T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ GRAFLARIN YENĠ ÇARPIMI ÜZERĠNDE BAZI PARAMETRELERĠN ĠNCELENMESĠ Nurettn Talha DĠNÇ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matematk Anablm Dalı ġubat-2014 KONYA Her Hakkı Saklıdır

2

3

4 ÖZET YÜKSEK LĠSANS TEZĠ GRAFLARIN YENĠ ÇARPIMI ÜZERĠNDE BAZI PARAMETRELERĠN ĠNCELENMESĠ Nurettn Talha DĠNÇ Selçuk Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Matematk Anablm Dalı DanıĢman: Doç. Dr. A. Dlek MADEN 2014, 40 Sayfa Jür Prof. Dr. A. Snan ÇEVĠK Doç. Dr. A. Dlek MADEN Doç. Dr. Ahmet ERDOĞAN Bu çalıģmada, lk olarak grafların derece dzs üzerne nģa edlmģ yen br graf çarpımı olan derece çarpım grafı tanımlanmıģ ve özellkler ncelenmģtr. Daha sonra da bu çarpım grafı üzernde bağımsızlık sayısı, klk sayısı, kromatk sayısı, klk örtü sayısı, dameter, radus, Wener ndeks, Randc ndeks gb graf parametreler ncelenmģtr. Son olarak da derece çarpım grafının mükemmel graf olduğu elde edlmģtr. Anahtar Kelmeler: Çarpım grafı, Derece çarpım grafı, Mükemmel graf v

5 ABSTRACT MS THESIS SOME GRAPH PARAMETERS ON A NEW TYPE OF GRAPH PRODUCT Nurettn Talha DĠNÇ THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS Advsor: Assoc. Prof. Dr. A. Dlek MADEN 2014, 40 Pages Jury Prof. Dr. A. Snan ÇEVĠK Assoc. Prof. A. Dlek MADEN Assoc. Prof. Ahmet ERDOĞAN In ths study frstly, we defne a new type of graph product namely degree product whch s based on the degree squence of graphs. Then we examne propertes over ths new graph. Further we dscuss relatons among ths product and some graph parameters such as ndependence number, clque number, chromatc number, clque cover number, dameter, radus, Wener ndex, Randc ndex. Fnally we show that the degree product of graphs are actually perfect graphs. Keywords: Degree product, Graph product, Perfect gpraphs. v

6 ÖNSÖZ Bu çalıģma Selçuk Ünverstes Fen Fakültes Matematk Bölümü Öğretm Üyes Doç. Dr. A. Dlek MADEN yönetmnde yapılarak, Selçuk Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü ne Yüksek Lsans Tez olarak sunulmuģtur. ÇalıĢma süresnce kılavuz olan ve yardımlarını esrgemeyen danıģman hocam sayın Doç. Dr. A. Dlek MADEN e, bu tezn lhamını veren sayın hocam Prof. Dr. A. Snan ÇEVĠK e, her zaman yanımda olan ve desteklern esrgemeyen sevgl aleme teģekkürü br borç blrm. Nurettn Talha DĠNÇ KONYA-2014 v

7 ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET... v ABSTRACT... v ÖNSÖZ... v ĠÇĠNDEKĠLER... v SĠMGELER VE KISALTMALAR... v 1. GĠRĠġ ÖN BĠLGĠLER VE TEMEL TANIMLAR Grafın Tanımı Graflarda Uzaklık Yol ve Devr Bazı Özel Graflar Alt Graf ve ĠndrgenmĢ Alt Graf GRAF PARAMETRELERĠ Bağımsızlık Sayısı Klk Sayısı Kromatk Sayısı Klk Örtü Sayısı Eccentrcty, Dameter ve Radus Wener Ġndeks Randc Ġndeks Düzenszlk ve EĢtlk Ġndeks Mükemmel Graf GRAF ÇARPIMLARI Kartezyen Çarpım Strong Çarpım Lexcografk Çarpım GRAFLARIN YENĠ ÇARPIMI Grafların Derece Çarpımı DERECE ÇARPIM GRAFI ÜZERĠNDE GRAF PARAMETRELERĠ SONUÇLAR VE ÖNERĠLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMĠġ v

8 SĠMGELER VE KISALTMALAR SEMBOLLER ANLAMI A : A kümesnn eleman sayısı : altkümesdr m : boyut (E nn eleman sayısı) : büyük ya da eģttr : büyüktür der( e ) : e köģesnn dereces : elemanı değldr : elemanıdır : eģt değldr : eģttr ( G) : G grafının bağımsızlık sayısı da( G ) : G grafının dameter sayısı tg ( ) : G grafının düzenszlk ndeks eg ( ) : G grafının eģtlk ndeks ( G) : G grafının klk örtü sayısı wg ( ) : G grafının klk sayısı ( G) : G grafının kromatk sayısı rad( G ) : G grafının radus sayısı RG ( ) : G grafının Randc ndeks G : G grafının tamamlayıcısı WG ( ) : G grafının Wener ndeks GH : G le H grafının derece çarpım grafı G H : G le H grafının kartezyen çarpım grafı G H : G le H grafının lexcografk çarpım grafı G H : G le H grafının strong çarpım grafı ( G) : G nn noktalarının derecelernn maksmumu ( G) : G nn noktalarının derecelernn mnmumu K rs, : k parçalı graf (kümelern eleman sayısı r ve s) : kapsar e : kenar E : kenar kümes v : köģe V : köģe kümes : küçük ya da eģttr : küçüktür n : mertebe (V nn eleman sayısı) E : n mertebel boģ graf n C : n mertebel devr graf n K : n mertebel tam graf n P : n mertebel yol graf n v

9 SEMBOLLER ANLAMI ( G) : u köģesnn eccentrcty sayısı { e, e } veya ee : uç köģeler e ve e olan kenar D uv, : uç köģeler u ve v olan yürüme d( u, v ) : uç köģeler u ve v olan yürümenn en kısa uzunluğu D uv, : uç köģeler u ve v olan yürümenn uzunluğu G ( V, E) : V köģe kümel E kenar kümel br G grafı V1 V2 : V 1 le V 2 kümesnn kartezyen çarpım kümes x

10 1 1. GĠRĠġ Matematğn dğer alanlarından farklı olarak Graf Teors nn baģlangıcı 18. yüzyıla uzanır. 18. yüzyılda Prusya dak Köngsberg kasabası Pregel Nehr le k bölgeye ayrılmaktaydı ve nehrn çnde k adacık bulunmaktaydı. Bu nehrdek adaları kasabaya bağlayan yed köprüye dar o bölgenn nsanları arasında yayılan alıģagelmeyen br matematk efsanes dolaģmaktaydı. Bu efsane Ģu Ģekldeyd: ġekl 1.1 Köngsberg ün köprüler Kasabanın br yakasından geznt yapmak çn çıkan br tüm köprüler br kez geçerek baģladığı noktaya döneblr Bu efsanenn br yalandan baret olduğu Leonhard Euler ( ) tarafından gösterlmģtr. Leonhard Euler bu problemn çözümü çn uğraģırken Graf Teornn lk adımlarını ve temellern atmıģtır. Ġk nesne arasında dama br lģkden söz etmek mümkündür. Bu lģk nesnelern boyları, ağırlıkları, renkler vs. hakkında olablr. Söz gelm yukarıdak gb adalar arasındak köprüler ele alalım. Adaları br nokta le temsl edelm ve eğer k ada arasında br köprü varsa bu k adayı temsl eden noktaları br çzg le brleģtrelm. Yok, eğer adalar arasında br köprü yok se noktaları öylece bırakalım. Örneğn A, B, C ve D adaları çn A le B, A le D, C le D, A le C ve B le D arasında br köprü olsun. Bu köprüler ġekl 1.2. dek gb gösterleblr.

11 2 ġekl 1.2. Br graf, Ģte yukarıdak gb br Ģekldr. Nokta sayısı sonsuz olablr. Bazı noktalar,... lģks var anlamına gelen br çzg le brleģtrlr. Çzglern boyu veya Ģekl hç öneml değldr, var ya da yok olmaları önemldr. Noktaların konumu da öneml değldr. Bu özellkler nedenyle br grafın sonsuz farklı Ģeklnn çzlebleceğ açıktır. Grafların uygulama alanları oldukça genģ olduğu çn 18. yüzyıldan günümüze kadar graflar üzerne çeģtl çalıģmalar yapılmıģtır. Öneml br yere sahp olan bu çalıģmalardan br de graf çarpımlarıdır. Graf çarpımları bastçe anlatılmak stenlrse herhang k graftan yen br graf elde etmek graflar üzernde br genģleme yapmaktır. Örneğn kmyadak herhang k atomdan yen br element elde etmeye benzetleblr. Klavžar ve Imrch [13] e göre graf çarpımlarının temel öğes olan grafların kartezyen çarpımı lk olarak 1912 yılında Alfred North Whtehead ( ) ve Bertrand Russell ( ) tarafından tanımlanmıģtır. Daha sonraları 1960 yılında Gert Sabduss (1929- ) [21] tarafından tekrar ele alınmıģ ve yenden düzenlenmģtr. Kartezyen graf çarpımından lham alınarak günümüze kadar yüzlerce graf çarpımı tanımlanmıģ ve bunlar üzerne teorem ve uygulamalar kurulmuģtur. Örnek olarak [11], [17] ve [22] verleblr. Bu çalıģmada da daha önceden tanımlanmıģ ve üzerne çalıģmalar yapılmıģ graf çarpımlarından esnlenerek yen br graf çarpımı tanımlanmıģtır. Bu yen graf çarpımı üzernde de graf parametreler ncelenmģtr. ÇalıĢmamızın 2. Bölümünde graf teornn temel tanım ve teoremlerne; 3. Bölümünde Graf Teor de kullanılan genel parametrelern tanımları ve örneklerne; 4. Bölümünde öncek graf çarpımları ve teoremlerne yer verlmģtr. 5. Bölümde çalıģmamızın ana konusu olan yen graf çarpımının tanımı ve özellkler; 6. Bölümde se yen tanımladığımız graf çarpımı üzernde graf parametreler ncelenmģ ve eģtlkler elde edlmģtr.

12 3 2. ÖN BĠLGĠLER VE TEMEL TANIMLAR Bu bölümde Graf Teor de kullanılan bazı temel tanım, teorem ve örnekler verlmģtr. Daha detaylı blg almak çn [1], [2], [9] ve [27] referanslarına bakılablr Grafın Tanımı Tanım V, elemanları köşeler olarak adlandırılan boģtan farklı br küme, E de elemanları kenarlar olarak adlandırılan ve V nn br ya da k elemanlı alt kümelernden oluģan herhang br küme olsun. Bu Ģeklde tanımlanan G ( V, E) klsne graf adı verlr. KöĢe kümes ve kenar kümes sonlu olan br graf, sonlu graf olarak adlandırılır. Bu durumda V { v1, v, 2 v3,..., v n } olmak üzere V n sayısına grafın mertebes; {,,,..., } olmak üzere E m sayısına da grafın boyutu denr. E e1 e 2 e3 e m Graflar somut olarak gösterlrken, her br köģe br nokta le temsl edlr. Her br { v, v } kenarı se v ve v köģesne karģılık gelen noktaları brleģtren br doğru parçası ya da bast br eğr le temsl edlr. { v, v } kenarında, v ve v ye kenarın uç noktaları denr. Tek elemanlı br { v} kenarının uç noktaları, aynı ve v dr. Böyle br kenara lmk adı verlr. Aynı uç noktalar kümesne sahp olan kenarlar se katlı kenarlar olarak adlandırılır. Br e { v, v } kenarında v le v köģeler çn komşudur denr. Br kenar yukarıda görüldüğü gb, kullanılıģındak sadelk bakımından e ( 1,2,..., m) le gösterleblr. Örnek KöĢe kümes V u, v, w, z e3 vv, e4 vw, e5 wz, e6 olan ve kenar kümes e1 uv, e2 uw, wz olmak üzere E { e1, e2, e3, e4, e5, e6} olarak tanımlanan br G ( V, E) grafının somut gösterm ġekl dek gbdr.

13 4 ġekl ġekl de dkkat edlrse, br küme çersne aynı sml br eleman brden fazla yazılamayacağından, grafın kenarları yenden adlandırılmıģtır. Katlı kenarlar bulunduran graflar soyut olarak gösterlrken, böyle br karıģıklığa meydan vermemek çn grafın kenarlarını yenden adlandırmak bu nedenle akıllıcadır. Br graf, lmk ya da katlı kenarlar bulundurup bulundurmamasına göre sm alır. Tanım Katlı kenarlar ya da lmk bulunduran graflara pseudo-graf; yalnız katlı kenarlar bulunduran graflara çoğul-graf; katlı kenarlar ve lmk bulundurmayan graflara se bast graf adı verlr. ġekl de sırasıyla pseudo-graf, çoğul-graf ve bast grafa brer örnek verlmģtr. ġekl Sırasıyla pseudo-graf, çoğul-graf ve bast graf Bu çalıģma bast graflar üzerne olduğundan, bundan böyle bast graf yerne graf fades kullanılacaktır. Tanım G br graf, vv ( G) olsun. v köģes le çakıģık olan kenarların sayısına v köşesnn dereces denr ve der( v) gösterlr. Her br ayrıt komģu olduğu köģeye tam olarak 1 derece kazandırırken, br lmk se komģu olduğu köģeye 2 derece brden kazandırır. 0 derecel br köģe zole köşe olarak adlandırılır. Dereces 1 olan köģeye se pendant köşe adı verlr. Br G grafının

14 5 en az derecel köģesne mnmum derecel denr ve ( G) le gösterlr. En çok derecel köģesne se maksmum derecel denr ve ( G) le gösterlr. Herhang br grafın derecelernn küçükten büyüğe doğru yazılarak oluģturulan dzye derece dzs denr. ġekl de köģeler dereceleryle adlandırılmıģ G grafında ( G) 1, ( G) 5 ve derece dzs (1,1,1,2,2,3,3,4,5) dr. ġekl KöĢeler, dereceleryle adlandırılmıģ br graf 2.2. Graflarda Uzaklık Tanım u ve v, br G grafının herhang k köģes olsunlar. G nn u köģes le baģlayıp v köģes le bten, ( u v1, e1, v2, e2,..., ek, vk v) sonlu dzsne br u-v yürümes denr. Burada 1,2,..., k olmak üzere e v 1v dr. u ve v köģelerne yürümenn uç köģeler adı verlr. Uç köģeler u ve v olan br yürüme D uv, le gösterlr. Yürümedek kenarların sayısı olan k, yürümenn uzunluğu olarak tanımlanır. Herhang br D uv, yürümenn uzunluğu D uv, le gösterlr. BaĢlangıç köģes u btģ köģes v olan br yürümenn en kısa uzunluğu d( u, v) le gösterlr. Hç kenar çermeyen, uzunluğu 0 olan br yürümeye aşkâr yürüme denr. Br yürümenn kenarları, köģelerden kolayca anlaģılacağı çn yürümede sadece köģeler de gösterleblr. A u... 0u1u 2 uk ve B v... 0v1v 2 vl k A ve B yürümes olsunlar. Bu yürümenn eģt olması çn gerekl ve yeterl koģul, 0 k, 0 l çn k l ve u v, olmasıdır. Aks halde bu yürümeler farklıdır. adlandırılır. u v yürümesnde eğer u v se yürüme kapalı, u v se yürüme açık olarak

15 Yol ve Devr Tanım Br yürümede hç kenar tekrar etmyorsa bu yürümeye gez adı verlr. Hçbr köģenn tekrar etmedğ br yürümeye se yol denr. Herhang br G grafın tüm köģeler çn brbrnden farklı k köģey bağlayan br yol bulunablyorsa bu G grafına bağlantılı graf denr. Hç kenar tekrar etmeyen br yürümede bazı köģeler tekrar edyor olablr. Tersne; köģelern tekrar etmedğ br yürümede hç kenar tekrar etmeyeblr. Her yol br gezdr. Ama her gez br yol değldr. ġekl ġekl dek G grafında ( v1, v2, v3, v2, v5, v3, v 4) br v1 v4 yürümes olup bu yürüme br gez değldr. ( v1, v2, v5, v3, v2, v 4) br v1 v4 gezs olup bu gez br yol değldr. ( v1, v3, v 4) br v1 v4 yoludur. Tanımdan dolayı her yol br yürümedr. Bu fadenn ters doğru değldr. Tanım Br G grafının aģkâr olmayan br kapalı gezs, G nn br çevres olarak adlandırılır. n tane farklı v köģesnden oluģan ( v1, v2, v3,..., v n) n 3 çevres de devr adını alır. n uzunluğunda br çevrm n devr adını alır. Br 3-devr, üçgen olarak da adlandırılır. Yol ve devr olan n mertebel br graf sırasıyla P n ve C n le gösterlr. ġekl de ve ġekl de 4 ya da 4 ten az mertebel yol ve devr grafları gösterlmģtr. P 1 P 2 P 3 P 4 ġekl Mertebes 4 ya da 4 ten az olan yol graflar

16 7 ġekl Mertebes 4 ya da 4 ten az olan devr graflar 2.4. Bazı Özel Graflar Tanım Br G grafı verlsn. G nn her br köģes r derecel se yan G grafı çn der( v ) r, ( 1,2,... n) se, G grafına r-regüler adı verlr. 3-regüler graflar, kübk graf olarak adlandırılırlar. ġekl de, bütün 4 mertebel regüler graflar gösterlmģtr. G 4 grafı, kübk graftır. Dğer yandan en y blnen kübk graf muhtemelen ġekl de gösterlmģ olan Petersen grafıdır. ġekl mertebel regüler graflar ġekl Petersen Grafı Tanım KarĢılıklı olarak tüm köģeler brbrne komģu olan grafa tam graf denr, n mertebel br tam graf, K n le gösterlr. Br tam graf, köģe kümes üzernde tanımlanablecek bütün kenarları bulundurur. Bu nedenle n mertebel ve m boyutlu br

17 8 n tam graf çn m n( n 1) / 2 2 derecel olup bu yüzden regüler br graftır. br boģ graf gösterlmģtr. eģtlğ geçerldr. Br tam grafın her br köģes n 1 Hç kenar bulundurmayan graf da boş graf olarak adlandırılır, n mertebel E n le gösterlr. ġekl de sırasıyla K6 ve E 6 grafları ġekl Sırasıyla 6 mertebel tam graf ve boģ graf Tanım Br G grafı verlsn. G le aynı köģe kümesne sahp H grafının herhang k u ve v köģenn komģu olması ancak ve ancak G grafında u ve v köģesnn komģu olmamasına bağlı se bu H grafı G grafının tamamlayıcısı olarak adlandırılır ve G le gösterlr. oluģur. n köģeye sahp br G grafı le G tamamlayıcısının brleģmesyle K n tam grafının tamamlayıcısı E n boģ grafıdır. K n tam grafı Tanım Br G grafı verlsn. Eğer G nn köģelern k 1 tane, maksmum mertebel bağımsız ve ayrık kümeye ayırmak mümkünse G ye k-parçalı graf denr, k 2 se özel olarak G ye k-parçalı graf adı verlr. KöĢe kümeler V 1 ve V 2 olan k-parçalı graflar, V1 r ve V2 solmak üzere K rs, le sembolze edlrler. ġekl (a) da k-parçalı br graf verlmģ ve k-parçalı oluģunun kolayca görüleblmes çn ġekl (b) de yenden düzenlenmģtr. Verlen grafın köģe kümeler V1 { v1, v3, v5, v7} ve V2 { v2, v4, v6} dır. O halde G grafı br K 4,3 grafıdır.

18 9 ġekl Ġk-parçalı br graf 2.5. Alt Graf ve ĠndrgenmĢ Alt Graf Tanım G ve H k graf olsun. G grafının köģe kümes VG, ( ) kenar kümes EG; ( ) H grafının köģe kümes V( H ), kenar kümes EH ( ) olmak üzere; eğer V( G) V( H) ve E( G) E( H) oluyorsa H grafına G grafının alt grafı denr ve H G le gösterlr. ġekl (b) de verlen graf, (a) grafının alt grafıdır. Tanım G ve H k graf ve G grafının köģe kümes VG, ( ) kenar kümes EG; ( ) H grafının köģe kümes V( H ), kenar kümes EH ( ) olmak üzere V( H) V( G) ve E( H) E( G) olsun. Eğer H grafı H grafındak her br uv, köģe çftlernn H grafında uv kenarını oluģturablmes çn gerek ve yeter Ģart uv kenarının G grafında br kenar olmasıdır. Ģartını sağlarsa H grafına G grafının ndrgenmş alt grafı denr. Dğer br deyģle H grafındak köģelere çakıģık olan her br kenar G grafında da aynı köģelere çakıģık se H grafı G grafının ndrgenmģ alt grafı olur. ġekl (c) de verlen graf, (a) grafının ndrgenmģ alt grafıdır. ġekl

19 10 3. GRAF PARAMETRELERĠ Bu bölümde Graf Teor de kullanılan bazı temel parametreler verlmģtr. Daha detaylı blg almak çn [1], [2], [9] ve [27] referanslarına bakılablr Bağımsızlık Sayısı Tanım Br G grafı verlsn. G nn karģılıklı olarak brbrne komģu olmayan köģelernn kümesne bağımsız küme denr. Br G grafının bağımsız kümelerndek maksmum eleman sayısı, grafın bağımsızlık sayısı olarak adlandırılır ve bu değer ( G) le gösterlr. ( G) max{ V : V bağımsız küme} Örnek ġekl dek G grafında V1 { v1}, V2 { v1, v3}, V3 { v2, v8}, V { v, v, v }, V5 { v1, v3, v4, v6, v7, v9} G grafının bağımsız kümelernden bazılarıdır V, kümes G nn bağımsız kümelernn en genģdr. O halde ( G) 6 dır. 5 ġekl G grafı çn α(g)=6 dır 3.2. Klk Sayısı Tanım Br G grafı verlsn. G nn karģılıklı olarak brbrne komģu olan köģelernn kümesne klk kümes denr. Br G grafının klk kümelerndek maksmum eleman sayısı, grafın klk sayısı olarak adlandırılır ve bu değer wg ( ) le gösterlr. w( G) max{ V : V klk küme}

20 11 Örnek ġekl dek G grafında V1 { v1, v6, v7}, V2 { v2, v7}, V3 { v2, v3, v5, v6}, V4 { v2, v3, v4, v5, v6} G grafının klk kümelernden bazılarıdır. V 4 kümes G nn klk kümelernn en genģdr. O halde wg ( ) 5 dr. ġekl G grafı çn w(g)=5 dr 3.3. Kromatk Sayısı Tanım Br G grafı verlsn. G grafının brbrne komģu olan köģelern farklı renkte boyamak çn gerekl olan en az renk sayısı kromatk sayı olarak adlandırılır ve ( G) le gösterlr. Örnek ġekl dek G grafının komģu köģelern farklı renge boyamak çn gerekl olan en az renk; kırmızı (k), mav (m), yeģl (y) olduğundan ( G) 3 dür. ġekl G grafı çn χ(g)=3 dür

21 Klk Örtü Sayısı Tanım Br G grafı verlsn. VG ( ) köģe kümesn maksmum klk kümeler le parçalanmasına G grafının klk örtüsü denr. Bu parçalanmanın mnmum sayısı se klk örtü sayısı olarak adlandırılır ve ( G) le gösterlr. Klk örtü sayısı çn G G eģtlğ geçerldr. Örnek ġekl dek G grafında V1 { v2, v3, v4}, V2 { v6, v9, v10 }, V3 { v1, v5, v6, v10, v11}, V4 { v2, v3, v4, v5}, V5 { v4, v7}, V6 { v6, v7, v8, v9}, V { v, v, v } G grafının klk kümelernden bazılarıdır. V 2, V 3, V 7 klk kümeler le VG ( ) köģe kümesn mnmum sayıda parçalayableceğmzden ( G) 3 olarak bulunur. ġekl G grafı çn θ(g)=3 dür 3.5. Eccentrcty, Dameter ve Radus Tanım Br G grafı verlsn. G grafındak herhang br u V ( G) köģesnn dğer köģelere olan en kısa mesafelernn en büyük değer; u köģesnn eccentrcty s olarak adlandırılır ve ( u) le gösterlr. Tanım Br G grafı verlsn. G grafındak eccentrcty lern maksmum değer G grafının dameter ı olarak adlandırılır ve da( G ) le gösterlr. Tanım Br G grafı verlsn. G grafındak eccentrcty lern mnmum değer G grafının radus u olarak adlandırılır ve rad( G ) le gösterlr.

22 13 Örnek ġekl de G ve H grafının köģeler eccentrcty değerler le adlandırılmıģtır. G grafı çn maksmum eccentrcty değer dört olduğundan da( G) 4, mnmum eccentrcty değer k olduğundan rad( G) 2 dr. Aynı Ģeklde H grafı çn maksmum eccentrcty değer üç olduğundan da( H) 3, mnmum eccentrcty değer k olduğundan rad( H) 2 dr. ġekl Wener Ġndeks Tanım Br G grafı ve u, v V ( G) verlsn. d( u, v) toplamı G grafının u, vv ( G) Wener ndeks olarak adlandırılır ve WG ( ) le gösterlr. Örnek ġekl dek G grafında d( x, y) 1, d( x, t) 1, d( x, z) 2, d( y, z) 1, d( y, t) 2, d( z, t) 1 olduğuna göre u, vv ( G) d( u, v) d( x, y) d( x, t) d( x, z) d( y, z) d( y, t) d( z, t) olur. Buradan da WG ( ) 8 olarak bulunur. ġekl G grafı çn W(G)=8 dr

23 Randc Ġndeks Tanım Br G grafı ve u, v V ( G) verlsn. u le v köģeler komģu olmak koģuluyla 1 der( u) der( v) toplamı G grafının Randc ndeks olarak adlandırılır u, vv ( G) ve RG ( ) le gösterlr. Örnek ġekl dek G grafında der( v1 ) 2, der( v2) 2, der( v3) 3, der( v ) 1, olduğuna göre u v V G der( u) der( v) der( v ) der( v ) der( v ) der( v ) der( v ) der( v ), ( ) der( v ) der( v ) olur. Buradan da RG ( ) olarak bulunur ġekl G grafı çn RG ( ) dır Düzenszlk ve EĢtlk Ġndeks Tanım Br G grafı verlsn. G grafının brbrnden farklı dereceye sahp köģe sayısı düzenszlk ndeks olarak adlandırılır ve tg ( ) le gösterlr. AĢağıdak eģtlk ndeks tanımı bzm tarafımızdan tanımlamıģtır. Tanım Br G grafı verlsn. G grafının aynı dereceye sahp maksmum köģe sayısı eştlk ndeks olarak adlandırılır ve eg ( ) le gösterlr.

24 15 Herhang br G grafının VG ( ) köģe kümesn k A u V ( G ) : der( u) a, a {0} kümeleryle V ( G) A A1 A2... Ak, 1 k 1 A olacak Ģeklde parçalayablrz. Bu parçalama sayesnde t( G) k ve e( G) max A olduğu kolaylıkla görülür. Örnek ġekl dek G grafında der( v1 ) 3, der( v2) 4, der( v3) 3, der( v4) 2, der( v5 ) 3, der( v6 ) 4, der( v7 ) 3 olduğuna göre G grafının VG ( ) köģe kümesn; dereceler eģt olan köģelere sahp A1 { v4} A2 { v1, v3, v5} A3 v2 v6 kümeleryle parçalayablrz. Buradan da tg ( ) 3 ve eg ( ) 3 olarak bulunur. {, } ġekl G grafı çn t(g)=3 ve e(g)=3 dür 3.9. Mükemmel Graf Tanım Br G grafı verlsn. G grafının bütün ndrgenmģ H alt grafları çn ( G) w( H) eģtlğ sağlanıyorsa G grafı w-mükemmel graf olarak adlandırılır. Tanım Br G grafı verlsn. G grafının bütün ndrgenmģ H alt grafları çn ( G) ( H) eģtlğ sağlanıyorsa G grafı -mükemmel graf olarak adlandırılır. Tanım Br G grafı verlsn. G grafı hem w-mükemmel hem de -mükem- mel oluyorsa G grafına mükemmel graf denr.

25 16 4. GRAF ÇARPIMLARI Bu bölümde Graf Teor de kullanılan temel graf çarpımları verlmģ ve üzernde bazı graf parametreler ncelenmģtr. Daha detaylı blg almak çn [10], [11], [17], [18] ve [22] referanslarına bakılablr Kartezyen Çarpım Tanım G grafının köģe kümes VG, ( ) H grafının köģe kümes V( H ) olmak üzere V( G) V( H) kartezyen kümesnden a ( u1, v1) le b ( u2, v2) elemanlarını alalım. Eğer ) u u ve v v E( H) veya ) v1 v2 ve u1u 2 E( G) durumlarından br gerçekleģyorsa a ( u1, v1) le b ( u2, v2) köģeler komģudur. Bu Ģeklde oluģan grafa G le H grafının kartezyen çarpım grafı denr ve G H le gösterlr. ġekl de bast k grafın kartezyen çarpımı verlmģtr. ġekl Kartezyen çarpım grafı Teorem ([19]) G ve H k graf olmak üzere eģtszlğ geçerldr. G H ( G) ( H) (4.1) Ġspat. [19] da; Lemma 2.7 ve Tablo 1 den spatı yapılmıģtır.

26 17 Teorem ([5]) G ve H k graf olmak üzere max w( G), w( H) w G H (4.2) eģtszlğ geçerldr. Ġspat. Kartezyen çarpım grafı değģmel olduğundan genellğ bozmaksızın max w( G), w( H) w( G) alalım. G grafının maksmum elemana sahp klk kümes C { u, u,..., u } ve v V( H) G 1 2 w( G) çn K ( u1, v),( u2, v),...,( uwg ( ), v) kümes K V( G H) olsun. 1 w( G) ve çn u u V ( G H) olacağından K kümes G H çarpım grafının maksmum klk kümesdr. O halde wg H max w( G), w( H) dr. Teorem ([5]) G ve H k graf ve wmax max{ w( G), w( H)} olmak üzere w W G G w 2 max max dr. (4.3) Ġspat. [5] de; Teorem 14. den spatı yapılmıģtır Strong Çarpım Tanım G grafının köģe kümes VG, ( ) H grafının köģe kümes V( H ) olmak üzere V( G) V( H) kartezyen kümesnden a ( u1, v1) le b ( u2, v2) elemanlarını alalım. Eğer ) u1 u 2 ve v1v 2 E( H) veya ) v1 v 2 ve u1u 2 E( G) veya u u E( G ) ve v v E( H) ) durumlarından br gerçekleģyorsa a ( u1, v1) le b ( u2, v2) köģeler komģudur. le gösterlr. Bu Ģeklde oluģan grafa G le H grafının strong çarpım grafı denr ve G ġekl de bast k grafın strong çarpımı verlmģtr. H

27 18 ġekl Strong çarpım grafı Teorem ([19]) G ve H k graf olmak üzere eģtszlğ sağlanır. G H ( G) ( H) (4.4) Ġspat. [19] da; Lemma 2.7 ve Tablo 1 den spatı yapılmıģtır. Teorem ([5]) G ve H k graf olmak üzere eģtlğ sağlanır. wg H w( G) w( H) (4.5) Ġspat. Ġlk önce wg H w( G) w( H) eģtszlğn gösterelm. G grafının maksmum elemana sahp klk kümes CG { u1, u2,..., uw( G) } ve H grafının maksmum elemana sahp klk kümes CH { v1, v2,..., vw( H )} olsun. 1 p r w( G), 1 q s w( H) çn a ( u, v ) C C, b ( u, v ) C C p q G H r s G H köģeler Tanım e göre ) up ur se vqvs E( H), ) vq vs se uqur E( G), ) u u E( G ) ve v v E( H) durumlarından brn gerçekleģtrdğnden a ( u, v ) p r q s ve b ( ur, vs) köģeler komģudur. Yan CG CH kümes G H çarpım grafının maksmum klk kümesdr. Böylece wg H w( G) w( H) olduğu görülür. p q

28 19 Tersne wg H w( G) w( H) olduğunu gösterelm. G H çarpım grafının maksmum klk kümesn n V ( G), m V ( H) olacak Ģeklde C ( u, v ),( u, v ),...,( u, v ),...,( u, v ),( u, v ),...,( u, v ),..., ( u, v ) olarak alalım. q s m m n m 1 p r n çn u u E( G) olduğundan m w( G) ve 1 q s m çn p r v v E( H) olduğundan m w( G) olacaktır. Böylece nm w( G) w( H) bulunur. Buradan da wg H w( G) w( H) olduğu görülür. O halde wg H w( G) w( H) dr. Teorem ([5]) G ve H k graf olmak üzere eģtszlğ geçerldr. ww W G G w w (4.6) Ġspat. [5] de; Teorem 14. den spatı yapılmıģtır Lexcografk Çarpım Tanım G grafının köģe kümes VG, ( ) H grafının köģe kümes V( H ) olmak üzere V( G) V( H) kartezyen kümesnden a ( u1, v1) le b ( u2, v2) elemanlarını alalım. Eğer ) u1u 2 E( G) veya ) u1 u 2 ve v1v 2 E( H) durumlarından br gerçekleģyorsa a ( u1, v1) le b ( u2, v2) köģeler komģudur. Bu Ģeklde oluģan grafa G le H grafının lexcografk çarpım grafı denr ve G H le gösterlr. ġekl de bast k grafın lexcografk çarpımı verlmģtr.

29 20 ġekl Lexcografk çarpım grafı Teorem ([19]) G ve H k graf olmak üzere eģtlğ geçerldr. G H ( G) ( H) (4.7) Ġspat. [19] de; Lemma 2.7 ve Tablo 1 den spatı yapılmıģtır. Teorem ([5]) G ve H k graf olmak üzere eģtlğ geçerldr. w( G) w( H) w G H (4.8) Ġspat. Ġlk önce wg H w( G) w( H) eģtszlğn gösterelm. G grafının maksmum elemana sahp klk kümes CG { u1, u2,..., uw( G) } ve H grafının maksmum elemana sahp klk kümes CH { v1, v2,..., vw( H )} olsun 1 p r w( G), 1 q s w( H) çn a ( u, v ) C C, b ( u, v ) C C p q G H r s G H köģeler Tanım e göre ) g g E( G ) veya ) g g ve h h E( H) p r p r q s durumlarından brn gerçekleģtrdğnden a ( u, v ) ve b ( u, v ) p q r s köģeler komģudur. Yan CG CH kümes G H çarpım grafının maksmum klk kümesdr. Böylece wg H w( G) w( H) olduğu görülür.

30 21 Tersne wg H w( G) w( H) olduğunu gösterelm. G H çarpım grafının maksmum klk kümesn n V ( G), m V ( H) olacak Ģeklde C ( u, v ),( u, v ),...,( u, v ),...,( u, v ),( u, v ),...,( u, v ),..., ( u, v ) olarak alalım. q s m m n m 1 p r n çn u u E( G) olduğundan n w( G) ve 1 q s m çn p r h h E( H) olduğundan m w( G) olacaktır. Böylece mn w( G) w( H) bulunur. Buradan da wg H w( G) w( H) olduğu görülür. O halde wg H w( G) w( H) dır. Teorem ([5]) G ve H k graf olmak üzere eģtszlğ geçerldr. ww W G G w w (4.8) Ġspat. [5] de; Teorem 14. den spatı yapılmıģtır. Bu Ģeklde çarpım grafları üzernde parametre ncelemelerne benzer olarak daha detaylı blg almak çn [6], [8], [12], [14], [15], [20], [23],[24], [28] referanslarına bakılablr.

31 22 5. GRAFLARIN YENĠ ÇARPIMI 4. bölümde graf çarpımlarının en öneml üç tanes gösterlmģtr ve üzerlernde graf parametrelernden brkaçı değerlendrlmģtr. Bu bölümde bu graf çarpımlarından esnlenerek yen br graf çarpımı derece çarpım oluģturulmuģ ve özellkler ncelenmģtr Grafların Derece Çarpımı Tanım G grafının köģe kümes VG, ( ) H grafının köģe kümes V( H ) ve u1, u2 V ( G), v1, v2 V ( H) olmak üzere V( G) V( H) kartezyen kümesnden a ( u, v ) le b ( u2, v2) elemanlarını alalım. Eğer, 1 1 ) u 1 u 2 der v 1 der v 2 ( ) ( ) veya v v der( u ) der( u ) veya ) ) v v, u u der( u ) der( u ) veya der( v ) der( v ) Ģartlarından br gerçekleģyorsa a ( u1, v1) le b ( u2, v2) köģeler komģudur. le gösterlr. Bu Ģeklde oluģan grafa G le H grafının derece çarpım grafı denr ve GH 5. ve 6. bölümün tamamında G grafının köģe kümesn A u V ( G ) : der( u) a, a {0} k 1 A kümeleryle k, V ( G) A A1 A2... A H grafının köģe kümesn B v V ( H ): der( v) b, b {0} 1 kümeleryle k l 1 B l, V ( H) B B1 B2... Bl 1 olacak Ģeklde parçalanmıģtır. ġekl de P 3 yol grafı le P 3 yol grafının derece çarpımı verlmģtr.

32 23 ġekl P 3 yol grafı le P 3 yol grafının derece çarpımı Önerme G ve H k graf ve VG ( ) 2, V( H) 2 olmak üzere GH çarpım grafında pendant köģe bulunmaz. Ġspat. Durum 1. Farzedelm k 1r k, 1s l çn A 1 ve B 1 olsun. A 1 A { u} ve B 1 B { v} alalım. O zaman A B V( G) V( H) r r s s kümes sadece tek br a ( u, v) köģesnden oluģur. Ayrıca 1 V ( G), 1 V ( H) çn b ( u, v ) köģesn alalım. der( u) der( u ), der( v) der( v ) olduğu açıktır. a ( u, v) köģesyle b ( u, v ) köģeler Tanım e göre ) u u der( v) der( v ) ) v v der( u) der( u ) ) u u, v u der( u) der( u ) veya der( v) der( v ) durumlarından brn gerçekleģtrdğnden a ( u, v) köģes GH çarpım grafında hçbr köģe le komģu değldr. O halde der( ars) 0 olur. r r s s Durum 2. Farzedelm k 1r k, 1s l çn A 1 ve B 2 olsun. Ar {} u, Bs { v1, v2,..., vq} alalım. O zaman Ar Bs V( G) V( H) kümes çn A B 2 olacaktır. a ( u, v ) A B köģelern ve 1 V ( G), 1 V ( H) r s q r s çn b ( u, v ) V( G) V( H) köģelern alalım. r s

33 24 O halde der( u) der( u ), der( v ) der( v ) veya der( v ) der( v ) olacaktır. a ( u, v q ) köģeleryle b ( u, v ) köģeler Tanım e göre q ) u u v, v B ken der( v ) der( v ) veya der( v ) der( v ) q s q q ) v v der( u) der( u ) q der( u) der( u ) veya ) u u, vq v vq, v Bs ken der( vq ) der( v ) veya der( vq) der( v ) durumlarından brn gerçekleģtrdğnden a ( u, v q ) köģeler GH çarpım grafında ya hçbr köģe le komģu değldr ya da b ( u, v ) köģelernn en az k tanesyle komģudur. O halde der( ars) 0 veya der( ars) 2 olur. q Durum 3. Farzedelm k 1r k, 1s l çn A 2 ve B 2 olsun. A u u u r { 1, 2,..., p}, s 1 2 r B { v, v,..., v } alalım. a ( u, v ) A B köģelern ve q s p q r s 1 V ( G), 1 V ( H) çn b ( u, v ) V( G) V( H) köģelern alalım. O halde der( u ) der( u ) veya der( u ) der( u ) ; der( v ) der( v ) veya der( v ) der( v ) olacaktır. q p a ( u, v ) köģeleryle b ( u, v ) köģeler Tanım e göre p q ) u u v, v B ken der( v ) der( v ) veya der( v ) der( v ) p q s q q ) v v u, v A ken der( u ) der( u ) veya der( u ) der( u ) ) q p q r p p u p, vq Ar ken der( u p) der( u ) veya der( u p) der( u), veya u p u vq v vq, v Bs ken der( vq ) der( v ) veya der( vq) der( v ) durumlarından brn gerçekleģtrdğnden a ( u, v ) köģeler GH çarpım grafında ya hçbr köģe le komģu değldr ya da b ( u, v ) köģelernn en az k tanesyle komģudur. O halde der( ars) 0 veya der( ars) 2 olur. Buradan görüldüğü üzere G H çarpım grafında pendant köģe bulunmaz. p p q q Teorem G ve H k graf olmak üzere GH çn gerek ve yeter Ģart A 2 veya B 2 olmalıdır. çarpım grafının bağlantılı olması

34 25 Ġspat. Farzedelm k Ar 1 ve Bs 1 olsun. ( 1r k, 1s l) A 1 A { u} ve B 1 B { v} alalım. O zaman A B V( G) V( H) r r s s kümes sadece tek br a ( u, v) köģesnden oluģur. Ayrıca 1 V ( G), 1 V ( H) çn a ( g, h ) köģesn alalım. der( u) der( u ), der( v) der( v ) olduğu açıktır. a ( u, v) köģesyle a ( g, h ) köģeler Tanım e göre ) u u der( v) der( v ) ) v v der( u) der( u ) ) u u, v u der( u) der( u ) veya der( v) der( v ) durumlarından brn gerçekleģtrdğnden a ( u, v) köģes GH çarpım grafında hçbr köģe le komģu değldr. Böylece GH çarpım grafı bağlantısız olur. O halde A 2 veya B 2 se G Hçarpım grafı bağlantılıdır. r s Tersne farzedelm k G Hçarpım grafı bağlantısız olsun. Önerme 2. den a ( u, v) V( G H) çn der( a) 0 dır. a ( u, v) Ar Bs ve b ( g, h ) A B olmak üzere a ( u, v) köģes b ( g, h ) köģeleryle komģu olmadığından der( u) der( u ) ve der( v) der( v ) olur. Böylece Ar { u} Ar 1 ve B { v} B 1 bulunur. s s O halde GH çarpım grafı bağlantılı se A 2 veya B 2 dr. ġekl P 2 yol grafı le P 5 yol grafının derece çarpımı bağlantılıdır.

35 26 Önerme G ve H k graf ve V ( G) n, V ( H) m olmak üzere GH çarpım grafı çndek Ar Bs kümesnden oluģturulan ndrgenmģ alt graflar tam graftır. Ġspat. Ar { u1, u2,..., ug}, Bs { v1, v2,..., vh} (1 r k, 1 s l ) olsun. der u1 der u2 der u n ( ) ( )... ( ) ve der( v1) der( v2)... der( v m ) olduğu açıktır. 1 p g, 1 q h çn a ( u, v ) köģeleryle b ( u, v ) köģeler Tanım e göre ) u u der( v ) der( v ) p q ) v v der( u ) der( u ) q p ) up u, vq u der( up) der( u ) veya der( vq ) der( v ) durumlarından brn gerçekleģtrdğnden bütün a ( u, v ) köģeler tüm b ( u, v ) köģeler le komģudur. Yan GH çarpım grafı çndek Ar Bs kümesndek her br köģe brbryle komģudur. p q p q O halde GH çarpım grafı çndek Ar Bs kümesnden oluģturulacak ndrgenmģ alt graflar gh köģeye sahp tam graftır. Teorem G ve H k graf olmak üzere GH çn gerek ve yeter Ģart G ve H graflarının regüler graf olmasıdır. graf çarpımının tam graf olablmes Ġspat. Farzedelm k G ve H grafları regüler k graf olsun. V( G) { u, u,..., u }, V( G) n, der( u ) der( u )... der( u ), 1 2 n 1 2 V( H) { v, v,..., v }, V( H) m, der( v ) der( v )... der( v ) olmak üzere 1 2 m p n, 1 q m çn a ( u, v ) ve b ( u, v ) köģeler Tanım e göre ) u u der( v ) der( v ) p q ) v v der( u ) der( u ) q p p ) up u, vq u der( up) der( u ) veya der( vq ) der( v ) q durumlarından brn gerçekleģtrdğnden bütün a ( u, v ) köģeleryle tüm b ( u, v ) p q n m

36 27 köģeler komģudur. Yan GH çarpım grafı çndek tüm köģeler brbrleryle komģudur. O zaman G ve H grafları regüler graf se GH çarpım grafı tam graftır. Tersne GH çarpım grafı V ( G) n, V ( H) m olacak Ģeklde nm köģeye sahp tam graf ve a ( u, v ), b ( u, v ) V( G H) olsun. 1 p n, 1 q m p q çn bütün a ( u, v ) köģeler tüm b ( u, v ) köģeleryle komģu olduğundan Tanım p q e göre der( u1) der( u2)... der( u n ), der( v1) der( v2)... der( v m ) olacaktır. O zaman GH çarpım grafı tam graf se G ve H grafları regüler graflardır. O halde G ve H grafları regüler graftır GH çarpım grafı tam graftır. ġekl de 4-regüler ve 3-regüler k grafın derece çarpımı K 12 tam grafına zomorf olduğu gösterlmģtr. ġekl regüler G le 3-regüler H grafının derece çarpımı. Önerme G ve H k graf olmak üzere GH çarpım grafı çndek A B kümeler tarafından oluģturulan ndrgenmģ tam alt grafdak köģelern dereceler brbrne eģttr ve a ( u, v) A B çn der( a) A B dr. Ġspat. V ( G) n, V ( H) m olsun. V ( G H) kümesn aģağıdak gb ayrı ayrı ndrgenmģ tam alt grafların köģe kümelernn brleģm Ģeklnde düģüneblrz.

37 28 A1 B1 A1 B2... A1 B... A1 Bl A2 B1 A2 B2... A2 B... A2 B l V ( GH ) A B1 A B2... A B... A Bl A k B1 Ak B2... Ak B... Ak Bl a ( u, v) A B köģes Önerme den A B kümesndek bütün köģelerle komģudur. Ayrıca a ( u, v) A B köģes nc satırdak A B1 kümesnden A 1 B1 A A B 1 kümesnden A 1 B 1 Bl 1 kümesnden A 1 Bl 1 komģudur. tane, A B2 tane, A B 1 tane, A Bl Ayrıca a ( u, v) A B köģes nc sütundak A1 B kümesnden B 1 A1 tane, A2 B A B kümesnden 1 B 1 A 1 tane, A 1 k1 B kümesnden B 1 Ak 1 A köģeyle komģudur. kümesnden A 1 B2 kümesnden A 1 B 1 kümesnden A 1 tane,, tane,, B tane köģeyle kümesnden 2 B tane, Ak B kümesnden B 1 A 1 B kümesnden B 1 l 1 A tane,, tane,, A tane k O halde GH çarpım grafı çndek ndrgenmģ tam alt graflardak bütün köģelernn dereceler brbrne eģttr ve a ( u, v) A B çn der( a) A B olduğu açıkça görülür. Sonuç G ve H k graf ve V ( G) GH n, V ( H) m olsun. graf çarpımı çndek ndrgenmģ tam alt graflardak herhang br a ( u, v) A B köģesnn dereces

38 29 A B 1 der( a) A 1 B1... A 1 B 1 A 1 B 1... A 1 Bm B 1 A1... B 1 A 1 B 1 A 1... B 1 A n bulunur. A B 1 A 1m B B 1n A A ( m 1) B ( n 1) A B n m 1 O halde der( a) A ( m 1) B ( n 1) A B V (G) V ( H) 1 olarak Örnek ġekl dek G grafının köģe kümesn A1 { b, c}, A2 { a, d} ; H grafının köģe kümesn B1 {1,4}, B2 {2,3} kümeleryle parçalarsak ( a,1) A1 B1 köģesnn dereces der ( a,1) 2(4 1) 2(4 1) olarak bulunur. ġekl G le H grafının derece çarpımı.

39 30 Önerme G ve H k graf x, yv( G H) olmak üzere GH graf çarpımında d( x, y) 1 veya d( x, y) 2 dr. Ġspat. G ve H k graf olsun. x ( u, v ) A B y ( u, v ) A B ve x, yv( G H) olmak üzere p q p q r s r s Farzedelm k x le y köģes aynı ndrgenmģ tam alt graf çnde olsun. O halde x le y köģes komģu olacağından d( x, y) 1 dr. Farzedelm k x le y köģes farklı ndrgenmģ tam alt grafların çnde ve brbrne komģu olsun. O halde x le y köģes komģu olduklarından d( x, y) 1 dr. Farzedelm k x le y köģes farklı ndrgenmģ tam alt grafların çnde ve brbrne komģu olmasın. z ( u, v ) A B veya z ( u, v ) A B olacak Ģeklde p p q s en az br köģe bulablrz k xz E( G H) ve yz E( G H) olacağından d( x, y) 2 dr.

40 31 6. DERECE ÇARPIM GRAFI ÜZERĠNDE GRAF PARAMETRELERĠ Bu bölümde derece çarpım grafı üzernde graf parametreler ncelenmģ ve eģtlkler bulunmuģtur. Ayrıca derece çarpım grafının mükemmel graf olduğu spatlanmıģtır. Teorem G ve H k graf olmak üzere eģtlğ sağlanır. G H t( G) t( H) (6.1) Ġspat. Ġlk önce G H t( G) t( H) eģtszlğn gösterelm. K { u,..., u : u A,..., u A, der( u )... der( u )} 1 k 1 1 k k 1 k L { v,..., v : v B,..., v B, der( v )... der( v )} 1 l 1 1 l l 1 l kümelern alalım. Buradan t( G) K k ve t( H) L l olduğu açıktır. 1 p r k, 1 q s l çn a ( u, v ) K L, b ( u, v ) K L köģeler Tanım e göre ) u u der( v ) der( v ) veya p r q s ) v v der( u ) der( u ) veya q s p r p ) up u r, vq v s der( up) der( u r ) veya der( vq ) der( vs ) q durumlarından brn gerçekleģtrdğnden K L kümesndek köģeler GH çarpım grafında brbrleryle komģu değldr. Yan K L kümes GH çarpım grafının maksmum bağımsızlık kümesdr. Buradan da G H t( G) t( H) r s olduğu görülür. Tersne G H t( G) t( H) olduğunu gösterelm. GH çarpım grafının maksmum bağımsızlık kümesn k V ( G) l V ( H) olacak Ģeklde S ( u, v ),( u, v ),...,( u, v ),...,( u, v ),( u, v ),...,( u, v ),..., ( u, v ) olarak l l k l alalım. 1 p r k çn der( u ) der( u ) olduğundan k t( G) ve 1 q s l çn p der( v ) der( v ) olduğundan l t( G) olacaktır. Böylece kl t( G) t( H) bulunur. q s Buradan da G H t( G) t( H) olduğu görülür. r

41 32 Teorem G ve H k graf olmak üzere eģtlğ geçerldr. e( G) e( H) w GH (6.2) Ġspat. Ġlk önce wg H e( G) e( H) eģtszlğn gösterelm. Maksmum elemanlara sahp A { u1, u2,..., un} ve B { v1, v2,..., vm} kümelern alalım. Buradan e( G) A n ve e( H) B m olduğu açıktır. 1 p r n, 1 q s m çn a ( u, v ) A B, b ( u, v ) A B köģeler Tanım e göre ) u u der( v ) der( v ) veya p r q s ) v v der( u ) der( u ) veya q s p r p q r s ) up u r, vq v s der( up) der( u r ) veya der( vq ) der( vs) durumlarından brn gerçekleģtrdğnden A B kümesndek bütün köģeler GH çarpım grafında brbrleryle komģudur. Yan A B kümes GH çarpım grafının maksmum klk kümesdr. Buradan da wg H e( G) e( H) olduğu görülür. Tersne wg H e( G) e( H) olduğunu gösterelm. GH çarpım grafının maksmum klk kümesn n V ( G), m V ( H) olacak Ģeklde C ( u, v ),( u, v ),...,( u, v ),...,( u, v ),( u, v ),...,( u, v ),..., ( u, v ) olarak alalım m m n m 1 p r n çn der( u ) der( u ) olduğundan n e( G) ve 1 q s m çn p r der( v ) der( v ) olduğundan m e( G) olacaktır. Böylece mn e( G) e( H) bulunur. q s Buradan da wg H e( G) e( H) olduğu görülür. Teorem G ve H k graf olmak üzere ( GH) e( G) e( H) (6.3) eģtlğ geçerldr.

42 33 Ġspat. K n tam grafı çn ( K n ) n olduğu açıktır. GH çarpım grafında kl tane ndrgenmģ tam alt graf ve e( G) e( H ) maksmum elemana sahp A B kümesnn eleman sayısı olduğundan ( GH) e( G) e( H) dr. Tersne aap Bq, bar Bs çn Ap Bq Ar Bs ve a le b komģu olsun. O halde a le b farklı renkte olmalıdır. (1 p r k, 1 q s l ) Eğer Ap Bq Ar Bs se mnmum kullanılablecek renk sayısı Ap Bq kadardır. Aksne Ap Bq Ar Bs se mnmum kullanılablecek renk sayısı Ap Bq kadardır. Buradan da ( GH) e( G) e( H) olduğu görülür. Teorem G ve H k graf olmak üzere ( GH ) t( G) t( H) (6.4) eģtlğ geçerldr. Ġspat. E boģ grafı çn ( E ) 1 olduğu açıktır. G ve H bast k graf, olmak üzere n n GH çarpım grafının tamamlayıcısında kl tane ndrgenmģ boģ alt graf oluģur. O halde t( G) k t( H) l se GH t( G) t( H) dr. Buradan da ( GH ) t( G) t( H) dr. Tersne x, yv( G H) çn aap Bq, bar Bs olsun ve Ap Bq, Ar Bs kümelernde brbrlerne komģu olmayan köģeler bulunableceğnden farzedelm k a le b köģeler komģu olmasın. (1 p r k, 1 q s l ) ab E( GH ) ab E G H olur. a le b köģeler GH çarpım grafının tamamlayıcısında komģu olduklarından farklı renkte olmalıdırlar ve her br Ap Bq kümes çn farklı br renk kullanmamız gerekr. O halde G H t( G) t( H) Buradan da ( GH ) t( G) t( H) dr. olur. Önerme G ve H k graf olmak üzere rad( GH ) da( GH ) 2 (6.5) eģtlğ geçerldr.

43 34 Ġspat. Önerme 5. den x, yv( G H) çn GH graf çarpımında d( x, y) 1 veya d( x, y) 2 olduğundan rad( GH ) da( GH ) 2 olduğu kolaylıkla görülür. Teorem G ve H k graf, V ( G) eģtlğ geçerldr. n, V ( H) m olmak üzere k l A B W GH mn( mn 1) m( k 1)( n l) (6.6) Ġspat. Önerme 5 den x, yv( G H) çn GH çarpım grafında x le y köģes komģu olduklarında d( x, y) 1, komģu olmadıklarında d( x, y) 2 dr. O halde GH çarpım grafının wener ndeksn V ( GH ) V ( GH ) W ( GH ) 2 E( GH ) E( GH ) 2 E( GH ) 2 2 yazablrz. Ģeklnde E G H A B A B A B A B A B l l k l ( ) l l + A m B + A m B + A m B + A m B + A m B + A m B k 1 1 k k 1 l + A m B + A m B + A m B Buradan da k l A B E( GH) m( k 1)( n l) olarak bulunur V ( G) n ve V ( H) m olduğundan V ( GH ) mn mn( mn 1) dr.

44 35 k l A B W GH mn( mn 1) m( k 1)( n l) olur O halde Sonuç G ve H regüler k graf ve V ( G) n ve V ( H) m olsun. eģtlğ geçerldr. mn W ( GH ) 2 (6.6) Ġspat. G regüler olduğundan V( G) B m olacaktır. O halde A, A n ve H regüler olduğundan V( H) 1 1 A B W GH mn( mn 1) m(1 1)(1 l) mn mn( mn 1) =mn( mn 1) 2 2 mn 2 B, Teorem G ve H k graf, V ( G) köģeler çn der( a ) x olmak üzere n, V ( H) m olsun. a ( u, v ) A B k l A k l k k B 1 1 A B Ap B A Bq RGH x x p1 xp q1 xq p q eģtlğ geçerldr. (6.7) Ġspat. Eğer u, vv( G H) çn u le v köģeler aynı ndrgenmģ tam alt graf çnde se 1 1 ( ) der( u) der( v) der( u) 1 R G H olur. u, vv ( GH ) u, vv ( GH )

45 36 1 A1 B1 1 A1 B2 1 A1 Bl 1 R ( GH )... 2 x 2 x 2 x l A2 B1 1 A2 B2 1 A2 Bl x 2 x 2 x l Ak B1 1 Ak B2 1 Ak Bl x 2 x 2 x k1 k 2 kl Buradan da R 1 G H k l A B 1 olarak bulunur x Aksne u, vv( G H) çn u le v köģeler farklı ndrgenmģ tam alt graf çnde se 1 ( ) olur. der( u) der( v) 2 R G H u, vv ( GH ) 1 ( ) 2 2 R GH A1 B1 A1 B2 A1 B1 A1 B3 A1 B1 A1 Bl... x11x12 x11x13 x11x 1l A1 B1 A2 B1 A1 B1 A3 B1 A1 B1 Al B 1... x11x21 x11x31 x11xl1 Ak Bl Ak B1 Ak Bl Ak B A 2 k Bl Ak B ( l1)... xkl xk1 xkl xk 2 xkl xk ( l1) A A k Bl A1 Bl Ak Bl A2 Bl k Bl A( k 1) Bl... xkl x1 l xkl x2 l xkl x ( k 1) l 2 Buradan da R G H k l 1 A B k k A B A B x p1 xp q1 xq p q p q olarak bulunur. O halde 1 2 R( GH) R ( GH) R ( G H) Ģeklnde bulunablr. RG H k l A k l k k B 1 1 A B Ap B A Bq x x p1 xp q1 xq p q dr.

46 37 Sonuç G ve H grafları regüler k graf ve V ( G) av( G H) çn n ve V ( H) m olsun. eģtlğ geçerldr. mn 1 R( GH ) 2 der( a) (6.8) Ġspat. G regüler olduğundan V( G) B m olacaktır. O halde A, A n ve H regüler olduğundan V( H) A B 1 1 A B ApB ABq RGH a a p1 a q1 a p q 1 1 A B 1 mn der( a) 2 der( a) B, Teorem G ve H k graf olmak üzere G H graf çarpımı mükemmel graftır. Ġspat. G ve H k graf, GH çarpım grafından F ndrgenmģ alt graflarını alalım. F ndrgenmģ alt grafları A B kümesndek köģeler tarafından üretlen ndrgenmģ tam alt graf olsun. O zaman F tam graf olduğundan ( F) w( F) ve ( F) ( F) olduğu açıktır. Aksne F ndrgenmģ alt grafları A B kümesndek köģeler tarafından üretlen ndrgenmģ tam alt graf olmasın. O zaman GH çarpım grafı tanımından ( F) w( F) ve ( F) ( F) olduğu açıktır. O halde G ve H k graf olmak üzere GH çarpım grafı mükemmel graftır. 7. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER Bu çalıģmamızda tanımladığımız yen graf çarpımının graf parametreler arasında eģtlkler bulunmuģ ve mükemmel graf olduğu gösterlmģtr. Tezmz ornal br çalıģma olduğundan daha lerye götürüleblr. Örneğn komģuluk matrslernden özdeğer üzerne bağıntılar bulunup, sınırlar gelģtrleblr.

47 38 KAYNAKLAR [1] Aldous J.M., Wlson R. J., 2000, Graphs and Applcatons, The Open Unversty Prnted n Great Brtan. [2] Bondy J. A., Murty U. S. R., 1981, Graph theory wth applcatons, Elsever, North Holland. [3] Boroweck M., 1972, On chromatc number of products of two graphs, Colloq. Math., 25, [4] Czek N., Klavzar S., 1994, On the chromatc number of the lexcographc product and the Cartesan sum of graphs, Dscrete Math., 134, [5] Došlc T., Ghorban M., Hossenzadeh M. A., 2011, The Relatonshps Between Wener Index, Stablty Number and Clque Number of Composte Graphs, Bull. Malays. Math. Sc. Soc., 36(1), [6] Duffus D., Sands B., Woodrow R.E., 1985, On the chromatc number of the product of graphs, J. Graph Theory, 9, [7] El-Kholy E. M., Lashn S. R., Daoud S. N., 2012, New Operatons on Graphs and Graph Foldngs, Internatonal Mathematcal Forum, 7(46), [8] Geller D., Stahl S., The chromatc number and other parameters of the lexcographc product, J. Combn. Theory Ser. B, 19, [9] Gross J.L., Yellen J., 2004, Handbook of Graph Theory, CRC Press.. [10] Hammack R., Imrch W., Klavzar S., 2011, Handbook of Graph Products Second Edton, CRC Press, Ktap [11] Harary F., Wlcox G. W., 1967, Boolean Operatons on Graphs, Math. Scand., [12] Imrch W., Klavzar S., 1992, Retracts of strong products of graphs, Dscrete Math., 109, [13] Imrch W., Klavzar S., 2000, Product Graphs, Structure and Recognton, Jon Wley & Sons, Inc., New York, [14] Kaschek R., Klavzar S., 1994, On the chromatc number of the lexcographc product of graphs, Indan J. Pure Appl. Math., 25, [15] Klavzar S., 1992, Colorng graph products - A survey, Elsever Dscrete Mathematcs, 155, [16] Lnal N., Vazran U., 1989, Graph products and chromatc numbers, Proc. 30th Ann. IEEE Symp. on Foundatons of Computer Scence,

48 39 [17] Mller D.J., 1968, The categorcal product of graphs, Canad. J. Math., 20, [18] Nešetřl J., Rödl V., 1983, Products of graphs and ther applcatons, Lecture Notes n Math., 1018, [19] Nowakowsk R. J., Rall D. F., 1996, Assocatve Graph Products and Ther Independence Domnaton and Colorng Numbers, Dscuss. Math, 16, [20] Pattabraman K., Paulraa P., 2012, On some topologcal ndces of the tensor products of graphs, Dscrete Appled Mathematcs, 160(3), [21] Sabduss G., 1960, Graph Multplcaton, Math. Z., 72, [22] Sabduss G., 1961, The Lexcographc Product of Graphs, Duke Math. J., 28, [23] Slutzk G., Jha P. K., 1994, Independence Numbers of Product Graphs, Appled Mathematcs Letters, 7(4), [24] Sonnemann E., Krafft O., 1974, Independence numbers of product graphs, J. Combn. Theory Ser. B, 17, [25] Soukup L., 1988, On chromatc number of product of graphs, Comment. Math. Unv. Caroln., 29, [26] Vesztergomb K., 1978/79, Some remarks on the chromatc number of the strong product of graphs, Acta Cybernet., [27] West D. B., 1996, Introducton to Graph Theory, Prentce Hall, Upper Saddle Rver. [28] Yang K.W., 1968, Chromatc number of cartesan sum of two graphs, Amer. Math. Soc., 19, [29] Yero I. G., 2011, On the Randć Index of Corona Product Graphs, ISRN Dscrete Mathematcs, 2011(26218), 1-7.

49 40 ÖZGEÇMĠġ KĠġĠSEL BĠLGĠLER Adı Soyadı : Nurettn Talha DĠNÇ Uyruğu : T.C. Doğum Yer ve Tarh : Konya 09/09/1986 Telefon : Faks : e-mal : nurettn.talha@gmal.com EĞĠTĠM Derece Adı, Ġlçe, Ġl Btrme Yılı Lse : Kulu Anadolu Lses, Kulu, Konya 2004 Ünverste : Selçuk Ünverstes, Selçuklu, Konya 2011 Yüksek Lsans : Selçuk Ünverstes, Selçuklu, Konya Doktora : YABANCI DĠLLER Ġnglzce