Bulanık CPM Yöntemiyle Proje Çizelgeleme: İnşaat Sektöründe Bir Uygulama

Transkript

1 EGE KDEMİK BKIŞ / EGE CDEMIC REVIEW Cilt: 5 Sayı: 4 Ekim 05 ss Bulaık CPM Yötemiyle Proje Çizelgeleme: İşaat Sektörüde Bir Uygulama Project Schedulig by meas of Fuzzy CPM Method: Implemetatio i Costructio Sector Hasa DURUCSU, Özgür İCN, Çağlar KRMŞ, Gözde YEŞİLYDIN 3, Bayezid GÜLCN 4 ÖZET Bu çalışma; gerçek bir işaat projesii kritik yoluu ve tamamlama süresii bulaık faaliyet süreler söz kousu olduğuda asıl hesaplaabileceğii gösterilmesi ve literatürde sık kullaıla durulaştırma yötemleride -kesim ve ağırlık merkezi yötemlerii bu problem özelide karşılaştırılması amacıı gütmektedir. Çalışmada faaliyetlere ilişki süreler, kesi sayılar yerie üçgesel bulaık sayılar şeklide belirlemiş, ağ diyagramı Graphviz yazılımı ile görselleştirilmiş, kritik yolu ve proje tamamlama süresii buluması içi MPL cebirsel modelleme diliyle şebeke tipi matematiksel programlama modeli geliştirilmiştir. Projeye ilişki kritik yol ve tamamlama süresi -kesim yaklaşımı ve yaygı kullaıla durulaştırma tekikleride ola ağırlık merkezi yötemiyle buluarak karşılaştırılmıştır. yrıca bulaık sayıları sıralama yötemleride ola Yager metoduyla sürei doğruluğu sıamıştır. İsaa bağlı faaliyetlere ilişki süreleri kesi olarak bilimesii mümkü olamayacağı düşüceside yola çıkılarak, literatürde sıklıkla kullaıla klasik CPM yötemi yerie bulaık CPM yötemii, kesi sayılar yerie bulaık sayıları kullaılması çalışmaı öemii ortaya koymaktadır. yrıca gerçek bir işaat projesii aaliz edilmesi çalışmaı özgülüğüü oluşturmaktadır. ahtar Kelimeler: Proje Yöetimi, Proje Çizelgeleme, Kritik Yol, Bulaık CPM, Bulaık Doğrusal Programlama BSTRCT This study aims to show how to calculate the critical path ad completio time of a real costructio project whe there exists fuzzy times ad aims to compare clarificatios methods of -cut ad cetroid method cocerig this costructio problem. I this study, duratios related to the activities are specified as triagular fuzzy umbers istead of crisp umbers. Project etwork diagram depicted with Graphviz software after specifyig precedece relatioships. For the purpose of fidig project completig duratio, a etwork type mathematical programmig model is developed with MPL algebraic modelig laguage. To fid critical path ad duratio, it is utilized from -cut method for differet levels ad cetroid method which is oe of the most widely used clarificatio method for fuzzy umbers i the literature. Otherwise with Yager s orderig method, verificatio of critical duratio is doe. It is ot possible to kow exactly duratios of activities which deped o huma. Thus, usig fuzzy CPM method istead of classical CPM which commoly used i the literature ad usig fuzzy umbers istead of crisp umbers reveal the importace of this study. Furthermore aalyzig a real costructio project composed origiality of the study. Keywords: Project Maagemet, Project Schedulig, Critical Path, Fuzzy CPM, Fuzzy Liear Programmig. GİRİŞ So yıllarda proje yöetimi, birçok iş koluda rekabet avatajı olarak görülmektedir. Rekabet ortamıda pazar payıı arttırmak ve kalıcılığı sürdürebilmek adıa işletmeleri projeleri iyi bir şekilde plalaması, faaliyetleri ve faaliyetlere ilişki süreleri doğru belirlemesi öemli hale gelmektedir. Proje yöetimide kullaıla e temel araçlarda biri proje çizelgelemedir. Proje çizelgeleme, faaliyetleri izlemesi ve kotrol edilmesi açısıda yardımcı bir araçtır. Proje çizelgeleme ile faaliyetleri matıksal sıralaması yapılmakta, başka bir ifadeyle öcüllük ilişkilerie bakılarak bu faaliyetleri süreleride hareketle projei kritik faaliyetleri ve tamamlama süresi hesaplamaktadır. Proje çizelgelemedeki ilk adım faaliyetleri birbirleri ile ola öcüllük ilişkileri doğrultusuda projeyi bir bütü olarak ağ diyagramıyla gösterebilmektir. ğ diyagramı sayeside hagi faaliyeti öce veya sora geleceği kolaylıkla takip edilebilmektedir. Bu aşamada sora projei kritik yoluu belirlemesi ve tamamlama süresii hesaplaması gerekmektedir. rta ürü çeşitliliği ve ürüleri yaşam süresideki kısalma, belirsizlik ortamıda plalama ve dolayısıyla çizelgelemeyi zorulu kılmaktadır. Proje çizel- adolu Üiversitesi İşletme Fakültesi İşletme Bölümü, 9 Mayıs Üiversitesi İ.İ.B.F. Uluslararası Ticaret ve Lojistik Bölümü, 3 kara Üiversitesi Sağlık Bilimleri Fakültesi Sağlık Yöetimi Bölümü, 4 Karamaoğlu Mehmetbey Üiversitesi İ.İ.B.F. İşletme Bölümü 449

2 Çağlar KRMŞ, Hasa DURUCSU, Özgür İCN, Gözde TEREKLI, Bayezid GÜLCN geleme kousudaki çalışmalar çoğulukla determiistik yapılıdır. Proje çizelgeleme problemlerideki belirsizliği üsteside gelebilmek amacıyla kullaılabilecek çözüm yötemleride ola bulaık küme teorisi 965 yılıda Zadeh tarafıda ortaya atılmıştır. Bu teori bireyselliği ve belirsizliği üst düzeyde olduğu modele yöelik çözüm sua bir yötemdir. Bu çalışma kapsamıda da faaliyet sürelerii klasik CPM deki gibi kesi sayılar yerie bulaık sayılarla ele ala bulaık CPM yötemi kullaılmıştır. Çalışmada ele alıa proje çizelgeleme problemie ilişki geliştirile (ctivity-o-rc tipideki) ağ diyagramıda 69 düğüm ve 33 saal faaliyet bulumaktadır. Faaliyetlere ilişki süreler, kesi sayılar yerie üçgesel bulaık sayılar olarak belirlemiştir. Bu sayede her bir faaliyete ilişki süreleri tahmilemesii daha sağlıklı bir şekilde gerçekleştirileceği düşüülmektedir. Çalışmaı amacı; bulaık sayıları kesi sayılara döüştürülmeside öcelikle Che i klasik CPM e yöelik getirmiş olduğu -kesim yaklaşımıı değişik seviyeleri içi kullaılması, sorasıda literatürde yaygı olarak kullaıla durulaştırma tekikleride ağırlık merkezi yötemide yararlaılarak karşılaştırmalı olarak projei kritik yoluu ve tamamlama süresii bulumasıdır. Ele alıa proje gerçek bir işaat projesi olup, çalışmaı birici bölümüde proje çizelgeleme, bulaık proje çizelgeleme, bulaık küme teorisi ve bulaık doğrusal programlamaya ilişki literatür bilgileri, ikici bölümüde ele alıa işaat projesie ilişki uygulama bilgileri, üçücü bölümde uygulamaya ilişki çözümler ve so bölümde souç ve öeriler yer almaktadır..litertür TRMSI Çalışmaı bu bölümüde proje çizelgeleme, bulaık proje çizelgeleme, bulaık küme teorisi ve bulaık doğrusal programlama hakkıdaki literatür taramasıa yer verilmiştir...proje Çizelgeleme Geçmişte güümüze dek iş düyasıda karşılaşıla e öemli sorularda biri bir dizi faaliyeti bir amaç doğrultusuda uygu bir biçimde bir araya getirilmesi ve mümkü ola e kısa sürede bitirilmesi problemidir. Proje kavramıı ve proje yöetimi disipliii ortaya çıkmasıyla souçlaa bu arayış, güümüzde hayli revaçta bir yaklaşım ola proje bazlı iş modelie döüşmüştür. Öyle ki; işletmeler projeler yardımıyla iovasyo yapabilmekte; bu amaçla sektör ayrımı yapılmaksızı her alada projeler öem kazamaktadır. Söz kousu projeleri yöetimide belli esasları temel ala yötem ve tekikler de böylelikle popülerliğii korumaktadır. Proje, bir amaca ulaşmak içi isa kayağıı ve isa dışı kayakları belirlemiş sıırlı bir zama aralığı ve bütçe içide bir orgaizasyo dahilide bir araya getirildikleri, projei bitimide ise başka yerlere tahsis edildikleri bir süreç olarak taımlaabilir (Kurt, 006; Sömez, 007; Kolaylıoğlu, 006). Proje yöetimi literatürüde yer ala diğer yaygı bir taıma göreyse, belirlemiş bir hedefi ya da amacı gerçekleştirmek üzere belirli bir zama kısıtı ve bütçe dahilide, işletmei ya da yöetimi istedikleri özellikler doğrultusuda tamamlaması gereke özgü, karmaşık, birbirleriyle bağlatılı faaliyetler bütüüdür. (Suvacı vd., 03). Bu taımlarda da alaşılacağı üzere her proje bir ihtiyaca cevap vere ya da belirlee bir amacı gerçekleştire, belirli bir zama aralığıda başlagıç ve bitiş süreleri bulua, geçici bir süre içi gerçekleşe, kayak tükete ve kedie özgü özelliklere sahip ola bir süreçtir. Projeleri e öemli amaçlarıda biri işletmeye ya da yöetime fayda sağlamak, bir ihtiyacı gidermek ya da karşılaşıla mevcut bir probleme çözüm geliştirmektir (Kurt, 006). Başarılı bir projei belirlee maliyet, zama ve performas kısıtları içide işletme yöeticilerii hedeflere ulaştırmış olması gerekmektedir. Projeler birbiride farklı pek çok faaliyeti içermektedir. Bu faaliyetleri bazıları birbiride bağımsız ike, bazı faaliyetleri gerçekleşmesi ise bir başka faaliyeti başarıyla tamamlamasıa bağlı olarak gerçekleşmektedir. Faaliyetleri bahsedile bu bağımlılık ilişkilerii yaı sıra sıırlı kayak kullaarak ve belirli bir zama dilimide ve belirli bir bütçe ile gerçekleştirilmeleri gerekir. Bu özellikleride dolayı başarılı bir projei çok iyi bir plalama sürecide geçmesi, faaliyetleri ilişkilerii ve sürelerii belirlemesi ve öcelik ilişkisi doğrultusuda sıraya koulması, uygulama aşamasıda ve sorasıda kotrol edilmesi gerekmektedir. Kısacası projeleri doğru bir şekilde yürütülmesi oldukça öemlidir (Kurt, 006; Vatasever, 008). Proje yöetimi; performas, kalite, maliyet ve zama kısıtları altıda hedeflere ulaşmak içi faaliyetleri plalaması ve mevcut kayakları e verimli şekilde kullaılması sürecidir (Sömez, 007; Kurt, 006; Kolaylıoğlu, 006). Başka bir ifade ile proje yöetimi; projei hedeflerie ulaşması, ilgili tarafları gereksiim ve bekletilerii karşılaması içi tüm kayakları (bilgi, beceri, persoel, araç, gereç, vb.) proje faaliyetlerie aktarılmasıdır (Liu, Yag ve Li, 00). Proje yöetimi; projei fikir aşamasıda itibare başlamakta ve projei tamamlamasıa kadar geçe tüm faaliyetleri plalaması, uygulaması ve kotrolü faaliyetlerii kapsamaktadır (Suvacı vd., 450

3 Bulaık CPM Yötemiyle Proje Çizelgeleme: İşaat Sektörüde Bir Uygulama 03; ydı vd., 0). Proje yöetimi alaıdaki çalışmalar İkici Düya Savaşı sorası hız kazamıştır. Savaş sorası özellikle savuma saayiside yaşaa büyük gelişmeler eticeside silah sistemleri ile ilgili yürütüle projeleri e iyi şekilde yöetilmesi gerekliliği ortaya çıkmıştır (Çubukçu, 008). İzleye süreçte; yöeticiler içi proje yöetimi yalızca savuma saayiside değil, diğer sektörlerde de oldukça ilgi çeke bir yaklaşım halie gelmiştir. Proje yöetimii e öemli alalarıda biri projei çizelgelemesidir (Soltai ve Haji, 007). Çizelgeleme, projeleri plalaması ve yöetim tarafıda verilecek karar aşamalarıda projei etkilik ve verimliliğii belirleye öemli bir usur olarak karşımıza çıkmaktadır (Paksoy, 007). Güümüzde her geçe gü ürü çeşitliliğii artması dolayısıyla ürü ömürlerii kısalması ile her projede farklı faaliyetler ve faaliyet süreleri ile uğraşılmaktadır. Bu amaçla belirsizliklerle dolu bu süreci plalaması, yöetilmesi ve doğru bir şekilde çizelgelemesi çok öemlidir (Kökçam ve Egi, 00). Çizelgeleme problemlerii başta üretim ve lojistik sistemlerii plalaması olmak üzere geiş bir alada ortaya çıktığı görülmektedir. Bu problemleri birçoğu NP-zor (Nodetermiistic Polyomial Time) problemlerdir. Projeler, çizelgeleme literatürüde P prec C max otasyouyla ifade edile öcelik kısıtlarıa maruz sosuz paralel makie veya kayağa sahip çizelgeleme problemleri olarak sııfladırılmaktadır (Piedo, 0). Proje çizelgeleme; belirli amaçlar doğrultusuda mevcut ola kıt kayakları kullaımı ile yerie getirilmesi gereke faaliyetleri gerçekleştirilmesi ve kayakları faaliyetlere zamaa bağlı olarak tahsisi içi program yapılmasıdır (Paksoy, 007; Kökçam ve Egi, 00). Diğer bir deyişle; proje çizelgeleme problemi toplam maliyeti ve projei tamamlama süresii degelemek amacıyla tahsis edile kayakları çizelgelemesidir (Ke ve Liu, 00; Zhag ve Che, 0; Liu, 009). Proje çizelgelemede; projede yer ala faaliyetler arasıdaki öcelik ve sıra ilişkilerii belirlemesi, projei geelie ya da projede yer ala her bir faaliyete tahsis edilecek bütçe ve kayak kısıtlarıı saptaması ve projedeki her bir faaliyeti süresii hesaplaması işlemlerii yapılması gerçekleşir (Kurt, 006). Bu amaçla proje çizelgeleme faaliyetlerie öcelikle gülük çalışma saatlerii, haftalık çalışma gülerii, tatilleri vb. belirlemesi yai çalışma takvimii hazırlaması ile başlaır. Projeye ilişki faaliyetleri e kadar süreceği tahmi edilir, faaliyetleri sırasıa, öcelik ilişkilerie ve faaliyet sürelerie göre oluşturula çalışma takvimii de katkısıyla projei çizelgelemesi yapılır (Kökçam ve Egi, 00). Projeleri çizelgelemesideki amaç; projei tamamlama süresii belirlemesi, projei zamaıda bitmesii sağlamak amacıyla hagi faaliyetleri kritik olduğuu tespit edilmesi, gerektiğide projei tamamlama süresii geciktirmede hagi faaliyetleri e kadar süre içi erteleebileceği, faaliyetleri e zama başlayacağıı ve e zama solaacağıı belirlemesi, projei herhagi bir aıda e kadar para harcaması gerektiği ve bazı faaliyetleri hızladırılması içi fazlada harcama yapmaya değer olup olmayacağıı tespitidir (Kurt, 006; Kolaylıoğlu, 006). Proje e kadar iyi çizelgeleirse, yöeticileri vereceği kararları, yöetimi ve uygulayıcıları etkilik ve verimliliği de o derece iyi olacaktır (Paksoy, 007). Projelerde yer ala faaliyetleri çizelgelemeside geellikle üç yaklaşım kullaılmaktadır. Bular; Gatt Şeması, CPM-Kritik Yol Metodu (Critical Path Method), PERT- Program Değerledirme ve Gözde Geçirme Metodudur (Program Evaluatio ad Review Techique) (Kurt, 006; Vatasever, 008; Kökçam ve Egi, 00; Kolaylıoğlu, 006; Sömez, 007; Soltai ve Haji, 007). Bu yaklaşımları ortak amacı, projei toplam süresii e aza idirgemesidir. Buları dışıda PEP-Proje Değerledirme Prosedürü (Project Evaluatio Procedure), LESS - E Düşük Maliyet Tahmii ve Programlaması Tekiği (Less Cost Estimatig ad Schedulig), GERT- Grafik Değerledirme ve Gözde Geçirme Tekiği (Graphical Evaluatio ad Review Techique) ve PDM- Öcelik Diyagram Yötemi (Precedece Diagrammig Method) de bu alada ve özellikle iş süreçlerii modellemeside kullaılabilir yaklaşımlardadır (Spier, 997). Bahsedile bu yaklaşımları hepside bulaık olmaya durumlar yai determiistik karar ortamları söz kousudur. Bulaık ola yaklaşımlarda ise bulaık proje çizelgeleme yötemi kullaılmaktadır...bulaık Proje Çizelgeleme Gerçek hayatta karşılaşıla olayları ya da durumları birçoğu çeşitli açılarda belirsiz olabilir. Özellikle bilgi eksikliği edeiyle bir sistemi mevcut durumu et bir şekilde biliemeyebilir veya ifade edilemeyebilir. Olayları ya da durumları ifade edilmeside kullaıla kelimeleri, taımlamaları, bilgileri içerdiği belirsizlik literatürde bulaıklık (fuzziess) olarak isimledirilir (Dömez, 007). Gerçek hayat uygulamalarıda projeye ilişki faaliyetleri tam olarak e kadar sürede tamamlaabileceklerii bilimesi ya da tahmi edilmesi mümkü 45

4 Çağlar KRMŞ, Hasa DURUCSU, Özgür İCN, Gözde TEREKLI, Bayezid GÜLCN olmayabilir. Diğer bir deyişle faaliyetler ya da faaliyetlere ilişki sürelere ilişki tahmiler belirsiz olabilir veya çok sayıda uzmada ayı faaliyet içi istee tahmiler farklılık gösterebilir. Dolayısıyla proje çizelgeleme problemleride faaliyet süresi tahmileride kayaklaa belirsizlikler oluşabilir (Liu, 009; Zhag ve Che, 0; Liu, Yag ve Li, 00; Ke ve Liu, 00; Ke ve Liu, 007). Böyle durumlarda belirsizliklerle dolu ola problemleri çözümüde kullaılacak e iyi yaklaşımlarda biri olarak bulaık küme teoriside faydalaılabilir (Herroele ve Leus, 005). Zadeh tarafıda 965 te ortaya atıla bulaık küme teorisi birçok farklı bilimsel alada yei bir ufuk açmıştır. 0 yılda daha uzu bir zama öce ortaya çıka bulaık küme teorisi beklemeye bir gelişme göstermiş (Yalaoui vd., 00) ve o zamada güümüze kadar karar verme, matematiksel programlama ve regresyo aalizi gibi birçok tekikle melez bir biçimde uygulama alaı bulmuştur (Çubukçu, 008). Bulaık küme teorisi, karar parametrelerideki belirsizlik ve uzmaları zihisel modelleri kullaımı ile çizelgeleme problemlerii gerçek hayata adapte edildiği bir yaklaşım olarak kullaılmıştır (Soltai ve Haji, 007). Bulaık küme teorisi belirsizlikler edeiyle taımlaması zor ola sistemleri modellemeside kullaılmaktadır. Kesi bilgii olmadığı ve özelliği buluduğu bir modeli formüle edilmesi ile ilgili bir yötemdir. Kısacası, belirsizlikleri olduğu bir problemi e uygu çözümüü bulmak içi yardımcı olarak kullaılabilecek bir tekiktir (Guiffrida ve Nagi, 998; Pa ve Yeh, 003). Bulaık küme teorisi ve bulaık sayıları kullaılması soucu karar vericileri hem iyimser hem de kötümser görüşlerii alıması ile faaliyet sürelerii daha sağlıklı bir şekilde belirlemesi sağlaabilir (Carlsso, 984; aktara Pa ve Yeh, 003). Bulaık küme teorisi, proje çizelgeleme problemleri içi ilk kez 979 da Prade tarafıda uygulamıştır (Prade, 979; aktara Pa ve Yeh, 003). Proje çizelgeleme ile ilgili olarak yapıla çalışmalar çoğulukla, problem ile ilgili tüm bilgileri bilidiği, problemi determiistik ortamda çalıştığı varsayımıa dayamaktadır. raştırmacılar, faaliyet süreleri belli ola proje çizelgeleme problemleri üzerie çalışmışlardır. 96 de Kelley, bir proje çizelgeleme problemi içi matematiksel bir temel oluşturmuş ve proje maliyeti ve faaliyet süreleri arasıda foksiyoel bir ilişki sumuştur. 963 yılıda ise toplam maliyeti e aza idirmek amacıyla determiistik proje çizelgeleme problemlerie bir yaklaşım formüle etmiştir. Sorasıda birçok araştırmacı, belirli faaliyet süreleri ile proje çizelgeleme problemi çalışmalarıa katılmışlardır (Ke ve Liu, 00 ; Ke ve Liu, 007; Zhag ve Che, 0). Projelerde yer ala faaliyetler öcede birkaç kere tekrarladıysa ya da faaliyet sürelerie ilişki veriler varsa faaliyet sürelerie ilişki belirsizlik, olasılık dağılımları yardımıyla belirleebilir (Ke ve Liu, 00). cak istatistiksel verileri olmadığı, bazı faaliyet sürelerie ilişki olasılık dağılımlarıı bilimediği ya da kısme bilidiği, projeye ilişki bazı faaliyetleri daha öce kullaılmadığı bazı durumlarda proje çizelgelemedeki faaliyet süreleri uzmalar ya da proje yöeticilerii deeyimleri tarafıda bulaık değişkeler olarak belirleebilir (Zhag ve Che, 0). Bulaık değişkeler kullaılarak faaliyet süresii belirlemesi durumuda olasılık teorisi yerie Zadeh tarafıda taıtıla bulaık küme teorisi kullaılabilir (Zadeh, 965; aktara Ke ve Liu, 007). Bulaık proje çizelgeleme ile ilgili yapıla çalışmalara bakıldığıda, Ke ve Liu, 004 yılıda bulaık proje çizelgeleme problemlerii çözümü içi bulaık beklee maliyet azaltma modeli, bulaık alfa-maliyet azaltma modeli ve güveilirlik maksimizasyo modeli olmak üzere üç çeşit bulaık model sumuştur (Ke ve Liu, 00). Che ve Huag (007), bulaık faaliyet sürelerii olduğu bir proje ağıdaki kritikliği ölçmek amacıyla bulaık faaliyet zamaıı değerledirilmesie yöelik aalitik bir yötem sumuşlardır. Liag (009), çok amaçlı proje yöetimi problemlerii çözümü içi iki aşamalı bir bulaık programlama yaklaşımı geliştirmiştir. Che (007), bulaık sayılar kullaılarak oluşturula bir proje ağıdaki kritik yolu bulumasıda proje süresii alt ve üst sıırlarıı hesaplamak içi doğrusal programlama formülasyou uygulamıştır. Wag ve Hao (007), PERT tekiği içi bulaık dilsel bağlam kullamışlardır. Bu modelde her bir faaliyet süresi, bulaık dilsel taımlamalar kullaılarak belirlemiştir (Wag ve Hao, 007). Dubois ve Prade (988), bir proje ağıdaki her bir faaliyeti e geç başlama süresii hesaplamak içi bulaık aritmetik işlemler modeli geliştirmiştir (Shakar, Sireesha ve Rao, 00). Yao ve Li (000), bir bulaık proje ağıa ilişki kritik yolu bulmak amacıyla bulaık sayıları sıralaması ile ilgili bilgileri kullamışlardır. Shakar, Sireesha, Rao ve Vai (00) tarafıda bulaık CPM ile ilgili yapıla çalışmada, faaliyetlere ilişki süreler yamuk bulaık sayılar ile ifade edilmiş; bulaık proje ağıa ilişki kritik yolu bulumasıda Che ve Cheg (005) tarafıda öerile metrik mesafe sıralaması (metric distace rakig) aalitik yötemi kullaılmıştır. Belirli zamada bulaık bir projei tamamlama olasılığı metrik uzaklık sıralama metodu ve işaretli uzaklık sıralama metodu kullaılarak farklı sayıda faaliyete sahip değişik proje kümesi içi hesaplamış ve öerile yötemi faaliyetleri kritikliğii belirlemesi, kritik yolu buluması ve belirli zamada bulaık projei tamamla- 45

5 Bulaık CPM Yötemiyle Proje Çizelgeleme: İşaat Sektörüde Bir Uygulama masıda daha etkili olduğu soucua varılmıştır. Havaalalarıı yer hizmetlerie ilişki kritik işletme süreçleride bulaık CPM yötemii asıl kullaıldığıı göstermek amacıyla Ha, Chug ve Liag (006) tarafıda yapıla çalışmada da bezer şekilde faaliyet süreleri yamuk bulaık sayılar ile ifade edilmiştir. Taiwa ı Chiag Kai-Shek (CKS) uluslararası havaalaı kargo termialii yer işlem ağıı bulaık kritik yol aalizii gerçekleştirmek içi Liag ve Ha ı (004) öerdiği bulaık kritik yol algoritmasıda yararlamışlardır. Karar vericii karar sürecie yöelik risk tutumuu ele ala bu yötem soucu havaalaıı yer işlem modelii karmaşıklığı azaltılarak havaalaı kargo taşıma süreçlerii yeide tasarlamasıyla yük hizmet performası arttırılmıştır. Hsiau ve Li (009), tesis işaatıa ilişki proje çizelgeleme problemi ile ilgili yapmış oldukları çalışmada yamuk bulaık sayılar ile bulaık PERT yötemii kullamışlardır. Çok sayıda faaliyet içere ve belirsiz kayak kapasitesi edeiyle bulaık faaliyet sürelerie sahip ola petrokimyasal tesis işaat proje çizelgeleme problemie yöelik olarak geleeksel bulaık PERT i zorluklarıı üsteside gelecek şekilde geişletilmiş bulaık PERT yötemide yararlamışlardır. Çalışma hacimleri, kayak miktarı ve bulaık kayak kapasitesi bağlamıda işlemleri bulaık süreleri değerledirilmiş, her faaliyeti uygu e erke başlagıç zamalarıı belirlemek içi bulaık öcül faaliyet zamalarıı kıyaslamasıda maksimum alfa kesim yötemide yararlaılmış, bulaık e geç başlama zamalarıı hesaplamasıda bulaık cebir yötemi kullaılmış ve proje çizelgeleme riskii ölçülmeside proje çizelgeleme risk ideksi geliştirilerek tesis işaat proje çizelgeleme yöetimi desteklemiştir. Yapıla simülasyo soucuda tatmi edici souçlara ulaşılmıştır. tlı ve Kahrama (0) bulaık kayak kısıtlı proje çizelgeleme problemie yöelik bulaık paralel kaguru ve mislack çizelgeleme yötemide yararlamışlardır. Kayak kısıtları altıda miimum proje plalama zamaıı amaçladığı çalışmada yamuk bulaık sayılar kullaılmış, ctivity-o-rc gösterimide yararlaılmış ve iki yötemi karşılaştırması yapılmıştır. Shakar, Sradhi ve Babu (03) bulaık koşullar altıda proje ağıı kritik yoluu bulmak içi bulaık sayıları orial oktasıda uzaklığıa göre merkezleri merkezi yötemii kullaarak bulaık sayıları sıralamışlardır. Öerile yötem farklı üyelik foksiyolarıa sahip kesi sayıları içerecek şekilde tüm bulaık sayı türlerii sıralayabilmektedir. Öerile yötem Liag ve Ha ı (004) mevcut yötemide alıa sayısal bir örekle gösterilmiş ve mevcut yötem ile öerile yötemi eş souçlar verdiği gözlemlemiştir. Faaliyet sürelerii tahmi edilmeside kullaıla CPM, PERT ve GERT gibi metotlar gerçek hayatta yer ala projeleri modellemeside birtakım eksikliklere sahiptirler (Soltai ve Haji, 007). Bu amaçla CPM ve PERT modelleri içi bulaık zama parametreleri kullaılarak bu eksiklikleri giderilmeye çalışılmıştır (Hapke ve Slowiski, 996). Literatüre bakıldığıda PERT metodu ile ilgili yüzlerce çalışmaı yapıldığı görülmektedir acak 970 leri ikici yarısıda sora proje aalizleride bulaık PERT ya da bulaık CPM isimli yei bir yaklaşımı doğduğu gözlemlemektedir. Bulaık PERT ya da bulaık CPM yötemide faaliyet sürelerii modellemesi içi bulaık sayılar (bulaık küme teorisi) kullaılmaktadır (Chaas ve Zieliski, 00). Chaas ve Kamburowski (98) tarafıda geliştirile bulaık PERT (FPERT) tekiğide projei tamamlama süresi zama uzayıda bulaık kümeleri bir şekli olarak suulmuştur. FPERT tekiği dışıda 983 yılıda Gazdik (983) tarafıda FNET ismi verile bulaık bir ağ geliştirilmiştir. Bu ağda proje süresii ve kritik yolu hesaplaması içi bulaık cebirsel operatörler kullaılmıştır (Soltai ve Haji, 007). Bu tekikleri dışıda kullaıla diğer bir yötem de Bulaık Kritik Zicir (FCC) çizelgeleme yötemidir. Bu yötemde projei tamamlamasıda hem öcelikler hem de kayak bağımlılığı ola faaliyetler sıralamaktadır (Liu, Yag ve Li, 00). Görüldüğü gibi bulaık teoriye dayalı yötemleri temel avatajlarıda biri bulaık teorii öcede ögörülebilir düzelilikler ya da frekas dağılımları gerektirmemesidir. Faaliyetleri bulaık sayılar ile temsil edildiği ve kesi olmaya e so başlama zamalarıı olası değerlerie ilişki aralıkları hesaplamasıa yöelik problemler geçmişte güümüze dek yoğu ilgi çekmekte ve bu kouda birçok yötem geliştirilmektedir (Zieliski, 005). 3. BULNIK SYILR 3..Geel Bilgiler Bir bulaık sayı, X söylem evreide hem koveks hem ormal ola ve şu koşulları tatmi ede bulaık bir alt kümedir. µ X ) aralıklı süreklidir ~ ( µ ~ ( X ) kovekstir µ ~ ( X ) ormalleştirilmiş bulaık kümedir ve µ ( m ) ~ = durumu m i gerçel sayı olması koşuluyla gerçekleşir. ~ bulaık sayısı bulaık bir kümedir ve üyelik 453

6 Çağlar KRMŞ, Hasa DURUCSU, Özgür İCN, Gözde TEREKLI, Bayezid GÜLCN foksiyou ( X ) : U [ 0,] µ olmaktadır. ~ Üçgesel bir bulaık sayı (a,b,c) üçlüsü gibi taımlaabilir. Üyelik foksiyou ise olu eşitliğe göre şöyledir: 0,x a x a,a x b µ b a X ) = ~ ( c x,b x c c b 0,x c () Sırasıyla ( a,a,a3 ) ve ( b,b,b3 ) üçlüleriyle parametreledirile ~ ve B ~ gibi iki bulaık sayıyı ele aldığımızda üçgesel bulaık sayılara yöelik aritmetik işlemler ve 3 olu eşitliklere göre şöyledir: ~ ~ B toplama işlemi : ( a,a,a3 ) ( b,b,b3 ) = ( a + b,a + b,a3 + b3 ) () ~ B ~ çarpım işlemi : ( a,a,a3 ) ( b,b,b3 ) ( a xb, a xb, a xb ) 3 3 (3) ~ bulaık sayısıı LR türü L(sol) ve R(sağ) ilişki foksiyoları 4 olu eşitlik biçimide ortaya çıkmaktadır (, β 0 içi)). µ ~ ( m x L, x m x) = x m R, x m β ~ m değeri ( x ) i ortalaması,, β her ikisi de reel sayı ve orta oktada ola sol ve sağ mesafeler olmakla birlikte, ~ bulaık sayısı (m,,β ) LR olarak gösterilebilir (Che ve Cheg, 005). (4) ~ gerçel bulaık sayısı aşağıdaki özellikleri sağlaya f ~ üyelik foksiyolu ve R gerçel doğrusuu herhagi bir bulaık alt kümesi olarak taımlaır. f ~, R de [,w] göderimdir, 0 w ; 0 kapalı aralığıa kadar sürekli içi f ~ ( x ) = 0 olmak- tüm x (,a ] tadır. f ~, [ a,b] tüm [ b,c] üzeride kesi artadır. x içi f ~ ( x ) = w olmaktadır; w 0 w dir. sabit ve f ~, [,d] c üzeride kesi azaladır. + içi f ~ ( x ) = 0 olmaktadır. tüm x [ d, ) Burada a,b,c ve d gerçel sayılardır; a=, a=b, c=d, yada d=+ olmasıa izi verilebilir. ksi belirtilmedikçe ~ ı koveks ve sıırlı olduğu varsayılır, başka bir deyişle ad, + olmaktadır. Eğer d deki durumda w= olursa ~ ormal bulaık sayıdır, d deki 0<w< içi ~ ormal olmaya bulaık sayıdır. Kolaylık açısıda bulaık sayı ~ = ( a,b,c,d;w ) olarak gösterilebilir. ~ = ( a,b,c,d;w ) i tersi ise ~ = ( d, c, b, a;w ) şeklide gösterilir. ~ ı üyelik foksiyou f ~ L f ( x ), a x b, ~ w,b x c, = R f ( x ), c x d, ~ 0,aksi taktirde f ~ 5 olu eşitlikteki gibidir: (5) Burada f L : [ a,b] [ 0,w] ~ ve f R : [ c,d] [ 0,w] ~ olmaktadır. f L : [ a,b] [ 0,w] ~ sürekli ve kesi arta olduğu içi f ~ i ters foksiyou da bulumaktadır. L Bezer biçimde f R : [ c,d] [ 0,w] ~ sürekli ve kesi R azala olduğu içi f ~ i ters foksiyou da bulumaktadır. f ~ ve f ~ i ters foksiyou sırasıyla g ~ L R R ve g ~ olarak gösterilebilir. f L : [ a,b] [ 0,w] ~ sürekli ve kesi arta olduğu içi g L : [ 0,w] [ a,b] ~ da ayı zamada sürekli ve kesi artadır. Bezer şekilde f R : [ c,d] [ 0,w] olduğu içi : [ 0,w] [ c,d] ~ sürekli ve kesi azala g R L ~ de ayı zamada sürekli ve kesi azala olmaktadır bu yüzde bular [,w] 0 üzeride itegralleebilir. Bu edele hem w w L 0 R hem de g dy olmaktadır (Paradi ve raghi, 008). 0 g dy 454

7 Bulaık CPM Yötemiyle Proje Çizelgeleme: İşaat Sektörüde Bir Uygulama 3..Bulaık Kritik Yol Problemi Toplam süreyi belirlemek ve kritik yolları bulmak içi kullaılabilecek alteratif yollarda birisi ola doğrusal programlama formülasyouu temelide birim akışı proje ağıa başlagıç düğümüde girip, bitiş düğümüde çıkacağı varsayımı yatar. (i,j) faaliyetideki akışı miktarıı belirte karar değişkei x olsu. Herhagi bir zamada sadece bir birimlik akış herhagi bir yay üzeride olacağıda x değişkei sadece ikili değer (0 ya da ) alabilir. düğüme sahip kritik yol problemi 6 olu eşitlikteki gibi gösterilebilir: D= max i= j= j= t x x = j= k= k = j, (6) x = x, i =,...,, x k =, ki x = 0 ya da, (i,j). Yukarıdaki eşitlikte herhagi bir faaliyeti süresi ola t bulaık olduğuda toplam süre ola D de bulaık olacaktır. Bu bağlamda geleeksel kritik yol problemi bulaık parametrelere sahip olacak biçimde değiştirilecektir. Bulaık kritik yol problemi 7 olu eşitlikteki gibi gösterilecektir: D = maxtx j= i= j= x = j= k= k = j, x = x, i =,...,, x k =, ki x = 0 ya da, (i,j). İlk düğümde. düğüme kadar proje ağıı toplam süresii maksimize edilmesi amacıı her iki modelde de bezer olması dışıda oluşa tek fark, toplam sürei bulaık olmasıdır. maç foksiyouu kesi değere sahip olması proje yöetimi içi bazı yararlı bilgileri kaybolmasıa yol açacağıda, (7) bulaık kritik yol problemi içi projei kritik yollarıı belirlemesi amacıyla çözümler bu problemi bulaıklığıı içerecek biçimde olmalıdır. Buu sağlayacak şekilde Che kesim ve iki düzeyli matematiksel programlamaı kombiasyoua dayalı olarak bulaık toplam süre aalizii üyelik foksiyouu elde edecek bir yaklaşım geliştirmiştir. Bulaık kritik yol problemide amaç foksiyouu üst sıırıı elde etmek içi doğruda t değerlerii üst sıır ola ( T ) U ( i, j ) ye göre ayarlayarak maksimum amaç değeri buluur. Böylece üst sıırı elde etmek içi model 8 olu eşitlik biçimide yazılır: D U = max j= x, j = i= j= j= k= k = (T ) U x = x, i =,...,, x k =, ki x 0, (i,j). Yukarıdaki modelde de alaşılacağı üzere ya göre parametrize edile maksimal amaç değeri olasılık düzeyide proje ağıı toplam süresii üst sıırıı gösterir. Bezer şekilde alt sıırı elde etmek içi model 9 olu eşitlik biçimide yazılır: L L D max ( T ) x j= = x, j = j= k= k = i= j= x = x, i =,...,, x k =, ki x 0, (i,j). U L 8 ve 9 olu modellerde D ve D üyelik foksiyouu kesimii üst ve alt sıırlarıı verir (Che,007). 0 < < < koşuluu sağlaya x (8) (9) 455

8 Çağlar KRMŞ, Hasa DURUCSU, Özgür İCN, Gözde TEREKLI, Bayezid GÜLCN ve iki olasılık seviyesi içi tüm kesimleri L L D D U U D gömülü bir yapı oluşturur. Bu edele ve D olmaktadır. Yai alt sıır kapsamıda ye göre taımlaa uygu bölge e göre taımlaa uygu bölgede daha küçükke; üst sıır kapsamıda ye göre taımlaa amaç foksiyou e göre taımlaa amaç foksiyouda daha büyüktür. Başka bir deyişle sol şekil foksiyou arta ve sağ şekil foksiyou azaladır. Bu durum D ~ i koveksliğii garati eder (Che, 007). 3.3.Durulaştırma Yötemleri Pla, proje, tasarım gibi pratik uygulamalarda boyutladırmalar içi kesi sayısal değerlere gerek duyulduğuda, bulaık değişke, küme, matık ve sistemleri bulaık ola çıkarımlarıı kesi sayılarla ifade edilmesi gerekmektedir. Bulaık ola bilgileri kesi souçlar halie döüştürülmesi içi yapıla işlemlere durulaştırma deir (Kıyak ve Kahvecioğlu, 003; Dayık ve Kodaloğlu, 007). Literatür icelediğide çok çeşitli durulaştırma yötemlerii olduğu görülmektedir. Bu yötemler arasıda e bilieler; e büyük üyelik ilkesi, ağırlık merkezi (cetroid) yötemi, ağırlıklı ortalama yötemi, ortalama e büyük üyelik derecesi yötemi, toplamları merkezi yötemi, e büyük ilk veya so üyelik derecesi yötemidir (Şe, 003; Dayık ve Kodaloğlu, 007; tacak ve Bay, 004; Kataria, 00; Naaz, lam ve Biswas, 0). Bu yötemlerde hagisii seçileceği eldeki problemi yapısıa göre araştırmacı tarafıda belirleir (Şe, 003). E büyük üyelik ilkesi yötemii bir diğer adı yükseklik yötemidir. Bu yötemi kullaılabilmesi içi tepeleri ola çıkarım bulaık kümelerii (Kıyak ve Kahvecioğlu, 003); ağırlık ortalama yötemii kullaılabilmesi içi de simetrik üyelik foksiyou buluması gerekmektedir. Ortalama e büyük üyelik yötemie e büyükleri ortası yötemi de deilmektedir. Bu açıda e büyük üyelik ilkesie bezemektedir. cak, e büyük üyeliği koumu tek olmayabilir. Toplamları merkezi yötemide iki bulaık kümei birleşimi yerie cebirsel toplamları kullaılmaktadır. Bu yötemi dezavatajı ise örtüşe kısımları iki defa toplama işlemide yer almasıdır (Şe, 003). E büyük alaı merkezi yötemide çıkarım bulaık kümesi e az iki dış bükey alt bulaık kümeyi içermesi durumuda e büyük alalı kümei ağırlık merkezii durulaştırılması ele alıır. E büyük ilk veya e büyük so üyelik derecesi yötemide ise çıkarım bulaık kümesideki e büyük üyelik derecesie sahip ola e küçük veya e büyük bulaık küme değeri seçilir (Şe, 004). Durulaştırma işlemleride e sık kullaıla yötem, ağırlık merkezi (cetroid) yötemidir (Kıyak ve Kahvecioğlu, 003; tacak ve Bay, 004; Polat ve Özel, 0; Karadavut ve kkapta, 0; Şe, 003). Bu yöteme ilişki matematiksel işlemler 0 olu eşitlik ile yapılmaktadır. Deklemde simgesi itegral işaretii göstermektedir (Şe, 003). z * = ü ( z). zdz ç ü ( z) dz ç (0) Bu formülde, ü ç (z) çıkarım işlemi eticeside elde edilmiş üyelik ağırlığıı, z her bir kuraldaki çıkış değerii ve z * durulaştırılmış çıkışı temsil etmektedir. ğırlık merkezi yötemii gösterimi Şekil de verilmektedir. Şekil : ğırlık Merkezi Yötemii Gösterimi Kıyak ve Kahvecioğlu (003), tacak ve Bay (004), Subaşı, Beycioğlu ve Emiroğlu (009), Polat ve Özel (0) yapmış oldukları çalışmalarda durulaştırma yötemleride ağırlık merkezi (cetroid) yötemii kullamışlardır. yrıca Kataria (00) ve Naaz, lam ve Biswas (0), durulaştırma yötemleride ağırlık merkezi yötemi (Ceter of rea), iki bölge yötemi (Bisector of rea), maksimumu ortalaması (Mea of Maksimum), maksimumu e küçüğü (Smallest of Maksimum) ve maksimumu e büyüğü (Largest of Maksimum) yötemlerii kullaarak yötemler arasıda karşılaştırma yapmışlar ve bezer şekilde ağırlık merkezi, iki bölge yötemi ve maksimumum ortalaması yötemlerii, diğer iki yöteme göre daha iyi olduğu soucua ulaşmışlardır. Bu çalışmada da durulaştırma işlemleride ağırlık merkezi (cetroid) yötemi kullaılmıştır. Çalışmada bu yötemi tercih edilmesii edei yapıla hesaplamaları diğer yötemlere göre basit olması ve durulaştırma soucu elde edilecek temsili değeri eldeki verilere göre problemi çözümüe iyi deebilecek cevaplar vermesi olarak ifade edilebilir. 456

9 Bulaık CPM Yötemiyle Proje Çizelgeleme: İşaat Sektörüde Bir Uygulama 3.4.Yager i Kıyaslama (Göreceli Kritiklik Derecesi) Yötemi Gürbüz olmasıı yaı sıra doğrusallık ve toplaabilirlik özelliklerie sahip ala takasıa dayalı ola t =[ ] L, t U Yager sıralama ideksi I( t ~ ) olu eşitliğe göre kesim, t hesaplaır. I( ~ L t ) = ( t + t 0 da t ~ koveks bulaık sayısı içi U )d () Yukarıdaki formülde I ( t ), ~ t ü ortalama ~ ~ değerii merkezidir. D ve D iki bulaık sayı olarak varsaydığımızda I( D ~ ) I( D ~ ) durumuda D ~ D ~ ve max { D ~,D ~ } = D ~ olmaktadır. L Bu idekste üyelik foksiyou yerie kesim t ve U t u uç değerleride ~ t koveks bulaık sayısı hesaplaır. Sıralaacak tüm bulaık sayıları üyelik foksiyolarıı bilimesii gerektire çoğu sıralama yötemleride farklı olarak Yager i sıralama ideksi bulaık faaliyet sürelerii üyelik foksiyouu belirgi biçimlerii bilimediği durumlarda da uygulaabilir. B ~ ve C ~ gibi iki koveks bulaık sayıı doğrusal kombiasyouu ~ koveks bulaık sayısıı olduğuu varsaydığımızda ~ = ub ~ + vc ~ eşitliğide u ve v sabitlerdir. Burada ise I( ) = ui( B ) + vi ( C ) ~ elde edilir. Souçta Yager i sıralama yötemi, bulaık kritik yol problemii kesi faaliyet süreli geleeksel kritik yol problemie döüştürme temelie dayalı bir yötemdir (Che ve Hsueh, 008). Bulaık faaliyet süreli bir proje ağıdaki e kritik yol e büyük Yager sıralama ideksie sahip oladır. m farklı bulaık kritik yol fcp k, k=,,,m ile birlikte kritik faaliyetler kümesii FC k, k=,,,m olduğuu varsayarsak e kritik yolu uzuluğu olu eşitliğe göre şöyle buluur: max L mcp = maxk I(T ~ ) () ( i, j ) FCk,k =,,..., m Proje ağıı G yolda oluştuğuu düşüelim. E kritik yolu p P g { G} fg,,,..., fg kritiklik derecesii.0 olarak düzelersek, bir yolu kritikliğii göreceli derecesi 3 olu eşitliğe göre bu yolu Yager sıralama ideksii e kritik yolu sahip olduğu idekse oralamasıyla buluur (Che, 007): IT ( ) (, i j) P Rdeg( pfg ) = max ( ) k fg { IT ( i, j) FC, k =,,..., m } IT ( ) = (, i j) Pfg max Lmcp k (3) Bu çalışmada dışbükey bulaık sayıı ortalama değerii merkezii bulumasıı esas ala ve kesim aralıklarıda yararlaa Yager kıyaslama yötemide faydalaarak projei kritik yolu ve tamamlama süresii doğruluğu sıamıştır. 4.PROJEYE İLİŞKİN UYGULM BİLGİLERİ 4..Proje Taıtımı Uygulamaı gerçekleştirildiği şirket 995 yılıda Karama ilide kurulmuş bir aile işletmesi sayılabilecek bir işaat müteahhitlik şirketidir. Şirket kurulduğu yılda bu zamaa kadar Karama da, çalışmaya kou so proje ile birlikte, toplam 586 daire üretmiştir. So projedeki daireleri sahiplerie teslimi sorası yei ve Karama ölçeğide büyük sayılabilecek, 0-50 dairelik, çok bloklu ve - katlı olarak plalaa yei bir proje hedefleye ve ö çalışmalarıa başlaya firma ayı zamada gıda ve otel işletmeciliği alalarıda faaliyetlerie devam etmektedir. Çalışmaya kou ola proje, ilgili firmaı ilk site tarzı ve sosyal doatılı projesidir ve iki blokta oluşmaktadır. Bloklarda birisi 4 diğeri dairede oluşmaktadır ve her katta 3 er daire koumladırılmıştır. Projeye 0 yılıı Kasım ayıda başlamıştır. Daireler brüt 70 m de oluşmaktadır. Proje gelişime açık ola, Karama-Koya ve Karama-Ereğli-daa çevre yolları üzeride koumlamıştır. Çalışmaya ilişki souçları firma açısıda da yararlı olabileceği düşüülmektedir. Çalışma ile öcelikle tüm faaliyetleri ve faaliyetlere ilişki öcelikleri belirlemesi sağlamıştır. yrıca bu ölçekte bir işaatı gerçekte kaç güde tamamlaabileceği aaliz edildiğide, firmaı bezer başka projeleride de isabetli kararlar verebilmesi ve taahhütte buluabilmesi söz kousu olacaktır. Söz kousu projeye ait ola kat plaları Şekil deki gibidir. 457

10 Çağlar KRMŞ, Hasa DURUCSU, Özgür İCN, Gözde TEREKLI, Bayezid GÜLCN Şekil : Kat Plaı 4..Problem Taımı Projedeki faaliyetleri süreleri determiistik değildir. Çükü bu tür projeler emek yoğu oldukları içi ve faaliyetler büyük çoğulukla usta, ustabaşı ve işaat işçileri gibi persoelle yürütüldüğü içi et süreler verilememiş buu yerie geçmiş tecrübelere dayalı aralıklar ifade edilmiştir. Bu sebeple belirsiz faaliyet sürelerii oluşturduğu bu durumda bulaıklık kavramıda yararlaılacaktır. Şirket tarafıda ele alıa projeye yöelik 63 faaliyet ve üçgesel bulaık sayı bağlamıda ifade edile süreler Tablo de gösterilmiştir. Proje ağ diyagramı, ctivity O rc (O) stilide çizilmiş olup 69 düğüm ve 33 tae saal faaliyet bulumaktadır. Elde edile proje ağ diyagramı Şekil 3 de gösterilmiştir. 458

11 Bulaık CPM Yötemiyle Proje Çizelgeleme: İşaat Sektörüde Bir Uygulama Tablo : Projeyi Oluştura Faaliyetler ve Üçgesel Bulaık Sayı Bağlamıdaki Süreler Süresi Faaliyet kodu Faliyet taımı Öcüller E iyi E olası E kötü hafriyat öcesi işlemler (aplikasyo, zemi etüdü, proje çizimi ve oayı) yok 7 gü 35 gü 45 gü B Hafriyat ( Blok içi) gü gü 8 gü C Temel atma ( Blok içi) C Grobeto B saat 3 saat 4 saat C Su işi-elektrik işi-topraklama C saat 4 saat 6 saat C3 Kalıp çakılması-demir işi C 3 gü 5 gü 7 gü C4 Yapı deetimi C C3 saat saat 3 saat D Su basma D Kalıp çakılması-demir işi C4 6 gü 8 gü 0 gü D Elektrik işi (Boru döşeme, kablo geçirme) D 4 saat 5 saat 6 saat D3 Yapı deetimi D saat saat 3 saat D4 Beto işi (Beto atma ve diledirme)-laboratuar aalizi D3 9 gü gü 30 gü D5 Kalıp sökümü-duvar örülmesi (dolu tuğla ile) D4 4 gü 6 gü 8 gü Su yalıtımı-kearları doldurulması-biaı kaalizasyo bağlatısı D6 yapılması D5 gü 3 gü 4 gü E Zemi kat E Kalıp çakılması-demir işi D5 5 gü 7 gü 8 gü E Yapı deetimi E saat saat 3 saat E3 Beto işi (Beto atma ve diledirme)-laboratuar aalizi E 9 gü gü 30 gü E4 Kalıp sökülmesi-duvar örülmesi E3 6 gü 8 gü 0 gü E5 Su tesisatı ve elektrik tesisatı E4 6 gü 8 gü 0 gü E6 iç sıva-alçı-kartopiyer E5 0 gü 7 gü gü E7 Doğalgaz ve kalorifer tesisatı E6 gü gü 3 gü E8 PVC, çerçeve ve cam takılması E6 gü 3 gü 4 gü E9 Taba şapı-taba ve duvar fayasları E7 3 gü 4 gü 5 gü E0 İç boya E8 5 gü 6 gü 7 gü iç boya sorası faaliyetler (kombi-kalorifer petekleri-mobilyalar-bayo E aksesuvarları-lamiat-kapılar) E0 6 gü gü 4 gü F. kat F Kalıp çakılması-demir işi E4 5 gü 7 gü 8 gü F Yapı deetimi F saat saat 3 saat F3 Beto işi (Beto atma ve diledirme)-laboratuar aalizi F 9 gü gü 30 gü F4 Kalıp sökülmesi-duvar örülmesi F3 6 gü 8 gü 0 gü F5 Su tesisatı ve elektrik tesisatı F4 E5 6 gü 8 gü 0 gü F6 iç sıva-alçı-kartopiyer F5 E6 0 gü 7 gü gü F7 Doğalgaz ve kalorifer tesisatı F6 E7 gü gü 3 gü F8 PVC, çerçeve ve cam takılması F6 E8 gü 3 gü 4 gü F9 Taba şapı-taba ve duvar fayasları F7 E9 3 gü 4 gü 5 gü F0 İç boya F8 E0 5 gü 6 gü 7 gü iç boya sorası faaliyetler (kombi-kalorifer petekleri-mobilyalar-bayo F aksesuvarları-lamiat-kapılar) F0 E 6 gü gü 4 gü G. kat G Kalıp çakılması-demir işi F4 5 gü 7 gü 8 gü G Yapı deetimi G saat saat 3 saat G3 Beto işi (Beto atma ve diledirme)-laboratuar aalizi G 9 gü gü 30 gü G4 Kalıp sökülmesi-duvar örülmesi G3 6 gü 8 gü 0 gü G5 Su tesisatı ve elektrik tesisatı G4 F5 6 gü 8 gü 0 gü G6 iç sıva-alçı-kartopiyer G5 F6 0 gü 7 gü gü G7 Doğalgaz ve kalorifer tesisatı G6 F7 gü gü 3 gü G8 PVC, çerçeve ve cam takılması G6 F8 gü 3 gü 4 gü G9 Taba şapı-taba ve duvar fayasları G7 F9 3 gü 4 gü 5 gü G0 İç boya G8 F0 5 gü 6 gü 7 gü iç boya sorası faaliyetler (kombi-kalorifer petekleri-mobilyalar-bayo G aksesuvarları-lamiat-kapılar) G0 F 6 gü gü 4 gü H 3. kat H Kalıp çakılması-demir işi G4 5 gü 7 gü 8 gü H Yapı deetimi H saat saat 3 saat H3 Beto işi (Beto atma ve diledirme)-laboratuar aalizi H 9 gü gü 30 gü H4 Kalıp sökülmesi-duvar örülmesi H3 6 gü 8 gü 0 gü H5 Su tesisatı ve elektrik tesisatı H4 G5 6 gü 8 gü 0 gü H6 iç sıva-alçı-kartopiyer H5 G6 0 gü 7 gü gü H7 Doğalgaz ve kalorifer tesisatı H6 G7 gü gü 3 gü H8 PVC, çerçeve ve cam takılması H6 G8 gü 3 gü 4 gü H9 Taba şapı-taba ve duvar fayasları H7 G9 3 gü 4 gü 5 gü H0 İç boya H8 G0 5 gü 6 gü 7 gü iç boya sorası faaliyetler (kombi-kalorifer petekleri-mobilyalar-bayo H aksesuvarları-lamiat-kapılar) H0 G 6 gü gü 4 gü I Merdive ( blok içi) (merdive basamakları ve korkuluklar) H6 8 gü gü 8 gü J sasör ( Blok içi) (Ray ve kapı kasalarıı takılması, kabi, kapı ve düğmeleri koulması) N I 8 gü 9 gü 0 gü K Çatı ( blok içi) (kiremit, izolasyo ve oluklar) H4 6 gü 7 gü 9 gü L Dış sıva ( blok içi) H4 7 gü 0 gü 5 gü M Dış cephe, yalıtım, dış boya ( blok içi) L 0 gü 30 gü 35 gü N Balko korkuluklarıı takılması H4 gü gü 3 gü 0 Çevre düzelemesi ( Blok içi)(kaldırım, oyu parkı, otopark, havuz, güvelik sistemi, aydılatma, çimledirme ve sulama sistemi) M 0 gü 0 gü 30 gü 459

12 Çağlar KRMŞ, Hasa DURUCSU, Özgür İCN, Gözde TEREKLI, Bayezid GÜLCN Şekil 3: Proje ğ Diyagramı 460

13 Bulaık CPM Yötemiyle Proje Çizelgeleme: İşaat Sektörüde Bir Uygulama 4.3. Problem Formülasyou Problem klasik bir ağ modeli olarak 4 olu eşitlikteki gibi modelleebilmektedir. Her (i,j) kearı içi bir c maliyeti taımlı bir ağda s kayak düğümü, t ihai düğümü ifade etmek üzere; Z = cx max i x xki =, eğer i=s ise j k x xki = 0, diğer (4) j k x xki =, eğer i=t ise j k x = 0 ya da modeli yardımıyla kritik yol hesaplaabilir. MPL cebirsel modelleme dilide Ek- de verile modelde alpha parametresi geliştirile bir betik yardımıyla otomatik olarak gücelleerek alpha 0 da e kadar 0. adım değeri olmak üzere [0,0.,...,] içi defa çalıştırılarak proje tamamlama süresi hesaplamış ve kritik yol üzerideki faaliyetler belirlemiştir. 5. BULGULR Tüm doğrusal programlar içi kritik yol -B-C- C3-C4-D-D-D3-D4-D5-E-E-E3-E4-F-F-F3-F4- G-G-G3-G4-H-H-H3-H4-L-M-O olmaktadır. 0 da e kadar farklı değerleri içi maksimizasyo bağlamıda elde edile amaç foksiyou değerleri şöyle olmaktadır: =0 içi max z= 384,040 =0, içi max z=369,39 =0, içi max z=354,60048 =0,3 içi max z= 339,87967 =0,4 içi max z= 35,5886 =0,5 içi max z= 30,43805 =0,6 içi max z= 95,774 =0,7 içi max z=80,99643 =0,8 içi max z=66,756 =0,9 içi max z=5,5548 = içi max z=36,8340 Durulaştırma yötemleride ağırlık merkezie göre oluşturula modeli çözüm yolu da bezer biçimde -B-C-C3-C4-D-D-D3-D4-D5-E-E-E3- E4-F-F-F3-F4-G-G-G3-G4-H-H-H3-H4-L-M-O olmaktadır. Kritik yolu süresi ise güdür. Bu süre maksimizasyo açısıda =0, artırımıa göre 0,7 ile 0,8 alfa değerleri arasıda kalırke ; =0,0 artırımıa göre yaklaşık olarak 0,78 (69, maksimizasyo değeri) değerie dek gelmektedir. lfaı 0,0 adım değeri olarak arttırılması soucu tüm modülü 0 defa çalıştırılmasıyla elde edile maksimizasyo bağlamıda amaç foksiyou değerleri Tablo de gösterilmiştir. 46

14 Çağlar KRMŞ, Hasa DURUCSU, Özgür İCN, Gözde TEREKLI, Bayezid GÜLCN Tablo : =0,0 arttırımıa göre elde edile maksimizasyo bağlamıda amaç foksiyou değerleri Max z Max z 0 384,040 0,5 308, ,0 38, ,5 307, ,0 38, ,53 306, ,03 379, ,54 304, ,04 378, ,55 303, ,05 376, ,56 30, ,06 375, ,57 300, ,07 373, ,58 98, ,08 37, ,59 97,8994 0,09 370, ,6 95,774 0, 369,39 0,6 94, , 367, ,6 9, , 366, ,63 9, ,3 364, ,64 89, ,4 363, ,65 88, ,5 36, ,66 86, ,6 360, ,67 85, ,7 359, ,68 83, ,8 357, ,69 8, ,9 356, ,7 80, , 354, ,7 79, , 353, ,7 78,0558 0, 35, ,73 76, ,3 350, ,74 75, ,4 348, ,75 73, ,5 347, ,76 7, ,6 345, ,77 70, ,7 344, ,78 69,977 0,8 34, ,79 67, ,9 34, ,8 66,756 0,3 339, ,8 64, ,3 338, ,8 63, ,3 336, ,83 6, ,33 335, ,84 60, ,34 333, ,85 58,955 0,35 33,5965 0,86 57, ,36 33, ,87 55, ,37 39, ,88 54, ,38 38,0976 0,89 53,0689 0,39 36, ,9 5,5548 0,4 35,5886 0,9 50, ,4 33, ,9 48, ,4 3, ,93 47, ,43 30, ,94 45, ,44 39, ,95 44, ,45 37, ,96 4, ,46 36, ,97 4, ,47 34, ,98 39, ,48 33,3875 0,99 38, ,49 3, ,8340 0,5 30,43805 Burada ı her 0, artırımıda modeli çözüm değerii lieer olarak azaldığı fark edilmektedir. Bu her zama karşılaşılabile bir durum olmayabilir. Öreğimizde her -kesim içi kritik yol ayı olduğu içi souçta kritik yol üzerideki faaliyetleri toplam zamaı da bezer bir orala her artışıda azalma olacak şekilde ortaya çıkmıştır. Fakat daki değişimi her örek olayda ayı kritik yolu vermesi bekleemez. yı zamada -B-C-C3-C4-D-D-D3-D4-D5- E-E-E3-E4-F-F-F3-F4-G-G-G3-G4-H-H-H3- H4-L-M-O yolu projei diğer olası tüm yollarıyla Yager i kıyaslama metodua göre kıyasladığıda e yüksek kritiklik derecesii vermektedir. Projede toplam olası 0 yol bulumakta olup kıyaslamalarda sora projedeki kritik yolu süresi yaklaşık olarak 65 gü olmaktadır. 6. SONUÇ VE ÖNERİLER Gerçek hayatta karşılaşıla projelerde kesi olarak bilimeye ve öcede ögörülemeye belirsizlik durumları ile karşılaşılmaktadır. Birçok farklı disiplide görüle bu belirsizlik durumu L..Zadeh tarafıda bulua bulaık matık tekiklerii kullaımı ile belirgilik kazaabilir. Bulaık küme teoriside gerçek yaşamdaki belirsizlik durumları matematiksel kapsamda foksiyolarla ifade edilir. Bulaık sayılar, kesi olmaya bilgii sayısal biçimde gösterilmiş halidir. Bu makalede Karama daki bir işaat projesie ait süreler klasik sayılara göre daha gerçekçi ola bulaık sayılar ile ele alımış olup, projei bulaık bağlamda kritik yoluu bulumasıda Che i alfa kesim yaklaşımı ele alımıştır. yrıca e fazla kullaıla durulaştırma yötemleride ola ağırlık merkezi (cetroid) yötemi ile de projei kritik süresii ayı çıktığı bulumuştur. Projei kritik yoluu garatileye bir sıralama yötemi ola Yager i metoduda yararlaılarak projei kritik süresi yaklaşık olarak 65 gü olarak bulumuştur. Bu bağlamda projei kritik yoluu 46

15 Bulaık CPM Yötemiyle Proje Çizelgeleme: İşaat Sektörüde Bir Uygulama -B-C-C3-C4-D-D-D3-D4-D5-E-E-E3-E4-F-F- F3-F4-G-G-G3-G4-H-H-H3-H4-L-M-O olduğu ve kritik süresii gü arasıda değişeceği söyleebilir. Söz kousu projede ilgili firma çalışmamız çerçeveside ögördüğümüz süreler dâhilide projesii tamamlamıştır. Bu vesile ile firma içi bekleme süreleri e aza idirilmiş ve hak sahiplerie taahhüt edile sürei aşılması edeiyle oluşabilecek maliyet arttırıcı risklerde koruulmuştur. Bu tür projelere daha bilimsel yaklaşıldığı zama ortaya çıkacak avatajlar firmaları bu çalışmaya kou ola projedeki gibi olası maliyet arttırıcı edelerde koruyacaktır. Bu projede kritik yolu bulumasıda kullaıla üçgesel bulaık faaliyet süreleri dışıda L-R tipi, yamuksal, gaussal vb. bulaık sayılarda da yararlaılabilir. yrıca bulaık proje çizelgeleme problemlerie kayak kısıtı dahil edilerek daha etkili ve optimal çözümler elde edilebilir. KYNKLR tacak, İ. ve Bay, Ö.F. (004), Bulaık Matık Deetimli Seri ktif Güç Filtresi Kullaarak Harmoik Gerilimleri Bastırılması, Gazi Üiversitesi Mühedislik Mimarlık Fakültesi Dergisi, 9() : tlı, Ö. ve Kahrama, C. (0), Mislack ad Kagaroo lgorithms for Fuzzy Project Schedulig Problems, Multiple-Valued Logic ad Soft Computig, 0(-): ydı, Ö., Uluca,., Narcı, H.Ö., Şahi, İ., Erigüç, G. ve Tegilimoğlu, D. (0), Sağlık Kurumlarıda Operasyo Yöetimi, adolu Üiversitesi çık öğretim Yayıları. Carlsso, C., (984), O the Relevace of Fuzzy Sets i Maagemet Sciece Methodology, Zimmerma vd. (eds.) Times Studies i the Maagemet Scieces içide, Netherlads, Elsevier : -8. Chaas, S. ve Kamburowski, J. (98), The use of fuzzy variables i PERT, Fuzzy Sets ad Systems, 5() : -9. Chaas, S. ve Zieliski, P. (00), Critical Path alysis i the Network With Fuzzy ctivity Times, Fuzzy Sets ad Systems, : Che, C.T. ve Huag, S.F. (007), pplyig Fuzzy Method For Measurig Criticality I Project Network, Iformatio Scieces, 77 () : Che, L.S, Cheg, C.H. (005), Selectig IS Persoel Usig Rakig Fuzzy Number By Metric Distace Method, Europea Joural of Operatioal Research, 60(3): Che, S.P. (007), alysis Of Critical Paths i a Project Network With Fuzzy ctivity Times, Europea Joural of Operatioal Research, 83 () : Che, S.P. ve Hsueh, Y.J. (008), simple approach to fuzzy critical path aalysis i Project etworks, pplied Mathematical Modellig, 3: Çubukçu, R. (008), Proje Yöetimide Zama ve Maliyet Risklerii Çizelgeleme Yötemiyle Miimize Edilmesi,Yayılamamış Doktora Tezi, daa, Çukurova Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü. Dayık, M. ve Kodaloğlu, M. (007), Kodisyolama Şartlarıı İplik Rutubetie Etkisii Yapay Zeka Yardımıyla Tespiti, Tekstil Tekolojileri Elektroik Dergisi, : 5-3. Dömez, N. (007), Tedarik Ziciri Plalama İçi Bir Bulaık Çok maçlı Doğrusal Programlama Modeli,Yayılamamış Yüksek Lisas Tezi, kara, Gazi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü. Guiffrida. L. ve Nagi, R. (998), Fuzzy Set Theory pplicatios i Productio Maagemet Research: Literature Survey, Joural of Itelliget Maufacturig, 9: Ha, T.C., Chug, C.C. ve Liag, G.S. (006) pplicatio Of Fuzzy Critical Path Method To irport s Cargo Groud Operatio Systems, Joural of Marie Sciece ad Techology, Vol. 4(3): Hapke, M. ve Slowiski, R. (996), Fuzzy priority heuristics for project schedulig, Fuzzy Sets ad Systems, 83 : Herroele, W. ve Leus, R. (005), Project Schedulig Uder Ucertaity: Survey d Research Potetials, Europea Joural of Operatioal Research : Hsiau, H. J. ve Li, C. W. R. (009), Fuzzy Pert pproach to Evaluate Plat Costructio Project Schedulig Risk Uder Ucertai Resources Capacity, Joural of Idustrial Egieerig ad Maagemet, (): Karadavut, U. ve kkapta,. (0), Bitkisel Üretimde Bulaık Matık Uygulamaları, Türk Bilimsel Derlemeler Dergisi, 5 () : Kataria, N. (00), Comparative Study of the Defuzzificatio Methods i a pplicatio, The IUP Joural of Computer Scieces, 4(4) : Ke, H. ve Liu, B. (007), Project Schedulig Problem With Mixed Ucertaity of Radomess d Fuzziess, Europea Joural of Operatioal Research,83:

16 Çağlar KRMŞ, Hasa DURUCSU, Özgür İCN, Gözde TEREKLI, Bayezid GÜLCN Ke, H. ve Liu, B. (00), Fuzzy Project Schedulig Problem ad its Hybrid Itelliget lgorithm, pplied Mathematical Modellig, 34: Kıyak, E. ve Kahvecioğlu,. (003), Bulaık Matık ve Uçuş Kotrol Problemie Uygulaması, Havacılık Ve Uzay Tekolojileri Dergisi, () : Kolaylıoğlu, Ö. (006), İşaat Sektörüde Proje Yöetimi ve Proje Yöeticisi, Yayılamamış Yüksek Lisas Tezi, İzmir, Dokuz Eylül Üiversitesi Sosyal Bilimler Estitüsü. Kökçam, H.. ve Egi, O. (00), Solvig The Fuzzy Project Schedulig Problems With Meta-Heuristic Methods, Joural of Egieerig ad Natural Scieces, Sigma, 8: Kurt, Ö. (006), Proje Plalama ve Programlama Tekikleri ve İşaat Sektörüe it Bir Uygulaması, Yayılamamış Yüksek Lisas Tezi, talya, kdeiz Üiversitesi Sosyal Bilimler Estitüsü. Liag, G.S. ve Ha, T.C. (004) Critical Path alysis Based o Fuzzy Cocept, Iteratioal Joural of Iformatio ad Maagemet Scieces, 5 (4): Liag, T.F. (009), Fuzzy Multi-Objective Project Maage-Met Decisios Usig Two-Phase Fuzzy Goal Programmig pproach, Computer ad Idustrial Egieerig, 57 (4): Liu, B. (009), Theory ad Practice of Ucertai Programmig, 3rd Editio, UTLB, Chia. Liu, Y., Yag, S.M. ve Li, Y. (00), Fuzzy Fiish Time Modelig for Project Schedulig, The th sia Pacific Idustrial Egieerig ad Maagemet Systems Coferece. Naaz, S., lam,. ve Biswas, R. (0), Effect of Differet Defuzzificatio Methods I Fuzzy Based Load Balacig pplicatio, Iteratioal Joural of Computer Sciece Issues, 8() : Paksoy, S. (007), Geetik lgoritma ile Proje Çizelgeleme, Yayılamamış Doktora Tezi, daa, Çukurova Üiversitesi Sosyal Bilimler Estitüsü. Pa, H. ve Yeh, C.H. (003), Fuzzy Project Schedulig, The th IEEE Iteratioal Coferece Joural, (Volume:). Paradi, N. ve raghi, M..F. (008), Rakig of Fuzzy Numbers by Distace Method, Joural of pplied Mathematics, 5 (9) : Piedo, M.L. (0). Schedulig Theory, lgorithms ad Systems, New York, Spriger. Prade, H. (979), Usig Fuzzy Set Theory I Schedulig Problem: Case Study, Fuzzy Sets ad Systems, () : Polat, H. ve Özel, C. (0), TS EN 06- e göre Tasarlaa ve Zararlı Kimyasal Ortamlara Maruz Kalacak Betoları Basıç Dayaımı Bulaık Matık Yötemiyle Tahmii, Yapı Tekolojileri Elektroik Dergisi, 8() : Shakar, N.R., Saradhi, B.P. ve Babu, S.S. (03) Fuzzy Critical Path Method Based o a New pproach of Rakig Fuzzy Numbers usig Cetroid of Cetroids, Iteratioal Joural of Fuzzy System pplicatios, 3():6-3. Shakar, R., Sireesha, V. ve Rao, P.P.B. (00), alytical Method for Fidig Critical Path i a Fuzzy Project Network, It. J. Cotemp. Math. Scieces, 5(0): Shakar, N. R., Sireesha, V., Rao, K.S. ve Vai, N. (00), Fuzzy Critical Path Method Based o Metric Distace Rakig of Fuzzy Numbers, Iteratioal Joural of Mathematical alysis, 4(0): Soltai,. ve Haji, R. (007), Project Schedulig Method Based o Fuzzy Theory, Joural of Idustrial ad Systems Egieerig, (): Sömez, E. (007), Nede Proje Yöetimi?, Yayılamamış Yüksek Lisas Tezi, İstabul, Mimar Sia Güzel Saatlar Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü. Spier, M. (997), Project Maagemet, Priciples ad Practices, New Jersey, Pretice-Hall. Subaşı, S., Beycioğlu,. ve Emiroğlu, M. (009), Mieral Katkı İçere Betoları Sertleşme Sürelerii Belirlemeside Bulaık Matık Yaklaşımı, 5. Uluslararası İleri Tekolojiler Sempozyumu (ITS 09), 3-5 Mayıs, Karabük. Suvacı, E., Lezki, Ş., Uysal, O., Öce, S., Er, F. ve Şıklar, E. (03), Proje Yöetimi, adolu Üiversitesi çık öğretim Yayıları. Şe, Z. (003), Moder Matık, Bilge Kültür Saat Yayıevi. Şe, Z. (004), Mühedislikte Bulaık (Fuzzy) Matık ile Modelleme Presipleri, İstabul, Su Vakfı Yayıları. Tuş,. (006), Bulaık Doğrusal Programlama ve Bir Üretim Plalamasıda Uygulama Öreği, Yayılamamış Yüksek Lisas Tezi, Deizli, Pamukkale Üiversitesi Sosyal Bilimler Estitüsü. Vatasever, R. (008), Proje Plalamasıda Bulaık Hedef Programlama Yaklaşımı, Yayılamamış Yüksek Lisas Tezi, İstabul, İstabul Tekik Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü. Wag, J.H. ve Hao, J. (007), Fuzzy Liguistic PERT, Fuzzy Systems, 5 (): Yalaoui, N., Dugardi, F., Yalaoui, F., modeo, L. ve Mahdi, H. (00), Productio Egieerig ad Maagemet Uder Fuzziess, Fuzzy Project Schedulig, Spriger. 464

17 Bulaık CPM Yötemiyle Proje Çizelgeleme: İşaat Sektörüde Bir Uygulama Yao, J.S. ve Li, F.T. (000), Fuzzy Critical Path Method Based o Siged Distace Rakig of Fuzzy Numbers, IEEE Trasactios O Systems, Ma ad Cyberetics-Part : Systems d Humas, 30(). Zadeh, L.. (965) Fuzzy Sets, Iformatio ad Cotrol, 8(3) : Zhag, X. ve Che, X. (0), New Ucertai Programmig Model for Project Schedulig Problem, Iformatio: Iteratioal Iterdiscipliary Joural, 5(0): Zieliski, P. (005), O Computig The Latest Startig Times ad Floats Of ctivities i a Network With Imprecise Duratios, Fuzzy Sets ad Systems, 50 :

18 Çağlar KRMŞ, Hasa DURUCSU, Özgür İCN, Gözde TEREKLI, Bayezid GÜLCN EK. Problemi MPL Cebirsel Modelleme Dilide Gösterimi # düğüm sayısı param, iteger, > 0; # alfa kesim seviyesi param alpha; # kear kümesi set E, withi {i i.., j i..}; # kear değerii hesaplamasıda kullaıla parametreler param d{(i,j) i E}, >= 0; # U+RS param coeff{(i,j) i E}, >= 0; # (i,j) kearıı değeri c[i,j] param c{(i,j) i E} := d[i,j] - coeff[i,j] * alpha; # kayak düğüm param s, i {..}; # hedef düğüm param t, i {..}; # x[i,j] ikili bir değişke olmak üzere; # x[i,j] = olduğuda (i,j) kearı kritik yola dahilke; # x[i,j] = 0 olduğuda (i,j) kearı kritik yola dahil değildir. var x{(i,j) i E} biary; # s düğümüde t düğümüe kadar birim akışı korumasıı sağlaya kısıt ifadesi; # böylelikle her uygu çözüm s düğümüde t düğümüe gide bir yol olması sağlaabilir s.t. r{i i..}: sum{(j,i) i E} x[j,i] + (if i = s the ) = sum{(i,j) i E} x[i,j] + (if i = t the ); # amaç foksiyou maximize Z: sum{(i,j) i E} c[i,j] * x[i,j]; ed; 466