KBÇ SİSMLRD ÇOKLU RİŞİM KARIŞIMI HSAPLAMA KİKLRİ Ahmet OURAK Zongulda Karaelmas Üniversitesi Fen Bilimleri nstitüsü letri-letroni Mühendisliği Anailim Dalında Yüse Lisans ezi Olara Hazırlanmıştır ZOGULDAK KİM 7
Bu tezdei tüm ilgilerin aademi urallara ve eti ilelere uygun olara elde edildiğini ve sunulduğunu; ayrıa u uralların ve ilelerin geretirdiği şeilde, u çalışmadan aynalanmayan ütün atıfları yaptığımı eyan ederim. Ahmet OURAK iii
ÖZ Yüse Lisans ezi KBÇ SİSMLRD ÇOKLU RİŞİM KARIŞIMI HSAPLAMA KİKLRİ Ahmet OURAK Zongulda Karaelmas Üniversitesi Fen Bilimleri nstitüsü letri-letroni Mühendisliği Anailim Dalı ez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. rtan ÖZÜRK im 7, 75 sayfa Kod Bölmeli Çolu rişim (KBÇ) yeni nesil hüresel haerleşme sistemlerinde ullanılan ir çolu erişim teniğidir. KBÇ sistemlerin en önemli özelliği veri sinyali geniş anda yayan yayılım odlarının ullanılmasıdır. KBÇ taanlı haerleşme sistemlerindei en üyü prolem ullanııların işaretleri arasında oluşan arışımdır. Karışım aynı zamanda Çolu rişim Karışımı (ÇK) olara ilinir ve referans ir ullanııya aynı hürede veya omşu hürelerde diğer ullanııların verdiği arışım sinyalidir. Haerleşme sistemlerinin performansı Bit Hata Olasılı (BHO) ifadesi ile ölçülür. Literatürde, BHO hesaplamalarında, Standard Gauss yalaşımı (Standard Gaussian Approximation-SGA) ullanılara ÇK in varyansı hesaplanır. Diğer yandan, Gauss yalaşımının özellile az sayıda ullanıılı sistemlerde doğru sonuç vermemesinden dolayı, yine literatürde, geliştirilmiş Gauss yalaşımı (Improved Gaussian Approximation-IGA) yöntemi ullanılmıştır. Ana, u yöntem armaşılığının ço yüse olması nedeniyle, uygulaması olduça zordur. IGA nın hesaplama armaşılılığın azaltılması amaıyla geliştirilmiş Gauss yalaşımı için asit ifade (Simplified xpression for the Improved iv
ÖZ (devam ediyor) Gaussian Approximation-SIGA) metodu literatürde önerilmiştir. Bu tez çalışmasında önelile, didörtgen ıymı şeillendirii ullanan KBÇ sistemi için SGA ve SIGA yöntemleri ullanılara ÇK ve BHO ifadeleri literatürdeilere enzer şeilde türetilmiştir ve nümeri BHO hesaplamaları yapılmıştır. Daha sonra, diğer ıymı şeillendiriiler, yarım sinüs (YS), yüseltilmiş osinüs (YK) ve areö yüseltil-miş osinüs (KKYK), ullanan KBÇ sistemleri için SIGA yöntemi ullanara ÇK ve BHO ifadeleri türetilmiştir. lde edilen ifadeler ullanılara, nümeri BHO sonuçları tüm ıymı şeillendiriiler için elde edilip, SGA yöntemiyle elde edilen BHO sonuçlarıyla arşılaştırılmıştır. BHO analizlerinde, varsayılan haerleşme analı önelile eş zamanlı olmayan elemeli eyaz Gauss gürültülü (BGG) analdır. Daha sonra ço yollu sönümlemeli anal göz önüne alınara, BHO ifadesi türetilmiştir ve tüm ıymı şeillendiriiler için u analdai BHO nun nümeri sonuçları hesaplanmıştır. Anahtar Sözüler: Kod Bölmeli Çolu rişim, Standart Gauss Yalaşımı, Standart Gauss Yalaşımı için Basitleştirilmiş İfade, Bit Hata Olasılığı Bilim Kodu: 69..7 v
ABSRAC M. S. hesis MULIPL ACCSS IRFRC VALUAIO CHIQUS I CDMA SYSMS Ahmet OURAK Zongulda Karaelmas University Graduate Shool of atural and Applied Siene Department of letrial and letroni ngineering hesis Advisor: Asst. Prof. Dr. rtan ÖZÜRK Otoer 7, 75 pages Code Division Multiple Aess (CDMA) is the most promising multiple Aess tehnique for new ellular ommuniation systems. he most important future of CDMA systems is that it uses spreading odes to spread spreading data signals to a wideand. he most important prolem for ommuniation systems ased on CDMA is interferene etween signals of moile users. his interferene also nown as MAI (Multiple Aess Interferene) is aused y presene of other users in the same ell of the referene user or in neighoring ells. he performane of the ommuniation system is measured y Bit rror Proaility (BP). In BP alulations, the total MAI is assumed as a Gaussian proess, the variane of MAI is alulated using Standard Gaussian Approximation. his variane also yields the power of the MAI in BP alulations. On the other hand SGA doesn t yield aurate result espeially in systems with a small numer of users, in literature Improved Gaussian Approximation method is also proposed. However this method has high omputational omplexity, thus it is quite hard to apply. In order to derease omputational omplexity of IGA, in literature Simplified xpression of Improved Gaussian Approximation (SIGA) method is also proposed. vi
ABSRAC (ontinued) In this thesis, MAI and BP expressions are derived using SGA, IGA and SIGA tehniques for CDMA system using retangular hip waveform the same way in literature and numerial BP alulations are otained. hen MAI and BP expressions are derived using SIGA tehnique for the CDMA systems using the other hip waveforms are half sine (HS), raised osine (RC) and square root raised osine (SRRC). By using the otained expressions, the BP results for all hip waveforms are alulated, then the BP results are ompared with those of SGA. In the BP analysis, we first assume asynhronous AWG hannel. hen we onsider multi path fading hannel the BP expressions are given for oth hannels, respetively. Key Words: Code Division Multiple Aess, Standart Gaussian Approximation, Simplified xpression of Improved Gaussian Approximation, Proaility of Bit rror. Siene Code: 69..7 vii
ŞKKÜR Bu çalışma esnasında enden ilgi, öneri ve yardımlarını esirgemeyen danışman hoam Sayın Yrd. Doç. Dr. rtan ÖZÜRK e, tezdei hataların düzeltilmesi onusunda yardım-larını esirgemeyen değerli hoalarım Sayın Yrd. Doç. Dr. Rıfat HACIOĞLU ve Sayın Yrd. Doç. Dr. S. Sunay GÜRLYÜK e ve ana her zaman deste çıan aileme, eşime ve ar-deşlerime; özellile eğitim-öğretim hayatımız oyuna irlite aynı idealleri paylaştığımız üçü ardeşim letri-letroni Mühendisi Mehmet OURAK a ve iş aradaşlarıma teşeürü ir orç ilirim. viii
İÇİDKİLR Sayfa ÖZ... iv ABSRAC... vi ŞKKÜR... viii İÇİDKİLR... x ŞKİLLR DİZİİ... xiv SİMGLR V KISALMALAR... xvi BÖLÜM GİRİŞ.... HÜCRSL İLİŞİM SİSMLRİ.... YAYILIM V KARIŞIRMA KODLARI..... Yayılım Kodları..... Karıştırma Kodları.... YAYILI SPKRUM ÇOKLU RİŞİM..... Freans Hoplamalı Kod Bölmeli Çolu rişim (FH-KBÇ)..... Doğrudan Dizili Kod Bölmeli Çolu rişim (DD-KBÇ)... 5. ÇALIŞMAI AMACI V LİRAÜRDKİ YRİ... 7.5 Z PLAI... BÖLÜM AALİZ KİĞİ.... GİRİŞ.... GAUSS YAKLAŞIMI.... MRKZİ LİMİ ORMİ.... Ş ZAMALI OLMAYA K YOLLU SÖÜMLMSİZ KAAL MODLİ... x
İÇİDKİLR (devam ediyor) Sayfa.. Sinyal Modeli..... Alıı Modeli... 5.5 ÇOK YOLLU RAYLIGH SÖÜMLMLİ KAAL MODLİ....5. Alıı Modeli... BÖLÜM Bİ HAA OLASILIK PRFORMASI.... SADAR GAUSS YAKLAŞIMI..... e Yollu Sönümlemesiz Kanallarda Hata Olasılığı..... Ço Yollu Rayleigh Sönümlemeli Kanallarda Hata Olasılığı... 6. İYİLŞİRİLMİŞ GAUSS YAKLAŞIMI..... e Yollu Sönümlemesiz Kanallarda Hata Olasılığı..... Ço Yollu Rayleigh Sönümlemeli Kanallarda Hata Olasılığı.... İYİLŞİRİLMİŞ GAUSS YAKLAŞIMII BASİLŞİRİLMİŞ İFADSİ..... e Yollu Sönümlemesiz Kanallarda Hata Olasılığı..... Ço Yollu Rayleigh Sönümlemeli Kanallarda Hata Olasılığı..... e Yollu Sönümlemesiz Kanallarda SIGA için ÇK varyansının elenen değer ve varyansının türetilmesi... 6 BÖLÜM KIYMIK ŞKİLLDİRİCİLR... 9. DİKDÖRG KIYMIK ŞKİLLDİRİCİ... 9. KAR KÖK YÜKSLİLMİŞ KOSİÜS KIYMIK ŞKİLLDİRİCİ.... YARIM SİÜS KIYMIK ŞKİLLDİRİCİ.... YÜKSLİLMİŞ KOSİÜS KIYMIK ŞKİLLDİRİCİ... BÖLÜM 5 ÜMRİK BHO HSAPLAMALARI... 7 5. K YOLLU SÖÜMLMSİZ KAALLARDA BHO HSAPLAMALARI... 7 5. ÇOK YOLLU RAYLIGH SÖÜMLMLİ KAALLARDA BHO HSAPLAMALARI... 5 xi
İÇİDKİLR (devam ediyor) BÖLÜM 6 YORUMLAR V GLCK ÇALIŞMALAR... 59 Sayfa KAYAKLAR... 6 K A ÇIKLAMALAR A K YOLLU SÖÜMLMSİZ KAALLA... 65 A. SGA DA GÜRÜLÜ DAHİL ÇK İ İGO YA BAĞLI İFADSİİ ÜRİLMSİ... 66 A. SIGA DA GÜRÜLÜ DAHİL ÇK İ İGO YA BAĞLI İFADSİİ ÜRİLMSİ... 67 K AÇIKLAMALAR B ÇOK YOLLU RAYLIGH SÖÜMLMLİ KAALLAR... 7 B. SGA DA GÜRÜLÜ DAHİL ÇK İ İGO YA BAĞLI İFADSİİ ÜRİLMSİ... 7 B. SIGA DA GÜRÜLÜ DAHİL ÇK İ İGO A BAĞLI İFADSİİ ÜRİLMSİ... 7 ÖZGÇMİŞ... 75 xii
ŞKİLLR DİZİİ o. FH-KBÇ yapı örneği... 5 Sayfa. DD-KBÇ de sinyaller... 6. DD-KBÇ verii modeli.... ş zamanlı olmayan analda DD-KBÇ alıı modeli... 5. ını ullanıı için Rae Alıısı.... Didörtgen ıymı şeillendiriinin ir ıymı aralığındai dare evaı... 9. Didörtgen ıymı şeillendiriinin güç yoğunlu spetrumu.... Kareö yüseltilmiş osinüs ıymı şeillendiriinin dare evaı.... Kareö yüseltilmiş osinüs ıymı şeillendiriinin güç yoğunlu spetrumu....5 Yarım Sinüs ıymı şeillendiriinin ir ıymı aralığındai dare evaı....6 Yarım Sinüs ıymı şeillendiriinin güç yoğunlu spetrumu....7 Yüseltilmiş Kosinüs ıymı şeillendiriinin dare evaı... 5.8 Yüseltilmiş Kosinüs ıymı şeillendiriinin Güç yoğunlu spetrumu... 5 5. Didörtgen ıymı şeillendirii için SGA ve SIGA yöntemiyle elde edilen BHO sonuçlarının arşılaştırılması... 8 5. Dört farlı ıymı şeillendirii için SGA yalaşımı ullanılara elde edilen BHO sonuçları (, İGO db )... 9 5. Dört farlı ıymı şeillendirii KBÇ sisteminin BHO larının SIGA yöntemi ullanılara elde edilen sonuçları (, İGO db )... 5 5. Dört farlı ıymı şeillendirii ullanan KBÇ sisteminin SGA metodu ile elde edilen BHO sonuçları (, K6)... 5 5.5 Dört farlı ıymı şeillendirii ullanan KBÇ sisteminin SIGA metodu ile elde edilen BHO sonuçları (, K6)... 5 5.6 Ço yollu Rayleigh sönümlemeli anallarda ullanıı sayısına arşı SIGA ve SGA yalaşımları ullanılara elde edilen BHO sonuçları... 5 5.7 Ço yollu Rayleigh sönümlemeli anallarda hata olasılılarının ullanıı sayısına arşı SGA yalaşımı ullanılara elde edilen BHO sonuçları... 55 5.8 Ço yollu Rayleigh sönümlemeli anallarda hata olasılılarının ullanıı sayısına arşı SIGA yalaşımı ullanılara elde edilen BHO sonuçları... 56 5.9 Ço yollu Rayleigh sönümlemeli anallarda hata olasılığının İGO ya arşı SGA yalaşımı ullanılara elde edilen BHO sonuçları... 57 xiv
o ŞKİLLR DİZİİ (devam ediyor) Sayfa 5. Ço yollu Rayleigh sönümlemeli anallarda hata olasılığının İGO ya arşı SIGA yalaşımı ullanılara elde edilen BHO sonuçları... 58 xv
KISALMALAR DİZİİ KBÇ DD-KBÇ FH-KBÇ DYDF YSÇ YD YF SG YAK SAK ÇAK ÇK SGA IGA SIGA İGO İKO BHO UMS KKYK Didörtgen YS YK MOD ML RF GSM : Kod Bölmeli Çolu rişim : Doğrudan Dizili-Kod Bölmeli Çolu rişim : Freans Hoplamalı-Kod Bölmeli Çolu rişim : Di Yayılım Değişen Fatörü : Yayılı Spetrum Çolu rişim : Yayılım Dizileri : Yayılım Fatörü : Sahte Gürültü : Yollar Arası Karışım : Semoller Arası Karışım : Çipler Arası Karışımı : Çolu rişim Karışımı : Standart Gauss Yalaşımı : İyileştirilmiş Gauss Yalaşımı : İyileştirilmiş Gauss Yalaşımı nın Basitleştirilmiş İfadesi : İşaret Gürültü Oranı : İşaret Karışım Oranı : Bit Hata Olasılığı : Universal Moile eleommuniation System : Kıymı süresi : Veri süresi : Kareö Yüseltilmiş Kosinüs : Didörtgensel ıymı şeillendirii : Yarım Sinüs : Yüseltilmiş Kosinüs : Masimum Oran Dedetörü : Merezi Limit eoremi : Radyo Freansı : Gloal System Moile xvi
KISALMALAR DİZİİ (devam ediyor) K G G G : Bir veri itinin enerjisi : Kod uzunluğu : Kullanıı Sayısı : irini nesil : iini nesil : üçünü nesil xvii
BÖLÜM GİRİŞ. HÜCRSL İLİŞİM SİSMLRİ Birini nesil (G) hüresel haerleşme ağlarında analog tenolojiler ullanılmıştır. 98 lerin sonlarında G ağlar apasitelerinin sınırına ulaşmışlardır. 99 lar oyuna apasiteyi iyileştirme için analog ağların yerini dijital iini nesil (G) sistemler almıştır. Dünyada en yaygın iini nesil hüresel haerleşme standardı olan ve düşü hızlı veri iletimini sağlayan Gloal System Moile (GSM) radyo giriş ağında (radio aess networ) çolu erişim teniği olara Zaman Bölmeli Çolu rişim (ZBÇ) teniğini ullanılmıştır (Severina ve Cigno ). Çolu erişim teniği ullanııların sisteme nasıl erişeeğini elirler. 99 lı yılların sonlarından itiaren daha yüse veri iletim hızı taleini arşılayailme için üçünü nesil (G) hüresel haerleşme standardı Universal Moile eleommuni-ation Sytem (UMS) geliştirilmiştir. UMS nin çeirde ağı (ore networ) GSM çeirde ağının evrim geçirmiş halidir. Radyo giriş ağı tamamen değiştiri-lere, çolu erişim teniği geniş ant Kod Bölmeli Çolu rişim (KBÇ) yapılmıştır. Bir diğer G hüresel haerleşme standardı olan CDMA de çolu erişim teniği olara KBÇ ullanmatadır. G moil ağlar saniyede Megait (Mps) hız geretiren video ve veri iletimini sağlamatadır. KBÇ nin en elirgin özelliği ullanııları ayırma ve tanımlama için ullanılan ve aynı zamanda iletilen işaretin (verinin) ant genişliğini arttıran yayılım dizilerinin ullanıl-masıdır. Yayılım dizisinin her ir irimine ıymı denir ve ıymılar ıymı şeillendirii ir dalgayla şeillendirilir (Öztür ). Çolu erişim tenileri, ullanııların freans spetrumunu nasıl ullanaalarını tanımlar. n ço ullanılan çolu erişim tenileri aşağıda özetlenmiştir (Severina ve Cigno ):
Freans Bölmeli Çolu rişim (Frequeny Division Multiple Aess-FBÇ) da spetrum, oruma antları ile ayrılmış freans antlarına ölünür. Her ant sadee ir ullanıı tarafından ullanılailir. Zaman Bölmeli Çolu rişim (ime Division Multiple Aess-ZBÇ) da ir ullanıı ilgiyi gönderme için tüm freans andını işgal eder, ana anal, zaman dilimlerine ölünür ve u zaman dilimi periyodi olara ir ullanııya tahsis edilir. Kod Bölmeli Çolu rişim (Code Division Multiple Aess-KBÇ) de her ir ullanıı tüm freans andını ullanır. Kullanıılara tayin edilen ve irirlerine di veya çapraz ilişisi düşü odlar yardımıyla alııda ullanııların işaretleri irirlerinden ayrılailir. Kullanılan odlar, dar ant ilgi işaretlerini geniş anda yayarlar, u yüzden Yayılım Dizileri (spreading sequenes-yd) olara da isimlendirilirler. Yayılım dizisinin her ir irimine ıymı denir ve ıymılar, ıymı şeillendirii ir dalgayla şeillendirilirler.. YAYILIM V KARIŞIRMA KODLARI Yeni nesil sistemlerde, veri dizileri ii işleme maruz alır: Yayılım ve arışım. Birinisi için Di Yayılım Değişen Fatörü (Orthogonal Spreading Variale Fator-DYDF) odları ullanılır ve iinisi için Sahte Gürültü (Pseudo oise-sg) odları ullanılır. İi durumda da odlar iili odlardır. Alııda gönderilmiş ilginin alınması için veriide ullanılmış aynı od ullanılmalıdır (Severina ve Cigno )... Yayılım Kodları Bu işlemde veri dizisi daha yüse it hızlı ir Di Yayılım Değişen Fatörü dizisi ile çarpılır. Bir veri itinde DYDF odunun ıymı elemanlarının sayısı Yayılım Fatörü (Spreading Fator-YF) olara adlandırılır. Yayılma, sinyal andının genişlemesine neden olur ve daha geniş ir ant üzerindei sinyal güünün dağılımı çeşitli avantajlara sahiptir. Karışım ve gürültüye arşı iyi ir direnç ve istenmeyen ullanıılara arşı iyi ir oruma sağlar. Veriidei DYDF odlarının eş zamanlı olmadığı zaman düşü çapraz orelasyona sahip olmasından dolayı ullanııları ayırmada ullanılamaz. Alııda ise u odlar, iletimler eş zamanlı olduğundan ullanııları ayırma için ullanılmalıdır. Faat DYDF odlarının sınırlı
sayıda olması, aynı odun omşu hürelerde de ullanılmasını geretireilir, unun sonuunda da ÇK artar. Yayılım odları veriide ve alııda spetrumun yayılmasına neden olurlar. Veriide her ir ullanııya ir DYDF odu tahsis edilir, alııda ise veriide ullanılmış odun aynısının ullanılması gereir... Karıştırma Kodları Yayılma işlemi, spetrumun yayılmasına neden olur, faat ullanııların sinyallerinin ayrılmasında yeterli olamayailir. Bu yüzden ir arıştırma işlemi gerelidir. Karıştırma işlemi, yayılı sinyal ile ir SG dizisi arasında yapılan XOR işlemidir. Yeni nesil sistemlerde ii çeşit arıştırma odu ullanılır: Uzun arıştırma odları ve ısa arıştırma odları. Her ii durumda da u odları üretme için standart algoritmalar ullanılır.. YAYILI SPKRUM ÇOKLU RİŞİM Yayılı Spetrum Çolu rişim (spread spetrum multiple aess-ysç), radyo freansı (radio frequeny-rf) için istenen gereli minimum ant genişliğinin iraç atı üyülüğünde iletim ant genişliğine sahip sinyaller ullanır. Bir SG dizisi, iletimden öne dar ant ir sinyali, sinyale enzeyen geniş ant ir gürültüye çevirir. YSÇ ço yollulutan aynalanan arışıma arşı olduça dayanılı ir çolu erişim teniğidir. YSÇ te ir ullanıı tarafından ullanıldığında ant genişliği etinliği ço iyi değildir. Bununla eraer irço ullanıı iririyle örtüşmeden aynı yayılı spetrum ant genişliğini paylaşır. Çolu ullanıılı durumda yayılı spetrum sistemlerin ant genişliği verimliliği etin duruma gelir. İi ana yayılı spetrum çolu erişim teniği vardır; freans hoplamalı od ölmeli çolu erişim (frequeny hopping ode division multiple Aess - FH-KBÇ) ve doğrudan dizili od ölmeli çolu erişim (diret sequene ode division multiple Aess-DD-KBÇ)... Freans Hoplamalı Kod Bölmeli Çolu rişim (FH-KBÇ) Freans hoplamalı çolu erişim, ireysel ullanııların taşıyıı freanslarının geniş ant ir anal içersinde rasgele içimde değiştiği sayısal ir çolu erişim teniğidir. FH-KBÇ, çolu ullanıılara eş zamanlı olara aynı anda aynı freans spetrumunu ullanmasına olana
sağlar. Her ullanıının sayısal verisi, tahsis edilen spetrum andı içindei farlı anallar üzerinden iletilen te oyutlu parçalara ölünür. Herhangi ir iletim parçasının anlı ant genişliği toplam yayılı spetrum andından ço daha azdır. Kullanııların anal freanslarının rasgele değişimleri, geniş ir freans andı üzerinden çolu erişimi sağlama suretiyle verilen herhangi ir zamandai elirli analların meşguliyetlerini rasgeleleştirmiştir. Bir FH-KBÇ yapı örneği Şeil. de verilmiştir. Alıının anlı freansını veriinini ile senronize etme amaıyla FH alıısında yerel olara üretilmiş SG odu ullanılır. Zamanda verilen herhangi ir notada, freans hoplamalı sinyal sadee te ve nispeten dar ir anal işgal eder. Bundan dolayı freans modülasyonu (FM) veya freans ötelemeli anahtarlama (FÖA) ullanılır. FH-KBÇ ve gelenesel FBÇ sistemleri arasındai far, freans hoplamalı sinyalin hızlı aralılarla analları değiştirmesidir. ğer taşıyıı freansın değişim hızı, semol hızından üyüse sistem hızlı freans hoplamalı sistem olara adlandırılır. ğer anal değişimleri semol hızına eşit veya daha az hızda ise sistem yavaş freans hoplamalı olara adlandırılır. Böylee hızlı ir freans hoplayıı, freans çeşitliliğini ullanan ir FBÇ sistem gii düşünüleilir. Freans hoplamalı ir sistem özellile ço sayıda anal ullanıldığında elli ir güvenli seviyesi sağlar. Bir FH sinyal sönümlemeye arşı olduça ağışılıdır. Bu seeple hoplama dizisi oyuna azen meydana geleilee derin sönümlemelere arşı FH sinyali oruma için hata ontrol odlaması ve iniştirme ullanılailir. Aynı zamanda aynı anal üzerinde ii veya daha fazla ullanıı iletiliren meydana geleilee silmelere arşı orunma için hata ontrol odlaması ve iniştirme irleştirileilir. Bluetooth ve home RF alosuz tenolojileri güç etinliği ve düşü maliyet uygulamaları için FH-KBÇ enimsenmiştir.
Şeil. FH-KBÇ yapı örneği.. Doğrudan Dizili Kod Bölmeli Çolu rişim (DD-KBÇ) Doğrudan dizili od ilmeli çolu erişim sistemlerinde dar ant veri sinyali geniş spetrumlu SG odları ile çarpılara, geniş ant işarete (yani yayılı spetruma) dönüşür. Şeil. de u durum ir örnele açılanmıştır. DD-KBÇ sistemlerdei tüm ullanıılar aynı taşıyıı freansı ullanırlar ve aynı anda iletilirler. Her ullanıı endi od elimesine sahiptir. Her ullanıının endi od elimesi diğer tüm od elimelerine yalaşı olara digendir. İlişisizleştirmeden dolayı diğer tüm od elimeleri gürültü olara ortaya çıar. Mesaj sinyalinin ortaya çıarılması için alıı, verii tarafından ullanılan od elimelerini ilme zorundadır. Her ullanıı diğer ullanııların ilgisi olmadan ağımsız çalışır. DD-KBÇ de alııdai çolu ullanııların güü, ilişisizleştirmeden sonra gürültü atını elirler. Bir hüredei her ullanıının güü az istasyonunda eşit olmadığından ontrol 5
edilmezse yaın-uza prolemi ortaya çıar. Yaın-uza prolemi, ço sayıda gezgin ullanıı aynı analı paylaştığında meydana gelir. Genelde en güçlü alınan moilin sinyali Şeil. DD-KBÇ de sinyaller (Öztür ) az istasyonunda diğer moillerin işaretlerine asın olur. Yaın-uza prolemi ile müadele etme için irço DD-KBÇ uygulamalarında güç ontrolü ullanılır. Güç ontrolü ir hüresel sistemdei her az istasyonu tarafından gerçeleştirilir. Güç ontrolü, az istasyonu apsama alanındai her gezgin ullanıının az istasyonu alıısına aynı sinyal seviyesini göndermesini sağlar. Her hüredei güç ontrolü ullanımına rağmen hüre dışındai gezgin ullanıılar, alıı az istasyonunda ontrol altında olmayan arışıma neden olur. 6
Yapılan çalışmalar KBÇ teniğinin gelee nesil (dördünü ve ötesi) hüresel haerleşme sistemleri için en ço gelee vaat eden çolu erişim teniği olduğunu göstermetedir. Gelee nesil hüresel sistemlerin Mps den daha hızlı veri iletim geretiren servislerin (Internet, video iletimi vs) yanı sıra düşü hızlı veri iletiminin yeterli olduğu servisleri de (ses iletimi) destelemesi geremetedir. Ayrıa, her geçen gün u servislere olan talep (ullanıı sayısı) artışlarının da sınırlı aynalara (freans spetrumu gii) arşılanması geremetedir. Bu seeple KBÇ teniğinin performansının daha da iyileştirilmesi ve apasitesinin arttırılması için araştırma ve geliştirme çalışmaları devam etmetedir (Öztür 6). ÇALIŞMAI AMACI V LİRAÜRDKİ YRİ Literatürde KBÇ ıymı şeillendiriilerin Çolu rişim Karışımı, dolayısıyla da hata olasılığı üzerine etilerini ineleyen il çalışmalar (Lehnert 98) ve (Geraniotis 98) dir. Bu il çalışmalarda ir ıymı süresiyle sınırlı gelenesel ıymı şeillendiriiler (yarım sinüs, yüseltilmiş osinüs ve didörtgen gii) ullanılmıştır. Son çeyre yüzyılı aşın ir süredir DD-KBÇ sistemlerinin performansı onusunda ço sayıda araştırma yapılmıştır (Pursley 977), (Pursley 98), (Geraniotis 98), (Lehnert 987) (Geraniotis 99), (Zang ve Ling ). İl çalışma (Pursley, 977) de Çolu rişim Karışımı ir Gauss Rasgele Değişeni olara değerlendirilmiştir ve performans hesaplama-sında İşaret Gürültü Oranı (Signal to oise Ratio-İGO) ullanılmıştır. Gauss Yalaşımı metodu merezi limit teoremine dayanmatadır. Bununla irlite ÇK dei geimelerin yoğunluğu, üyü parametreler için Gauss yoğunluğundan ço daha yavaş ir hızda olduğundan yeteri adar doğru değildir (Lehnert 987). Hata olasılığı, ullanıı sayısı az ve yayılım fatörü üyü olduğu zaman Standart Gauss Yalaşımı (Standard Gaussian Approximation-SGA) ile hesaplanailir (Zang ve Ling ). Masimum ve minimum İGO a göre hata olasılı sınırları (Pursley 98) de inelenmiştir. Yine (Pursley ve Lehnert, 987) de didörtgen ıymı şeillendirii için Gauss Yalaşımını ullanara, rasgele yayılım dizileri ullanara hata olasılı sınırları inelemiştir. DD-KBÇ sistemlerinin hata olasılığı için tam analiz (Geraniotis ve Pursley 98) de geliştirilmiştir. Bu analiz, ÇK in arateristi fonsiyonunun nümeri integrasyonuna dayanır. Ana arateristi fonsiyon yalaşımı özellile dizi uzunluğu üyü olduğu zaman hesapsal olara armaşılaşır. Hesapsal armaşılığı azaltma için Morrow ve Lehnert İyileştirilmiş Gauss Yalaşımını (Improved Gaussian Approximation-IGA) önermişlerdir (Morrow ve Lehnert 989). Bu 7
yalaşım, dizi periyodu sonsuza gittiği zaman ÇK in şartlı Gauss olmasından türetilir. Bu gözleme dayanara Holtzman ir rasgele değişene ağlı süreli ir fonsiyonun ortalama değerini alma için aylor açılımını ullanara, hata olasılılarını hesaplama için asit faat una rağmen yeterli dereede ir doğruluğa sahip ir yalaşım geliştirmiştir (Holtzman 99). İyileştirilmiş Gauss Yalaşımı için Basitleştirilmiş İfade (Simplified xpression of Improved Gaussian Approximation-SIGA) olara ilinen u yalaşım yayınlandığından eri ço ilgi çemiştir. Holtzman ın u çalışması SIGA yöntemiyle hata olasılığını ineleyen ço sayıda çalışmaya önülü etmiştir (Rappaport 996), (Lo ve Lehnert, 996), (Buehrer ve Woerner 996), (guyen ve Shwedy ), (Lee, Kim ve Sung ). Bunlardan (Rappaport 996) da farlı güçlere sahip ullanııların oluşturduğu arışımı, (Lo ve Lehnert 996) da genelleştirilmiş dörtlü faz DD-KBÇ yi, (Buehrer ve Woerner 996) da ço aşamalı arışım yo etmeyi, (guyen ve Shwedy ) de eyfi seçilen zamanda-sınırlı ıymı şeillendiriileri, (Lee Kim ve Sung ) de multiod DD-KBÇ inelenmiştir. SIGA yönteminin uygulandığı çalışmaların çoğunda, ıymı şeillendiriinin ir ıymı aralığında zamanda sınırlı olduğunu varsayılmıştır. Zamanda sınırlı ıymı şeillendiriili DD-KBÇ sistemi, sınırsız ant genişliği işgal eder. Bu yüzden prati DD-KBÇ sistemlerinde ant yayılmasını sınırlandırma için daima ant sınırlandırma filtreleri geretirir. Örneğin IS-95 ve IS- standartlarının her iisi de, Geniş Bant KBÇ (Wide Band CDMA-GBKBÇ), roll-off fatörü, olan areö yüseltilmiş osinüs (KKYK) dare şeillendiriisi ullanıren, radyo freans RF sinyallerinin ant genişliğini sınırlandırır. Bant sınırlandırma filtreleri, ıymı şeillendiriilerin zaman eseni üzerinde yayılmasına ve ir diğerinin üzerine inmesine neden olur. SIGA yönteminin zorluğu, ÇK in şartlı varyansının. deree momentinin hesaplanmasındadır (Holtzman 99). Bu moment, sonsuz sayıda terim içerir. Bu tezde u prolem freans domeni yalaşımı ile çözülmüştür. SIGA da ullanma üzere. deree momentin asit ir formülü elde edilir. Bu arada Bant Sınırlı KBÇ için SGA, azı çalışmalarda inelenmiştir (Viteri 99), (Asano Daido ve Holtzman 99), (Salt ve Kumar 99). Bu çalışmalarda analların ço yolluluğu göz önüne alınmazen, (Öztür 7) de ant sınırlı KBÇ sistemin ço yollu Rayleigh sönümlü analda SGA ullanılara analizi yapılmıştır. Bununla irlite, ant sınırlı sistemlerin ço yollu sönümlemenin olmadığı anallardai SIGA analizleri azı yazarlar tarafından inelenmiştir (Lee ve Miller 998), (Zang ve Ling ). Bant sınırlı DD-KBÇ için enzer çalışmalar, arateristi fonsiyon ullanılara 8
yapılmıştır (Yoon ve nisan ), (Cho ve Lehnert ), (Yoon ve temmuz ) ve (Cho Jeong ve Lehnert ). (Yoon ) de Poisson Formülünü ullanmıştır ve ant sınırlı sistemler için IGA nın geçerliliğini, en az yuarıdailer adar doğru ir şeilde teori ve nümeri olara ispatlamıştır. (Cho Jeong ve Lehnert ) de IGA da Q fonsiyonuna aylor Serisi açılımını uygulanmıştır. Bu, SIGA dan farlı ir hata olasılı hesaplaması vermetedir. Bit Hata Olasılı performanslarını hesaplamada ullanılan Gauss yalaşımları aşağıdai gii özetleneilir: SGA en yaygın yalaşımdır. Bu yalaşımda tüm diğer ullanııları Beyaz Gauss Gürültüsü olara düşünülüren, istenilen ir ullanıının sinyali diate alınır. Bu yöntem, merezi limit teoremine dayandırılır. Bağımsız ve aynı dağılımlı ço sayıda rasgele değişenin toplamı, ir Gauss rasgele değişenidir. Bu, aa ir yalaşımdır faat olay ve hızlı ir hesaplama sağlar. Kullanıı sayısının yani arışım sinyalinin yüse olduğu durumlarda doğru sonuç verir. IGA da Merezi Limit eoremi (ML) ne dayandırılır. Bu durumda ÇK, geime ve faz ile tanımlanmış, ullanıı durumlarına ağlı olan ir Gauss değişenidir. Burada Çolu rişim Karışımının şartlı varyansı (u varyans da geime ve faz ayması gii çalışma şartlarına ağlı ir rasgele değişendir) hesaplanara olasılı yoğunlu fonsiyonu (oyf) elde edilir. Daha sonra u fonsiyon, SGA ile elde edilen BHO ile çarpılara sıfır sonsuz aralığında integre edilir. Yani, varyansın oyf si ilinirse, SGA ile elde edilen BHO nun ortalaması alınır. Bu yalaşım hata olasılı performansı açısından tam sonuç vermetedir, ana hesapsal olara ço armaşıtır. SIGA, IGA ya enzerdir ve aylor Serisi ullanara integral hesaplamada sadeleştirme sunar. IGA dai hesapsal armaşılığı azaltma için geliştirilmiştir (Holtzman 99). Q fonsiyonun IGA dai gii ortalama değerini alma için integral ullanma yerine SIGA da ir rasgele değişen olan varyansa ağlı süreli ir fonsiyon olan Q fonsiyonunun aylor açılımı ullanılır. Hata olasılılarını hesaplama için asitleştirilmiş faat hala yeterli dereede ir doğruluğa sahip ir yalaşımdır (Holtzman 99). Fourier Serisi Açılımı, Merezi Limit eoremine dayanmaz ve ÇK için Gauss Yalaşımı ullanmaz (Severina ve Cigno ). Bu yalaşım merezi limit teoremine dayanmadığın-dan aynı hürede ço sayıda ullanıı olması geremez. Bu yalaşım çolu servis sistemlerine uygulanailir. Oysa Gauss Yalaşımını ullanan yöntemlerde alınan sinyalin ağımsız ve 9
düzgün dağılımlı rasgele değişen olma ihtimalinin ço zayıf olmasından dolayı çolu servis sistemlerinde ullanılamayailir. Bu tez çalışmasında, (Öztür 6) ve (Öztür 7) de SGA yalaşımı ullanılara yapılan ant sınırlı ve ant sınırlı olmayan (zaman sınırlı) DD-KBÇ sistemlerin eşzamansız ve ço yollu Rayleigh sönümlü anallardai analizleri, SIGA yalaşımıyla genişletilmiştir. Önelile literatürdei enzer çalışmalarda olduğu gii didörtgen ıymı şeillendirii ullanan DD-KBÇ işaretler için elde edilen SGA ve SIGA ifadeleri ullanılara nümeri arşılaştırmalar yapılmıştır. Daha sonra ant sınırlı DD-KBÇ işaretleri için eşzamansız lemeli Beyaz Gauss Gürültülü (Additive White Gaussian oise-bgg) anal ve ço yollu Rayleigh sönümlü anallarda SIGA yalaşımı ile BHO ifadeleri elde edilmiştir. Bant sınırlı ve zaman sınırlı ıymı şeillendiriiler için SGA ve SIGA ifadeleri ullanılara nümeri BHO hesaplamaları yapılmıştır..5 Z PLAI Bu çalışma aşağıdai gii organize edilmiştir. İini ölümde hata olasılığını hesaplamada ullanılan Gauss Yalaşımları (SGA, IGA ve SIGA) ısaa tanıtılara, Gauss yalaşımının dayandırıldığı Merezi Limit eoreminden ahsedilmiştir. Daha sonra da eş zamanlı olmayan elemeli eyaz gauss gürültülü anal modeli ve ço yollu Rayleigh sönümlemeli anal modeli ile sinyal ve alıı modelleri sunulmuştur. Üçünü ölümde eş zamanlı olmayan elemeli eyaz gauss gürültülü anallarda ve ço yollu Rayleigh sönümlemeli anallarda Gauss Yalaşımları ullanılara ÇK ve BHO ifadeleri türetilmiştir. Dördünü ölümde zamanda sınırlı genel ıymı şeillendiriiler (didörtgen, yarım sinüs, yüseltilmiş osinüs) ve yeni nesil sistemlerde ullanılan zamanda sınırlı olmayan (yani ant sınırlı) areö yüseltilmiş osinüs ıymı şeillendiriiler zaman ve freans domeninde inelenmiştir. Beşini ölümde ümeri Bit Hata Olasılı hesaplamaları verilmiş ve son ölümde de sonuçlar arşılaştırılara yorumları yapılmış ve gelee çalışmalar sunulmuştur.
BÖLÜM AALİZ KİĞİ. GİRİŞ Bu ölümde, DD-KBÇ sistemlerinde ÇK için Gauss yalaşımı tanıtılara Merezi Limit eoremi verilmiştir. ş zamanlı olmayan te yollu sönümlemesiz anallarda ve ço yollu Rayleigh sönümlemeli anallarda sinyal ve alıı modelleri verilere ÇK ifadeleri elde edilmiştir.. GAUSS YAKLAŞIMI Hata olasılığını hesaplamada ÇK i ifade etme için ullanılan ve literatürde adı geçen azı ÇK yalaşımları vardır: Gauss, Log-normal ve Chi-Square gii. Bu yalaşımlardan Gauss yalaşımı, ÇK i hesaplamada ullanılan en yaygın yalaşımdır. Bu yalaşımda alııya ulaşan her ir ullanıının sinyalinin rasgele ir Gauss sinyali olara modellenir. Bu yalaşım Merezi Limit eoremine dayanır. Yeni nesil ir hürede sadee ii veya üç atif ullanıı olailir u yüzden u yalaşım sııntılı görüneilir. Buna rağmen matematisel asitleştirmelere olana sağladığından ço ullanılır. Ayrıa çolu servis sistemlerde (ses, düşü ve yüse hızlı internet gii) işlem düzgün dağılımlı olamayaileeğinden teli servis sistemlerde çalışma için ullanılailir. BHO yu ulma için Marum fonsiyonu Q (.) ullanılailir. Bu fonsiyon aşağıdai gii tanımlanır (Holtzman 99): Q( x) π x e u du (.)
. MRKZİ LİMİ ORMİ Merezi Limit eoremi (Star 986), (Coo 986), ÇK in ir Gauss Rasgele Değişeni olara modelleneileeğini gösterme için ullanılır. (.) ifadesinde ML ye göre aynı dağılımlı ço sayıda rasgele değişenin ( x i ) normalize edilmiş toplamını (y) elde edilir. Burada y, M x i i ( ) y µ (.) M ile verilen normalize edilmiş rasgele değişenlerdir ve her x i, µ elenen değerine ve varyansına sahiptir. Y rasgele değişeni M üyü olduğu zaman yalaşı olara normal içimde dağılır(sıfır elenen değerli ve irim varyanslı ir Gauss dağılımı). Girişim yapan güç seviyeleri eşit veya sait olmadığı zaman Gauss yalaşımını doğrulama için Star ve Woods (Star 986) tarafından verildiği gii CL nin daha genel ir tanımlaması gereir. Bu genel ifadede ML ye göre dağılımları aynı olmayan ço sayıda rasgele değişenin toplamı, (.) ifadesinde verilmiştir. σ M x i i y (.) M rasgele değişenin toplamını geretirir, x i (aynı ya da farlı dağılımlı ana ağımsız rasgele değişen) ler her iri µ x elenen değerine ve σ i x i varyansına sahip, M i σ << σ σ j M- (.) x j y xi oşuluyla M üyü olduğu zaman ir Gauss rasgele değişenine yalaşır. Buna ilaveten toplamın, y, elenen değeri ve varyansı, M i µ µ (.5) y xi
M i σ σ (.6) y xi ile verilir.. Ş ZAMALI OLMAYA K YOLLU SÖÜMLMSİZ KAAL MODLİ ş zamanlı olmayan te yollu sönümlemesiz anal, elemeli eyaz Gauss gürültüsü (BGG) içerir ve u gürültü ilave ir rasgele proses n(t) ile modellenir. ını ullanıı için analın dare evaı jθ ( τ ) e δ ( τ ) h (.7) ile verilir. Burada δ (.) delta dira fonsiyonu ve θ sırasıyla rasgele zaman geimesi ve faz aymasıdır. Yuarıda tanımlanan rasgele değişenlerin arşılılı ağımsız olduğunu varsayıyoruz. Zaman geimeleri asenron iletimi modeller. Bu geimelerin periyodi olmayan rasgele yayılım dizisi ullanıldığı zaman ir ıymı aralığında veya, ] ve θ [,π ] olduğunu varsayma yeterlidir (Öztür 6), (Gao vd. 999). [.. Sinyal Modeli Bu ölümde te anallı ir moil radyo KBÇ sistemde ullanıılar için ortalama it-hata olasılılarını elirleme için ifadeler sağlayan detaylı matematisel analiz yapılmıştır. Bu çalışmada elde edilen ifadeleri ullanara geniş apsamlı arışım şartları için KBÇ sistemleri analiz etme mümündür. Bu ifadeler KBÇ sistemlerin yoğun zamana gere duyan simülasyonlarını azaltma veya elimine etme için ullanılailir. İili Faz Kaymalı Anahtarlamalı (Binary Phase Shift Keying-BPSK) sistem ullanan DD- KBÇ sisteminde tüm ullanıılar için taşıyıı freansı aynı olan toplam ant geçiren işaret, S K ( t) s ( t) os( ω t) (.8)
ile verilir. Burada K, anala eş zamanlı olara ulaşan ullanıı sayısıdır ve her iri Şeil. de açılanan içimde ir verii ullanır. ını ullanıı ir veri sinyali üretir. Dare modülatörü de her ir ıymı süresinde ir dürtü üretir. Dürtüler transfer fonsiyonu X ( f ) olan ir temel ant filtresi (ıymı şeillendirii) ile şeillendirilir ve ω taşıyıı freansında modüle edilir. ını ullanıının sönümleme veya ço yollulu olmadığını farzedere iletilen işareti (Öztür 6), n t s ( t) [ n] x( n) (.9) n ile verilir. Burada { [ n] {, }, {,, K}..., ullanıının veri dizisidir. B n [n] in her ir irimi tüm ve n için eşit olasılılı ağımsız iili verilerdir {, -}. { [ ] { } n, n ullanıının periyodi olmayan rasgele yayılım dizisidir ve değerleri eşit olasılılı iili değerlerdir {P()/, P(-)/}. Yayılım dizileri ve veri dizileri endi aralarında ve arşılılı olara ağımsızdırlar. y ifadesi, y ye eşit veya y den üçü en üyü tam sayıyı gösterir (Öztür 5). Şeil. DD-KBÇ verii modeli (Öztür 6) (.9) da herhangi ir ullanıının ıymı ve veri hızları sırasıyla R / ve R / ( ) dir. Yayılım dizisi [ n], / hızında sonsuz peryotlu ir dizidir. Bu ço uzun diziler ullanan sistemler için uygun ir modeldir. İşlem azanı (proessing gain) dir. Bir veri enerjisi dir. Süreli gerçe zaman fonsiyonu x (t) ıymı şeillendiriiyi gösterir ve enerjisi x ( t) dt dir.
.. Alıı Modeli Alıının istenen ullanıı () için sezilmeyiisi Şeil. de görülmetedir. Şeil. ş zamanlı olmayan analda DD-KBÇ alıı modeli (Öztür 6) Burada lasi te ullanıı sezilmeyiiler içeren (single user detetor) alıı ullanılmıştır. aşıyıı freansının (ω ) hatasız olara elde edildiği varsayılmıştır Her ir ullanıı tarafından üretilen sinyaller alosuz ir anal üzerinden gönderilir ve alııda orelatör girişinde alınan sinyal (Şeil.) şöyle açılanailir: ( t) s ( t) I( t) n( t) r (.) Burada s ( t), istenilen sinyaldir ve irini ullanıının sinyalinin istenen sinyal olduğu varsayılmıştır. I ( t), K- ullanııdan dolayı oluşan ÇK dir ve I K ( t) s ( t) (.) ile verilir. ( t) n, ii yanlı güç spetral yoğunluğu / olan lemeli Beyaz Gauss Gürültüsü dür. Alça geçiren süzgeçten sonra, alınan işaret K r' ( t) s ( t τ ) u( t) (.) 5
olara elde edilir. Burada u(t) temel ant BGG dir ve güç spetral yoğunluğu dir. τ { K} ını ullanıının zaman geimesidir ve eş zamanlı olmayan analı modeller. İstenen ullanıı için geimenin sıfır olduğu varsayılmıştır (yani τ ). Periyodi olmayan rasgele odların ullanılması durumda, geimelerin ıymı aralığında olduları varsayımı yeterlidir (yani τ [, ]) (Öztür 6). Alınan sinyal ir eş filtreden geçirilere hızında örnelenir ve irini ullanıının ıymı dizisi [ m] ile çarpılara geri sııştırılır ve sonra arar istatistiğine verme üzere toplanır. Buna göre, Alııdai arşılayıı süzgeç çıışında aşağıdai ifade elde edilir (Öztür 6). K n z( t) [ n] x( t / n) [ n] x( t / n ) u'( t) n τ n (.) urada u (t) süzgeçten geçmiş BGG dir. x (t) ıymı şeillendiriinin zaman oyutunda özilişi fonsiyondur ve x ( s) x( t) x( t s) dt (.) ifadesiyle verilir. Karşılayıı süzgeç çıışı aralılarıyla örnelenir, m ini veri için örneleyii çıışı (Öztür 6, Gao vd. ), z [ m] [ n] n K n x( m n) n... (( ) ) x m n x( m n τ ) '( ) u m [ n]...... (( ) ) x m n τ u'(( m )) (.5) ifadesi olur. Örneleyii çıışı istenen ullanıının yayılım dizisi ile ilişilendirilir ve ilişilendirii çıışında arar değişeninin genel ifadesi aşağıda verilmiştir. 6
Z [ m] [ m] z [ m] C (.6) urada C [m], istenen ullanıının m ini verisi ( [m]) için yayılım dizisidir ve aşağıdai ifade ile verilir. [ m] ( [ m],..., [ m ] ) (.7) C Böylee, arar değişeni (Öztür 6, Gao vd. ), [ ] n Z m [ ]{ [ ] ( )... n m x m n n m x( m n)} [ ] K n [ n] { [ m] x( m n τ )... [ m ] x( m n τ )} u'' [ m] (.8) olur. Burada [ m] u'' Gauss rasgele değişenidir ve elenen değeri sıfır varyansı dür. (.8) de değişen değiştirilere, çıış değişeni için aşağıdai ifade elde edilir. Z [ m] [ m] m s K { s s s m s { [ m s] [ m] [ m s] [ m] [ m s] [ m ] x( s τ )... [ m s] [ m ] x( s τ )} u''[ m] x( s)... x( s)} (.9) urada dir. Bu eşitliğin il veri (m) için yazılmasıyla ve terimlerin toplanmasıyla (Öztür 6, Gao vd. ), 7
Z [ ] [ ] { [ n s] [ n] K { [ n s] [ n] x( s τ )} u' '[] sn s n s n s x( s)} (.) elde edilir. Burada x (s), ıymı şeillendiriinin süreli zaman özilişi fonsiyonudur ve gerçe ir ıymı daresi için aşağıdai gii tanımlanailir. x ( s) x( t) x( t s) dt X ( f ) e jπfs df (.) Kıymı şeillendiriiyi normalize etme için enerji sınırlaması aşağıdai gii varsayılmıştır. x( t) dt X ( f ) df (.) Ayrıa (t) x nin X ( f ) df < değişenini şu şeilde yazailiriz. şartını sağladığı varsayılmıştır. (.) dei arar K Z s I u (.) Yuarıdai eşitlite irini terim istenilen işaretin il itini verir. İini terim ÇK ve üçünü terim de daha öne anlatıldığı gii BGG dir. Böylee istenilen sinyal terimini aşağıdai gii yazailiriz. s [ ] [ ] x( ) [ ] (.) 8
ğer x(t) yquist riterini sağlamazsa, (Gao Cho ve Lehnert ) da verilen yalaşımında olduğu gii çipler arası arışımın etisi hesaa atılır. u [ m] Gauss gürültüsü, ir örneten diğerine ağımsız olup varyansları eşittir. Gürültü terimi aşağıdai gii açılanailir: u ( t) t n ( t) ( t) ( t) os ω dt (.5) n nin ii yanlı güç spetral yoğunluğu / olan lemeli Beyaz Gauss Gürültüsü (BGG) olduğu varsayılır. Gürültü terimi, sıfır elenen değerli ve σ varyanslı ir Gauss rassal değişenidir ve şu şeilde gösterileilirler: u u nün elenen değeri, [ ] u [ n( t) ] ( t) os( ω t) µ u dt (.6) t ve u nin varyansı, σ [( u ) ] ( u ) [ ] u µ u λ t λ t λ t n ( t) ( t) os( ω t) n( λ) ( λ) ( ω λ) os [ n( t) n( λ )] ( t) ( λ) os( ω t) ( ω λ) δ os ( t λ) ( t) ( λ) os( ω t) os( ω λ) dtdλ dtdλ dtdλ t t ( t) os ( ω ) ( ( ) ) t dt os ω t dt ω sin( ω ) ω >> (.7) periyodi olmayan rasgele dizi modelinden dolayı (.) de ÇK dei veri iti, performans hesaplaması için ihmal edileilir. Bu yüzden ını ullanııdan dolayı oluşan arışım aşağıdai gii yeniden yazılailir. 9
I { [ n s] [ n] x( s τ )} sn (.8) oplam ÇK ifadesi, I K I (.9) ile verilir..5 ÇOK YOLLU RAYLIGH SÖÜMLMLİ KAAL MODLİ KBÇ sinyaller ant genişliği anal oherent ant genişliğinden ço daha üyü olan yayılı spetrum sinyallerdir u yüzden iletilen sinyal freans seçii sönümlemeye maruz alır (Rappaport ). Bu şartlar altında anal dare evaı, her iri sönümlenen ve zamanda geien ço yollara sahip olur. Diğer yandan Doppler yayılımı, analın değişim hızının neden olduğu spetral genişletmenin ir ölçüsüdür, analın doğasıyla değişen zamanı tanımlar (Rappaport, ). emel ant iletilen sinyal Doppler yayılımından daha üyüse, Doppler yayılımının etisi alııda ihmal edilir. Bu çeşit anallar yavaşça sönümlenen anallar (slowly fading hannels) olara adlandırılırlar. G sistemlerde ullanılan DD-KBÇ sinyallerin ant genişliği olduça üyütür, dolayısıyla Doppler yayılımından ço daha üyütür. O halde düşündüğümüz analı yavaşça sönümlenen anal olara varsayıyoruz (veya Doppler yayılımı analizde ihmal ediliyor). Düşünülen anal modeli sinyal ile ilgili aynı ilgiyi taşıyan L farlı anal (veya yol) içerir. ını ullanıı için analın dare evaı aşağıdai gii verilir: L l jθ ( τ ) α e δ ( ) h l τ l l (.) L Burada δ (.) delta dira fonsiyonu, l yol indesi ve { } L l, { } L θ l l ve { } l l l α sırasıyla rasgele yol geimeleri, faz aymaları ve genlilerdir. Yuarıda tanımlanan ümelerin arşılılı ağımsız oldularını varsayıyoruz. Zaman geimeleri { } l l L eş zamanlı olmayan
iletimi modeller. Periyodi olmayan rasgele yayılım dizileri ullanıldığı zaman geimeleri L ir ıymı aralığında (veya { } (, ) L 999) ve (Öztür 7). Faz aymaları { θ } l, (,π ) l l l ) alma yeterlidir (Wong Lo ve Lehnert Jan. aralığındadır. Sönümleme fatörleri olara da adlandırılan genliler her ir ve l için istatistisel olara ağımsız Rayleigh dağılımlı rasgele değişenlerdir ve dağılımı aşağıdai gii verilir: f α l α α ( ) l l α l exp ρ l ρ l α (.) l Burada ρ l, α nin iini momentinin yarısıdır veya ( ) l [ ] ρ l α l. Kanalın yavaşça sönümlendiği varsayıldığından, genliler, geimeler, fazlar ve yol sayısı ir semol aralığı süresine saittir..5. Alıı Modeli ş zamanlı olmayan analda DD-KBÇ sistemde ını ullanıı için Rae Alıı modeli Şeil. de verilmiştir (Öztür 7). Şeil. ını ullanıı için Rae Alıısı (Öztür 7).
Alınan r ( t) sinyali (.8) de verilen S(t) ile (.) da verilen h(t) nin onvolüsyonudur. Ço yollu sönümlemeye ilaveten anal ir de BGG sunar. O halde alınan sinyal aşağıdai gii verilir (Öztür 7). r K L ( t) l sl ( t l ) os( ω ( t l ) θ l ) n( t) l α (.) Burada ( t) n ii yanlı güç spetral yoğunluğu olan ant geçiren BGG dir ve ını ullanıının l ini yolunun geien sinyali aşağıdai gii verilir (Öztür 7). n t s l ( t l ) [ n] x( n τ l ) (.6) n Burada τ l normalize edilmiş geimedir ve τ l l olara tanımlanır. Şeil. de gösterilen Masimum Oran Dedetörü (Maximum Ratio Cominer MOD) Rae Alıı taanlı L adet math filtre düşünüyoruz. L yolun her iri öne taşıyıı ( ω ( t ) θ ) os ile çarpılara uyumlu ir şeilde demodüle ediliyor ve ir math filtreden l l geçiriliyor. üm u işlemlerde alıının her ir dalında düzgün ir şeilde zaman ve faz senronizesi (veya usursuz ir şeilde taşıyııyı yeniden elde etme ve usursuz faz { } l l L ve zaman { } l l hesaplamaları) yapıldığı varsayılıyor. Daha sonra math filtre t i l ile örneleniyor. Burada i ir tamsayıdır. Her ir daldai sönümleme genlilerinin usursuz olduğunu varsayara, örneleyii çıışı ullanıının sönümleme genliği ve yayılım dizisi ile ilişilendirilir ve sonra arar değişenine verme üzere MOD ile irleştirilir. θ L
BÖLÜM Bİ HAA OLASILIK PRFORMASI. SADAR GAUSS YAKLAŞIMI (SGA).. e Yollu Sönümlemesiz Kanallarda Hata Olasılığı DD-KBÇ haerleşme sistemlerinde Bit Hata Oranını hesaplama için Gauss yalaşımlarının ullanımında arar istatistiği Z, ir Gauss Rasgele değişeni olara modelleneilir (Pursley 977), (Morrow 989). (.5) de irini parça s, deterministitir ve değeri (.6) ile verilir. Z ın diğer ii parçasının ( I ve u ) sıfır elenen değerli Gauss Rasgele değişenleri olduğu varsayılır. Bu yalaşım, Standart Gauss Yalaşımı olara adlandırılır. İl tanım irleştirilmiş ir gürültü ve girişim terimi olan ξ, ξ I u (.) ile verilir. Böylee arar istatistiği Z, Z s ξ (.) ile verilir. Burada Z, s elenen değerli ve σ ξ varyanslı (ξ nin varyansı) ir Gauss rasgele değişenidir. Alınan ir itin değerini elirlemede hata olasılığı, s pozitif olduğu zaman ξ < s için elde edilen olasılığa eşit ve s negatif olduğu zaman ξ > s için elde edilen olasılığa eşittir. Yapısına uygun olara ξ, simetri içimde dağılmıştır. Şöyle i, u ii şart eşit olasılı ile
ortaya çıar. Bu yüzden hata olasılığı ξ > s olasılığına eşittir. ğer ξ, sıfır elenen değerli ve σ ξ varyanslı (ξ nin varyansı) ir Gauss Rasgele değişeni ise ir it hatasının olasılığı, P e s s p ξ πσ ( x) ξ dx x exp σ ξ v exp s / σ π ξ Q s σ ξ ( γ ) dx dv Q (.) urada γ, işaret gürültü oranıdır. Çolu erişim arışımının ( I ) arar istatistiğine atısının, varyansı σ I olan sıfır elenen değerli Gauss rasgele değişeni olara modelleneildiğini ve gürültünün u, arar istatistiğine atısının, varyansı σ olan sıfır elenen değerli Gauss rasgele u değişeni olara modelleneildiğini varsayalım. O halde gürültü ve girişim ağımsız olduğu için ξ nin varyansı asitçe şöyle verilir: σ ξ σ I σ u (.) Buna göre, (.5) de verilen arar değişeninde veri dizisi, yayılım dizisi, geime ve Gauss gürültüsü ağımsız rasgele değişenlerdir. Bu değişenlere göre ve Gauss yalaşımına dayanara veri ve yayılım dizilerinin elenen değeri sıfır ve iini momentleri irdir (Öztür 6). Burada u ( ) Gauss rasgele değişenidir ve elenen değeri sıfır, varyansı da dür. Böylee arar değişeni Z ( ) da alınan istenilen işaretin güü (veya varyansı), veri dizisinin elenen değeri sıfır olduğundan iini deree momentine eşit olur. İstenen ullanıının alınan güü,
{ Z ( ) } (.5) ve Z ( ) ın [ ] 7), a ağlı şartlı varyansı (veya ÇK ile irlite gürültünün güü) (Öztür σ ξ Var { Z ( )} x( s τ ) K s (.6) Bu ifadede irini terim Gauss analının verdiği gürültünün güüdür. İini terim ise istenen ullanııya diğer ullanııların verdiği ÇK güüdür. Standart Gauss yalaşımı için işaret gürültü oranı, { Z( ) } { Z ( ) } γ K Var s x ( s τ ) (.7) Burada pay ve payda e ölünürse (Öztür 7), γ K x τ s ( s ) (.8) Burada özilişi fonsiyonu aşağıdai gii ıymı şeillendiriilerin transfer fonsiyonu insinden yazılailir (Zang ve Ling ). s x ( s τ ) X ( f ) df (.9) Bu ifadede X ( f ), x ( t) gii verileilir: nin fourier dönüşümüdür. Bu durumda işaret gürültü oranı aşağıdai 5
γ K X ( f ) df (.) (.) dai İGO ifadesinde, varyans aşağıdai gii verileilir: K x ( s τ ) X ( f ) s K df (.) İşaret gürültü oranı aşağıdai gii yazılailir. γ (.) Buna göre SGA ullanılara ir it için hata olasılığı işaret gürültü oranına ağlı olara, P e SGA Q γ Q Q (.) ( ) şelinde ifade edilir. Buna ilaveten gürültü dahil ÇK in İGO ya ağlı ifadesi K A da verilmetedir... Ço Yollu Rayleigh Sönümlemeli Kanallarda Hata Olasılığı Şeil (.) de verilen Rae Alıısı için genelliten açmadan irini ullanıının () performansını düşünelim. Burada istenilen ullanıının ilgili yolu referans yol ( l, {,,,..., L } l r ) olara adlandırılır. Kolaylı için θ varsayıyoruz. İstenilen l r l r ullanıı için MOD un çıışındai sıfırını veri iti için arar değişeni aşağıda verilmiştir (Öztür 7). lr 6
7 L l l r r Z Z (.) Burada r l Z referans yola ( ) r l göre arar değişenidir. r l Z parametresi (Öztür, 7) de türetilmetedir ve aşağıdai gii verilmetedir. [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] { } ] ''[ ) ( os )} ( { os u s x n s n s x n s n Z K s n l L l l l l s n l l L l l l l l l l r r r r r τ φ α α τ φ α α α (.5) Burada l l l θ ω φ referans yola göre ını ullanıının l ini yolunun faz hatasıdır ve [ ),π aralığındadır. ] ''[ u parametresi sıfır elenen değerli ve l r α varyanslı Gauss gürültüsüdür. ( ) ( ) ( ) t x t x t x *, ( ) t x ıymı şeillendiriinin zaman-özilişi fon-siyonudur. (.5) dai ifadenin elenen değeri aşağıdai gii elde edilir (Öztür 7). ( ) l l Z r r α (.6) (.6) ifadesinde, veri itleri, yayılım odları, faz hataları, sönümleme fatörleri ve Gauss gürültüsü arşılılı ağımsız rasgele değişenlerdir. Varsayımlara dayanara veri dizileri ve yayılım odları {-,} de, faz hataları [ ),π de düzgün dağılımlıdır ve yayılım odlarının varyansı ve itler irdir. Faz hatalarının osinüsünün varyansı.5 dir. Standart Gauss Yalaşımından faydalanara (Pursley 977) arar değişeninin ( r l Z ) varyansı, [ ] ın verilmesiyle aşağıdai gii elde edilir (Öztür 7). { } ) ( L l l l s l l l l r r r r s x Z Var τ ρ α α K L l s l l s x r ) ( τ ρ α (.7)
Burada rasgele Rayleigh sönümleme fatörlerinin iini deree momentinin yarısının tüm yollar için aynı olduğu varsayılıyor ve aşağıdai gii verilir. [ ] ρ α l (.8) (.7) dei iini terim istenilen ullanıının diğer yollarından referans yola olan ÇK dir. Üçünü terim ise, istenilen ullanıı dışındai ullanııların yollarından aynalanan ÇK dir. (.7) dei ifadede te ir yoldan dolayı oluşan arışım Yollar Arası Karışım (Inter Path Interferene-YAK) olara adlandırılır ve aşağıdai gii verilir (Öztür 7). σ l s x( s τ ) l ( K, l L ) (.9) Burada normalize edilmiş geime ( τ l ) ve l değerlerinden ağımsızdır (veya τ ile gösterilir). Böylee YAK arışım yapan tüm yollar için aynıdır ve aynı zamanda da ve l değerlerinden ağımsızdır. τ [,) aşağıdai ifadeyi elde ederiz (Öztür 7). den dolayı τ ya göre YAK ın ortalamasını alırsa σ s x( s τ ) dτ (.) Bu yüzden arar değişeninin varyansı aşağıdai gii yazılailir (Öztür 7). Var { Z } ( KL ) αl α ρ σ r lr l (.) r Referans yol ( l r ) için işaret gürültü oranı ( γ ) aşağıdai gii verilir (Öztür 7). lr α l r γ l (.) r ρ ( KL ) σ O halde MOD un çıışında istenilen ullanıı için toplam İGO aşağıdai gii verilir. 8
L lr γ γ (.) lr Bağımsız ve aynı dağılımlı Rayleigh sönümlemeli yol durumunda MOD un çıışındai toplam İGO ifadesi (γ ), hi-square dağılımına sahiptir ve olasılı yoğunlu fonsiyonu aşağıdai gii verilir (Proais ). p γ ( γ ) L γ γ exp ( ) ( ) L L! γ γ (.) ρ Burada γ, yol aşına ortalama İGO dur ve γ γ l ile verilir. İGO ya ağlı ortalama r α hata olasılığı aşağıdai gii verilir. lr P e Q ( γ ) pγ ( γ ) dγ (.5) Burada Q(x), Gauss Q-fonsiyonudur ve elirli integral içiminde aşağıdai gii gösterileilir (Simon ve Alouini ). π Q x ( x) exp dθ, π sin θ x (.6) (.9) dai ifadeyi ullanara hata olasılığı aşağıdai gii elde edilir. π γ P e pγ π exp θ sin ( γ ) dγ dθ (.7) Sonuç olara ortalama hata olasılığı aşağıda gösterildiği gii apalı içimde verileilir (Proais ). 9
( ) ( ) l L l L e l l L P µ µ (.8) Burada γ γ µ dir. Buna ilaveten gürültü dahil ÇK in İGO ya ağlı ifadesi K B de verilmiştir.. İYİLŞİRİLMİŞ GAUSS YAKLAŞIMI (IGA).. e Yollu Sönümlemesiz Kanallarda Hata Olasılığı Bir önei ölümdei ifadeler sadee ullanıı sayısı K, üyü olduğu zaman geçerlidir. Ayrıa K- girişim yapan ullanıı için güç seviyelerinin dağılımına ağlılı, eğer (.) sağlanmazsa K üyü olsa ile I doğru ir şeilde modellenemez. Standart Gauss yalaşımında BHO, ÇK in varyansının ortalama değeri alınara hesaplanır. IGA da ise rasgele değişen olara aul edilen nin olasılı yoğunlu fonsiyonu ( ) f elde edilere, BHO, aşağıdai ifadede görüldüğü gii, nin tüm mümün değerlerinin istatistisel ortalaması alınara ulunur. ( ) f d Q Q P eiga (.9) IGA dai esas prolem, varyansın olasılı yoğunlu fonsiyonunu ( ( ) f ) ulmatır. Bu onuda il çalışmayı yapanlar Morrow ve Lehnerttir (Morrow ve Lehnert 989). Buna göre (.) de verilen ÇK in varyans ifadesi, ( ) K s s x ˆ τ (.)
için olasılı yoğunlu ifadesi ulunmalıdır. Burada diat edilee olursa, K- tane ağımsız rasgele değişenin toplamıdır. Bu ifadenin sağ tarafı ir adet ağımsız rasgele değişenin ( τ ) ir fonsiyonudur. Burada te ir ullanıının seep olduğu ÇK ( ), ( ) ( ) τ xˆ s τ (.) s ifadesi ile verilir. nin dağılımı da (.) de görüldüğü gii ıymı şeillendiriiye ve ir rasgele değişen olan geime ( τ ) ya ve diğer taraftan da verilen ir nın olasılı yoğunlu fonsiyonu ( f ( ) varyansın toplam olasılı yoğunlu fonsiyonu ( ) gösterileilir (Yoon ). ye ağlıdır. ) ulunara, K- adet onvolüsyonun alınmasıyla f elde edilir. Bu ifade aşağıdai gii ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f... (.) K (.) de simgesi onvolüsyon işlemini göstermetedir... Ço Yollu Rayleigh Sönümlemeli Kanallarda Hata Olasılığı Merezi limit teoremine göre ve (.) dei varyansın ( ) Gauss dağılımına sahip olduğunu varsayıyoruz (Pursley 977). Bu durumda elirli çalışma şartları için it hata olasılığı (Lierti ve Rappaport 995) deine enzer şeilde aşağıdai gii yazılailir: ε e ( ε, ) Q (.) ε P SGA (.) de verilen ifadede ço yollulu ve sönümleme durumunda dir ve ε α α, istenilen ullanıının istenilen ço yol elemanıdır (, l). SGA da it hata olasılığı ortalama çalışma şartı altında hesaplanır { ε, }. (Lehnert 987) de IGA nın SGA ya göre