Gösterimden Prmetrik Gösterime Çevrim Bir örtük çokterimlinin krılık gelen prmetrik gösterime çevrimi her mn mümkün deildir. Bu bölümünde örtük gösterimden prmetrik gösterime geçiin mümkün olduu bı durumlr ele lıncktır. Verilen reernst hngi durumlr icin tm çevrimin mümkün olduu, hngi durumlr için ise klık çevrimin pılbilecegi çıklnmıtır []. Bu bölümde rıc, deikenli örtük polinomlrın prmetrik orm geçileri ile ilgili bı sonuçlr d verilecektir. Kullnıln teknikler boutlu öntemlerle benerlik göstermektedir, nck polr koordint erine küresel koordint gösterimi kullnılmktdır. Teorem : ( boutt örtük çokterimliden prmetrik gösterime çevrim) Örtük çokterimliden prmetrik gösterime tm çevrim su ekilde elde edilebilir: örtük çokterimli küresel koordintlrd gösterilir ve elde edilen denklem R ( θ, deerini bulmk icin çöülür. spt: Teoremin isptı için [] nolu reerns bkını. Örnek : Denklemde verilen boutlu superqudrtik için prmetrik üe prçsı gösterimi ıdki gibidir. Superqudrtiklerin boutlu gösterimleri icin de çevrim teknik rpord verilmitir []. Örtuk gösterim: / ε + / ε ε / ε / ε Prmetrik üe prçsı gösterimi: ( R( cosθ sin ϕ, ( R( θ, sin θ sin ϕ, ( R( θ, cosϕ R( cosθ sin ϕ / ε sin θ sin ϕ + / ε ε / ε cosϕ / ε ε /

5 Teorem 4: ( boutlu usl erinin örtük çokterimli gösteriminden prmetrik gösterime geci)α, R de iki örtük çokterimlinin kesiimi ile gösterilen bir usl eri olsun, (,, ) 0, g (,, ) 0. θ ve ϕ rsınd çık bir blntı bulunbilirse, α prmetrik gösterime çevrilebilir α : (, b) R α ( t ) ( h( ) (, b) R. spt: Teoremin isptı için [] nolu reerns bkını. Örnek 4: + ve 5, eklinde iki örtük çokterimli bir usl eri belirtiors: + i küresel gösterime çevirirsek: R (cos θ + sin θ )sin ϕ R sin ϕ α π ( t ) ( h( ) : (0, ) R α eklindeki prmetrik usl erii, 5 h( cost, sin t, sin t elde ederi. Örtük çokterimli ve prmetrik gösterimler ekil 4 de verilmitir. 4. Sonuç ekil 4. Örnek 4 de verilen usl erinin prmerik ve örtük çokterimli gösterimi Bu mklede, boutlu örtük/prmetrik gösterimler rsınd geçii slmk mcıl cisimlerin çevritlerinin polr/küresel koordint gösterimlerine dlı oln eni bir öntem önerilmitir. Prmetrik gösterimden örtük çokterimli gösterime geçi, boutlu ıldı ekilli cisimler için gerçekletirilmitir. Örtük gösterimden prmetrik gösterime geçi ise boutlu cisimler için dördüncü derece çokterimliler ve 5 homojen çokterimlinin toplmı eklinde ılbilen modeller için nlitik olrk gerçekletirilmitir. Dh üksek derece modellerle modellenebilen boutlu cisimlerde ise çevrim klık olrk gerçekletirilmitir. Bu mklede elde edilen sonuçlr boutlu ekillerde tolerns kontrolu için kullnılmıtır. Reernslr. W. H. Beer, CRC Stndrd Mthemticl Tbles, Florid, CRC Press: 979. J. Bloomenthl, ed. Introduction to Implicit Surces, Sn Frncisco, Morgn Kumnn Publishers, Inc., 995.

6 . M. Hebert, J. Ponce, T. Boult, A. Gross, eds. Object Representtion in Computer Vision. Springer Lecture Notes in Computer Science Series. Springer-Verlg, C. Homn, Geometric nd Solid Modeling: An Introduction, Sn Frncisco, Morgn Kumn, C. Homn, "Implicit Curves nd Surces in Computer-Aided Geometric Design", IEEE Computer Grphics nd Applictions, V., No., 99, pp D. Mnoch nd J.F. Cnn, Implicit Representtion o Rtionl Prmetric Surces, Journl o Smbolic Computtion, Vol., pp , G.M. Nielson, "GAGD's Top Ten: Wht to Wtch", IEEE Computer Grphics & Applictions, Jnur 99, pp G. A Slmon, Tretise on the Algebric Geometr o Three Dimensions (vols. nd ) edited b R. Rogers, New York Chelse Publishing, 94. (Reprin 9. T.W. Sederberg, "Techniques or Cubic Algebric Surces, Prt one", IEEE Computer Grphics & Applictions, Vol. 0, No. 4, Jul 990, pp T.W. Sederberg, "Techniques or Cubic Algebric Surces, Prt two", IEEE Computer Grphics & Applictions, September 990, pp. -.. T. W. Sederberg, D. C. Anderson nd R. N. Goldmn, Implicit Representtion o Prmetric Curves nd Surces in Computer Vision, Grphics nd Imge Processing, pp. 7-84, Acdemic Press, C. Ünsln nd A. Erçil Automted Tolernce Inspection B Implicit Polnomils, Proceedings o ICIAP '99 0 th Interntionl Conerence on Imge Anlsis nd Processing Imge-bsed Emerging Applictions, p. 8-5, Sept. 999, Venice.. C. Ünsln nd A. Erçil Conversions between Prmetric nd Implicit Forms using Polr/Sphericl Coordinte Representtions, Boiçi Universit Reserch Report, FBE-IE- 04/99-04, November 999

Benzer belgeler

A, A, A ) vektör bileşenleri

A, A, A ) vektör bileşenleri Elektromnetik Teori hr 006-007 Dönemi VEKTÖR VE SKLER KVRMI Mühendislik, fiik ve geometri ugulmlrınd iki türlü büüklük kullnılır: skler ve vektör. Skler, sdece büüklüğü oln niceliklerdir. elli bir ölçeği