Mekanik Titreşimler Ders Notları

Transkript

1 MAK MEKANİK TİTREŞİMER DERS NOTARI Dooçç..Drr.. Zeeii KIIRA

2 Meai Titreşiler Ders Notları MAK MEKANİK TİTREŞİMER Titreşi iaiği bir alt olu olup terarlaa hareetler ile ilgileir. Bu ers içeriğie eai yapılar ile ilgili titreşi probleleri ele alıala birlite titreşi iletişii teelie buluataır. (Kula zarı ve ilişili eaiza işite işleii gerçeleştire aacı ile titreşir, il ve ses telleri ouşa içi titreşir). Müzial estrüaları birçoğua, özellile telli estrüalara, titreşi isteile bir olayır. Diğer tarafta titreşi birço eai siste içi isteeye, bazı urulara a yııcı bir uruur. Öreği uça gövesiei titreşiler yorulaya ee olur ve souç olara hasara yol açar. Depre ayalı titreşiler bialara çatlalara ve hasarlara sebep olabilir. Gülü hayatta titreşi sıça arşılaşıla bir etiir ve geellile titreşi seviyelerii azaltılası teel ilgi alaıır. Titreşi, cisileri sabit bir referas esee veya oial bir pozisyoa (ege ouu) göre terarlaa hareeti olara ifae eilir. Titreşi her yere evcut ola ve üheisli tasarılarıı yapısıı etileye bir olguur. Titreşi arateristileri üheisli tasarıları içi belirleyici fatör olabilir. Titreşi baze zararlı olabilir ve açıılalıır, baze e oluça yararlıır ve isteilir. Her ii urua a titreşii asıl aaliz eileceği, ölçüleceği ve otrol eileceği üheisli içi öeli bir bilgiir. Titreşi teorisi cisileri ve ilgili uvvetleri salıılı (oscillatory) hareetleri ile ilgileir. Şeil e görüle salıılı hareet Haroi Hareet olara alaırılır ve aşağıai forül ile ifae eilir. Şeil. Basit haroi hareet. (t) X cost Buraa X hareeti geliği, hareeti freası ve t zaaır. Şeil e periyoi (perioic) hareet, Şeil e periyoi olaya (operioic) veya geçici (trasiet) hareet, Şeil e ise gelişigüzel veya uzu zaalı periyoi olaya hareet eğrileri görületeir. Kayalar: Theory of Vibratios-W.T.Thoso, Eleets of Vibratio Aalysis-. Meirovitch, Vibratios of Cotiuous Systes- S. Rao, Fuaetals of Mechaical Vibratios-S.G. Kelly, Vibratio Probles i Egieeri-W.Weaver, S.P. Tiosheo, D.H. Youg, Egieerig Vibratios-D.J. Ia, Müheisli Sistelerii Moelleesi ve Diaiği-Yücel Erca /5

3 Meai Titreşiler Ders Notları Şeil. Periyoi hareet. Şeil. Geçici (trasiet) hareet. Şeil. Gelişigüzel (rao) veya uzu zaalı periyoi hareet. Titreşi olayı potasiyel eerjii ieti eerjiye, ieti eerjii ise potasiyel eerjiye öüşüüü içereteir. Bu eele titreşi yapa sisteler potasiyele eerji ve ieti eerji epolaya elealara sahip olalıır. Potasiyel eerji epolaya elealar yay veya elasti elaalar, ieti eerji epolaya elealar ise ütle veya atalet elealarıır. Elasti elealar potasiyel eerji epolar ve bu eerjiyi atalet eleaıa /5

4 Meai Titreşiler Ders Notları ieti eerji olara geri verir. Şeil 5 e bir ütle yay sisteii ege ouu etrafıai hareeti görületeir. Şeil 5a a yay ile zeie bağlaış ütle ege ouua görületeir. Kütle verile il yer eğiştire ile ouua getiriliştir. ouua yayı e uzaış hale oluğu ve olayısı ile yaya epolaa potasiyel eerjii e yüse üzeye oluğu, bu oua ütle sıfır hıza sahip oluğu içi ise ieti eerjii sıfır oluğu bilieteir. Kütle ouua serbest bıraılığıa ütlesi ouua oğru arta bir hızla hareet eer. Kütle ouua geliğie yay uzaaış boyua ulaşır ve epolaığı potasiyel eerjiyi taae ütlesie atarıştır. Bu oua eerjii oruuu presibie göre ütlei ieti eerjisi olayısı ile hızı e büyü eğerie ulaşır. E p : Potasiyel Eerji E Kieti Eerji E p, E E p (i) E (a) E p (a) E (i) Ea Eerji E p E E p (a) E (i) E Kou Şeil 5. Yay-ütle sisteii hareeti. Yuarıa verile yay-ütle sisteiei eerji eğişii Şeil 6 a gösterile basit saraç ile bezerir. F y F O l g E p (a) E (i) θ lsiθ g Şeil 6. Basit saraç. /5

5 Meai Titreşiler Ders Notları Titreşi yapa sistelere uygulaa başlagıç zorlaası ütleye uygulaa başlagıç eplasaı ve/veya hızı şelie olabilir. Bu başlagıç girisi sistee potasiyel ve/veya ieti eerji azaırılasıa ee olur. Bu başlagıç girisi sistei serbest titreşi olara alaırıla salıılı bir hareete sürüler. Serbest titreşi aıa potasiyel ve ieti eerji arasıa bir eğişi söz ousuur. Eğer siste oservatif/oruulu (coservative) ise sistei potasiyel ve ieti eerjisii toplaı sabittir ve zaaa göre eğişii sıfırır. Bu urua siste teori olara sosuza e titreşir. Pratite ise titreşi yapa sistelere söü veya sistei çevreleye ortaa ayalaa sürtüe (öreği hava ireci) evcuttur ve bu etiler hareet sırasıa sistei eerjisii aybetesie sebep olur. Söü etisi sistei topla eerjisii süreli olara azalasıa ve sıfırlaasıa (hareeti solaığı ota) sebep olur. Eğer sistee saece il hareet şartları ile (yer eğiştire/hız) giri sağlaış ise ortaya çıa salıılı hareet soua solaacatır. Bu şeilei başlagıç girilerie geçici zorlaa (trasiet ecitatio) ve souç olara ortaya çıa hareete ise geçici hareet (trasiet otio) aı verilir. Eğer siste belirli bir gelitei cevapta tutula isteiyor ise süreli bir ış aya ile uyarılalıır. Diai ve alt alaı ola titreşi ousua çalışa ve bu alaa öeli atılar sağlaya bili isaları Tablo e veriliştir. Tablo. Süreli sisteleri titreşii ousua atı yapa başlıca bili isaları. /5

6 Meai Titreşiler Ders Notları Tablo. (Devaı) SERBESTİK DERECESİ Bir sistei serbestli erecesi, sistee ait her parçaı herhagi bir t aıai oularıı taılayabile içi gereli ola iiu bağısız ooriat sayısıır. Şeil 5 ei yay ütle sisteiei ütlei ouu saece ooriatı ile ifae eilebilir, 5/5

7 Meai Titreşiler Ders Notları olayısı ile yay ütle sistei te serbestli ereceliir. Şeil 6 a verile basit saraçı hareeti e θ ooriatı ile ifae eilebilir. Buula birlite saraç hareeti ve y ooriatları ile e taılaabilir. Faat ve y ooriatları arasıa y l bağıtısı a varır. Bu ele bir ısıtlaaır ve ve y birbirie bağısız eğilir. Dolayısı ile basit saraç sistei te serbestli ereceliir. Şeil 7 e ço serbestli ereceli sistelere öreler veriliştir. Şeil 7. Ço serbestli ereceli siste öreleri. 6/5

8 Meai Titreşiler Ders Notları Ço serbestli ereceli bir siste yay ve söüleyiciler ile ayrılış otasal ütlelere oluşa bir siste olara üşüülebilir. Bu urua siste paraetreleri ayrı ve solu sayıaır. Bu tip sisteler topalaış paraetreli (lupe-paraeter), ayrı (iscrete) veya solu boyutlu (fiite-iesioal) sisteler olara alaırılır (Şeil 7). Diğer tarafta, süreli sistelere ütle, elastili (fleibility) ve söü siste üzerie ağılış uruaır. Titreşi sırasıa sosuz sayıai otasal ütleler birbirlerie göre farlı hareetler yapabilir. Bu tip sistelere ağıtılıış (istribute), süreli (cotiuous) veya sosuz boyutlu (ifiite-iesioal) sisteler aı verilir. Süreli sisteler içi teel bir öre Şeil 8 ve gösterile aastre (catilever) iriştir. Kiriş sosuz sayıa aesel ütleye sahiptir ve buu soucu olara iriş hareetii (çöesii) ifae eebile içi sosuz sayıa ooriata ihtiyaç varır. Bu sosuz sayıai ooriat irişi elasti çöe eğrisii oluşturur. Birço eai ve yapısal siste süreli eseli ve ütle ağılııa sahiptir ve sosuz serbestli erecesie sahiptir. Şeil 8. Aastre iriş (süreli siste). TİTREŞİMİN SINIFANDIRIMASI Titreşi probleleri aşağıai şeile sııflaırılabilir.. Söüsüz ve söülü titreşiler: Eğer sistee sürtüe veya bezeri ireçler sebebi ile eerji aybı ve söüüe sebep olaca bir eti yo ise titreşi problei söüsüz (uape) olara alaırılır. Eğer sistee söü evcut ise siste söülü (ape) olara alaırılır. Titreşi problelerii icelere söü ihal eilere çözü basitleştirilebilir, faat söü etileri özellile rezoas uruu içi oluça öeliir.. Serbest ve zorlaış titreşiler: Eğer siste il şartlar eticesie titreşiyor ise (t> içi sistee eti ee ış zorlaa yo) siste titreşilerie serbest titreşi aı verilir. Eğer siste ış zorlaa etisi ile titreşiyor ise oluşa titreşilere zorlaış titreşi aı verilir. 7/5

9 Meai Titreşiler Ders Notları. ieer ve lieer olaya (oliear) titreşiler: Eğer titreşi yapa sistei tü bileşeleri oğrusal (lieer) avraışa sahip ise oluşa titreşilere lieer titreşi aı verilir. Eğer siste elealarıa herhagi biri oğrusal olaya avraışa sahip ise oluşa titreşilere lieer olaya (oliear) titreşi aı verilir. Bu tip sisteleri hareetii ifae ee iferasiyel eleler lieer olaya foraır. Birço titreşi sistei, büyü titreşi gelileri içi lieer olaya avraışa sahiptir. TİTREŞİM ANAİZİ Bir titreşi sistei cevabı zorlaalara (ecitatios) ve siste paraetrelerie (ütle, iregeli ve söü) bağlı ola iai bir sisteir. Zorlaa ve cevap zaaa bağlıır. Titreşi aalizi belirtile bir ış zorlaaya bağlı olara siste cevabıı belirleesiir. Bu aaliz ateati oellee, hareet elelerii oluşturulası (erivatio of the goverig equatios of otio), hareet elelerii çözüü ve siste cevabıı yorulaası aşaalarıı içerir. Mateatisel oelleei aacı hareet elelerii oluştura aacı ile sistee ait tü öeli arateristi özellileri suatır. Mateati oel, siste özellilerie göre lieer veya lieer olaya biçie olabilir. Eğer sistee ait ateati oel lieer ise süperpozisyo presibi uygulaabilir. ieer sistelere f (t) ve f (t) şeliei bağısız girilere verile cevap sırasıyla (t) ve (t) ise, f(t)f (t)f (t) şeliei bir giriye arşılı siste cevabı (t) (t) (t) ir. Mateati oel oluşturuluta sora, iai presipleri hareet eleii oluştura aacı ile ullaılır. Bu aaçla, tü ış zorlaaları, reasiyo uvvetlerii ve atalet uvvetlerii içerece şeile ütlelere ait Serbest Cisi Diyagraları oluşturulur. D Alebert presibi, Newto u. yasası, agrage veya Hailto presibi gibi yöteler hareet elelerii oluştura aacı ile ullaılır. Siste cevabıı aaliti (close-for) veya üeri olara ele ete aacı ile hareet eleleri eğişi yöteler ullaılara çözülür ve souç olara sistee ait yer eğiştire (isplaceet), hız (velocity) veya ive (acceleratio) cevapları ele eilir. MATEMATİK MODE OUŞTURMA Titreşi yapa sisteleri aalizi içi il olara siste yapısıı yeterli erecee ifae eece içerite bir ateati oel oluşturulur. Oluşturula oel sistei teel titreşi hareetlerii yeterli yalaşılıla ifae eilece itelite basitleştireler içerebilir. Mateati oel oluşturulur ie titreşi sisteie bulua eleaları lieer veya lieer olaya özellileri belirtilir. Şeil 9 a bazı sisteleri ve bulara ait ateati oeller veriliştir. 8/5

10 Meai Titreşiler Ders Notları E, I, l, Şeil 9. Bazı sisteler ve ilgili ateati oelleri. 9/5

11 Meai Titreşiler Ders Notları TİTREŞİM SİSTEMERİNİN TEME EEMANARI Titreşi yapa sistelere potasiyel ve ieti eerji epolaya elealar ile söülü sistelere eerji söüüü sağlaya elealar evcuttur. Bu elealara ait eleler aşağıa veriliştir. a) Elasti Elealar (Yaylar): Yaylar titreşi sisteleriei ütleleri birbirie bağlaya ve ütleleri bağıl hareetlerii sağlaya elealarır. Yaylar lieer ve olieer arateristiğe sahip olabilirler. ieer arateristiğe sahip yaylar Hooe yasasıa uygu avraırlar ve yaya oluşa elasti uvvet yayai şeil eğişii ile oratılıır. Faat titreşi gelilerii yüse oluğu zaa ve/veya etal olaya alzeeler ullaılığıa yaylar lieer avraışa sahip olayabilirler. Şeil a bazı yay arateristileri gösteriliştir. F F ( ) E p ( ) F F() Şeil. Elasti elea.. F(). F(). F(). F() b) Atalet Eleaları : Atalet eleaları ieti eerji epolaya elealarır. Atalet eleaları ötelee ve öe hareetlerii ayrı ayrı yapabileceleri gibi, he ötelee he e öe hareetii birlite gerçeleştirilebilirler. Atalet elealarıa ait elea elei aşağıa veriliştir. F(t) E F c) Söü eleaları : Söülü sistelere eerji yutuuu sağlaya elealarır. Aortisör tipi elealar aışa sürtüesi ile eerji aybıı sağlarlar ve titreşi gelilerii epoasiyel olara azaltırlar. Söü elealarıa eai eerji ısı eerjisie öüşür. Elea elei aşağıa veriliştir. c F F /5 F c ( )

12 Meai Titreşiler Ders Notları Titreşi sistei elealarıa ait bezer eleler öe hareeti içi e yazılabilir. Döe hareetie öel iregeli ( θ ), ütle atalet oeti (I), ve öel söü (c θ ) avraları evcuttur. Döüş hareeti yapa titreşi sistelerie ış zorlaalar oet girileri şelieir. Dis tipi ütle elealarıı ütle atalet oetleri: Titreşi sisteleriei araşı geoetrilere ait ütle atalet oetleri güüüz atı oellee prograları ile hesaplaabilir. Buula birlite is tipi yapıları ütle atalet oetleri is ütlesi ve yarıçapıa bağlı olara aşağıai şeile yazılabilir. Disler saece belirli bir ese etrafıa öüş hareeti yapabileceleri gibi, he öe he e ötelee hareeti yapabilirler. Bu urua, isi ütle atalet oeti ile birlite ütlesii e iate alıası gereliir. θ, θ I R is R θ E I θ, R E Iisθ Kayaa yuvarlaa Titreşi yapa eai sistelere hooje ice çubu tipi elealar sıça ullaılataır. Bu elealar belirli bir otasıa geçe ese etrafıa öüş hareeti yapabileceleri gibi, bir üzle içerisie he ötelee he e öe hareeti yapabilirler. Saece öüş hareeti yaptılarıa öe otasıa geçe ese etrafıai ütle atalet oetleri, he öe he e ötelee hareeti yaptılarıa ise he ötelee çubu ütlesi he e çubuğu ütle erezie geçe ese etrafıai ütle atalet oeti iate alıır. θ, θ B r O ρ / / / / / I O ρ / 8 8 / / Hooje ice çubu şeile görüle bir B otası etrafıa öüyor ise, öüş eseie göre ütle atalet oeti paralel eseler teorei (Steier teorei) ile hesaplaabilir. I I B O r /5

13 Döe hareeti yapa bir çubu içi ieti eerji ifaesi G G I I E θ θ Buraa I öe otasıa geçe ese etrafıai ütle atalet oeti, I G ütle erezie geçe ese etrafıai ütle atalet oeti, G ütle erezii hızıır. Ese elea ofigürasyoları: Titreşi yapa eai sistelere potasiyel eerji epolaya ese eleaları paralel ve seri ola üzere farlı ofigürasyoları buluabilir. Bu urulara eşeğer iregelileri ele eilesi gereliir. Seri ve paralel bağlatı uruları içi eşeğer hesapları aşağıai gibi ifae eilir. Paralel Bağlatı: Bir eai sistee paralel yay ofigürasyou söz ousu ise eşeğer yay atsayısı şu şeile hesaplaabilir. Paralel bağlatıa tü yaylarai çöe eşittir ve eğerie sahiptir. Dolayısı ile yayları tepi uvvetleri toplaır. ( ) F eş i i Seri bağlatıa tü yaylarai uvvet ayı olup topla çöe tü yaylarai çöeleri toplaıa eşittir. eş... F F eş F F F F F F N i i eş i i eş i eş i Meai Titreşiler Ders Notları /5

14 Meai Titreşiler Ders Notları Helisel yayları yay atsayıları: Bir helisel yayı yay atsayısı yay alzeesie ait alzee özelliği ile yay geoetri boyutlarıa bağlıır. r D N sarı G G D 6 r N E ( υ) E: Elastisite oülü G: Kaya oülü υ: Poisso oraı YAY OARAK KUANIAN YAPISA EEMANAR Titreşe eai sistelere bulua yapısal elealar çoğu ez yay eleaı gibi avraataırlar. Kiriş tipi elealar bu tip yapısal elealara öretir. Bu elealara ait iregeli ifaeleri uvvet-şeil eğiştire ilişileri ile ele eilebilir. Eseel titreşiler içi iregeli ifaesi. A, E, F F Δ ε σ F A E ε E F E A F F F E A E A Eğile titreşileri içi iregeli ifaeleri F E, I, F y δ y y E I M() F δ E I F F δ F EI /5 EI

15 Meai Titreşiler Ders Notları E, I, F F y δ y y E I M() δ F 9 E I F F 9 EI δ F 9 EI E, I, F F y δ y y E I M() δ F 8 E I F F δ F 8 EI 8 EI E, I, F F y δ a y -a y E I M() δ ( a) Fa E I F δ /5 F EI ( a) a ( ) a Fa E I

16 Meai Titreşiler Ders Notları Torsiyoel Sisteler J, G, M, θ θ M G J θ M θ M M G J G J Buraa J esit utupsal (polar) ala atalet oetiir. TİTREŞİM PROBEMERİNİN DOĞRUSAAŞTIRIMASI (KÜÇÜK YER DEĞİŞTİRMEER) Titreşi probleleri, üçü öteleeler ve üçü yer öeler abulü ile oğrusal iferasiyel eleler ile iceleeteir. Büyü yer eğiştireler söz ousu oluğua oğru çözü içi iferasiyel eleleri oliear forları göz öüe buluurulalı ve çözüler bu şeile yapılalıır. θ R θ R si θ ta θ cosθ R si θ R. Buraa siθ ifaesi Taylor serisie açılır ise cosθ 5 θ θ θ si θ, θ << içi, iğer θ ı yüse erecee uvvetleri sıfıra ço!! 5! yaı eğerler alır. Dolayısı ile üçü açısal yer eğiştireler içi si θ θ alıabilir. cosθ ifaesi içi Taylor serisi yazılır ise θ θ cosθ, θ << içi, iğer θ ı yie yüse erecee uvvetleri sıfıra ço!! yaı eğerler alır. Dolayısı ile üçü açısal yer eğiştireler içi cosθ alıabilir. Bu urua θ R Rθ yazılabilir. 5/5

17 Meai Titreşiler Ders Notları Bir ota etrafıa öüş hareetie sahip irişler içi e bezer ifaeler geçerliir. A O θ A A siθ OA A OA si θ OA θ HAREKET DENKEMİ OUŞTURMA YÖNTEMERİ: Titreşi aalizi yapılaca sistei ateati oelii oluşturulasıı taibe literatüre evcut yötelere biri ullaılara sistei hareetii taılaya iferasiyel eleler (hareet eleleri) oluşturulur. Hareet eleleri oluşturulur ie farlı yöteler ullaılabilir. Bu yötelere sı ullaılaları aşağıa veriliştir. Bu bölüe eai titreşi problelerie teel olara ele alıa yay-ütle sistei ele alıacatır. F(t) g (t) c. Newto u. yasası ile: Şeile görüle siste te serbestli ereceli sisteir ve ütlesii hareeti ooriatı ile taılaabilir. Newto u. yasası gereği cise etiye uvvetleri toplaı cisi ütlesi ile ivesii çarpııa eşittir. ütlesi yayı üzerie oulaa öce yay şeil eğiştireiş serbest ouaır. g ağırlığıai ütle yay üzerie yerleştirilite sora yay bir itar stati çöeye uğrar ve F(t) ış zorlaası ile bu çöei üzerie iai yer eğiştireleri oluşur. Dolayısı ile ütlesii topla yer eğiştire ifaesi (t) s şelie stati ve iai yer eğiştirelerii toplaı şelie ifae eilebilir. 6/5

18 Meai Titreşiler Ders Notları (t) (t) (t) s (t) olara yazılabilir. g F(t) (t) s (t) Cisi Serbest Cisi Diyagraı çizilir ise, ( s ) Newto u. yasası gereği ötelee yapa sisteler içi c F Döe hareeti yapa sisteler içi M I θ Aşağı yö pozitif abul eilere g F(t) g ( s ) c F (t) g c Buraa ütlesi içi hareet elei c F(t) şelieir. Görülüğü gibi hareet eleie cise eti ee yer çeii uvveti ve yaya oluşa stati çöe reasiyoları buluaata, hareet elei ütlesii stati ege ouua (yayı çöüş hali) itibare ölçüle iai yer eğiştirelerii içereteir. Dolayısı ile yer çeiie arşı çalışa sistelere ütle yer eğiştiresi stati ege ouua ölçülür ve titreşi hareetii taılaya yer eğiştire ifaesi ir. Dolayısı ile hareet elei c F(t) şelie yazılır.. Diai Dege Yötei (D Alebert Presibi): Bu yötee cise eti ee atalet uvvetleri e serbest cisi iyagraıa gösterilir ve cisi stati egee abul eilere F veya M eşitlileri ullaılır. g F(t) D Alebert veya atalet uvveti g F(t) g c yie ile (t) s (t) c F(t) ( s ) c 7/5 Olara ele eilir.

19 Meai Titreşiler Ders Notları. Eerji Yötei : Bu eto ile eerjii oruuu presibi uygulaır. Bir sistei topla eerjisii artış hızı sistee verile güce eşittir. E t t P et Buraa Et sistei potasiyel ve ieti eerjilerii toplaı, Pet ise sistee verile et topla güç olup; ış uvvetler ve oetleri sistee verileri güç işaretli, sistei ışarıya veriği eai güç ve söüleyici elealar tarafıa çevreye yayıla ısı gücü işaretliir. P et Pg Pv P Sistee verile eai güçleri toplaı Sistei ışarıya veriği eai güçleri toplaı Söüleyici elealara ışa atıla ısıl güçleri toplaı Yay ütle sistei içi bu ifaeleri yazar ise (stati ege ouu etrafıai hareet ele alııyor) E, E p, E t, P et F(t) c t F(t) c F(t) c c F(t) olara ele eilir.. agrage Yötei: Bu yötee e icelee sistee ait ieti ve potasiyel eerjiler iate alıır. Ayrıca Saal İş ilesi ile ış uvvetleri ve söü uvvetlerii sistei geel ooriatlarıa gerçeleştiriş oluları saal işler iate alıara türetile geel uvvetler hareet eleii türetilesi içi ullaılır. Sistee ait agrage ifaesi ieti eerji ile potasiyel eerji farıa eşittir. E E p Kieti eerji-potasiyel eerji farı aşağıai agrage eleie yazılara ele alıa sistee ait hareet elei ele eilebilir. t q i q i Q i 8/5

20 Meai Titreşiler Ders Notları agrage ifaesi açılır ise agrage elei aşağıai fora ele eilir. t E q i E p E qi q i E q p i Q i Buraa q i bir sistei i. geel ooriatıı, Q i ise bu ooriata eti ee uvvetleri toplaıı (Geel Kuvvet) ifae eer. Geel uvvet ifaesi Saal İş ile ele eilir. Müheisli sistelerie geel olara potasiyel eerjii geel ooriat hızı ve ieti eerjii e geel ooriat ile ilişisi olaığıa agrage eleiei bu teriler sıfır alıara, bu ers apsaıa iceleece eai sisteler içi agrage elei aşağıai gibi ele eilir. t E q i E p q i Q i Bu ele ötelee yapa sisteler içi bir uvvet, öe yapa sisteler içi ise bir oet egesiir. Geel uvveti ele ete içi ış zorlaaları ve söüleyici uvvetleri geel ooriatlar üzeriei saal işleri iate alıır. Geel ooriatlara zaaa bağısız olara üçü eğişiler iate alıara (δ) bu uvvetleri yaptığı iş δ W F(t) δq i cq iδq i ifaesi yazılabilir. Geel olara saal iş ifaesi W Q i δq i ilgili geel ooriata ait Geel Kuvvet ifaesi oluşturuluş olur. Öre alıa yay ütle istei içi δ yazılara E, E p, δ W F(t) δ cδ [ F(t) c] δ t F(t) c c F(t) iferasiyel eleie ulaşılır. Q Öre: Basit Saraç İçi Hareet Deleii Ele Eilesi: Aşağıa verile basit saraç içi hareet eleii D Alebert ve agrage yöteleri ile ele eeli. 9/5

21 Meai Titreşiler Ders Notları SCD O l g l θ l (-cosθ) Referas pozisyo F F y O θ l lsiθ g l θ g lθ Basit saraç öüş hareetie sahip bir eai sisteir. Atalet uvvetleri ve sistee eti ee iğer uvvetler SCD a gösteriliştir. O otasıa göre topla oet sıfıra eşitleere. Saat ibresi tersi yö pozitif alıara M O l θ l glsi θ l θ glsi θ l θ gsi θ, siθθ g θ θ l Basit saraç haroi bir hareet yapataır. Dolayısı ile θ( t) θo si( t) abulü ile θ ( t) θo si( t) ifaeleri elee yerie yazılır ise basit saracı yapacağı haroi hareeti açısal freası g g g θo si( t) l ra / s olara ele eilir. l l Görülüğü gibi basit saraç içi salıı hareeti saraç boyua etileeteir. agrage yötei ile hareet elei: Basit saraç probleie ütlesii ieti eerjisi E ( lθ) ir. Potasiyel eerji ifaesi E p t gl( cosθ) ır. Saraç üzerie ış zorlaa veya söü yotur. ( l ) glsi θ θ g θ si θ l siθθ g θ θ l olara ele eilir. /5

22 Meai Titreşiler Ders Notları Öreler: Öre: Şeile gösterile saraç içi (copou peulu) hareet eleii ele eiiz, oğal freasıı belirleyiiz. E I O θ E p g ( cos θ) O E E p,, I O Qθ t θ θ θ G g O θ g si θ I I O saracı öe otasıa göre ütle atalet oetiir. Küçü açısal yer eğiştireler içi si θ θ θ g I O θ Serbest titreşileri foru saf haroi şelieir θ t) θ si t ve θ ( t) θo si t ir. Bu ifaeler hareet eleie yerie yazılır ise, ( g g (ra/s), f (Hz) olara ele eilir. I π I O O Öre : Şeile verile te serbestli ereceli sistei hareet eleii yazıız ve oğal freas ifaesii ele eiiz. f(t) A O B t / / Döel yay B θ A θ İce hooje bir çubu içi I O 9 E IO 5 /5

23 Meai Titreşiler Ders Notları E p t 9 t 9 t δ W f (t) δ agrage elei uygulaığıa 5 9 t f (t) Doğal freas serbest titreşileri freası oluğu içi ış zorlaa yotur ve titreşi hareeti freası sistei oğal freasıa eşit ola haroi bir hareettir. Dolayısı ile yuarıai te serbestli ereceli sistei oğal freası 9 t (ra/s) 5 Öre: Şeile verile te serbestli ereceli sistei hareet eleii ele eiiz. c c s g si α s g α gcosα g 9-α gsiα gcosα Newto u. yasasıa göre c c ( ) s gsi α gsi α c gsi α Kooriat stati ege ouua itibare ölçülüğüe yerçeiii etisi yotur. /5

24 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: Şeilei te serbestli ereceli siste içi hareet eleii ele eiiz. R O M(t) E δ W M(t) δ R E p R R c δ E, p, Q M(t) c t R Sistee ait hareet elei c M(t) R Öre: Şeilei ii serbestli ereceli sistee ait hareet elelerii ele eiiz. f c E δ W f δ c,, E p ( ) ( ) δ( ) Ço serbestli ereceli sistelere agrage elei her bir geel ooriat içi yazılır. içi agrage elei yazılır ise, E E p Q t ( ) f c( ) c c f içi agrage elei yazılır ise, E E p Q t ( ) c( ) c c Hareet eleleri atris forua yazılır ise, c c f c c M C K f Kütle Matrisi Söü Matrisi Diregeli Matrisi Zorlaa Vetörü ieer sisteler içi Kütle, Söü ve Diregeli atrisleri sietritir. /5

25 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: Şeilei ii serbestli ereceli sistee ait hareet elelerii ele eiiz. f θ E p δ W fδ E ( θ) g( cosθ) agrage elei ooriatı içi uygulaır ise t ( θ ) f ( ) θ f agrage elei θ ooriatı içi uygulaır ve üçü açısal yer eğiştireler abulü ile t ( θ ) gsi θ θ gθ θ f g θ Öre: Aşağıai ii serbestli ereceli sistei hareet elelerii yazıız. / / θ / θ / /5

26 ( ) ( ) E θ θ ( ) ( ) p cos g cos g E θ θ θ θ W δ agrage elei θ içi uygulaır ise, gsi θ θ θ θ g θ θ θ θ gsi θ θ θ θ g θ θ θ θ θ θ θ θ g g Öre: Aşağıai ii serbestli ereceli sistei hareet elelerii yazıız. G I E p E, δ δ f W agrage elei içi uygulaır ise f I t G G / / f(t) G Meai Titreşiler Ders Notları 5/5

27 f f f 6 agrage elei içi uygulaır ise f I t G f f f 6 f f 6 6 RAYEIGH YÖNTEMİ : EFEKTİF KÜTE Eerji yötei sisteei otaları hareetlerii biliesi uruua gere topalaış ütleli, gerese yayılı ütleli sistelere uygulaabilir. Birbirleri ile oğrua ilişili ütlelere sahip ola sistelere sistee ait ieti eerji te bir ooriat hızı ullaılara yazılabilir ve siste te serbestli ereceliir. Bu urua ieti eerji şu şeile yazılabilir eff E Buraa eff efetif ütle veya belirli bir otaya topalaış ütle olara alaırılır. Eğer bu otaai iregeli biliiyor ise, sistee ait oğal freas şu şeile hesaplaabilir. eff Yay ve iriş gibi yayılı sistelere, titreşi gelilerii biliesi ieti eerjii hesaplaası içi gereliir. Rayleigh, süreli sistelerei titreşi gelilerii yalaşı olara ögörülebiliği urulara, ihal eiliş ütleleri e oğal freas hesaplarıa hesaba atılabileceğii ve aha oğru freas hesaplaaları yapılabileceğii gösteriştir. Meai Titreşiler Ders Notları 6/5

28 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: Aşağıai ütle-yay sisteiei yayı ütlesii sistei oğal freası üzeriei etisii gösteriiz. y y y v y y Yayı ütlesiei teas otasıai hızı, sabit ucuu ise hızı ır. Sabit uçta y esafeei yay parçasıı hızı ise oğrusal hız eğişii abulü ile v y y olara ifae eilebilir. yay ütlesie sahip yayı titreşi hareeti esasıai ieti eerjisi aşağıai şeile hesaplaabilir. E _ yay v y y yay yay y y yay Kütle ve yay içi topla ieti eerji ifaesi Yaya epolaa potasiyel eerji ise E yay E p ir. Koruulu bir sistee sistei potasiyel eerji ve ieti eerji toplaıı zaaa göre eğişeiği göz öüe buluurulur ise t yay t ( E E ) p 7/5

29 Meai Titreşiler Ders Notları yay yay yay Yay ütlesi iate alıığıa yay-ütle sisteii oğal freası aşağıai gibi hesaplaır. (ra/s). yay Öre: Şeile gösterile iriş-ütle sisteie M ütlesi irişi orta otasıai topalaış ütleyi, ise iriş ütlesii göstereteir. Bu sistee iriş orta otası içi efetif ütleyi hesaplayıız. Kiriş orta otasıa eti ee P yüü içi çöe ifaesi P δ ile verileteir. 8EI / M Kiriş orta otasıai bir yüte olayı oluşa iriş çöesi aşağıai fosiyo ile ifae eilebilir. y y a Kirişi eisie ait asiu ieti eerji T a y a /.857 y a Dolayısı ile iriş orta otası içi efetif ütle eff M.857 ir. Kiriş orta otasıai iregeliği alıığıa oğal freas ifaesi 8EI oluğu iate 8/5

30 Meai Titreşiler Ders Notları 8EI (ra/s) ir. ( M.857) Saece iriş üşüülüğüe oğal freas ifaesi 9.9 EI (ra / s) ir. Öre: Şeilei aastre irişte iriş uç otası içi taılaış efetif ütleyi buluuz ve irişi oğal freasıı belirleyiiz. Kiriş uç otasıa eti ee P yüü ile bu otaai P çöe eğeri δ ır. EI M y y ya Kirişi eisie ait asiu ieti eerji T a y a y a M ütlesi ile birlite irişi topla ieti eerjisi E _ a M y a Dolayısı ile iriş uç otası içi efetif ütle eff M olara hesaplaır. Kiriş uç otası içi iregeli eğerii EI oluğu iate alıır ise irişe ait oğal freas ifaesi EI (ra/s) olara ele eilir. M Saece iriş üşüülüğüe oğal freas ifaesi.567 EI (ra / s) ir. 9/5

31 Meai Titreşiler Ders Notları Titreşi Sistelerii Moelleesi : Mateati Moel Müheisli sisteleri ile ilgili titreşi aalizlerii gerçeleştire içi öcelile siste serbestli erecelerii yapılaca titreşi aalizi ile uyulu olara tesil eece bir ateati oele ihtiyaç varır. Mateati oel ile ilgili aha öce verile örelere e öreler aşağıa veriliştir. Aşağıai öve aiesi içi farlı serbestli ereceli ateati oeller oluşturulabilir. Koç Kalıp Elasti taba Zei bloğu Döve alıbı oeli. Topra Koç Koç Elasti taba iregeliği Kalıp Elasti taba söüü Kalıp ve zei bloğu Zei bloğu Topra iregeliği Topra söüü Topra iregeliği Topra söüü Te serbestli ereceli oel İi serbestli ereceli oel Aşağıai bir otorsilet-sürücü sisteie ait ateati oel veriliştir. Kayalar: Theory of Vibratios-W.T.Thoso, Eleets of Vibratio Aalysis-. Meirovitch, Vibratios of Cotiuous Systes- S. Rao, Fuaetals of Mechaical Vibratios-S.G. Kelly, Vibratio Probles i Egieeri-W.Weaver, S.P. Tiosheo, D.H. Youg, Egieerig Vibratios-D.J. Ia, Müheisli Sistelerii Moelleesi ve Diaiği-Yücel Erca /5

32 Meai Titreşiler Ders Notları Motorsilet-sürücü oeli. sürücü sele c sele otor sürücü C otor, I otor G θ A B süsp_ara c süsp_ara süsp_ö c süsp_ö süsp_ara c süsp_ara süsp_ö c süsp_ö jat jat jat jat lasti lasti lasti lasti Üç serbestli ereceli oel Beş serbestli ereceli oel /5

33 Meai Titreşiler Ders Notları TİTREŞİM ANAİZİ: Te Serbestli Dereceli Sisteler: Te Serbestli Dereceli Söüsüz Bir Sistei Serbest Titreşileri: Te serbestli ereceli söüsüz bir sistei hareet elei aşağıa veriliştir. (t) st Hareet eleii çözüü içi (t) a e abulü yapılır ve a ve s sabitleri belirleir. Kabul eile çözü ve türevleri hareet eleie yerie oara, (t) s a e st st [ s ] a e ir. Başlagıçta abul eile çözüü geçerli ve işe yarar bir çözü olabilesi içi ae st i sıfıra farlı olası gereliir. Bu urua ae st teriii çarpaı, arateristi ele, sıfıra eşit olalıır ve bu elei sıfır yapa s eğerleri sistei özeğerleri olara alaırılır ve her ii s eğeri e arateristi elei sağlar. s s, ± ± i ± i Te serbestli ereceli sistei serbest titreşilerii freası (ra / s) ir. Doğal freas stati çöe eğeri ullaılara a ifae eilebilir. g δstati g δ stati g δstati g g (ra/s) f δ π δ (Hz) stati stati Her ii ö e arateristi elei sağlaığı içi hareet eleii geel çözüü aşağıai şeile ifae eilebilir. /5

34 Meai Titreşiler Ders Notları it e (t) a veya (t) a e i t Yay-ütle sisteie ait iferasiyel ele lieer oluğu içi yuarıai ii çözüü toplaı a hareet eleii çözüüü verir. (t) a i t e a e i t Buraa a ve a oples sabitlerir. Trigooetri fosiyolar içi Euler ilişileri aşağıai gibi ifae eilir. si e i t i t t ( e i t it e ), cos t ( e e ) it i cost isi t (t) çözüü aşağıai gibi ifae eilebilir. (t) (t) a [ cos t isi t] a [ cos t isi t] ( a a ) cos t i ( a a ) si t Yuarıa verile (t) çözüü aşağıai şeillere e ifae eilebilir. ( φ) (t) Asi t veya (t) A cos t A si t Buraa A, φ, A ve A gerçe sabitlerir. Yuarıa verile çözülerei atsayılar arasıai ilişiler aşağıa veriliştir. A a a ve φ ta a a A, ( a a )i a a A a A A i, a A A i Yuarıa verile ii çözü içerisie bulua gerçe eğerli atsayılar, A, φ, A ve A başlagıç şartları ullaılara (t) ve (t ). Eğer yay-ütle sisteie ütleye eti ee bir ış uvvet yo ise siste urağa hale alacatır. Kütle t a aar yer eğiştirilir ise yay uvveti siste serbest bıraılığıa hareeti sağlayacatır. Buula birlite, t a ütleye bir başlagıç hızı v verilir ise oetu eğişiie olayı siste hareet eecetir. Başlagıç yer /5

35 Meai Titreşiler Ders Notları eğiştiresi ve hızı Başlagıç Şartları (Iitial Coitios) olara alaırılır ve bu urua çözü aşağıai şeile ele eilecetir. () Asi( φ) Asi φ ve v () A cos( φ) Bu ii elee A ve φ aşağıai gibi ele eilir. A, φ ta φ A A (t) si t ta veya (t) cos t ta.5 (t) ( φ) Asi t ra/s.5, v /s..5, v /s..5 Geli () , v /s. -.5, v - /s Zaa (s) Te serbestli ereceli sistei farlı başlagıç şartları içi yer eğiştire cevabı. /5

36 Meai Titreşiler Ders Notları Diğer forai çözü ullaılır ise, t a () ve t a () () (t) A cos A si A A cost A si (t) A si t A cos t A si A cos (t) cos t si t t A.5 (t) A cos t A si t.5, v /s..5, v /s. ra/s.5 Geli () , v /s. -.5, v - /s Zaa (s) Te serbestli ereceli sistei farlı başlagıç şartları içi yer eğiştire cevabı. Bu otaai eği Cevap (t) π T A φ Zaa (s) - A 5/5

37 Meai Titreşiler Ders Notları Te Serbestli Dereceli Söülü Bir Sistei Serbest Titreşileri: Te serbestli ereceli söülü bir sistei oeli ve hareet elei aşağıa veriliştir. (t) c c st Hareet eleii çözüü içi (t) a e abulü yapılır ve a ve s sabitleri belirleir. st Kabul eile çözü ve türevleri hareet eleie yerie oara, (t) sa e, (t) s a e st st [ s cs ] a e ır. Başlagıçta abul eile çözüü geçerli ve işe yarar bir çözü olabilesi içi ae st i sıfıra farlı olası gereliir. Bu urua ae st teriii çarpaı, arateristi ele, sıfıra eşit olalıır ve bu elei sıfır yapa s eğerleri sistei özeğerleri olara alaırılır ve her ii s eğeri e arateristi elei sağlar. s cs c s, ± c Köler iceleiğie öleri gerçe veya oples olabileceği görülür. Buraa belirleyici ola c ir. M, c ve ı pozitif sayılar olası göz öüe buluurulur ise c > içi öler birbirie farlı gerçe sayılar olacatır. Eğer c < ise öler egatif reel ısılı oples bir çift şelieir. Eğer c ise öler ayı ve egatif gerçe sayılarır. Bu üç farlı uru iceleiğie c içi riti söü eğerii taılaa uygu olacatır. criti ir. Kriti söü eğeri yuarıa bahseile üç farlı çözü içi belirleyici bir eğerir. 6/5

38 Meai Titreşiler Ders Notları Sistee evcut bulua söü eleaı atsayısıı, riti söü atsayısıa oraı söü oraı olara alaırılır. c ζ c riti c c Bu taılaalar ile arateristi elei öleri yeie ifae eilir ise, s, ζ ± ζ Bu taılaaya göre söü oraıı siste öz eğerlerii reel veya oples olacağıı belirleiği açıça görületeir. Söü oraıa bağlı olara üç farlı uru söz ousuur.. Kriti Altı Söülü Cevap (Uerape Respose): Bu urua söü oraı e üşütür (<ζ<) ve areö içerisiei ifae egatif ve öler oples çift olara ele eilir. s ζ ζ ζ i, s ζ i ( )( ) ζ i ζ ζ Söüsüz uru içi izlee yol taip eilere söülü uru içi cevap aşağıai şeile ifae eilebilir. (t) (t) e e ζ t ζ t a i ζ t e a e i ζ t [( a a ) cos t i( a a ) si t] Buraa a ve a oples atsayılar olup olara alaırılır. ζ sistei söülü oğal freası A a a ve A (a -a )i olara seçilere çözü aşağıai şeile ifae eilebilir. (t) e ζ t ( A si t A cos t) olara ifae eilebilir. Buraa A ve A gerçe sayılarır. İfaeyi basitleştire içi yei taılaalar yapılır ise A A A ve faz açısı olara A φ ta, A A cosφ, A Asi φ A si a cos b cosa si b si(a b) [ ] (t) A e ζ t ( t φ) si olara ifae eilir. 7/5

39 Meai Titreşiler Ders Notları Yie başlagıç şartlarıa göre çözü araır ise t a () ve t a () ise, (t) ifaesie t eğeri oulara ve başlagıç yer eğiştire şartı ullaılara ( φ) A φ Ae si si (t) cevabıı zaaa göre türevi alıır ve t a il hız şartı ve our ise (t) ζ Ae ζ t si ζt ( t φ) Ae cos( t φ) A ifaesi yerie si φ ζ si φ cosφ ζ cot φ si φ si φ Buraa φ faz açısı çözülür ise ta φ ζ ele eilir ve φ ta ζ ( ζ ) ( ) φ si φ ( ζ ) ( ) ζ Buraa A ( ζ ) ( ) ( ζ ) ( ) olara ele eilir. Buraa riti altı söülü te serbestli ereceli bir siste içi cevap (t) ( ζ ) ( ) e ζ t si t ta ζ ir. 8/5

40 Meai Titreşiler Ders Notları.5. ra/s,.5, / s. ζ.8 Geli () ζ. ζ Zaa (s) Te serbestli ereceli siste içi riti altı söülü cevap..8 ra/s,, / s Geli () ζ.8 ζ ζ Zaa (s) Te serbestli ereceli siste içi riti altı söülü cevap. 9/5

41 Meai Titreşiler Ders Notları. Kriti Üstü Söülü Cevap (Overape Respose) : Söü oraıı e büyü oluğu uru içi reel ve farlı ii ö evcuttur. s ζ ζ ve s ζ ζ Bu urua cevap aşağıai gibi ele eilir. (t) e ζ t ae ζ t a e ζ t Buraa a ve a atsayıları başlagıç şartlarıa aşağıai gibi ele eilebilir. a ζ ζ ζ ve a ζ ζ ζ Geli () , /s ra/s, ζ.., /s -., /s Zaa (s) Te serbestli ereceli sistei riti üstü söülü cevabı Kriti üstü söülü sisteler ege ouu etrafıa salıı gösteresizi başlagıç oularıa öerler. /5

42 Meai Titreşiler Ders Notları. Kriti Söülü Cevap (Critically Dape Respose) : Söü oraıı e eşit olası uruu salıılı cevap ile salıısız cevap arasıa bir sıır teşil eer. Bu uur içi öler atlı ö halieir. s s Bu urua çözü foru aşağıai gibiir. (t) t ( a a t) e t ai başlagıç şartları yerie our ise a ve a atsayıları ele eilebilir. a ve a. Bu urua başlagıç şartları altıai serbest cevap t [ ( ) t] e (t) şelieir..6.5 ra/s, ζ Geli ()....., /s.., /s.., /s Zaa (s) Te serbestli ereceli sistei riti söülü cevabı (t) (, ) Uerape Critically ape (t) Overape /5

43 Meai Titreşiler Ders Notları OGARİTMİK DEKREMAN (OGARITHMIC DECREMENT) : Meai bir sistei sahip oluğu söü oraıı belirleei uygu yötelerie biri, sistei serbest titreşileriei salıı gelilerii azala oraıı ölçetir. Kriti altı söülü bir siste içi titreşi cevabı aşağıai gibi yazılabilir. (t) A e ζ t si ( t φ) Buraa A ve φ başlagıç şartlarıa ele eilebile eğerlerir. Bu forai bir titreşi cevabı eğrisi aşağıa veriliştir. 5 (t) [] - T Zaa [s] Salıılı titreşi cevabı üzerie ar ara gele ii tepe otasıı birbirie oraıı logaritasıı (oğal logarita) ogatiri Derea (ogarithic Decreet) olara taılar ve aşağıai şeile ifae eerse e δ l l ζ (t e ζt T ) si si ( ) t φ ( (t T ) φ) Siüs fosiyou içi t aıai eğer ile tt ıai eğerler eşit olacağı içi ifae aşağıai şele öüşür. δ l e e ζt ζt e ζt l e ζt ζ T /5

44 Meai Titreşiler Ders Notları Söülü oğal periyot T π oluğu içi ζ ζ π πζ δ olara ele eilir. Söü oraı ζ i üçü eğerleri içi bu ifae ζ ζ δ πζ ve sistee ait söü oraı δ ζ π olara yalaşı şeile ele eilebilir. Ta ifae ullaılığıa ise sistee ait söü oraı, eeysel olara ele eiliş logariti erea eğeri ullaılara, δ ( ζ ) π ζ ( δ π ) ζ δ δ ζ δ π ζ δ δ π olara ele eilebilir. 5 δ πζ ζ δ 5 δ πζ ζ c riti Şeil. ogariti erea içi yalaşı ve ta ifaei söü oraı ile eğişii. c ogariti erea ifaesi aralarıa aet ta salıı bulua tepe otaları ullaılara a ele eilebilir. Birbirii taip ee tepe otaları oralarıı ayı oluğua hareetle arasıai ora buraa. salıı geliği ile. geli (. salıı souai) /5

45 Meai Titreşiler Ders Notları δ δ δ ( e ) e l( e ) l l δ δ l olara ele eilebilir. Buraa ta salıı sayısı, başlagıç salııı geliği, ise. salıı souai gelitir. Diate alıa başlagıç salııı geliği ile gösterilir ise ele δ l olara a ifae eilebilir. Öre: Bir titreşi sisteie titreşi geliğii %5 azalası içi gereli salıı sayısıı sistei söü oraıa göre ifae eiiz. πζ δ l ζ.69 πζ ζ Bu elee ait grafi aşağıa veriliştir. Bu grafi, titreşi geliğii %5 azalası içi gereli ta salıı sayısıı söü oraı ile eğişiii göstereteir si /5

46 Meai Titreşiler Ders Notları TEK SERBESTİK DERECEİ SİSTEMERİN ZORANMIŞ TİTREŞİMERİ: Müheisli sistelerie eti ee uvvetler geellile haroi foraır. Şeile haroi bir uvvet görületeir. 5 f (t) F si t Geli (N) 5 Buraa F zorlaa geliği, ise zorlaa freasıır Zaa (s) Buula birlite üheisli sisteleri üzerie sılıla etili ola iğer bir zorlaa tipi e periyoi zorlaalarır. Fourier serileri ve öüşüleri ullaılara, periyoi fosiyoları bir izi haroi fosiyou toplaı şelie ifae ete üüür. Zorlaaı bir izi haroi fosiyou toplaı oluğu bilgisi ullaılara, oğrusal (lieer) sisteleri periyoi zorlaalara veriği cevabı, sistei periyoi zorlaayı oluştura her bir haroi zorlaaya veriği cevapları toplaı oluğu söyleebilir Periyoi zorlaa f (t) a t i Periyoi zorlaayı oluştura haroi bileşeler ( ai si t bi cos ) Zaa (s) Şeil. Periyoi zorlaa ve haroi bileşeleri. Fourier serileri ve te serbestli ereceli sisteleri periyoi zorlaalara cevabıa bölü soua eğiilecetir. Kayalar: Theory of Vibratios-W.T.Thoso, Eleets of Vibratio Aalysis-. Meirovitch, Vibratios of Cotiuous Systes- S. Rao, Fuaetals of Mechaical Vibratios-S.G. Kelly, Vibratio Probles i Egieeri-W.Weaver, S.P. Tiosheo, D.H. Youg, Egieerig Vibratios-D.J. Ia, Müheisli Sistelerii Moelleesi ve Diaiği-Yücel Erca, Dyaics a Vibratio-M.A.Wahab. 5/5

47 Meai Titreşiler Ders Notları Söüsüz Zorlaış Titreşiler (Haroi Zorlaa): Yaai te serbestli ereceli siste üzerie zorlaa freasıa haroi bir uvvet eti eteteir. Newto u. yasası ullaılara hareet elei aşağıai gibi ifae eilebilir. F si t buraa F si t F si t f(t)f sit (t) Yuarıai. ertebee iferasiyel ele içi geel çözü hooje ve özel çözüleri toplaı şelie ifae eilebilir. (t) (t) h ö (t) Hooje çözü il şartlar etisi ile ele eile çözüür ve başlagıç şartlarıa bağlı olara h (t) A cost A si t olara ifae eilişti. Özel çözüü ele ete içi zorlaa tipie bir çözü abul eilebilir. ö (t) Xsi t oluğu abul eilere, abul eile çözüü türevleri iferasiyel elee yerie oulur ise (t) Xcost, (t) Xsi t F F X si t X si t si t [ ] X elei her ii tarafı ile çarpılır ise ( r ) X F F X buraa ( r ) r ir ve freas oraı olara alaırılır. Başlagıç şartları sıfıra farlı bir siste haroi zorlaa altıai geel çözü; 6/5

48 Meai Titreşiler Ders Notları F (t) A cos t A si t si t ir. Geel çözüei A ve A atsayıları başlagıç şartlarıa ele eilebilir. F A cos A si si A r F A si A cos cos F A r r r F F (t) cos t r si t si t r r.5 h (t) ö (t) g N/ 5 ra/s.5 v. /s (t) Zaa (s) Şeil. Te serbestli ereceli siste içi geel çözü. Başlagıç şartları sıfır ise çözü ö (t) forua haroi bir cevap olacatır. Freas oraıa bağlı olara yer eğiştire gelileri çizilir ise X F r 7/5

49 Meai Titreşiler Ders Notları X F / X F / Freas oraıa bağlı olara aşağıai urular geçerliir. < < uruua yer eğiştire zorlaa ile ayı yöeir. (i-phase) 5 F(t) [N] 5 ra/s ra/s I-Phase cevap (t) [] Zaa (s) cevap sosuza gier. > uruua yer eğiştire zorlaa ile zıt yöeir. (ati-phase) 8/5

50 Meai Titreşiler Ders Notları 5 f(t) [N] Ati-Phase cevap (t) [] Zaa (s) Öre: Şeile verile iriş üzerie bulua bir eletri otorua olayı irişe eti ee uvvet f (t) si t (N) şelieir. F t Çeli alzee E GPa Motor ütlesi 5 g. Bu uvvet etisi altıa otoru buluuğu otaai yer eğiştire gelilerii hesaplayıız. Motor irişi ortasıaır. Kiriş ütlesi ihal eilebilir eğereir. Kiriş orta otasıai iregeli 9EI. *. 7, Kiriş ala atalet oeti I.666 ( ) 9 * * (N / ). Motor iriş sisteii oğal freası (iriş ütlesi ihal eiliyor) (ra /s) 9/5

51 Meai Titreşiler Ders Notları Zorlaa freası ra/s ir. Bu urua zorlaa ile yer eğiştire ati-phase uruuaır. Yer eğiştire geliği F X ().6 () Söülü Zorlaış Titreşiler (Haroi Zorlaa): Şeile verile te serbestli ereceli haroi zorlaa etisiei söülü bir siste içi hareet elei aşağıai gibi yazılabilir. f(t)f sit c F si t c Söü oraı içi ζ ifaesi ullaılara c (t) hareet elei şu şeile e yazılabilir. F ζ si t Diferasiyel elei çözüü hooje çözü ile özel çözüü toplaı şelie ifae eilebilir. Hooje çözü başlagıç şartlarıa bağlıır, özel çözü ise ış zorla ile oluşur. Başlagıç şartlarıa bağlı çözü, söülü uru içi zaa ilerleiçe aybolacatır ve siste cevabı saece zorlaa ile ele eile çözü olacatır. Bu eele özel çözüe (zorlaaya bağlı çözü) üzgü reji cevabı a eir. Özel çözüü foru zorla forua abule ilere. ( ϕ) ö (t) (t) Xsi t abul eilere, çözüü türevleri iferasiyel elee yerie our ise. (t) Xcos( t ϕ), (t) Xsi( t ϕ) F Xsi( t ϕ) ζ ( Xcos( t ϕ) ) Xsi( t ϕ) si( t) Trigooetri açılılara yararlaılara si cos ( t ϕ) si t cosϕ si ϕcost ( t ϕ) cost cosϕ si tsi ϕ 5/5

52 Meai Titreşiler Ders Notları Xsi t cosϕ F Xsi cos t ϕ si t Xsi ϕcost ζ X cost cosϕ ζ F [ cosϕ ζ si ϕ cosϕ] Xsi t si t [ si ϕ ζ cosϕ si ϕ] Xcost [ si ϕ ( ) cosϕ] F X F si cos X ζ ϕ ϕ ζ, [ ζ cosϕ ( ) si ϕ] X Xsi t si ϕ [ ζ cosϕ ( ) si ϕ] X [ ζ cosϕ ( ) si ϕ] X Xsi t cosϕ [ ( ) ] ζcosϕ si ϕ X ζ cosϕ si ϕ ζr ta ϕ r ( ζ r) ( r ) ζ r r ζr si ϕ, ( ζr) ( r ) cosϕ r ( ζr) ( r ) ζr r F ζr ( r ) X ( ζr) ( r ) ( ζr) ( r ) ( ζr) ( r ) ( ζr) ( r ) ( ) ( ) X ζr, ϕ ta F ζr r r 5/5

53 Meai Titreşiler Ders Notları 6 5 ζ ζ. X/F / ζ. Arta söü ζ.5 ζ r φ Rezoas uruu iceleir ise; r Rezoas uruua geli e büyü eğere sahiptir. E büyü geliği ele eiliği freas eğerie REZONANS FREKANSI aı verilir. Bu freas eğerie cevap geliği eğrisii türevi sıfıra eşittir. X F r * 8ζ r r r ( ζr) ( r ).5 ( ζr) ( r ) ( ζr) ( r ) 5/5

54 Meai Titreşiler Ders Notları r ζ r ζ Rezoas Freası aha sorası içi rezoas tepesi gözleez. ζ ζ. 77 ve R Rezoasai geli eğerii hesaplaa içi bulua r eğeri geli oraı ifaesie yerie oulur ise X F ζ R X F R ζ olara ele eilir. ζ ele eilir. Küçü soü oraları içi Rezoas Geliği Te serbestli ereceli bir sistei freasa bağlı cevap gelilerii hesaplaa içi aşağıai progra otepa prograıa yazılara tt foratıa ayeilir. ANSYS e çalıştırılır. Farlı oel paraetreleri içi (ütle, iregeli, söü) cevap gelileri icelebilir. of_har.tt /prep7 et,,ass et,,cobi r,,, r,,,,,,,,,,, type, real, e, type, real, e,, eplot /solu atype,,all,u,,all,uz,,,uy, f,,fy,- harfrq,,6 subst,6 bc, solve /post6 sol,,,uy plvar, f(t)f sit c (t) 5/5

55 Meai Titreşiler Ders Notları Kütle Degesizliğie Kayalaa Kuvvetler İle Oluşa Titreşiler: Kütle egesizliği hee hee tü öel aialara arşılaşıla teel bir probleir. Şeile ütle egesizliği ile uyarıla te serbestli ereceli bir siste görületeir. e t (t) e t F(t) (N) t (ra) c F(t) e si t c e si t F si t (t) Xsi( t ϕ), (t) Xcos( t ϕ), (t) Xsi( t ϕ) Xsi Trigooetri eşitlilere ullaılara c e si t e ζ si t e ( t ϕ) ζ Xcos( t ϕ) Xsi( t ϕ) si t Xsi t cosϕ Xsi ϕcost ζx cost cosϕ ζxsi t si ϕ Xsi t cosϕ e Xsi ϕcost si t sit ve cost terilerii atsayıları oluşturulara e [ cosϕ ζ si ϕ cosϕ] Xsi t si t [ si ϕ ζ cosϕ si ϕ] Xcost [ si ϕ ( ) cosϕ] e e ζ X ζ si ϕ cosϕ X ζr [ ζ cosϕ ( ) si ϕ] X ζ cosϕ si ϕ ta ϕ r si ϕ ve cos ϕ içi eğerler yerie our ise 5/5

56 ( ) ( ) r r r si ζ ζ ϕ, ( ) ( ) r r r cos ζ ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r e X r r r r r r ζ ζ ζ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r r r r r e X ζ ζ ζ 5 5 r Arta Söü Rezoas uruuai r oraıı bula içi geli ifaesii r ye göre türevi alııp souç sıfıra eşitleir ise, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r r 8 r r r r r e X ζ ζ ζ İşleler yapılır ise REZONANS uruu içi r oraı () rez rez r ζ Buraa R ζ, Bu freas geli ifaesie yerie oulur ise REZONANS geliği içi rez e X ζ ζ ir. Küçü söü oraları içi ζ e X rez ir. ζ ζ. ζ. ζ.5 ζ.77 ζ e X Meai Titreşiler Ders Notları 55/5

57 Meai Titreşiler Ders Notları Zeie İletile Kuvvet: Haroi uvvet etisi altıai bir eai siste, hareet sırasıa yay ve aortisöre oluşa reasiyo uvvetlerii bağlatı otalarıa zeie iletir. Zorlaa uvveti geliği ve zeie iletile uvvet arasıai ilişi aşağıai şeile ele eilebilir. f(t)f sit f(t)f sit (t) (t) c c F F c Haroi zorlaa etsiei üzeli reji titreşileri iate alıara haroi yer eğiştire ve bua ait hız ifaesi ile; (t) Xsi( t ϕ), (t) Xcos( t ϕ) F tr F F c F tr ( t ϕ) cxcos( ϕ) Xsi t Aşağıai trigooetri ilişi ullaılara z(t) Asi t Bcost A B si t ( β) B, β ta A 5-5 z(t) A B 8.85 Asi t Bcost Zaa (s) 5-5 z(t) A B sit ta B Z Zaa (s) 56/5

58 Meai Titreşiler Ders Notları Dolayısı ile zeie iletile uvvet aşağıai şeile ifae eilebilir. F (t) F tr TR si ( t φ' ) Zeie iletile uvvet geliği üzerie uruluğu içi F TR geliği F F F F TR TR TR TR X c X ( X) ( cx) ( X) ( ) c X ( ) X X F c ( ζr) r ( ζr) ( r ) X X r ( ζ ) F F ( ζr) TR T (Kuvvet ileti Oraı, Trasissibility) ( ζr) ( r ) F TR /F.5 Arta Söü r Arta Söü 57/5

59 Meai Titreşiler Ders Notları Kuvvet ileti oraı grafiği ile ilgili özelliler: ise ya ya a ur. olası uygulaa uvveti sabit gelili oluğuu gösterir. Hız sıfır oluğua söüleyici uvveti sıfır olur ve uvvet yay üzerie zeie iletilir. uruu ya yay iregeliğii sosuz ya a ütle eğerii olası haliir. Bu urua bağlatı rijit oluğua uvvet iret olara iletilir. uygulaa uvvet iret olara yapıya iletilir. özel bir freas oraı olup bu urua söü oraı e olursa olsu ileti oraı olataır. < ise T> ir. Bu freas bölgesie ζ artar ise T uvvet ileti oraı azalır. Bu bölgee ı eğeri üçü oluğu içi haroi hareet sırasıa ortaya çıa hızlar üşütür. Bu eele söüleyicii ilettiği uvvet yayı ilettiği uvvete göre aha üşütür. > ise T< olur. Bu freas bölgesie ileti oraıı azaltılası içi ζ i üü oluğuca azaltılası gereliir. Bu bölgee büyü oluğua hızlar a büyütür. Dolayısı ile ileti ağırlılı olara söüleyici üzerie olur. T sıfıra yalaşır. Bu uru ya, ya a ile sağlaabilir. Geçe üheisli sisteleri içi zorlaa freası belli eğerlere aar büyültülebilir. i sıfıra yalaşası içi ya eğeri sıfıra yalaşalı ya a ütle eğeri sosuza giteliir. K eğerii sıfıra yalaşası ütle ile zei arasıai bağı zayıflaası şelie yorulaabilir, eğerii sosuza gitesi uruua a ütlei eylesizliği sosuza gittiğie uvvet zeie iletileeyecetir. Kayalar: Theory of Vibratios-W.T.Thoso, Eleets of Vibratio Aalysis-. Meirovitch, Vibratios of Cotiuous Systes- S. Rao, Fuaetals of Mechaical Vibratios-S.G. Kelly, Vibratio Probles i Egieeri-W.Weaver, S.P. Tiosheo, D.H. Youg, Egieerig Vibratios-D.J. Ia, Müheisli Sistelerii Moelleesi ve Diaiği-Yücel Erca, Dyaics a Vibratio-M.A.Wahab. 58/5

60 Meai Titreşiler Ders Notları Kütle Degesizliğie Kayalaa Kuvvetleri Zeie İletii: Haroi bir uvvet zorlaası uruu içi zeie iletile uvvet ifaesi F TR ( ζr) X forülü ile ifae eilişti. Kütle egesizliğie ayalaa uvvetler ile zorlaa te serbestli ereceli bir siste içi ütleye ait yer eğiştire geliği X e r X ii. ( ζr) ( r ) Bu yer eğiştire geliği yuarıa verile zeie iletile uvvet ifaesie yerie our ise F TR e ( ζr) r e r ( ζr) ( ζr) ( r ) ( ζr) ( r ) F TR e r ( ζr) ( ζr) ( r ) Kütle egesizliğie ayalaa uvvetleri zeie iletilesi, freas oraı ve söü oraıa bağlı olara aşağıai şeile eğişeteir. 6 5 Arta söü Arta söü F e TR r 59/5

61 Meai Titreşiler Ders Notları Şeile görülüğü gibi, r< uruua zeie iletile uvvet söü oraı arttıça azalata, r > içi ütle egesiliği ayalı uvvetleri zeie iletile oraı söü oraı arttıça yüse oraa artataır. Haroi Zei Zorlaası: Müheisli sisteleri farlı forlarai zei zorlaalarıa aruzurlar. Bir araç içi yola gele uyarılar, epre ayalı zei uyarıları zei zorlaalarıa verile tipi örelerir. Bu bölüe haroi forai bir zei zorlaası ile te serbestli ereceli bir sistei yer eğiştire cevabı arasıai ilişi iceleiştir. c (t) y y(t) Y si t E E ( ) y δ W c ( y ) δ( y) t Zei ( y) ( y) c c y cy c Y si t cy cost c Y c ( c) sit ta Y ( c) si t ta c Hareet elei giri foru iceleiğie, zei zorlaalı te serbestli ereceli bir sistei, ütle üzerie eti ee Y ( c) geliğie sahip haroi forai bir zorlaaya aruz siste ile ayı hareet eleie sahip oluğu görülebilir. Diğer tarafta hareet eleii il foru üşüülüğüe söü oraı ve sistei söüsüz oğal freası cisie ele c ζ Ysi t c Ysi t ζ Y cost Y cos t şelie yazılabilir. Bu ele te serbestli ereceli bir sistei ii farlı haroi zorlaaı toplaıa aruz alası uruuu yasıtataır. İcelee sistei lieer bir siste oluğu iate alıara, ii farlı haroi zorlaa toplaıa verile cevabı ii farlı zorlaaya verilece cevapları toplaı oluğu bilgisi ullaılara, ö ö (t) (t) ö (t) 6/5

62 Meai Titreşiler Ders Notları Y ö (t) si( t ϕ), ( ) ( ζ) ϕ ta ζ ta ζr r ö ζy (t) cos t ( ) ( ζ ) X ( ϕ) ö ( ζ) ( ) ( ζ ) ( t θ) ( ζr) (t) Y si Y si t θ ta ζr ( ) ζ r ( r ) ( ζr) ( θ) X Y ( ζr) (Hareet ileti oraı) ( r ) ( ζr) Hareet ileti oraı ile Kuvvet ileti oraı ifaelerii ayı oluğu görülebilir. Hareet ileti oraıı freas oraı ve söü oraıa bağlı eğişii aye Kuvvet ileti oraı içi bahseile şeileir X Y F TR /F.5.5 Arta Söü Arta Söü r 6/5

63 Meai Titreşiler Ders Notları Haroi forai zei yer eğiştiresi olayısı ile ile ütlesie eti ee uvvet freas oraı ve söü oraıa bağlı olara aşağıai şeile eğişeteir. 6 5 Arta söü Arta söü F T /Y Bu eğişi ütle egesiliği ayalı uvvetleri zeie iletilesi ile ayı foraır. Şeile görülüğü gibi, r > içi haroi yer eğiştire olayısı ile ütleye uygulaa uvvet söü oraı arttıça yüse oraa artataır. Eğrii sıfıra başlaası üşü freas eğerleri içi yer eğiştire ve hız gelileri arasıa far olaasıa ayalaataır [ ( y) c( y ) ] F T Öre: Şeile görüle bir araç oeli siüs forua sahip bir yola ilerleeteir. Siüs foruai yol içi geli eğeri (-a) c ve yol profili içi alga boyu 6 olara verileteir. Araç titreşi geliğii hesaplayıız. (t) r y(t) c Y si t g 5 N/ ζ. v araç /h Y. λ6 Y 6 6/5

64 Meai Titreşiler Ders Notları v araç v araç 7.77 v araç 7.77 / s, λ f.69 Hz.6 f λ 6 π ra / s ra / s, r. 6. X Y ( ζr) *. *.6 X..5.6 *. *.6 ( r ) ( ζr) ( ) TEK SERBESTİK DERECEİ SİSTEMERİN PERİYODİK ZORAMAAR CEVABI Meai sisteler üzerie eti ee ış zorlaalar sılıla zaa içerisie üzgü terarlı (periyoi) foraır. Periyoi bir fosiyo f(t) T f(t) t c (t) Daha öce e ısaca bahseiliği gibi periyoi bir fosiyo f(t) Fourier seri açılıı ullaılara saf haroi siyalleri toplaları şelie ifae eilebilir. Periyoi bir f(t) π fosiyou terarlaa periyou T ve teel freas eğeri ola üzere T a f (t) a cos t b si t şelie ifae eilebilir. Buraa f(t) fosiyouu oluştura atsayılar 6/5

65 Meai Titreşiler Ders Notları T a f (t) t T a b T T T T f (t)cos( t) t,,, f (t)si ( t) t,,, şelie taılaır. Daha öcei bölülere, te serbestli ereceli söülü bir sistei haroi uvvet zorlaasıa veriği cevap ousua eğiiliş ii. f (t) Fsi t şeliei bir zorlaa içi cevap F (t) si t ( r ) ( ζr) ζr şelie ele eilişti. Buraa ϕ ta ii. r Buraa H büyüte fatörü taılaası yapılır ise r ζr ( ) ( ) F (t) Hsi ( t ϕ), veya giri f (t) Fcost ( ϕ) forua ise (t) H cos( t ϕ) yazılabilir. Sistei, periyoi zorlaa uvvetii seri açılııai her bir haroi zorlaaya cevabı yuarıai şeile hesaplaır ise, lieer sisteler içi periyoi giriye topla cevabı a bu cevapları toplaı olacağıı söylee üüür. ieer sistelere süperpozisyo presibi geçerliir. Periyoi bir zorlaaya aruz te serbestli ereceli bir lieer sistei üzgü reji cevabı aşağıai şeile yazılabilir. F a ss (t) H [ a cos( t ϕ ) b si( t ϕ )] ir. Buraa Teel freas H, r ( r ) ( ζr ), ϕ Doğal freas ζr ta ir. r 6/5

66 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: Şeile verile periyoi zorlaaı Fourier açılııı ele eeli. f(t) [N] t (s) - T s π π ra/s. f (t) < t < < t < [ t t ] [ ] T a f (t) t t T a T / T π π π π cos t t cos t t cos t t cos T T / t t * π * π a si t si t ( si π si ) ( si π si π) π π π π a (Te foiyolara a ır) b b b T / T π π π π si t t si t t si t t si T T / t t * π * π cos t cos t π π π π ( cos π cos) ( cos π cos π) π π π π [( cos π) ( cos π cos π) ] [ cos π cos π] [ * ( cos π) ] ( cos π) b ( cos π) (Te foiyolara b ır) π Bu urua zorlaa fosiyou 65/5

67 Meai Titreşiler Ders Notları π f (t) ( cos π) si t şelieir. π ve atları içi f(t) ır. Dolayısı ile f(t) te e eğerleri içi hesaplaır ,,,5,,5,7,,5,7,9,,5,7,9,,5,7,9. Şeil. f(t) fosiyou Fourier açılıı. 66/5

68 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: F(t) c (t) g c Ns/ N/ 5 F(t) [N] t [s] T s Tπ.5π (ra/s) 6 8 Fourier Serisi: 5 t F(t) ( 5 t) t t a F(t) (a cos( t) b si( t)) T a Ft t 5 t t T a b T T ( 5 t) t 5 (.5π t) t 5 t cos(.5π t) t ( 5 t) cos(.5π t) cos t ( π) t F cos T F si T t (.5π t) t 5 t si (.5π t) t ( 5 t) si (.5π t) t 5 F(t) π [ cos( π) ] cos(.5π t) π a a a Freasa Bagli Fourier Katsayisi Degeri (a ) a a a5 a 6 a 7 a 8 a 9 a.5π, a π, a π, a π, a π, a / w (ra/s)

69 Meai Titreşiler Ders Notları F(t) 5 π [ cos ( π) ] cos (.5π t) a a *cos(**t) a *cos(**t) a 6 *cos(6**t) a 8 *cos(8**t) a *cos(**t) a *cos(**t) a *cos(**t) a 5 *cos(5**t) a 7 *cos(7**t) a 9 *cos(9**t) F(t) 68/5

70 Meai Titreşiler Ders Notları H i, ( r ) ( ξ r ) i i ϕ ta ξ r ri i H.8, φ.58 ra H.5, φ.9 ra H 5.6, φ 5.89 ra H 7.5, φ 7. ra H 9.65, φ 9. ra (t) (t) (t) 5 (t) 7 (t) 9 (t) (t) a.6 H cos (.5π t ϕ ) cos(.5π t ϕ ) cos(.5π t ϕ ) cos(.5π t ϕ ) cos(.5π t ϕ ).56 H.86 H 5.6 H 7.5 H 9 5 F(t) (t) (t) (t) (t) 7 (t) 9 (t) (t) /5

71 Meai Titreşiler Ders Notları ÖDEV: Şeile verile te serbestli ereceli sistei verile periyoi girilere cevabıı buluuz. f(t) c (t) g 5 N/ c Ns/ (a) f(t) [N] π π π π t (s) (b) f(t) [N] 6 8 Hesaplaalara ye aar iate alıız. Fourier atsayılarıı freasa göre eğişiii, zorlaa fosyouu ve cevabı grafiler halie gösteriiz. Öeviize tü hesaplaaları veriiz. Öeviizi Office Wor foratıa hazırlayıp, pf osya ve çıtı olara tesli eiiz. 7/5

72 Meai Titreşiler Ders Notları Zorlaa Fosiyouu Öreleri Mevcut İse: Bazı urulara zorlaa fosiyouu apalı foru yerie öreleiş hali evcut olabilir. Bu urua Fourier öüşüü aşağıai şeile hesaplaabilir. f(t) f f f Δt t t t t N t (s) τn*δt N N a f i, i N N πt i πt i a cos, b i si,, N N i i τ i τ 7/5

73 Meai Titreşiler Ders Notları MEKANİK TİTREŞİMER Darbe (Ipulse) ve Basaa (Step) Cevapları: Bu bölüe te serbestli bir ereceli siste içi arbe ve basaa girilere arşı cevaplar üzerie uruluştur. f(t) F (t) Δt t (s) c F Δt Siste oetuu (Ipuls a öce) Ipuls Giri Siste oetuu (Ipuls a sora) Fˆ Δt F(t) Δt Δt τ t (s) Fˆ F(t) Δt Δt t τ Δt Δt τ < t < τ Δt t τ ütlesie eti ee ipuls şeliei uvvet, ısa süreli ve büyü gelili bir uvvet olara iteleirilir. Ipuls şietii taılaa içi F(t) uvveti itegre eilir. I ( Δt) Δt τ Δt τ F(t) t F(t) uvveti saece Δt aralığıa sıfıra farlı bir eğere sahip oluğu içi yuarıai itegral sıırları aşağıai gibi geişletilebilir. I ( Δt) F(t) t (Ns) Kayalar: Theory of Vibratios-W.T.Thoso, Eleets of Vibratio Aalysis-. Meirovitch, Vibratios of Cotiuous Systes- S. Rao, Fuaetals of Mechaical Vibratios-S.G. Kelly, Vibratio Probles i Egieeri-W.Weaver, S.P. Tiosheo, D.H. Youg, Egieerig Vibratios-D.J. Ia, Müheisli Sistelerii Moelleesi ve Diaiği-Yücel Erca, Dyaics a Vibratio-M.A.Wahab. 7/5

74 Meai Titreşiler Ders Notları Yuarıa taılaa F(t) fosiyou içi eğri altıa ala hesaplaır ise Fˆ I ( Δt) F(t) t Δt Fˆ, F (t τ) t τ, Δt F (t τ)t Fˆ Eğer Fˆ ise bu uru biri ipuls giri taııı oluşturataır ve δ(t) ile gösterilir, ayrıca Dirac Delta fosiyou olara a ifae eilir. Bir sistee eti ee ipuls itelili bir uvvet, sistee bir il hız azaırırlar. Bu il hız FΔt Fˆ () ır. Durağa halei te serbestli ereceli riti altı söülü bir siste içi başlagıç hızıa bağlı titreşi cevabı (t) Fˆ e ζ t si t Fˆ içi uvvet biri ipuls olara alaırılır ve bu urua siste serbest titreşi cevabı (t) e ζ t si t ir. Bu çözüe te serbestli ereceli sistei t a eti e biri ipuls giriye cevabı aı verilir ve h(t) ile gösterilir. Fˆ şietiei bir ipuls giri içi cevap (t) Fˆ h(t) olara yazılır. Eğer biri ipuls giri tτ a ( τ ) eti eiyor ise cevap ζ (tτ) h(t τ) e si (t τ) ur. Bu cevap geel forlu bir zorlaa içi e ullaılacatır. Öre: g ağırlığıai bir uş 7 /h hız ile uçare şeile gösterile aeraya çarpataır. (Kuş zarar görüyor). Kaeraı asiu yer eğiştire geliğii hesaplayıız. E7 9 N/..55 Kaera, c g Kesit: (t) (t) Fδ(t) EI 7/5

75 Meai Titreşiler Ders Notları Çarpışa sırasıai ipuls şieti Fˆ 7 v.6 g / s Doğal freas eğeri N / 5.8 c 6. ra / s Söü oraı ζ içi (t) c v si t si 6.t 6..55si 6. t Te serbestli ereceli sistei ipulse cevabı ullaılara, sistei geel forlu bir zorlaaya cevabı hesaplaabilir. aralığa bölüüş bir zorlaa aşağıai şeile gösteriliştir. Her bir t i aıai cevap, Δt zaa süre ve uvvet geliği F(t i ) ola bir ipuls zorlaaya cevap olara ele eilebilir. (Ipuls geliği [F(t i )Δt]) F(t) F(t ) Δ t t t t t t t i t t t i aıa eti ee ipuls a cevap aşağıai gibi hesaplaabilir. Δ (t ) F(t ) h(t t ) Δt i i j zaa aralığı souai topla cevap (t j ) j i F(t ) h(t t i i i ) Δt Siste lieer oluğu içi süperpozisyo presibi geçerliir. Yuarıai ele buu bir ifaesiir. Δt sıfıra giere Δt ( ) (t) t F( τ) h(t τ)τ 7/5

76 Meai Titreşiler Ders Notları Bu itegral covolutio itegrali olara alaırılır (Ayrıca Duhael itegrali olara a biliir). Covolutio itegrali biri itegral eğişei ile ayırılış ii fosiyou çarpııı itegraliir. Covolutio itegrali aşağıai şeilei gibi e ifae eilebilir. (t) t F(t τ) h( τ)τ Duhael itegrali geel forlu bir giriye cevabı hesaplaası içi ullaılataır. Öre: Te serbestli ereceli bir sistei şeile verile giriye cevabıı buluuz. Başlagıç şartları sıfırır ve siste riti altı söülüür. F(t) F, F(t) F, t > t > t t t, c F(t) F, t > t > t t t (t) (t) F e ζt e t ζt t t ( ) e e ζτ ζτ si ( t τ) τ t si (t τ)τ F e ζτ si (t τ)τ İtegral alıır ve üzeleir ise F (t) ζ e ζ Eğer t ise ( tt ) cos[ ( t t ) θ] t t, θ ta ζ ζ (t) F ζ t ζ e cos [ t θ] 75/5

77 Meai Titreşiler Ders Notları Söü yo ise cevap (ζ) F (t) ( cos t), buraa F / üzeli reji geliğiir..8.6 g, N/, c Ns/, F N, t s... () F Zaa (s) ANSYS ile Çözü: Yuarıa verile problei ANSYS APD ile yazıla aşağıai prograı çalıştırılası ile çözebiliriz. /prep7 et,,ass et,,cobi c r,,, r,,,c,,,,,,,, type, real, e, type, real, e,, eplot /solu atype,oal oopt,lab,,all,u,,all,uz,,,uy, solve *get,f,oe,,freq t/f w*.6*f sic/(*sqrt(*)) tsot/si tt/ fiish /solu atype,tras outres,all,all bc, elti,t f,,fy, tie,elti/ solve f,,fy, tie,tso solve fiish /post6 sol,,,uy plvar, 76/5

78 Meai Titreşiler Ders Notları t.6 s 77/5

79 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: F N, N/, ζ. ve.6 ra/s eğerlerie sahip te serbestli ereceli bir sistei şeile verile giriye cevabıı buluuz. Başlagıç şartları sıfırır ve siste riti altı söülüür. Giri aşağıai gibi ii girii toplaı olara a ifae eilebilir. F(t) F(t) F(t) F F t t (s) t (s) t t (s) -F Şeile görülüğü te serbestli ereceli sistee eti t süreli ve F gelili zorlaa şeilei gibi F gelili süreli bir zorlaa ile t zaaıa başlaya F gelili iğer bir süreli zorlaaı toplaı ile ifae eilebilir.f(t)f (t)f (t). ieer sistelere süperpoziyo presibi geçerli oluğu içi sistei cevabı bu ii zorlaaya ola cevapları toplaı şelie olacatır. (t) (t) (t). Dolayısı ile F ζ t F (t) e cos t ζ ζ ( ) [ ] ζ tt t θ e cos[ ( t ) θ] Tü t eğerleri içi t>t eğerleri içi F e ζt ( e cos[ (t t) θ] cos( t θ) ), t > ζt (t) t ζ 78/5

80 Meai Titreşiler Ders Notları.6 t s F. t 5 s (t) (). t -. t. s t s Zaa (s) Zorlaa Fosiyou Rapa Şelie İse: Te serbestli ereceli bir siste içi rapa şelie bir zorlaa söz ousu ise zaaa bağlı yer eğiştire cevabı aşağıai foraır. F(t) δf Eği δf t (s) (t) δf ζ t e ζ t ζ cos ζ t si t Eğer söü sıfır ise (ζ) (t) δf [ t si t] soucu ele eilir. 79/5

81 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: F(t) [N] Yuarıai örete verile sistei yaa gösterile zorlaaya cevabıı hesaplayıız. Eği, δf5 N/, ζ. ve.6. t (s) (t) Zaa (s) ŞOK SPEKTRUMU (SHOCK SPECTRUM-RESPONSE SPECTRUM) Müheisli sisteleri çalışa şartlarıa ısa süreli arbe itelili zorlaalara aruz alabilirler. Bir zorlaaı etie süresi sistei. oğal periyoua üçü ise bu tip zorlaalara şo giri aı verilir. Darbe etisi ile oluşa e büyü yer eğiştire cevabıı sistei oğal freasıa göre eğişii şo spetruu olara alaırılır. Öre: Şeilei te serbestli ereceli söüsüz sistei, şeile gösterile yarı siüs şeliei zorlaa uruu içi şo spetruuu ele eiiz. Siste başlagıçta urağaır. 8/5

82 Meai Titreşiler Ders Notları f(t) f(t) (t) F t t T π t π F f (t) si t π t t t t > t Sistei geel çözüü (t) h (t) ö (t) şelieir. F (t) A cos t Bsi t si t, Başlagıç şartlarıa () () A, F B ( ) Bu urua geel çözü şu şeile yazılabilir. (t) F / si t si t t t Sistei oğal periyou ve arbe süresi ullaılara cevap şu şeile e yazılabilir. (t) δ st T t π T si t t t π t π T π si t T T t t t 8/5

83 Meai Titreşiler Ders Notları Yuarıai çözü t t zaa aralığı içi geçerliir. t>t a uvvet ortaa altığı içi serbest çözü geçerliir. (t) A'cos t B'si t t > t Serbest çözüü başlaığı aai (pulsu bittiği aa) ve eğerleri ullaılara T π t (t t ) α si A'cost B'si t t T π π π t (t t ) α cos A'si t B'cos t t t T δst Buraa α T t Yuarıai ii ele ullaılara uvvette sorai serbest titreşi uruuu içi A ve B atsayıları aşağıai gibi ele eilir. απ A' t si t απ, B' t [ cos t ] Bu atsayılar serbest titreşi eleie yerie our ise (t) δ st T / t T t t si π T t T si π t T, t > t Kuvvet eti eere ve uvvet altığı aai (t) ifaesii e büyü eğerleri aşağıai gibi grafi halie getirilir ise 8/5

84 Meai Titreşiler Ders Notları (t) δst a t T Şeile e görülüğü gibi te serbestli ereceli sistei e büyü yer eğiştire geliği t (t).75 oraıa. 75 T olara ele eileteir. δst a Darbe süresii yapıı oğal periyoua oraı eğiştirilere yer eğiştire gelileri otrol eilebilir. 8/5

85 Meai Titreşiler Ders Notları TEK SERBESTİK DERECEİ SİSTEM BASAMAK FORMU GİRDİ CEVABI Öre : MATAB İE: f(t) F(t) c (t) F F (t) ζ e ζ ( tt ) cos[ ( t t ) θ] t t t, θ ta ζ ζ t Matlab ile Çözü: clc;clear F; t; ; ; si.; csi**sqrt(*); sqrt(-si^); tetaata(si/); wsqrt(/); ww*; t.; tso6; t:t:tso; t<t içi FASE yai t olasıı sağlar t>t içi TRUE yai t i forül soucuai eğeri alasıı sağlar t((f/)*(-/*ep(-si*w*(t-t)).*cos(w*(t-t)-teta))).*(t>t); plot(t,t) label('zaa (s)') ylabel('yer egistire ()') 8/5

86 Meai Titreşiler Ders Notları.8.6. Yer egistire () ANSYS ile Çözü: t 5 6 Zaa (s) /title,"-dof step giri cevabı" /prep7 et,,ass et,,cobi si. csi**sqrt(*) F r,,, r,,,c,,,,,,,, type, real, e, type, real, e,, eplot t.!zaa artıı tso6! Aaliz içi so süre,all,u,,all,uz,,,uy, /solu atype,tras outres,all,all bc, elti,t t!kuvvet uygulaıyor f,,fy, tie,t solve f,,fy,f tie,tt solve f,,fy,f tie,tso solve!çözü taalaı fiish /post6 sol,,,uy plvar, Farlı uvvetler içi eğişece satırlar 85/5

87 Meai Titreşiler Ders Notları Öre : f(t) c (t) F F(t) t t (s) F (t) ζ F ( ) [ ] ζ tt t θ e cos[ ( t t ) θ] ζ t e cos ζ θ ta ζ ζ 86/5

88 Meai Titreşiler Ders Notları MATAB İE: clc;clear F; t; ; ; si.; csi**sqrt(*); sqrt(-si^); tetaata(si/); wsqrt(/); ww*; t.; tso6; t:t:tso; tf/*(-/*ep(-si*w*t).*cos(w*t-teta)) t(-f/*(-/*ep(-si*w*(t-t)).*cos(w*(t-t)-teta))).*(t>t); ttt plot(t,t) label('zaa (s)') ylabel('yer egistire ()')..5 Yer egistire () Zaa (s) 87/5

89 Meai Titreşiler Ders Notları ANSYS İE: /title,"-dof step giri cevabı" /prep7 et,,ass et,,cobi si. csi**sqrt(*) F r,,, r,,,c,,,,,,,, type, real, e, type, real, e,, eplot t.!zaa artıı tso6! Aaliz içi so süre,all,u,,all,uz,,,uy, /solu atype,tras outres,all,all bc, elti,t t!kuvvet uygulaıyor f,,fy,f tie,t solve f,,fy,f tie,t solve f,,fy, tie,tt solve f,,fy, tie,tso solve!çözü taalaı fiish /post6 sol,,,uy plvar, 88/5

90 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: f(t) c (t) F F(t) t t t (s) ANSYS İE: /title,"-dof step giri cevabı" /prep7 et,,ass et,,cobi si. csi**sqrt(*) F r,,, r,,,c,,,,,,,, type, real, e, type, real, e,, eplot t.!zaa artıı tso6! Aaliz içi so süre,all,u,,all,uz,,,uy, /solu atype,tras outres,all,all bc, elti,t t t!kuvvet uygulaıyor f,,fy, tie,t solve f,,fy,f tie,tt solve f,,fy,f tie,t solve f,,fy, tie,tt solve f,,fy, tie,tso solve!çözü taalaı fiish /post6 sol,,,uy plvar, 89/5

91 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: f(t) F(t) c (t) F t t t (s) 9/5

92 Meai Titreşiler Ders Notları /title,"-dof step giri cevabı" /prep7 et,,ass et,,cobi si. csi**sqrt(*) F r,,, r,,,c,,,,,,,, type, real, e, type, real, e,, eplot t.!zaa artıı tso6! Aaliz içi so süre,all,u,,all,uz,,,uy, /solu atype,tras outres,all,all bc, elti,t t t!kuvvet uygulaıyor f,,fy, tie,t solve f,,fy,f tie,t solve f,,fy, tie,tt solve f,,fy, tie,tso solve!çözü taalaı fiish /post6 sol,,,uy plvar, 9/5

93 Meai Titreşiler Ders Notları BİRİM IMPUS GİRDİ CEVABI (t) e ζ t si t clc;clear F; t; ; ; si.; csi**sqrt(*); sqrt(-si^); tetaata(si/); wsqrt(/); ww*; t.; tso6; t:t:tso; t(/*w)*ep(-si*w*t).*si(w*t); plot(t,t) label('zaa (s)') ylabel('yer egistire ()') Yer egistire () Zaa (s) ANSYS İE /title,"-dof step giri /prep7 et,,ass et,,cobi si. csi**sqrt(*) F r,,, r,,,c,,,,,,,, type, real, e, type, real, e,, eplot t.!zaa artıı tso6! Aaliz içi so süre,all,u,,all,uz,,,uy, /solu atype,tras outres,all,all bc, elti,t!kuvvet uygulaıyor f,,fy, tie,t/ solve f,,fy,f/t tie,t/ solve f,,fy, tie,t solve f,,fy, tie,tso solve!çözü taalaı fiish /post6 sol,,,uy plvar, 9/5

94 Meai Titreşiler Ders Notları 9/5

95 Meai Titreşiler Ders Notları MEKANİK TİTREŞİMER TİTREŞİM ÖÇÜMÜ: Titreşi ölçüü oluça apsalı bir ouur ve eai, eletri ve eletroi bilgisi içeriliir. Titreşi ölçülerie titreşi geliği (yer eğiştire-isplaceet, hız-velocity ve ive-acceleratio) ile titreşi freası bilgilerie ulaşa teel aaçtır. Aşağıa titreşi ölçü sisteleri ile ilgili geel bir sııflaıra yapılıştır (Faraza Haieri, Dyaics of Machiery, 7) Titreşi freası Ölçüü: (Dyaics of Machiery, Faraza Haieri, 7) E teel freas ölçü sistei boyu ayarlaabilir aastre bir iriştir. Aastre bir iriş içi birici oğal freas ifaesi E I.5 şelieir. (Süreli siste yalaşıı ile ele eiliş ifae) iriş Kayalar: Theory of Vibratios-W.T.Thoso, Eleets of Vibratio Aalysis-. Meirovitch, Vibratios of Cotiuous Systes- S. Rao, Fuaetals of Mechaical Vibratios-S.G. Kelly, Vibratio Probles i Egieeri-W.Weaver, S.P. Tiosheo, D.H. Youg, Egieerig Vibratios-D.J. Ia, Müheisli Sistelerii Moelleesi ve Diaiği-Yücel Erca, Dyaics a Vibratio-M.A.Wahab, Faraza Haieri, Dyaics of Machiery. 9/5

96 Meai Titreşiler Ders Notları Boyu ayarlaabilir aastre iriş titreşi freası ölçülece siste üzerie ote eilir. Aastre irişi rezoas a geliği iriş boyu eee ile tespit eilir ve bu boy içi yuarıai forül ullaılara hesaplaa freas titreşe sistei titreşi freasıır. FUARTON TAKOMETRESİ Titreşi freasıı ölçe içi ullaılış ola iğer bir siste e yuarıai siste ile ayı presibe ayaataır. Bu sistee farlı boylarai bir izi aastre iriş evcuttur. Bu sistei ote eiliği titreşe cisi titreşi freası hagi irişi oğal freasıa eşit veya yaı ise bu irişi titreşi gelileri iğerlerie azara yüse seviyelere ulaşacatır. Bu uru gözleere titreşi freası belirleebilir. Bu tip freas ölçü sistelerie FRAHM Taoetresi aı verilir. FRAHM TAKOMETRESİ (NSV, Kaeswara Rao, Mechaical Vibratios of Elastic Systes) 95/5

97 Meai Titreşiler Ders Notları TİTREŞİM ÖÇÜM ARAÇARI SİSMİK ARAÇAR (SEISMIC INSTRUMENTS) Sisoetre (Seisoeter): Titreşe sistelerei titreşi hareetii zaaa bağlı eğişii sisi cihazlar ullaılara ölçülebilir ve ayıt eilebilir. Bir sisi algılayıcıı (sesörü) şeati resi aşağıa veriliştir. Sisi ütle (t) Koruyucu (Housig) c Titreşe cisi, aie veya zei y(t) Sisi cihazı bağlaığı cisi hareet ettiçe sisi ütle e hareet eer. Titreşe cisi titreşi hareetii te freaslı haroi bir fora oluğuu üşüür ise, y(t) Ysi t, y (t) Y cost, y(t) Ysi t Sisi cihaz (estrüa) sisi ütle ile zei hareeti arasıai farı ölçer. Bu farı z y şelie ifae eer ise z y ve z y ir. Sisi ütleye ait hareet elei aşağıai gibi ele eilebilir c( y) ( y) z y yerie our ise z c z z y c z z z ζ z z Ysi t z Ysi t Ysi t 96/5

98 Meai Titreşiler Ders Notları Bağıl hareete göre yazıla yuarıai hareet elei zorlaa geliğii zorlaa freasıı aresi ile oratılı oluğu haroi zorlaa uruua arşılı geleteir ve cevap aşağıai gibi yazılabilir. z (t) Zsi t ( ϕ) Buraa Z bağıl titreşi geliği ve faz açısı aşağıai gibi ifae eilir. r Z Y, ( r ) ( ζr) ϕ ta ζr r Λ H (Büyüte fatörü) ( r ) ( ζr) Λ r H, r (-zorlaa freası, -Sisi ütlei oğal freası) Z ΛY Freas oraıa bağlı olara Λ ı eğişiii terar hatırla ise 5 Λ Z Y Arta Söü Sisoetre Bölgesi 5 r 97/5

99 Meai Titreşiler Ders Notları Görülüğü gibi r> freas oraları içi söü oraıa bağısız olara bağıl yer eğiştire geliği ile zei (titreşe cisi) yer eğiştire geliği oraı yalaşı olataır (belli bir hata payı ile). Bu urua zei yer eğiştiresi ile sisi ütle yer eğiştiresi arasıa saece bir faz farı varır ve bu faz farı geel olara te freaslı titreşiler içi öeli eğilir. Titreşi ölçü cihazları bağıl hareet ile oratılı siyal çıışı sağlaataırlar. Dolayısı ile büyü freas oraları içi (r>) bağıl yer eğiştire geliği aslıa zeii (titreşe cisi) titreşi geliği olataır. Büyü freas oraları r geretire sisi cihazlara SİSMOMETRE (SEISMOMETER) veya TİTREŞİMMETRE (VİBROMETER) aı verilir. Noral çalışa freasları içi büyü freas oraı, sisi ütlei üşü oğal freaslara sahip olası ile ele eilebilir. Bu uru sisi ütlei büyü, yayı ise üçü iregeliğe sahip olası ile sağlaabilir. Büyü ütle geresiii olayısı ile sisoetreler büyü hacili cihazlarır ve olayısı ile aie titreşilerii ölçüleri içi uygu olayıp, zei titreşilerii belirleesi içi (epre gibi) uyguurlar. Sisograf görütüsü. 98/5

100 Meai Titreşiler Ders Notları Sisoetre ölçüleriei hata şu şeile ifae eilebilir. Ygerçe Y E Ygerçe Y Z E Y E Λ ölçüle İveetre (Acceleroeter): Titreşe cisi ivesii ölçüü söz ousu ise şu yöte izleebilir. Z H Y ii. Buraa Y ölçülece titreşi i geliği H H Z Büyüte fatörü H ı freas oraıa bağlı avraışı terar hatırlaır ise üçü freas oraları içi (r<<) H eğerii yalaşı oluğu görülebilir. 6 5 X/F / İveetre bölgesi Arta söü Dolayısı ile üçü freas oraları içi Z Y y geçerliir. Dolayısı ile cihaz titreşi ivesi ile ilişili bir çıtı üretir ve bu tip cihazlara İVMEMETRE (ACCEEROMETER) aı r 99/5

101 Meai Titreşiler Ders Notları verilir. İveetrelere üçü freas oralarıı sağlaa içi oğal freası büyü olası gereliir. Bu a üçü sisi ütleler ve büyü yay iregelileri ile ele eilir. İveetrelere ullaıla sisi ütleleri üçü olası olayısı ile titreşii ölçülece cisilere ote eileleri olay ve uyguur, olayısı ile iveetreler titreşi ölçülerie tercih eile ölçü elealarıır. İveetreei ölçü hatası H ı freas ve söü oraıa bağlı olara eğişii iceleere belirleebilir.. Şeile görülüğü gibi ζ.7 eğeri içi büyü bir freas aralığıa H abulü e az hata ile sağlaataır. Bezer uru Sisoetre içi e geçerliir (r>). Bu eele sisoetre ve iveetre tasarıları söü oraı.7 olaca şeile gerçeleştirilir. Öre: Doğal freası.5 Hz ola söüsüz bir sisoetre içi % hataa aha üşü ölçü yapılabilece freas alt sıırı eir? Sisoetreler oğal freaslarıa büyü freaslarai titreşileri ölçe içi tasarlaışlarır (r>). Söüsüz uru içi Z Y r r Z Y r...r r. r 7. r. f r 7. f Hz. f.58 Hz e büyü freaslarai titreşi ölçüleri içi sisoetre hatası % e üçü olacatır. Öre: Doğal freası 5 Hz ola bir sisoetrei söü oraı ζ.5 ir. Sisoetrei % e üşü hata ile ölçü yapabileceği e üşü freas eir. /5

102 Meai Titreşiler Ders Notları Z Y r ( r ) ( ζr). r (.) ( r ) ( *.5r) r r r.69 r r r.69 r.69 r.69 r.69 r.69 r.69 pr öüşüü yapılır ve öler buluur ise r. ve r. eğerleri ele eilir. Sisoetre içi büyü r eğeri freas alt eğerii verecetir. f Buraa % hata ile ölçü alt freas eğeri r. f5*.6.66 Hz f olara ele eilir. Öre: Hz oğal freasa ve.5 söü oraıa sahip bir sisoetre ile Hz e titreşe bir siste içi ölçü yapılış ve. yer eğiştire geliği ele eiliştir. Bu ölçüei ölçü hatası eir. r f f 5 Z Y Λ r 5 ( r ) ( ζr) ( 5) ( *.5*5).96 Ölçü hatası E Λ.96 %.96 ir. /5

103 MEKANİK TİTREŞİMER ÇOK SERBESTİK DERECEİ SİSTEMER: Gerçe uygulaalara birço üheisli sistei bire fazla serbestli erecesi içereteir. Ço serbestli ereceli sisteleri titreşi aalizlerie iferasiyel ele taıları ve bulara bağlı olara oluşturula atris foruai eleler söz ousuur. Bu eleler birlite veya uygu öüşüler ile ayrı ayrı çözülere evcut geel ooriatlar içi sistei serbest titreşilerii ve belirli ış zorlalara arşı zaaa bağlı cevaplarıı belirleesi üüür. Öre olara aşağıai ii serbestli ereceli ötelee sisteii ele alalı. Öre: Şeilei ii serbestli ereceli siste içi (, ) içi hareet elelerii ele eeli E ( ) E ( ) ( ) c c f f W δ δ δ δ δ agrage elei geel ooriatı içi uygulaır ise Q E E t c c c f ( ) ( ) f c c c () agrage elei geel ooriatı içi uygulaır ise Q E E t c c f f c c () (t) c c (t) f (t) f (t) Kayalar: Theory of Vibratios-W.T.Thoso, Eleets of Vibratio Aalysis-. Meirovitch, Vibratios of Cotiuous Systes- S. Rao, Fuaetals of Mechaical Vibratios-S.G. Kelly, Vibratio Probles i Egieeri-W.Weaver, S.P. Tiosheo, D.H. Youg, Egieerig Vibratios-D.J. Ia, Müheisli Sistelerii Moelleesi ve Diaiği-Yücel Erca, Dyaics a Vibratio-M.A.Wahab. Meai Titreşiler Ders Notları /5

104 Hareet eleleri atris forua yazılır ise f f c c c c c Sistei söüsüz serbest titreşilerie ait freasları (oğal freaslar) aşağıai şeile hesaplaabilir. Söüsüz serbest titreşi elei st e X (t) st e X (t) st e X s (t) st e X s (t) e X X e X X s st st ( ) e X X s s st ( ) s s et ( ) [ ]( ) s s ( ) [ ] s s (arateristi polio). erecee poliou öleri sistei oğal freaslarıı verir.,i i s s i,, i s, ( ) D ( ) D Meai Titreşiler Ders Notları /5

105 Meai Titreşiler Ders Notları D Karateristi poliou öleri ile sistei ii oğal freası ele eilir ve bu oğal freas eğerleri ullaılara serbest titreşi hareeti sırasıa X ve X yer eğiştirelerie ait ora şu şeile ele eilir. s ( ) s X X [ s ( )] X X X X s ( ) veya iici elee ( s ) X X X s X ele eilir. Sayısal Öre: Yuarıai problee g, 5 g, N/, N/ alalı. Bu uru içi sistei oğal freaslarıı ve bu freaslarai titreşi biçilerii ele eeli. Ds 85 5 s s, ± 5.89 i s, ± 6.5 i 5.89 ra / s, 6.5ra / s f 8.98 Hz, f 5.5Hz Doğal titreşi gelilerii ele ete içi. titreşi biçii içi s yerie our ise X X s ( ) *( 589.8) ( ).858 /5

106 Meai Titreşiler Ders Notları. titreşi biçii içi s yerie our ise X X s ( ) *( 57) ( ) -.9 X yer eğiştire geliği içi eğeri abul eilir ise bu urua. oğal titreşi ou içi X.858, iici titreşi ou içi X -.9 olur. Bu uru aşağıa şeil olara gösteriliştir. c Mo Mo X c X Titreşi şeillerii hesaplaasıa iici ele e ullaılabilir, ayı souçlar ele eilecetir. Bu siste içi ANSYS ile oel oluşturulur ve oğal freaslar hesaplaır ise /title,"ii Serbestli Dereceli Siste" /prep7 et,,ass et,,cobi 5 r,,, r,,, r,, r,,,,,,,,,-,,,,-, type, real, e, real, e, type, real, e,, real, e,, eplot /solu atype,oal oopt,lab,,all,u,,all,uz,,,uy, solve y 5/5

107 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: Şeile verile ii serbestli ereceli il is sisteie ait oğal freasları ve titreşi biçilerii buluuz. θ θ J g J g t N/ra t N/ra t E Jθ J θ E tθ δ W t ( θ θ ) θ içi agrage elei uygulaır ise J J t t E θ E θ Qθ θ ( ) θ θ J t t t θ içi agrage elei uygulaır ise t E θ E θ Qθ J θ t θ tθ θ θ θ θ θ θ, st ( t) θe θ, st ( t) θe θ, θ, st ( t) s θe θ st ( t) s θe s θ θ θ s θ s θ θ θ ( s ) θ θ θ ( ) s θ s θ si yazılır ise s - 6/5

108 Meai Titreşiler Ders Notları θ θ θ, θ et 8 z olsu. 8z z Δ b ac *8* 6 Δ 6 b Δ 6 z a 6 b Δ 6 z 5 a 6 Küçü freas. oğal freasır ra / s,.6 ra / s Titreşi biçilerii bula içi. ele ullaılır ise ( ) θ θ θ. 5 θ * 5 ( ) θ θ θ θ * θ θ Mo θ Mo t θ J J t θ θ 7/5

109 Meai Titreşiler Ders Notları Haroi Zorlaa Cevabı: Aşağıa verile ii serbestli ereceli sistee, belirtile haroi zorlaa içi ve ütlelerie ait cevap gelileri aşağıai şeile buluabilir. f (t) f(t) f Dolayısı ise (t) X cost ve (t) X cost ( X X X ) cost F cost ( X X X ) cost (t) F cos t forua ise (t) X cos t ve (t) X cos t olara alıabilir. 5 g, 5 N/ ve f (t) cos5t içi X ve X gelileri X 75 5 X X X.8.8 (etre) ANSYS ile /title,"ii Serbestli Dereceli Siste Haroi Cevap" /prep7 et,,ass et,,cobi 5 5 F r,, r,,* r,, r,,*,,,,,,,,,,,,,,,, type, real, e, real, e, type, real, e,, real, e,, real, e,, eplot /solu atype,,all,uy,,all,uz,,,u,,,u, f,,f,f harfrq,7.5,8.5!hertz cisie zorlaa freası aralığı subst,! 7.5 ila 8.5 Hz aralığı aça bölüece bc, solve /post6 sol,,,u sol,,,u plvar,, 8/5

110 Meai Titreşiler Ders Notları 5 ra/s f5/(*π) Hz..8 X.8 X f Hz DİNAMİK TİTREŞİM YUTUCU: Söüsüz Diai Titreşi Yutucu: Te serbestli ereceli söüsüz bir sistei haroi zorlaa etisiei titreşi gelileri bu siste üzerie aa sistee bezer e bir siste ilavesi ile yo eilebilir. Bu e sistelere iai titreşi yutucu aı verilir ve özellile rezoas uruua çalışa sisteleri titreşi gelilerii bastırılası içi uygu çözülerir. Aa siste i t Fe (t) ( ) X F X Titreşi Yutucu A (t) X X A F 9/5

111 ) ( et(a) A ( )F et(a) X F et(a) X F oluğua aa ütlei titreşilerii sıfır olabilesi içi (X ) olalıır. Buraa haroi zorlaa freasıır. Bu urua (ra/s) olalıır. Aa ütlei yer eğiştire gelilerii sıfır olabilesi içi e sistei oğal freası sistei çalışa freasıa ayarlaalıır. Bu şeile aa ütlei yer eğiştire geliği sıfır yapılır ise, elee söüleyici sistei yer eğiştire geliği şu şeile hesaplaabilir. ( ) [ ]( ) A) et( ( ) ( ) A) et( A) et( yerie our ise A) et( A) et( Buraa F F X ir. Meai Titreşiler Ders Notları /5

112 Görülüğü gibi titreşi yutucuu yer eğiştire gelileri iregeliğie bağlıır. Titreşi yutucuu yer eğiştire gelileri azaltıla isteiyor ise iregeliği arttırılabilir, buula birlite yutucuu oğal freasıı sistei çalışa freasıa farlılaşaası içi yutucu ütlesi e oraı orua aacıyla arttırılalıır. Diai titreşi yutuculu sistei freas cevaplarıa baılır ise (ra/s) [Aa siste oğal freası] (ra/s) [Yutucu-absorber oğal freası] st F δ [Aa ütle stati yer eğiştiresi] st X δ st X δ Yutucuu oğal freası zorlaa freasıa () eşit olaca şeile ayarlaığıa aa ütle yer eğiştire geliği X olur. Bu urua yutucu yer eğiştire geliği yuarıa a bahseiliği gibi F X ir. Aa ütlei rezoas uruua çalışası ve iai titreşi yutucusuu a bu urua ullaılası söz ousu ise ir. Bu ifaeler yuarıai boyutsuz yer eğiştire geliği ifaelerie yerie our ise st X δ, st X δ Yutuculu sistee aa ütlei yer eğiştire geliğii aa ütle stati yer eğiştire geliğie oraı Yutuculu sistee yutucuu yer eğiştire geliğii aa ütle stati yer eğiştire geliğie oraı Meai Titreşiler Ders Notları /5

113 Meai Titreşiler Ders Notları Kütle oraı içi μ taılaası yapılara X δ st μ, μ X δ st μ μ Soucua ulaşılır. /.5 8 Yutucu yo ie Aa Kütle X/X -stati 6 Yutucu Kütlesi Yutucu var ie Aa Kütle w/w Şeil: Aa ütle ve yutucuu zorlaa freasıa bağlı yer eğiştire geli oraları. Bu urua Aa siste üzerie Diai titreşi yutucu eleesi ile oluşa ii serbestli ereceli sistei oğal freasları şu şeile hesaplaabilir. μ μ, μ (ra/s) /5

114 Meai Titreşiler Ders Notları Bu uru içi oluşa ii serbestli ereceli istee ait boyutsuz oğal freaslar ütle oraıa bağlı olara aşağıai grafi ile gösterilebilir w/w μ /5

115 Meai Titreşiler Ders Notları /5 MEKANİK TİTREŞİMER MODA ANAİZ: Ço serbestli ereceli sistelere hareet eleleri içerisie tü serbestli erecelerii ve/veya türevlerii göre üü olabilir. Dolayısıyla bu şeilei bağlaşı (couple) hareet eleleri çözülür ie, eleleri birlite çözüleleri gereir. aplace trasforu ve uru eğişeleri foru ullaılara hareet elelerii birlite çözülesi üüür. Diğer tarafta Moal Aaliz yötei ullaılara hareet elelerii te başlarıa çözülebilir bağısız eleler halie getire ve ele eile çözülere yola çıara Mo Toplaa (Moe Superpositio) yötei ile başlagıç şartları veya verile bir ış zorlaa içi gerçe siste cevaplarıı ele ete üüür. Söüsüz serbest titreşiler üşüülüğüe hareet eleeleri aşağıai fora yazılır. st e X (t) st e X (t) st e X s (t) st e X s (t) [ ]{ } [ ]{ } X M X K i i i Ço serbestli ereceli bir sistei i. ve j. oğal freasları içi aşağıai ifaeler geçerliir. Kayalar: Theory of Vibratios-W.T.Thoso, Eleets of Vibratio Aalysis-. Meirovitch, Vibratios of Cotiuous Systes- S. Rao, Fuaetals of Mechaical Vibratios-S.G. Kelly, Vibratio Probles i Egieeri-W.Weaver, S.P. Tiosheo, D.H. Youg, Egieerig Vibratios-D.J. Ia, Müheisli Sistelerii Moelleesi ve Diaiği-Yücel Erca, Dyaics a Vibratio-M.A.Wahab. (t) c c (t) f (t) f (t) f f c c c c c ( ) i i X X veya i i X X i. oğal freas içi o şeilleri

116 Meai Titreşiler Ders Notları i [ M ]{ X} i [ K]{ X} i () [ M ]{ X} j [ K]{ } j j X () Dele { X } T j ile çarpılır ise i i T T { X } j [ M]{ X} i { X} j [ K]{ X} i ( X j, Xi ) ( X j, Xi ) M K () Dele { X } T i ile çarpılır ise T T { X } i [ M]{ X} j { X} i [ K]{ } j j X ( X i, X j ) ( Xi, j ) M K j X () Dele Dele e çıartılır ise i ( X j, Xi ) j ( Xi, X j ) ( X j, Xi ) ( Xi, X j ) M M K K ( X j, Xi ) ( Xi, X j ) ve ( X j, Xi ) ( Xi, X j ) M M K K ( )( X, X ) (5) i j j i M oluğua ( X, X ) ( X, X ) i j (Kieti Eerji Saler Çarpıı) j i M i j M Farlı oğal freaslar içi ele eile o şeil vetörleri orthogoal ir (ili) ve olayısıyla ile saler çarpıları sıfırır. Ayı uru iregeli atrisi ile oluşturula çarpı içi e geçerliir. ( X, X ) i j (Potasiyel Eerji Saler Çarpıı) K Bağlaşı uruai iferasiyel eleleri bağlaşı olaya (ucouple) hale getire içi ütle, söü ve iregeli atrisleri Moal atris (P) ile işlee soulur. 5/5

117 Meai Titreşiler Ders Notları 6/5 [ ] [ ] [ ][ ] P M P M T q, [ ] q q q q M K K [ ] [ ] [ ][ ] P C P C T q, [ ] q q q q c c c C K K [ ] [ ] [ ][ ] P K P K T q, [ ] q q q q K K K Moal ooriatlar ullaılara hareet eleleri bağısız hale getirilebilir. [ ]{} [ ]{} [ ]{} {} f K C M {} [ ]{} q P abul eilere. {} [ ] { } P q [ ][ ]{} [ ][ ]{} [ ][ ]{ } {} f q P K q P C q P M Delei her ii tarafıı [ ] T P ile çarpar ise [ ] [ ][ ]{} [ ] [ ][ ]{} [ ] [ ][ ]{ } [ ] { } f P q P K P q P C P q P M P T T T T [ ] {} [ ] {} [ ] {} [ ] {} f P q K q C q M T q q q Serbest titreşi içi sağ taraf sıfır olur. Bu urua [ ] {} [ ] {} [ ] {} q K q C q M q q q Başlagıç şartları altıai serbest titreşi cevabı içi ( ) ( ) [ ] t si B t cos A e (t) q i i i i t i i i ζ, i,,,. ( sistei serbestli erecesiir) İl şartlar oal ooriatlara şu şeile ele eilebilir.

118 Meai Titreşiler Ders Notları {} q [ P] {}, { q } [ P] {} Bu urua A i ve B i atsayıları şu şeile ele eilebilir. A i q i, B i q i ζ i i i q i cqii ζ i, qii qii i i ζi İl şartlara bağlı cevap oal ooriatlara buluuta sora ters öüşü ile gerçe ooriatlara geçiş yapılabilir. {} t [ P]{} q t Öre olara ii serbestli ereceli bir siste içi, (t) P (t) P P P q q (t) (t) (t) P q (t) P q (t) (t) P q(t) P q (t) şelie ele eilir. Geel ooriatlar içi cevap, oal ooriatlarai cevapları toplaı şelie ele eilebilir. Ço serbestli ereceli sisteleri cevabı içi öeli oları atılarıı iate ala çoğu zaa yeterli oğruluta cevap ele eteizi sağlar. Öre: Yuarıa verile ii serbestli ereceli siste içi siste paraetreleri aşağıa veriliştir. Söüsüz uru içi verile başlagıç şartları altıa siste cevabıı buluuz. g.5 g 7 N/ 7 N/ (), () ()-, () M K Doğal freaslar içi et [ K] [ M] ra / s, ra / s 7/5

119 Meai Titreşiler Ders Notları ye göre oralize eiliş o şeilleri hesaplaır ise X X ( ) 7 7 * X X ( ) 7 7 * φ.87, φ.597 Titreşi biçileri ele eilite sora oal atris şu şeile yazılabilir [ φ φ ] P T { } j [ M]{ X} i X çarpııı otrol eerse {.597 }.87. görülüğü gibi sıfır alıabilir..5 T { } j K{ X} i X çarpııı otrol eerse {.597 } 7 7 oluğu görülür (virgüle sora fazla basaa alıalı). Ele eile oal atris ullaılara oal ooriatlara geçilebilir T [ M] [ P] [ M][ P] q T 7.6 [ K] [ P] [ K][ P] q [ M] {} q [ K] {} q q q /5

120 Meai Titreşiler Ders Notları.76 q.857q q q Verile il şartları oal ooriatlara öüştürür ise q q [ P] q q et(p) et(p).6 q q.8 ().8 Söüsüz uru içi, q(t) A cos t B si t q, A q,.8, B q (t).8cos 55.t () q, q (t) q, cost si t (t) q.8cos t () Moal ooriatlara ele eile çözüler, gerçe ooriatlara Moal atris yarıı ile atarılabilir. t [ P] q q t t q q t (t).86 cos( 55. t).769 cos( t) ( 55. t).8cos( t) (t).87 q(t).597 q () (t) q (t) q (t).8cos () 9/5

121 Meai Titreşiler Ders Notları.5 q (t).5 q i (t) q (t) Zaa(s).5.5 (t) (t) i (t) Zaa (s) /5

122 Meai Titreşiler Ders Notları TİTREŞİM BİÇİMERİNİN KÜTE VEYA DİRENGENİK MATRİSİ KUANIARAK NORMAİZASYONU: Yuarıa verile örete titreşi biçilerii oralizasyou X oal yer eğiştiresi ullaılara gerçeleştiriliştir. Titreşi biçileri oralize eilir ie ütle ve iregeli atrislerie e yararlaılabilir. Noralize eiliş Moal atris ve ütle/iregeli atrisleri ullaılara şu ilişiler yazılabilir. [ P] T T [ M][ P] [ I], [ P] [ K][ P] [ I], buraa I biri atristir. Bu ifaelere verile oal atrisi oluştura içi titreşi biçileri ütle veya iregeli atrisleri ullaılara oralize eileliir. T i Bu işle içi a i { X} [ M] a { X} veya a i{ X} [ K] a { X} i i T i i i ifaeleri ullaılabilir. i Öre olara yuarıa verile proble içi ütle atrisi ullaılara oralizasyo yapılır ve oal atris ele eilir ise. 55. ra / s, ra / s.87 X φ { } φ, { X}.597 Noralize eiliş titreşi biçii φ i a iφi şelie ifae eilir ise ütle atrisie göre oralizasyo şu şeile yapılabilir. Birici titreşi biçii içi.5.87 [.87 ] a a.87 a.5 [.87 ].76 a.988 X a φ { } İici titreşi biçii içi [.597 ] a a /5

123 Meai Titreşiler Ders Notları.597 a.5 [.597 ].857 a. 85 X a φ { } Kütle atrisi ullaılara yapıla oralizasyo soucu ele eiliş Moal Matris aşağıai gibiir..766 P Söüsüz titreşiler içi hareet elei [ M ]{} [ K]{} { f (t)} Pq öüşüü ile P q [ M ][ P]{} q [ K][ P]{} q { f (t)} Delei her ii tarafıı P T ile çarpar ise T T T [ P] [ M][ P]{} q [ P] [ K][ P]{} q [ P] { f (t)} T {} q []{} I q { g(t) }, { g(t) } P { f (t)} şelie ifae eilebilir. Böylece serbestli ereceli söüsüz bir siste içi hareet eleleri q q g(t) q q g (t) M q q g (t) Şelie ifae eilere eleler bağısız olara çözülebilir. Sistei çözüü ullaılara ele eilir. Pq ifae Yuarıai öreği çözer ise 55. ra / s, ra / s P, /5

124 Meai Titreşiler Ders Notları q q q q et(p) et(p) q 55. q q (t) A cos t B si t ullaılara A.79, B q (t).79 cos( 55.t) q q q (t) A cos t B si t ullaılara A -.8 B (t) q.8 cos ( t) (t).766 (t) cos.8.8 cos ( 55.t ) ( t) ( 55.t).767 cos( t) (t).88cos () (t) ( 55.t).8cos( t).8cos () olara ele eilir. Görülüğü gibi ii cevap a bir öcei ile ayıır. /5

125 Meai Titreşiler Ders Notları MEKANİK TİTREŞİMER MİERİN SAVRUMA TİTREŞİMERİ (WHIRING OF SHAFTS): Birço üheisli uygulaası, rotor veya is taşıya yatalaış öel iller (şaftlar) barıırataır. Şaft-rotor sisteie otaj, ialat ve alzee ayalı ütle açılıları sebebi ile, şaft öüşü sırasıa özellile yüse hızlara şaftı eğilesi ve titreşii söz ousu olataır. Bu öüş hareeti sırasıa yata (bearig) esei ile il esei arasıa şeile görülüğü gibi sapalar oluşataır (X). Mil-Rotor/is sisteie, ütle erezi ile is/rotor geoetri erezi arasıai açılı e e iate alıığıa açısal hızı ile öe bir il üzerie etili ola satrifüj uvvet ( X e) arşılaatır ( X )., il iregeliği tarafıa is/rotor ütlesi ola üzere, K X K X ( X e) X ( K ) X e e X ( K ) e Kayalar: Theory of Vibratios-W.T.Thoso, Eleets of Vibratio Aalysis-. Meirovitch, Vibratios of Cotiuous Systes- S. Rao, Fuaetals of Mechaical Vibratios-S.G. Kelly, Vibratio Probles i Egieeri-W.Weaver, S.P. Tiosheo, D.H. Youg, Egieerig Vibratios-D.J. Ia, Müheisli Sistelerii Moelleesi ve Diaiği-Yücel Erca, Dyaics a Vibratio-M.A.Wahab. /5

126 Meai Titreşiler Ders Notları X çöe eğeri içi riti uru K- içi ortaya çıar. Bu urua K c olara ele eilir ve bu öüş freasıa ili riti freası eir. X c ( ) e < c içi X ve e i yöleri ayı olur ve bu uru Heavy Sie Outsie olara alaırılır. Heavy sie outsie c uruua ise X gelileri sosuza ulaşır ve bu uru il ve taşıığı siste içi hasar eetir. > c içi X ve e i yöleri terstir ve bu urua Heavy Sie Isie uruu aı verilir. Heavy sie isie Ço yüse hızla öe iller içi >> c X geliği e eğerie yalaşataır. Bu urua is/rotor isi ütle erezi etrafıa (G) öeteir ve egesizliği olaığı arzu eile bir souç ele eilir. Uça otorlarıai yüse hızlı öüşü stabiliteye etisi bu şeile açılaabilir. Duerley şaftları riti savrula hızlarıı, üşey titreşi oğal 5/5

127 Meai Titreşiler Ders Notları freasıa eşit oluğuu ifae etiştir. Savrula titreşilerii aei, şaft rotor sisteii oğal freas sayısıa eşittir. Öre: g ütleye sahip bir rotor çapıa ve ii ucua yatalaış yatay bir şaftı ortasıa ote eiliştir. Yatalar arası esafe ir. Şaft ev/a ile öeteir. Rotoru ütle erezi bazı üreti hataları olayısı ile, rotoru geoetri erezie. açıtır. Şaftı üzeli reji titreşi geliğii ve yatalara gele uvveti buluuz. Şaft alzeesi çelitir, EGPa. Çözü: X c e Dairesel esitli il içi polar ala atalet oeti π I Göreceli olara ısa iller içi sıır şartı olara basit esetli uru abul eilir. Bu uur içi ili üşey titreşilerii oğal freası g δ stat (ra / s) δ stat 8 g *9.8* 8EI 8* * (ra / s).75. πn π 5.66(ra/s) 5.66 X * Yatay illere r < içi yatalarai topla reasiyo uvveti F y (Xe)g, c r > içi F y (X-e)g ir. c F *5.66 (.6.) * N. y Her bir yata içi reasiyo, 6/5

128 Meai Titreşiler Ders Notları F Fy N. b ÇOK SERBESTİK DERECEİ SİSTEMERİN HAREKET DENKEMERİNİN TESİR KATSAYIARI (INFUENCE COEFFICIENTS) YÖNTEMİ İE EDE EDİMESİ: Diregeli Tesir Katsayıları (Stiffess Ifluece Coefficiets): Ço serbestli ereceli sistelere ait hareet eleleri tesir atsayıları yötei ullaılara ele eilebilir. Bu bölüe ço serbestli ereceli bir siste ait iregeli atrisii tesir atsayıları ile ele eilesi üzerie uruluştur. Doğrusal bir yay içi, yaya biri uzaa eyaa getirece uvvet eğeri yayı iregeliğii vereteir. Koples sistelere bir otaai yer eğiştireye bağlı olara sistei iğer otalarıai uvvetler arasıai ilişi iregeli tesir atsayıları ile ifae eilebilir. Diregeli tesir atsayısı ij ile gösterilir. ij, j otasıai biri yer eğiştire eei ile i otasıa oluşa uvvet eğeriir. ij belirleir ie j otası ışıai otalar içi yer eğiştire eğeri sıfır olara alıır. i j i otasıai uvvet j otasıai biri yer eğiştire Bu taıa hareet ile bir serbestli ereceli bir yay ütle sistei içi, i otasıai topla uvvet F i, tü j otalarıai biri yer eğiştirelere ayalaa uvvetleri toplaası ile ele eilebilir. F i N j ij j, i,,. Bu ifae atris forua yazılır ise {} F [ ]{} Buraa [ ] iregeli atrisi olara alaırılır ve [ ] K K K K K K K şelieir. 7/5

129 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: Şeilei üç serbestli ereceli ütle-yay sistei içi iregeli atrisii iregeli tesir atsayıları yötei ile ele eeli. F ( - ) ( - ) - ütlesi içi ütlesi içi ütlesi içi F ( - ) ( - ) - ütlesi içi ütlesi içi ( ) 8/5

130 Meai Titreşiler Ders Notları ütlesi içi F ( - ) ( - ) ütlesi içi ütlesi içi ütlesi içi Bulua eğerler ullaılara iregeli atrisi şu şeile ele eilir. [ ] {} F [ ]{} e F F ( ) ( ) F Eseli Tesir Katsayıları (Fleibility Ifluece Coefficiets): Eseli tesir atsayıları hesabıa sistei her bir serbestli erecesi biri uvvet ile uyarılara, sistei iğer serbestli ereceleriei yer eğiştireler hesaplaır. Ço serbestli ereceli siste j. otasıa birili bir uvvet ile uyarılığıa i. otaai yer eğiştireler bu otaai eselileri ifae eer. Eseli tesir atsayısı a ij ile ifae eilir. 9/5

131 Meai Titreşiler Ders Notları a i j i otasıai yer eğiştire j otasıai biri uvvet ieer bir siste içi yer eğiştire uygulaa uvvet ile oğrusal olara arttığı içi a ij ij F olara yazılabilir. j Eğer bire fazla F j uvveti (j,,,) sistei farlı otalarıa eti eiyor ise, herhagi bir i otasıai topla yer eğiştire tü uvvetleri atısı ile hesaplaabilir. a F (i,,,) i ij j j ij j Bu ifae atris forua şu şeile yazılabilir. {} []{} a F Buraa a eseli atrisiir. [] a a a K a a a a K K K K K a a K a Diregeli atrisi ile eseli atrisi arasıai ilişi şu şeile ele eilebilir. {} []{} a F [][]{} a [][] a [] I [ a] [] Eseli atrisi iregeli atrisii tersi alıara ele eilebilir. Az öcei üç serbestli ereceli ütle-yay sistei içi eseli atrisii ele eeli. /5

132 Meai Titreşiler Ders Notları a a a F F F a a a a (a -a ) (a -a ) F F F a a a F F F a a a a (a -a ) (a -a ) F F F a a a F F F a a a a (a -a ) (a -a ) F F F /5

133 Meai Titreşiler Ders Notları Kuvveti e uygulaası uruua içi uvvet egesi )a a () (a a) a ( içi uvvet egesi (a a ) (a a) a ( )a a () içi uvvet egesi (a a ) a a () ( ) a a a a a a olara ele eilir. Kuvveti e uygulaası uruua içi uvvet egesi )a a () (a a ) a ( içi uvvet egesi (a a ) (a a ) a ( )a a () içi uvvet egesi (a a ) a a () ( ) ( ) a a a a a a olara ele eilir. Kuvveti e uygulaası uruua içi uvvet egesi /5

134 Meai Titreşiler Ders Notları )a a () (a a) a ( içi uvvet egesi (a a ) (a a) a ( )a a () içi uvvet egesi (a a ) a a () ( ) ( ) Eseli atrisi yazılır ise [] a a a a a a a olara ele eilir. Ayı souca iregeli atrisii tersi alıara a ulaşılabilir. Öre: Şeile verile basit esetli ve ütlesi ihal eilebilir iriş içi eseli atrisii oluşturuuz. Üç ütle e eşit aralılar ile yerleştiriliştir. Kiriş üzgü esitliir ve EI eğile rijitliğie sahiptir. F y M / M / M / M / a a a F a a a y (t) y (t) y (t) F a a a Eseli atrisii oluştura içi sisteei her bir ütlee eti ee biri gelitei uvvete arşılı, her bir ütlee oluşaca yer eğiştireleri (çöeler) hesaplaaız gereliir. Aşağıa sı ullaıla sıır şartları içi çöe forülleri veriliştir. /5

135 Meai Titreşiler Ders Notları BAZI KİRİŞER İÇİN ÇÖKME İFADEERİ ANKASTRE KİRİŞ: a P y() P 6EI Pa 6EI ( a ) ( a) ; a ; a y BASİT MESNETİ KİRİŞ: a P b y Pb ( b ) ; y() 6EI Pa( ) ( a ) 6EI a ; a ANKASTRE-ANKASTRE KİRİŞ: a P b y Pb y() 6EI Pa ( ) 6EI /5 ( a ( a b) ) ; a ( b ( )( b a) ) ; a

136 Basit esetli iriş içi verile çöe ifaeleri ullaılara a içi a/, b*/ ve / ür. P içi, EI EI EI 6 6EI a ) y( / a içi a/, b*/ ve / ür. P içi, EI EI 6 6EI 8 6EI a a ) y( / a içi a/, b*/ ve / ür. P içi, EI EI EI 6 6EI a a ) y( / a içi a/, b/ ve / ir. P içi, EI EI 8 EI 6EI 6EI a ) y( / a içi a/, b/ ve / ür. P içi, EI EI EI 6 6EI a y() Eseli atrisi [] EI a olara ele eilir. Diregeli veya Eseli atrisi oluşturuluta sora ço serbestli ereceli bir sistei oğal freasları [ ] [ ] et veya [] [ ] [ ] I et [] [ ][ ] a I et bağıtıları ile hesaplaabilir. Meai Titreşiler Ders Notları 5/5

137 Meai Titreşiler Ders Notları Yuarıai örete verile sistee ait oğal freasları ele eeli. Kiriş alzeesi çeli E., iriş boyutları (), iriş üzeriei ütle eğerleri g, g, g olara alıır ise irşe ait eseli atrisi []. *. 768*. * a Kiriş-ütle sisteie ait ütle atrisi (iriş ütlesi ihal eilere) Doğal freaslar içi et [] I [ a][ ] et ra / s 98. ra / s 56.ra / s f 8.89 Hz f 7.65 Hz f 89.6Hz 6/5

138 MEKANİK TİTREŞİMER DUNKEREY METODU Ço serbestli ereceli sisteleri. oğal freası, sistei oluştura her bir serbestli erecesie ait oğal freaslar cisie yalaşı olara ifae eilebileteir. Duerley tarafıa verile bu forülasyo il oğal freas içi gerçe oğal freas eğerie üçü yalaşı bir eğer vereteir. serbestli ereceli bir siste içi oğal freas ifaesi eseli atrisi ullaılara şu şeile veriliş ii, [] [ ][ ] a I a a a a a a a a a a a a a a a a a a Bu eteriat alıır ise ( ) ( ) a a a a a a a a a a a a a () Görülüğü gibi eteriat alıığıa i. erecee bir poliou ele eileteir. Dolayısı ile bu polio, poliou öleri,,, cisie şu şeile yazılabilir. Kayalar: Theory of Vibratios-W.T.Thoso, Eleets of Vibratio Aalysis-. Meirovitch, Vibratios of Cotiuous Systes- S. Rao, Fuaetals of Mechaical Vibratios-S.G. Kelly, Vibratio Probles i Egieeri-W.Weaver, S.P. Tiosheo, D.H. Youg, Egieerig Vibratios-D.J. Ia, Müheisli Sistelerii Moelleesi ve Diaiği-Yücel Erca, Dyaics a Vibratio-M.A.Wahab. Meai Titreşiler Ders Notları 7/5

139 () Dele ve Dele ei i atsayıları eşitleir ise a a a () Birço sistee yüse ereceli oğal freaslar. oğal freasta öeli ölçüe büyütür. Bu urua i <<, i,,, Bu urua Dele yalaşı olara şu şeile yazılabilir. a a a () Bu ele Duerley forülü olara biliir. Dele ile ele eile oğal freas aia gerçe eğere aha üşütür. Bu ele şu şeile e yazılabilir. Buraa i ii i ii i a i ütlesi ve ii (i,,,) iregeliğie sahip te serbestli ereceli sistei oğal freasıı vereteir. Öre: Şeile verile eai sistei. oğal freasıı yalaşı olara hesaplayıız. Gerçe eğer ile arşılaştırıız. g, 8 g, g, g N/, 5 N/, N/, N/. Meai Titreşiler Ders Notları 8/5

140 Meai Titreşiler Ders Notları Eerji yötei ile sistei hareet elei aşağıai gibi yazılabilir, clc clear ; 8; ; ; ; 5; ; ; M[ ; ; ; ] K[ - ;- - ; - -; - ] sys s; atm*s^k; polet(at); psolve(pol); vpa(p,8).9 ra/s 5.8 ra/s 9.68 ra/s.95 ra/s a a a a a.*.*8.55*.55* ra/s. 9/5

141 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: Şeile verile iriş ütle sisteii. oğal freasıı yalaşı olara hesaplayıız. Kiriş ütlesi ihal eilecetir. y / M / M / M / y (t) y (t) y (t) a, 56EI a, 8EI a olara hesaplaabilir. 56EI am a M a M ( a a a )M M EI M.7 EI.75 EI M (ra/s) HOZER METODU Holzer etou ço serbestli ereceli sisteleri oğal freaslarıı ve o şeillerii hesaplaa içi ullaılabile üeri bir yöteir. θ Yatalaa (Serbest öüş) Serbest titreşilere ait hareet eleleri aşağıai gibi ele eilebilir. θ θ t J J θ J θ J θ t ( θ θ ) ( θ θ ) t( θ θ ) ( θ θ ) t t t J J Yatalaa (Serbest öüş) /5

142 Meai Titreşiler Ders Notları Doğal titreşileri foru haroitir. θ θ i i θ i cos θ ( it φ) cos( t φ) i i J J J θ θ θ t ( θ θ ) ( θ θ ) t ( θ θ ) ( θ θ ) t t J J J θ θ θ t t ( θ θ ) ( θ θ) t ( θ θ ) ( θ θ ) t J θ J θ J θ t θ t θ t θ t θ t θ t θ t θ t θ i J i θ i Holzer etou yuarıai elei sağlaasıır. Holzer etoua başlagış olara bir eğeri abul eilir ve θ abul eilere iterasyo başlatılır. Daha sora θ birici iferasiyel elee, θ ise iici iferasiyel elee ele eilir. θ θ θ θ Jθ θ t t ( J θ J θ ) (. elee) (. elee) t( θ θ ) Jθ Bu eleler aet is içere bir siste içi aşağıai gibi geelleştirilebilir. i θ θ i i J t i θ i,,,. İterasyo yapılır ie sağlaası gereli ele i J i θ i Bu elei sağlaya θ lar o şeillerii vereteir. /5

143 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: Şeile verile şaft is sistei içi oğal freasları Holzer etou ile hesaplayıız. Kopresör J 8 g t MN/ra Türbi J 6 g Jeeratör J g t MN/ra Problei çözüü aşağıai Visual Basic prograı ile gerçeleştirilebilir. Private Sub Coa_Clic() j 8 j 6 j t t Di w, topla As Double Di tet, tet, tet, h As Double tet h 5 wso Picture.Scale (, )-(wso, -) Picture.ie (, )-(wso, ) For w 5 To wso Step.5 tet tet - (w ^ / t) * (j * tet) tet tet - (w ^ / t) * (j * tet j * tet) topla w ^ * j * tet w ^ * j * tet w ^ * j * tet 'Prit "topla"; topla If Abs(topla) < h The Prit "Doğal freas (ra/s)"; w E If Picture.PSet (w, topla), RGB(55,, ) Net w Prit "Bitti..." E Sub /5

144 Meai Titreşiler Ders Notları i J i θ i ra/s 77.9 ra/s.75 ra/s Holzer etou ile ütle-yay sisteleri içi e oğal freaslar bezer şeile hesaplaabilir. - X X X M X i X X X X ( X X ) i i jx j i i j,,. /5

145 Meai Titreşiler Ders Notları Visoz Söülü Sistelere Eerji Yutuu: Haroi hareet yapa vizoz söülü bir eai sistee çevrie (ta hareet) yutula eerji aşağıai şeile hesaplaabilir. X haroi titreşi geliği ve ise titreşi freası ola üzere f(t) (t) Xsi t (t) X cost Vizoz söü eleaı eei ile çevrie yutula eerji π/ Δ E F t t c (t) ΔE π / t c t π/ cx cos tx cos t t π / c π / Bir sistei söü oraı sistei farlı freaslarai haroi zorlaalara cevabı ullaılara ele hesaplaabilir. Bir sistei freas cevabıai e büyü geli eğeri H R Quality Factor, Q (Kalite Fatörü) olara alaırılır. Sistei söü oraı Yarı Güç Notası olara (Half Power Poit) alaırıla (Freas cevabıai Masiu Geliği B (.77*H R ) üştüğü otaai freas eğerleri ile ele eilebilir. X cos t t c X cos t t c π X π πcx Yuarıa verile eai sistee g, c Ns/ ve 98 N/ olara alıır ise hareet elei 98 f (t) Sistei söü oraı c 98 ζ. ir. Bu eğeri Half power yötei ile ele eteye çalışalı. * (.77X).5πcX.5 E Δ E.77 πc Δ Meai sistei trasfer fosiyou H(s) s 98s /5

146 Meai Titreşiler Ders Notları Sistei söüsüz oğal freası.7 ra / s Freas cevabıai asiu geli.85 ve bu geliği ouuğu freas eğeri.7 ra/s ir *H R.6 H R -.77*H R (.75,.85) H R MATAB e ouuyor H(s) Freas (ra/s) Düşü söülü sisteler içi Δ ir. ζ ζ. olara ele eilir. Görülüğü gibi bu eğer sistei *.7 gerçe söü oraıa ço yaı bir eğerir. 5/5

147 Meai Titreşiler Ders Notları Süreli Sisteleri Doğal Freaslarıı Eerji Yötei İle Ele Eilesi: Kiriş bezeri sürreli (cotiuous) yapıları oğal freasları eerji yötei ile hesaplaabilir. Daha öcei oulara efetif ütle yötei ile, icelee süreli sistelere ait. oğal freaslar yalaşı olara ele eiliş ii. Buraa iriş bezeri yapılara ait oğal. oğal freas hesabı içi yie eerji yötei ullaılara souca ulaşılacatır. Ele alıa aastre bir iriş içi. oğal freas eğerii eerji yötei ile hesaplayalı. Söüsüz bir siste içi, eerjii oruuu presibi ile sistei potasiyel ve ieti eerji toplaları aşağıai şeile yazılabilir. E E E E a p i i p a Salıı yapa bir siste içi sistei ieti eerjisi e büyü eğerii alığıa potasiyel eerji sıfırır. Potasiyel eerjii e büyü oluğu uru içi ise ieti eerji sıfırır. Dolayısı ile aastre irişi asiu ieti eerjisi ile asiu potasiyel eerji eğerleri birbirie eşittir. E E a p a Ep a Ele alıa aastre iriş içi ese taıı aşağıai şeile veriliştir. E a z E, I, A, ρ z Z() Sabit esitli aastre iriş içi potasiyel ve ieti eerji ifaeleri şu şeile yazılabilir. M M z θ θ z M EI M θ EI θ z Strai eerji M U Mθ M ( EI) EI z U M EI Sabit esitli bir iriş içi z U EI olara yazılabilir. 6/5

148 Meai Titreşiler Ders Notları Eğileye titreşilerie aruz sabit esitli hooje bir iriş içi potasiyel ve ieti eerji ifaeleri aşağıai gibiir. E E p z E I z t E I z z t ρa ρa Aastre bir irişi oğal titreşiie ait ifae şu şeile yazılabilir. z(t, ) Z() si t Potasiyel ve ieti eerji ifaelerie ullaıla üzere z Z si t, z t Zcost yazılabilir. Potasiyel ve ieti eerji ifaelerii e büyü eğerleri eşitleir ise Z E I si t ρa ( Zcost) yazılabilir. Siüs ve Cosiüs terilerii e büyü eğerlerii oluğu iate alıır ise Z ρ E I AZ ele eilir ve aastre iriş içi oğal freas ifaesi Z EI ρaz Doğal freas ifaesie ulaşa içi aastre irişe ait yer eğiştire eğrisi e bağlı örücü erecee bir polio ile şu şeile ifae eilebilir. Yazıla yer eğiştire ifaesii sıır şartlarıı sağlaası gereliir. Z() a b c Aastre bir iriş içi sıır şartları aşağıa veriliştir. e 7/5

149 Meai Titreşiler Ders Notları Z Z Z a Z() ve, e ve Sıır şartları ullaara yer eğiştire eğrisi içerisiei atsayılar şu şeile ele eilebilir. b a, c 6a,, e Bu atsayılar yerie oara iriş içi yer eğiştire eğrisi şu şeile yazılabilir. ( 6 ) Z () a Bu souç oğal freas ifaesie ullaılır ise E I EI ρa Z ρa Z EI [ a( )] [ a ( 6 )] ρa ( ) ( ) a EI ρa EI.65 ρa ρa iriş oluğu iate alıara aastre iriş içi oğal freas ifaesi E I E I E I (ra / s) ρa iriş iriş olara ele eilir. Süreli siste yalaşıı ullaılığı içi bu freas ifaesi te serbestli ereceli siste abulü ile ele eile eğere aha oğru cevabı verecetir. 8/5

150 Meai Titreşiler Ders Notları MAKİNAARDA DURUM İZEME VE ARIZA TEŞHİSİ (CONDITION MONITORING AND FAUT DIAGNOSTICS) Uygu bir tasarıa sahip pe ço aie çalışa uruua üşü titreşi seviyelerie sahiptir. Operasyo halie aielere yorula, aşıa, eforasyo, taba oturası, gevşee gibi urular oluşabilir. Bu etiler aielerei boşluları artasıa, ese açılılarıı oluşasıa, egesizlilere, çatla başlagıçlarıa vb. sebep olur. Tü bu etiler aielere zaa içerisie titreşi seviyelerii artasıa ee olur. Aşırı titreşiler yatalara e iai uvvetler oluştururu ve zaa içerisie titreşi seviyeleri giere artar. Souç olara aielere opa, ırıla bezeri urular ortaya çıar ve aie evre ışı alır. Bu uru baze isa hayatıı tehlieye soaca iteli taşıyabilir. Bir aiei örü lasi olara BATHTUB eğrisi ile ifae eilir. Deterioratio (Failure Probability) Ifat Mortality (Iitial ruigi perio) Useful perio Wearout (Agig) perio (Noral operatio perio) Tie Maielerei arızalar titreşi ve ses seviyeleri ile ilişili oluğua, titreşi seviyeleri BATHTUB eğrisie uygu olara eğişi gösterir. Maielere il çalışa zaalarıa, teas ee yüzeyleri birbirlerie alışası (yüzey üzgüsüzlüleri eei ile sürtüeler) sırasıa titreşi seviyeleri yüse olara izleebilir. Daha sora oral çalışa periyoua titreşi seviyeleri üşüş gösterir, faat oluşa aşıalar olayısı ile oral çalışa periyouu solarıa oğru titreşi seviyelerie artış gözleleir. Aşıaları zaa içerisie artası olayısı ile wearout periyoua aiee alıcı hasarlar gözleleebilir. Bir aie içi aie sağlığıı taip ete içi teel olara üç farlı yöte buluataır.. Breaow Maiteace: Maiei çalışası sırasıa uru tespitie yöeli bir çalışa yapılaz, aiee e arıza oluğua yeisi ile eğiştirilir. Düşü beelli aieler içi bu yöte uygu olabilir.. Prevetive Maiteace: Belirli periyotlar ile aie baıı yapılır. Kotroller sırasıa aie urulur ve aiei uruu iceleir. Duruşlar eeiyle üreti ayıpları söz ousuur ve verili bir yöte eğilir.. Coitio-Base Maiteace: Bu yötee belirli periyotlar ile baı yerie ölçüler yapılır. Bu ölçüler ile aiei uruu izleir. Arıza başlagıçları bu şeile tespit 9/5

151 Meai Titreşiler Ders Notları eilebilir. Maie uruşları olaığıa üreti asaaz. Periyoi olara ölçüle titreşi seviyelerie yola çıılara aiee e zaa arıza olacağı estirilebilir. Bu eele bu yalaşıa Kestirici Baı (Preictive Maiteace) aı a verilir. Bu yötee baı asrafları üşütür ve aiee otrolsüz ai arızalar gözleleez. Duru Esaslı Baı (Coitio Base Maiteace) ile aiee ölçüle titreşi seviyeleri aşağıai eğriye bezer. Titreşi seviyeleri Baı yapılaası uruua hasar gözleleir Periyoi ölçüler Baı Zaa Maielere uru izlee (Coitio Moitorig) çalışaları şu yöteler ile yapılataır. MAKİNEERDE DURUM İZEME TEKNİKERİ (MACHINE CONDITION MONITORING TECHNIQUES) İŞİTSE (AURA) GÖRSE (VISUA) OPERASYONE DEĞİŞKENER (OPERATIONA VARIABES) SICAKIK (TEMPERATURE) YAĞ ANAİZİ (WEAR DEBRIS) TİTREŞİM (VIBRATION) Titreşi aalizi aieleri uru izlee çalışalarıa güüüze e ço ullaıla yöteir. Titreşi aalizie teel aşaalar, aieleri uygu bölgelerie titreşi siyali ala, bu siyali farlı yötelerle işlee ve ele eile souçları arıza varlığı veya yoluğu açısıa yorulaatır. Maieleri izi verilebilir titreşi seviyeleri ISO 7 staarı ile veriliştir. 5/5

152 Meai Titreşiler Ders Notları Maielere titreşi aalizi ile uru izlee yöteleri şu şeile sııflaırılabilir. TİTREŞİM ANAİZİ İE MAKİNEERDE DURUM İZEME TEKNİKERİ (MACHINE VIBRATION MONITORING TECHNIQUES) ZAMAN ORTAMI (TIME DOMAIN) ANAİZERİ FREKANS ORTAMI (FREQUENCY DOMAIN) ANAİZERİ DAGA FORMU (WAVEFORM) ŞAFT YÖRÜNGEERİ (SHAFT ORBITS) İSTATİSTİKSE ANAİZER (STATISTICA ANAYSES) QUEFRENCY DOMAIN (CEPSTRUM) ANAİZERİ BİREŞİK ZAMAN FREKANS ORTAMI (JOINT TIME-FREQUENCY DOMAIN) ANAİZERİ 5/5

153 Meai Titreşiler Ders Notları Zaa Ortaı Aalizleri: Dalga Foru : Bu yötee titreşi siyallerii alga foruu teel özellilerie ve siyal içerisiei hata göstergesi olaca itelitei for bozulularıa veya geli artışlarıa baılabilir. Dalga foru iceleir ie siyale ait bazı büyülüler arşılaştırılır. Haroi bir siyal içi bu bilgiler şular olabilir. Yer eğiştire, hız, ive Haroi bir siyal içi RMS Pea to Pea Pea RMS τ RMS τ Pea t Pea to pea Crest Factor RMS Şaft Yörügeleri: Bu yötee şaft yörügesiei sapalara baılara arıza evcuiyeti haıa yargıya varılır. y yer eğiştiresi () issajous eğrileri y Sesör Hatalı Sesör Sağla İstatistisel Aalizler: Bu yötee titreşi siyallerie ait farlı istatistisel göstergeler ullaılara, hatasız ve hatalı siyaller arasıai farlılılara hareetle hata tespiti yapılaya çalışılır. Bu istatistisel göstergeler İstatistisel Yoğulu Eğrileri (Probability Desity Curve), ve farlı türe oetlerir. Bu oetlere bazıları N öreğe sahip bir titreşi siyali içi aşağıa veriliştir. N ea i N i yer eğiştiresi () 5/5

154 Meai Titreşiler Ders Notları S ta art Sewess Sapa σ N i ( ) i N σ N N ( i ) i Kurtosis N i ( ) i N σ veya RMS Freas Ortaı Aalizleri: Bu aalizlere titreşi siyalii freas içeriği Fourier Trasforu ile belirleir ve freas içeriği içerisie öcee hesaplaabile hata freaslarıı olup olaığı otrol eilir. Freas içeriğie hata freaslarıı evcuiyeti, icelee aiee hata oluğuu bir göstergesiir. Bir rula içi bölgesel hatalara ait freaslar rula özellileri ullaılara aşağıai gibi hesaplaabilir. Quefrecy Doai Aalizleri: Bu aaliz tipie titreşi siyalii FT (Fourier Trasfor) öüşüüü terar Fourier öüşüü alıara (Cepstru) ele eile öüşü siyalleri iceleir. Bir (t) siyalii Fourier trasforu F{ (t) } S { } ( ) F (t) C( τ ) F{ logs ( } şelieir. şelieir. Siyali Cepstru u ise ) D Z Bilya sayısı DPitch iaeter DBilya çapı f s Şaft freası αteas açısı C cos α D Kafes freası f İç Bilezi Hatası f Dıı Bilezi Hatası Bilya Masura Hatası ise, bu siyali power spetruu c i Zfs Zf Zf s ( C) ( C) ( C) D s f s C ( C) 5/5

155 Meai Titreşiler Ders Notları Magitue FFT Gaitue Cepstru Frequecy (Hz) Quefrecy (s) Haroics Rahoics Birleşi Zaa-Freas Aalizleri: Arızalı titreşi siyalleri geel olara farlı zaalara farlı freas içerilerie sahip ola (No-Statioary) siyallerir. Bu siyalleri saece freas ortaıa aalizleri yapılığıa arızaı titreşi siyali içerisiei zaa bilgisi (veya tur bilgisi) ele eileeeteir. Arızaı bir titreşi siyali içerisiei zaa bilgisi Kısa Zaalı Fourier Döüşüü (Short Tie Fourier Trasfor) veya aha gelişiş ola Wavelet Aalizi ile belirleebilir. Wavelet öüşüü so yıllara titreşi siyallerii aalizie arıza tespitie yöeli olara sılıla ullaılataır. 5/5

156 ÖRNEK SINAV SORUARI

157 DEÜ MAKİNA MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ MEKANİK TİTREŞİMER ARASINAV -..8 A Soya S S S S Σ No S. a) Şeile verile içte yaalı otor ve bağlı oluğu sistee ait ii serbestli ereceli bir ateati oel oluşturuuz. İçte yaalı otor sistee egesizli türüe ış zorlaa oluşturataır. (Topra zeii söü ve iregeliğii iate alıız). Çerçeve Motor Elasti taoz Zei bloğu Topra zei b) Aşağıai sisteler içi oğal freas ifaelerii ele eiiz. G, J, M(t) I is (t) (t) γ G (t) Kesit alaı A (b) (b) (b) (b) c) 6 g ütleli bir aie basit esetli bir çeli iriş üzerie ote eiliştir. Kiriş boyu ir ve.5. iörtge esite sahiptir. Kiriş alzeesie ait elastisite oülü (Youg s oulus) E.6E N/ ir. Kiriş orta otasıı stati çöe itarıı il çöe itarıı (yay yo ie) / üe üşüre içi iriş orta otasıa eleesi gereli yayı iregeliğii hesaplayıız. Kiriş ütlesii ihal eiiz. E, I, of Öre Sorular

158 Kütlesiz rijit elea S. Yaai sistee ait hareet eleii yazıız ve oğal freas ifaesii siste paraetreleri cisie ifae eiiz. f(t) B A t / / Döel yay S. Şeile görüle loootif g ütleye sahiptir. /s hız ile ilerleye loootif yol soua görüle söüleyici siste ile ururulataır. oootif ve söüleyici buluştuta sora birlite hareet eteteirler. Söüleyici içerisiei yay atsayısı N/ ve aortisör söü atsayısı eğeri c Ns/ ir. oootif söüleyici ile buluştuta sora loootifi yaptığı hareeti zaaa göre eğişiii yazıız. v / c / S. Şeile görüle taşlaa tezgahı iregeliği () N/, söü atsayısı (c) Ns/ ola bir isolatör üzerie ote eiliştir. Taşlaa tezgahıı ve üzeriei eipaları topla ağırlığı 5 N ur. Tezgahı oturuğu zei tezgaha yaı bir aya olayısı ile şeile verile forai bir haroi zorlaaya aruzur. Taşlaa tezgahı içi izi verile e büyü yer eğiştire eğeri μ ir. Bu eğeri aşaa içi zei titreşilerie ait e büyü geli Y e olalıır. İsolatör söü atsayısıı arttıraı taşlaa aiesi yer eğiştire geliğie etisi e olur? Açılayıız. Taşlaa aiası Aşıırıcı taş / c / (t) y(t) Ysi(πt) Sıava soru çözüü içereye aet A Forül âğıı ullaılabilir. Sıav süresi 9 aiaır. BAŞARIAR. Yr.Doç.Dr. Zei Kıral of Öre Sorular

159 DEÜ MAKİNA MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ MEKANİK TİTREŞİMER ARASINAV A Soya S S S S Σ No S. Şeile verile ii serbestli ereceli sistei gösterile şeilei haroi zorlaa etisie ve yer eğiştire gelilerii hesaplayıız. f(t) si(t) g N/ S. Şeilei aastre iriş Newto şietie bir haroi bir zorlaa etisieir ve rezoas uruua çalışataır. Kiriş çeli alzeee ial eiliş olup yoğuluğu ρ78 g/ ve elastisite oülü E N/ ir. Aastre irişi te serbestli ereceli bir yay ütle sistei olara üşüülesi uruua. oğal freas ifaesi aşağıa veriliştir. f(t) sit (N).5 E I iriş (ra / s) Aastre iriş uç ota titreşilerii yo ete içi iriş ucua şeile görülüğü gibi bir yutucu ilave eilecetir. Eleece yutucuu ütlesi. g olara seçilecetir. Bu urua yutucu yay atsayısıı belirleyiiz. Yutucuu eleesi ile oluşa sistei oğal freaslarıı hesaplayıız ve evcut uru içi yutucuu yer eğiştire geliğii buluuz. S. a) Şeilei te serbestli ereceli siste N şietie bir ipuls zorlaa ile uyarılıştır. (t) yer eğiştiresii buluuz. f(t) δ(t) (t) c g 6 N/ c Ns/ of Öre Sorular

160 S. b) Doğal freası 5 Hz ola bir sisoetrei söü oraı ζ.5 ir. Sisoetrei % e üşü hata ile ölçü yapabileceği e üşü freas eğeri eir? S. Şeilei ii serbestli ereceli is-il sisteie geel ooriatlar θ ve θ ir. Mil ütleleri ihal eileteir. Siste t a θ (t). raya, θ (t).5 raya ır. t θ θ t t N/ra t N/ra J g J g J Sistei oğal freaslarıı buluuz. θ geel ooriatıı referas alara Moal atrisi oluşturuuz. Verile başlagıç şartıı ullaara θ (t) yi buluuz. (Moal aaliz yötei ullaılacatır). J Sıav Süresi Daiaır. BAŞARIAR. Yr.Doç.Dr. Zei KIRA of Öre Sorular

161 ARASINAV ÇÖZÜMER C. E ( ), δw f δ, E (), f () 6 si (t) (t) X si(t) ve (t) X si(t) olara abul eilir. Bu urua (t) X si(t), (t) X si(t) Bu ifaeler yerie our ise X X X X X X..67 C. iriş.96 g, I iriş.5-9 g 9 * ra / s 5.8Hz.96*. yutucu. g yutucu.5879 Yutucuu yer eğiştire geliği yutucu yutucu yutucu 68 N/. F.8 yutucu Yutucu eleite sora oluşa ii serbestli ereceli sistei oğal freasları μ μ, iriş μ yutucu.. μ.965, iriş efetif iriş ra / s, 59.6 ra / s C. 6 a) ξ. 77,.67 ra / s, 6* 8.8t ξ.797 ra / s, (t).8e si(.797t) 5 of Öre Sorular

162 b) Sisoetre uralı r> olalı. r. r.97, r.9 r ullaılır. ( r ) ( ξr) f i.97* Hz. C. E p tθ t ( θ θ ), E Jθ J θ θ θ θ θ θ θ, s θ s θ, s i et 8, z z, z ra / s,.68 ra / s Birici elee θ θ, 5.5 ϕ * 5 ϕ *,, Moal atris J K t.5 P, θ θ θ θ P T J P 6 P T 75 K tp 6 Moal ooriatlara hareet elei q 6 q 75 q 6 q, İl şartlar θ θ..5 θ Pq q P θ P et(p).5 q { } of Öre Sorular

163 Moal ooriatlara ii aet bağısız ele evcut, q 6q 75q 6q. ele cevabı q(t) A cost Bsi t, il şartlara A.665, B q (t).665cos5.8t. ele cevabı q q (t) A cost Bsi t, il şartlara A-.665, B (t).665 cos.68t P θ(t).5.665cos5.8t θ (t).665 cos.68t θ (t).85 cos5.8 t.665cos.68 t 7 of Öre Sorular

164 DEÜ MAKİNA MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ MEKANİK TİTREŞİMER FİNA SINAVI (..9) A Soya S S S S Σ No () S. Şeile verile sistee f ve f giri,, ve çıtılarır. Sistei hareet elelerii ele eip atris forua gösteriiz. f c f c c () S. Şeilei aastre iriş ve eğerlerie sahip ii aet ütle taşıataır. Kiriş ütlesi ihal eileteir. Sistei eseli atrisii ele eiiz ve oğal freaslarıı hesaplayıız.. oğal freası Duerley etou ile e hesaplayıız. y / y y E N/ I.5-8 g E, I () S. Şeilei yay-ütle-aortisör sisteie ütlesii etisi ile oluşa stati çöe ir. Yay ütle sisteii haroi zorlaa cevabı a şeile veriliştir. Kütlei yer eğiştire geliğii 5 e fazla olaası içi uyarı freası e az e olalıır? f(t)5 sit (t) c 5 g X F / / 8 of Öre Sorular

165 Yay ütle sisteii il şartlar altıai serbest titreşi cevabı şeile veriliştir. Sisteei aortisörü söü atsayısıı hesaplayıız...5. X:. Y:.5 (t).5 X:.67 Y: () t(s) S. Şeile görüle aastre-aastre iriş içi yer eğiştire eğrisi y() ile ifae eileteir. Bu ifae e c sabit bir atsayıır. Verile yer eğiştire eğrisii ullaara irişe ait il oğal freası ele eiiz. E, I, ρ, A, y y() co EI ( ) Sıav süresi aiaır. BAŞARIAR Yr.Doç.Dr. Zei Kıral 9 of Öre Sorular

166 Örgü İÖ DEÜ MAKİNE MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ MAK MEKANİK TİTREŞİMER ARASINAV..9 AD SOYAD S S S S S5 Σ NO S. Şeile verile eai sistei hareet eleii ele eiiz. Sistee ait oğal freas ifaesii yazıız. c O M(t), I O (t) c.8 S. Şeile verile aastre iriş esteli söüsüz sistee eti ee uvvet F(t)5si(t) foruaır. F(t) Sistei oğal freasıı ve F(t) uvveti ile oluşa titreşi geliğii a) Kiriş ütlelerii ihal eere b) Kiriş ütlelerii ahil eere hesaplayıız. b h 5 E 7 9 N/ ρ 7 g/ g b h 6 E 9 N/ ρ 78 g/ S. Şeile verile eai sistei girisi F(t) çıtıları ise ve ir. Meai sistei hareet elelerii ele eiiz ve atris forua gösteriiz. c c F(t) of Öre Sorular

167 S. Bir eai sistee stati çöe eğeri.8 olara ölçülüştür. Bu eai siste içi yapıla bir serbest titreşi eeyie. li bir il yer eğiştire ile ölçüle serbest titreşi eğrisi şeile veriliştir. Serbest titreşi cevabıai farlı alar içi geli eğerleri şeil üzerie gösteriliştir. Sistei serbest titreşilerie ait hareet eleii yazıız. Geli () Zaa (s) S5. Şeile verile basit esetli söülü iriş-ütle sistei şeile görülüğü gibi bir haroi zorlaa etisieir. Aortisör ve ütlesi iriş orta otasıaır. Kiriş ütlesii ihal eiiz. Haroi zorlaa etisie iriş orta ota çöesii z(t) zaaa bağlı ifaesii yazıız. Zorlaa freası bir itar arttırılığıa iriş orta ota titreşi gelileri azalır ı, artar ı? Sistei rezoas freasıı ve rezoas geliğii hesaplayıız. F(t)si(t) E, z c 5 5 E7 9 N/ g c Ns/ Sıav süresi 9 aiaır. Sorular eşit pualıır. Başarılar. Yr.Doç.Dr. Zei Kıral of Öre Sorular

168 ARASINAV- ÇÖZÜMER C. θ.8.5 E.565 IO.5 I o,.5 [.565].565 E M δw Mδ.5 c δ c.5 δ.5.5.5c δ ( ) ( ) e göre agrage elei uygulaır ise hareet elei aşağıai gibi ele eilir..565 I.5c.565 o Doğal freas ifaesi.5 M(t).565 (ra/s).565 I O C. Aastre irişleri uç otalarıai çöeler ayıır, olayısı ile irişler paralel bağlı yaylar olara üşüülür. (t) a) Kirişlere ait iregeli ifaeleri. EI N/ E I N/ eş N/ of Öre Sorular

169 Kiriş ütleleri ihal eiliğie sistei oğal freası.86 ra/s eş Söüsüz te serbestli ereceli siste haroi zorlaa cevabı (t)xsit e cevap geliği buluabilir. r F / X F / X / X b). iriş içi iriş uç otasıai efetif iriş ütlesi g.55 h b eff ρ. iriş içi iriş uç otasıai efetif iriş ütlesi g.99 h b eff ρ Kiriş efetif ütleleri ile g lı ütle eğeri toplaır ise iriş uç otalarıa hareet ee topla eşeğer ütle g.8 eff eff eş olara ele eilir. Bu uru içi sistei oğal freası.6 ra/s eş eş ve haroi titreşi geliği.6 5 / X -.65 ir. C. E, ( ) ( ) E ( ) ( ) c c F(t) W δ δ δ δ agrage elei uygulaara hareet eleleri ele eilir (Diğer yöteler e uygulaabilir) ( ) ( ) ( ) c c c ( ) ( ) ) F(t c c Hareet eleleri atris otasyoua aşağıai şeile gösterilebilir F(t) ) ( ) ( ) ( c c c c c of Öre Sorular

170 C. Stati çöe ifaesie yararlaılara sistei oğal freası hesaplaır. g δ stati 6.89 ra / s. ogariti erea ifaesie yararlaara sistei söü oraı hesaplaır..6 δ δ l.5, ζ π δ Meai sistee ait serbest titreşileri ifae ee hareet eleii aşağıai şeile yazabiliriz. ζ şelieir. Sorua isteeiş olala birlite iriti altı söülü bu sistei serbest titreşi cevabı şu şeile yazılabilir (., ) ζ ra/s. (t) (t).e ( ζ ) ( ) t e ζ t si(6.688t.79) si t ta ζ 8EI C5. Kiriş orta otası içi iregeli, ir N / z(t) Sistei oğal freası ra / s. Sistei söü oraı c ζ Kriti altı söülü siste içi iriş orta otası haroi cevabı aşağıai şeile yazılabilir. (t) X si( t ϕ) Zorlaa freası ra/s ir. Dolayısı ile freas oraı r/.88 ir. X F / /75.8. ζr r ( ) ( ) ( ) ( ) of Öre Sorular

171 ta ζr..88 ϕ ta.9 ra. r.88 (t).8si t.9 ir. ( ).5 X/F/.5 Arta zorlaa freası R 9.87 ra/s. r Şeile görülüğü gibi zorlaa freasıı bir itar arttıra freas oraıı arttıraca ve iriş orta ota titreşi gelileri azalacatır. Rezoas freası R ζ 9.88 ra / s. F / /75 Rezoas geliği X.87. R ζ ζ.. 5 of Öre Sorular

172 DEÜ MAKİNE MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ MAK MEKANİK TİTREŞİMER. ARASINAV 5..9 AD SOYAD S S S S Σ NO S. Şeile verile eai siste içi üzerie eti ee periyoi zorlaaya cevabı teri alara buluuz. (,, ve alıaca). g (t) f(t) 9 N/ c Ns/ f(t) c -5 t (s) v araç S. Şeile verile çeyre araç oeli içi araç hızı 8 /h ır. Araç titreşi gelilerii ve bu freasta araca eti ee uvvet geliğii hesaplayıız. Aortisör atsayısıı arttırılasıı araç titreşi gelileri ve araca iletile uvvet geliğie etisi e olur (Azaltır/Arttırır) grafi üzerie açılayıız. y(t) c (t) Y si t g N/ c5 Ns/ Y.5 Y S. Şeile verile öel sistee zorlaa M(t)6si5t foruaır. Sistei titreşi gelilerii sıfırlaa içi tasarlaaca. g ütle atalet oetie sahip yutucu içi öel yay sabitii belirleyiiz. J. g t 9 N/ra J y. g Yutucu eleiği uru içi yutucu açısal titreşi geliğii erece olara hesaplayıız. Zorlaa freasıı Hz olası uruu içi aa is (θ ) ve yutucu (θ y ) içi açısal titreşi gelilerii hesaplayıız (raya). J J y t θ ty θ y M(t) 6 of Öre Sorular

173 S. Şeile verile ii serbestli ereceli sistee ait hareet eleleri aşağıa veriliştir. Sistei oğal freaslarıı hesaplayıız. Titreşi biçilerii biçilerii ele eere oal atrisi oluşturuuz. F(t)5 cos8πt içi X ve X titreşi gelilerii hesaplayıız. / f(t) / G, I G g N/ N/ 6 f 6 f Sıav Süresi Daiaır. Başarılar. Yr.Doç.Dr. Zei Kıral 7 of Öre Sorular

174 ÇÖZÜMER C. Sistei hareet elei 8 8 f (t), (ra/s), ζ f (t) 5 t t < π π T s. π (ra / s) [Teel freas] T f (t) a a cos t b si t Fourier atsayıları hesaplaır ise a 5, 5 π a, cos( π ) b İl ört teri alıaca b, b, π b, b π f (t) 5 si π πt si πt π Bu fosiyo aşağıai gibiir. 5 5 f(t) [N] Zaa [s] 8 of Öre Sorular

175 Teri sayısı arttırılır ise f(t) fosiyoua aha ço yalaşılabilir. f (t) 5 si πt si πt si 5πt si 7πt si 9πt içi fosiyo π π 5π 7π 9π 5 5 f(t) [N] Zaa [s] şelieir. Dolayısı ile (t) farlı freas ve gelilerei haroi cevapları toplaı şelie olacatır. (t) H ϕ 5 / π H( π)si 8 8 π 8 ( πt ϕ ) H(π)si( π ϕ ) t ( π ).8 ζ π ζ π.67 ta ta π π.67.7 ra 9 of Öre Sorular

176 ( π ).59 H ζ π π.67 ζ π.67 ta ta ϕ.8 ra π 5 / (t) π ( ) π.8si πt.7.59si( πt. 8) (t) [] Zaa [s] C. v8 /h. /s. λ. πv π. c 5.9 ra / s, ζ. 9 λ ra / s r. 56 (r> ).6 X (ζr) Y (.9.56) ( r ) ( ζr) (.56 ) (.9.56).5.6 of Öre Sorular

177 Çalışa freası r> oluğu içi aortisör atsayısıı arttırılası (söüü arttırılası) ütle titreşi gelilerii ARTTIRACAKTIR. Kütleye iletile uvvet ( ζr) r.56 (.9.56) FT Y.5 77 N ( ζr) ( r ) (.56 ) (.9.56) r> oluğu içi aortisör atsayısıı arttırılası (söüü arttırılası) ütleye uygulaa uvveti ARTTIRACAKTIR. Çalışa freası C. Zorlaa freası 5 ra/s ir. Dolayısı ile titreşi yutucuu oğal freası 5 ra/s olara ayarlaalıır. ty J y *.* 5 5 N / ra M 6 Yutuculu sistee yutucu açısal yer eğiştiresi θy. ra (-6.87 ) 5 Zorlaa freası Hz (5. ra/s) olası uruua her ii isi açısal yer eğiştiresi ty of Öre Sorular

178 Aa ütle stati yer eğiştiresi M 6 t 9 δ st.667 ra, 7.86 ra / s, 9 J. t ty 5 5ra / s (İl zorlaa freası ile ayı ii) J. θ θ y δst ty ty t t y δst.667 ty ty t t C ra -.8ra 6 6 f f g N/ N/ 5 5 f (t).5 f (t) Haroi cevap abulü ile et * 6* 8 z öüşüü ile , z -6.9 z ra / s, 5. ra / s Titreşi biçileri şu şeile hesaplaır X 5 ( ) X 5 X,. 7 X X X M.7 of Öre Sorular

179 F(t)5 cos8πt içi ra/s 8 5. π 5 / 5 / X X X X X X X X () of Öre Sorular