FİBER TAKVİYELİ TERMOELASTİK MALZEMELER İÇİN MATEMATİKSEL BİR MODEL

Transkript

1 FİBER AVİYELİ ERMOELASİ MALZEMELER İÇİN MAEMAİSEL BİR MODEL Bene HAMAMCI Danışman Yrd. Doç. Dr. Mele USAL YÜSE LİSANS EZİ MAİNE EĞİİMİ ANABİLİM DALI ISPARA - 6

2 FİBER AVİYELİ ERMOELASİ MALZEMELER İÇİN MAEMAİSEL BİR MODEL Bene HAMAMCI YÜSE LİSANS EZİ MAİNE EĞİİMİ ANABİLİM DAL ISPARA - 6

3 i İÇİNDEİLER Sayfa İÇİNDEİLER...i ÖZE...iii ABSRAC...iv EŞEÜR... v SİMGELER DİZİNİ...vi ŞEİLLER DİZİNİ... vii. GİRİŞ.... Süreli Ortam Modeli.... Süreli Ortam Hareeti....3 Şeil Değiştirme Hareet Yay ve Hacim Elemanlarının Maddesel ürevi Green-Gauss (Diverjans) eoremi Denge Denlemleri ütlenin orunumu Lineer Momentum Dengesi Açısal Momentum Dengesi Enerji Denliği ermodinamiğin İinci anunu (Clausius_Dühen Eşitsizliği) Fiber Deformasyon Geometrisi ve inematiği MAERYAL VE MEO Materyal Fiber aviyeli ermoelasti Ortamların ermodinamiği Bünye Asiyomları Nedenselli (ozalite) Asiyomu Determinizm Asiyomu Eşbulunma Asiyomu Uygunlu Asiyomu Objetivite Asiyomu Maddesel Simetri Asiyomu Yöreselli Asiyomu Metot... 7

4 ii 3. BULGULAR Anizotropi Ortamlarda Gerilme ve Bünye Denlemleri Lineer ermoelastisitede Gerilmenin Bünye Denlemi Anizotropi Ortamlarda Lineer Isı Vetörünün ayini SONUÇ AYNALAR... 9 ÖZGEÇMİŞ... 93

5 iii ÖZE e fiber aileli termoelasti malzemenin lineer davranışını modern süreli ortamlar meaniği çerçevesinde sistemati olara incelenmiştir. Meaniğin denge uralları ile tutarlı olan termodinamiğin birinci ve iinci anunlarının birleştirilmiş şeli serbest enerji fonsiyonunun zamana göre maddesel türevi cinsinden ifade edilmiştir. Serbest enerji fonsiyonunun bağımsız değişenleri; Green deformasyon tansörü sıcalı sıcalı gradyanı fiber tansörü olara belirlenmiştir. Maddesel ortamın normal olara belli bir simetri grubu olduğu fiber dağılımından aynalanan uvvetli bir anizotropi gösterdiği varsayılmıştır. Ayrıca malzeme fiber doğrultusundai ii farlı yönü seçemeyeceğinden dolayı A ( ) vetör alanı yerine bunun dış çarpımları olan Z () A A şelinde tanımlanan simetri tansör alanı L L ullanılmıştır. ermodinami ısıtlamaların neticesi olara serbest enerji fonsiyonunun bir simetri tansör ile bir vetöre bağlı olduğu ısı vetörü fonsiyonunun ise bir simetri tansör ile ii vetöre bağlı olduğu görülmüştür. Maddesel simetri asiyomu ullanıldıtan sonra uygulamalarda maul abuller olara görülen ortamın sıışmazlığı ve fiber ailesinin uzamazlığını göz önüne alara gerilme ve ısı vetörüne ait bünye denlemleri bulunmuştur. Ortam fiber taviyesinden dolayı anizotrop özelli gösterdiği varsayılmış ve anizotrop ortamlar için bir yalaşım ile gerilme ve ısı vetörünün lineer bünye denlemleri elde edilmiştir. Bu yalaşım çerçevesinde serbest enerji ve ısı vetörü fonsiyonu bağlı olduları argümanlara göre bir uvvet serisi açılımı ile temsil edilmiş ve bu seri açılımında diate alınan terimlerin türüve sayısı ortamın lineer mertebesini belirlemiştir. Dolayısıyla her ii yalaşımda da meani etileşimlerin lineer olduğu abul edilmiştir. Son olara uzaysal oordinatlarda elde edilen gerilmenin ve ısı vetörünün lineer bünye denlemleri Cauchy hareet denlemi ve enerji denlemi ifadelerinde yerlerine yazılıp alan denlemleri bulunmuştur. ANAHAR ELİMELER: Alan Denlemleri Anizotropi Bünye Denlemleri Deformasyon Gerilme Isı Vetörü Maddesel ve Uzaysal oordinatlar Süreli Ortam.

6 iv ABSRAC In the frame of Modern Continuum Mechanics linear behavior reinforced with a single family of inextensible fibers has been studied. Second law of thermodynamics combined with the first law and consistent with mechanical balance laws has been written in terms of the time rate of free energy function. Its arguments have been furnished with Green deformation tensor its rate heat and its gradient in the reference state. he material is supposed to be strongly anisotropic due to fiber distribution with the matrix material being supposed to have any material symmetry. After the thermo dynamical constraints we have shown that free energy function depends on a symmetric tensor and one vector and heat vector depend on two symmetric tensor and two vectors. Using the material symmetry axioms and considering incompressibility of medium and inextensibility of fiber family these assumptions are fairly meaningful for the practical applications. Constitutive equations of stress and heat vectors have obtained. Assuming that an anisotropic medium linear constitutive equations of stress and heat vector has been obtained. In this perspective free energy and heat vector function consistent with our own arguments have been represented with an expansion of power series. he ind and number of terms in this series determine the linearity degree for material. Consequently it is assumed that mechanical interactions are linear in both approximations. At last linear constitutive equations in the spatial coordinates have been used. Cauchy movement equation and energy equation and field equations are obtained. EY WORDS: Field Equations Anisotropy Constitutive equations Deformation Stress Heat Vector Materials and Spatial Coordinates Continuum Mechanics.

7 v EŞEÜR Yüse lisans çalışmamın yapılmasında yardım ve destelerini esirgemeyen çalışmamı titizlile yöneten fiir ve eleştirileri ile beni yönlendiren danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Mele USAL a sonsuz teşeürlerimi sunarım. ez çalışmalarımda arşılaştığım problem ve engellerde bilgi ve tecrübelerine başvurduğum değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Mustafa Reşit USAL a teşeürlerimi sunmayı bir borç bilirim. Bugünlere gelmemde büyü emeleri olan annem ve babama ardeşlerime eşime ve mesai aradaşlarıma şüranlarımı sunuyorum. Ayrıca tezin yazılması esnasında yardımlarını esirgemeyen tüm mesai aradaşlarıma teşeür ederim. Bene HAMAMCI.6.6

8 vi ŞEİLLER DİZİNİ Şeil.. Ortalama yoğunluğun değişimi... Şeil.. Maddesel ve uzaysal oordinatlar... Şeil.3. Süreli ortamda belli bir andai şeil değiştirme... 5 Şeil.4. Maddesel türev... 5 Şeil.5. Yay elemanındai değişim... 6 Şeil.6. Süresizli yüzeyi içeren bölge... 3 Şeil.7. Hareetli süresizli yüzeyi... 3 Şeil.8. Deformasyondan önce ve sonra fiber eğrisi... 47

9 vii SİMGELER DİZİNİ A ( ) A Fiber ailesinin deformasyondan öncei dağlımı a ( t ) a Fiber ailesinin deformasyondan sonrai dağlımı a L C L İvme C Gren Piola deformasyon tansörleri c Cauchy Finger deformasyon tansörleri l c l d l Şeil Değiştirme (genleme) hızı tansörü dl dl ds ds D Dt v t Deformasyondan öncei ve sonrai elemanter fiber uzunluğu Deformasyondan öncei ve sonrai öşegen uzunluğu Zamana göre hareeti taip eden türev E L e l Maddesel (lagrange) ve uzaysal (Euler) genleme tansörü f F h x Birim ütle başına meani hacimsel uvvet x Deformasyon gradyanı I i (i..6) Birim ütle başına ısı aynağı İnvaryant değerler I ( 3) Maddesel ve uzaysal oordinatlardai birim vetörler i J M L m n p q S det F Deformasyon gradyanına ait matrisin determinantı Momentum ineti enerji Hız gradyanı tansörü ütle Dış birim normal vetör Hidrostati basınç Isı aısı vetörü Maddesel oordinat sisteminin tam ortogonal transformasyon matrisi Q () q Maddesel oordinat sisteminde ısı vetörü R r Maddesel notanın deformasyondan öncei ve sonrai onum vetörleri

10 viii t Gerilme ansörü L J Ll t l Maddesel oordinatlarda gerilme tansörü t (n) u n yüzeyine tesir eden gerilme vetörü Yer değiştirme vetörü V v Deformasyondan öncei ve sonrai hacim v v l Deformasyon hızı tansörü xl w l Spin veya çevri tansörü δ L δ l Maddesel ve uzaysal oordinatlarda ronecer delta α i β i (i..) ε Denlemleri ısaltma için ullanılan ısaltmalar Birim ütle başına iç enerji ε LM ε lm Maddesel ve uzaysal oordinatlarda permütasyon sembolü η θ(t) λ a ρ γ Birim ütle başına entropi yoğunluğu Bir t anında maddesel notasının mutla sıcalığı A fiber ailesinin uzama oranı Birim ütle başına entropi üretimi ρ ρ Deformasyondan öncei ve sonrai ütle yoğunluğu σ Σ ρ ψ x Süreli ortam içinde yer alan süresizli yüzeyi Gerilme potansiyeli (3) Maddesel ve uzaysal oordinatlar x Maddesel ve uzaysal oordinatlar ψ ε-θη ψ Genelleştirilmiş serbest enerji yoğunlığu Gradyan operatörü Birim ütle başına herhangi bir alan büyülüğü λ Λ Shifter (aydırıcı) Z ( ) Deformasyondan öncei fiber tansörü z ( t ) Deformasyondan sonrai fiber tansörü Ω λ γ ξ D B Malzeme tansörü θ Sıcalı Lineer sıcalı artışı Çevre sıcalığı

11 ix Γ a c G D H Lineer genleme tansörü Fiber Germesi Sabit şeil değiştirme altında özgül ısı Sıcalı gradyanı Maddesel tasvir vetörü Ortogonal transformasyon matrisi

12 . GİRİŞ Bu çalışmanın amacı fiber taviyeli termoelasti malzemelerin bünye denlemlerine ait matematisel modelin oluşturulmasıdır. Süreli ortamlar meaniğinin temel ile ve asiyomları bu çalışmanın gerçeleşmesinde yol gösterici ve belirleyici olmuştur. Hazırlanan bu tez ile ilgili genel bilgiler aşağıda bir sistemati halinde verilmiştir (Şuhubi 994). Elasti malzemeleri de apsayan önemli bir malzeme sınıfı şeli termomeani malzemelerdir. ermomeani malzemeler için bağımsız bünye değişenleri yalnız hareet ve sıcalıtan ibarettir. ermoelasti malzemelerde ise bünye değişenleri hareet sıcalı ve sıcalı gradyanı şelindedir. Bu baımdan bünye teorisinde ele aldığımız ortamların tümünün bu tür malzemeden oluştuğu açıtır (Eringen 98). Bir malzemede elasti bölgede yapılan meani iş ile termodinami özellilerdei değişmeler arasında bir bağıntı bulunduğu deneysel yolla gösterilebileceği gibi teori yollada saptanabilir. Bunun için değişen büyülüler olara bir tarafta gerilme ile şeil değiştirme diğer tarafta sıcalıla entropi alınır. Gerilme halindei değişimin oluşturduğu sıcalı değişimi termoelasti eti olara bilinir (Şuhubi 994). Fiber taviyeli termoelasti malzemelerin endüstride ullanıldığı alanlar her geçen gün artmatadır. Bu tür malzemelerin nonlineer termomeani davranışının bilinmesi yararlı olacatır. Meani sistemlerin denge ve hareet şartlarını sistemin tersinmezli derecelerini sistemin miro ve maro davranışını inceleyen bir bilim dalıdır. Meani uantum Meaniği ve Süreli Ortamlar Meaniği olara iiye ayrılır. uantum Meaniği atomi ve atom altı parçaların davranışını inceler. Süreli Ortamlar Meaniği ise ütle dağılımı süreli abul edilen maddesel cisimlerin meani davranışını inceleyen bir bilim dalıdır (Usal ).

13 Bu baımdan bünye teorisinde ele aldığımız ortamların tümünün bu tür malzemeden oluştuğu açıtır (Şuhubi 994). Fiber ve matris malzemesi marosobi olara izotrop ise malzeme te aileli fiber dağılımı sonucunda yerel olara enine izotrop duruma gelir. Bu da malzeme içinde fiberler doğrultusunda tercihli bir yönün oluşması ve ortamın marosobi düzeyde anizotrop hale gelmesi demetir. Malzeme bu tercihli doğrultu etrafında dönmeye arşı duyarsız olmala birlite bu doğrultuya di esenler etrafındai dönmeye ise duyarlıdır yani anizotrop yapı gibi davranış gösterir. Bu durumda fiber doğrultusu enine izotropinin esenini oluşturur. Fiberler paralel doğru çizgiler boyunca bulunmadığı müddetçe enine izotropiyi belirleyen doğrultu malzeme içinde hareet edildiçe notadan notaya değişir (Öntür 993). ompozit malzemeler en genel anlamda doğal ompozitler ve yapay ompozitler olma üzere iiye ayrılır. ompozitler yapısal olara fiber taviyeli tabaalı ve partiül taviyeli olara üç alt sınıfta incelenmetedir. Doğal ve yapay ompozit malzemelerde fonsiyonel açıdan benzerliler olmala birlite imalat yöntemleri ve ullanım masatları açısından ço büyü farlılılar vardır. Ağaç emi adale ve diğer biyoloji doular gibi doğal ompozitler insanoğlunun belli masatlar doğrultusunda gerçeleştirmiş olduğu bir imalat ve fabriasyon işleminin sonucu değildir. Son derece ince ve armaşı alt sistemlere sahip olan bu yapılar bazen mirosobi bazen de marosobi ölçelerde evrensel bir programa göre tayin edilmiş bir zaman ve zeminde belli bir dağılımda bir araya gelere bilinen doğal yapı elemanlarını oluşturur. Yapay ompozitler ise üstün özellilere sahip ve ullanım amacı belli olan bir malzeme oluşturma için insanoğlunun beyin gücü ölçüsünde belli bir fabriasyonun ürünü olara ortaya çımatadır. Yapay ompozitleri oluşturan bileşenlerin bütün fizisel ve meani özellileri önceden bilinmetedir. Doğal ve yapay ompozit yapı elemanlarının miro düzeyde ele alınması miro meaniğin onusudur (Usal ). ompozit malzeme ii yada daha fazla sayıdai aynı veya farlı gruptai malzemelerin en iyi özellilerini yeni ve te bir malzemede toplama amacıyla maro düzeyde birleştirilmesiyle oluşturulan malzemeler olara adlandırılır. Bir

14 3 ompozit malzeme bünyesinde çeirde olara adlandırılan taviye elemanı ve bunun etrafım çevreleyen matris malzemesinin bulunduğu bilinmetedir. aviye elemanı olara değişi morfolojiye sahip ısa ve uzun elyaflar Whiserler (ılcal ristaller) ırpılmış veya parçacılı seramiler ullanılmatadır. Bunların temel fonsiyonu gelen yüü taşıma ve matrisin rijitli ve dayanımını artırmatır. Matrisin fonsiyonu ise elyaflara yü ve gerilim transferi sağlayabilme için elyaf matrisi bir arada tutma yanında çoğu taviye elemanları ço gevre ve ırılgan olduğundan onların yüzeylerini dış ve çevresel etilere arşı orumatır. ompozit malzeme üretilmesiyle genel olara yüse dayanım yüse rijitli yüse yorulma dayanımı müemmel aşınma direnci yüse sıcalı apasitesi iyi orozyon direnci iyi termal ve ısı iletenliği düşü ağırlı çeicili ve esteti görünüm gibi özelliler sağlanabilir. Bütün bu özelliler aynı zamanda oluşmaz ve herhangi bir uygulama için böyle bir geresinime ihtiyaç yotur. Faat yuarıda belirtilen bu özelliler için gereli şartlar uygun matris ve taviye elemanı çifti üretim teniği optimizasyonu bileşenlerin muavemet özellileri ve diğer fatörler göz önüne alınara üretim yapılırsa istenilen özelliği elde etme mümündür (Şahin ). ompozit malzemeler için ullanımda ço farlı fiber ve matris malzemeler bulunmatadır. Mühendislite önemli olan diğer bir nota ise fiberlerin dayanımının yüse ve maliyetinin düşü olmasıdır. Bor cam arbon grafit (farlı arbon içerili) organi fiber aramid serami fiber silion arpit ve alüminyum osit fiberlere örne olara verilebilir. ermoplasti polimerler termoset polimerler metaller (alüminyum titanyum ve baır gibi) ve seramiler matris malzemelere örne olara verilebilir (Holzapfel ). Fiber taviyeli ompozit malzemeler endüstri mühendisliğinde ve tıp alanında değişi uygulamalarda ullanılır. Endüstride emerlerin ve yüse basınç tüplerinin sonlu elasti tepisi teerlelerde ullanılan çeli taviyeli lastiler ve eletroni aletlerde ullanılan ufa bir silion parçadai ço ısımlı eletroni devreler gibi bir ço uygulama alanı ompozit malzemelerle ilgilidir. alça elemi dime aleti ve hafif teerleli sandalye ise tıp alanındai uygulamalardır (Holzapfel ).

15 4 Ço sayıda malzeme matris malzeme ve te veya daha ço fiber ailelerinden oluşmatadır. Bu tip malzemeler ompozit malzemeler veya fiber taviyeli malzemeler olara adlandırılırlar. Fiber taviyeli ompozitlerin dizaynındai en önemli problem elde edilen malzemenin istenilen uygulama için en etili şeilde olması açısından matris malzeme ile fiberlerin birleştirilmesidir. Mühendisli uygulamaları açısından ompozit malzemeler yüse atılı ve dayanım düşü ağırlı ve ısıl yayınım ve orozyona direnç gibi avantajları sağlamalıdır. Bununla birlite ompozit malzemelerin ullanımdai dezavantajı ise yüse maliyetli olması ve uygulama açısından baıldığında bu tip malzemelerin nasıl birleştirileceleri onusundai bilginin sınırlı olmasıdır (Holzapfel ). Bir fiber ailesi ile taviye edilmiş bir malzeme te tercihli doğrultuya sahiptir. Bu tip ompozitlerin fiber doğrultusundai atılığı fiberlere di doğrultulardan daha büyütür ve fiberlerin bütün malzemede düzgün bir şeilde dağıldığı durum göz önüne alındığından tercihli doğrultuya göre enine izotropi söz onusudur. ercihli doğrultuya di doğrultu boyunca malzeme tepisi izotroptur (Holzapfel ). Süreli ortamlar meaniği aışanların (su yağ hava vb.) ve atıların (auçu metal serami ahşap ve yaşayan dou gibi) içerir. Sürelili gibi malzemenin marosopi doğasını tanımlamada phenomenoloji yalaşım teniği ullanılır. Phenomenoloji yalaşım matematisel denlemler ile deneysel verileri uygun hale getirmeyle uğraşır ve özellile atı meaniğinde başarılı olmuştur (Holzapfel ). Süreli ortamlar meaniği ütle dağılımı süreli abul edilebilen maddesel cisimlerin meani davranışını belirlemele uğraşan bir bilim dalıdır. Maddesel bir cisim gerçete ayrı parçacılardan oluştuğu için süreli model anca bir matemati soyutlama olara değerlendirilebilir. Bununla beraber sonlu bir hacimdei parçacı sayısının sonlu almasına arşın ço özel durumlar dışında (genellile ço büyü olması) bu parçacıların sayısını sonsuz abul etmele yapılan hatayı pe ço uygulamada (özellile tenoloji) abul edilebilir sınırların içine soar. Ortamın marosopi davranışı ile ilgilendiğimiz sürece süreli model ile elde ettiğimiz sonuçlar çoğu zaman aradığımız büyülülerin yerel çalantılarının sistemati olara düzgünleştirilmiş değerlerine arşı gelir ve prati açıdan geresinimlerimizi hemen hemen tümüyle arşılayabilen bilgileri bize sağlar. Anca ortamı oluşturan

16 5 parçacıların yapısı ço çeşitli türden etileşmelere yol açtığı için ile olara süreli ortamların genel meani davranışını çeşitli alanlarla etileşimini göz önüne almadan belirleme mümün değildir. Çağdaş süreli ortamlar meaniği bütün bu etileşimleri en genel biçimiyle rasyonel bir çerçeve içine soabilme çabalarının bir ürünüdür (Şuhubi 994). Elasti malzemeler endüstride en yaygın olara ullanılan basit malzemelerdir. Bu malzemelerden bir ısmında sıcalı sabit değildir ve bu tür malzemeler termoelsati malzemeler sınıfında yer almatadır. ermoelasti malzemelerin termomeani yüleme sonucundai davranışı gerilme ve ısı vetörü şelindedir. Fiber taviyeli termoelasti malzemelerin endüstride ullanıldığı alanlar her geçen gün artmatadır. Bu tür malzemelerin termomeani davranışının bilinmesi yararlı olacatır. Hemen hemen bütün mühendisli malzemeleri belirli ölçüde elastisite özelliğine sahiptir. Eğer şeil değiştirmeyi meydana getiren dış uvvetler belirli bir limiti aşıyorsa şeil değiştirme dış uvvetlerin aldırılmasıyla ortadan alar. Bir elasti cismin önemi homojen olması ve hacmi boyunca süreli olara dağılmış yani cisimden esilen üçü bir parça cisme benzer fizisel özellilere sahip olmasıdır. Aynı zamanda cismin izotropi olduğu abul edilir. Yapısal malzemeler yuarıda belirtilen abullerin tamamını sağlamaz. Herhangi yapısal bir malzeme mirosopla incelendiğinde çeşitli türlerde ve çeşitli oryantasyonlarda ristallerden meydana geldiği görülmetedir. Malzeme homojenliten olduça uza olmasına rağmen deneyimler homojenli ve izotropi abullerine dayanan elastisite teorisi sonuçlarının büyü bir doğrulula yapısal malzemelere uygulanabileceğini gösterir. Bunun sebebi ristaller ço üçü ve genellile bir santimetre üp içerisinde milyonlarca ristal olmasıdır. e ristallerin elasti özellileri doğrultulara göre değişen ristaller gelişi güzel dağılır ve büyü metal parçaların elasti özellileri ristal özellilerinin ortalanmasıyla temsil edilir. Cismin şelini tanımayan geometri boyutlar ristalin boyutlarıyla arşılaştırıldığında ço üçü olduğu sürece homojenli abulü büyü bir doğrulula ullanılabilir ve ristaller rastgele bir şeilde yönlendirilmiş ise malzemede izotropi bir davranış sergiler (imosheno 97).

17 6 Son zamanlarda maalede yapılan çalışmada türlü malzeme üzerindei termoelasti uramsal formulüzasyonların anlaşılması yolundai ilerlemelerde başarılı olunmuştur. Bu formülasyon basama sayısı Eshelby gerilim denleminde malzemelerinin davranışında riti rol oynamış buda termal etilerden dolayı oluşan il temel oşulları göstermiştir. ermal etilerin burada birbirinin benzediği açıça gösterilmiştir. Bu formülasyonla en iyi alan teilleştirilmesi elde edilir ve gerçeten hatalardan aynalanan uvvetleri termomeani formülasyonda hesaba atılmasını sağlar. Aynı zamanda bu tip bir formülasyon Schotty tarafından yapılan ayrı sistem notasyonunu ullanara termodinama tabanlı nümeri düzenin planlanmasıdır (Lubarda 4). Çeşitli malzemeler üzerinde termoelastisitenin matematisel formülasyonu ile ilgili çalışmalar yapılmıştır. Bu çalışmada hem gövde hem de hareetli ara yüzeylerde termal etiler nedeniyle orijinal terimleri gösteren denlemde malzeme Eshelby gerilmesi avramında riti bir rol oynadığını açıça ortaya onulmuştur. ermal etiler yarı homojen olamayan etiler olara burada gösterilmiştir. ermoelastisite en esi çiftel alan teorisidir. Bununla beraber Hooe Elastisitesinin veya alternatif olara fourier ısı iletim teorisi ilerleyen yüzyılların arışı sıcalı deformasyonlarına bağlanmış olmaları tüm belirtileri bulmalarında yeni ufular açmıştır (Maugin ve Berezovsi 999). ermomeaniğin genel çatısı altında onfigirasyon uvvet balansının yeni bir formülasyonunu ortaya oymuşlardır. Sonuç için Gurtin tarafından önerilen yalaşımı taip edere onfigirasyon çalışmasının değişmez geresinimlerini ullanmışlardır. Daha genel çerçevede çalışmanın firini tanımlama için Green ve Naghdi nin düşüncelerin diate alara termomeaniğin temel önermelerine başvurmuşlar ve sı sı ullanmışlardır (alpaides ve Dascalu ). Bu maalede termal etiler ve meani uvvete bağlı nonpolar malzemelerin meani termodinami ve bünye denlemlerini birleştirmeye ve düzenlemeye çalışılmıştır. Bu yalaşım sürelili teorisidir. Öylei bu teori orta temel asiyomlar altında tüm bilinen teoriler birleştirilmiş ve geliştirilmiş bir felsefedir ve bazıları il

18 7 defa arşımıza çıarılmıştır. Birço teoremde diğer termo atıların mevcut bazı sınıfları verilmiştir. Basit atılar ve aışanları tüm teorileri bu teorilerin özel durumları olmuştur (Eringen 966). Dört termodinami potansiyel iç enerji u u( ε s) Helmholtz serbest enerji ij f f ( ε ) Gibbs enerji g g( σ s) entalpi h h( σ s) geliştirilmiş Hooe s ij ij ij anunu Duhamel-Neumann ullanılara birbirinden bağımsız olara türetildi ve sıcalı üzerindei spesifi ısısının lineer bağımlılığı farazi alınmıştır. Dört olası bağımsız durum değişen çifti aracılığı ile bütün termodainami potansiyelleri vurgulama için sistemati prosedür sunulmuştur. Bir potansiyelden diğerine can sıı hal değişimini yasalanan bu yöntemde değişenlerin formal değişimleri gerinme gerilme ve entropi sıcalı ilişileri ters çevrilmesine dayanmatadır. Genel sonuçlar izotermal adyabati sabit gerilim ve sabit gerilme durumlarının altında te esenli yülemeler uygulanmıştır. ermodinami yol boyunca sıcalı değişiminden ifadedei adyabati ve izotermal elasti sabitin etileşimi gösterildi (Lunbarda 4). ısmı. de süreli ortam modeli tanımlanmıştır. Geometri ve inemati temsilde maddesel notaların başlangıç anında bulunduları yer ve daha sonra işgal etmiş olduları yerlerin tespiti için bir referans sistemine ihtiyaç vardır. Bu nedenle ısım.' de süreli ortamın hareeti ile oordinat sistemleri haında bilgi verilmiştir. ısım.3' de maddesel ve uzaysal oordinatlarda yer vetörü hareet deformasyonu temsili deformasyon gradyanı Green Cauchy Piola ve Finger deformasyon tansörleri gerilmeyi oluşturan genleme (Strain) tansörü haında ısa bilgiler ve ilgili natosyan verilmiştir. ısım.4 de ortamın hareeti sırasında parçacılara ilişin hız ve ivme gibi inemati büyülüler ve daha genel olara da şeil değiştirme arateristilerinin samanla değişim hızının nasıl ölçüleceği (maddesel türev) belirlenmeye çalışılmıştır. Süresizli yüzeyi tanımlanara genelleştirilmiş Green - Gauss (diverjans) teoremi verilmiştir.

19 8 ısım.5 te denge denlemleri hem ortam için ve hemde süresizli yüzeyi üzerinde (veya ortam sınırında) geçerli olan hali ile birlite verilmiş olup sırasıyla ütlenin orunumu lineer momentum denliği açısal momentum denliği enerji dengesi ve entropi eşitsizliğinden oluşmatadır. ısım.6 da ortamla birlite hareet ettiği varsayılan fiberlerin deformasyon sırasındai meani davranışı fiber dağılımını temsil eden fiber vetörünün deformasyondan öncei ve sonrai durumunu fiber uzama hızı fiber vetörünün zamana göre değişimi haında ısa bilgiler verilmiştir. ısım. de fiber taviyeli termoelasti ortamların termodinamiğinden bahsedilmetedir. Burada ermodinamiğin. ve. anunlarının birleştirilmesinden elde edilen Clausius-Duhem eşitsizliği temel başlangıç notası olara diate alınmatadır. Bu eşitsizlite; entropi yoğunluğunun iç enerjinin ve deformasyonun zamanla sıcalığın da uzaysal oordinatlara göre değişimi termodinami prosesi temsil etmetedir. Bir termodinami proseste iç enerji entropi ve değişiminin ontrolü mümün olamayacağından (.) de verildiği tarzda bir Legendre transformasyonu uygulanara zamanla değişen terimler olan iç enerji ile entropi serbest enerji ve sıcalı alanının değişimi cinsinden yazılmıştır. Entropi üretiminin genel bir ifadesi olan (.8) eşitsizliğinin ullanılabilmesi için gerilme potansiyelinin hangi bağımsız değişenlere ne şeilde bağlı olduğunun bilinmesi geremetedir. Eringen (98) ve Şuhubi (994) tarafından tüm bünye fonsiyonları için geliştirilen bünye asiyomları ullanılara bu çalışmada ele alınan malzeme için gerilme potansiyelinin bağlı olduğu argümanlar (.4) ifadesiyle ortaya onulmuştur. Bu ısımda ayrıca meani yülemelerin etisinde alan te fiber aileli termoelasti ortama ait maddesel ve uzaysal bünye denlemleri (.54)-(.59) denlemleriyle ortaya onulmuştur. ısım 3. de anizotrop ortamlarda gerilme hesaplanmıştır. Bunun için gerilme Σ dan türetildiğinden Σ doğal durum olara seçilen referans onumu etrafında bağlı olduğu argümanların bileşenleri cinsinden bir uvvet serisine açılmıştır. ısım 3.. de ortamın referans onumu bir üniform sıcalığında ve gerilmesiz doğal

20 9 durumda seçilip bu onumdan itibaren üçü yer ve şeil- değiştirmeler ve de üçü sıca değişimleriyle ayrıldığını farz edere gerilmenin lineer bünye denlemi elde edilmiştir. ısım 3. de gerilme potansiyeli için yapılan yalaşım burada ısı vetörü için yapılmıştır. Daha sonra (3.59) ve (3.6) ısıtlamaları ullanılara ısı vetörü (3.76) denlemiyle ortaya onulmuştur. Alan denlemlerine ulaşma için gerilmenin r ye göre türevi alınara Cauchy hareet denleminde yerine yazılara (3.94) denlemiyle verilen alan denlemi bulunmuştur. İinci alan denlemine ise enerjinin orunumu denleminde gerilme genleme hızı tansörü ve ısı vetörünün gradyanı yerlerine yazılara (3.8) denlemiyle ulaşılmıştır.

21 .. Süreli Ortam Modeli: Bir maddesel cismin içinde alacağımız tamamen eyfi her hacim bu cismin ütlesinin bir ısmını içeriyorsa bu cismin bir süreli olara nitelendirilir. Buna göre süreli bir ortamın bir notası etrafında eyfi yani istediğimiz adar üçü seçebileceğimiz bir Δ v hacmini bir Δ m ütlesi bulunacatır. Bu nota civarında ortalama yoğunlu Δm ρ ort (.) Δv olara tanımlanır (Şuhubi 994). Süreli ortam varsayımına göre Δ v ne adar üçü olursa olsun içinde ütle bulunacağından yuarıdai ifadenin Δv için bir limit olacatır. Dolayısıyla ortamın göz önüne alınan notadai yoğunluğu bu limit işleminin sonucu olara Δm dm ρ lim (.) Δv Δv dv bulunur. Atomisti ölçeğe indiğimizde madde büyü ölçüde boşlulu bir yapı sergiler. Buna göre bir notada tanımlanan yoğunluğun stati olara anlamlı bir ortalamaya arşı gelebilmesi için Δ v hacminin Δ v < Δv için bir notada yoğunlu v (Şeil.) Δv riti değerinden büyü olabilmesi gereir. Δ ye bağlı olara büyü çalantılar gösterir. Süreli ortam modeli sonlu bir hacimdei parçacı sayısını sonsuz almaya eşdeğerdir. Buna göre cismin içinde alınan bir V hacminde bulunan ütle mitarı M ρ dv v (.3) integrali ile hesaplanır (Şuhubi 994).

22 Δm/Δv ρ Δv * Δv Şeil.. Ortalama yoğunluğun değişimi (Şuhubi 994)... Süreli Ortam Hareeti: Bir süreli ortamın hareetini belirtme için bu ortamı oluşturan sonsuz sayıdai bütün parçacıların zamanla bulduları uzaysal onumlarının belirtilmesi gereir. Ortamın belli bir andai onumunun tamamen bilindiği varsayılır. Bu onum referans onumu olara adlandırılır ve oluştuğu hacimsel bölge V ile gösterilir. Ortamın referans onumunu belli ılma için bir 3 artezyen oordinat taımı seçilir. Ortamın bir parçacığı şimdi referans onumunda işgal ettiği Ρ notasının yerini tanımlayan R yer vetörü yada eşdeğer olara ( 3) oordinatlarıyla tamamen belirlenir. oordinatlarına maddesel oordinatlar (Lagrange oordinatları) adı verilir (Şuhubi 994). Süreli bir ortamın hareetini belirleme için referans onumundai herhangi bir P maddesel notasının t anında uzayda bulunduğu onumu yani p notasının yerini belirleme için x x x3 artezyen oordinat taımı seçilir (Şeil.). Bu oordinat taımında p uzaysal notası r yer vetörü ya da x ( 3) oordinatlarıyla

23 belirlenir. Bu oordinatlara uzaysal oordinatlar (Euler oordinatları) adı verilir. Gere duyulduğu tadirde maddesel ve uzaysal oordinatlar çaışı olara seçilebilir. v(t) 3 x 3 p P V i 3 r x I 3 b i R i I I x Şeil.. Maddesel ve uzaysal oordinatlar (Şuhubi 994). Bir t anında her P parçacığının işgal ettiği p notaları zamanla değişen bir v (t) bölgesini oluşturur. Bu bölge ortamın t anındai onumunu belirler. Buna göre süreli ortamın hareeti her P notasına bir t anında hangi p notasının arşı geldiğini gösteren bir dönüşüm olara tanımlanır. Böyle bir dönüşüm r r( R t) x x ( t) (.4) Süreli bağıntıları yardımıyla tanımlanır (Şuhubi 994). ersi söylenmediçe referans onumunun t anına arşı geldiği abul edilir. Süreli ortamın hareetini tanımlayan (.4) dönüşümünün bir fizisel hareete arşı gelebilmesi için süreli olması gereir. Ayrıca bu dönüşümün hacmi sonlu olan bir bölgeyi hacmi sıfır ya da sonsuz bir bölgeye dönüştürmemesi için dönüşümün jaobyeni sıfırdan ve sonsuzdan farlı olması gereir. Yani

24 3 x x x 3 x x x J ( t) det ( x ) 3 x3 x3 x3 (.5) 3 şartının sağlanması gereir. Bir J ( t) fonsiyonunu (.5) in mutla değeri j t) J ( t) det ( x ) < j < (.6) (. olara tanımlanır. emel varsayımımız uyarınca J olduğundan j ile J arasındai far çoğu zaman prati baımdan ortadan alar. apalı fonsiyon uyarınca (.5) ya da (.6) oşulu (.4) dönüşümünün süreli bir tersinin olacağını ifade eder. Bu ile uyarınca (.4) dönüşümünden R R( r t) ( x t) (.7) Yazılabilir (Şuhubi 994). Fizisel olara bu bağıntılar seçilmiş belli bir uzay notasından çeşitli zamanlarda ortamın hangi parçacılarının geçtiğini belirler ve v (t) uzaysal bölgeler ailesini te bir V maddesel bölgesine dönüştürür (Şuhubi 994)..3. Şeil Değiştirme Referans onumunda verilen bir V bölgesini dolduran bir süreli ortamın belli bir t örneğin t anında v (t) uzay bölgesine dönüştüğünü ve bu süreli dönüşümün verilen x x ( t) veya ( x t) (.8) hareet denlemlerinin t parametresinin t değeriyle tamamen belirlenmiş olduğu varsayılır. Dolayısıyla başlangıçtai yani referans onumundai herhangi bir

25 4 P parçacığı t anında p uzay notasına taşınmış olur. P ve p notalarının yer vetörleri R I r i (.9) x ile verilir ve (.8) bağıntıları yardımıyla birbirlerine bağlanır (Şeil.3). Bundan sonra Einstein toplama uylaşımından yararlanılara ve terarlanan ii indis üzerinde den 3 e adar toplama yapılacağı abul edilir. Uzaysal ve maddesel oordinat taınılan arasındai dönüşüm i I I λ Λ i (.) bağıntıları ile belirlenir. λ ve Λ atsayı matrisleri birbirinin tersidir ve i. I λ Λ I. i (.) olara tanımlanır. Her ii oordinat taımı da di olduğundan bu dönüşüm ortogonaldir. Yani Λ λ λ veya Λ λ (.) yazılabilir. bu atsayılar Λ matrisi λ matrisinin transpozu olara tanımlanmıştır. Dolayısıyla λ λl δ l λ λl δ L (.3) bağlantılarını gerçeleme zorundadır. Burada δ l ve δ büyülüleri ronecer L delta olara adlandırılır ve birim matrisi temsil eder. Yani ii indis birbirine eşitse l farlı ise değerini alırlar. λ matrisi yardımıyla uzaysal oordinat taımında tanımlanmış bir vetörü endisine paralel alara maddesel oordinat taımına

26 5 aydırabilir ya da bu işlemin tersi yapabilir. Bu özelliler nedeniyle λ atsayıları aydırıcılar (Shifter) olara adlandırılır. Deformasyonu temsil etme için şeil.3 de P parçacığına ço yaın olan başa bir P parçacığı göz önüne alınır. P nün P ye göre onumunu sonsuz üçü d R vetörüyle belirlenir. P maddesel notası hareetle t anında p uzay notasına taşınmış olur. p notasının P nin görüntüsü olan p notasına göre onumu da yine sonsuz üçü olan d r vetörüyle belirlenir. 3 x udu 3 P V u dr P i 3 v(t) p dr p r x I 3 b i R I I Referans onumu i tt anındai onum x Şeil.3. Süreli ortamda belli bir andai şeil değiştirme (Şuhubi 994). Bu vetörler maddesel ve uzaysal oordinat esenleri üzerindei bileşenleri cinsinden d R d I d r d x i (.4) şelinde yazılır. Ayrıca (.8) bağıntısında zamanın sabit olduğunu göz önünde tutulara diferansiyeli alınırsa d x x d d d x (.5)

27 6 ifadeleri elde edilir. Bir alt indisten öncei virgül o indisin belirttiği değişene göre ısmi türevini gösterir (.5) dei x ve ifadeleri aşağıdai gibi tanımlanır. x x (.6) x Bir P parçacığında örneğin t anında hesaplanmış x büyülülerine o maddesel notada ve o andai şeil değiştirme gradyanı adı verilir ve boyutsuz F matrisi ile gösterilir. F( t) x x x 3 x x x (.7) 3 x 3 x3 x3 3 [ x ] j det F olduğundan F matrisinin bir F tersi vardır. (.8) bağıntılarını göz önüne alır ve belli bir anda ısmi türevin zincir uralını uygularsa x l l δ x L δ L (.8) yazılabilir buradan da [ ] F (.9) ifadesi elde edilir. Bir matrisin tersini hesaplama için her elemanın yerine ofatörünü oyara oluşturduğumuz matrisin transpozunu matrisin determinantına bölünmesi gereir. ofatör[ x ] (.) J [ ]

28 7 Bilindiği gibi bir determinantı hesaplaren bir satırdai elemanları ofatörleriyle çarpıp işaret uralına uygun şeilde toplanır. Buna göre determinantın açılımı o satırdai elamanlara göre birinci derecedendir ve determinantın bir elemanına göre türevini alırsa bu elemanın ofatörünü elde ederiz. Bu sonuç J x ofatör j [ x ] J j x (.) özdeşliğini verir. d R vetörünün boyu d S d r gösterildiği tatirde vetörünün boyu ise d s ile d S d R. d R d d d s d r. d r d x d (.) x şelinde ifade edilir. (.5) bağıntılarını ullanara yuarıdai ifadeler x x L d s d d C l d S d x d x c L l L l d d x d x d l L (.3) şelinde elde edilir. Burada t anında hesaplanmış bileşenleri c l ( x t ) l (.4) C L ( t ) x. x. L ile verilen ifadeler sırasıyla Green ve Cauchy şeil değiştirme tansörleri veya matrisleri adını alır. Bu matrislerin simetri olduğu ve C L C L c l cl (.5) bağıntılarının sağlandığı görülmetedir. C ve c büyülülerini matrisin yanısıra tansör olara ta nitelendirilmesinin nedeni sırasıyla maddesel ve uzaysal oordinatları dönüştürüp yeni oordinat taımlarına geçildiğinde bileşenlerinin

29 8 belirli bir urala göre değişmesidir. oordinat esenleri yine di oordinat esenlerine dönüştürülsün. Bu dönüşüm Q ortogonal matrisi yardımıyla gerçeleşir ve oordinat esenleri arasında L L QL L Q (.6) ilişileri yazılabilir. Buna göre C tansörünün yeni oordinat taımındai bileşenleri C L x x L x M QLN x M x N M Q Q M M x Q LN N C N MN L (.7) şelinde bulunur. Bu da C nin iinci mertebe bir maddesel tansör olduğunu gösterir. Burada (.6) bağıntısının Q ortogonal bir matris olmasa da yani oordinatları di olmayan bir taıma dönüştürüldüğünde de Q yerine Q matrisini alma oşuluyla geçerli alacağına diat edilmeli. Benzer olara uzaysal oordinatları x Q x (.8) l l ile dönüştürülürse c nin iinci mertebe bir uzaysal tansör olduğunu gösteren c Q Q c (.9) l m ln mn ifadesi elde edilir. Buraya adar verilen ifadeler matris notasyonu ullanılara yazılırsa; d ve d x sütun vetörleri d d [ ] d 3 d [ ] d x d x d x (.3) d x 3

30 9 şelinde tanımlanır. (.5) bağıntıları matris notasyonu ile d x F d d F d x (.3) yazılabilir. (.) ve (.3) bağıntılarından d s d x d x d F F d d S d d d x F F d x (.3) bulunur. (.3) bağıntısı göz önünde tutulduğunda Green ve Cauchy şeil değiştirme tansörlerinin şeil değiştirme gradyanlarına bağlı olara C F F C F F (.33) şelinde ifade edilebileceği görülür. Bazı durumlarda (.33) ile verilen matrisler yerine terslerinin ullanılması gereebilir. Bu matrisler ise c F F C F F (.34) veya bileşenleri cinsinden c x l x l C L L (.35) şelinde ifade edilir c ve tansörleri olara bilinir. Hareet denlemleri r( Rt) C tansörleri sırasıyla Finger ve Piola şeil değiştirme r şelinde verilmesi yerine P parçacığının u yer değiştirme vetörüne bağlı olara ifade edilir. Yer değiştirme vetörünü (Şeil.3) u r R b (.36) olara tanımlanır. u vetörünü

31 u u i U I (.37) şelinde yazara uzaysal ve maddesel bileşenleri belirlenir. (.8) hareet denlemlerinden yararlanara uzaysal ve maddesel yer vetörlerini r( t) R R( t) olara ifade edilirse x r ve d r C d d R c d x (.38) yazılabilir. Burada C ve c vetörleri r R C x i c I (.39) x olara tanımlanmıştır. Bu vetörler cinsinden şeil değiştirme tansörleri CL C. CL l l c c. c (.4) olara bulunur. (.39) bağıntısından C. C i i δ (.4) L x. xl L l x xl L l x x L bulunur ve benzer şeilde (.39) bağıntısından da c. c I I δ (.4) l. L l L L l L I l bağıntısı bulunur. C ve c vetörlerinin fizisel anlamı tanımlardan açıça görülmetedir. (.39) ifadelerine benzer olara c x I C i (.43)

32 vetörleri tanımlanır. c vetörlerinin c vetörlerine arşıt olduğu yani c. c l δ l (.44) bağıntısını sağladıları görülür. (.39) ve (.43) bağıntılarından c. c x I. I x δ x δ (.45) l L l L L l L l l bulunur. Benzer şeilde C vetörlerinin de C vetörlerine arşıt olduğu ve C. C L δ L (.46) bağıntılarının sağlandığı gösterilebilir. (.35) bağıntısı göz önünde tutulursa c c. c l l C L C C (.47). L yazılabilir c ile c ve C ile C tansörleri birbirlerinin tersleri olduğu için c m c ml δ l CM C ML δ L (.48) bağıntılarının da geçerli olacağı açıtır. Cismin şeil değiştirmesinden söz edebilme için parçacıları arasındai uzalığın hareeti sırasında değişmesi geremetedir. Ortamın İi parçacığı arasındai uzalığın değişmesi için ds ds olması geretiğinden ortamın bir notasındai şeil değiştirmenin Ölçümü olara büyülüğü seçilir. (.) ve (.3) bağıntıları yardımıyla ds ds ds ds E d d e dx dx (.49) L L l l yazılabilir. Burada E L ve e l simetri tansörleri

33 E t ) ( δ ) el ( x t ) ( δl cl ) (.5) L ( C L L olara tanımlanır ve sırasıyla maddesel (Lagrange) ve uzaysal (Euler) genleme tansörleri adını alır. Bir maddesel notada E tansörünün değerini bildiğimiz tadirde bu notadan geçen sonsuz üçü d maddesel vetörünün hareeti sırasında boyundai değişim (.49) bağıntısıyla belirlenir. Aynı boy değişimi bu parçacığın t anındai yerinde e tansörünün değeri yardımıyla da hesaplanabilir (.5) bağıntıları matris formunda E ( C I ) e ( I c ) (.5) yazılabilir. (.5) bağıntılarından (.49) da yararlanılırsa maddesel ve uzaysal genleme tansörlerinin e l EL L l E L el x xl L (.5) eşitlileriyle birbirlerine bağlandığı görülebilir. (.36) ve (.39) bağıntıları b vetörü oordinatlara bağlı olmadığı için yer değiştirme vetörü cinsinden R u C I U L I L ( δ L U L ) I r u c i ul il ( δ l ul ) i x x l L (.53) sonucu elde edilir. Şeil değiştirme tansörleri için yer değiştirme gradyanlarına bağlı olara C L C C. L ( M U M )( δ NL U N L δ ) δ MN

34 3 ( δ δ M U M )( δ ML U M L ) L U L U L U M U M L c l c. c ( δ u )( δ u ) δ ( δ u )( δ u l m m nl n l mn m m ml m l ) (.54) δ l u l ul um um l sonuçları bulunur. Maddesel ve uzaysal genleme tansörleri de (.5) tanımlan yer değiştirme gradyanı cinsinden E L ( U L U L U e l ( u U M M L u u u l l m m l ) ) (.55) şelinde ifade edilir..4. Hareet Bu bölümde ortamın hareeti sırasında parçacılara ilişin hız ve ivme gibi inemati büyülüler hesaplanaca ve daha genel olara ta şeil değiştirme arateristilerinin zamanla değişim hızının nasıl ölçülebileceği belirlenmeye çalışılaca. Ortamın hareetini tanımlayan maddesel oordinatlarla uzaysal oordinatlar arasındai dönüşüm (.4) bağıntısıyla aşağıdai şeilde verilmişti. x x ( t ) V (.56) (.56) bağıntısı V bölgesindei belli bir parçacığı seçildiğinde t parametresine bağlı bir eğri gösterir. Süreli ortamın hareeti sırasında parçacığının izlediği yolu gösteren bu eğriye göz önüne alınan parçacığın yörüngesi adı verilir (.56) bağıntısı tüm ortam parçacılarının yörüngeler ailesini tanımlamatadır. Bunun için il olara

35 4 süreli ortamın parçacılarına bağlı bir fonsiyonun zamanla değişim hızını ölçme gereir. Süreli ortama bağlı bir saler vetör ya da tansör değerli bir alan büyülüğü f ( t) şelinde verilebilir. Maddesel gösterilimde böyle bir fonsiyon ilgili alan büyülüğünün bir parçacıta aldığı değerin bu parçacı yörüngesi üzerinde hareet ederen zamanla nasıl değiştiğini bize verir. (.56) ifadesinin tersi ullanılırsa f fonsiyonunda f [ ( x t ) t ] f ( x t ) (.57) yazılabilir. f ( x t) fonsiyonu göz önüne alınan alan büyülüğünün uzaysal gösterilimi adını alır. Maddesel ve uzaysal gösterilimde bu fonsiyon aynı sembolle göstermesine arşın birbirine arşı gelen maddesel ve uzaysal notalarda sayısal değerleri eşit olmala beraber f ( x t) ve f ( x t) fonsiyonları tümüyle farlı fonsiyonlardır. Bir x uzay notasında f ( x t) fonsiyonu alan büyülüğünün bu notadan çeşitli zamanlarda geçen farlı parçacılarda aldığı değerleri gösterir. Uzaysal gösterilimden maddesel gösterilime geçiş f ( t ) f [ x( t ) t ] (.58) dönüşümü yardımıyla sağlanır. Bir alan büyülüğünün süreli ortamın bir parçacığını izleren zamana göre değişim hızı maddesel türev olara tanımlanır.

36 5 x t f(t) xdx tdt f(t)(d f/dt)dt Şeil.4. Maddesel türev (Şuhubi 994). Eğer maddesel gösterilim ullanılıyorsa maddesel türev tutara zamana göre hesaplanan türev olduğundan oordinatlarını sabit d f d t f ( t ) f& t (.59) yazılabilir. Uzaysal gösterilim ullanıldığında (.57) bağıntısını değişenlerini sabit tutara t değişenine göre türetirse zincir uralına göre d f f d t f [ x ( t ) t] f t & (.6) t sbt x sbt f x x t sbt elde edilir. Bir parçacığın r ( R t ) yer vetörüne bağlı olara dr v d t r ( R t ) d x t d t i x i t (.6) veya bileşenleri cinsinden v ( d x t ) d t x t v v i (.6)

37 6 şelinde ifade edilebilir. Buna göre uzaysal gösterilimde maddesel türevi f alanının (.6) ile verilen d f f f & f v d t t (.63) olur. (.63) ifadesinin sağ tarafındai il terim x oordinatları sabit tutulara zamana göre alınmış türev olduğundan yerel değişme hızını gösterir iinci terim ise t anında x notasında bulunan parçacığın hareetinden aynalandığı için onvetif değişme hızı adını alır..4.. Yay ve Hacim Elemanların Maddesel ürevi p P d P ds ds dx p ds[d/dt](ds)dt t t tdt Şeil.5. Yay elemanındai değişim (Şuhubi 994). Referans onumunda bir P maddesel notasından geçen sonsuz üçü bir ds yay elemanı ve bu elemanın t anındai ds görüntüsü göz önüne alınırsa (Şeil.5) t anına sonsuz yaın t dt anında bu elemandai değişim maddesel türevin tanımına göre ds ( ds & ) dt olur. ds yay elemanının maddesel türevini belirleme amacıyla önce p notasını p notasına birleştiren d x vetörünün maddesel türevi hesaplanmaya çalışılaca. Bu vetör referans onumundai d elemanter

38 7 vetörünün hareet altında t anındai görüntüsü olduğundan türetmenin zincir uralından uygun şeilde yararlanılara d d t d d t t ( d x ) ( x d ) ( x ) d x ( ) d t (.64) v d v l d xl v l d x l elde edilir. Dolayısıyla ( & d x (.65) d x ) v l l yazılabilir. (.64) de üçüncü ve beşinci ifadelerde eşitlerse şeil değiştirme gradyanının maddesel türevi d bileşenlerinin atsayılarını d d t ( x & x (.66) ) ( x ) v v l l olara bulunur. Hız gradyanı tansörü L v L l vl (.67) ile tanımlanırsa (.65) ve (.66) bağıntıları ( d x& ) L d x F& L F (.68) şelinde de ifade edilebilir. Hız gradyanı tansörünün simetri ve antisimetri ısımlarından oluşan ii yeni tansörü

39 8 d l ( v l vl ) dl wl (v l vl ) wl (.69) veya d ( L L) w ( L L) L d w (.7) bağıntılarıyla tanımlanır d tansörüne şeil değiştirme hızı (bazen de genleme hızı) tansörü w tansörüne ise spin veya çevri tansörü adı verilir. (.) bağıntısından yararlanara önce d J d t J d ( x ) J v l xl J v (.7) x d t şelinde jaobyenin maddesel türevi elde edilir. Bir ortamın hacim elemanının değişme hızı dv jdv olduğundan türetme ile d d t d j ( d v) dv (.7) d t yazılabilir. Jaobyenin maddesel türevinden faydalanılara d d t ( d v) j v dv d v. v dv (.73) v bulunur. Referans onumunda V hacmi hareetle t anında v (t) hacmine dönüşürse v (t) hacim integralinin maddesel türevi aşağıdai şelinde hesaplanır.

40 9 d d t φ ( x t ) d v Φ ( t ) j d V t t v( t) V V [ j Φ ( t ) ] d V ( jφ ) j d v ( φ v t v( t) v( t) ) d v (.74) Maddesel türevin tanımından faydalanara (.74) ifadesi d d t v φ φ d v (φ v ) d v t (.75) () t v() t şelinde yazılabilir t ye göre ısmi türevi x değişenleri sabit tutulara alındığı için (.75) bağıntısında sağ taraftai il terimde türev ile integral operatörünün yeri değiştirilebilir. Son terim de Green- Gauss integral teoremi ullanılara v (t) hacmini içine alan S (t) apalı yüzeyi üzerindei bir integrale dönüştürülürse d d t φ φ vn d a (.76) t d v φ d v v () t v() t S () t elde edilir. v n v. n ortam hızının yüzeye di bileşenidir φ vn büyülüğüne φ alanının yüzey boyunca aısı adı verilir ve ortam hareetiyle bu fizisel alanın S (t) yüzeyinin bir tarafından ötei tarafına bu yüzeyin birim alanı başına birim zamanda atarılan ısmını gösterir..4.. Green - Gauss (Diverjans) eoremi Doğa yasalarından süreli ortamların hareetini yöneten denlemlerin çıartılmasına olana sağlayan bazı integral teoremlerinin genelleştirilmesi gereir. Bilindiği gibi bir v apalı yüzeyi ile sınırlanmış v hacminde tanımlanmış vetör ya da tansör değerli süreli bir fonsiyon için Green - Gauss veya diverjans teoremi olara bilinen teorem

41 3 bu alanın diverjansının hacim içindei integralini normal bileşeninin yüzey üzerindei integraline dönüştürür. v. φ d v n. φ d a (.77) v n yüzeyin birim dış normalidir φ bir vetör alanı olduğu tadirde yuarıdai saler denlemin anlamı açıtır φ iinci mertebe bir tansör alanı ise (.77) vetör değerlidir ve. φ φ l il n. φ n φl il (.78) olara tanımlanır. Şimdi v bölgesinde hareetli de olabilen bir σ yüzeyi üzerinde tansör alanının süresizli göstermesi halinde diverjans teoreminin genelleştirilmiş şelini elde etmeye çalışacağız. v hacmini ii parçaya ayıran σ yüzeyinin dış normalini eyfi olara yönlendirelim. Ve v bölgesini σ yüzeyinin dış normalinin yöneldiği tarafta alan parçasını v ötei parçasını ise v ile gösterelim. v φ v v olduğu açıtır σ yüzeyi φ alanı için bir süresizli yüzeyi ise bu alan σ üzerindei bir notada bu notaya v ya da v bölgeleri içinden yalaşıldığına göre farlı değerler alır. Bu değerler sırasıyla φ ve φ ile gösterilir (Şeil.6) φ tansör alanının σ üzerindei süresizliğini ölçen sıçraması [[]] φ φ φ (.79) olara tanımlanır.

42 3 v n v n φ σ v - n φ v Şeil.6. Süresizli yüzeyi içeren bölge (Şuhubi 994). Doğal olara bu büyülü σ yüzeyinin oordinatlarının bir fonsiyonudur. φ alanı v σ apalı yüzeyi ile sınırlanmış v ve v σ apalı yüzeyi ile sınırlanmış bölgelerinde sürelidir Dolayısıyla bu bölgelerde Green - Gauss teoremi (.77) seliyle uygulanabilir σ yüzeyinin bu anlamda dış normalinin diat edilirse v için v n olduğuna v v. φ d v n. φ d a n. φ σ d a (.8) v. φ d v n. φ d a n. φ d a v σ yazılabilir. Bu ii ifade taraf tarafa toplanırsa genelleştirilmiş Green - Gauss teoremi v [ φ ] d a. φ d v n. φ d a n (.8) v σ şelinde elde edilir. Süreli alanlar için σ yüzeyi üzerinde [ ] φ olacağı için (.8) denlemi (.77) denlemine indirgenir. v (t) bölgesinin süreli ortamda bir

43 3 maddesel bölge olduğu abul edilirse ve er süresizli yüzeyinin de verilen bir u hızı ile hareet ettiği varsayılır (Şeil.7). Amaç (.75) denlemini φ tansör alanının σ üzerinde süresizli gösterdiği hale genelleştirmetir. Bunun için ısmi türev operatörünü integralin içine soara (.76) denlemini σ alanının içinde süreli v ve v bölgelerine ayrı ayrı uygulanırsa (Şeil.7) d d t v φ d v φ d v t φ v d a φ u d a () t v () t v () t () t σ n n d d t v φ φ d v d v t φ v d a () t v () t v () t σ () t n φ u n d a (.8) elde edilir. Bu denlem taraf tarafa toplanırsa d d t v φ φ d v d v vn d a un [[]] d a t φ φ (.83) () t v() t v() t σ () t sonucu elde edilir. v (t) n v (t) n u n σ (t) v (t) - n v (t) Şeil.7. Hareetli süresizli yüzeyi (Şuhubi 994).

44 33 v n v olduğuna diat edilere süresizli yüzeyi içeren bir bölgede diverjans n teoremini ifade eden (.8) denlemi ullanılırsa () t v() t v() t σ () t [ v φ ] φ v n d a n v φ d a ( v φ ) d v n d a (.84) v yazılabilir. Bu ifade (.83) bağıntısına yerleştirilir (t) v ve ( t) σ bölgeleri üzerindei integraller bir araya toplanır ve σ ( t) yüzeyinin u n normal hızının süresizli gösteremeyeceğine diat edilirse sonuç olara d d t v d φ φ d v ( ( φ v ) ) d v d t () t v() t [ U φ ] σ () t d a v () t d φ φ v d t ( ) d v [ U φ ] σ () t d a (.85) elde edilir. Burada σ () yüzeyi üzerinde tanımlanan U v ( u v). n (.86) u n n büyülüğüne yer değiştirme hızı adı verilir ve σ ( t) yüzeyinin süreli ortama göre bağıl normal hızım gösterir. [ ] [ ] [[ U ]] [ ] v n u olduğundan n (.87) bağıntısı geçerlidir..5. Denge Denlemleri Bu ısımda bütün süreli ortamların meani davranışını yöneten temel ilelerden söz edilece. lasi fiziğin çerçevesinde bu ileler bir maddesel cisim ütlenin

45 34 hareetinden etilenmemesinden ve süreli bir ortamın Newton un üç yasasına uyara etileşen ço sayıda paçacıla modellenmesinden aynalanır. Süreli ortamlar meaniğinde ortamın fizisel özellilerine bağlı olmasızın geçerli olan termomeani davranışı yöneten denlemler global ve yerel denge denlemleri olara adlandırılır. ermomeani denge denlemleri yazılıren denlemler önce global olara yazılmış sonra da genelleştirilmiş Green-Gauss ve Stoes teoremleri yardımıyla elde edilen denlemler yerelleştirilmiştir..5.. ütlenin orunumu ütlenin orunumu bir maddesel hacmin toplam ütlesinin hareeti sırasında değişmediğini ifade eder. Matematisel olara bu ile; ρ ( xt) yoğunlu fonsiyonu olma üzere aşağıdai eşitlile verilir. d M d t d ρ d v (.88) d t v () t (.85) denleminde φ yerine yoğunlu fonsiyonu ρ alınırsa d d t V () t [ ρ ρ v ] () t σ () t [ U ρ ] ρ ( x t ) d v & d v - d a (.89) V maddesel türevin tanımından ρ için aşağıdai ifade yazılabilir. d ρ ρ & ρ ρ v (.9) d t t (.89) denleminde integral altındai ifadelerin süreli olduğu abul edilirse integrandların sıfır olması gereir. Buna göre sürelili denleminin yerel formu için;

46 35 d ρ V () t içinde ρ v d t ρ veya ( ρ v ) t σ ( t ) üzerinde; [ U ρ ] (.9) eşitlileri elde edilir. ütlenin orunumu bir parçacığı içine alan bir elemanter maddesel hacim için aşağıdai gibi yazılabilir. ρ ( ) d V( ) ρ ( x t ) d v( x ) (.9) t d v J dv olduğuna göre (.9) denlemi ρ ( ) ρ ( x t ) (.93) J ( x t ) şelinde ifade edilir. Bu denlemde; ρ ( ) ; referans onumundai ortamın bilinen yoğunluğudur. J ( x t) ; jaobyendir. (.85) denleminde φ ρψ alınara ve ütlenin orunumundan yararlanara aşağıdai ifade elde edilir. d d t V ρϕ ρ ψ d v ρ d v - U [ ] d a d t ρ ψ (.94) () t V () t σ () t burada ψ birim ütle başına herhangi bir alan büyülüğüdür..5.. Lineer Momentum Dengesi Bu ile herhangi bir maddesel cismin toplam lineer momentumunun zamana göre değişme hızının bu cismin üzerine etiyen toplam uvvete eşit olduğunu ifade eder. Süreli ortamın bir d m ρ dv elemanter parçacığın hızı v ise elemanter momentum v dm ve t anındai momentum aşağıdai gibi yazılabilir.

47 36 ( t ) P ρ v d v (.95) V () t Lineer momentum denliğine göre d P F (.96) d t eşitliği geçerlidir. Bu çalışmada süreli ortam olara düşünülen termoelasti davranış gösteren bir malzeme ele alınmıştır. Böyle bir malzemeye etiyen dış uvvetlerin toplamını gösteren F aşağıdai gibi yazılabilir. F ρ f d v t d a (.97) ( n ) v( t) v( t) şelindedir ( Şuhubi 994). t ( n) herhangi bir notada yönelimi n normal vetörüyle belirlenmiş bir alan elemanına etiyen gerilme vetörü olup aşağıdai gibi ifade edilir. t n. veya t ( n) nl tl (.98) ( ) n t Bu durumda lineer momentum denliği ; d d t V () t ρ v dv ρ f d v n. t d a (.99) V () t V ( t) şelinde yazılır. Lineer momentum denliğinin bileşeni; d d t V () t ρ v d v V () t ρ f d v n l v( t) t l d a (.)

48 37 olara ifade edilir.(.) denleminin sol tarafındai ifade (.94) denleminde yerine ϕ alınara aşağıdai gibi yazılır. d d t V d v ρ v d v ρ d v d t () t V () t σ () t U ρ [ v ] d a (.) (.) denleminin sağ tarafında yer alan yüzey integrali terimi Green - Gauss teoreminden faydalanılara aşağıdai gibi yazılabilir. nl tl d a tl ld v v( t) V () t σ () t n l [ t ] l d a (.) (.) ve (.) İfadeleri (.) denleminde yerine yazılıp eşitliğin sağ tarafındai İfadeler sol tarafa geçirilirse aşağıdai denlem elde edilir. V () t [ v t ρ f ] [ nl tl ρv U ] ρ & l l d v d a (.3) σ () t (.3) eşitliğinin sağlanabilmesi için integrandların sıfıra eşit olması gereir. Bu durumda aşağıdai ifadeler yazılabilir. ( t ) V içinde; ρ v& t l l ρ f σ ( t ) üzerinde; [ t v U ] n l l ρ (.4) (.4) denlemindei v& terimi ivme olara adlandırılır ve maddesel türevin tanımından aşağıdai gibi ifade edilir. d v v a v& v. v (.5) d t t

49 Açısal Momentumun Dengesi Bu orunum yasası herhangi bir maddesel cismin sabit bir notaya göre açısal momentumunun zamana göre değişme hızının cisme etiyen dış uvvetlerin aynı notaya göre toplam momentine eşit olduğunu ifade eder. t anında ortamın bir elemanter parçacığının sabit notasına göre yer vetörü r ise aynı notaya göre açısal momentumu veya momentumun momenti aşağıdai gibi ifade edilir. H ρ r v d v (.6) V ( t ) O notasına göre dış uvvetlerin toplam momenti M açısal momentumun ilesinden aşağıdai gibi yazılabilir. d H M (.7) d t Bu çalışmada ele alınan malzeme için dış uvvetlerin dağılımına göre M aşağıdai gibi yazılabilir. M ρ r f d v r t d a (.8) ( n) V ( t) v( t) (.8) denlemindei t(n) terimi (.98) denlemleriyle verilen ifadenin aynısıdır. Bu durumda (.7) ve (.8) ifadelerinden aşağıdai denlem yazılabilir. d d t V ρ r v d v ρ r f d v r d a (.9) () t V () t v( t) t (n) (.9) denleminin sol tarafındai ifade (.94) denleminde ϕ terimi yerine x v alınara aşağıdai ifade elde edilir.

50 39 d d t V d ρ r v d v ρ ( r v) d v U [ ] d a d t ρ r v (.) () t V () t ( t) (.9) denleminin sağ tarafında yer alan V ( t) yüzey integrali Green -Gauss integral teoremi yardımıyla hacim integraline dönüştürülüp gereli işlemler yapıldığında aşağıdai denlem elde edilir. () t ( εlp xl trp i ) d a ( εrp trp εlp xl trp r ) nr i d v V V () t σ () t n r [ ε x t ] i d a lp l rp (.) (.) ve (.) denlemleri (.9) denleminde yerine yazılır sağ taraftai ifadeler sol tarafa geçirilirse () bileşeni cinsinden aşağıdai ifade elde edilir. V ε lp r l ( ρ & ρ f t ) v p p rp r d v () t V () t ε σ () t lp x l ε pr t d v [ n t ρ v ] r rp rp p d a (.) (.) denlemindei birinci ve üçüncü integraller lineer momentumun yerel denliğini gösteren (.4) denlemi gereğince sıfırdır. Dolayısıyla (.3) denlemi aşağıdai gibi ifade edilir. V () t ε t d v (.3) rp rp (.3) denleminden açısal momentumun yerel denge denlemi aşağıdai gibi yazılır. ( t ) V içinde; ε (.4) rp t rp

51 4 (.4) denlemindei permütasyon tansörü ε rp antisimetri olduğundan eşitliğin sağlanması için gerilme tansörünün simetri olması gereir. Bu simetri İfade aşağıdai gibi tanımlanmıştır ve simetri özelliğinden dolayı ileride görüleceği üzere bünye denlemlerinin bulunmasını olaylaştıracatır ( Eringen 98 ). t rp t pr (.5) (.) denleminden sıçrama şartı olara aşağıdai ifade bulunur. [ v ] σ ( t ) üzerinde x [ n t ρu ] ε (.6) lp l r rp p (.6) denlemi (.4) denlemi ile verilen lineer momentumun orunumundai sıçrama şartı ile aynı olduğundan denge denlemlerine ilave bir atı getirmez Enerji Denliği Bu ile; herhangi bir maddesel cismin toplam ineti enerjisi ile toplam iç - enerjisinin toplamının zamana göre değişme hızının cisme etiyen dış uvvetlerin gücü ile birim zamanda cisme giren yada cisimden çıan tüm enerjilerin toplamına eşit olduğunu ifade eder. Enerji denliği matematisel olara aşağıdai eşitlile verilir. d d t ( E ) W Q (.7) a U a Burada toplam ineti enerji elemanter parçacıların d m v / ρ v d v / elemanter ineti enerjilerinin toplamıdır d v ρ v (.8) V () t

52 4 W cisme etiyen uvvetlerin birim zamandai toplam işi veya gücüdür. Dolayısıyla W büyülüğü W V. t( n ) d a ρ v. f d v (.9) v( t) V () t olara tanımlanır. Q birim zamanda cisme giren ya da cisimden çıan ısı enerjisidir. Q ii türlü oluşur. Uygun bir etileşim meanizmasıyla örneğin imyasal nüleer reasiyonlarla ya da eletri aımıyla cismin içinde ısı enerjisi üretilir veya cisimden ısı enerjisi çeilebilir. Böyle bir enerji birim zamanda cismin birim ütlesi başına h büyülüğü ile belirlenebilir. Radyasyon ve ısı iletimi yoluyla da cismin yüzeyinden cisme giren veya cisimden çıan ısı enerjisi ise q ısı aısı vetörü ile belirlenir. Bu vetör doğrultusuna di olan bir birim alandan birim zamanda geçen ısı enerjisini gösterir. Buna göre Q q.n d a ρ hd v (.) v( t) V () t yazılabilir. Gerçeten cismin v(t) yüzeyinde bir alan elemanından cisme giren ya da cisimden çıan ısı enerjisi buradai ısı aısı vetörünün alan elemanının normali doğrultusundai bileşeni ile ölçülür. Zira q vetörünün yüzeye teğet olan bileşeni cismin yüzeyini yalayıp geçen dolayısıyla cismin enerji bilânçosuna atıda bulunmayan bir ısı enerjisine arşı gelir. oplam ısı enerjisi (.) ifadesi ile tanımlandığında n yüzeyin birim dış normalini gösterdiği tadirde q. n > olduğunda bu durumun cismin içinden dışına doğru bir enerji aısına arşı geleceğine diat edilmelidir. U a büyülüleri çeşitli etileşimler nedeniyle cismin birim zamandai enerji bilançosuna atıda bulunan eletromagneti imyasal gibi başa aynalı enerjileri gösterir ve bu çalışma çerçevesinde bu tür etileşimler göz önüne alınmayacatır. E iç enerji ise gözlemler ve deneyler cisme etiyen dış uvvetlerin yaptığı işin ısı enerjisinin v.s. yalnız cismin ineti enerjisini değiştirmeye harcanmadığını açıça göstermetedir. Bu farın cismin iç enerjisini değiştirmete ullanıldığı abul edilece. İç enerji varlığı abaca cismin parçacıları arasında

53 4 çeşitli etileşimlerden aynalanan iç uvvetlerin yaptığı işe bağlanabilir. Cismin sıcalığının değişimi iç enerji değişiminin en belirgin göstergesini oluşturur. Cismin iç enerjisi genellile birim ütlesi başına ε iç enerji yoğunluğu yardımıyla belirlenebilir. E v(t) ρ ε d v (.) dolayısıyla bu verilen ifadeler (.7) enerji denleminde yerine yazılırsa enerji denliği aşağıdai şeilde elde edilir. d d t V () t ρ ( ε v ) d v. V () t [ ρ f v ρ h ] d v ( t( n ) v q. n ) V () t. d a (.) (.94) denleminde ϕ terimi yerine tarafındai ifade ε v alınır ve (.) denleminin sol d d t V () t ρ ε v d v ( & ε v. v& ) d v ρ U ε v d a (.3) V () t σ () t şelinde elde edilir. (.3) denlemindei ε& ve v& terimleri iç enerji ve hızın maddesel türevlerini göstermetedir. (.) denleminin sağ tarafındai V ( t) üzerindei yüzey integrali Green - Gauss teoremi yardımıyla hacim integraline dönüştürülere gereli işlemler yapılırsa; n ( tl v l q ) d a ( tl vl tl vl q ) d v v( t) V σ () t () t n [ t v q ] d a l l (.4) ifadesi ortaya çıar. (.3) ve (.4) denlemleri (.) denleminde yerine yazılırsa aşağıdai ifade bulunur.

54 43 V [ ρ & ε t l vl q ρ h vl ( ρ v& l t l ρ fl ) ] () t d v (.5) σ () t ρ U ε v n [ t v q ] l l d a (.5) denleminde (.4)ı ifadesiyle verilen lineer momentumun orunumu diate alınara gereli sadeleştirme yapıldığında ; V [( ρ & ε tl vl q ρ h )] () t σ () t d v ρ U ε v n [ t v q ] l l d a (.6) ifadesine ulaşılır ve gereli yerelleştirme işlemleri sonucunda ( t ) V içinde ρ & ε t v q ρ h l l (.7) σ ( t ) üzerinde; ρ U ε v n [ t v q ] d a l l denlemleri elde edilir ermodinamiğin iinci anunu (Clausius - Duhem Eşitsizliği) Entropi eşitsizliği veya Clausius - Duhem eşitsizliği de denilen bu anuna göre serbest cisim içindei entropinin zamana göre artışı cisme hacim aynalarından ve yüzeyden giren entropiden daha büyütür veya en az ona eşittir. ermodinamiğin iinci anunu matematisel olara aşağıdai gibi ifade edilir.

55 44 d d t V () t ρη d v - v h ρ d v θ () t v( ) q n. d a Γ (.8) θ (.8) denleminin sol tarafındai il terim (.94) denleminde ϕ yerine ( ) η yazılara d d t V () t V () t σ () t ( η ) ρ η d v ρη& d v ρu d a (.9) şelinde elde edilir. (.8) denleminde son integral terimi Green-Gauss teoreminden faydalanara aşağıdai gibi yazılır. q q q n. d a. d v n. d a (.3) θ v t V () t θ σ () t θ ( ) (.9) ve (.3) denlemleri (.8) eşitsizliğinde yerlerine yazılırsa aşağıdai ifade elde edilir. h q. q ρ & η ρ d v - [ ]. ρu η n d a (.3) () θ θ v t σ () t θ (.3) denleminin yerelleştirilmesi sonucunda h V ( t ) içinde; ρ & η ρ. q q. θ ρ γ θ θ θ (.3) n. q θ σ ( t ) üzerinde ρu [ η ] Bu ısımda ifade edilen denge denlemleri aşağıdai gibi özetlenere maddeler halinde yazılabilir.

56 45 -ütlenin orunumu ( t ) V içinde; ρ v ρ veya ( ρ v ) ρ t σ ( t ) üzerinde; [ U ρ ] ρ ( ) ρ ( x t ) (.33) J ( x t ) -Lineer Momentumun orunumu ( t ) V içinde; ρ v & p ρ f p trp r σ ( t ) üzerinde; [ t v U ] n l l ρ (.34) 3-Açısal Momentumun orunumu ( t ) V içinde; ε rp t rp t rp trp [ v ] σ ( t ) üzerinde; ε x [ n t ρu ] lp l r rp p (.35) 4-Enerjinin orunumu ( t ) V içinde; ρ & ε t v q ρ h l l (.36) l l σ ( t ) üzerinde; ρ U ε v n [ t v q ]

57 46 5-Entropi Eşitsizliği h V ( t ) içinde; ρ & η ρ. q q. θ ρ γ θ θ θ (.37) n. q θ σ ( t ) üzerinde; ρu [ η ] Süreli ortamlar meaniğinin temel ileleri olan ütlenin orunumu lineer momentumun orunumu açısal momentumun orunumu enerji orunumu ve entropi eşitsizliği ullanılara 5 adet denlem elde edilir. ρ ( ρ v ) t () ρ & (3) v p ρ f p t pr r ρ & ε t v q ρ h () (.38) l l Bu denlemde f ve h gibi dış uvvetlerin bilindiği abul edilmiştir. Bu denlemlere arşılı aşağıda belirtilen 6 tane bilinmeyen vardır. ρ ( ) v (3) t (6) q (3) θ () η () ε () (.39) l Elde edilen denlemler yuarıda verilen bilinmeyenlerin belirlenmesi için yeterli değildir. Denlemler sayısı ile bilinmeyen arasındai far () bünye denlemleri ullanılara apatılır.

58 47.6. Fiber Deformasyon Geometrisi ve inematiği ompozit ortam olan ele alınan malzemenin her notasından A ile gösterilen fiber ailesinden bir elemanın geçtiği düşünülmüştür. Bu fiber elemanı ele alınan malzeme boyunca A () ile gösterilen bir vetör alanı oluşturur. A ailesine ait bir fiber ailesinin parametri denleminden o fiber eğrisine ait birim teğet vetörün nasıl bulunacağı eğrilerin diferansiyel geometrisinden bilinmetedir. Bu durumda A ailesine ait fiber dağılımı geometri olara bilinirse A() vetör alanı da bu dağılımdan bulunur (Spencer 97). Malzemenin deformasyonu sırasında fiber ailesinin ortamla birlite taşındığı abul edilere fiber deformasyonuna ait geometri bağıntılar aşağıdai gibi yazılabilir. Deformasyondan önce A () olan fiber vetörü deformasyondan sonra a (x) fiber vetörüne dönüşür (Şeil.8). Fiber vetörünün dönüşümü ortamla birlite sürülenme şelinde olduğuna göre şeil (.8) dei geometriden görüldüğü gibi A- fiber ailesi için aşağıda verilen bağıntılar geçerlidir (Spencer 98). dla() dl Deformasyondan öncei fiber dla() dl 3 AdL x() x(adl) Deformasyondan sonrai fiber Şeil.8 Deformasyondan önce ve sonra fiber eğrisi (Usal 994).

59 48 ( A ) x( ) a( x)dl x dl (.4) a birim vetörünün bileşenleri cinsinden ifadesi aşağıdai şeilde yazılabilir ( Adl) x ( ) a dl x (.4) (.4) bağıntısının sağ tarafı notası civarında aylor serisine açılıp yüse mertebeden terimler ihmal edilirse aşağıdai ifadeler yazılabilir d l a d l x A d L veya a x A (.4) d L A ailesine ait fiber uzama oranı olan λa aşağıdai gibi tanımlanır (Spencer 97). d l λ a (.43) d L a Bu ifade (.4) denleminde yerine yazılırsa; λ A a λ F A (.44) a a x a bağıntısı elde edilir. Bu bağıntı A fiber ailesine ait deformasyon geometrisini veren ifadedir. A a olduğundan A A ve a a terimleri aşağıdai gibi yazılabilir. A A A a a a (.45) (.44) bağıntısı (.45) ifadesinde yerine yazılırsa;

60 49 ( λ x A ) ( x A ) a a a λa L L (.46) λ x x A A λ C a L L a L A A L ifadesi elde edilir. Buradan da aşağıdai ifade yazılabilir λ C A A λ A C A (.47) a L L a Fiber inematiği fiber uzama oranı λ a nın ve fiber vetör a nın zamanla değişimlerinin deformasyonu taiben türevleri alınara belirlenir. (.47) ifadesinin türevi alınırsa; a a CL A AL x x L λ &λ & A A (.48) L olara bulunur. Bu bağıntıdai C & L terimi x x L v l x l x L x v l x l L (.49) şelinde ifade edilebilir (.49) ifadesi (.48) da yerine yazılıp gereli ısaltmalar yapılırsa & λ a yı veren ifade aşağıdai gibi bulunur. & λ λ v a a (.5) a a l l (.44) ifadesinin türevini alıp gereli ısaltmalar yapıldığında ise & & v a (.5) a λ a λa a l l ifadesi elde edilir.

61 5 ronecerdelta' nın tanımından yararlanara v j aşağıdai gibi yazılabilir v j δ ivi j (.5) (.5) ve (.5) bağıntıları (.5) denleminde yerine yazılırsa a& en son haliyle aşağıdai gibi gözüür. ( i aai ) vi ja j & (.53) a δ Bu ısımda A fiber ailesinin deformasyonunu ve inematiğini veren bağıntılar tamamlanmış oldu. Fiber ailesinin hareet ve deformasyonu daha ileridei bölümlerde verilece olan bünye denlemlerinde yeni terimler ortaya çıaracatır.

62 5. MAERYAL VE MEO..Materyal Bu çalışmada te fiber aileli termoelasti ortamlar için matematisel bir model geliştirilmiştir. Materyal olara fiber taviyeli termoelasti bir ortam ele alınmış ve meani yülemeler sonucunda böyle bir ortamda oluşan gerilme ve ısı vetörünün tansörünün hesabını sağlayan bünye ve alan denlemleri ortaya onmuştur.... Fiber aviyeli ermoelasti Ortamların ermodinamiği ısım.5 de söz edilen denge denlemler herhangi fizisel ortam için geçerli olan denlemlerdir. Bu bölümde termodinamiğin birinci ve iinci anunu birleştirilip bünye asiyomları da ullanılara gerilme entropi yoğunluğu iç enerji ve ısı aısı yoğunluğu saptanacatır. Bu bölümde termodinamiğin ısıtlamaları ullanılara ortamın fizisel ve topoloji özellileri de ullanılara bünye denlemlerine ait genel formüller çıarılıp daha sonra bünye asiyomları ullanılara formüller somutlaştırılacatır. (.7) ifadesinden ısı aynağı terimi çeilip (.3) ifadesinde yerine yazdığımızda aşağıdai ifade elde edilir. ρ ργ (& ε θη& ) tlvl q θ (.) θ θ θ Bu ifadedei entropi yoğunluğunun maddesel türevi termodinami bir proses içerisinde ontrol edilemeyeceğinden bu türevi ontrol edilebilen büyülü olan θ cinsinden yazma için aşağıdai gibi tanımlanan bir Legendre transformasyonu ullanılır. ψ ε θη (.)

63 5 (.) ifadesi genelleştirilmiş Helmholtz serbest enerji yoğunluğu adını alır ve termodinami baımdan enerjinin ullanılabilir ısmını temsil eder. İleride belirtileceği gibi serbest enerji yoğunluğunun hangi büyülülere bağlı olduğunu malzemenin bünyesi belirleyecetir. (.) ifadesindei ε nin maddesel türevi (.) ifadesinde yerine yazılırsa entropi eşitsizliği ( termodinamiğin iinci anunu) aşağıdai şeli alır. (Şuhubi 994) ρ ρ γ θ ( ψ & θη) t v q θ & l l (.3) θ θ θ pozitif değerli olduğundan (.3) eşitsizliği θ ile çarpılır ve gereli sadeleşmeler yapıldığında aşağıdai eşitsizli elde edilir. ( ψ & θη) t v q θ ρ & l l (.4) θ (.4) eşitsizliğinde yer alan gerilme tansörü meani yülerden aynalanmatadır ve (.35) denlemiyle simetri olduğu belirlenmiştir. Hız gradyanı tansörü ise (.7) ifadesiyle simetri bir tansörle antisimetri bir tansörün çarpımı sıfır olduğundan hız gradyanı tansörünün antisimetri ısmını ihmal edere (.4) eşitsizliğindei iinci terim aşağıdai gibi yazılır. t v l l tl dl (.5) (.5) ifadesi (.4) ifadesinin yerine yazılırsa aşağıdai eşitsizli elde edilir. ρ ( ψ & θη) t d q θ & l l (.6) θ (.4) denlemi ile verilen Green deformasyon tansörünün maddesel türevi alınırsa d l cinsinden aşağıdai gibi yazılır.

64 53 & (.7) C L dl x xl L (.7) ifadesinden d l simetri şeil değiştirme hızı tansörü Ċ L cinsinden aşağıdai gibi elde edilir. & (.8) d l dl CL L l (.6) eşitsizliğinde ρ yerine (.93) ifadesini d l çarpılırsa aşağıdai eşitsizli elde edilir. yerine (.8) ifadesini yazar ve J ile ρ ( ψ & θη ) J t C& J q θ & l L L l (.9) θ ψ ye bağlı gerilme potansiyeli aşağıdai gibi tanımlanır. Σ ρ ψ (.) Bu ifade (.9) da yerine yazılırsa eşitsizli aşağıdai gibi olur. ( Σ ρ & θη) J t C& J q θ & l L L l (.) θ (.) içinde yer alan argümanların maddesel oordinatları ile uzaysal oordinatlar arasındai dönüşüm formülleri aşağıdai gibi tanımlanır. L J L l t (.) l Q J q (.3) θ (.4) x θ

65 54 (.)-(.4) tanımlarından aşağıdai ifadeler yazılabilir. t l J x xl L (.5) L q J x Q (.6) θ (.7) Q (.) eşitsizliğinde (.)(.4) ve (.6) ifadeleri ullanılara (.) eşitsizliği maddesel oordinatlarda aşağıdai şeilde elde edilir. ( Σ ρ & θη ) C& θ Q & L L (.8) θ Bu eşitsizli entropi üretiminin genel bir ifadesidir. Bu eşitsizliğin ullanılabilmesi için Σ gerilme potansiyelinin hangi bağımsız değişenlere bağlı olduğunun ve ne şeilde bağlı olduğunun bilinmesi gereir. Buna göre Σ nın argümanlarını seçme formal olara belli bir malzeme seçme demetir. Bu çalışmada te fiberli termoelasti davranış gösteren bir maddesel cisim seçilmiştir. Seçilen bu malzemeye göre Σ nın argümanları ve bağlı olduğu değişenler Eringenin (98) ve Şuhubi nin (994) daha genel ve sistemati bir yalaşım izleyere tüm bünye fonsiyonları için geliştirdileri bünye asiyomları ullanılara bulunacatır... Bünye Asiyomları Şimdiye adar elde ettiğimiz ve süreli ortamlarda geçerli olan denge denlemleri ortamın davranışını belirlememize yetmeyecetir. Bir malzemenin davranışını bilebilmemiz için o malzemeyi başa malzemelerden ayıran özellileri denlemimizin içine almamız gereir. Bir malzemenin fizisel olara geçerli bütün

66 55 davranışlarında etili olaca tüm özellilerini yansıtıcı genellite ilişilere çoğu zaman gere yotur. Malzemenin incelenme istenen davranışını belirleyen daha sade ilişiler yeterli olacatır. Çeşitli alan büyülüleri arasında geçerli olan ve göz önüne alınan malzemelerin yapısal özellilerinden aynalanan bağıntılara bünye bağıntıları veya bünye denlemleri adı verilir. ermoelasti malzemelerin bünye teorileri üzerinde çalışıren yedi adet asiyomu işleme atacağız. Bu denlemlerin cisimlerin gözlenen ve de incelenmesi arzu edilen özelilerini yansıtaca şeilde rasyonel ve sistemati olara üretilmesi ile uğraşan teori de bünye teorisi adını alır. Her asiyomda olduğu gibi bünye asiyomları da doğadan elde edilen ilel izlenimlere ve rasyonel bir dönüşüm sistemine uyumlu bazı önermelerdir (Hamamcı 4).... Nedenselli (ozalite) Asiyonu. Bu asiyom yalnız termal etileşimlerin göz önüne alındığı ortamlarda gözlemlenebilir yada ölçülebilir abul edeceğimiz hareet x ( t) ile sıcalı θ ( t) alanlarının bağımsız bünye değişenler olara seçilmesi geretiğini ve verilmiş abul edilece dış uvvetlerle ısı aynağı dışında denli denlemlerine ve entropi eşitsizliğine giren ötei alanların bağımlı bünye değişenleri olduğunu ifade eder. Başa bir deyişle bağımlı bünye değişenleri bağımsız bünye değişenleri olan hareet ve sıcalığın neden olduğu yani bu değişenlerden türeyen büyülülerdir.... Determinizm Asiyonu. Bu asiyom bir süreli ortamın belli bir parçacığındai bağımlı bünye değişenlerinin ya da bundan sonra ullanmayı tercih edeceğimiz deyimle sadece bünye değişenlerinin ortamın bütün parçacılarındai hareet ve sıcalığın ortamın tüm geçmişinde aldıları değerler ile belirleneceğini ifade eder. Yani cismin belli bir anda belli bir notasındai davranışı bütün parçacılarının o andan öncei tüm zamanlardai hareet ve sıcalılarının bilinmesiyle estirilebilmelidir. Buna göre maddesel notanın t anındai gerilme potansiyeli

67 56 [ x( t ) ( ) ] Σ( t ) Σ θ t V < t t (.9) şelinde olur. Malzemenin hafızası olmadığından [ x( t ) ( ) ] Σ( t ) Σ θ t (.) şelini alır....3 Eşbulunma Asiyonu. Bu asiyom bir malzemenin bünye denlemlerini geliştiriren başlangıçta bütün denlemlerin aynı bağımsız bünye değişenlerini içermesi geretiğini ifade eder....4 Uygunlu Asiyonu. Bu asiyom her türlü bünye denleminin süreli ortamlar meaniğinin temel ilelerine yani ütlenin orunumuna lineer ve açısal momentumun denliğine enerji denliğine ve her bağımsız termodinami süreç altında entropi eşitsizliğine uyumlu olması geretiğini ifade eder....5 Objetivite Asiyonu. Bu asiyom bünye denlemlerinin uzaysal oordinat taımının her hangi bir rijid hareeti altında form-invaryant alması geretiğini başa bir deyişle bünye fonsiyonellerinin biçiminin objetif olara eşdeğer hareetler altında değişmeden aldığını ifade eder. Dolayısıyla birbirlerine göre rijid hareet eden oordinat taımlarına yerleşmiş gözlemcilerin ortamın bu bünye denlemlerine göre gözlemledileri ya da ölçtüleri davranışlarının birbirinin aynısı olması gereir. Burada H (t) uygun bir ortogonal transformasyon matrisi ( H H H H I) det H I birim matris b(t) Öteleme matris t ise zaman orjininin t den

68 57 sabit bir a ayması ile elde edilen zaman dilimidir. Objetif olara eşdeğer x ve x hareetli x ( t ) H ( t ) x ( t ) b ( t ) t t a (.) bağıntısı ile tanımlanmatadır. Saler değerli gerilme potansiyeli Σ Σ [ x ( t ) ( t ) ] Σ[ x( t ) θ ( t ); ] θ veya [ H ( t ) x ( t ) b ( t ) θ ( t ) ] Σ[ x( t ) θ ( t ); ] (.) bağıntısı şelinde olma zorundadır. A. Uzaysal oordinatların ötelenmesi Bu durum için H ( t ) I b( t ) x( t ) alınır. Bu değerler (.) de yerine yazılırsa x ( t ) x( t ) x( t) (.3) elde edilir. (.3) denlemini (.) de yerine yazarsa gerilme potansiyeli aşağıdai şeilde olur. [ x( t ) x( t ) ( ) ] Σ( t ) Σ θ t (.4) B. Uzaysal oordinatların rijid dönmesi Bu durum için b a H (t ) : eyfi olara alınır. Bu değerler (.) de yerine yazılırsa x ( t ) H ( t ) x( t ) (.5)

69 58 elde edilir. (.5) denlemi (.) ifadesinde yerine yazılırsa gerilme potansiyeli aşağıdai şeilde elde edilir. [ H ( t ) x( t ) ( ) ] Σ( t ) Σ θ t (.6)...6 Maddesel Simetri Asiyomu Bir süreli ortamın bir parçacığına bağlı fizisel özelliler o maddesel notadan geçen doğrultulara bağlı değilse ve bu özelli ortamın bütün parçacıları için geçerli ise ortam izotroptur. Fizisel özelliler doğrultuya göre değişiyorsa anizotroptur. Ortamın fizisel özellileri parçacıtan parçacığa değişmiyorsa ortam homojendir değişiyorsa heterojendir. Bu durumda bünye denlemleri maddesel oordinat sisteminin B adar ötelenmesi ve H ortogonal transformasyonuna göre form invaryanttır. H B (.7) Bu ifade (.4) ifadesinde yerine yazılırsa aşağıdai ifade elde edilir. [ x( H B ) x ( t ) ( ) ] Σ( t ) Σ θ t (.8)...7 Yöreselli asiyomu notasındai bağımlı bünye değişenlerinin ( t qε η ) değerinin anca o parçacığın yaın yöresindei bağımsız bünye değişenlerinden ( x θ ) etileneceğini ifade eder. Bir baıma ortamı oluşturan parçacılar arasındai etileşimlerin ısa erişimli olduğu anlamına gelir. Matematisel bir yapı azanabilmesi için ortamın notası civarındai hareeti aylor serisinde açarsa x ( ' ' t ) x ( t ) x ( t )( ) ' ' x L ( t )( )( L L )... (.9)

70 59 şelinde yazılabilir. Benzer şeilde sıcalı içinde civarında aylor serisini açarsa θ ( t ) θ ( t ) θ ( t )( θ L ( ) t )( )( L L )... (.3) şelinde olur. (.9) ve (.3) ifadesinde yöreselli asiyomu nedeniyle sağ taraftai il ii terim ullanılır. (.9) ifadesinin il ii teriminin alınmasıyla oluşan malzemeye basit termomeani malzemeler denir (Eringen 98). Yöreselli asiyomuna göre Σ nın argümanlarına olan bağımlılığı mesafe arttıça hızla sönümlenmetedir. ve arasındai x ( t ) x ( t ) x ( t )( ) θ ( t ) θ ( t ) θ ( ) (.3) Buna göre gerilme potansiyeli indes notasyonuyla yazılırsa Σ ( t ) Σ[ x ( t ) G ( t ) D θ ( t )] (.3) şelini alır. Bu ifadede G θ I (.33) şelinde tanımlanır. ' (.3) ifadesindei D vetörü (.3) ifadesindei ( ) şelindei terimleri temsil eden vetördür. D vetörü malzemenin anizotrop özellilerin bünye asiyomlarından aynalandığını göstermetedir. Buradan görüldüğü gibi objetivite asiyomu ortamın anizotropisini temsil etme imanını ortaya çıarmatadır. Bu

71 6 çalışmada seçilen malzeme homojen ve fiber taviyeli olması nedeniyle güçlü bir anizotropi özelliği göstermetedir. e fiber ailesi için D vetörü aşağıdai gibi tanımlanabilir (Öntür 993; Usal 994). D A ) (.34) ( Bu çalışmada göz önüne alınan malzemenin için maddesel tasvir vetörü olan D vetörü (.34) ifadesiyle yapılan tanımlamadan da görülebileceği gibi ısım (.6) da bahsedilen A ) fiber vetörünü temsil etmetedir. Malzeme fiber taviyesi ( ile ompozit hale geldiğine göre fiber dağılımı ile yönlü bir ortam özelliği azanmıştır. Objetivite asiyomu (.3) ifadesine bir ısıtlama daha getirir. Bu ısıtlamaya göre gerilme potansiyeli deforme olmuş malzemenin rijit hareetleri altında invaryant almalıdır. Bu durumda uzaysal oordinat sisteminin zamana bağlı transformasyonları altında Σ nın invaryant alması gereir. Cauchy teoremine göre bu şartın sağlanması ve Σ nın il argümanının te değerli bir fonsiyonu olabilmesi için x x i ya olan bağımlılığı x vetörlerinin aşağıda belirtildiği gibi iişer iişer saler ve üçlü arışı çarpımlarına bağımlılığı şelinde olması demetir (Şuhubi 994). x C (.35).x L L x. x L x M (.36) (.3) ifadesindei diğer argümanlar maddesel oordinatlarda ifade edildiğinden Cauchy teoremi bu argümanlar için söz onusu değildir ve bu argümanlar aynen yerinde alır. (.35) ifadesi Green deformasyon tansörünün tanımıdır ve (.4) ifadesi ile verilmiştir (Şuhubi 994). (.36) ifadesi ise deformasyon gradyanının determinantını tanımlamata olup (.6) ve (.93) denlemlerinde gösterildiği gibi aşağıdai gibi ifade edilir (Şuhubi 994).

72 6 ρ ( ) ε ρ ( t ) 3! J d et ε LM lm x xl Lxm M (.37) (.4) (.34) ve (.37) ifadesinden faydalanara (.3) ifadesi aşağıdai şeilde yazılabilir. [ C ( t ) ρ ( t ) G ( t ) A ( ) θ ( t ) ] Σ ( t ) Σ (.38) L utarlılı asiyomuna göre daha önce ütlenin orunumu yasasını J ρ d et C L ρ ( t ) şelinde belirtmiştir (.38) ifadesinde de C L nin mevcut olması nedeniyle ρ değişenler listesinden çıartılabilir. Ayrıca malzeme fiber doğrultusundai ii farlı yönü seçemeyeceğinden dolayı A ( ) vetör alanı yerine bunun dış çarpımları olan ve; Z ( ) Z ( ) I I A( ) A( ) A A I I (.39) L L L L şelinde tanımlanan simetri tansör alanı ullanılır. Bu durumda meani bir yülemeye maruz te fiber aileli termoelasti bir ortamın gerilme potansiyelinin hangi argümanlara bağlı olduğu aşağıdai denlem ile ortaya çımıştır. [ C ( t ) G ( t ) Z ( ) θ ( ) ] Σ ( t ) Σ t (.4) L L (.8) eşitliğinde bağımsız değişenlerinin değişiminin bir lineer ombinezonu olara ifade edebilme için Σ nın (.4) ifadesiyle belirtilen argümanların maddesel türevinin bilinmesi gereir. Malzemelerin homojen olduğu abul edilere (.38) ifadesine verilen Σ nın bağlı olduğu argümanlardan aldırılır. Z L fiber tansörü

73 6 zamana bağlı olmadığı için (.4) ifadesinin maddesel türevini alırsa aşağıdai ifadeyi elde ederiz. & Σ Σ C C& Σ θ L L & Σ G & θ θ (.4) Bu ifadeyi (.8) eşitliğinde yerine yazarsa aşağıdai eşitsizli elde edilir. ( L Σ C L Σ Σ ) C& ( ) L ρ η & θ G& G Q (.4) ρ θ G θ (.4) eşitsizliğindei argümanları θ yı & θ şelinde C L yi C & L şelinde G yı G & şelinde eyfi olara değiştirebileceğimizden (.4) eşitsizliğinin sağlanabilmesi için θ & nın olamaz çünü değiştirilemez. C & L nın G & nın atsayıları sıfır olacatır. G nın atsayısı sıfır G Σ nın argümanlarında mevcut olduğu için G eyfi bir şeilde C & L nın & θ nın ve G & nın atsayıları sıfıra eşitlenece aşağıdai ifadeler elde edilir. L Σ (.43) C L Σ η ρ θ (.44) Σ G (.45) elde edilir.

74 63 (.45) ifadesinden gerilme potansiyelinin G ya bağlı olmadığı görülmetedir. Buna göre gerilme potansiyelinin bağlı olduğu argümanlar Σ Σ [ C L Z L θ ] (.46) şelinde ifade edilir. Bu durumda (.4) eşitsizliği aşağıdai hale indirgenir. G Q θ (.47) (.47) ifadesi ısı vetörü için Clausius - Duhem eşitsizliğini verir ve ısı vetörünün hangi argümana bağlı olduğu aşağıdai şeilde ifade edilir. Q Q ( C Z G θ ) (.48) l L (.47) eşitsizliği (.48) ifadesi diate alınara G Q ( C Z G θ ) veya Q( C Z G θ ) G (.49) L L şelinde yazılır. (.49) eşitsizliğinde G Q ise Q ( C Z θ ) (.5) L L şelinde yazılabilir. Diğer taraftan bünye denlemlerinden olan iç enerji (ε ) ; (.) ve (.) ve (.44) ifadelerinden aşağıdai gibi yazılabilir.

75 64 ε Σ θη ρ (.5) Bu ifade ρ parantezine alınırsa ε ( Σ ρθη ) (.5) ρ ifadesi elde edilir. Bu ifadede η terimi yerine (.44) ifadesi yerine yazılırsa iç enerji aşağıdai formda ortaya çıar. ε ρ Σ Σ θ (.53) Meani yülemelerin etisinde alan te fiber ailesi ile anizotrop hale getirilmiş olan termoelasti bir ortama ait maddesel ve uzaysal oordinatlardai bünye denlemlerinin topluca bir arada gözümesini sağlama için yuarıda elde edilen denlemler aşağıda terar yazılmıştır. Σ Σ ( C L Z L θ ) (.54) Σ η ρ θ (.55) Σ ε ( Σ θ ) (.56) ρ θ Q Q ( C Z G θ ) (.57) L L G Q ( C Z G θ ) (.58) L L

76 65 Q ( C Z θ ) (.59) L L L Σ (.6) C L Σ t l J x xl L C L (.6) Bu aşamada incelenen malzemenin uyma zorunda aldığı maddesel simetri ısıtlamalarından bahsetme uygun olacatır. I tercihli doğrultulara arşılı gelen bir maddesel oordinat taımını yeni bir maddesel oordinat taımına dönüştüren ve yapının fizisel özellilerini invaryant bıraan ortogonal matrislerden oluşmuş sonlu bir grup olsun. Bu gruba incelenen ristal yapının simetri grubu denir ve ortogonal grubun bir alt grubunu oluşturur dolayısıyla I O(3) yazılabilir. Simetri grubu tam ortogonal gruba eşitse malzeme izotroptur. I simetri grubunun üyesi olan ve sonlu sayıda S I matrislerinden oluşmuş bir simetri grubu diate alındığında bünye fonsiyonellerinin aşağıdai oordinat dönüşümleri altında şelen değişmez alması geretiği görülmeledir (Şuhubi 994). S ' L L S S L L ' L ' S S S I (.6) (.6) ile verilen maddesel simetri ısıtlaması Σ Σ ( C L Z L θ ) ve Q Q ( C Z G θ ) bünye fonsiyonellerini aşağıdai gibi ifade etmeyi L L geretirir (Erdem Usal ve Usal 5). ' ' ' Σ Σ Σ( C Z θ ) Σ( C Z θ ) (.63) ' ' ' ' Q SQ Q ( C Z G θ ) SQ ( C Z G θ ) (.64)

77 66 Bu bünye fonsiyonellerinin argümanları ise (.6) ile verilen dönüşüm diate alınara aşağıdai gibi yazılır. C S S C C S C S ' L M LN MN ' (.65) Z S ' L M S LN Z MN Z ' S Z S (.66) G S G G SG (.67) M ( ) de verilen ifadeler (.63) ve (.64) bünye fonsiyonellerinde yerine yazıldığında aşağıdai ifadeler elde edilir. Σ ( S C S S Z S θ ) Σ ( C Z θ ) (.68) Q( S C S S Z S S G θ ) Q ( C Z G θ ) (.69) Bu çalışmada incelenen malzeme fiber taviyesi ile anizotrop bir özelli azanmıştır. Bu sebepten anizotropi yapıyı temsil etme için bünye fonsiyonellerinin seri açılımı yapılacatır. Bu işlemlerin detaylarına girmeden önce fiber ailesinin uzamazlığı ve ortamın sıışmazlığı diate alındığında gerilmenin bünye denleminin aldığı formları açığa çıarma uygun görülmetedir. Gere fiberlerin uzamazlığı ve gerese de ortamın sıışmazlığı Spencer (97) Şuhubi (994) ve birço araştırmacı tarafından maul abuller olara görülmetedir. Bu abuller bünye denlemleri üzerine bazı ısıtlamalar getirmele birlite pratitei uygulamalar açısından önemli bir yalaşım ve basitleştirme sağlanmıştır. Gerime genel denleminin irchhoff şeli Şuhubi (994) tarafından

78 67 L Σ Σ ( F ) (.7) x F Şeilde verilmete ve bu bağıntı Cauchy gerilme tansörü ile aşağıdai gibi ilişilendirilmetedir. ρ ρ t l xl x Σ (.7) Fiber ailesi uzamaz alındığı zaman referans onumunda fiberlerin doğrultusu A birim vetör alanı ile verildiğine göre ortamın herhangi bir notasından geçen fiber doğrultusunda germe olmalıdır. Bu durumda germe ve Green şeil değiştirme tansörü arasındai bağıntı aşağıdai gibi ifade edilebilir. λ C A A (.7) ( a) L L ortam sıışmaz olduğu tadirde ise J veya det C III (.73) şartı sağlanmalıdır. Buna göre (.7) denleminde Σ yerine endisine eş değer olan ve faat sözü edilen ısıtlamaları içeren aşağıdai fonsiyon alınabilir Σ p ( x t )( J ) Γa ( x t )( CL A AL ) (.74) Bu ifadede p ve Γ çarpanları adını alır. (.74) fonsiyonun yerine yazılırsa a uzay ve zaman değişenlerinin eyfi fonsiyonları Lagrange x ya göre türevi alınıp (.7) ifadesinde

79 68 t l Σ pδ a a x x (.75) C l Γa l l. L L ifadesi elde edilir. Bu ifade fiber ailesi uzamaz ve ortam sıışmaz abul edildiğinde gerilme tansörünün uzaysal oordinatlardai formudur. (.75) ifadesinin maddesel oordinatlardai formu ise aşağıdai gibi elde edilmiştir. L pc L Γ a A A L Σ C L (.76) (.39) tanımı gereğince (.76) ve (.75) denlemleri aşağıdai gibi yazılabilir. L pc L Γ a Z L Σ C L (.77) t l Σ pδ Z x x (.78) C l Γa l l. L L (.77) ve (.78) denlemleriyle uzaysal ve maddesel formda verilen gerilme tansörünün açıça ortaya onulması için p Γ a ve Σ C L nin hesaplanması gereir. p ve Γ a Lagrange çarpanları alan denlemlerinden ve sınır şartlarından hesaplanır. Son terim hesaplanması için argümanları belli olan Σ nın C L ye göre türevi alınmalıdır. Öncelile ortamın izotrop yada anizotrop olduğu belirlenmesi gereir. Bu çalışmada te fiber aileli termoelasti ortamın anizotrop olduğu abul edilmiştir. Ortam anizotrop olduğundan Σ nın argümanları aylor serisine açılacatır.

80 69.. Metot Bu çalışmada tüm ortamlar için geçerli olan genel balans denlemleri ermodinamiğin iinci prensibi (Clausius-Duhem eşitsizliği) bünye teorisinin asiyomları ve özellile objetivite maddesel simetri asiyomları ve malzemenin simetri grubuna ilişin avramlar bünye denlemlerinin ortaya onulmasında bir yöntem olara ullanılmıştır. Ele alınan malzemenin fiber taviyesinden dolayı anizotrop bir ortam olduğu düşünülmüştür. Anizotrop bir ortamda bünye fonsiyonellerinin (gerilme potansiyeli) ısı vetörü formunun elde edilmesi için yalaşı teorilerden faydalanılacatır. Yalaşı teoriler elde etmede en sistemati yalaşım; ortamın referans onumunu doğal durumu olara seçme ve bu durumda strain tansörü E G ve Z olduğu için gerilme potansiyelini ve ısı vetörü doğal durum etrafında genleme tansörünün fiber tansörünün ve sıcalı gradyanının bileşenleri cinsinden bir aylor serisine açmatır. Lasti gibi bazı elastomerler dışındai atı cisimlerin çoğu anca ço üçü genlemeler için elasti davranış gösterdilerinden böyle bir serinin il biraç mertebeden terimi ile yetinme genellile yeterli olur. Seri açılımıyla ortaya onulan gerilme potansiyeli ve ısı vetörü ortaya onulmuş olur. Ortamın referans onumu bir üniform sıcalığında ve gerilmesiz doğal durumda seçilip bu onumdan itibaren üçü yer ve şeil - değiştirmeler ve de üçü sıca değişimleriyle ayrıldığını farzedilmiştir. üçü sıcalı değişiminden astımız θ > << şelindedir. Seri açılımında alınan terimlerin türü ve sayısı ortamın lineerli durumuna göre belirlenmiştir. Gerilme potansiyelinin deformasyon tansörüne göre türevi alınıp gerilme denleminde yerine yazılara gerilmenin lineer bünye denlemi elde edilmiştir. Gerilmenin ve ısı vetörünün lineer bünye denlemleri lineer momentum ve enerjinin orunumu denlemlerinde yerlerine yazılara alan denlemleri elde edilmiştir.

81 7 3. Bulgular 3.. Anizotropi Ortamlarda Gerilmenin Bünye Denlemleri Bu çalışmada ele alınan malzemenin te fiber ailesi ile taviye edilmiş olmasından dolayı anizotropi özelliği taşıdığı bilinmetedir. Anizotrop ortamlarda argümanları belli olan bünye fonsiyonu olara ortaya çıan gerilme potansiyelinin ve ısı vetörünün belirlenmesi yalaşı teorilerle yapılabilir. Yalaşı teoriler elde etmenin en sistemati yolu referans onumunu doğal durum olara seçilip gerilme potansiyeli ve ısı vetörünü bu doğal durum etrafında bağlı olduğu argümanların bileşenleri cinsinden bir uvvet serisine açmatır (Erdem Usal ve Usal 5). C tansörü E tansörü cinsinden aşağıdai ifadeler geçerlidir. C δ E şelinde ifade edilebildiğinden L L L Σ Σ ( E L Z L θ ) (3.) Σ Σ (3.) C L E L E L ve Z L maddesel oordinatlara bağlı olduğundan oordinat dönüşümlerinden bu terimler etilenir. (3.) fonsiyon E Z cinsinden analiti abul edilere E Z civarında bir aylor serisine açılırsa aşağıdai ifade elde edilir. Bu açılımda meani etileşimlerin lineer olduğu abul edilmiştir. Dolayısıyla birinci ve iinci mertebeden terimler alınmıştır. Σ( E L Z L Σ EL E θ ) Σ MN E L E Σ E MN L Σ Z Z SN E L ML Σ Z Z SN SN Z ML Z SN E L Σ Z SN E L Z SN... (3.3)

82 7 (3.3) seri açılımındai ısmi türevler parçacığına ve sabit θ bağlı birer atsayı oldularından Σ( EL ZSN θ ) Σ ( θ ) Σ ΣLMN ( θ ) EL E L ( θ ) E MN λ Ω L SNML LSN λ SN ( θ ) Z ( θ ) E ( θ ) Z SN L Z Z ML SN SN... (3.4) ifadesi yazılabilir. Ortam homojen olduğunda (3.4) ifadesindei atsayı fonsiyonlarının e olan bağımlılığı alar. (3.3) ve (3.4) ifadelerinden bu atsayılar aşağıdai gibi tanımlanır. Σ Σ( ) (3.5) Σ Σ L (3.6) E L Σ λ SN (3.7) Z SN Σ Σ LMN (3.8) E E L MN Σ λ SNML (3.9) Z Z SN ML Σ Ω LSN (3.) E Z L SN E tansörünün simetrisi ve (3.5)-(3.) ifadelerindei tanımlarda türevlerin sıraya bağlı olmaması nedeniyle bu atsayılar aşağıda verilen simetri özellilerini taşır.

83 7 Σ L Σ L (3.) λ SN λ NS (3.) Σ Σ Σ Σ (3.3) LMN LMN LNM MNL λ λ λ λ (3.4) SNML NSML SNLM MLSN Ω Ω Ω Ω (3.5) LSN LSN LNS SNL 3... Lineer ermoelastisitede Gerilmenin Bünye Denlemi: Ortamın referans onumunu bir üniform sıcalığında ve gerilmesiz doğal durumda seçilim ve bu onumdan itibaren üçü yer ve şeil - değiştirmeler ve de üçü sıca değişimleriyle ayrıldığını farzedelim. üçü sıcalı değişiminden astımız θ > << şelindedir. Süreli ortamlar meaniğinde lineer teori için aşağıdai bağıntılar yazılabilir (Şuhubi 994). ~ E L EL ( U L U L ) (3.6) e ~ l el l ( u l ul ) (3.7) l λ λll E ~ L (3.8) ~ E λ λ e~ (3.9) L ll l

84 73 x u λ (3.) Λ U (3.) x x λ λ (3.) l L ll L l λ λll (3.3) ~ E ~ L EL λ λll el λ λll ( u l ul ) (3.4) x x A A x x a a λ λ λ z p P r R L p P r R L l l a pp rr ll l a λ λ λ için (3.5) ısım (.) de sıışmaz ve uzamaz fiber aileli ortamlar için elasti gerilmenin uzaysal formunu veren (.78) denleminde (3.) bağıntısı yerine yazılara aşağıdai gibi ifade edilir. t pr Σ pδ Z x x (3.6) E pr Γa pr p P r R PR (3.6)-(3.5) denlemlerinden (3.6) ve (3.) denlemlerini aşağıdai şele dönüştürebiliriz. t pr Σ pδ pr Γa Z pr (3.7) pr Lineer teoride Σ nın bağlı olduğu argümanlar uzaysal formda aşağıdai gibi yazılabilir. Σ Σ( l Z l θ ) (3.8)

85 74 (3.8) fonsiyon Z cinsinden analiti abul edilere Z civarında bir aylor serisine açılırsa aşağıdai ifade elde edilir. Σ( l Z sn θ ) Σ Σ l mn ( θ ) l mn Σ l Σ Z Z sn l Σ Z ml Z sn sn Z ml Z sn l Σ Z sn l Z sn... (3.9) (3.9) açılımındai ısmi türevler parçacığına ve değişen θ sıcalığının fonsiyonları olacatır. (3.9) ifadesi aşağıdai şeilde de yazılabilir. Σ( l Zsn θ ) Σ( θ ) Σ l ( θ ) λ snml l ( θ ) Z λ ( θ ) Z sn sn Z ml sn Ω Σ lsn lmn ( θ ) ( θ ) l Z sn l mn... (3.3) (3.3) denlemindei Σ l λsn Σlmn λsnml Ωlsn uzaysal malzeme tansörleri Σ λ Σ λ Ω tansörleri ile aynı simetri özellilerini taşır ve aşağıdai L SN LMN gibi tanımlanır. SNML LSN Σ l λ λ Σ (3.3) ll L λ λ λ λ (3.3) sn ss nn SN Σ lmn λ λ λ λ Σ (3.33) ll mm nn LMN λ λ λ λ λ λ (3.34) snml ss nn mm ll SNML Ω lsn λ λ λ λ Ω (3.35) ll ss nn LSN

86 75 Gerçe bir lineer teoriye ulaşma için (3.3) ifadesi sonsuz üçü genleme tansörü ile sıcalı değişimi cinsinden en fazla uadrati bir ifade olmalıdır. Bu amaçla (3.3) ifadesindei θ ya bağlı olan atsayıları sırasıyla alaca olursa:... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Σ Σ ψ ρ ψ ρ ψ ρ θ (3.36) (3.36) ifadesindei ısmi türevler aşağıdai gibi tanımlanır. ) ( ) ( η ψ (3.37) ) ( ) ( C ψ (3.38) (3.37) ve (3.38) ifadeleri (3.36) da yerine yazılırsa Σ Σ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C ρ η ρ ψ ρ θ (3.39) ifadesi elde edilir. l Σ atsayısı ise... ) ( ) ( ) ( ) ( Σ Σ Σ Σ l l l l θ (3.4)... ) ( ) ( ) ( Σ l l l β γ θ (3.4)

87 76 Şelinde ifade edilebilir. (3.4) ifadesindei atsayılar aşağıdai gibi tanımlanır. γ ) Σ ( ) γ ( ) (3.4) l ( l l Σl ( ) β l ( ) βl ( ) (3.43) λ s n atsayısı aşağıdai gibi tanımlanır. λsn ( ) λ sn ( θ ) λsn ( ) λsn ( )... (3.44) λ θ ) Λ ( ) ξ ( )... (3.45) sn ( sn sn (3.45) ifadesindei atsayılar aşağıdai gibi tanımlanır. Λ ) λ ( ) Λ ( ) (3.46) sn ( sn ns λsn ( ) ξ sn ( ) ξns ( ) (3.47) (3.3) denleimdei Σ lmn atsayısı; Σ l m n lsn Ω ve λ snml atsayıları ise Σ θ ) Σ ( ) Σ ( ) (3.48) lmn ( lmn lmn Şelinde ifade edilir. Ω atsayısı ise lsn Ω θ ) Ω ( ) Ω ( ) (3.49) lsn ( lsn lsn

88 77 olara ifade edilir ve λ snml atsayısıda λ θ ) λ ( ) λ ( ) (3.5) snml ( snml snml aşağıdai şeilde tanımlanmıştır. Bu ifadelerdei ψ ) η ( ) ve c( ) ( saler; γ ( ) β ( ) Λ ( ) ξ ( ) Σ ( ) Ω ( l l sn sn lmn lsn ) ve λ ( ) tansörel malzeme sabitleridir ve bu atsayılar ortamın başlangıçta snml mutla sıcalığında verilmiş olup heterojen malzemelerde ortamın parçacılarına bağlıdır. Homojen ortamlarda ise e bağlılığı ortadan alar. Notasyonda olaylı sağlama için bundan böyle atsayıların ( ) argümanlarını göstermeten açınacağız. (3.37)-(3.5) ifadeleri (3.3) de yerine yazılırsa aşağıdai ifade elde edilir. Σ( l Z sn ρ c ) ρψ ρη γ l l βl l Λsn Zsn (3.5) ξsn Zsn Σlmn l mn λsnml Zsn Zml Ωlsn l Zsn... Buradan Σ pr γ β Σ Ω Z (3.5) pr pr prmn mn prsn sn (3.5) ifadesi (3.7) de yerine yazılırsa gerilme için aşağıdai ifade elde edilir. t pr pδ Γ Z γ β Σ Ω Z (3.53) pr a pr pr pr prmn mn prsn sn

89 78 Artı ile tanımlayacağımız doğal durumda gerilme tansörünün sıfır olacağını göz önünde tutarsa γ olur. Bu durumda (3.53) denlemi pr t pr pδ Γ Z β Σ Ω Z (3.54) pr a pr pr prmn mn prsn sn (3.54) ifadesindei Σ prmn atsayısı Σ prmn Σ prnm (3.55) şelindei simetri özelliği nedeni ile bu denlemdei aşağıdai terim Σ ~ Σ (3.56) prmn e mn prnm um n şelinde ifade edilebilir. (3.54) bünye denlemi yer değiştirme gradyanının bileşeni cinsinden aşağıdai hale dönüşmüş olur. t pr p pr a z pr β pr Σ prmn um n δ Ω z (3.57) prsn sn (3.57) denlemi te fiber aileli termoelasti bir anizotrop ortamda ortamın sıışmaz ve fiber ailesinin uzamaz abul edildiği durumda gerilmenin lineer bünye denlemidir. (3.57) ifadesine diat edilirse sağ taraftai birinci ve iinci terimlerin ortamın sıışmazlığından ve fiber ailesinin uzamazlığından aynalanan terimler olduğu görülmetedir. Üçüncü terim sıcalı etilerinden aynalanan etiyi dördüncü terim genleme tansörünün gerilmeye olan atılarını ifade etmetedir. Beşinci terim fiber tansörünün gerilmeye olan atısını göstermetedir. Eğer ortamın fibersiz olduğu abul edilirse (3.57) ifadesi sıışmazlıtan aynalanan sıcalığın ve genleme tansörünün elasti gerilmeye olan atılarını gösteren birinci üçüncü ve dördüncü terimleri içerece hale indirgenir. Buna göre (3.57) ifadesindei terimler bu çalışmada söz onusu abuller altında ortaya çımış olup özel hallerde bilinen lasi ifadelere indirgenmetedir. Bu da oluşturduğumuz modelin güvenirliliğini sağlamata olduğu anaatimizi destelemetedir.

90 79 Bundan sonrai ısımda anizotrop ortamlarda ısı vetörü elde edilecetir. 3.. Anizopropi Ortamlarda Lineer Isı Vetörünün ayini ısım 3. de gerileme potansiyeli için yapılan yalaşım burada ısı vetörü için yapılmıştır. Buna göre ısı vetörü; doğal durum olara seçilen referans onumu etrafında bağlı olduğu argümanların bileşenleri cinsinden bir uvvet serisine açılara bulunabilir. ısım. de ısı vetörünün bağlı olduğu argümanlar entropi eşitsizliği ve bu eşitsizliğin ortaya çıardığı ısıtlama aşağıdai gibi verilmiştir. Q R Q ( E Z G θ ) (3.58) R Q( E Z G θ ). G (3.59) Q ( E Z θ ) (3.6) R Q R (3.58) fonsiyonu E Z G civarında Q R QR QR QR ( θ ) GL ELM Z... (3.6) G E Z QR LM L LM LM şelinde aylor serisine açılabilir. Lineer teoride E yerine E ~ aşağıdai ifade yazılabilir. alınabildiğinden Q R Q R ~ ( E Z G θ ) B R ( θ ) B RL ( θ ) G L B D RLM RLM ~ ( θ ) E ( θ ) Z LM LM... (3.6) (3.6) denleminde aşağıdai tanımlamalar ullanılmıştır. Q ( θ ) B ( θ ) (3.63) R R

91 8 B RL QR ( θ ) (3.64) G L B RLM QR ( θ ) (3.65) E LM D RLM QR ( θ ) (3.66) Z LM E ~ ve Z tansörlerinin simetrisi nedeniyle aşağıdai simetri şartları geçerlidir. B RLM B RML (3.67) D RLM D RML (3.68) (3.6) ısıtlaması nedeniyle G Q olduğuna göre (3.6) bağıntısından aşağıdai ifade yazılır. ~ B ( θ ) B ( θ ) E D ( θ ) Z... (3.69) R RLM LM RLM LM (3.69) ifadesi eyfi her deformasyon ölçüsü için sıfır olduğundan bu denlemdei atsayılar sıfır olmalıdır. O halde; B ( θ ) B ( θ ) D ( θ ) (3.7) R RLM RLM (3.6) denleminde (3.7) bağıntısındai atsayıların bağlı olduları terimler sıfır olacağından (3.6) denlemi aşağıdai gibi yazılır. ~ (3.7) Q R QR ( E Z G θ ) BRL( θ ) GL BRL ( θ ) θ L

92 8 (3.7) ifadesi (3.59) ifadesinde yerine yazılırsa; BRL B RL ( L R θ ) θ θ veya (3.7) ( θ ) G G L elde edilir. O halde B ( θ ) tansörü her sıcalı gradyanı için; RL BRL θ θ veya B θ θ (3.73) R L ( RL) R L oşulunu sağlamalıdır. B RL tansörü ısı iletim atsayıları tansörü adını alır. (3.73) eşitsizliği bu tansörün simetri ısmının pozitif tanımlı olduğunu ifade eder. Lineer teori için edilir. B RL atsayısı Σ PR atsayısına benzer şeilde aşağıdai şeilde ifade B RL BRL ( ) ( θ ) BRL( ) BRL ( )... (3.74) Ayrıca θ L atsayısı ise θ (3.75) R ( ) R R şelinde yazılabilir. (3.74) ifadesi (3.7) eşitsizliğinde yerine yazıldığında (3.74) ifadesindei son terim ( L )( ) şelinde nonlineer terim oluşturacağından ihmal edilmesi gereir. Bu durumda ısı iletimi vetörü aşağıdai gibi yazılır. Q R BRL ( ) L (3.76)

93 8 Isı vetörünün uzaysal formu ısım (.) de aşağıdai gibi ifade edilmiştir. q r J xr R Q (3.77) R Ortam sıışmaz abul edildiğinde bu ifadelerdei J dir. Buna göre q r xr R Q (3.78) R yazılır. (3.76) denlemi (3.78) denleminde yerine yazılırsa (3.6)-(3.5) ifadeleri ullanılara uzaysal ısı vetörü alanının lineer bünye denlemi aşağıdai gibi bulunur. q r λrr λll BRL l (3.79) (3.79) ifadesi aşağıdai şeilde ifade edilir. q r Brl ( ) l (3.8) (3.8) denlemindei B rl uzaysal malzeme tansörü B RL tansörü ile aynı simetri özellilerini taşır ve (3.79) denleminden aşağıdai gibi tanımlanır. B rl λ λ B (3.8) rr ll RL (3.8) denlemine Fourier ısı-iletim yasası olup lineer ısı iletimini belirtir ve vetörel formda aşağıdai şeilde yazılır. q B (3.8) Alan denlemlerinin elde edilmesine geçmeden önce (3.57) denlemindei tansörünün anlamına bir göz atalım. Önce aynı simetri özelliğine sahip olan β pr Σ prmn tansörünün tersi olan ve bu tansörle Σ prmn tansörünü aşağıdai gibi tanımlayalım.

94 83 Σ prmn Σ mnl ( δ δ δ δ ) p rl pl r Σ prmn Σrpmn Σmnpr Σ prnm (3.83) Fizisel olara ölçülmesi olduça olay olan termal genleşme atsayılarının oluşturduğu α pr tansörünü aşağıdai gibi tanımlayabiliriz. α Σ β α (3.84) pr prmn mn rp (3.84) denleminin tersini bulabilme için Σ qypr tansörü ile eşitliğin her ii tarafı çarpılır. Bu durumda β qy Σ α (3.85) qypr pr (3.85) ifadesi uygun indis değişimi ile aşağıdai gibi yazılabilir. β pr Σ α (3.86) prmn mn (3.86) ifadesi (3.57) denleminde yerine yazılırsa aşağıdai denlem elde edilir. t pr p δ Γ z Ω z Σ ( u α ) (3.87) pr a pr prsn sn prmn m n mn ısım. de (.34) ifadesi ile verilen Cauchy hareet denlemi (.35) ifadeside göz önünde bulundurulara uygun indis değişimi ile aşağıdai gibi yazılır. ρ v& f (3.88) p t pr r ρ p ütlenin orunumundan: ρ ρ J ve sıışmazlıtan J olduğunu diate alara aşağıdai ifade yazılabilir. ρ ρ (3.89)

95 84 Ayrıca; v p u p u p u& u p u (3.9) t t şelindedir. (Şuhubi 994). Buna göre (3.88) ifadesindei (3.9) ifadelerinden aşağıdai gibi yazılabilir. ρ v& p terimi (3.89) ve u p ρ v& p ρ (3.9) t Bu durumda ço üçü hareetler yapan sıışmaz termoelasti bütün ortamlarda hareet denlemi aşağıdai gibi elde edilir. u p ρ ρ f p t pr r (3.9) t (3.9) denleminde t pr r terimi (3.57) denleminden ortamın homojen ve izotermal olduğu göz önünde bulundurara t pr r p p Γa ) r z pr Γa z pr r Σ prmn ( um nr mn r ) ( α Ω z (3.93) prsn sn r şelinde ifade edilir. (3.93) denlemi (3.9) denleminde yerine yazılırsa aşağıdai alan denlemi elde edilir. u p ρ Σ prmn ( um nr αmn r ) ρ fp p p ( Γa ) r z pr Γa z pr r Ω prsn z sn r (3.94) t

96 85 (3.94) ifadesi ile u p Γa bilinmeyenlerini ihtiva eden alan denlemi bulunmuş olur. Bu alan denleminin probleme uygun olara verilen il ve sınır şartları altındai çözümü göz önüne alınaca sınır değer probleminin matematisel yapısını oluşturur. (.36) ve (.5) denlemlerinden enerjinin orunumu uygun indis değişiliği ile aşağıdai gibi yazılabilir. ρ & ε t d q ρ h (3.95) pr pr r r Lineerleştirilmiş genleme hızı tansörünü aşağıdai gibi ifade edebiliriz. E (3.96) t PR d pr P r R r (.5) ifadesi (3.96) denleminde yerine yazarsa gereli işlemler yapılırsa aşağıdai şeilde de ifade edilebilir. d pr pr pr e ~ pr ise t d pr ( u p r ) t (3.97) Lineer teoride iç enerjinin maddesel türevi aşağıdai gibi ifade edilebilir. ε& ε t (3.98) (.56) ve (.55) ile verilen iç enerji ve entropi denlemleri θ ve θ olduğundan aşağıdai gibi yazılır. ε Σ Σ Σ ( ) Σ ( ) ρ θ ρ (3.99) η Σ Σ ρ θ ρ (3.)

97 86 (3.) denlemi (3.99) denleminde yerine yazılırsa aşağıdai ifade elde edilir. η ρ ε ) ( Σ (3.) (3.5) denlemiyle verilen Σ nın ye göre türevi alınıp gereli işlemler yapılırsa aşağıdai ifade elde edilir. sn sn l l Z u c ρ ξ ρ β η η (3.) (3.) ifadesi (3.) denleminde yerine yazılırsa iç enerji aşağıdai gibi elde edilir. sn l lsn ml snml sn sn n m l lmn l l Z u Z u u u c ) ( ) ( Ω Λ Σ λ ξ ρ ρ ρ β ε ε (3.3) (3.3) ifadesinin maddesel türevi alınırsa aşağıdai ifade elde edilir. sn l lsn m n l lmn l l Z t u u t u t u t c t Ω Σ ) ( ρ ρ ρ β ε ε& (3.4) Sıışmaz ortamlar için ρ ρ olduğundan sn l lsn n m l lmn l l Z t u u t u t u t c Ω Σ ) ( β ρ ε ρ ε ρ & & (3.5) r r q terimi (3.8) denleminden aşağıdai gibi elde edilir. r l rl r r B q (3.6)

98 87 (3.5) (3.87) (3.97) ve (3.6) ifadeleri (3.95) denleminde yerine yazılırsa aşağıdai alan denlemi elde edilir. ρ c ( ) βl t u t u t u t ( u p r ) [ pδ Γ z Ω z Σ ( u α )] β ρ h pr a pr l prsn Σ sn lmn prmn l u m n m n Ω mn lsn l t Z sn l l (3.7) Lineer teoride u l ve cinsinden iinci mertebeden terimler ihmal edileceğinden (3.7) denlemi aşağıdai gibi yazılabilir. ρ c t u l βl t Ω lsn u l t Z sn [ pδ Γ z Ω z ] β l l pr ρ h a pr prsn sn ( u p r t ) (3.8) (3.8) ifadesinde p ve r l şelinde indis değişiliği yapılıp orta terimlerin parantezleri alınırsa aşağıdai denlem elde edilir. u l ( β l pδ l Γa zl ) ρ c β l l ρ h (3.9) t t (3.9) denlemi lineer homojen sıışmaz te fiber aileli termoelasti ortamlar için ısı iletim denlemidir.

99 88 4. ARIŞMA VE SONUÇ Bu çalışmada te fiber aileli termoelasti anizotrop bir ortamın lineer davranışını modelleme için modern süreli ortamlar meaniği apsamında bir yol izlenmiştir. Bu modellemeyi gerçeleştiriren; Genel ermodinami Balans Denlemleri Clausius-Duhem eşitsizliği Bünye eorisi asiyomlarından özellile Objetivite ve Maddesel Simetri asiyomları ile malzemenin simetri grubuna ilişin avramlar bünye fonsiyonellerinin ve alan denlemlerinin bulunması ele aldığımız malzemenin meani davranışının modellenmesinin temellerini oluşturmuştur. Bu tür bir malzeme için bünye fonsiyonelleri argümanları Green Deformasyon tansörü Fiber dağılım tansörü ve sıcalı olara ortaya çıan gerilme potansiyeli ile; argümanları Green Deformasyon tansörü Fiber dağılım tansörü sıcalı gradyanı ve sıcalı olara ortaya çıan ısı vetörü fonsiyonu olara belirlenmiştir. Bu bünye fonsiyonelleri vasıtasıyla ele alınan malzemede termomeani yüleme ile oluşan gerilme tansörü ve ısı vetörü elde edilmetedir. Gerilme tansörü argümanları belli olan bir serbest enerji fonsiyonundan türetilmiş ısı vetörü ise bir potansiyelden türemediği için argümanlarının bir analiti fonsiyonu olara elde edilmiştir. Fiber ailesinin uzamazlığı ve ortamın sıışmazlığı birço mühendisli malzemesinin yapısına uyduğundan fiber ailesi uzamaz ortam ise sıışmaz abul edilmiştir. Ayrıca malzeme fiber doğrultusundai ii farlı yönü seçemeyeceğinden dolayı A ( ) vetör alanı yerine bunun dış çarpımları olan simetri tansör alanı ullanılmıştır. Z ( ) A A şelinde tanımlanan L L Ortam fiber taviyesinden dolayı ortamın anizotrop bir yapıda olduğu düşünülmüş gerilmenin ve ısı vetörünün anizotrop ortamlarda lineer bünye denlemleri elde edilmiştir. Bu işlemler yapılıren serbest enerji fonsiyonu ile ısı vetörü fonsiyonunun analiti olduğu varsayılara bağlı olduları argümanları cinsinden aylor serisine açılmıştır. Seri açılımında alınan terimlerin türü ve sayısı belirleniren meani etileşimlerin lineer abul edilmesi durumuna göre belirlenmiştir. Gerilme serbest enerji fonsiyonundan türetildiği için ısım (3.) de serbest enerji fonsiyonu aylor serisine açılmıştır. ısım (3..) de ortamın referans onumunu bir üniform sıcalığında ve gerilmesiz doğal durumda seçere ve bu

100 89 onumdan itibaren üçü yer ve şeil değiştirmeler ve de üçü sıcalı değişimleri ile ayrıldığını farz edere lineer termoelastisite için gerilme denlemi (3.57) denlemi ile elde edilmiştir. (3.57) denleminde malzemenin fiber yapısından aynalanan yeni terimler ortaya çımıştır. Eğer ortam fibersiz ve sıışabilir abul edilirse (3.57) denlemi Şuhubi [ ] tarafından verilen (8.3.6) denlemine indirgenmiş olur. Isı vetörü argümanları belli olan bir foniyonu olduğundan ısım (3.) de aylor seri açılım ısı vetörü fonsiyonu için yapılmıştır. ısım (3.) de yapılan abuller burada da diate alınara te fiber aileli termoelasti anizotrop ortamlar için ısı vetörünün lineer bünye denlemi maddesel formda (3.76) uzaysal formda (3.8) denlemleri ile ortaya onulmuştur. Alan denlemlerine ulaşma için termal genleşme atsayılarının oluşturduğu α pr tansörü cinsinden ifade edilen (3.87) denlemiyle verilen gerilme denlemi (.34) ifadesi ile verilen Cauchy hareet denleminde yerine yazılmış (3.94) denlemi ile verilen hareet denlemi elde edilmiştir. Enerjinin orunum denlemi olan (3.95) denleminde yer alan büyülüler yerlerine yazılara da (3.8) ifadesi ile verilen ısı iletim denlemi elde edilmiştir. (3.94) ve (3.8) ifadeleri ile u p Γa bilinmeyenlerini ihtiva eden alan denlemleri bulunmuş olur. Bu alan denlemlerinin probleme uygun olara verilen il ve sınır şartları altındai çözümü göz önüne alınaca sınır değer probleminin matematisel yapısını oluşturur. (3.94) ve (3.8) alan denlemlerinin bilinmeyenleri u ( x t) p ve Γa şelindedir. p ve Γ a Lagrange çarpanları alan denlemlerinden ve sınır şartlarından hesaplanır. u tayin edilditen sonra (3.57) den gerilme dağılımı tayin edilmiş olur. Gerilme dağılımı tansör alanı olara bulundutan sonra da istenilen esittei gerilme vetörünü t (n) r n p t pr ifadesinden rahatça hesaplama imânı ortaya çımıştır. Burada deformasyondan sonrai a ( t ) fiber dağılımının uzamaz-fiberler için

101 9 deformasyondan öncei fiber-dağılımı cinsinden (.44) ile a x A ( ) olara verildiğini hatırlama gereir.

102 9 AYNALAR Erdem A. Ü. Usal M.R. Usal M.5. eyfi Fiber aviyeli Visoelasti Piezoeletri bir Cismin Eletro-ermomeani Davranışı İçin matematisel bir Model Gazi Üniversitesi Mühendisli Mimarlı Faültesi Dergisi Anara. Erdem A. Ü. Usal M. Usal M.R. 5. İzotropi Matris malzemesi Olan Fiber aviyeli Dieletri Visoelasti Ortamların Eletro-ermomeani Davranışı İçin Matematisel bir Model Gazi Üniversitesi Mühendisli Mimarlı Faültesi Dergisi Anara. Eringen A.C Mechanics of Continua. John Wiley and Sons. Inc 5 p New Yor. Eringen A.C. 98. Mechanics of Continua. Robert E. rieger Pub. Co. Hungtington 59 p New Yor. Hamamcı B. 4. Bünye eorisi. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yüse Lisans Semineri 8 s Isparta. Holzapfel A.G.. Nonlinear Solid Mechanics. John Wiley and Sons Ltd Chichester 455p. abul A. 4. Fiber aviyeli Hiperelasti Malzemeler için Matematisel Bir Model. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yüse Lisans ezi 3 s Isparta. alpaides.v. Dascalu C.. On the Configurational Force Balance in hermamechanics Lubarda V.A. 4. On hermodynamic Potentials in Linear hermoelasticity Mavgin A.G. Berezovsi A Material Formulation of Finite-Strain hermoelasticity and Applications Öntür N İi Fiber Ailesi ile aviyeli Visoelasti ompozit Ortamlarda Bünye Denlemlerinin Modellenmesi. Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dotora ezi 8 s Anara. Şahin Y.. ompozit Malzemelere Giriş. Gazi Üniversitesi 37s Anara. Şuhubi S.E Süreli Ortamlar Meaniği Giriş. İ..Ü. Fen Edebiyat Faültesi Yayını 43s İstanbul.

103 9 imosheno S.P. Goodier J.N. 97. heory of Elasticitiy Mcgraw Hill 567p. Usal M.R Fiber aviyeli Elasti Dieletri Ortamların Eletro- ermomeani Davranışına ait Matematisel Bir Model Dotora ezi Erciyes Üniversitesi-Fen Bilimleri Enstitüsü 8 s. ayseri. Usal M.. Biyoloji Bir onstrüsiyon Elemanı için Matematisel Modelleme. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dotora ezi 3s Isparta.

104 93 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Bene HAMAMCI Doğum Yeri : Ordu Doğum Yılı : 978 Medeni Hali : Evli Eğitim ve Aademi Durumu: Lise Lisans Yabancı Dil Sinop Anadolu Lisesi 997- Süleyman Demirel Üniversitesi : İngilizce İş Deneyimi : 4-.. Araştırma Görevlisi (Süleyman Demirel Üniversitesi)