Kombinasyon Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir. n elemanın tüm r li kombinasyonlarının sayısı; (, ) C n r ( ) r n P n, r n! = Cn = = = r r! ( n r)!. r! dir. Örneğin; A = { 1,2,3, 4} kümesinin 2 li kombinasyonları { 1,2 }, { 1,3 }, { 1,4 }, { 2,3 }, { 2, 4 }, { } üzere 6 tanedir. 60 dershanelik bir okulda her sınıfta 15 kişi varsa bu okulun mevcudu nedir? 3, 4 olmak Uyarı: Kombinezonda n elemanın r -li seçimleri söz konusudur. Permütasyondaki gibi sıranın önemi yoktur. Permütasyonda sıralı bir diziliş söz konusu iken, kombinezonda seçim söz konusudur. Genel olarak n elemanlı bir kümenin tüm kombinezonlarının sayısı; n n n n + + +... + = 2 0 1 2 n n n = a n a n Ör: C ( 2n 2,1) 2. C ( 1 n, 2) + = + ise,? 2 ) n = ({ } Ör: x + 2 x + 2 x + 2 = + = 56 x =? x x + 1 x + 2 (8) Ör: P ( n ) P( n ) C ( n ),3 = 8.,2,2 =? ( 45 ) 58 58 Ör: n? 2 = = n 49 ( 7 ) Ör: 5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır? Cevap: 5 5! = = 10 2 2!.3! 1
Ör: n n = x x + 2 n ve = 45 2x ise, n =? 11 x ve x = 4 n = 2x + 2 ise, n = 10 bulunur. 2 Ör: Bir kümenin 2 elemanlı tüm alt kümelerinin sayısı 28 dir. Bu kümenin eleman sayısı nedir? n = 28 n = 8 2 Ör: Bir kümenin 3 den az elemanlı 37 alt kümesi vardır. Bu kümenin 4 elemanlı kaç alt kümesi vardır? n n n + + = 37 n = 8 2 1 0 den 8 = 70 4 bulunur. Ör: A { a, b, c, d, e, f } = kümesinin i. 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı ii. en az 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı iii. en çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı nedir? i. ii. 6 = 6 5 6 6 6 + + = 22 4 5 6 iii. 6 6 6 + + = 22 0 1 2 2
Ör: 11 kişilik sporcu grubundan, 5 kişilik bir basketbol takımı kaç farklı biçimde oluşturulur? Cevap: 11 = 462 5 Ör: Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 noktadan kaç doğru geçer? 2 noktadan bir doğru geçeceğine göre; 7 = 21 2 Ör: Bir çember üzerinde bulunan 9 noktadan; i. Kaç doğru geçer? ii. Kaç üçgen oluşur? iii. Belli bir nokta tüm üçgenlerin köşesi ise kaç üçgen oluşur? iv. Belli iki noktadan geçen kaç üçgen çizilir? i. 9 = 36 2 ii. 9 = 84 3 iii. Birisi belli ise 8 nokta kalır. 8 = 28 2 iv. ikisi belli ise 7 nokta kalır. 7 = 7 1 Ör: 4 kız, 4 erkek arasından 3 kişilik bir grup; i. hiçbir koşul yoksa, ii. Hepsi kız olacağına göre, iii. En az bir erkek olacağına göre kaç farklı biçimde oluşturulur? 3
i. ii. 8 = 56 3 4 = 4 3 iii. 56 4 = 52 bulunur. Ör: İki aileden biri 6, diğeri 7 kişidir. Her aileden en az bir kişi olmak koşulu ile 5 kişilik kaç farklı grup oluşturulur? A1 A2 1 4 2 3 3 2 4 1 Toplam 6 7. = 210 1 4 6 7. = 525 2 3 6 7. = 420 3 2 6 7. = 105 4 1 1260 bulunur. Ör: Bir topluluktaki kişilerden elde edilen tüm 3 lü grupların sayısı, topluluktaki kişilerin sayısının 5 katına eşit ise, topluluk kaç kişidir? n = 5. n n = 7 3 Ör: 4 bayan, 5 erkekten oluşan 9 kişilik bir gruptan, 2 bayan ve 2 erkekten oluşan 4 kişilik grup kaç değişik şekilde seçilir? 4 5. = 60 2 2 4
Ör: 8 erkek, 5 kız arasından bir başkan ve bir sekreter seçilecektir. Sekreterin kız olması koşulu ile bu seçim kaç değişik şekilde yapılır? 5 12. = 5.12 = 60 1 1 Sekreter Ör: 10 kişi, birinde 6, diğerinde 4 olmak üzere kaç değişik şekilde ayrılır? C ( 10,6 ). C ( 4, 4) = 210 Ör: A,B,C,D,E,F gibi 6 seçmeli dersin bulunduğu bir okulda A ile B aynı saatte başladığına göre, 3 ders seçmek isteyen bir öğrencinin kaç seçeneği vardır? Toplam seçenek 6 = 20 3 tanedir. Ama; A B C D E F 2.Yol: AB aynı anda olduğundan seçilemez. Yani; 20 4 = 16 farklı seçim yapabilir. 2 4. = 12 1 2 4 = 4 3 Toplam 12 + 4 = 16 A veya B den birisini seçerse Hiçbirini seçmezse Ör: 10 öğrenci arasından 6 sı matematik projesine ve 4 ü de fizik projesine olmak koşulu ile kaç farklı seçim yapılır? 10 6. = 210 4 6 5
Ör: 9 kişilik bir grup içinden 4 kişilik bir ekip, bu ekip içinden de bir başkan seçilecektir. 1 başkan ve 3 üyeden oluşan grup kaç değişik şekilde seçilir? 9 4. = 504 4 1 4 kişi seçildi 4 kişiarasından 1başkan Ör: Bir düzlemde 7 doğru en çok kaç farklı noktada kesişir? İki doğru bir noktada kesişeceği için, C ( 7,2) = 21 Ör: Düzlemde verilen 12 doğrunun 5 tanesi paraleldir. Bu 12 doğru en çok kaç noktada kesişir? İki doğru bir noktada kesişir. Buna göre; 12 = 66 tamamı. 2 5 = 10 paralel olduğundan bu kadarı eksik 2 66 10 = 56 Ör: Düzlemdeki 10 noktadan 5 tanesi doğrusaldır. Köşeleri bu noktalar üzerinde en çok kaç üçgen çizilebilir? 10 5 = 110 üçgen çizilebilir. 3 3 Doğrusal olanlar Üçgen oluşturmaz. 6
Ör: Şekildeki paralel doğruların birisi üzerinde 3, diğerinde 5 nokta vardır. Köşeleri bu noktalar üzerinde olan kaç üçgen çizilebilir? d // d d 1 2 2 d 1 8 3 5 = 45 3 3 3 veya, 3 5 3 5. +. = 45 1 2 2 1 Ör: 5 kız, 6 erkek öğrenci arasından yalnız kız ve yalnız erkeklerden oluşan 3 ve 4 kişilik gruplar oluşturulacaktır. Bu durumda kaç farklı grup oluşturulabilir? 3 Kız, 4 Erkek veya 3 Erkek, 4 Kız Toplam 5 6. = 150 3 4 5 6. = 100 4 3 150 + 100 = 250 Ör: İçinde Gizem ve Ecemin bulunduğu 9 kişilik bir gruptan, 5 kişilik gruplar oluşturulacaktır. Bu gruplarda Gizem veya Ecemden birisi mutlaka bulunacağına göre, Gizem ile Ecemin bulunmadığı kaç farklı grup oluşturulur. Gizem yok ise, 8 kişi Ecem kesin olacak ise, 7 kişi kalır. Seçilecek kişi sayısı da 3 7 = 35 3 aynı olay Ecem içinde düşünürse, Toplam 35 + 35 = 70 Ör: 8 erkek, 6 kız arasından, içinde en az 3 kız olan 4 kişilik ekip kaç türlü seçilebilir? 3Kız 6 8. 160 3 = 1 1Erkek veya 4 Kız 6 = 15 4 ise toplamda 160 + 15 = 175 7
Ör: Şekildeki 5 paralel yatay doğru ile 4 paralel düşey doğrunun oluşturduğu, kaç paralelkenar vardır? 5 4. = 60 2 2 tanedir. (burada doğruların seçildiğine, noktaların seçilmediğine dikkat ediniz.) Ör: { 1,2,3, 4,5,6 } kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 bulunur, 6 bulunmaz? 6 yoksa eleman sayısı 5 1 varsa geriye 4 eleman arasından seçim yapılır. Buna göre; 5 = 5 4 Ör: Birbirinden farklı; 3 fizik, 4 matematik ve 2 coğrafya kitabının bulunduğu bir raftan, içinde en az bir matematik kitabı bulunan 3 kitap kaç değişik biçimde seçilebilir? 9 5 = 74 3 3 Tümü Mat yok Ör: Herhangi üçü doğrusal olmayan 10 noktadan en fazla kaç çokgen geçer? Çokgen kenar sayısı 3 ve üzeri içindir. 10 10 10 10 10 + + + +... + = 2 0 1 2 3 10 Çokgensayısı 10 dur. Buna göre çokgen sayısı; 10 10 10 0 1 2 10 10 2 + + = 2 56 56 8
Ör: Bir öğrenciden 10 soruluk sınavda6 soruyu yanıtlaması isteniyor. İlk 4 sorudan en az 3 tanesini yanıtlamak zorunda ise, bu öğrenci kaç farklı şekilde cevap verebilir? 4ünden Kalan3 3ü Soru 4 6. 80 3 3 = Toplam = 95 4 6. = 15 4 2 4' te4 Kalan2soru farklı şekilde. Ör: Sekiz farklı çemberin kesişmelerinden en fazla kaç nokta oluşur? 8 = 28 2 (iki çember en fazla iki noktada kesişir.) Yani, 28x 2 = 56 Ör: A = { 1,3,5 }, { 2, 4,6,8} basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? B = kümeleri veriliyor. Bu kümelerden alınan 2 tek ve 2 çift sayı ile 4 3 4 4 rakamı. = 18 2 2 farklı biçimde seçeriz. Her grupta 4! tane sayı elde ederiz. 18.4! = 432 a, b, c, d, e, f harfleri ile biri sesli, 2 si sessiz, 3 farklı harfli kaç sözcük oluşturulabilir? Ör: { } sesli 2 4. = 2.6 = 12 tanedir. 3! kendi aralarında, 1 2 sessiz 12.3! = 72 Ör: 6 kız, 5 erkek arasından 2 kız, 3 erkek bir sırada oturacaklardır. Aynı cinsler yan yana olmak koşulu ile kaç değişik şekilde oturabilirler? 6 5. = 5.6.5 2 3 seçim sayısı. 2!.2!.3! = 4! (iki kız 3 erkeğin aynı cinslerin yan yana oturma şekli) 4!.5.6.5 = 5.6! dir. 9
Ör: 6 erkek 4 kız öğrencinin bulunduğu bir gruptan en az biri kız öğrenci olan 4 kişilik kaç değişik grup oluşturulabilir? Hepsinin erkek olmasının tersi 6 = 15 tanesinde hepsi erkek, 4 10 = 210 tüm gruplar 4 210 15 = 195 tanesinde en az bir kız Ör: 6 tane boş odası bulunan bir otele 4 müşteri geliyor. Belli ikisi aynı, diğerlerinden her biri ayrı odalarda kalmak koşulu ile kaç değişik şekilde odalara yerleştirilebilir? 5oda 6 5 4.. = 120 1 1 1 iki kişi bir odada 1kişi gibi 4oda Ör: 4 doktor ve 7 hemşirenin bulunduğu bir özel hastanede belirli bir doktorun olmaması ve belirli bir hemşirenin de daima bulunması koşulu ile 3 doktor ve 2 hemşireden oluşan nöbetçi ekibi kaç türlü seçilir? 1 doktor yoksa, geriye 3 doktor kalır. Hemşire 3 6. = 6 3 1 Doktorlar Ör: 9 voleybol oyuncusundan 6 kişilik takım seçilecektir. a, b, c oyuncularının 3 ü aynı anda takımda bulunmayacak şekilde kaç farklı takım oluşturulabilir? 3 ü aynı anda olmayacak. 3 ünün aynı anda olmasının değilidir. 9 6 = 64 6 3 10
nedir? Ör: Bir madeni para arka arkaya 6 kez atılıyor. Üst yöne gelen 4 ünün yazı ikisinin tura olma sayısı 6! T T T T Y Y = 15 dir. 4!.2! yer değiştirme olayı bulunur? (36) Ör: A { a, b, c, d, e, f, g, h} = kümesinin 3 elemanlı kümelerinin kaç tanesinde en az bir sesli harf Ör: A = { 1,2,3, 4,5,6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 3 veya 5 bulunur? 5 4 elemanlı alt kümelerinin = 10 tanesinde 3 var. 3 5 4 elemanlı alt kümelerinin = 10 tanesinde 5 var. 3 4 = 6 hem 3 hem de 5 var. 2 20 6 = 14 Ör: 10 oyuncudan 6 kişilik bir voleybol takımı seçilmek isteniyor. Oyuncular arasında bulunan Arzu ve Derya dan en az birinin içinde bulunduğu kaç takım seçilebilir? Arzu yok ise, 9 kişi olurlar. Derya var 9 9 8 + = 182 5 5 4 Arzu var Hem Arzuhem Derya yok Ör: Şekilde yatay ve dikey doğrular birbirine diktirler. Buna göre, bu şekilde kaç tane kare vardır? 11
Burada kare için köşegenlere bakmamız yeterli olacaktır. Köşegen üzerinde bulunan her iki nokta için bir adet kare sayılabilir. Buna göre sırası ile; 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 şeklinde Buradan da 1+ 3 + 6 + 10 + 15 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 70 adet Ör: 5 evli çift arasından 4 kişilik bir komite seçilecektir. Komitede en az bir evli çift olması şartıyla kaç farklı komite oluşturulabilir? 5 Evli çiftler arasından = 5 farklı şekilde bir evli çift seçilebilir. 1 Diğerleri arasından gelenevliçiftler 5 8 4 5. + = 130 1 2 1 2 5evliçiftlerden Geriyekalanlar İkisininde birisi arasındankalan 2 evliolması kişi Sadecebir evliçift veya; Diğerleri 5 8 5. = 130 1 2 2 Birisievli İkisi deevliolanlar ikikeztekrar etti. İkisi de evli olanlar 12
Ör: 10 kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? 4kişilik ekip 10 6 4 2... 4 2 2 2 = 3150 3! 2şerli gruplar aynıolduğundan 13
Dosya adı: KOMBINASYON KONU ANLATIMI Dizin: C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET\PERMUTASYON KOMBINASYON BINOM OLASILIK Şablon: C:\Users\TOLGA\AppData\Roaming\Microsoft\Templates\Nor mal.dotm Başlık: Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Konu: Yazar: PERFECT PC1 Anahtar Sözcük: Açıklamalar: Oluşturma Tarihi: 09.01.2017 22:35:00 Düzeltme Sayısı: 2 Son Kayıt: 09.01.2017 22:35:00 Son Kaydeden: TOLGA Düzenleme Süresi: 2 Dakika Son Yazdırma Tarihi: 09.01.2017 22:35:00 En Son Tüm Yazdırmada Sayfa Sayısı: 13 Sözcük Sayısı: 1.869(yaklaşık) Karakter Sayısı: 10.659(yaklaşık)