BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK *

BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK * Fteess Codtos For Soe Segroup Fales ad Costructos ad Effcecy Basr ÇALIŞKAN Mateatk Aabl Dalı Hayrullah AYIK Mateatk Aabl Dalı ÖZET Bu çalışada yarıgrup yapıları ç bazı soluluk koşulları dkkate alıdı. br S yarıgrubu üzerde br kogrüas olak üzere, peryodklk, yerel soluluk, resdual soluluk, kele proble çözüleblrlğ ve yerel solu takd edleblrlk gb koşullar ve S yarıgrupları ç celeştr. Aahtar Keleler: Yarıgruplar, Kogrüas, Soluluk Koşulları. ABSTRUCT I ths study soe fteess codtos for segroup costructos are cosdered. Perodcty, local fteess, resdual fteess, soluble word proble ad locally fte presetablty are cosdered for ad S cogruece o a segroup S. Key Words: Segroups, Cogruece, Fteess Codtos. where s a GİRİŞ Yarıgrupları soluluk koşulları le lgl br çok çalışa vardır. Bularda bazıları Ruskuc N. (998) dek br akalesde br S yarıgrubuda soluluk koşullarıda bazılarıı sağlaası duruuda, S solu dekse sahp ola br T alt yarıgrubuda hag durularda sağlaıp sağlaayacağıa dar gerek ve yeter koşulları verştr. Br başka çalışa Ayık H. (005) de yayılaa Rees Matrsler Yarıgrubu ç soluluk koşullarıdır. Ye Ayık G., Ayık H. ve Ülü Y. (005b) de yayılaa akalede yarıgrupları br güçlü yarılats ç kele proble celeştr. Ayrıca Ayık G., Ayık H. ve Ülü Y. (005a) da br S yarıgrubu üzerde br kogrüas ve yarıgrup olarak solu takd varsa S ve S yarıgrupları çde br solu takd şa ettler. Bu akalede soluluk koşullarıda; peryodklk, yerel soluluk, resdual soluluk, kele proble çözüleblrlğ ve yerel solu takd edleblrlk gb * Doktora Tez-Ph.D. Thess 73

koşulları S, ve S yarıgruplarıı brde sağlaası duruuda dğerlerde sağlaıp sağlaadığı celeştr.. S, ve S İÇİN SONLULUK KOŞULLARI Taı : P yarıgrupları br özellğ olsu. Her solu yarıgrup, P özellğe sahp se P ye br soluluk koşulu der. Taı : Br S yarıgrubu her oojek alt yarıgrubu solu se S ye peryodk yarıgrup der. P yarıgrupları br sııfı olsu. S yarıgrubuu solu doğuraylı her alt yarıgrubu P ye at se S yarıgrubua yerel P der. Her solu yarıgrup yerel solu olup yerel soluluk ta br soluluk koşuludur. Her solu yarıgrup yerel solu takdl olup yerel solu takd edleblrlkte br soluluk koşuludur. Her s t S ç s t olacak şeklde S yarıgrubuda herhag br solu T yarıgrubua taılı br örte : S T hooorfz var se S ye resdual solu yarıgrup der. S solu doğuraylı br yarıgrup ve A kües de S solu br doğuray kües olsu. Eğer her u, v A ç u v bağıtısıı S de sağlaıp sağlaadığıa solu adıda karar vereble br algorta var se S yarıgrubua, A doğuray küese göre çözüleblr kele problee sahptr der. Teore : S yarıgrubuu resdual solu olables gerek yeter koşul herhag farklı k s, t S ( s t) ç S üzerde st, olacak şeklde (ya s ve t ayı deklk sııfıda olayacak şeklde) solu sayıda deklk sııfı ola br kogrüasıı olasıdır. İspat: İspat ç bakıız (Ayık, 998). Öere : S br yarıgrup, da S üzerde br kogruas olsu. Eğer S peryodk se S da peryodktr. İspat: S peryodk br yarıgrup ve peryodk olduğuda Böylece r s s s S olsu. O zaa s S ve S olacak şeklde r r s s s s, r poztf tasayıları vardır. 74

olduğuda S da peryodk olur. Bu öere ters her zaa doğru değldr. Öreğ, oojek yarıgrubuu (aslıda bu yarıgrup (, ) da S üzerde taılı (, ) se ( a, a ) SxS ç S a sosuz Z yarıgrubua zoorfktr) ve aa y çere e küçük kogrüas olsu. O zaa ( a, a ) ( a, a ) ( a, a ) ( a, a ) ( a, a ) ( a, a ) ( a, a ) ( a, a ) olduğuda ( a, a ) ; bezer şeklde se de ( a, a ) olarak yasıalı eleaları da çereceğde S S olup, olur. So S sadece br tek eleada oluşa ya solu br yarıgrup olup, peryodktr. Fakat açıkça görülür k S peryodk değldr. S br yarıgrup ve herhag br s S ç r s s poztf tasayıları evcut olsu. O zaa, her k Z ç olacak şeklde, r s s s s s kr r ( k ) r ( k ) r s s s s r ( k) r r olur. Teore : S br yarıgrup, da S üzerde herhag br kogrüas olsu. S yarıgrubuu peryodk olables ç gerek ve yeter koşul u peryodk olasıdır. İspat: : S peryodk ve s, t olsu. O zaa s, t S ve S de peryodk olduğuda s s r r ve t t, r poztf tasayıları vardır. Şd bz s, t r s, t, r, olacak şeklde olacak şeklde, r tasayılarıı varlığıı gösterelyz. 75

Buu ç ax ve, r r,r ya r, r le r e küçük ortak katı olarak alalı. Geellğ bozaksızı olduğuu kabul edel. O zaa olacak şeklde br egatf olaya tasayısı vardır. r, r r r k ve r r k olacak şeklde olup, le r e küçük ortak katı olduğuda k poztf tasayıları vardır. Bu duruda,k r r r r r s, t s, t s, t r r r r s, t s s, t r k r k s s, t s s, t s, t s, t s, t st, buluur. Böylece u da peryodk olduğu gösterlş olur. : peryodk olsu. Br (dolayısıyla yasıalı) olduğuda s s, s r s, s olacak şeklde elde edlr. Böylece S de peryodktr. s S alalı., S üzerde br kogrüas s, dr. Ayrıca peryodk olduğuda, r poztf tasayıları vardır. Burada;, r, r, s s s s s s r s, s s r s Souç : S br yarıgrup, da S üzerde br kogruas olsu. Eğer peryodk se S bölü yarıgrubu da peryodktr. Öere : S br yarıgrup, da S üzerde br kogruas olsu. Eğer S yerel solu se S bölü yarıgrubu da yerel soludur. 76

İspat: S yerel solu ve U v,, v kües de kües olsu. O zaa V v,, v olduğuda V alt yarıgrubu soludur. Şd v,..., v V k k S u solu br alt S solu ve S yerel solu u U olsu. O zaa u v... v vardır. Ayrıca olacak şeklde S üzerde taılı çarpada dolayı u ( v v ) yazablrz. Eğer bz v v v alırsak, böylece, her u U ç olup, k u v olacak şeklde br V U v v v V V olduğuda U solu olur. O halde yerel solu olur. öere ters de her zaa doğru değldr. Ye yarıgrup ve Z olak üzere yu da S küçük kogruas olarak alıır se S (, ) v vardır. Böylece v V Z olup, k Bu S de S a sosuz oojek ( aa, ) bağıtısıı çere e S solu dolayısıyla yerel soludur. Fakat, açıkça görülüyor k, S yerel solu değldr. Teore 3: S br yarıgrup ve da S üzerde br kogruas olsu. u yerel solu olables ç gerek ve yeter koşul S yerel solu olasıdır. İspat: a, b,, a, b : S yerel solu olsu. herhag solu br alt kües olsu. Bu duruda A a,, a B b b solu küeler ele alalı. A B S,, kües u ve, ve S de yerel solu olduğuda A ve B alt yarıgrupları solu olacağıda A B drek çarpı yarıgrubu da soludur. O halde A B olduğuu gösterek yeterl olacaktır. Şd u ( a, ) (, ) b a b k olsu. O zaa a, k, a A ve k b,..., b B olup, x a k a A ve y b k b B k olur. Ayrıca u ( x, y) bağıtısı yarıgrubuda sağladığıda ( x, y) A B olduğuda stele gösterlş olur. Böylece yarıgrubu da yerel soludur. 77

: yerel solu olsu. A a,, a br alt kües olsu. B a, a x kües S yarıgrubuu solu olarak alalı. O zaa yasıalı eleaları tüüü çerdğde B olur. Ayrıca yerel solu olduğuda B solu br yarıgrup olup, B ( a, a ) ( a, a ) k Z ve a,, a A A + k k k ( a a, a a ) a a A k k k olur. Ya A soludur, dolayısıyla S yarıgrubuu yerel solu olur. Souç : S br yarıgrup, da S üzerde br kogruas olsu. Eğer yerel solu se S bölü yarıgrubu da yerel soludur. Öere 3: S ve T k yarıgrup, da S üzerde br kogruas ve : S T örte br hooorfz olsu. O zaa ' {( ( s), ( t)):( s, t) } bağıtısı T üzerde br kogrüasdır, ayrıca her s S/ ç '( s) ( ( s)) ' kuralı le taıla ': S/ T/ ' döüşüü de br örte hooorfzdr. İspat: Açıkça görülür k yasıalı ve örte olduğuda ' de yasıalıdır. Ayrıca, gee açıkça görülür k setrk ve geçşel olduğuda ' de setrk ve geçşel olup, dolayısıyla br deklk bağıtısıdır. So olarak br kogruas ( ( s ), ( t )), ( ( s ), ( t )) ' olduğuda her ç ( s, t ),( s, t ) ( s s, t t ) ( ( s s ), ( t t )) ' 78

olup, ayrıca br hooorfz olduğuda olur. Böylece ( ( s ), ( t ))( ( s ), ( t )) ( ( s ) ( s ), ( t ) ( t )) ' de T üzerde br kogrüas olur. s, s S olsu. Eğer Şd olup, ' y taılıdır. Ayrıca, br döüşüdür. So olarak, her olduğuda, ( ( s s ), ( t t )) ' s s ( s, s ) ( ( s ), ( s )) ' s, s S ç ( ( s )) ' ( ( s )) ' ' taııda açıkça görüleceğ gb '(( s )( s )) '(( s s ) ) ( ( s s )) ' ( ( s ) ( s )) ' ( ( s )) '( ( s )) ' '( s) '( s ) ' örte br hooorfzdr. ' örte Öere 4: S br yarıgrup ve da S üzerde br kogrüas olsu. S resdual solu se S da resdual soludur. İspat: S resdual solu, s, s S ve s s olsu. O zaa s s olduğuda ( s, s) olup, ve ayrıca yasıalı eleaları çereceğde s s olur. Böylece S de resdual solu olduğuda s s olacak şeklde S de solu br T yarıgrubua taılı br örte : S T hooorfz vardır. Şd ' kogruasıı ve : S/ T/ ' hooorfz br öcek öerede olduğu gb taılayalı. Yukarda k 79

öerede gösterldğ üzere : S T örte olduğuda : S/ T/ ' de örtedr. Ayrıca ( s, s) olduğuda ( ( s), ( s)) ' olup olur, ve dolayısıyla ( s ) ' ( s ) ' s s ' s ' s olur. Böylece S de resdual soludur. Yukarıdak öere ters de her zaa doğru değldr. Öreğ; S y resdual solu olaya herhag br yarıgrup ve S S alıırsa, S (sadece br eleada oluşa) solu br yarıgrup olup, resdual soludur. Teore 4: S br yarıgrup ve da S üzerde br kogruas olsu. S resdual solu olables ç gerek ve yeter koşul u resdual solu olasıdır. İspat : : S resdual solu olsu. Eğer,, s t s t se o zaa s s veya t t dr. setrk olduğuda geellğ bozaksızı s s kabul edel. S resdual solu olduğuda öyle br solu T yarıgrubu ve : S T s s dr. Şd T yarıgrubu örte hooorfz vardır k üzerde ' kogruası Öere 4 dek gb taılaak üzere ': ' döüşüüü her st, ç ' s, t s, t olarak taılayalı. Öce, taılaa bu ' döüşüüü y taılı olduğuu gösterel. x, y, x, y ve x, y x, y olsu. O zaa x x ve y y olup, ( x) ( x) ve ( y) ( y) olur. Dolayısıyla olduğuda '(( x, y )) ( ( x ), ( y )) ( ( x ), ( y ))= '(( x, y )) ' döüşüü y taılıdır. Şd de,,, ' döüşüüü br hooorfz olduğuu gösterel: x y x y olsu. O zaa, sırasıyla, br kogrüas, ' 80

döüşüüü taııda, de br hooorfz olduğuda ve Öere 4 de taıla ' ü br kogrüas oluşuda olur. Böylece kolayca görülür k olduğuda x y x y xx y y xx, y y x x, y y,, ' x, y ' x, y ',, ', x y x y ' döüşüü de br hooorfzdr. Ayrıca ' ü taııda ' örte br hooorfzdr, ve ayrıca s s olup, da resdual soludur. s t s t s t s t ',,, ', : resdual solu ve s s S olduğuda s, s, s, s olup, s, s s, s solu olduğuda s, s s s, olsu. O zaa, yasıalı olur. Ayrıca resdual olacak şeklde da solu br T yarıgrubua taılı br örte hooorfz vardır. S resdual solu olduğuu gösterek ç : S T döüşüüü, her s S ç, s s, s olarak taılayalı. Açıkça görülüyor k : S T y taılı olup, her s, t S ç, br kogrüas ve de hooorfz olduğuda st ( st, st) ( s, s)( t, t) ( s, s) ( t, t) st olur. O halde de br hooorfzdr. Ayrıca, ( ) { ( s) : s S}, T br alt yarıgrubu olup, : S ( ) br örte hooorfzdr. So olarak s s S se, 8

olduğuda S resdual soludur. s s, s s s s, Souç 3: S br yarıgrup, da S üzerde br kogrüas olsu. Eğer resdual solu se S bölü yarıgrubu da resdual soludur. Öere 5: br S yarıgrubu üzerde br kogruas olsu. Eğer solu doğuraylı se o zaa u br solu yasıalı doğuray kües vardır. İspat: İspat ç bakıız (Ayık G., Ayık H. ve Ülü Y., 005a). ç x, x X R u br yarıgrup takd olsu. : S, her x, x X x olarak taılaa y X da X örte hooorfz olarak alırsak,,, w x x ve X w y y olur. O zaa, geşleterek, br w x y x y X ç, X ve, :, aldığıızda aşağıdak öereye sahp oluruz. R R r s r s R (,) Öere 6: X u br yasıalı doğuray kües X R de u br takd olsu. O zaa yukarıdak gösterlerle X R (,) S br takddr. Teore 5: S br yarıgrup ve da S üzerde br kogrüas olsu. Ayrıca br yarıgrup olarak solu doğuraylı olsu. O zaa u çözüleblr kele problee sahp olables ç gerek ve yeter koşul S çözüleblr kele problee sahp olasıdır. İspat: br yarıgrup olarak solu doğuraylı olsu. O zaa Öere 6 da S de solu doğuraylıdır. 8

( ): S çözüleblr kele problee sahp ve X de u br solu doğuray kües olsu. X { x :( x, y) X} ve X { y :( x, y) X} alıırsa, Öere 6 da her br, ç Şd olak üzere olsu. Kabul edel k eştlğ da sağlası. O zaa X kües S solu br doğuray küesdr. x, y,, x, y X ve,,,, x y x y X,,, w x, y x, y x, y ve w x y x y x y w w u x x x, v y y y u x x x, v y y y olak üzere, S üzerde br kogrüas olduğuda sağlaası ç gerek ve yeter koşul u u ve v v eştlkler S de sağlaasıdır. Ayrıca, S çözüleblr kele problee sahp olduğuda S her br, ç solu doğuray küeler X ler üzerde de çözüleblr kele problee sahptr. O halde S, X ve X üzerde çözüleblr kele problee sahp olduğuda, sırasıyla u u ve v v eştlkler S de solu adıda sağlaıp sağlaadığıa karar verebleceğz algortalar vardır. Dolayısıyla, bu algortalarda yaralaarak,, w u v u v w w w eştlğ eştlğ da solu adıda sağlaıp sağlaadığıa karar vereblrz. O halde da çözüleblr kele problee sahptr. 83

: br yarıgrup olarak solu doğuraylı se S de solu doğuraylıdır ve Öere 5 de dolayı u yasıalı br solu doğuray kües vardır. çözüleblr kele problee sahp ve X de u yasıalı solu br doğuray kües olsu. Bezer şeklde Öere 6 da X { x :( x, y) X} kües S br solu doğuray küesdr. Herhag x, x,, x, y, y,, y X ç olsu ve kabul edel k u x x x X ve u v v y y y X bağıtısı S de sağlası. O zaa X yasıalı olduğuda, olup, ( x, x ),( x, x ),,( x, x ), ( y, y ),( y, y ),,( y, y ) X w w ( x, x )( x, x ) ( x, x ) w ( y, y )( y, y ) ( y, y ) w bağıtısı da sağlaır. Ayrıca, da X üzerde çözüleblr alıırsa, kele problee sahp olduğuda w w eştlğ da solu adıda sağlaıp sağlaadığıa karar vereble br algorta vardır. O halde koşul u v adıda u v S de çözüleblr kele problee sahptr. w w eştlğ da sağlaası ç gerek ve yeter eştlğ S de sağlaası olduğuda bu algorta sayesde solu eştlğ S de sağlaıp sağlaadığıa karar vereblrz. O halde 84

Teore 6: S br yarıgrup da S üzerde br kogrüas olsu. Eğer yerel solu takd edleblr se S de yerel solu takd edleblrdr. İspat: yerel solu takd edleblr ve A da S solu br alt kües olsu. Bz A ı doğurduğu S alt yarıgrup A T solu takd edleblr olduğuu gösterelyz. B a, a : a A kües taılayalı. Açıkça görülüyor k, A kües solu olduğuda B kües de u solu br alt küesdr. Ayrıca yerel solu takd edleblr olduğuda B doğurduğu u B alt yarıgrubuu solu br takd vardır. Şd T le zoorfk olduğuu gösterel. Böylece ı solu takd T de solu br takd olacağıda S de yerel solu takd edleblr olduğuu gösterş oluruz. :T döüşüüü her u A T u a a se ç u u, u a, a ( a, a ) olarak taılayalı. Öce y taılı ve brebr döüşü olduğuu ayı ada gösterel. Her u, u T ç,, u u u u u u u u olduğuda döüşüü y taılı ve brebrdr. Şd taılaa bu döüşüüü br hooorfz olduğuu gösterel. u a a, u b b T ç Her u u ( a a b b ) a ab b, a ab b a a, a a b b, b b ( a a ) ( b b ) u u olduğuda döüşüü br hooorfzdr. 85

So olarak örte olduğuu gösterel. Her,, a a a a a a a, a a, a ç olduğuda döüşüü örtedr. O zaa br zoorfz olup, S yerel solu takd edleblr olduğu gösterlş olur. KAYNAKLAR AYIK, H., 998. Presetatos ad Effcecy of Segroups. Ph. D. Thess, Uversty of St Adrews, 89s. AYIK, H., 005. O Fteess Codtos for Rees Matrx Segroups. Czechoslovak Math. J., 55 : 455--463. AYIK, G., AYIK, H., ad ÜNLÜ, Y., 005a. Presetatos for S ad S/ρ fro a gve presetato ρ. Segroup Foru. 70 : 46 49. AYIK, G., AYIK, H., ad ÜNLÜ, Y., 005b. Presetatos ad word probles for strog selattces of segroups. Algebra & Dscrete Matheatcs. 4: 8-35. RUSKUC, N., (998). O large subsegroups ad fteess codtos of segroups. Proc. Lodo Math. Soc. 76: 383-405. 86