ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 0. SINIF DERS KİTAI YAZARLAR KOMİSYON DEVLET KİTAPLARI İKİNCİ ASKI..., 0
MİLLİ EĞİTİM AKANLIĞI YAYINLARI...: 5659 DERS KİTAPLARI DİZİSİ...: 54.?.Y.000.470 Her hakkı saklıdır ve Milli Eğitim akanlığı aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayınlanamaz. EDİTÖR Prof. Dr. Hüseyin ALKAN DİL UZMANI Dr. Şerife KAÇMAZ GÖRSEL TASARIM Aysun ORAN ÖLÇME-DEĞERLENDİRME UZMANI Nuray SUNAR PROGRAM GELİŞTİRME UZMANI Didem AKULUT REHERLİK UZMANI Ahmet SEYREK ISN 978-975--356- Milli Eğitim akanlığı, Talim ve Terbiye Kurulunun 7..00 gün ve 30 sayılı kararı ile ders kitabı olarak kabul edilmiş, De stek Hizmetleri Genel Müdürlüğünün 9.03.0 gün ve 3398 sayılı yazısı ile ikinci defa 44.448 adet basılmıştır.
İÇİNDEKİLER MATEMATIKSEL SEMOLLER...9 ORGANIZASYON ŞEMASI...0.ÖLÜM POLİNOMLAR POLINOM KAVRAMI... POLINOMLARLA FONKSIYONLAR ARASINDAKI İLIŞKI...5 SAIT POLINOM VE SIFIR POLINOMU...7 İKI POLINOMUN EŞITLIĞI...8 POLINOMLAR KÜMESINDE İŞLEMLER...0 POLINOMLAR KÜMESINDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMI... POLINOMLARIN TOPLAMA İŞLEMINE GÖRE ÖZELLIKLERI...4 POLINOMLARDA ÇARPMA İŞLEMI...6 POLINOMLARIN ÇARPMA İŞLEMINE GÖRE ÖZELLIKLERI...8 POLINOMLARDA ÖLME İŞLEMI...3 P(X) POLINOMUNUN Q(X) POLINOMUNA ÖLÜMÜNDEN KALANI ULMA...34 P(X) POLINOMUNUN AX+ ILE ÖLÜMÜNDEN KALANI ULMA...34 P(X) POLINOMUNUN X N A ILE ÖLÜMÜNDEN KALANI ULMA...37 IR P(X) POLINOMUNUN (X A) VE (X ) İLE AYRI AYRI ÖLÜMÜNDEN KALAN ILE (X A).(X ) İLE ÖLÜMÜNDEN KALAN ARASINDAKI İLIŞKI...39 ÇARPANLARA AYIRMA...4 İNDIRGENEMEYEN POLINOMLAR VE ASAL POLINOMLAR...4 ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMLERI...43 ORTAK ÇARPAN PARANTEZINE ALMA YÖNTEMI...43 GRUPLANDIRARAK ORTAK ÇARPAN PARANTEZINE ALMA YÖNTEMI...45 X +X+C VE AX +X+C IÇIMINDEKI POLINOMLARIN ÇARPANLARINA AYRILMASI...48 ÖZDEŞLIKLERDEN YARARLANARAK ÇARPANLARA AYIRMA...5 TERIM EKLEYEREK VEYA ÇIKARARAK ÇARPANLARA AYIRMA...60 X N -Y N VE X N +Y N (N N VE N ) IÇIMINDE POLINOMLARININ ÇARPANLARINA AYRILMASI...6 DEĞIŞKEN DEĞIŞTIRME YÖNTEMIYLE ÇARPANLARA AYIRMA...6 İKI YA DA DAHA ÇOK POLINOMUN ORTAK ÖLENLERININ EN ÜYÜĞÜ (OE) VE ORTAK KATLARININ EN KÜÇÜĞÜ (OKEK)...64 RASYONEL İFADELER VE DENKLEMLER...65 RASYONEL İFADELERIN SADELEŞTIRILMESI...66 RASYONEL DENKLEMLER...69 RASYONEL İFADENIN ASIT RASYONEL İFADELERIN TOPLAMI OLARAK YAZILMASI...7 ÖLÜM SONU SORULARI...73 POLINOMLAR TESTI...75.ÖLÜM İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER VE FONKSİYONLAR İKINCI DERECEDEN DENKLEMLER...79 İKINCI DERECEDEN IR ILINMEYENLI DENKLEMLERIN KÖKLERI VE KÜMESI...79 İKINCI DERECEDEN IR DENKLEMIN KÖKLERINI VEREN AĞINTI...83 İKINCI DERECEDEN IR DENKLEMIN KÖKLERI ILE KATSAYILARI ARASINDAKI AĞINTILAR...87 KÖKLERI VERILEN İKINCI DERECEDEN IR ILINMEYENLI DENKLEMI KURMA...9 İKINCI DERECEDEN IR ILINMEYENLI IR DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEILEN DENKLEMLERIN KÜMELERININ ULUNMASI...93 İKINCI DERECEDEN İKI ILINMEYENLI DENKLEM SISTEMLERI...96 EŞITSIZLIKLER...99 7
f() = a+b FONKSIYONUNUN ALACAĞI DEĞERLERIN İŞARETI VE IRINCI DERECEDEN IR ILINMEYENLI EŞITSIZLIKLER...98 a +b+c FONKSIYONUNUN ALACAĞI DEĞERLERIN İŞARETININ İNCELENMESI VE İKINCI DERECEDEN IR ILINMEYENLI EŞITSIZLIKLER...0 IRINCI VE İKINCI DERECEDEN POLINOMLARIN ÇARPIMI VEYA ÖLÜMÜ IÇIMINDE VERILEN EŞITSIZLIKLERIN Ü...06 IRINCI VEYA İKINCI DERECEDEN EŞITSIZLIK SISTEMLERININ Ü...0 İKINCI DERECEDEN IR DENKLEMIN KÖKLERININ VARLIĞI VE İŞARETININ İNCELENMESI... PARAMETRE İÇEREN İKINCI DERECEDEN IR ILINMEYENLI IR DENKLEMIN KÖKLERININ VARLIĞININ İNCELENMESI...4 İKINCI DERECEDEN FONKSIYONLAR...6 İKINCI DERECEDEN FONKSIYONLARIN EN ÜYÜK YA DA EN KÜÇÜK DEĞERINI ULMA...6 İKINCI DERECEDEN FONKSIYONLARIN GRAFIĞI...8 AZI NOKTALARI VERILEN İKINCI DERECEDEN FONKSIYONUN ULUNMASI... İKI ILINMEYENLI EŞITSIZLIK VE EŞITSIZLIK SISTEMININ KÜMESININ GRAFIK ÜZERINDE GÖSTERILMESI...7 ÖLÜM SONU SORULARI...30 İKINCI DERECEDEN DENKLEMLER, EŞITSIZLIKLER VE FONKSIYONLAR TESTI...33 3.ÖLÜM TRİGONOMETRİ DIKÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRIGONOMETRIK ORANLARI...38 30,45,60 LIK AÇILARIN TRIGONOMETRIK ORANLARI...40 TÜMLER AÇILARIN TRIGONOMETRIK ORANLARI ARASINDAKI İLIŞKI...4 IR DAR AÇININ TRIGONOMETRIK ORANLARINDAN IRI ELLI İKEN DIĞER TRIGONOMETRIK ORANLARINI ULMA...44 YÖNLÜ AÇILAR...46 IRIM ÇEMER...49 AÇI ÖLÇÜ IRIMLERI...50 AÇININ ESAS ÖLÇÜSÜNÜN ULUNMASI...54 TRIGONOMETRIK FONKSIYONLAR...55 SINÜS VE KOSINÜS FONKSIYONLARI...56 TANJANT VE KOTANJANT FONKSIYONLARI...59 SEKANT VE KOSEKANT FONKSIYONLARI...6 İKINCI, ÜÇÜNCÜ VE DÖRDÜNCÜ ÖLGEDEKI AÇILARIN TRIGONOMETRIK ORANLARI...66 IR AÇININ TRIGONOMETRIK FONKSIYONLAR ALTINDAKI GÖRÜNTÜSÜNÜ TRIGONOMETRIK DEĞER TALOSUNDA ULMA...7 TRIGONOMETRIK DEĞERLER TALOSU...77 TRIGONOMETRIK FONKSIYONLARIN PERIYOTLARI...73 TRIGONOMETRIK FONKSIYONLARIN GRAFIKLERI...75 TERS TRIGONOMETRIK FONKSIYONLAR...79 ÜÇGENDE TRIGONOMETRIK AĞINTILAR...83 SINÜS, KOSINÜS TEOREMLERI VE ÜÇGENIN ALANI...83 TOPLAM VE FARK FORMÜLLERI...95 İKI SAYININ TOPLAM VE FARKLARININ TRIGONOMETRIK ORANLARI...95 YARIM AÇI FORMÜLLERI...0 DÖNÜŞÜM VE TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERI...06 TRIGONOMETRIK DENKLEMLER... sin = a, cos = a, tan = a, cot = a IÇIMINDEKI TRIGONOMETRIK DENKLEMLER... a cos + b sin = c IÇIMINDEKI TRIGONOMETRIK DENKLEMLER...7 ÖLÜM SONU SORULARI...9 TRIGONOMETRI TESTI... 8
Matematiksel Semboller = < > N + N Z Z + Z - Q Q R [a, b] (a, b) [a, b) (a, b] A A - veya A / f: A b a a b (mod m) a Z / m n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Matematiksel Sembollerin Anlamları ve veya her, bütün (evrensel niceleyici) en az bir, bazı (varlıksal niceleyici) ise, gerektirme çift gerektirme (ancak ve ancak ) boş küme elemanı elemanı değil alt küme alt küme değil birleşim işlemi kesişim işlemi eşittir eşit değildir eşitsizlik (küçüktür) eşitsizlik (küçük veya eşittir) eşitsizlik (büyüktür) eşitsizlik (büyük veya eşittir) sayma sayıları kümesi doğal sayılar kümesi tam sayılar kümesi pozitif tam sayılar kümesi negatif tam sayılar kümesi rasyonel sayılar kümesi irrasyonel sayılar kümesi gerçek sayılar kümesi in mutlak değeri kapalı aralık açık aralık a dan kapalı, b den açık aralık a dan açık, b den kapalı aralık A kartezyen çarpım A fark A dan ye, f fonksiyonu b, a yı tam böler a denktir b, modül m denklik sınıfı m modülüne göre kalan sınıflarının kümesi karekök n inci dereceden kök 9
ORGANİZASYON ŞEMASI İçindekiler bölümünde iki saatlik matematik programına ait olan konular Kazanıma ait başlık EŞITSIZLIKLER...97 TRİGONOMETRİK DEĞERLER TALOSU Kazanıma ait keşfettirici çalışma Etkinlik Yandaki şekilde m uzunluğundaki bir merdiven, taban düz- Etkinlikte sorgulama basamağı Etkinlikte sonuç basamağı lemiyle 7 o lik açı yapacak şekilde duvara yaslanmıştır. Trigonometrik değerler tablosundan 7 o lik açının sinüs ve kosinüs değerlerini bulunuz. FF F ulduğunuz bu değerler yardımıyla duvarın yüksekliğini ve AC nu bulunuz. m 7 o A C Duvar İşlenişe ait çözümlü örnek Örnek sin 4 o + cos 4 o işleminin sonucunu bulalım. Trigonometrik değerler tablosundan yararlanarak sin 4 o = 0,669, cos 4 o = 0,935 bulunur. uradan, sin 4 o + cos 4 o = 0,669 + 0,935 =,586 olur. ilgi notu Tanım ve ilgi İki terimin küplerinin toplamı a 3 + b 3 = (a+b) (a ab+b ), iki terimin küplerinin farkı a 3 b 3 = (a b) (a +ab+b ) dir. İşlenişe ait pekiştirme soruları Uygulamalar. Aşağıda verilen değerleri trigonometri cetveli ya da hesap makinesi yardımıyla bulunuz. a) sin 47 b) tan 5 c) cos ( 47 ) Ünite ile ilgili sorular POLİNOMLAR TESTİ 5. y = y z = 5 ise y +z ifadesinin eşiti kaçtır? A) 0 ) 5 C)50 D)75 E)00 Motive edici çalışma Motivasyon Piri Reis'in trigonometri bilmeden böyle bir harita hazırlamasının mümkün olmadığı günümüz bilim insanlarının da dile getirdiği bir gerçektir. ugün bile bazı haritalardaki yanlışların Piri Reis'in haritasına bakılarak düzeltildiği bilinmektedir. İki saatlik matematik programına ait olan sayfalar İki saatlik matematik programına ait olan bölüm sonu soruları I. şekildeki geriye kalan parçanın hacmini veren cebirsel ifadeyi bulunuz. II. şekildeki yeşil, mavi ve gri bölgelerin hacimlerini veren cebirsel ifadeleri yazınız. 5. y = y z = 5 ise y +z ifadesinin eşiti kaçtır? A) 0 ) 5 C)50 D)75 E)00 0
. ÖLÜM POLİNOMLAR ALT ÖĞRENME ALANLARI Polinom kavramı Polinomlar kümesinde işlemler Çarpanlara ayırma Rasyonel ifadeler ve denklemler Ölçme ve değerlendirme soruları Eski çağlardan beri polinom kavramı konusunda çalışmalar yapıldığı ve polinomların çözümleri hususunda pek çok araştırmacının çalıştığı bilinmektedir. Örneğin, W.G.Horner (Hornır) 8. yüzyılda polinomların sayısal çözümleri ile ilgili kendi adıyla bilinen kuralı ortaya koymuştur. 9. yüzyılda. olzano polinom fonksiyonlarının her yerde sürekli olduğunu kanıtlamıştır. Günümüzde ise özellikle fonksiyonların yaklaşık değerlerini bulmada ve bazı diferansiyel denklemlerin çözümünde polinomları kullanmanın gerekliliği bilinmektedir.
POLİNOM KAVRAMI Motivasyon ir voleybol topuna yerden m yüksekten yukarıya doğru vuruluyor. Topun t sn. sonraki yerden yüksekliğini veren bağıntı t +9t+ olsun. Vurulduktan sn. sonra topun yerden yüksekliğini bulunuz. urada kullanılan modeli, ilköğretimde öğrendiğiniz cebirsel ifadeler ve lise. sınıfta öğrendiğiniz fonksiyon konusu ile ilişkilendiriniz. Etkinlik Aşağıda iki farklı grupta verilen fonksiyonların terimlerinin derecelerini inceleyiniz. I. GRUP II. GRUP f () = + 3 f () = 4 + + 6 f 3 () = 3 + 6 + 4 f 4 () = 3+ g () = + 3 g () = 3 4 + g 3 () = -4 3 - + 4 5 g 4 () = 7 + f 5 () = + 7 g 5 () = 3 3 +4 + ütün terimlerinin dereceleri doğal sayı olan fonksiyonlar hangi grupta bulunmaktadır? irinci grupta verilen fonksiyonların en büyük dereceli terimlerini, bu terimlerin katsayılarını ve sabit terimini bulunuz. FFu iki gruptaki fonksiyonları incelediğinizde grupları birbirinden ayıran temel özelliğin ne olabileceğini tartışınız.
Örnek Aşağıda verilen fonksiyonları inceleyelim. Terimlerinin dereceleri, doğal sayı olan fonksiyonları gösterelim. a) f() = 3 b) m() = + + c) p() = 4 + 8 ç) h() = + 5 a) f() in 3 teriminin derecesi dir. b) m() in, ve terimlerinin dereceleri sırasıyla, ve dir. c) p() in 4, 8 ve terimlerinin dereceleri sırasıyla 4, ve 0 dır. ç) h() in ve 5 terimlerinin dereceleri sırasıyla ve 0 dır. Terimlerinin dereceleri doğal sayı olan fonksiyonlar f() ve p() dir. Tanım ve ilgi n doğal sayı ve katsayılar gerçek sayıyı göstermek üzere, P() = a n n + a n- n- + a n- n- +... + a + a 0 ifadesine n. dereceden gerçek katsayılı polinom (çok terimli) denir. Gösterdiğimiz bu polinomda: a n : Polinomun başkatsayısıdır. a 0 : Polinomun sabit terimidir. n : Polinomun derecesidir; der[p()] = n biçiminde gösterilir. 8 3 5 3 En üyük Dereceli Terim Sabit Terim P() = 3 + 5 3 + 8 Polinomun aşkatsayısı Polinomun Derecesi : der[p()] 3
Örnek. P() = 4 3 + 3 7 polinomunun; a) derecesini, b) başkatsayısını, c) sabit terimini, ç) katsayılar toplamını bulalım. a) En büyük dereceli terim 4 3 olduğundan polinomun derecesi 3 olup, der[p()] = 3 tür. b) En büyük dereceli terimin katsayısı başkatsayı olduğundan P() polinomunun başkatsayısı 4 tür. c) P() polinomunun değişkeni olduğundan in olmadığı terim olan 7 sabit terimdir. ç) Katsayıları toplamı 4+ ( ) + 3 + ( 7) = dir. 6. P() = m ++ ifadesi m nin hangi tam sayı değerleri için polinom olacağını gösterelim. P() polinomunun terimlerinin dereceleri doğal sayı olacağından 6 m ifadesi bir doğal sayı olmalıdır. u durumda m nin alacağı tam sayı değerleri kümesi {,,3,6} dir. 3. P() = ( ) 3 polinomunun katsayılar toplamını ve sabit terimini bulalım. P() polinomunu P() = 3 3 + 3 biçiminde de yazabiliriz. u polinomun katsayıları toplamı + ( 3) + (+3) + ( ) = 0 ve sabit terimi dir. P() = ( ) 3 polinomunun katsayılar toplamı bir başka yoldan yerine yazılarak da bulunur. Katsayılar toplamı P() = ( ) 3 P() = 0 dır. enzer yaklaşımla sabit terim yerine 0 (sıfır) yazılarak bulunur. Sabit terim, P(0) = (0 ) 3 P(0) = olur. 4. P() = ( + ) polinomunda; a) Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamını, b) tek dereceli terimlerin katsayıları toplamını bulalım. P() = a 0 + a + a + a 3 3 + a 4 4 + a 5 5 +... polinomunda, = için P() = a 0 + a + a + a 3 + a 4 + a 5 +... = için P( ) = a 0 a + a a 3 + a 4 a 5 +... ifadeleri taraf tarafa toplanıp ikiye bölündüğünde çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı, taraf tarafa çıkarıp ikiye böldüğümüzde ise tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı bulunur. 4
P()+P( ) P() P( ) a) P()+P( ) b) P() P( ) = a 0 + a + a 4 +... = a + a 3 + a 5 +... uradan yararlanarak, = = (+) = = 0 bulunur. POLINOMLARLA FONKSIYONLAR ARASINDAKI İLIŞKI Her polinom gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı bir fonksiyondur. Her fonksiyon bir polinom değildir. Örnek P() = 3 + polinomu veriliyor. una göre; a) P() değerini ve b) P( ) polinomunu bulalım. Fonksiyonlarda olduğu gibi, a) Polinomda yerine değeri yazılırsa, P() = 3.. + = 9 bulunur. b) Polinomda yerine yazılırsa, P( ) = 3. ( ). ( ) + = 3 8 + 6 bulunur. Örnek P( + ) = + 3 + 5 polinomu veriliyor. una göre; a) P(5) değerini ve b) P() polinomunu bulalım. Fonksiyonlarda olduğu gibi, a) Polinomda yerine 3 yazılırsa, P(5) = 3 + 3.3 + 5 = 3 bulunur. b) + fonksiyonunun tersi olan, polinomda yerine yazılırsa, P() = ( ) + 3. ( ) + 5 P() = + 3 bulunur. 5
Uygulamalar. Aşağıdaki tabloyu inceleyip boşlukları uygun şekilde doldurunuz. Fonksiyon Polinom mu? (E/H) Polinomun derecesi Polinomun aşkatsayısı Polinomun Sabit Terimi f() = 4 3 + 3 + E 3 4 f() = 4 + 3 H f() = + 3 + f() = 3 3 5 3 f() = 4+5 f() = 9 7 f() = 3 + 3 f() = 4 8 m m. P() = 4 + 3 5 m 3 +3 ifadesi m nin hangi tam sayı değerleri için bir polinom belirtir? 3. Derecesi 4, başkatsayısı 3 ve sabit terimi 6 olan üç terimli beş tane polinom yazınız. 4. P() = (a + ) c + 7 b + 3 ifadesi başkatsayısı 3, sabit terimi olan beşinci dereceden bir polinom olduğuna göre a.b c işleminin sonucunu bulunuz. 5. P() = ( + ) 3 polinomunun katsayılar toplamını ve sabit terimini bulunuz. 6. P() = ( 3) 7 + a + 3 polinomunun katsayılar toplamı 7 ise a değerini bulunuz. 7. P() = 3 (a+5) a polinomunun katsayılar toplamı 0 ise bu polinomun sabit terimini bulunuz. 8. P() = ( + 3 ) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamını bulunuz. 9. P( ) = 5 8 polinomu veriliyor. una göre; a) P( 3) değerini ve b) P() polinomunu bulunuz. 6
René Descartes (Dekart),(596-650) Descartes matematiğe önemli katkılarda bulunmuştur. Cebirin geometriye uygulanması üzerine çalışmıştır. "Kartezyen koordinat kavramı"nı ortaya koymuştur. Ömer Hayyam (040-) Parabol ve çemberi kestirerek 3. dereceden bir polinom denkleminin çözümü için geometrik bir yöntem gelişmiştir. SAİT POLİNOM VE SIFIR POLİNOMU Etkinlik Aşağıda P(), Q() ve R() polinomları için verilen boşlukları örneklere uygun biçimde doldurunuz. P( ) = ( ) + ( ) = P() = + P() =... P( 3) =... P(0) =... Q( ) = 5 Q() = 5 Q() =... Q( 3) =... Q(0) =... R( ) = 0 R() = 0 R() =... R( 3) =... R(0) =... FFDeğişen değerleri için değerleri değişmeyen polinomlar hangileridir? u polinomların değerlerinin değişmemesinin katsayılarla ilişkisini tartışınız. 7
Örnek P() = 0 polinomunda P() + P() + P(3) +... + P(0) değerini bulalım. P() = 0 polinomunda P() = 0, P() = 0,..., P(0) = 0 değerleri bulunur. u durumda P() + P() +... + P(0) = 0+0+...+0 = 00 olur. 0 tane Tanım ve ilgi Sabit terimi dışında bütün katsayıları 0 olan polinoma sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi 0 dır. Sabit terimi dahil, bütün katsayıları 0 olan polinoma sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesinden söz edilemez. Örnek. P() = (a ) + (b + ) + 7 polinomu sabit polinom ise a ve b değerlerini bulalım. Sabit polinom olabilmesi için sabit terimi dışında bütün katsayıları 0 olacağından, a = 0 ve b + = 0 olmalıdır. uradan, a = ve b = bulunur.. P() = (a b + ) 3 (a c) + b 3 polinomu sıfır polinom ise a, b ve c değerlerini bulalım. P() sıfır polinom ise sabit terim dahil bütün katsayıları sıfırdır. u durumda, a b + = 0, a + c = 0 ve b 3 = 0 olur. uradan, b = 3, a = ve c = değerleri bulunur. Etkinlik İKİ POLİNOMUN EŞİTLİĞİ Yandaki A ve kümelerini kullanarak A ve kümelerinin elemanlarını karşılaştırınız. A kümesinin bütün elemanlarını toplayarak P() polinomunu yazınız. A. 3 6. 5. 4. 5 kümesinin bütün elemanlarını toplayarak Q() polinomunu yazınız.. 4. 3 6 FFP() ve Q() polinomlarını karşılaştırınız. u iki polinom hakkında ne söylenebilir? Sizce bu iki polinom birbirinden farklı mıdır? 8
Örnek Aşağıda verilen karşılıklı eşlemelerde, harflerin yerine gelecek sayı değerlerini bulalım. P() = 4 6 + a P() = 4 6 + Q() = 7 + c + d Q() = b + 3 R() = e + f + g R() = 5 + + 4 Verilen eşlemelerde polinomlar eşit olduğundan a =, b = 7, c = 3, d =, e = 5, f = ve g = 4 bulunur. Tanım ve ilgi P() = a 0 +a +a +... + a n n + a n n ve Q() = b 0 +b +b +... +b m m + b m m polinomları için, P() = Q() m = n ve a 0 = b 0, a = b,..., a n = b m olmalıdır. Örnek. P() = 3 3 4 + 5 ve Q() = (a+) 3 (a b) + ( c+) a+ d polinomları için P() = Q() olduğuna göre a, b, c, d değerlerini bulalım. P() = Q() ise aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır. uradan, a + = 3, a + b= 4, c+=5 ve a + d = eşitliklerinden, a=, b=, c= 3 ve d= bulunur.. P() = (m+) 3 (n ) + 7 ve Q() = a + 5 b polinomları eşit olduğuna göre; m + n + a + b değerini bulalım. m + = 0, a =, n + = 5 ve b = 7 eşitliklerinden, m =, a =, n = ve b = 7 bulunur. uradan m + n + a + b = olur. 9
Uygulamalar. Aşağıdaki polinomların sabit polinom olduğu bilindiğine göre a, b,c değerlerini bulunuz. a) P() = (a ) + ( b + 4) 4 b) Q() = (a + ) 3 + (3a b) + 3 c) R() = (a b + 4) 3 (a + b + 6) 3(c + 5). Aşağıdaki polinomları sıfır polinom olduğu bilindiğine göre a,b,c ve d değerlerini bulunuz. a) P() = (a 4) + (3b + 9) + c 8 b) Q() = (a 4b + ) 3 (a + b +7) a. b + c c) R() = (a + b) 4 + (b c) 3 (c + 3d) d+ 3. P() = (m 8) + (n + 3) m. n + polinomu sabit polinom olduğuna göre P(00) kaçtır? 4. P() = (m ) 3 + (4 + n) 8 + p ve Q() = 7 3 3 + polinomları eşit olduğuna göre m + n p değeri kaçtır? 5. P() = a 3 4 + 5 3 3 + b ve Q() = 3 + 7 c + d polinomları eşit olduğuna göre a + b + c + d değeri kaçtır? 6. P() = ( + ) ve Q() = 4 + a 3 + polinomları eşit olduğuna göre a değeri kaçtır? 7. P( ) = 3 + + 3 ise P() polinomunun sabit terimini bulunuz. POLİNOM KÜMESİNDE İŞLEMLER Motivasyon ir döşeme kumaşı fabrikasında spor otomobiller için üretilen metre kumaşın maliyeti + 5 TL dir. Otomobil firmaları metre kumaşı bu fabrikadan 3 + + 9 TL ye satın almaktadır. una göre 0 m kumaş satan bu fabrikanın satıştan elde ettiği kâr yüzde kaçtır? Problemi çözerken cebirsel ifadeler için dört işemin nasıl kullanıldığını düşünerek problemi çözünüz. 0
POLİNOMLAR KÜMESİNDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ Etkinlik Tablodaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz. Katsayılar Polinomlar 3 lü terimin katsayısı P() = +-3 0 li terimin katsayısı li terimin katsayısı Sabit terim Q() = 3-3 +5 3 Aynı dereceli terimlerin katsayıları toplamı + + + + R()= 3 + + + En alt satırda elde ettiğimiz katsayıları yukarıdaki kutulara örnekteki gibi yazınız. FFP(), Q() ve R() polinomlarını karşılaştırınız. FFenzer şekilde P() ve Q() polinomlarının farkını bulmaya çalışınız. Örnek P() = 3 3 + 5 3 ve Q() = 3 + 4 + 3 + 6 polinomları için, P() + Q() ve P() Q() işlemlerini yapalım. P() + Q() = (3 3 + 5 3) + ( 3 + 4 + 3 + 6) = (3 3 3 ) + ( + 4 ) + (5 + 3) + ( 3 + 6) = (3 ) 3 + ( + 4) + (5 + 3) + ( 3 + 6) = 3 + + 8 + 3 şeklinde toplanır. u iki polinomun toplamında, dereceleri aynı olan terimlerin katsayılarının toplandığına dikkat ediniz. enzer yaklaşımla, P() Q() = (3 3 + 5 3) ( 3 + 4 + 3 + 6) = 3 3 + 5 3 + 3 4 3 6 = (3 + ) 3 + ( 4) + (5 3) + ( 3 6) = 4 3 6 + 9 bulunur. u iki polinomun farkı alındığında, dereceleri aynı olan terimlerin katsayılarının farkının alındığına dikkat ediniz.
Örnek P() = +4 ve Q() = 3+ polinomları için P(+) + Q( ) işlemini yapalım. P(+) = (+) (+) + 4, Q( ) = 3 ( ) + = + + 4 = 3 + 4 P(+) + Q( ) = + + 4 3 + 4 = + 8 bulunur. Tanım ve ilgi Polinomlarda toplama işlemi yapılırken aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır, aynı dereceli terime katsayı olarak yazılır. Polinomlarda çıkarma işlemi yapılırken aynı dereceli terimlerin katsayılarının farkı alınır, aynı dereceli terime katsayı olarak yazılır. Örnek. P() = 6 + 3 3 4 + 5 ve Q() = 5 + 4 3 + 7 8 + polinomları için, P() + Q() ve P() Q() polinomlarını bulalım. P() + Q() = ( 6 + 3 3 4 + 5) + ( 5 + 4 3 + 7 8 + ) = ( + 0) 6 + (0 + ) 5 + (0 + 0) 4 + (3 + 4) 3 + ( 4 + 7) + (0 8) + (5 + ) = 6 + 5 + 7 3 + 3 8 + 6 bulunur. u işlemde P() ve Q() polinomlarının bazı terimlerinin katsayılarının sıfır olduğuna dikkat ediniz. P() Q() = ( 6 + 3 3 4 + 5) ( 5 + 4 3 + 7 8 + ) = 6 + 3 3 4 + 5 5 4 3 7 + 8 = 6 5 3 + 8 + 4 bulunur. der[ P() ] = 6 ve der[ Q() ] = 5 iken der[ P() + Q() ] = 6 ve der[ P() Q() ] = 6 olduğu görülür. Dereceleri farklı olan iki polinomun toplamının ve farkının derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir.
. P() = + 3 4 ve Q() = + 6 + 0 polinomlarının toplamının ve farkının derecelerini bulalım. P() + Q() = ( + 3 4) + ( + 6 + 0) 3. der[ P() ] = 6 ve der[ Q() ] = 7 ise der[ P() + Q() ] nin kaç olacağını bulalım. der[ P() ] = 6 ve der[ Q() ] = 7 ise P() + Q() polinomunun derecesi P() ve Q() polinomlarının derecesinden büyük olanı ile aynıdır. u durumda der[ P() + Q() ] = 7 bulunur. 4. m N olmak üzere der [ P() ] = 3m + 4 ve der [ Q() ] = m + veriliyor. der[ P() + Q() ] = 9 ise der[ Q() ] değerini bulalım. m bir doğal sayı olduğuna göre, 3m + 4 > m+ dir. u durumda der[ P() + Q() ] = 3m + 4 olur. 3m + 4 = 9 ise m = 5 bulunur. der[ Q() ] = dir. 5. P() = a 3 + b + 4 ve Q() = 3 4 + c + d polinomları veriliyor. P() + Q() = 4 3 8 + 6 olduğuna göre a + b + c + d değerini bulalım. = + 9 + 6 P() Q() = ( + 3 4) ( + 6 + 0) Önce P() + Q() toplamını bulalım. P() + Q() = a 3 + b + 4 + 3 4 + c + d = (a + ) 3 + (b 4) + (4 + c) + ( + d) aynı zamanda, P() + Q() = 4 3 8 + 6 olduğuna göre bu iki polinom eşitliğinden a + = 4, b 4 = 8, c + 4 = 6 ve + d = a =, b = 4, c = ve d = bulunur. uradan, a + b + c + d = + ( 4) + + ( ) = bulunur. 6. P() = m + n olmak üzere, P( ) + P( + ) = 6 + 4 eşitliğini sağlayan P() polinomunu bulalım. P() = m+n ise, P( ) = m( ) +n = m m+n ve P(+) = m(+) +n = m+m+n bulunur. P( )+P(+) = m m+n+m+m+n = m+n elde edilir. İki polinomun eşitliğinden 6+4 = m+n m = 3 ve n = olur. Elde edilen bu değerleri polinomda yerine yazarak P() = 3+ bulunur. = 3 4 bulunur. Dereceleri aynı olan iki polinomun toplamının ve farkının derecesi bulunurken önce işlemler yapılmalı, daha sonra bunların dereceleri yazılmalıdır. u durumda, der[ P() + Q() ] = ve der[ P() Q() ] = olur. 3
POLİNOMLARIN TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE ÖZELLİKLERİ P() = a 0 + a + a +... + a n n +... Q() = b 0 + b + b +... + b n n +... R() = c 0 + c + c +... + c n n +... T() = 0 şeklindeki polinomların toplama işlemine göre özelliklerini inceleyelim.. Kapalılık Özelliği P() ve Q() birer polinom iken P() + Q() = ( a 0 + b 0 ) + ( a + b )... + ( a n + b n ) n +... iki polinomun toplamı da polinom olduğu için polinomlar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.. Değişme Özelliği P() + Q() = ( a 0 + b 0 ) + ( a + b ) +... + ( a n + b n ) n +... Q() + P() = ( b 0 + a 0 ) + ( b + a ) +... + ( b n + a n ) n +... eşitliklerinden, P() + Q() = Q() + P() olduğu görülür. u durumda polinomlar kümesinin toplama işlemine göre değişme özelliği vardır. 3. irleşme Özelliği [ P() + Q() ] + R() = [ ( a 0 + b 0 ) + c 0 ] + [ ( a + b ) + c ] +... + [( a n + b n ) + c n ] n +... P() + [ Q() + R() ] = [ a 0 + ( b 0 + c 0 ) ] + [ a + ( b + c ) ] +...+ [ a n + (b n + c n ) ] n +... eşitliklerinden [ P() + Q() ] + R() = P() + [ Q() + R() ] olduğu görülür. u durumda polinomlar kümesinin toplama işlemine göre birleşme özelliği vardır. 4. irim Eleman P() + T() = ( a 0 + a +... + a n n +... ) + 0 = a 0 + a +... + a n n +... = P() T() + P() = P () + T() = P() olduğundan T() = 0 polinomu toplama işleminin birim elemanıdır. 5. Ters Eleman P() + [ P()] = ( a 0 + a +... + a n n +... ) + ( a 0 a... a n n...) = ( a 0 a 0 ) + ( a a ) +... + (a n a n ) n = 0 P() + [ P()] = [ P()] + P() = 0 olduğundan P() polinomu, P() polinomunun toplama işlemine göre tersidir. 4
Uygulamalar. P() = 3 4 3 + 5 + 6 7 Q() = 3 + + + 4 R() = 3 4 4 + 6 T() = 6 polinomları için aşağıdaki işlemleri yaparak derecelerini bulunuz. a) P() + Q() b) Q () + R() c) P() + R() ç) P() Q() d) Q() + T() e) P() R(). P(), Q() ve R() polinomları için, der[p()] = 5, der[q()] = 4 ve der[r()] = 6 olduğuna göre aşağıdaki işlemleri yapınız. a) der[p() + Q()] b) der[p( + )] c) der[p()] + der [Q()] ç) der[p( + ) + Q( )] d) der[p() R()] e) der[p(3 ) + ] f) der[p()] der [R()] g) (der[p()]) 3. P() ve Q() polinomları için, der[p() + Q()] = 0 ve der[q()] = 7 ise der[p()] kaçtır? 4. P() = 3 + a + b ve Q() = c + 6 + d polinomları veriliyor. P() + Q() = 5 + 4 ise a + b + c + d kaçtır? 5. P() = a + b olduğuna göre, P ( + ) + P ( ) = 4 ise P() polinomunun katsayıları toplamını bulunuz. 6. m N ve P() ve Q() polinom olmak üzere der[ P() ] = 7m + 4 ve der[q()] = 3m + dir. der[p() + Q()] = 3 ise der[q()] kaçtır? 7. m N olmak üzere der[ P() ] = m 3 ve der[q()] = 5m + dir. P() ikinci dereceden bir polinomdur. P() Q() polinomunun derdecesi 6 ise m değerini bulunuz. 8. P( + ) + P( ) = + 4 + 8 ise P() polinomunun katsayılar toplamını bulunuz. 9. P() polinomunun derecesi 5 olduğuna göre +++P (3 4) polinomunun derecesi kaçtır? 0. der[ P() ] = 3 ve der[ Q() ] = ise der[ 8. P(5 ) 3 Q ( 4 )] kaçtır? 5
POLİNOMLARDA ÇARPMA İŞLEMİ Etkinlik D A C ACD dikdörtgensel bölgesinde R olmak üzere, A = 3 + birim C = + birim olarak veriliyor. Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları bir polinom belirtir mi? Neden? Dikdörtgensel bölgenin alanını bulunuz. F F Alanı veren matematiksel ifade bir polinom belirtir mi? Tartışınız. Örnek. A H C Şekilde AC üçgeninde, [AH] [C] AH = 4 birim C = 3 birim olduğuna göre, AC üçgensel bölgesinin alanını bulalım. Üçgensel bölgenin alanı taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin uzunluğunun çarpımının yarısıdır. una göre, A(A C) = 3.4 = 3 = 6 3 olur. urada polinomların katsayılarının birbirleriyle çarpıldığına ve değişkenlerin üslerinin toplandığına dikkat ediniz.. oyutları ( + 3) birim, ( + ) birim ve 5 birim olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutunun hacmini veren polinomu bulalım. oyutları a, b, ve c birim olan dikdörtgenler prizmasının hacmi V = a. b. c ifadesiyle bulunduğundan istenen hacim, V = ( + 3 ). ( + ). 5 V = [ ( + ) + 3 ( + )]. 5 V = [ + + 3 + 6 ]. 5 V = ( + 5 + 6 ). 5 V = 5 + 5 + 30 birim olur. 6
Tanım ve ilgi P(). Q() polinomu, P() polinomunun her terimi Q() polinomunun her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak elde edilen terimlerin toplamıdır. Örnek. P() = 3 + polinomu ile Q() = 3 + polinomunun çarpımını bulup çarpım polinomunun derecesini bulalım. P(). Q() = ( 3 + ). ( 3 + ) = ( 3 + ) 3 ( 3 + ) + ( 3 + ) = 6 3 + 4 9 6 + 3 + = 6 3 5 3 + bulunur. uradan, der [ P() ] = ve der[ Q() ] = olduğundan der[ P(). Q() ] = + = 3 olur. una göre der [ P(). Q() ] = der [ P() ] + der [ Q() ] dir.. ( 4 + 3 3 + 7 ). ( 5 + 4 4 3 3 + 7 + ) çarpımı yapıldığında 4 lü terimin katsayısını bulalım. ( 4 + 3 3 + 7 ). ( 5 + 4 4 3 3 + 7 + ) Verilen çarpımda 4 lü terimi 4 ile 3 ile 7 3 ile 7 ile 3 3 ile 4 4 terimlerinin çarpımlarının toplamından elde edilir. 4. + 3 ( 7) + ( 3 ). + 7. ( 3 3 ) + ( ). 4 4 4 4 4 6 4 4 4 4 = 44 4 olur. u durumda 4 lü terimin katsayısı 44 tür. 7
3. P() = 3 + + ve Q() = 3 + polinomları için aşağıdaki polinomların derecelerini bulalım. a) Q () b) P( ) c). P() ç) 3 P() + 3. Q( 4 ) a) Q () = ( 3 + ) = 6 + 4 4 + 4 dir. urada der[q ()] = 6 dır. der [A()] = m iken der [A n ()] = m. n olur. b) P() polinomunda yerine yazarsak, P( ) = 6 4 + + polinomu elde edilir. urada, der[p( )] = 6 olduğu görülür. der[a()] = m iken der [A( n )] = m. n olur. c). P() =. ( 3 + + ) = 5 4 + 3 + dir. u durumda, der[. P()] = der[ ] + der[p()] = + 3 = 5 olur. ç) 3. P() + 3. Q( 4 ) polinomunun derecesi, 3.P() ve 3. Q( 4 ) polinomlarının derecelerinden en büyük olanı ile aynıdır. der[ 3 P() ] = der [ 3 ] + der[p()] = 3 + 3 = 6 der[ 3. Q( 4 ) ] = der[ 3 ] + der[q( 4 )] = 0 + 4. 3 = u durumda, der[ 3. P() + 3. Q( 4 ) ] = olur. 4. P() = + ve Q ( + ) = 4 + 3 veriliyor. P( 3) + Q( ) polinomunu bulalım. yerine 3 yazarak P( 3) polinomunu bulalım. P( 3) = ( 3) + = 4 + 0 dur. yerine + in tersi olan Q() = 4. ( ) + 3 = + olur. uradan, yazarak önce Q() polinomunu bulalım. yerine yazarak Q( ) = ( )+ = şeklinde bulunur. Sonuç olarak, P( 3) + Q( ) = 4 + 0 + = 4 0 + 9 olur. POLİNOMLARIN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE ÖZELLİKLERİ Örnek P() = + 3,Q() = +,R() = 3,H() = ve T() = 0 polinomları veriliyor. u polinomlar yardımıyla çarpma işleminin özelliklerini inceleyelim.. Kapalılık Özelliği : P() ve Q() birer polinom iken, P(). Q() = ( + 3 ) ( + ) = 3 + 4 + 3 çarpımı da bir polinom olduğundan polinomlar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır. 8
. Değişme Özelliği Q(). R() = ( + ). 3 = 5 + 4 R(). Q() = 3 ( + ) = 5 + 4 Q(). R() = R(). Q() olduğundan polinomlar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır. 3. irleşme Özelliği [ P(). Q() ]. R() = [ ( + 3) ( + ) ]. 3 = ( 3 + 4 + 3) 3 = 6 + 4 5 + 3 4 P(). [ Q(). R() ] = ( + 3). [ ( + ). 3 ] = ( + 3) ( 5 + 4 ) = 6 + 4 5 + 3 4 [ P(). Q() ]. R() = P (). [ Q(). R() ] olduğundan polinomlar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. 4. Dağılma Özelliği P(). [ R() + H () ] = ( + 3 ). ( 3 + ) = 4 + 3 3 + + 3 P(). R() + P(). H () = ( + 3 ). 3 + ( + 3 ). = 4 + 3 3 + + 3 P(). [ R() + H() ] = P(). R() + P(). H() P(). [ R() H() ] = P(). R() P(). H() olduğundan polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. 5. Etkisiz Eleman Q(). H() = ( + ). = + = Q() P(). H() = ( + 3 ). = + 3 = P() işlemlerinden görüldüğü üzere, H() = polinomu, polinomlar kümesinde çarpma işleminin etkisiz elemanıdır. 6. Yutan Eleman P(). T() = ( + 3 ). 0 = 0 Q(). T() = ( + ). 0 = 0 olduğundan T() = 0 polinomu, polinomlar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanıdır. FFPolinomlar kümesinde çarpma işleminin ters elemanının olup olmadığını araştırınız. 9
Uygulamalar. D C Şekildeki silindirin yarıçap uzunluğu ( + ) birim, yüksekliği ( ) birim olduğuna göre silindirin hacmini veren polinomu yazınız. A 0. Aşağıdaki işlemleri yapınız. a) ( ). ( + ) b) ( + ) 3 c) ( 3 ). ( + ) ç) ( + ) 3 3 ( + ) + 3( + ) d) (3 ) e) ( + 6 + ). ( 5 ) f) ( + 4 ) + 3 ( ). ( + 3 ) g) ( 8 + 3 ). ( 3 ) 3. ( 3 m + 4 + ). ( 4 + 8 + ) çarpımı yapıldığında 3 lü terimin katsayısı 0 ise m kaçtır? 4. P() = 3 + + + 4, Q() = 4 3 + 4 3 + ve R() = + polinomları veriliyor. una göre aşağıdaki polinomların derecelerini bulunuz. a) P(). b) P () c) P [ Q() ] ç) P(). Q() d) Q( 3 ) e) P ( 3 ) f) P(). Q() R() g) R ( 4 ) ğ) Q 3 ( ). R () h) P(). Q(). R() ı) P 3 ().Q( ) i) R [ P() ] + P [ R() ] 5. der[ P() ] = 4 ve der[.p (). Q 3 () ] = 9 ise der [ Q() ] kaçtır? 6. P() = + 3 ve Q() = ise aşağıdaki polinomları bulunuz. a) P( ) + Q( + ) b) P( + 3) + Q( + 4) c) P( ) Q( 3) ç) P( +) Q( ) 7. A C 3 E Yanda ACD dikdörtgeni ve DEF dik üçgeni verilmiştir. D una göre, taralı alanı veren polinomu yazınız. + F 30
POLİNOMLARDA ÖLME İŞLEMİ Etkinlik A C D Şekildeki dikdörtgensel bölge biçimindeki televizyonun ön yüzeyinin alanı ( + 5 + 6) birim kare ve A = ( + 3) birim olduğuna göre, Dikdörtgensel bölgenin D kenarının uzunluğu + 5 + 6 polinomunun hangi çarpanıdır? u çarpanı bölme işlemi yaparak bulunuz. FF ölme işleminde bölünen polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden büyük veya eşit olduğunda bölüm ve kalan da birer polinomdur. Sizce iki polinomun bölümünden elde edilen bölüm her zaman bir polinom olur mu? Tartışınız. Örnek. P() = 3 + 3 + 6 polinomunun Q() = + polinomuna bölündüğünde elde edilen bölüm ve kalan polinomlarını bulalım. ölme işlemine başlamadan önce P() ve Q() polinomlarının terimlerini derecelerine göre büyükten küçüğe doğru sıralamalıyız. 3 +3 +6 + 3 +3 +6 + 3 + +6 Kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olduğundan bölme işlemi aynı yaklaşımla, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam ettirilir. Görüldüğü gibi, ölme işleminde Q() polinomunun en büyük dereceli terimi olan i, ile çarparsak P() polinomunun en büyük dereceli terimi olan 3 terimini elde ederiz. ulunan ile + terimi çarpılarak bölünen polinomun altına yazılarak birbirinden çıkarılır. 3 +3 +6 + 3 + +6 + 4 4 +8 9 ++4 3 + 3 + 6 = ( + ). ( + + 4) 9 olur. bölünen bölen bölüm kalan urada bölen polinomun birinci dereceden olması nedeniyle kalanın sabit polinom olduğuna dikkat ediniz. 3
Tanım ve ilgi P() polinomunu sıfır polinomdan farklı bir Q() polinomuna böldüğümüzde bölüm polinomu (), kalan polinomu da K() iken, P() A() P() = A(). () + K() ve K() () der [ K() ] < der [ A() ] dir. Örnek.P() = 3 + 4 polinomunun Q() = + + 3 ile bölümünden elde edilen bölüm polinomunu ve derecesini bulalım. 3 +4 ++3 3 + +3 4+4 3 3+7 Öyleyse P() Q() urada bölüm polinomu () =, kalan polinomu K() = 3 + 7 olarak bulunur. der[ P() ] = 3 ve der[ Q() ] = iken, der[ () ] = der[ P() ] der[ Q() ] = 3 = olduğu görülür. polinomunun bölüm polinomu () ise der[()] = der[p()] der[q()] olur.. P() Q() () K() Yandaki bölme işleminde, der[ P(). Q() ] = ve der[ () ] = ise der[ Q() ] i bulalım. der[ P(). Q() ] = der[ P() ] + der[ Q() ] = der[ () ] = der[ P() ] der[ Q() ] = denklemlerinin ortak çözümünden, der[ P() ] + der[ Q() ] = der[ P() ] der[ Q() ] =. der[ P() ] = 4 ise der[ P() ] = 7 ve der[ Q() ] = 5 bulunur. 3. ir P() polinomunun Q() = + 3 ile bölümünden elde edilen bölüm polinomu () =, kalan polinomu K() = 4 ise P() polinomunu bulalım. P() = Q(). () + K() olduğundan, P() ( + 3 ). ( ) + 4 işlemi yapıldığında P() = 3 + 5 5 + 5 bulunur. 3
Uygulamalar. Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız. a) 3 5 +3+ + b) 4 7+3 + c) 5 4 5+ +4. P() polinomu için, ( ). P() = 3 + 4 6 eşitliği veriliyor. una göre P() değerini bulunuz. 3. 4 +3 Q() Yanda verilen bölme işlemine göre, Q() polinomunu bulunuz. + 4. P(), Q() ve R() polinom olmak üzere, der[ P() ] = 4, der[ Q() ] = 3 ve der[ R() ] = dir. una göre aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. a) der [ P() Q() ] b) der [ P ().R 3 () Q() ] c) der [ Q() R() ] ç) der [.Q ( 3 ) P() ] d) der P().Q() R() e) der [ 3.P()+Q( ) R() ] 5. ( + ). P() = 3 4 + + m eşitliğinde P() polinomunu bulunuz. 6. P() ve Q() polinomları için, der [ P( ). Q 3 () ] = ve der [ P 3 () Q() ] = 7 olduğuna göre der [ P() ] değerini bulunuz. 7.. P() = 4 3 6 eşitliğini sağlayan P() polinomunun ile bölümünden elde edilen bölüm polinomunu bulunuz. 8. ( ) ( + ). P() = 4 + a + b eşitliğinde P() polinomunu bulunuz. 9. P() = 3 + 3 + a + 5 polinomunun Q() = + 3 + polinomuna bölümünden kalan + 5 ise a değerini bulunuz. 33
P() POLİNOMUNUN Q() POLİNOMUNA ÖLÜMÜNDEN KALANI ULMA P() POLİNOMUNUN a + b İLE ÖLÜMÜNDEN KALANI ULMA Etkinlik P() = 3 4 + 7 ve Q() = polinomları için aşağıda verilen bölme işleminde kalan polinomu bulunuz. 3 4 +7 () K u bölme işleminden yararlanarak 3 4 + 7 eşitliğini ( ), () ve K cinsinden yazınız. u eşitlikte K değerini bulmak için yerine hangi sayının yazılabileceğini tartışınız. ölme işlemi yaparak bulduğunuz K değeri ile değer vererek bulduğunuz K değerini karşılaştırınız. FFir P() polinomunun a + b polinomuna bölümünden elde edilen kalanı bölme işlemi yapmadan bulabilmek için neler yapılması gerektiğini tartışınız. Örnek P() = 3 3 + polinomunun + ile bölümünden kalanı bölme işlemi yapmadan bulalım. P() polinomunun + ile bölümünden bölüm () ve kalan K olsun. 3 3 + = ( + ).() + K yazılır. urada ( + ).() ifadesini sıfır yapan değeri yerine yazıldığında, ( ) 3 3.( ) +.( ) = ( + ).( ) + K 3 = 0 + K olur. u eşitlikten kalan K = 7 olarak bulunur. Tanım ve ilgi P() polinomunun a + b polinomu ile bölümünden kalanı bulmak için, P() = (a + b) () + K eşitliği yazılır. u eşitlikte a + b = 0 ise = b değeri için, a P ( b a ) = K değeri elde edilir. urada, bölen polinom birinci dereceden bir polinom olduğundan kalan polinomun sabit polinom olduğuna dikkat ediniz. 34
Örnek.P() = 3 a + b + polinomunun ile bölümünden kalan 3 ve + ile bölümünden kalan 4 ise a ve b değerlerini bulalım. P() polinomunun ile bölümünden kalan 3 ise P() = 3, P() polinomunun + ile bölümünden kalan 4 ise P( ) = 4 eşitlikleri elde edilir. u eşitlikleri P() polinomunda yerine yazdığımızda P() = a + b + = 3 ise a + b = 0 ve P( ) = 8 4a b + = 4 ise a b = 5 olur. uradan a = 5 3 ve b= 5 3 tür.. P() ve Q() polinomunun + ile bölümünden kalanlar sırasıyla 3 ve 4 tür.. P 3 () + a. Q() polinomunun + ile bölümünden kalan 0 ise a R değerini bulalım. urada P( ) = 3 ve Q( ) = 4 tür.. P 3 () + a. Q() = ( + ). () 0 ise + = 0 için = değeri eşitlikte yerine yazıldığında,. P 3 ( ) + a. Q( ) = 0 olur.. ( 3) 3 + a. 4 = 0 54 + 4a = 0 4a = 64 a = 6 olarak bulunur. 3. P () = 3 + + 3 + m polinomunun çarpanlarından biri ise m değerini bulalım. P() polinomunun çarpanlarından biri ise P() polinomu ile tam bölünüyor demektir. P() = ( ). () + 0 dır. Öyleyse P() = 0 dır. P() = 3 +. + 3. + m = 0 eşitliğinden 6 + m = 0 ise m = 6 olarak bulunur. 4. P() = 3 + + m + n polinomu veriliyor. P( + ) polinomunun ile bölümünden kalan 8 ve P(3) polinomunun ile bölümünden kalan ise m ve n değerlerini bulalım. P( + ) = ( ). () + 8 ise = için P() = 8 ve P(3) =. C() + ise = 0 için P(0) = değerleri bulunur. u değerleri P() polinomunda yerine yazdığımızda, P(0) = 0 3 +. 0 + m. 0 + n = ise n = olur. P() = 3 +. + m + n = 8 eşitliğinde n = yazılarak m = 0 değeri bulunur. 35
Uygulamalar. + 3 birim uzunluğundaki bir tel + birim uzunluğunda eşit parçalara ayrıldığında kalan parçanın uzunluğu kaç birimdir?. Aşağıda her bir şıkta verilen P() polinomunun Q() polinomuna bölümünden kalanı bölme işlemi yapmadan bulunuz. a) P() = 4 3 + 6 b) P() = 4 6 + Q() = + Q() = c) P() = 3 + 4 + ç) P() = 7 3 + 9 Q() = + 3 Q() = 3 + d) P() = 7 + e) P() = 4 + + Q() = Q() = 3. P() = 4 + + a + 4 polinomunun ile bölümünden kalan 6 ise a değerini bulunuz. 4. P() = a 3 + 3 polinomunun çarpanlarından biri + ise a değerini bulunuz. 5. P() = 3 4 + polinomu veriliyor. P( ) polinomunun + ile bölümünden kalan kaçtır? 6. P( ) = 3 + a + 6 polinomu veriliyor. P() polinomunun + ile bölümünden kalan 0 ise a kaçtır? 7. ( + ). P() = 3 + a + 4 eşitliğindeki P() polinomunun + ile bölümünden kalanı bulunuz. 8. P() polinomunun ile bölümünden kalan 6 ve Q( ) polinomunun + ile bölümünden kalan 4 tür. P(4 0) Q( 6)+ = 3 + 6 + a ise a kaçtır? 9. P() ve Q() polinomlarının + 4 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 3 ve 4 tür.. P () +. Q() polinomunun + 4 ile bölümünden kalanı bulunuz. 0. P() + P() = 6 + 8 eşitliğinde P() bir polinomdur. P() polinomunun ile bölümünden kalanı bulunuz.. P() = 3 m + 4 polinomunun Q() ile bölümünden elde edilen bölüm + 4 ve kalan ise m kaçtır?.. P() + ( + ). Q() = 3 + m + n eşitliği veriliyor. Q() polinomunun ile bölümünden kalan ve P() in çarpanlarından biri + ise m ve n değerlerini bulunuz. 3. + 8 + m birim uzunluğundaki bir telin + 3 birim uzunluğunda eşit parçalara ayrıldığında kalan parçanın uzunluğu 8 birim ise m kaçtır? 36
P() POLİNOMUNUN n a İLE ÖLÜMÜNDEN KALANI ULMA Etkinlik P() = 3 4 + 5 polinomu ile Q() = polinomu veriliyor. P() polinomunu, Q() polinomuna böldüğümüzde kalan polinomun derecesi en fazla kaçıncı dereceden bir polinomdur? Aşağıdaki bölme işlemini yaparak kalanı bulunuz. 3 4 + 5 3 4 + 5 polinomunun ( ) ile bölümünden elde edilen bölüm () ve kalan K() ise 3 4 + 5 eşitliğini ( ), () ve K() cinsinden yazınız. uradaki K() polinomunu bulabilmek için yerine hangi değerin yazılması gerektiğini tartışınız. K() polinomu ile bölme işlemi yaparak bulduğumuz kalan polinomunu karşılaştırarak aynı sonuca ulaşıp ulaşamadığınızı kontrol ediniz. FFP() polinomunun n a polinomuna bölümünden elde edilen kalanı bölme işlemi yapmadan bulabilmek için neler yapılabileceğini tartışınız. Örnek P() = 5 4 3 + + 4 polinomunun + ile bölümünden kalanı bölme işlemi yapmadan bulalım. 5 4 3 + + 4 = ( + ) () + K() eşitliğinde K() i bulabilmek için + = 0 yapan = değerini eşitlikte yerine yazarız. 5( ). + + 4 = ( + ) () + K() 5. ( ). ( ) +. ( ) + 4 = ( + ). () + K() 0 + 4 + 4 = K() işlemi düzenlenirse, K() = + 0 olarak bulunur. Tanım ve ilgi P() polinomunun ( n a) ile bölümünden kalanı bulmak için, P() = ( n a). () + K () eşitliğinde n a = 0 için n = a değeri yerine yazılarak K() kalan polinomu bulunur. 37
Örnek P() = 3 + 4 + m + n polinomunun 3 ile bölümünden kalan 6 ise m ve n değerlerini bulalım. 3 + 4 + m + n = ( 3 ). () + 6 eşitliğinde 3 = 0 için = 3 yazılırsa. (3) + 4. (3) + m + n = ( 3 3 ). () + 6 3 + + m + n = 6 (3 + m) + + n = 6 ifadesinde iki polinomun eşitliği kullanılarak 3 + m = ve + n = 6 m = ve n = 8 bulunur. Uygulamalar. P() = 3 + 4 8 + polinomunun ile bölümünden kalanı bulunuz.. P() = 4 3 + 6 polinomunun 3 ile bölümünden kalanı bulunuz. 3. P() = 3 + 4 polinomu veriliyor. P( + ) polinomunun + 3 ile bölümünden kalanı bulunuz. 4. P() = 5 + 4 + 3 3 + + + polinomunun 3 + 3 ile bölümünden kalanı bulunuz. 5. P() = 3 + a + b polinomunun + ile bölümünden kalan 5 ise a + b kaçtır? 6. P() = 5 + 3 0 5 + polinomunun 5 3 ile bölümünden kalanı bulunuz. 7. P() = 3 + 4 + polinomunun + + ile bölümünden kalanı bulunuz. 8. P() = ( + ) ( + ). () + 3 + polinomunun + ile bölümünden kalanı bulunuz. 9. P() = 6 39 7 4 3 + polinomunun 3 7 ile bölümünden kalanı bulunuz. 38
İR P() POLİNOMUNUN ( a), ( b) VE ( a). ( b) İLE AYRI AYRI ÖLÜMÜNDEN KALANLAR ARASINDAKİ İLİŞKİ Etkinlik ir P() polinomunun ile bölümünden kalan 5 ve ile bölümünden kalan 3 ise P() polinomunun ( ). ( ) ile bölümünden kalanı bulmaya çalışınız. P() = ( ). () + 5, P() = ( ). C() + 3 eşitliklerinden P() ve P() değerlerini bulunuz. P() polinomu ( ). ( ) gibi ikinci dereceden bir polinoma bölündüğüne göre, kalan polinomun derecesi en fazla birinci derecedendir. una uygun ifadeyi noktalı yere yazınız. P() = ( ). ( ) () +... P() ve P() değerlerini yukarıdaki denklemde yerine yazarak kalanı bulmaya çalışınız. FFP() polinomunun ile bölümünden kalan P() ve ile bölümünden kalan P() ise, P() polinomunun ( ). ( ) ile bölümünden kalanın P(). P() olmamasının nedenlerini tartışınız. Örnek P() polinomunun ve + ile bölümünden kalanlar sırasıyla 4 ve 6 dır. una göre, P() polinomunun ( ) ( + ) ile bölümünden kalanı bulalım. ölen polinom ( ) ( + ) çarpımıyla elde edilen ikinci dereceden bir polinom olduğundan kalan en fazla birinci dereceden bir polinom olur. unun için, P() = ( ) ( + ). () + m + n eşitliği yazılır. P() = 4 ve P( ) = 6 olduğuna göre, P() = 0+ m + n = 4 P( ) = m + n = 6 dır. uradan m = 5 ve n = olur. Kalan polinomu ise m + n = 5 olarak bulunur. Tanım ve ilgi ir P() polinomunun ( a) ve ( b) ile bölümünden kalanlar sırasıyla P(a) ve P(b) olmak üzere, P() polinomunun ( a). ( b) ile bölümünden kalan en fazla birinci dereceden K() = m + n polinomu olur. P() = ( a). ( b) () + m + n eşitliğinde kalan polinomun katsayıları, P(a) = m. a + n, P(b) = m. b + n eşitliklerinden m ve n bulunarak K() = m + n polinomu elde edilir. 39
Örnek P() polinomunun ( + 3) ile bölümünden elde edilen bölüm Q() ve kalan 4 tür. Q() polinomunun ( ) ile bölümünden kalan ise P() polinomunun ( + 3). ( ) ile bölümünden elde edilen kalanı bulalım. P() = ( + 3) ( ). () + m + n dir. urada m ve n yi bulabilmek için P() ve P( 3) değerlerini bulmamız gerekir. P() = ( + 3). Q() + 4 ifadesinden P( 3) = 4 ve P() = 4. Q() + 4 bulunur. Q() değerini Q() = ( ). C() + eşitliğinden yerine yazdığımızda Q() = olarak bulunur. uradan, P() = 4. Q() + 4 = 4. + 4 = olur. P() = ve P( 3) = 4 değerlerinden yararlanarak, P() = ( + 3) ( ). () + m + n P() = m + n = ve P( 3) = 3m + n = 4 eşitliklerinden m = ve n = 0 bulunur. Sonuç olarak kalan, + 0 bulunur. Uygulamalar. P() polinomunun 4 ve + 5 ile bölümünden kalanlar sırasıyla ve 8 olduğuna göre P() polinomunun ( 4).( + 5) ile bölümünden kalanı bulunuz.. P() = 3 4 + 6 polinomunun ( + ). ( ) ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 3. P() = 3 3 + a + b polinomu ( + ). ( 3) ile tam bölünüyorsa a ve b değerlerini bulunuz. 4. P() polinomunun ( + 4).( + 3) ile bölümünden kalan + 7 ise P() polinomunun ( + 4) ile bölümünden kalanı bulunuz. 5. P() polinomunun 3 ile bölümünden kalan 4 + ise P() polinomunun ( ) ile bölümünden kalanı bulunuz. 6. Katsayıları toplamı 6 olan bir P() polinomunun sabit terimi dir. P() polinomunun. ( ) ile bölümünden kalanı bulunuz. 7. P() ikinci dereceden bir polinomdur. P() = P( 3) = 0 ve P() polinomunun katsayıları toplamı 4 ise P() polinomunun başkatsayısını bulunuz. 8. Üçüncü dereceden bir P() polinomunun ( ), ( + ) ve ( 3) ile ayrı ayrı bölümünden kalanlar her seferinde 6 olmaktadır. P() in sabit terimi 8 olduğuna göre P() polinomunun ( ) ile bölümünden kalanı bulunuz. 9. ( ). P() = 4 4 + a + eşitliğinde P() polinomunun ( a). ( + ) ile bölümünden kalanı bulunuz. 0. Alanı ( 3 6 + 6 ) br olan bir dikdörtgensel bölgeyi, ( ). ( 3) br lik eş alanlı dikdörtgensel bölgelere ayırdıktan sonra kalan parçanın alanını bulunuz. 40
ÇARPANLARA AYIRMA Motivasyon 48 sayısının asal çarpanları ve 3 tür. 48 sayısı 4. 3,.3. 4, 3. 6 şeklinde çarpanları cinsinden yazılabilir. ir cebirsel ifade olan 3 + 3 + 3 + de çarpanlarına ayrılarak farklı çarpanlar cinsinden yazılabilir mi? Tartışınız. İNDİRGENEMEYEN POLİNOMLAR VE ASAL POLİNOMLAR Etkinlik A ve gruplarında verilen polinomları inceleyiniz. A GRUU P() = Q() = 3 + 3 R() = + 3 T() = 3 U() = V() = 3 + 4 GRUU P() = + Q() = R() = + + T() = U() = 3 V() = 4 + A grubundaki polinomları çarpanlarına ayırabilir misiniz? Nasıl? grubundaki polinomları çarpanlarına ayırabilir misiniz? Neden? En az birinci dereceden iki polinomun çarpımı şeklinde yazılabilenler hangi gruptadır? FF grubunda bulunan polinomlar aşağıdaki gibi iki gruba ayrılmıştır. Neye göre ayrıldıklarını tartışınız. GRUU 4 + 3 + + + FFA ve grubundaki polinomları karşılaştırdığımızda bu iki grubu birbirinden ayıran temel özelliğin ne olabileceğini tartışınız. 4
Örnek P() = + 3, Q() = 4, R() = 3 +, T() = + 4, H() = +, A() = + ve () = + 4 polinomlarından hangileri en az birinci dereceden iki polinomun çarpımı şeklinde yazılamayan polinomlardır? u polinomlardan başkatsayısı olan polinomları bulalım. En az birinci dereceden iki polinomun çarpımı şeklinde yazılamayan polinomlar, P() = + 3, R() =3 +, T() = + 4, H() = + ve () = + 4 tür. En az birinci dereceden iki polinomun çarpımı şeklinde yazılabilen polinomlar A() =. ( + ) ve Q() = ( ). ( + ) dir. P(),R(),T(),H() ve () polinomlarından başkatsayısı olan polinomlar H() ve T() dir. Tanım ve ilgi En az birinci dereceden iki polinomun çarpımı biçiminde yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinom denir. aşkatsayısı olan ve indirgenemeyen polinomlara da asal polinomlar denir. Örnek A() = ( ), () = 3 + + 3, C() = 7, D() = + 3, E() = + ve F() = + 5 polinomlarından indirgenemeyen polinomları bulalım ve asal olanları belirtelim. A() = ( ) = ( ) ( ) indirgenebilir bir polinom, () = 3 + + 3 = ( + + 3) indirgenebilir bir polinom, C() = 7 indirgenemeyen bir polinom, D() = + 3 indirgenemeyen asal bir polinom, E() = + = ( + ) indirgenemeyen bir polinom, F() = + 5 indirgenemeyen asal bir polinomdur. Uygulamalar. Aşağıdaki polinomlardan hangileri indirgenemeyen polinomlardır? a) + b) 3 c) + ç) + d) + e) f) ( + ) 3 g) ( + ). ( ) h) 4 ı). ( + ). Aşağıdaki polinomlardan hangileri asal polinomlardır? a) b) + c) ç) d) 4 + e) + 5 f) + + g) ( ) 3 h) 3 + + ı) 4 + 4
Etkinlik ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMLERİ ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA YÖNTEMİ Merve ile Murat'ın arsası yandaki şekilde görüldüğü gibi birbirine bitişik dikdörtgensel bölge şeklindedir. Merve nin arsasının alanının kaç br olduğunu bulunuz. Murat ın arsasının alanının kaç br olduğunu bulunuz. Merve, Murat ın arsasını satın alıyor. u durumda Merve nin oluşan yeni arsasının kenar uzunluklarını yazınız. Merve ve Murat ın arsalarının alanları toplamı, Merve nin oluşan yeni arsasının alanına eşit olur mu? u eşitliği sağlayan bağıntıyı yazabilir misiniz? Murat'ın arsası a b Merve'nin arsası F F Yeni oluşan arsa ile eski arsaların kenarları arasındaki ortak olan kenarın hangisi olduğunu tartışınız. Örnek. Sadece toplama işlemi ve 0 ile çarpmayı kullanarak, 97. 5 + 97.3 + 97. işleminin sonucunu en kısa yoldan bulalım. u işlemde çarpmanın toplama işlemi üzerine dağılma özelliğini hatırlayınız. 97 sayısı bu işlemin ortak çarpanı olduğundan, 97. 5 + 97. 3 + 97. = 97 (5 + 3 + ) şeklinde yazılır. = 97. 0 = 9 70 olarak işlemin sonucu bulunur...(m n) + y(m n) z.(m n) ifadesini ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayıralım. Her bir terimin ortak çarpanı (m n) olduğundan,.(m n) + y.(m n) z.(m n) = (m n). (+y z) dir. Tanım ve ilgi ir polinom ortak çarpan parantezine alınırken öncelikle her bir terimin ortak çarpanı bulunur. u ortak çarpan ile terimlerin diğer çarpanlarının toplamı çarpım olarak yazılır. 43
Örnek. 4a b 6ab 3 ab 3 ifadesini çarpanlarına ayıralım. Her bir terimin ortak çarpanı ab dir. ab. (a 3b 6 ) olarak bulunur.. (a b) + (b a) 3 ifadesini çarpanlarına ayıralım. (a b) = (b a) olduğundan, (a b) + (b a) 3 = (b a) +(b a) 3 yazılır. (b a) + (b a) 3 = (b a).[+(b a)] (b a) + (b a) 3 = (b a). (+b a) olarak çarpanlarına ayrılır. Uygulamalar. Aşağıda verilen ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 5a + 5b 5c b) 3 + 6y 9z c) a + ay a ç) a + 6a d) 3 y 5y e) 6mn 3 + 4m n 8mn f) 3.5 5 + g) a. b. ğ) 3 y z 3 + 6 3 y z 3y 4 z. Aşağıda verilen ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) (a b) y(a b) b) (m n) + m n c) a(m+n) m n ç) (p+q) (p q) + (p+q) (p q) d) ( y) ( z) + (y ) (z ) e) (a b) (+y) + (b a) ( y) f) 4(+y) (+y ) + 6( y) ( y) g) 4y ( y) 3 (y ) ( y) (y + ) 3..3 = 0 eşitliğinde değerini bulunuz. 4..0! = a olduğuna göre!+!+0! toplamının değerini a cinsinden bulunuz. 44
GRUPLANDIRARAK ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA YÖNTEMİ Etkinlik y a a Yanda verilen dikdörtgensel bölgelerin alanlarını, verilen kenar b b uzunluklarına göre bulunuz. Dikdörtgensel bölgelerin toplam alanlarını yazınız. y. şekil u şekiller aşağıdaki gibi gruplandırılır. b a y a b Gruplandırmaların en belirgin özelliği sizce nedir? Farklı şekillerde gruplandırma yapılabilir mi? a+b y a+b. şekil Yukarıda verilen dikdörtgensel bölgelerin alanlarını, verilen kenar uzunluklarına göre bulunuz. Dikdörtgensel bölgelerin toplam alanlarını bulunuz. y +y 3. şekil Yukarıda verilen dikdörtgensel bölgelerin alanlarını, verilen kenar uzunluklarına göre bulunuz. Dikdörtgensel bölgelerin toplam alanlarını bulunuz. y a+b Yandaki dikdörtgensel bölgenin alanını bulunuz. 4. şekil ve. şekillerdeki toplam alanlarla 4. şekildeki alan eşit olduğuna göre bu alanların eşitliğinden elde edilen bağıntıyı yazınız.... () ve 3. şekillerdeki toplam alanlarla 4. şekildeki alan eşit olduğuna göre bu alanların eşitliğinden elde edilen bağıntıyı yazınız.... () F F () ve () eşitliklerini karşılaştırarak yorumlayınız. y 45