Kantitatif Tahmin Yöntemleri. Yrd.Doç.Dr. S.Kerem AYTULUN

Kaniaif Tahmin Yönemleri Yrd.Doç.Dr. S.Kerem AYTULUN ayulunkerem@gmail.com

Konu-Kapsam 1. Tahminin anımı ve sınıflandırılması 2. Nedensel modeller 3. Zaman serileri 4. Tahminin değerlendirilmesi 5. Sabi seriler ile ahmin 6. Trend abanlı yönemler 7. Mevsimsel seriler ile ahmin 8. Model anıma ve izleme 9. Uyarlamalı modeller 10.Box-Jenkins yönemi 11.İlave açıklamalar Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 2

Tahmin Nedir? Günlük hayaa bilinçli veya bilinçsiz birçok ahminde bulunuruz. Hava durumu, rafik, sınav soruları, kişisel ilişkiler... Peki Firmalar??? Firmanın gelecekeki başarısına eki eden fakörler: Ürün saışları Yeni ürün için müşeri alep biçimi Hammadde ihiyacı ve kullanılabilirliği İşçi ihisaslarındaki değişim Faiz oranları Kapasie ihiyaçları Uluslararası poliikalar Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 3

Tahmin Nedir? Her şey ekili bir şekilde ahmin edilebilir mi? Bir yazı-ura aışı sonucunun ahmin edilmesi Kumarhanelerde oynanan şans oyunları sonuçlarının ahmin edilmesi Borsadaki hisse senedi değerlerinin ahmin edilmesi Üreim ve operasyon yöneiminde ahmin, ürün alep ahminlerinin kesirilmesine dönükür. Taleplerin bazı bölümleri ahmin edilemez olmakla birlike, rend, döngü ve mevsimsel değişimler ahmin edilebilir. Sayılan bu özelliklerin geçmişe bırakıkları izler geleceğin kesirilmesinde kullanılabilir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 4

Tahmin Çaısı Tarihsel Veri Model veya paramerelerinin değişimi İnsan Girdisi Subjekif girdiler Maemaik Model Talep Tahmini İsaisiksel ahmin Performans ile ilgili geribildirim Gözlenen gerçek alep Tahmin Haasının Hesaplanması ve Haa İsaisiklerinin Güncellenmesi Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 5

Tahminin Planlama Ufku Uzun Dönem (aylar, yıllar) Kapasie gereksinimleri (needs) Uzun vadeli saış paerni Büyüme rendleri Ora Dönem (hafalar, aylar) Ürün ailesi saışları İşçilik ihiyaçları (needs) Kaynak ihiyaçları (requiremens) Kısa Dönem (günler, hafalar) Kısa vadeli saışlar Vardiya programı Kaynak ihiyaçları (requiremens) Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 6

1. Genellikle yanlışır. Tahminin Özellileri Bu ahminlerin yanlış olduğu kanılanırsa, bu durumda kaynak ihiyaçları ve üreim programlarının değişirilmesine ihiyaç duyulabilir. 2. İyi bir ahmin, bir ek sayıdan daha fazlası demekir. İyi bir ahmin yapılan ahmin haasının da dahil edildiği ahmindir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 7

Tahminin Özellileri 3. Büünleşik ahminler daha ekilidir. Tek bir ürün hakkında yapılan ahminin haası, bir ürün grubu hakkında yapılan ahmin haasında daha büyükür. Örnek oralaması varyansı < Popülasyon varyansı 4. Uzun dönemli ahminler daha az ekilidir. 5. Tahminler, bilinen (kesin olan, eldeki) bilgileri dışlamamalıdır. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 8

Tahminlerin Sınıflandırılması Tahmin Yönemleri Subjekif Objekif Saış Bölümü Ankeler Rasgele Modeller Zaman Serileri Yöneici Fikirleri Delphi Meodu Trend Dönemsellik Döngüler Rasgelelik Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 9

Subjekif (Öznel) Tahmin Yönemleri İnsan hükümlerini emel alan ahmin yönemleridir. 1. Saış Bölümü fikirleri 2. Müşeri ankeleri 3. Yöneicilerin görüşleri 4. Delphi yönemi Yöneici görüşerinin alınması benzer bir yönemdir. Burada bir uzman kişinin fikirlerinden çok bir grup uzmanın görüşeri ele alınır... Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 10

Objekif (Nesnel) Tahmin Yönemleri Bir veri grubundan ahmin elde edilmesine çalışan yönemlerdir. Nedensel Modeller Kaynakan alınan veriler ile ahmin edilmeye çalışan veriler arasındaki ilişkiden faydalanır. Zaman Serileri Geçmiş veri paerninin geleceke de devam edeceği öngörülür. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 11

Nedensel Modeller X 1, X 2,...,X n şeklinde anımlanan n değişkenin Y ile ilgili olduğu düşüncesinden harekele; Y=f(X 1, X 2,...,X n ) şeklinde bir Y fonksiyonu anımlanır. Fonksiyon genellikle aşağıdaki şekilde verilir (Ekonomerik modeller için): Y X X X 0 1 1 2 2... n n Burada 1,..., n kasayılardır. Bu kasayıların espiinde en yaygın olarak kullanılan yönem en küçük kareler yönemidir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 12

Örnek-1 YIL x i y i YIL x i y i 1 9.098 5.492 12 11.307 5.907 2 9.138 5.540 13 11.432 6.124 3 9.094 5.305 14 11.449 6.186 4 9.282 5.507 15 11.697 6.224 5 9.229 5.418 16 11.871 6.496 6 9.347 5.320 17 12.018 6.718 7 9.525 5.538 18 12.523 6.921 8 9.756 5.692 19 12.053 6.471 9 10.282 5.871 20 12.088 6.394 10 10.662 6.157 21 12.215 6.555 11 11.019 6.342 22 12.494 6.755 x i ile hane başına harcanabilir gelir y i ile de perakende saışlar göserilmişir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 13

Örnek-1 Amaç y i =+x i doğrusunun espi edilmesidir. Bunun için ve nın ahminleri olan a ve b en küçük kareler yönemi ile ahmin edilmeye çalışılır. n 1 x i y i nx y b = n x 2 i n x 2 1 a = y bx y a bx y 1922,39 0,3815x x y (ahmin) 10000 5737,39 11000 6118,89 12000 6500,39 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 14

Doğrusal Regresyonun Açıklama Gücü Regresyon kullanılarak yapılan ahminin iyi bir ahmin olması için nedensellik ilişkisi kurulan bağımlı ve bağımsız değişkenler arasında regresyonun açıklama gücünün yüksek olması gerekir. Bunun espii için aşağıdaki anımlamalar yapılır: BKT RKT HKT n i1 n i1 n i1 e y i yˆ i 2 i y y 2 2 Büün Kareler Toplamı Regresyon Kareleri Toplamı Haa Kareleri Toplamı BKT RKT HKT R 2 RKT BKT 2 0 R 1 HKT =1- BKT Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 15

Örnek-1 Örneğimizde R 2 değeri; 2 HKT 436283 R 1 1 0,919 0,92 BKT 5397561 BKT 5397561 RKT 4961977 HKT 436283 Bu değerin anlamı; y i lerin %92 si, x i ler ile açıklanabilmekedir. Bu açıklama hayli başarılıdır. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 16

Zaman Serileri Yönemleri Zaman serisi, ilgilenilen bir büyüklüğün (ekonomik veya fiziksel) zaman içinde sıralanmış ölçümlerinin (geçmişeki) bir kümesi olarak anımlanır. Çoğunlukla kullanılan zaman serisi biçimleri: Trend (eğilim) Dönemsellik Döngüler Rasgelelik Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 17

Talep Talep Talep Talep Zaman Serileri Yönemleri Rasgelelik Aran doğrusal rend Zaman Zaman Eğrisel Kareli, üsel Dönemsel, doğrusal Zaman Zaman Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 18

Noasyon Dönemler : 1,2,,, Talepler : D 1,D 2,,D,. dönemde ahmin çalışması yapılıyor ise D ve D -1, dönemleri gözlenmiş, D +1 dönemi ise henüz gözlenmemişir. Bir ahmin iki dönemin anımlanmasını gerekirir: Tahminin yapıldığı dönem ve Tahmin edilen dönem. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 19

Buna göre; Noasyon F,+ :.dönemde ahmin çalışmasının yapıldığı, (+).dönemin ise ahmin edildiğini göserir. değeri 1,2,3, gibi değerler alır ve ahmin ufku olarak adlandırılır. Genellikle bir dönem sonraki dönem ahmin edilmeye çalışılacağından; F =F -1, Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 20

Noasyon Zaman serisi yönemleri gelecek değerlerin ahmin edilmesinde geçmiş verileri kullandığından birçok yönem için aşağıdaki eşilik yazılabilir: F = n=1 a n D n a 1, a 2, için Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 21

Tahminin Değerlendirilmesi Öncelikle.dönemdeki ahmin haası e nin nasıl hesaplandığını görelim: Çoklu adım sonrası için; e =F -, -D Tek adım sonrası için aynı formül; e =F -D şekline dönüşür. e 1, e 2,..., e n ile n dönem için her bir dönemde yapılan ahmin haası göserilsin. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 22

Tahminin Değerlendirilmesi Tahminin ekinliğinin göserilmesinde iki önemli göserge bulunur. Bunlar; MAD : Oralama Mulak Sapma (Mean Absolue Deviaion) MSE : Oralama Haanın Karesi (Mean Squared Error) n 1 1 MAD e MSE n i i1 n i1 n e 2 i Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 23

Tahminin Değerlendirilmesi MAD yönemi, kare almaya gerek olmadığı için genellikle ercih edilen bir yönemdir. Ayrıca genellikle kabul gördüğü gibi ahmin haalarının normal dağıldığı kabulünden harekele ahmin haasının sandar sapması e MAD ın yaklaşık 1,25 kaıdır. MAD ve MSE haricinde yaygın olarak kullanılan bir diğer ahmin ekinlik ölçüsü de MAPE yani Oralama Mulak Haa Yüzdesi dir. (Mean Absolue Percenage Error). n 1 e i MAPE *100 n i1 Di Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 24

Örnek-2 DDR ram üreen bir firmanın iki üreim merkezi vardır. Üreim merkezleri yöneicilerinden 6 hafa boyunca ek adımlık ahminler yapması isenmişir. Elde edilen sonuçlar aşağıda sunulmuşur. Hangi yöneici daha ekili bir ahminde bulunmuşur? Hafa Tahmin_1 Gözlenen_1 Tahmin_2 Gözlenen_2 1 92 88 96 91 2 87 88 89 89 3 95 97 92 90 4 90 83 93 90 5 88 91 90 86 6 93 93 85 89 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 25

Örnek-2 MAD, MSE ve MAPE için hesaplanan sonuçlar aşağıda verilmişir. Yön1 Yön2 MAD 2,8333 3,0000 MSE 13,1667 11,6667 MAPE 0,0325 0,0336 Neden MSE farklı? Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 26

Tahminin Değerlendirilmesi Tahminlerin araflı (biased) olmaması isenir. Maemaiksel olarak E(e i )=0 şeklinde göserilir. Bu durum yapılan ahmin haalarının sıfırın alında ve üsünde dalgalanmasını gerekirir. Alernaif olarak e i değerine bakılır. 0 dan çok uzaklaşmaması gerekir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 27

Çalışma Sorusu-1 Aşağıda bilgisayarlar için Blu-Ray sürücü üreen bir firmanın geçmiş 12 hafalık saışları verilmişir. Hafa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Saış 86 75 72 83 132 65 110 90 67 92 98 73 Buna göre; Tek adım sonrası için 3. hafadan 12.hafaya kadar ahminleri yapınız. (Tahminler en son iki dönemin oralaması şeklinde yapılacakır.) Tahmin haalarını hesaplayınız. MAD, MSE ve MAPE nin değerini hesaplayınız. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 28

Çalışma Sorusu-2 Aşağıda iki farklı ahmin yönemi ile elde edilen ahmin sonuçları ile gerçekleşen veriler verilmişir. Buna göre hangi yönemin daha ekili olduğunu MAD, MSE ve MAPE kullanarak bulunuz. Sonuçları yorumlayınız. Yönem1 Tahmini Yönem2 Tahmini Gerçek Sonuç 223 210 256 289 320 340 430 390 375 134 112 110 190 150 225 550 490 525 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 29

Sabi Serilerin Tahmin Yönemleri Bu kapsamda iki önemli eknik bulunur: Harekeli Oralamalar Üsel Düzelme Bir sabi zaman serisi, her bir gözlemi emsilen bir sabi ve bir rasgele dalgalanmanın oplamından oluşur: D : Seri oralamasına karşılık gelen bilinmeyen sabi : Oralaması 0, varyansı 2 olan rasgele haa Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 30

Harekeli Oralamalar Basi ama bir o kadar da popülerdir. N sıralı bir harekeli oralama, basiçe en son N gözlemin arimeik oralaması olarak anımlanabilir. F, dönem (-1) de dönem için hesaplanan ahmin değeri ise; 1 1 1 i 1 2... N N i N N F D D D D Kısaca MA(N) şeklinde göserilir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 31

Örnek-3 Bir hava üssünde son 2 yıl için kayı alına alınmış 3 er aylık (dönemlik) moor arızaları; 200, 250, 175, 186, 225, 285, 305, 190 şeklindedir. 3 dönemlik ve 6 dönemlik harekeli oralamalar kullanılarak sonraki döneme ai ahminlerin hesaplanması isenmekedir. 4.dönemden 8.döneme kadar ek adım sonrası ahminleri MA(3) ile, 7. ve 8. döneme ai ek adım sonrası ahminleri ise MA(6) ile hesaplayınız. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 32

Örnek-3 200,250,175,186,225,285,305,190 MA(3) F 4 =(1/3)(200+250+175)=208 F 5 =(1/3)(250+175+186)=204 F 6 =(1/3)(175+186+225)=195 F 7 =(1/3)(186+225+285)=232 F 8 =(1/3)(225+285+305)=272 MA(6) F 7 =(1/6)(200+250+175+186+225+285)=220 F 8 =(1/6)(250+175+186+225+285+305)=238 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 33

Tarışma sorusu: Örnek-3 Harekeli oralama yönemi ile çoklu adım sonrası ahmin üreilebilir mi? Örnek-2 de 3.dönemde 6.dönem arızalarını ahmin edin. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 34

Harekeli Oralamalar Harekeli oralamaların bir diğer dezavanajı da, her bir yeni gözlem değeri elde edildikçe en son N gözlemin oralamasının yeniden hesaplanma zorunluluğudur. Özellikle N değerinin çok büyük sayılara ulaşması durumunda bu durum çok sıkıcı olabilir. Hesaplamayı biraz kolaylaşırmak için; 1 F F D D N 1 N İlk erimi çıkarıp, yeni erimi ilave e. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 35

Harekeli Oralamalar Belirli bir dönem boyunca aleplerin 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24 gibi kesin bir rend oluşurduğu bir durumu göz önüne alalım. Böyle bir durumda ek adım sonrası için MA(3) ve MA(6) ahminlerini hesaplayalım. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 36

Harekeli Oralamalar Dönem Talep MA(3) MA(6) 1 2 - - 2 4 - - 3 6 - - 4 8 4-5 10 6-6 12 8-7 14 10 7 8 16 12 9 9 18 14 11 10 20 16 13 11 22 18 15 12 24 20 17 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 37

Harekeli Oralamalar 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Talep MA(3) MA(6) Seride bir rend özelliği keşfedilirse, basi harekeli oralama yönemi oraya çıkan ahmin gecikmesinden dolayı uygun bir yönem olmaz. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 38

Ağırlıklı Harekeli Oralamalar Ağırlıklı oralamalar yönemi, harekeli oralamalar yönemine çok benzer. Temel fark, ağırlıklı oralamalar yöneminde en güncel verilere daha fazla ağırlık verir. Örneğin; En gücel veri %40, daha önceki en güncel veri %30, daha önceki en güncel veri %20 ve daha önceki en güncel veri %10 ağırlık alır. Dikka edilecek olursa ağırlıklar oplamı %100 olur. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 39

Örnek-4 Yanda verilen veriler ışığında en güncel veriye %50 ve geçmişe doğru %30 ve %20 ağırlık vererek ağırlıklı oralamayı hesaplayınız. Dönem Talep 1 42 2 40 3 43 4 40 5 41 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 40

Örnek-4 Dönem Talep MA(3) Ağırlıklı MA(3) 1 42-2 40-3 43-4 40 (43+40+42)/3=41,6 0,50*43+0,30*40+0,20*42=41,9 5 41 (40+43+40)/3=41,0 0,50*40+0,30*43+0,20*40=40,9 6 (41+40+43)/3=41,3 0,50*41+0,30*40+0,20*43=41,1 Son gerçekleşen alebe verilen ağırlık fazla olduğundan ahmin bu veriye çok bağımlıdır. Bu sebeple ağırlıkların çok dikkali seçilmesi gereklidir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 41

Çalışma Sorusu-3 Bir yedek parça deposundan 2009 yılında aylar bazında alep üzerine gönderilen parça mikarları aşağıdaki abloda verilmişir: Ay Talep (ade) Ay Talep (ade) Ocak 89 Temmuz 223 Şuba 57 Ağusos 286 Mar 144 Eylül 212 Nisan 221 Ekim 275 Mayıs 177 Kasım 188 Haziran 280 Aralık 312 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 42

Çalışma Sorusu-3 1. Tek adım sonrası için MA(3), MA(6) ve MA(12) ile Ocak 2010 ayının gönderi mikarını ahmin ediniz. 2. MA(4) ile ek adım sonrası ahminleri Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar hesaplayınız. 3. MA(4) ile Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar iki adım sonrası ahminleri hesaplayınız. (F,+ = F +1 büün 1 için.) 4. 2. ve 3. sorularda hesaplanan ahminle için MAD değerlerini hesaplayınız. Hangisinin daha iyi ahminler olduğunu belirleyiniz. (Tahmin eorisine göre hangisinin daha iyi sonuç vermesi gerekirdi?) 5. Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar MA(3) ve MA(6) ahminlerini hesaplayınız. (N değerinin 3 en 6 ya çıkarılmasının nasıl bir ekisi oldu?) 6. MA(1) ne anlama gelir? Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar olan verileri kullanarak MA(1) ve MA(4) ahminlerinin ekinliklerini hesaplayınız. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 43

Üsel Düzelme (Exponenial Smoohing) Diğer çok kullanılan bir yönem de üsel düzelmedir. Tahmin genel olarak aşağıdaki gibi formüle edilir: F D 1 F 1 1, alebin gözlenen değerinin bağıl (relaive) ağırlığıdır. (1-) ise geçmiş gözlenen alep değerlerinin bir ağırlığı olarak düşünülebilir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 44

Üsel Düzelme (Exponenial Smoohing) Formül küçük bir düzenleme ile aşağıdaki şekilde yazılabilir: F D 1 F 1 1 F F D 1 1 1 F e 0 1 1 1 düzelme sabii (-1). dönemde kesirim sonucu yüksek ise e -1 poziif olacağından yeni ahmin değeri düşer. (-1). dönemde kesirim sonucu düşük ise e -1 negaif olacağından yeni ahmin değeri yükselir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 45

Örnek-5 Örnek-3 de verilen geçmiş 2 yıllık uçak mooru arıza sayılarını ele alalım: 200,250,175,186,225,285,305,190 Daha önce harekeli oralama ile hesaplanan ahminleri bu sefer üsel düzelme ile kesirmeye çalışalım. Bunun için =0,1 alalım. Ayrıca 2.dönem ahminini hesaplamak için 1.dönem ahminine ihiyaç duyulduğundan, 1.dönem ahminini bu dönemin gerçek değeri olan 200 olarak kabul edelim. Hesaplama kolaylığı sağlayan bu kabul, aslında önemli bir ekiye sahipir. Bu ekiyi göz önüne alarak aslında birkaç dönemin gerçekleşen verilerinin arimeik oralamasının alınarak bu oralamanın başlangıç ahmini olarak kullanılması daha uygun bir hareke arzı olarak lieraürde yerini almışır. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 46

Örnek-5 Dönem Moor Arıza Sayısı Tahmin =0,1 Hesaplama F =F -1 -*(F -1 -D -1 ) 1 200 200 F 1 değeri D 1 değerine eşi seçilir. 2 250 200 F 2 =200-0,1*(200-200) 3 175 205 F 3 =200-0,1*(200-250) 4 186 202 F 4 =205-0,1*(205-175) 5 225 200 F 5 =202-0,1*(202-186) 6 285 203 F 6 =200-0,1*(200-225) 7 305 211 F 7 =203-0,1*(203-285) 8 190 220 F 8 =211-0,1*(211-305) düzelme sabiinin ekisine dikka ediniz. Gerçek değerler yüksek farklılıklar barındırsa da, ahmin değerleri daha sabildir. düzelme sabiinin 0,4 olması durumunda ahminler nasıl olur? Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 47

Örnek-5 Dönem Moor Arıza Sayısı Tahmin =0,1 Tahmin =0,4 1 200 200 200 2 250 200 200 3 175 205 220 4 186 202 202 5 225 200 196 6 285 203 207 7 305 211 238 8 190 220 265 düzelme sabiinin 0,4 olması durumunda ahminler nasıl olur? Bu durumda ahmin farklılıkları arar. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 48

Örnek-5 350 300 250 200 Arıza alfa=0,1 alfa=0,4 150 1 2 3 4 5 6 7 8 =0,1 ve =0,4 ahmin üzerinde farklı ekilere sahipir. 0,1 değeri daha düzgün bir ahmin profili verirken, 0,4 değeri daha büyük ahmin farklılıklarına neden olur. Planlama amaçlarına uygun olarak küçük değerleri daha cazipir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 49

Örnek-5 Şimdi ise aynı arıza sayıları kullanılarak MA(3) ve ES(0,1) ahmin yönemlerinin performanslarını inceleyelim. MA(3) 4.dönemden başladığından karşılaşırma 4.dönemden iibaren başlayacakır. Dönem Arıza MA(3) Haa ES(0,1) Haa 4 186 208 22 202 16 5 225 204 21 201 24 6 285 195 90 203 82 7 305 232 73 211 94 8 190 272 82 220 30 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 50

Örnek-5 n 1 1 MAD e MSE n i i1 n i1 n e 2 i Ölçü Sonuç MA(3) ES(0,1) MAD 57,6 49,2 MSE 4215,6 3458,4 MAPE 24,0 18,9 Görüldüğü gibi ES(0,1) yönemi çok daha iyi sonuçlar vermişir. Ancak bu durum her zaman bu şekilde gerçekleşmeyebilir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 51

Karşılaşırılabilir Paramerelerin Hesabı Örneğimizde karşılaşırılan yönemlerde kullanılan N=3 ve =0,1 paramereleri birbirleri ile karşılaşırılmak için uarlı mıdır? 300 270 240 210 Görüldüğü gibi, MA(3) daha büyük farklılıklar oluşurur. Bu sebeple bir uarlılıkan bahsemek doğru olmayacakır. 180 4 5 6 7 8 MA(3) ES(0,1) Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 52

Karşılaşırılabilir Paramerelerin Hesabı ve N için uarlı değerlerin espi edilmesi için kullanılan iki farklı yol vardır: Oralama Yaş Hesabı Harekeli Oralama için; Or.Yaş=(1/N)(1+2+3+ +N)=(N+1)/2 Üsel Düzelme için; Or.Yaş i1 i 1 i1 1 N 1 1 2 veya N 2 2 N 1 =0,1 için N=19 N=3 için =0,5 olmalıdır. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 53

Üsel Düzelme ve Harekeli Oralamaların Karşılaşırılması Benzerlikler 1. Her iki yönem de alep sürecinin sabi olduğunu kabul eder. D =+ 2. Her iki yönemde de ek bir paramere bulunur. N ve Küçük N veya büyük son veriye daha fazla ağırlık verirken büyük N veya küçük geçmiş veriye daha fazla ağırlık verir. 3. Her ikisi de, gözlenen veride bir rend özelliği bulunuyorsa gecikmeye sebep olur. 4. =2/(N+1) olduğunda her iki yönemin ahmin haaları aynı dağılıma sahipir. Bu durum her iki yönemin de aynı ahminleri üreeceği anlamına gelmez. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 54

Üsel Düzelme ve Harekeli Oralamaların Karşılaşırılması Farklılıklar 1. Üsel düzelme ile hesaplanan kesirimler geçmiş büün verilerin ağırlıklı bir oralaması iken harekeli oralamalar sadece son N dönemin ağırlıklı oralamasıdır. Bu durum, harekeli oralamalar açısından bir üsünlük sağlar. Neden? 2. Harekeli oralama yöneminin kullanılması için sisemde N geçmiş verinin saklanması gerekir. Üsel düzelme için sadece en son ahminin saklanması yeerlidir. Bu durum, üsel düzelme açısından önemli bir avanaj sağlar. Neden? Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 55

Çalışma Sorusu-4 Güneş enerjisi ile çalışan hesap makineleri üreen bir firma geçmiş dör aylık saış rakamlarını aşağıdaki gibi açıklamışır. Ay Saışlar Ay Saışlar Ocak 23,3 Mar 30,3 Şuba 72,3 Nisan 15,5 a. Eğer Ocak için yapılan ahmin 25 ise, ek adım sonrası için Şuba Mayıs arası için üsel düzelme yönemi ile ahminleri hesaplayınız (=0,15 ve =0,40). b. =0,15 ve =0,40 ile yapılan ahminler için MSE değerini hesaplayınız. Hangi seçeneğin daha ekili bir ahminde bulunulduğunu beliriniz. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 56

Trend Tabanlı Yönemler Eğer gözlenen verilerde bir rend varsa harekeli oralama ve üsel düzelme yönemlerinin bir gecikmeye sebep olduğu belirilmişi. Bu sebeple bu ür bir durumda kullanılmak üzere iki farklı yönemden bahsedilecekir. Regression Analizi İkili Düzelme (Hol) Yönemi Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 57

Regression Analizi (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),..., (x n,y n ) X ve Y değişkenlerine ai veri nokalarını emsil esin. x i X in y i de Y nin geçmişe gözlenen verilerdir. Y bağımlı, X ise bağımsız değişkendir. Yönemde, X ve Y arasında doğrusal bir ilişki olduğu varsayılır. Ŷ a bx Yˆ Y nin ahmin değeridir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 58

Regression Analizi Yönemin amacı ahmin haasının karelerinin oplamını en küçükleyen a ve b değerlerinin hesaplanmasıdır. Tahmin haası ile rend doğrusu arasındaki haalar aşağıdaki grafike göserilmişir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 59

Regression Analizi Regression analizi uygulandığında, bağımsız değişken genellikle zaman olarak alınır. Bağımlı değişken ise ahminin kendisidir. Dönemler : 1,2,,n Talepler : D 1,D 2,,D n a ve b nin en iyi (opimal) değeleri (yönem-1) b S S xy xx a D b n 1 2 n n nn ( 1) S n id D S xy i i i1 2 i1 xx n ( n 1)(2n 1) n ( n 1) 6 4 2 2 2 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 60

Regression Analizi a ve b nin en iyi (opimal) değerleri ayrıca aşağıdaki şekilde de hesaplanabilir (yönem-2). 2 2 n n xy x y y b x b a y bx n x x Tahmin için aşağıdaki eşilik kullanılır: Dˆ a b* Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 61

Uçak arızaları: Örnek-6 n n nn ( 1) S n id D xy i i i1 2 i1 2 2 2 200,250,175,186,225,285,305,190 İlk beş periyodu regression analizi için kullanacağız S xy = 5*(1*200+2*250+3*175+4*186+5*225) -15*(200+250+175+186+225) = -70 S xx = ((25*6*11)/6)-(25*36)/4 = 50 S xx n ( n 1)(2n 1) n ( n 1) 6 4 Sxy 70 7 b S 50 5 xx n 1 7 a D b 207, 2 *3 211, 4 2 5 ˆ 7 D 211, 4 * 5 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 62

Örnek-6 Regression analizi sonucu elde edilen rend denklemi, 5 ve daha ilerisi periyolardaki arızaların ahmin edilmesi için kullanılır. Örneğin 8.dönem ahminini aşağıdaki şekilde espi edebiliriz; 7 Dˆ 8 211, 4 *8 5 200,2 Ancak 7.dönemde, 8.dönem ahmini isenirse bu durumda daha önce yapılan hesaplamaların 7 dönem için ekrarlanması gerekir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 63

Çalışma Sorusu-5 Bir oopark işlemesi, Ocak 2010 dan başlamak üzere alı aylık devamlı müşeri sayılarını kayı alına almışır. Ay Saışlar Ay Saışlar Ocak 133 Nisan 640 Şuba 183 Mayıs 1876 Mar 285 Haziran 2550 a. Regression eşilikleri yardımıyla a ve b değerlerini bulunuz. b. Temmuz 2010 için hesaplanan ahmin ne kadardır? c. Elde eiğiniz sonucu grafik üzerinde arışınız. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 64

Çif Üsel Düzelme (Hol Meodu ile) Hol meodu, zaman serilerinin, doğrusal rend ile izlenmesi için asarlanmış bir yönemdir. Yönem (seri için) ve (rend için) olmak üzere iki düzelme kasayısının belirlenmesini gerekirir. Aşağıdaki eşilikler kullanılır: S G D ( S (1 )( S S 1 ) 1 G 1 (1 ) G ) 1 anındaki kesişme değeri ahmini anındaki eğim ahmini Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 65

Çif Üsel Düzelme (Hol Meodu ile) adım öesi için ahmin aşağıdaki eşilik ile elde edilir: F,+ = S +G F,+1 = S +1*G = S +G Ayrıca ve arasında genellikle gibi bir ilişki söz konusudur. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 66

Örnek-7 Tekrar, moor arızası problemine dönersek; 200,250,175,186,225,285,305,190 = = 0,1 olarak belirlenmiş olsun. S 1 ve G 1 değerlerinin hesaplanmasında belirli olması gereken S 0 ve G 0 değerleri için aşağıdaki kabulü yapalım: S 0 =200 ve G 0 =10 D ( S S 1 = 0,1*200+0,9*(200+10) = 209 G 1 = 0,1*(209-200)+0,9*10 = 9,9 S G (1 )( S S 1 1 G 1 ) (1 ) G ) 1 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 67

Örnek-7 S G D ( S (1 )( S S 1 1 G 1 ) (1 ) G ) 1 200,250,175,186,225,285,305,190 S 2 = 0,1*250+0,9*(209+9,9) = 222,01 G 2 = 0,1*(222,01-209)+0,9*9,9 = 10,211 S 3 = 0,1*175+0,9*(222,01+10,211) = 226,499 G 3 = 0,1*(226,499-222,01)+0,9*10,211 = 9,639 S 4 = 0,1*186+0,9*(226,499+9,639) = 231,124 G 4 = 0,1*(231,124-226,499)+0,9*9,639 = 9,137 S 5 = 0,1*225+0,9*(231,124+9,137) = 238,735 G 5 = 0,1*(238,735-231,124)+0,9*9,137 = 8,985 S 6 = 0,1*285+0,9*(238,735+8,985) = 251,448 G 6 = 0,1*(251,448-238,735)+0,9*8,985 = 9,358 S 7 = 0,1*305+0,9*(251,448 + 9,358) = 265,225 G 7 = 0,1*(265,225-251,448)+0,9*9,358 = 9,800 S 8 = 0,1*190+0,9*(265,225 + 9,800) = 266,522 G 8 = 0,1*(266,522-265,225)+0,9*9,800 = 8,949 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 68

Örnek-7 Dönem Arıza Tahmin Haa 4 186 236,1 50,1 5 225 240,3 15,3 6 285 247,7 37,3 7 305 260,8 44,2 8 190 275,0 85,0 MAD 1 n n i1 e i 50,1 15,3 37,3 5 44,2 85,0 46,38 Sonuç Ölçü MA(3) ES(0,1) MAD 57,6 49,2 Hol Yönemi MA(3) ve ES(0,1) yönemine göre daha iyi bir sonuç vermişir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 69

Örnek-7 Önceki hesaplamalar ek adım sonrası için ahminleri içermekedir. F 2,5 =? F 2,5 =S 2 +(3)*G 2 = 222,01+(3)*(10,211) = 252,643 Hol meodunun başlangıç (S 0 ve G 0 ) değerlerinin ahmin edilmesinde herhangi bir değeri kabul emek uygun bir yaklaşım değildir. Bunun yerine belirli bir dönemi ele alarak örneğin Regression Analizi yardımıyla kesim nokası ve eğim (a ve b) bulunmaya çalışılabilir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 70

Çalışma Sorusu-6 Çalışma Sorusu-5 i ele alalım. (Oopark örneği) ˆ D Ay Saışlar Ay Saışlar Ocak 133 Nisan 640 Şuba 183 Mayıs 1876 Mar 285 Haziran 2550 500,54* 807,4 b 500,54 vea 807,4 a. Bu değerleri Hol yönemi için başlangıç değeri olarak kullanarak, Temmuz ve Ağusos için gözlenen değerleri sırasıyla 2150 ve 2660 alarak kesişim ve eğim değerlerini güncelleyiniz. (=0,15 ve =0,10) b. Tek adım ve iki adım öesi için ayrı ayrı Eylül ve Ekim ahminlerini Hol Yönemi ile hesaplayınız. c. Temmuzda Aralık için yapılan ahminin sonucu kaçır? Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 71

Mevsimsel Seriler için Yönemler Mevsimsel seri, her N dönemde ekrarlı bir paerne sahip olan seri anlamına gelir. N en az 3 olabilir. Tipik bir mevsimsel seri aşağıda görülmekedir. (Mevsimsellik, bu yaklaşımda, bir yıla ai mevsimleri ifade eden bir kavram değildir.) 16 14 12 10 8 6 4 2 0 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 72

Mevsimsel Seriler için Yönemler Mevsimselliği gösermek için birkaç yol bulunmakadır. En yaygın kullanılan yönem c =N eşiliğini sağlayacak c (1N) gibi bir çarpanlar seinin var olduğunu kabul emekir. c, serinin.dönemindeki alebin, oralama alebin alında veya üsünde olduğunu göseren bir oralama mikarı ifade eder: c 3 = 1,25 3.dönemdeki alep, oralama alebin %25 üsünde. c 5 = 0,60 5.dönemdeki alep, oralama alebin %40 alında. Bu sebeple c ye mevsimsel eken adı verilir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 73

Sabi Seriler için Mevsimsel Eken Hesaplaması (Yönem-1) Yönem-1, mevsimsel farklılıkların olduğu ancak rendin varolmadığı durumlar için kullanılan basi bir yönemdir. En az iki mevsimsel veriyi gerekirir. 1. Büün verilere ai basi oralamayı hesapla. 2. Her bir gözlenen veriyi oralamaya böl. Bu değer her bir gözlenen veri için mevsimsel ekeni verir. 3. Her bir mevsimdeki periyolar için eken oralamasını bul. Bu değer N mevsimsel ekenin oralamasıdır. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 74

Örnek-8 Boğaz Köprüsü için gişe işlemlerinin düzenlenmesinde kullanılmak üzere günlük (iş günleri) kullanım ekenlerinin belirlenmesi ihiyacı doğmuşur. Her bir iş gününde köprüyü kullanan araçların sayısı geçmiş dör hafa için şu şekildedir (x1000): Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 75

Örnek-8 Günler Hafa-1 Hafa-2 Hafa-3 Hafa-4 Pazaresi 16,2 17,3 14,6 16,1 Salı 12,2 11,5 13,1 11,8 Çarşamba 14,2 15,0 13,0 12,9 Perşembe 17,3 17,6 16,9 16,6 Cuma 22,5 23,5 21,9 24,3 Köprünün günlük kullanımına yönelik mevsimsel ekenleri hesaplayınız. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 76

Örnek-8 Öncelikle üm verilere ai oralama değer hesaplanır. 16,425 Büün veriler, hesaplanan oralama değere bölünür. Elde edilen ablo aşağıdadır: Günler Hafa-1 Hafa-2 Hafa-3 Hafa-4 Pazaresi 0,986 1,053 0,889 0,980 Salı 0,743 0,700 0,798 0,718 Çarşamba 0,865 0,913 0,791 0,785 Perşembe 1,053 1,072 1,029 1,011 Cuma 1,370 1,431 1,333 1,479 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 77

Örnek-8 Şimdi ise her bir iş gününe ai mevsimsel ekenin hesaplanması için her hafanın ilgili gününün oralaması alınır: Günler Hafa-1 Hafa-2 Hafa-3 Hafa-4 Mev.Ek. Pazaresi 0,986 1,053 0,889 0,980 0,98 Salı 0,743 0,700 0,798 0,718 0,74 Çarşamba 0,865 0,913 0,791 0,785 0,84 Perşembe 1,053 1,072 1,029 1,011 1,04 Cuma 1,370 1,431 1,333 1,479 1,40 TOPLAM 5,00 Örneğin; Salı için elde edilen 0,74 değeri, kullanımın Salı için genel oralamadan %26 aşağıda olduğunu göserir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 78

Örnek-8 Örneğin 5.hafanın 5 iş gününe ai mevsimsel serisini elde emek için her bir günün mevsimsel ekeni, veri oralaması olan 16,425 ile çarpılır. (Yani oralamanın ne kadar alında ve üsünde olduğu bulunarak oralamaya eklenir veya çıkarılır.) Günler Mev.Ek. Oralama Hafa-5 Pazaresi 0,98 16,1 Salı 0,74 12,1 Çarşamba 0,84 16,425 13,8 Perşembe 1,04 17,1 Cuma 1,40 23,0 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 79

Harekeli Oralama ile Mevsimsel Ayrışırma (Yönem-2) Mevsimsel ekenin ahmininde kullanılan diğer bir yönem de N dönemlik harekeli oralamaların alınmasıdır. Burada N değeri aynı zamanda mevsimsel serinin dönem sayısıdır. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 80

Örnek-9 Geçmiş 8 döneme ai alepler aşağıdaki gibi olsun: 10,20,26,17,12,23,30,22 35 30 25 20 15 10 5 0 N=4 N=4 1 2 3 4 5 6 7 8 Veriler bize 4 dönemlik iki mevsimsel seri olduğunu gösermekedir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 81

Örnek-9 Bir sonraki adım, N=4 olduğundan MA(4) ile hesaplama yapmakır. Dönem Talep MA(4) 1 10 2 20 3 26 4 17 5 12 18,25 6 23 18,75 7 30 19,5 8 22 20,5 9 21,75 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 82

Örnek-9 Daha sonra, hesaplanan MA(4) değerleri merkezlenir. Örneğin ilk MA(4) değeri olan 18,25 değeri 1, 2, 3 ve 4.dönem aleplerinden hesaplandığından, bu sayıların ora nokası 2,5 olur ve MA(4) bu hizaya çekilir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 83

Örnek-9 Dönem Talep MA(4) Merk.MA(4) 1 10 1,5 2 20 2,5 18,25 3 26 3,5 18,75 4 17 4,5 19,5 5 12 18,25 5,5 20,5 6 23 18,75 6,5 21,75 7 30 19,50 7,5 8 22 20,50 8,5 9 21,75 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 84

Örnek-9 N sayısı çif sayı değil de ek sayı olsaydı bu durumda merkezi MA(4) değerleri am periyo hizasına gelebilirdi ancak örneğimizde iki dönem arasına hizalama yapılmışır. Bu durum ilave bir işlem yapılmasını gerekirmekedir. Dönem arasına denk gelen merkezi değerlerin dönem hizasına çekilmesi zorunludur. 2,5 ve 3,5 dönem aralarına gelen MA(4) değerleri 18,25 ve 18,75 in oralaması 18,5 değeri 2,5 ve 3,5 un oralaması olan 3 değerinin karşısına yazılır. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 85

Örnek-9 Dönem Talep MA(4) Merk.MA(4) Merk.MA(4) 1 10 1,5 2 20 2,5 18,25 3 26 18,500 3,5 18,75 4 17 19,125 4,5 19,5 5 12 18,25 20,000 5,5 20,5 6 23 18,75 21,125 6,5 21,75 7 30 19,50 7,5 8 22 20,50 8,5 9 21,75 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 86

Örnek-9 Dönem araları çıkarılarak ablo yeniden düzenlenir: Dönem Talep MA(4) Merk.MA(4) 1 10 2 20 3 26 18,500 4 17 19,125 5 12 18,25 20,000 6 23 18,75 21,125 7 30 19,50 8 22 20,50 9 21,75 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 87

Örnek-9 Şimdi ise hesaplanmamış dönemler olan 1,2,7 ve 8.dönemler için ahmin hesaplaması yapılmalıdır. 1. ve 2. dönemler için kullanılacak ahmin 3.ve 4. dönemler için hesaplanan ahminin oralamasıdır. Benzer şekilde 7. ve 8. dönemler için kullanılacak ahmin değeri de 5. ve 6. dönem ahminlerinin oralamasıdır. Böylece büün dönemlere ai ahminler elde edilmiş olur. 18,50 19,125 F1 F2 18,813 2 20, 0 21,125 F7 F8 20,563 2 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 88

Örnek-9 Büün dönemlerin gözlenen ve ahmin değerleri aşağıdaki gibidir: Dönem Talep MA(4) Merk.MA(4) 1 10 18,813 2 20 18,813 3 26 18,500 4 17 19,125 5 12 18,25 20,000 6 23 18,75 21,125 7 30 19,50 20,563 8 22 20,50 20,563 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 89

Örnek-9 Şimdi ise 4 dönemlik iki mevsimsel seri olarak verilen probleme ai mevsimsel ekeni hesaplayalım. Bunun için her bir gözlenen veri, ilgili oralama değerine bölünür. Dönem Talep MA(4) Merk.MA(4) Mev.Ek. 1 10 18,813 0,532 2 20 18,813 1,063 3 26 18,500 1,405 4 17 19,125 0,889 5 12 18,25 20,000 0,600 6 23 18,75 21,125 1,089 7 30 19,50 20,563 1,459 8 22 20,50 20,563 1,070 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 90

Örnek-9 4 dönemlik iki mevsimsel seri olduğundan her bir döneme ai mevsimsel ekeni hesaplamak için iki farklı serinin oralamasını almak gerekir. Dönem Talep MA(4) Merk.MA(4) Mev.Ek. 1 10 18,813 0,532 2 20 18,813 1,063 3 26 18,500 1,405 4 17 19,125 0,889 5 12 18,25 20,000 0,600 6 23 18,75 21,125 1,089 7 30 19,50 20,563 1,459 8 22 20,50 20,563 1,070 0,532 0, 600 0,566 2 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 91

Örnek-9 Bu durumda elde edilen her bir döneme ai mevsimsel eken değeri aşağıdaki abloda göserilmişir. Dönem Mev.Ek. 1 0,566 2 1,076 3 1,432 4 0,980 Toplam 4,054? Bu değerin am olarak N sayısına eşi olması gerekir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 92

Örnek-9 Bunu sağlamak amacıyla mevsimsel ekenler, oplamları 4 olacak şekilde normalize edilir. Yani her bir eken 4/4,054 ile çarpılır. Dönem Mev.Ek. Nor.Mev. Ek. Açıklama 1 0,566 0,558 Yıllık oralamanın %44,2 aşağısında 2 1,076 1,062 Yıllık oralamanın %6,2 üzerinde 3 1,432 1,413 Yıllık oralamanın %41,3 üzerinde 4 0,980 0,967 Yıllık oralamanın %3,3 aşağısında Toplam 4,054 4,000 - Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 93

Örnek-9 Son olarak mevsimsel serinin içerisinden mevsimselliği çıkararak ayrışırılmış bir alep serisi elde ederiz. Bunu yapmak için Gözlenen alepler, hesaplanan ilgili ekene bölünür. Dönem Talep Eken Ayrış.Talep 1 10 0,558 17,92 2 20 1,062 18,83 3 26 1,413 18,4 4 17 0,967 17,58 5 12 0,558 21,51 6 23 1,062 21,66 7 30 1,413 21,23 8 22 0,967 22,75 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 94

Örnek-9 Bu sonuçlar elde edildiken sonra iki farklı yol ile ileriki dönem ahminleri yapılabilir. Belirli bir oralama ile mevsimsel eken çarpılarak, Mevsimselliken arındırılmış (ayrışmış) alep verileri yardımıyla HOLT veya Regression yönemleri kullanılarak. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 95

Örnek-9 Belirli bir oralama ile mevsimsel ekenler çarpılarak ahmin hesabı yapılması. Burada örneğin 5 dönemlik bir harekeli oralama alalım. (6 veya 8 de olabilirdi.) Dönem Talep Eken Ayrış.Talep 1 10 0,558 17,92 2 20 1,062 18,83 3 26 1,413 18,4 4 17 0,967 17,58 5 12 0,558 21,51 6 23 1,062 21,66 7 30 1,413 21,23 8 22 0,967 22,75 Son 5 dönem için MA(5)=20,95 ise F 9 =20,95*0,558=11,69 (9.dönem serinin 1.dönemidir.) F 10 =20,95*1,062=22,25 MA(5)=20,95 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 96

Örnek-9 Mevsimselliken arındırılmış (ayrışmış) alep verileri yardımıyla HOLT veya Regression yönemleri kullanılarak ahminlerin yapılması. Dönem Talep Eken Ayrış.Talep 1 10 0,558 17,92 2 20 1,062 18,83 3 26 1,413 18,40 4 17 0,967 17,58 5 12 0,558 21,51 6 23 1,062 21,66 7 30 1,413 21,23 8 22 0,967 22,75 Mevsimselliken arınmış, sadece rend özelliği göseren verilerdir. Dˆ 0, 708616, 796 Dˆ 0, 7086*9 16, 796 23,17 9 Dˆ 0, 7086*10 16, 796 23,88 10 F 9 =23,17*0,558=12,93 F 10 =23,88*1,062=25,36 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 97

Çalışma Sorusu-7 Bir spor şor üreicisi, geçmiş iki yıllık saış verilerini aşağıdaki şekilde açıklamışır. Şor saışlarında rend olmadığını kabul ederek, aylık mevsimsel ekenleri hesaplayınız. Aylar Yıl-1 Yıl-2 Aylar Yıl-1 Yıl-2 Ocak 12 16 Temmuz 112 130 Şuba 18 14 Ağusos 90 83 Mar 36 46 Eylül 66 52 Nisan 53 48 Ekim 45 49 Mayıs 79 88 Kasım 23 14 Haziran 134 160 Aralık 21 26 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 98

Çalışma Sorusu-8 Bir ayakkabı saıcısı çeyrek yıl bazında 3 yıllık arihsel aleplerini (x1000) aşağıdaki gibi gösermekedir. 2007 Talep 2008 Talep 2009 Talep 1 12 1 16 1 14 2 25 2 32 2 45 3 76 3 71 3 84 4 52 4 62 4 47 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 99

Çalışma Sorusu-8 a. Her bir çeyrek döneme ai mevsimsel ekeni merkezi harekeli oralama yönemine göre hesaplayınız. b. (a) şıkkındaki sonuçlara göre, ayrışırılmış alep serisini düzenleyiniz. c. 2010 yılının ilk çeyreği için alep ahminlerini ayrışırılmış seri ile 6 çeyreklik harekeli oralamadan hesaplayınız. d. (a) ve (c) şıklarındaki sonuçları kullanarak 2010 un ilk çeyreğini ahmin ediniz. e. (d) şıkkında elde edilen sonuçları karşılaşırınız. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 100

Mevsimsel Problemler için Winer Yönemi Harekeli oralama yönemi rendin olup olmadığına bakılmaksızın mevsimsel serilerinin ahmin edilmesinde kullanılabilir. Ancak yeni veriler elde edildikçe yönem büün mevsimsel ekenlerin yeniden hesaplanmasını gerekirmekedir. Winer Yönemi, bu değerlerin güncellenmesi için önemli bir avanaj sağlar. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 101

Mevsimsel Problemler için Winer Yönemi Bir mevsimsel modele ai gerçek değerlerin aşağıdaki şekilde gerçekleşiklerini kabul edelim. D ( G) c : Temel sinyal (veya mevsimsellik ayrışıkan sonra =0 anındaki kesim değeri) G : Trend veya eğim bileşeni c :.dönemdeki mevsimsel bileşen çarpanı : haa erimi Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 102

Gözlenen Değer Mevsimsel Problemler için Winer Yönemi c erimi, kesim ve eğim bileşeni oplamı ile çarpıldığından, seri formu aşağıdaki gibi olur. D ( G) c Zaman Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 103

Mevsimsel Problemler için Winer Yönemi Ayrıca, mevsim uzunluğunun N dönem ve c =N olduğu kabul edilmekedir. Yönem her bir dönem için üç farklı paramere ahmini güncellemeye dayanır: Ayrışırılmış (mevsimselliken arınmış) seri Trend Mevsimsellik ekeni Bu serilerin sırasıyla, ve düzelme sabileri bulunmakadır. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 104

Mevsimsel Problemler için Winer Yönemi Ayrışırılmış seri ahmini: D S 1 S G Trend ahmini: Mevsimsellik ekeni: 1 1 c N G S S 1 G c 1 1 D S 1 c N Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 105

Mevsimsel Problemler için Winer Yönemi S D S G 1 1 1 c N 1 G S S G c 1 1 D 1 S Tahmin ise aşağıdaki şekilde hesaplanır:,, 3, N c N F S G c N F S G c N N 2N 2 F S G c 2N 3 N... N Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 106

Mevsimsel Problemler için Winer Yönemi Başlama Prosedürü Yönemin kullanılmaya başlaması için ayrışırılmış seri, rend ve mevsimsel eken için ayrı ayrı başlangıç değerlerinin hesaplanması gerekmekedir. Winer, başlangıç için en az iki mevsimsel verinin elde bulunmasını önermekedir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 107

Mevsimsel Problemler için Winer Yönemi Yaklaşımı arif edebilmek için; 2N kadar yani 2 mevsimsel dönemin olduğunu, =0 anında olduğumuzu farz edelim. Bu durumda geçmiş gözlemler D -2N+1, D -2N+2,, D 0 şeklinde olacakır. 1. İki ayrı mevsimsel seri verilerinin arimeik oralamaları hesaplanır: N V V 1 2 1 N 1 N j2n1 0 jn1 D D j j Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 108

Mevsimsel Problemler için Winer Yönemi 2. Başlangıç eğim değeri olan G 0 =(V 2 -V 1 )/N olarak bulunur. Bulunan bu formül 2N veri içindir. Doğal olarak 3N, 4N veri de olabilirdi. Bu durumda; m gibi bir değerin kaç mevsimsel seri olduğunu göserdiği varsayılırsa m>2 için G 0 değeri aşağıdaki gibi hesaplanır: G 0 Vm V m1 1 N Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 109

Mevsimsel Problemler için Winer Yönemi Eğer V 1 olarak ilk mevsimsel serinin merkezini V 2 olarak da ikinci mevsimsel serinin merkezini seçersek G 0 bu iki nokayı birleşiren doğrunun eğimi olarak bulunabilir. V V 1 2 1 N 1 N N j2n1 0 jn1 D D j j 2N 1 N 3N 1 2 2 N 1 2 Merkez Nokaları Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 110

Talep V 2 V 1 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 V V 1 2 1 N 1 N N j2n1 0 jn1 Mevsimsel Problemler için Winer Yönemi D D j j Mevsim-1 N Mevsim-2 eğim=g 0 Zaman Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 111

Mevsimsel Problemler için Winer Yönemi 3. =0 anında seri (ayrışırılmış) değeri ahmini ise aşağıdaki formül ile hesaplanır: N 1 S0 V2 G0 2 Bu noka V 1 ve V 2 nokalarını birleşiren doğrunun =0 anında aldığı değer olarak düşünülür. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 112

Mevsimsel Problemler için Winer Yönemi 4. Başlangıç mevsimsel eken, veri gözlendikçe her bir dönem için bir mevsimsel eken sei olarak hesaplanır. Bunun için gözlenen başlangıç gözlemleri, V 1 ve V 2 nokalarını birleşiren doğru üzerinde bulunan ilgili nokaya bölünür. D c 2N 1 0için N 1 Vi j G0 2 İlk mevsimsel seri için i=1, ikinci mev.seri için i=2.. olur. j ise serinin dönemidir. = (-2N+1) ve (-N+1) için j=1, = (-2N+2) ve (-N+2) için j=2 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 113

Mevsimsel Problemler için Winer Yönemi Mevsimsel ekenlerin oralaması alınır. Eğer 2 mevsim anımlanmış ise; c c c c c,..., c 2 2 2N 1 N 1 N 0 N 1 0 Mevsimsel ekenler normalize edilir. c c N N 1 j 0 j j N 1 ci i0 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 114

Mevsimsel Problemler için Winer Yönemi Winer yönemi ahmin siseminin başlaılması için ek yönem değildir. Bu, daha önce göserildiği gibi harekeli oralamalar veya Hol yönemi ile de yapılabilir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 115

Örnek-10 Geçmiş 8 döneme ai alepler aşağıdaki gibi olsun: (Örnek-9 verileri) 10,20,26,17,12,23,30,22 Bu durumda; V 1 =(10+20+26+17)/4 =18,25 V 2 =(12+23+30+22)/4 =21,75 G 0 =(21,75-18,25)/4 =0,875 S 0 =21,75+0,875*(5-1)/2 =23,06 V V 1 2 G 0 1 N 1 N N j2n1 0 j N1 V m m1 D D V1 N N 1 S0 V2 G0 2 j j Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 116

Örnek-10 Başlangıç mevsimsel ekenler ise; D c 2N 1 0için N 1 Vi j G 2 0 V 1 =18,25 V 2 =21,75 G 0 =0,875 S 0 =23,06 c c c c c c c c 7 7 6 5 5 4 3 2 1 0 D 10 0,5904 N 1 4 1 V1 1G0 18,25 10,875 2 2 D 6 20 1,123 N 1 4 1 V1 2G0 18,25 20,875 2 2 D 26 1,391 N 1 4 1 V1 3G0 18,25 30,875 2 2 D 4 17 0,869 N 1 4 1 V1 4 G0 18,2 5 40,875 2 2 D 3 12 0,5872 N 1 4 1 V2 1G0 21,75 10,875 2 2 1,079 1,352 0,9539 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 117

Örnek-10 Başlangıç mevsimsel ekenlerin oralaması ise; c -7 =0,5904 c -6 =1,123 c -5 =1,391 c -4 =0,869 c -3 =0,5872 c -2 =1,079 c -1 =1,352 c 0 =0,9539 c c c c 3 2 1 0 0,5904 0,5872 2 1,1231, 079 2 1,3911,352 2 0,869 0,9539 2 0,5888 1,1010 1,3717 0,9115 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 118

Örnek-10 Şimdi ise c =4 olup olmadığına bakalım. Dönem c Norm. c -3 0,5888 0,59-2 1,1010 1,11-1 1,3717 1,38 0 0,9115 0,92 Toplam 3,9730 4,00 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 119

Örnek-10 Winer yönemi ahminleri aşağıdaki formül ile gerçekleşirmeke idi. Buna göre; F S G c N,,, N F S G c N 2N 2N F S G c 2N 3 N... 3N F ( S G ) c ( S G ) c (23,6 0,875)(0,59) 14,12 0,1 0 0 014 0 0 3 F ( S 2 G ) c 23,6 (2)0,875 (1,11) 27,54 F F 0,2 0 0 2 0,3 0,4 35,44 24,38 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 120

Örnek-10 Şimdi ise =0 dan =1 e geçiş yapalım ve D 1 =16 olarak kabul edelim. Aşağıda verilen formüller aracılığıyla S, G ve c değerlerinin güncellenmesi amacıyla =0,2 =0,1 =0,1 olarak kabul edelim. D S S G cn G S S G c 1 1 1 1 1 1 D 1 S c N Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 121

Örnek-10 S değerinin güncellenmesi için; D S S G 1 1 1 c N S D S G S 1 1 1 0 0 c1 3 1 16 (0, 2) (0,8)(23, 06 0,875) 24,57 0,59 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 122

Örnek-10 G değerinin güncellenmesi için; G S S 1 G 1 1 1 G S S G G 1 1 11 11 1 (0,1)(24,57 23,06) (0,9)(0,875) 0,9385 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 123

Örnek-10 c değerinin güncellenmesi için; c D S 1 c N c c D 1 1c S1 16 (0,1) 0,9 (0,59) 0,5961 24,57 1 1 4 1 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 124

Örnek-10 Elde edilen yeni c 1 =0,5961 değeri, eski değerler olan c -2, c -1, c 0 değerlerine eklenir ve oplamın N sayısına eşi olup olmadığına bakılır. Eğer eşi ise direk olarak kullanılır ancak eşi değilse normalize edilmesi gerekir. Örnek-10 için; Dönem c Norm. c 1 0,5961 0,595-2 1,1100 1,108-1 1,3800 1,378 0 0,9200 0,919 Toplam 4,0061 4,000 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 125

Örnek-10 Şimdi ise D 1 =16 ya ilave olarak D 2 =33, D 3 =34 ve D 4 =26 değerlerinin gözlendiğini farz ederek yeni S, G ve c değerlerini hesaplayalım. S 2 G c 2 2 26,35 1,0227 1,124 S G c 3 3 3 26,83 0,9678 1,369 S G Dönem c Norm. c 1 0,5961 0,59 2 1,1240 1,12 3 1,3690 1,37 4 0,9212 0,92 Toplam 4,0061 4,00 c 4 4 4 27,89 0,9770 0,9212 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 126

Örnek-10 4. periyoa iken 10.periyodu ahmin emek isersek; F, S G c N N F, S G c 2N N 2N F S G c 2N 3 N..., F S 6G c 3N 4,10 4 4 468 27,89 (6)0,9770 (1,124) 37,94 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 127

Çalışma Sorusu-9 Aşağıdaki gözlenmiş değerleri ele alalım: 2008 Talep 2009 Talep 1 16 1 14 2 32 2 45 3 71 3 84 4 62 4 47 Kesim, eğim ve mevsimsel eken için başlangıç değerlerini hesaplayınız. 2010 ilk çeyreğinde gözlenen değer 18 olursa kesim, eğim ve mevsimsel ekeni güncelleyiniz. (=0,2, =0,15, =0,1 alınacakır.) Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 128

Çalışma Sorusu-9 2010 yılına ai dör çeyrek için gözlenen değerlerin sırasıyla 18, 51, 86 ve 66 olması durumunda Winer yönemi ile elde edilecek F 1,2, F 1,3 ve F 1,4 ahminlerinin ekinliğini MAD ve MSE ile hesaplayınız. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 129

Model Tanıma ve İzleme Tarihsel Veri Uygun Model Tahminin Özelliği Bir arihsel veri grubu, rend ve/veya mevsimselliğin bulunup bulunmadığı açısından iyice irdelenmelidir. Bu durum, veriler grafiğe döküldüğünde açıkça oraya çıkar. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 130

Model Tanıma ve İzleme İsaisiksel esler de kullanışlı olabilmekedir. Örneğin rendin varlığı regression kasayısı ile açıklanabilir. Basi grafiksel yönemlerle açıklanamayan ancak karmaşık yönemleri gerekiren ilişki anımlamaları da mevcuur. Örneğin Box-Jenkins, basi ookorelasyon fonksiyonu ile, grafiksel yönemlerin göseremediği ilişkileri anımlayabilir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 131

Model Tanıma ve İzleme Bir ahmin modeli seçildiğinde, model arafından üreilen ahminler, modelin uygunluğu veya seride beklenmedik değişimlerin olup olmadığı açısından düzenli bir şekilde gözlenmelidir. Daha önce de vurgulandığı gibi bir ahmin yönemi önyargılı veya araflı (biased) olmamalıdır. Tahmin ile gerçek veri arasındaki farkın yani haanın beklenen değerinin sıfır olması gerekir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 132

Model Tanıma ve İzleme Trigg arafından gelişirilen bir yönem ile adına izleme sinyali (racking signal) denen bir oran yardımıyla modelin üreiği ahminlerdeki önyargı izlenir. Daha önce de anımlandığı gibi; e ile. dönemdeki haa ve e ile de haanın mulak değeri göserilirse; düzelilmiş haa ve mulak haa; E e (1 ). E 1 M e (1 ). M 1 İzleme Sinyali T E M Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 133

Model Tanıma ve İzleme Eğer ahminler ön yargılı değil ise E nin M den küçük olması gerekir. Tersi durumda yani T nin büyük değerler alması ahminlerde ön yargı olduğu anlamına gelir ki bu durumda kullanılan ahmin yönemi uygun değildir. Anlamlı bir önyargı işarei veren T nin düzelme sabiine bağlı olduğu unuulmamalıdır. Trigg e göre, T nin =0,1 de 0,51 i aşan değerleri rasgele olmayan haa değerleri olduğunu göserir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 134

Örnek-11 Bir firmanın 2006, 2007, 2008 ve 2009 yıllarına ai saış rakamları aşağıda verilmişir. Ay Saışlar_x Ay Saışlar_x Ay Saışlar_x Ay Saışlar_x Oca.06 1 317 Oca.07 1 460 Oca.08 1 538 Oca.09 1 626 Şub.06 2 194 Şub.07 2 395 Şub.08 2 570 Şub.09 2 690 Mar.06 3 312 Mar.07 3 392 Mar.08 3 600 Mar.09 3 680 Nis.06 4 316 Nis.07 4 447 Nis.08 4 565 Nis.09 4 673 May.06 5 322 May.07 5 452 May.08 5 485 May.09 5 613 Haz.06 6 334 Haz.07 6 571 Haz.08 6 604 Haz.09 6 744 Tem.06 7 317 Tem.07 7 517 Tem.08 7 527 Tem.09 7 718 Ağu.06 8 356 Ağu.07 8 397 Ağu.08 8 603 Ağu.09 8 767 Eyl.06 9 428 Eyl.07 9 410 Eyl.08 9 604 Eyl.09 9 728 Eki.06 10 411 Eki.07 10 579 Eki.08 10 790 Eki.09 10 793 Kas.06 11 494 Kas.07 11 473 Kas.08 11 714 Kas.09 11 726 Ara.06 12 412 Ara.07 12 558 Ara.08 12 653 Ara.09 12 777 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 135

Örnek-11 İzleme sinyalinin hesaplanmasında başlangıç sinyal değerinin çok büyük önemi bulunmakadır. Bu sebeple geçmiş birkaç veri bu başlangıç değerin bulunması için kullanılır. Örneğimizde ilk iki yıla ai geçmiş veriler, başlangıç değerinin bulunması için kullanılacakır. 1. Önce 2006 ve 2007 yıllarına ai geçmiş veriler ile regression yapılarak bu verilerin karşılığında ahminler hesaplanır. 2. Aynı verilerin varyansı özel bir formül ahmin edilir. 3. Varyans kullanılarak M 0 yani başlangıç MAD değeri ahmin edilir. 4. E 0 değeri olarak ise son iki yılın ilk ahmin haası alınır. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 136

Örnek-11 1. 2006 ve 2007 yıllarına ai veriler kullanılarak regression yapıldığında elde edilen regression modeli aşağıdaki gibidir: xˆ 275,00 10,88. Hesaplamalar Excel uygulama dosyasında Örnek-11 de göserilmişir. 2. Varyans hesabı ise aşağıdaki formülle yapılır: n 2 x ˆ x 2 1 68215,44 ˆ 3100,70 ˆ n 2 24 2 55,68 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 137

Örnek-11 3. Varyans kullanılarak M 0 ı elde emek için aşağıdaki özelliklerden faydalanılır: 2 e M 0 2 c 1 0,8 e 2 e M M 0 0 c 1 0,8 2 0,8 e c ˆ 1 c 1 ekeni, kesirim aralığının ahmin edilmesinde kullanılan bir eken olup, değeri önceden hesaplanmış ablolardan okunarak bulunur. 0,8 1,1372 55,68 47, 50 4. E 0 değeri ise 538 537,69 = 0,31 olarak hesaplanır. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 138

Örnek-11 Böylelikle M 0 ve E 0 değerleri başlangıç değerleri olarak elde edilmiş oldu. Bu aşamadan sonra her bir değeri için T değerleri aşağıda verilen formüllerle hesaplanacakır. Excel Uygulamalarında ilgili hesaplamalar göserilmişir. =0,1 alınacakır. E e (1 ). E 1 M e (1 ). M 1 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 139

Çoklu Regression ve Korelasyon Daha önce basi regression yöneminde bağımsız değişkendeki değişimlerin bağımlı değişkenin ahmin edilmesi için kullanıldığını görmüşük. Aralarında doğrusal bir ilişki anımlanmışı. Dˆ a b* Bazı durumlarda özellikle karar verme süreçlerinde bağımlı değişkenin ahmin edilmesinde birden çok değişken kullanılır. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 140

Örnek-12 Örnek durumumuzda CPG markalı bir cam üreicisinin verileri kullanılacakır. Örneke firmanın ne saışları yanında yıllık oomobil üreimi ile alınan bina ihaleleleri gibi iki farklı veri de mevcuur. Veriler bir sonraki yansıda verilmişir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 141

Yıl Ne Saış (milyon TL) Oombil Üreimi (milyon) Bina Sözleşmeleri (milyon) Çoklu Regression ve Korelasyon 1993 280,0 3909 9,43 1994 281,5 5119 10,36 1995 337,4 6666 14,50 1996 404,2 5338 15,75 1997 402,1 4321 16,78 1998 452,0 6117 17,44 1999 431,7 5559 19,77 2000 582,3 7920 23,76 2001 596,6 5816 31,61 2002 620,8 6113 32,17 2003 513,6 4258 35,09 2004 606,9 5591 36,42 2005 629,0 6675 36,58 2006 602,7 5543 37,14 2007 656,7 6933 41,30 2008 778,5 7638 45,62 2009 877,6 7752 47,38 2010 (ahmin) 6400 48,51 2011 (ahmin) 7900 51,23 2012 (ahmin) 8400 57,47 2013 (ahmin) 8600 61,03 2014 (ahmin) Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 8900 66,25 142

Örnek-12 Firma yekilileri ne saışların bu iki bilgi ile doğrudan ilişkisi olduğunu düşünmeke ve gelecek beş yıl için ahmin çalışması yapılmasını alep emekedir. Şu ana kadar öğrenilen yönemler ile isenilen ahminin yapılması mümkündür. Ancak bildiğimiz bu yönemlerle mümkün olmayan, oomobil fiyaları ile bina sözleşmelerinin aynı anda kullanılarak bir ahminde bulunulmasıdır. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 143

Örnek-12 Aslında isenen, maemaiksel olarak; Ne saışlar=f(oomobil üreimi, bina sözleşmeleri) Y=a+b 1 X 1 +b 2 X 2 Y=CPG nin ne yıllık saışları X 1 =Yıllık oomobil üreimi X 2 =Yıllık bina sözleşmesi Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 144

b Örnek-12 En küçük kareler yönemi ile hesaplanan a, b 1 ve b 2 değerlerine aşağıdaki formüller ile ulaşılabilir. ( x x ) ( x x )( y y) ( x x )( x x ) ( x x )( y y) 2 2i 2 1i 1 i 1i 1 2i 2 2i 2 i 1 2 2 2 ( x1i x1) ( x2i x2) ( x1i x1)( x2i x2) b 2 ( x x ) ( x x )( y y) ( x x )( x x ) ( x x )( y y) 2 1i 1 2i 2 i 1i 1 2i 2 1i 1 i 2 2 2 ( x1i x1) ( x2i x2) ( x1i x1)( x2i x2) a y b x b x 1 1 2 2 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 145

Örnek-12 İki ayrı değişken için anımlanan söz konusu formüllerin elle hesaplanması haaya sebebiye verebileceğinden, a, b 1 ve b 2 kasayılarının hesaplanmasında bilgisayar programlarından faydalanılır. MS Excel, SPSS gibi programlarla hesaplanan kasayılar; a = 19,12 b 1 = 0,036 b 2 = 10,86 Y a b X b X 1 1 2 2 y 19,12 0,036X 10,86X 1 2 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 146

Örnek-12 2010-2014 için ahminler ise; y 19,12 0,036X 10,86X y y y y y 2010 2011 2012 2013 2014 1 2 19,12 0,036(6400) 10,86(48,51) 774,2 19,12 0,036(7900) 10,86(51,23) 857,3 942,9 988,7 1056,1 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 147

Adapive Filering (Uyarlamalı Filreleme) ile Tahmin Harekeli oralamalar ve üsel düzelme, geçmiş verilerin ağırlıklı oplamlarının kullanılarak ahminlerin yapıldığı yönemler olarak ele alınabilir. Haırlama; 1 1 1 i 1 2 N N i N N F D D D... D Harekeli Oralama F D 1 F Üsel Düzelme 1 1 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 148

Adapive Filering (Uyarlamalı Filreleme) ile Tahmin Tahmin formunu en genel haliyle aşağıdaki gibi ifade edebiliriz: F 1 w D i i i N Burada w i ile D i gözlenen verisinin ağırlığı göserilmekedir. N ile de ahmine ulaşmak için kullanılan gözlem sayısı göserilmişir. Adapive filering süreci, w i lerin ahmin haası kullanılarak düzelilmesi sürecidir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 149

Adapive Filering (Uyarlamalı Filreleme) ile Tahmin W : Revize edilmiş ağırlıklar sei W : Eski ağırlıklar sei k : Öğrenme sabii e : Tahmin haası D : Gözlenen veri ise ağırlıkların ayarlanması; W =W+2keD ile yapılır. k öğrenme sabii önceden belirlenen bir sabi olup, ağırlıkların ne kadar çabuk ayarlanacağını belirler. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 150

Örnek-13 Geçmiş 10 döneme ai değerler aşağıda verilmişir: Dönem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 11.dönem verisinin adapive filering ile ahmin edilmesi ve ahmin için geçmiş iki dönemin kullanılması isenmekedir. (w 1 =0,5 ve w 2 =0,5 olacakır. w 1 +w 2 =1,0 olduğuna dikka ediniz. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 151

Örnek-13 Önce F 3 ü ahmin edelim: 2 F w D w D w D (0,5)(0,1) (0,5)(0,2) 0,15 3 i i 1 1 2 2 i32 Tahmin haası: e3 D3 F3 0,3 0,15 0,15 Öğrenme sabii, k= 0,9 (sezgisel olarak seçildi) olursa; w w 2keD 0,5 2(0,9)(0,15)(0,1) 0,527 1 1 1 w w 2keD 0,5 2(0,9)(0,15)(0,2) 0,554 2 2 2 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 152

Örnek-13 w 1 ve w 2 değerlerinin oplamı 1 olması gerekir. Olmuyorsa normalize edilir: w 1 0,527 0,488 w 2 0,554 0,512 Toplam 1,081 1,000 Yeni ağırlıklar sei kullanılarak F 4 ahmin edilir ve ahmin haası hesaplanır: 3 F w D w D w D (0,488)(0,2) (0,512)(0,3) 0,2512 4 i i 1 2 2 3 i42 e D F 0,4 0,2512 0,1488 4 4 4 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 153

Örnek-13 Yeni ağırlıklar ve normalize ağırlıklar ise; w w 2keD 0,488 2(0,9)(0,1488)(0,2) 0,542 1 1 2 w w 2keD 0,512 2(0,9)(0,1488)(0,3) 0,592 2 2 3 w 1 0,542 0,478 w 2 0,592 0,522 Toplam 1,134 1,000 Benzer şekilde 10.dönem ahminlerine kadar devam edilirse; Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 154

Örnek-13 D w1 w2 F e e k yeni w1 yeni w2 nor. w1 nor. w2 Toplam 1 0,1 0,5000 0,5000 2 0,2 0,5000 0,5000 3 0,3 0,4875 0,5125 0,1500 0,1500 0,1500 0,9000 0,5270 0,5540 0,4875 0,5125 1,0000 4 0,4 0,4772 0,5228 0,2512 0,1488 0,1488 0,9000 0,5411 0,5928 0,4772 0,5228 1,0000 5 0,5 0,4696 0,5304 0,3523 0,1477 0,1477 0,9000 0,5569 0,6292 0,4696 0,5304 1,0000 6 0,6 0,4647 0,5353 0,4530 0,1470 0,1470 0,9000 0,5754 0,6627 0,4647 0,5353 1,0000 7 0,7 0,4624 0,5376 0,5535 0,1465 0,1465 0,9000 0,5965 0,6935 0,4624 0,5376 1,0000 8 0,8 0,4622 0,5378 0,6538 0,1462 0,1462 0,9000 0,6204 0,7218 0,4622 0,5378 1,0000 9 0,9 0,4635 0,5365 0,7538 0,1462 0,1462 0,9000 0,6464 0,7484 0,4635 0,5365 1,0000 10 1,0 0,4657 0,5343 0,8537 0,1463 0,1463 0,9000 0,6742 0,7736 0,4657 0,5343 1,0000 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 155

Örnek-13 Şaye gözlenen verilerde bir rasgelelik var ise bu durumda 0 ahmin haasına ulaşılması mümkün değildir. Bunun yerine ahmin haasında çok az değişimler olana kadar adapasyon devam eder ve burada bırakılır. Örnek-13, öğrenme amaçları doğrulusunda çok basi olarak seçilmişir. Praike adapive filering uygulaması Örnek-14 de anlaılmışır. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 156

Örnek-14 Bir ilaç üreicisi Ocak 2002 den Eylül 2010 a kadar olan (105 ay) büün aylar için ABC ilacı saış rakamlarını kaydemişir. Bu verilerden yola çıkarak adapive filering yönemiyle 105 döneme ai hesaplamaları MA(12) ile yapınız. Çok fazla veri olduğundan MS Excel uygulama dosyasındaki Örnek-14 e bakınız. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 157

Box-Jenkins Yönemi Şimdiye kadar öğrenilen ahmin yönemleri, gözlenmiş birkaç veri yardımıyla gelecekeki değerlerin ahmin edilmesini sağlamakadır. İncelenen seriler genellikle emel bir paerne ve bu paerne ilave olarak bir rasgeleliğe sahipir. Bu sebeple önceki ahmin yönemlerinin odaklandığı noka mümkün olduğunca emel paerni ayırmak ve bu paerni gelecek dönemin ahmin edilmesinde kullanmakadır. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 158

Box-Jenkins Yönemi Üsel düzelme gibi yönemler kısa dönemli ve fazla dalgalanma gösermeyen durumlar için kullanışlı olsa da gerçek hayaa karşılaşılan durumlar, rasgele dalgalanmalara ilave olarak bünyesinde rend, mevsimsellik ve döngüsellik barındırabilir. Bu ip durumlarda daha karmaşık yönemlere ihiyaç duyulur. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 159

Hayır Box-Jenkins Yönemi Modelin Genel Sınıfını Seç Deneme Olarak Seçilen Modeli Tanımla Model Paramerelerini Kesir Modelin Uygun mu? Eve Modeli Tahmin Emek için Kullan Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 160

Box-Jenkins Yönemi Bir veri grubunun ardışık iki verisi arasındaki Ookorelasyon (Auocorrelaion), verinin doğru paerninin espi edilmesinde önemli bir rol oynar. Daha önce korelasyona değinilmişi. Korelasyon iki veri arasındaki ilişkiyi anımlayan ve korelasyon kasayısı ile ifade edilen bir özelliki. Korelasyon kasayısı +1 ile -1 arasında değişen değerler almakaydı. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 161

Box-Jenkins Yönemi Bir ookorelasyon kasayısı, korelasyon kasayısına benzer ancak ookorelasyon kasayısı aynı değişkenin farklı zaman periyolarındaki değerleri arasındaki ilişkiyi anımlar. Ookorelasyon kasayısının nasıl hesaplandığını bir örnek üzerinde göserelim. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 162

Örnek-15 Bir X değişkeni aşağıdaki gibi anımlanmış olsun: Y den üreilmiş yapay değişkenler X 1 gecikme (lag) X 1 2 gecikme (lag) X 2 3 gecikme (lag) X 3 3-2 5-6 -2 5-6 -6 5-6 -6 2-6 -6 2 1-6 2 1-3 2 1-3 4 1-3 4 2-3 4 2 4 2 2 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 163

Örnek-15 X ile yapay değişkenler olan X 1, X 2, X 3 arasındaki ookorelasyon fonksiyonu (Rho) aşağıdaki şekilde göserilir: k N k 1 x xx x N x x 1 Burada ookorelasyonu, k ise gecikme sayısını göserir. Örnek olarak k=1 için hesaplamalar şu şekildedir. k 2 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 164

Örnek-15 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 165 0,188 144 27 (2) (4) 3) ( (1) (2) 6) ( 6) ( (5) 2) ( (3) (4.2) 3).4) (( 3)) (1.( (2.1) 6).2) (( 6)) 6).( (( 6)) (5.( 2).5) (( 2)) (3.( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 2 9 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 10 1 2 1 1 10 1 1 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x N k k N k

Örnek-15 SPSS v17.0 ile hesaplanan diğer ookorelasyon değerleri ise aşağıda verilmişir: Lag Auocorrelaion 1 -,188 k N k 1 x xx x N x x 1 k 2 2 -,201 3,181 4 -,132 5 -,326 6,118 7 -,049 8,056 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 166

Box-Jenkins Yönemi Ookorelasyon kullanıcılara çok önemli bilgiler sunar. Örneğin ardışık değerlerin amamen rasgele olması durumunda ookorelasyon=0 olur. Ardışık veride varolan mevsimsel veya döngüsel özellikler yüksek ookorelasyon değerlerine sebep olur. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 167

Ookorelasyon Kasayısı Değeri ( k ) Box-Jenkins Yönemi Aşağıda İngilere ye ai aylık benzin ükeimine ai çeşili gecikme değerleri için hesaplanan ookorelasyon değerleri ( k ) değerleri verilmişir. 1 =0,90 12 =0,71 24 =0,45 6 =0,38 36 =0,21 18 =0,15 30 =0,05 k Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 168

Box-Jenkins Yönemi Hesaplanan ookorelasyon değerleri, Box-Jenkins Yöneminde ahmin modelinin belirlenmesinde kullanılır. Box-Jenkins Yöneminde herhangi bir veri ipi veya paernini açıklayabilen üç genel model sınıfı bulunmakadır: AuoRegressive (AR) Moving Average (MA) Mixed AuoRegressive Moving Average (ARMA) Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 169

Box-Jenkins Yönemi Bir AuoRegressive (AR) model aşağıdaki şekilde anımlanır: Burada; x bağımlı değişken, x -1, x -2,, x -p bağımsız değişkenlerdir. x -1, x -2,, x -p önceki dönemlere ai x değerleridir. ise haa veya arık olarak isimlendirilir ve model arafından açıklanamaz (sadece ahmin edilir). AR modelinin en çok kullanılan iki farklı özel durumu vardır: Birinci sıra AuoRegressive, AR(1) İkinci sıra AuoRegressive, AR(2) Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 170 p p x x x x x 1 3 3 2 2 1 1... x x 1 1 x x x 2 2 1 1

Box-Jenkins Yönemi Box-Jenkins erminolojisinde moving average (MA) (harekeli oralama) modeli ise aşağıdaki formdadır: MA süreçlerinin de iki önemli özel durumu vardır: Birinci sıra MA süreci İkinci sıra MA süreci Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 171 q q x... 3 3 2 2 1 1 1 1 x 2 2 1 1 x

Box-Jenkins Yönemi Yönemin üçüncü ip modeli olan ARMA modeli ise aşağıdaki gibidir: Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 172 q q p p x x x x x...... 3 3 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1

Box-Jenkins Yönemi Bu modellerden hangisinin kullanılacağına ookorelasyon kasayılarına bakılarak karar verilir. Teorik olarak lieraürdeki model seçim krierleri aşağıda göserilmişir: Aslında çok fazla durum söz konusudur ancak doğru başlangıç modelin seçilmesi ecrübe iseyen bir konu olup çok daha ileri düzey bilgi gerekirmekedir. Model Ookorelasyon Fonksiyonu Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonu AR(p) Azalarak kaybolma p gecikme sonrası kesilme MA(q) q gecikme sonrası kesilme Azalarak kaybolma ARMA(p,q) Azalarak kaybolma Azalarak kaybolma Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 173

Örnek-16 Bir kimyasal proses sonucunda elde edilen ürünün akışkanlık değeri, önemli bir kalie özelliği olarak kabul edilmekedir. Ölçülen son 100 akışkanlık değeri ile grafik göserimi sonraki yansılarda verilmişir. Firma yöneicileri bir zaman serisi oluşurarak konrol şemasını elde emek isemekedir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 174

Örnek-16 Gözlem Değeri, x 29,33 30,80 32,43 33,61 28,17 19,98 30,45 32,44 36,54 28,58 25,76 36,61 29,39 35,70 30,76 29,00 31,40 23,45 33,68 30,62 31,03 30,83 23,62 29,29 20,84 32,68 33,22 28,12 25,12 16,57 33,56 30,15 29,94 27,23 25,23 27,50 27,08 30,56 30,61 31,79 26,75 33,66 32,30 29,06 32,52 30,55 36,58 31,58 28,48 30,28 28,94 29,04 27,99 32,01 26,14 28,50 28,08 24,13 31,89 19,03 28,19 30,28 29,20 31,72 24,34 26,13 29,35 34,30 29,02 31,53 27,79 33,60 26,41 31,92 31,95 27,63 30,29 28,78 24,28 31,68 29,89 20,11 21,28 22,69 29,10 28,18 17,51 21,71 26,60 23,15 26,65 23,71 21,47 28,86 26,74 30,01 24,22 24,71 28,27 32,44 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 175

Örnek-16 40 Akışkanlık 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Akışkanlık Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 176

Örnek-16 Öncelikle geçici başlangıç modelin belirlenmesi amacıyla önce auocorrelaion ve kısmi auocorrelaion durumuna bakılacakır. Auocorrelaion abloları SPSS v.17 ile hesaplanmışır. Söz konusu ablolar sonraki yansılarda verilmişir. Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 177

Örnek-16 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 178 Auocorrelaion ve Sandar Errors Lag 1-12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Auocorrelaion 0,49-0,05-0,26-0,28-0,07 0,22 0,20-0,01-0,09-0,11-0,08 0,03 Sd. Error 0,10 0,12 0,12 0,13 0,13 0,13 0,14 0,14 0,14 0,14 0,14 0,14 Lag 13-24 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Auocorrelaion 0,01-0,11-0,12-0,11-0,09 0,00 0,16 0,18 0,08-0,04-0,17-0,19 Sd. Error 0,14 0,14 0,14 0,14 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 Lag 25-36 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Auocorrelaion -0,06 0,05 0,02 0,01-0,01-0,11-0,11-0,02 0,03 0,02 0,01-0,04 Sd. Error 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 N k k N k x x x x x x r Auocorrelaion 1 2 1 0 0 0 2 1 ) ( 2 1 1 1 2 2 1 j j j j k j j k r r r N r S

Örnek-16 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 179

Örnek-16 Kısmi Auocorrelaion ve Sandar Error Lag 1-12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Parial Auocorrelaion 0,49-0,39-0,06-0,15 0,13 0,16-0,13-0,06 0,06-0,02-0,03 0,00 Sd. Error 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 Lag 13-24 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Parial Auocorrelaion -0,10-0,07-0,02-0,10-0,05 0,00 0,16 0,05-0,04-0,03-0,06-0,04 Sd. Error 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 Lag 25-36 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Parial Auocorrelaion -0,05-0,06-0,14 0,05-0,02-0,13-0,06 0,01 0,06-0,05-0,05-0,02 Sd. Error 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 Kaniaif Tahmin Yönemleri Ayulun 180