T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ELEMANLARI GENEL SAYI DİZİLERİ OLAN SKEW CİRCULANT MATRİSLERİ ÜZERİNE

Transkript

1 T.C. NEVŞEİR ACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERİTEİ FEN BİLİMLERİ ENTİTÜÜ ELEMANLARI GENEL AYI DİZİLERİ OLAN KEW CİRCULANT MATRİLERİ ÜZERİNE Tez azırlaya Fath GÖK Tez Yöete Yrd.Doç.Dr. Yas YAZLIK Matematk Aablm Dalı Yüksek Lsas Tez Mart 05 NEVŞEİR

2

3 T.C. NEVŞEİR ACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERİTEİ FEN BİLİMLERİ ENTİTÜÜ ELEMANLARI GENEL AYI DİZİLERİ OLAN KEW CİRCULANT MATRİLERİ ÜZERİNE Tez azırlaya Fath GÖK Tez Yöete Yrd. Doç. Dr. Yas YAZLIK Matematk Aablm Dalı Yüksek Lsas Tez Mart 05 NEVŞEİR

4

5

6 TEŞEKKÜR Yüksek lsas ve tez çalışmalarım süresce büyük yardım ve desteğ gördüğüm tez daışmaım ayı Yrd. Doç. Dr. Yas YAZLIK a, hçbr kouda yardımlarıı esrgemeye ayı Doç. Dr. Mehmet ŞENGÖNÜL ve ayı Doç. Dr Aytek ERYILMAZ a, çalışmalarım sırasıda gösterdkler fedakarlık ve alayışta dolayı eşm N. Nala GÖK ve kızlarım Berf ve Yağmur Burcu GÖK e e çte duygularımla teşekkür ederm.

7 ELEMANLARI GENEL AYI DİZİLERİ OLAN KEW CİRCULANT MATRİLERİ ÜZERİNE (Yüksek Lsas Tez) Fath GÖK NEVŞEİR ACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERİTEİ FEN BİLİMLERİ ENTİTÜÜ Mart 05 ÖZET Bu çalışmaı amacı elemaları geelleştrlmş k-oradam sayıları ola skew crculat ve skew left crculat matrsler taımlamak ve bu matrsler determatları ve tersler geelleştrlmş k-ordam sayıları le karakterze etmektr. Aahtar Kelmeler: kew Crculat Matrs, kew Left Crculat Matrs, Geelleştrlmş k-oradam Dzs, Determat, Ters Tez Daışmaı: Yrd. Doç. Dr. Yas YAZLIK ayfa Adet: 46 v

8 ON TE KEW CIRCULANT MATRICE INVOLVING GENERAL NUMBER EQUENCE (M.c.Thess) Fath GÖK NEVŞEİR ACI BEKTAŞ VELİ UNIVERITY GRADUATE COOL OF NATURAL AND APPLIED CIENCE March 05 ABTRACT The am of ths study s to defe the skew crculat ad skew left crculat matrces whose etres are geeralzed k-oradam umbers ad to characterze determats ad verses of these matrces wth geeralzed k-oradam umbers. Keywords: kew Crculat Matrx, kew Left Crculat Matrx, Geeralzed k- oradam equece, Determat, Iverse Thess upervsor: Assst. Prof. Dr. Yas YAZLIK Number of Page: 46 v

9 İÇİNDEKİLER KABUL VE ONAY TEZ BİLDİRİM AYFAI TEŞEKKÜR ÖZET v ABTRACT v İÇİNDEKİLER v İMGE VE KIALTMALAR LİTEİ v. BÖLÜM GİRİŞ Amaç Kapsam Kayak Araştırması Tez Yapısı BÖLÜM Temel Kavramlar ayı Dzler Crculat Matrsler BÖLÜM kew Crculat ve kew Left Crculat Matrsler v

10 4. BÖLÜM Uygulamalar Örek Örek Örek Örek BÖLÜM TARTIŞMA VE ONUÇLAR KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

11 İMGELER VE KIALTMALAR LİTEİ : Elemaıdır sembolü : Reel (gerçel) sayılar kümes : Doğal sayılar kümes F :. Fboacc sayısı L :. Lucas sayısı P :. Pell sayısı Q :. Pell Lucas sayısı q :. Modfed Pell sayısı J :. Jacobsthal sayısı j :. Jacobsthal-Lucas sayısı W :. oradam sayısı F k, :. k-fboacc sayısı L k, :. k-lucas sayısı k, :. geelleştrlmş k-oradam sayısı : Elemaları geelleştrlmş k-oradam sayıları ola skew crculat matrs L : Elemaları geelleştrlmş k-oradam sayıları ola skew left crculat matrs v

12 det : Elemaları geelleştrlmş k-oradam sayıları ola skew crculat matrs determatı x

13 .BÖLÜM GİRİŞ Güzellk ölçülemeye br kavram olmasıa karşı, güzellkle bağlatılı ola uyum, formüllerle açıklaablr. Matematksel güzellğ taımlamaı olablrlğ güç görüse de bu güçlük her tür güzellk kousuda geçerldr. Matematkçler ç matematğ doğasıda bulua güzellk yadsıamaz. Bu güzellkler görmek ç kar taeckler celemek, meral krstallere bakmak, tavus kuşuu kuyruğuu kabartması durumuda çft yölü oluşa sarmalları seyretmek, çam kozalağıa, arıları yaptıkları peteklerdek geometrk yapıya, bazı btk ve ağaç dallarıdak gelşme bakmak yeterl olacaktır. Bua matematğ estetğ der. Perspektf, oratı ve smetr her koşulda ölçüleblr. Bu edele saatı da ölçüleblr yaları vardır ve matematksel olarak elde edle smetr le doğaı sayılarıı barıdırır. Bu kavramlar matematğ estetğ alaıa grer []. Çok farklı dspllerde blm salarıı, düşüürler, d adamlarıı brbrlerde blerce klometre uzakta, olarca asır ötede olsalar ble ortaklaşa yaptıklarıı söyleyebleceğmz çalışmaları; saoğlua ey güzel görüdüğüe dar bazı formüller ortaya koymuştur. Bu formüller e etkl olalarıda br kökü ola 5 rrasyoel sayısıa Altı Ora der. Bu ora atk çağda ber matematkçler, fzkçler, flozofları, saatçıları ve hatta müzsyeler lgledğ br kou olmuştur. Geellkle Yuaca da kesmek alamıa gele kelme baş harf ola karakter le gösterle ve değer,6803 ola bu sayı altı ortalama, altı bölüm, altı kest, lah (kutsal) oratı, Fboacc sayısı ve Phdas ortalaması şeklde de adladırılır. Bu ora, baze özellkler celeye matematkç Phdas ı adıı lk harf ola le gösterlse de daha yaygı olarak le belrtlr. Altı ora ve Fboacc sayılarıı, Düyaı yed harkasıda br olarak kabul edle Pramtlerde, Atk Yua saatçılarıı ortaya koymuş olduğu eserlerde, Röesas saatçılarıı tuvallerde, Gotk klseler cephelerde veya katedral çözümlemelerde, btkler büyümeler ve bazı bell katıları krstalografk yapılarıda ver tabalarıda arama

14 yapmak ç yazıla blgsayar algortmalarıı gelştrlmese kadar çok geş uygulama alalarıda rastlaır [6]. Güümüzde, matematk le dğer blmler arasıda gtgde arta orada br brlktelk doğmuştur. Bu brlktelkte matrsler, matrsler arasıda da crculat matrsler ayrı br öem vardır. Crculat matrs ales brçok problem modellemek ç kullaılır. Özellkle, crculat ve skew crculat matrsler blmsel çalışmalarda ve mühedslk uygulamalarıda gderek daha sık ortaya çıkmaktadır. Bu matrsler çeştl dferasyel deklemler çözümlerde öeml rol oyamaktadır [3]. Ayrıca Crculat ve kew crculat matrsler djtal fltreler [4,9], haberleşme [7], görütü şleme [3,33], syalzasyo [4], şfreleme [], pre-codtoer, Toepltz matrsler çözme gb öeml dspller çere uygulamalara da sahptr Çükü; mühedslk, tıp, statstk ve dğer pek çok alada matrslerle karşılaşılmaktadır.. Amaç ve Kapsam Bu çalışmaı temel amacı, elemaları keyf br parametre polomları ola geelleştrlmş k-oradam dzlerde oluşa kew-crculat ve kew-left crculat matrsler taımlayarak, bu matrsler determatlarıı ve tersler geelleştrlmş k- oradam dzs elemaları csde karakterze etmektr. Ayrıca, geelleştrlmş k- oradam dzs kc mertebede leer özel sayı dzler br geellemes olduğuda lteratürde yer ala Fboacc, Lucas, Pell, Pell-Lucas, modfed Pell, Jacobsthal, Jacobsthal-Lucas, k-fboacc, k-lucas vb gb sayı dzler çde kew-crculat ve kew-left crculat matrsler determatları ve tersler de hesaplamış olacaktır... Kayak Araştırması Çalışmaı bu kısmıda, kc mertebede leer özel sayı dzler ve bu sayı dzler yardımıyla taımlaa crculat matrsler üzere lteratürde yapılmış ola çalışmalarda bahsedlecektr. Basc propertes of a certa geeralzed sequece of umbers sml çalışmasıda oradam dzs taımlamış, taımlaa dz geel özellkler celemştr [3].

15 A Fboacc crculat sml çalışmasıda elemaları Fboacc sayıları ola crculat ve ters crculat matrsler taımlayarak, bu matrsler determatlarıı brm. derecede prmtf köküü kullaarak elde etmştr []. Crculat Matrces sml ktabıda crculat matrslerle lgl geel blgler verlerek, crculat matrs çeştler, oları özellkler ve bazı geometrk uygulamaları ele alımıştır [5]. O the Norms of Crculat Matrces wth the Fboacc ad Lucas umbers sml makalesde elemaları Fboacc ve Lucas sayılarıda oluşa crculat matrsler spektral ve Eucldea ormları ç sıırlar elde etmştr [8]. Crculat, egacyclc ad sem crculat matrces wth the modfed Pell, Jacobstahal ad Jacobsthal-Lucas umbers sml makalesde modfed Pell, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayılarıı bazı özellkler vermştr. Ayrıca bu dzler crculat, egacyclc ve semcrculat matrsler taımlayıp, bu matrsler ormlarıı, öz değerler ve determatlarıı elde etmştr [0]. O k-fboacc umbers of arthmetc dexes sml çalışmalarıda dsler artmetk dz ola k-fboacc sayılarıı toplamları elde edlmştr. Böylece bu tür sayıları toplamları ç çeştl formüller elde edlmese olaak sağlamışlardır [8]. O the boudsfort he orms of r-crculat matrces wth the Fboacc ad Lucas umbers sml çalışmada elemaları Fboacc ve Lucas sayılarıda oluşa,,, ve,,, A Cr F0 F F B Cr L0 L L r-crculat matrsler spektral ormları ç sıırlar elde edlmştr. Ayrıca A ve B matrsler Kroecker ve adamard çarpımlarıı spectral ormları ç bazı sıırlar elde edlmştr [6]. O the spectral orms of crculat matrces wth classcal Fboacc ad Lucas umbers etres sml çalışmasıda [olak,., 005, O the Norms of Crculat Matrces wth the Fboacc ad Lucas umbers, Appled Mathematcs ad Computatos 60, 5-3] yaptığı çalışmayı gelştrerek elemaları Fboacc ve Lucas sayılarıda oluşa crculat matrsler spektral ormlarıı hesaplamıştır [5]. 3

16 O the k-lucas umbers sml çalışmasıda k-lucas dzs taımlamış, taımlaa dz özellkler celemş ve bu dz, k-fboacc sayıları le arasıdak lşkler sumuştur [7]. "The computato of the square roots of crculat matrces" sml çalışmalarıda crculat ve quas-skew crculat matrsler kökler bulmak ç k etkl algortma gelştrmşlerdr. Bu metotlar hur ayrışımıa dayaa trdagoal algortmada daha hızlıdır [3]. "The verse of crculat matrx" sml çalışmasıda elemaları, crculat matrs g z ve g z karakterstk polomuu sıfır oktasıdak foksyoları ola ve mühedslkte öeml uygulamaları bulua crculat matrs ters elde etmek ç ye br yötem vermştr [0]. A ote o geeralzed k-oradam sequece sml çalışmada Geelleştrlmş k- oradam dzler taımlamışlar, bu dz bazı özellkler determat yardımıyla spat etmşlerdr [9]. pectral orm, egevaluesad determat of crculat matrx volvg geeralzed k- oradam umbers sml çalışmarıda elemaları geelleştrlmş k-oradam sayılarıda oluşa crculat matrs taımlamışlar, bu matrs spectral ormuu, öz değerler ve determatıı hesaplamıştır [3]. "O the orms of a r-crculat matrx wth the geeralzed k-oradam umbers" sml çalışmalarıda elemaları geelleştrlmş k-oradam sayıları ola r-crculat matrsler taımlayarak, matrs spectral ormlarıı alt ve üst sıırlarıı hesaplamışlardır [30]. "O the determats ad Iverses of skew crculat ad skew left crculat matrces wth Fboacc ad Lucas Numbers" sml çalışmalarıda elemaları Fboacc ve Lucas sayıları ola skew ve skew-left crculat matrsler determatlarıı ve tersler Fboacc ve Luccas sayılarıyla karakterze etmşlerdr []. " Crculat Type Matrces wth the um ad Product of Fboacc ad Lucas Numbers" sml çalışmalarıda Fboacc ve Lucas sayılarıı çarpımı ve toplamıyla g-crculat, left-crculat ve crculat matrsler determatlarıı ve tersler elde etmşlerdr [8]. 4

17 "Exact Determats of ome pecal Crculat Matrces Ivolvg Four Kds of Famous Numbers" sml çalışmalarıda elemaları Perr, Padova, Trboacc ad geelleştrlmş Lucas sayıları ola RFPLR crculat ve RLPFL crculat matrsler determatlarıı polomları çarpım tersler kullaarak elde ettler [6]. "O the orms of r-crculat matrces wth the hyper-fboacc ad Lucas umbers" sml çalışmalarıda elemaları hyper-fboacc ve Lucas sayıları ola r-crculat matrs taımlayarak matrs ormlarıı elde etmşlerdr []..3. Tez Yapısı Elemaları geel sayı dzler ola skew crculat matrsler üzere sml bu çalışma dört bölümde oluşmaktadır. Brc bölümde; kayak taraması ve özel sayı dzler le matrsler kullaım alaları le lgl kısa blgler verlmştr. İkc bölümde; sayı dzler ve crculat matrsler taımları verlmştr. Üçücü bölümde; sırasıyla elemaları geelleştrlmş k-oradam sayıları ola skew crculat ve skew left crculat matrsler taımlamış ve oları determatları ve tersler elde edlmştr. o bölümde se bu çalışmada elde edle souçlar le lgl ümerk örekler verlmştr. 5

18 . BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, çalışmamızla lgl temel kavramlar verlecektr... ayı Dzler Bu kısımda, lteratürde yer ala ve brçok matematkç çalışması kousu olmuş ve uygulama alaları geş ola kc mertebede leer özel sayı dzler hakkıda temel taım ve özellkler verlecektr. Taım... F0 0 ve F olmak üzere, F F F,, şeklde taımlaa reküras bağıtılarıda elde edle 0 sayılara Fboacc sayıları der. Bu reküras bağıtısıı ürettğ tamsayılar dzse Fboacc dzs der ve 0 gösterr [3]. F le gösterlr. Burada F,. Fboacc sayısıı F F F reküras bağıtısı kc mertebede sabt katsayılı leer fark deklem olduğuda, bu dekleme at 0 karakterstk deklem kökler 5 ve 5 olup, F, 0, fadese Fboacc sayılarıı Bet formülü der.bet formülüde hareketle, F lm F olduğu kolayca görülmektedr. Burada, ardışık k Fboacc sayısıı oraıı altı oraa yakısadığı görülür [3]. Taım... L0 ve L olmak üzere, L L L,, le taımlı sayılara Lucas sayıları der. Bu sayılarda oluşa 0 dzye de 0 L Lucas dzs der. Burada L,. Lucas sayısıı gösterr. Lucas 6

19 sayılarıı reküras bağıtısı Fboacc sayılarıı reküras bağıtısıyla ayı olduğuda, 5 ve 5 olmak üzere, Lucas sayılarıa at Bet formülü L = şekldedr. Ayrıca Fboacc ve Lucas sayıları arasıda brçok bağıtı bulumakta olup bularda br kaç taes, F F L, F F L, F F L, F F L. şekldedr []. Taım..3. P0 0, P olmak üzere, P P P,, le taımlaa 0 0 P sayı dzse Pell dzs ve bu dz elemalarıa da Pell sayıları der. Pell dzse at karakterstk deklem 0olup deklem kökler ve - olmak üzere Pell sayılarıı Bet Formülü P P dr. P,. Pell sayısı ve (gümüş ora) olmak üzere, lm P ' dır [3]. Taım..4. Q0 ve Q olmak üzere, 7

20 Q Q Q,, le taımlaa 0 Q 0 sayı dzse Pell-Lucas sayı dzs der. Pell-Lucas sayılarıı Bet Formülü, ve olmak üzere, Q şekldedr. Pell ve Pell-Lucas dzler reküras bağıtıları ayı olduğuda, Pell ve Pell-Lucas sayıları arasıdak bazı bağıtılar, P P Q, Q P şekldedr [3]. Taım..5. q0 ve q olmak üzere, q q q,, şeklde taımlaa reküras bağıtısıda elde edle 0 sayılara Modfy-Pell sayıları der. Burada üretle tamsayılar dzse Modfy-Pell dzs der ve 0 Formülü, ve olmak üzere q le gösterlr. Modfy-Pell sayılarıı Bet q dır. Modfy-Pell ve Pell sayıları arasıda, q P P Modfy-Pell ve Pell-Lucas sayıları arasıda se q Q Q şeklde bağıtı vardır [3]. 8

21 Taım..6. J0 0 ve J olmak üzere, J J J,, şeklde taımlaa dzye Jacobsthal dzs der ve 0 J 0 şeklde gösterlr. Bu dz elemalarıa da Jacobsthal sayıları der. J J J, 0, reküras bağıtısıa at karakterstk deklem 0olup deklem kökler ve olmak üzere Jacobsthal sayılarıı Bet Formülü, J 3 dr [3]. Taım..7. j0 ve j olmak üzere, j j j,, şeklde taımlaa dzye Jacobsthal-Lucas dzs der ve 0 0 j şeklde gösterlr. Bu dz elemalarıa da Jacobsthal-Lucas sayıları der. ve olmak üzere Jacobsthal-Lucass sayılarıı Bet Formülü, j şekldedr. Jacobsthal sayıları le Jacobsthal-Lucas sayıları arasıdak bağıtılarda bazıları j J J, j J, J şekldedr [3]. 9

22 Fboacc, Lucas, Pell, Pell-Lucas, modfed Pell, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas dzler lk termlerde bazıları aşağıdak tabloda verlmştr. F L P Q q J j Taım..8. a, b, p, q ve W0 a, W bolmak üzere, W pw qw Şeklde taımlaa 0 oradam sayıları der. W sayı dzse oradam dzs ve bu dz elemalarıa da p q 0 karakterstk deklem kökler, p p 4q p p 4q ve olmak üzere b a b a A ve B ç oradam sayılarıı Bet formülü, W A B şekldedr [3]. 0

23 Taım..9. er poztf k reel sayısı ç Fk,0 0, Fk, olmak üzere, F kf F k, k, k, le taımlaa F k, 0 sayı dzse k-fboacc dzs ve bu dz elemalarıa da k-fboacc sayıları der. k-fboacc dzs, Fboacc dzs br geellemesdr. k tamsayısı ç farklı dzler elde edlr. Eğer Fk, kfk, Fk, reküras bağıtısıda k= ç, Fboacc dzs, k= ç Pell dzs elde edlr. k-fboacc dzse at reküras bağıtısıı karakterstk deklem olup bu deklem kökler, k k 4 k ve k k k 4 k olmak üzere k-fboacc sayılarıı Bet Formülü, F k, k k k k şekldedr. Karakterstk deklem poztf kökü ola k ya k-altı ora der. 5 k,,3 değerler ç, fadese altı ora, fadese gümüş 3 3 ora, 3 fadese se broz ora adı verlr [8]. Taım..0. er k poztf reel sayısı ç Lk,0, Lk, k olmak üzere, L kl L k, k, k, le taımlaa L k, 0 sayı dzse, k-lucas dzs ve bu dz elemalarıa da k- Lucas sayıları der. k-lucas dzs, Lucas dzs br geellemesdr. k tamsayısı ç farklı dzler elde edlr. L, kl, L,, k= alıırsa Lucas dzs, k= alıırsa Pell-Lucas dzs elde edlr. k k k k k k 4 ve k k k 4 k

24 olmak üzere k-lucas sayılarıı Bet Formülü, L k, k k şekldedr [7]. Taım... k 0, f ( k) ve g( k ) k ı skaler değerl polomları olsu. f ( k) 4 g( k) 0, k,0 a, k, b olmak üzere f ( k) g( k) k, k, k, reküras bağıtısı le taımlaa k, 0 sayı dzse geelleştrlmş k-oradam dzs ve bu dz elemalarıa da geelleştrlmş k-oradam sayıları f ( k) g( k) reküras bağıtısı,. mertebede br fark deklem der k, k, k, olup karakterstk deklem, r f ( k) r g( k) 0şekldedr. Bu deklem kökler, ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ve r ; r f k f k g k f k f k g k r r olmak üzere kökler arasıda, r r f k rr g k r r f k g k ( ), ( ), ( ) 4 ( ) bağıtıları elde edlr. Geelleştrlmş k-oradam dzs Bet formülü X b ar ve Y b ar olmak üzere, ç k, Xr Yr r r dr [9]. Geelleştrlmş k-oradam dzs reküras bağıtısıda f( k ), gk ( ), özel değerler ç lteratürde yer ala dğer sayı dzlere drger. a ve b

25 Şöyle k k, 0 dzsde; f ( k) g( k), a 0, b F Fboacc dzse, ç, 0,,,,3,... ç,,,3,4,7,... f ( k) g( k), a, b f ( k), g( k), a 0, b L 0 0 Lucas dzse, P Pell dzse, ç, 0,,,5,,... f ( k), g( k), a, b dzse, ç,,,6,4,34,... f ( k), g( k), a, b dzse, 0 Q Pell-Lucas ç,,,3,7,7,... f ( k), g( k), a 0, b 0 q Modfy-Pell ç, 0,,,3,5,... f ( k), g( k), a, b dzse, J N ç,,,5,7,7,... f ( k) k, g( k), a 0, b ç, N 0 Jacobsthal dzse, j Jacobsthal-Lucas Fk, k k k k k k k k k k k k {0,,,,, 3, 4 3, 5 6, N k k k k k k k k k k k k k 6 0 4, 7 5 0, 8 0 5,...} k-fboacc dzse, f ( k) k, g( k), a, b k ç, Lk, k k k k k k k k k k k k {,,, 3, 4, 5 5, 6 9, N k k k k k k k k k k k k k 7 4 7, 8 0 6, ,...} k-lucas dzse, f ( k) p, g( k) q ç, W 3 a b bp aq bp aqp bq bp aqp bpq aq {,,,,, N bp aqp 3bqp apq bq, bp aqp 4bqp 3 ap q bpq aq,...} oradam dzse drger. 3

26 .. Crculat Matrsler Lteratürde, k-crculat, f-crculat, g-crculat, r-crculat, α-crculat, a row skew frstmus-last rght (RFMLR) crculat, a row skew last-mus-frst left (RLMFL) crculat, skew crculat, skew left crculat, gb brçok crculat-matrs çeşd bulumaktadır. Taım... C ( c ), mertebesde br matrs olmak üzere, elemaları j j k mod bçmde taımlı matrse crculat matrs der ve 0 C crc c, c, c,..., c şeklde gösterlr. C crculat matrs açık olarak, c c c c c c c c C c c c c c c c c 3 0 bçmde yazılır. Geel alamda boyutlu br crculat matrs elemalı br vektörle temsl edleblr. Bu vektör matrs lk satırıı oluşturur. Bu matrstek her satır vektörü, br öcek satır vektörüü brer elema sağa kaydırılmasıyla oluşur (sodak elema alt satırı lk elemaı olur) [5]. Br crculat matrs esas köşege üzerdek elemaları eşttr. Esas köşegee paralel köşegelerde de ayı durum söz kousudur. Aşağıda, 33, 4 4 mertebel geel crculat matrsler verlmştr. a C b b a a b c C c a b b c a a b c d d a b c C c d a b b c d a Crculat matrsler bazı özellkler aşağıda verlmştr. ) A ve B tpde k crculat matrs ve a ve b k skaler olmak üzere aa+bb matrs de br crculat matrstr [5]. 4

27 Örek A ve B 3 5 crculat matrsler, a ve b 4 alıırsa aa bb aa bb matrs crculat matrs olduğu kolaylıkla görülür. ) Ayı mertebel k crculat matrs çarpımı da br crculat matrstr [5]. Örek A, B 3 5 crculat matrs olmak üzere, AB şeklde çarpımı da ye br crculat matrs olduğu görülür. ) Ayı mertebel k crculat matrs çarpımıı değşme özellğ vardır [5]. Örek..4. Örek de k A ve B matrsler ele alıırsa BA AB olduğu açıkça görülür. v) Br crculat matrs traspozu (devrğ) da crculat matrstr [5]. 5

28 Örek..5. a b c d d a b c A c d a b b c d a crculat matrs traspozu ola A T a d c b b a d c c b a d d c b a matrs de ye br crculat matrstr. v) tpde br A matrs crculat matrs olması ç gerek ve yeter şart, olmak üzere, A A olmasıdır [5]. Örek A olsu. 0 0 olmak üzere, A 3 3 A 3 3 eştlğ sağlamadığıda A matrs crculat matrs değldr. Örek A olsu olmak üzere, 6

29 3 A 3 A 3 olduğuda A matrs crculat matrstr. Taım..8. İlk satırı a, a, a3,..., a ola skew crculat matrs a a a3 a a a a a A a a a a a a a a 3 4 x Crc a, a, a3,..., a bçmde bçmde taımlaa br kare matrstr ve bu matrs gösterlr. Taım..9. İlk satırı a, a, a3,..., a ola skew left crculat matrs a a a a a a a a a a a a a a a a x LCrc a, a, a3,..., a le gösterlr. şeklde taımlaa br kare matrstr ve Taım..0. ve olmak üzere w deklem k w e, k 0,,,, köklere brm. mertebede kökler der. Eğer k le k aralarıda asal se w k köküe brm prmtf kökü der. Bu çalışmada k durumu Teorem... A Crc a a a a 3 w w e prmtf kökü ele alıacaktır.,,,..., br skew crculat matrs olsu. Bu durumda; 7

30 ) A matrs tersleeblr olması ç gerek ve yeter şart k 0 k 0,,,, f w olmasıdır. Burada ) Eğer A matrs tersleeblr br matrs se o zama Teorem... Aşağıdak fadeler doğrudur. f x j a jx w j, e ve e. A skew crculat matrstr [7]. ) : ortogoal matrs se LCrc a a Crc a, a,,a,,,a. ) Crc a, a,..., a Crc b, b,..., b se,,,...,,,..., LCrc a a a LCrc b b b [7]. 8

31 3. BÖLÜM KEW CIRCULANT VE KEW LEFT CIRCULANT MATRİLER Bu bölümde, elemaları geelleştrlmş k-oradam sayıları ola skew ve skew left crculat matrsler taımlaarak bu matrsler tersleeblr olduğu gösterlp, determatları ve tersler geelleştrlmş k-oradam sayıları le karakterze edlmştr. Taım 3.. Elemaları geelleştrlmş k-oradam sayılarıda oluşa x br skew crculat matrs k, k, k,3 k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k,3 k,4 k, mertebede (3) şeklde taımlaır ve Crc(,,,,...,, ) şeklde gösterlr. k k k Aşağıdak teoremde, elemaları geelleştrlmş k-oradam sayıları ola skew crculat matrsler determatı, geelleştrlmş k-oradam sayıları le karakterze edlmştr. Teorem 3.. Crc(,,,,...,, ) skew crculat matrs olsu. olmak k k k üzere matrs determatı, det k, k, k, k, k, k, dır. Burada g k k, k,0, k, k, ve k,,. geelleştrlmş k-oradam sayısıdır. İspat. g k, olsu. Teorem spatlamak ç k, k,0 k, k, tpdek ve matrsler 9

32 k, k, g( k) 0 0 f ( k) f( k) 0 0 f ( k) g( k) , f ( k) g( k) şeklde taımlayalım. Burada g k, dr. k, k,0 k, k, s, ve matrsler taımlarıda ve matrsler çarpımıda ' k, h k, k, k,3 k, 0 h h3 h4 h( ) h 0 0 s elde edlr. Burada k, k, k, k, h k, k,, k, k, h ' j k, j j,, ( 3,4,..., ), k, k, j h j k, 3j j k, g k, dr. Öte yada k, k,0 k, k, determatı det det ve matrsler olduğu göz öüe alıırsa 0

33 s s det det det det k, h k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, elde edlr. o eştlkte gerekl düzelemeler yapılırsa det k, k, k, k, k, k, k, k, s elde edlr. Böylece spat tamamlaır. Teorem 3..' de faydalaılarak bazı özel durumlar aşağıda verlmştr: f ( k) g( k) b ve a 0 ç, F. Fboacc sayısı olmak üzere elemaları Fboacc sayıları ola skew crculat matrs determatı F ( det( F ) ( F ) ( F ) F F şekldedr. f ( k) g( k), a ve b ç, L. Lucas sayısı olmak üzere elemaları Lucas sayıları ola skew crculat matrs determatı L det L L L L 3L L şekldedr. f ( k), g( k), a 0 ve b ç, P. Pell sayısı olmak üzere elemaları Pell sayıları ola skew crculat matrs determatı P det( P ) ( P ) ( P ) P P elde edlr.

34 f ( k), g( k), a b ç, Q. Pell-Lucas sayısı olmak üzere elemaları Pell-Lucas sayıları ola skew crculat matrs determatı det( Q ) ( Q ) ( Q ) [ Q 3 Q ] Q İ Q şekldedr. f ( k), g( k), a b ç q. Modfed-Pell sayısı olmak üzere elemaları Modfed Pell sayıları ola skew crculat matrs determatı det( q ) ( q ) ( q ) [ q 3 q ] q İ q şekldedr. f ( k), g( k), a 0 ve b ç, J. Jacobsthal sayısı olmak üzere elemaları Jacobsthal sayıları ola skew crculat matrs determatı J İ J det( J ) ( J ) ( J ) J şekldedr. f ( k), g( k), a ve b ç, j. Jacobsthal-Lucas sayısı olmak üzere elemaları Jacobsthal-Lucas sayıları ola skew crculat matrs determatı det( j ) ( j ) ( 4 j ) [ J 5 j ] j İ 4 j şekldedr. Teorem 3.3 ( Crc( k,, k,,..., k, ) skew crculat matrs olsu. O zama ç matrs tersr br matrstr. m İspat. Teorem... ' de verle f( w ) 0 olduğuu göstermek teorem spatlamak ç yeterl olacaktır. Geelleştrlmş k-oradam sayılarıa at Bet formülüde

35 m m f ( w ) w j k, j j j m j j m j Xr w Yr w r r j j r r r r X Y m m r r r w r w m m elde edlr. Burada rw 0 ve rw 0 olacağı açıktır. Öte yada yukarıda k so eştlk düzelerse, m,,..., ç, m f( w ) g( k) w ( ) m k, k, k,0 k, m m ( r r ) w r r w g( k) w ( ) m k, k, k,0 k, m m f ( k) w g( k) w m buluur. Varsayalım k m,,..., ç, f( w ) 0 olsu. m olduğuda,, g( k) w (,0, ) 0 ( ) m m f k w g( k) w 0 olacaktır. Burada, m w k k k k k, k, fades br gerçel sayıdır. Dğer tarafta, g( k)( ) m m w exp m m cos s, k,0 k, m olduğu göz öüe alıırsa s 0 olacağı açıktır. Dğer tarafta m m 0 ç w elde edlr. Fakat x, m k, k, k,0 k, g( k) w ( ) 0 eştlğ br kökü değldr. Bu se m kabulümüz le çelşeceğde m,,..., ç f( w ) 0 elde edlr. Teorem... ' de spat tamamlaır. Aşağıda elemaları geelleştrlmş k-oradam sayıları ola skew crculat matrs ters vere teorem spatlamak ç htyaç duyula ye br matrs verlecektr. boyutlu j, j alt üçge matrs elemaları 3

36 k, k,, j j g( k) k,0 k,, j. 0, dğer durumlarda şeklde taımlası. O halde j, j alt üçge matrs ters ' j,, j g( k) 0, k, k,0 ' j j k, k, j, j, j (4) şekldedr. Teorem 3.4. olsu. O zama Crc(,,,,...,, ) matrs ters k k k Crc m, m,..., m dr. Burada, k, k, k, g( k) k, k,0 k, m, h k, k, m m g( k), ve k, k,0 k, k, k, k, k, k, k,0 k, k, g k h k, k, k, j g( k) ( ), k, g( k) k, j h k, k, k,3 k, k,0 j3 j 3,4,...,, k, k, k, k, h k, k, k, k, dır. 4

37 İspat. Teorem spatlamak ç öcelkle matrs ' h h h h h h h 0 h h h k, k, k, k, 3 4 şeklde taımlayalım. Burada g( k)( k, k,0 ), k, k,, j ' k, k, k, k, k, j, k, ( k, ) j k, k, h h ' h k, k, j k, k, j h j k, 3 j k, j, h, j k, 3 j ' dr. verle h k, k, k matrs drekt toplamı ve taımlarıda k, 0 olmak üzere,, ve matrsler 0 h (5) elde edlr. Öte yada olsu. (5)' te verle matrs ters (6) şeklde olacaktır. Teorem.3...'de crculat matrs olacağıda skew crculat matrs ters de skew Crc( m, m,..., m ) şeklde yazılır. Ayrıca h3 h4 h matrs so satırıı elemaları sırasıyla 0,,,,..., h h h şekldedr. Dahası j, j matrs ve Teorem.3.. göz öüe alıırsa, matrs so satırıı elemaları aşağıdak gb olacaktır. 5

38 k, m h k, h m 3 k,3 h gk ( ) k, k,, k, k, k, k, k,4 k,5 f( k) k, k, 4 k,3 h k, h m k, k, k, k,4 k, k,5 k,3 k,5 k,6 3 g( k) k, f ( k) k, k, m5 h h h,,, h k, k, k, k, k, k, 4 3 g( k) k, f ( k) k, h h k, m h h m g k k, k, k,, k, k, k, k, k, k, 3 k, f k k, h k, k, j k, j 3 Şmd j,,..., ç j j k, şeklde taımlası. O zama, k, k, k,4 k,3 k,5 k, k, f ( k) f ( k) elde edlr. k, k,3 g( k)( k, k,0) k, k, k,. 6

39 Bezer şeklde, k, k, k, k, k, k, 3 3 k, k, g( k) f ( k) g( k) f ( k) buluur. Ayrıca g( k) g( k) f( k) k, k, 3 k, k, k, k, 3 k, k, k, k, k, k, ( g( k)( )) k, k, k, k,0 k, k, k, k, k, k, j k, k, j3 j k, j3 j k, j 4 j j j k, k, g( k) f ( k) g( k) f ( k) olup, burada j k, j5 k, k, j4 k, k, k k k, j k,3 k,4 k,3 k, f( k) k, k, j j j k, j k,3 ( g( k)( k, k,0 )) k,,( j,,..., 4) j ( ) k, k, ( g( k)( )) k, k, k, k, k,0 k, m, h k, k, m,,3 ( g( k)( )), k, k, k, k, k,0 k, k, g( k) h k, k, k, 7

40 k, j3,3 ( ( )(,,0)) k g k k k k, m j, ( j 3,4,..., ), j h k, k, buluur k spat tamamlaır. Teorem 3.4. de faydalaılarak bazı özel durumlar aşağıda verlmştr. f ( k) g( k) b ve a 0 ç, Fboacc sayıları ola skew crculat matrs ters, F Crc( x, x,..., x)' dr. Burada f F ( F ) F ( F ),, x F F F F x F. Fboacc sayısı olmak üzere elemaları j3 j j F F ( F ) F x,( j 3,4,..., ) ve f F F F []. F F f ( k) g( k), a ve b ç, L. Lucas sayısı olmak üzere elemaları Lucas sayıları ola skew crculat matrs ters, L Crc( x, x,..., x)' dr. Burada, l x L L 3 L ( L ), L L j x L 3 L ( L ) 3, L L 3 5 L L j L L L x,( j 3,4,..., ) ve l L 3L L 3 L. f ( k), g( k), a 0 ve b ç, P. Pell sayısı olmak üzere elemaları Pell sayıları ola skew crculat matrs ters, P Crc( x, x,..., x)' dr. Burada, p P ( P ) P ( P ),, x P P P P x ( P) P x j p P P P P P j3 j,( 3,4,..., ) ve j P P 8

41 f ( k), g( k), a 0 ve b ç, J. sayısı olmak üzere elemaları Jacobsthhal sayıları ola skew crculat matrs ters, J Crc( x, x,..., x), j J ( J ) J ( J ), 4, x J J J J x dr. x j j J J J j3 ( J) J j,( 3,4,..., ) ve j J J J J Taım 3.5. Elemaları geelleştrlmş k-oradam sayılarıda oluşa skew left crculat matrs L k, k, k, k, k, k,3 k, k, k,3 k,4 k, k, k, k, k, k, L şeklde taımlaır ve LCrc k,, k,,, k, şeklde gösterlr. x tpde br Teorem..' de : x ortogoal matrs olmak üzere, elemaları geelleştrlmş k-oradam sayıları ola skew crculat matrs le skew-left crculat matrs arasıda k,, k,,, k, k,, k,,,k, Crc LCrc bağıtısı vardır. Ayrıca ye ayı teoremde,,...,,,..., Crc a a a Crc b b b se, (7) 9

42 ,,...,,,..., LCrc a a a LCrc b b b bağıtıları geçerldr. Dolayısıyla bu bölümde verle teoremler, II. Bölümde verle teoremler ve Teorem... dkkate alıarak spatsız şeklde suulacaktır. L Teorem 3.6. LCrc(,,,,...,, ) skew left crculat matrs olsu. O k k k zama L matrs determatı ( ) L k, k, det ( ) k, k, k, k, şekldedr. Burada g( k)( k, k,0 ), k, k, ve k,. geelleştrlmş k-oradam sayısıdır. L Teorem 3.7. LCrc(,,,,...,, ) skew left crculat matrs olsu. k k k ç L tersr br matrstr. L Teorem 3.8. LCrc(,,,,...,, ) skew left crculat matrs olsu. k k k LCrc(,,..., ) L matrs ters ' ' ' L ç k, k, k, Burada, m ' ' ( g( k)( )) k, k, k, k,0 k,, h k, k, k, j k,3 ( g( k)( k, k,0)) ' k, m j,( j,3,..., ), j h,, k k m k, k, k, ( g( k)( k, k,0)) k, k, gk ( ), h k, k, k, 30 L( m, m,..., m ) dr. k, k, k, k, g( k)( k, k,0), k, k,, h k, k, k, k,.

43 4. BÖLÜM UYGULAMALAR Bu bölümde, III. bölümde verle teoremlerle lgl ümerk örekler verlmştr. Örek 4.. Elemaları Fboacc sayılarıda oluşa 4x4 mertebede skew crculat matrs determatıı hesaplayarak bu matrs ters buluuz matrs determatı F det( F ) ( F ) ( F ) F F ters se, F Crc( x, x,..., x), f F f F F F F F f x F ( F ) F F x x f

44 x x F ( F ) F F ( 3) 3 x f j3 ( F ) x j,( j 3,4,..., ) j F F x ( ) x3 f x x4 f F Crc,,, olarak buluur. Şmd ayı matrs determatıı ve ters br de maple programı le bulalım. > wth(lalg); > O:=matrx(4,4,[,,,3,-3,,,,-,-3,,,-,-,-3,]); 3 3 O: 3 3 >det(o); 3

45 53 >verse(o); Örek 4.. Elemaları Lucas sayılarıda oluşa 4x4 mertebede skew crculat matrs determatıı hesaplayarak bu matrs ters buluuz matrs determatı L det L L L L 3L L ters se, L Crc( x, x,..., x), l 3 3 L L l L L L L l 4 L

46 x L 3 L ( L ) L L x x l x x 4 3 L 3 L ( L ) L L x l L j 3 5 L x j,( j 3,4,..., ) L x x3 l x x3 l L Crc,,, olarak buluur. Şmd de bu matrs determatıı ve ters maple programı le bulumuş, ekra görütüsüü verelm. > wth(lalg); > O:=matrx(4,4,[,3,4,7,-7,,3,4,-4,-7,,3,-3,-4,-7,]); 34

47 O: >det(o); 3033 >verse(o); Örek 4.3. Elemaları Pell sayılarıda oluşa 4x4 mertebede skew crculat matrs determatıı hesaplayarak bu matrs ters buluuz. 5 5 matrs determatı 5 5 P det( P ) ( P ) ( P ) P P ters se, P Crc( x, x,..., x), p

48 P p P P P P P p x P ( P) P P x x p x x 4 P ( P) P P x p j3 ( P ) x j,( j 3,4,..., ) j P P x x3 p x x4 p P Crc,,,

49 olarak buluur. Şmd de bu matrs determatıı ve ters maple programı le bulumuş, ekra görütüsüü verelm. > wth(lalg); > O3:=matrx(4,4,[,,5,,-,,,5,-5,-,,,-,-5,-,]); 5 5 O3: 5 5 >det(o3); 3076 >verse(o3); Teorem.3.. de yararlaarak Örek 4.3. de verle skew crculat matrste aşağıdak skew left cculat matrs elde edlr = burada skew left crculat matrs determatıı L det( P ) det( P ) 3076 = LCrc (,,5,) 37

50 olduğu görülür. Ye Teorem.3.. de skew left crculat matrs ters de aşağıdak gb olduğu kolayca görülür = Crc(,,5,) Crc,,, LCrc(,,5,) LCrc,,, Örek 4.4. Elemaları Jacobsthal sayılarıda oluşa 4x4 mertebede skew crculat matrs determatıı hesaplayarak bu matrs ters buluuz matrs determatı, J İ J det( J ) ( J ) ( J ) J =904 buluur. Ters se, 38

51 J Crc( x, x,..., x), j J j J J J J J j x J J ( J ) J x x j x x 4 4 J J ( J ) J x j j3 ( J) x j,( j 3,4,..., ) j J J x x3 j x x4 j

52 J Crc,,, olarak buluur. Şmd de bu matrs determatıı ve ters maple programı le bulumuş, ekra görütüsüü verelm. > wth(lalg); > O4:=matrx(4,4,[,,5,,-,,,5,-5,-,,,-,-5,-,]); O4: >det(o4); 904 >verse(o4); Teorem.. de yararlaarak Örek 4.4. te verle skew crculat matrste aşağıdak skew left cculat matrs elde edlr = = LCrc (,,3,5)

53 burada skew left crculat matrs determatıı L det( J ) det( J ) 904 olduğu görülür. Ye Teorem.3.. de skew left crculat matrs ters aşağıdak gb olduğu kolayca görülür Crc(,,3,5) Crc,,, LCrc(,,3,5) LCrc,,,

54 5.BÖLÜM TARTIŞMA VE ONUÇLAR Bu çalışmada elemaları geelleştrlmş k-oradam sayıları ola skew ve skew left crculat matrsler taımlaarak bu matrsler determatları, tersleeblr oldukları ve tersler geelleştrlmş k-oradam sayıları le karakterze edlmştr. o bölümde elde edle teoremlerle lgl ümerk örekler verlmştr. Çalışmaı çerğde de görülmektedr k, elde edle verler lteratürde yer ala. mertebede özel sayı dzler geellemelerdr. Elemaları geelleştrlmş k-oradam sayılarıda seçle skew ve skew left crculat matrsler ormları da celeeblr.. 4

55 KAYNAKLAR. Akdez, F., Doğada, aatta, Mmarde Altı Ora ve Fboacc ayıları, Nobel Ktabev, IV, Akara, Bahs, M. ad olak,., O the orms of r-crculat matrces wth the hyper- Fboacc ad Lucas umbers, Joural of Mathematcal Iequaltes 8(4), , Bertacc, D. ad Ng, M. K., kew crculat precodtoers for systems of LMF-based, Numercal aalyss ad Its Applcatos, 93-0, Daher, A., Baghous, E.. ad Burel, G., Fast algorthm for optmal desg of block dgtal flters based o crculat matrces, IEEE gal Processg Letters, vol. 5, , Davs, P.J., Crculat Matrces, Joh Wley ad os, New York, Dulap, R. A., The Golde Rato ad Fboacc Numbers, Bekr AKTAŞ, Tübtak Popüler Blm Ktapları,, Akara, Falco,., O the k-lucas umbers, Iteratoal Joural of Cotemporary Mathematcal ceces 6(), , Falco,., Plaza A., O the Fboacc k-umbers, Chaos, oltos ad Fractals 3, 65-64, Fu, D. Q., Jag, Z. L., Cu, Y. F. ad Jhag,. T., A ew fastalgorthm for optmal desg of block dgtal flters by skew-cyclc covoluto, IET gal Processg, p. 6, Fuyog, L., The verse of crculat matrx, Appled Mathematcs ad Computato, 7, , 0.. Gao, Y., Jag, Z., ve Gog, Y. "O the determats ad verses of skew crculat ad skew left crculat matrces wth fboacc ad Lucas umbers" WEA Trasactos o Mathematcs 4(), 47-48, 03.. Gullver, T. A. ad arada, M. New obary self-dual codes, IEEE Trasactos o Iformato Theory, vol. 54, o., 45 47, oradam, A.F., Basc propertes of a certa geeralzed sequece of umbers, The Fboacc Quarterly, 3, 6-76,

56 4. uag, X., Ye, G. ad Wog, K.-W. Chaotc mage ecrypto algorthm based o crculat operato,abstract ad Appled Aalyss, vol. 03, Artcle ID , 8 pages, İpek, A., O the speckral orms of crculat matrces wth classcal Fbaocc ad Lucas umbers etres, Appled Mathematcs ad Computatos, 7, 60-60, Jag, X. ad og, K. Exact Determats of ome pecal Crculat Matrces Ivolvg Four Kds of Famous Numbers, Abstract ad Appled Aalyss, Volume Artcle ID 73680,, Jg. Y. ad Jafarkha,. Dstrbuted dfferetal space-tme codg for wreless relay etworks, IEEE Trasactos o Commucatos, vol. 56, o. 7, 09 00, Jag, Z., Gog, Y. ad Gao, Y. Crculat Type Matrces wth the um ad Product of Fboacc ad Lucas Numbers, Abstract ad Appled Aalyss, Volume Artcle ID 3755,, Karer,., cheıd, J. ad Ueberhuber, C.W. pectral decomposto of real crculat matrces, Lear Algebra Appl., 367, 30-3, Kocer, E.G., Crculat, egacyclc ad semcrculat matrces wth the modfed Pell, Jacobsthal ad Jacobsthal-Lucas umbers, acettepe Joural of Mathematcs ad tatstcs 36(), 30-3, Koshy T., Fboacc ad Lucas Numbers wth Applcatos, Joh Wley & os, New York, 00.. Ld, D.A., A Fbaocc crculat, The Fboacc Quarterly 8(5), , Lu, C. ad Gu, C. The computato of the square roots of crculat matrces, Appled Mathematcs ad Computato, 7, , Narasmha, M. J. Lear covoluto usg skew-cyclc covolutos, IEEE gal Processg Letters, vol. 4, o. 3, 73 76, he,., O the bouds fort he orms of r-crculat matrces wth the Fbaocc ad Lucas umbers, Appled Mathematcs ad Computatos, 6, ,

57 6. he,., Ce, J., O the speckral orms of r-crculat matrces wth the k- Fbaocc ad k-lucas umbers, İteratoal Joural of Cotemporary Mathematcal ceses, 5(), , he,., Ce, J., ao, Y., O the determats ad verses of crculat matrces wth Fbaocc ad k-lucas umbers, Appled Mathematcs ad Computatos, 7, , olak,., O the Norms of Crculat Matrces wth the Fbaocc ad Lucas umbers, Appled Mathematcs ad Comptatos 60, 5-3, Yazlk, Y., Taskara, N., A ot o geeralzed k-oradam sequece, Computers ad Mathematcs wth Applcatos, 63, 36-4, Yazlk, Y. ad Taskara, N. O the orms of a r-crculat matrx wth the geeralzed k-oradam umbers, Joural of Iequaltes ad applcatos, , Yazlk, Y., Taskara, N., pectral orm, egevalues ad determat of crculat matrx volvg geeralzed k-oradam umbers, Ars Combatora, 04, 505-5, Vajda., Fboacc ad Lucas ad The Golde ecto, Ells orwood Lmted, Chchester, Eglad, Wttsack,.-J., Wohlschläger, A. M., Rtzl, E. K. et al., CT-perfuso magg of the huma bra: advaced decovoluto aalyss usg crculat sgular value decomposto, Computerzed Medcal Imagg ad Graphcs, vol. 3, o., pp ,

58 ÖZGEÇMİŞ Fath GÖK, 974 yılıda Kırşehr de doğdu. İlk ve orta öğrem Kırşehr de tamamladı. 99 yılıda grdğ Atatürk Üverstes Fe Edebyat Fakültes Matematk Bölümü de 995 yılıda mezu oldu. 995 yılıda akkar, Yüksekova, 5 Mayıs İlköğretm Okulua sııf öğretme olarak ataıp br yıl sora asıl braşıa geçş yaptı yılları arası askerlk hzmet tamamladı yıllarıda Kayser, arıoğla, Palas İlköğretm Okulu, yıllarıda Kayser, Zya Gökalp İlköğretm Okulu, yıllarıda Kayser Fevz Çakmak Lses, yıllarıda uud Arabsta, Ryad Uluslararası Türk Okulu da çalıştı. 0 yılıda tbare Kayser, Talas Aadolu Lses de çalışmaktadır. 03 yılıda Nevşehr Üverstes Fe Blmler Esttüsü Matematk Aablm Dalıda Yüksek Lsas eğtme başladı. Evl ve k çocuk babasıdır. Tel : e-posta: gokyusufoglu@hotmal.com 46

59 47