REGRESYON ANALİZİ BÖLÜM 3-4
|
|
- Levent Erol
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 REGRESYON ANALİZİ BÖLÜM 3-4 Yayın arihi: ÇOK DEĞİŞKENLİ DOĞRUSAL REGRESYON FONKSİYONU 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ DOĞRUSAL REGRESYON Çok değişkenli regresyon modelinde bir y bağımlı değişkeni, k adet bağımsız değişkenin, x 1, x,, x k doğrusal bir fonksiyonu olarak ifade edilmektedir. (3.1) y = f( x1, K, x k ) Bu modele bir sabit terim eklenerek fonksiyon, (3.) y 0 1x1 x K kxk = β + β + β + + β + ε 1
2 DENKLEM SEİ n adet gözlem mevcut ise model, n adet denklemden oluşan bir settir, y1 = β0 + β1x11+ βx1 + K + βkx1 k + ε1 y = β + β x + β x + K + β x + ε k k.. y = β + β x + β x + + β x + ε K (3.3) i 0 1 i1 i k ik i y = β + β x + β x + K + β x + ε n 0 1 n1 n k nk n 3 DENKLEMİN MARİS VE VEKÖRLERLE GÖSERİMİ n adet denklem matris ve vektörler formunda açık olarak aşağıdaki gibi ifade edilirler. y 1 x x x β ε K k 0 1 y 1 x1 x K x k β 1 ε = + M M M M K M M M y 1 x x K x β ε n n1 n nk k n (3.4) 4
3 DENKLEMİN MARİS VE VEKÖRLERLE GÖSERİMİ VE BOYULAR Eşitlik (3.4) daha kısa olarak y = Xβ+ ε (3.5) Bağımlı değişken y, n 1 boyutlu bir sütun vektörüdür. Hata terimleri ε, n 1 boyutlu bir sütun vektörüdür. Parametreler β, (k+1) 1=p 1 boyutlu bir sütun vektörüdür. 5 DENKLEMİN MARİS VE VEKÖRLERLE GÖSERİMİ VE BOYULAR Bağımsız değişken matrisi X, n p boyutludur. Bu matrisin birinci sütunu bir sayılarından oluşmaktadır. Bu değerlerin β 0 sabit terimine karşılık gelen x 0 değişkenini temsil ettikleri düşünülebilir. 6 3
4 EKK MEODU Eşitlik (3.5) kullanılarak hata terimi, ε = y Xβ (3.6) Hata kareler toplamı εε= y Xβ y Xβ (3.7a) ( ) ( ) εε= yyβ - XyyXβ - + β XXβ (3.7b) Ref. anım 14 7 NORMAL DENKLEMLER VE PARAMERE AHMİN VEKÖRÜ Normal denklemler ( XXb ) = X y (I18.3) Parametre tahmin vektörü 1 b= ( X X) X y (I18.4) Ref. İspat
5 (X X)MARİSİ Parametre tahmin vektörünün elde edilebilmesi için (X X) matrisinin tersi alınabilir bir matris olması gereklidir. ersinin alınabilmesi için (X X) matrisinin sütunlarının doğrusal bağımsız olması gereklidir. Bu konu bir matrisin rankı kavramı ile yakın olarak ilgilidir. Ref. anım 16 9 KESİRİLMİŞ DEĞERLER VEKÖRÜ Kestirilmiş değerler vektörü yˆ = Xb (3.8) Eşitlik (I18.4) eşitlik (3.8) de yerine konarak, 1 yˆ = [ X( X X) X ]Y (3.9) Köşeli parantez içindeki matris regresyon analizinde çok önemlidir ve izdüşüm matrisi ya da hat matris olarak adlandırılır. 1 H = X( X X) X (3.10) Eşitlik (3.9) da yerine konarak, y ˆ = Hy (3.11) 10 5
6 İZDÜŞÜM MARİSİ Eşitlik (3.10) ile tanımlanan izdüşüm matrisi, o Simetrik (H =H), o İdempotent (HH=H), matristir. Ref. anım 0 ve 1 11 ARIK VEKÖRÜ e= y y ˆ (3.1a) e = y Xb (3.1b) Eşitlik (3.11) yerine konarak, e = y Hy = ( I H)y (3.13a) Eşitlik (3.13a) da y yerine eşitlik (3.5) konarak ve (I0.4) kullanılarak, e = ( I H)ε (3.13b) 1 6
7 ARIK VEKÖRÜ VE X-MARİSİ Eşitlik (3.1b) Eşitlik (I18.3) de yerine konarak, ( X X) b = ( X X) b + X e elde edilir. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için, X e = 0 (3.14) olması gereklidir. Bu EEK nın temel bir sonucudur. 13 SABİ ERİMLİ MODELLER: ARIK OPLAMI SIFIRDIR Eşitlik (3.14) de X matrisinin birinci sütunu x = 1olduğundan 1 e i = e = 0 (3.15) eşitliğini verir. Regresyon modelinin sabit terim içerdiği durumlarda, EEK hata terimleri daima sıfır ortalamaya sahiptir. Eşitlik (3.14) ün diğer elemanları hata terimlerinin her bir x değişkeni ile sıfır korelasyona (örnek korelasyonu) sahip olduğunu belirtir. 14 7
8 ŞANS VEKÖRÜNÜN BEKLENEN DEĞERİ E n adet elemanlı, = ( y y ) vektörünün beklenen değeri, ( y) E( y ) ( ) y,, 1 K n bir şans E y μ = = M = = M (3.1) 1 1 i μ y E( yn) μn Ref. anım 3 15 ŞANS MARİSİNİN BEKLENEN DEĞERİ n m boyutlu, bir Y şans matrisinin beklenen değeri, E ( Y) E( yij ) = ( ) K E( y ) E y11 1m = M K M E( yn 1) K E( ynm) μ11 K μ1 m = μ = y M K M μn 1 K μnm (3.) Ref. anım
9 ŞANS VEKÖRÜNÜN VARYANS-KOVARYANS MARİSİ n adet elemanlı, = ( y y ) y,, 1 K n bir şans vektörü ele alınsın. n 1 boyutlu bir şans vektörünün varyans-kovaryans matrisi: σ ( y1) σ( y1, y) K σ( y1, y ) n (, 1) ( ) (, n ) ( ) σ y y σ y K σ y y σ y = (4.) M M M M σ( yn, y1) σ( yn, y) K σ ( yn) Ref. anım 4 17 ŞANS VEKÖRÜNÜN DOĞRUSAL FONKSİYONLARI Bir şans vektörü w, bir şans vektörünün y bir sabitler matrisi A ile çarpımından elde edilir. w = Ay (6.1) Burada w boyutu k 1, y boyutu n 1 olan şans vektörleri A ise boyutu k n olan sabitler matrisidir. Ref. anım
10 ÖRNEK ORALAMASININ BEKLENEN DEĞERİ VE VARYANSI Eğer y,, y olan 1 n birbirinden bağımsız şans değişkenleri ise, μ 1 E ( y ) = μ = M = M μ = 1μ y μ 1 (9.1) 1 0 K 0 σ 0 K K 0 0 σ 0 σ ( y) σ K = = M M M M M M K M 0 0 K K σ (9.) = σ I Ref. anım 9 19 MARİS NOASYONUNDA EKK VARSAYIMLARI Hatalar ortalaması sıfır, sabit σ varyanslı ve kovaryansları sıfır olan bir dağılama (normal) sahiptirler. E(ε)=0 (3.16) σ () ε = σ I (5.1) Ref. anım
11 ŞANS DEĞİŞKENİN DOĞRUSAL FONKSİYONU OLARAK AHMİNLENEN DEĞERLER ahminlenen değerler b,ŷ ve e şans değişkeninin doğrusal fonksiyonlarıdır. 1 b = [( X X) X ] y = Ay (3.17) 1 y ˆ = Xb = X[ ( X X) X ] y = Hy (3.18) e = y yˆ = y Hy = ( I H)y (3.19) 1 REGRESYON SONUÇLARININ BEKLENEN DEĞERİ Modelin beklenen değeri, E(y)= Xβ (I0.1) Parametre tahminlerinin beklenen değeri, E ( b ) = β (I0.) Kestirimin beklenen değeri, E ( y ˆ ) = Xβ (I0.3) Artık vektörünün beklenen değeri, E ( e) = 0 (I0.5) Ref. İspat 0 11
12 REGRESYON SONUÇLARININ VARYANSLARI y=xβ+ε modeli için şans değişkeninin varyansı σ ( y ) = Iσ (I1.1) Parametre tahminleri için varyans 1 σ ( b) = ( X X) σ (I1.) Kestirim için varyans σ ( y ˆ ) = Hσ (I1.3) Artık vektörünün varyansı σ () e = [( I H) ] σ (I1.4) Ref. İspat 1 3 GAUSS-MARKOV EOREMİ: MARİS NOASYONUNDA EKK tahminleyicileri, doğrusal sapmasız tahminleyiciler sınıfında minimum varyanslı tahminleyicilerdi. EKK tahminleyicilerinin o Eşitlik (3.17) ile doğrusal ve o Eşitlik (I0.) ile sapmasız ve o Eşitlik (I4.1) ile minimum varyanslı oldukları matris notasyonunda ispatlanmıştır. Ref. İspat 0 ve 4 4 1
13 REGRESYON AHMİNLERİNDE SAPMA Eğer varsayılan model, E ( y ) = Xβ1 (3.0) yanlış, gerçek model E ( y ) = Xβ + X β 1 (3.1) ise parametre tahminleri 1 b = ( X X) X y 1 (3.) sapmalı olacaktır. Sapmalı tahminleyici 1 E( b ) = β + ( X X) X X β 1 1 (3.3) Ref. İspat 5 SAPMA MARİSİ Sapma değeri sadece varsayılan model ile gerçek model arasındaki farka bağımlı değildir. Regresyon hesaplamalarında kullanılan X- değişkeninin değerlerine de bağımlıdır. 1 ( X X) X X matrisi sapma ya da eşyapı matrisi olarak adlandırılır. 6 13
14 SAPMANIN KESİM DEĞERİ VE PARAMERE VARYANSI ÜZERİNDEKİ EKİSİ Model (3.0) için kestirim değeri, y ˆ = Xb1 olup beklenen değeri, E ( y ˆ ) = Xβ + XAβ (I3.1) 1 sonuç olarak kestirim değerinin de sapmalı olduğu görülür. Parametrelerin varyans-kovaryans matrisi ise, σ ( b ) = ( X X) 1 σ (I3.) 1 değişmediği görülür. Ref. İspat KARESEL FORMLAR VE VARYANS ANALİZİ 14
15 KARESEL FORM Model, regresyon ve artık kareler toplamları ile bir doğrusal kontrastın ya da doğrusal hipotezler kümesinin testi için kullanılan kareler toplamlarının tümü Y şans değişkeninin karesel formudur. Ref. anım 31 Diğer bir deyişle kareler toplamlarının her biri y Ay şeklinde yazılabilir. y Ay şans değişkeni Y ye göre karesel formdur. Burada A matrisi katsayılar matrisi olup, tanım matrisi olarak adlandırılır. 9 DOĞRUSAL KONRAS c = y + y y (4.1) bir doğrusal kontrasttır. Ref. anım 3 ve 33 Doğrusal kontrastın katsayıları bir vektörü tanımlar. ( 1 1 ) a ( = (4.) Kareler toplamlarının beklenen değerindeki σ nin katsayısını 1 e eşitlemek için bu vektörün her bir elemanı vektörün normuna bölünür. 1 1 a = (4.3) Ref. anım 34 Elde edilen doğrusal kontrast 1 1 C = a y = y + y y (4.4)
16 DOĞRUSAL KONRASIN KARELER OPLAMI Doğrusal kontrastın kareler toplamı, SS ( C ) = y Ay (I5.1) 1 SS ( C ) = y + y + y + y y y y y y Ref. anım 34 Karesel formdaki A=aa matrisi karesel formun tanım matrisidir. Karesel formun tanım matrisi daima simetriktir. Ref. anım FARKLI BİR DOĞRUSAL KONRAS İkinci bir doğrusal kontrast ele alınsın, 1 1 C = dy = y1 y + 0y3 (4.5) Katsayılar vektörü, 1 1 d = 0 (4.6) Karesel form SS(C )=y Dy olup tanım matrisi D=dd D =
17 KARESL FORMLARIN SERBESLİK DERECESİ Her iki kareler toplamı da 1 serbestlik derecesine sahiptir. Bir karesel formun serbestlik derecesi tanım matrisinin rankına eşittir. Eğer tanım matrisi idempotent ise rankı izine eşittir, r(a)=iz(a). Eğer katsayılar vektöründeki elemanlar vektörün normuna bölünmeseydi A ve D matrisleri idempotent olmayabilirdi. 33 İKİ DOĞRUSAL KONRASLI DURUM İki doğrusal fonksiyon birlikte incelenebilir. Her iki kontrast için katsayılar matrisi, K = Doğrusal kontrastlar y Ky = y y
18 İKİ DOĞRUSAL KONRASLI DURUM İki kontrast için tanım matrisi F= KK = Karesel form, y KK y=y Fy anım matrisi F idempotenttir ve izi olup karesel formun serbestlik derecesi dir. 35 KARESEL FORMLARIN OROGONALLİĞİ Aynı y vektörünün iki karesel formu eğer tanım matrislerinin çarpımı DA=0 ise ortogonaldir. Ref. İspat 3 Diğer bir deyişle iki katsayılar vektörü ortogonal d a=0 ise bu iki doğrusal fonksiyona ait karesel formlar ortogonaldir. DA=dd aa =0 Ancak ve ancak d a=0 ise gerçekleşir
19 OROGONALLİĞİN AVANAJLARI İki doğrusal fonksiyon ortogonal ise onlara ait kareler toplamları (ve serbestlik dereceleri) toplanabilirlik özelliğine sahiptir. oplanabilirlik özelliği ikiden fazla kareler toplamı içinde geçerli olabilir. Bunun için tüm kontrastlar (doğrusal fonksiyonlar) ikişerli olarak ortogonal olmalıdır. Karesel formların ortogonalliği, her bir farklı kareler toplamında içerilen bilgiparçalarının birbirinden bağımsız olduğunu belirtir. 37 MARİS NOASYONUNDA KARELER OPLAMLARI oplam kareler toplamı, SS ( ) = yy= yi = y1 + y + L + yn (4.7) Model kareler toplamı, SS ( M ) = yy ˆ ˆ = bxy= yˆ ˆ ˆ ˆ i = y1 + y + L + yn (4.8) Ref. İspat 6 Artık kareler toplamı, SS ( e) = = = e = e + e + + e ee yy bxy L (4.9) i 1 n 38 19
20 MARİS NOASYONUNDA KARELER OPLAMLARI Gözlemlerin toplamı, 1y= ny = y = y + y + L + y (4.10) i 1 Sabitin (ortalamanın) kareler toplamı, eşitlik (4.10) kullanılarak SS ( b ) ( ) 0 = y11y n = ny = yi n (4.11) Regresyon kareler toplamı, SS ( b1/ b0) = bxy y11yn = y ( H Jn) y (4.1) Ref. İspat 7 n 39 VARYANS ANALİZİ VE KARESEL FORMLAR Modelin uyumunu sağlamadaki amaç bağımsız değişkenlerde içerilen bilgiyi kullanarak bağımlı değişkendeki mevcut değişkenliğin olabildiğince büyük bir kısmını açıklamaktadır. Bağımsız değişkenlerin modele yaptığı katkı Y bağımlı değişkeninin toplam kareler toplamının, bağımsız değişkenler tarafından açıklanabilen kısımları ile ölçülür. oplam kareler toplamının ayrıştırılan her bir bileşeni Y değişkenindeki bir karesel formdur. Belirli bir kareler toplamı ile onun serbestlik derecesi ve farklı kareler toplamları arasındaki ortogonalite, karesel formdaki tanım matrisi ile belirlenir. 40 0
21 VARYANS ANALİZİ VE KARESEL FORMLAR Gözlenmiş bağımlı değişken vektörü y, eşitlik (3.1a) da belirtildiği gibi, y nin tahminlemiş ortalama vektörü ve hata terimleri vektörü olarak iki kısma ayrılabilmekteydi. y = yˆ + e y vektörünün bu ayrışımı, bağımlı değişkenin toplam kareler toplamının benzer bir ayrışımını elde etmek için kullanılabilir. yy = yy ˆ ˆ + ee (I8.) Ref. İspat 8 oplam kareler toplamları, H ve (I-H) tanım matrisleri kullanılarak iki karesel form şeklinde ayrıştırılabilir. 41 KARESEL FORMLAR VE KARELER OPLAMLARI Eşitlik (I8.1) e göre H (I-H)=H-H=0 (I8.1) bu iki karesel form birbirine ortogonaldir. Karesel formlar birbirine ortogonal olduğundan toplanabilecektir. Eşitlik (I8.) y şans değişkeninin karesel formları şeklinde ifade edilebilir. y Iy = y Hy+ y ( I H) y (I8.3) Ref. İspat 8 4 1
22 KARESEL FORMLAR VE KARELER OPLAMLARI oplam kareler toplamı, y y = y Iy (4.13) tanım matrisi birim matristir. Model kareler toplamı, yˆ yˆ = y Hy (4.14) tanım matrisi izdüşüm matrisidir. Artık kareler toplamı, e e = y ( I H)y (4.15) tanım matrisi birim matris ile izdüşüm matrisinin farkıdır. 43 KARESEL FORMLARIN SERBESLİK DERECELERİ Birim matris idempotent olduğundan izi matrisin boyutuna eşittir. Bu nedenle toplam kareler toplamının serbestlik derecesi vektördeki eleman sayısına eşittir. iz ( I ) = n (4.16) İdempotent matrisler içinde sadece birim matris tam ranklıdır. 44
23 KARESEL FORMLARIN SERBESLİK DERECELERİ H matrisinin rankı X matrisinin rankı ile belirlenir. am ranklı modeller için X matrisinin rankı sütun sayısına eşittir. Ref. İspat 9 Sütun sayısı aynı zamanda parametre p sayısına eşitir. Model tam ranklı olduğunda model kareler toplamının serbestlik derecesi p olacaktır. 45 KARESEL FORMLARIN SERBESLİK DERECELERİ Artık kareler toplamlarının serbestlik derecesi (I-H) matrisinin rankı ile belirlenir. (I-H) matrisi idempotent olduğundan rankı izine eşittir. iz(i-h)=iz(i n )-iz(h) iz(i-h)=n-p 46 3
24 DİĞER KARELER OPLAMLARI oplam kareler toplamı modele ve hata terimine bağlı kareler toplamları şeklinde açıklandı. Y nin sıfıra göre değişkenliği yerine bazen ortalaması çevresindeki değişkenliği ile ilgilenilebilir. Bu durumda bağımsız değişkenlerdeki bilgi ile bu değişkenliğin ne kadarının açıklanabildiği araştırılır. Bağımsız değişkenlerden hiçbir bilgi elde edilemediği durumlarda, Y nin en iyi kestiricisi, anakütle ortalamasının mevcut en iyi tahminidir. 47 SABİ ERİMLİ MODEL Modelde bağımsız değişkenler mevcut olduğunda, bağımsız değişkenlerin Y nin kestirimine (Y nin ortalaması hariç) ne kadarlık bir katkıda bulunduğu sorusu ile karşılaşılır. Bağımsız değişkenler ile elde edilen bilginin ölçümü, modelde bağımsız değişken mevcut iken elde edilen SS(M) değeri ile bağımsız değişken bulunmadığında elde edilen SS(M) değeri arasındaki farktır. Model bağımsız değişken içermiyorsa sadece bir tek μ (ortalama) parametresi mevcuttur. Başka bir deyişle model Y i = β 0 + ε = μ + ε şeklinde olacaktı. 48 4
25 DÜZELME FAKÖRÜ VE REGRESYON KARELER OPLAMI Bu durumda SS(μ), SS(b 0 ) ile belirtilecektir. SS(b 0 ) düzeltme faktörü olarak adlandırılır. Bağımsız değişken(ler) tarafından ilave kareler toplamı regresyona bağlı kareler toplamı olarak adlandırılır ve SS(R) ile belirtilir. 49 SABİ ERİMLİ MODEL PARAMERE AHMİNİ Modelde sabit terim μ mevcut olduğunda da model y = Xβ + ε formunda yazılabilir. Bu modeldeki X, sadece birlerden oluşan bir sütün vektörü ve β 0 =μ olup bir tek elemanı temsil eder. Model parametrelerinin tahmini, 1 1 b ( 1 1) 1 y 1 y n = = (4.17a) ve eşitlik (4.10) kullanılarak, b = y (4.17b) 50 5
26 ORALAMANIN (SABİİN) KARELER OPLAMI Model kareler toplamı SS ( M ) = b X Y olup model bağımsız değişken içermediğinden SS ( b 0 ) = b ( 1 y) Eşitlik (4.17a) kullanılarak, eşitlik (4.11) elde edilir; 1 SS ( b0 ) = ( ) n y 11 y 51 ORALAMANIN (SABİİN) SERBESLİK DERECESİ Düzeltme faktörünü veren karesel form için tanım matrisi, 1 1 L L 1 ( 11 ) = = J (4.18) n n M M O M n 1 1 L 1 eşitliği ile verilebilir. ( 1 n ) J matrisi, rankı izine iz [( 1 n) J] = 1 (4.19) eşit olan bir idempotent matristir. Matrisin rankı 1 e eşit olduğundan düzeltme faktörü 1 serbestlik derecesine sahip olacaktır. 5 6
27 REGRESYONUN SERBESLİK DERECESİ Bir modelde bağımsız değişken(ler)in kareler toplamına yaptığı katkı, regresyon kareler toplamı, SS( R) = SS( M ) SS( b ) 0 Eşitlik (4.1) ile tanımlanır, SS( b / b ) = y ( H J n) y 1 0 Sonuç olarak SS (R) için tanım matrisi ( H J n) elde edilir. anım matrisinin serbestlik derecesi, idempotent olduğundan, iz H J n = iz H iz J n = p (4.0) ( ) ( ) ( ) 1 53 ÜÇBİLESENLİ VARYANS ANALİZİ anım matrisi ( J n), ( H J n) ve ( I H) matrislerine ortogonaldir. Bunun sonucunda toplam kareler toplamı,üç ortogonal bileşene ayrıştırılabilir. y y = y ( J n ) y + y ( H J) n) y + y ( I H) y (4.1a) ( ) SS( b 0 ) + SS( R) SS( e) SS = + (4.1b) n = 1 + p-1 + n-p 54 7
28 ANIM MARİSLERİ VE KARESEL FORMLARLA İLGİLİ SONUÇLAR Regresyon analizinde kullanılan tüm tanım matrisleri idempotentdir. J/n, (H-J/n), (I-H) tanım matrisleri birbirlerine çifterli olarak ortogonaldir. Bunun son ucu olarak düzeltilmemiş toplam kareler toplamı birbirine ortogonal kareler toplamlarına ayrılabilmektedir. Bir karesel formun serbestlik derecesi tanım matrisinin rankına eşittir. Matris idempotent ise rankı izine eşittir. 55 KARESEL FORMLARIN BEKLENEN DEĞERİ Y bağımlı değişkeninin varyans analizinde hesaplanan her bir karesel formu, model parametrelerinin tahminlenmiş bazı fonksiyonlarıdır. Varyans analizindeki herhangi bir kareler toplamı, gözlemlerin karesel fonksiyonudur. Hipotez testleri ve varyans bileşenlerinin tahminlenmesinde kareler toplamlarının beklenen değerlerinin E ( y Ay) elde edilmesi oldukça önemlidir. 56 8
29 KARESEL FORMLARIN BEKLENEN DEĞERİ EKK varsayımları altında, E ( y ) = Xβ ve σ ( y ) = Iσ, eşitlik (I30.1) kullanılarak, karesel formun beklenen değeri, E ( y Ay) = σ iz( A) + β X AXβ (4.) olarak verilebilir. Ref. İspat 30 Varyans analizinde karesel formların beklenen değeri A matrisi yerine uygun bir tanım matrisi kullanılarak elde edilir. A matrisi idempotent olduğunda σ nin katsayısı karesel formun serbestlik derecesine eşit olacaktır. 57 MODEL KARELER OPLAMININ BEKLENEN DEĞERİ Modelin kareler toplamının beklenen değeri, E [ SS( M )] = E( y Hy) = σ iz( H) + β X HXβ = p σ + β X Xβ (4.3) şeklindedir. Not: iz (H) = p ve HX = X olduğu hatırlanmalıdır. Bu eşitlikteki ikinci terim (kesişim terimi β 0 ıda içeren) β vektörünün bir karesel formudur. 58 9
30 REGRESYON KARELER OPLAMININ BEKLENEN DEĞERİ Regresyona bağlı kareler toplamının beklenen değeri E [ SS( R) ] = E[ y ( H J n) y] = σ iz( H J n) + β X ( H J n) βx [( SS( R) )] = kσ + β X ( I J n) Xβ (4.4) şeklindedir. Not: X H = X olduğu hatırlanmalıdır. β vektörüne göre karesel bir form olan ikinci terim model kareler toplamındaki ifadeden farklıdır. Bu farkı oluşturan X ( I J n) X matrisidir. E 59 β VEKÖRÜNDEKİ FARK X matrisinin ilk sütunu bir sabit sütun olduğundan, kareler toplamlarını ve çarpımlarını içeren ilk sütun sıfır olacaktır. Bu nedenle X ( I J n) X matrisinin ilk satır ve sütunu sıfırlardan oluşacaktır. Bunun sonucu olarak karesel ifadede β 0 ortadan kalkar. Başka bir deyişle, regresyon kareler toplamının beklenen değerinde sadece bağımsız değişkenlerin regresyon katsayıları içerilmektedir
31 ARIK KARELER OPLAMININ BEKLENEN DEĞERİ Artık kareler toplamının beklenen değeri [ SS( e) ] = E[ y ( I H) y] = σ iz( I H) + β X ( I H) βx E E SS( e) = ( n p) σ + β X ( X X) [ ] β E[ SS( e) ] = ( n p) σ (4.5) şeklindedir. Not: HX = X olduğu hatırlanmalıdır. 61 KARELER ORALAMASI Her bir beklenen değer ifadesinde σ katsayısı kareler toplamlarının serbestlik derecesini belirtir. Kareler toplamlarını, karesel ortalamaya dönüştürmek için her bir beklenen değer serbestlik derecesine bölünür. Sonuç olarak her bir kareler ortalamasındaki σ katsayısı 1 e eşit olacaktır. [ ] ( ) E MS R = σ + β X ( I J n) Xβ k (4.6) E [ MS( e) ] = σ (4.7) Ref. İspat
32 MS(R) NİÇİN MS(e) DEĞERİNE ORANLANIR Eşitlik (4.7) artık kareler ortalamasının, σ nin sapmasız bir tahmini olduğunu gösterir. Regresyon kareler ortalaması, β 0 hariç tüm β i lerin karesel bir fonksiyonu artı σ nin bir tahminidir. Sonuç olarak MS(R) ve MS(e) ifadelerinin karşılaştırılması regresyon katsayılarının veya eşdeğer olarak bağımsız değişkenlerin anlamlılığının değerlendirilmesine temel oluşturur. E[MS(R)] ifadesindeki ikinci terim β nın karesel bir fonksiyon olduğu için negatif olamaz. 63 F-ESİNİN HİPOEZİ E[MS(R)] ifadesi bağımsız değişkenlerin, y i nin kestirebilirliğine yaptığı katkıyı belirtir. Katkı büyüdükçe MS(R) değeri ile MS(e) değeri arasındaki fark da büyüyecektir. Gözlenmiş MS(R) değerinin gözlenmiş MS(e) değerine oranı, β 0 hariç tüm β i değerlerinin sıfıra eşit olduğu H 0 : β 1 =β = =β k = 0 (4.8) karmaşık hipotezin test edilmesini sağlar. 64 3
33 MODEL SAPMASININ ES ÜZERİNDEKİ EKİSİ Bu beklenen değer ifadelerinin tümü varyans analizinde kullanılan modelin gerçekten doğru model olduğunu kabul eder. Eğer kullanılan model yanlış ise, E ( y) = Xβ + X β Xβ olacak ve artık 1 1 kareler toplamının ikinci terimi sıfıra yaklaşmıyacaktır. E[ SS() e ] = σ iz( I H) + [ Xβ1 + Xβ] ( I H)[ Xβ1 + Xβ] E[ SS() e ] = σ ( n p) + βx ( I H) Xβ (4.9) ve kareler ortalaması E[ MS() e ] σ + β X ( I H) X β ( n p) (4.30) = 65 MODEL SAPMASININ ES ÜZERİNDEKİ EKİSİ Bu terimde, herhangi önemli bağımsız değişkenin regresyon katsayısının karesel bir fonksiyonu mevcut olacaktır. Bu gibi durumlarda MS (e), σ pozitif sapmalı bir tahminin olabilecektir
34 KARESEL FORMLARIN DAĞILIMI Karesel formların olasılık dağılımları parametrik anlamlılık testleri için bir temel oluşturur. Ref. anım 36 Bu testler ve parametrelerle ilgili güven aralıklarının oluşturulabilmesi için hataların normal dağıldığı varsayımına ihtiyaç vardır. Hataların normal dağıldığının kabul edilmesi aynı zamanda y nin de normal dağıldığı anlamına gelmektedir. Normallik varsayımın sağlanmadığı durumlarda, parametrik anlamlılık testleri yaklaşık olarak kabul edilmelidir. 67 EOREM A matrisi idempotent bir matris olmak üzere, y şans değişkeni, E ( y ) = μ ve σ ( y ) = Vσ olan bir normal dağılış gösteriyor ise, y ( A σ )y karesel formu, serbestlik derecesi A matrisinin rankına r(a) ve merkezi olmayan parametresi Ω = ( μ Aμ) σ olan bir merkezi olmayan ki-kare dağılışı gösterir. Not: Burada μ = Xβ ve V = Iσ olabilir
35 DAĞILIMLAR VE MERKEZİ OLMAYAN PARAMERELER Model kareler toplamı, SS( M ) y Hy σ Ω = β = ~ χ p, Ω σ X Xβ σ Artık kareler toplamı, SS() e y ( I H) y = χ σ σ Ω = β X I H Xβ σ = ~ n p ( ) 0 (4.31) Not: Bu bir merkezi ki-kare dağılımıdır. 69 DAĞILIMLAR VE MERKEZİ OLMAYAN PARAMERELER Sabitin (ortalamanın) kareler toplamı, SS( b ) y ( J n) y 0 = σ σ ~ χ1, Ω Ω = β X J n Xβ σ = 1 Xβ nσ ( ) ( ) Regresyon kareler toplamı, SS( b / b ) y ( H J n) y 1 0 = ~ χ k, Ω σ X H J σ n Xβ σ = β X I J n Xβ σ Ω = β ( ) ( ) (4.3) 70 35
36 ESLER İÇİN YORUMLAR Bu durumda ε nun normal dağıldığı varsayımı, σ ile bölünen kareler toplamlarının ki-kare değişkeni olduğunu belirtir. Ki-kare dağılımı ve karesel formların arasındaki ortogonalite anlamlılık testleri için temel oluşturmaktadır. 71 ESLER İÇİN YORUMLAR Örneğin boş hipotezin doğru olduğu durumlarda, t-istatistiği bir normal sapmanın, ölçeklenmiş bir bağımsız merkezi kikare değişkeninin kare köküne oranını verir. F-istatistiği de bir ölçeklenmiş merkezi olmayan ki-kare değişkeninin (eğer boş hipotez doğru ise merkezi kikare değişkeninin) ölçeklenmiş bağımsız merkezi ki-kare değişkenine oranını vermektedir. 7 36
37 ESLER İÇİN YORUMLAR Her bir durumdaki ölçekleme ki-kare şans değişkeninin kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle gerçekleştirilir. Bir merkezi ki-kare dağılımının merkezi olmayan parametresi sıfıra eşittir. 73 ESLER İÇİN YORUMLAR Merkezi olmayan parametre Ω = ( μ Aμ) σ iki nedenle önemlidir. Birincisi, F-oranının payının merkezi olmayan parametresinin sıfıra eşit olmasının gerektirdiğinden boş hipotezinin açık bir ifadesini sağlar. İkincisi, merkezi olmayan parametrenin büyüklüğü ile yanlış bir boş hipotezi belirlemenin ölçüsü olan testin gücü belirlenir
38 ESLER İÇİN YORUMLAR SS() e σ bir merkezi ki-kare değişkenidir, çünkü ikinci terimi sıfıra eşittir, (eşitlik 4.31). SS( R) σ için merkezi olmayan parametre (eşitlik 4.3), ( n) Ω= β X I J Xβ σ şeklindedir. Bu durumda SS( R) σ nin merkezi bir kikare değişkeni olabilmesi için Ω = 0 olması gereklidir. Bunun içinde β1 = β =... = β k = 0 eşitliği sağlanmalıdır. 75 F-ESİ Sonuç olarak, F-oranının MS( R) F = (4.33) MS( e) β 0 hariç tüm β j sıfıra eşit olduğu hipotezini test etmek için kullanılabileceği görülmektedir. Bu hipotez H : β 0 0 = (4.34) H : β 0 1 ifade edilebilir. Burada β, β 0 hariç k 1 boyutlu regresyon katsayıları vektörüdür
39 F-ESİ Gözlenmiş bir F-oranının 1 den yeterince büyük olması merkezi olmayan parametrenin sıfıra eşit olmadığını belirtir. Paydaki ki-kare değişkeninin merkezi olmayan parametresi büyüdükçe F-oranı da büyüyecektir. Bunun sonucunda da yanlış bir boş hipotezin belirlenmesi olasılığı da büyüyecektir. Bu olasılık testin gücü olarak adlandırılır Bir F -testinin gücü her bir ki-kare değişkeninin, özellikle paydadaki ki-kare değişkeninin, serbestlik derecesi arttıkça artar. 77 HİPOEZ ESLERİ Bazı durumlarda araştırmacılar gerekli olandan daha genel modelleri kullanırlar. Gerçek model bilinmediğinden kullanılması gereken modellerle ilgili bazı varsayımları ve şüpheleri de mevcuttur. Uyumu yapılan model y = β + β x + β x + ε Doğru olabileceği düşünülen model y β + β ( x ) + ε = x
40 HİPOEZ ESLERİ: DOĞRUSAL HİPOEZ Modelin kontrolü nasıl gerçekleştirilecek? Bu amaçla, β 1 =-β =β ya da eş değer olarak, β 1 +β =0 olup olmadığı sorusunun cevabı araştırılmalıdır. Yukarıdaki soru istatistikte, H 0 :β 1 +β =0 boş hipotezine karşılık, H 1 :β 1 +β 0 alternatif hipotezin testine karşılık gelir. H 0 hipotezinin β ların doğrusal bir kombinasyonu ile ilgili bir ifadeyi içermesi nedeniyle bu tiplere doğrusal hipotez adı verilir. 79 HİPOEZ ESLERİ MS( R ) nin MS() e ye oranı, β 0 hariç tüm β ların sıfıra eşit olduğu hipotezinin test edilmesine imkan vermektedir. Fakat bazı durumlarda daha esnek hipotez testlerinin oluşturulması gerekebilir. Bu kısımda β nın doğrusal fonksiyonlarını içeren herhangi bir hipotezin testi için genel bir metot verilecektir. Eğer boş hipotez bir tek doğrusal fonksiyonu içeriyorsa basit hipotez, birden fazla fonksiyonu eş anlı olarak içeriyorsa karmaşık hipotez olarak adlandırılır
41 GENEL DOĞRUSAL HİPOEZ Genel doğrusal hipotez : H 0 K β = m (4.35) : H1 K β m şeklinde tanımlanır. Burada K, r p boyutlu test edilecek parametrelerin r adet doğrusal fonksiyonunu tanımlayan katsayılar matrisidir. K matrisinin her bir sırası bir doğrusal fonksiyonun katsayılarını içerir. m ise genellikle sıfırlardan oluşan r 1 boyutlu bir sabitler vektörüdür. Ref. Örnek GENEL DOĞRUSAL HİPOEZ H 0 daki r adet doğrusal denklem doğrusal bağımsız olmalıdır, fakat ortogonal olmaları gerekli değildir. Doğrusal bağımsızlık K matrisinin tam ranklı r(k )=r olduğu belirtir. Bunun sonucu olarak da H 0 daki denklemler m nin her türlü seçimi için tutarlı olacaktır. H 0 daki doğrusal fonksiyon sayısı β daki parametre sayısını aşamaz, aştığı durumlarda K matrisi tam ranklı olmayabilecektir. 8 41
42 GENEL DOĞRUSAL HİPOEZİN BEKLENEN DEĞER VE VARYANSI Boş hipotezin geçersiz olabilmesi için H 0 daki hipotezlerden herhangi birinin (veya daha fazlasının) yanlış olması gerekmektedir. K β-m in EKK tahminleri, β yerine b yazılarak K b -m şeklinde elde edilir. Normal dağılışı da kapsayan EKK varsayımları altında, K b -m ortalaması, ( E Kb m) = Kβ m (4.36) Not: Eğer boş hipotez doğru ise, E( Kb m ) = 0, olacaktır. Varyansı; 1 σ ( Kb m) = K( XX) Kσ = V σ (I31.) olan bir normal dağılış gösterecektir. Ref. İspat HİPOEZ İÇİN KARELER OPLAMI : H 0 K β = m doğrusal hipotezi için kareler toplamı Kb m 1 1 K XX K Kb m (4.37) θ = ( ) ( ) ( ) eşitliğinden hesaplanır. Ref. İspat 31 Bu ifade tanım matrisi 1 1 = ( ) A K X X K (4.38) olan K b-m nin bir karesel formudur. anım matrisi ise σ böleni hariç K b-m doğrusal fonksiyonun varyans-kovaryans matrisinin tersidir. 84 4
43 HİPOEZ KARELER OPLAMININ BEKLENEN DEĞERİ E Karesel formun serbestlik derecesi, AV matrisi idempotent olduğundan, iz(av)=iz(i r )=r (4.39) Karesel formun beklenen değeri, eşitlik (4.) kullanılarak, 1 1 ( θ) = rσ + ( K β m ) K ( X X ) K ( K β m ) (4.40) şeklinde bulunur. 85 KARELER OPLAMININ DAĞILIMI Normallik varsayımı kullanılarak, θ σ değişkeni r serbestlik dereceli merkezi olmayan bir ki-kare dağılışı gösterir. Serbestlik derecesi r(a)=r(k)=r. Merkezi olmayan parametre ise, ( K Ω = şeklindedir. β m) 1 [ K ( X X) K] σ 1 ( K β m) (4.41) 86 43
44 HİPOEZİN ESİ Eğer H 0 hipotez doğru ise merkezi olmayan parametre sıfıra eşit olacaktır. Hipotezi test etmek için kullanılacak F- istatistiği için pay kısmı θ/r şeklinde verilen bir kareler ortalamasına sahip olacaktır. Bu test için payda kısmı ise σ nin sapmasız bir tahmini olan MS(e) den oluşacaktır. MS ( θ ) θ r( K) θ r F = = = (4.4) MS e s s ( ) 87 ESİN SONUÇLARI Verilen hipotezler için tüm kareler toplamları kullanılan modele bağlıdır. Bu nedenle bir bağımsız değişkenin modelden çıkarılması yada ilave edilmesi her bir hipotez için kareler toplamlarını değiştirecektir
45 HİPOEZ ESLERİ İÇİN ÖZEL DURUMLAR: EK BİR PARAMERENİN ESİ β vektörü üzerindeki bir basit hipotezde H : β = 0 0 i (4.43) K bir satır vektörüdür. K = [ 0 L L 0] ve m=0 Burada 1 değeri β i ye karşılık gelen pozisyondadır. Eşitlik (4.37) ile verilen hipotez kareler toplamı, ( ) ( K b ) bi SS H m = θ = 0 1 = K ( X X) K cii Burada c ii değeri, (X X) -1 matrisinin i+1-inci elemanıdır. 89 HİPOEZ ESLERİ İÇİN ÖZEL DURUMLAR: EK BİR PARAMERENİN ESİ Hesaplanan test değeri, bi F = (4.44) c s ii olup tablo değeri F(1,n-p). Eğer hipotez, H : β = β (4.45) 0 i i0 gibi sıfırdan farklı bir değerin testi ise, ( b β ) i 0 F = i (4.46) c s ii şeklindedir
46 HİPOEZ ESLERİ İÇİN ÖZEL DURUMLAR: EK BİR PARAMERENİN ESİ Bu hipotez için kareler toplamı, tüm diğer bağımsız değişkenler de modelde iken, x i bağımsız değişkenin modele yaptığı katkıyı ölçer. Bu kareler toplamı i-inci bağımsız değişken için kısmi kareler toplamı olarak adlandırılır. 91 BAZI ÖZEL BASİ HİPOEZLER İÇİN K MARİSİ H : β β = 0 ya da H : β = β K bir satır vektörüdür. K = [ L 0] ve m=0 H : β + β = K bir satır vektörüdür. K = L 0 ve m=1 [ ] 9 46
47 HİPOEZ ESLERİ İÇİN ÖZEL DURUMLAR: PARAMERELERİN BİR AL SEİNİN ESİ İlk olarak, K =[0 I s ] ve m=0 Burada 0 boyutu s (p-s) olan sıfır matrisidir. m ise s elemanlı sütun vektörüdür. Hipotez, H : β = β = L = β = 0 (4.47) 0 p s+ 1 p s+ p şeklin son s adet parametrenin sıfıra eşitliğini ortak olarak test eder. Bu amaçla X ve b yeniden düzenlenir. b r y = [ X X ] + e = X b + X b + e s r r s s (4.48) r b s Burada X r boyutu n (p-s) olup X deki ilk p-s sütundan oluşur. X s ise n s boyutlu olup son s sütundan oluşur. 93 HİPOEZ ESLERİ İÇİN ÖZEL DURUMLAR: PARAMERELERİN BİR AL SEİNİN ESİ (X X) matrisi ise, X X X X r r r s ( X X) = (4.49) X X X X s r s s şeklinde bölümlenir. Hipotez kareler toplamı θ yı elde etmek için, b r K b m = [ 0 I ] 0 = b s s b s ve ( ) [ ] ( ) 1 ( ) 1 1 X X X X r r r s K X X K = 0 I s 1 1 X X X X s r s s ( ) 1 K X X K = ( X X ) 1 s s bulunur. ( ) ( ) I s
48 HİPOEZ ESLERİ İÇİN ÖZEL DURUMLAR: PARAMERELERİN BİR AL SEİNİN ESİ ( X X ) 1 matrisi ise, s s ( X X ) X X X X ( X X ) s s 1 [ X X ] 1 1 = s s s r r r r s Ref. İspat 35 X X X I X s s s X X X M X 1 { [ X ] X } 1 ( ) ( X X ) r r r ( ) 1 = ( ) 1 s s s r s olup burada ( ) 1 M I X X X X 1 = r s [ ] = (4.50) r r r r r Sonuç olarak hipotez kareler toplamı, θ = b ( X M X ) b (4.51) s s r s s ve kareler ortalaması, θ MS( θ ) = s 95 HİPOEZ ESLERİ İÇİN ÖZEL DURUMLAR: PARAMERELERİN BİR AL SEİNİN ESİ Eşitlik (4.4) de tanımlanan F-testi uygulanır. Kritik değer F(s,n-p) Bu hipotez için kareler toplamı, tüm diğer bağımsız değişkenler de modelde iken, s adet bağımsız değişkenin modele yaptığı katkıyı ölçer
49 AM VE İNDİRGENMİŞ MODEL Mevcut model, tam model olarak adlandırılır. Bu model boş hipotezde test edilen tüm parametreleri de içermelidir. İkinci model ise boş hipotezin doğru olduğu kabul edilerek tam modelden elde edilir. Elde edilen modele İndirgenmiş model adı verilir. Bunun nedeni de indirgenmiş modeldeki parametre sayısının daima tüm modeldekinden az olmasıdır. 97 AM VE İNDİRGENMİŞ MODEL Örneğin, boş hipotez H : β = c şeklinde ise, 0 burada c bilinen birer sabit, indirgenmiş modelde β yerine c yazılır. Bu durumda β artık tahminlenmesi gereken bir parametre olmaktan çıkacaktır. Herhangi bir hipotez için kareler toplamının alternatif genel formülü, iki modelin hata terimi kareler toplamları arasındaki fark yardımı ile belirlenebilir. İndirgenmiş modelin artık kareler toplamı tam modelin artık kareler toplamından büyük veya en azından ona eşit olmalıdır
50 MODELLER X matrisinin eşitlik (4.48) de tanımlandığı gibi bölümlendiği varsayılsın. am model X=[X r X s ] (4.5) İndirgenmiş model ise sadece X r den oluşur. Sadece X r matrisindeki değişkenlerin y üzerine regresyonu gerçekleştirilsin. 99 İNDİRGENMİŞ MODEL İÇİN ARIKLAR e r bu regresyonun (indirgenmiş modelin) artık vektörüdür. Eşitlik (3.19) kullanılarak e r =(I r -H)y e r =M r y (4.53) elde edilir. Buradaki M r ile eşitlik (4.50) deki M r denktir
51 KARELER OPLAMLARINDAKİ FARKLARDAN θ NIN HESAPLANMASI Herhangi bir genel hipotez için kareler toplamı θ = SS( e r ) SS( e) ( ) = e e e e = b X M X b (4.53) r r s s r s s şeklinde hesaplanabilir. SS (e) in serbestlik derecesi ( n p) dir. am modelde boş hipotez ile getirilen s adet doğrusal bağımsız kısıtlama nedeni ile, indirgenmiş modelin parametre sayısı (p-s) olacaktır. 101 θ NIN ES EDİLMESİ İndirgenmiş modelin serbestlik derecesi, [n-(p-s)] Bunun sonucunda θ nın serbestlik derecesi [n-(p-s)]- (n-p)=s olacaktır. Eşitlik (4.4) de tanımlanan F-testi uygulanır. Kritik değer F(s,n-p) Bu testin diğer bir ifadesi, ( e e e e) s r r F = (4.54) e e n p ( ) ( ) 10 51
52 θ İÇİN SS(M) VE SS(R) DEĞERLERİNİN KULLANILMASI Aynı sonuç, m = 0 boş hipotezi için, model kareler toplamları arasındaki fark yardımı ile elde edilebilir. θ = SS( M ) SS( M r ) (4.55) Eğer β 0 modelde içeriliyor, fakat boş hipotezde içerilmiyorsa regresyon kareler toplamları arasındaki fark da θ = SS( R) SS( R r ) (4.56) θ yı verecektir. Bununla birlikte boş hipotezde β 0 ın mevcut olması halinde θ, regresyon kareler toplamları arasındaki farktan hesaplanmaz. Sonuç olarak θ için regresyon kareler toplamları arsındaki fark daima kullanılamamaktadır. 103 KARELER OPLAMLARININ R NOASYONU Değişkenlerin bir alt setindeki kısmi regresyon katsayılarının her birinin sıfıra eşit olduğunu belirten boş hipotez için oluşturulan kareler toplamı, boş hipotezde belirtilen parametreler alt setine ve modeldeki tüm parametre setine bağımlıdır. Bu iki durumu, parametre seti ve alt seti, daha açık olarak belirleyebilmek için kareler toplamlarının daha uygun bir notasyonuna ihtiyaç vardır
53 PARAMERE SEİ VE AL SE SS( M ) = R( β, β, K, β ) ifadesi parantez 0 1 k içinde listelenen parametreleri içeren modele bağlı kareler toplamını belitsin. β 0 ı içermeyen bir β j alt setindeki tüm parametrelerin sıfıra eşit olduğunu belirten hipotez test edilmek istensin. Sıfıra eşitliği test edilen β j alt setinin son r adet parametreden oluştuğu kabul edilsin: SS( M ) = R( β, β, K, β, β, K, β ) 0 1 k r k r + 1 k SS M r = R β, β, L, β ( ) ) ( 0 1 k r 105 R NOASYONUNDA AM VE İNDİRGENMİŞ MODEL Hipotez kareler toplamı, θ = SS( M ) SS( M r ) = R( β, β, K, β ) R( β, β, K, β ) 0 1 k 0 1 k r Kareler toplamlardaki bu fark R notasyonunda θ = R β, β, K, β / β, β, K, β ) (4.57) ( k r + 1 k r + k 0 1 k r Dikey işaretten önceki β j parametreleri boş hipotezde sıfıra eşitliği test edilen parametrelerdir. İşaretten sonraki parametreler ise modelde sabit tutulan parametrelerdir
54 R NOASYONUNDA AM VE İNDİRGENMİŞ MODEL am model parantez içindeki tüm parametrelerden oluşur. İndirgenmiş model ise işaretten sonraki parametreleri içerir. Bu notasyona göre SS( R) = SS( M ) SS( b ) 0 SS R) = R( β, K, β / ) ( β 1 k ARDIŞIK KARELER OPLAMLARI R notasyonunu açıklamak üzere üç bağımsız değişken ve bir sabit terim içeren doğrusal model ele alınsın. Eğer değişkenler modele x 1, x ve x 3 sırasına göre alınırsa, ardışık kareler toplamları, o R ( β 1 / β ) ifadesi, sadece x 0 0 ı içeren modele x 1 in yaptığı katkının kareler toplamıdır. o R ( β / β, β ) ifadesi, x ve x 1 in etkisi göz önüne alındıktan sonra x nin yaptığı katkının kareler toplamıdır. o R ( β / β, β, β ) ifadesi, x , x 1 ve x nin etkisi göz önüne alındıktan sonra x 3 ün yaptığı katkının kareler toplamıdır. Bağımsız değişkenlerin modele ilave edilme sırası değiştirilerek farklı ardışık kareler toplamlarının setleri elde edilebilir
55 KISMİ KARELER OPLAMLARI Bu örnek için kısmi kareler toplamları, R ( β / β, β, β ) R ( β / β, β, β ) R ( β / β, β, β ) şeklindedir. Bu ifadelerin her biri, fark işaretinden sonraki parametreleri içeren modele, fark işaretinden önceki değişkenin eklenmesinin oluşturduğu ilave kareler toplamıdır. Kısmi kareler toplamları β j basit hipotezini test etmeye uygun kareler toplamlarıdır. 109 BİLEŞİK HİPOEZ İÇİN ARDIŞIK KARELER OPLAMLARI Kısmi kareler toplamları β j =0 bileşik hipotezini test etmeye uygun değildir. Ardışık kareler toplamları, bileşik hipotezi test etmek için gerekli kareler toplamını elde etmek için düzenlenebilir. Üç değişkenli, x 1, x ve x 3, model için H o : β =β 3 =0 ele alınsın, R( β, β / β, β ) = R( β, β, β, β ) R( β, β ) R( β, β / β, β ) = [ R( β, β, β, β ) R( β, β, β ) [ R( β, β, β ) R( β, β )] R β, β / β, β ) = R( β / β, β, β ) + R( β / β, ) [ ] ( β
56 ARDIŞIK KARELER OPLAMLARI VE REGRESYON KARELER OPLAMI Ardışık kareler toplamları tam model için, regresyon kareler toplamının toplanabilir bölümlerini oluşturur. SS ( R) = R( β, β, β / β ) R β / β + R β / β, β + R β / β, β, β = R β / β + R β / β, β + R β / β, β β = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), DÜZELİLMİŞ R R a R formülü eşitlik.16a ile verilmiştir. R formülündeki kareler toplamlarının serbestlik dereceleri dikkate alınarak yapılan bir düzeltme ile R elde edilir. a SS( e) ( n p) n 1 (4.58) R a = 1 = 1 ( 1 R ) SS( c) ( n 1) n p 11 56
57 DÜZELİLMİŞ R R a R parametre sayıları farklı modellerin a karşılaştırılmasında ve amamen farklı iki ya da daha fazla veri setinden elde edilen modellerin karşılaştırılmasında kullanılır. 113 R nin DAĞILIMI H 0 hipotezi altında F hesap değeri bir F(v 1,v ) dağılımına sahiptir. Bir istatistiksel teoreme göre, 1 1 (4.59) R ~ B v1, v Sonuç olarak R kullanılarak H 0 hipotezine karşı H 1 hipotezinin testi gerçekleştirilebilir. Bu testin sonucu standart F testinin sonucuna tamamen denk olacaktır. İçin kritik değer (I38.3) den elde edilir. İspat
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
DetaylıÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ
ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. Ana kütledeki
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
Detaylı3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1
3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel
DetaylıEkonometri I VARSAYIMLARI
Ekonometri I ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON MODELİNİN VARSAYIMLARI Hüseyin Taştan Temmuz 23, 2006 İçindekiler 1 Varsayım MLR.1: Parametrelerde Doğrusallık 1 2 Varsayım MLR.2: Rassal Örnekleme 1 3 Varsayım MLR.3:
Detaylıortalama ve ˆ ˆ, j 0,1,..., k
ÇOKLU REGRESYONDA GÜVEN ARALIKLARI Regresyon Katsayılarının Güven Aralıkları y ( i,,..., n) gözlemlerinin, xi ortalama ve i k ve normal dağıldığı varsayılsın. Herhangi bir ortalamalı ve C varyanslı normal
Detaylı3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI
ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6
DetaylıDOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ. Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci
DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci Tek Değişkenli Zaman Serisi Modelleri Ekonomik verilerin analizi ile ekonomik değişkenlerin gelecekte alabilecekleri
DetaylıÖrneklemden elde edilen parametreler üzerinden kitle parametreleri tahmin edilmek istenmektedir.
ÇIKARSAMALI İSTATİSTİKLER Çıkarsamalı istatistikler, örneklemden elde edilen değerler üzerinde kitleyi tanımlamak için uygulanan istatistiksel yöntemlerdir. Çıkarsamalı istatistikler; Tahmin Hipotez Testleri
Detaylı7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit
DetaylıBKİ farkı Standart Sapması (kg/m 2 ) A B BKİ farkı Ortalaması (kg/m 2 )
4. SUNUM 1 Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, rastlantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel yöntemlere HİPOTEZ TESTLERİ denir. Sonuçların rastlantıya bağlı
DetaylıARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):
YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta
Detaylı7. Ders Genel Lineer Modeller Singüler Modeller, Yanlış veya Bilinmeyen Kovaryanslar, Đlişkili Hatalar
7. Ders Genel Lineer Modeller Singüler Modeller, Yanlış veya Bilinmeyen Kovaryanslar, Đlişkili Hatalar Y = X β + ε Lineer Modeli pekçok özel hallere sahiptir. Bunlar, ε nun dağılımına, Cov( ε ) kovaryans
DetaylıHatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5
Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın
DetaylıLineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
Detaylı4. TAHMİN SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ Katsayıların Yorumu
4. TAHMİN SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ 4.1. Katsayıların Yorumu Y i = β 0 + β 1 X 1i + β X i + + β k X ki + u i gibi çok açıklayıcı değişkene sahip bir modelde, anakütle regresyon fonksiyonu, E(Y i X
DetaylıOLS Yönteminin Asimptotik (Büyük Örneklem) Özellikleri SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) Asimptotik Özellikler: Tutarlılık. Asimptotik Özellikler
1 SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge
DetaylıAppendix C: İstatistiksel Çıkarsama
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.
DetaylıYrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Araştırma sonuçlarının açıklanmasında frekans tablosu
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...
İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN
Detaylı2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım
2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı
DetaylıDers 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin
Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin Kitle ve Örneklem Örneklem Dağılımı Nokta Tahmini Tahmin Edicilerin Özellikleri Kitle ortalaması için Aralık Tahmini Kitle Standart Sapması için Aralık
DetaylıISTATISTIK VE OLASILIK SINAVI EKİM 2016 WEB SORULARI
SORU- 1 : ISTATISTIK VE OLASILIK SINAVI EKİM 2016 WEB SORULARI X ve Y birbirinden bağımsız iki rasgele değişken olmak üzere, sırasıyla aşağıdaki moment çıkaran fonksiyonlarına sahiptir: 2 2 M () t = e,
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
Detaylı3. BÖLÜM MATRİSLER 1
3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12
DetaylıÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.
ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu
DetaylıCh. 12: Zaman Serisi Regresyonlarında Ardışık Bağıntı (Serial Correlation) ve Değişen Varyans
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri II Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 12: Zaman Serisi Regresyonlarında
DetaylıLineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)
DetaylıHipotez Testlerine Giriş. Hipotez Testlerine Giriş
Hipotez Testlerine Giriş Hipotez Testlerine Giriş Hipotez Testlerine Giriş Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, raslantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani
Detaylıİçindekiler. Ön Söz... xiii
İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1
DetaylıTanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,
DetaylıAppendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır. Bu anlamda, anakütleden çekilen
DetaylıKORELASYON VE REGRESYON ANALİZİ. Doç. Dr. Bahar TAŞDELEN
KORELASYON VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Bahar TAŞDELEN Günlük hayattan birkaç örnek Gelişim dönemindeki bir çocuğun boyu ile kilosu arasındaki ilişki Bir ailenin tükettiği günlük ekmek sayısı ile ailenin
DetaylıİSTATİSTİK-II. Korelasyon ve Regresyon
İSTATİSTİK-II Korelasyon ve Regresyon 1 Korelasyon ve Regresyon Genel Bakış Korelasyon Regresyon Belirleme katsayısı Varyans analizi Kestirimler için aralık tahminlemesi 2 Genel Bakış İkili veriler aralarında
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
Detaylı9. ARDIŞIK BAĞIMLILIK SORUNU (AUTOCORRELATION) 9.1. Ardışık Bağımlılık Sorunu Nedir?
9. ARDIŞIK BAĞIMLILIK SORUNU (AUTOCORRELATION) 9.1. Ardışık Bağımlılık Sorunu Nedir? Ardışık bağımlılık sorunu, hata terimleri arasında ilişki olmadığı (E(u i,u j ) = 0, i j) varsayımının geçerli olmamasıdır.
DetaylıDİNAMİK PANEL VERİ MODELLERİ. FYT Panel Veri Ekonometrisi 1
DİNAMİK PANEL VERİ MODELLERİ FYT Panel Veri Ekonometrisi 1 Dinamik panel veri modeli (tek gecikme için) aşağıdaki gibi gösterilebilir; y it y it 1 x v it ' it i Gecikmeli bağımlı değişkenden başka açıklayıcı
DetaylıİÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37
İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar
DetaylıÖrnek 4.1: Tablo 2 de verilen ham verilerin aritmetik ortalamasını hesaplayınız.
.4. Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri kitleye ilişkin bir değişkenin bütün farklı değerlerinin çevresinde toplandığı merkezi bir değeri gösterirler. Dağılım ölçüleri ise değişkenin
DetaylıÖrnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.
Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri
DetaylıH 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0
YTÜ-İktisat İstatistik II Hipotez Testi 1 HİPOTEZ TESTİ: AMAÇ: Örneklem bilgisinden hareketle anakütleye ilişkin olarak kurulan bir hipotezin (önsavın) geçerliliğinin test edilmesi Genel notasyon: anakütleye
DetaylıİSTATİSTİKSEL DARALTICI (SHRINKAGE) MODEL VE UYGULAMALARI * A Statistical Shrinkage Model And Its Applications*
Ç.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:010 Cilt:-1 İSTATİSTİKSEL DARALTICI (SHRINKAGE) MODEL VE UYGULAMALARI * A Statistical Shrinkage Model And Its Applications* Işıl FİDANOĞLU İstatistik Anabilim Dalı Fikri
DetaylıBÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI
1 BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 'Student t dağılımı' ya da kısaca 't dağılımı'; normal dağılım ve Z dağılımının da içerisinde bulunduğu 'sürekli olasılık dağılımları' ailesinde yer alan dağılımlardan bir
Detaylı14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi
ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON ANALİZİ: ÇIKARSAMA Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge 14 Ekim 2012 Ekonometri
Detaylı14 Ekim Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi
DEĞİŞEN VARYANS Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge 14 Ekim 2012 Ekonometri I: Değişen Varyans
DetaylıKoşullu Öngörümleme. Bu nedenle koşullu öngörümleme gerçekleştirilmelidir.
Koşullu Öngörümleme Ex - ante (tasarlanan - umulan) öngörümleme söz konusu iken açıklayıcı değişkenlerin hatasız bir şekilde bilindiği varsayımı gerçekçi olmayan bir varsayımdır. Çünkü bazı açıklayıcı
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL 2 ÖRNEKLEME Anakütleden n birimlik örnek alınması ve anakütle parametrelerinin örnekten tahmin edilmesidir. 3 ÖRNEKLEME ALMANIN NEDENLERİ Anakütleye
DetaylıGenel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.
4.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Ranj Çeyrek Kayma Çeyrekler Arası Açıklık Standart Sapma Varyans
DetaylıCh. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ REGRESYON KATSAYILARININ GÜVEN ARALIĞI = + REGRESYON KATSAYILARININ GÜVEN ARALIĞI
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Deney Tasarımı ve Regresyon Analizi Regresyonda Güven Aralıkları ve Hipotez Testleri Doç. Dr. Nihal ERGİNEL-2015 REGRESYON KATSAYILARININ GÜVEN ARALIĞI + in güven aralığı : i-) n 30
DetaylıBÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ
1 BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel
DetaylıÇOKLU REGRESYON MODELİ. Bir bağımlı değişkene etki eden çok sayıda bağımsız değişkeni analize dahil ederek çoklu regresyon modeli uygulanabilir.
ÇOKLU REGRESYON MODELİ Bir bağımlı değişkene etki eden çok sayıda bağımsız değişkeni analize dahil ederek çoklu regresyon modeli uygulanabilir. Y=b 1 + b X + b X + u Y=b 1 + b X + b X +...+ b k X k + u
DetaylıRastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler
Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde
DetaylıNedensel Modeller Y X X X
Tahmin Yöntemleri Nedensel Modeller X 1, X 2,...,X n şeklinde tanımlanan n değişkenin Y ile ilgili olmakta; Y=f(X 1, X 2,...,X n ) şeklinde bir Y fonksiyonu tanımlanmaktadır. Fonksiyon genellikle aşağıdaki
DetaylıMeslek lisesi ve devlet lisesine giden N tane öğrenci olduğu ve bunların yıllık okul harcamalarına ait verilerin olduğu varsayılsın.
KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLER Bir kukla değişkenli modeller (Varyans Analiz Modelleri) Kukla değişkenlerin diğer kantitatif değişkenlerle alındığı modeller (Kovaryans Analizi Modeller) Kukla değişkenlerin
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık -II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ İki Ortalama Farkının Güven Aralığı Anakütle Varyansı Biliniyorsa İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni: Güven aralığı ifadesinde
DetaylıMühendislikte İstatistiksel Yöntemler
Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 7 TAHMİNLER Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır.
Detaylı2. BASİT DOĞRUSAL REGRESYON 12
1. GİRİŞ 1 1.1 Regresyon ve Model Kurma / 1 1.2 Veri Toplama / 5 1.3 Regresyonun Kullanım Alanları / 9 1.4 Bilgisayarın Rolü / 10 2. BASİT DOĞRUSAL REGRESYON 12 2.1 Basit Doğrusal Regresyon Modeli / 12
DetaylıYatırım Analizi ve Portföy Yönetimi 6. Hafta
Yatırım Analizi ve Portföy Yönetimi 6. Hafta Dr. Mevlüt CAMGÖZ 1 Dr. Mevlüt CAMGÖZ İçerik Karakteristik Doğru ve Beta Katsayısı Karakteristik Doğrunun Tahmini Beta Katsayısının Hesaplanması Agresif ve
DetaylıEŞANLI DENKLEM MODELLERİ
EŞANLI DENKLEM MODELLERİ Eşanlı denklem modelleri, tek denklemli modeller ile açıklanamayan iktisadi olayları açıklamak için kullanılan model türlerinden birisidir. Çift yönlü neden-sonuç ilişkisi söz
DetaylıÖrneklem Dağılımları & Hipotez Testleri Örneklem Dağılımı
Örneklem Dağılımları & Hipotez Testleri Örneklem Dağılımı Ortalama veya korelasyon gibi istatistiklerin dağılımıdır Çıkarımsal istatistikte örneklem dağılımı temel fikirlerden biridir. Çıkarımsal istatistik
DetaylıBir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler İÇERİK o Giriş ovaryansı Bilinen Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler P-değerleri: II. Çeşit hata ve Örnekleme Büyüklüğü Seçimi Örnekleme Büyüklüğü
DetaylıTEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ
TEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ 1 İstatistik İstatistik, belirsizliğin veya eksik bilginin söz konusu olduğu durumlarda çıkarımlar yapmak ve karar vermek için sayısal verilerin
DetaylıSÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıÖğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT
Ünite 10: Regresyon Analizi Öğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT 10.Ünite Regresyon Analizi 2 Ünitede Ele Alınan Konular 10. Regresyon Analizi 10.1. Basit Doğrusal regresyon 10.2. Regresyon denklemi
DetaylıBİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahminleme ve Hipotez Testi-III Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahminleme ve Hipotez Testi-III Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr
DetaylıMühendislikte İstatistik Yöntemler
.0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0
DetaylıPARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 8
PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 8 Prof. Dr. Ali ŞEN İki Populasyonun Karşılaştırılması: Eşleştirilmiş Örnekler için Wilcoxon İşaretli Mertebe Testi -BÜYÜK ÖRNEK Bağımsız populasyonlara uygulanan
DetaylıQUANTILE REGRESYON * Quantile Regression
QUANTILE REGRESYON * Quantile Regression Fikriye KURTOĞLU İstatistik Anabilim Dalı Olcay ARSLAN İstatistik Anabilim Dalı ÖZET Bu çalışmada, Lineer Regresyon analizinde kullanılan en küçük kareler yöntemine
DetaylıENM 5210 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI. Ders 2 Merkezi Eğilim Ölçüleri
ENM 5210 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI Ders 2 Merkezi Eğilim Ölçüleri Basit Seriler Elde edilecek ham verilerin küçükten büyüğe doğru sıralanması ile elde edilen serilere basit seri denir ÖRNEK:
DetaylıKazanımlar. Z puanları yerine T istatistiğini ne. zaman kullanacağını bilmek. t istatistiği ile hipotez test etmek
T testi Kazanımlar Z puanları yerine T istatistiğini ne 1 zaman kullanacağını bilmek 2 t istatistiği ile hipotez test etmek 3 Cohen ind sini ve etki büyüklüğünü hesaplamak 1 9.1 T İstatistiği: zalternatifi
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıİSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI
İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI SORU 1 Meryem, 7 arkadaşı ile bir voleybol maçına katılmayı planlamaktadır. Davet ettiği arkadaşlarından herhangi bir tanesinin EVET deme olasılığı 0,8 ise, en az 3 arkadaşının
DetaylıSIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS)
SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge
DetaylıDoğrusal Bağlanım Modeline Dizey Yaklaşımı
Doğrusal Bağlanım Modeline Dizey Yaklaşımı Yrd Doç Dr A Talha YALTA Ekonometri Ders Notları Sürüm,0 (Ekim 011) Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 30
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık - I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kes1rim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmak7r. ü Bu anlamda, anakütleden çekilen
Detaylıİçindekiler vii Yazarların Ön Sözü xiii Çevirenin Ön Sözü xiv Teşekkürler xvi Semboller Listesi xvii. Ölçme, İstatistik ve Araştırma...
İçindekiler İçindekiler vii Yazarların Ön Sözü xiii Çevirenin Ön Sözü xiv Teşekkürler xvi Semboller Listesi xvii BÖLÜM 1 Ölçme, İstatistik ve Araştırma...1 Ölçme Nedir?... 3 Ölçme Süreci... 3 Değişkenler
DetaylıMerkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder.
Yayılma Ölçütleri Merkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder. Bir başka ifade ile, bir veri setinin,
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ
ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ 1 1. GİRİŞ Trent, serinin genelinde yukarıya ya da aşağıya doğru olan hareketlere denmektedir. Bu hareket bazen düz bir doğru şeklinde olmaktadır. Bu tür harekete sahip
DetaylıÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ
ÜSEL DÜLEŞİRME YÖNEMİ ÜSEL DÜLEŞİRME YÖNEMİ Bu bölüme kadar anlatılan yöntemler zaman içinde değişmeyen parametre varsayımına uygun serilerin tahminlerinde kullanılmaktaydı. Bu tür seriler deterministik
Detaylı26.12.2013. Farklı iki ilaç(a,b) kullanan iki grupta kan pıhtılaşma zamanları farklı mıdır?
26.2.23 Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, raslantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel yöntemlere HĐPOTEZ TESTLERĐ denir. Sonuçların raslantıya bağlı olup
DetaylıÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri
ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri. i, j,, i için j i j a j i j a. j i j a. i için j i j a 4 6 j i j a 4 j i j a. 6. 0 0 0 4 0 0 0. 4 6 n 0 0 n 6 Cevap: D Cevap:. I. I I I 0 I 0 0 0..I I I 00 0 0 0
DetaylıAyrık Fourier Dönüşümü
Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =
Detaylı4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n
DetaylıYatırım Analizi ve Portföy Yönetimi 5. Hafta
Yatırım Analizi ve Portföy Yönetimi 5. Hafta Dr. Mevlüt CAMGÖZ 1 Dr. Mevlüt Camgöz İçerik Tek Endeks / Pazar Modeli Sistematik Risk Sistematik Olmayan Risk Sermaye Varlıklarını Fiyatlandırma Modeli (SVFM)
DetaylıİSTATİSTİK II. Hipotez Testleri 1
İSTATİSTİK II Hipotez Testleri 1 1 Hipotez Testleri 1 1. Hipotez Testlerinin Esasları 2. Ortalama ile ilgili bir iddianın testi: Büyük örnekler 3. Ortalama ile ilgili bir iddianın testi: Küçük örnekler
DetaylıTemel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri
Temel İstatistik Tanımlayıcı İstatistik Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart 2011 DAĞILIM / YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ Verilerin değişkenlik durumu ve dağılışın şeklini
DetaylıİÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ...
İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1. Regresyon Analizi... 1 1.2. Uygulama Alanları ve Veri Setleri... 2 1.3. Regresyon Analizinde Adımlar... 3 1.3.1. Problemin İfadesi... 3 1.3.2. Konu ile İlgili Potansiyel
DetaylıTANIMLAYICI İSTATİSTİKLER
TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin
Detaylı