3 Asal Çarpanlara Ayırma / EBOB-EKOK ORTAK DERSLER MATEMATİK Prof Dr Emin KASAP 1
Ünite: 5 ASAL ÇARPANLARA AYIRMA / EBOB - EKOK Prof Dr Emin KASAP İçindekiler 51 ASAL ÇARPANLARA AYIRMa 3 511 Asal Sayılar 3 512 Aralarında Asal Sayılar 3 513 Bir Sayının Asal Bölenleri 3 514 Bir Sayının Pozitif Tamsayı Olan Bölenlerinin Sayısı 3 52 EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN ( EBOB ) 3 53 SORULAR 3 2
51 ASAL ÇARPANLARA AYIRMA 511 Asal Sayılar Sadece 1 e ve kendisine bölünebilen doğal sayılara asal sayı denir 2,3,5,7,11,13,17, sayıları birer asal sayıdır * En küçük asal sayı 2 dir *Asal sayılar 2 haricinde hep tektir 512 Aralarında Asal Sayılar 1 den başka ortak böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir Örneğin; 3 ile 5, 4 ile 7, 16 ve 27 aralarında asal sayılardır olabilir İki sayının kendileri asal olmadıkları halde bu iki sayı aralarında asal Örnek: x ve y birer pozitif doğal sayı olmak üzere x+1 ve y+2 sayıları aralarında asaldır (x+1)(y+2)=40 ise x+y nin değeri kaçtır? 40=85 şeklinde aralarında asal iki sayının çarpımı olarak yazılabilir (x+1)(y+2)=40 olduğundan x+1=8, y+2=5 alınabilir O halde x=7, y=3 olur x+y=10 bulunur Örnek: x ve y+2 aralarında asal iki doğal sayı olmak üzere olduğuna göre x+y toplamı kaçtır? 8 2 olduğundan x=2, y+2=3 olur 12 3 x=2, y=1 olur x+y=3 bulunur x 8 y 2 12 2
513 Bir Sayının Asal Bölenleri Bir doğal sayıyı tam olarak bölen asal sayılara o sayının asal bölenleri denir Örneğin; 45 sayısının pozitif tamsayı bölenleri 1,3,5,9,15 ve 45 olup bunlar pozitif içerisinden asal olanlar 3 ve 5 tir a,b,c birbirinden farklı asal sayılar ; x,y ve z birer pozitif tamsayı olmak üzere K a x b y c z ifadesine K sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli denir Örnek: 270 sayısının asal çarpanlarını bulalım: 270 2 olup 3 270 23 5 yazılabilir O halde 135 3 270 in asal çarpanları 2,3 ve 5 tir 45 3 15 3 5 5 1 514 Bir Sayının Pozitif Tamsayı Olan Bölenlerinin Sayısı a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve x,y,z pozitif tamsayılar olmak üzere A a x b y c z şeklinde asal çarpanlarına ayrılan A sayısının pozitif tamsayı olan bölenlerinin sayısı (x+1)(y+1)(z+1) dir Örnek: 120 sayısının pozitif tamsayı olan bölenlerinin sayısını bulalım: 120 2 3 1 1 120 2 35 olduğundan pozitif tamsayı 60 2 bölenlerinin sayısı, 15 3 (3+1)(1+1)(1+1)=16 dır 5 5 1 Örnek: nn, A 106 n sayısının pozitif tamsayı olan bölenlerinin sayısı 60 ise n kaçtır? 3
A 25(23) 252 3 2 3 5 n n n n1 n 1 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır A nın pozitif tamsayı olan bölenlerinin sayısı, (n+2)(n+1)2=60 (n+2)(n+1)=30 n=4 bulunur Bir A tamsayısının pozitif tamsayı olan bölenlerininters işaretlileri de sayının negatif tamsayı olan bölenleridir Buna göre; Bir sayının pozitif tamsayı olan bölenlerinin sayısı ile negatif tamsayı olan bölenlerinin sayısı eşittir Bir sayının tamsayı olan bölenlerinin sayısı pozitif tamsayı bölenlerinin sayısının 2 katıdır Bir sayının tamsayı olan bölenlerinin toplamı sıfırdır Örnek: 72 sayısının asal olmayan tamsayı bölenleri kaç tanedir? 72 2 olup 3 2 72 2 3 dir 36 2 72 nin asal bölenleri 2 ve 3 tür Yani 2 tane 18 2 asal böleni vardır 9 3 72 nin pozitif tamsayı olan bölenlerinin sayısı 3 3 (3+1)(2+1)=12 dir O halde tamsayı olan 1 bölenlerinin sayısı ise 212=24 olur Bu bölenlerden 2 tanesi asal olduğundan asal olmayan tamsayı bölenlerinin sayısı; 24-2=22 dir 4
52 EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN ( EBOB ) İki ya da daha fazla doğal sayının her birini tam olarak bölen sayıların en küçüğüne, bu sayıların en büyük ortak böleni denir Örneğin; 12 ve 16 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım: 12 nin bölenleri 1,2,3,4,6,12 16 nın bölenleri 1,2,4,8,16 olup 12 ve 16 nın ortak bölenleri ise 1,2,4 dür O halde 12 ve 16 nın en büyük ortak böleni 4 olur EBOB(12,16)=4 şeklinde gösterilir İki ya da daha fazla sayının en büyük ortak böleni bulunurken sayılar aynı anda asal çarpanlarına ayrılır Sayıların ortak bölenleri işaretlenir Ortak bölenlerin çarpımı en büyük ortak bölen olur Örnek: EBOB (12,16) =? 12 16 2 * 6 8 2 * 3 4 2 EBOB (12,16) = 4 bulunur 3 2 2 3 1 3 1 Örnek: Kenarlarının uzunlukları 200 cm ve 560 cm olan dikdörtgen biçimindeki bir karton kesilerek eşit ve en büyük karelere ayrılacaktır Bu kartondan bu koşula uyan kaç tane kare elde edilir? Karenin bir kenarı EBOB (200, 560) dan bulunur 200 560 2 * 100 280 2 * 50 140 2 * EBOB (200,560) = 2225=40 bulunur 25 70 2 Bir karenin alanı 4040=1600 5 2 cm
25 35 5 * Kartonun alanı 200560=112000 5 7 5 Kare sayısı 112000:1600=70 olur 1 7 7 1 2 cm a ve b aralarında asal iki doğal sayı ise EBOBa,b 1 dir Örneğin; EBOB 2,7 1 dir 53 EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK) İki ya da daha fazla doğal sayının her birinin katı olan doğal sayılardan en küçüğüne, bu sayıların en küçük ortak katı denir Örneğin; 2 ve 8 sayılarının en küçük ortak katını bulalım: 2 nin katları 2, 4,6,8,10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 8 in katları 8, 16,24,32, O halde 2 ve 8 in ortak katları 8, 16,24, olup 2 ve 8 in en küçük ortak katı 8 dir EBOB 2,8 8 şeklinde gösterilir İki yada daha fazla doğal sayının en küçük ortak katı bulunurken sayılar aynı anda asal çarpanlarına ayrılır Elde edilen tüm bölenlerin çarpımı sayıların en küçük ortak katıdır Örnek: EKOK 2,8? 2 8 2 1 4 2 1 2 2 EKOK 2,8 222 8 bulunur 6
1 1 Örnek: Kenarları 40 cm ve 60 cm olan dikdörtgen biçimindeki levhalardan en az kaç tanesi bir araya getirilerek bir kare elde edilir 40 ve 60 ın katı olan en küçük sayı istenilen karenin bir kenarının uzunluğuna eşittir 40 60 2 EKOK 40,60 22235 120 20 30 2 Karenin alanı 120120=120 2 cm 2 10 15 2 Bir dikdörtgenin alanı 4060=1400 cm 2 5 15 3 Dikdörtgen sayısı 120 2 : 2400=60 bulunur 5 5 5 1 1 Bu tip sorularda, bir bütün parçalara ayrılıyorsa EBOB, parçalar birleştirilip bir bütün elde ediliyorsa EKOK kullanılır a ve b sayıları asal iki doğal sayı ise EKOK a,b a ve b doğal sayıları için dir ab EBOB a,b EKOK a,b Örnek: EBOB 24, x 6, EKOK 24, x 168 ise x kaçtır? 24x EBOB 24, x EKOK 24, x bulunur 24x 6168 x 42 ab dir Örnek: 6 ile bölündüğünde 4, 10 ile bölündüğünde 8, 14 ile bölündüğünde 12 kalanını veren üç basamaklı en küçük iki doğal sayının toplamı kaçtır? 7
Sayı x olsun elde edilir 6 ile bölündüğünde 4 kalanı verdiğinden x6a 4 100 ile bölündüğünde 8 kalanı verdiğinden x10b 8 14 ile bölündüğünde 12 kalanı verdiğinden x14c 12 x 6a 4 x 2 6a 6 6 a 1 x 10b 8 x 2 10b 10 10 b 1 x 14c 12 x 2 14c 14 14 c 1 olup x 2 sayısı 6, 10, ve 14 ün katıdır EKOK 6,10,14 210 olduğundan x 2 210 x 208 x 2 2210 x 418 x 2 3210 x 628 bulunur En küçük iki x in toplamı, 208 418 626 dır Örnek: a, b ve c birer doğal sayı olmak üzere 3a+5 4b+2 5c 7 koşulunu sağlayan en küçük a, b ve c sayıları için a+b+c toplamı kaçtır? x 3a+5 4b+2 5c 7 olsun x 2 3a+3 4b 5c 5 x 2 3 a+1 4b 5 c 1 olur O halde x 2 ; 3, 4 ve 5 in katıdır 8
EKOK 3,4,5 60 x 2 60 x 2 260 x 2 360 En küçük değer, x 2 60 x 62 olur 3a 5 62 den a 19 4b+2=62 den b=15 5c+7=62 den c 11 a b+c 45 bulunur Örnek: 5 e bölündüğünde 3, 9 a bölündüğünde 5 kalanını veren üç basamaklı en küçük doğal sayı nedir? Sayı x olsun O halde x 5a 3 9b 5 yazılabilir x 8 5a 5 9b 3 x 8 5 a 1 3 3b 1 olup x 8; 5 ve 3 ün katıdır O halde x 8 in en küçük değeri EKOK 5,3 15 olur 9
x 8 15 x 8 215 x 8 315 olup x 8 in üç basamaklı en küçük değeri 105 olur bulunur x 8 105 x 113 Örnek: Bir sepetteki yumurtaları 5 er 5 er, 6 şar 6 şar grupladığımızda daima 3 yumurta artıyor Sepetteki yumurtaların sayısı 140 ile 170 arasında olduğuna göre sepette kaç yumurta vardır? Sepetteki yumurta sayısı x olsun olur 5 er 5 er gruplandığında 3 yumurta artıyorsa x 5a 3 6 şar 6 şar gruplandığında 3 yumurta artıyorsa x 6a 3 x 5a 3 6a 3 x 3 5a 6a olup x 3; 5 ve 6 nın katıdır EKOK(5,6)=30 olduğundan x-3=30 x-3=230 x-3=330 olacaktır Yumurta sayısı 140 ile 170 arasında olduğundan x-3=150 den x=153 bulunur 10
Örnek: 150 kg buğday ve 240 kg pirinç ayrı ayrı eşit büyüklükte kutulara konulacaktır Bunun için en az kaç kutu gerekir? 240 150 2* EBOB(240,150)=235=30 120 75 2 60 75 2 30 75 2 15 75 3* 5 25 5* 1 5 5 1 Bir kutuya en fazla 30 kg ürün konulabilir O halde buğday için 150/30=5 kutu, pirinç için 240/30=8 kutu olmak üzere toplam 5+8=13 kutu gereklidir Örnek: Kenar uzunlukları 30, 45, 75 ve 105 m olan dörtgen biçimindeki bir tarlanın etrafına eşit aralıklarla fidan dikilecektir En az kaç tane fidan dikilebilir? 30 45 75 105 2 15 45 75 105 3* 5 15 25 35 3 5 5 25 35 5* 1 1 5 7 5 1 7 7 7 EBOB(30,45,75,105)=35=15 (İki fidan arası uzaklık) 11
Tarlanın çevresi Fidan sayısı İki fidan arası uzaklık 30 45 75 105 15 255 15 17 Örnek: a ve b aralarında asal iki sayıdır EKOK(a,b)+EBOB(a,b) toplamı kaçtır? a ve b aralarında asal olduğundan EKOK(a,b)=ab ve EBOB(a,b)=1 olur O halde EKOK(a,b)+EBOB(a,b)=ab+1 bulunur Örnek: İki pozitif tamsayının en büyük ortak böleni 18 ve en küçük ortak katı 630 dur Sayılardan biri 90 ise diğer sayı kaçtır? Sayılar a ve b olsun EBOB(a,b) EKOK(a,b)=ab 18630=90b b=126 bulunur Örnek: A kentinde 60 günde bir tiyatro şenliği, 72 günde bir konser grubu, 54 günde bir müzik şenliği yapılmaktadır Aynı günde bu üç olay A kentinde gerçekleştikten kaç gün sonra tekrar aynı günde gerçekleşir? Üçünün de ortak katı olan sayıda bu üç olay aynı günde gerçekleşecektir 60 72 54 2 30 36 27 2 15 18 27 2 15 9 27 3 5 3 9 3 5 1 3 3 5 1 5 12
1 EKOK(60,72,54)=2 3 3 3 5=1080 gün sonra aynı günde gerçekleşir SORULAR 1) 292 den en az hangi sayıyı çıkardığımızda elde edilen sayı 2,5 ve 7 ye tam bölünür? (Cevap: 12) 2) 24,36 ve 60 sayılarının EKOK u, EBOB unun kaç katıdır? (Cevap: 30) 3) a ve b pozitif tamsayılar a=3b dir Bu iki sayının EKOK ve EBOB larının çarpımı 147 olduğuna göre a kaçtır? (Cevap: 21) 4) Eni 84 cm boyu 189 cm olan dikdörtgen biçimindeki bir levha hiç parça artmayacak biçimde en az kaç tane eş kareye ayrılır? (Cevap: 36) 5) Boyutları 12,18 ve 24 cm olan dikdörtgenler prizması biçiminde bir kutu vardır Bu kutunun içine hiç boşluk kalmamak üzere küp biçiminde en az kaç kutu yerleştirilebilir? (Cevap: 24) 6) 13 eksiği 6,9,15 sayılarına bölünebilen 3 basamaklı en küçük sayının rakamları toplamı kaçtır? (Cevap: 13) 7) 1080,1800,2520 sayılarını bölen en küçük tamsayı kaçtır? (Cevap: 360) 8) 14 ve 10 ile bölündüğünde 4 kalanını veren üç basamaklı en büyük sayının rakamları toplamı kaçtır? (Cevap: 21) 9) Bir havuz 30,45 ve 75 litrelik varillerle ayrı ayrı doldurulduğunda hiç su artmamaktadır Bu havuz en az kaç litre su alır? (Cevap: 450) 10) a bir pozitif doğal sayı a/8, a/12, a/20 sayıları birer doğal sayı ise a nın en küçük değerinin rakamları toplamı kaçtır? (Cevap: 3) 13