KONTROL SİSTEMLERİ NOTLARI GİRİŞ (1.Kitap)

Transkript

1

2 954 TMMOB Elektrik Mühendileri Odı KONTROL SİSTEMLERİ NOTLARI GİRİŞ.Kitp.Bkı, Ankr-Arlık 0 ISBN: EMO Yyın No: EK/0/7 TMMOB Elektrik Mühendileri Odı Ihlmur Sokk No:0 Kt: Kııly Ankr Tel: Fk: E-Pot: [email protected] Kütüphne Ktlog Krtı KON 0 Kontrol Sitemleri Notlrı- Giriş. Kitp Kitbı; Yyın Hırlyn: EMO Genel Merke, --.b.--ankr. Elektrik Mühendileri Odı, :4 cm EMO Yyın No:EK/9/7; ISBN: Kontrol Sitemleri Digi TMMOB Elektrik Mühendileri Odı Bkı TMMOB Elektrik Mühendileri Odı

3 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş KONTROL SİSTEMLERİ NOTLARI GİRİŞ.Kitp

4 BAŞLARKEN Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Kontrol itemleri ve otomyon dönük bu notlr, öncelikle W.Bolton un Newne Control Engineer Pocket Book Türkçei Kontrol Mühendii Cep Kitbı dıyl Bileşim Yyınlrı trfındn 004 yılınd bılmıştır kitbı; A.Prr ın Indutril Control Hndbook Türkçei Endütriyel Kontrol El Kitbı dıyl 994 yılınd MEB Yyınlrı trfındn bılmıştır ve C.Dorf un Modern Control Sytem kitplrı ile IDC trfındn hırlnn Prcticl Control Sytem for Engineer ile yine IDC nin hırldığı Prcticl Ditributed Control Sytem for Engineer ynı notlrın Türkçei Dğıtılmış Kontrol Sitemleri imiyle dh önce Bileşim Yyınlrı trfındn bılmıştı ve Prcticl Network Automtion nd Communiction bu notlr d dh önce Bileşim Yyınlrı trfındn Elektrik Şebeke Otomyonu imiyle Türkçeleştirilmişti iimli uygulmlı tölye eğitimlerinden hırlnn kur notlrındn yrrlnılrk bir ry getirilmiştir. Kontrol itemleri ve otomyonl ile ilgili derlenen notlrın toplmı 500 yfy ykındır. Toplmı şimdilik dört kıım olrk yyımlnmı uygun görülmüştür. Notlrın ilk kımı.kitp Kontrol Sitemleri Notlrı Giriş, kontrol teorii üerinedir ve kontrol ütüne dh iyde genel bilgiler verilmektedir, toplmı 340 yfdır.. kitp elektrik enerji itemlerinin otomyonu üerine giriş niteliğindedir ve toplmı 30 yfdır. 3 ve 4. Kitplr Dğıtılmış Kontrol Sitemleri ve toplmı 800 yfy ykındır ve 30 yflık ilk kıımd, SCADA ve PLC itemleri ile DCS krşılştırmı, kontrolör ile ilgili temel bilgiler ve kontrolör konfigryonu, DCS iletişim itemleri ve LAN ypıı, profibu ve foundtion fieldbu ile ilgili bilgiler verilmektedir. Son kitpt Dğıtılmış Kontrol Sitemleri ie DCS Sitemlerinin progrmlnmı, Alrm itemi yönetimi, DCS Rporlmlrı, Bkım ile ilgili ypılcklr ve detylı bir DCS uygulm örneği nltılmktdır ve toplmı 500 yfy ykındır. Giriş niteliğindeki kontrol itemleri üerine ilk kitp oln bu notlrl mçlnn kontrol mühendiliğinin temel prenipleri üerine, ölü ve koly okunbilir bir tnım olmının öteinde;

5 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş. temel itemlerin modellerini geliştirmek,. giriş inyllerine ilişkin itemlerin tepkilerini belirlemek, 3. itemleri; trnfer fonkiyonlrı, blok modelleri ve inyl kış grfikleri yoluyl tnımlmk, 4. itemlerin kutup ve ıfır nliini gerçekleştirmek, 5. itemlerin krrlılığını belirlemek, 6. krrlı-hl htlrını belirlemek, 7. itemlerin frekn tepkiini belirlemek, 8. Bode çiimini kullnmk, 9. Nyquit krrlılık kriterini kullnmk, 0. itemleri nli etmekte kök eğrilerini kullnmk,. Kontrol birim ve kompntör diynı,. yrık mnlı inyl işleme preniplerini tnımlmk, 3. yrık mnlı itemlerinin tepkilerini, krrlılıklrını ve krrlı-hl htlrını 4. belirlemede -dönüşümünü kullnmk, 5. dijitl kontrol birim trımını ypmk, 6. mikro-işlemci kontrollü itemlerin ve PLC ünitelerinin preniplerini tnımlmk, 7. itemlerde item hl modelleri kullnmk üere, kontrol mühendiliği için gerekli mtemtik prenipleri ğlmy yönelik rçlrı ğlmktır. Bu notlr, hem klıcı/ürekli, hem de yrık mnlı kontrol itemlerini kpmktdır. Hitp ettiği keimler: o kontrol itemlerinin temel preniplerine gerekinim duyn öğrencilerin ynı ır; o Endütriyel lnd, kontrol mühendiliği üerine bir kynğ gerekinim duyn mühendi ve tüm teknik dmlrdır. Notlrın içeriğine gelince: notlr, kontrol itemlerinin mçlrı ile bşlmkt, rdındn meknik, elektronik yd kışknlr gibi item modelleriyle, dinmik tepkiler konu edilmekte; 3. Bölüm, kutuplr; rdındn gelen 4. ve 5. Bölümlerde mn ınırlı performn ölçütleri ve frekn ınırlı tepkiler yer lmkt; tbilite yd göreceli tbilitenin konu edildiği 6. Bölümden onr; Locu Kök yöntemi, kontrol itemleri trımlrı 7 ve 8. Bölümler olrk nltılmkt. Ayrık mn itemleri, Z-trnform itemleri içinde mn geciktirmeleri vb 9 ve 0. Bölümlerde çıklnırken; ve 3

6 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş. Bölümler ie bilgiyrlı kontrol itemleri ile durum itemli modeller üerinedir. Kontrol Sitemleri üerine frklı kynklrdn birleştirilen bu notlrı, EMO knlıyl, bu ke e-kitp olrk unuyoru, bu e- kitplr ktkılrındn dolyı, EMO yyınlrı ile uğrşn bşt Sn. Emre Metin, Sn.Hkkı Ünlü ve Sn.Orhn Örücü olmk üere tüm EMO yetkililerine teşekkür ederi. Aydın Bodur 4

7 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş KONTROL SİSTEMLERİ NOTLARI GİRİŞ.KİTAP... GİRİŞ... 0 Kontrol itemlerinin mçlrı... 0 Açık ve kplı döngü itemleri... 0 Geri belemenin etkileri... 3 Ayrık verili kontrol itemleri... 5 Sırlı kontrol MODELLER... 7 Modeller... 7 Meknik itemler... 9 Elektrik itemleri... 4 Akışkn itemleri Terml itemler Diferniyel bğıntılr DİNAMİK TEPKİ... 4 Geçici ve krrlı hâl tepkileri... 4 Trnfer fonkiyonu Lplce dönüşümü Lplce dönüşümü kullnrk belirlenen tepki... 6 Sitemlerin blok diygrm göterimi Sinyl kış grfikleri

8 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 3. KUTUP VE SIFIR DEĞERLERİ Kutup ve ıfır değerleri Kutup konumu ve geçici tepki Stndrt itemler... 9 Routh Hurwit kriteri ZAMAN BÖLGESİ İÇİNDE BAŞARIM ÖLÇÜTÜ Krrlı hâl htı Kontrol itemleri için geçici tepkiler... Performn endekleri FREKANS DÜZLEMİNDE TEPKİ... Frekn tepkii... Birinci derece itemler için frekn tepkii... 7 İkinci derece itemler için frekn tepkii... 9 Kplı döngü bir item için frekn tepkii Frekn dülemi bşrım peifikyonlrı Frekn tepkiinin grfikel belirlenmei Bode çiimleri Trnfer fonkiyonlrının deneyel belirlenmei Zmn gecikmei KARARLILIK VE FREKANS DÜZLEMİ Krrlılık Polr Çiim

9 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bitleştirilmiş Nyquit krrlılık kriteri Nyquit krrlılığı ve dülemi Göreli krrlılık Zmn gecikmeli itemlerin krrlılığı... 7 Sbit M yer eğrileri Sbit N yer eğrileri Nichol grfikleri KÖK YER EĞRİSİ TEKNİĞİ Kök yer eğrileri Kök yer eğrilerini oluşturmk için kurllr Kök yer eğrileri örnekleri... 9 Zmn gecikmei Kök yer eğrilerini kullnrk çöümleme Kök eğrii ve mn dülemi rındki ilişki KONTOL SİSTEM DİZAYNI Kompntörler ve kontrolörler birimleri Kontrol modlrı Kontrolör knçlrının yrlnmı... 6 Kompnyon... 9 Hı geri belemei AYRIK ZAMANLI SİSTEMLER Sitemler

10 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Dijitl inyl işleme Türev ve integrl ykınmlrı Örnekleme teoremi Sıfır derece tutulum Z DÖNÜŞÜMÜ Zmn gecikmei Z dönüşümünün örneklemei Z dönüşümünün öellikleri Ter dönüşümü Drbe trnfer fonkiyonu dülemi dülemi ile dülemi rındki ilişki bölgeinde krrlılık tetleri Ayrık mnlı itemlerin krrlı hl htlrı Ayrık mnlı bir itemin frekn tepkii BİLGİSAYAR KONTROL SİSTEMLERİ Bilgiyr kontrolü Dijitl kontrolör trımı Ayrık kontrolör trnfer fonkiyonlrının progrm çevrilmei Örnekleme rlığının eçimi Kontrol döngüündeki mikroişlemci SİSTEM DURUM MODELLERİ

11 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Mtri notyon ve terminolojii Durum uyı modeli Mtri ritmetiği Determinntlr Durum denklemlerinin çöümü Durum diygrmlrı

12 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş GİRİŞ Kontrol itemlerinin mçlrı Süreçlerin çıkışlrını, itenen bit bir değerde denetim ltın lmk. Süreçlerin çıkışlrının belirli bir değişim formunu tkip etmeini ğlmk. 3 Olylrın belirli bir ır dhilinde oluşmını ğlmk. Bu, öel mnlrd meydn gelen mn thrikli/ürüşlü olylrın ırı olbilir vey doğrudn oly thrikli/ürüşlü olbilir. Böylelikle olylr, öel koşullr gerçekleştiğinde meydn gelir. Açık ve kplı döngü itemleri Açık döngü kontrol itemi terimi, itenilen onucu verecek biçimde, bir önceki verinin b lınrk, iteme girilecek girdinin eçilebildiği itemler için kullnılır. Şekil, böyle bir itemin temel formunu göteriyor. Şekil G. Açık döngü bir kontrol iteminin temel elemnlrı Sitem, üç temel elemn hiptir: - kontrol, - düeltme ve 3- değişkenin kontrol edildiği üreç. 0

13 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Kontrol elemnı, iteme girilen verinin girdinin onucun göre ypılck müdhleyi göterir. Düeltme elemnı, kontrolör çıktıını, yeni girdi olrk lır ve kontrol edilen değişkeni değiştirmek üere trlnmış olylr diiinin onucunu çıktı olrk verir. 3 Değişkenin kontrol edildiği üreci göterir. Çıkış değişkenini değiştiren dış etkiler için, kontrol fliyetlerinin değişimi yoktur. Kplı döngü kontrol itemi terimi, kontrol edilen değişkenin geri belendiği itemler için kullnılır; bu nedenle itemin girdii, itenilen çıktıy ulşmk için yeniden düenlenebilir. Şekil böyle bir itemin temel formunu götermektedir. Şekil G. kplı döngü bir kontrol iteminin temel elemnlrı Böylei bir geri beleme itemi, beş temel elemn hiptir: - krşılştırm, - kontrol, 3- düeltme, 4- ölçülen değerin geri belenmei ve 5- bir değişkenin kontrol edildiği üreç. Krşılştırm elemnı, olmı gereken değerle gerçek değer rınd krşılştırm ypr ve ht inyli, kontrol elemnın girdi olrk gönderilir. Bu elemnın girdilerinin + ve işretleri, bştn yrlnmış değerinden geri beleme değerinin çıkrıldığını göterir. Kontrol elemnı, iteme veri girişinden onr ypılck müdhleyi belirler. 3 Düeltme elemnı, kontrolör için üretilen çıktıyı, bu ke girdi olrk lır ve kontrol edilen değişkeni değiştirmek üere önceden trlnmış olylr diiinin onucunu yeni çıktı olrk verir.

14 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 4 Gerçekte oluşn değişkenin değerini ölçmek için bşvuruln ve ölçülen değerin, önceden yrlnmış değeriyle krşılştırmk üere geri beleme mcıyl kullnıln bir ölçü elemnı vrdır. 5 Bir değişkenin kontrol edildiği ürecin kendiidir. Bir bşk kplı döngü kontrolü formu ileri belemeyi kpr Şekil.3. Bı dış etkilerin onucu kontrol edilen bı üreç değişkenlerinde değişimler orty çıkr. Dış etkileri gölemleme ve bu verileri kontrol itemine geri belemei ğlnrk, itemin değişimlere, geri beleme itemlerinin kendiinden dh hılı tepki vermei ğlnbilir. İleri beleme, çıktıyı dece öel bir tip dış etkiye krşı düeltebilir ve genellikle gerekli kontrolün elde edilmei için geri belemeyle birlikte kullnılır Şekil 4. Şekil G.3 İleri beleme Şekil G.4 İleri beleme ile birlikte geri beleme

15 Geri belemenin etkileri Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bir itemde geri belemeye bşvurmk uretiyle: Sitemin, değişkeni kontrol etmeine olnk veriri; bu yede gerçek değerle önceden yrlnmış değer rındki frk ht ltılır. Sitemin, toplm kncını değiştirebiliri. Krrlı-hl koşullrı ltınd, ttik knç çıktı/girdi dir. Sttik kncı G oln bir iteme, kncı H oln bir geri beleme itemini bğlmk Şekil 5, ileri elemnın e htı tşıyn bir girdiye, y tepkii tşıyn bir çıktıy hip olduğu ve böylece kncın G = y/e olduğu nlmın gelir. Fkt ht, et değeri x ve geri belenen değer Hy rındki frktır. Böylece G = y/x-hy dir ve bu nedenle itemin toplm kncı, yni y/x: G toplm knç [] GH Şekil G.5 Negtif geri belemeli item 3 Sitemin krrlılığını değiştirebiliri. Eğer bir itemin, ınırlnmış kimi girdileri onucund çıktılrı, ınırı biçimde rtıyor; bu item krrıdır. Denklem [] yoluyl, GH = - ie itemin çıktıı: her hngi onlu bir girdi için, her mn onudur ve item krrıdır. Böylece geri beleme ilk bşt krrlı oln bir itemi krrı hle getirir. 4 Sitemin bnt genişliğini değiştirebilir. Bir itemin bnt genişliği, girdilerinde itemin ttmin edici tepki verdiği frekn 3

16 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş rlığıdır. İleri forwrd knç G ve geri beleme kncı H, frekn bğlı fonkiyonlr olduğundn; toplm knçt frekn bğlı fonkiyon olcktır ve itemin krrlılığı, frekn bğlı klcktır. 5 Sitem kncının duyrlılığını değiştirebiliri. Bir itemin duyrlılığı: toplm item kncının, item elemnlrının knç değişimlerinden hngi miktrd etkilendiğinin ölçüüdür. Böylece itemin ileri elemn kncının değişimlerine krşı duyrlılığı, toplm item kncı oln G c nin değişiminin, ileri elemn kncı G nin, değişimine ornıdır; ΔG c /G c /ΔG/G gibi. ΔG miktrı, ileri elemn knç değişimi onucund toplm item knç değişimi ΔG c kdr olur. Duyrlılık şu şekilde yılbilir: ΔG c /ΔGG/G c. Denklem [] in türevi, dg c /dg= /+GH olduğundn, duyrlılığı şöyle ybiliri: duyrlılık [] GH 6 Dış etkenlerin etkilerini meel itemdeki gürültü gibi değiştirebiliri. Şekil 6 dki, iki elemnlı çık döngü itemine, dış etkenin iki elemn rındn girdiği durumu ele llım. Siteme verilen bir x girdii için, ilk elemn G x çıktıını verin. Bu değere, ikinci elemnın girdiini elde etmek için dış etken d eklenir, G x+d. Bu nedenle itemin toplm çıktıı şu hle gelecektir. y G G x d G G x G d [3] Şekil.6 Açık döngü bir itemde dış etken 4

17 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Sinyl-gürültü ornı: inyle bğlı çıktının gürültüye bğlı çıktıy ornıdır ve dolyııyl, G G x/g d = G x/d dir. Geri belemeli item için Şekil.7, ilk ileri elemn girdii x-hy dir ve bu nedenle bu elemnın çıktıı G x-hy dir. G nin girdii G x-hy+d dir ve bu nedenle G nin çıktıı x = G [G x- Hy+d] dir. Bunu tekrr düenleyerek: GG G c x d [4] G G H G G H elde edilir ve bu denklem [3] ile krşılştırıldığınd, dış etkenin etkiinin, +G G H çrpnı kdr ldığı gölenir. Sinyl-gürültü ornı G x/n dir ve geri belemenin olmdığı durumd d ynıdır. Şekil G.7 Kplı döngü itemlerde dış etki Ayrık verili kontrol itemleri Sürekli veri kontrol itemleri, inyllerin tmmının ürekli mn fonkiyonlrındn oluştuğu itemlere denir. Ayrık veri kontrol itemi ie, itemdeki bir vey dh fl noktnın drbe diii y d ktrı vey yıl/dijitl kod şeklinde olmı yönüyle frklıdır. Böyle bir itemin, örnekleme veri formu, ürekli bir mn fonkiyonu inyl girdiine hiptir ve bu girdi: örnekleme yoluyl bir yrık veri inyline dönüştürülür. Şekil G.8 böyle bir itemin temel şeklini götermektedir. Örnekleme nlog-yıl dönüştürücü yrdımıyl ypılbilir ve yıl-nlog dönüştürücü yrdımıyl tekrr ürekli bir mn inyline dönüştürülmeden önce, ht inylini işlemek için dijitl bir kontrolör kullnılır. 5

18 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil G.8 Örneklem verili kplı döngü kontrol itemi Sırlı kontrol Sırlı bir kontrol itemi, önceden belirlenmiş bir tkım operyonlrı ıryl gerçekleştiren itemdir. Oly-ürüşlü oly thrikli terimi, operyonlrın bşltılmı vey bir oly gerçekleştiğinde on erdirilmeini belirten bir terim olrk kullnılır. Zmn ürümlü terimi, operyonlrın öel bir mn vey bir mn rlığındn onr bşltılıp on erdirilmeini belirten bir tbirdir. Şekil.9 böyle bir itemi remediyor. A olyı gerçekleştiğinde, kontrolöre,.çıktıyı ileten bir girdi vrdır; ynı şekilde B olyı gerçekleştiğinde de kontrolöre.çıktıyı veren bir bşk girdi vrdır Bu tipte bir item, mikroişlemcilerin kontrolör olrk kullnılmı onucu, giderek yygınlşmy bşlmıştır. 6

19 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş. MODELLER Şekil G.9 Sırlı kontrol Modeller Bir itemin mtemtikel modeli, o itemin mtemtikel denklemler ile tnımlnmıdır. Bu tip denklemlerin temeli, Newton knunlrı ve Kirchhoff knunlrı gibi, fiik knunlrıdır. Bu trd bir model geliştirmek için kullnılbilecek bir yöntem: itemi, prçlrın yırmk ve her bir elemnı temel ypıtşı bir blok hlinde tnımlmkl mümkündür. Lineerlik/Doğrullık Mtemtikel modeller, lineer vey lineer olmyn modeller olbilir. Lineer bir modelde üt üte bindirme prenibi uygulnbilir: Aynı nd uygulnn birden çok girdiye verilen tepki, her bir girdinin yrı yrı uygulndığınd verilen tepkileri toplmın eşittir. Herhngi bir girdi bit bir yıyl çrpıldığınd; çıktı d, ynı yıyl çrpılmış yılır. Örnek olrk, lineer meknik bir iteme ynı nd uygulnn N ve 3N büyüklüğünde iki kuvvet vr; elde edilen toplm yer değiştirme, N ve 3 N kuvvetlerinin yrı yrı uygulndığınd oluşck yer değiştirmeleri toplmı kdr olcktır. Eğer N luk Newtonluk bir kuvvet, lineer bir meknik iteme uygulnmış; bu kuvvetin üç ktı yni 6 N büyüklüğünde bir kuvvet, N luk kuvvetin neden olduğu yer değiştirmenin uklık yd deplmn 3 ktı kdr bir yer değiştirmeye neden olcktır. Lineerleştirme Gerçek bileşenler rınd mükemmel lineer bileşenler çok ndirdir; çoğu mn bı çlışm noktlrı civrınd lineer olduğu vryıln bir dii operyon vrdır. Lineer olmyn bileşenler için, bir çlışm noktı civrınd, lineer bir bğıntı olduğunu vrymk 7

20 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş mkuldür; bu d genelde, o çlışm noktındki lineer olmyn bğıntının tnjntın krşılık gelirşekil.. n Şekil. lineer vryılmış bğıntı Eğer P noktı grfiğin yeni orijini olrk lınır; P noktındki tnjnt, m grdynı olmk üere şğıdki gibi tnımlnbilir: y mx [] Bu tr bir lineeriyon örnek olrk, keit lnı A, bıncı p oln bir muluktn, r ökütleli bir ıvının, q kış hıı bğıntıını ele llım. p q Cd A [] C d bittir. Sbit bir keit lnı ve ökütle için denklem şu şekilde yılbilir: q C p [3] Bu q ve p rınd lineer olmyn bir bğıntı. Bu bğıntıyı bir çlışm bıncı civrınd lineerleştirebiliri. Denklem [3] ün grdynı türev lm yoluyl elde edilebilir ve şğıdki gibidir: 8

21 m dq C dp p Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş [4] Çlışm noktınd, kullnbiliri: [5] q mop m C p ve lineer bğıntı olrk şğıdkini o o Kontrol itemleri için mtemtik modelleri geliştirmede, çlışm noktındki değişiklikler, nipeten küçük olduğundn ve böylei denklemlerin kullnımıyl elde edilen bir model, itemi mkul biçimde çıklybildiğinden, genelde böyle lineerleştirilmiş denklemler kullnbiliri. Meknik itemler Meknik itemlerin temel ypı bloklrı, kütle, yy ve mortiör elemnlrıyl göterilir Şekil.. Girdi F tir ve çıktı yer değiştirme y dır. Şekil. meknik item ypı bloklrı Lineer bir yy için, um miktrı y, uygulnn utm kuvvetiyle doğru orntılıdır ve şğıdki gibidir: F ky [6] k eneklik ktyıı olrk dlndırılır. Yy, bir itemin enekliği ni vey eltikiyeti ni ifde eder. Bir mortiör, bir ilindir içindeki ıvı dolu bir ortmd hreket eden bir piton şeklinde düşünülebilir. Pitonun hreketi, kışknın pitonun kenrlrındn kmını gerektirir. Üteinden 9

22 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş gelinmei gereken direnç kuvveti, pitonun hııyl doğru orntılıdır ki: bu d mn birimde yer değiştirme x tir, yni dy/dt. Sonuç olrk: dy c dt F [7] Amortiör itemin önümlemeini ifde eder. 3 Bir kütle için, uygulnn kuvvet ve ivme rındki bğıntıyı, Newton un ikinci knunu, F = m x verir; fkt ivme, hıın mn bğlı türevi, hı d yer değiştirmenin mn bğlı türevidir. Sonuç olrk: d y m dt F [8] kütle bir itemin eylemiliği ni ifde eder. Yyı utmk, pitonu mortiör içinde hreket ettirmek ve kütleyi ivmelendirmek için enerjiye ihtiyç vrdır. Yy utıldığı mn depoldığı enerjiyi veren bğıntı şğıdki gibidir: E [9] ky F k ve bu enerjiyi kendi orijinl boyun döndüğünde erbet bırkır. Bir kütle, v hııyl hreket ederken içinde depolnn enerji, hreket kinetik enerjiidir ve hreket etmei durduğund bu enerjiyi erbet bırkır; bu enerji şğıdki gibidir: mv E [0] Bun rğmen mortiör, uygulnn kuvvet kldırıldığınd, ilk orijinl konumun döneme ve bu nedenle enerji depolm bunun yerine enerji, pitonun hreketi enınd hrcnır. Amortiörün hrcdığı enerjinin mn bğlı değişimi, yni kuvveti P, hı bğlıdır ve şğıdki gibidir: P cv [] 0

23 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bu ypı bloklrını, bir itemi göterirken nıl kullndığımı bir örnek olrk, Şekil.3 te verilen itemi ele llım. Bu, yere monte edilmiş ve titreşim kuvvetlerine tbii klmış bir mkineyi remediyor olbilir. Sitem modelini elde etmek için, bğımı gövde diygrmını çieri; bunlr her kütlenin üerine etki eden dış kuvveti göteren kütle diygrmlrıdır. Elimideki item için bir tne kütlemi vr; bu yüden de bir tne bğımı gövde diygrmımı vr. Şekil.3 Sitem, b bğımı gövde diygrmı Bğımı gövde diygrmının göterdiği gibi, kütle üerine etki eden net kuvvet: uygulnn kuvvetle yy ve mortiör trfındn uygulnn çekme kuvvetinin frkı kdrdır. Bu durumd, Newton un ikinci knunun uygulnmı ile şğıdki bğıntı elde edilir: F dy d y ky c m dt dt [] Bir bşk örnek olrk, Şekil.4 d göterilen itemi ele llım. Bu iki kütleye hip ve bu nedenle iki bğımı gövde diygrmı çieri Şekil.4b. k eltikiyetine hip yy y kdr utılmış ve k eltikiyetine hip yy y -y kdr utılmıştır. M kütlei için çiilen bğımı gövde şğıdki bğıntıyı verir:

24 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş k dy dy d y y y c k y m dt dt dt [3] M kütlei için çiilen bğımı gövde şğıdki bğıntıyı verir: F [4] dy dy k y y c m dt dt d y dt Şekil.4 Meknik item Dönüşlü itemler Dönüşlü itemler için temel ypı bloklrı burulm yyı, döner mortiör ve eylemilik momentidir Şekil.5. Bir burulm yyı için, dönme çıı θ, torkl doğru orntılıdır: T k [5]

25 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Dönüşlü bir mortiör için, yni bir kışkn içinde etkili biçimde dönen bir dik için, direnç torku T, çıl hı ω ile doğru orntılıdır ve böylece: d T c c [6] dt Şekil.5 Dönüşlü item elemnlrı 3 Eylemilik momenti I oln bir bloğ T torku uygulnmı, çıl ivmeine neden olur ve çıl ivme, çıl hıın mn bğlı değişimi olduğundn: T d I I dt [7] Bir θ çııyl çevrilen bir burulmlı yyd depolnn E enerji bğıntıı şğıdki gibidir: E [8] k T k Bir ω çıl hııyl dönen bir kütlede depo edilen enerji, kinetik enerjidir: E I [9] 3

26 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Döner mortiör, enerji depolm; dece enerji hrcr. Bir ω çıl hııyl dönen bir döner mortiör için hrcnn P kuvveti, şğıdki gibidir: P c [0] Bir item modeli geliştirmeye örnek olrk, Şekil.6 d göterilen itemi ve bu itemin Şekil.6b de göterilen erbet gövde diygrmını ele llım. Şekil.6 Dönüşlü item Dike etki eden torklr, uygulnn T torku, kθ yy torku ve cω mortimn torku dur. Bu nedenle: T d d k c I dt dt [] Elektrik itemleri Elektrik itemlerinin temel ypı bloklrı, reitör direnç, indüktör ve kpitördür Şekil.7. 4

27 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.7 Elektrik itemi ypı bloklrı Üerinde i kımı oln bir direncin v potniyel gerilimi, R direnci olmk üere, şğıd verildiği gibidir: v Ri [] Bir indüktör için, herhngi bir nd üerindeki v potniyel gerilimi, L indüktnı olmk üere, kımın mn göre değişimine bğlıdır: di v L [3] dt Potniyel gerilimin yönü, indüktör üerinde kım oluşmını ğlyn ürücü gerilimin ter yönündedir. Bu denklem şu şekilde de yılbilir: i L vdt [4] 3 Bir kpitör için, üerindeki potniyel gerilimi v, C kpitnı olmk üere, V=q/C bğıntııyl kpitör plklrı rındki yüke bğlıdır. Akım yüklerin hreketinin mn göre değişimi olduğundn: dv dq i dt C dt C dv C dt i [5] Bu denklem, şu şekilde de yılbilir: v C idt [6] Üerinde i kımı oln bir indüktörde depolnn enerji E şğıdki gibidir: Li E [7] 5

28 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Üerinde v potniyel gerilimi oln bir kpitörde depolnn enerji E şğıdki gibidir: Cv E [8] Bir direnç/reitör enerji depolm, dece hrcr. Üerinde v potniyel gerilimi oln bir reitör için hrcnn P kuvveti şğıdki gibidir: P v iv R [9] Elektrik devreleri modelleri geliştirmek için iki devre knunun ihtiycımı vr: Kirchoff un kım knunu Herhngi bir devreye ekleme giren toplm kım, o eklemden çıkn kım toplmın eşittir; yni bir eklemdeki kımlrın cebirel toplmı ıfırdır. Kirchoff un voltj knunu Döngü loop olrk dlndırıln kplı bir ht boyunc, döngüyü oluşturn elemnlrın üerindeki voltjlrın cebirel toplmı ıfırdır. Bu, e.m.f. elektromotor kuvvet kynğı içeren bir döngü için, her bir devre elemnı üerindeki voltj düşmelerinin cebirel toplmı, uygulnn e.m.f. lerin cebirel toplmın eşittir demekle ynı şeydir. Bir model geliştirmeyi örneklemek için, Şekil.8 de göterilen devreyi ele llım. 6

29 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.8 Reitör/direnç, kpitör eri devrei Kirchoff un voltj knununu kullnrk şğıdki bğıntıyı buluru: v v R v C ve, v R = Ri ve i = Cdv C /dt olduğundn: dvc v RC vc [30] dt Bir bşk örnek olrk, Şekil.9 d göterilen devreyi ele llım. Şekil.9 Reitör-indüktör-kpitör eri devrei Kirchoff un voltj knununu uygulrk, şğıdki bğıntıyı buluru: v v v v R Ri L di dt L v C C i = Cdv C /dt olduğundn, di/dt = Cd v C /dt dir ve bu nedenle: dv v RC dt C vc d LC dt v C [3] dh ileri bir örnek için, Şekil.0 u ele llım. A eklemi için Kirchoff un kım knunu kullnılrk şğıdki bğıntı elde edilir: i i i3 7

30 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.0 Reitör-kpitör-indüktör devrei Reitör üerindeki potniyel gerilim v-v C dir ve v C indüktör üerindeki, ynı mnd kpitör üerindeki potniyel gerilimdir. Böylece: v vc R i v dt L C dvc i3 C dt Bu nedenle: v vc dvc vcdt C R L dt R dvc v vcdt RC vc L dt [3] Elektro-meknik itemler Bir yükü üren klıcı-mnyetik d.c. motorlrı için bir modelleme ypmy çlışlım. Akı yoğunluğu B oln bir mnyetik ln dik oln ve L uunluğund, kım tşıyn bir iletken üerine etkiyen F kuvvetinin büyüklüğü: i kım olmk üere, BiL dir Şekil. N rımlı bir bobin için, bu kuvvet NBiL dir. Bobinin rılı olduğu 8

31 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş rmtüre etki eden T torku, b rım genişliği olmk üere, şğıdki gibidir: T NBiLb Tork böylece kıml doğru orntılıdır ve bu nedenle, bir k biti için, torku şğıdki gibi ybiliri: T k i [33] Şekil. Armtür bobini Eğer bir motor, eylemilik momenti I oln bir yükü ürüyor ve dönen motor şftının ω çıl hıı için, mortimn torku cω ie, şft etki eden net tork şğıdki gibidir: net tork k i c Bu tork, dω/dt çıl ivmeine ebep olck ve bu nedenle: d I k i c [34] dt Armtür bobini bir mnyetik ln içinde döndüğünden, bobin üerinde indüklenmiş bir e.m.f. olcktır. Bu e.m.f., kendi oluşumun neden oln değişimi krşılyck yöndedir ve geri e.m.f. olrk dlndırılır. Geri e.m.f. v b, bobine etki eden kı miktrının mn bğlı değişimiyle doğru orntılıdır ve bu nedenle bobinin çıl hııyl doğru orntılıdır. Böylece, k biti için: 9

32 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş v b k [35] Armtür devreinin, bir reitöre eri bğlnmış bir indüktörden oluştuğu düşünülebilir Şekil.. Devreye Kirchoff un voltj knununu uygulrk: v v b di L Ri dt Denklem [35] teki v b yi, yerine koyrk, şğıdki bğıntı elde edilir: v di k L Ri dt [36] Böylece, çıl hıın mn bğlı nıl değiştiğini çıklyn, iki eşmnlı diferniyel denklem elde etmiş olduk, denklem [34] ve denklem [36]. Şekil. Armtür devrei Akışkn itemleri Bir kışkn itemi için, üç ypı bloğu, direnç kpitn ve inertn tır; bunlr elektrikteki reitn, kpitn ve indüktnın eşdeğerleridir. Elektrik kımının eşdeğeri, hcimel kış hıı ve potniyel gerilimin eşdeğeri bınç frkıdır. Hidrolik kışkn itemlerinin ıkıştırılm bir ıvı içerdiği vryılır; bun rğmen pnömtik itemler ıkıştırılbilir glr içeriyor ve bunun onucu 30

33 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş olrk bınç değişimleri olduğund yoğunluk t değişir. Figür.3, hidrolik itemler için temel ypı blok formlrını göteriyor. Şekil.3 Hidrolik ypı bloklrı R Hidrolik reitnı, bir ıvının, çpı frklı oln bir borudn, bşk bir frklı çptki boruy krken, kış krşı direncidir Şekil.3 ve Ohm knununun hidrolik eşdeğeri olrk şğıdki gibi tnımlnır: p p Rq [37] Hidrolik kpitn C, hidrolik ıvının potniyel enerji formund depolndığı Şekil.3b, enerji depolnmını tnımlr. Depolnn ıvının hcmindeki değişim hıı, ıvının kb hcimel giriş hıı q ile çıkış hıı q rındki frk eşittir, yni: dv q q dt Fkt V = Ah dir ve bu nedenle: dh q q A [38] dt 3

34 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Girdi ve çıktı rındki bınç frkı şğıdki gibidir: p p p hg [39] bundn dolyı, denklem [38] deki h ın yerine yrk: A dp q q [40] g dt Hidrolik kpitn şğıdki gibi tnımlnır: C A g [4] bu nedenle denklem [40] ı tekrr şğıdki şekilde yılbilir. dp q q C [4] dt Bu d, şğıdki gibi yılbilir: p q q dt [43] C 3 Hidrolik inertn elektrik itemlerindeki indüktnın eşdeğeridir. Bir kışknı ivmelendirmek için, net bir kuvvet gereklidir ve bu bınç frkıyl ğlnır Şekil.3c. Böylece, ivmei için, yni v hıının mn bğlı değişimi için: dv p p A m m dt [44] İvmelenen kışknın kütlei m = Alp dir ve kış hıı q = Av dir, bu nedenle denklem [44], şğıdki gibi yılbilir: dq p p A L dt [45] 3

35 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş dq p p I [46] dt İnertn I d şğıdki gibidir: I L A [47] Pnömtik itemler için: Pnömtik reitn R, bir gın kış göterdiği dirençtir ve kütle kış hııyl tnımlnır dm/dt: dm p p R [48] dt Pnömtik kpitn C, gerilmiş vey ıkıştırılmış bir yyın enerji depolmı ile krşılştırılbilir ve glrın ıkıştırılbilirliği ilkeine dynır. Eğer bir kb giren g kışının kütle değişim hıı dm /dt ve çıkışınınki dm /dt ie kptki kütle değişim hıı dm /dt-dm /dt dir. V hcimli bir kptki r yoğunluğun hip bir gın kütlei rv dir ve bu nedenle hem kbın hcmi ve hem de yoğunluk mn bğlı değişeceğinden: kütle değişim hıı d V dv d V dt dt dt [49] İdel bir g için, R g g biti olmk üere, pv= mr g T dir ve bu nedenle p=r R g T dir ve dp/dt = R g Tdr/dt dir. Böylece, Vdr/dt= V/R g Tdr/dt dir. Burdn dv/dt= dv/dpdp/dt bğıntıını ybiliri ve denklem [49] şğıdki şekilde yılbilir: kütle değişim hıı dv V dp dt RgT dt [50] Kbın hcminin değişimine bğlı C pnömtik kpitnı şğıdki gibi tnımlnır: C dv dt [5] 33

36 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ve gın ıkıştırılbilirliği ilkeine bğlı C pnömtik kpitnı d şğıdki gibi tnımlnır: C V R T [5] Bundn dolyı: g kütle değişim hıı C C [53] dt dp Bu ynı mnd şğıdki şekilde yılbilir: p p C dt [54] C dm dt dm dt 3 Pnömtik inertn I, blok bir gın bir boru boyunc hreket ettirilirken momentumunun değiştirilmei için gerekli bınç düşmeinden kynklnır. Newton un ikinci knunu kullnılrk şğıdki bğıntı elde edilir: d mv p p A [55] dt L uunluğund, düenli bir A keit lnın ve r yoğunluğun hip bir blok gın kütlei m=rla dır. Böylece: d Av p p A L [56] dt kışın kütle değişim hıı rav dir ve bu nedenle denklem [56] şğıdki gibi yılbilir: L d p p kütle kış hıı [57] A dt Pnömtik inertn I şğıdki gibi tnımlnır: L A I [58] ve denklem [57] şğıdki şekilde yılbilir: d p p I kütle kış hıı [59] dt 34

37 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bir hidrolik item örneği için, Şekil.4 teki itemi ele llım. Akış hılrının çok yvş değiştiği vryılbileceğinden, inertnı ihml edebiliri. Kpitn terimi için şğıdki ifdeye hibi: dp A dp q q C [60] dt g dt Şekil.4 Hidrolik item Vlf reitnı için, elimide şğıdki ifde vr: p p Rq Böylece, denklem [6] de q yi yerine yrk ve bınç frkı hrg ie şğıdki bğıntı elde edilir: dh hg q A [6] dt R Bir pnömtik iteme örnek olrk, Figür.5 te göterilen körük itemini ele llım. Körüklere doğru oln kış hıının çok yvş değişmeini beklediğimiden, İnertn ihml edilebilir. Reitn değişkeni, körüklere doğru oln kütle kış hıı için, şğıdki bğıntıyı verir: dm p p R dt ve kpitn değişkenleri, körüklere doğru oln kütle kış hıı için, şğıdki bğıntıyı verir: 35

38 kütle değişim hıı C C Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş dp R dt Fkt körüklerden dışrı hiç bir kütle kışı yok, bu nedenle kış hıı = dm/dt dir ve bu ebeple şğıdki bğıntıyı ybiliri: p p dp C C [6] R dt körük dece bir yy formudur ve bu nedenle, k körük eltikiyeti, y bınç onucu um miktrı olmk üere, F = p A = ky ybiliri. Bunun onucund, denklem [6] şğıdki şekilde yılbilir: k dy k p RC C y [63] A dt A C = rdv/dp dir ve V = Ay olduğundn ve p A = ky olduğundn, V = A p /k dir; o mn, C = ra /kv dir. R g g biti olmk üere, C = V/R g T = Ay/R g T dir. Bunun onucund, denklem [63] şğıdki şekilde yılbilir: Şekil.5 Körükler A p R k Ay RgT k dy A dt k A y [64] Terml itemler Terml itemler iki tne temel ypı bloğun hiptir: reitn ve kpitn. 36

39 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Terml reitn R, q ıı kış hıının oluşturduğu reitntır ve T -T ıının ktığı ortmlr rındki ıcklık frkı olmk üere, şğıdki şekilde tnımlnır: T T R q [65] Terml kpitn, bir item içinde, iç enerji depolmı için bir ölçme birimidir. Eğer bir itemin içine doğru oln ıı kış hıı q ve itemden dışrı doğru ıı kış hıı q ie, itemin iç enerjiinin değişim hıı q -q dir. İç enerjideki bir rtış, ıcklık değişimine neden olbilir; m kütle, c ögül ıı kpitei olmk üere: iç enerji değişim miktrı = dt mc dt Böylece iç enerji değişim hıı, mc ile ıcklık değişim hıının çrpımın eşittir. Bundn dolyı: dt q q mc dt Bu denklem, C = mc olmk üere, şğıdki şekilde yılbilir: dt q q C [66] dt Bir ktı rcılığıyl ıı iletimi için, ıı kışının hıı, keit lnıyl ve ıcklık grdynıyl doğru orntılıdır. Bu nedenle, T ve T ıcklığın hip ve rlrındki uklık L oln iki nokt için, k ıcklık iletim değişkeni olmk üere: T T Ak L q [67] Bu nedenle, bu biçimde bir ıı trnferi için terml reitn R, L/Ak dır. İki nokt rınd konvekiyon yoluyl ıı trnferi için, Newton un oğum knunuyl, T T ıcklık frkı, h ıı trnfer değişkeni ve A ıcklık değişiminin olduğu yüeyin lnı olmk üere şğıdki bğıntı elde edilir: q Ah T T [68] 37

40 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Böyle ypıln bir ıı trnferi için terml reitn, bu nedenle /Ah tır. Bir örnek olrk, T ıcklığındki bir termometrenin, T L ıcklığınd dh ıck bir ıvının içine konduğu bit terml itemi ele llım. Sıvıdn termometreye doğru ıı kışın krşı gelen terml reitn şğıdki gibidir: q TL T R [69] Termometrenin terml kpitnı şğıdki şekilde bulunur: dt q q C dt Sıvıdn termometreye doğru, dece net bir ıı kışı olduğundn dolyı, bu denklemi şğıdki şekilde ybiliri: dt q C [70] dt Bunu, denklem [69] tki q nun yerine yrk, şğıdki bğıntıyı elde ederi: dt TL T C dt R Bu, yeniden düenlendiğinde şğıdki bğıntı elde edilir: dt RC T T L [7] dt Diferniyel bğıntılr Bu bölümde dh önce ele lınn modellerden de nlşılbileceği gibi, bir çok item diferniyel denklemlerle ifde edilebilir. Bir diferniyel denklem, bir fonkiyonun türevlerini içeren denklemdir. Norml diferniyel denklem terimi, dece tek bğımı değişken ö konuu olduğund kullnılır; eğer iki ve dh çok bğımı değişken vr, denklem, prçlı diferniyel denklem olrk dlndırılır. Bir diferniyel denklemin derece i, denklemde oln en yükek dereceli türevin derecei olrk tnımlnır. Örnek olrk, yukrıd [7] no lu denklem, en yükek dereceli türev dt/dt olduğundn ve dece bir bğımı değişken bulunduğundn; bu 38

41 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş denklem birinci-derece norml bir diferniyel denklemdir. [3]. Denklem, yni: vc dvc d v RC LC dt dt v c en yükek dereceli türev d v c /dt olduğundn ve dece bir bğımı değişkeni bulunduğundn; ikinci-derece olğn diferniyel denkleme örnek göterilebilir. Genelde, n inci dereceden bir olğn diferniyel denklem, y mn bğlı bir fonkiyon ie, n, n-,..., 0 ktyılr olmk üere, şğıdki form hiptir: n n dy dy dy n n... 0 y f t [7] dt n dt n dt Eğer bğımlı değişken ve bütün türevleri birinci-dereceye, bğımlı değişkeni içeren bir terimler çrpımı yok, yni ydy/dt yok, değişkenin trigonometrik logritmik vey ütel fonkiyon formlrı yok, bu diferniyel denklem lineer dir denir. Örnek olrk, dy/dt + y = 0 ve dy/dt + y = 0 lineer diferniyel denklem değillerdir. Diferniyel denklemleri çömek Birinci-dereceden bir diferniyel denklemi, eğer değişkenler yrılbiliyor, yni şğıdki formdy: dy f x [73] dx bu tip denklemleri, her iki trfınd x e göre türevini lrk çöebiliri. dy dx dx f x dx Bu, değişkenleri yırrk şğıdki ifdeyi ymkl eşdeğerdir: dy f x dx [74] Aşğıdki form hip birinci-derece bir fonkiyonu ele llım: dy 0 y 0 [75] dx 39

42 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bir iteme, hrici bir kuvvetin etkiiyle bir girdi yok, homojen bir denklem elde edilir, hrici bir kuvvetin etkiiyle bir girdi vr homojen olmyn bir denklem elde edilir. Örnek olrk: kpitör ütündeki potniyel frkın yükler kpitörden boşlırken mn bğlı nıl değiştiğini çıklyn ve dece bir dirence eri bğlı yüklü bir kpitöre hip bir elektrik devrei için homojen bir diferniyel denklem elde edilir. Bun rğmen kpitör e ve reitör e eri bir e.m.f. kynğımı vr; e.m.f. kynğı, orlyıcı bir girdi ğlr ve homojen olmyn bir denklem elde edilir. Birinci-dereceden diferniyel denklemimi dy/dx + y = 0 olun. Bu tip bir denklem homojendir ve çöümü y = Ce -x dir. Şimdi de denklemimi dy/dx + y = 0 olun. Bu tip bir denklem homojen değildir. Bunun çöümü, y = Ce - x + dir. Böylece, bunun çöümü, homojen denklemin genel çöümüyle bir bşk terimin toplmıdır. Homojen diferniyel denklemin genel çöümü, tmmlyıcı fonkiyon olrk, homojen olmyn çöüm için eklenen terim ie belirli integrl olrk dlndırılır. Belirli integrl, belirlenmiş bir çöümdür; bu durum için homojen olmyn denklem için, y = dir. Eğer bu homojen olmyn denklemde yerine konur, 0 + = 0 elde ederi. Bu d gerçekte bunun belirli bir çöüm olduğunu doğrulr. Belirli bir integrl elde etmek için, çöümün diferniyel denklemin orlyıcı terimiyle ynı formd olcğını vrydık. Böylece, eğer bu bir ktyı ie, y = A yı deneri, eğer + bx +cx +... formundy; y = A + Bx +Cx +... yi deneri, eğer ütel bir terime, y = e kx i deneri; eğer bir inü vey koinü ie, y = Ain ωx + Bco ωx i deneri. Örnek olrk, dy/dx + y =x diferniyel denklemini ele llım: Denklemin homojen hli, dy/dx + y =0 dır. Değişkenleri yırrk, y =e -x tmmlyıcı fonkiyonunu verecek şekilde çöebiliri. Belirli integrl için, y = A + Bx i deneri. Diferniyel denklemde bunu yerine koyrk, B + A + Bx = x denklemini elde ederi. Ktyılrı eşitlerek, A = - ve B = onucunu buluru. Böylece belirli integrl, y = - + x dir ve bu nedenle homojen olmyn diferniyel denklemin çöümü y = Ce -x -+x dir. İkinci-dereceden bir diferniyel denklemin çöümünü elde etmek için, tmmlyıcı fonkiyon ve belirli integrl bulm tekniğini kullnbiliri. Bir örnek olrk, şğıdki ikinci-derece diferniyel denklemin çöümünü belirlemeyi ele llım: 40

43 d y dy 5 6 y x dx dx Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bu denklemin homojen hli şğıdki gibidir: d y dy 5 6 y 0 dx dx Bunun için, çöümün, y = Ce kx şeklinde olduğunu vrybiliri ve bunu homojen denklemde yerine koyrk, şğıdki yrdımcı denklemi elde ederi: Bu, çrpnlrın yrılır -3- elde edilir ve bu nedenle ikide değerimi vr; = 3 ve =. Böylece tmmlyıcı fonkiyon şğıdki gibidir: y Ae 3x Be x Belirli integrli bulmk için, y = C + Dx + Ex yi deneri. Bunu homojen olmyn denklemde yerine koyrk, şğıdki bğıntı elde edilir: E 5Ex D 6 C Dx Ex x Ktyılr eşitlenire, C = 9/08, D = 5/8 ve E = /6 bulunur. Böylece belirli integrl, şğıdki gibidir: y x 6 x böylece homojen olmyn diferniyel denklem için çöüm şğıdki gibidir: y Ae 3x Be x x 6 x 4

44 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş. DİNAMİK TEPKİ Geçici ve krrlı hâl tepkileri Eğer kilonuu ölçmek üere bir bkül üerine çıkrnı, bkül ün götergeindeki rkmlr, krrlı bir değere dönüşene kdr, bir üre lınım ypr. Bu öellik, bir çok itemin krkteritik öelliğidir: bir girdi değişikliği olduğu mn oluşn ve mnl yok oln geçici bir tepki ve bütün geçici tepkiler yok olduğu mn orty çıkn klıcı hâl. Bir itemin toplm tepkii, geçici ve krrlı-hâl tepkilerinin toplmıdır. toplm tepki = geçici tepki + krrlı-hâl tepkii [] Şekil., dikey bir yy itemine bir nlık ıln bir ğırlık onucu nıl tipik bir tepki verdiğini remediyor. mn mn Şekil. Ani bir girdiye krşı tepki mn 4

45 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Stndrt girdi inylleri Stndrt girdi inylleri, birim dım, birim rmp ve drbe dir; Şekil., t = 0 nınd bşlyn bu tip inyllerin, idelie edilmiş formlrını göteriyor. Birim dım fonkiyonu ut ile göterilmektedir. Şekil. Stndrt girdi inylleri t = 0 nınd oluşn birim dım, t < 0 için 0 değerine, t > 0 için değerine hiptir. t = 0 nınd bşlyn birim rmp, t < 0 için 0 değerine, t > 0 için t nınd t değerine hiptir. t= 0 nındki birim drbe, genişlik olrk ıfır rlığın indirgenmiş ve böylece t = 0 nınd onu bir yükekliğe ve birim ln hip, dikdörtgen bir drbe şeklinde düşünülebilir Şekil.3. birim drbe fonkiyonu δt ile göterilir. 43

46 Şekil.3 Birim drbe Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Birinci-derece itemlerin tepkii Birinci-derece bir itemin bir birim dım girdiine verdiği tepkiyi düşünelim; meel, ıck bir ıvıy bir nd okuln bir termometrenin tepkiini düşünelim. Bu ni değişim, dım girdiine bir örnektir. Birinci bölümde, böylei bir değişime krşılık gelen diferniyel denklem [7], şğıdki gibi belirlenmişti: dt RC T T L [] dt burd, T, termometre trfındn göterilen ıcklık; T L, ıvının ıcklığı; R, terml reitn; C, terml kpitntır. Böylei bir denklemi değişkenlerine yırm tekniğiyle çöebiliri. Böylece, değişkenlerine yırmk bie şğıdki denklemi verir: T T L dt dt RC [3] dh onr integrl lırk, A bir bit olmk üere, şğıdki denklemi elde ederi: ln T TL / RC t A Bu denklem, B bir bit olmk üere ve t=/rc olmk üere, şğıdki şekilde yılbilir: T T L e A t / t / e Be t mn biti olrk dlndırılır ve e - üel terimini oluşturmk için gereken mn olrk düşünülebilir. Eğer termometreyi ıck ıvıy t=0 nınd oktuğumuu düşünürek ve o nd T o ıcklığını göteriyor; o mn B = T L T denklemini elde etmemi gerekir. Bu ebeple denklem şğıdki şekilde yılbilir: T t / T0 TL e TL [4] 44

47 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş t büyüdükçe üel terim yok olck ve geçici tepkiyi verecektir. T L, netice olrk elde edilecek krrlı-hl değeridir. Tblo., mn bitinin frklı ktlrı için, elde edilen krrlıhâl tepkilerinin yüdeini göteriyor. Tblo. Birinci-derece item tepkii Zmn % tepki 0 0 t 63. t t t 98. 5t Dh ileri bir örnek olrk, termometrenin bir rmp ıcklık girdiine verdiği tepkiyi düşünelim: meel mnl düenli biçimde rtn bir ıcklık olun. Diferniyel denklem, bir bit ve T 0 t=0 nındki ıcklık olmk üere şğıdki denkleme dönüşür: dt RC T t T 0 [5] dt Bu diferniyel denklemin çöümü şğıdki gibidir: T e t / t T [6] 0 Üel terim, geçici tepkiyi, diğer terimler krrlı-hl tepkiini verir. Krrlı-hl tepkii için dikkt edilmei gereken nokt, termometrenin her mn gerçek ıcklıktn dh düşük bir değeri götermeidir. t nınd gerçek ıcklık t+t o dır ve bu nedenle krrlı-hl htı t dır. İkinci-derece bir itemin tepkii 45

48 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.3 te görülen formd bir yy-mortimn-kütle itemini düşünelim. t = 0 nınd bir F kuvvet girdiine mru kln kütlenin yer değiştirmei y ye krşılık gelen diferniyel denklemünite, denklem[], şğıdki gibidir: d y dy m c ky F dt dt Sönümleme ve F kuvvetinin vrlığınd, şğıdki homojen diferniyel denklemi elde ederi: [7] d y ky 0 dt m [8] Bu, -y ile orntılı bir ivmeye hip bir lınımı tnımlr ve bit bir hrmonik hreketin tnımlrındn biridir. Bu denklemin bir çöümü y = in ωt dir. Eğer bunu denklem [8] de yerine koyrk, k / m yi elde ederi. Bu, ω n doğl çıl frekn olrk dlndırılır. Eğer bu terimi kullnırk, şğıdki denklemi elde ederi: k n [9] m ve önümleme ornı diye dlndırıln biti şğıdki gibi tnımlrk: c mk [0] denklem [7] yi şğıdki formd ybiliri: d y dy F y [] dt dt k n n Bu diferniyel denklem, tmmlyıcı fonkiyon ve belirli integrl ptmı metoduyl çöülebilir. Diferniyel denklemin homojen formu için, yni ıfır girdili denklem için: 46

49 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş d y dy y 0 dt dt n n y=ae t formund bir çöüm bulmyı deneyebiliri. Bu, bie şğıdki yrdımcı denklemi verir: n n 0 n n 0 Bu denklemin kökleri şğıdki gibidir: n 4 n 4 n n n [] Sönümleme ornı 0 ile rınd ie İki tne krmşık kök vrdır: j n Bunu şğıdki gibi ybiliri: j [3] Eğer n n [4] ie, bunun onucund şğıdki denklemi elde ederi. y Ae j t jw t n Ae Be nt jwt jwt e Be n Euler denklemini kullnrk, bunu şğıdki gibi ybiliri: nt y e P cot Qint [5] 47

50 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bu bir bşk lterntif formd yılbilir. Ø çıı ve P ve Q krşı kenrlrın hip dik-çılı bir üçgen düşünürek Şekil.4, in P / P Q ve co Q / P Q. Bu ebeple, bu bğıntıyı kullnrk, inωt+ø=inωt coø+ coωt inø dir ve denklem [5] i, C bir bit ve Ø f frkı olmk üere, şğıdki şekilde ybiliri: y Ce n t in t [6] Bu önümlü inüoidl lınımı tnımlr. Böylei bir hreket, lt önümlüdür. Şekil.4 Ø çıı Sönümleme ornı e eşite Bu, eşit iki kök verir, = = -ω n, ve çöümü, A ve B bit olmk üere, şğıdki gibidir: y At B e nt [7] Bu, lınımı olmyn ütel bir bounmyı tnımlr. Bu tip bir hreket kiritik önümlü hreket olrk dlndırılır. 3 Sönümleme ornı den büyüke Bu, iki reel kök verir: n n n n [8] 48

51 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bunun onucund, A ve B bitler olmk üere, şğıdkini elde ederi: t t Ae Be [9] y Bu, krrlı-hl değerine ulşmı, kritik önümlemeli durumdn dh uun üren üel bir bounmyı tnımlr. Bu hreket, üt önümlemeli hreket olrk dlndırılır. Yukrıdki nli, ikinci-derece diferniyel denklem için tmmlyıcı fonkiyonlrı verir. Belirli bir integrl için, F büyüklüğünde bir dım girdiine hip olduğumu bu durum için, belirli integrl x = A yı deneyebiliri. Bunu diferniyel denklem [] de yerine koyrk, A=F/k bğıntıını elde ederi ve böylece belirli integrl y=f/k dır. Böylece, diferniyel denklemin çöümleri şğıdki gibidir: Sönümleme ornı 0 ile rınd ie, yni lt önümlü ie; t y Ce n in t F / k [0] Sönümleme ornı e eşit ie, yni kritik önümlü ie; t y At B e n F / k [] 3 Sönümleme ornı den büyük ie, yni üt önümlü ie; t t y Ae Be F / k [] Her durumd, t onu giderken; y, F/k değerine gidiyor. Bunun onucund, krrlı-hl değeri F/k dır. Trnfer fonkiyonu Diferniyel denklemler, henü çıktı ve girdi rındki bğıntıyı net biçimde ifde etmemii ğlmıyor. Bunu ypmnın bit bir yolu trnfer fonkiyonu kullnmktır. Bunu kullnmk için, girdi ve çıktının mn nıl bğlı olduğunu göteren diferniyel denklemi, Lplce dönüşümü olrk dlndırıln bir teknik kullnrk, bit bir cebirel denkleme dönüştürürü. Bu dönüşüm, mn düleminden, -dülemine ypılır. Bir itemin krrlı-hl kncı, krrlı-hl çıktıının girdiye ornı olrk tnımlnır. Trnfer fonkiyonu şğıdki şekilde tnımlnır: 49

52 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş çııktınınlplce dönüşönü Trnfer fonkiyonu [3] girdinin Lplce dönüşönü Girdi xt için, çıktı yt dir. Trnfer fonkiyonunun, girdi ve çıktının -düleminde olduğunu götermek için, denklem şğıdki şekilde yılır: Y G S [4] X büyük hrfler -dülemindeki değişkenler için kullnılır. Bunun onucu, -dülemindeki bir item, Şekil 3.5 te göterildiği gibi tvir edilebilir. Şekil 3.5 Zmn düleminde, ve -dülemindeb item Lplce dönüşümü Bir mn fonkiyonu ft nin Lplce dönüşümü şu şekilde tnımlnır: Verilen mn fonkiyonu ft yi e -t ile çrplım ve çrpımın ıfırl onu rınd integrlini llım. Sonuç lbiliyork, ft nin Lplce dönüşümü olrk dlndırır ve L{ft} = F şeklinde göteriri. F L{ft} t e f t dt [5] 0 İntegrlin 0 ile + rınd lındığını ve bu yüden tek-trflı olduğunu ve - ile + tm mn rlığınd lınmdığını dikkt edin. Bir örnek olrk, ft = e t Denklem [5] i kullnrk: Lplce dönüşümünü ele llım. 50

53 L{ft} t t 0 e e dt 0 e Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş t dt t e 0 [6] Bir bşk örnek, birim dım fonkiyonunun Lplce dönüşümünü ele llım. Lplce dönüşümü [7] ile verilmiştir: 0 e t dt e t 0 [7] Şimdi birim drbe fonkiyonunun δt dönüşümünü ele llım. Böyle bir drbe fonkiyonunun, genişliği k oln bir birim ln dikdörtgen drbe fonkiyonunun k genişliğinin, limit k 0 giderken, drbe fonkiyonunu verecek şekilde ltılmıyl oluştuğu düşünülebilir. Şekil.6 d göterilen, birim ln dikdörtgen drbe için, Lplce dönüşümü şğıdki gibidir: L {birim ln drbe} k 0 e k t e k e k dt 0e k k t 0 t k dt Üel fonkiyonunun yerine eri çılımını koybiliri, böylece elde ettiğimi: L{birim ln drbe} 3 k k k... k! 3! Böylece limit k 0 giderken, Lplce dönüşümü e doğru gider ve bu nedenle bir drbenin t = 0 d Lplce dönüşümü: L t [8] 5

54 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.6 Birim ln dikdörtgen drbe Böyle integrllerle uğrşmk yerine, tndrt dönüşümlerin tblolrı mevcuttur ve bu tblolr, bu gibi dönüşümlerin temel öellikleri ile birlikte, çoğu problemin üteinden gelmeyi ğlr. Tblo., yygın bı dönüşümleri göteriyor. Tblo. Lplce dönüşümleri ft birim drbe δt birim dım ut birim rmp t L{ft} n! t n n e -t -e -t te -t 5

55 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş n! t n e -t n b e -t _ e -bt b -t e -t b e b t e b bt b b w in ωt w co ωt -co ωt w w w w e -t in ωt w e -t co ωt w e w w t e in t, < w w t in t co w w w Temel öellikler Aşğıdkiler, dönüşümün bı temel öellikleridir: Lineerlik Eğer iki yrı mn fonkiyonu ft ve gt Lplce dönüşümüne hipe, mn fonkiyonlrının toplmının Lplce dönüşümü, yni ft+gt, iki fonkiyonun Lplce dönüşümlerinin toplmın eşittir: L {ft gt} L{ft} L{gt} [9] Birinci kydırm teoremi, e -t çrpnı Bu teoremin ifde ettiği, L {ft}=f ie 53

56 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş L {e -t ft} F [30] Dolyııyl, yerine + koymk bir mn fonkiyonunu e -t ile çrpmktır. 3 İkinci kydırm teoremi, mn kydırmı İkinci kydırm teoremi, eğer bir inyl T mnı kdr geciktirilire, bu inylin Lplce dönüşümünün e -T ile çrpıldığını ifde eder. Dolyııyl, F, ft nin Lplce dönüşümü ie: -T L {ft - Tut - T} e F [3] 4 Periyodik fonkiyonlr Sinylin birinci periyodundki fonkiyonun Lplce dönüşümü F ie T periyotlu bir periyodik inylin Lplce dönüşümü şğıdki gibidir: e T F [3] 5 Türevler Bir fonkiyonun türevinin Lplce dönüşümünü belirlemeyi ele llım, yni L{dft/dt}. Denklem [5] i kullnrk: L d dt 0 t d f t e f t dt dt Prçlı integrli kullnrk, f0, ft nin t=0 nındki değeri ve F, ft nin Lplce dönüşümü olmk üere : d t L f t f 0 e f t dt f 0 F [33] dt 0 İkinci-derece bir türev için, df0/dt, t=0 nınd birinci türevin değeri olmk üere, bener biçimde şğıdki bğıntı elde edilir: 54

57 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş L d dt t d f t e f t dt 0 dt t d t d e f t e dt 0 dt 0 d f 0 [ f 0 F ] dt F f 0 d dt f 0 f t dt [34] Bener biçimde, üçüncü-derece bir türev için, d f0/dt, t=0 nınd ikinci türevin değeri olmk üere, şğıdki bğıntı elde edilir: 3 d 3 d d f t F f 0 f 0 f 0 3 dt dt dt L [35] Denklem [33], [34], [35] ten de nlşılcğı üere: Bşlngıç değerleri ıfır olmk üere, mn bğlı bir fonkiyonun türevini lmk, bu fonkiyonun Lplce dönüşümünü ile çrpmkl eşdeğerdir. 6 İntegrller Bir fonkiyonun integrlinin Lplce dönüşümü için, yni: L Eğer t f t dt 0 gt f t dt olur: t 0 d dt g t f t Denklem [33] kullnılrk şğıdki bğıntı elde edilir: L d g t G g0 dt g0=0 ve G=L{gt} olduğundn: 55

58 L t { f t} L f t dt 0 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş t f t dt F 0 L [36] Bir fonkiyonun integrlini lmk, fonkiyonun Lplce dönüşümünü ye bölmek ile eşdeğerdir. Ter Lplce dönüşümü Ter Lplce dönüşümü, bir Lplce dönüşümünün, bir mn fonkiyonun dönüştürülmeidir. Eğer L{ft}=F ie ft, F in ter Lplce dönüşümü dür, teri şğıdki gibi yılbilir: f t L - { F } [37] Teri, genelde, tndrt dönüşümler kullnılrk elde edilebilir; yni Tblo. deki dönüşümler gibi Terinin temel öellikleri, tndrt dönüşümlerle berber, tblodki dönüşümlerden dh geniş çplı dönüşümleri elde etmek için kullnılbilir. Ter Lplce dönüşümünün temel öellikleri şğıdki gibidir: Lplce dönüşümünün lineer olm öelliği şğıdki nlm krşılık gelir; eğer elimide, iki yrı terimin toplmındn oluşn bir dönüşüm vr, her ikiinin terini yrı yrı lbiliri ve iki ter dönüşümün toplmı, toplmın ter dönüşümüdür: L { F G } L { F } L { G } [38] Lineerlik ynı mnd, bir bit olmk üere, şğıdki öelliği verir: L - { F } L- { F } [39] Birinci kydırm teoremi, ter formd, ft, F in ter dönüşümü olmk üere, şğıdki şekilde ifde edilebilir: - t L { F } e f t [40] 56

59 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 3 İkinci kydırm teoremi, ter formd şğıdki şekilde ifde edilebilir: - L { e T F } f t T u t T [4] Sonuç olrk, eğer ter dönüşüm pyınd, e -T terimi vr, bu terimi ifdeden kldırırı, kln kımın ter Lplce dönüşümünü lırı ve onuçt elde ettiğimi bğıntıd, t yerine t-t koyrı. Çoğu mn F, iki polinomun ornıdır ve tndrt bir form olrk belirleneme. Bun rğmen, kımi keir kullnımı, çoğu mn bu tip bir ifdeyi, tndrt dönüşümlerle dönüştürülebilecek bit keirlere indirger. Pydnın derecei, pyın dereceinden büyük olduğu mn, bu ifde doğrudn kımi keirlere yrılbilir. Kımi keir trfındn oluşturuln form, elimideki pyd tipine bğlıdır. Eğer pyd lineer fktör içeriyor, yni x+ formund bir fktör; o mn, bu tipte her bir fktör için, A bir bit olmk üere, şğıdki formd bir keir vrdır: A x [4] Eğer pyd, tekrr eden lineer fktör içeriyor, yni x+ n formund bir fktör; o mn, x+ nın her bir kuvveti için bir kımi keir olmk üere, şğıdki formd keirler olcktır: A B C... [43] x x x n 3 Eğer pyd, indirgenemeyen kudrtik fktör içeriyor, yni x +bx+c formund bir fktör; o mn, her bir fktör için, şğıdki formd bir kımi keir vrdır: Ax B x bxc [44] 57

60 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 4 Eğer pyd, tekrr eden kudrtik fktör içeriyor, yni x +bx+c n ; o mn, kudrtik denklemin her bir kuvveti için, şğıdki formd kımi keirler vrdır: Ax B x bxc x x Cx D bxc Ex F bxc... n [45] A, B, C v.b. bitlerinin değerleri, y kerin ve bu kerin kımi keirlerinin eşitliğinin bütün x değerleri için doğru olduğu gerçeğinden bulunur; y d keirdeki x n in ktyılrının kımi keirler çrpıldıktn onrki keirdeki x n lere eşit olduğu gerçeğinden bulunur. Bunu örneklemek için, şğıdki kerin deleştirmeini düşünün: 3x 4 x x Bu, pydınd iki tne lineer fktör brındırır ve bu yüden kımi keirleri, her bir lineer terim için bir kımi keir olmk üere, şğıdki formddır: A B x x Bu iki ifdenin eşit olmı için, şğıdki bğıntıyı elde etmemi gerekir: 3x 4 A B Ax Bx x x x x x x Böylece, şğıdki ifdeyi elde ederi: 3x 4 A x B x Bu bğıntının bütün x değerleri için doğru olduğu gerekliliğini düşünün. O mn, x=- olduğu mn, şğıdki ifdeyi elde ederi: 58

61 3 4 A B Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bu ebeple A= dir. x=- olduğu mn şğıdki ifdeyi elde ederi: 6 4 A B Bu ebeple B= dir. Alterntif olrk, bu ifdeyi çrprk ve ktyılrı gö önüne lrk, bu ktyılrı belirleyebilirdik, yni: 3 x 4 A x B x Ax A Bx B Bunun onucu, x in ktyılrının eşit olmı ve 3=A+B ve ktyılrın birbirine eşit olmı için, 4=A+B olmk orund. Bu iki eş mnlı denklem A ve B yi verecek şekilde çöülebilir. Pydnın derecei, pydn küçük vey eşit olduğu mn, onuç, kln keir kımının pydının derecei pyın dereceinden büyük oln terimlerin toplmı oln kdr, pyd py bölünmelidir. Bşlngıç ve on değer teoremleri Bir fonkiyonun bşlngıç değeri, o fonkiyonun 0 mnındki değeri ve on değeri de mn onu olduğundki değeridir. Çoğu mn, itemlerin bşlngıç ve on değerlerini belirlememi gerekir; meel bir elektrik devrei için diyelim ki bir dım girdi vr; bu durumd on değerimi, çoğu mn krrlı-hl değeri olrk dlndırılır. Bşlngıç ve on değer teoremleri, ter dönüşümünü bulmk orund olmkıın, bşlngıç ve on değerlerini, Lplce dönüşümünden bulmmıı ğlr. ft nin Lplce dönüşümü, denklem [5] te verildiği üere, şğıdki gibidir: t L { f t} e f t dt o ve bu nedenle: d t d { f t} e f t dt dt dt o L [46] prçlı integrl lm yöntemiyle şğıdki denklemi elde ederi: 59

62 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş t t e f t e f t dt f 0 F d { f t} 0 dt o L [47] onu giderken, e -t ıfır gider. Böylece, denklem [46] nın onucu olrk, onu giderken, L{dft/dt} ıfır gider. Bu ebeple, denklem [47] şğıdki bğıntıyı verir: lim [ f 0 F ] 0 ve bu nedenle: lim F f 0 Fkt f0, fonkiyonun t=0 nındki bşlngıç değeridir. Bunun onucu, limitinin olmı koşuluyl, şğıdki ifdeyi elde ederi: lim f t t 0 [48] lim F Bu ifde, bşlngıç değer teoremi olrk bilinir. Şimdi de denklem [47] yi ıfır giderken düşünelim. O mn e -t e gider ve bu nedenle: lim[ e t 0 0 d dt f t dt] 0 d dt f t dt Bu integrli şğıdki şekilde ybiliri: 0 d dt t f t dt lim t 0 d dt f t dt lim[ f t f 0] t Bu nedenle şğıdki ifdeyi elde ederi: lim[ f 0 F ] lim[ f t f 0] 0 t ve bu nedenle, limitinin olmı koşuluyl şğıdki ifdeyi ybiliri: lim f t lim F [49] t 0 Bu on değer teoremi olrk dlndırılır. Srınım teoremi 60

63 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Lineerlik öelliği, bir dii dönüşümün toplmının ter dönüşümünün, yrı terimlerin ter dönüşümlerinin toplmı olduğunu öyler. Fkt bir çrpımın ter dönüşümü için ne öylenebilir? Bu çrpnlrın ter dönüşümlerinin çrpımı mıdır? Bu orunun cevbı, bir onrki örnekte de görüleceği üere, hyırdır. / nin ter dönüşümünü düşünün. Bunun ter dönüşümü t dir. Fkt / yi / ve / in çrpımı şeklinde düşüneydik ne olcktı./ in ter dönüşümü dir ve böylece, L - {/} ve L - {/} in çrpımı, x= olcktı ki bu d keinlikle doğru cevp t ye eşit değil. - - L - { F G } L { F } L { G } [50] Eğer F, ft nin Lplce dönüşümü ve yrıc G de gt nin Lplce dönüşümü ie; iki Lplce dönüşümünün çrpımı, iki fonkiyon, ft ve gt nin rınımı/konvoluyon u olrk dlndırılır. Aşğıdki şekilde yılır: Böylece: F G L{ f t* g t} [5] - L { F G } f t* g t [5] Bunun d şğıdki ifdeye eşit olduğu göterilebilir: t - L { F G } f t* g t f g t d [53] 0 Bu, rınım/konvoluyon teoremi olrk bilinir. Denklem [53] teki t ve τ rındki yrım dikkt edin, integrl τ ye göre lınıyor, integrl gö önüne lındığınd, t burd bittir. Örnek olrk, / - in ter Lplce dönüşümünü düşünün. Bunu iki terimin, F=/ ve G=/-, çrpımı olrk düşünün. Bunlr ft=t ve gt= e t yi verir. Böylece denklem [53] ü kullnrk, şğıdki ifdeyi elde ederi: L - t 0 t e d t t t - - t e e d e [ e e ] 0 0 t -t -t t e te e e t 6

64 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Lplce dönüşümü kullnrk belirlenen tepki Trnfer fonkiyonlrının diferniyel denklemlerden ve bundn dolyı d itemlerin tepkilerinin girdi inyllerinden belirlendiğini düşünün. Birinci-derece itemler Genelde, birinci-derece bir item için, yt çıktıı, xt girdii ile şğıdki formd bir diferniyel denklem ile bğlntılıdır: dy 0 y b0 x dt [54] Denklem [54] ün Lplce dönüşümünü lırk şğıdki bğıntıyı elde ederi: [ Y y0] 0Y b0 X Bşlngıç değerleri ıfır olur, trnfer fonkiyonunu şğıdki şekilde ybiliri: Y b0 G X 0 Bu d, genel olrk, G krrlı-hl kncı ve / 0 =τ, mn biti olmk üere, şğıdki formd yılbilir: b0 / 0 / G [55] 0 Bir örnek olrk, G/τ+ trnfer fonkiyonun hip birinciderece bir itemin, birim dım girdiine verdiği tepkiyi düşünün. Birim dım girdii, / Lplce dönüşümüne hiptir, böylece: G / Y G X G / 6

65 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Çıktı y yi, mn bğlı bir fonkiyon olrk bulbilmek için, Y in ter Lplce dönüşümüne ihtiycımı vr. Dönüşüm, =/τ olmk üere, G biti ve /+ çrpımı formund bir dönüşümdür. Tblo., bu tip bir dönüşüme hip bir fonkiyonun -e -t olduğunu göterir ve böylece: t / y t G e [56] Dh ileri bir örnek için, yukrıdki itemin bir birim drbe girdiine, t=0 nınd verdiği tepkiyi düşünün. Bu tip bir drbe için Lplce dönüşümü dir ve bu nedenle: G / Y G X G / dönüşüm, =/τ olmk üere, /+ ile bit G nin çrpımıdır. Tblo., bu tip bir dönüşüme hip fonkiyonun e -t olduğunu göterir ve böylece: t / y t Ge [57] İkinci-derece itemler Genelde, birinci-derece bir item için, yt çıktıı, xt girdii ile şğıdki formd bir diferniyel denklem ile bğlntılıdır: d y dy 0 y b0 x dt dt [58] Bütün bşlngıç değerleri ıfır olmk üere, Lplce dönüşümünü lırk şğıdki bğıntıyı elde ederi: 0 0 Y Y Y b X Bu nedenle: G Y b0 X 0 [59] 63

66 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 64 Bu d çoğu mn, doğl çıl frekn 0 / n ve önümleme fktörü 0 / olmk üere, şğıdki şekilde yılır: / / / / n n n b b G [60] Bir örnek olrk, trnfer fonkiyonu denklem [60] tki gibi oln bir ikinci-derece itemin, bir birim dım girdiine verdiği tepkiyi düşünün. Birim dım girdii, / Lplce dönüşümüne hiptir, çıktı dönüşümü Y şğıdki gibidir: / 0 0 n n n b X G Y [6] Bu d, p ve p denklemin kökleri olmk üere, şğıdki formd yılbilir: / 0 0 p p b Y n [6] n n Böylece: 4 4 n n n n n p [63] ζ> için, krekök terimi reeldir ve Y in ter Lplce dönüşümü, kımi keirler kullnılrk, yukrıdki denklemi deleştirme yoluyl elde edilebilir: p C p B A p p Bu d A+p +p +B+p +C+p = eşitliğini verir ve bu nedenle, A=/ p p, B=-/ p p p ve C=/ p p p bulunur. Bundn dolyı: t p t p n e p p p e p p p p p b t y 0 [64] Tepki üt önümlüdür.

67 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ζ= için, p =p =-ω n bulunur. O mn d ter dönüşüm şğıdki şekle dönüşür: Y b0 n n Bu denklem, kımi keirler yoluyl şğıdki ifdeyi verecek şekilde deleştirilebilir: Y b0 Ve bu nedenle: n n wnt wnt y t b e te [65] 0 n n Tepki kiritik önümlüdür. ζ< için, kökler nldır. Kımi keir kullnrk deleştirme yoluyl vey tblo 3. de verilen tndrt bir dönüşümü kullnrk, ter dönüşümün, co Ø =ζ olmk üere, şğıdki gibi ifde edildiğini buluru: e nt y t b in 0 n t Tepki lt önümlüdür. [66] Sitemlerin blok diygrm göterimi Bir trnfer fonkiyonu, X girdi, Y çıktı ve trnfer fonkiyonu G girdiyi çıktıy dönüştüren olrk kutunun içindeki işlem olmk üere, blok diygrm olrk göterilebilir. Blok, girdi için bir çrpımı temil eder. Sitemlerin, bir tkım lt itemlerini de içeren, blok diygrmlrı, bit bir blok diygrmın dönüştürülebilir. Seri itemler Eğer bir item, birbirine eri bğlnmış bir tkım lt itemlerden oluşuyor Şekil.7, itemin toplm trnfer fonkiyonu Gşğıdki gibi verilir: 65

68 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 66 3 G G G Y Y Y Y X Y X Y G [67] Böylece: Seri bğlnmış elemnlrdn oluşn bir item için toplm trnfer fonkiyonu, her bir elemnın trnfer fonkiyonunun çrpımıdır. Şekil.7 Seri item elemnlrı Örnek olrk, biriinin trnfer fonkiyonu /+, diğerinin /+ oln iki elemnın eri bğlnmındn oluşmuş bir itemin toplm trnfer fonkiyonu şğıd verildiği gibidir: fonkiyonu trnfer toplm Geri belemeli itemler Negtif beleme döngüü oln itemler için, Figür.8 de göterildiği gibi, çıktı, trnfer fonkiyonu H oln bir itemin, G iteminin girdiinden çıkrılmı yoluyl geri beleniyor olm durumu ö konuu olbilir. geri beleme inyli HY tir ve böylece G iteminin girdii, yni ht, X-HY tir. Bundn dolyı: Y H X Y G

69 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.8 Negtif geri belemeli item ve bu nedenle: GH Y G X Bu denklem de, şğıdki ifdeyi verecek şekilde yeniden düenlenebilir: itemin trnfer fonkiyonu Y G X G H [68] Böylece: Negtif geri belemeli bir item için, toplm trnfer fonkiyonu, ileri yol trnfer fonkiyonunun, bir ile ileri ve geri beleme yollrının trnfer fonkiyonlrının çrpımlrının toplmın bölümüdür. Poitif geri belemeli bir item için Figür.9, geri belenen inyl HY tir ve böylece G iteminin girdii X+HY tir. Bundn dolyı: Y G X H Y ve bu nedenle: GH Y G X Bu denklem de, şğıdki ifdeyi verecek şekilde yeniden düenlenebilir: itemin trnfer fonkiyonu Y G X G H [69] Böylece: Poitif geri belemeli bir item için, toplm trnfer fonkiyonu, ileri yol trnfer fonkiyonunun, birin ve ileri ve 67

70 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş geri beleme yollrının trnfer fonkiyonlrının çrpımlrının frkın bölümüdür. Şekil.9 Poitif geri belemeli item Bir örnek olrk, negtif geri beleme döngü trnfer fonkiyonu 4 ve ileri yol trnfer fonkiyonu /+ oln bir kontrol iteminin toplm trnfer fonkiyonu, şğıdki gibidir: itemin trnfer fonkiyonu 4 0 Poitif geri beleme döngü trnfer fonkiyonu 4 ve ileri yol trnfer fonkiyonu /+ oln bir kontrol iteminin toplm trnfer fonkiyonu, şğıdki gibidir: itemin trnfer fonkiyonu 4 6 İleri belemeli döngüler Figür.0 ile göterilen itemi düşünelim. Bu ileri beleme döngüüne hiptir ve Y, G X ile G Xx çıktılrının toplmıdır. Böylece, ileri beleme döngüü, şğıdki trnfer fonkiyonun hip tek bir item olrk göterilebilir: 68

71 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş itemin trnfer fonkiyonu G G [70] Şekil.0 İleri beleme döngüü Şekil. de göterilen ileri beleme itemi için, çıktı Y, G X eki G Xx dir. Böylece, ileri beleme döngüü, şğıdki trnfer fonkiyonun hip tek bir item olrk göterilebilir: itemin trnfer fonkiyonu G G [7] Şekil. İleri beleme döngüü Ayrılm ve toplm noktlrını tşımk Blok diygrmlrını deleştirme nlmınd, çoğu mn yrılm noktlrını ve toplm köşelerini hreket ettirmek gerekir. Burdn onrki şekiller.-.7 Figürleri, bu tip hreketler için gerekli 69

72 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş temel kurllrı göteriyor ki bu tip hreketlerin hepindeki e kurl, eşdeğer blok diygrmın ynı çıktı inyli vermeidir. Şekil. Ayrılm noktının bloğun önüne tşınmı Şekil.3 Ayrılm noktının bloğun rkın tşınmı Şekil.4 Toplm noktlrının tekrr düenlenmei 70

73 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.5 Toplm noktlrının yer değiştirmei Şekil.6 Bir toplm noktının bir bloğun önüne getirilmei 7

74 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.7 Bir toplm noktının bir bloğun rkın getirilmei Geri beleme ve ileri beleme yollrını değiştirme.8 ve.9 Şekilleri, ileri beleme ve geri beleme yollrını değiştirmede kullnıln blok deleştirme tekniklerini göteriyorlr. Figür 3.8 Bir bloğun geri beleme yolundn çıkrılmı Figür 3.9 Bir bloğun ileri beleme yolundn çıkrılmı Blok deleştirmei göterimi Blok deleştirme tekniklerinin kullnımın örnek olrk, Figür.0 de göterilen itemi düşünün..-.6 Şekilleri, deleştirmedeki çeşitli şmlrı göteriyor. 7

75 Şekil.0 Sdeleştirilecek devre Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil. Bir yrılm noktının tşınmı Şekil. Bir ileri beleme döngüünün elimine edilmei Şekil.3 Seri elemnlrın deleştirilmei 73

76 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.4 Bir geri beleme elemnının deleştirilmei Şekil.5 Seri elemnlrın deleştirilmei Şekil.6 Negtif geri belemenin deleştirilmei Çoklu girdiler Bir iteme birden fl girdi olduğu mn, üperpoiyon proedürü uygulnbilir. Böylece: Biri hricindeki tüm girdileri ıfır ypın. Sıfır olmyn bu tek girdiye krşılık gelen çıktıyı bulun. 3 Yukrıdki şmlrı ırdki her bir girdi için tekrr edin. 4 Sitemin toplm çıktıı, her bir girdi için bulunn çıktılrın cebirel toplmıdır. Yukrıdki proedürü, örneklemek için, Şekil.7 de göterilen, dış etki girdii oln, itemi düşünün. 74

77 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 7 Dış etken girdiine hip bir item D i ıfır yprk, Şekil.8 de göterilen itemi elde ederi ve çıktı şğıdki gibi olur: Y X 3 [7] Şekil.8 Dış etken girdii ıfır eşitlenmei Eğer şimdi de X i ıfır yprk, şekil.9 d göterilen itemi elde ederi. Bu, ileri yol trnfer fonkiyonu /, poitif geri beleme trnfer fonkiyonu / + 3[-+] oln bir itemdir. Bu item şğıdki çıktıyı verir: Y 3 D 3 [73] Toplm çıktı, her bir girdiye krşılık gelen çıktılrın toplmıdır, yni 3 Y X D [74] 3 3 Şekil.9 Girdinin ıfır eşitlendiği item 75

78 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Sinyl kış grfikleri Bir inyl-kış grfiği, blok diygrmın deleştirilmiş veriyonu olrk düşünülebilir. Bu, girdi-çıktı ilişkilerini remetmenin grfikel bir metodudur. Sinyl-kış grfiklerinin iki elemnı vrdır, dl ve düğüm. Dl, bloğun eşdeğeridir ve düğüm, bütün girdilerin rtı işretli olduğu toplm embolünün eşdeğeridir Şekil.30. Her bir dld, oklrl göterilen yönler vrdır ve bir inyl bir dl üerinden nck okl göterilen yönde geçebilir. Herhngi bir düğümdeki inyl, düğümdeki bütün girdilerin toplmıdır. Şekil.30 Blok diygrmlr ve inyl-kış grfikleri Bir inyl, bir dl boyunc, bir düğümden diğerine, okl göterilen yönde hreket eder. Bu işlem boyunc, inyl, o dl üerinde belirtilen knçl çrpılır. Bu nedenle, Şekil.3 de belirtilen dl için, düğüm ve rındki dlın kncı olmk üere, şğıdki ifdeyi elde ederi: y [75] y Şekil.3 Sinyl-kış grfiği 76

79 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.3 de belirtilen dllr ve düğümler için, 3 düğüm 3 ve rındki kolun kncı olmk üere, şğıdki ifdeyi buluru: y y [76] 3 y3 Şekil.3 Sinyl-kış grfiği Şekil.33 de belirtilen dllr ve düğümler için, şğıdki ifdeleri buluru: y y 3 y3 [77] y3 3 y 43 y4 [78] Şekil.33 Sinyl-kış grfiği Dl ve düğümlere ek olrk, şğıdki terimler de, inyl-kış grfiklerini çıklmd kullnılır: Girdi düğümükynk Bu, dece, çıktı dllrı oln bir düğümdür. Çıktı düğümübtk Bu, dece, girdi dllrı oln bir düğümdür. 3 Htl 77

80 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bir ht, bğlntılı dllr üerinden oklr yönünde, hiç bir düğümden bir defdn fl geçmemek koşuluyl oluşturuln güerghlrdır. 4 İleri ht/yol Bu, girdi düğümünde bğlyıp, çıktı düğümünde biten, bir düğümden birden fl geçmemek koşuluyl oluşturuln httır. 5 Yol kncı Bu, üerinden gidilen ht boyunc geçilen dl knçlrının çrpımıdır. 6 İleri-yol kncı Bu, ileri bir yolun, yol kncıdır. 7 Döngü Döngü, ynı düğümde bşlyıp-biten yoldur. Şekil.33 te, düğüm de bşlyn, düğüm den 3 e giden dl üerinden devm eden ve tekrr düğüm ye dönen bir döngü vrdır. bir bşk örnek olrk, Şekil.34 te göterilen inyl-kış grfiğinde, döngü için y = y dir ve bu nedenle: y y y [79] Şekil.34 Bir döngüye hip inyl-kış grfiği 8 Döngü kncı Bu, bir döngünün yol kncıdır. Sinyl-kış cebiri Aşğıdki kurllr, kullnbileceğimi, temel kurllrdır: 78

81 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş İki düğümü birleştiren ynı yönlü prlel dllr, kncı dllrın knçlrı toplmın eşit oln tek bir dl ile yer değiştirebilir Şekil.35. Şekil.35 Prlel dllr Hepi ynı yönde oln dllrın eri bğlntıı, kncı, dllrın knçlrı çrpımın eşit oln tek bir dl ile yer değiştirebilir.şekil.36 Şekil.36 Seri dllr 3 Seri bğlm kurlı, Şekil.37 de göterilen deleştirmeyi verecek şekilde uygulnbilir. 79

82 Şekil.37 Dl deleştirilmei Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Sinyl-kış grfiklerinin oluşturulmı Sinyl-kış grfiklerinin oluşturulmı, düğüm olck değişkenleri ve bu değişkenler rındki ilişkileri tnımlyn denklem etini belirlemeyi içerir ve dh onr bunlr çeşitli dl ve döngülerin oluşturulmın imkn tnır. Bir örnek olrk, bir geri beleme itemini göteren şekil.38 yı düşünün. Değişkenler, Y, X ve E tir ve bu nedenle, bunlr düğümleri oluştururlr. Düğümlerdeki inyllerin denklemleri şğıdki gibidir: Ve E X H Y [80] Y G E [8] Bunun onucund, E düğümü, birii X düğümünü ile çrpn ve diğeri Y düğümünü H ile çrpn, iki tne girdi dlın hip olmlıdır. Y düğümü, E düğümünü G ile çrpn bir girdi dlın hip olmlıdır. Şekil.38b, onuçt oluşn inylkış grfiğini göteriyor. Şekil.38 Geri beleme itemi 80

83 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Dh ileri bir örnek için, Şekil.39 d göterilen RLC devreinin inyl-kış grfiğini belirlemeyi düşünün. Değişkenler ve böylece düğümler, E, I ve V tir; V burd kpitör üerindeki çıktı voltjıdır. Tnımlm denklemlerini elde etmek için, et, it ve vt yi ilişkilendiren diferniyel denklemi elde edebiliri. Devreye Kirchoff un voltj knununu uygulrk, bie şğıdki ifdeyi verir: dv t e t Ri t v t L dt [8] Akım için, ynı mnd şğıdkini elde ederi: i t dv t C dt [83] Şekil.39 RLC devrei Bütün bşlngıç değerlerini ıfır kbul ederek, Lplce dönüşümlerini ele lırk; şğıdki ifdeleri elde ederi: E RI V LI [84] I CV [85] 8

84 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bunlr d şğıdki denklemi verir: I E V R L R L [86] Böylece, denklem [86], I düğümü için; E düğümünden gelen girdileri /R+L ile çrpn bir dl; V üerinden gelen girdileri -/R-L ile çrpn bir dl olduğunu göteriyor. V düğümünün girdii I in /C ile çrpımıdır. Figür.39b, inyl-kış grfiğini göteriyor. Genel knç formülü Toplm trnfer fonkiyonu, bir inyl-kış grfiğinden, toplm kncı belirlemek için her bir dl üerinde itemtik biçimde çlışm yoluyl çıkrılbilir. Dh bit bir lterntif Mon un genel knç formülünü kullnmktır: T y y out in N T k k k [87] Burd, T; girdi düğümü y in ve çıktı düğümü y out rındki toplm knç, N; y in ve y out rındki ileri yollrın toplm yıı ve T k ; y in ve y out rındki k indekli ileri yolunun kncı ve şğıd tnımlndığı gibidir: = - bütün döngü knçlrının toplmı + birbirine değmeyen döngü çiftlerinin tmmının knç çrpımlrının toplmı - birbirine değmeyen üçlü döngülerin tmmının knç çrpımlrının toplmı + birbirine değmeyen dörtlü döngülerin tmmının knç çrpımlrının toplmı v.. [88] k, inyl-kış grfiğinde, k indekli ileri yolun değmeyen prçının, değeridir. Knç formülü, dece, bir çift girdi ve çıktı düğümü için uygulnbilir. Sinyl-kış grfikleri ve blok diygrmlrı rındki benerlikten dolyı, knç formülü her ikii içinde kullnılbilir. Genel knç formülünün kullnımın bir örnek olrk, Şekil.40 t yer ln inyl-kış grfiği ile tnımlnn bit geri beleme kontrol itemine uygulmını düşünün blok diygrmı için Şekil.38 e bkını. 8

85 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.40 Geri beleme itemi Girdi değişkeni X ve çıktı değişkeni Y tir. Bunlr rınd dece bir tne ileri yol vrdır ve yol kncı T =G tir. Sdece bir döngü vrdır ve bu GH döngü kncın hiptir. İleri yol bu tek döngü ile birbirine bitişiktir; böylece, = ve = - -GH tir. Bundn dolyı: Y X T G G H [89] Dh ileri bir örnek için, Şekil.4 deki devrenin inyl-kış grfiğine uygulmını düşünün. Sinyl-kış grfiği, beş değişken, v, v, v 3, i ve i, olduğu gö önüne lınır ve Kirchoff un voltj ve kım knunlrı uygulnır şğıdki ifdeyi verecek şekilde bulunur: i v v [90] R R 83

86 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.4 Bir devre ve inyl-kış grfiği v R3i R3i [9] i [9] v v3 R R v [93] 3 R4i Sdece kncı R 3 R 4 /R R oln bir tne ileri yol vrdır ve knçlrı R 3 /R, -R 3 /R,-R 4 /R oln üç tne döngü bulunur. İki tne birbirine değmeyen döngü vrdır, ilki ve onuncuu Bu nedenle, birbirine değmeyen iki döngünün knç çrpımı R 3 R 4 /R R dir. İkiden fl, bir birine değmeyen döngü kombinyonu yoktur. Böylece: R3 R3 R4 R3R4 R R R R R [94] Bütün döngüler, ileri yol üerinde olduklrındn, = dir. Bu nedenle, genel knç formülü uygulnmı şğıdki ifdeyi verir: v3 P v R3R4 R R R R3 R R4 RR3 R3R4 [95] 84

87 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Kutup ve ıfır DEĞERLERİ Kutup ve ıfır değerleri Lineer bir itemin trnfer fonkiyonu, genelde 0,,..., m ve b,b,...,b n itemin modeli oln diferniyel denklemdeki reel ktyılr olmk üere, iki tne e bğlı polinomun ornıdır: b b b b b G n n n n n n m m m m m m [] Bu denklem, py ve pydnın kökleri şeklinde, K bit bir çrpn vey knç fktörü,,,..., m pyın kökleri ve p,p,...,p n pydnın kökleri olmk üere, şğıdki gibi ifde edilebilir: n m p p p K G [] Yukrıdki bğıntıd pyın kökleri ıfırlr ve pydnın kökleri ie kutuplr olrk dlndırılır. Sıfır değerleri, pyı; dolyııyl trnfer fonkiyonunu ıfır ypn değerleridir. Kutup değerleri, pydyı ıfır ypn, dolyııyl trnfer fonkiyonunu tnımı ypn değerleridir. Örnek olrk, eğer şğıdki gibi bir trnfer fonkiyonumu vr:

88 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş G o mn, dece = - de bir ıfır vrdır; bu değer, pyı ıfır ypr, ve =0 d bir tne kutup değeri bulunur; bu değer de pydyı ıfır ypr. Bir bşk örnek olrk, şğıdki fonkiyonu düşünelim: G 3 Bu ifdede, hiç ıfır değeri bulunm. Kutuplr, ++3=0 denkleminin kökleridir ve bundn dolyı kutup değerleri şğıdki gibidir: 0.5 j.66 Bu ebeple iki tne kutup değeri vrdır, 0.5+j.66 ve 0.5-j.66. Kutup ve ıfır değerleri y reeldirler y d komplek eşlenikler şeklinde bulunurlr. Genel olrk, kutup ve ıfırlr, σ reel kıım, jω nl kıım olmk üere, şğıdki gibi ifde edilebilirler: j [3] Snl kıım için, ω embolünün kullnılmının önemi, bu bölümde dh onr, bu terimin geçici tepki üerindeki etkii ve 5. bölümde de frekn tepkii nltıldığı mn dh belirgin olcktır. Kutup-ıfır çiimleri 86

89 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 3. Kutup-ıfır çiimi Kutup ve ıfırlr bir Arjnd diygrmı üerine çiilebilirler; bu diygrm -dülem diygrmı olrk dlndırılır. Diygrmın ekenleri, in reel ve nl kıımlrıdır. Kutuplr, -düleminde, küçük çrpılr şeklinde çiilirler, ıfırlr d küçük direler şeklinde. Çiimin ol trfındki kutup ve ıfırlr, negtif reel kıımlr hiptirler ve çiimin ğ trfınd klnlr ie poitif reel kıımlr hiptirler. Yukrıd Şekil 3., kutuplrı - ve ±j oln ve 3 te bir ıfırı oln bir trnfer fonkiyonunun nlttığımı trd bir diygrmını göteriyor. Sbit çrpn dışınd, bir kutup-ıfır çiimi, trnfer fonkiyonunun içerdiği bütün bilgiyi içerir. Kutup konumu ve geçici tepki Aşğıdki item durumlrını düşünün: Ayrı reel kökler Ayrı komplek kökler 3 Tekrr eden kökler Ayrı reel kutuplr Trnfer fonkiyonunun genel formun hip, N py polinomu ve dece reel kutuplr olmk üere, yni dece =σ için, bir item düşünelim: G N K p p... p [4] n Eğer bu item bir birim drbe girdiine mru klır, itemin tepkii Y şğıdki gibi olcktır: 87

90 N K p p... Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Y [5] p n Denklem [5] i bir terim eriine genişletmek için, kımi keirleri kullnbiliri: K K Y... n [6] p p pn K Bu terimleri tekrr mn dülemine dönüştürürek, birim drbe girdiine krşılık gelen yt tepkii şğıdki şekliyle bulunur: p t p t p n t y t K e K e... Ke [7] Böylece, item trnfer fonkiyonundki her bir reel kutup, itemin drbe girdiine verdiği tepkinin denkleminde ütel bir terime krşılık gelir. Sbit değerleri, K, K,..., K n, pydn etkilenirler fkt üel terimler dece kutup poiyonlrın bğlıdır. Bir geçici tepkinin mnl yok olmı için, kutuplrın negtif olmı gerekir. O hlde, kutuplr, kutup-ıfır çiimin negtif reel ekeni üerinde olmlıdırlr. Eğer kutuplr poitif değerlere hipe; üel terimler mn bğlı olrk onu kdr rtrlr; kutup ne kdr poitif olur, büyüme hıı o kdr hılı olur. Zmn bğlı olrk onu kdr rtn bir geçici terime hip itemler krrı olrk tnımlnırlr; mnl bütün geçici terimleri yok oln itemler krrlı olrk tnımlnırlr. Şekil 3., -düleminde, frklı yrık reel kutup poiyonlrın göre, geçici tepkilerin genel formunu göteriyor. Bir kutbun, -düleminin orijininde yer ln öel durumu için, yni =0 için, yt=ke 0 =K dır. Geçici tepki, mnl ne rtn ne de ln, bir ktyıdır. 88

91 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 3. Frklı yrı reel kutuplr için geçici tepkiler Birinci-derece bir itemin trnfer fonkiyonunun genel formu, t mn biti olmk üere, şğıdki gibi olcktır: K G [8] Sitem, dece σ=-/τ d bir kutb hiptir. Zmn biti ne kdr küçük olur, kutup o kdr negtiftir ve bu nedenle geçici tepki de o kdr çbuk yok olur. Ayrı komplek kutuplr Trnfer fonkiyonund, indirgenemeyen kudrtik fktör içeren bir item düşünelim. Bu itemi, kımi keirlerini lmk koşuluyl deleştirdiğimi mn, her bir terim, A ve B bitleri olmk üere, şğıdki gibi olcktır önceki bölüme bkını: A B G [9] Bu denklem, şğıdki şekilde yılbilir: G A B [0] j j ve bu denklem de şğıdki komplek eşlenik çiftine hiptir: j ve j [] Bir birim drbe girdii için, denklem [9] şğıdki ifdeyi verir: A B G X Y [] Denklem [] yi teri elde edilebilecek bir form getirmek için, şğıdki şekilde yrı: A C Y [3] 89

92 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ve bu nedenle B yerine Aσ+Cω yrı. Böylece: t t y t Ae cot Ce int [4] r in- = in -b co olduğundn, denklem [4], D ve bitler olmk üere, şğıdki şekilde tekrr yılbilir: t [5] y t De in t Bu, büyüklüğü üel terim oln ve freknı ω oln, inüoidl bir lınımdır. Burd, ütel terim mnl lıyor ve bu nedenle lınım mnl yok oluyor. Bunun ebebi, denklem [] de, kutuplrın, -düleminin ol yrıınd olduklrının belirtilmeidir. Sğ yrıınd bulunn kutuplr için, üel terim mnl rtr ve bu nedenle büyüklük onu kdr büyür. σ=0 oln kutuplr için, üel terim e 0 = değerine hiptir ve bu nedenle, tepki dece bit ktyılı inüoidl bir inyldir. σ değerini öel bir ω değeri için rttırmk, büyüklük teriminin değişim hıını rttırır. ω değerini öel bir σ değeri için rttırmk, lınım freknını rttırır. Şekil 3.3, kutup poiyonunun, bir itemin drbe girdiine verdiği tepki üerindeki etkiini göteriyor. Şekil 3.3 Frklı yrı reel kutuplr için geçici tepkiler Tekrr eden kutuplr 90

93 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 9 Tekrr eden köklere hip bir item düşünelim, yni -düleminde ynı yerde bulunn birden fl kök. Bu durumd trnfer fonkiyonu şğıdki gibi olur:... p p p N K G [6] N, pyın ye bğlı bir fonkiyon olduğunu göterir. Eğer bu item, bir birim drbe girdiine mru klır, itemin tepkii şğıdki gibi olur:... p p p N K X G Y [7] Denklem [7] yi bir terim eriine genişletmek için, m kökün tekrr etme yıı olmk üere, kımi keirleri kullnbiliri:... p K p K p K Y m m m m [8] Bu terimleri, tekrr mn dülemine dönüştürürek, şğıdki ifdeyi elde ederi: t p t p m m t p m m e K e m t K e m t K t y...!! [9] Bu denklem de şğıdki şekilde yılbilir: t p m m m m e C t C t C t y... [0] Büyük mn değerleri için, tepkide, her mn üel terimler bkındır ve bu nedenle, -düleminin ğ yrıındki kutuplr için onu rtrken, ol yrıınd kutuplr için, tepki mnl yok olcktır. Krrlılık Yukrıdki, kutup poiyonlrının, itemin tepkiine etkii kvrmı şğıdki gibi öetlenebilir:

94 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bir itemin krrlı olmı için, bütün kutuplrı -düleminin ol yrıınd olmlıdır. S-düleminin ğ trfınd kln tek bir kutup, itemi krrı hle getirecektir. Bkın kutuplr Krrlı itemler, -düleminin ol trfınd yer ln kutuplr hiptirler ve itemin mn bğlı tepkii, -düleminde, tepkinin kımi keir genişlemei bulunrk ve bulunn her bir terimin ter Lplce dönüşümü lınrk elde edilebilir. Sonuç, her biri bir ktyı ve üel oln bir dii terimdir. Ktyının değeri, kutup ve ıfırlrın bğıl poiyonlrın göre belirlenir ve üel kıım, σ değeri trfındn belirlenen bir hıl, mn içinde lır. Her bir terimin üel kımı, lınım genliğinin, mn içinde, hngi hıl lcğını belirler. σ değeri ne kdr büyük olur, üel terim de mnl o kdr hılı lır. Eğer öel bir terimin göreceli genliği küçüke vey σ nın genliği büyüke, itemin toplm tepkiinin düşünüldüğü herhngi bir durum için, o terimi ihml etmenin etkii önemidir. Bu şekilde, bir itemin mn tepkiini bulmk için, kımi keir genişlemeinde, içinde dece -düleminde orijine ykın kutuplrı brındırn terimleri vryrk, mkul bir ykınm ypmk mümkündür. Bu tür kutuplr bkın dominnt kutuplr olrk tnımlnır. Şekil 3.4 Dominnt kutuplr Stndrt itemler Aşğıdki itemler, kutup poiyonu ve tepkileri bkımındn bı tndrt itemlerdir. 9

95 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Birinci-derece Birinci-derece bir item, şğıdki formd bir trnfer fonkiyonun hiptir. G [] K K / / [] Burd, dece = -/τ d bir tne kutup vrdır; büyük değerli bir mn biti, kutbun jω ekenine ykın olmı nlmın gelir ve geçici tepkii, mn biti küçük ve kutbu jω ekenine uk oln bir iteme göre dh yvş lır. İntegrtör İntegrtör terimi, şğıd belirtilen formd bir trnfer fonkiyonun hip bir item için kullnılır: K G [3] Bu, -düleminin orijininde yer ln tek bir kutuptur. Bu tip bir itemin tepkii, mnl yok olmyn bit bir tepkiden ibrettir. İkinci-derece İkinci derece bir item, şğıd belirtilen formd bir trnfer fonkiyonun hiptir: G Kn n [4] n kutuplrın yeri şğıdki denklemden bulunur: yni: n n 0 [5] n 4 n 4 n 93

96 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş n n [6] Burd, üç frklı onuç olbilir: ζ den büyük olduğu mn, krekök terimi reeldir ve her iki kök te reel ve frklıdır Şekil 3.5. Sitem üt önümlüdür Şekil 3.5 Sönüm fktörü den büyük ζ= olduğu mn her iki kutup d ynı poiyonddır, =-ω n Figür 3.6. Sitem, kritik önümlüdür. Şekil 3.6 Sönüm fktörü e eşit 3 ζ den küçük olduğu mn, denklem [6] dki krekök terimi nldır ve bunu şğıd belirtildiği gibi ifde edebiliri: n jn [7] Kutuplr, bu nedenle eşlenik poiyonlrd yer lır Şekil 3.7 ve tepki, genliği mnl ln bir lınım hiptir. Geçici tepki belirtilen formddır: Ae nt n t in [8] 94

97 Slınım freknı ω bu nedenle: Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş n [9] Şekil 3.7 Sönüm fktörü den küçük ve dece kökün nl kımındn belirlenebilir. -dülemi üerinde, kutup ve orijinden geçen bir çigi çierek Figür 3.8; kutbun orjinin ütünde kln ω dik yükekliği ve yty uklık: σ=-ζω n olduğundn, kutbu orijine bğlyn çiginin uunluğu şğıd belirtildiği gibidir: length n n n ve bu nedenle uunluk d ω n dir. Reel ekenle kutbu, orijine bğlyn çiginin rındki ψ çıı, şğıd verildiği gibidir: n co [30] n 95

98 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 3.8 Sönümü itemde kutup poiyonu Routh Hurwit kriteri Sitemlerin krrlılığı, itemlerin kutuplrını belirleyerek ve onlrın -dülemindeki yerlerini tepit ederek belirlenebilir. Bu işlem, krkteritik denklemin köklerinin bulunmıyl ypılır; yni krkteritik denklem, trnfer fonkiyonunun pydını Routh- Hurwit kriteri, krkteritik denklemin köklerinin değerini tepit etmenin gerekmediği; fkt krkteritik denklemin krkteritiğini inceleyerek, köklerin -düleminin ğ vey ol trfınd olduğunu göteren, krrlılığı tepit etmenin hılı ve koly yoludur. Trnfer fonkiyonunu, ıfır eşitleyerek elde edilen denklemdir. Lineer bir itemin krkteritik denkleminin genel formu, 0,,, v, hepi reel yılr olmk üere, şğıd belirtildiği gibidir: n n n F... 0 [3] 0 n n İlk ypılck tet, itemin krrlı olmının olnklı olup olmdığıdır. Bunun için, bu denklemin, poitif reel kım hip hiç bir kökü olmmlı ve bu nedenle krrlı bir itemi temil edebilmelidir. Aşğıdki koşullr gerekli fkt yeterli değildir: Bütün ktyılr ynı işrete hip. Hiç bir ktyı ıfır eşit değil. Eğer herhngi bir ktyı negtife; item, krrı olmk durumunddır. Eğer herhngi bir ktyı, ıfır ie; item, en iyi ihtimlle kritik krrlıdır; yni σ=0 dır. Bu ebeple, örnek olrk, =0 krkteritik denklemine hip bir item, denklemin bütün olı ktyılrın hiptir ve işretleri ynı olduğundn krrlı olbilir. Bun rğmen, =0 krkteritik denklemine hip oln item, bütün ktyılrın işretleri ynı olmdığındn krrıdır =0 krkteritik denklemine hip bir item ie, ktyılrındn birii ıfır olduğundn krrıdır. Bir itemin krrlı olbileceğini belirledikten onr, ikinci bir tet, itemin gerçekten krrlı olup olmdığını belirlemek için kullnılbilir. Bu tet, krkteritik denklemin ktyılrının iki tır yılmını içerir. 96

99 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Stır 0: n n n- n-4... Stır : n- n- n-3 n-5... Her tırın bşındki ilk terim, tır numrıyl göterilir. Bir onrki dım, şğıd belirtilen tbloyu, verilen denklemleri kullnrk oluşturmktır. Stır 0: n n n- n-4... Stır : n- n- n-3 n-5... Stır : n- b b b 3... Stır 3: n-3 c c c 3... v.b. Stır n-: y y Stır n: 0 İkinci tırdki elemnlr, kendiinden önce gelen iki tırın elemnlrındn şğıd gibi elde edilir: nn nn3 b [3] n n4 n n n5 b [33] n n6 n n n7 b 3 [34] n c n3b nb b [35] c b b n5 n 3 [36] b b b n7 n 4 3 [37] b c Her bir elemn, ütteki iki tırd bulunn elemnlrdn, iki tnei ol ütund, iki tnei heplnn elemnın ğındki ütundn olmk üere, heplnır. Her durumd elemn, dört elemnın determinntının negtifinin ol lt köşe elemnın bölünmeiyle elde edilir. Tblo tmmlndığınd, ilk ütundki ktyılrın işretleri incelenir. Eğer ilk ütundki elemnlrın işretlerinin hepi ynı ie; 97

100 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş krkteritik denklemin köklerinin hepi -düleminin ol trfınddır. İlk ütundki işret değişimlerinin yıı -düleminin ğ trfınd bulunn kök yıın eşittir. Yukrıdkini örneklemek için, pydı oln trnfer fonkiyonunu düşünelim. Bütün ktyılrı vr ve işretlerinin hepi ynı olduğundn, item krrlı olbilir. Tblo şğıdki gibidir: Stır 0: Stır : 3 3 Stır : /3 6 Stır 3: -3/ Stır 4: 0 6 Heplmd, boş bölümlerin ıfır değerine hip olduğu vryılır. İlk ütundki elemnlrın tmmı ynı işrete hip olmdığındn, item krrıdır. İki tne işret değişimi vrdır; yni /3 ten -3/ e ve -3/ den 6 y ve bu nedenle -düleminin ğ trfınd iki tne kök mevcuttur. Dh ileri bir örnek için, pydı oln trnfer fonkiyonunu düşünelim. Bütün ktyılr, ynı işretli olduğundn ve ekik oln bir ktyı bulunmdığındn, item krrlı olbilir. Tblo şğıdki gibidir: Stır 0: Stır : Stır : 6 5 Stır 3: 6/6 Stır 4: 0 5 İlk ütun elemnlrının hepi poitiftir ve bu nedenle item krrlıdır. Öel durumlr Krkteritik denklemin ktyılrın bğlı olrk, tbloyu oluşturmd şğıdki orluklr orty çıkbilir: Bir tırın ilk elemnı ıfır; fkt tırdki diğer elemnlr, ıfır değil. Bir tırdki tüm elemnlr ıfır. 98

101 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bir tırdki ilk elemnın ıfır olmının olı bir problemi onucu, ıfır bölerek elde etmek orund klcğımı için, bir onrki tırdki bütün elemnlrın tnımı olmıdır. Bundn kçınmk için, ilk ütundki ıfır elemnı, poitif küçük bir ε yııyl yer değiştirilir ve tblo işlemine devm edilir. Bir onrki örnek, =0 krkteritik denklemi için bu durumu betimliyor. İkinci tırd, ilk ütund bir ıfırl krşılşıyoru ve dh ileri gidemiyoru. Stır 0: Stır : Stır : 0 5 Stır 3: Stır 4: 0 Eğer ε yi 0 yerine yrk, şğıdki tbloyu elde ediyoru: Stır 0: Stır : Stır : ε 5 Stır 3: 4-30/ε Stır 4: 0 5 ε çok küçük poitif bir yı olduğundn, 4-30/ε negtif olcktır. Bundn dolyı ilk ütund bir işret değişikliği olcktır ve bu nedenle item krrlı değildir. İki tne işret değişimi, -düleminin ğ trfınd iki kutup olduğunu göterir. Tüm tırın 0 olmı durumu, -düleminde imetrik olrk yer ln köklerin vrlığı ile oluşur; yni ıt işretli reel kök çiftleri ve nl eken üerinde imetrik olrk yer ln eşlenik kök çiftleri durumund Tbloyu oluştururken tümü ıfır oln bir tır elde ederek, devm edebilmek için şğıdki dımlrı uygulylım: Sıfır tırındn önce gelen tırdki ktyılr kullnılrk oluşturulck A=0 yrdımcı denklemiyle; yrdımcı denklemin kökleri, ilk krkteritik denklemimiin kökleridir de. da/d verecek şekilde yrdımcı denklemin e göre türevini l. 3 Sıfır tırını, da/d nin ktyılrıyl yer değiştir. 4 Tbloyu oluşturmy devm et ve norml trd, ilk ütundki işretleri yoruml. 99

102 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bir onrki örnek, =0 krkteritik denklemi için bu durumu betimliyor. Tblo şğıdki gibidir: Stır 0: Stır : Stır : Stır 3: 4 4 Stır 4: 0 0 Devm edebilmek için, A=4 +4 olun. Bundn dolyı türevi 8 dir. Bunun onucund beşinci tırın terimleri için, 8=0 krkteritik denklemi kullnırk: Stır 0: Stır : Stır : Stır 3: 4 4 Stır 4: 8 Stır 4: 0 4 İlk tır için işret değişimi yoktur ve bu nedenle item krrlıdır. Ayrlnbilir itemler Olı bir gereklilik, yrlnbilir bir K bitinin hngi rlığı için bir itemin krrlı olduğunu belirlemek olbilir. Örnek olrk, pydı K oln bir trnfer fonkiyonu için, K nın hngi rlığı için item krrlıdır? Bu krkteritik denklemin Routh tblou şğıdki gibidir: Stır 0: 3 8 Stır : 4 K Stır : 8- K 4 Stır 3: 0 K Sitemin krrlı olbilmei için, ilk ütundki bütün elemnlr ynı işretli olmk orunddır. Bunun nlmı, 8-4 K 0 dn büyük 00

103 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş olmlıdır; yni 3 > K, ve K 0 dn büyük olmlı. Bu ebeple K 0 ve 3 rınd olmlıdır. Bu tekniğin dh ileri bir örneği için, Şekil 3.9 d göterilen, kplı-döngü kontrol itemini ve kontrolörün kncı, K nın, belirlenmeinde proe işlem trnfer fonkiyonu / ++ olduğund ve geri beleme döngüü trnfer fonkiyonu olduğund, krrılıkl onuçlnck durumu düşünün. Şekil 3.9 Kplı-döngü kontrol itemi İleri yol trnfer fonkiyonu şğıdki gibidir: K ve bu nedenle kplı-döngü iteminin trnfer fonkiyonu, şğıdki gibidir: K / K K / K Bundn dolyı, krkteritik denklem: 3 K 0 Bu denklem için Routh tblou şğıd belirtildiği gibidir: Stır 0: 3 Stır : K Stır : -K Stır 3: 0 K 0

104 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Sitemin krrlı olmı için, -K > 0 ve K > 0 olmlıdır. Bu nedenle, K, 0 ile rınd olduğund item krrlıdır; K den büyük olduğund krrı hle gelir. Göreli krrlılık Bütün kökleri, -düleminin ol yrıınd bulunn bir item, krrlıdır. Bun rğmen, bir vey dh fl kök, nl ekene ykın olbilir ve bu nedenle ğ trf çok ykındır ve krrı hle geçmeye ykındır. Snl eken ve ekene en ykın kök rındki uklık, değeri ne kdr büyük olur, kök de ekenden o kdr uk olcğındn ve krrı hlden uk olcğındn dolyı, göreli krrlılık olrk tnımlnır. Göreceli krrlılık, nl ekenin itemi krrı hle getirmek için ne kdr kydırılmı gerektiğinin belirlenmeiyle elde edilir Şekil 3.0. Ekenin ol trf kydırılmı demek, diyelim ki - kdr kydırılın; bütün köklerin reel değerlerinin ekilmei nlmın gelir ve bunun onucu krkteritik denklemdeki bütün değerleri yerine r- konulmlıdır. Elde ettiğimi r denklemi, krrlılık yönünden tet edilebilir. Şekil 3.0 Eken kydırılmı Göreceli krrlılığı tepit etmeye bir örnek olrk, =0 krkteritik denklemini ve nl ekene - den dh ykın bir kök olup olmdığı durumunu düşünelim. Eken kydırılmdn önce, şğıdki tblo itemin krrlı olduğunu göteriyor. Stır 0: 3 8 0

105 Stır : 4 4 Stır : 7 Stır 3: 0 4 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Eken - kdr kydırıldığı mn, krkteritik denklem, şğıdki ifdeyi verecek şekilde, yerine r- koyulur: 3 r - 4 r 8 r 4 0 ve bunun onucund: 3 r r 3 r 0 Bu denklem için tblo şğıd verildiği gibidir: Stır 0: 3 3 Stır : - Stır : 4 Stır 3: 0 - Sonuç olrk, item krrıdır ve dece bir işret değişikliği olduğundn, - çigiinin ğınd dece bir kök vrdır. 03

106 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 4. Zmn bölgei İÇİNDE BAŞARIM ÖLÇÜTÜ Krrlı hâl htı Bir itemin mn bölgei tepkii, iki temel elemn hiptir: geçici tepki ve krrlı-hâl tepkii. Geçici tepki, mn geçtikçe 0 düşer. Krrlı-hâl tepkii, bunun onucund, geçici tepki yok olduktn onr itemin kln kımıdır. Krrlı-hl tepkii ve kontrol girdii rındki ht, krrlı-hâl htı olrk tnımlnır. Krrlı-hâl htı bu ebeple, bir itemin öel bir girdiye krşı nıl tepki vereceğini belirleyen bir doğruluk ölçümüdür. Figür 4. de göterilen, ileri yol trnfer fonkiyonu G ve negtif geri beleme trnfer fonkiyonu H oln bir kontrol itemini düşünelim. Eğer itemin kontrol girdii xt ie ve item çıktıındn geri belenen inyl bt ie, ht et şğıd belirtildiği gibidir: 04

107 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ht et xt - bt [] -bölgeinde, ht E, şğıd belirtildiği gibidir: ht E X - B [] X - HY [3] T bütün itemin trnfer fonkiyonu ie; T Y X G HG [4] olduğundn: HG E X X HG X HG [5] Ht, bundn dolyı, girdi inyl formun ve itemin trnfer fonkiyonun bğlıdır. Şekil 4. Birim geri belemeli olmyn item Denklemler çoğu mn, birim geri belemei olmyndn iyde, birim geri belemeli itemler için elde edilir. Bu tip bir item için, ht şğıd verildiği gibidir: ht et x t y t [6] -bölgeinde ht E şğıdki gibidir: ht E X - Y [7] 05

108 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş X - TX T X [8] Denklem [4] ü H= için kullnırk: Şekil 4. Birim geri belemeli item E X G [9] Bunun onucund, item birim geri belemeli olmdığındn, ht girdi inyl formun ve itemin trnfer fonkiyon bğlıdır. Krrlı-hl htı e t onu giderken et olrk tnımlnır: e [0] lim e t t. bölümde de kullndığımı Lplce dönüşümünün on değer teoremini kullnrk: e [] lim e t lim E t 0 Fkt birim geri beleme olmyn itemler için Figür 4. de olduğu gibi, Denklem [5] i kullnırk: e X lim 0 H G [] Birim geri belemeli item için Figür 4. de olduğu gibi, denklem [9] şğıdki ifdeyi verir: e lim 0 XG [3] 06

109 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 07 Kontrol itemleri tipleri Krrlı-hâl htı, ilgili kontrol iteminin tipine bğlıdır. Birim geri belemei olmyn bir item için, ht H ile G çrpımın bğlıdır. Bu çrpım, döngü trnfer fonkiyonu olrk tnımlnır. Genelde, döngü trnfer fonkiyonu, ve p ler çrpımın kutup ve ıfırlrı olmk üere, şğıdki formd ifde edilebilir: n m p p p K G H [4] Eğer orijinde tne kutup ve b tne ıfır vr, denklem [4] ü şğıdki şekilde ybiliri: b n b m p p p K G H [5] Eğer b-= j derek, o mn: b n j m p p p K G H [6] Bu tip bir item, j tip item olrk tnımlnır. Birim geri belemeli bir item için; ht, ileri yol trnfer fonkiyonu G e bğlıdır. Bu, ben çık-döngü trnfer fonkiyonu G o olrk tnımlnır. Genelde, çık-döngü trnfer fonkiyonu, ve p ler çrpımın kutup ve ıfırlrı olmk üere, şğıdki formd ifde edilebilir: n m o p p p K G [7] Eğer orijinde tne kutup ve b tne ıfır vr, denklem [7] ü şğıdki şekilde ybiliri: b n b m o p p p K G [8] Eğer b-= j derek, o mn:

110 G o Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş... m K j p p... p [9] nb Bu tip bir item, j tip item olrk tnımlnır. Tip numrı, döngü trnfer fonkiyonu vey çık döngü trnfer fonkiyonundki / fktörü yııdır. / integrl lmy krşılık geldiğinden, tip numrlrı döngü trnfer fonkiyonundki vey çık-döngü trnfer fonkiyonundki integrtör yııdır. Bu ebeple eğer j=0 ie item, tip 0 itemdir; eğer j= ie item, tip itemdir; eğer j= ie item, tip itemdir v.. Bir örnek olrk, şğıdki döngü trnfer fonkiyonun hip bir item: K 0.5 G H 3 dece bir tne / fktörüne hiptir ve bu ebeple tip itemdir. Aşğıdki döngü trnfer fonkiyonun hip bir itemde: 0.5 G H / fktörü yoktur ve bu ebeple tip 0 itemdir. Bir birim dım girdiinde krrlı-hâl htı Birim geri belemei olmyn kplı-döngü bir kontrol itemine verilen bir birim dım girdii düşünün Şekil 4. de olduğu gibi. X=/ olmk üere, denklem [] kullnılır, krrlı-hâl htı şğıdki gibidir: e lim [0] 0 HG lim HG 0 [] ıfır giderken döngü trnfer fonkiyonun ulştığı değer K p dımht ktyıı vey konum-ht ktyıı olrk dlndırılır. 08

111 K p lim H G 0 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş [] Bu ebeple: e K p [3] Figür 4.3, dım-ht ktyıı onlu bir yı olduğu mn, onu olmdığı mn, bir birim dım girdide oluşn tepki tipini göteriyor ve onuç olrk bir krrlı-hâl htı oluşuyor. Birim-ht ktyıı onu olduğu mn, krrlı-hâl htı oluşm. Adımht ktyıını onu ypmk için, içinde / terimi oln bir döngü trnfer fonkiyonun hip olmmı gerekiyor; böylece, = 0 olduğu mn K p = olur ve krrlı-hâl htı rtık 0 olur. Bunun nlmı tip vey dh yükek tipte bir itemdir; dece tip 0 itemi, bu ebeple bir krrlı-hâl htı verir. Şekil 4.3 Bir dım girdiine göterilen tepki Bir rmp girdiinde krrlı-hâl htı Birim geri belemei olmyn kplı-döngü bir kontrol itemine verilen bir birim rmp girdii, yni yt=t, düşünelim Şekil 4. de olduğu gibi. X=/ olmk üere, denklem [] kullnılır, krrlı-hl htı şğıdki gibidir: e lim [4] 0 H G lim H G lim H G 0 0 [5] 09

112 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ıfır giderken döngü trnfer fonkiyonun ulştığı değer K v rmp-ht ktyıı vey hı-ht ktyıı olrk dlndırılır. Kv [6] lim H G 0 Bu ebeple: e K [7] v Şekil 4.4, rmp-ht ktyıı onlu bir yı olduğu mn, onu olmdığı mn, bir birim rmp girdide oluşn tepki tipini göteriyor ve onuç olrk bir krrlı-hl htı vr. Şekil 4.4 Bir rmp girdiine göterilen tepki Rmp-ht ktyıı onu olduğu mn, krrlı-hl htı yoktur. Denklem [6], bir / terimi elde etmek için, döngü trnfer fonkiyonu / vey dh yükek dereceli bir terim içermeli. Bunun nlmı, ıfır krrlı-hl htı elde etmek için, tip vey dh yükek bir tip item gereklidir. Bir tip itemi, /K v krrlıhl htını verir. Bir tip 0 iteminde, / terimi yoktur ve bu nedenle =0 için, K v =0 dır. Bunun nlmı onu bir krrlı-hl htıdır. 0

113 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Prbolik bir girdi için klıcı hâl htı Birim geri belemei olmyn kplı-döngü bir kontrol itemine verilen bir birim prbolik girdi, yni yt=t, düşünelim Şekil 4. de olduğu gibi. X=/ 3 olmk üere, denklem [] kullnılır, krrlı-hl htı şğıdki gibidir: e lim 0 3 H G [8] lim H G lim H G 0 0 [9] ıfır giderken döngü trnfer fonkiyonun ulştığı değer K prbolik-ht ktyıı vey ivme-ht ktyıı olrk dlndırılır. K [30] lim H G 0 Bu ebeple: e K [3] Şekil 4.5, prbolik-ht ktyıı onlu bir yı olduğu mn, onu olmdığı mn, bir birim prbolik girdide oluşn tepki tipini göteriyor ve onuç olrk bir krrlı-hl htı vr. Şekil 4.5 Prbolik bir girdiye göterilen tepki Prbolik-ht ktyıı onu olduğu mn, krrlı-hl htı yoktur. Denklem [30], bir / terimini elde etmek için, döngü

114 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş trnfer fonkiyonu / içermelidir. vey dh yükek dereceli bir terim Bunun nlmı, ıfır krrlı-hl htı elde etmek için, tip 3 vey dh yükek bir tip item gereklidir. Tip itemi, /K krrlı-hl htını verir. Tip 0 vey tip iteminde, / terimi yoktur ve bu nedenle =0 için, K =0 dır. Bunun nlmı onu klıcı bir krrlıhl htıdır. Klıcı- hl htlrı öeti Tblo 4. krrlı-hl htlrını, birim dım, birim rmp ve birim prbolik girdilere göre öetliyor. Tblo 4. Krrlı-hl htlrı Tip K p K v K Krrlı-hl htlrı Adım Rmp Prbolik 0 K 0 0 /+K K 0 0 /K K 0 0 /K Kontrol itemleri için geçici tepkiler Kontrol itemlerinin geçici tepkileri çoğu mn, itemlerin bir birim dım girdiine verdiği tepki cininden belirtilir. Şekil 4.6, böyle bir tepkinin tipik formunu göteriyor.

115 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 4.6 Birim dım göterilen tepki Tepkinin belirtilmeinde kullnıln terimler: Aşm/Yükelme miktrı Aşm/yükelme miktrı, tepkinin krrlı-hl değerinin, mkimum geçildiği miktrdır. Aşm miktrı ben, krrlı-hl değerinin yüdei olrk yılır. Bu yüde, çoğu mn bir kontrol iteminin göreli krrlılığının bir ölçütü olrk kullnılır; genellikle, büyük bir yükelme miktrı ru edilme. İkinci-derece lt önümlü bir itemin, bir birim dım girdiine tepkii, şğıd belirtilen formddır.bölümde, denklem [0] den: t y t e n P cot Q int F / k [3] t=0 için yt=0 dır ve bu nedenle, P=-F/k olmlıdır. t= olduğu mn krrlı-hl değeri ve bun bğlı olrk üel terim 0 dır ve bu nedenle y t=f/k=-p dir. Yükelme ωt=p olduğu mn gerçekleşir ve bu nedenle: y yükelme miktrı t e e n / n / P co Qin F / k y y 3

116 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Yükelme, yükelme tepkii ile krrlı-hl değeri rındki frktır ve böylece: n / yükelme miktrı y e [33] n olduğundn: y yükelme miktrı t exp [34] Yükelme mnı Yükelme mnı t r genellikle, tepkinin krrlı-hl değerinin %0 undn %90 ın çıkn kdr geçen üre olrk tnımlnır. Ben, 0 dn krrlı-hl değerine ulşn kdr geçen üre olrk d tnımlndığı olur. ω freknın hip bir lınımın 0 dn krrlı-hl değerine kdr yükelmei için geçen üre, bir tm devrin çeyreğini tmmlyn kdr geçen üredir; yni p ve böylece, yükelme mnının tnımı için şğıdki ifdeyi kullnbiliri: t r [35] 3 Gecikme mnı Gecikme mnı t d tepkinin, krrlı-hl değerinin %50 ine ulşn kdr geçmei gereken üre olrk tnımlnır; yni lınımın, bir tm devrin ekide birini tmmlmı için geçen üre kdr: π ve böylece: 4 t d 4 [36] 4 Tepe mnı Tepe mnı, tepkinin 0 dn ilk tepe değerine ulşn kdr geçen üredir, yni lınımın bir tm devrin yrıını tmmlmı için geçen üre, yni π ve böylece: t d [37] 5 Yerleşme mnı 4

117 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Yerleşme mnı t lınımlrın krrlı-hl değerinin belirli bir yüdei dhilinde önümlenmei için geçen üredir. Çoğu mn kullnıln değerler % vey 5 tir. İkinci derece lt önümlü bir itemin, bir birim dım girdiine tepkii, şğıd belirtilen formddır.bölümde, denklem [0]: t y t e n P cot Qint F / k [38] t=0 için yt=0 dır ve P=-F/k olmlıdır ve y üel terimin 0 olduğu mnki yt değeri olduğundn, P=-y tir. Krrlı-hl değer ykınındki lınımlrın genliği yt-y tir. y üel terimin 0 olduğu mnki yt değeri olduğundn; denklem [38] şğıdki ifdeyi verir: Genlik t e n y cot Q int Genliğin mkimum değeri, ωt nin ±p nin ktlrı olduğu durumlr için gerçekleşir ve böylece, co ωt =±ve in ωt =0 dır. Eğer yerleşme mnını, genliğin krrlı-hl değerinin % ltınd olduğu nki mn olrk düşünürek, o mn: 0. 0 e n t ve böylece: t ln 0.0 n ln 0.0 = -3.9 vey yklşık -4 olduğundn: t 4 [39] n Eğer yerleşme mnı % 5 üerinden lınır: t 3 [40] n 5

118 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 6 Slınım yıı Yerleşme mnı içeriinde oluşn lınım yıı, yerleşme mnı bölü lınımlrın periyod mnıdır. Periyot mnı p/ω dir. Böylece, % yerleşme mnı için: 4/ n Slınım yıı / n n olduğundn: Slınım yıı [4] 7 Alm ornı Alm vey çökme ornı, rdışık iki yükelmenin ornıdır. İlk yükelme ωt=p olduğu mn gerçekleşir ve ikinci yükelme ωt=3p olduğu mn, yni tm bir devir onr gerçekleşir. Böylece, denklem [34] ü kullnrk şğıdki ifde elde edilebilir: ilk yükelme miktrı y exp [4] Denklem [34] ün elde edilmeine bener biçimde, şğıdki ifdeyi elde edebiliri: 3 ikinci yükelme miktrı y exp [43] Bu ebeple lm ornı: bounum ornı y exp y exp 3 6

119 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş exp [44] 8 Logritmik lm Logritmik lm, lm ornının logritmıdır ve böylece: logritmik lm ln bounum ornı [45] Performn endekleri Bir itemi diyn ederken çoğu mn, performn prmetrelerine bğlı olrk optimum performnı verecek itemi bir şekilde belirleyen bir performn endekine/indii ihtiyç vrdır. Adptif/uyrlnbilir kontrol itemlerinde, item prmetreleri optimum performnı verecek şekilde ürekli yrlnır; böylece optimum durumu belirlemede kullnılbilecek bir prmetreye ihtiyç duyulur. Ht krenin integrli Bir birim dım girdii olduğu mn, en ık kullnıln performn endeki/indii, ht krenin y d kre ht integrlidir ISE. 0 ISE e t dt [46] ISE=Integrl Squre Error: ht krenin integrli Bir örnek olrk, şğıdki trnfer fonkiyonunun hip ikinciderece birim geri belemeli Şekil 4.7 bir item için ISE nin bulunmını düşünün: G n n n 7

120 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 8 Şekil 4.7 Birim geri belemeli item Bir birim dım girdii için, girdi ve çıktı rınd -bölgeindeki ht şğıd belirtildiği gibidir: n n n G X - GX X -Y E n n n [47] Bu denklem şğıdki gibi yılbilir: n n n E [48] Ve bunun onucund: n n n n n n E n n n E n n n [49] Bunun ter dönüşümü de şğıdki gibidir: in co t t e t e n n t n [50] r = + b ve tn θ = b/ olmk üere, in θ +b co θ = r in θ + denklemini kullnırk, denklem [50] şğıdki gibi yılbilir: in t e t e n n t [5]

121 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş O mn, denklem [46] d verilen ISE şğıdki gibi olur: ISE 0 e n t in n t dt 4 [5] 4 n Ayrlnbilir ve bit bir ω n e hip bir item için, ISE nin minimum değerini, dise/ dζ=0 için ğlr, yni: 4 n n 0 olduğu mn, ve dolyııyl ζ=0.5 olduğu mn. Bu durumd, vrıln değer, optimum değerdir. Böylece, ileri yol trnfer fonkiyonu 00/ + k + 00 oln birim geri belemeli bir item için, k nın optimum değeri, k=ζω n =x0.5x0=0 olduğu mndır. Diğer performn prmetreleri Kullnıln diğer performn prmetreleri şğıddır: Htnın mutlk değerinin integrli IAE Bu, krrlı-hl değerinden oln bütün pmlr eşit ğırlık verir ve şğıdki gibi tnımlnır: 0 IAE e t dt [53] IAE=Integrl of Abolute Vlue of Error: htnın mutlk değerinin integrli Zmn mutlk htnın integli ITAE Bu, önceki pmlr, onrkilerden dh ğırlıklı olck şekilde, krrlı-hl değerinden pmlr ğırlık verir. Bunu, htyı mnl çrprk ypr. ITAE, şğıdki gibi tnımlnır: 0 ITAE t e t dt [54] 9

122 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ITAE=Integrl of Time-Abolute Error: mn-mutlk htnın integrli 3 Zmn kre htnın integrli ITSE Bu, onrki pmlr, öncekilerden dh ğırlıklı olck şekilde, krrlı-hl değerinden pmlr ğırlık verir. Bunu, htnın kreini mnl çrprk ypr. ITSE, şğıdki gibi tnımlnır: 0 ITSE te t dt [55] ITSE=Integrl of Time-Squre Error: mn-kre htının integrli Örnek olrk, yukrd tnımlnn ikinci-derece bir item için optimum önümleme fktörünü belirlemeyi düşünün. Ht, denklem [5] deki gibi verilir ve böylece ITSE şğıdki gibidir: ITSE t 0 e nt in n t dt [56] n 4 Optimum önümleme fktörünü, ditse/dζ=0 için ğlr, yni: Optimum önümleme fktörü böylece /8 /4 =0.60 dır. İkinci-derece itemler için bener heplmlr, IAE için optimum önümleme fktörünü 0.7 ve ITAE için optimum önümleme fktörü 0.7 klır. 0

123 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 5. Frekn düleminde tepki Frekn tepkii X genlik, ω o çıl frekn olmk üere, inüoidl bir xt girdiine hip bir item düşünelim: x 0 t X in t [] Bu itemin, girdi xt ile çıktı yt rındki ilişkii şğıd belirtildiği gibi oln birinci-derece bir bir item olduğunu vryın:

124 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş dy t 0 y t b0 x t [] dt dyt/dt ve o yt toplndığı mn, inüoid b o X in ω o t yi elde etmeliyi. Sinüoidler, türevleri lındığı mn, onucu ynı frekn hip bir inüoid oln bir öelliğe hiptirler. Böylece, krrlı-hl tepkii yt nin girdiye bener ynı frekn hip bir inüoid olmını bekleri, fkt Y genlik ve θ f frkı olmk üere, muhtemelen frklı bir genlik ve f ile Şekil 5.: y t Y in 0t [3] Krrlı-hlde, girdi ve çıktı genlikleri ile girdi ve çıktı flrı rındki ilişki itemin frekn tepkii olrk tnımlnır. Şekil 5. Bir itemin inüoidl tepkii Förler Girdi ve çıktı inyllerinin mnl değişen inüoid dlg formlrı olduğunu düşünmek yerine, bunlrı för olrk düşünmek dh kolydır. Genliği Y oln inüoidl bir inylin, orijinden çıkn Y

125 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş uunluğund, bit ω çıl hıın hip bir çigi trfındn oluşturulduğunu düşünebiliri Şekil 5.. Böylece denklem [] deki gibi, mnl değişen bir y vryyonunu belirtmek yerine, bunu, t=0 d vey refern ekeniyle yptığı çı f çıı olrk tnımlnn bir bşk çıd bşlyn Y çigiinin uunluğu olrk belirtebiliri. Refern ekeni, genellikle yty eken olrk lınır. Bu tip çigiler för olrk tnımlnır ve göterimi, frekn-bölge göterimi olrk dlndırılır. Şekil 5. y = Y in wt,b y = Y in wt+θ Bir förü belirtmenin uygun bir yolu polr notyondur. Böylece, Y uunluğund ve θ f çıın hip bir förü şğıdki gibi tnımlybiliri: Y Y [4] Koyu bımın, genellikle, dece büyüklük öelliği oln, dönen bir çigiyi belirtmeyen ve çı belirtmei olmyn diğer nicelikleri, för niceliklerinden yırmk için kullnıldığın dikkt edin. Şekil 5. de ve denklem [4] te tnımlndığı şekliyle för uunluğu, niceliğin mkimum değerini götere de, uunluğu ortlm kre kök değeriyle belirtmek dh yygındır. Ortlm kre kök değeri, dece, mkimum değerin ile bölümüdür ve bu nedenle dece, mkimum değer kullnılrk çiilenin ölçeklendirilmiş bir veriyonudur. 3

126 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bir komplek yı = + jb Arjnd diygrmı üerinde, θ çıınd, uunluğu oln bir çigi Şekil 5.3 olrk göterilebilir. Böylece, inüoidl bir niceliği belirtmek için kullnıln bir förü, bu krteyen formund bir komplek yı olrk şğıdki gibi tnımlybiliri: Şekil 5.3 Komplek yılr Y jb [5] Böylece eğer y = Y in ωt ie bu dece reel bir yı içeren bir för olrk tnımlnır. y = Y inωt+θ için, genel olrk, hem reel hem nl kımı oln bir för elde ederi. Bun rğmen, eğer θ=90º ie inωt+90º = coωt dece nl kım hiptir. Bir komplek yınının büyüklüğü ve rgümnı θ şğıd belirtildiği gibidir: b b ve tn [6] co ve b in olduğundn: co j in co j in [7] Böylece, för Y yi şğıdki gibi tnımlybiliri: Y y co j in Y co j in [8] 4

127 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bir komplek yıyı, dolyııyl förü, tnımlmnın bir bşk yolu, bir ütel cininden tnımlmktır. Sinü ve koinü için kuvvet erii kullnrk, denklem [7] yi şğıdki gibi ybiliri: j...! 4! 3! 5! j j j...! 3! 4! 5! j = -, j 3 = -j, j 4 =, j 5 = -, v.., olduğundn, denklemi şğıdki gibi ybiliri: j j j j j...! 3! 4! 5! Eğer x yerine jθ koyrk, bu e x formund bir üelin kuvvet eriidir. Böylece: j e [9] Bu, komplek bir yının üel formudur. Dolyııyl, bir förü şğıdki gibi tnımlybiliri: j Y Ye [0] Frekn tepkii fonkiyonu Girdi xt ve çıktı yt rındki ilişki, şğıd verildiği gibi oln bir item düşünün: dy t 0 y t b0 x t [] dt Eğer xt inüoidl bir girdiyi ve yt inüoidl bir çıktıyı göteriyor, bir inüoidin türevi, ynı inüoidin çıl hııyl çrpılmış, 90º kymış hlini vereceğinden eğer y = Y in ωt ie dy/dt = ωy co ωt=ωy in ωt+90º, denklem [] i şğıdki för denklem biçiminde ybiliri: j Y X [] Y 0 b0 5

128 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bundn dolyı: X Y b 0 j 0 [3] Fkt eğer denklem [0] un Lplce dönüşümünü lırk, şğıdki ifdeyi elde ederi: Y 0 0 Y b X [4] ve: G Y b0 X [5] 0 Denklem [4] ü lır ve yerine jω yrk, şğıdki ifdeyi elde ederi: G j b 0 [6] j 0 Eğer frekn-tepki fonkiyonunu krrlı-hl de çıktı förünün, girdi fonkiyonun ornı olrk tnımlrk; bu, denklem [3] tekiyle ynı denklemi verir. Yukrıdki denkleme ulşmnın diğer bir lterntif yolu, komplek yının ütel biçimini kullnmktır. Böylece, denklem [] ile göterilen, şğıdki girdi ve çıktıy hip bir itemi düşünürek: jt j t X Xe, Y Ye [7] xt ve yt, bir mn nındki, reel eken üerinde dönen förlerin reel idüşümleri projekiyonlrı olrk düşünülebilir. Böylece: x t X cot X' in reel y kımı [8] t Y co t Y' in reel kımı Dolyııyl, denklem [] i şğıdki gibi ybiliri: 6

129 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş dy 0Y b0x [9] dt fkt dy/dt = jωye jωt+ θ =jωy dir vebu nedenle denklem [9] şğıdki gibi olur: j Y X [0] Y 0 b0 Dolyııyl, denklem [3] teki gibi: Y b0 X j 0 [] Genelde: Bir trnfer fonkiyonunu frekn-tepki fonkiyonun dönüştürmek için, i jω ile yer değiştirin. Örnek olrk, trnfer fonkiyonu G = / + oln bir item düşünün, frekn-tepki fonkiyonu Gjω =/jω + dir. Birinci derece itemler için frekn tepkii Genelde, birinci-derece bir item, τ mn biti olmk üere, şğıdki gibi yılbilen bir trnfer fonkiyonun hiptir: G [] frekn tepki fonkiyonu Gjω yerine jω konrk elde edilebilir. Bundn dolyı: G j [3] j Denklemin üt ve ltını, şğıdki ifdeyi verecek şekilde, -jωτ ile çrprk, bunu, dh uygun bir form getirebiliri: 7

130 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş j j G j j j j Fkt j =- dir, dolyııyl bu denklemi şğıdki gibi ybiliri: j j G [4] Frekn-tepki fonkiyonu dolyııyl / + ω τ oln reel bir elemn ve ωτ/ + ω τ oln nl bir elemn hiptir. Gjω çıktı förünün girdi förüne ornı olduğundn, denklem [6] yı kullnrk, çıktı förünün, girdi föründen bir G j fktörü kdr büyük olduğunu buluru: G j [5] G j büyüklük vey knç olrk nılır. Denklem [6] d verilen, girdi förü ve çıktı förü rındki f frkı şğıdki gibidir: tn [6] Negtif işreti, çıktı förünün bu çı kdr girdi förünün geriinde olduğunu belirtir. Figür 5.4, büyüklük ve fı, ωt ye bğlı fonkiyonlr olrk göteriyor: 8

131 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 5.4 Birinci-derece bir itemin frekn tepkii Örnek olrk, trnfer fonkiyonu G = / + oln bir itemin, in ωt inüoidl girdiine mru kldığınd, çıktı büyüklük ve fını düşünün. Frekn-tepki fonkiyonu yerine jω konrk elde edilir. Dolyııyl: G j j denklemin lt ve ütü -jω+ ile çrpılır, şğıdki ifdeyi verir: j G j j Dolyııyl denklem [6] ile verilen büyüklük şğıdki gibidir: G j Denklem [6] ile verilen f çıı şğıdki gibidir: tn Belirtilen girdi için, ω=3 rd/ dir. Büyüklükte böylece: G j ve f tn Ǿ = -3 ile verilir. Dolyııyl Ǿ = -7º dir. Bu girdi ve çıktı rındki f çııdır. Bundn dolyı çıktı.6 in3t-7º dir. İkinci derece itemler için frekn tepkii 9

132 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 30 Trnfer fonkiyonu şğıdki gibi oln, ω n doğl çıl frekn ve ζ önümleme ornı olmk üere ikinci-derece bir fonkiyon düşünün: n n n G [7] Frekn-tepki fonkiyonu yerine jω konrk elde edilir. Dolyııyl: n n n n n n n n j j j j G Denklemin lt ve ütünü şğıdki ifde ile çrprk: n n j Aşğıd belirtilen denklemi verir: n n n n j j G [8] Bu +jb formudur ve bu nedenle, Gjω, çıktı förünün girdi förüne ornı olduğundn, çıktı förü büyüklüğü vey boyutu, denklem [6] d verildiği gibi, girdi föründen b fktörü kdr büyüktür ve bu nedenle: n n j G [9] Girdi çıktı rındki f frkı Ǿ denklem [6] d verildiği gibi tn Ǿ Ǿ =/b dir ve bu nedenle:

133 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş tn n n [30] Büyüklük ω/ω n e bğlı değişir ve mkimum değeri d[ Gjω ]/dω/ω n = 0 içindir. Bir deleştirme olrk, ω/ω n i embolünün yerine u koyrk: d G j 3/ 3 u u 4u 4u 8u du ve dolyııyl: 4u bu d şğıdki ifdeyi verir: u ve bu nedenle mkimum büyüklük, çıl frekn ω p ın şğıdki değeri içindir: p [3] n Frekn reel bir nicelik olduğundn, krekök dece poitif değerler lbilir ve bundn dolyı bu denklem, değeri >ζ oln önümleme fktörleri için geçerlidir; yni ζ < için den büyük oln bütün önümleme değerleri için, tepe freknı 0 dır. Denklem [9] dki ω/ω n yerine bunu yrk mkimum büyüklük şğıd verildiği gibi olur: mkimum büyüklük M p [3] Bu, ynı mnd değeri den küçük oln önümleme fktörleri içindir. Şekil 5.5, frklı önümleme fktörleri için, 3

134 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ikinci-derece bir itemin ω/ω n e bğlı nıl değiştiğini göteriyor. Şekil 5..6, tepe büyüklüğü M p değerinin önümleme fktörüne nıl bğlı olduğunu göteriyor, yni denklem [3] nin grfiği. Şekil 5.5 Frklı önümleme fktörlerinde, ikinci-derece bir itemin büyüklükleri Şekil 5.6 Amortimn fktörüne bğlı bir fonkiyon olrk M p 3

135 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 33 Kplı döngü bir item için frekn tepkii İleri yol trnfer fonkiyonu G ve geri beleme yolu trnfer fonkiyonu H oln kplı-döngü bir item için, itemin toplm trnfer fonkiyonu T şğıd verildiği gibidir: H G G T [33] Toplm frekn tepki fonkiyonu dolyııyl şğıd verildiği gibidir: j H j G j G j T [34] Bu, büyüklük ve f cininden şğıdki gibi verilir: j H j G j G j H j G j G j T [35] j H j G j G f [36] Bir komplek yı bir bşk komplek yıy bölündüğü mn, toplm büyüklüğü bulmk için büyüklükleri bölün ve toplm fı elde etmek için flrı birbirinden çıkrın. Aşğıdki bu ifdenin bir bşk şeklidir. Polr formlrı = <θ ve = <θ iki komplek yının bölümünü düşünün: in co in co j j Dolyııyl: in co in co in co in co j j j j in co in co in co j j j Fkt co θ + in θ = ve bu nedenle:

136 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş [co co in in jin co co in Bunu deleştirerek şğıdki bulunur: [co j in ] [37] bunu şğıdki gibi ifde edebiliri: [38] Frekn dülemi bşrım peifikyonlrı Frekn-bölgei performnı şğıdki prmetrelerle tnımlnır: Reonnt freknı Bu frekn, ω p, bir itemin büyüklüğünün, Tjω mkimum olduğu yerdir. Tepe Reonnı Bu lınım değeri, M p büyüklük değerinin bir Tjω itemi için mkimum değeridir. 3 Bnt genişliği Bnt genişliği, Tjω büyüklüğünün, ıfır-frekn değerinden, % 70.7 ldığı frekn olrk tnımlnır Şekil 5.7. Bu, ıfırfrekn değerinden 3 db düşmeidir. Şekil 5.7 Büyüklük eğrii ve bnt genişliğine bir örnek 34

137 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 35 4 Keme hıı Bu değer, itemin bnt genişliği dışındki büyüklüğün lm hııdır. Denklem [7] de tnımlndığı gibi, ikinci derece bir itemin bnt genişliğini düşünün. Denklem [9] d tnımlnn Gjω büyüklüğü şğıdki gibi olur: n n Gj Dolyııyl, Gjω = için şğıdki ifdeyi elde ederi:.44 n n u = ω/ω n için denklemi deleştirir ve kreini lırk şğıdki ifdeyi elde ederi: u u 0 4 u u Bu u 'de kudrtiktir ve şğıdki köklere hiptir: u [39] Dolyııyl,bnt genişliği şğıdki gibidir: bnt genişliği / n [40] Bnt genişliği dolyııyl, doğrudn doğl frekn ω n ile orntılıdır ve belirli bir ω n değeri için, önümleme fktörünün rtışıyl lır.

138 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Frekn tepkiinin grfikel belirlenmei Bir itemin frekn tepkiinin büyüklük ve fı bir kutup-ıfır çiiminden grfikel olrk belirlenebilir. trnfer fonkiyonu G=/+ oln bir item düşünün. Bu tip bir itemde ıfır yoktur ve reel eken üerinde, = - de tek bir kutbu vrdır. Kutupıfır çiimi dolyııyl Şekil 7.8 d göterildiği gibidir. Eğer item girdii inüoidl ie = jω dir ve bu nedenle Gjω = /jω+ dir. ω= rd/ olduğunu vryrk, Gjω = /j+ = -j/ olur ve bu nedenle büyüklük / tir ve fı tn - -/ = -45º dir. Eğer ω= rd/ olur, Gjω = /j+=-j/5 olur ve bu nedenle büyüklük / 5 tir ve fı tn - -/ = -63º dir. Fkt =jω,bir noktnın ω çıl frekn değerine bğlı konum olmk üere, nl eken üerindeki noktlrı tnımlr. ω = için, bu tip bir nokt ile kutbu bğlyn bir çiginin uunluğu tir. Reel ekenle yptığı çı tn - / = 45º dir. Büyüklük, dolyııyl kutuptn çiilen çiginin uunluğunun çrpmy göre teridir ve f kutuptn çiilen çiginin çıının negtifidir. Şekil 5.8c ω= rd/ için oln çigiyi göteriyor. Bu, 5 uunluğun ve 63º çıy hiptir ve bu nedenle büyüklük / 5 tir ve f -63º dir. 36

139 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 5.8 Kutup-ıfır çiimi Genelde, bir dii ıfır ve kutup olck ve şğıdki formd bir trnfer fonkiyonu olcktır. G... m K p p... p [4] n O hlde, öel bir çıl frekn için büyüklük ve f belirleme proedürü 7.Bölüm e bkını şğıdki gibidir: Her bir kutbun ve ıfırın konumunu çiin. İlgili çıl frekn için = jω konumunu işretleyin. 3 Her bir kutup ve ıfırdn = jω noktın çigiler çiin. 4 Her bir çiginin uunluğunu ve çıını belirleyin. 5 Bunun onucund büyüklük, ıfırlrdn çiilen çigilerin uunluklrı çrpımının kutuplrdn çiilen çigilerin uunluklrın ornının K ile çrpımıdır. 6 F, ıfırlrdn çiilen çigilerin çılrındn kutuplrdn çiilen çigilerin çılrının çıkrılmıyl bulunur. Şekil 5.9, ω = rd/ çıl freknı ve trnfer fonkiyonu +/++j+-j oln bir item için, yukrıdki durumu örnekliyor. Sıfırdn çiilen çiginin uunluğu 8 çıı 45º dir. +j kutbundn çiilen çiginin uunluğu 7 çıı 0º dir. -j kutbundn çiilen çiginin uunluğu çıı 76º dir. büyüklük böylece 8 / 7 = 0.69 dir ve f 45º -76º = - 3º dir. 37

140 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 5.9 Büyüklük ve fın belirlenmei Bode çiimleri Seri itemlerden oluşn bir item için, toplm trnfer fonkiyonu, her bir itemin trnfer fonkiyonlrının çrpımıdır: G G G G... [4] 3 Dolyııyl: toplm frekn-tepki fonkiyonu, her bir itemin frekn-tepki fonkiyonlrının çrpımıdır: G j G j G j G j... [43] 3 3 Ve böylece şğıdki denklemi elde etmeliyi: G j G j G j G j.. [44] İki komplek yı, = < θ ve = < θ nin çrpımı için şğıdki ifdeyi ybiliri: co j in ve co j in Bundn dolyı, çrpım şğıd belirtildiği gibidir: 38

141 co j in j in in ] jin co co in ] Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş co j in [co co jin co co in [co co in in [co j in ] Bunun onucund, polr formdki komplek yılr için, şğıdki denklemi ybiliri: [45] Çrpımın büyüklüğü iki yının büyüklüklerinin çrpımı ve rgümnı iki yının rgümnlrının toplmıdır: G j G j G j G j... [46] 3 3 ve flr için şğıdki ifdeyi elde ederi: 3... [47] Eğer denklem [46] nın 0 tbnın göre logritmını lırk, şğıdki denklemi elde ederi: G j lg G j lg G j lg G j... [48] lg 3 3 O hlde, toplm büyüklüğü elde etmek için, frekn tepkii büyüklüklerini çrpmk yerine, logritmlrı kullnırk, dece toplmk yeterli olcktır. Örnek olrk, eğer toplm frekn tepkii 3 + jω/ + jω ie, bunu üç eri itemin onucu olrk düşünebiliri; bir tneinin frekn tepkii 3, diğerinin frekn tepkii + jω ve diğeri / + jω. Eğer, her bir elemn için, frekn bğlı büyüklüğün logritmik grfiğini çierek: 3 + jω/ + jω nin logritmik grfiği, üç elemnın logritmik grfiğinin toplmı olcktır denklem [48]. Bir tkım yrı elemnlr olduğu mn, f grfiği, dece yrı elemnlrın grfiklerinin toplmıdır denklem [47]. Büyüklüğü, şğıd belirtildiği gibi, deibel db cininden ifde etmek yygındır: db cininden büyüklük 0 lg G j [49] 39

142 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 3 büyüklüğü ile, 0 lg 3 = 9.5 olduğundn, büyüklük 3 db dir; 0 büyüklüğü ile, 0 lg 0 = 0 olduğundn büyüklük 0 db dir. Bode çiimi terimi, büyüklük ve fın çıl frekn logritmın bğlı çiildiği grfikler için kullnılır. Bir item için Bode çiimini, itemi oluşturn elmnlrı heb ktrk elde edebileceğimiden; grfikleri, dece şğıd verilen terimler cininden çimek yeterlidir: Ktyılr Orijindeki kutup ve ıfır değerleriyle 3 Reel kutup ve ıfır değerleriyle 4 Komplek eşlenik kutup ve ıfır değerleriyle Fonkiyonlr, bu formlr yrıştırılbilir ve toplm büyüklük ve f toplm yoluyl belirlenebilir. Bir onrki bölüm, belirtilen terimler cininden Bode çiimini içeriyor. Ktyılr Bunun için G = K dır ve bu nedenle Gjω = K dır. büyüklük Gjω = K = 0 lg K db dir ve K poitif ie f = 0º, K negtif ie - 80º dir. Bode çiimi Figür 6.0 d göteriliyor. K = 0 için büyüklük 0 db de bit bir çigidir ve f 0º de bit bir çigidir. Şekil 5.0 Sbit knç için Bode çiimi 6.7. Orijindeki kutup ve ıfırlr 40

143 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Orijinde bir kutb hip bir item, trnfer fonkiyonund / formund bir ifde içerecektir; bir ıfır hip bir item, trnfer fonkiyonund formund bir ifde içerecektir. Eğer orijinde birden fl kutup vr, bu, n bu tip pole yıı olmk üere, / n olck, birden fl ıfır vr, m bu tip ıfır yıı olmk üere m olcktır. Orijindeki kutuplr için, Gjω = / jω n = - jω n olur. Bu tip bir item için büyüklük şğıdki gibidir: n G j 0lg/ 0nlg db [50] ve f n90º dir. Denklem [50], doğrul bir çigi tnımlr. ω = rd/ olduğu mn, büyüklük 0 dır ve ω = 0 rd/ olduğu mn, büyüklük -0n db dir. Dolyııyl, çigini eğimi, her bir 0 mili frekn rtışı için -0n dir bu decde/0luk birim olrk tnımlnır. Figür 5. Bode çiimini göteriyor. Figür 6. Orijindeki kutuplr için Bode çiimi Orijindeki ıfırlr için, Gjω = jω m olur. Bu tip bir item için büyüklük şğıdki gibidir: 4

144 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş m G j 0lg 0m lg db [5] ve f m90º dir. Denklem [5], doğrul bir çigi tnımlr. ω = rd/ olduğu mn, büyüklük 0 dır ve ω = 0 rd/ olduğu mn, büyüklük -0m db dir. Dolyııyl, çigini eğimi, her bir 0 mili frekn rtışı için -0m dir. Figür 6. Bode çiimini göteriyor. Şekil 5. Orijindeki ıfırlr için Bode çiimi Reel kutup ve ıfır değerleri Reel bir kutup, τ mn biti olmk üere / + τ formund bir terime hip trnfer fonkiyonu demektir. Frekn tepkii dolyııyl şğıdki gibidir: j j j G [5] 4

145 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bu, db cininden şğıdki büyüklüğe krşılık gelir: büyüklük 0lg 0lg [53] ve fı tn - ωτ dir. ω << /τ olduğu mn ω τ e göre ihml edilebilir ve bu nedenle denklem [53], büyüklüğü 0 db olrk verir. Böylece, düşük freknlrd, Bode çiimi, bit değeri 0 oln doğrul bir çigidir. Yükek freknlr için, ω >> /τ olduğu mn, ω τ den çok dh büyük bir değerdir ve bu nedenle i ihml edebiliri ve büyüklük -0 lg ωτ dir. Bu, eğimi decdeonluk bşın -0 db oln ve ωτ = olduğu mn ıfır deibel çigii ile keişen doğrul bir çigidir. Şekil 5.3, düşük ve yükek freknlr için, ω = /τ de keişen ve keişim noktı kırılm noktı vey köşe freknı olrk dlndırıln, bu çigileri göteriyor. İki çigi, gerçek çiime imptotik ykınm olrk dlndırılır. Gerçek çiim, kırılm noktınd 3 db oln mkimum hty hiptir. Tblo 5., imptotlrı kullnrk bulunn htlrı veriyor. Düşük freknlrd, ω yklşık 0./τ den küçük olduğu mn, f çıı hemen hemen 0º dir. Yükek freknlrd, ω yklşık 0/τ den büyük olduğu mn, çı hemen hemen -90º dir. Bu freknlr rınd f çıının, mkul bir doğrul çigi olcğı düşünülebilir. Doğrul bir çigi vryımındki mkimum ht 5 º dir. ωτ = olduğu mn, f çıı 45º dir. Tblo 5., imptotlrı kullnrk bulunn htlrı vermektedir. Tblo 5. Aimptot htlrı w Büyüklük htı F htı db 0.0/τ /τ /τ /τ /τ /τ /τ

146 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 5.3 Reel bir kutup için Bode çiimi Reel bir ıfır, τ mn biti olmk üere + τ formund bir terime hip trnfer fonkiyonu demektir. Frekn tepkii dolyııyl şğıdki gibidir: G j j [54] Bu, db cininden şğıdki büyüklüğe krşılık gelir: büyüklük 0lg 0lg [55] ve fı tn - ωτ dir. ω << /τ olduğu mn ω τ e göre ihml edilebilir ve bu nedenle denklem [53], büyüklüğü 0 db olrk verir. Böylece, düşük freknlrd, Bode çiimi, bit değeri 0 oln doğrul bir çigidir. Yükek freknlr için, ω >> /τ olduğu mn, ω τ den çok büyük bir değerdir ve bu nedenle i ihml edebiliri ve büyüklük 0 lg ωτ dir. Bu, eğimi decdeonluk bşın +0 db oln ve ωτ = olduğu mn ıfır deibel çigii ile keişen doğrul bir çigidir. Figür 5.4, düşük ve yükek freknlr için, ω = /τ de keişen ve keişim noktı kırılm noktı vey köşe freknı olrk dlndırıln, bu çigileri göteriyor. İki çigi, gerçek çiime 44

147 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş imptotik ykınm olrk dlndırılır. Gerçek çiim, kırılm noktınd 3 db oln mkimum hty hiptir. Htlr Tblo 5. de verilenlerle ynıdır. Düşük freknlrd, ω yklşık 0./τ den küçük olduğu mn, f çıı hemen hemen 0º dir. Yükek freknlrd, ω yklşık 0/τ den büyük olduğu mn, çı hemen hemen +90º dir. Bu freknlr rınd f çıının, mkul bir doğrul çigi olcğı düşünülebilir. Doğrul bir çigi vryımındki mkimum ht 5 º dir. ωτ = olduğu mn, f çıı 45º dir. Tblo 5. d htlr verilmiştir. Şekil 5.4 Reel bir ıfır için Bode çiimi Komplek eşlenik kutup ve ıfırlr Bir çift komplek kutup eşleniği bulunn bir itemin trnfer fonkiyonu şğıdki formddır: G n n n ve böylece frekn tepkii de şğıdki gibi olur: 45

148 n G j j Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş [ / ] j[ / ] n n n [ / n ] j[ / n] [56] [ / n ] [ / n] Bundn dolyı, deibel cininden büyüklüğü şğıd verildiği gibidir: n büyüklük 0lg n [ / ] [ / ] 0 lg{[ / ] [ / ] } [57] n n n ve fı d şğıd verildiği gibidir: f tn / / n n [58] ω/ω n << için, büyüklük 0 db ye ykınr ve böylece düşük freknlrd imptotik ykınm 0 db de doğrul bir çigidir. ω/ω n >> için, büyüklük -40 lg ω/ω n db ye ykınr. Böylece yükek freknlrd, imptotik ykınm, imptotik ykınm decdeonluk bşın -40 db oln doğrul bir çigidir. Bu iki çiginin keişimi, ω/ω n = de bir kırılm noktıdır. Gerçek değer, bun rğmen, önümleme ornın bğlıdır. Figür 5.5, frklı önümleme fktörleri için, imptotlrı ve bı gerçek çiimleri göteriyor. Tblo 5., bir tkım bounm ktyılrı için, 0 db ve -40 db/decdeonluk çigileri ve gerçek büyüklük çiimi rındki htlrı veriyor. 46

149 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Tblo 5. db cininden büyüklükler için imptot htlrı w/ω n ζ Şekil 5.5 Bir çift komplek kutup için Bode çiimi Denklem [58], ω/ω n << için fı yklşık olrk bit, 0º verir ve ω/ω n >> için yklşık -80º verir. Genellikle, bir imptot 47

150 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş çigii, ω/ω n = 0. de 0º olrk ve ω/ω n = 5 de -80º olrk çiilir. Bu çigi ve deneme f çiimleri rındki frklr tblo 5.3 te göteriliyor. Tblo 6.3 derece cininden f bşın imptot htlrı w/ω n ζ Bir çift komplek ıfır eşleniği, şğıdki form hip bir trnfer fonkiyonu oln itemlerde görülür: G j n n n ve böylece frekn tepkii şğıdki gibi olur: j G j n n [ / ] [ / ] [59] n n j n Deibel cininden büyüklük dolyııyl şğıd belirtildiği gibidir: büyüklük 0lg [ / n ] [ / n] n n 0 lg{[ / ] [ / ] } [60] Ve f d şğıd belirtildiği gibidir: f tn / n / n [6] Büyüklük, komplek kutuplrdn denklem [57] dece eki yerine rtı olmı yönüyle frklıdır. Dolyııyl büyüklük çiimi, dece, 0 db çigii ykınınd, şekil 5.5 in yn görüntüü olur. F, 48

151 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş komplek kutuplrdn denklem [58] dece eki yerine rtı olmı yönüyle frklıdır. Dolyııyl f çiimi, dece, 0º çigii ykınınd, Şekil 5.5 in yn görüntüü olur. Gerçek çiimlerin imptot çigilerinden frkı Tblo 5. ve Tblo 5.3 teki verilerle ynı olur. Krm bir Bode çiim örneği Aşğıdki trnfer fonkiyonun hip bir itemin Bode çiimini belirlemeyi düşünelim: 50 G 0 Bu, şğıd belirtildiği üere, dört elemnın çrpımı olrk düşünülebilir: G 0 /0 Bode çiimini, her bir elemn için ypbiliri ve toplm çiimi elde etmek için bunlrı toplrı. Şekil 5.6, onucu göteriyor. G = 0 için, 0 lg 0 = 0 db büyüklüğünde ve 0º bit fınd doğrul bir çigimi vr. G = + için, ωτ << olduğu mn 0 db büyüklüğümü ve ωτ >> olduğu mn +0 lg ωτ = +0 db/decdeonluk eğiminde bir çigimi vr. Kırılm noktı ω = /τ =0. rd/ dir. F, 0./τ =0. rd/ ye kdr 0º dir ve 0/τ =0 rd/ den büyük freknlr için +90º dir. 3 G 3 = / için, ω = rd/ de 0 db noktındn geçen, eğimi -0 db/decdeonluk oln doğrul bir çigimi vr. 4 G 4 = / + /0 için, ωτ << olduğu mn 0 db büyüklüğümü ve ωτ >> olduğu mn -0 lg ωτ = -0 db/decdeonluk eğiminde bir çigimi vr. Kırılm noktı ω = /τ =0 rd/ dir. F, 0./τ = rd/ ye kdr 0º dir ve 0/τ =00 rd/ den büyük freknlr için -90º dir. 49

152 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 5.6 Krm Bode çiimi Trnfer fonkiyonlrının deneyel belirlenmei Eğer bir iteme değişken freknlı bir inüoidl inyl uygulnır ve çıktı büyüklük ve fı gölenire; bir Bode diygrmı çiilebilir. Sitem trnfer fonkiyonu, imptotlrı çiimlere uyrlyrk ve bunun onucund hngi formd bir trnfer fonkiyonun gölenen onucu verdiğini belirleyerek elde edilebilir. Aimptotlr, eğimlerinin ±0 db/decdeonluk olmk orund olduğu gö önüne lınrk, büyüklük çiimi üerine çiilir. Grdynın +0 db/decdeonluk olduğu mn için, 50

153 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş imptotlrı yerleştirirken, gerçek çiim, imptotlrın köşelerinin yklşık 3 db içinde olmlıdır. Düşük freknlrd büyüklük çiiminin grdynını inceleyin. Eğer ıfır ie, bu çiim, vey / terimi içermeyen Tip 0 item içindir. Eğer çigi x db de yty, trnfer fonkiyonu 0 lg K = x olmk üere, bir K kncın hiptir. b Eğer grdyn -0 db/decdeonluk ie item, K/ formund bir trnfer fonkiyonun hiptir. Gerektiğinde utılrk, imptotun 0 db çigiiyle keiştiği freknın yıl olrk K y eşit olduğu görülür. Aynı mnd, gerektiğinde utılrk, imptotun ω= için 0 lg K büyüklüğüne hip olduğu görülür. c Eğer grdyn -40 db/decdeonluk ie item, K/ formund bir trnfer fonkiyonun hiptir. Gerektiğinde utılrk, imptotun 0 db çigiiyle keiştiği freknın yıl olrk K y eşit olduğu görülür. Aynı mnd, gerektiğinde utılrk, imptotun ω= için 0 lg K büyüklüğüne hip olduğu görülür. 3 Büyüklük çiiminin grdynının değiştiği freknlrı belirleyin. Eğer grdyn, bir ω freknınd -0 db/decdeonluk değişmiş ie, trnfer fonkiyonund / + /ω fktörü vrdır. b Eğer grdyn, bir ω freknınd +0 db/decdeonluk değişmiş ie, trnfer fonkiyonund + /ω fktörü vrdır. c Eğer grdyn, bir ω 3 freknınd -40 db/decdeonluk değişmiş ie, trnfer fonkiyonund / + ζω 3 +ω 3 fktörü vrdır. Sönümleme fktörü çiimi Figür 6.5 ile krşılştırrk elde edilebilir. d Eğer grdyn, bir ω 4 freknınd +40 db/decdeonluk değişmiş ie, trnfer fonkiyonund + ζω 4 +ω 4 fktörü vrdır. Sönümleme fktörü çiimi Figür 6.5 in yn görüntüü ile krşılştırrk elde edilebilir. 4 F çiimi, büyüklük çiiminden elde edilen onuçlrı kontrol etmek için kullnılbilir. 5

154 Zmn gecikmei Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Eğer trnfer fonkiyonu G oln bir itemdeki bir elemn, itemde bir T mn gecikmei meydn getiriyor, mn kydırm teoremi 3.Bölümde toplm trnfer fonkiyonunu şğıd belirtilen form getirir: T T G e [6] Frekn tepkii de şğıdki gibi olur: jt T j G j e [63] Eğer Gjω ve e -jωt elemnlrını düşünürek, gecikme fonkiyonu dece bir mn gecikmei oluşturur, ütel terim büyüklüğüne ve ωt rdyn fın hiptir. Dolyııyl, Tjω nin büyüklüğü, bütün freknlrd Gjω ile ynıdır ve fı Gjω nin f değerlerinden, bütün freknlrd, ωt rdyn çıkrılrk elde edilir. Bundn dolyı, bir mn gecikmei oluşturmnın bir Bode çiimine etkii, büyüklüğü değiştirme fkt frekn rttıkç f çiimi hıl eki onu doğru lır. 5

155 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 6. Krrlılık ve frekn Dülemi Krrlılık Birim geri beleme olmyn kplı-döngü bir item Şekil 6. düşünün. Kplı döngü trnfer fonkiyonu: T G G H [] Şekil 6. Kplı-döngü item Öel bir freknt, yrı-doğrultmlı redreör/dogrultmç, bir inüoidl inyl şekil 6. şeklinde düşünülebilecek kı bir drbe girdimiin olduğunu vrylım. Bu, G üerinden geçerek, bir çıktı verir ve bu çıktı H üerinden geri belenir. Bunun genliğinin girdinin genliği ile ynı klck şekilde değişmeden geri döndüğünü fkt fının ıfır girdi inylinden çıkrıldığınd, onuç olrk dece ilk yrı-doğrultmlı redreörle, drbeyi devm ettiren bir ht inyli elde ettiğimii düşünelim. Bu geri beleme döngüü etrfınd tekrr inyli devm ettirebileceği nd gelecek ve inyli devm ettirecek. Burd tek bşın bir lınım mevcuttur. Eğer geri belenen inyl, ilk drbe genliğinden küçük bir genliğe hipe; inyl mnl yok olcktır. Sitem krrlıdır. Eğer geri belenen inyl, ilk drbe genliği ile ynı büyüklükte bir genliğe hipe; lınım bit bir genlikle devm edecek ve item mrjinl krrlı olcktır. Eğer geri belenen inyl, ilk drbe genliğinden büyük bir genliğe hipe, lınım rtn bir genlikle devm edecek ve item krrı klcktır. Dolyııyl, krrılık için koşul, eri 53

156 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş G ve H düeni üerinden belenen inylin oluşturduğu büyüklüğün den büyük olmıdır. Bun ek olrk, geri belenen inylin, lınım devm edebilmek için ğ f olmı koşulu vrdır. Bu, GH e geri belenen inylin -80º lik bir f kybının olmı nlmın gelir. G ile eri oln H için trnfer fonkiyonu, çık-döngü trnfer fonkiyonu olrk dlndırılır. Krrlılık kriteri, dolyııyl şğıd belirtildiği gibi ifde edilebilir: Şekil 6. Tek bşın devmlı lınımlr Krrlı itemleri krrı itemlerden yırn kritik nokt, çık-döngü f kymının -80º ve çık-döngü büyüklüğünün olduğu mndır. İyi ve krrlı bir kontrol itemi, belirgin biçimde den küçük çıkdöngü büyüklüğüne hiptir; tipik olrk 0.4 ile 0.5 rınd ve -5º ile -5º rınd bir çık-döngü fın hiptir. Bu tip değerler, bir birim dım girdiinde, % 0 ile 30 rınd yükelme miktrı veren, bir nebe lt önümlü item tnımlr. Krrlılık ve Bode çiimleri Açık-döngü trnfer fonkiyonu için Bode çiimi, itemin krrlılığının bir ölçütü olrk kullnılbilir. Aşğıdki terimler, Bode çiimi üerindeki kritik noktlrı tnımlmk için kullnılır: F geçiş freknı 54

157 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş F geçiş freknı, f çiiminde, fın ilk ke -80º değerine ulştığı frekntır. Knç Mrjini Bu fktör, f geçiş freknındki büyüklüğün olmı için gereken çrpndır. 3 Knç geçiş freknı Bu, büyüklük çiiminde, çık-döngü büyüklüğünün ilk ke değerine ulştığı frekntır. Şekil 6.3 Bir Bode Çiiminde krrlılık terimleri 4 F Mrjini Bu, knç geçiş freknınd, f çıının -80º den kç derece küçük olduğudur. Polr Çiim Bir itemin frekn tepkiinin polr çiimi, frekn 0 dn onu giderken, uunluklrı itemin büyüklüğünü, yni genlik kncını veren ve kendi flrın göre çılrd çiilen förlerin uçlrını tkip edecek şekilde çiilen çigidir. 55

158 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Figür 7.4 Polr çiim Bir örnek olrk, trnfer fonkiyonu / + τ oln birinci derece bir itemi düşünün. Frekn tepkii şğıdki gibidir Bölüm 5 e bkını: j j j G [] Dolyııyl büyüklük şğıd verildiği gibidir: büyüklük [3] ve f d: f tn [4] Sıfır freknınd, büyüklük dir ve f 0º dir. Sonu freknt, büyüklük ıfırdır ve f -90º dir. ωτ = olduğu mn, büyüklük / dir ve f -45º dir. Diğer değerlerin yerine konmı, bii Şekil 6.5 te göterilen yrım dire çiimine ulştırır. 56

159 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 6.5 Birinci-derece item Dh ileri bir örnek için, trnfer fonkiyonu / + oln bir item için polr çiimi düşünün. Bu itemin frekn tepkii şğıd belirtildiği gibidir: j G j 4 [5] j j j Dolyııyl büyüklük ve fı şğıdki gibidir: büyüklük [6] tn o f / 80 tn / [7] ω = olduğu mn, büyüklük 0 dır ve f 0º dir. ω ıfır yklştıkç, büyüklük onu ırkr ve f 70º ye vey -90º ye yklşır. Şekil 6.6, polr çiimi göteriyor. 57

160 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 6.6 Polr çiim Gjω çiiminin orijininin y kymış hli, bir bit olmk üere, Gjω + için çiilen polr çiimi olmı, yrrlı bir öelliktir. Bitleştirilmiş Nyquit krrlılık kriteri Bölümün bşınd belirtildiği gibi: krrlı itemleri krrı itemlerden yırn kritik nokt, çık-döngü fının -80º olduğu ve çık-döngü büyüklüğünün olduğu yerdir. Eğer çık-döngü frekn tepkiinin bir polr diygrmı çiilire, itemin krrlı olmı için, uunluğu den büyük oln ve fı -80º oln bir för bulunmmlıdır. Dolyııyl, förlerin uçlrını tkip ederek çiilen yer eğrii olrk tnımlnn çigi, - noktını, kpmmlıdır. ω 0 dn giderken, çık-döngü frekn tepkii GjωHjω yer eğrii, - noktını kpmyn kplı-döngü itemler, krrlıdır, - noktını kpyn itemler krrıdır ve - noktındn geçen itemler mrjinl krrlıdır. Noktyı kpmk, noktnın olun geçmek olrk lınbilir. Yukrıdki ifde, bitleştirilmiş Nyquit kriteri olrk bilinir ve çık-döngüü krrlı oln itemlerle ınırlıdır; yni -düleminin ğ trfınd çık-döngü kutbu olmyn itemler için. 58

161 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 6.7 Krrlılık Şekil 6.7, yukrıd çıklnn ifdeyi, krrlı mrjinl krrlı ve krrı itemler için örnekliyor. Nyquit çiimleri, ölçek olmkıın, krrlı çiim için K = 0, mrjinl krrlı çiim için K = 36.8 ve krrı çiim için K = 500 olmk üere, şğıdki çık-döngü frekn tepkiine krşılık gelir. K G j H j j0. j j0 Nyquit çiiminin dikey ekeni 90º f ve bu nedenle, çıkdöngü frekn tepkiinin nl kımın krşılık gelir. Yty eken 0º f ve bu nedenle, çık-döngü frekn tepkiinin reel kımın krşılık gelir. 6.8 den 6. ye kdr oln şekiller, yygın çık-döngü frekn tepkileri formlrı için, Nyquit çiimi örneklerini göteriyor. 59

162 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 6.8 G H K /, K>0 olmk üere, K nın bütün değerleri için krrlıdır Şekil 6.9 G G K /, K>0 olmk üere, K nın bütün değerleri için krrlıdır Şekil 6.0 G H K / b, K>0 olmk üere, K nın bütün değerleri için krrlıdır 60

163 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 6. G H K / b, K nın büyük değerleri için krrı, fkt K değeri ltılır krrlı hle gelebilir Şekil 6. G H K c / b, küçük K lr için krrlı, fkt K rttırılır krrı hle gelebilir Tm Nyquit krrlılık kriteri Bu, şğıdki gibi ifde edilebilir: Kplı-döngü bir itemin krrlı olbilmei için, çık-döngü frekn tepkii GjωHjω yer eğrii, GH in poitif reel kımı oln kutup yıındn olmmk koşulu ile, -,j0 noktınd, ω 0 dn giderken, t yönünde bir tkım kuştn direler tnımlmlıdır. Nokt, ω - dn + giderken, eğer yer eğriinin yolu içinde ie, dire trfındn kuştılmıştır denir. 6

164 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 6..7 de verilen Nyquit çiimi, ω nin 0 dn + değişimi içindir. ω nin 0 dn + değişimi için çiilen çiim, reel eken üerinden ynıtıln yn görüntüüdür. Dolyııyl tm Nyquit çiimi, Şekil 6.3 te göterildiği gibi, çık-döngü frekn tepkilerinin birii içindir. Şekil 6.3 Bütün olrk Nyquit çiimi Aynı mnd, onud kln bğlntıı çigileri bğlm işlemiyle yolu tmmen kptmk gerekebilir. Şekil 6.4, bu durumu, Şekil 6.9 dki çiim için göteriyor. Şekil 6.4 Bütün olrk Nyquit çiimi 6

165 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Örnek olrk, çık-döngü trnfer fonkiyonu K/ oln bir itemi düşünün. Açık-döngü frekn tepkii şğıdki gibidir: K G j H j j j j 3 [8] Polr çiimi heb ktrk Nyquit çiimini elde edebiliri. Büyüklük şğıdki gibidir: K büyüklük [9] 4 9 ve f d şğıdki gibidir: f tn tn tn 3 [0] ω = 0 olduğu mn, büyüklük denklem [8] ile K/6 olrk bulunur ve f denklem [9] ile 0º olrk bulunur. ω = olduğu mn, büyüklük 0 dır ve f 70º dir. Polr grfiği çimek için bu değerleri ve diğer noktlrı kullnbiliri. Alterntif olrk, frekn tepkiini reel ve nl kıımlr olmk üere düşünebiliri. Dolyııyl denklem [8] şğıdki gibi yılbilir: 6K G j H j 4 9 K j [] 4 9 ω = 0 olduğu mn, nl kıım 0 dır ve reel kıım K/6 dır. ω = olduğu mn, nl kıım 0 dır ve reel kıım 0 dır. ω = olduğu mn nl kıım 0 dır. Bu K/60 oln reel bir kıımdır, yni büyüklüktür ve çiimin reel ekenle keiştiği noktddır. Dolyııyl krrlı bir item için, -K/60, den küçük olmlıdır, yni K, 60 tn küçük olmlıdır. Şekil 6.5 tm Nyquit çiimini göteriyor ölçü olmkıın. 63

166 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 64 Şekil 6.5 Bütün olrk Nyquit çiimi Nyquit krrlılığı ve dülemi Açık-döngü trnfer fonkiyonu şğıd belirtilen genel formd oln bir item düşünün: n m p p p K H G [] Kplı-döngü trnfer fonkiyonunun pydı denklem [], + GH tir. Dolyııyl: n m p p p K H G n m n p p p K p p p n m p p p [3] Kplı-döngü trnfer fonkiyonu T, şğıdki gibidir: H G G T ve eğer + GH in bütün kökleri -düleminin ol yrıınd yer lıyor krrlıdır. Dolyııyl, denklem [3] ün bütün ıfırlrı, - düleminin ol yrıınd yer lmlıdır.

167 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş + GH ıfırlrı -düleminin ğ yrıınd yer lmıyorlr item krrlıdır. + GH in kutup ve ıfırlrının göterildiği, Şekil 6.6 d göterilen, -dülemini düşünün. Şekil 6.6 deki gibi bir T noktı lırk ve t yönünde, kutup ve ıfırlrı içine lmyck şekilde, kplı bir kontür boyunc hreket ettirirek, her bir kutup ve ıfırdn, T yol çevreinde dönerken, T noktın çiilen vektörlerin her biri fı değiştirecek fkt hiçbiri π boyunc dönmeyecektir. Bun rğmen, eğer kplı kontür bı kutup ve ıfırlrı kuştır Şekil 6.6b, kuştıln her bir kutup ve ıfırdn, T yol çevreinde dönerken, T ye çiilen vektörler, π boyunc dönecektir. Şekil 6.6 -dülemi ve dönüş Trnfer fonkiyonunun pyınd ıfırlr, pydınd kutuplr olmındn dolyı, bir ıfırın f rotyonun etkii poitif, bir kutbunki ie negtiftir. Genel olrk, eğer bir kontür Z det ıfır ve P det kutup içeriyor, Z-P tne t yönünde tm rotyon olduğunu öyleyebiliri. -koordint iteminde, +GH in, -düleminin ğ trfınd kln bütün ıfırlrını içeren kplı bir kontür çiebiliri. Bu, -düleminde, merkei orijin oln ve yrıçpı onu unn bir yrım dire çiilerek gerçekleştirilebilir. Orijinde y d nl eken üerinde yer ln bir ıfırı vey kutbu bu yrım direnin içine dhil etmemek için, bu ıfır ve kutuplrın etrfın yrıçplrı ıfır 65

168 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş giden küçük yrım direler çierek, onlrı büyük lnın dışın tmış oluru. Şekil 6.7, -düleminde oluşn lnı götermektedir. Şekil 6.7 +GH in, -düleminin ğ trfındki bütün ıfırlrını içeren kplı kontüru. Bu kontürü, her birine öel değeri tnmış noktlrın bileşimi olrk düşünebiliri. b yolunu tkiben, b den c ye, c den de d ye devm eden yol yrım direnin etrfı, de yolu ve onr nın etrfındki küçük yrım dire. Böylece yol şu şekilde çıklnbilir: b: bcd: de: e: = jw, w ıfırdn rtı onu giderken = R onu giderken ve θ p/ ile - p/ rınd, Re jθ nın limiti = jw, w eki onudn ıfır giderken = r ıfır giderken, ve θ p/ ile -p/ rınd, re jθ nın limiti Kontür, her birinin kendine öel değeri oln bir eri nokt olrk düşünülebileceğinden; bu değerleri herhngi bir fonkiyonun tybiliri. Bu bölümün devmınd, bir onrki şekilli örnek bunu göteriyor. O mn orumu, +GH çiimi için, -düleminde, bu kplı bölgenin içine dhil edilmiş bir ıfırın bulunup bulunmdığıdır. Yukrıd elde ettiğimi dhil edilme prenibini kullnrk, dhil edilen kutup ve ıfır yıını bulbiliri. Nyquit Krrlılık Kriteri, Z = ıfır yıı, P = kutup yıı, N=t yönünde, kontür boyunc hreket eden bir nokt trfındn oluşturuln 66

169 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş vektörlerin tm rotyon yıı olmk üere şğıdki gibi ifde edilebilir: Z P N [4] Eğer, kontür trfındn verilen veriyi kullnrk polr koordint iteminde bir çiim gerçekleştirirek, N, vektör orijin etrfınd dönerken t yönünde oluşn net tm rotyon yııdır. Fkt, +GH fonkiyonunun orijinini 0, j0 dn -, j0 tşımk dh ık kullnıln bir yöntemdir ve bu şekilde GH çiimini ele llım. Böylece, N, -+j0 noktı etrfınd, GH yer eğrii trfındn oluşturuln t yönündeki tm rotyon yıı olrk belirlenir. Böylece: Kplı-döngü bir itemin krrlı olbilmei için, çık döngü frekn tepkii GjwHjw, w eki onudn rtı onu giderken, GH in poitif reel kım hip kutup yıındn olmmk koşulu ile, -,j0 noktı etrfınd oluşturulmuş t yönlü bir tkım rotyonlr tnımlmlıdır. -düleminin ğ trfınd kutup içermeyen durumlr için yukrıdki genelleme şğıdki şekilde deleştirilebilir: Kplı-döngü bir itemin krrlı olbilmei için, çık döngü frekn tepkii GjHj çiimi, eki onudn rtı onu giderken, -,j0 noktını içermemelidir. Yukrıd nltılnlr örnek olrk, çık-döngü trnfer fonkiyonu K/τ+ oln bir item düşünün. Açık-döngü itemi orijinde bir kutb hip. Nyquit kontürü, Şekil 6.8 dki gibi, orijindeki kutup etrfınd yrım direel bir çigi şeklinde. Şimdi, çık-döngü trnfer fonkiyonu için çiilmiş Nyquit çiimine çprlnmış hlini ele llım. b yolu boyunc, 0<ω<+ olmk üere = jω dir, bu ebeple: K j G j H j K j [5] 67

170 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Dolyııyl büyüklük şğıdki gibidir: Şekil 6.8 Nyquit kontürü ve çiimi büyüklük K [6] ve f tn t dir. Dolyııyl, bu elemnı Nyquit çiimi üerinde düşündük, frekn 0 olduğu mn büyüklük K ve f - 90º dir. Frekn onu olduğu mn, büyüklük 0 dır ve f 0º dir. ed yolu boyunc, 0< ω < için = jω dir. Bu nedenle, Nyquit çiimi üerinde onuç, yukrıd verilenin yn görüntüüdür. o o 3 bcd yolu boyunc, için: R j S lim Re [7] 68

171 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Dolyııyl, bcd elemnını, Nyquit çiimi üerinde düşündüğümü mn, şğıdki ifdeyi buluru: K j lim 0e [8] R j j Re Re ve dolyııyl, GH yer eğrii, ıfır yrıçp hiptir ve -80º den +80º ye döner. 4 ef yolu boyunc, değerleri, yrım direnin yrıçpı r ile, o o olmk üere, şğıdki gibi bğlntılıdır: j lim re 0 [9] r dolyııyl, ef elemnını Nyquit çiimi üerinde düşündüğümü mn, şğıdki ifdeyi buluru: K K j r j e j lim j 0 re re r 0 e lim [0] ve dolyııyl, GH yer eğrii, onu yrıçp hiptir ve - 90º den +90º ye döner. Böylece, yukrıdkileri kullnrk, -dülemindeki bir kontürü, bir Nyquit çiimine dönüştürebiliri. Sonuçt elde edilen Nyquit çiimi için, -, j0 noktını kuştn bir kuştm direi yoktur ve item krrlıdır. Dolyııyl, Nyquit çiimini çierek ve -, j0 noktının kuştılıp kuştılmdığını düşünerek, bir itemin, -düleminin ol el trfınd bir kutbu olup olmdığını ve krrlı olup olmdığını belirleyebiliri. Göreli krrlılık Knç mrjini ve f mrjininin kullnımı, bu ünitede, frekn bölgeinde bir Bode çiimi ile tnımlndığı mn, bir itemin göreceli krrlılığını,belirlemek için nltıldı. Göreceli krrlılığı belirlemenin bir bşk yolu, knç mrjini ve f mrjini kullnımıyl Nyquit çiimini kullnmktır. O mn: Knç mrjini 69

172 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Knç mrjini, GjωHjω nin Nyquit çiimi trfındn oluşturuln negtif reel eken kuşğı ile -, j0 noktının birbirlerine uklığını ifde etmek için kullnılır. Knç mrjini, gerçek değerin, krrı hle gelmei için gereken çrpn miktrıdır ve db ile ifde edilir. Böylece, eğer çiim negtif ekeni x te keere Figür 7.9, - değerini vermei için /x ile çrpılmlıdır ve bu nedenle knç mrjini db cininden 0 lg /x dir. Şekil 6.9 Knç mrjini GjωHjω çiimi, -, j0 noktındn geçtiği mn, knç mrjini 0 db dir, item krrılık mrjini üerindedir. GjωHjω çiimi, -, j0 noktının olun gidere, knç mrjini db cininden negtiftir, item krrı durumddır. GjωHjω çiimi, -, j0 noktının ğın gidere, knç mrjini db cininden poitiftir, item krrlı durumddır. GjωHjω çiimi negtif reel ekenle keişmiyor, knç mrjini db cininden onudur. F geçiş freknı, çiimin negtif reel ekenle keiştiği frekntır. F mrjini F mrjini, knç-geçiş frekn noktının, yni çiim üerinde büyüklüğün olduğu noktnın, yer eğrii üerinde -, j0 noktındn geçmei için, GjωHjω çiiminin orijin etrfınd kç derece döndürülmei gerektiğini derece cininden veren çı olrk tnımlnır Şekil

173 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 6.0 F mrjini Bir örnek olrk, çık-döngü trnfer fonkiyonu K/ oln bir item düşünün; bu item bu ünitede Nyquit çiimi için oln Şekil 6.5 e bkını dh önce ele lınmıştı. Açık-döngü frekn tepkii şğıdki gibidir denklem [8]: K G j H j j j j 3 [] ve bu denklem de şğıdki ifdeyi verecek şekilde denklem [] yeniden düenlenebilir: 6K G j H j K j [] ω = olduğu mn, nl kıım 0 dır ve bu nedenle, reel kıım K/60 tır ve bu nokt çiimin reel ekeni ketiği noktdır. Böylece eğer K = 0 ie, çiim negtif reel ekeni -0/60 = -/3 te keer. Knç böylece, - noktın ulşmk için, 3 kdr rttırılmış olur. Knç mrjini dolyııyl 0 lg 3 = 9.5 db olur. Büyüklük şğıdki gibidir denklem [9]: K büyüklük [3] 4 9 7

174 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Böylece, ω =.84 rd/ olduğu mn, K = 0 için, büyüklük dir. Bu freknt, f -35.5º dir. dolyııyl f mrjini, 44.5º dir. Zmn gecikmeli itemlerin krrlılığı Açık-döngü trnfer fonkiyonu GH oln bir itemi ele lırk ve mn kydırm teoremini kullnrk 3.Bölümde bir T mn gecikmei eklerek, çık-döngü trnfer fonkiyonu şğıd belirtilen form dönüşür: T G H e [4] Açık-döngü trnfer fonkiyonu için bir Nyquit çiimi, çierek, mn gecikmeinin etkii, her bir ω deki förü t yönünde ωt çıı kdr döndürmeidir. Büyüklüğü etkileme. Kontrol itemlerinde, ω onu giderken, büyüklük genellikle ıfır ykınr. Böylece, mn gecikmeinin etkii, ω onu giderken, çiimin, orijine doğru t yönünde pirl çimeini ğlmktır. Bunun bir onucu olrk, çiimin reel ekenle onu yıd keişimi vrdır. Şekil 6. yukrıd nltıln durumu, frklı mn gecikmeleri için, şğıd belirtilen formd bir çık-döngü trnfer fonkiyonun hip bir item için örnekliyor: e T [5] lik bir mn gecikmei ile, item mrjinl krrlıdır, dh uun mnlr için item krrıdır ve dh kı mnlr için, item krrlıdır. 7

175 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 73 Şekil 6. Zmn gecikmeli bir item için Nyquit çiimi Sbit M yer eğrileri Birim geri belemeli kplı-döngü bir item düşünün Şekil 6. ve bu itemin trnfer fonkiyonu şğıd belirtildiği gibidir: G G T [6] Sinüoidl bir girdi için G = Gjω dir ve Gjω nin reel ve nl bir kımı olduğunu düşünebiliri: jy x j G [7] Şekil 6. Birim geri belemeli kplı-döngü item Kplı-döngü itemin büyüklüğü, M, dolyııyl şğıdki gibidir: y x y x jy x jy x j G j G M [8] Denklem [8] şğıdki gibi tekrr yılbilir: M M y x M M x M y M x M x M y x y x x M Kreye tmmlmk için, denklemin her iki trfın [M /-M ] eklerek, şğıdki ifdeyi elde ederi: M M M M y M M x M M x

176 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ve bunun onucund şğıdki ifdeyi elde ederi: M M y M M x [9] Bu, bit bir M değeri için, yrıçpı M/-M, merkei x = M /- M, y = 0 oln bir dire denklemidir. M = için, onu yrıçp uunluğund bir dire vrdır. M = için, /3 yrıçp uunluğund bir dire vrdır ve merkei 4/3, 0 dır. M = 3 için, /3 yrıçp uunluğund bir dire vrdır ve merkei 9/8, 0 dır. M in frklı değerleri için, x-ekenine, yni G in reel kımı için oln ekene imetrik oln, bir dire ilei çiilebilir. Bu dire ilei bit-m direleri vey bit-m yer eğrii olrk dlndırılır. Şekil 6.3, dire ileinin bılrını göteriyor ve Tblo 6., bı M değerleri için merke ve yrıçp verilerini göteriyor. Tblo 6. M-direleri M Merke Yrıçp M Merke Yrıçp , , , , , , , , ,0 0. Şekil 6.3 Sbit M direleri 74

177 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Sbit M-direleri M = doğruun ve reel ekene imetriktir. M = in olundki direler, M in birden büyük olduğu değerlere, ğındkiler den küçük olduğu değerlere krşılık gelir. Sbit M-yer eğrileri ve Nyquit çiimleri Eğer bir item için, bit-m grfiği, itemin Nyquit çiimi ile üt üte koyulur, çiimin bit-m yer eğriiyle keişimleri, Nyquit çiimi üerinde belirtilen noktlrl göterilen freknlrdki M değerlerini verir. Şekil 6.4, bu durumu örnekliyor. Şekil 6.4 Nyquit çiimi ve bit M-yer eğrii Sbit N yer eğrileri Yine, birim geri belemeli kplı-döngü itemini düşünün Şekil 6. ve bu itemin trnfer fonkiyonu şğıd belirtildiği gibidir: G T [30] G Sinüoidl bir girdi için G = Gjω dir ve Gjω nin reel ve nl bir kımı olduğunu düşünebiliri: G j x jy [3] Sitemin fı dolyııyl Gjω = xω +jyω nin fı eki [ + Gjω] = [ + xω +jyω] nin fıdır ve dolyııyl şğıdki gibidir: x y f tn tn y x [3] 75

178 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Böylece: y tn x [33] x y Eğer N = tn Ø olur, denklem [33] şğıdki gibi yılbilir: y x x y 0 N Denklemin her iki trfın /4 + /4N eklerek, şğıdki ifdeyi elde ederi. x x y 4 y N 4N 4 4N x y N 4 4N [34] N nin bit bir değeri için, denklem, merkei -/, /N ve yrıçpı şğıd belirtildiği gibi oln bir diredir: 4 4N N 4N yrıçp [35] N nin frklı değerleri için bir dire ilei oluşturulbilir, bu tip direler, bit-n direleri vey bit-n yer eğrii olrk tnımlnır. örnek olrk, Ø = 30º için, N = tn Ø = dir ve bu -0.5, merkeli dire, [ / ] =.000 yrıçpın hiptir. Ø = 0º için, N = tn Ø = 0 dır ve bu -0.5, merkeli dire onu bir yrıçp hiptir. Tblo 6., frklı N değerleri için, bı dire yrıçp ve merke değerlerini göteriyor ve dolyııyl f Ø ı göteriyor ve Şekil 6.5 dire ileinin bılrını göteriyor. Tblo 7. Sbit N-direleri Ø N Merke Yrıçp , , ,

179 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş , , , , , , , , Şekil 6.5 Sbit N direleri Nichol grfikleri Nichol grfiği, büyüklüğün f krşı deibel cininden çiimidir. Yine, birim geri belemeli kplı-döngü itemini düşünün Figür 7. ve bu itemin trnfer fonkiyonu şğıd belirtildiği gibidir: G T [36] G Sinüoidl bir girdi için G = Gjω dir ve Ø ω ye bğımlı bir çıkdöngü fı fonkiyonu olmk üere, Gjω nin reel ve nl bir kımı olduğunu düşünebiliri: G j G co jin [37] 77

180 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Büyüklük M dolyııyl şğıdki gibidir: M G G co G Bunun onucund: co G G co G M G M M G in [38] [39] Şekil 6.6, M-kontürlerinin f bğlı fonkiyonlr şeklinde çiildiği bu tip bir grfik göteriyor. Bener biçimde, N-kontürlerinin f bğlı fonkiyonlr şeklinde çiildiği bir grfik göterebiliri. Denklem [36] d verilen item için, kplı-döngü fı şğıd verildiği gibidir: f G j ' nin fı - [ G j ]' nin fı in tn G G in [40] Şekil 6.7, M- ve N-kontürleriyle birlikte çiilen bir grfik göteriyor. Şekil 6.6 Sbit M-yer eğriiyle Nichol grfiği 78

181 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 6.7 M- ve N-kontürleriyle Nichol grfiği Nichol grfikleri, M- ve N-kontürleriyle birlikte, öel hırlnmış grfik kğıtlrınd bulunur vey MATLAB gibi uygun bir yılım kullnılrk oluşturur. Açık-döngü büyüklük ve f yer eğriini çierek, itemin kplı-döngü frekn tepkii krkteritikleri kontürlerden belirlenebilir. Şekil 6.8, bu kvrmı örneklendiriyor. Şekil 6.8 Nichol grfiğiyle performn kriterinin belirlenmei 79

182 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 7. Kök yer eğrii TEKNİĞİ Kök yer eğrileri Bir itemin trnfer fonkiyonunun kutuplrı, pydnın kökleridir ve o itemin bir girdiye krşı geçici tepkiini belirler. Eğer trnfer fonkiyonundki bir prmetre değiştiriliyor, bu kutuplrın konumlrın etki edebilir ve dolyııyl itemin tepkiine etki eder. Kutuplrın -düleminde hreket ettirilmei, yni köklerin, her bir kök için yer eğrii çiilerek göterilebilir, yni prmetre değiştikçe konumunun nıl değiştiğini göteren bir çiim. Bit bir örnek olrk, Şekil 7. de göterilen birim geri belemeli itemi düşünün. Kplı-döngü item, şğıdki gibi bir trnfer fonkiyonun hiptir: T K / K K / K [] ve bu nedenle = - + K d tek bir kutb hiptir. K = 0 olduğu mn kutup = - dedir ve K rtr, bu nedenle dh fl negtif olur. K = olduğu mn = olur. Kplı-döngü kutbunun konumunun e bğlı nıl değiştiğini göteren çigi kök yer eğriidir ve Şekil 7. de göterilmektedir. Eğer bu döngüyü çrk, geri beleme olmycktır, çık-döngü trnfer fonkiyonu d şğıdki gibi olcktır: K T o [] ve çık-döngü item = - de bir kutb hiptir. Dolyııyl, bu örnekte, = - deki kutup çık-döngü kutbu olrk tnımlnır. Açıkdöngü kutbu kök yer eğriinin bşldığı yerde bulunn kutuptur. 80

183 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 7. Birim geri belemeli item Şekil 7. Kök yer eğrii Dh ileri bir örnek için, Şekil 7.3 teki birim geri belemeli döngü itemini düşünün. Bu itemin çık-döngü trnfer fonkiyonu şğıd belirtildiği gibidir: K T o [3] ve dolyııyl çık-döngü kutuplrı = 0 ve = - dir. Bu itemin, kplı-döngü trnfer fonkiyonu d şğıdki gibidir: K / T K / K K [4] Kökler, dolyııyl, şğıd verildiği gibidir: 4K K 4 [5] 8

184 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş K = 0 olduğu mn, kökler = = 0 vey - dir. K = 4 olduğu mn, kökler reeldir ve her ikii de = dedir. K = den büyük olduğu mn, kökler reel kıımlrı ve nl 4 kıımlrı K oln komplek eşleniklerdir. K, ün üerinde 4 4 rttıkç, nl kıımlr rtr. Kök yer eğrii, = 0 d ve = - deki iki çık-döngü kutbund bşlyn iki dl hiptir. K 0 dn 4 e doğru rttıkç, kökler ıt yönlerden,, 0 noktın doğru hreket eder. İki kök eğrii, K = için, = de krşılşır. Eğer K dh 4 d rttırılır, kökler reel ekenden yrılır ve komplek eşlenik hline gelirler ve reel kıımlrı de bit kldığındn, kökler boyunc dikey çigide hreket ederler. Figür 7.4, bu durumun kök yer eğriini göteriyor. Şekil 7.3 Birim geri belemeli item Şekil 7.4 Kök yer eğrii 8

185 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Kök yer eğrilerinin temel öellikleri Birim geri beleme olmyn, ileri döngü trnfer fonkiyonu KG oln ve geri beleme yolu trnfer fonkiyonu H oln kplıdöngü bir kontrol itemini düşünün. Sitemin trnfer fonkiyonu şğıd verildiği gibidir: T KG KG H [6] Kökler, dolyııyl, şğıdki denklem kullnılrk bulunur: KG H 0 [7] Açık-döngü trnfer fonkiyonu, bir knç prmetrei K içerir. Bunun onucund: KG H [8] komplek bir değişken olduğundn, in öel bir değeri için, GH x + jy formund bir komplek yı olcktır. Denklem [8] i ğlmk için, reel elemnlr için bir eşitlik ve nl elemnlr için bir eşitlik olmı gerekmektedir. Dolyııyl, reel elemnlr için x = /K dır ve nl elemn y = 0 dır. Böylece, k bir tm yı olmk üere, k = 0,,,..., büyüklük x y dir ve f tn - y/x tir: G H [9] K G H k [0] Böylece, çılr K > 0 için, π nin vey 80º nin tek ktlrı olmlıdır. GH şğıdki gibi ifde edilebilir: G H... m p p... p [] Sıfırlr,,,..., m ve kutuplr p, p,..., p n reel vey nldır. Böylece GH nin çıı şğıdki gibi olur: [... m ] -[ p p... p ] k [] n n 83

186 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ve bu nedenle: Bir yer eğrii üerinde, bı değerleri için, GH nin ıfırlrındn çiilen vektörlerin çılrının toplmı ile kutuplrındn çiilen vektörlerin çılrının toplmı rındki frk, 80º nin tek ktı olmlıdır. Denklem [9] ve denklem [] büyüklük için şğıdki ifdeyi verir: G H... m p p... pn K [3] ve dolyııyl: Bir yer eğrii üerinde, bı değerleri için, ıfırlrdn çiilen vektörlerin büyüklüklerinin çrpımının, kutuplrdn çiilen vektörlerin büyüklüklerinin çrpımın ornı /K olmlıdır. Örnek olrk, çık-döngü trnfer fonkiyonu K + / + oln bir item düşünün. Sitemin = - de bir çık-döngü ıfırı ve = 0 ve = - de çık-döngü kutuplrı vrdır. Şekil 7.5, bunlrın, - düleminde çiilmiş konumunu göteriyor. Şimdi bir P noktını ve bunun kök yer eğrii üerinde yer lmı koşulunu düşünün. Vektörler, ıfırdn ve kutuplrdn P ye çiilir. P nin kök yer eğrii üerinde olmı için, denklem [] uygulnmlıdır ve bu nedenle şğıdki ifde ğlnmlıdır: ' nin tek ktlrı [4] Aynı mnd, denklem [3] ğlnmlı ve bu nedenle şğıdki ifdeyi elde etmeliyi: b c K [5] 84

187 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 7.5 K+/+ için kutup ve ıfırlr Dh ileri bir örnek için, çık-döngü trnfer fonkiyonu K + / oln bir item düşünün. Sitemin = - de bir çık-döngü ıfırı ve = - ± j de çık-döngü eşlenik kutup çifti vrdır. Şekil 7.6, bunlrın, -düleminde çiilmiş hlini göteriyor. P noktının kök yer eğrii üerinde yer lmı için, denklem [] ğlnmlıdır: ' nin tek ktlrı [6] ve ynı mnd denklem [3] ğlnmlıdır: b [7] c K Şekil 7.6 K+/ ++ için kutup ve ıfırlr 85

188 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Kök yer eğrilerini oluşturmk için kurllr Bir kök yer eğriini oluşturmnın temel koşullrı, denklem [] ve [3] uygulmıdır. Dolyııyl, bir kök yer eğrii üerindeki noktlrın, konum belirlemek için, hngiinin çı denklemini ğldığını ve hngiinin büyüklük denklemini ğldığını denemeynılm yoluyl belirleyebiliri. Bu tip bir deneme-ynılm proedürünün ıkıcılığını ltmk için, dh hılı bir ykınm elde edebilmeyi olnklı kıln kurllr geliştirilmiştir. K = 0 noktlrı Denklem [9], GH = /K ifdeini verir ve dolyııyl K = 0 noktlrı, çık-döngü trnfer fonkiyonunun kutuplrıdır. Kök yer eğrii, bu tip noktlrdn bşlr. n tne kutup vr, bu tip n tne nokt vrdır. K = noktlrı Denklem [9], GH = /K ifdeini verir ve dolyııyl K = noktlrı, çık-döngü trnfer fonkiyonunun ıfırlrıdır. Kök yer eğrii, bu tip noktlrd on erer. Eğer kutup yıı, ıfır yıındn dh fl ie, ve bunun onucu çoğunluğu kök yer eğriinin bşlngıç noktı ie, m tne kutup m tne ıfırd on erer ve kln n-m tne kutup d, onud on eren yer eğrileri verir. 3 Tmmlnmış kök yer eğriindeki dllrın yıı Kök yer eğriinin dllrının yıı, çık-döngü trnfer fonkiyonunun krkteritik denkleminin dereceine, n e eşittir. Her bir kök, K o dn değişirken bir kök yer eğrii iler. Örnek olrk, çık-döngü trnfer fonkiyonu K oln bir item için, 3 kök olcktır ve bu nedenle 3 dl olcktır. 4 Simetri Tmmlnmış kök yer eğrii -düleminin reel ekenine göre imetriktir. Bunun nedeni, köklerin reel olm orunluluğudur ve bu nedenle eken üerinde vey ynı reel elemn hip eki vey rtı ynı değerde nl elemn hip oln komplek eşlenik çiftleri olmlrı orunluluğudur. 86

189 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 5 Kök yer eğrilerinin imptotlrı Sonud biten yer eğrileri, poitif reel ekenle şğıdki gibi, n m ve k = n-m - olmk üere, çıl imptotlr yönelen yer eğrileri oluşturur: 3 5 k,,,..., [8] n m n m n m n m 6 Aimptotlrın keişimi Aimptotlr, reel eken üerinde bir noktd keişirler ve ben çekim merkei vey kütle merkei olrk dlndırılırlr ve bu kvrm, şğıdki gibi ifde edilir: p p... pn... m n m [9] Kutup ve ıfırlr, y reel y d komplek eşlenik çiftleri olduğundn, denklem [9] un pyınd yer ln nl kıımlr, her mn birbirlerini deleştirecektir ve böylece, kutuplrın ve ıfırlrın toplmlrı dece kutup ve ıfırlrın reel kıımlrın toplmlrı olrk düşünülür. Mdde 6 ve 7 ye bir örnek olrk, çık-döngü trnfer fonkiyonu K/ oln bir itemi düşünün. Bu itemin ıfırı yoktur ve = - de ve -5 ± j3 te kutuplr hiptir. n - m = 3 tür. Aimptotlr, poitif reel ekenle p/3, 3p/3 ve 5p/3, yni 60º, 80º ve 300º çılrını oluşturcktır. Reel ekenle keişimler [ ]/3 = -3.7 de olcktır. Figür 8.7, kök yer eğriinin formunu götermektedir. Şekil 7.7 Aimptotlr 87

190 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 7 Reel eken üerindeki kök yer eğrii Eğer çık-döngü trnfer fonkiyonu, bir vey dh fl reel kutup vey ıfır hipe, ğınd yer ln reel kutuplrın ve ıfırlrın yıının toplmı tek oln reel eken rlığı, bir kök yer eğrii trfındn doldurulcktır. Komplek kutup ve ıfırlr kök yer eğriinin reel eken üerindeki düenini etkilemeler. Bu, reel eken üerinde bir P noktın çı koşulu uygulnrk ğlnbilir Şekil 7.8. Noktnın ğınd yer ln ıfır ve kutuplrın her biri 80º çı oluştururlr ve olund klnlr 0º çı oluştururlr. Açı koşulunun denklem [] ğlmının ypılmı ve şğıdki denklem için: [ - [ p p k... m ]... p noktnın ğınd kln reel kutup ve ıfırlrın toplmı tek bir yı olmlıdır ve bu nedenle π rdyn oluşturmlıdır. n ] Şekil 7.8 Reel eken üerindeki bir nokt için çı düenlemeleri 8 Klkış çılrı ve kök yer eğriinin komplek kutup ve ıfırlr vrmı Klkış çıı vey vrm, kök eğrii, bir kutup vey ıfırdn yrılırken vey kutup vey ıfır vrırken, kutup ve ıfırın kök eğriine oln tnjntının çıını belirtir. Bu çı, çı koşulu kullnımı yoluyl denklem []: [ - [ p p k... m ]... p ve in ele lınn kutup vey ıfır çok ykın kök yer eğrii üerinde bir nokt olduğu vryılrk bulunbilir. Bir örnek olrk, çık-döngü trnfer fonkiyonu K/ n ]

191 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş oln bir item düşünün. Bu itemin ıfırı yoktur ve = - de ve = -5 ± j3 te iki kutb hiptir. Dolyııyl, kutuplr doğru oln üç,, 3 çıı için şğıdki denklemi ybiliri Şekil 7.9: ] ' nin tek ktlrı [ 3 [0] -5 + j3 kutbun en ykın noktyı düşünün, o hlde, = 80º - tn - 3/4 = 43º dir ve 3 = 90º dir. Dolyııyl: Şekil 7.9 Ayrılm çıı o o [] ] 80' in tek ktı Böylece, = 540º - 33º = 307º dir ve bu nedenle, bu çı, kök yer eğriinin kökten klkış çııdır. Şekil 7.9 tmmlnmış kök yer eğriini göteriyor. 9 Kök yer eğriinin nl ekenle keişimi Kök yer eğriinin nl ekenle keişimi, nl krkteritik köklerinin olm koşulunu ğlyn K değerlerini heplm yoluyl belirlenir. Bu, Routh-Hurwit kriteri kullnılrk ypılbilir Bölüm 4 e bkını. Bir örnek olrk, çık-döngü trnfer fonkiyonu K/ oln bir item düşünün. Kplı-döngü item, şğıdki trnfer fonkiyonun hip olcktır: K K / [] 89

192 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ve dolyııyl krkteritik denklem şğıd belirtildiği gibidir: K K 0 [3] Routh tblou dolyııyl şğıdki gibidir: Stır 0: 4 6 K Stır : Stır : 6 K Stır 3: 080-8K/6 Stır 4: 0 K Böylece, bütün köklerin -düleminin ol yrıınd klmı için, şğıdki ifdelerin ğlnmı gerekir: 080 8K 0; 0 6 K [4] K nın, köklerin konumunun nl eken üerinde olmın krşılık gelen kritik değeri, dolyııyl 8K = 080 içindir ve nedenle K = 60 içindir. Bu K değerini veren değerini, K yı krkteritik denkleme koyrk bulbiliri. Bun rğmen, dh bit bir metot, K yı, ikinci tır trfındn oluşturuln ktyılrdn oluşturulmuş denklemde yerine koymktır: 6 K 0 Bunun onucund j 0 dir. 0 Kopm noktlrı Kopm noktı terimi, iki vey dh fl yer eğriinin bir noktd krşılşrk ve dh onr o noktdn yrı yollr yrılrk devm etmei için kullnılır Şekil

193 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 7.0 Kırılm noktlrı örnekleri Şekil 7.0 d, kök yer eğriinin iki dlı reel eken üerindeki kopm noktınd krşılşıyorlr ve dh onr ıt yönlerde ekenden yrılıyorlr. Figür 7.0b de, iki komplek eşlenik kök yer eğrii reel eken üerindeki kopm noktınd krşılşıyorlr ve ıt yönlerde yrılıyorlr. Kopm noktlrı, kök yer eğrii üerinde çoklu köklerin bulunduğu noktlrdır. Örnek olrk, Figür 7.0, K değerine o nokty krşılık gelen değer tnmı, krkteritik denklemin çift bir köküne krşılık gelir. Çoklu kökler, dk/d = 0 denklemini ğlyn değerlerinde meydn gelirler. Bu koşul, bütün kopm noktlrının denklemi ğlmk orund olmı fkt bütün çöümlerin kopm noktı olmmındn dolyı, gerekli ve fkt yeterli olmyn bir koşuldur. Bir örnek olrk, çık-döngü trnfer fonkiyonu K/ + ve bunun onucund bu itemin kplı-döngü trnfer fonkiyonu K/ + + K oln bir item düşünün. Krkteritik denklem dolyııyl, + + K = 0 dır. Bunun onucund, dk/d = - tir ve bu nedenle dk/d = 0 olduğu mn, = de bir kopm noktı vrdır. 9

194 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Dllrın kopm noktın vrış vey yrılış çıı Kök yer eğriinin bir kopm noktın vrış vey yrılış çıı ilgili noktdki yer eğrilerinin yıın bğlıdır. Genelde, kopm noktın, n tne vrn vey yrıln kök yer eğrilerinin rınd 80/n derece çı vrdır. Kök yer eğrileri örnekleri Şekil 7. ile Şekil 7. rındki figürler, yygın olrk krşılşıln çık-döngü trnfer fonkiyonlrın hip itemler için kök yer eğrii örneklerini göteriyor. Şekil 7. Açık-döngü trnfer fonkiyonu K/+p oln bir item için kök yer eğrii Figür 7. Açık-döngü trnfer fonkiyonu K/+p +p oln bir itemin, p >p için, kök yer eğrii 9

195 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 7.3 Açık-döngü trnfer fonkiyonu K+ /+p +p oln bir itemin, p > >p için, kök yer eğrii Şekil 7.4 Açık-döngü trnfer fonkiyonu K+ /+p +p oln bir itemin, >p >p için, kök yer eğrii Şekil 7.5 Açık-döngü trnfer fonkiyonu K/+p +p +p 3 oln bir itemin, p 3 >p >p için, kök yer eğrii 93

196 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 7.6 Açık-döngü trnfer fonkiyonu K+ /++jb+-jb oln bir itemin, > için, kök yer eğrii Şekil 7.7 Açık-döngü trnfer fonkiyonu K+ /++jb+-jb oln bir itemin, > için, kök yer eğrii Şekil 7.8 Açık-döngü trnfer fonkiyonu K/+p ++jb+jb oln bir itemin, p > için, kök yer eğrii 94

197 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 7.9 Açık-döngü trnfer fonkiyonu K/+p ++jb+jb oln bir itemin, >p için, kök -yer eğrii Şekil 7.0 Açık-döngü trnfer fonkiyonu K+ / +p ++jb+-jb oln bir itemin, p 3 > >p >p için, kökyer eğrii 95

198 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Figür 8. Açık-döngü trnfer fonkiyonu K/+p +p +p 3 +p 4 oln bir itemin, p 4 >p 3 >p >p için, kök yer eğrii Zmn gecikmei Bir girdi inyli değişiminde, bir T mn gecikmei ve bu gecikmenin çıktı üerindeki etkileri oln, kplı-döngü bir item düşünelim. -bölgeinde, bu itemi e -T şeklinde ifde edebiliri. Dolyııyl eğer bu tip bir itemin toplm çık-döngü trnfer fonkiyonu, KGHe -T şeklinde yılbiliyor, kplı-döngü trnfer fonkiyonu, şğıd belirtilen formd bir krkteritik denkleme hiptir: T H e 0 KG [5] reel ve nl birer bölüm içerdiğinden dolyı, eğer = σ + jω ie, denklem [5] i şğıdki gibi ybiliri: T jt KG H e e 0 [6] Büyüklük koşulu dolyııyl, şğıdki gibi olur: T e G H K [7] ve çı koşulu, K = 0, -, - v.. olmk üere, şğıdki gibi olur: 96

199 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş T [ KG H e ] k j [8] Böylece, mn gecikmeinin etkii, şğıdki çıyı verecek biçimdedir: KG H ] k T [ [9] e -T, in kuvvetleri kullnılrk onu bir eri olrk yılbileceğinden, krkteritik denklem [5] kök yer eğrii çiiminde onu yıd dl tnımlr. Örnek olrk, Şekil 7., çıkdöngü trnfer fonkiyonu K/ + ve mn gecikmei 3 oln bir item için kök yer eğriini göteriyor, yni bu itemin toplm çıkdöngü trnfer fonkiyonu K e -3 / + olur. Bu item için, kplı-döngü için krkteritik denklemi şğıdki gibidir: Ke 3 t 0 K = 0 için bir koşul = 0 ve = - dir. K ynı mnd, -3 = için de ıfırdır. = σ + jω olduğundn, σ = olduğu mn için ve 3ω, π nin tek ktlrı olduğu mn, yni ω = ±π/3, ±π, ±π /3, v.. olduğu mn, -3, dur. Sıfırlr K e -3 = 0 kullnılrk bulunur ve bu üteli bir kuvvet erii yoluyl genişletebileceğimiden: 3 e t /! 7 / 3!... bu denklemde onu yıd ıfır vrdır. Şekil 7. Zmn gecikmeli bir item için kök yer eğrii 97

200 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Kök yer eğrilerini kullnrk çöümleme Kök yer eğrii nliinin önemli bir kullnımı, ıfır ve/vey kutuplrın eklendiğinde vey hreket ettirildiğinde kök yer eğriinin nıl değiştiğini belirlemektir. Kutup ve ıfır eklemenin etkileri Genelde, çık-döngü trnfer fonkiyonun -düleminin ol yrıınd bulunn bir kutup eklemenin, kök yer eğriini - düleminin ğ trfın doğru hreket ettirme ve eğme etkii vrdır. Bir örnek olrk, çık döngü trnfer fonkiyonu K/ + yı düşünün. Bu denklem, = 0 d ve = - d çık-döngü kutuplrın hiptir. Kök yer eğrileri Şekil 7.3 te göterildiği gibidir. Şimdi, b, dn büyük olmk üere, = -b de bir kutup eklemenin etkilerini düşünün. Bu, imptotlrı ±90º den, ±60º ye ve reel ekenle oln keişimi / den - + b/ ye değiştirme etkiine hiptir, dolyııyl Şekil 7.4 te göterilen kök yer eğriini verir. Figür 7.3 Açık döngü trnfer fonkiyonu K/+ Şekil 7.4 = -b de eklenen kutup 98

201 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 7.3 te verilen item her mn krrlı iken, K nın hiç bir değeri, -düleminin ol trfınd bir kök elde etmemii ğlm; ektr kutup itemin Şekil 7.4, şimdi krrı hle gelmiştir. Açık-döngü trnfer fonkiyonun -dülemin ol trfınd yer ln bir ıfır eklememiin etkii, kök yer eğriini -düleminin ol trfın doğru hreket ettirmek vey eğmek etkiine hiptir. Örnek olrk, çık döngü trnfer fonkiyonu K/ + yı ele lırk, Şekil 7.3 te göterilen kök yer eğriini verir. Eğer K + b/ + yı verecek şekilde, b büyüktür olmk üere, bir ıfır eklerek, Şekil 7.4 te göterilen kök yer eğriini elde ederi. Şekil 7.5 Bir ıfır eklemenin etkileri Kök duyrlılığı K değişirken, bir kök konumunun duyrlılığı, kök duyrlılığı olrk dlndırılır ve deki keirli değişimin, bu değişime ebep oln K dki keirli değişime ornı olrk tnımlnır, yni: duyrlılık d / dk / K K d dk [30] Bir kopm noktınd, dk/d = 0 dır ve bu nedenle, duyrlılık onudur. İdel olrk bir kontrol iteminin knç K dki küçük değişimlere krşı duyrı olmı gerektiğinden, bu onuç problemler yrtır. Böylece, kopm noktı veren K değerlerinden kçınılmlıdır. 99

202 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Kök eğrii ve mn dülemi rındki ilişki Aşğıd belirtildiği gibi, ikinci-derece bir kplı-döngü trnfer fonkiyonun hip bir item düşünün: T n [3] n n Krkteritik denklemin köklerini, = σ±jω şeklinde ybiliri ve bu nedenle şğıdki ifdeyi elde etmeliyi: ve böylece: n j j n n [3] ve: n [33] Fkt eğer item için, kök yer eğrii çiimi üerinde bı noktlrı ele lırk Şekil 7.6, denklem [3], üçgene uygulnn Pigor teoreminin ω n i, orijinden nokty çiilen vektörün uunluğu olrk verdiğini belirtir ve denklem [33], ζ = σ/ω n = co yı verir ve bu nedenle dece negtif reel ekenle vektör rındki çının koinüüdür. 00

203 Şekil 7.6 Komplek kutup Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Açık-döngü trnfer fonkiyonu K/ + 5 oln bir item düşünün. Bu itemin kplı-döngü trnfer fonkiyonu T dolyııyl şğıdki gibidir: K / 5 K T K / 5 5 K [34] Bu ikinci-derece bir itemdir ve bu itemin denklemi şğıdki gibi yılbilir. T n [35] n n Dolyııyl şğıdki ifdeyi elde etmemi gerekir: n 5 ve K [36] n Diyelim ki, mkimum yükelme miktrının % 0 olmı iteniyor. Mkimum yükelme miktrı, şğıdki denklemde denklem [34], ünite 5 verildiği gibidir: yükelme miktrı y exp [37] ln ve bu nedenle, gereken önümleme fktörü ζ 0.4 ten büyük olmlıdır. Bu tip bir önümleme fktörü elde etmek için, denklem [36], ω n = 6.5 ve bu nedenle K = 39 olmı gerektiğini belirtir. Sitem için kök yer eğrii Şekil 7.7 de göterilmiştir ve dolyııyl K nın bu değerini veren kökler komplek olcğındn dolyı, bu kökler -.5±jω dir. denklem [3] yi kullnırk, ω = dir ve bu nedenle ω = 6.73 rd/ dir. ζ = co olduğundn, = 66º dir. 0

204 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 7.7 B kök yer eğrileri çiimi 0

205 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 8. Kontol item diynı Kompntörler ve kontrolörler birimleri Kompnyon terimi, bir itemin performn krkteritiklerini, gerekli krkteritikleri verecek şekilde modifikyon vey kompnyon etmek için kullnılır. Kompntörler, bir kontrol itemine, kplı-döngü performnlrını değiştirmek için eklenen elemnlrdır. Bunlr, bir kontrol iteminde herhngi bir yere eklenebilirler. Kontrolörler, bir ht inyli girdii ln ve item çıktıını değiştirmek için bir çıktı veren elemnlrdır. Bunlr, dolyııyl, bir kontrol devreinde öel bir noktd kullnılırlr. Diyn nlmınd bkck olurk, kompntörler ve kontrolörler rınd gerçek bir frk yoktur; bu iki, terim donnımd frklılıklr ynıtırlr. Gelenekel olrk, bir kontrolör, orntılı knç, integrl ve türev etkii gibi bir dii kontrol modlrı unn, tek bşın bulunn bir elemndır ve bir toplm elemnı içerir. Bit bir kontrol itemi, Şekil 8. de göterilen formddır. Çıktı değişkeninden birim geri beleme, bir ht inyli verecek biçimde et değeri ile krşılştırılrk bir inyl elde edilir ve bu ht inyli, K kncın hip bir yükelteç/mplifiktör yrdımıyl yükeltilerek elde edilen inyl teie verilir ve bu nedenle çıktı değişkeni değiştirilmiş olur. Yükelteç, ht inylini, tei çıktıı için gerekli performn krkteritiklerini verecek biçimde değiştirir. Yükelteç burd kontrolördür. Bu ynı mnd, iteme öel bir noktd eklenmiş bir kompntör olrk d düşünülebilir. 03

206 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 8. Birim geri belemeli item Bir işlem teii için en bit model, K/τ + oln bir trnfer fonkiyonu ve bir T mn gecikmeidir, yni Ke -T /τ +. Dh gerçekçi bir model, Ke -T /τ + τ + dir. Kontrol modlrı Temel kontrol modlrı şğıdkiler gibidir: Orntılı P İntegrl I 3 Türev D Türev, her mn, orntılı ile vey hem orntılı hem de integrl ile birlikte kullnılır. İntegrl, genelde orntılı ile berber vey hem orntılı hem de türevle berber kullnılır. Üç modun bütün kombinyonlrı PID kontrol vey üç-terimli kontrol olrk tnımlnır. Orntılı Kplı-döngü bir kontrol için en bit mod orntılı kontroldür. Bu tip bir kontrolörde ht inyli e üerine etkiyen bit bir K p kncı bulunur Şekil 8.: Kontrolör çıktıı [] e K p Kontrolör dolyııyl, ht rttıkç bun orntılı olrk rtn bir çıktı üretir; ht ne kdr büyüke, kontrolörün çıktıı d o kdr büyük olur. Eğer ht bite, kontrolör çıktıı d bit olur. 04

207 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 8. Orntılı kontrolör Genelde, endütriyel kontrolörlerde, knç orntılı bntpb terimiyle tnımlnır. orntılı bnt, kontrolör çıktıınd % 00 değişikliğe ebep olck kımi vey yüdelik ht değişimidir Şekil 8.3: Htdki degiiklik% % PB [] Kontrolör ciktiindki degiiklik% Şekil 8.3 Orntılı bnt Htdki yüdelik değişim, et değerinden yüdelik pmdır ve pm/ölçüm rlığıx00 dür. % 00 kontrolör çıktıı, bir vlfı % 00 tmmen çn bir inyl olbilir, % 0 tmmen kptn bir inyl olbilir. Bir e htı için: Orntılı bntpb 05

208 e ölçüm rligi Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş kontrolor cikti rligi kontrolor çiktiindki degiim [3] Bunun onucund denklem []: PB K p kontrolor cikti rligi olcum rligi [4] vey: %PB K p kontrolor cikti rligi 00 olcum rligi [5] Orntılı kontrollü birim geri belemeli kplı-döngü bir itemin trnfer fonkiyonu T şğıdki gibidir: T K pg K pg [6] Bu itemin çık döngü trnfer fonkiyonu d şğıdki gibidir: K p G [7] Girdi inylinde bir değişim olduğu mn, bu tip bir itemde nelerin olcğını düşünelim. Çıktı, girdi inylini tkip edecek mi? Eğer item orntılı kontrol ypılmdn önce tip 0 ie 5.bölüm e bkını, orntılı kontrol bunu değiştirmeyecektir ve dolyııyl X girdii için, şğıdki gibi bir krrlı-hl htını denklem [3], bölüm 5 verecektir: e X lim 0 K G p [8] Bir birim dım girdii X = / için, dolyııyl: e lim 0 K p G [9] Dolyııyl, bir krrlı-hl htı vrdır. Durumu bitleştirmek için, G in bit bir K kncın eşit olduğunu düşünün. O hlde, K p K ne kdr büyük olur, krrlı-hl htı o kdr küçük olur. Genelde K p yi ne kdr büyük yprk, krrlı-hl htı o kdr 06

209 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş küçük olcktır. Dolyııyl büyük knçlı bir item, mkul olrk girdiyi tkip eden bir çıktı verecektir. Şimdi de, orntılı kontrollü birim geri belemeli kplı-döngü bir kontrol iteminde krrlılık orununu düşünün: G = K/τ + τ + oln bir itemimi olduğunu düşünelim. Bu kplı-döngü item için krkteritik denklem şğıdki gibidir: KK p 0 KK 0 [0] p Routh tblou bu nedenle şğıdki gibidir: Stır 0 : τ +τ + KK p Stır : τ +τ Stır : 0 + KK p Krrlılık için, eğer mn bitleri τ ve τ 0 dn büyüke, + K p K > 0 ve bu nedenle K p K > - olmk orund. Yükek knçlı bir item için, dolyııyl krrlı bir item olcktır. Eğer ikinci-derece oln krkteritik denklemini şğıdki gibi yrk: o hlde: ve: n n 0 KK p n [] [] n Büyük bir kontrolör kncı büyük bir ω n değeri küçük bir önümleme fktörü demektir ve bunun onucund bir dım girdii için, büyük bir geçici yükelme miktrı denklem [34], 5.bölüm e bkını demektir. Dolyııyl düşük bir krrlı-hl htı elde etmek için, büyük bir orntılı knç eçmek, büyük bir geçici yükelme miktrın yol çr. Üçüncü-derece itemlerde, yukrıd ikinci-derece itemlerde olduğu gibi, yükek bir orntılı knç düşük bir krrlı-hl htı 07

210 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş verir fkt büyük bir yükelme miktrın ebep olur. Bun rğmen, K çok büyük lınır, krrılık oluşur. Orntılı kontrolün önemli bir öelliği, tip 0 itemlerde, bir et değeri değişiminden onr bir krrlı-hl htı vermeidir. Bu ht offet htı olrk tnımlnır. Kontrolör, nck bir offet olduğund yeni bir çıktı verir. Bir örnek olrk, trnfer fonkiyonu / + oln bir teii ve orntılı kontrolü K p oln birim geri belemeli bir kontrol itemi düşünün. Bu itemin, çık-döngü trnfer fonkiyonu K p / + olcktır ve dolyııyl bir tip itemidir. Böylece, bir dım girdiinde krrlı-hl htı denklem [8] de belirtildiği gibi, şğıdki gibi olcktır: e X / lim lim 0 0 K G 0 K p Bir rmp girdii için, denklem [8] şğıdki ifdeyi verir: e / lim 0 K K p p p Dolyııyl, item bir dım girdii için ıfır krrlı-hl htın fkt bir rmp girdii için bir krrlı-hl htın hiptir. PI kontrol Orntılı kontrolörlerdeki offet orununun üteinden gelmek için, ıfır ht girdiinde, onlu bir kontrolör çıktıı veren bir kontrolöre gerek vrdır. Bu, htnın mn göre integrline orntılı biçimde bir çıktı veren ek bir elemnl Şekil 8.4 orntılı terimi rttırmk uretiyle ğlnır. 08

211 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Figür 9.4 PI Kontrol, iki lterntif model Orntılı elemn, bir e ht girdiine ve bir de K p e çıktıın hiptir. Şekil 8.4 d, integrl elemnı ht e şeklinde bir girdiye ve K integrl kncı olmk üere, htnın mn bğlı integrline orntılı bir çıktıy hiptir, yni: K i edt Dolyııyl kontrolör çıktıı: kontrolör çıktıı K p e Ki edt [3] Lplce dönüşümü cininden, denklem [3] şğıdki gibi ifde edilir: Ki kontrolör çıktıı K E [4] p Bu denklem de, mn integrl biti T i = K p /K i olmk üere, şğıdki gibi yılbilir: K p kontrolör çıktıı E [5] T i Şekil 8..4b de, integrl elemnı, K p e şeklinde bir girdiye ve K i integrl kncı olmk üere, bu girdinin mn bğlı integrline orntılı bir çıktıy hiptir, yni: K p K i edt Dolyııyl kontrolör çıktıı şğıdki gibidir: kontrolör çıktıı K p e K i edt [6] Lplce dönüşümü cininden, denklem [5] şğıdki gibi ifde edilir: Ki kontrolör çıktıı K E [7] p Bu denklem de, mn integrl biti T i = K p /K i olmk üere, şğıdki gibi yılbilir: 09

212 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş K T i p kontrolör çıktıı E 8] Denklem [5] vey [8] de verildiği gibi, kontrolör G c in trnfer fonkiyonu şğıdki gibidir: K p Gc Ti [9] ve dolyııyl birim geri beleme kplı-döngü, G p tei fonkiyonun hip bir kontrol iteminin çık-döngü trnfer fonkiyonu şğıdki gibidir: K p Gc G p G p T i [0] Denklem [0] nin belirttiği gibi, PI kontrolörü, / fktörüyle ifde edilir ve integrl etkiine hiptir ve bu nedenle = 0 d bir kutup değeri orty çıkr. Aynı mnd = -/T i de bir kutup meydn getirir. Açık-döngü trnfer fonkiyonun / fktörünün eklenmei, itemi tip itemine dönüştürür ve bu nedenle rtık bir tip 0 itemi değildir. Böylece diğer durumd dece orntılı kontrolle bir birim girdi ile oluşn krrlı-hl htlrı temilenir ve ofet oluşm. Yeni bir kutup ve yeni bir ıfır oluştuğundn, kutup yıı n ve ıfır yıı m rındki frk değişmeden korunur ve böylece kök yer eğriinin imptot çılrı değişme. Bun rğmen, imptotlrın reel ekenle keişim noktı, orijinin ynın tşınır ve bunun onucund, göreli krrlılıkt bir miktr lm olur. Keişim noktı +/T i n-m kdr yer değiştirir. Böylece item PI kontrolüyle, dece P kontrol ile ğlnndn dh krrlı hle gelir. Sonuçt bunun etkii şğıdki gibi ifde edilebilir: İntegrl terimi, kontrolörün ne kdr hılı ıfır ht elde edeceğini belirleyen integrl mn biti yrdımıyl, herhngi bir krrlı-hl htını yok edecek biçimde eçilir, integrl mn biti ne kdr büyük olur, işlem o kdr uun ürer. Orntılı knç, göreceli krrlılığı belirleyecek biçimde eçilir. Bir örnek olrk, / + trnfer fonkiyonun hip bir teii oln bir birim geri belemeli kontrol itemine uygulnn PI 0

213 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş kontrolünü düşünün. Denklem [0] ye göre, item şğıdki çıkdöngü trnfer fonkiyonun hip olcktır: K p / T / i K p / Ti Böylece, item, kontrolörün vrlığınd tip item iken; şimdi tip itemidir. Bir dım girdiine ve bir rmp girdiine krşı gelen krrlı-hl htı böylece 0 dır. Sitem, bir tne = - de, bir çift = 0 d çık-döngü kutuplrın ve = /T i de bir ıfır hiptir. Şekil 8.5, bu itemin kök yer eğriini göteriyor: Şekil 8.5 Kök yer eğrii PID kontrol Şekil 8.6, orntılı ve türev kontrollü b,r kontrolörün temel formunu göteriyor. Orntılı kontrol elemnı, ht e girdiine ve K p e çıktıın hiptir. Figür 9.6 d, türev elemnı e girdiine ve K d türev kncı olmk üere, htnın mn göre türevine orntılı bir çıktıy hiptir, yni: de K d dt Böylece kontrolör çıktıı şğıdki gibidir: de dt kontrolör çıktıı K e K [] p d

214 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Türev kontrol elemnı, htnın mn göre değişimine tepki verir ve böylece, ileri mndki ht büyümeini thmin eder ve ht büyümeden önce düeltici bir etki ğlr. Bun rğmen, eğer ht bit ie, türev kontrolü tek bşın düeltici bir etki ğlm. Türev kontrolünün n devntjı, tek bşın yvş değişen htlr duyrıdır ve ht birikmeine ebep olur. Bu ebeple tek bşın kullnılm. Bu, orntılı kontrolle birleştirilire, orntılı kontrolün, yvş değişen htlr tepki vermei ve türev kontrol elemnının htnın değişim hıın tepki vermei ğlnır. Şekil 8.6 PD Kontrolör, iki lterntif model Lplce dönüşümü cininden, [.] denklem şğıdki gibidir: kontrolör çıktıı K K E [] p d Bu denklem de, T d = K d /K p olmk üere, şğıdki gibi yılbilir: T d kontrolör çıktıı K E [3] d T d türev mn biti olrk dlndırılır. Kontrolör G c in trnfer fonkiyonu, denklem [3] kullnılrk şğıdki gibi ifde edilebilir:

215 Gc Kd Td Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş [4] ve böylece, tei trnfer fonkiyonu G p oln bir birim kplı-döngü kontrol iteminin çık-döngü trnfer fonkiyonu şğıdki gibidir: Gc G p Kd G p T d [5] Böylece, bunun etkii = -/T d de bir ıfır eklemektir. Örnek olrk, / + trnfer fonkiyonun hip bir teii oln bir birim geri belemeli kontrol itemine uygulnn PD kontrolünü düşünün. Denklem [5] e göre, item şğıdki çıkdöngü trnfer fonkiyonun hip olcktır: Kd / Td Böylece, item, kontrolör olmdn önce tip item iken, hl tip dir. Krrlı-hl htı böylece, bir dım girdii için, dece ıfırdır. Sitem, = 0 d ve = - de çık-döngü kutuplrın ve = -/T d de bir ıfır hiptir. Şekil 8.7, bu itemin, kök yer eğriini göteriyor. Şekil 8.7 Kök yer eğrii Üç terimli kontrolörler Bir orntılı, integrl ve türev kontrolörü, PID vey üç-terimli kontrolör olrk tnımlnır. Şekil 8.8, bu tip kontrolörlerin temel formunu göteriyor. 3

216 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 4 Şekil 8.8 PID Kontrolör, lterntif modeller Şekil 8.8 d, kontrolör çıktıı şğıdki gibidir: çıktı dt de K edt K e K d i p [6] Bunun Lplce dönüşümünü lırk, şğıdki denklemi elde ederi: çıktı E K K K K K p d p i p E T T K d i p [7] Figür 9.8b de ynı denklemi verir. Kontrolörün trnfer fonkiyonu böylece, şğıdki gibidir: T T K G d i p c [8] ve itemin çık-döngü trnfer fonkiyonu, şğıdki gibidir: G T T K G G p d i p p c G T T T T K p d i d d p / / [9]

217 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Böylece, PID kontrolörü, item tipini dım yükeltir. Sıfırlrın yıını ve kutup orijinde olmk üere, kutuplrın yıını rttırır. Böylece, bir itemin performnını belirlemek için yrlnmı gereken üç kontrolör prmetrei vrdır; K p, T d ve T d. Bu ünitenin bir onrki bölümünde, optimum yrlrı belirlemek için kullnılbilecek deneyel metotlr bkcğı. Burd, dece, T i değerini 4T d olrk yrlmyı içeren, yygın olrk kullnıln bir yklşımı dikkte lcğı. Bunun onucund, denklem [9] u, şğıdki gibi ifde edebiliri: K ptd [ / Td / Td ] G p Gc G p p d d p K T / T G [30] Böylece, PID kontrolörü = 0 d bir çık-döngü kutbun ve = - /T d de çift ıfır hiptir. Örnek olrk, / + trnfer fonkiyonun hip bir teii oln bir birim geri belemeli kontrol itemine uygulnn PID kontrolünü düşünün. Denklem [30] göre, item şğıdki çıkdöngü trnfer fonkiyonun hip olcktır: K ptd [ / Td ][/ ] Gc G p K T [ / T p d d ] Sitem böylece, bir tip itemidir ve bu nedenle, dım ve rmp girdileri için, krrlı-hl htı yoktur. Eğer T d = 0.5 ie, çık-döngü trnfer fonkiyonu şğıdki gibi olur: G G c p 0.5K p ve item, = - de bir çık-döngü ıfırın ve = 0 d bir çift çıkdöngü kutbun hiptir. orijinl kutuplrdn biri, kontrolör trfındn oluşturuln bir ıfırl iptl edilir. Şekil 8.9, bu itemin kök yer eğrii çiimini göteriyor. 5

218 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 8.9 Kök yer eğrii Kontrolör knçlrının yrlnmı Sdece orntılı kontrolör kullnn bir kontrol itemi ile, K p değeri, kontrol itemin girdilere tepki vermeini belirleyecek biçimde eçilmelidir. Bir PI kontrolü ile, uygun K p ve K i eçilmelidir. Bir PID kontrolü ile, uygun K p, K i K d değerleri eçilmelidir. Bu tip eçimler, kontrolör trfındn oluşturuln kutup ve ıfırlrın konumlrının ve bundn dolyı kontrol iteminin girdilere tepkiinin belirlenmeine olnk verir. Akort etme terimi, optimum kontrolör yrlrını eçme işlemini tnımlmk için kullnılır. Akort etmek için en ık kullnıln deneyel metotlr, Ziegler ve Nichol tur. Ziegler ve Nichol, çık-döngü fonkiyonunun, mn gecikmeli birinci-derece bir iteme ykınnbileceğini vrymışlrdır, yni Ke -T /τ+ formund bir trnfer fonkiyonu. İki tne kort etme proedürü geliştirmişlerdir; bunlrdn birii kplı-döngü tet onuçlrının kullnımın dylı on hlk metodu olrk dlndırıln metot, diğeri, çık-döngü tet onuçlrının kullnımın dylı proe rekiyon metodu olrk dlndırıln metottur. Her iki metot d, 4 önümleme ornı ile lt önümlü geçici tepkilerle onuçlnn yrlrı vermek için trlnmıştır. Son hlk metodu Kullnıln proedür şğıdki gibidir: Kontrolörü mnuel çlışm modun ve teii norml çlışm koşullrın yrlyın Orntılı kontrol dışındki bütün kontrol modlrını kptın. 6

219 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 3 K p yi düşük bir değere getirin, yni orntılı kontrol bnt büyük bir değere getirin. 4 Kontrolörü otomtik mod getirin ve küçük bir et noktı değişimi oluşturun, yni % 5 ile % 0 rınd. 5 Tepkiyi gölemleyin. 6 K p yi bir miktr yükek bir değere getirin, yni orntılı kontrol bnt rlığını bir drltın. 7 Küçük bir et noktı değişimi oluşturun, yni % 5 ile % 0 rınd. 8 Tepkiyi gölemleyin. 9 6., 7. ve 8. dımlrı, tepki, büyümeyen ve bounmyn güçlendirilmiş bir lınım elde edene kdr tekrr edin. Bu koşulu ğlyn K p değerini K pu ve lınımın periyodunu T u not edin. 0 Tblo 8. i kullnrk, optimum kontrol yrlrını belirleyin. Tblo 8. Son hlk metodundn yrlmlr Kontrolör K p T i T d tipi P 0.5 K pu PI 0.45 K pu T u /. PID 0.6 K pu T u / T u /8 Açık-döngü trnfer fonkiyonu 6/ oln bir tei için kontrolör yrlrının belirlenmeini düşünün. Orntılı kontrol dışınd bütün kontrol modlrı kptılır şğıdki krkteritik denkleme hip bir trnfer fonkiyonunu verir: 3 6K K 0 p p Routh tblou böylece şğıdki gibi olur: Stır 0: 3 Stır : K p Stır : 0-K p Sitemin mrjinl olrk krrlı olbilmei ve ürekli bir lınım vermei için, 0 K pc = 0 olmlıdır ve bu nedenle K pc = 0 dur. Slınımlrın freknı, birinci tır için yıln x 0 = 0 7

220 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş denklemi yrdımıyl bulunur ve bu nedenle = dir. - düleminin nl ekeni üerindeki bu nokt için, ω = rd/ dir. Böylece lınımlrın periyodu T u = π/ω =.9 dir. Böylece, Tblo 8. i kullnırk, bu PID kontrol için, K p = 0.6 K pc = 6, T i = T u / = 0.95 ve T d = T u /8 = 0. bulunur. Proe rekiyon metodu Tet proedürü şğıdki gibidir: Genellikle kontrolör ile düeltici elemnlr rınd bulunn kontrol döngüünü çın, böylece kontrol fliyeti gerçekleşmein. Kontrolörü mnuel mod ve teii norml çlışm koşullrın getirin. 3 Düeltici elemn küçük bir dım değişikliği uygulyın ve item tepkiini kydedin. Sitemin verdiği tepkinin mn krşı çiilen grfiği, proe rekiyon eğrii dir Şekil 8.0. Bu eğri, itemin kontrolör çıkışındki bir dım değişikliğine nıl tepki verdiğini göterir. Tet inyli, düeltici elemndki yüde değişimi ifde edilir ve çıktı, tm-ölçü rlığının yüdei olrk ifde edilir. Proe rekiyon eğriine mkimum grdynı verecek şekilde bir tnjnt çiilir; mkimum grdyn R = M/T olrk ölçülür. Tet inylinin bşlngıç noktı ve tnjnt ile keişme nı rındki mn, geciktirme L olrk tnımlnır. Tblo 8., kontrolör yrlrını belirlemek için, Ziegler ve Nichol trfındn verilen kriteri göteriyor. Tblo 8. Proe rekiyon eğrii metodund yrlmlr Kontrolör K p T i T d tipi P P/RL PI 0.9P/RL 3.3L PID.P/RL L 0.5L 8

221 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 8.0 Proe rekiyon eğrii Kompnyon Sdece kncı yrlyrk, kplı-döngü bir kontrol itemi için gerekli performnı elde etmek her mn mümkün olmybilir ve böylece, gerekli performnı elde etmek için, iteme performn kompntörleri eklenebilir. Eğer bu kompntörler, itemin ileri yolun konur, eri vey kkt kompntörler olrk şekil 8. ve eğer geri beleme yolun konur, geri beleme kompntörleri Şekil 8. olrk dlndırılır. Sitem hem eri hem de geri beleme kompntörüne hip olbilir Şekil 8.3. Kompnyon, gerekli performnı elde etmek için, itemin, kök yer eğriinin vey frekn tepkiinin değiştirilmei olrk görülebilir. Şekil 8. Seri y d kkt kompniyon 9

222 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 8. Geri beleme kompnyonu Şekil 8.3 Seri geri beleme kompnyonu Geciktirme kompnyonu Krrlı oln ve yeterli bir geçici tepkiye hip oln, fkt büyük bir krrlı-hl htı bulunn bir kplı-döngü kontrol itemi, eri geciktirme kompntörü kullnılrk geliştirilebilir. Bir geciktirme kompntörünün trnfer fonkiyonu, > olmk üere, şğıdki gibidir: T G [3] c T Kompntör, = -/T de bir kutb ve = -/T de bir ıfır hiptir. her mn den büyük olduğundn, kutup her mn - dülemindeki ıfırın ğınd yer lır. Kutup ve ıfır rındki mefe nın değeri ile belirlenir. Şekil 8.4, bu itemin kutup-ıfır diygrmını göteriyor. 0

223 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 8.4 Bir geciktirme kompntörü için kutup-ıfır diygrmı Denklem [3] için, ben kullnıln, lterntif bir veriyon, < olmk üere, şğıdki gibidir: T G [3] c T Kompntör, = -/T de bir kutb ve = -/T de bir ıfır hiptir. her mn den küçük olduğundn, kutup her mn - dülemindeki ıfırın ğınd yer lır ve Şekil 8.4 teki gibi ynı kutup-ıfır düenlemei elde edilir şekil 8.5. Şekil 8.5 İlerletmeli bir kompnötör için kutup-ıfır diygrmı F-geciktirme kompntörü kullnm trtejii, kompntörün trnfer fonkiyonunun kutup ve ıfırını birbirine çok ykın durum getirmektir ve krrlı-hl htını ltmk için bu ıfır ve kutup ikiliini orijine nipeten ykın konum getirmektir. Eğer kutup orijine yerleştirilire, bir integrtör ve / terimi oluşur. Kompntör, bu ebeple, PI kontrolün dh genel bir formu olrk görülebilir. Bir örnek olrk, çık-döngü trnfer fonkiyonu K/ + oln bir itemi düşünün. bu tip bir item, Şekil 8.6 d göterilen kök

224 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş yer eğriine hiptir. Eğer itenilen önümleme fktörü ζ 0.45 olur, Bölüm 7 ye bkını yer eğrii üerindeki kök -0.5 ± j olur ve bu reel negtive ekenle 63º lik bir çı ypr ve co 63º = 0.45 olur. Orijindeki kutuptn, bu nokty çiilen vektör,.5 uunluğun ve - deki bir kutup içinde ynı uunluğ hiptir. Böylece, K nın değeri.5 tir Denklem [3] e bkını, 7.bölüm. Sitem tip itemdir ve bu nedenle bir rmp girdii için krrlı-hl htı şğıdki gibidir Bölüm 5 e bkını: e 0.8 lim H G K [33] 0 Şekil 8.6 Kompne edilmemiş Şimdi de eri geciktirme-kompnyonu oln bir item düşünün ve ynı önümleme fktörü elde etmeye çlıştığımıı vrylım. Şekil 8.7, bu itemin kök yer eğrii çiimini göteriyor. Kompntörün kutup ve ıfırı birbirine ykın olduğundn dece kompntör ıfırının etrfınd küçük bir döngü oluşturduğundn orijinl kök yer eğriinin şekli üerinde çok etkili olbilirler. Bun rğmen, kök yer eğrii üerindeki K nın değeri, ynı önümleme fktörü için frklıdır. Kompne edilmemiş item için, büyüklük koşulu denklem [3], 8. bölüm kök yer eğrii üerindeki bir noktdki K nın değerini şğıdki gibi verir:

225 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 8.7 Kompne edilmiş item K [34] Kompne edilmiş item için, büyüklük koşulu kök yer eğrii üerindeki bir noktdki K nın değerini şğıdki gibi verir: / T / T K [35] Oluşturuln kutup ve ıfır birbirine ykın olduğundn, mkul bir ykınm elde ettik: K [36] Aynı önümleme için, orijinden ukt bulunn noktlrd, K değerinin kompne edilmemiş iteme göre / fktörü ile değişmei lımdır. Bunun bir onucu olrk, den küçük olduğundn, krrlı-hl htı ltılmıştır. Böylece, eğer kompne edilmiş item için krrlı-hl htının 0. olmını itiyork, = 0.0/0.8 = 0.5 olmlıdır. Kök yer eğrii çiimi kullnılrk ypılck kompntör diyn proedürü şğıdki gibidir: Kompne edilmemiş itemin kök-yer eğrii çiimini belirleyin. 3

226 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Sitemin geçici performn peifikyonlrını belirleyin ve kompne edilmemiş çiimde, peifikyonlrı ğlyck dominnt kutuplrın yerini belirleyin. 3 İtenilen kök konumundki döngü kncını ve böylece item ht bitini heplyın. 4 Kompne edilmemiş ht biti ile itenilen ht bitini krşılştırın ve kompntör eklendiğinde oluşck gerekli rtış miktrını belirleyin ve burdn yı elde edin. 5 Kompntörün kutup ve ıfır konumlrını belirleyin, böylece, kompne edilmiş kök yer eğrii gerekli kök konumundn geçin. Yukrıdki proedürde, eri bir geciktirme kompntörü eklemenin -bölgeindeki etkilerini heb kttık. Şimdi de frekn bölgeinde düşünelim. Aşğıdki gibi bir trnfer fonkiyonun hip bir kompntör için: G T c [37] T frekn bölgeinde, frekn tepkii şğıdki gibidir: G c jt j jt [38] Bode çiimi, trnfer fonkiyonlrı + T ve / + T oln iki tne eri item olrk düşünülebilir. Böylece, reel bir ıfır ve reel bir kutub hibi ve bu nedenle Bölüm 6 e bkını Bode çiimi, Şekil 8.8 de göterildiği gibidir. Geciktirme kompntörünün büyüklüğü, + T ve / + T elemnlrın bğlı bir toplmdır. Bu d şğıdki gibidir: db cininden büyüklük 0lg T 0lg T 0lg T 0lg T [39] Bu, düşük freknlrd birim büyüklüğünde, yükek freknlrd, 0 lg büyüklüğündedir. Frekn tepkiinin çıı şğıdki gibidir: çı = tn - - T - tn T [40] 4

227 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 8.8 Bir geciktirme kompntörü için, Bode çiimi imptotlrı F çıı, kompntörün frekn rlığının ortınd negtiftir. Tei ve eri bir geciktirme kompntörü ile, düşük frekn kncı etkilenme; fkt itemin toplm kncı, knç-geçiş bölgeinde lır ve bu nedenle krrlılığı gelişir. Kncı değiştirmenin ynınd, geciktirme kompntörü çok düşük freknlrd küçük bir f geciktirmei oluşturur ve yükek freknlrd iki kırılm değeri rınd dh büyük bir f gecikmei oluşturur. Böylece, kompntör dece itemin toplm kncını ltmkl klm, f geciktirmeini de rttırır. Bir teiin knç-geçiş freknını ω c ye indirgemek itediğimii vrylım. Genel olrk, bu işlem, kırılm freknı /T yi, yklşık olrk yeni knç-geçiş freknının bir decdeonluk şğıın çekerek ypılır. Böylece: c t 0 [4] 5

228 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Yeni knç-geçiş freknınd, büyüklüğü 0 db ye getirmek için, kompntör, bu frekntki tei büyüklük eğriindeki lm/yıflm miktrıyl ynı değeri ğlmlıdır, yni: G j 0lg p [4] c Kompntör diyn proedürü şğıdki gibidir: Kompne edilmemiş itemin Bode çiimini çiin. Kompne edilmemiş itemin f mrjinini belirleyin. 3 F mrjininin yeterli olmdığını vryrk, f mrjini gerekiniminin ğlncğı freknı belirleyin, eğer büyüklük çiimi o freknt 0 db çigiinden geçiyor. Yeni geçiş freknını belirlerken, geciktirme kompntöründen 5º lik bir gecikmeye olnk ğlyın. 4 Kompntörün ıfırını yeni geçiş freknındn bir decdeonluk şğıy yerleştirin. 5 Büyüklüğün bu frekntn geçtiğinden emin olmk için, bu frekntki gerekli lm/yıflm miktrını belirleyin. 6 yı belirlemek için denklem [4] yi kullnın. 7 Denklem [4] i kullnrk T değerini belirleyin. 8 Kutup ve ıfır konumlrı, bu ebeple kompntörün trnfer fonkiyonu, bu ve T değerleri kullnılrk elde edilebilir. İlerletme kompnyonu Kompntör, = -/T de bir kutb ve = -/T de bir ıfır hiptir. her mn den büyük olduğundn; kutup her mn - dülemindeki ıfırın olund yer lır. Kutup ve ıfır rındki mefe nın değeri ile belirlenir. Şekil 8.9, bu itemin kutup-ıfır diygrmını göteriyor. İlerletmeli bir kompntörün trnfer fonkiyonu böylece şğıdki gibidir: / T G c / T [43] Bu denklem şğıdki gibi yılbilir: G T c [44] T 6

229 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Öel bir durum olrk, orijinde ıfır bulunur ve kutbun etkii ihml edilire, türev kontrolörü elde edilir. Şekil 8.9 İlerletmeli bir kompntör için kutup-ıfır diygrmı Kutbun ğındki ıfırın ebebi, ilerletme kompntörlerinin kplı-döngü kontrol itemlerinin krrlılığını geliştirebilmeidir. Örnek olrk, çık-döngü trnfer fonkiyonu K/ oln bir teile eri oln bir ilerletme kompntörünün etkiini düşünün. Şekil 8.0, kompne edilmemiş tei için, kök yer eğrii çiimini göteriyor. Şimdi de = ve T = oln bir eri ilerletme kompntörü düşünün, yni trnfer fonkiyonu şğıdki gibi oln bir kompntör: G c Şekil 8.0 Kompne edilmemiş 7

230 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bu kompntör, - de bir çık-döngü ıfırı ve - de bir çık-döngü kutbu oluşturur. Bunun etkii, kök yer eğrii çiimini değiştirmektir ve Şekil 8. de göterilen onuç elde edilir. Şekil 8. Kompne edilmiş item Kök yer eğrii çiimi kullnılrk ypılck kompntör trım proedürü şğıdki gibidir: Kompne edilmemiş itemin kök-yer eğrii çiimini belirleyin şekil 8.. Sitemin geçici performn peifikyonlrını belirleyin ve bu ebeple gerekli kök konumlrını tepit edin Şekil 8.b. 3 İlerletmeli kompntör ıfırını doğrudn gerekli kök konumunun ltın yerleştirin. 4 İtenilen kök konumunun toplm çıını 80º yprk, kompntörün kutup konumunu belirleyin Şekil 8.c. 5 Toplm item kncını heplyın ve böylece, kompntörün kutup ve ıfır konumlrı onu-cund oluşn itemin uygun olup olmdığını denetlemek için ht bitini belirleyin. Şimdi de, ilerletme kompntörünü frekn bölgeinde düşünelim. Frekn bölgeinde, kompntörün frekn tepkii şğıdki gibidir: G c jt j jt [45] Bode çiimi, trnfer fonkiyonlrı /, + T ve / + T oln üç tne eri item olrk düşünülebilir. Böylece bit reel bir ıfır ve reel bir kutup elde edilir. Bir ilerletme kompntörü, bir 8

231 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş teile berber kullnıldığınd, teiin kncı, çoğunlukl / teriminin etkiini ltmk için rtr. Sdece kutup ve ıfır çiimlerini düşünürek, Bode çiimi Şekil 8.3 te göterildiği gibidir. Şekil 8. Kompniyonu belirleme Fın mkimum değeri /T ve /T freknlrının geometrik ortlmı ω m için gerçekleşir. Ortlm frekn böylece şğıdki gibidir: lg m lg lg T T ve bu nedenle: m [46] T Frekn tepkii de şğıdki gibidir: 9

232 G c jt j jt Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş [47] bu denklem de şğıdki gibi yılbilir: G c jt j jt jt T T T j T T Şekil 8.3 İlerletmeli bir kompntör için Bode çiimi imptotlrı Kompntörün fı böylece şğıd verildiği gibidir: tn T T [48] T Denklem [46] yı, denklem [48] de yerine koyrk mkimum f Ø m elde edilir: tn m [49] 30

233 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Ø m çıını dik çılı bir üçgenin, dikey - ve yty olmk üere, çıı olrk düşünürek, hipotenü, in kre köküdür. Böylece: in m [50] Böylece Ø m nin değerini belirleyerek, nın değeri elde edilebilir, denklem [50] şğıdki ifdeyi verir: in m [5] inm İlerletme kompntörünün büyüklüğü, + T ve / + T elemnlrın bğlı bir toplmdır. Böylece: db cininden büyüklük 0lg T 0lg T 0lg T 0lg [5] T Bu, düşük freknlrd birim büyüklüğünde, yükek freknlrd, 0 lg büyüklüğündedir. Kompntörü diyn ederken, Bode çiim kullnılrk uygulnbilecek diyn proedürü şğıdki gibidir: Kompne edilmemiş tei için, krrlı-hl htı gerekinimi için gerekli değere yrlnmış knç bit K ile, Bode diygrmını oluşturun. Bode çiiminden, kompne edilmemiş itemin f mrjinini ve knç mrjinini belirleyin. 3 Bundn onr, itenilen f mrjinini ve bu nedenle Ø m yi gerçekleştirmek için gereken ek f miktrını belirleyin. 4 yı belirlemek için denklem [5] i kullnın. 5 Yükek frekn büyüklüğü 0 lg db dir ve düşük frekn büyüklüğü 0 db dir; verj 0 lg db dir. Yeni knç-geçiş freknının, /T ve /T freknlrının geometrik ortı oln frekn olmı için, kompne edilmemiş teiin büyüklüğünün -0 lg db olduğu freknı tepit etmemi gerekiyor. Bu nedenle, T yi belirleyin. 3

234 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 6 İlerletme kompntörünün trnfer fonkiyonu böylece ve T değerleri kullnılrk bulunbilir. Yukrıdki proedüre örnek olrk, kompne edilmemiş, tei trnfer fonkiyonu 0/ oln birim geri belemeli bir item düşünelim. Bu itemin toplm trnfer fonkiyonu şğıdki gibidir: 0 T 0 Kutup konumlrı ±j 0 dur ve böylece item mrjinl olrk krrlıdır ve önümlenmemiş lınımlr verir. F mrjini 45º yi verecek şekilde bir önümleme fktörüne hip önümlenmiş bir item elde etmeye çlıştığımıı düşünelim. Şekil 8.4, bu itemin kompne edilmemiş Bode çiimini göteriyor. Şekil 8.4 Kompne edilmemiş çiim Kompne edilmemiş itemin f mrjini 0º dir. Gerekli f mrjini 45º dir. Böylece ilerletme kompntörü ile geçiş 3

235 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş freknınd 45º eklenmelidir. Böylece, denklem [5] kullnılır şğıdki ifdeyi elde ederi: inm in m Bir miktr güvenlik mrjini ğlmı için, = 6 değerini kullncğı. Mkimum f ilerlemei, /T ve /T freknlrının geometrik ortlmınd gerçekleşir. Bu freknt, teiin büyüklüğü -0 lg = -0 lg 6 db = -7.8 db olmlıdır. Bode çiimini kullnırk, bu büyüklük 4.9 rd/ de gerçekleşir. Böylece, denklem [46] yı kullnrk şğıdki denklemler elde edilir: m T T İlerletme kompntörü, böylece, şğıdki gibi bir trnfer fonkiyonun hip olmlıdır: Geciktirme ve ilerletme kompntörlerinin etkileri Geciktirme kompntörünün item üerindeki etkileri, şğıd ırlnmıştır: Verilen bir döngü kncı için, knç-geçiş freknı civrınd, çık döngü trnfer fonkiyonunun büyüklüğü lır/yıflr ve bu nedenle itemin göreceli krrlılığı gelişir. Knç-geçiş freknı lır ve böylece kplı-döngü itemin bnt genişliği lır. 3 Sönümleme fktörü ltılbilir ve bu nedenle itemin yükelme mnı ve yerleşme mnı utılbilir. İlerletme kompntörünün item üerindeki etkileri şğıd ırlnmıştır: 33

236 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Açık-döngü trnfer fonkiyonunun fı, knç-geçiş freknı civrınd rtr ve bu nedenle kplı-döngü itemin f mrjini gelişir. Açık-döngü trnfer fonkiyonunun büyüklük çiiminin eğimi, knç-geçiş freknınd lır. Bu, çoğunlukl göreceli krrlılıkt bir gelişmeyle onuçlnır. 3 Kplı-döngü itemin bnt genişliği rtr. 4 Siteme bir dım girdii olduğu mn, yükelme miktrı ve yükelme mnı lır. 5 Krrlı-hl htı etkilenme. Geciktirme-ilerletme kompntörleri Hem ilerletme, hem de geciktirme kompntörlerinin öelliklerini elde etmek için, ilerletme ve geciktirme kompntörlerinin bir kombinyonu diyn edilebilir; yni ilerletme kımı, dh kı bir yükelme mnı elde etmek için ve geciktirme kımı ie dh iyi bir önümleme elde etmek için. Bir ilerletme-geciktirme kompntörünün trnfer fonkiyonu, > ve β < olmk üere, şğıdki gibidir: T T G c T T [53] İlk terim ilerletme elemnını ğlıyor ve ikinci terim geciktirme elemnını ğlıyor. Kompntörler için pif devreler Zmn bölgeindeki R reitnı için, R = vt/it dir. -bölgeinde, bu denklem R = V I e dönüşür. Zmn bölgeindeki C kpitnı için, it = Cdvt/dt dir. -bölgeinde, bu denklem, eğer t = 0 d v = 0 ie, I = CV e dönüşür. -bölgeinde, kpitörün empednı Z = /C tir. Lplce dönüşümünün toplm öelliğinden dolyı, mn bölgeindeki bir tkım fonkiyonlrın toplmlrının dönüşümleri, her bir fonkiyonun dönüşümlerinin toplmın eşittir. Böylece, geciktirme kompntörü için kullnılbilecek pif bir elektrik devrei göteren Şekil 8.5 i ele lırk, bu devreyi -bölgeinde potniyel bölücü olrk düşünebiliri ve bu nedenle çıktı, V ile eri R empednı ve C üerindeki girdi voltjı V nin ornıdır: V R / C V R R / C 34

237 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ve bu nedenle devrenin trnfer fonkiyonu şğıdki gibidir: G c R C [54] R R C Şekil 8.5 Geciktirme kompntörü Eğer bunu, geciktirme kompntörünün trnfer fonkiyonu ile krşılştırırk, < ile şğıdki denklemler elde edilir: T RC [55] T R R C [56] ve böylece: R [57] R R Şekil 8.6, ilerletme kompntörü ile kullnılbilecek pif bir elektrik devreini göteriyor. -bölgeinde, devreyi potniyel bölücü olrk düşünürek: Eğer: V V R R R R R R / C R / C RC R R R R C 35

238 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş R R R R ve T C [58] R R R ie den büyüktür ve bu devrenin trnfer fonkiyonu şğıdki gibi olur: T [59] G c T Figür 9.6 İlerletmeli kompntör Şekil 8.6, ilerletme-geciktirme kompntörü ile kulnılbilecek pif bir elektrik devreini göteriyor. Devreyi potniyel bölücü olrk düşünürek, -bölgeinde: V V R C R C R C R C R C R RCC Eğer: T RC, T RC ve TT R RCC [60] ie bu devrenin trnfer fonkiyonu, > ve β < olmk üere, şğıdki gibi olur: G c T T T T [6] ve denklem [60] tn, T βt = R C R C = T T dir ve bu nedenle β = dir. bu on koşul ve β nın birbirinden bğımı olrk ifde edilemeyeceği nlmın geliyor. 36

239 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 8.7 Geciktirme-ilerletme kompntörü Hı geri belemei Bir önceki bölümde, geciktirme ve ilerletme kompntörleri ile ilgili bütün vryımlrımı, kompntörlerin itemlerde eri kompntör olrk kullnımı ile ilgiliydi. Bir bşk kompnyonun metodu kompntörü geri beleme yolund kullnmyı içerir. Şekil 8.8, bu tip bir düenlemeyi göteriyor. Bu tip bir itemin yygın uygulmı, hı geri belemei olrk tnımlnn, ervo item kullnımıdır. Bunun nlmı, kompntör trnfer fonkiyonunun G p = β formund olmıdır. Bir teiin, G p = K/+ T trnfer fonkiyonun hip olduğunu vrylım. İleri yol bloğu G p ve geri beleme bloğu G c yerine, tek bir G bloğu konulbilir: Şekil 8.8 Geri beleme kompnyonu G p K G G G K T p c [6] 37

240 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Kompne edilmemiş item, bir rmp girdiine şğıd belirtilen krrlı-hl htını verir denklem [4], 5.bölüm: e lim 0 G K [63] p Kompne edilmiş item, şğıdki krrlı-hl htını verir: e K lim 0 G K [64] Böylece, hı geri belemei kullnımı krrlı-hl htını dh d kötüleştirdi. Bun rğmen, hı geri belemeinin bir fydı vrdır. Bu, itemin önümlemeini geliştirir. Kplı-döngü kompne edilmemiş bir item, şğıdki gibi bir trnfer fonkiyonun hiptir: T G p G [65] p ve böylece bu fonkiyonun krkteritik denklemi şğıdki gibidir: T K 0 [66] Kplı-döngü kompne edilmiş bir item, şğıdki gibi bir trnfer fonkiyonun hiptir: T G G [67] ve böylece bu fonkiyonun krkteritik denklemi şğıdki gibidir: T T K 0 [68] Denklem [66] ve [67], şğıdki denklem ile krşılştırılır: n 0 doğl freknın etkilenmediği görülür fkt önümleme bir + Tβ/ fktörü kdr rtr. 38

241 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 9. Ayrık mnlı itemler Sitemler Bir ürekli mnlı item, dece mn bğlı ürekli inyl içeren bir itemdir; bu tip inyller, ürekli bir mn rlığınd tnımlnır. Bu tip itemler, diferniyel denklemlerle modellenebilir. Bir yrık mnlı item dicrete time ytem, yrık mn inylleri içerir; bu tip inyller, dece belirli nlr için tnımlıdır. Bu tip itemler frk denklemleri ile modellenebilir. İşlemek için, yrık inyl elde etmede ürekli bir inyli örnekleyen itemler, örneklem-verili itemler olrk tnımlnır. Şekil 9. bu tip bir itemi göteriyor. Sitem girdii, ürekli bir mn inylidir. Anlog-dijitl dönüştürücü ADC bu inyli örnekler ve yrık bir inyl üretir. Mikroişlemci, bu yrık inyl girdiini lır ve bir tkım kontrol kurllrın göre işlemden geçirdikten onr, çıktı olrk bşk bir yrık inyl olrk verir. Dijitl-nlog dönüştürücü DAC bu yrık inyli, ürekli bir mn inyline dönüştürür. Dh onr bu inyl, teiin kontrol değişkenini değiştiren düeltme birimini hrekete geçirir; geri beleme ürekli bir mn inylidir. Şekil 9. Örnekleme-verili itemler 39

242 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Örneklem verii Bir nlog inyl değerlerin ürekli rlığın hiptir. ürekli bir nlog mn inyli örneklendiği mn, onuçt elde edilen örnek yrık bir mn inyli oluşturur. Örnek olrk, Şekil 9. d, ft ile tnımlnn ürekli mnlı nlog bir inyli düşünün. Bu örnekleme periyodu T ile yrıln eşit mn rlıklrınd örneklenmiştir Şekil 9.b. Örnekleme inyli dh onr yrık mnlı bir inyl oluşturur Ş.9.c, bu f * t ile göterilir. Şekil 9. Sürekli mn inyli, b örneklenen inyl, c yrık mnlı inyl veren örnekler 40

243 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Örneklemenin çıktıı, böylece, T örnekleme periyodu olmk üere 0, T, T, 3T,...,kT nlrınd oluşn drbeler eriidir. Ayrık mn inyli böylece ft fonkiyonunun bu mnlrdki değerleridir, yni f0, ft,ft, f3t,..., fkt. k drbe eriinde inylin numrını belirten bir tm yıdır. Bu eri f[k] olrk göterilebilir, [köşeli prnte], genelde ürekli bir değişken yerine bir yrık değerler erii ile ilgilenildiğini belirtmek için kullnılır. Aşğıdkiler yygın olrk krşılşıln yrık mnlı inyllerdir: Birim drbe Şekil 9.3, bir birim drbei için eriyi göteriyor. Birim drbe şğıdki gibi tnımlnır: k = 0 için k [] k 0 için k 0 Şekil 9.3 Birim drbe Birim dım Şekil 9.4, bir birim dım için eriyi göteriyor. Birim dım şğıdki gibi tnımlnır: k > 0 için u k [] k < 0 için u k 0 4

244 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 9.4 Birim dım 3 Sinüoidl eri Şekil 9.5, bir inüoidl eri için oln eriyi göteriyor. Sinüoidl eri, A inüoidl erinin genliği, fı ve f orijinl inüoidl nlog inylin freknının örnekleme freknın bölümü olmk üere, şğıdki gibi tnımlnır: x k Aco fk y d A in fk [3] Şekil 9.5 Sinüoidl eri Dijitl inyller Sdece onlu yıd bir dii değere hip ve dece çıkç tnımlnn dımlrl değişen bir dijitl inyl, yılbilir hke getirilir nicelleştirilir. Bir yrık inyl nicelleştirildiğinde; dece onlu bir yıd ebtlrd drbelere hip dijitl bir inyl üretilir. Bu değerler, dijitl inyl değerini verecek şekilde, onlu yıd bit kullnılrk kodlnır Şekil 9.6. Böylece 4-bit bir item için, bütün girdi rlığını kplmk için mkimum 4 =6 tne frklı 4

245 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş nicelleştirme eviyei vrdır. Bu nicelleştirme eviyeleri rınd yer ln inyller, en ykın eviyeye yuvrlnrk kodlnır. Şekil 9.6 Nicelleştirme/Kuntiyon Dijitl inyl işleme Dijitl inyl işleme dijitl erilerin işlenmei ile ilgilenir. Bu tip bir işleme şğıdki mtemtik işlemlerini içerir. Toplm ve çıkrm İki dijitl inylin toplm vey çıkrmı, y[k] iki dijitl inylin örnek toplm ve çıkrm temeline dylı toplmı vey frkı olmk üere, şğıdki gibi tnımlnır: k x k x k [4] y Örnek olrk, iki inüoidl eriyi düşünelim: x x k.0, 0.3, 0.8, 0.8, 0.3,.0, 0.3,... k.0, 0.8, 0.3, 0.3, 0.8,.0, 0.8,... 43

246 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Toplm olrk elde edilen dijitl inyl şğıdki gibidir: y k.0, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5,.0, 0.5,... Ölçeklendirme Bir dijitl inylin ölçeklendirmei, y[k], x[k] nın ölçeklendirilmiş hli ve negtif vey poitif olmk üere, şğıdki gibi tnımlnır: y k xk [5] Bir örnek olrk, şğıdki dım inylini düşünün. u k,,,,,... ölçeklendirilmiş inyl 0.5u[k] şğıdki gibidir: k 0.5,0.5,0.5,0.5,0.5, u 3 Zmn Kydırmı Bir dijitl inyl eriinin mn kymlrı, mnd gecikme vey ilerleme olun, y[k±n], y[k] nın ±n e eşit bir mn rlığı kdr kydırılmış hli olmk üere, şğıdki gibi tnımlnır: y k yk n [6] Bir örnek olrk, birim drbe inylini düşünelim: k,0,0,0,0,0,... Eğer bu inyli ile geciktirirek, şğıdki denklemi elde ederi: k 0,0,,0,0,0,... Şekil 9.7 yukrıdki kvrmı örnekliyor. Zmn kymı onucund, bir birim dım eriini, bir birim drbe ve geciktirilmiş birim drbeler toplmı olrk görülebilir, yni: 44

247 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş k k k k k 3... [7] Şekil 9.7 k, b k 4 Çrpm İki erinin çrpımı onucu, iki girdi eriinin elemn-elemn çrpımı onucu elde edilen bir çıktı erii elde edilir. Bu, şğıdki gibi tnımlnbilir: k x k x k [8] y Bir örnek olrk, şğıdki gibi iki erimi vr: k,... k 0 x,,3,4,5 x 0,0,,0, çrpım şğıdki gibidir: k 0,0,3,0,0,... y Frk denklemleri Bir yrık mnlı işleme iteminde, drbeler erii şeklinde bir girdi ve drbeler erii şeklinde bir çıktı vrdır. Öel bir ndki çıktı, itemin, toplm, çıkrm, ölçeklendirme ve mn kydırm gibi mtemtik işlemleri kullnmıyl heplnır. 45

248 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Böylece, bir işlemci, x[k] nın öel bir nınd bir eriden girdi lbilir ve bun bir önceki çıktı değeri y[k-] ekleyerek işleyebilir. Bunun onucund, çıktı y[k] şğıdki gibi olur: k yk xk [9] y Bu tip bir denklem frk denklemi olrk tnımlnır. Bu denklem, proeör itemi için, girdi ve çıktı rındki ilişkiyi verir ve böylece bir ürekli mn iteminin girdi ve çıktıını ilişkilendiren diferniyel denklemi ile krşılştırılbilir. Bu tip denklemler, mn gecikmei bloklrı, ölçeklendirme bloklrı ve inyllerin nıl birleştirildiğini göteren öelliklere hip blok diygrmlrı ile göterilebilir. Şekil 9.8 denklem [8] in blok diygrmını göteriyor. Bu diygrm, bir geri beleme durumunu tnımlıyor. Şekil 9.8 yk yk xk Dh ileri bir örnek için, Şekil 9.9 şğıdki frk denkleminin blok diygrmını göteriyor: y k xk xk [0] Çıktı, öel bir ndki girdi ve bir önceki girdinin toplmındn oluşur ve bu ileri beleme durumunu çıklr. 46

249 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 9.9 y k xk xk Şekil 9.0 şğıdki frk denkleminin blok diygrmını göteriyor: y k xk xk [] Çıktı, öel bir ndki girdi ve bir önceki girdinin ile geciktirilmiş hliyle toplmındn oluşur. Şekil 9.0 y k xk xk Şekil 9., ölçeklendirme fktörü ve iki tne geri beleme döngüü içeren bir item için, şğıdki frk denklemini örnekliyor: y k xk yk byk [] 47

250 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 9. y k xk yk byk Dijitl inyl işleme itemlerinin öellikleri Dijitl inyl işleme itemlerini çıklmk için kullnıln frk denklemlerinin kullnımın ilişkin temel öellikler şğıdki gibidir: Lineerlik Eğer girdii bir dii inyl içeren bir itemin tepkii her bir inyl tek bşın düşünüldüğünde elde edilen tepkilerin toplmın eşite, bu item için lineerdir denir. Böylece eğer y k ve y k itemin x k ve x k girdileri, yrı yrı düşünüldüğünde tepkiler ie, bu iki girdinin birlikte uygulnmı onucu xk xk, elde edilen tepki yk yk dir. Krrlılık Eğer herhngi bir büyüklükteki, herhngi bir girdi, onlu büyüklükte bir çıktı ğlıyor; item için krrlıdır denir. k Örnek olrk, yk xk frk denklemi ile tnımlnn itemi düşünün. Eğer den küçük vey e eşite, çıktıdki her iki terimde onlu bir büyüklüktedir. Bun rğmen, eğer den büyüke, çıktı, k onu giderken onu doğru ırkr. Böylece, itemin krrlı olbilmei için, olmlıdır. 48

251 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Türev ve integrl ykınmlrı Bir fonkiyonun türevi iki rdışık girdiyi bğlyn çiginin grdynı belirlenerek ykınnbilir Şekil 9.. Böylece, T örneklem periyodu ile, x[k-] ve x[k] girdileri için, mn göre türevi belirten, çıktı y[k] şğıdki gibidir: x k xk k [3] y T Şekil 9. Türevin ykınmı Bir fonkiyonun integrli, girdinin mn bğlı grfiğinin ltındki ln bulunrk ykınnbilir. Şekil 9.3, bir örnekleme periyodundki inyl değişimini onund oluşn lnı ykınmnın bir yolunu göteriyor ve bu genişliği T ve yükekliği x[k] oln bir dikdörtgendir, yni örnekleme periyodu ile inylin en on değerinin çrpımıdır: ln rtışı Txk Aln rtışı,çıktıdki y[k-] den y[k] y değişimdir ve bu nedenle integrli belirten çıktı şğıdki gibidir: k yk Txk [4] y 49

252 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 9.3 İntegrlin dikdörtgenel ykınmı Dh kein bir ln heplm: lnın bir trpeoide ykınyrk elde edilebilir: ln rtışı T x[ k ] x[ k] Şekil 9.4 İntegrlin trpeoid ykınmı ve bu nedenle: k yk T xk xk [5] y Bu ykınm Tutin ykınmı olrk bilinir. 50

253 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Anlog kontrol kurllrının çevrimi Bir nlog kontrol kurlını, dijitl kontrolörün kullnbileceği bir form getirmek için tercüme edilmeinde, nlog kontrolörün trnfer fonkiyonun ykınyn bir lgoritm bulmmı gerekiyor; dijitl kontrolörün yılımındki tlimtlr biçiminde yıln bir dii mtemtik işlem etinden oluşn bir lgoritm olmlıdır, bu. Orntılı kontrolü düşünelim; kontrolör çıktıı y[k] girdiiyle orntılıdır. Bu item için frk denklemi böylece, e ht ve K orntı biti olmk üere, şğıdki gibidir: yk Kek [6] Progrm elemnlrı böylece şğıdki gibidir: Bşlngıç e[k] nın ilk değerini yrl K değerini yrl Döngü Ht e yi gir Denklem [6] yı kullnrk çıktıyı hepl Heplnn çıktı değerini çıkrt Örnekleme periyodunun onunu bekle Döngüye git İntegrl kontrolü için, denklem [4] ü kullnbiliri ve bu nedenle: k yk K Tek [7] y i Progrm elemnlrı böylece şğıdki gibidir: Bşlngıç e[k] nın ilk değerini yrl çıktı[k-] in ilk değerini yrl K i değerini yrl T değerini yrl Döngü Ht e yi gir Denklem [7] yi kullnrk çıktıyı hepl Heplnn çıktı değerini çıkrt Çıktı[k-] i çıktı[k] y yrl Örnekleme periyodunun onunu bekle 5

254 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Döngüye git Alterntif olrk integrl kontrolü için, dikdörtgenel ykınm yerine Tutin in ykınmını kullnbilirdik. Türev kontrolü için, denklem [3] ü kullnırk şğıdki denklem elde edilir: Tyk Kd ek ek [8] Progrm elemnlrı böylece şğıdki gibi olur: Bşlngıç e[k] nın ilk değerini yrl e[k-] in ilk değerini yrl K d değerini yrl T değerini yrl Döngü Ht e yi gir Denklem [8] yi kullnrk çıktıyı hepl Heplnn çıktı değerini çıkrt e[k-] i e[k] y yrl Örnekleme periyodunun onunu bekle Döngüye git PID kontrolü için, denklem [6], [7] ve [8] i kullnırk şğıdki denklem elde edilir: K T d k K p ek KiT ek yk ek ek [9] y Progrm elemnlrı böylece şğıdki gibi olur: Bşlngıç e[k] nın ilk değerini yrl e[k-] in ilk değerini yrl çıktı[k-] in ilk değerini yrl K p değerini yrl K i değerini yrl K d değerini yrl T değerini yrl Döngü 5

255 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Ht e yi gir Denklem [7] yi kullnrk çıktıyı hepl Heplnn çıktı değerini çıkrt çıktı[k-] i çıktı[k] y yrl e[k-] i e[k] y yrl Örnekleme periyodunun onunu bekle Döngüye git Dh ileri bir örnek için, şğıdki denklemle tnımlnn bir kompntör düşünün: Y G c X [0] Çıktı yt ve girdi xt yi ilişkilendiren diferniyel denklemi böylece şğıdki gibidir: dy t dx t y t x t dt dt [] Her bir ürekli mn inylini kendi yrık eşdeğeriyle yer değiştirirek ve denklem [3] te verilen türevin ykınmını kullnırk şğıdki denklemi elde ederi: k y y[ k] y k x[ k] x k xk T T Bunun onucund, bu denklem yeniden düenlenire, şğıdki denklem elde edilir: yk yk T xk xk [] T Örnekleme teoremi Sürekli bir mn inylini örneklediğimi mn, örnekleme periyodu ürekli inylin bilgi içeriği yeterince korunmlıdır, böylece, yrık örneklerden ürekli inyli tekrr oluşturduğumud çıktı hkkınd bir belirilik oluşmmlı ve orijinl inyli elde etmeliyi. 53

256 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 9.5 Örneklenen inü dlgı, b inü dlg freknındn dh büyük bir örneklem freknı, c inü dlg freknın ykın örnekleme freknı, d inü dlg freknın dh d ykın örnekleme freknı, e inü dlg freknın eşit örnekleme freknı 54

257 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 9.5, frklı örnekleme hılrınd örneklenmiş inü dlgını göteriyor. b de elde edilen örnekler, örnekleme freknı inü dlg freknındn küçük olduğu mn, dece orijinl inü inyli tmmen belirlenebilir. örnekleme hıı, inü dlg freknın ykındığı mn Şekil 9.5c, dh fl bilgi kybediliyor ve belirilik yrık örnekler trfındn belirtilen inü dlg freknın kybilir; bu örneklerden birden fl frekn inyli elde edilebilir. Bu, liingüt üte binme olrk dlndırılır. Örnekleme freknı, inü dlg freknın eşit olduğu mn Şekil 9.5e, çok dh fl bilgi kybedileceğinden, inyl, bir inü dlgı olrk lgılnmybilir ve bit genlikli bir inyl olbilir. Bu ebeple, ürekli bir inyl içinde vroln bütün freknlrın örneklenmiş veriyonund düenli biçimde bulunmı iteniyor, örnekleme hıı için bir lt ınır vrdır. Örnekleme hıı için oln bu lt limit, örnekleme teoremi ile verilir: Eğer, ürekli bir inyl içinde vroln frekn bileşenleri 0 ile B H rınd değişiyor; örnekleme freknı, niye bşın B det örneği geçtiği müddetçe, inyl, tmmen, bir örnekler diii olrk temil edilebilir. Sıfır derece tutulum Bir dijitl kontrolörün çıktıı, yrık mnlı bir inyldir; bu tip bir inyl dece belirli nlrd değerlere hiptir ve bu nlr rınd ıfırdır. Bun rğmen, çlıştırıcıyı vey dijitl-nlog dönüştürücüyü işletmenin dh etkili bir yolu, yrık çıktı değerini örnekleme rlığı üreince bit tutmktır Şekil 9.6. Çıktıyı yklyn ve tutn elemn ıfır-derece tutulum hold olrk tnımlnır. Sıfır-derece terimi, elemnın dece çıktı değerini değişim hıını lmdn yklmındn dolyı kullnılır. Sıfır-derece tutulum ZOH ile, bu elemn verilen bir birim drbe girdii, ynı yükeklikte fkt örnekleme periyodun eşit genişliğe hip bir drbe olrk çıkr 55

258 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Figür 0.6 Örneklenmiş ve tutulmuş inyl Şekil 9.7. Girdinin Lplce dönüşümü dir. Çıktının Lplce dönüşümü, bunun, bir tnei T de bşlmk üere Şekil 9.8, iki tne dım inylinin toplmı olduğu vryılrk elde edilir. t = 0 d bşlyn bir birim dımın Lplce dönüşümü / dir. T ile geciktirilmiş bir dımın Lplce dönüşümü, dım dönüşümünün e -T ile çrpımı nlmın gelir. Böylece ZOH un çıktıı şğıdki gibidir: e T T e Şekil 9.7 ZOH un girdi ve b çıktıı 56

259 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Figür 0.8 İki dımın toplmı oln dikdörtgenel drbe ZOH un trnfer fonkiyonu böylece şğıdki gibidir: G ZOH e T [3] 57

260 0. Z dönüşümü Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Zmn gecikmei Lplce dönüşümü, ürekli mn fonkiyonlrını, yeni değişkeni oln bir fonkiyon dönüştürmek için; -dönüşümü ie, yrık mn fonkiyonlrını, yeni değişkeni oln bir fonkiyon dönüştürmek için kullnılır. Z-Dönüşümünü yrık mnlı itemlere uygulrken, bitçe, mn gecikmelerinin yrık mnlı bir inylle oluştuğunu vrybiliri. Temel olrk, bir yrık mnlı inylin, - ile çrpımını, bir mn dımı geciktirmeyi belirtmek için kullnbiliri. Böylece, eğer şğıdki frk denklemini düşünürek: k yk yk 3 yk 3... b xk b xk b xk b xk 3... y 0 3 [] Sinylleri -bölgeine dönüştürdüğümü mn, şğıdkileri elde ederi: y k gecikmei olmyn bir çıktıdır ve dönüşümü Y dir. yk, çıktı y k ile bir bitin çrpılıp bir örnek periyodu geciktirilmei ile elde edilir. Bunun dönüşümü Y dir. 3 yk, çıktı ile bir bitin çrpılıp iki örnek periyodu geciktirilmei ile elde edilir. Bunun dönüşümü Y dir. 4 3 yk 3, çıktı ile bir bitin çrpılıp üç örnek periyodu 3 geciktirilmei ile elde edilir. Bunun dönüşümü 3 Y dir. 5 x k gecikmei bir girdidir ve dönüşümü X dir. 6 b xk, girdi x k ile bir bitin çrpılıp bir örnek periyodu geciktirilmei ile elde edilir. Bunun dönüşümü b X dir. 7 b xk, girdi ile bir bitin çrpılıp iki örnek periyodu geciktirilmei ile elde edilir. Bunun dönüşümü b X dir. 58

261 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş k x b, girdi ile bir bitin çrpılıp üç örnek periyodu geciktirilmei ile elde edilir. Bunun dönüşümü X b 3 3 dir. Şekil 0. mn bölgeinde, b -bölgeinde item Böylece, denklem [] -bölgeine şğıdki gibi dönüştürülür: X b b X b X b Y Y Y k y [] Bu denklem, G drbe trnfer fonkiyonu olrk tnımlnmk üere, şğıdki gibi yılbilir: b b b b X Y G [3] Konvniyonel kullnım göre, yrık mnlı fonkiyonlrı küçük hrfle ve fonkiyonlrı büyük hrfle yılır. Örnek olrk, Şekil 0. mn bölgeinde şğıdki frk denklemi ile tnımlnn bir itemin blok diygrmını göteriyor: k y k y k x k y [4]

262 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ve Şekil 0.b ynı itemi -bölgeinde göteriyor: X Y Y y [5] Sitemin drbe trnfer fonkiyonu böylece, şğıdki gibidir: Y X G [6] Z dönüşümünün örneklemei Bir ürekli mn fonkiyonunu örneklediğimii düşünelim. Sonuç bir dii drbe eriidir ve şğıdki gibi ifde edilebilir: f f t f 0 t f t T f 3 t 3T... f k t kt t T [7] Yukrıdki denklemi elde etmenin bir bşk lterntifinin, örneklenmiş ürekli mn fonkiyonunun, ürekli bir mn fonkiyonu ile bir dii birim drbenin çrpımı olduğunu düşünmek olduğunu; yni f t f t x t Bölüm 9 bkını olduğunu heb ktın. t = 0 d, bir drbenin Lplce dönüşümü dir, T de T e T tir, T de e T tir, 3T de e 3 tir, v.b... Böylece örneklenmiş bir fonkiyon f*t nin Lplce dönüşümü şğıdki gibidir: Eğer L T f t F * f 0 f e f 3T kt f 3 e... f k e kt f k e k0 T e [8] T e [9] ie, yni =/T ln ie, denklem [8] şğıdki gibi yılbilir: { f * t} F f [0] f [] f [] 3 k f [3]... f [ k] f k k k [0] 60

263 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş F *, = /T ln ile, drbeler eriinin -dönüşümü olrk tnımlnır ve { f * t} F olrk yılbilir. Yygın inyller için -dönüşümü Aşğıd, yygın olrk kullnıln iki inylin -dönüşümünün nıl elde edildiğini göteriliyor: Örneklenmiş birim dım Örneklenmiş bir birim dımı düşünün; 0 dn büyük oln bütün t değerleri için f * t vey f [ k] dir. Böylece, denklem [0] kullnılır şğıdki ifde elde edilir: F 3 f 0 f f f [] Bu eriyi kplı formd ifde edebiliri. Denklem [], onu giden x x... formund bir geometrik eri olduğundn, erinin / - x e ykınmı koşuluyl yni x <, eğer / yi x olrk lırk, > olmk üere, şğıdki denklemi elde ederi: / F [] Örneklenmiş birim rmp Bir T periyodu ile örneklendiğinde rmp fonkiyonu ft=t yi düşünün. Denklem [0], şğıdki ifdeyi verir: F f 3 0 f f f T T 3T 3... Bu denklem şğıdki gibi yılbilir: F 3... T [3] Bilineer teorem x - ye uygulndığı mn x 3x... eriini elde ederi. Bunun onucund, > olmk koşuluyl, denklem [3], şğıdki ifdeyi verir: 6

264 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş F T / ve bu nedenle: F [4] T Ayrık mn inylleri Örneklenen ürekli mn fonkiyonu yerine, düenli rrlıklı drbe erii cininden tnımlnmış yrık mnlı bir inylin - dönüşümünü düşünelim. f[k] = eriini düşünün, yni,,,,,... bu birim drbelerden oluşmuş bir eridir ve bu nedenle - dönüşümü drbe eriinin dönüşümlerinin toplmı olduğundn, denklem [0] şğıdki ifdeyi verir: F f 3 0 f f f [5] Dh önce olduğu gibi, eriyi kplı-form d ifde edebiliri. Denklem [5] x x... formund, erinin / - x e ykınmı koşuluylyni x < onu toplmın hip bir geometrik eridir. Böylece, eğer x yerine / yılır, > olmk koşuluyl, şğıdki ifde elde edilir: / F [6] Anlşıldığı üere, yukrıdki denklem, örneklenmiş birim dımd olduğu gibi, ynı yrık mnlı eriyi tnımlıyor. Bun rğmen, elimide,,,,,... yerine, 0,,,,,... erii olduğunu düşünün, bunun -dönüşümü şğıdki gibidir: F f f f f [7] Bu,,,,,... erii -dönüşümünün dece - ile çrpımıdır. Böylece, 0,,,,,...,,,,,,,... eriinin bir örnekleme periyodu geciktirilmiş hli olduğundn, - ile çrpmk, bir örnekleme periyodu gecikmeyi belirtir. 6

265 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Eğer elimide 0, 0,,,,,... erii olydı, -dönüşümü şğıdki gibi olcktı: 0 3 F 0... [8] Böylece, bu,,,,,,... eriinin -dönüşümünün - ile çrpımıdır ve bu nedenle çrpım iki örnekleme periyodu gecikmeyi belirtir. 0 3 Dh ileri bir örnek için,,,, eriini veren yrık mnlı inylin -dönüşümünü düşünün, yni bir bit olmk üere, k f k. -dönüşümü, drbe eriinin dönüşümlerinin toplmıdır. Böylece, denklem [0] şğıdki denklemi verir: F 3 f 0 f f f [9] Kplı bir formd, denklem [9], toplmı onu oln, x x... formund, erinin / - x e ykınmı koşuluylyni x bir geometrik eri olduğundn, eğer x yerine / yrk, > olmk üere, şğıdki denklemi elde ederi: F / [0] Stndrt -dönüşümleri Tblo 0. ve 0. yygın olrk kullnıln örneklenmiş mn fonkiyonlrı ve erilerinin -dönüşümlerini verirken; Tblo 0.3 öel Lplce dönüşümlerine ilişkin -dönüşümlerini veriyor. Tblo. -dönüşümleri Örneklenmiş fonkiyon f t F Örnekleme periyodu T Birim drbe, t kt ile geciktirilmiş birim drbe Birim dım, ut kt ile geciktirilmiş birim dım k k T Birim rmp,t 63

266 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş T t 3 t e T e e t T e T e T te T Te T e t bt e e T bt e e T bt e e in t int cot co T cot T cot e e t T e int int T T e cot e e t T e cot cot T T e cot e Tblo. -dönüşümleri k f f 0, uk,,,,. k 0 3,,,,... f, f, f 3, F k 0,,,3,. k 3 k 0,,,3,... k 0 k 0,,,3,... k e 0 3 e, e, e, e,... e Tble.3 Lplce nd -dönüşüm çiftleri Lplce dönüşümü ilgili -dönüşümü T 64

267 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 3 T T e 3 T Te T e T e T 3 e T e T e T T e T e T bt e e T bt e e b b b T bt b e b e b T bt e e in T cot cot cot T T e Te T e ln / T kt e k Z dönüşümünün öellikleri -dönüşümünün temel öellikleri, şğıdki gibidir: Toplm ve çıkrm İki eri f[k] ve g[k] erilerinin toplmının -dönüşümleri, erilerin tek bşın -dönüşümlerinin toplmıdır: f k gk Zf k Zgk [] t Örnek olrk, örneklenmiş fonkiyon f t t e nin, her de örneklendiği mnki -dönüşümünü düşünün. -dönüşümü iki 65

268 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş fonkiyonun yrı olrk düşünüldüğündeki -dönüşümlerinin toplmın eşittir. Tblo. i, T = için kullnırk, örneklenmiş fonkiyon t nin -dönüşümü T / dir ve t örneklenmiş e ninki / e dir ve bu nedenle: t orneklenen t e e Bir bit ile çrpm Bir biti ile çrpıln bir diinin -dönüşümü erinin - dönüşümünü bu bitle çrpmkl ynıdır: f k Zf k [] Böylece, örneklenmiş birim rmp fonkiyonunu t nin - dönüşümü T/- olduğundn Tblo., t nin - dönüşümü T/- dir. 3 Kydırm teoremlerimn gecikmei Eğer f k bir dii ve F bunun -dönüşümü ie, bu erinin n rlık ilerlemeiyle oluşn erinin -dönüşümü, yni f k n i vermei için ol kydırılmı, şğıdki denklemi verir: n n n f k n F f 0 f n f f n [3] Eğer n = ie: f k F f 0 [4] Eğer n = ie: f k F f 0 f [5] Bir eriyi n ile ilerletmek, F ilerletmeden önceki erinin - dönüşümü olmk üere, n F trınd bir -dönüşümü verir. Yukrıdki denklemlerdeki diğer terimler, Lplce dönüşümünde olduğu gibi, -dönüşümünün dece k 0 için tnımlı olmındndır ve bunlr ol kydırıldıktn onr kyboln terimlerdir. 66

269 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Eğer örneklenmiş bir fonkiyon ftut, ğ kydırılır, yni n örnek periyodu geciktirilire, kydırılmış örnekleme erinin -dönüşümü, şğıdki gibidir: n f k nuk n F [6] Kydırm teoremleri, yi mn kydırm opertörü olrk düşünebileceğimii belirtir. ile çrpmk, mnd bir örnekleme periyodu ilerletme ile eşdeğerdir; ile bölmek, mnd bir örnekleme periyodu geciktirme ile eşdeğerdir. Örnek olrk, yrık mn erii 0, 0,,, 3, 4,... nin - dönüşümünü düşünün. 0,,, 3, 4,... nin bir mn rlığı kdr geciktirilmiş hli olrk düşünülebilir. Tblo 0. de belirtildiği gibi, geciktirilmemiş inyl / -dönüşümüne hiptir ve böylece, yukrıdki kydırm teoremi kullnılır, geciktirilmiş eri / / oln -dönüşümüne hiptir. 4 Komplek dönüşüm t Örneklenmiş bir f t fonkiyonunun -dönüşümü, e ile çrpıldığınd, F nin, f k nın -dönüşümü olmı koşuluyl, T örneklenmiş f t fonkiyonundki yerine e ymyı içerir, yni: t T e f k F e [7] t Örnek olrk, örneklenmiş fonkiyon f t te nin - dönüşümünü düşünelim. Komplek dönüşüm öelliğini kullnrk ve bu nedenle t nin dönüşümündeki yerine T e yrk şğıdki denklemi elde ederi: T T Te Te T T e e 5 İlk değer teoremi İlk değer teoremi, t = 0 için, mn fonkiyonunun değerini verir, yni ilk değeri. Bu teorem şğıdki gibi tnımlnır: f 0 lim f k lim F [8] t 0 67

270 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Örnek olrk, -dönüşümü F = / oln bir erinin ilk değerlerini düşünün. -dönüşümünü şğıdki gibi ybiliri: / 0.5/ Dh onr ilk değer teoremini kullnrk, giderken, f 0 i elde ederi. 6 Son değer teoremi Limitlerin olmı koşuluyl, on değer teoremi, mn onu giderken mn fonkiyonunun değerini verir, yni krrlı-hl koşulunu. Bu teorem şğıdki gibi tnımlnır: f lim f k lim F lim F t [9] Örnek olrk, -dönüşümü F = / oln bir erinin on değerini düşünün. Son değer teoremi şğıdki ifdeyi verir: f 0.5 lim F lim Ter dönüşümü Lplce dönüşümünde olduğu gibi, mn bölgeinden, -bölgeine ypıln dönüşümler, bit cebirel düenlemelerle ypılbilir. Sonuçt elde edilen mn bğlı tepkiyi elde etmek için, fonkiyonun ter dönüşümünün belirlenmei gerekir. Ayrık mnlı inyllerin vey -dönüşümü ile ifde edilen örneklenmiş mn fonkiyonlrının erilerini elde etmek ter -dönüşümünü elde etmek olrk tnımlnır. Eğer f t F vey f k F ie, ter - dönüşümü F ile göterilir. Dönüşümün teri, bir kç yoldn bulunbilir. Tblolrı kullnmk Bu, dönüşüm tblolrının, Tblo 0. ve Tblo 0., ve öel bir dönüşümle onuçlnn bir mn fonkiyonunu tnımk için, bunlrın öelliklerinin kullnımını içerir. 68

271 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Örnek olrk, 3/ - in ter dönüşümünü düşünün. Birim dım fonkiyonu / - -dönüşümüne hip olduğundn, teri, dece, 3 yükekliğinde bir dım fonkiyonudur. Kımi keirleri kullnmk Kımi keirler, -dönüşümlerinin bit tnınbilir terimlerin toplmın genişletilmeiyle kullnılır. Örnek olrk, şğıdki fonkiyonun ter dönüşümünü düşünün: T e F T e yukrıdki fonkiyonun kımi keirlerini belirleyebilmemie rğmen, çoğunlukl tndrt formlr ulşmmıı ğlyn bir proedür, F/ nin kımi keirlerini bulmktır. Böylece: T F e A B T T e e T T Böylece, e A B e dir ve bu nedenle A = ve B = - dir. Bundn dolyı, dönüşümü şğıdki gibi ybiliri: F T e ve bu nedenle: F T e Birinci terim, dir ve / ile çrpılmıştır ve bu nedenle çrpı örneklenmiş birim dımın -dönüşümüdür. İkinci terim T t kt / e formund bir dönüşümle çrpılmıştır; bu, e e nin -dönüşümüdür. Böylece ter dönüşüm şğıdki gibidir: kt f k e Eğer örnekleme periyodu ie, o mn eri 0, 0.63, 0.865, 0.950,... dir. 3 Uun bölme ile kuvvet eriine genişletme Bu, pyın pydy uun bölme yöntemi kullnılrk bölünmeiyle dönüşümü bir kuvvet eriine dönüştürmeyi içerir. Örnek olrk, örnekleme periyodu olmk üere, şğıdki fonkiyonun ter dönüşümünü düşünün: 69

272 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş T e F T e Böylece: 0.63 F Pyın pydy uun bölme yöntemi kullnılrk bölünmeiyle şğıdki denklem elde edilir: Böylece: F ve bu nedenle f k erii 0, 0.63, 0.865, 0.950,... dir. Drbe trnfer fonkiyonu Drbe trnfer fonkiyonu X, yrık girdinin -dönüşümü ve Y ie yrık çıktının -dönüşümü olmk üere; G şğıdki gibi tnımlnır: Y G [30] X G nin dece bir elemnın T rlığı kdr yrık mnlrl yrılmış girdi ve çıktı inyllerini ilişkilendirdiğine dikkt edin. Böylece, yrık mnlı işlem itemleri için, şğıdki frk denklemi elde edilir: k yk yk xk y bunun -dönüşümünü lırk şğıdki denklemi elde ederi: 70

273 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Y Y Y X ve bu nedenle: Y G X Aşğıdki trnfer fonkiyonun hip bir item için: G bu denklemi, kımi keirleri kullnrk şğıdki gibi ybiliri. G Bu denklemi, -bölgeine, -dönüşümü ile -dönüşümünü ilişkilendiren bir tblo kullnrk vey mn bölgei fonkiyonlrı için, -dönüşümünün mn bölgeine ordn d mn bölgei fonkiyonlrı için -dönüşümlerini veren bir tblo kullnımıyl - bölgeine dönüştürebiliri. Sonuç şğıdki gibidir: G T e T e Seri elemnlr Sitemlerin eri elemnlr şeklinde drbe trnfer fonkiyon göterimi, her bir elemn çiftinin rınd örnekleyici olup olmdığınd bğlıdır. Şekil 0., rlrınd örnekleyici bulunn eri iki elemnı içeren bir itemi göteriyor. Böylece, birinci elemn giren yrık mnlı inyller, çıktı olrk, ikinci elemn girmei için yrık mnlı inyl üretiyorlr, ynı mnd tüm itemden elde edilen çıktı d yrık mnlıdır. Şekil 0. için, -bölgeinde, şğıdki denklem elde edilir: Y G F G G X [3] Bundn dolyı, örneklenmiş T* inylleri için toplm trnfer fonkiyonu şğıdki gibidir: T G G [3] 7

274 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 0. Arlrınd örnekleyici bulunn eri elemnlr; iki diygrm eşdeğerdir ve böylece, ilgili -dönüşümü ifdei şğıdki gibidir: T G G [33] Şimdi de iki elemn rınd örnekleyici bulunmyn, Şekil 0.3 te göterilen durumu düşünün. G ve G elemnlrı drbe dönüşümünü lırken tek bir elemn gibi düşünülmelidir: G G G ve böylece: Y G X [ G G ] X [34] -dönüşümü lınır şğıdki denklem elde edilir: G G X Y [35] G G nin G G ye eşit olmdığın dikkt edilmelidir. Şekil 0.3 Elemnlr rınd örnekleyici yok ZOH un trnfer fonkiyonu Sıfır-derece tutulumlu elemnı şğıdki gibi bir trnfer fonkiyonun hiptir denklem [3], 9. bölüm e bkını: 7

275 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş G ZOH e T [36] Eğer ZOH, G p trnfer fonkiyonun hip bir teile eri ie, ZOH ile tei rınd örnekleyici bulunmdığındn Şekil 0.4, bu ikilinin -dönüşümü denklem [35] kullnılrk şğıdki gibi yılbilir: G [ GZOH G p ] T e G p T G e G p nin dönüşümü [37] nin dönüşümü p [38] T Fkt bir Lplce dönüşümünü e ile çrpmk dönüşümün T gibi bir mnl geciktirilmiş hline krşılık gelir 3.Bölüme bkını. - dönüşümünde örnekleme periyodu T kdr bir mn gecikmei, bunun - ile çrpılmını içerir. Böylece denklem [38] şğıdki gibi yılbilir: G G p nin dönüşümü [39] Şekil 0.4 Bir teile eri oln ZOH Örnek olrk, / + trnfer fonkiyonun hip bir teile eri oln ZOH yı düşünün. Denklem [39] kullnılır, item şğıdki trnfer fonkiyonun hiptir: G nun dönüşümü 73

276 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 74 kımi keirleri kullnrk bu denklemi şğıdki gibi ybiliri: G nun dönüşümü T e T Kplı-döngü itemin trnfer fonkiyonu Şekil 0.5 te göterilen kplı-döngü itemi düşünün. H elementinden çıkn inyl HY* tir. Bu inyl [HY*]* = H*Y* i vermei için örneklenir. G ye giren ht inyli, böylece X*-H*Y tir. G 'nin çıktıı Y tir. Böylece: Y H X G Y ve bu örneklenire: Y H X G Y Y H G X G Bu denklemin -dönüşümünü lırk şğıdki denklemi elde ederi: Y H G X G Y ve bu nedenle itemin toplm drbe trnfer fonkiyonu şğıdki gibi olcktır: H G G X Y T [40] Şekil 0.5 Kplı-döngü item Bir bşk kplı-döngü item formunu düşünün Figür 0.6. G in girdii örneklenmiş E* inylidir ve çıktıı Y, bundn

277 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 75 dolyı E G Y dir. H ten çıkn inyl Y H tir. Ht inyli E böylece şğıdki gibidir: E H G X Y H X E Şekil 0.6 Kplı-döngü item Bu ht örneklendiği mn şğıdki denklem elde edilir: E H G X E Bu denklemin -dönüşümünü lırk, şğıdki denklemi elde ederi: E GH X E ve bu nedenle itemin drbe trnfer fonkiyonunu şğıdki gibi ybiliri: GH G X Y T [4] Örnek olrk, trnfer fonkiyonu / + oln teie hip Figür 0.7 de göterilen kplı-döngü itemi düşünün. ZOH elemnı ile teiin rınd örnekleyici bulunmdığındn G G G p ZOH dir ve bu nedenle: e G T Kımi keirler kullnılrk, bu denklemi şğıdki gibi ybiliri:

278 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 76 e G T [4] Bundn dolyı: T e G [43] Örnekleme periyodu T = lınır, şğıdki denklem elde edilir: G [44] H olduğundn, denklem [4] yi de kullnrk e H G T [45] Şekil 0.7 Kontrol itemi ve bundn dolyı: T e GH [46] Örnekleme periyodu T = lınır, şğıdki denklem elde edilir:

279 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş GH [47] Denklem [4] kullnılrk şğıdki denklem elde edilir: T [48] Siteme bir birim drbe girdii olduğunu vrylım. Birim drbenin -dönüşümü olduğundn çıktı Y şğıdki gibidir: Y 0.63 Uun bölme kullnrk, bu denklemi şğıdki gibi ybiliri: 3 5 Y [49] Bundn dolyı ter dönüşüm şğıdki yrık mnlı eriyi verir: 0, 0.37, 0.63, 0.40, 0, -0.5,... Bun rğmen, çıktı bir ZOH elemnındn onr yer ldığındn, düeltilecektir ve dımlı bir çıktı verecektir Figür.8. Şekil 0.8 Çıktı dülemi Drbe trnfer fonkiyonu, genelde, şğıdki gibi ifde edilebilir: 77

280 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş m b b... bm G n 0... n 0 [50] Bu denklemin kökleri şğıdki gibidir: n 0... n 0 [5] ve ıfırlrı şğıdki gibidir: m b0 b... b m [5] Örnek olrk, / drbe trnfer fonkiyonunu veren bir item, = 0 d bir ıfır ve = ve = de iki kutb hiptir Şekil 0.9. / 5 drbe trnfer fonkiyonunu veren bir item, = 0 d bir ıfır ve = ve j de üç kutb hiptir Şekil 0.9b. Şekil 0.9 /--, b /- -+5 Kutup konumu ve geçici tepki G = / - drbe trnfer fonkiyonun hip bir iteme bir birim drbe girdiinin uygulndığını düşünün. Çıktı böylece şğıdki gibidir: Y G X 78

281 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Uun bölme kullnılrk şğıdki denklemi ybiliri: 3 4 Y Bu denklemin teri,, 4, 8,... eriini verir. Yukrıdki örnek reel eken üerinde = de bir kutb hip bir item içindi. Genelde, eğer reel eken üerinde = d bir kutbumu vr, çıktı, birim drbe fonkiyon girdii olduğu mn şğıdki gibidir: 3 4 k,,,,,... [53] Frklı değerleri için çıktının formunu düşünün: k poitif ve den küçüke, çıktı mnl bounur, yk C Figür.0. Örnek olrk, için, çıktı,, 0.5, 0.5, 0.065,.. dır. = ie, drbe bittir, yni,,,,,... dır Şekil 0.. k 3 birden büyüke, çıktı mnl büyür, yk C Şekil 0.. Örnek olrk, = için, çıktı,,, 4, 8,... dır. 4 negtif ve den küçüke, çıktı lınım ypr ve mnl k bounur, y k C Figür 0.3. Örnek olrk, için, çıktı,, -0.5, 0.5, ,... dır. 5 = - ie drbe değişimli bittir, yni, -,, -,, -,... dır Şekil , - den büyüke, çıktı lınım ypr ve mnl rtr, k y k C Şekil 0.5. Örnek olrk, = - için, çıktı,, -, 4, - 8,... dır. Şekil 0.0 Bounn eri 79

282 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 0. Sbit eri Şekil 0. Genişleyen eri Şekil 0.3 Bounn lınımlı eri Şekil 0.4 Sbit lınımlı eri 80

283 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 0.5 Genişleyen lınımlı eri Şimdi de, item bir çift komplek eşlenik kutb hipe; bu itemin bir drbeye tepkiini düşünelim. Eğer kutuplr, r yrıçpın, çıın hipe Şekil 0.6 = e ±jθ dır. Bir birim drbe girdii olduğu mn, çıktı şğıdki gibidir: y j k j k C re C re k [54] Bu denklem şğıdki gibi yılbilir: y k jk jk k k r C re C re Ar co k [55] Tepki böylece, bir inüoittir ve örnekler rındki mn T olduğundn, frekn / T dir. Şekil 0.6. Krmşık/komplek eşlenik kutup 8

284 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Tepki, komplek eşlenik köklerin konumun bğlıdır: r, den küçüke ve kökler dülemin ğ trfınd ie; tepki önümlemeli inüoidl bir eridir Şekil 0.7. r, ie ve kökler dülemin ğ trfınd ie, tepki bit genlikli inüoidl bir eridir Şekil r, den büyüke ve kökler dülemin ğ trfınd ie, tepki genişleyen inüoidl bir eridir Şekil r, den küçüke ve kökler dülemin ol trfınd ie, tepki önümlemeli inüoidl değişimli bir eridir Şekil r, ie ve kökler dülemin ol trfınd ie, tepki bit genlikli bir inüoidl değişimli bir eridir Şekil r, den büyüke ve kökler dülemin ol trfınd ie, tepki genişleyen inüoidl değişimli bir eridir Şekil 0.. Şekil 0.7 r < için önümlemeli inüoidl eri Şekil 0.8 r = için bit genlikli iüoidl eri 8

285 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 0.9 Genişleyen inüoidl eri Şekil 0.0 Sönümlemeli değişimli iüoidl eri Şekil 0. Sbit genlikli değişimli inüoidl eri Şekil 0. Genişleyen inüoidl eri 83

286 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş -bölgeinde krrlılık Şekil 0.0 dn 0.5 e kdr ve Şekil 0.7 den 0. ye kdr oln şekillerden de nlşılcğı üere, yrık mnlı bir itemin krrlı olbilmei ve bir drbenin bounn bir geçici çıktı vermei için, kutup -düleminin orijininin.0 yrıçpı dhilinde olmlıdır Şekil 0.3. Yrıçpı oln bir kutup, mrjinl olrk krrlı oln bir item verir. Yrıçpı.0 dn büyük oln bir kutup krrı bir item verir. Şekil 0.3 -düleminin krrlılık bölgei Örnek olrk, şğıdki drbe trnfer fonkiyonlrın hip örneklem-verili kplı-döngü kontrol itemini düşünün: G / 0.7 Çünkü item = 0.7 de bir kutb hiptir ve birim yrıçplı çemberin içine düşer; bu item krrlıdır. G pyd, j0.5 - j0.5 olrk yılbilir. Böylece, bu denklem, 0.5 de bir çift komplek eşlenik kutbun hiptir. Hepi de birim yrıçplı çemberin içine düştüğünden, item krrlıdır. 3 G 4/3 Krkteritik denklem şğıdki kökleri verir: kökü birim yrıçplı çember üerine düşer ve bu nedenle item mrjinl olrk krrlıdır. 4 G Krkteritik denklem şğıdki kökleri verir: 84

287 j0.5 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş kökün birinin rdyl uunluğu olduğundn item krrıdır. dülemi ile dülemi rındki ilişki T, e olrk tnımlnır, böylece,, j ifdei ile tnımlnbileceğinden, şğıdki denklem yılbilir: T T e e i [56] Böylece,, niceliktir. T e büyüklüğüne ve T f çıın hip komplek bir Sbit σ çigileri -dülemindeki dikey çigiler Şekil 0.4, ω değişirken, bit σ değerlerine hiptir. Z-düleminde, denklem [56] d göterildiği gibi bu tip çigiler, ω değişirken bit büyüklüğe hiptir ve bu nedenle orijinde bulunn direlerdir Şekil 0.4b. S-dülemi için, dülemin ol yrıı ile ğ yrıının birbirine bölümü, 0 çigiine T krşılık gelir. Z-dülemi için, 0 olduğu mn e dir ve bu nedenle birim yrıçplı çember bu bölümün eşdeğeridir. - düleminde krrlılık için, bütün kutuplr dülemin ol trfınd yer lmlıdır. -düleminin ol trfının tmmı, -düleminde birim yrıçplı çemberin iç lnın krşılık geldiğinden, bütün -dülemi kutuplrı, krrlılık için, birim yrıçplı çemberin içinde yer lmlıdır. Şekil 0.4 -dülemindeki dikey çigiler ve b bunlrın - dülemindeki krşılıklrı 85

288 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Sbit önümleme freknı ω çigileri -dülemindeki yty çigiler Şekil 0.5, bit önüm freknı ω ye hip bir çigidir. -dülemi üerinde, denklem [56] nın belirttiği gibi, bit bir önüm freknının nlmı, bit bir f çıı demektir ve böylece orijin üerinde doğrul bir çigi ile göterilir Şekil 0.5b, reel ekene oln çılr T dir. Örnekleme freknı / T dir ve bu nedenle bit f çıı θ y hip bir çigi için, T / tir. 0 için, 0 dır ve bu nedenle noktlr poitif reel eken üerinde yer lır. / 4 0 için, / 90 dir ve bu nedenle noktlr poitif nl eken 0 üerinde yer lır. / için, 80 dir ve bu nedenle noktlr 0 negtif reel eken üerinde yer lır. / 4 için, 3 / 70 dir ve bu nedenle noktlr negtif nl eken üerindedir dir ve noktlr yine poitif reel eken üerindedir. için, Şekil 0.5 -dülemindeki yty çigiler ve b bunlrın - dülemindeki krşılıklrı Sbit önümleme ornı çigileri Sbit bir önümleme ornı ζ için, -düleminde bit θ çılı rdyl bir çigi vrdır Şekil 0.6. ζ = co θ olduğundn Bölüm 7.ye bkını, eğer dik çılı bir üçgen kullnırk ve Pigor teoremini kullnırk, şğıdki denklemi elde ederi: tn [57] Sbit bir önümleme değeri -dülemindeki rdyn çigi için, bit bir grdyn verdiğinden, tn / dir. 86

289 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 0.6 -dülemindeki bit önümleme ornı çigileri -düleminde T [58] T ve denklem [56] nin büyüklüğü r e olduğundn: ln r [59] T ve bu nedenle şğıdki denklemleri ybiliri: / T ln r / T ln r [60] Böylece, -düleminde, bit önmüleme ornı çigileri, logritmik pirllerdir Figür.7. Bu pirller Jury konturlrı olrk dlndırılır. Şekil 0.7 -dülemindeki bit önümleme ornı çigileri 87

290 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Sbit doğl frekn çigileri S-düleminde, bit doğl frekn yer eğrii, merkeleri orijinde bulunn ve yrıçplrı oln eşmerkeli direlerdir Bölüm 7 ye bkını şekil 0.8. Şekil 0.8 -düleminde frklı eğrii / değerleri için bit yer -düleminde, yer eğrii üerindeki noktlr için, şğıdki denklemi ybiliri: T j T e e [6] Fkt 8.Bölümde, denklem [3] yi htırlrk: n [6] Böylece, -düleminin ol trfındki noktlr krşılık gelen noktlr için, şğıdki denklemi ybiliri: n j T e [63] Şekil 0.9, -düleminde, bit yer eğrilerinin bılrını göteriyor. yer eğrileri gerçekte her yerde bit önümleme fktörüne yer eğrilerine ortogonldır, yni dik çılıdır. 88

291 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil 0.9 -düleminde frklı eğrii yer / değerleri için bit bölgeinde krrlılık tetleri Ayrık mnlı itemlerde krrlılık için, krkteritik denklemin bütün kökleri -düleminde birim yrıçplı çemberin içinde yer lmlıdır. Bunun onucund, krrlılık için, ürekli mn itemleri için kullnıln Routh-Hurwit teti, bu tet itemin bütün köklerinin -düleminin ol yrıınd yer lıp lmdığını belirlemek için diyn edildiğinden; -dülemindeki kökler için doğrudn uygulnm. Bi-lineer dönüşüm metodu Bun rğmen, eğer yi şğıdki ifdeyle yer değiştirirek, Routh- Hurwit tetini yrık mnlı itemler için uygulybiliri: w w [64] Bunu ypmkl, bütün -köklerinin birim yrıçplı çember içinde yer lm koşulu, bütün köklerin w-düleminin ol yrıınd yer lmı koşulun dönüşür, bu nedenle tet, -dülemi için kullnıln Routh-Hurwit ile ynı formt dönüşür. Bir örnek olrk, yrık mnlı bir item düşünün: G Denklem [64] ü kullnrk ler yer değiştirire, şğıdki denklem elde edilir: 89

292 G w Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş w / w w w 0.4 w / w 0. w 3 w.3.w 0.5w Bu krkteritik denklem için, şğıdki Routh tblou oluşturulbilir: w w w İlk kolond işret değişimi olmdığındn, w nin kutuplrının tmmı w-düleminin olund yer lır. Bunun onucund, nin kutuplrı birim yrıçplı çemberi içinde yer lır ve item krrlıdır. Jury teti Bir drbe trnfer fonkiyonunun bütün köklerinin birim çember içinde yer lıp yer lmdığını belirlemek için kullnıln bir bşk tet, Jury tetidir. Bu tet için, krkteritik denklem şğıdki formddır: F 0 k... k 0 [65] 0 Bu durumd, şğıdki formd bir tblo oluşturulur. Sır 0 3 n n n n3 3 b 0 b b 3 4 b n b n b n n3 5 c 0 c c 3 6 c n c n c n n3 7 d 0 d d 3 8 d n d n d n n3 v.b n n 0 b... b... b n b n b b 0 c... c... c n c n c c 0 d... d... d n d n d d 0 Birinci tır, lınn krkteritik denklemin ktyılrını içerir. 90

293 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş İkinci tır, ynı ktyılr hiptir fkt ter olrk ırlnır. 3 Üçüncü tır, ıryl lınmış b ktyılrın hiptir ve şğıdki determinnt yrdımıyl belirlenir: b k n nk 0 [66] k 4 Dördüncü tır, bu b ktyılrının ter olrk ırlnmıyl oluşur. 5 Beşinci tır, ıryl lınmış c ktyılrın hiptir ve şğıdki determinnt yrdımıyl belirlenir: c k b b 0 n b n k bk [67] 6 Altıncı tır, bu c ktyılrının ter olrk ırlnmıyl oluşur. 7 Yedinci tır, ıryl lınmış d ktyılrın hiptir ve şğıdki determinnt yrdımıyl belirlenir: d k c c 0 n c nk [68] c k 8 Sekiinci tır, bu d ktyılrının ter olrk ırlnmıyl oluşur. Bu proedür, tır, üç yılı bir tır indirgenene kdr devm eder. Jury teti, krkteritik denklemin köklerinin, dece ve dece şğıdki koşullr ğlndığınd, -düleminde birim çember içinde yer lcğını ifde eder: F 0 [69] n [70] F 0 Denklem [70], şğıdki koşul krşılık gelir: F 0 [7] 9

294 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş F 0 [7] Bununl birlikte, şğıdki koşullr d ğlnmlıdır: b c d d [73] n 0 b 0 n c 0 n 0 n 3 Bunu örneklendirmek için, şğıdki krkteritik denkleme hip bir drbe trnfer fonkiyonu düşünün: 3 F Denklem [69] l ğlmı ypılır, şğıdki onuç elde edilir: F bu nedenle, F, 0 dn büyüktür ve dolyııyl krrlılığın ğlnmı olnk dhilindedir. Denklem [70] le ğlmı ypılır, şğıdki onuç elde edilir: F bu nedenle F 0. dir ve böylece 0 dn büyüktür. Krrlılık böylece olnklıdır. Yukrıd ğlnn koşullrl, ktyı tblounu oluşturrk krrlılığını kontrol edebiliri. Bşlmk için, birinci ve ikinci tırı şğıdki gibi ybiliri: Sır Dh onr üçüncü tır için oln ktyılrı heplrı: b b b Oluşn tblo şğıdki gibidir: Sır

295 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş İçeriğinin kontrol edilmei, bii şğıdki onuçlr ulştırır: 0.7 <.0 olduğundn 0 n -0.5 < olduğundn b 0 b n Böylece, bütün gereklilikler ğlndığındn, -düleminde, birim çember dışınd hiçbir kök yoktur. Ayrık mnlı itemlerin krrlı hl htlrı Şekil 0.30 d göterilen yrık mnlı kontrol itemini düşünün. ht inylı e*t şğıdki gibidir: e t x t y t [74] vey örneklemenin bı mnlrınd t = kt olduğundn, bu denklemi şğıdki gibi ybiliri: e kt x kt y kt [75] Örnekleme nlrındki, krrlı-hl htı şğıdki gibidir: e lim e t lim e kt [76] t k -dönüşümünün on değer teoremini kullnılır şğıdki denklem elde edilir: e lim E [77] E X H Y X H G p GZOH E olduğundn, drbeler için itemi düşünürek, E X * H Gp GZOH * E* elde edilir ve bu nedenle tekrr düenlendiğinde ve dönüşümü lındığınd şğıdki denklem elde edilir. X E [78] HG G p ZOH Şekil 0.30 Ayrık mnlı kontrol itemi 93

296 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 94 Böylece, denklem [77] şğıdki gibi yılbilir: lim G HG X e ZOH p [79] Bir dım girdii için krrlı-hl htı Sitemin girdii, bir birim dım fonkiyonu olduğu mn, / X dir. Sdeleştirmek için, birim geri beleme durumunu vrylım; denklem [79] şğıdki denklemi verir: lim lim ZOH p ZOH p G G G G e [80] Adım-ht ktyıını şğıdki gibi tnımlnır: lim * G G K ZOH p p [8] şğıdki denklem elde edilir: * * p K e [8] Teiin trnfer fonkiyonu şğıdki gibi yılbilir: n m p p p p K G [83] Eğer orijinde tne ıfır ve b tne kutup vr denklem [83], b j olmk üere, şğıdki gibi yılbilir: b n j m p p p p K G [84] Drbe trnfer fonkiyonu G G ZOH p böylece şğıdki gibidir: e p p p K G G T b n j m ZOH p ve böylece: e p p p K G G T b n j m ZOH p nin -dönüşümü [85] Tip 0 oln bir item için, j = 0 dır ve bu nedenle denklem [85] şğıdki form dönüşür:

297 G pgzoh Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş T... m e K j p p... pnb [86] nin -dönüşümü Kımi keirler kullnılır, denklem [86] yı şğıdki gibi ybiliri: K G G + ıfır olmyn kutuplr için gerekli terimlerin p ZOH -dönüşümü: K K ıfır olmyn kutuplr için gerekli terimler ıfır olmyn kutuplr için gerekli terimler [87] Sıfır olmyn kutuplr için gereken terimler, pydlrınd - içermeyeceğinden, denklem [8] le verilen dım ht ktyıı şğıdki gibi olcktır: * K p K [88] / K birim dımı için, böylece bir krrlı-hl htı vrdır. Tip oln bir item, trnfer fonkiyonunun pydınd terimini içerir, bundn dolyı drbe trnfer fonkiyonund terimini içerir. Bunun onucund, dım-ht ktyıı onudur ve krrlıhl htı yoktur. Bir rmp girdii için krrlı-hl htı Girdi birim rmp fonkiyonu olduğu mn, yni xt = t, denklem [79], birim geri belemeyle, şğıdki krrlı-hl htını verir: * T e lim G pgzoh lim G pgzoh T [89] Rmp-ht ktyıını şğıdki gibi tnımlrı: * K lim G G [90] v T p ZOH 95

298 ve bu nedenle: * * K Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş e [9] Önceki bölümde dım girdiinde olduğu gibi, rmp-ht ktyıını frklı tip numrlı teiler için belirleyebiliri. Tip 0 oln bir tei için, rmp-ht ktyıı 0 dır ve bu nedenle krrlı-hl htı onudur; tip oln bir tei ile, rmp-ht ktyıı K dır ve bu nedenle krrlı-hl htı /K dır, dh yükek bir tip numrlı teiler için, rmp-ht ktyılrı onudur ve bu nedenle krrlıhl htı ıfırdır. Prbolik bir girdi için krrlı-hl htı Prbolik bir girdi için, xt = t, denklem [79], birim geri belemeyle, şğıdki krrlı-hl htını verir: * T e lim G pgzoh lim G G p ZOH T 96 [9] Prbolik-ht ktyıını şğıdki gibi tnımlrı: ve bu nedenle: * K lim G G p T * * K ZOH [93] e [94] Adım girdi bölümünde olduğu gibi, prbolik-ht ktyıını frklı tip numrlı teiler için belirleyebiliri. Tip 0 ve tip oln teiler için, prbolik-ht ktyıı 0 dır ve bu nedenle krrlı-hl htı onudur, tip oln bir tei ile, prbolik -ht ktyıı K dır ve bu nedenle krrlı-hl htı /K dır; dh yükek bir tip numrlı teiler için, prbolik-ht ktyılrı onudur ve bu nedenle krrlı-hl htı ıfırdır. Ayrık mnlı bir itemin frekn tepkii Önceki bölümlerde nltıln frekn bölgei nli metotlrı, yrıkmnlı kontrol itemleri için genişletilebilir. Ayrık mnlı

299 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş itemlerin frekn tepkilerini belirlemek için, örnekleme periyodu T ile bir inüoidi örnekleyerek elde edilen yrık mnlı bir girdi kullnbiliri. Sürekli mn itemlerin frekn tepkii, trnfer T fonkiyonund, yerine jω yılrk elde edilebilir. e olduğundn, yrık mnlı bir itemin frekn tepkii, drbe j T trnfer fonkiyonund, yerine e yılrk elde edilebilir. Örnek olrk, drbe trnfer fonkiyonu oln bir j T itemi düşünün. yerine e yılır, şğıdki drbe frekn tepkii elde edilir: jt j T e 0.5 G e jt e 0.5 jt Dh onr, bit biçimde e cot j int olrk yıln Euler denklemini kullnbiliri ve böylece yukrıdki denklemi şğıdki gibi ybiliri: j T G e co T 0.5 j in T co T 0.5 j in T Tepkinin büyüklüğü ve f çıı dh onr olğn yollrdn belirlenebilir. 97

300 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş.Bilgiyr kontrol itemleri Bilgiyr kontrolü Aşğıdkiler, bilgiyr kontrol itemlerini tnımlmd kullnıln bı terimlerdir: Doğrudn dijitl kontrol Bu terim, teii kontrol etmek için çlıştırıcılr uygulnn kontrol inylini heplmk için, kontrol itemlerinde dijitl bilgiyr kullnımını çıklr. Gerçek-mnlı itemler Gerçek-mnlı bilgiyr kontrolü: bilgiyrın, teiten girdileri okuyup, bilgiyr itemi yerine teiin operyon bilgilerine göre belirlenen mnlrd kontrol inyli gönderdiği durumdur. Bilgiyr trfındn yürütülen işlem, hrici işlemcilerin mn ölçeklerine dynır. 3 Yerleşik bilgiyrlr Yerleşik terimi, bilgiyrın tek bşın değil; bir gerçek mnlı kontrol iteminin bir elemnı olduğunu nltır. Bilgiyr, kontrol itemine yerleştirilmiştir. Doğrudn dijitl kontrol kurlı diynı Doğrudn dijitl kontrol kurllrı iki temel yoldn belirlenebilir: Sürekli bölge diynı Bir ürekli mn kontrol itemi için ürekli bir kontrolör diyn edin ve dh onr bunu bir yrık mn kontrol yın ykıntın. Bu kontrolör için G i bulmyı ve dh onr dijitl kontrol diynını tmmlmk için onucun yrık hle getirilmeini içerir. Dijitl diyn Sitemi doğrudn yrık mnlı bir kontrol itemi olrk düşünün ve dijitl bir kontrolör diyn edin. Kontrolörün G ini doğrudn elde etmek için itemin yrık mn 98

301 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş modellemeini içerir ve bunun onucund dijitl kontrol diynı tmmlnır. Sürekli mn kontrolörlerinin dijitl implmntyonu Kullnılbilecek bir metot, Ziegler ve Nichol tur. Onlr, bir teiin bir mn gecikmeiyle birinci-derece bir elemnın eri göterimi şeklinde ifde edilebileceğini vunurlr ve bu nedenle şğıdki trnfer fonkiyonu ile T mn gecikmei ve τ mn biti olmk üere, ifde edilebileceğini vunurlr: K T G e [] p PID kontrol için, kontrolör şğıdki trnfer fonkiyonun hiptir denklem [8], 8. Bölüm: Gc K p Td Ti [] Ziegler ve Nichol K p, T i ve T d değerlerinin, bir itemin bi birim dım girdiye verdiği tepkiden belirlenebilmeini Tblo 8. ye bkını ğlmk için vey denklem [] de verilen trnfer fonkiyonun hip bir item thmini ypılbilmei için bir tkım kurllr oluşturdulr. Şekil. deki L denklem [] deki mn gecikmei T yi veriyor, şekildeki T denklem [] deki mn gecikmei τ yı veriyor ve figürdeki M denklem [] deki knç K yı veriyor. Şekil. Birim dım tepkii 99

302 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş O hlde, denklem [] yi yrık eşdeğerine dönüştürmek için, dolyııyl dijitl kontrolör trfındn oluşturulck lgoritmyı bulmk için, 9.Bölüm de verilen türeve ve integrller için ykınmlr kullnbiliri. Sürekli mn kurlının ykınmı Ziegler ve Nichol metodun bir lterntif metod olrk, kontrolör için gerekli oln trnfer fonkiyonunun, kontrol iteminin itenilen krkteritikleri, yni gerekli yükelme miktrı ve yerleşme mnını vermei için düenlenmeidir ve dh onr trnfer fonkiyonunun G ye dönüştürülmeidir. Bu dh onr dijitl bilgiyr için gerekli lgoritmy dönüştürülebilir. Örnek olrk, Şekil. de göterilen örneklem verili itemi düşünün. Her örnekleme nınd bilgiyr, tei çıktıındn, nlogdijitl dönüştürücü ADC yrdımıyl örnek lıyor ve örneklenmiş çıktı değerini oluşturuyor. Dh onr bu değerler, yrık girdi değerleri ile birlikte, bilgiyr trfındn, gerekli kontrol kurllrın göre itenilen düeltme inylinin vermei için, işleme okuluyor ve bu inyl teiin ürülmei için dijitl-nlog dönüştürücü yrdımıyl DAC teie gönderiliyor. Şekil. Örneklem-verili kontrol itemi Teiin birinci-derece, mn gecikmei olmyn bir item olduğunu vrylım, yni: [3] G p Bu, DAC ile eri bğlıdır ve trnfer fonkiyonu bir ZOH nin trnfer fonkiyonu olrk düşünülebilir, yni e -T /. Bu ikilinin drbe trnfer fonkiyonu böylece şğıdki gibidir: T e G nin -dönüşümü 300

303 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş T / e T / e nin -dönüşümü [4] lik bir mn biti ve 0.5 lik bir örneklem periyodumu olduğunu vr ylım. O mn: 0. G [5] Orntılı kncı K oln bir ürekli mn kontrolü ile eşdeğer bir kontrolör verecek bir yrık mnlı kontrolör kullnmk itediğimii düşünün. Sitemin kplı-döngü drbe trnfer fonkiyonu T şğıdki gibidir: KG 0.K T [6] KG K Sitem dece bir kutb hiptir ve bu kutbun yeri şğıdki gibidir: K [7] K değerinin eçilmeiyle, bu kutbun -düleminin reel ekeninin nereinde bulunduğunu belirleyebiliri. Şekil.3 kök yer eğriini göteriyor. Kutup, bir drbe girdii için, 0 ile 0.79 rınd ie, item krrlıdır ve mnl bounn bir drbe erii verir, kutup 0 d ie, K = 0.779/0. =3.5 dir. Sitem krrlı olcktır ve T = 0.779/ şeklinde bir drbe trnfer fonkiyonun hiptir. Bu, dece bir örnek gecikmeli bir itemi tnımlr. Böylece bir drbe girdii için, dece bir tne örnek periyotlu gecikmiş drbe çıktıı olcktır. Bu tip bir tepki, dedbet ölü vuruşlu olrk dlndırılır. Kutup 0 ile - rınd ie, item hl krrlıdır. Bun rğmen, kutup - de ie, item mrjinl olrk krrlı durum dönüşecektir. Bu durum, - = K olduğu mn gerçekleşir ve bu nedenle K = 8.05 tir. bu değerin ütündeki bir knç rtışı, kutbun - in geriine düşmeine ebep olur ve bu nedenle krrılıkl onuçlnır. 30

304 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.3 Kök yer eğrii çiimi Dijitl kontrolör trımı Herhngi bir ürekli mn kontrolör kurlın dynmyn bir dijitl kontrolör trımını düşünün: Bir birim dım girdii için gerekli kplı-döngü tepkiini belirleyin. -dönüşümünü elde edin. 3 Birim dım girdii için, bu çıktıyı ğlyck kplı-döngü drbe trnfer fonkiyonunu belirleyin. 4 Dolyııyl kontrolörün drbe trnfer fonkiyonunu belirleyin. Dedbet kontrolörü Yukrıdkine bir örnek olrk, ölü drbe, ölü vuruş tepkiini verecek bir kontrolör trımını düşünelim. Bu tip bir tepki, çıktının birim dım girdiini tm olrk tkip ettiği tepkidir fkt bir örnekleme periyodu gecikmiş hldedir. Çıktı Y böylece şğıdki gibidir: Y [8] Bu çıktıyı verecek, kplı-döngü drbe trnfer fonkiyonu T böylece şğıdki gibidir: 30

305 Y / T X / Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş [9] T şğıdki gibi olduğundn: Gc G T G G o mn: G c c T [0] T G ve bu nedenle, denklem [9] kullnılır: G [] G Örnek olrk, eğer şğıdki fonkiyon hipek denklem [5] e bkını: 0. G o mn: G c [] Yukrıdki örnek, örnekleme mnlrı rınd itenmeyen geçici lınımlr yol çn bir kontrolör diynı olbilir. Örnekleme noktlrı rınd item çık döngü çlıştığındn, geçici lınımlr, itemin çık-döngü trnfer fonkiyonundn bulunbilir. Yükek dereceli ürekli-mn çık-döngü fonkiyonu oln, birinci-derece kplı-döngü drbe trnfer fonkiyonun hip bir item elde edebiliri; bunun ebebi, drbe trnfer fonkiyonunun kutuplrı ve ıfırlrı iptl etmeidir. Dhlin kontrolörü Dhlin kontrolörü, bir dım girdiine ütel bir tepki üreten dedbet kontrolörünün bir modifikyonudur ve bu nedenle itenmeyen geçici lınımlr yok edilerek dh dügün bir tepki verir. Sitemin bir birim dım girdiine verdiği tepki böylece, bir bit olmk üere, yt = - e t dir. Böylece: T e Y T e [3] 303

306 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Kplı-döngü drbe trnfer fonkiyonu böylece şğıdki gibidir: T Y e T X T e e e T [4] T T şğıdki gibi olduğundn: o mn: Gc G T G G G c c T [5] T G ve bu nedenle: Gc T e G [6] Klmn kontrolörü Klmn kontrolörü, dedbet kontrolörünün bir bşk modifikyonudur. Klmn, eğer bir itemin derecei birden büyüke ve itemin bir örnekleme rlığınd yerleşmeinin mümkün olmdığı durumlrd; itemin dh büyük fkt onlu yıd rlıklrd yerleştirilebilmeinin mümkün olduğunu ve gerekli oln rlık yıı itemin dereceine eşit olduğunu öyler. Aşğıdki gibi bir birim dım girdii olduğunu düşünün: X / / [7] İkinci-derece bir item düşünün, gerekli tepki Y, iki rdışık örnekleme rlığındn onr birim değere ulşn bir tepkidir. Böylece, bu tepki 0 d bşlyck, bir örnekleme rlığındn onr bir değerine ulşck ve iki örnekleme rlığındn onr birim değere ulşcktır, böylece, 3 Y 0... [8] Kplı-döngü trnfer fonkiyonu böylece denklem [7] ve [8] le verildiği gibi olcktır: Y 3 T... [9] X [0] 304

307 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 305 Kontrolör çıktıı U şğıdki gibi olmlıdır:... 3 U [] Denklem [7] ve [], şğıdki denklemi verir:.. 3 X U [] Bunu Q olrk göterelim. Açık-döngü trnfer fonkiyonu vey teiin trnfer fonkiyonu, birim geri belemeli olduğund, şğıdki gibidir: Q T U X X Y U Y G [3] [4], β ve γ değerleri böylece denklem [4] teki ktyılrl teiin gerçek drbe trnfer fonkiyonundki ktyılr krşılştırılrk belirlenebilir. Denklem [4] ün py pyındki ktyılrın bir olduğun dikkt edin ve böylece, gerçek drbe trnfer fonkiyonu uygun bir fktörle ölçeklendirilmelidir, böylece bu ktyılr d bire eşitlenmelidir. Örnek olrk, şğıdki drbe trnfer fonkiyonun hip birim geri belemeli bir item düşünün: G Bu denklem, şğıdki gibi yılbilir: G Ktyılr, py ktyılrının toplmının teriyle çrpımı ypılrk ölçeklendirilmelidir; yni /0.7. Böylece: G Denklem [4] ile krşılştırıldığınd, , 39. ve dir. T, şğıdki gibi olduğundn: G G G G T c c o mn:

308 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 306 G T T G c [5] ve bu nedenle: T Q T T Q T G c [6] [7] Dolyııyl, yukrıdki örnek için: G c dir Ayrık kontrolör trnfer fonkiyonlrının progrm çevrilmei Ayrık kontrolör drbe trnfer fonkiyonu bit çrpnlr ve birim gecikmeler içeren bir frk denklemine dönüştürülmelidir; frk denklemi, dh onr progrm dönüştürülebilir 9.bölümü bunu örnekliyor. Öel bir trnfer fonkiyonu bir tkım lterntif göterime hip olbilir. Kullnılbilecek metotlr şğıdki gibidir: Direk Metot - de iki polinomun ornı şeklinde ifde edilebilen kontrolör girdii Y ve çıktıı E şğıdki gibi ornlnbilir: n J j j n j j j b E Y G 0 [8] Eğer, denklem [8] i düenlerek, şğıdki denklemi elde ederi: n J j j n j j j E b Y 0 n j j j n j j j b Y E Y 0 ve dolyııyl şğıdki frk denklemi elde edilir: n j n j j i j j i j i y b e y 0 [9] Örnek olrk, şğıdki fonkiyon hipek:

309 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 307 E Y G c Direk metodunu uygulrk şğıdki denklemi elde ederi: Y E Y E Y ve bu nedenle, - ile çrpmk, birim mn gecikmei demek olduğundn, frk denklemi şğıdki biçime dönüşür: i i i y e y Dh ileri bir örnek için, elimide şğıdki fonkiyon vr: G c denklem [9] uygulnır şğıdki denklem elde edilir: i i i i i i y y e e e y Ar değişkenle direk metot - de iki polinomun ornı şeklinde ifde edilebilen kontrolör girdii Y ve çıktıı E şğıdki gibi ornlnbilir: n j j j n j j j b E Y G 0 [30] P gibi yrdımcı bir değişkeni şğıdki gibi yrk: n j j j P Y [3] Denklem [30], şğıdki gibi yılbilir: n j j b j E P [3] Denklem [3] de verilen frk denklemi, şğıdki gibidir: n j j i j i p y 0 [33] ve denklem [3] ile, şğıdki elde edilir: n i j j i j i i p b e p [34]

310 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Örnek olrk, eğer şğıdki fonkiyon hipek: G c iki frk denklemi şğıdki gibidir: y i.39 pi 0.47 pi pi p e i i pi pi 3 Prlel metodu Bu metotl, drbe trnfer fonkiyonu, kımi keirlerine yrılır ve her bir keir için frk denklemi bulunur. Bu frk denklemleri, toplm çıktının, her bir dldn gelen çıktının toplnmıyl elde edildiği ğın prlel kollrın krşılık gelir. Böylece, eğer G c için, A, B ve C kımi keirlerine hipek; ğ, Şekil.4 te verildiği gibidir. Şekil.4 Prlel Ağ Örnek olrk, şğıdki drbe trnfer fonkiyonun hip bir kontrolör düşünün: G c Bu fonkiyon şğıdki kımi keirleri verir: G c ve dolyııyl frk denklemleri şğıdki gibidir: e 0.4 b e 0.5b y b i i i i i 308

311 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 4 Seri metodu Eğer, drbe trnfer fonkiyonu, bileşenlerine yrılır, bu fonkiyon birbirine eri bir ır elemnlrl göterilebilir, çoğunlukl bu göterim, kkt olrk tnımlnır. Böylece, eğer, G c = ABC ie, G c yi ifde eden ğ, Şekil.5 te göterildiği gibidir. Şekil.5 Seri ğ Örnek olrk, şğıdki drbe trnfer fonkiyonun hip bir kontrolör düşünelim: G c Bunu, dört eri elemn olrk düşünebiliri: 4 B C 0.5 D 0.4, b, c ve d, bu bloklrın çıktılrı ie, kontrolör girdii e ve kontrolör girdii y ile bu denklemler şğıdki gibi yılbilir: i 4e i b i i i i c b i 0.5ci d i ci 0.4di vey y i ci 0.4 yi Örnekleme rlığının eçimi Uun bir örnekleme rlığı eçmek demek, ölçümler rındki mn rttığındn, ölçümleme yükünün ltılmı nlmın gelir. Bu, ynı mnd hılı bir nlog-dijitl dönüştürücü gerekinimini 309

312 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ltır. Bun rğmen, örnekleme rlığındki bir rtış, örnekler rındki boşlukt işleme okulmyn girdi değişimleri olbileceğinden dolyı, krrılığ, bilgi kybın ve itemin lgoritmınd doğruluk kybın yol çbilir. Sürekli mn formundn elde edilen bir kontrol lgoritmınd, örnekler rındki mn, ne kdr büyüke, yrık örneklerin ürekli mn formunu tekrr etmeinin doğruluğu o kdr olur. Eğer örnekleme rlığı, ltılır ve çok küçük ypılır, komşu örnekler rındki frk, çok küçük olur. Bun rğmen dijitl itemler, onlu yıd bir kelime uunluğun hiptir ve bu nedenle ve inylin çöümlenebileceği frk için bir limit vrdır. Böylece, eğer örnekleme rlığının ltılmının yrrlı etkileri düşünülüre, dijitl itemin kelime uunluğunu rttırmk gerekir. Örnekleme rlığını belirlemek için deneyel kurllr Örnekleme rlığını belirlemek için, kullnıln deneyel kurllr şğıdki gibidir: Dominnt tei mn biti Örnekleme rlığı, bkın tei mn ktyıının ond biri büyüklüğünde eçilir. Ziegler-Nichol tei modeli vryımı T mn gecikmei ve τ mn bit olmk üere, teiin şğıdki çık-döngü trnfer fonkiyonun hip olduğu düşünülür: T e G Genelde, örnekleme periyodunun 0.05T ve 0.03T rınd olmı önerilir ve çoğunlukl 0.5T kullnılır. 3 Kplı-döngü performn gereklilikleri Eğer, kplı-döngü bir kontrol itemin yerleşme mnının T olmı iteniyor, örnekleme rlığı T /0 dn küçük olmlıdır. Eğer itemin doğl freknının ω n olmı iteniyor, örnekleme rlığı π/0 ω n den büyük olmlıdır, yni örnekleme freknı doğl frekntn 0 kt büyük olmlıdır. 30

313 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Kontrol döngüündeki mikroişlemci Şekil.6, kontrolör için bir mikroişlemci kullnıldığı bir tei kontrol iteminin temel öelliklerini göteriyor. Şekil.6 Bir mikroişlemci içeren kontrol döngüü Senörler, termokuplör ıılçift, voltmetre gerilimölçer, ıcklık reitn direnç elemnlrı trınd gölenen değişkenin büyüklüğüne bğlı inyl veren bir ygıttır. Bu tip ygıtlr için inyl koşulu bir işlemel mplifiktörle oluşturuln Whettone köprüü gibi bir devredir. Sinyller nlogtn dijitle ADC ile dönüştürülmelidir. Birden fl enör bulunduğu mn, yrı bir ADC kullnmk yerine bir çoklm/multiplek kullnmk dh uygundur ve böylece, çoklyıcı/multipleker ın girdi knllrı, ADC ye inyl verecek biçimde eçilir. Şekil.7, bu işlemin temel ypılndırmını göteriyor. 3

314 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.7 Anlog girdi itemi Bı enörler çık vey kplı oln devre nhtrı olbilir. Bu durumd, inyller, mikroişlemci trfındn eçilmeden önce içinde depolndığı bir ymc gönderilmelidir. Şekil.8, bu düenlemeyi göteriyor. Şekil.8 Dijitl girdi itemi 3

315 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Anlog çlıştırıcılr kullnıldığınd, yni motor vey ııtm elemnı, mikroişlemci çıktıı dijitl olduğundn, çıktıyı nloğ dönüştürmek için bir DAC kullnılmlıdır. Dh onr inyl koşullmı olrk, çlıştırıcıyı işletmek için, belki, nlog inyl yeterli biçimde yükeltgenebilir. Şekil.9 nlog çlıştırıcı itemlerin temel elemnlrını göteriyor. Çlıştırıcılr, yni röleler, kullnıldığı mn, itemin temel formu Şekil.0 d göterildiği gibidir. Şekil.9 Anlog çıktı itemi Şekil.0 Dijitl çıktı itemi 33

316 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Progrmlnbilir lojik/mntık kontrolörleri Progrmlnbilir mntık kontrolörleri PLC, komutlrı depolmk ve teii kontrol etmede, mntık, ırlm, mnlm, ym ve ritmetik gibi fonkiyonlrın uygulmı için progrmlnbilir bir hfı kullnn mikroişlemci-tbnlı bir kontrolördür. Mntık ve devre nhtrı işlemleri uygulmlrınd, progrmlm temel lındığındn, mntık terimi kullnılmıştır. Örnekleme mcıyl: A girişi çıldığınd, A çıkışındn inyl lıncktır; A vey B girişi çıldığınd, B çıkışı gölenir; A girişi çıldığınd, A çıktıı kpnmdn önce 0 liğine çılır; A çıktıı 0 def çıldığınd; A çıktıı gölenir gibi kontrol işlemlerini gerçekleştirmek için kullnılır. Şekil. bir PLC iteminin temel formunu göteriyor. Şekil. PLC itemi PLC leri progrmlmd yygın olrk kullnıln metod, ldder merdiven diygrmlrını kullnmktır. Bir progrm ymk, prlel güç htlrı rınd, her biri kontrol operyonunun bir işlemini belirtmek üere, merdiven şebekei bmklrınd yer ln bir dii devre nhtrı için devre çimekle eşdeğerdir. PLC, bu bmklrı, oldn ğ okur ve bştn on inceler. En lt uçtki bmğ geldiğinde, merdiven şebekeinin en ütüne geri döner. Her bir bmk, bir girdi vey girdilerle bşlr ve en ındn bir çıktıyl on erer. Girdilerin, çift bğlntılrl göterildiği düşünülebilir ve norml konumlrınd göterilirler. Bu nedenle bir giriş, normlde kplı oln bir giriş, çık bğlntıyl göterilebilir ve 34

317 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş normlde çık oln bir giriş de kplı bğlntılrl göterilebilir. Şekil. kullnıln temel embolleri göteriyor. Şekil. Temel merdiven şebeke progrm embolleri Şekil.3 Çıktı, A ve B girişi çıldığınd oluşur. Şekil.4 Çıktı, A girdii çıldığınd, B girdii kpndığınd oluşur. Şekil.5 Çıktı, A vey B girdilerinden biri çıldığınd oluşur. 35

318 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.6 A girdii, geçici olrk çıldığınd, A çıktıı oluşur ve kendiiyle ilgili bğlntılrı çr; bu nedenle onuçt girdiyi kilitleyerek A girdii kptıl bile çıkış çık klır Şekil.7 IR bir iç röle olrk görev ypr. Böylece, A ve B girdii çıldığınd; r röle çılır. Bunun onucund, rölenin ilgili bğlntılrı kpnır ve C girdii çıldığı mn, A çıkışındn bir çıktı gölenir. Şekil.8 A Girdii çıldığınd, mnlyıcı çlışmy bşlr. Zmnlyıcının önceden yrlnn mnı dolduğund, mnlyıcı bğlntılrı kpnır ve A çıkışındn inyl lınır. 36

319 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.9 A girişi çıldığınd, yç ıfırlnır. B girişi çıldığınd, yç ymy bşlr. Syç, önceden yrlndığı değere geldiğinde yç bğlntılrı kpnır ve A çıktıı gölenir. 37

320 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş. SİSTEM DURUM MODELLERİ Mtri notyon ve terminolojii Bir mtri, dikdörtgen biçiminde, tır ve ütunlrdn olşn yı diiidir. Elemnlr ve mtri rınd ritmetik bir bğlntı yoktur ve bir bütün olrk, mtri, nümerik bir değere hip değildir. Diiler köşeli [ ] prnte içine yılır. Bir mtriin boyutu, içerdiği tır ve ütun yıın göre belirlenir, p tır ve q ütun hip bir diinin boyutu p x q mtrii olrk tnımlnır. Aynı tır ve ütun yıın hip bir mtri, yni: 3 4 kre mtri olrk tnımlnır; kre mtriler için kuvvet terimi çoğunlukl ütun yıı olrk kullnılır. Sdece bir ütun ve birden fl tır hip bir mtri, yni: 4 ütun mtrii vey ütun vektörü olrk tnımlnır. Sdece bir tır hip bir mtri, yni: 5 tır mtrii vey tır vektörü olrk tnımlnır. Genelde, tır ve ütun vektörlerini götermek için küçük hrfler kullnılmın rğmen, mtrileri belirtmek için klın büyük hrfler kullnılır. Klın olmyn küçük hrfler, mtrilerin girdilerini; girdinin mtriteki yerini belirtmek için lt on ekle birlikte kullnılır, onekler girdinin bulunduğu tır ve ütun yerini belirtir, yni: 38

321 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş An köşegen, mtriin ol üt köşeinden bşlr ve köşegen boyunc şğıy ğ doğru devm eder. An köşegen elemnlrı köşegen elemnlrı olrk tnımlnır ve böylece, yukrıdki mtrite bu elemnlr,,, 33 ve 44 tür. Birim mtri vey ödeş mtri terimi embol I ile göterilir ve n köşegen üerindeki bütün girdileri dir ve diğer bütün girdileri 0 dır, yni: Bir ıfır mtrii, embol 0, bütün girdileri ıfır oln mtritir, yni: Durum uyı modeli Bir itemin trnfer fonkiyonu itemin bşlngıç değerleri ıfır olduğu mnki girdi ve çıktılrını ilişkilendirir ve bir item girdii ve bir item çıktıı olmı eın dynır. Bir durum uyı modeli, item girdi ve çıktıı rındki ilişki yerine; itemin r durumlrını modeller ve çoklu girdi ve çıktıy hip bşlngıç değeri ıfır olmyn itemler ile ilgilenir. Durum değişkenleri, itemin nlık durumunu, durum değişkenleri rındki ilişkiyi tnımlmd durum denklemlerini kullnrk, tnımlmk için kullnılır. Durum değişkenleri tek değildir; bun rğmen, çoğunlukl el ltındki probleme ilişkin durum değişkenleri lınır, yni çıktı ve çıktının türevleri. Bir itemi modellemek için gerekli durum değişkenlerinin ve durum denklemlerinin yıı itemin kuvvetine eşittir. Şekil. çok değişkenli item prenibini göteriyor ve Şekil.b, bunu bir yol üerinde hreket eden rb ile örnekliyor. İki girdi göterilmiştir: yold tkip edilen yön ve hı limiti ve iki çıktı bulunmktdır: rbnın kt ettiği yön ve hıı. 39

322 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil. Çok değişkenli itemler Durum denklemleri Genelde, n inci dereceden bir diferniyel denklem, n tne birinci derece diferniyel denkleme yrılbilir. Şekil 3. Yy-mortiör-kütle itemi Bir yy-mortiör-kütle itemi için yıln ikinci-derece diferniyel denklemini düşünün denklem []-Şekil.: F dy d y ky c m dt dt [] İki değişken dh eçtiğimii vrylım, x ve x, yer değişim miktrı çıktıı ve diğeri, çıktının birinci-derece türevi, yni çıktının hıı: dy y ve x dt x [] 30

323 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Seçilen değişkenleri diferniyel denklemde yerine koyrk, yeni değişkenlere hip bir denklem elde edilir: dx k c F x x [3] dt m m m ve denklem [] yrdımıyl şğıdki denklemi elde ederi: dx x [4] dt ikinci-derece diferniyel denklem [], böylece iki tne eş mnlı birinci-derece denklem [3] ve [4] ile yer değiştirdi; birinci-derece denklemler, durum denklemleridir ve bu denklemle ilişkilendirilen iki değişken x ve x durum değişkenleridir. Bener biçimde üçüncüderece diferniyel denklem, üç tne bir diferniyel denklemle, dördüncü-derece bir diferniyel denklem, dört tne birinci-derece diferniyel denklemle ifde edilebilir. İkinci-derece bir diferniyel denklem yerine geçen iki durum denklemi [3] ve [4], mtri formund şğıdki gibi yılbilir. dx k dx dt 0 m dt x c 0 F x m m ve bu mtri durum denklemleri şğıdki gibi yılbilir: dx t Ax t Bu t [6] dt x durum vektörü ve ut item girdii, bu durumd kuvvet F, olrk dlndırılır. A durum mtriidir ve B girdi mtriidir. Çıktı denklemleri terimi, çıktı değişkeninin durum değişkenleri, girdiler ve olı mn ile cebirel olrk ifde edilmei durumu için kullnılır. Genelde, bir item çıktıı, durum vektörleri ve girdilere bğlı bir fonkiyondur ve şğıdki form hip bir mtri, çıktı denklemi ile ifde edilir: y t Cx t Du t [7] C çıktı mtrii olrk, D direk geçiş mtrii olrk dlndırılır. D, item girdii ve item çıktıı rınd direk bir ilişki verir ve çoğunlukl ıfır mtriine eşittir; yni bütün elemnlrı ıfırdır. Yukrıdki örnek için, mtri çıktı denklemi şğıdki gibidir: [5] 3

324 y y Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş y 0 [8] ve dolyııyl, y = x dir, çıktı mtrii C [ 0 ] dır ve direk ktrım mtrii, ıfır mtriidir. Durum denklemlerinin geliştirilmeine yönelik dh ileri bir örnek için, Şekil.3 te göterilen hidrolik itemini düşünün: Şekil.3 Hidrolik item İki-girdili ve iki-çıktılı bir iteme hibi. Tnk için: dh q q q A [9] i o dt gh q R [0] o ve şğıdki denklem ile gh gh qr [] Tnk için, qi q qo dh A dt [] gh q R [3] o denklem [0] dki q o yu ve denklem [] deki q yu denklem [9] d yerine koyrk, şğıdki durum denklemini elde ederi. dh g g q h h dt RA RA A i [4] Bener biçimde, ikinci durum denklemini elde etmek için denklem [] yi kullnbiliri: 3

325 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 33 A q h RA g h RA g dt dh i [5] Denklem [4] ve [5] i mtri denklemi olrk şğıdki gibi ybiliri: i i q q A A h h RA g RA g RA g RA g dt dh dt dh y [6] Denklem [0] ve denklem [3] çıktı denklemlerini verir ve dolyııyl: 0 0 h h R g R g q q o o [7] Durum denklemleri bir bilgiyrl, tndrt mtri metodlrı kullnılrk çöülebilir ve dh onr, çıktı denklemleri frklı çıktılr elde etmeyi kolylştırır. Mtri ritmetiği Toplm Eğer A ve B mtrileri ynı boyutt ie, A + B toplm mtrii, iki mtriteki ilgili girdilerin toplnmıyl elde edilir. Frklı boyutlrdki mtriler toplnm. Örnek olrk, eğer: B ve A ie: B A Bir bitle çrpm

326 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Eğer A herhngi bir mtri ve c bir bite; ca çrpımı A nın her bir girdiinin c ile çrpılmıyl elde edilir. 3 İki mtriin çrpımı Genelde çrpım proedürü şu şekilde ifde edilir: Eğer A m x r lik mtri ie ve B r x n lik mtri ie, çrpım AB m x n lik bir mtritir. Bu çrpım, A nın i tırındki girdilerle, B nin ilgili j ütunundki girdilerinin, çrpılmı ve toplnmı yoluyl, çrpımın i tırı ve j ütunundki girdii elde edilir. Böylece örnek olrk, şğıdki mtriler için: b3 b3 b 3 c 3 = b 3 + b b 33 olmk üere, şğıdki girdiyi veren bir çrpım vrdır: c 3 iki mtriin çrpımının mümkün olbilmei için, birinci mtriin ütun yıının ikinci mtriin tır yıın eşit olmı gerekir. Eğer bu ğlnmıyor, iki mtriin çrpımı tnımıdır. Mtri çrpımını örneklemek için, AB çrpımını düşünün: A ve B O mn: 5 7 AB Mtrilerin kuvvetleri A mtrii, AA çrpımını ifde eder. Bener biçimde A 3, AAA çrpımını belirtir. Diğer mtrilerde çrpım mümkün olmdığındn dece kre mtrilerin kuvvetlerini elde edebiliri, yni tır yıının ütun yıın eşit olduğu mtriler. 34

327 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 35 5 Birim mtrile çrpım Bir kre mtriinin ynı boyutt bir birim mtrile çrpımı, mtri cebirinde, bilinen cebirde ile çrpmkl ynıdır. A IA AI [8] Örnek olrk, eğer şğıdki mtrie hipek: A o mn: A AI Bir mtriin teri Eğer şğıdki mtrie hipek:,, c c c x x x x x A ve: c Ax [9] o mn: c c x x x x bilinen yıl cebirle, eğer x = c ie, x i, ıfırl bölüm tnımıı olduğundn ıfır olmmk koşuluyl, x = x/ = /c = - c yi bulrk, elde edebiliri. Gerçekte yptığımı şey, denklemin her iki trfını - ile çrpmktır, yni - x x = - x c, - x = olduğundn, x = - c dir. - i elde etmek için, nın terini ldık ve bu nedenle - in nın teri olduğunu öyleyebiliri ve - x = olrk tnımlnır. Mtrilerde bener biçimde bir proedür uyrlybiliri. Denklem [9] un her iki trfını, A - ile göterilen, mtri A nın teri ile çrprk, şğıdki denklemi elde ederi: c A Ax A

328 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Bir mtriin terini, bilinen cebir yöntemine bener biçimde, I birim mtri olmk üere tnımldık, yni: A A I [0] Böylece, xi = x olduğundn: x A c [] x mtriini elde etmek için, c mtriini A nın teri ile çrpmmı gerekiyor. Aşğıdki mtrii düşünün: A c b d ve terini düşünün: A - p r q O mn şğıdki denkleme hip olmmı gerekiyor: c b p d r q 0 0 ve bu nedenle: p br q b cp dr cq d 0 0 Bu mtrilerin eşit olmı için, şğıdki denklem ğlnmlıdır: p br, q b 0, cp dr 0, cq d Üçüncü denklem r = -cp/d yi verir ve bunu birinci denklemde yerine koyrk, şğıdki denklemi elde ederi: ve: d p d bc cp b r d d bc İkinci denklem = -q/b yi verir ve bunu dördüncü denklemde yerine koyrk, şğıdki denklemi elde ederi: ve: b q d bc 36

329 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 37 bc d b q Böylece, bu mtriin teri, şğıdki gibidir: bc d bc d c bc d b bc d d r q p A - /d - bc fktörünü mtriin dışın lırk, denklem [] deki mtri, şğıdki ter mtrii verir: c b d bc d A - [3] d bc terimi mtriin determinntı olrk bilinir. Teri böylece, ve d nin yer değiştirmei ve b ve c nin işret değiştirmeiyle ve bu denklemin d bc fktörüne bölünmeiyle elde edilir. Bir mtriin her mn teri olmybilir. Lineer denklemleri çömek için mtrilerin teriinin kullnımı Mtriin teri, bir lineer denklem etinin çöülmeine olnk ğlyck bir metod ğlr. Örnek olrk, eğer şğıdki eş mnlı denklemlere hipek: 4y x ve 3 y x bunlrı mtri formund şğıdki gibi ybiliri: 3 4 y x Bu Ax = c formund bir denklemdir ve bunun için x = A - c ybiliri. Aşğıd, mtriin teri verildiğinden: in teri ' o mn: y x şimdi iki mtriin çrpımın hibi. Böylece: y x

330 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ve bu nedenle x = /7 ve y =-/7 dir. Determinntlr İki eş mnlı denklem düşünürek: x x c ve x x [4] c bunlrı x = A - c çöümüne hip bir denklem olrk, Ax = c şeklinde göterebiliri. Ktyı mtrii A nın teri, x lik bir mtritir: ' in teri [5] Çrpn fktörünün pydı, yni, mtriin determinntı olrk tnımlnır ve şğıdki gibidir: det [6] Eğer, şğıdki gibi, üç tne eş mnlı denkleme hipek: x ve 3 x x 3 3 x c, 3 x 33 x c 3 3 x x 3 x c 3 [7] o mn ktyı mtrii A şğıdki gibidir: Bu terimleri bir kç frklı yoldn düenleyebiliri. Örnek olrk, ilk tır terimlerini çıkrtırk, şğıdki denklemi ybiliri: det A [8] Prnte içindeki değerler, x lik bir determinnttır. Böylece, denklem, şğıdki gibi yılbilir: det A Denklem [9], ilk tırdki her bir elemnın x lik bir determinntl çrpımını içerir, bu determinntlr A nın determinntındn, ilk tır ve ütunun ilinmeiyle elde edilir:

331 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş det A [9] x lik determinntlrın girdileri, A nın determinntınd, çrpıldığı girdinin minörü olrk tnımlnır. 3 x 3 lük determinnt için bener denklemler, diğer tır vey ütunlrdki girdilerin minörünün lınmıyl elde edilebilir. Böylece, eğer ilk denklemi ele lırk: det A ve bunu düenlerek, böylece ilk ütundki her bir girdiyi çıkrmış olduk: det A det A Bener biçimde, determinntı, herhngi bir tır vey ütunun minörüne bğlı olrk ybiliri: Her bir girdinin minörü, bir + vey işretine hiptir, işret girdinin yerine bğlıdır. Bir 3 x 3 lük determinnt için, işretler şğıdki tblodn eçilebilir: İşretiyle birlikte yıln bir minör kofktör olrk tnımlnır. Böylece, determinnt, bir tırın vey ütunun girdilerinin, kofktörle çrpımlrının toplmın eşittir. Determinntı bu tr bir toplm olrk ifde eden bu proedür bir tırın vey ütunun kofktör çılımı olrk tnımlnır. 39

332 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Determinntlrın öellikleri Determinntlrı belirlemede, işlem deleştirmede determinnt öellikleri şğıddır: kullnıln Stırlrı birbiriyle değiştirmek İki tırı değiştirmek, determinntın işretini değiştirir,yni: b c d c d [30] b d bc bc d Sütunlrı birbiriyle değiştirmek İki ütunu değiştirmek, determinntın işretini değiştirir,yni: b c d b d [3] c d bc bc d 3 Stırlrı ütunlrl değiştirme Stır ve ütunlrı değiştirmek determinntın değerini etkileme, yni: c b d b c d [3] d bc d bc 4 Bir tırın vey ütunun bir bitle çrpımı Bir tırı, bir k bitiyle çrpmk, determinntı, k ile çrpmk demektir, yni: k kc kb kd k b c d [33] kd kbc k bc d 5 Stır vey ütunlrın toplmı vey çıkrmı Bir tır vey ütunu vey birden fl tırı vey ütunu, toplmk vey birbirinden çıkrmk, determinntın değerini değiştirme, yni: det A b c b c 3 b c

333 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 33 Eğer üçüncü tırın k ile çrpılmış hlini ikinci tır eklerek, şğıdki determinntı elde ederi: det c c c kc b kc b kc b B Bunun heplnmı onucu, şğıdki denklem elde edilir: c kc b c c kc b c c kc b c c c k b c c c k c b c c k c b İçinde k bulunmyn terimlerin toplmı, determinnt A yı verir. k içeren terimler şğıdki gibidir: c kc c kc c kc c c k c c k c c k Fkt bunlr ıfır değerine hiptir. dolyııyl det A = det B dir. 6 Eşit tır vey ütunlr İki eşit tır vey ütun hip determinntlrın değeri ıfırdır. Örnek olrk, eğer şğıdki determinnt hipek: det c b c b c b A ve birinci tırı ikinci tırdn çıkrırk: det c b c b A ve bu nedenle determinnt ıfır değerine hiptir. 7 Bir tır vey ütun bir bşk tır vey ütunun ktı ie Bir tır vey ütun bir diğerinin ktı ie, determinnt ıfır değerine hiptir. bunun ebebi, eğer çrpnı determinnt dışın lırk, iki eşit tır vey ütun elde ederi ve dolyııyl, 6 ıncı mddede olduğu gibi determinnt ıfır değerine hiptir. Kofktörler ve bitişik mtriler Aşğıdki gibi, üç değişkenli, üç eş mnlı denklem düşünün:

334 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş x x 3 x 3 x x c 3 x 3 x x c x c 3 [34] Ktyı mtrii, şğıdki gibidir: 3 A 3 [35] Mtrii, birinci tırın kofktör çılımı olrk ifde ederek, şğıdki determinnt elde edilir: det A [36] in kofktörünü A le göterirek, in kofktörünü A le göterirek ve 3 in kofktörünü A 3 le göterirek, denklem [36] yı şğıdki gibi ybiliri: det A A A A [37] 3 3 Determinntı, ikinci tırın kofktör çılımı olrk, şğıdki gibi ifde edebilirdik: det A A A A [38] 3 3 Bener biçimde, determinntı, üçüncü tırın kofktör çılımı şğıdki gibidir: det A A A A [39] Denklem [37], [38] ve [39] u, bir kofktör mtrii olrk, şğıdki gibi ifde edebiliri: A A A3 A A A A3 [40] A 3 A3 A33 Eğer tır ve ütunlrı değiştirirek, komşu vey bitişik mtri olrk dlndırıln bir mtrie hip oluru bu tır ve ütun yer değiştirme işlemi trnpo olrk dlndırılır. Böylece: 33

335 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş A A A3 dj A A A A3 [4] A 3 A3 A33 Mtri A ile djointkomşu inin çrpımı, şğıdki mtrii verir: A dj A A A A 3 A A A 3 A3 A3 A 33 Eğer çrpımı bir B mtrii olrk lırk, b B b b 3 b b b 3 b3 b3 b 33 Aşğıdki denklemleri elde ederi: b A A 3A3 b A A 3A3 b3 A3 A3 3A33 b A A 3A3 b A A 3A3 b3 A3 A3 3A33 b3 3A 3A 33A3 b3 3A 3A 33A3 b33 3A3 3A3 33A33 b, b ve b 33 girdileri A nın girdileri ile ynı girdilerin kofktörlerinin çrpımıdır ve bu nedenle denklem [37] de verilen denklem formlrın hip oln bu girdilerin her biri A nın determinntın eşittir. Diğer b terimleri ile ktyılr ve kofktörleri A nın frklı tırlrındn gelir. Bundn dolyı, hepi de ıfır değerine hiptir. Bunu örneklemek için, b i düşünün: b A A 3 A Böylece, bir mtri ile djointbitişik inin çrpımı için şğıdki mtrii ybiliri: 333

336 det A 0 0 Adj A 0 det A det A 0 0 det A Dolyııyl: A dj A det A I Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Fkt AA I olduğundn, ter mtri A, şğıdki gibi ifde edilebilir: dj A A [4] det A Eğer det A = 0 ie, mtriin teri yoktur. Durum denklemleri ve trnfer fonkiyonu rındki ilişkiler Aşğıdki durum denklemlerini düşünün: dx t Ax t Bu t [43] ve: dt y t Cx t Du t [44] Denklem [43] ün Lplce dönüşümü lınır, şğıdki denklem elde edilir: X AX BU Bu d şğıdki gibi yılbilir: X AX BU ve bu bir mtri denklemi olduğundn ve ynı boyuttki mtrileri toplyıp çıkrbileceğimiden dolyı, birim mtriini, I birim mtri olmk üere, şğıdki denklemi elde edecek biçimde kullnırı: [ I A] X BU [45] Denklem [44] ün Lplce dönüşümünü lırk, şğıdki denklemi verir: Y CX DU [46] Denklem [45] i kullnrk, X i denklem [46] d yerine koyrk, şğıdki denklemi elde ederi: Y C[ I A] BU DU 334

337 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 335 ve bu nedenle trnfer fonkiyonu şğıdki gibidir: D B A I C U Y fonkiyonu trnfer ] [ [47] Bir örnek olrk, Figür 3. de tnımlnn ve denklem [5] te verilen, yy-mortiör-kütle itemini düşünün: m c m k 0 A [48] m B 0 [49] 0 C [50] 0 D [5] Böylece: m c m k A I ] [ m c m k ve bu nedenle: m k m c m k m c A I / / ] [ [5] Denklem [47], böylece, şğıdki denklemi verir: B A I C fonkiyonu trnfer ] [ m k m c m m m k m c m k m c / / / 0 / / [53]

338 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Durum denklemlerinin çöümü Aşğıdki durum denklemine hip olduğumuu düşünün: dx t Ax t Bu t [54] dt Bu denklemin bşlngıç koşullrı ıfır olmk üere, Lplce dönüşümü lınır, şğıdki denklem elde edilir: ve böylece: X x0 AX BU I A X x0 BU X I A x0 I A BU [55] Denklem [55] i, I - A - yerine yrk deleştirebiliri. X x0 BU [56] Denklem [56], mn bölgeine lındığınd, t, durum geçiş mtrii olrk tnımlnır. Girdi ut ıfırlndığı mn, denklem [54] ün çöümünü düşünün, yni orlyıcı bir fonkiyon olmdığı ürece: X x0 [57] ve böylece: x t t x0 [58] Çöüm, denklem [54] te yer ln homojen denklem veriyonunu ğlıyor, yni: dx t Ax t [59] dt t = 0 nındki bşlngıç koşullrıyl, denklem [39] un çöümü, şğıdki gibidir: At x t e x0 [60] Böylece: At t e [6] 336

339 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şimdi de orlyıcı bir fonkiyon olduğund denklem [56] nın çöümünü düşünün. Denklemin Lplce dönüşümü, şğıdki denklemi verir: x t L {[ I A] } x0 L {[ I A] Bu t} [6] Birinci terimin ter dönüşümü, denklem [58] de verilmiştir. İkinci terimin çöümü, ut nin beliri bir fonkiyon olduğu bilgiiyle, genel bir durum için tmmlnmlıdır. İkinci terimde, iki dönüşümün çrpımı vrdır ve böylece, genel çöümü elde etmek için konvolüyon integrlini kullnmlıyı. Böylece: t x t t x0 t-τt-τ d 0 [63] t At A t e x 0 e t-τt-τ d 0 [64] Çöümlü örnek Aşğıdki durum denklemine hip bir item düşünün: dx dt x t u t 3 [65] ve bu itemin bir birim dım girdiine mru kldığını düşünün. Sonuç olrk, şğıdki mtrii elde ederi: I A Bu mtriin teri, şğıdki gibidir: 3 [ I A] Aşğıdki bşlngıç değeriyle: x 0 0 denklem [60] ın homojen kımı için, şğıdki denklem elde edilir: 337

340 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş X X X ve X her birii için denklemleri yrk, şğıdki denklemi elde ederi: 3 X vey kımi keirler kullnılrk: X ve: X vey kımi keirler kullnılrk: X Dolyııyl, bunlrın terini lırk, çöümlerin homojen kıımlrını şğıdki gibi verir: t t e e t x t t e e t x Çöümün orlyıcı kımı, denklem [55] in ilgili kımıyl, X = I - ABU olrk verilir. Böylece, bir birim dım girdii için U = / olduğundn: X X 0 3 X ve X her birii için denklemleri yrk, şğıdki denklemi elde ederi: 3 X vey kımi keirler kullnılrk: X ve: X

341 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş 339 vey kımi keirler kullnılrk: X Dolyııyl, bunlrın terini lırk, çöümlerin orlyıcı kıımlrını şğıdki gibi verir: t t t t e e t x e e t u t x Böylece, toplm çöümler şğıdki gibidir: t t t t t t t t t t t t e e e e e e t x t u e e e e t u e e t x Krkteritik denklem Aşğıdki çıktı denklemini düşünün denklem [46] d olduğu gibi: DU CX Y [66] Girdi denklemi [43] kullnılrk, şğıdki denklem elde edilir: t Bu t Ax dt t dx [67] [I - A]X = BU ybiliri denklem [45] ve böylece: ] [ DU BU A I C Y ve bu nedenle: D B A I C U Y ] [ [68] Bu denklem [4] kullnılrk şğıdki gibi yılbilir: D B A I A xi dj C U Y ] [ ]} [ { A I D A I B A xi dj C [69]

342 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş İfdenin pydı I A dır ve mtri A nın krkteritik polinomu olrk tnımlnır. Mtri A nın krkteritik denklemi, şğıdki gibidir: I A 0 [70] krkteritik denklemin kökleri, mtri A nın ödeğeri vey trnfer fonkiyonunun kutuplrı olrk tnımlnır. Durum diygrmlrı Durum diygrmlrı, durum değişken modelinin Lplce dönüşümüyle verilen cebirel ilişkilerin grfikel bir şekilde göterimidir. Böylece, eğer, dx /dt = x ie x, x nin mn göre integrlidir. Bu denklemin Lplce dönüşümü lınır, X - x 0 = X denklemi elde edilir ve böylece: X X 0 [7] x Böylece, bir integrl lm, / le çrpmk ve bşlngıç değeri terimini eklemek demektir. d x /dt = x ie, x, x nin mn göre iki def integrl lınmış hlidir. Bu denklemin Lplce dönüşümü lınır, X - x 0 - dx 0/dt = X denklemi elde edilir ve böylece: dx0 X X x 0 dt [7] Böylece, birinci integrlin onucu denklem[7] bir def dh / ile bölünür ve bir bşk bşlngıç değeri terimi eklenir. Bir integryon, Şekil.4 te göterildiği gibi, bir inyl kış grfiğiyle ifde edilebilir, bu, integrtörün çıktıının, / ile girdinin çrpımının bşlngıç değeri x / ile toplmın eşit olduğunu göteriyor. Eğer bir dh integrl lınır, Sonuç Şekil.5 te göterildiği gibidir. 340

343 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Şekil.4 Denklem [7] in grfikel göterimi Şekil.5 Denklem [7] in grfikel göterimi Aşğıdki diferniyel denklemle ifde edilen bir item düşünün: d y t dy t y t x t o [73] dt dt Denklem, ikinci derecedir ve bu nedenle iki tne integrtör ve iki tne durum değişkeni olcktır. İntegrtörlerin çıktılrını, durum değişkenleri x ve x olrk tnımlycğı. Böylece, itemin inyl kış grfiğinin bu kımını Şekil.6 d göterildiği gibi çiebiliri. Dh onr ktyılrı ve bşlngıç değerlerini Figür.6b de göterildiği gibi ekleyebiliri. Bir girdi ve çıktı rındki trnfer fonkiyonu, bütün diğer girdi ve bşlngıç durumlrı ıfır yrlnrk, Mon un genel knç formulü.bölüm de, denklem [86] y bkını, kullnımıyl, durum inyl kış grfiğinden elde edilebilir. Örnek olrk, şekil.6b deki inyl kış grfiğinde, bşlngıç durumlrı ıfır yrlnır, şekil.7 de göterilen grfik elde edilir. Dh onr knç formülü uygulnır: 34

344 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş Girdi ve çıktı düğümleri rındki ileri yol / kncın hiptir. Sdece bir tne ileri yol vrdır. Şekil.6 Denklem [73] in grfikel göterimi Şekil.7 Bşlngıç değerleri ıfırlnmış olrk şekik.6b = bütün döngü knçlrının toplmı + birbirine değmeyen bütün döngü çiftlerinin knç çrpımlrının toplmı birbirine değmeyen bütün üçlü döngü kombinyonlrının knç çrpımlrının toplmı + birbirine değmeyen bütün dörtlü döngü kombinyonlrının knç çrpımlrının toplmı v.b. Böylece = / 0 / + 0 dır. 3 Birbirine değmeyen döngüler bulunmdığındn, k = dir. 4 Böylece knç, yni trnfer fonkiyonu, şğıdki gibidir: / / / o / / o Sinyl kış değişkenlerinin, çıktı düğümleri olrk lınrk durum denklemlerinin elde edildiğini düşünün. 34

345 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş O hlde, durum denklemleri, Lplce opertör yi vey bşlngıç durumlrını içermediğiniden, bütün bşlngıç durumlrını ve integrtör dllrını ileri. Böylece, şekil.6, Şekil.8 de göterilen form dönüşür. Durum değişkenleri ve girdileri, girdi değişkenleri olrk ve durum değişkenlerinin türevini ifde eden düğümleri çıktı düğümleri olrk ldık. Böylece, şğıdki denklemleri elde etmeliyi: dx x [74] dt dx o x x x dt [75] Şekil.8 Bşlngıç değerleri ve integrtör kolu çıkrılmış durum inyli kış grfiği Aşğıdki, üçüncü-derece trnfer fonkiyonunu ve şğıdki itemi ifde eden bir inyl kış grfiğini düşünün: Y o G X 3 b b bo [76] Eğer bütün terimler, en yükek dereceli terimine bölünüre, şğıdki denklemi elde ederi: o Y 3 X b b bo [77] Bütün geri beleme döngü ve ileri yollrı, geri beleme döngülerine değen bir itemde, Mon un knç formülü denklem [86] y bkını, 3. bölüm şğıdki denkleme dönüşür: 343

346 Kontrol Sitemleri Notlrı-Giriş ileri yol fktörlerinin toplmı G - geri beleme döngüü fktörleri [78] Denklem [77] deki py, böylece, ileri-yol fktörlerini ifde eder. İleri yollr, bütün döngülere değmelidir. Denklem [77] deki pyd, geri beleme fktörlerini ifde eder. Böylece denklemi ifde etmek için kullnıln bir inyl kış grfiği, Şekil.9 d göterildiği gibi olcktır. Şekil.9 Denklem [77] yi ifde eden durum inyli kış grfiği 344