KONTROL SİSTEMLERİ NOTLARI GİRİŞ (1.Kitap)

Transkript

1

2 954 TMMOB Elektrik Mühendileri Odı KONTROL SİSTEMLERİ NOTLARI GİRİŞ.Kitp.Bkı, Ankr-Arlık 0 ISBN: EMO Yyın No: EK/0/7 TMMOB Elektrik Mühendileri Odı Ihlmur Sokk No:0 Kt: Kııly Ankr Tel: Fk: E-Pot: emo@emo.org.tr Kütüphne Ktlog Krtı KON 0 Kontrol Sitemleri Notlrı- Giriş. Kitp Kitbı; Yyın Hırlyn: EMO Genel Merke, --.b.--ankr. Elektrik Mühendileri Odı, :4 cm EMO Yyın No:EK/9/7; ISBN: Kontrol Sitemleri Digi TMMOB Elektrik Mühendileri Odı Bkı TMMOB Elektrik Mühendileri Odı

3 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş KONTROL SİSTEMLERİ NOTLARI GİRİŞ.Kitp

4 BAŞLARKEN Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Kontrol itemleri ve otomyon dönük bu notlr, öncelikle W.Bolton un Newne Control Engineer Pocket Book Türkçei Kontrol Mühendii Cep Kitbı dıyl Bileşim Yyınlrı trfındn 004 yılınd bılmıştır kitbı; A.Prr ın Indutril Control Hndbook Türkçei Endütriyel Kontrol El Kitbı dıyl 994 yılınd MEB Yyınlrı trfındn bılmıştır ve C.Dorf un Modern Control Sytem kitplrı ile IDC trfındn hırlnn Prcticl Control Sytem for Engineer ile yine IDC nin hırldığı Prcticl Ditributed Control Sytem for Engineer ynı notlrın Türkçei Dğıtılmış Kontrol Sitemleri imiyle dh önce Bileşim Yyınlrı trfındn bılmıştı ve Prcticl Network Automtion nd Communiction bu notlr d dh önce Bileşim Yyınlrı trfındn Elektrik Şebeke Otomyonu imiyle Türkçeleştirilmişti iimli uygulmlı tölye eğitimlerinden hırlnn kur notlrındn yrrlnılrk bir ry getirilmiştir. Kontrol itemleri ve otomyonl ile ilgili derlenen notlrın toplmı 500 yfy ykındır. Toplmı şimdilik dört kıım olrk yyımlnmı uygun görülmüştür. Notlrın ilk kımı.kitp Kontrol Sitemleri Notlrı Giriş, kontrol teorii üerinedir ve kontrol ütüne dh iyde genel bilgiler verilmektedir, toplmı 340 yfdır.. kitp elektrik enerji itemlerinin otomyonu üerine giriş niteliğindedir ve toplmı 30 yfdır. 3 ve 4. Kitplr Dğıtılmış Kontrol Sitemleri ve toplmı 800 yfy ykındır ve 30 yflık ilk kıımd, SCADA ve PLC itemleri ile DCS krşılştırmı, kontrolör ile ilgili temel bilgiler ve kontrolör konfigryonu, DCS iletişim itemleri ve LAN ypıı, profibu ve foundtion fieldbu ile ilgili bilgiler verilmektedir. Son kitpt Dğıtılmış Kontrol Sitemleri ie DCS Sitemlerinin progrmlnmı, Alrm itemi yönetimi, DCS Rporlmlrı, Bkım ile ilgili ypılcklr ve detylı bir DCS uygulm örneği nltılmktdır ve toplmı 500 yfy ykındır. Giriş niteliğindeki kontrol itemleri üerine ilk kitp oln bu notlrl mçlnn kontrol mühendiliğinin temel prenipleri üerine, ölü ve koly okunbilir bir tnım olmının öteinde;

5 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş. temel itemlerin modellerini geliştirmek,. giriş inyllerine ilişkin itemlerin tepkilerini belirlemek, 3. itemleri; trnfer fonkiyonlrı, blok modelleri ve inyl kış grfikleri yoluyl tnımlmk, 4. itemlerin kutup ve ıfır nliini gerçekleştirmek, 5. itemlerin krrlılığını belirlemek, 6. krrlı-hl htlrını belirlemek, 7. itemlerin frekn tepkiini belirlemek, 8. Bode çiimini kullnmk, 9. Nyquit krrlılık kriterini kullnmk, 0. itemleri nli etmekte kök eğrilerini kullnmk,. Kontrol birim ve kompntör diynı,. yrık mnlı inyl işleme preniplerini tnımlmk, 3. yrık mnlı itemlerinin tepkilerini, krrlılıklrını ve krrlı-hl htlrını 4. belirlemede -dönüşümünü kullnmk, 5. dijitl kontrol birim trımını ypmk, 6. mikro-işlemci kontrollü itemlerin ve PLC ünitelerinin preniplerini tnımlmk, 7. itemlerde item hl modelleri kullnmk üere, kontrol mühendiliği için gerekli mtemtik prenipleri ğlmy yönelik rçlrı ğlmktır. Bu notlr, hem klıcı/ürekli, hem de yrık mnlı kontrol itemlerini kpmktdır. Hitp ettiği keimler: o kontrol itemlerinin temel preniplerine gerekinim duyn öğrencilerin ynı ır; o Endütriyel lnd, kontrol mühendiliği üerine bir kynğ gerekinim duyn mühendi ve tüm teknik dmlrdır. Notlrın içeriğine gelince: notlr, kontrol itemlerinin mçlrı ile bşlmkt, rdındn meknik, elektronik yd kışknlr gibi item modelleriyle, dinmik tepkiler konu edilmekte; 3. Bölüm, kutuplr; rdındn gelen 4. ve 5. Bölümlerde mn ınırlı performn ölçütleri ve frekn ınırlı tepkiler yer lmkt; tbilite yd göreceli tbilitenin konu edildiği 6. Bölümden onr; Locu Kök yöntemi, kontrol itemleri trımlrı 7 ve 8. Bölümler olrk nltılmkt. Ayrık mn itemleri, Z-trnform itemleri içinde mn geciktirmeleri vb 9 ve 0. Bölümlerde çıklnırken; ve 3

6 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş. Bölümler ie bilgiyrlı kontrol itemleri ile durum itemli modeller üerinedir. Kontrol Sitemleri üerine frklı kynklrdn birleştirilen bu notlrı, EMO knlıyl, bu ke e-kitp olrk unuyoru, bu e- kitplr ktkılrındn dolyı, EMO yyınlrı ile uğrşn bşt Sn. Emre Metin, Sn.Hkkı Ünlü ve Sn.Orhn Örücü olmk üere tüm EMO yetkililerine teşekkür ederi. Aydın Bodur 4

7 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş KONTROL SİSTEMLERİ NOTLARI GİRİŞ.KİTAP... GİRİŞ... 0 Kontrol itemlerinin mçlrı... 0 Açık ve kplı döngü itemleri... 0 Geri belemenin etkileri... 3 Ayrık verili kontrol itemleri... 5 Sırlı kontrol MODELLER... 7 Modeller... 7 Meknik itemler... 9 Elektrik itemleri... 4 Akışkn itemleri Terml itemler Diferniyel bğıntılr DİNAMİK TEPKİ... 4 Geçici ve krrlı hâl tepkileri... 4 Trnfer fonkiyonu Lplce dönüşümü Lplce dönüşümü kullnrk belirlenen tepki... 6 Sitemlerin blok diygrm göterimi Sinyl kış grfikleri

8 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 3. KUTUP VE SIFIR DEĞERLERİ Kutup ve ıfır değerleri Kutup konumu ve geçici tepki Stndrt itemler... 9 Routh Hurwit kriteri ZAMAN BÖLGESİ İÇİNDE BAŞARIM ÖLÇÜTÜ Krrlı hâl htı Kontrol itemleri için geçici tepkiler... Performn endekleri FREKANS DÜZLEMİNDE TEPKİ... Frekn tepkii... Birinci derece itemler için frekn tepkii... 7 İkinci derece itemler için frekn tepkii... 9 Kplı döngü bir item için frekn tepkii Frekn dülemi bşrım peifikyonlrı Frekn tepkiinin grfikel belirlenmei Bode çiimleri Trnfer fonkiyonlrının deneyel belirlenmei Zmn gecikmei KARARLILIK VE FREKANS DÜZLEMİ Krrlılık Polr Çiim

9 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bitleştirilmiş Nyquit krrlılık kriteri Nyquit krrlılığı ve dülemi Göreli krrlılık Zmn gecikmeli itemlerin krrlılığı... 7 Sbit M yer eğrileri Sbit N yer eğrileri Nichol grfikleri KÖK YER EĞRİSİ TEKNİĞİ Kök yer eğrileri Kök yer eğrilerini oluşturmk için kurllr Kök yer eğrileri örnekleri... 9 Zmn gecikmei Kök yer eğrilerini kullnrk çöümleme Kök eğrii ve mn dülemi rındki ilişki KONTOL SİSTEM DİZAYNI Kompntörler ve kontrolörler birimleri Kontrol modlrı Kontrolör knçlrının yrlnmı... 6 Kompnyon... 9 Hı geri belemei AYRIK ZAMANLI SİSTEMLER Sitemler

10 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Dijitl inyl işleme Türev ve integrl ykınmlrı Örnekleme teoremi Sıfır derece tutulum Z DÖNÜŞÜMÜ Zmn gecikmei Z dönüşümünün örneklemei Z dönüşümünün öellikleri Ter dönüşümü Drbe trnfer fonkiyonu dülemi dülemi ile dülemi rındki ilişki bölgeinde krrlılık tetleri Ayrık mnlı itemlerin krrlı hl htlrı Ayrık mnlı bir itemin frekn tepkii BİLGİSAYAR KONTROL SİSTEMLERİ Bilgiyr kontrolü Dijitl kontrolör trımı Ayrık kontrolör trnfer fonkiyonlrının progrm çevrilmei Örnekleme rlığının eçimi Kontrol döngüündeki mikroişlemci SİSTEM DURUM MODELLERİ

11 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Mtri notyon ve terminolojii Durum uyı modeli Mtri ritmetiği Determinntlr Durum denklemlerinin çöümü Durum diygrmlrı

12 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş GİRİŞ Kontrol itemlerinin mçlrı Süreçlerin çıkışlrını, itenen bit bir değerde denetim ltın lmk. Süreçlerin çıkışlrının belirli bir değişim formunu tkip etmeini ğlmk. 3 Olylrın belirli bir ır dhilinde oluşmını ğlmk. Bu, öel mnlrd meydn gelen mn thrikli/ürüşlü olylrın ırı olbilir vey doğrudn oly thrikli/ürüşlü olbilir. Böylelikle olylr, öel koşullr gerçekleştiğinde meydn gelir. Açık ve kplı döngü itemleri Açık döngü kontrol itemi terimi, itenilen onucu verecek biçimde, bir önceki verinin b lınrk, iteme girilecek girdinin eçilebildiği itemler için kullnılır. Şekil, böyle bir itemin temel formunu göteriyor. Şekil G. Açık döngü bir kontrol iteminin temel elemnlrı Sitem, üç temel elemn hiptir: - kontrol, - düeltme ve 3- değişkenin kontrol edildiği üreç. 0

13 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Kontrol elemnı, iteme girilen verinin girdinin onucun göre ypılck müdhleyi göterir. Düeltme elemnı, kontrolör çıktıını, yeni girdi olrk lır ve kontrol edilen değişkeni değiştirmek üere trlnmış olylr diiinin onucunu çıktı olrk verir. 3 Değişkenin kontrol edildiği üreci göterir. Çıkış değişkenini değiştiren dış etkiler için, kontrol fliyetlerinin değişimi yoktur. Kplı döngü kontrol itemi terimi, kontrol edilen değişkenin geri belendiği itemler için kullnılır; bu nedenle itemin girdii, itenilen çıktıy ulşmk için yeniden düenlenebilir. Şekil böyle bir itemin temel formunu götermektedir. Şekil G. kplı döngü bir kontrol iteminin temel elemnlrı Böylei bir geri beleme itemi, beş temel elemn hiptir: - krşılştırm, - kontrol, 3- düeltme, 4- ölçülen değerin geri belenmei ve 5- bir değişkenin kontrol edildiği üreç. Krşılştırm elemnı, olmı gereken değerle gerçek değer rınd krşılştırm ypr ve ht inyli, kontrol elemnın girdi olrk gönderilir. Bu elemnın girdilerinin + ve işretleri, bştn yrlnmış değerinden geri beleme değerinin çıkrıldığını göterir. Kontrol elemnı, iteme veri girişinden onr ypılck müdhleyi belirler. 3 Düeltme elemnı, kontrolör için üretilen çıktıyı, bu ke girdi olrk lır ve kontrol edilen değişkeni değiştirmek üere önceden trlnmış olylr diiinin onucunu yeni çıktı olrk verir.

14 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 4 Gerçekte oluşn değişkenin değerini ölçmek için bşvuruln ve ölçülen değerin, önceden yrlnmış değeriyle krşılştırmk üere geri beleme mcıyl kullnıln bir ölçü elemnı vrdır. 5 Bir değişkenin kontrol edildiği ürecin kendiidir. Bir bşk kplı döngü kontrolü formu ileri belemeyi kpr Şekil.3. Bı dış etkilerin onucu kontrol edilen bı üreç değişkenlerinde değişimler orty çıkr. Dış etkileri gölemleme ve bu verileri kontrol itemine geri belemei ğlnrk, itemin değişimlere, geri beleme itemlerinin kendiinden dh hılı tepki vermei ğlnbilir. İleri beleme, çıktıyı dece öel bir tip dış etkiye krşı düeltebilir ve genellikle gerekli kontrolün elde edilmei için geri belemeyle birlikte kullnılır Şekil 4. Şekil G.3 İleri beleme Şekil G.4 İleri beleme ile birlikte geri beleme

15 Geri belemenin etkileri Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bir itemde geri belemeye bşvurmk uretiyle: Sitemin, değişkeni kontrol etmeine olnk veriri; bu yede gerçek değerle önceden yrlnmış değer rındki frk ht ltılır. Sitemin, toplm kncını değiştirebiliri. Krrlı-hl koşullrı ltınd, ttik knç çıktı/girdi dir. Sttik kncı G oln bir iteme, kncı H oln bir geri beleme itemini bğlmk Şekil 5, ileri elemnın e htı tşıyn bir girdiye, y tepkii tşıyn bir çıktıy hip olduğu ve böylece kncın G = y/e olduğu nlmın gelir. Fkt ht, et değeri x ve geri belenen değer Hy rındki frktır. Böylece G = y/x-hy dir ve bu nedenle itemin toplm kncı, yni y/x: G toplm knç [] GH Şekil G.5 Negtif geri belemeli item 3 Sitemin krrlılığını değiştirebiliri. Eğer bir itemin, ınırlnmış kimi girdileri onucund çıktılrı, ınırı biçimde rtıyor; bu item krrıdır. Denklem [] yoluyl, GH = - ie itemin çıktıı: her hngi onlu bir girdi için, her mn onudur ve item krrıdır. Böylece geri beleme ilk bşt krrlı oln bir itemi krrı hle getirir. 4 Sitemin bnt genişliğini değiştirebilir. Bir itemin bnt genişliği, girdilerinde itemin ttmin edici tepki verdiği frekn 3

16 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş rlığıdır. İleri forwrd knç G ve geri beleme kncı H, frekn bğlı fonkiyonlr olduğundn; toplm knçt frekn bğlı fonkiyon olcktır ve itemin krrlılığı, frekn bğlı klcktır. 5 Sitem kncının duyrlılığını değiştirebiliri. Bir itemin duyrlılığı: toplm item kncının, item elemnlrının knç değişimlerinden hngi miktrd etkilendiğinin ölçüüdür. Böylece itemin ileri elemn kncının değişimlerine krşı duyrlılığı, toplm item kncı oln G c nin değişiminin, ileri elemn kncı G nin, değişimine ornıdır; ΔG c /G c /ΔG/G gibi. ΔG miktrı, ileri elemn knç değişimi onucund toplm item knç değişimi ΔG c kdr olur. Duyrlılık şu şekilde yılbilir: ΔG c /ΔGG/G c. Denklem [] in türevi, dg c /dg= /+GH olduğundn, duyrlılığı şöyle ybiliri: duyrlılık [] GH 6 Dış etkenlerin etkilerini meel itemdeki gürültü gibi değiştirebiliri. Şekil 6 dki, iki elemnlı çık döngü itemine, dış etkenin iki elemn rındn girdiği durumu ele llım. Siteme verilen bir x girdii için, ilk elemn G x çıktıını verin. Bu değere, ikinci elemnın girdiini elde etmek için dış etken d eklenir, G x+d. Bu nedenle itemin toplm çıktıı şu hle gelecektir. y G G x d G G x G d [3] Şekil.6 Açık döngü bir itemde dış etken 4

17 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Sinyl-gürültü ornı: inyle bğlı çıktının gürültüye bğlı çıktıy ornıdır ve dolyııyl, G G x/g d = G x/d dir. Geri belemeli item için Şekil.7, ilk ileri elemn girdii x-hy dir ve bu nedenle bu elemnın çıktıı G x-hy dir. G nin girdii G x-hy+d dir ve bu nedenle G nin çıktıı x = G [G x- Hy+d] dir. Bunu tekrr düenleyerek: GG G c x d [4] G G H G G H elde edilir ve bu denklem [3] ile krşılştırıldığınd, dış etkenin etkiinin, +G G H çrpnı kdr ldığı gölenir. Sinyl-gürültü ornı G x/n dir ve geri belemenin olmdığı durumd d ynıdır. Şekil G.7 Kplı döngü itemlerde dış etki Ayrık verili kontrol itemleri Sürekli veri kontrol itemleri, inyllerin tmmının ürekli mn fonkiyonlrındn oluştuğu itemlere denir. Ayrık veri kontrol itemi ie, itemdeki bir vey dh fl noktnın drbe diii y d ktrı vey yıl/dijitl kod şeklinde olmı yönüyle frklıdır. Böyle bir itemin, örnekleme veri formu, ürekli bir mn fonkiyonu inyl girdiine hiptir ve bu girdi: örnekleme yoluyl bir yrık veri inyline dönüştürülür. Şekil G.8 böyle bir itemin temel şeklini götermektedir. Örnekleme nlog-yıl dönüştürücü yrdımıyl ypılbilir ve yıl-nlog dönüştürücü yrdımıyl tekrr ürekli bir mn inyline dönüştürülmeden önce, ht inylini işlemek için dijitl bir kontrolör kullnılır. 5

18 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil G.8 Örneklem verili kplı döngü kontrol itemi Sırlı kontrol Sırlı bir kontrol itemi, önceden belirlenmiş bir tkım operyonlrı ıryl gerçekleştiren itemdir. Oly-ürüşlü oly thrikli terimi, operyonlrın bşltılmı vey bir oly gerçekleştiğinde on erdirilmeini belirten bir terim olrk kullnılır. Zmn ürümlü terimi, operyonlrın öel bir mn vey bir mn rlığındn onr bşltılıp on erdirilmeini belirten bir tbirdir. Şekil.9 böyle bir itemi remediyor. A olyı gerçekleştiğinde, kontrolöre,.çıktıyı ileten bir girdi vrdır; ynı şekilde B olyı gerçekleştiğinde de kontrolöre.çıktıyı veren bir bşk girdi vrdır Bu tipte bir item, mikroişlemcilerin kontrolör olrk kullnılmı onucu, giderek yygınlşmy bşlmıştır. 6

19 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş. MODELLER Şekil G.9 Sırlı kontrol Modeller Bir itemin mtemtikel modeli, o itemin mtemtikel denklemler ile tnımlnmıdır. Bu tip denklemlerin temeli, Newton knunlrı ve Kirchhoff knunlrı gibi, fiik knunlrıdır. Bu trd bir model geliştirmek için kullnılbilecek bir yöntem: itemi, prçlrın yırmk ve her bir elemnı temel ypıtşı bir blok hlinde tnımlmkl mümkündür. Lineerlik/Doğrullık Mtemtikel modeller, lineer vey lineer olmyn modeller olbilir. Lineer bir modelde üt üte bindirme prenibi uygulnbilir: Aynı nd uygulnn birden çok girdiye verilen tepki, her bir girdinin yrı yrı uygulndığınd verilen tepkileri toplmın eşittir. Herhngi bir girdi bit bir yıyl çrpıldığınd; çıktı d, ynı yıyl çrpılmış yılır. Örnek olrk, lineer meknik bir iteme ynı nd uygulnn N ve 3N büyüklüğünde iki kuvvet vr; elde edilen toplm yer değiştirme, N ve 3 N kuvvetlerinin yrı yrı uygulndığınd oluşck yer değiştirmeleri toplmı kdr olcktır. Eğer N luk Newtonluk bir kuvvet, lineer bir meknik iteme uygulnmış; bu kuvvetin üç ktı yni 6 N büyüklüğünde bir kuvvet, N luk kuvvetin neden olduğu yer değiştirmenin uklık yd deplmn 3 ktı kdr bir yer değiştirmeye neden olcktır. Lineerleştirme Gerçek bileşenler rınd mükemmel lineer bileşenler çok ndirdir; çoğu mn bı çlışm noktlrı civrınd lineer olduğu vryıln bir dii operyon vrdır. Lineer olmyn bileşenler için, bir çlışm noktı civrınd, lineer bir bğıntı olduğunu vrymk 7

20 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş mkuldür; bu d genelde, o çlışm noktındki lineer olmyn bğıntının tnjntın krşılık gelirşekil.. n Şekil. lineer vryılmış bğıntı Eğer P noktı grfiğin yeni orijini olrk lınır; P noktındki tnjnt, m grdynı olmk üere şğıdki gibi tnımlnbilir: y mx [] Bu tr bir lineeriyon örnek olrk, keit lnı A, bıncı p oln bir muluktn, r ökütleli bir ıvının, q kış hıı bğıntıını ele llım. p q Cd A [] C d bittir. Sbit bir keit lnı ve ökütle için denklem şu şekilde yılbilir: q C p [3] Bu q ve p rınd lineer olmyn bir bğıntı. Bu bğıntıyı bir çlışm bıncı civrınd lineerleştirebiliri. Denklem [3] ün grdynı türev lm yoluyl elde edilebilir ve şğıdki gibidir: 8

21 m dq C dp p Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş [4] Çlışm noktınd, kullnbiliri: [5] q mop m C p ve lineer bğıntı olrk şğıdkini o o Kontrol itemleri için mtemtik modelleri geliştirmede, çlışm noktındki değişiklikler, nipeten küçük olduğundn ve böylei denklemlerin kullnımıyl elde edilen bir model, itemi mkul biçimde çıklybildiğinden, genelde böyle lineerleştirilmiş denklemler kullnbiliri. Meknik itemler Meknik itemlerin temel ypı bloklrı, kütle, yy ve mortiör elemnlrıyl göterilir Şekil.. Girdi F tir ve çıktı yer değiştirme y dır. Şekil. meknik item ypı bloklrı Lineer bir yy için, um miktrı y, uygulnn utm kuvvetiyle doğru orntılıdır ve şğıdki gibidir: F ky [6] k eneklik ktyıı olrk dlndırılır. Yy, bir itemin enekliği ni vey eltikiyeti ni ifde eder. Bir mortiör, bir ilindir içindeki ıvı dolu bir ortmd hreket eden bir piton şeklinde düşünülebilir. Pitonun hreketi, kışknın pitonun kenrlrındn kmını gerektirir. Üteinden 9

22 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş gelinmei gereken direnç kuvveti, pitonun hııyl doğru orntılıdır ki: bu d mn birimde yer değiştirme x tir, yni dy/dt. Sonuç olrk: dy c dt F [7] Amortiör itemin önümlemeini ifde eder. 3 Bir kütle için, uygulnn kuvvet ve ivme rındki bğıntıyı, Newton un ikinci knunu, F = m x verir; fkt ivme, hıın mn bğlı türevi, hı d yer değiştirmenin mn bğlı türevidir. Sonuç olrk: d y m dt F [8] kütle bir itemin eylemiliği ni ifde eder. Yyı utmk, pitonu mortiör içinde hreket ettirmek ve kütleyi ivmelendirmek için enerjiye ihtiyç vrdır. Yy utıldığı mn depoldığı enerjiyi veren bğıntı şğıdki gibidir: E [9] ky F k ve bu enerjiyi kendi orijinl boyun döndüğünde erbet bırkır. Bir kütle, v hııyl hreket ederken içinde depolnn enerji, hreket kinetik enerjiidir ve hreket etmei durduğund bu enerjiyi erbet bırkır; bu enerji şğıdki gibidir: mv E [0] Bun rğmen mortiör, uygulnn kuvvet kldırıldığınd, ilk orijinl konumun döneme ve bu nedenle enerji depolm bunun yerine enerji, pitonun hreketi enınd hrcnır. Amortiörün hrcdığı enerjinin mn bğlı değişimi, yni kuvveti P, hı bğlıdır ve şğıdki gibidir: P cv [] 0

23 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bu ypı bloklrını, bir itemi göterirken nıl kullndığımı bir örnek olrk, Şekil.3 te verilen itemi ele llım. Bu, yere monte edilmiş ve titreşim kuvvetlerine tbii klmış bir mkineyi remediyor olbilir. Sitem modelini elde etmek için, bğımı gövde diygrmını çieri; bunlr her kütlenin üerine etki eden dış kuvveti göteren kütle diygrmlrıdır. Elimideki item için bir tne kütlemi vr; bu yüden de bir tne bğımı gövde diygrmımı vr. Şekil.3 Sitem, b bğımı gövde diygrmı Bğımı gövde diygrmının göterdiği gibi, kütle üerine etki eden net kuvvet: uygulnn kuvvetle yy ve mortiör trfındn uygulnn çekme kuvvetinin frkı kdrdır. Bu durumd, Newton un ikinci knunun uygulnmı ile şğıdki bğıntı elde edilir: F dy d y ky c m dt dt [] Bir bşk örnek olrk, Şekil.4 d göterilen itemi ele llım. Bu iki kütleye hip ve bu nedenle iki bğımı gövde diygrmı çieri Şekil.4b. k eltikiyetine hip yy y kdr utılmış ve k eltikiyetine hip yy y -y kdr utılmıştır. M kütlei için çiilen bğımı gövde şğıdki bğıntıyı verir:

24 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş k dy dy d y y y c k y m dt dt dt [3] M kütlei için çiilen bğımı gövde şğıdki bğıntıyı verir: F [4] dy dy k y y c m dt dt d y dt Şekil.4 Meknik item Dönüşlü itemler Dönüşlü itemler için temel ypı bloklrı burulm yyı, döner mortiör ve eylemilik momentidir Şekil.5. Bir burulm yyı için, dönme çıı θ, torkl doğru orntılıdır: T k [5]

25 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Dönüşlü bir mortiör için, yni bir kışkn içinde etkili biçimde dönen bir dik için, direnç torku T, çıl hı ω ile doğru orntılıdır ve böylece: d T c c [6] dt Şekil.5 Dönüşlü item elemnlrı 3 Eylemilik momenti I oln bir bloğ T torku uygulnmı, çıl ivmeine neden olur ve çıl ivme, çıl hıın mn bğlı değişimi olduğundn: T d I I dt [7] Bir θ çııyl çevrilen bir burulmlı yyd depolnn E enerji bğıntıı şğıdki gibidir: E [8] k T k Bir ω çıl hııyl dönen bir kütlede depo edilen enerji, kinetik enerjidir: E I [9] 3

26 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Döner mortiör, enerji depolm; dece enerji hrcr. Bir ω çıl hııyl dönen bir döner mortiör için hrcnn P kuvveti, şğıdki gibidir: P c [0] Bir item modeli geliştirmeye örnek olrk, Şekil.6 d göterilen itemi ve bu itemin Şekil.6b de göterilen erbet gövde diygrmını ele llım. Şekil.6 Dönüşlü item Dike etki eden torklr, uygulnn T torku, kθ yy torku ve cω mortimn torku dur. Bu nedenle: T d d k c I dt dt [] Elektrik itemleri Elektrik itemlerinin temel ypı bloklrı, reitör direnç, indüktör ve kpitördür Şekil.7. 4

27 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.7 Elektrik itemi ypı bloklrı Üerinde i kımı oln bir direncin v potniyel gerilimi, R direnci olmk üere, şğıd verildiği gibidir: v Ri [] Bir indüktör için, herhngi bir nd üerindeki v potniyel gerilimi, L indüktnı olmk üere, kımın mn göre değişimine bğlıdır: di v L [3] dt Potniyel gerilimin yönü, indüktör üerinde kım oluşmını ğlyn ürücü gerilimin ter yönündedir. Bu denklem şu şekilde de yılbilir: i L vdt [4] 3 Bir kpitör için, üerindeki potniyel gerilimi v, C kpitnı olmk üere, V=q/C bğıntııyl kpitör plklrı rındki yüke bğlıdır. Akım yüklerin hreketinin mn göre değişimi olduğundn: dv dq i dt C dt C dv C dt i [5] Bu denklem, şu şekilde de yılbilir: v C idt [6] Üerinde i kımı oln bir indüktörde depolnn enerji E şğıdki gibidir: Li E [7] 5

28 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Üerinde v potniyel gerilimi oln bir kpitörde depolnn enerji E şğıdki gibidir: Cv E [8] Bir direnç/reitör enerji depolm, dece hrcr. Üerinde v potniyel gerilimi oln bir reitör için hrcnn P kuvveti şğıdki gibidir: P v iv R [9] Elektrik devreleri modelleri geliştirmek için iki devre knunun ihtiycımı vr: Kirchoff un kım knunu Herhngi bir devreye ekleme giren toplm kım, o eklemden çıkn kım toplmın eşittir; yni bir eklemdeki kımlrın cebirel toplmı ıfırdır. Kirchoff un voltj knunu Döngü loop olrk dlndırıln kplı bir ht boyunc, döngüyü oluşturn elemnlrın üerindeki voltjlrın cebirel toplmı ıfırdır. Bu, e.m.f. elektromotor kuvvet kynğı içeren bir döngü için, her bir devre elemnı üerindeki voltj düşmelerinin cebirel toplmı, uygulnn e.m.f. lerin cebirel toplmın eşittir demekle ynı şeydir. Bir model geliştirmeyi örneklemek için, Şekil.8 de göterilen devreyi ele llım. 6

29 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.8 Reitör/direnç, kpitör eri devrei Kirchoff un voltj knununu kullnrk şğıdki bğıntıyı buluru: v v R v C ve, v R = Ri ve i = Cdv C /dt olduğundn: dvc v RC vc [30] dt Bir bşk örnek olrk, Şekil.9 d göterilen devreyi ele llım. Şekil.9 Reitör-indüktör-kpitör eri devrei Kirchoff un voltj knununu uygulrk, şğıdki bğıntıyı buluru: v v v v R Ri L di dt L v C C i = Cdv C /dt olduğundn, di/dt = Cd v C /dt dir ve bu nedenle: dv v RC dt C vc d LC dt v C [3] dh ileri bir örnek için, Şekil.0 u ele llım. A eklemi için Kirchoff un kım knunu kullnılrk şğıdki bğıntı elde edilir: i i i3 7

30 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.0 Reitör-kpitör-indüktör devrei Reitör üerindeki potniyel gerilim v-v C dir ve v C indüktör üerindeki, ynı mnd kpitör üerindeki potniyel gerilimdir. Böylece: v vc R i v dt L C dvc i3 C dt Bu nedenle: v vc dvc vcdt C R L dt R dvc v vcdt RC vc L dt [3] Elektro-meknik itemler Bir yükü üren klıcı-mnyetik d.c. motorlrı için bir modelleme ypmy çlışlım. Akı yoğunluğu B oln bir mnyetik ln dik oln ve L uunluğund, kım tşıyn bir iletken üerine etkiyen F kuvvetinin büyüklüğü: i kım olmk üere, BiL dir Şekil. N rımlı bir bobin için, bu kuvvet NBiL dir. Bobinin rılı olduğu 8

31 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş rmtüre etki eden T torku, b rım genişliği olmk üere, şğıdki gibidir: T NBiLb Tork böylece kıml doğru orntılıdır ve bu nedenle, bir k biti için, torku şğıdki gibi ybiliri: T k i [33] Şekil. Armtür bobini Eğer bir motor, eylemilik momenti I oln bir yükü ürüyor ve dönen motor şftının ω çıl hıı için, mortimn torku cω ie, şft etki eden net tork şğıdki gibidir: net tork k i c Bu tork, dω/dt çıl ivmeine ebep olck ve bu nedenle: d I k i c [34] dt Armtür bobini bir mnyetik ln içinde döndüğünden, bobin üerinde indüklenmiş bir e.m.f. olcktır. Bu e.m.f., kendi oluşumun neden oln değişimi krşılyck yöndedir ve geri e.m.f. olrk dlndırılır. Geri e.m.f. v b, bobine etki eden kı miktrının mn bğlı değişimiyle doğru orntılıdır ve bu nedenle bobinin çıl hııyl doğru orntılıdır. Böylece, k biti için: 9

32 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş v b k [35] Armtür devreinin, bir reitöre eri bğlnmış bir indüktörden oluştuğu düşünülebilir Şekil.. Devreye Kirchoff un voltj knununu uygulrk: v v b di L Ri dt Denklem [35] teki v b yi, yerine koyrk, şğıdki bğıntı elde edilir: v di k L Ri dt [36] Böylece, çıl hıın mn bğlı nıl değiştiğini çıklyn, iki eşmnlı diferniyel denklem elde etmiş olduk, denklem [34] ve denklem [36]. Şekil. Armtür devrei Akışkn itemleri Bir kışkn itemi için, üç ypı bloğu, direnç kpitn ve inertn tır; bunlr elektrikteki reitn, kpitn ve indüktnın eşdeğerleridir. Elektrik kımının eşdeğeri, hcimel kış hıı ve potniyel gerilimin eşdeğeri bınç frkıdır. Hidrolik kışkn itemlerinin ıkıştırılm bir ıvı içerdiği vryılır; bun rğmen pnömtik itemler ıkıştırılbilir glr içeriyor ve bunun onucu 30

33 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş olrk bınç değişimleri olduğund yoğunluk t değişir. Figür.3, hidrolik itemler için temel ypı blok formlrını göteriyor. Şekil.3 Hidrolik ypı bloklrı R Hidrolik reitnı, bir ıvının, çpı frklı oln bir borudn, bşk bir frklı çptki boruy krken, kış krşı direncidir Şekil.3 ve Ohm knununun hidrolik eşdeğeri olrk şğıdki gibi tnımlnır: p p Rq [37] Hidrolik kpitn C, hidrolik ıvının potniyel enerji formund depolndığı Şekil.3b, enerji depolnmını tnımlr. Depolnn ıvının hcmindeki değişim hıı, ıvının kb hcimel giriş hıı q ile çıkış hıı q rındki frk eşittir, yni: dv q q dt Fkt V = Ah dir ve bu nedenle: dh q q A [38] dt 3

34 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Girdi ve çıktı rındki bınç frkı şğıdki gibidir: p p p hg [39] bundn dolyı, denklem [38] deki h ın yerine yrk: A dp q q [40] g dt Hidrolik kpitn şğıdki gibi tnımlnır: C A g [4] bu nedenle denklem [40] ı tekrr şğıdki şekilde yılbilir. dp q q C [4] dt Bu d, şğıdki gibi yılbilir: p q q dt [43] C 3 Hidrolik inertn elektrik itemlerindeki indüktnın eşdeğeridir. Bir kışknı ivmelendirmek için, net bir kuvvet gereklidir ve bu bınç frkıyl ğlnır Şekil.3c. Böylece, ivmei için, yni v hıının mn bğlı değişimi için: dv p p A m m dt [44] İvmelenen kışknın kütlei m = Alp dir ve kış hıı q = Av dir, bu nedenle denklem [44], şğıdki gibi yılbilir: dq p p A L dt [45] 3

35 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş dq p p I [46] dt İnertn I d şğıdki gibidir: I L A [47] Pnömtik itemler için: Pnömtik reitn R, bir gın kış göterdiği dirençtir ve kütle kış hııyl tnımlnır dm/dt: dm p p R [48] dt Pnömtik kpitn C, gerilmiş vey ıkıştırılmış bir yyın enerji depolmı ile krşılştırılbilir ve glrın ıkıştırılbilirliği ilkeine dynır. Eğer bir kb giren g kışının kütle değişim hıı dm /dt ve çıkışınınki dm /dt ie kptki kütle değişim hıı dm /dt-dm /dt dir. V hcimli bir kptki r yoğunluğun hip bir gın kütlei rv dir ve bu nedenle hem kbın hcmi ve hem de yoğunluk mn bğlı değişeceğinden: kütle değişim hıı d V dv d V dt dt dt [49] İdel bir g için, R g g biti olmk üere, pv= mr g T dir ve bu nedenle p=r R g T dir ve dp/dt = R g Tdr/dt dir. Böylece, Vdr/dt= V/R g Tdr/dt dir. Burdn dv/dt= dv/dpdp/dt bğıntıını ybiliri ve denklem [49] şğıdki şekilde yılbilir: kütle değişim hıı dv V dp dt RgT dt [50] Kbın hcminin değişimine bğlı C pnömtik kpitnı şğıdki gibi tnımlnır: C dv dt [5] 33

36 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ve gın ıkıştırılbilirliği ilkeine bğlı C pnömtik kpitnı d şğıdki gibi tnımlnır: C V R T [5] Bundn dolyı: g kütle değişim hıı C C [53] dt dp Bu ynı mnd şğıdki şekilde yılbilir: p p C dt [54] C dm dt dm dt 3 Pnömtik inertn I, blok bir gın bir boru boyunc hreket ettirilirken momentumunun değiştirilmei için gerekli bınç düşmeinden kynklnır. Newton un ikinci knunu kullnılrk şğıdki bğıntı elde edilir: d mv p p A [55] dt L uunluğund, düenli bir A keit lnın ve r yoğunluğun hip bir blok gın kütlei m=rla dır. Böylece: d Av p p A L [56] dt kışın kütle değişim hıı rav dir ve bu nedenle denklem [56] şğıdki gibi yılbilir: L d p p kütle kış hıı [57] A dt Pnömtik inertn I şğıdki gibi tnımlnır: L A I [58] ve denklem [57] şğıdki şekilde yılbilir: d p p I kütle kış hıı [59] dt 34

37 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bir hidrolik item örneği için, Şekil.4 teki itemi ele llım. Akış hılrının çok yvş değiştiği vryılbileceğinden, inertnı ihml edebiliri. Kpitn terimi için şğıdki ifdeye hibi: dp A dp q q C [60] dt g dt Şekil.4 Hidrolik item Vlf reitnı için, elimide şğıdki ifde vr: p p Rq Böylece, denklem [6] de q yi yerine yrk ve bınç frkı hrg ie şğıdki bğıntı elde edilir: dh hg q A [6] dt R Bir pnömtik iteme örnek olrk, Figür.5 te göterilen körük itemini ele llım. Körüklere doğru oln kış hıının çok yvş değişmeini beklediğimiden, İnertn ihml edilebilir. Reitn değişkeni, körüklere doğru oln kütle kış hıı için, şğıdki bğıntıyı verir: dm p p R dt ve kpitn değişkenleri, körüklere doğru oln kütle kış hıı için, şğıdki bğıntıyı verir: 35

38 kütle değişim hıı C C Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş dp R dt Fkt körüklerden dışrı hiç bir kütle kışı yok, bu nedenle kış hıı = dm/dt dir ve bu ebeple şğıdki bğıntıyı ybiliri: p p dp C C [6] R dt körük dece bir yy formudur ve bu nedenle, k körük eltikiyeti, y bınç onucu um miktrı olmk üere, F = p A = ky ybiliri. Bunun onucund, denklem [6] şğıdki şekilde yılbilir: k dy k p RC C y [63] A dt A C = rdv/dp dir ve V = Ay olduğundn ve p A = ky olduğundn, V = A p /k dir; o mn, C = ra /kv dir. R g g biti olmk üere, C = V/R g T = Ay/R g T dir. Bunun onucund, denklem [63] şğıdki şekilde yılbilir: Şekil.5 Körükler A p R k Ay RgT k dy A dt k A y [64] Terml itemler Terml itemler iki tne temel ypı bloğun hiptir: reitn ve kpitn. 36

39 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Terml reitn R, q ıı kış hıının oluşturduğu reitntır ve T -T ıının ktığı ortmlr rındki ıcklık frkı olmk üere, şğıdki şekilde tnımlnır: T T R q [65] Terml kpitn, bir item içinde, iç enerji depolmı için bir ölçme birimidir. Eğer bir itemin içine doğru oln ıı kış hıı q ve itemden dışrı doğru ıı kış hıı q ie, itemin iç enerjiinin değişim hıı q -q dir. İç enerjideki bir rtış, ıcklık değişimine neden olbilir; m kütle, c ögül ıı kpitei olmk üere: iç enerji değişim miktrı = dt mc dt Böylece iç enerji değişim hıı, mc ile ıcklık değişim hıının çrpımın eşittir. Bundn dolyı: dt q q mc dt Bu denklem, C = mc olmk üere, şğıdki şekilde yılbilir: dt q q C [66] dt Bir ktı rcılığıyl ıı iletimi için, ıı kışının hıı, keit lnıyl ve ıcklık grdynıyl doğru orntılıdır. Bu nedenle, T ve T ıcklığın hip ve rlrındki uklık L oln iki nokt için, k ıcklık iletim değişkeni olmk üere: T T Ak L q [67] Bu nedenle, bu biçimde bir ıı trnferi için terml reitn R, L/Ak dır. İki nokt rınd konvekiyon yoluyl ıı trnferi için, Newton un oğum knunuyl, T T ıcklık frkı, h ıı trnfer değişkeni ve A ıcklık değişiminin olduğu yüeyin lnı olmk üere şğıdki bğıntı elde edilir: q Ah T T [68] 37

40 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Böyle ypıln bir ıı trnferi için terml reitn, bu nedenle /Ah tır. Bir örnek olrk, T ıcklığındki bir termometrenin, T L ıcklığınd dh ıck bir ıvının içine konduğu bit terml itemi ele llım. Sıvıdn termometreye doğru ıı kışın krşı gelen terml reitn şğıdki gibidir: q TL T R [69] Termometrenin terml kpitnı şğıdki şekilde bulunur: dt q q C dt Sıvıdn termometreye doğru, dece net bir ıı kışı olduğundn dolyı, bu denklemi şğıdki şekilde ybiliri: dt q C [70] dt Bunu, denklem [69] tki q nun yerine yrk, şğıdki bğıntıyı elde ederi: dt TL T C dt R Bu, yeniden düenlendiğinde şğıdki bğıntı elde edilir: dt RC T T L [7] dt Diferniyel bğıntılr Bu bölümde dh önce ele lınn modellerden de nlşılbileceği gibi, bir çok item diferniyel denklemlerle ifde edilebilir. Bir diferniyel denklem, bir fonkiyonun türevlerini içeren denklemdir. Norml diferniyel denklem terimi, dece tek bğımı değişken ö konuu olduğund kullnılır; eğer iki ve dh çok bğımı değişken vr, denklem, prçlı diferniyel denklem olrk dlndırılır. Bir diferniyel denklemin derece i, denklemde oln en yükek dereceli türevin derecei olrk tnımlnır. Örnek olrk, yukrıd [7] no lu denklem, en yükek dereceli türev dt/dt olduğundn ve dece bir bğımı değişken bulunduğundn; bu 38

41 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş denklem birinci-derece norml bir diferniyel denklemdir. [3]. Denklem, yni: vc dvc d v RC LC dt dt v c en yükek dereceli türev d v c /dt olduğundn ve dece bir bğımı değişkeni bulunduğundn; ikinci-derece olğn diferniyel denkleme örnek göterilebilir. Genelde, n inci dereceden bir olğn diferniyel denklem, y mn bğlı bir fonkiyon ie, n, n-,..., 0 ktyılr olmk üere, şğıdki form hiptir: n n dy dy dy n n... 0 y f t [7] dt n dt n dt Eğer bğımlı değişken ve bütün türevleri birinci-dereceye, bğımlı değişkeni içeren bir terimler çrpımı yok, yni ydy/dt yok, değişkenin trigonometrik logritmik vey ütel fonkiyon formlrı yok, bu diferniyel denklem lineer dir denir. Örnek olrk, dy/dt + y = 0 ve dy/dt + y = 0 lineer diferniyel denklem değillerdir. Diferniyel denklemleri çömek Birinci-dereceden bir diferniyel denklemi, eğer değişkenler yrılbiliyor, yni şğıdki formdy: dy f x [73] dx bu tip denklemleri, her iki trfınd x e göre türevini lrk çöebiliri. dy dx dx f x dx Bu, değişkenleri yırrk şğıdki ifdeyi ymkl eşdeğerdir: dy f x dx [74] Aşğıdki form hip birinci-derece bir fonkiyonu ele llım: dy 0 y 0 [75] dx 39

42 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bir iteme, hrici bir kuvvetin etkiiyle bir girdi yok, homojen bir denklem elde edilir, hrici bir kuvvetin etkiiyle bir girdi vr homojen olmyn bir denklem elde edilir. Örnek olrk: kpitör ütündeki potniyel frkın yükler kpitörden boşlırken mn bğlı nıl değiştiğini çıklyn ve dece bir dirence eri bğlı yüklü bir kpitöre hip bir elektrik devrei için homojen bir diferniyel denklem elde edilir. Bun rğmen kpitör e ve reitör e eri bir e.m.f. kynğımı vr; e.m.f. kynğı, orlyıcı bir girdi ğlr ve homojen olmyn bir denklem elde edilir. Birinci-dereceden diferniyel denklemimi dy/dx + y = 0 olun. Bu tip bir denklem homojendir ve çöümü y = Ce -x dir. Şimdi de denklemimi dy/dx + y = 0 olun. Bu tip bir denklem homojen değildir. Bunun çöümü, y = Ce - x + dir. Böylece, bunun çöümü, homojen denklemin genel çöümüyle bir bşk terimin toplmıdır. Homojen diferniyel denklemin genel çöümü, tmmlyıcı fonkiyon olrk, homojen olmyn çöüm için eklenen terim ie belirli integrl olrk dlndırılır. Belirli integrl, belirlenmiş bir çöümdür; bu durum için homojen olmyn denklem için, y = dir. Eğer bu homojen olmyn denklemde yerine konur, 0 + = 0 elde ederi. Bu d gerçekte bunun belirli bir çöüm olduğunu doğrulr. Belirli bir integrl elde etmek için, çöümün diferniyel denklemin orlyıcı terimiyle ynı formd olcğını vrydık. Böylece, eğer bu bir ktyı ie, y = A yı deneri, eğer + bx +cx +... formundy; y = A + Bx +Cx +... yi deneri, eğer ütel bir terime, y = e kx i deneri; eğer bir inü vey koinü ie, y = Ain ωx + Bco ωx i deneri. Örnek olrk, dy/dx + y =x diferniyel denklemini ele llım: Denklemin homojen hli, dy/dx + y =0 dır. Değişkenleri yırrk, y =e -x tmmlyıcı fonkiyonunu verecek şekilde çöebiliri. Belirli integrl için, y = A + Bx i deneri. Diferniyel denklemde bunu yerine koyrk, B + A + Bx = x denklemini elde ederi. Ktyılrı eşitlerek, A = - ve B = onucunu buluru. Böylece belirli integrl, y = - + x dir ve bu nedenle homojen olmyn diferniyel denklemin çöümü y = Ce -x -+x dir. İkinci-dereceden bir diferniyel denklemin çöümünü elde etmek için, tmmlyıcı fonkiyon ve belirli integrl bulm tekniğini kullnbiliri. Bir örnek olrk, şğıdki ikinci-derece diferniyel denklemin çöümünü belirlemeyi ele llım: 40

43 d y dy 5 6 y x dx dx Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bu denklemin homojen hli şğıdki gibidir: d y dy 5 6 y 0 dx dx Bunun için, çöümün, y = Ce kx şeklinde olduğunu vrybiliri ve bunu homojen denklemde yerine koyrk, şğıdki yrdımcı denklemi elde ederi: Bu, çrpnlrın yrılır -3- elde edilir ve bu nedenle ikide değerimi vr; = 3 ve =. Böylece tmmlyıcı fonkiyon şğıdki gibidir: y Ae 3x Be x Belirli integrli bulmk için, y = C + Dx + Ex yi deneri. Bunu homojen olmyn denklemde yerine koyrk, şğıdki bğıntı elde edilir: E 5Ex D 6 C Dx Ex x Ktyılr eşitlenire, C = 9/08, D = 5/8 ve E = /6 bulunur. Böylece belirli integrl, şğıdki gibidir: y x 6 x böylece homojen olmyn diferniyel denklem için çöüm şğıdki gibidir: y Ae 3x Be x x 6 x 4

44 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş. DİNAMİK TEPKİ Geçici ve krrlı hâl tepkileri Eğer kilonuu ölçmek üere bir bkül üerine çıkrnı, bkül ün götergeindeki rkmlr, krrlı bir değere dönüşene kdr, bir üre lınım ypr. Bu öellik, bir çok itemin krkteritik öelliğidir: bir girdi değişikliği olduğu mn oluşn ve mnl yok oln geçici bir tepki ve bütün geçici tepkiler yok olduğu mn orty çıkn klıcı hâl. Bir itemin toplm tepkii, geçici ve krrlı-hâl tepkilerinin toplmıdır. toplm tepki = geçici tepki + krrlı-hâl tepkii [] Şekil., dikey bir yy itemine bir nlık ıln bir ğırlık onucu nıl tipik bir tepki verdiğini remediyor. mn mn Şekil. Ani bir girdiye krşı tepki mn 4

45 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Stndrt girdi inylleri Stndrt girdi inylleri, birim dım, birim rmp ve drbe dir; Şekil., t = 0 nınd bşlyn bu tip inyllerin, idelie edilmiş formlrını göteriyor. Birim dım fonkiyonu ut ile göterilmektedir. Şekil. Stndrt girdi inylleri t = 0 nınd oluşn birim dım, t < 0 için 0 değerine, t > 0 için değerine hiptir. t = 0 nınd bşlyn birim rmp, t < 0 için 0 değerine, t > 0 için t nınd t değerine hiptir. t= 0 nındki birim drbe, genişlik olrk ıfır rlığın indirgenmiş ve böylece t = 0 nınd onu bir yükekliğe ve birim ln hip, dikdörtgen bir drbe şeklinde düşünülebilir Şekil.3. birim drbe fonkiyonu δt ile göterilir. 43

46 Şekil.3 Birim drbe Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Birinci-derece itemlerin tepkii Birinci-derece bir itemin bir birim dım girdiine verdiği tepkiyi düşünelim; meel, ıck bir ıvıy bir nd okuln bir termometrenin tepkiini düşünelim. Bu ni değişim, dım girdiine bir örnektir. Birinci bölümde, böylei bir değişime krşılık gelen diferniyel denklem [7], şğıdki gibi belirlenmişti: dt RC T T L [] dt burd, T, termometre trfındn göterilen ıcklık; T L, ıvının ıcklığı; R, terml reitn; C, terml kpitntır. Böylei bir denklemi değişkenlerine yırm tekniğiyle çöebiliri. Böylece, değişkenlerine yırmk bie şğıdki denklemi verir: T T L dt dt RC [3] dh onr integrl lırk, A bir bit olmk üere, şğıdki denklemi elde ederi: ln T TL / RC t A Bu denklem, B bir bit olmk üere ve t=/rc olmk üere, şğıdki şekilde yılbilir: T T L e A t / t / e Be t mn biti olrk dlndırılır ve e - üel terimini oluşturmk için gereken mn olrk düşünülebilir. Eğer termometreyi ıck ıvıy t=0 nınd oktuğumuu düşünürek ve o nd T o ıcklığını göteriyor; o mn B = T L T denklemini elde etmemi gerekir. Bu ebeple denklem şğıdki şekilde yılbilir: T t / T0 TL e TL [4] 44

47 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş t büyüdükçe üel terim yok olck ve geçici tepkiyi verecektir. T L, netice olrk elde edilecek krrlı-hl değeridir. Tblo., mn bitinin frklı ktlrı için, elde edilen krrlıhâl tepkilerinin yüdeini göteriyor. Tblo. Birinci-derece item tepkii Zmn % tepki 0 0 t 63. t t t 98. 5t Dh ileri bir örnek olrk, termometrenin bir rmp ıcklık girdiine verdiği tepkiyi düşünelim: meel mnl düenli biçimde rtn bir ıcklık olun. Diferniyel denklem, bir bit ve T 0 t=0 nındki ıcklık olmk üere şğıdki denkleme dönüşür: dt RC T t T 0 [5] dt Bu diferniyel denklemin çöümü şğıdki gibidir: T e t / t T [6] 0 Üel terim, geçici tepkiyi, diğer terimler krrlı-hl tepkiini verir. Krrlı-hl tepkii için dikkt edilmei gereken nokt, termometrenin her mn gerçek ıcklıktn dh düşük bir değeri götermeidir. t nınd gerçek ıcklık t+t o dır ve bu nedenle krrlı-hl htı t dır. İkinci-derece bir itemin tepkii 45

48 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.3 te görülen formd bir yy-mortimn-kütle itemini düşünelim. t = 0 nınd bir F kuvvet girdiine mru kln kütlenin yer değiştirmei y ye krşılık gelen diferniyel denklemünite, denklem[], şğıdki gibidir: d y dy m c ky F dt dt Sönümleme ve F kuvvetinin vrlığınd, şğıdki homojen diferniyel denklemi elde ederi: [7] d y ky 0 dt m [8] Bu, -y ile orntılı bir ivmeye hip bir lınımı tnımlr ve bit bir hrmonik hreketin tnımlrındn biridir. Bu denklemin bir çöümü y = in ωt dir. Eğer bunu denklem [8] de yerine koyrk, k / m yi elde ederi. Bu, ω n doğl çıl frekn olrk dlndırılır. Eğer bu terimi kullnırk, şğıdki denklemi elde ederi: k n [9] m ve önümleme ornı diye dlndırıln biti şğıdki gibi tnımlrk: c mk [0] denklem [7] yi şğıdki formd ybiliri: d y dy F y [] dt dt k n n Bu diferniyel denklem, tmmlyıcı fonkiyon ve belirli integrl ptmı metoduyl çöülebilir. Diferniyel denklemin homojen formu için, yni ıfır girdili denklem için: 46

49 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş d y dy y 0 dt dt n n y=ae t formund bir çöüm bulmyı deneyebiliri. Bu, bie şğıdki yrdımcı denklemi verir: n n 0 n n 0 Bu denklemin kökleri şğıdki gibidir: n 4 n 4 n n n [] Sönümleme ornı 0 ile rınd ie İki tne krmşık kök vrdır: j n Bunu şğıdki gibi ybiliri: j [3] Eğer n n [4] ie, bunun onucund şğıdki denklemi elde ederi. y Ae j t jw t n Ae Be nt jwt jwt e Be n Euler denklemini kullnrk, bunu şğıdki gibi ybiliri: nt y e P cot Qint [5] 47

50 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bu bir bşk lterntif formd yılbilir. Ø çıı ve P ve Q krşı kenrlrın hip dik-çılı bir üçgen düşünürek Şekil.4, in P / P Q ve co Q / P Q. Bu ebeple, bu bğıntıyı kullnrk, inωt+ø=inωt coø+ coωt inø dir ve denklem [5] i, C bir bit ve Ø f frkı olmk üere, şğıdki şekilde ybiliri: y Ce n t in t [6] Bu önümlü inüoidl lınımı tnımlr. Böylei bir hreket, lt önümlüdür. Şekil.4 Ø çıı Sönümleme ornı e eşite Bu, eşit iki kök verir, = = -ω n, ve çöümü, A ve B bit olmk üere, şğıdki gibidir: y At B e nt [7] Bu, lınımı olmyn ütel bir bounmyı tnımlr. Bu tip bir hreket kiritik önümlü hreket olrk dlndırılır. 3 Sönümleme ornı den büyüke Bu, iki reel kök verir: n n n n [8] 48

51 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bunun onucund, A ve B bitler olmk üere, şğıdkini elde ederi: t t Ae Be [9] y Bu, krrlı-hl değerine ulşmı, kritik önümlemeli durumdn dh uun üren üel bir bounmyı tnımlr. Bu hreket, üt önümlemeli hreket olrk dlndırılır. Yukrıdki nli, ikinci-derece diferniyel denklem için tmmlyıcı fonkiyonlrı verir. Belirli bir integrl için, F büyüklüğünde bir dım girdiine hip olduğumu bu durum için, belirli integrl x = A yı deneyebiliri. Bunu diferniyel denklem [] de yerine koyrk, A=F/k bğıntıını elde ederi ve böylece belirli integrl y=f/k dır. Böylece, diferniyel denklemin çöümleri şğıdki gibidir: Sönümleme ornı 0 ile rınd ie, yni lt önümlü ie; t y Ce n in t F / k [0] Sönümleme ornı e eşit ie, yni kritik önümlü ie; t y At B e n F / k [] 3 Sönümleme ornı den büyük ie, yni üt önümlü ie; t t y Ae Be F / k [] Her durumd, t onu giderken; y, F/k değerine gidiyor. Bunun onucund, krrlı-hl değeri F/k dır. Trnfer fonkiyonu Diferniyel denklemler, henü çıktı ve girdi rındki bğıntıyı net biçimde ifde etmemii ğlmıyor. Bunu ypmnın bit bir yolu trnfer fonkiyonu kullnmktır. Bunu kullnmk için, girdi ve çıktının mn nıl bğlı olduğunu göteren diferniyel denklemi, Lplce dönüşümü olrk dlndırıln bir teknik kullnrk, bit bir cebirel denkleme dönüştürürü. Bu dönüşüm, mn düleminden, -dülemine ypılır. Bir itemin krrlı-hl kncı, krrlı-hl çıktıının girdiye ornı olrk tnımlnır. Trnfer fonkiyonu şğıdki şekilde tnımlnır: 49

52 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş çııktınınlplce dönüşönü Trnfer fonkiyonu [3] girdinin Lplce dönüşönü Girdi xt için, çıktı yt dir. Trnfer fonkiyonunun, girdi ve çıktının -düleminde olduğunu götermek için, denklem şğıdki şekilde yılır: Y G S [4] X büyük hrfler -dülemindeki değişkenler için kullnılır. Bunun onucu, -dülemindeki bir item, Şekil 3.5 te göterildiği gibi tvir edilebilir. Şekil 3.5 Zmn düleminde, ve -dülemindeb item Lplce dönüşümü Bir mn fonkiyonu ft nin Lplce dönüşümü şu şekilde tnımlnır: Verilen mn fonkiyonu ft yi e -t ile çrplım ve çrpımın ıfırl onu rınd integrlini llım. Sonuç lbiliyork, ft nin Lplce dönüşümü olrk dlndırır ve L{ft} = F şeklinde göteriri. F L{ft} t e f t dt [5] 0 İntegrlin 0 ile + rınd lındığını ve bu yüden tek-trflı olduğunu ve - ile + tm mn rlığınd lınmdığını dikkt edin. Bir örnek olrk, ft = e t Denklem [5] i kullnrk: Lplce dönüşümünü ele llım. 50

53 L{ft} t t 0 e e dt 0 e Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş t dt t e 0 [6] Bir bşk örnek, birim dım fonkiyonunun Lplce dönüşümünü ele llım. Lplce dönüşümü [7] ile verilmiştir: 0 e t dt e t 0 [7] Şimdi birim drbe fonkiyonunun δt dönüşümünü ele llım. Böyle bir drbe fonkiyonunun, genişliği k oln bir birim ln dikdörtgen drbe fonkiyonunun k genişliğinin, limit k 0 giderken, drbe fonkiyonunu verecek şekilde ltılmıyl oluştuğu düşünülebilir. Şekil.6 d göterilen, birim ln dikdörtgen drbe için, Lplce dönüşümü şğıdki gibidir: L {birim ln drbe} k 0 e k t e k e k dt 0e k k t 0 t k dt Üel fonkiyonunun yerine eri çılımını koybiliri, böylece elde ettiğimi: L{birim ln drbe} 3 k k k... k! 3! Böylece limit k 0 giderken, Lplce dönüşümü e doğru gider ve bu nedenle bir drbenin t = 0 d Lplce dönüşümü: L t [8] 5

54 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.6 Birim ln dikdörtgen drbe Böyle integrllerle uğrşmk yerine, tndrt dönüşümlerin tblolrı mevcuttur ve bu tblolr, bu gibi dönüşümlerin temel öellikleri ile birlikte, çoğu problemin üteinden gelmeyi ğlr. Tblo., yygın bı dönüşümleri göteriyor. Tblo. Lplce dönüşümleri ft birim drbe δt birim dım ut birim rmp t L{ft} n! t n n e -t -e -t te -t 5

55 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş n! t n e -t n b e -t _ e -bt b -t e -t b e b t e b bt b b w in ωt w co ωt -co ωt w w w w e -t in ωt w e -t co ωt w e w w t e in t, < w w t in t co w w w Temel öellikler Aşğıdkiler, dönüşümün bı temel öellikleridir: Lineerlik Eğer iki yrı mn fonkiyonu ft ve gt Lplce dönüşümüne hipe, mn fonkiyonlrının toplmının Lplce dönüşümü, yni ft+gt, iki fonkiyonun Lplce dönüşümlerinin toplmın eşittir: L {ft gt} L{ft} L{gt} [9] Birinci kydırm teoremi, e -t çrpnı Bu teoremin ifde ettiği, L {ft}=f ie 53

56 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş L {e -t ft} F [30] Dolyııyl, yerine + koymk bir mn fonkiyonunu e -t ile çrpmktır. 3 İkinci kydırm teoremi, mn kydırmı İkinci kydırm teoremi, eğer bir inyl T mnı kdr geciktirilire, bu inylin Lplce dönüşümünün e -T ile çrpıldığını ifde eder. Dolyııyl, F, ft nin Lplce dönüşümü ie: -T L {ft - Tut - T} e F [3] 4 Periyodik fonkiyonlr Sinylin birinci periyodundki fonkiyonun Lplce dönüşümü F ie T periyotlu bir periyodik inylin Lplce dönüşümü şğıdki gibidir: e T F [3] 5 Türevler Bir fonkiyonun türevinin Lplce dönüşümünü belirlemeyi ele llım, yni L{dft/dt}. Denklem [5] i kullnrk: L d dt 0 t d f t e f t dt dt Prçlı integrli kullnrk, f0, ft nin t=0 nındki değeri ve F, ft nin Lplce dönüşümü olmk üere : d t L f t f 0 e f t dt f 0 F [33] dt 0 İkinci-derece bir türev için, df0/dt, t=0 nınd birinci türevin değeri olmk üere, bener biçimde şğıdki bğıntı elde edilir: 54

57 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş L d dt t d f t e f t dt 0 dt t d t d e f t e dt 0 dt 0 d f 0 [ f 0 F ] dt F f 0 d dt f 0 f t dt [34] Bener biçimde, üçüncü-derece bir türev için, d f0/dt, t=0 nınd ikinci türevin değeri olmk üere, şğıdki bğıntı elde edilir: 3 d 3 d d f t F f 0 f 0 f 0 3 dt dt dt L [35] Denklem [33], [34], [35] ten de nlşılcğı üere: Bşlngıç değerleri ıfır olmk üere, mn bğlı bir fonkiyonun türevini lmk, bu fonkiyonun Lplce dönüşümünü ile çrpmkl eşdeğerdir. 6 İntegrller Bir fonkiyonun integrlinin Lplce dönüşümü için, yni: L Eğer t f t dt 0 gt f t dt olur: t 0 d dt g t f t Denklem [33] kullnılrk şğıdki bğıntı elde edilir: L d g t G g0 dt g0=0 ve G=L{gt} olduğundn: 55

58 L t { f t} L f t dt 0 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş t f t dt F 0 L [36] Bir fonkiyonun integrlini lmk, fonkiyonun Lplce dönüşümünü ye bölmek ile eşdeğerdir. Ter Lplce dönüşümü Ter Lplce dönüşümü, bir Lplce dönüşümünün, bir mn fonkiyonun dönüştürülmeidir. Eğer L{ft}=F ie ft, F in ter Lplce dönüşümü dür, teri şğıdki gibi yılbilir: f t L - { F } [37] Teri, genelde, tndrt dönüşümler kullnılrk elde edilebilir; yni Tblo. deki dönüşümler gibi Terinin temel öellikleri, tndrt dönüşümlerle berber, tblodki dönüşümlerden dh geniş çplı dönüşümleri elde etmek için kullnılbilir. Ter Lplce dönüşümünün temel öellikleri şğıdki gibidir: Lplce dönüşümünün lineer olm öelliği şğıdki nlm krşılık gelir; eğer elimide, iki yrı terimin toplmındn oluşn bir dönüşüm vr, her ikiinin terini yrı yrı lbiliri ve iki ter dönüşümün toplmı, toplmın ter dönüşümüdür: L { F G } L { F } L { G } [38] Lineerlik ynı mnd, bir bit olmk üere, şğıdki öelliği verir: L - { F } L- { F } [39] Birinci kydırm teoremi, ter formd, ft, F in ter dönüşümü olmk üere, şğıdki şekilde ifde edilebilir: - t L { F } e f t [40] 56

59 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 3 İkinci kydırm teoremi, ter formd şğıdki şekilde ifde edilebilir: - L { e T F } f t T u t T [4] Sonuç olrk, eğer ter dönüşüm pyınd, e -T terimi vr, bu terimi ifdeden kldırırı, kln kımın ter Lplce dönüşümünü lırı ve onuçt elde ettiğimi bğıntıd, t yerine t-t koyrı. Çoğu mn F, iki polinomun ornıdır ve tndrt bir form olrk belirleneme. Bun rğmen, kımi keir kullnımı, çoğu mn bu tip bir ifdeyi, tndrt dönüşümlerle dönüştürülebilecek bit keirlere indirger. Pydnın derecei, pyın dereceinden büyük olduğu mn, bu ifde doğrudn kımi keirlere yrılbilir. Kımi keir trfındn oluşturuln form, elimideki pyd tipine bğlıdır. Eğer pyd lineer fktör içeriyor, yni x+ formund bir fktör; o mn, bu tipte her bir fktör için, A bir bit olmk üere, şğıdki formd bir keir vrdır: A x [4] Eğer pyd, tekrr eden lineer fktör içeriyor, yni x+ n formund bir fktör; o mn, x+ nın her bir kuvveti için bir kımi keir olmk üere, şğıdki formd keirler olcktır: A B C... [43] x x x n 3 Eğer pyd, indirgenemeyen kudrtik fktör içeriyor, yni x +bx+c formund bir fktör; o mn, her bir fktör için, şğıdki formd bir kımi keir vrdır: Ax B x bxc [44] 57