STATİK Ders_8 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2017-2018 GÜZ AĞIRLIK MERKEZİ, KÜTLE MERKEZİ VE BİR CİSMİN GEOMETRİK MERKEZİ Bugünün Hedefleri: a) Ağırlık merkezi, kütle merkezi ve geometrik merkez kavramlarının anlaşılması. b) Bir cisim için bu noktaların yerinin hesaplanması. Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Ağırlık Merkezi Ağırlık Merkezinin Yerinin Hesaplanması Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-2 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.61
SÖZEL YOKLAMA Kuvvet etkisi altındaki cisimlerin hareketlerini ilgilendiren problemlerde, olarak isimlendirilen noktanın yerinin belirlenmesi gereklidir. A) Ağırlık merkezi B) Kütle merkezi C) Geometrik merkez D) Hiçbiri Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-3 / 62 UYGULAMALAR Bir su tankını ayakta tutan yapıyı tasarlamak için, tankın ve suyun ağırlığının yanında, etkiyen bu yayılı kuvvetleri temsil eden bileşke kuvvetin konumunu da bilmemiz gerekecektir. Bu bileşke ağırlıkları ve etki çizgilerini nasıl hesaplarız? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-4 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.62
UYGULAMALAR (devam) Bir SUV aracı ile ilgili dikkat edilmesi gereken noktalardan biri, sert bir virajı dönerken devrilebilme olasılığıdır. Stabilitesini hesaplarken önemli olacak etkenlerden biri SUV aracın kütle merkezinin yeridir. SUV aracı daha stabil yapabilmek için bu merkez daha mı yukarıda yoksa yere yakın mı olmalıdır. SUV aracın kütle merkezinin yerini nasıl hesaplardınız?? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-5 / 62 AĞIRLIK MERKEZİ KAVRAMI (G) Bir cisim sonsuz sayıda parçacıktan oluşur ve eğer cisim yerçekimsel bir etki altındaysa bu her bir parçacık dw ağrılığına sahip olacaktır. Genellikle G olarak gösterilen ağırlık merkezi, parçacık sisteminin veya katı bir cismin ağırlık bileşkesinin konumunu gösterir. Bileşke kuvvet tanımından, her bir parçacığın bir nokta etrafındaki momentlerinin toplamı, G noktasındaki bileşke ağırlığın aynı nokta etrafındaki momentine eşittir. Ayrıca, her bir parçacığın ağırlıkları sebebiyle G noktası etrafındaki momentlerinin toplamı da sıfır olacaktır. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-6 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.63
AĞIRLIK MERKEZİ KAVRAMI (devam) _ Ağırlık merkezinin y ekseninden ölçülen konumu x, W nın y ekseni etrafındaki momenti ile cismi oluşturan parçacıkların her birinin ağırlığının yine y eksenine göre momentlerinin toplamına eşitlenmesi ile elde edilir. Eğer dw (x, ~~~ y, z) noktasında bulunuyorsa, _ x W = xdw ~ _ Benzer şekilde, y W = ~ _ ydw z W = ~ z dw Bu sebeple x, y ve z eksenlerine göre G ağırlık merkezinin konumu; Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-7 / 62 KÜTLE MERKEZİ VE BİR CİSMİN GEOMETRİK MERKEZİ Bu denklemlerde W yerine m ile yerleştirilirse, kütle merkezinin koordinatları bulunabilir: Benzer şekilde, bir hacmin, alanın veya uzunluğun geometrik merkezleri de W yerine sırasıyla V, A ve L yerleştirilerek bulunabilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-8 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.64
GEOMETRİK MERKEZ KAVRAMI C, cismin geometrik merkezini tanımlayan noktadır. Cismin yalnızca homojen bir malzemeden üretilmiş olması durumunda, geometrik merkez ile ağırlık ve kütle merkezleri çakışır (yoğunluk veya özgül ağırlık tüm cisim boyunca sabittir). Eğer cismin bir simetri ekseni varsa geometrik merkez bu eksen üzerinde yer alır. Bazı durumlarda ise geometrik merkez cisim üzerinde yer almaz (örn: halka, U ve C şekilli çisimler). Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-9 / 62 BİR ALANIN GEOMETRİK MERKEZİNİN HESAP ADIMLARI 1. Eğri üzerindeki genel bir (x,y) noktasına dokunan uygun bir da diferansiyel alanı seçin. İpucu: Eğer y kolayca x cinsinden ifade edilebiliyorsa (örneğin: y = x 2 + 1), düşey dikdörtgen bir alan kullanın. Eğer tersi bir durum varsa, yatay dikdörtgen bir eleman kullanın. 2. da yı diferansiyel eleman dx (veya dy) cinsinden ifade edin. 3. Dikdörtgen elemanın ağırlık merkezinin (x, ~ ~ y) koordinatlarını, genel nokta (x,y) cinsinden belirleyin. 4. İntegral elemanın dx veya dy olmasına bağlı olarak, değişkenleri ve integralin sınırlarını belirleyin ve integre edin, Not: Kütle ve ağırlık merkezlerini hesaplamak için benzer adımlar kullanılır. Bu adımlar, birkaç örnek yapılarak kolayca anlaşılır. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-10 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.65
ÖRNEK I Verilen: Şekildeki alan. İstenen: Alan merkezinin konumu (x, y) Plan: Adımları uygulayın. Çözüm: 1. y, x cinsinden verildiğinden, da yı düşey dikdörtgen bir şerit olarak seçiniz. 2. da = y dx = x 3 dx ~ ~ 3. x = x and y = y / 2 = x 3 / 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-11 / 62 ~ 4. x = ( A x da ) / ( A da ) 1 ÖRNEK I (devam) 0 x (x 3 ) d x 1/5 [ x 5 ] 1 = 1 0 (x 3 = 0 ) d x 1/4 [ x 4 ] 1 0 = ( 1/5) / ( 1/4) = 0.8 m ~ 1 A y da 0 (x 3 / 2) ( x 3 ) dx 1/14[x 7 ] 1 y= = = 0 1 A da 0 x 3 dx 1/4 = (1/14) / (1/4) = 0.2857 m Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-12 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.66
ÖRNEK II (x, y) Verilen: Alanın şekli ve ilgili yatay dikdörtgen şerit. İstenen: da ve (x ~, y) ~ Plan: Adımları takip edin. x~ y~ Çözüm: 1. da = x dy = y 2 dy 2. ~ x = x + (1x) / 2 = (1 + x) /2 = (1 + y 2 )/2 3. ~ y = y Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-13 / 62 KAVRAMSAL YOKLAMA 1. Ağırlığı ve yoğunluğu bilinen, kalınlığı ise sabit olmayan çelik bir plaka şekildeki gibi mesnetlenmiştir. Mesnet reaksiyonlarını bulmak için Kütle Merkezi, Ağırlık Merkezi, Alan Merkezi den hangisine ihtiyaç vardır. Bu üç parametrenin tümü aynı noktada mı konumlanır? A) (ağırlık merkezi, evet) B) (ağırlık merkezi, hayır) C) (alan merkezi, evet) D) (alan merkezi, hayır) 2. Yukarıdaki alanın alan merkezi hesaplanırken, işlem sayısını azaltmak için ne tür bir diferansiyel alan seçilmelidir? A) Düşey B) Yatay C) Polar D) Seçeneklerin herhangi biri. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-14 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.67
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ Verilen: Çelik plakanın kalınlığı 0.3 m olup yoğunluğu 7850 kg/m 3 dür. İstenen: Kütle merkezinin konumu. Ayrıca A ve B deki mesnet reaksiyonlarını hesaplayınız. Plan: İntegrasyonla kütle merkezini bulmak için çözüm adımlarını izleyin. Sonra dış yükleri çözmek için 2 boyutlu denge denklemlerini kullanın. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-15 / 62 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) Çözüm: 1. da yı düşey dikdörtgen şerit olarak seçin. 2. da = (y 2 y 1 ) dx = ( 2x + x) dx 3. = x = ( y 1 + y 2 ) / 2 = ( 2x x)/2 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-16 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.68
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) 4. x = =. 1.257 m. = y = =.. / 0.143 m = x = 1.26 m ve y = 0.143 m Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-17 / 62 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) Plakanın ağırlığını alan merkezi G ye yerleştirin. Alan, A = 4.667 m 2 Ağırlık, W = (7850) (9.81) (4.667) 0.3 = 107.8 kn A ve B deki reaksiyonları bulmak için SCD görünmektedir. Denge denklemlerini uygulayın: + M A = N B (2 2) 107.8 (1.26) = 0 N B = 47.92 = 47.9 kn + F X = A x + 47.92 sin 45 = 0 A X = 33.9 kn + F Y = A y + 47.92 cos 45 107.8 = 0 A Y = 73.9 kn Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-18 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.69
1. Diferansiyel alan olarak eğer düşey dikdörtgen bir şerit seçilmişse, bu durumda integral sınırları da dahil olmak üzere bütün değişkenler cinsinden olmalıdır. A) x B) y DİKKAT YOKLAMASI C) z D) herhangi biri. 2. Eğer düşey dikdörtgen bir şerit seçilmişse, bu durumda ~ x ve ~ y nin değerleri nedir? A) (x, y) B) (x / 2, y / 2) C) (x, 0) D) (x, y / 2) Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-19 / 62 ÖRNEK Şekilde gösterilen üçgenin alan merkezinin x ekseninden olan uzaklığını (yani alan merkezinin y koordinatını) bulunuz. 8-20 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.610
Önemli Not: alan merkezinin y mesafesi, alanın x eksenine göre momenti (birinci alan momenti) hesaplanarak bulundu! 8-21 / 62 Önemli Not: alan merkezinin x mesafesi, alanın y eksenine göre momenti (birinci alan momenti) hesaplanarak bulundu! 8-22 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.611
Bazı Temel Geometrik Şekillerin Alan Merkezleri - 1 8-23 / 62 Bazı Temel Geometrik Şekillerin Alan Merkezleri - 2 8-24 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.612
KOMPOZİT CİSİMLER Bugünün Hedefleri: a) Ağırlık merkezinin (G) yerinin hesaplanması, b) Kütle merkezinin yerinin hesabı, c) Kompozit cisimler yöntemi kullanılarak bir cismin geometrik merkezinin yerinin belirlenmesi. Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Kompozit Cisimler Yöntemi Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-25 / 62 SÖZEL YOKLAMA 1. Bu bölümdeki kompozit cisimler oluşmuş cisimleri tanımlamak için kullanılmaktadır. A) Bir araba çamurluğundaki karbon lif ve epoksi reçinesinden B) Bir yapıyı oluşturan inşaat demiri ve betondan C) Basit şekilli parçaların veya boşlukların toplamından D) Karmaşık şekilli parçaların veya boşlukların toplamından 2. Kompozit bir cismin ağırlık merkezinin hesaplanmasında kullanılan kompozit yöntem gerektirir. A) Basit aritmetik B) İntegrasyon C) Türev D) Hepsini. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-26 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.613
UYGULAMALAR Görülen I kesitli kiriş (üstte) ve T kesitli kiriş (altta) çeşitli yapı türlerinin inşasında kullanılır. Bir kirişin gerilme veya sehim hesabı yapılırken kesitin geometrik merkezinin yeri oldukça önemlidir. Farklı kiriş şekilleri için geometrik merkezi nasıl kolayca elde edebiliriz?? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-27 / 62 UYGULAMALAR (devam) Kompresör, birçok bağımsız parçanın birleşiminden oluşturulur. Zemine dokunan noktalardaki mesnetleri tasarlamak için A ve B bloklarındaki reaksiyonların hesaplanması gerekir. Bunu kolayca yapmak için, kompresörün ağırlık merkezinin (G) yerinin hesaplanması önemlidir. Eğer her bir bağımsız parçanın ağırlığını ve ağırlık merkezini biliyorsak, kompresörün (sistemin) ağırlık merkezinin yerini hesaplayabilmek için sadece basit bir yönteme ihtiyacımız vardır. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-28 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.614
KOMPOZİT BİR CİSMİN KÜTLE VE AĞIRLIK MERKEZİ Şekilde gösterildiği gibi bir seri parçacıktan (veya cisimden) oluşan kompozit bir cisim hayal edin. Net veya bileşke ağırlık W R = Wolur. y ekseni etrafındaki momentler toplanarak, x W R = ~ ~ ~ x 1 W 1 + x 2 W 2 +.. + x n W n Burada ~ x 1, W 1 in koordinatını göstermektedir, Benzer şekilde, ağırlık merkezinin koordinatlarını bulmak için x ve z eksenleri etrafındaki momentler de toplanabilir. Bu denklemlerde W yerine M kullanılarak kütle merkezinin koordinatları da hesaplanabilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-29 / 62 KOMPOZİT CİSİM KAVRAMI Pek çok endüstriyel nesne, birbirine bağlı bir seri basit şekilli parçadan oluşturulmuş kompozit cisimler olarak düşünülebilir (bir dikdörtgen, üçgen, yarım daire şekilli plaka veya boşluk gibi). Basit şekillerin geometrik merkezinin yeri (C) veya ağırlık merkezinin yeri (G) bilindiğinde, çok daha kompleks kompozit cisimlerin C veya G noktasını kolaylıkla hesaplayabiliriz. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-30 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.615
ANALİZ ADIMLARI 1. Cismi, bilinen şekle sahip parçalara bölün. Boşluklar negatif ağırlık veya boyuta sahip parçalar olarak düşünülecektir. 2. İlk kolonu basit parçaların numaralarını içeren bir tablo oluşturun, ikinci kolon (problemin cinsin bağlı olarak) ağırlık, kütle veya boyut, sonraki kolon moment kolu ve son olarak da bazı ara işlemleri kaydetmek için birkaç ilave kolon koyun. 3. Koordinat eksenini yerleştirin, her bir parçanın ağrılık merkezinin veya geometrik merkezinin koordinatlarını hesaplayın ve tabloyu doldurun. 4. x, y ve z i bulmak için kolonları toplayın, x = ( x i A i ) / ( A i ) veya x = ( x i W i ) / ( W i ) Bu yöntem birkaç örnek yaptıktan sonra oldukça basit gelecek!! Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-31 / 62 8-32 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.616
2 8-33 /37 62 ÖRNEK Verilen: Şekilde gösterildiği gibi üç blok birleştirilmiştir. İstenen: Bu teşkilin (sistemin) hacimsel merkezi. Plan: Analiz adımlarını uygulayın. A B C Çözüm: 1. Bu problemde, A, B ve C blokları üç parça (segment) olarak düşünülebilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-34 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.617
ÖRNEK (devam) Her bir şeklin hacmi: V A = (0.5) (1.5) (1.8) (0.5) = 0.675 m 3 A B C V B = (2.5) (1.8) (0.5) = 2.25 m 3 V C = (0.5) (1.5) (1.8) (0.5) = 0.675 m 3 Segment A B C V(m 3 ) x (m) y (m) z (m) yv 0.675 2.25 0.675 1.0 0.25 0.25 0.25 1.25 3.0 0.6 0.9 0.6 xv (m 4 ) 0.675 0.5625 0.1688 (m 4 ) 0.168 2.813 2.025 zv (m 4 ) 0.405 2.025 0.405 3.6 1.406 5.007 2.835 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-35 / 62 ÖRNEK (devam) A B C Tablonun özeti V (m 3 ) x V y V z V (m 4 ) (m 4 ) (m 4 ) 3.6 1.406 5.007 2.835 Hacmin merkezi denklemlerine yerleştirerek: ~ x = ( x V) / ( V ) = 1.406 / 3.6 = 0.391 m y = ( y ~ V) / ( V ) = 5.007 / 3.6 = 1.39 m z = ( z ~ V) / ( V ) = 2.835 / 3.6 = 0.788 m Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-36 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.618
KAVRAMSAL YOKLAMA 1. Genel olarak bildiğiniz geometrik merkez bilgisine dayanarak, sağda görünen alanın geometrik merkezini hesaplamak için göz önüne alınması gerekli minimum parça sayısı kaçtır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 3cm 1 cm 1 cm 3cm 2. Bir sandık, altındaki halının temizlenmesi için C bir köşesinden havaya kaldırılıyor. Sandık, A köşesi yerde kalacak şekilde C kulpundan çekilerek kaldırılıyor. Sandığı devirmeden, en fazla ne açıyla havaya kaldırabiliriz (kutunun altı AB ile yer arasında ölçülen açı cinsinden)? A) 30 B) 45 C) 60 D) 90 B G 30º A Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-37 / 62 a Çözüm: 3 m 3 m ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ b 1 m 3 m d c Verilen: Görülen parça. İstenen: Parçanın geometrik merkezi. Plan: Analiz adımlarını izleyin. 1. Bu cisim aşağıdaki parçalara bölünebilir: üçgen (a) + dikdörtgen (b) + çeyrek daire (c) yarım dairesel alan (d). Boşluk için negatif işaret kullanılacağına dikkat edin! Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-38 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.619
Adımlar 2 ve 3: a, b, c ve d parçalarını kullanarak tabloyu oluşturun ve tamamlayın. Koordinat sistemin konumuna dikkat edin! Segment Üçgen a Dikdörtgen b Çeyrek daire c Yarım daire d ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) Area A (m 2 ) 4.5 9.0 9 / 4 / 2 19.00 x (m) 4 1.5 4(3) / (3 ) 0 a 3 m 3 m y (m) 1 1.5 4(3) / (3 ) 4(1) / (3 ) y b 1 m 3 m d c x A ( m 3 ) 18 13.5 9 0 22.5 y A ( m 3 ) 4.5 13.5 9 0.67 26.33 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-39 / 62 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) 4. Şimdi geometrik merkezin koordinatlarını bulmak için tablodaki sonuçları ve formülleri kullanın. Alan A x A y A 19.00 22.5 26.33 x = ( x A) / ( A ) = 22.5 in 3 / 19.0 m 2 y = ( y A) / ( A ) = 26.33 in 3 / 19.0 m 2 y = 1.18 m = 1.39 m C 1 m 3 m 3 m 3 m Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-40 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.620
1. Bir dikdörtgen alan, şekilde görüldüğü gibi yarım daire ve üçgen şeklinde kesikler içermektedir. Geometrik merkezin yerinin bulunması için en az kaç parça alan kullanmak gerekir? A) İki B) Üç DİKKAT YOKLAMASI C) Dört D) Beş 2. Alanın geometrik merkezini hesaplamak için iki kare segment (parça) göz önüne alındı; ABCD karesi ve DEFG karesi. DEFG karesinin geometrik merkezinin (x, ~~ y ) koordinatları nedir? A) (1, 1) m B) (1.25, 1.25) m C) (0.5, 0.5 ) m D) (1.5, 1.5) m y 2cm 2cm A y B 1m E F 1m 2cm 4cm Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-41 / 62 D G C x 1m 1m x YAYILI YÜKÜN TEKİL YÜKE İNDİRGENMESİ Bugünün Hedefleri: Yayılı yükün eşdeğer kuvvetini hesaplama. = Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Eşdeğer Yük Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-42 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.621
SÖZEL YOKLAMA 1. Yayılı bir kuvvetten dolayı oluşan bileşke kuvvet (F R ), yayılı kuvvet eğrisi w = w(x) in eşittir. A) alan merkezine B) yay uzunluğuna C) altında kalan alana D) hacmine y w F R Yayılı yük eğrisi x 2. Yayılı yükün eşdeğeri olan kuvvetin etki çizgisi, yayılı yükün üzerinden geçer. A) Alan merkezi B) Orta noktası C) Sol köşesi D) Sağ köşesi Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-43 / 62 UYGULAMALAR Bir depolama rafına 5e 10 kalaslardan oluşan bir paket yerleştirilmiştir. Bu keresteler (ahşabın ağırlığından dolayı) paketi tutan kirişler üzerinden yayılı bir kuvvet oluşturmaktadır. Yükün çelik kiriş üzerindeki etkisini analiz edebilmek için, bu yayılı yükü bir tekil yüke indirgemek genellikle yardımcı olur. Bunu nasıl yapacaksınız? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-44 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.622
UYGULAMALAR (devam) Üçgen şekilli tabela üzerine üniform rüzgar basıncı etkimektedir. Tabela ve direk arasındaki bağlantıyı tasarlayabilmek için yayılı yük yerine bir tekil kuvvet - eşdeğer bileşke kuvvetve kuvvetin etki noktasını (uygulandığı yeri) hesaplamamız gerekir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-45 / 62 YAYILI YÜK Pek çok durumda, yayılı yük bir cismin yüzey alanına etkir. Bu yükler rüzgar, akışkanlar veya cismin yüzeyindeki kaplamanın ağırlığından kaynaklanır. Yayılı basınç yükünün en çok karşılaşılan halini analiz edeceğiz. Bu, düz dikdörtgen bir yüzeyin bir ekseni boyunca yayılı olan üniform yüktür. Bu durumlarda w, x in bir fonksiyonudur ve birim uzunluğa karşılık gelen kuvvet birimindedir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-46 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.623
BİLEŞKE KUVVETİN BÜYÜKLÜĞÜ dx uzunluğunda bir eleman düşünün bu eleman üzerine df şiddetinde bir kuvvet etkimektedir df = w(x) dx Kiriş üzerine etkiyen net kuvvet + F R = L df = L w(x) dx = A olur. Burada A, yük eğrisi w(x) in altındaki alandır. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-47 / 62 BİLEŞKE KUVVETİN KONUMU df kuvveti, O noktası etrafında (x)(df) kadar bir moment oluşturur. O noktası etrafındaki toplam moment + M RO = L x df = L x w(x) dx F R bileşke kuvvetinin mesafesinden etkidiği kabul edilirse, O noktası etrafında oluşturacağı toplam moment + M RO = ( ) (F R ) = L w(x) dx Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-48 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.624
BİLEŞKE KUVVETİN KONUMU (devam) Son iki denklem karşılaştırıldığında, aşağıdaki denklem elde edilir: Daha sonra detaylı bilgi verilecek fakat F R kuvveti C noktasından etkir, bu noktaya w(x) yük eğrisinin altında kalan alanın geometrik merkezi ismi verilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-49 / 62 ÖRNEK I Öncelikle, geometrik merkezleri kolayca tanımlanabilen dikdörtgen ve üçgen yük diyagramları ile çalışılacaktır. Bir dikdörtgenin alanının ve geometrik merkezinin bulunması kolaydır! Dikkat ederseniz üçgen biraz daha dikkat gerektirir ama hala oldukça kolaydır. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-50 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.625
ÖRNEK I (devam) Şimdi tekil kuvveti bulmak için gerekli işlemleri tamamlayalım (tekil kuvvet, yayılı bir yükün bileşke kuvvetinin genel adıdır) Dikdörtgen yük: F R = 400 10 = 4,000 lb ve = 5 ft. Üçgen yük: F R = ( ) (600) (6) = 1,800 N ve = 6 (1/3) 6 = 4 m. Sağa yaslı bir üçgenin geometrik merkezinin, üçgenin tabanından itibaren genişliğinin üçte biri mesafede olduğunu hatırlayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-51 / 62 ÖRNEK II Verilen: Şekildeki kiriş ve üzerine uygulanan yük. İstenen: Eşdeğer kuvvet ve konumunun A dan uzaklığı. Plan: 1) Yayılı yük iki parçaya bölünebilir (bir dikdörtgen ve bir üçgen yükleme). 2) Her bir yayılı yükün bileşke kuvveti F R yi ve konumunu bulun. 3) Tekil yükleri kullanarak tüm yayılı yükün bileşke kuvveti F R yi ve konumunu hesaplayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-52 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.626
ÖRNEK II (devam) 10 ft F R2 4 ft F R1 150 lb/ft yükseklik ve 6 ft genişliğindeki üçgen yayılı yük için, F R1 = ( ) (150) (6) = 450 lb ve etki noktasının konumunun A dan mesafesi = (2/3)(6) = 4 ft 150 lb/ft yükseklik ve 8 ft genişliğindeki dikdörtgen yayılı yük için, F R2 = (150) (8) = 1200 lb ve etki noktasının konumunun A dan mesafesi = 6 + (1/2)(8) = 10 ft Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-53 / 62 ÖRNEK II (devam) F R2 10 ft F R 8.36 ft F 4 ft R1 Eşdeğer yük ve A da etkiyen moment: F R = 450 + 1200 = 1650 lb + M RA = 4 (450) +10(1200) = 13800 lbft (F R. )= M RA olacağından : 1650 =13800 Eşdeğer kuvvetin konumunu bulmak için çekilirse; Yükün A dan mesafesi = 8.36 ft Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-54 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.627
KAVRAMSAL YOKLAMA F R 1. F R nin konumu nedir, yani d mesafesi kaçtır? A 3 m 3 m B A d B A) 2 m B) 3 m C) 4 m D) 5 m E) 6 m x 2 F 1 F 2 x F R 2. Eğer F 1 = 1 N, x 1 = 1 m, F 2 = 2 N ve x 2 = 2 m ise F R nin konumu nedir, yani x mesafesi kaçtır? A) 1 m B) 1.33 m C) 1.5 m x 1 D) 1.67 m E) 2 m Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-55 / 62 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ Verilen:Şekilde görülen kiriş ve üzerindeki yayılı yük. İstenen: O da etkiyen eşdeğer kuvvet ve moment. Plan: 1) Yayılı yük iki parçaya ayrılabilir iki üçgen parça. 2) Her bir yayılı yük için F R ve konumunu bulun. 3) Tekil yükleri kullanarak tüm yayılı yükün bileşke kuvveti F R yi ve O noktasında oluşturduğu momenti hesaplayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-56 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.628
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) 9m 5m F R1 F R2 6 kn/m yükseklik ve 7.5 m genişliğindeki sol üçgen yayılı yük için, F R1 = (0.5) (6) (7.5) = 22.5 kn ve etki noktasının konumunun O dan mesafesi = (2/3)(7.5) = 5 m 6 kn/m yükseklik ve 4.5 m genişliğindeki sağ üçgen yayılı yük için, F R2 = (0.5) (6) (4.5) = 13.5 kn etki noktasının konumunun O dan mesafesi = 7.5 + (1/3)(4.5) = 9 m Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-57 / 62 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) 9m 5m F R1 F R2 Üç kuvvetin bileşke yükü için kuvvetleri topla, F R = 22.5 + 13.5 + 15 = 51 kn O daki bileşke moment için her bir kuvvetin momentini ve diğer tekil momentleri topla, + M RO = 500 + 5 (22.5) +9 (13.5) + 12 (15) = 914 knm Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-58 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.629
DİKKAT YOKLAMASI 100 N/m F R 12 m x 1. F R = A) 12 N B) 100 N C) 600 N D) 1200 N 2. x =. A) 3 m B) 4 m C) 6 m D) 8 m Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 8-59 / 62 8-60 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.630
8-61 / 62 6 m 4 m 8-62 / 62 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.631