FİZ-217-01 Titreşimler ve Dalgalar 2014-2015 Güz dönemi ders notları* Prof. Dr. Hüseyin Çelik *Bu ders notları esas olarak aşağıda verilen kaynak kitaplar kullanılarak hazırlanmıştır. 1. Titreşimler ve Dalgalar; A. P. French. 2. Vibrations and Waves; George C. King 3. The Physics of Vibrations and Waves; H. J. Pain 4. Dalgalar, Berkeley Fizik Dersleri, Cilt 3; Frank S. Crawford, Jr. 5. University Physics, Sears and Zemansky 6. Fundamental Physics, Halliday, D., Resnick, R.,and Walker, J. 7. Calculus and analytic geometry; George B. Thomas, Jr. 1
Dersin içeriği Periyodik hareketler; Periyodik hareketlerin üst üste gelmesi; Fiziksel sistemlerin serbest salınımları; Sönümlü harmonik hareketler; Zorlamalı salınımlar ve rezonans kavramı; Çiftlenimli salınımlar ve normal modları; Zorlamalı çiftlenimli osilatörler ve rezonans olayı; N kütleli enine ve boyuna çiftlenimli osilatörler ve normal modları; Sürekli sistemlerin normal modları ve Fourier analizi; Gerilmiş bir ip üzerinde normal modların üst üste gelmesi; Gerilmiş ipin zorlamalı titreşimleri; Bir çubuğun boyuna titreşimleri; Hava borularında boyuna titreşimler ve ses dalgaları; İki ve üç boyutlu sistemlerin normal modları; İlerleyen dalgalar; Tek boyutta dalga denkleminin türetilmesi; Tek boyutta dalga denkleminin değişkenlerine ayırma yöntemiyle çözümü; İlerleyen dalgaların üst üste binmesi; Duran dalgalar; Dispersiyon, faz hızı ve grup hızı; Mekanik dalgaların enerjsi ve bir dalga tarafından taşınan enerji; İki ve üç boyutta dalga denklemi ve değişkenlerine ayırma yöntemiyle çözümleri; Elektromanyetik dalga denkleminin türetilmesi ve düzlem dalga çözümleri; Elektromanyetik dalganın enerjisi ve Poynting vektörü; Elektromanyetik dalgaların kutuplanması. Düzlem dalgalarının yansıması, kırınımı ve girişimi. Sınavlar: 1. Ara Sınavı: 16 Kasım 2014 (PAZAR) 10.00-12.00 2. Ara Sınavı: 28 Aralık 2014 (PAZAR) 10.00-12.00 Başarı notunun hesabı: 1. Ara sınav 25%, 2. Ara sınav 25% ve Genel sınav 50% alınır. Öğrencinin başarılı sayılması için genel sınavda en az 40/100 almalıdır. Bu hesabın yapılması ve başarı notunun verilmesinde öğrenci yönetmeliğinin 23. ve 24. maddeleri uygulanır. 2
2014-2015 Ders yılı ders günleri Tarih Salı Perşembe 23.9.2014 X 25.9.2014 X 30.9.2014 X 2.10.2014 X 9.10.2014 X 14.10.2014 X 16.10.2014 X 21.10.2014 X 23.10.2014 X 28.10.2104 X 30.10.2104 X 4.11.2014 X 6.11.2014 X 11.11.2014 X 13.11.2014 X 18.11.2014 X 20.11.2014 X 25.11.2014 X 27.11.2014 X X 2.12.2014 X 4.12.2014 X 9.12.2014 X 11.12.2014 X 16.12.2014 X 18.12.2014 X 23.12.2014 X 25.12.2014 X 30.12.2014 X 3
HAFTALARA GÖRE İŞLENECEK KONULAR (Tahmini) Haftalar Tartışılacak işlenecek konular: 1. Hafta Periyodik hareketler.basit harmonik hareketin dönme vektörü ve kompleks üstel fonksiyonla tanımlanması Periyodik hareketlerin üst üste gelmesi. 2. Hafta Aynı frekanslı iki dalganın tek boyutta üst üste gelmesi.farklı frekanslı iki dalgaların tek boyutta üst üste gelmesi, vurular. Aynı frekanslı birçok titreşimin üst üste gelmesi. Aynı ve farklı frekanslı dik titreşimlerin üst üste gelmesi. Lissajous eğrileri. 3. Hafta Fiziksel sistemlerin serbest salınımları. Basit sarkaç Kompleks üstel fonksiyon kullanarak harmonik osilatör denkleminin çözümü. Burulma sarkacı; Fiziksel sarkaç; Elektrik devrelerinde osilasyonlar. 4. Hafta Sönümlü harmonik hareket denklemi: Kritik üstü, kritik ve kritik altı sönüm durumlarının incelenmesi. Sönümlü harekette enerji kayıp oranı. Sönümlü harmonik harekette kalite faktörü. Sönümlü elektriksel osilasyonlar. 5. Hafta Sönümlü ve sönümsüz osilasyonlar için zorlamalı harmonik hareketin denklemi. Zorlamalı osilasyon süresince güç soğrulması. Elektrik devrelerinde rezonans. Geçiş olayı. Kompleks fonksiyonların sönümlü zorlanmalı osilasyonlarıda kullanımı. 6. Hafta Çiftlenimli salınıcıların fiziksel karakteristikleri. Sarmal yaylarla çiftlenimli yapılmış kütlelerin salınımı. Normal modların üst üste gelmesi. Çiftlenimli salınıcıların zorlanımlı titreşimi ve rezonans. 7. Hafta N-tane kütleden oluşan çiftlenimli salınıcılar ve normal modlarının bulunması.. Enine ve boyuna salınımlar. N nin çok büyük olma durumu. Bir Kristal örgünün normal modları. 8. Hafta Sürekli sistemlerin tanımı. Bir boyutlu dalga denkleminin türetilmesi. Bu denklemin değişkenlerine ayırma yöntemiyle çözümü. Gerilmiş ip üzerinde modların üst üste gelmesi. Gerilmiş ipin zorlanımlı harmonik hareketi. 9. Hafta Young modülü, ve hacim modülü kavramları.bir çubuğun boyuna titreşimlerinin incelenmesi.hava borusunun boyuna titreşimleri ve ses dalgası. İki ve üç boyutlu sistemlerin titreşimi modları.fourier serilerinin titreşim modlarının incelenmesinde kullanımı. 10. Hafta İlerleyen sinüzoida dalgalar. Dalgaların sınıflandırılması. İlerleyen dalgalar ve normal modları. Bir yönde ilerleyen dalgalar. Dalga atmaları. Dalga atmalarının üst üste gelmesi. Dispersiyon; faz hızı ve grup hızları. Mekaniksel dalgaların enerjisi ve bir dalga tarafından taşınan enerji. 11. Hafta Maxwell denklemlerinin integral ve diferansiyel biçimleri.elektromanyetik dalga denklemi ve düzlem dalga çözümleri. 12. Hafta Elektromanyetik dalgalarda enerji., Elektromanyetik dalgalarda enerji akışı ve Poynting vektörü. Düzlem elektromanyetik dalgaların kutuplanması. 13. Hafta Sınır etkileri ve girişim: Dalga pulslarının yansıması, yansıma ve geçme katsayıları. Huygens ilkesi. Huygens ilkesi ve yansıma. Huygens ilkesi ve kırılma. 14. Hafta Girişim, çift yarıkta girişim. İnce filmlerde girişim. Çok yarıkta girişim. Kırınım, tek ve çok yarıklı sistemlerde kırınım. NOT: Ders notlarına http://yunus.hacettepe.edu.tr/~hucelik/fiz217/ adresinden ulaşabilirsiniz. 4
1.1 PERİYODİK HAREKETLER BÖLÜM-1 Bu derste sık kullanacağımız bazı tanımlamalar aşağıda verilmiştir. Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında, bir doğru boyunca, periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir. Genellikle zamanın sinüs veya kosinüs fonksiyonları olarak ifade edilen periyodik hareketlere harmonik hareket denir. Böyle hareket yapan bir parçacığın hiçbir kuvvetin (bileşke kuvvet) etkisinde kalmadığı konuma denge konumu denir. Herhangi bir andaki konumun denge konumuna olan uzaklığına uzanım denir. Uzanımın maksimum değerine genlik denir. Parçacığı denge konumuna geri getirmeye çalışan kuvvet, uzanımla orantılı ise bu titreşim hareketine basit harmonik hareket (kısaca BHH) denir. Basit harmonik harekette uzanımın zamanla değişimi basit sinüs (veya kosinüs) fonksiyonu şeklindedir. Bu nedenle basit harmonik harekete sinüzoidal hareket denir. Titreşim, denge konumu etrafındaki zamana bağlı salınımlardır. Titreşim hareketi zamana bağlı y(t) gibi bir fonksiyonla ifade edilebilir. Dalga hareketinin oluşumunun ana kaynağı titreşimdir. Ancak her titreşim dalga hareketi oluşturmayabilir. Dalga titreşimin bir yerden başka bir yere taşınmasıdır. Bu harekette hem zaman ve hem de konum değişir. Bu nedenle dalga hareketi hem konuma ve hem de zamana bağlı harekettir ve y(x, t) şeklinde bir fonksiyonla ifade edilebilir. 5
1.2 BASİT HARMONİK HAREKETİN DÖNME VEKTÖRÜ İLE TANIMLANMASI Burada kısaca basit harmonik hareket ile düzgün dairesel hareket arasındaki ilişkiye değineceğiz. Şekil-1 de xy-düzleminde merkezi orijinde olan A yarıçaplı bir çember üzerinde düzgün dairesel hareket yapan bir parçacık gösterilmiştir. Şekil-1.1 Parçacık t = 0 anında çember üzerindeki P 0 noktasından sabit açısal hızı ile harekete başladığını kabul edelim. OP 0 vektörünün x-ekseninin pozitif tarafı ile yapmış olduğu açı olsun. Parçacığın t kadar zaman sonra çember üzerinde bulunduğu yeri belirleyen OP vektörünün x-ekseninin pozitif tarafıyla yapmış olduğu açısı ise θ = ωt + α (1.1) ifadesi ile verilecektir. Parçacık çember üzerinde sabit açısal hızla dönmesine devam ederse, OP vektörünün x-ekeni üzerindeki izdüşüm ayağı olan Q noktası ise +A ile A arasında basit harmonik hareket (BHH) yapar. Bu durumda Q noktasının yerini x = Acos(ωt + α) (1.2) 6
ifadesi ile belirleyebiliriz. Bu bağıntı basit harmonik hareketin denklemidir. Burada A hareketin genliği, açısal frekansı ve faz sabitidir. Benzer şekilde P noktasının y-ekseni üzerindeki izdüşümü için ise y = Asin(ωt + α) (1.3) yazabiliriz. Yani y-ekseni üzerindeki izdüşüm de basit harmonik hareket yapar. Orijinden parçacığın bulunduğu P noktasına giden OP vektörüne yer (veya konum) vektörü dendiğini biliyorsunuz. Bu vektörün boyunu r, x-ekseninin pozitif tarafıyla yaptığı açıyı ile gösterirsek, parçacığın bulunduğu P noktasının yerini (r, ) polar koordinatlar ile de belirleyebiliriz. Şekil-1.2 Dairesel hareket yapan cismin dik koordinatları ile polar koordinatları arasındaki ilişki. Dik koordinatlar ile polar koordinatlar arasındaki ilişkinin x = rcosθ ve y = rsinθ (1.4) ifadeleri ile verildiğini biliyoruz. Bu durumda OP vektörünü şeklinde yazabiliriz. OP = xi + yj = rcosθi + rsinθj (1.5) 7
Şimdi bu ifadeyi başka bir şekilde ifade etmeye çalışalım: r = x + iy (1.6) Eşitlik-1.6 nın aşağıda söylenenleri temsil ettiği varsayılacaktır: x gibi bir yer değiştirme herhangi bir sınırlayıcı faktör olmaksızın x- ekenine paralel yapılmalıdır. iy teriminin y-eksenine paralel bir yönde y yer değiştirmesi yaptırması gerektiği anlaşılmalıdır. Gerçekte x e iy nin ilavesi olarak anlaşılan z ifadesi yukarıda tanımlanan r ile aynı olmalıdır yani z = x + iy (1.7) i sembolüne eskiden ne anlama gelirse gelsin burada saat ibrelerinin tersi yönünde 90 0 lik (= π/2 radyan) dönme yaptıran bir nicelik olarak bakacağız. ib niceliğini oluşturmak için, x-ekseni boyunca b kadarlık bir mesafe ilerlenir ve sonra y-ekseni boyunca b uzunluğundaki bir yer değiştirme ile bitmek için 90 0 dönülür. i 2 b niceliğini oluşturmak için önce ib oluşturulur ve ona 90 0 lik bir dönme uygulanır. Çünkü i 2 b niceliği i(ib) şeklinde yazılabilir. Burada arka arkaya iki dönmenin b yer değiştirmesini b yer değiştirmesine döndüreceği anlaşılır. Böylece cebirsel bir eşitlik elde ederiz: i 2 = 1 (1.8) i niceligini cebirsel olarak konuşmak gerekirse -1 nin kare kökü olarak bakabiliriz. Başka bir deyişle i niceliği gerçek (reel) bir değer değildir. i niceliği sanal (imajiner) bir değerdir. Bu durumda Eşitlik-1.7 kompleks bir değeri temsil etmektedir. Şimdi y bileşeninin uzunluğu b, x bileşeninin uzunluğu a olan bir z vektörünü ele alalım (Burada z vektörünün kompleks uzayda bir vektör olduğunu unutmayalım) ve "iz nedir? sorusunu yanıtlayalım. olduğuna göre (Şekil-1.3a) z = a + ib (1.9) 8
iz = ia + i 2 b = ia b (1.10) yazabiliriz. Bu vektörün bileşenleri Şekil-1.3b de gösterilmiştir. Burada iz vektörü, z vektörünün 90 0 lik bir ilave dönme ile meydana getirildiğine dikkat ediniz. Şekil-1.3 (a) Kompleks düzlemde z vektörünün gösterimi. (b) z vektörünün i ile çarpımından elde edilen iz vektörü (Bu iki vektörün dik olduklarına dikkat ediniz) Bu çeşit bir analiz cebir ile geometri arasında uygun bir köprü kurar. Eğer a ve b nicelikleri gerçek (reel) sayılar ise z = a + ib (1.11) toplamı kompleks bir sayı olacaktır. Fakat geometrik olarak Şekil-1.3a dan da açıkça görüleceği gibi tanθ = b/a olacak şekilde x-ekseninden itibaren belli bir θ açısı yapan eksen boyunca bir yer değiştirme söz konusudur. Bir kompleks sayı ile bir vektörü bu şekilde temsil ederek BHH i analiz etmek için fiziksel olarak uygun bir yönteme sahip olduğumuza dikkat ediniz. Bu yöntemle bir titreşim hareketi problemini çözdükten sonra, a ve b değerleri gerçek olan z = a + ib şeklinde bir sonuç elde edilir. 9
1.3 e iθ KOMPLEKS ÜSTEL FONKSİYONU ve BU FONKSİYONLA BHH in TANIMLANMASI Biraz önceki tartışma daha önceki analizlerimize fazla bir katkıda bulunmuş gibi gözükmüyor. Şimdi tanımlayacağımız kompleks üstel fonksiyon, ele alınan titreşim problemlerini kolaylaştırması bakımından önemlidir. Titreşimlerin analizinde, periyodik yer değiştirme ve bu yer değiştirmenin zamana göre birinci türevi olan hız ve ikinci türevi olan ivme ile ilgileneceğiz. Hareketi tanımlayan yer değiştirme, hız ve ivme ifadeleri sinüs ve kosinüs fonksiyonları içerir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının seriye açılımları yapılırsa sinθ = θ θ3 3! + θ5 5! (1.12a) cosθ = 1 θ2 2! + θ4 4! (1.12b) ifadeleri elde edilir (Bunun için Calculus and analytic geometry; George B. Thomas, Jr. kitabına bakınız). Bu iki ifade kullanılarak cosθ + isinθ toplamı için cosθ + isinθ = 1 + iθ θ2 2! θ3 i + θ4 θ5 + i (1.13) 3! 4! 5! ifadesini elde ederiz. Bu ifadede -1 yerine i 2 yazılarak yeniden düzenlenirse, cosθ + isinθ = 1 + iθ + (iθ)2 2! + (iθ)3 3! + (iθ)4 4! + (iθ)5 5! + + (iθ)n n! ifadesi elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafı e iθ nın seri açılımıdır. Bu durumda eşitlik (1.14) cosθ + isinθ = e iθ (1.15) şeklinde yazılabilir. Trigonometrik fonksiyonlarla kompleks üstel fonksiyonlar arasındaki ilişkiyi gösteren bu ifade Leonhard EULER tarafından 1748 de elde edilmiştir ve onun adıyla anılır. Genellikle e iθ ile bir z kompleks sayısının çarpımı, z nin uzunluğunu değiştirmeden açısı kadar dönmesini tanımlar. 10
Harmonik hareketi tanımlayan yer değiştirme (x), hız (v) ve ivme (a) ifadeleri sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını içerir. Örneğin BHH için, x = Acos( t + α) ve y = Asin( t + α) v = dx dt = Asin( t + α) (1.16b) a = dv dt = d2 x dt 2 = 2 Acos( t + α) = 2 x ifadelerinin geçerli olduğunu biliyoruz (Bu konuya daha sonra tekrar döneceğiz). Diğer taraftan, x ve y nin x+iy şeklindeki bir toplamı ile ilgileniyorsak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz, (1.16a) (1.16c) z = Acos( t + α) + iasin( t + α) = Ae i( t+α) (1.17) Bu ifadede z nin reel kısmı x i göstermektedir. Hız ve ivmeye karşılık gelecek vektörler için ifadelerini yazabiliriz. Bu üç vektör Şekil-1.4 de gösterilmiştir. dz dt = i Aei( t+α) = i z d 2 z dt 2 = (i )2 Ae i( t+α) = 2 z (1.18a) (1.18b) Şekil-1.4 (a) Kompleks yer değiştirme vektörü z ve onun reel bileşeni x. Hız vektörü dz dt ve onun reel bileşeni dx/dt. (c) İvme vektörü d2 z/dt 2 ve onun reel bileşeni d 2 x/dt 2. (b) 11
Üç vektör arasındaki faz ilişkisi ilk bakışta görülür. Burada i nin her uygulanması faz açısında /2 kadarlık bir artışa karşılık geldiğine yani saat ibrelerinin tersi yönde /2 kadarlık dönüler sağladığına dikkat ediniz. 1.4 de MOİVRE FORMÜLÜ (Teoremi) İlerideki analizlerimizde faydalanacağımız bir formülü de kısaca tanıtmakta fayda vardır. de Moivre tarafından kompleks üstel fonksiyonların kuvvetlerinin ve köklerinin nasıl alınacağını gösteren çok kullanışlı bir formül olup kendi adı ile anılmaktadır. ifadesinin n.inci kuvveti için yazılabilir. z = re iθ (1.19) z n = r n e inθ = r n (cosnθ + isinnθ) (1.20) Benzer şekilde, z 1/n de bulunur. Bunun için kutupsal yazılıma, gerektiği kadar 2 ekleyelim, Şimdi z 1/n için z = r[cos(θ + 2kπ) + isin(θ + 2kπ)] = re i(θ+2kπ) (1.21) z 1/n n = r [cos ( θ+2kπ n ) + isin ( θ+2kπ )] (1.22) ifadesini yazabiliriz. Burada k=0,1,2,3,...,n-1 değerlerini alabilir. Şu halde tüm kompleks sayılar için z 1/n ifadesinin n tane farklı kökü vardır. Kompleks sayılar, çağdaş mühendislikte yer alan titreşimsel hareketler, harmonik salınımlar, sönümlü titreşimler, alternatif akımlar ve dalga olaylarının incelenmesinde uygun bir matematik dilidir. n Burada kompleks sayıların, sık sık kullanacağımız, bazı özelliklerini kısaca hatırlatmada fayda vardır: z 1 = x 1 + iy 1 ve z 2 = x 2 + iy 2 gibi iki kompleks sayı verilmiş ise, 12
Eşitlik: z 1 = z 2 ise x 1 = x 2 ve y 1 = y 2 Toplama: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) Çarpma: z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Bölme : z 1 z 2 = x 1+iy 1 x 2 +iy 2 = x 1+iy 1 x 2 iy 2 = (x 1x 2 +y 1 y 2 )+i((x 2 y 1 x 1 y 2 ) (x 2 +iy 2 )( x 2 iy 2 ) x 2 2 +y2 2 x: z in gerçel (reel) kısmıdır ve x=rez ile gösterilir. y: z in sanal (imajiner) kısmıdır ve y=imz ile gösterilir. z = x 2 + y 2, z nin mutlak değeri veya normu veya büyüklüğü olarak adlandırılır. z = x iy, z nin kompleks eşleniği olarak adlandırılır. x = z+z 2, y = z z 2i (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2 (z 1 z 2 ) =z 1 z 2 cosθ = eiθ +e iθ 2 sinθ = eiθ e iθ yazabiliriz. 2i ÖRNEK-1 z 1 = a + ib, z 2 = c + id olan z = z 1 z 2 ifadesi ile verilen bir z vektörünü göz önüne alınız (i = 1). a) z 1 ve z 2 nin büyüklükleri çarpımının z nin büyüklüğüne eşit olduğunu gösteriniz. b) x-ekseni ile z nin yapmış olduğu açının, z 1 ve z 2 nin x-ekseni ile ayrı ayrı yapmış oldukları açıların toplamı olduğunu gösteriniz (French p 1.1) Çözüm: a) z 1 = a 2 + b 2, z 2 = c 2 + d 2 olduğunu biliyoruz. Buradan z 1 z 2 = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 yazabiliriz. Benzer şekilde 13
z = z 1 z 2 =( a + ib)( c + id) = ac + iad + ibc + i 2 bd = (ac bd) + i(ad + bc) z = (ac bd) 2 + (ad + bc) 2 = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 buradan z = z 1 z 2 yazabiliriz. b) z 1 = a + ib vektörünün x-ekseni ile yaptığı açı θ 1 ise tanθ 1 = b a veya b = atanθ 1 ; z 2 = c + id vektörünün x-ekseni ile yaptığı açı θ 2 ise tanθ 2 = d c veya d = ctanθ 2 yazılabilir. Benzer şekilde z vektörünün x-ekseni ile yaptığı açı θ olsun z = (ac bd) + i(ad + bc) tanθ = ad+bc ac bd = actanθ 2+actanθ 1 ac actanθ 1 tanθ 2 = tanθ 2+tanθ 1 1 tanθ 1 tanθ 2 = tan (θ 1 + θ 2 ) yazabiliriz. Buradan θ = θ 1 + θ 2 olacağı açıktır. ÖRNEK-2 z = 1 i ise z 10 hesaplayınız. Çözüm: z kompleks sayısını polar formda yazabiliriz: z = 1 2 + ( 1) 2 = 2 ve tan θ = ( 1 ) veya θ = π olduğundan 1 4 z = 2 [cos ( π 4 ) + isin( π 4 )] Burada de Moiver formülünü kullanarak z 10 = ( 2) 10 [cos 10 ( π ) + isin10( π 4 4 )]=25 [cos ( 10π 10π ) + isin( )] 4 4 = 32 [cos ( 5π ) + isin( 5π )] = 32 [cos ( 5π + 2π) + isin( 5π + 2π)] 2 2 2 2 = 32 [cos ( π ) + isin( π )] = 32[0 i] = 32i 2 2 sonucu elde edilir. z 10 = 32i 14
ÖRNEK-3 e iθ ile z gibi bir kompleks sayının çarpımının z nin boyunda bir değişme olmaksızın θ kadarlık bir pozitif dönmeye karşılık geldiğini gösteriniz (Frenchp1.3) Çözüm: z = a + ib olsun. Kompleks uzayda z vektörünün x ekseninin pozitif tarafıyla yaptığı açıyı φ ile gösterelim. Bu durumda z vektörünü z = a + ib = rcosφ + irsinφ şeklinde ifade edebiliriz. Burada a = rcosφ ve b = rsinφ dir. Bu durumda Euler formülünü kullanarak z = re iφ yazabiliriz. Şimdi z i e iθ ile çarpalım e iθ z = e iθ re iφ = re i(θ+φ) = r[cos(θ + φ) + isin(θ + φ)] e iθ z = r cos 2 (θ + φ) + sin 2 (θ + φ) 1/2 = r Elde edilen yeni vektörün boyu z ile aynıdır. Ancak yeni vektörün argümanı (θ + φ) ya eşittir. Başka bir deyişle z vektörünü e iθ ile çarpmak, vektörün boyu değişmeksizin saat ibrelerinin tersi yönünde θ kadar döndürmeye eşdeğerdir. ÖRNEK-4 Euler eşitliğinde e iθ = cosθ + isinθ dir. a) e iθ nın geometrik gösterimini, b) cosθ nın üstel gösterimini, c) sinθ nın üstel gösterimini bulunuz. (French-p1.6) 15
Çözüm: a) e iθ = cos( θ) + isin( θ) = cosθ isinθ yazabiliriz. Bu vektörün geometrik gösterimi aşağıda verilmiştir. b) Taraf tarafa toplayarak ve buradan sonucunu elde ederiz. c) Taraf tarafa çıkararak ve buradan sonucunu elde ederiz e iθ = cosθ + isinθ e iθ = cosθ isinθ e iθ + e iθ = 2cosθ cosθ = eiθ + e iθ 2 e iθ = cosθ + isinθ e iθ = cosθ isinθ e iθ e iθ = 2isinθ sinθ = eiθ e iθ 2i ÖRNEK-5 sinθ ve cosθ nın üstel ifadelerini kullanarak aşağıdaki trigonometrik bağıntıların gerçekleştiğini gösteriniz. a) cos 2 θ sin 2 θ = cos2θ b) 2 sinθcosθ = sin2θ 16
Çözüm: a) sinθ = eiθ e iθ ve cosθ = eiθ +e iθ ifadelerini türetmiştik. Buradan 2i yazabiliriz. Buradan 2 sin 2 θ = ei2θ + e i2θ 2 4 cos 2 θ = ei2θ + e i2θ + 2 4 cos 2 θ sin 2 θ = ei2θ + e i2θ + 2 4 = 2ei2θ + 2e i2θ 4 ei2θ + e i2θ 2 4 = ei2θ + e i2θ 2 = cos2θ b) 2 sinθcosθ = 2 eiθ e iθ e iθ +e iθ 2i 2 = ei2θ e i2θ 2i = sin2θ ÖRNEK-6 27i kompleks sayısının tüm kompleks küp köklerini bulunuz. Çözüm: 27i syısın küp kökünü aramak z 3 = 27i olacak z sayılarını bulmak demektir. 27i sayısının normu (büyüklüğü), 0 + 27i = 0 + 27 2 = 27 ve argümanı ise π 2 dir. Bu durumda 27i sayısını polar formda 27i = 27(cos π + isin π ) 2 2 şeklinde yazılır. Aranan z sayısını polar formda z = r(cosθ + isinθ) alalım. Bu ifade z 3 = 27i eşitliğinde kullanılırsa [r(cosθ + isinθ)] 3 = 27(cos π + isin π ) 2 2 yazılır. Burada de Moivre formülü de kullanılırsa r 3 (cos3θ + isin3θ) = 27(cos π + isin π ) 2 2 17
yazılır. Buradan r = 3 olacağı açıktır. Ancak θ nın alabileceği değerler nedir? Burada cos3θ = cos π ve sin3θ = sin π 2 2 olmalıdır. Bu eşitliklerden 3θ = π 2 + 2πk yazılabilir. Burada k nın alabileceği değerler k=0,1,2 olabilir. i) k=0 için θ = π 6 olacaktır. Bu durumda köklerden birincisi z 1 = 3 (cos π 6 + isin π 6 ) = 3 ( 3 2 + i 1 2 ) = 3 3 2 + 3 2 i ii) k=1 için θ = 5π 6 olacaktır. Bu durumda köklerden ikincisi z 2 = 3 (cos 5π 6 + isin 5π 6 iii) k=2 için θ = 9π 6 = 3π 2 ) = 3 ( 3 2 + i 1 2 ) = 3 3 2 + 3 2 i olacaktır. Bu durumda köklerden üçüncüsü z 3 = 3 (cos 3π 2 olacaktır. + isin 3π ) = 3(0 + i( 1)) = 3i 2 Burada k=3 durumunda 3θ = π + 6π ve θ = π + 2π olur. Bu sonuç k=0 2 6 olma durumuna özdeştir. Sonuç olarak 27i kompleks sayısının olası küp kökleri ve bunların grafiksel gösterimi aşağıda özetlenmiştir. z 1 = 3 3 2 + 3 2 i, z 2 = 3 3 2 + 3 2 i ve z 3 = 3i 18
d 2 y ÖRNEK-7 d 2 y dx 2 = k2 y diferansiyel denkleminin y = Acoskx + Bsinkx şeklinde bir çözüme sahip olduğunu gösteriniz. Burada A ve B keyfi sabitlerdir. Aynı zamanda bu eşitliğin y = Ccos(kx + α) = CRe[e i(kx+α) ] = Re[Ce iα e ikx ] şeklinde de yazılabileceğini gösteriniz. C ve α yı A ve B nin fonksiyonları olarak ifade ediniz.(french-p1.10) Çözüm: a) Önerilen y = Acoskx + Bsinkx ifadesinin x göre ikinci türevini dy = Aksinkx + Bkcoskx dx = dx 2 Ak2 coskx Bk 2 sinkx = k 2 (Acoskx + Bsinkx = k 2 y sonucunu elde ederiz. Bu ise verilen diferansiyel denklemin aynısıdır. Dolaysıyla verilen y = Acoskx + Bsinkx fonksiyonu verilen diferansiyel denklemin bir çözümüdür. b) A ile B sabitleri aşağıdaki dik üçgenin dik kenarları olduğunu düşünelim: Bu dik üçgenden A = A 2 + B 2 cosθ ve B = A 2 + B 2 sinθ yazabiliriz. Bunları önerilen çözüm ifadesinde yerine yazalım y = Acoskx + Bsinkx = y = A 2 + B 2 cosθcoskx + A 2 + B 2 sinθsinkx = A 2 + B 2 [cosθcoskx + sinθsinkx] = A 2 + B 2 [cos (kx θ)] Elde ederiz. Burada θ = α ve A 2 + B 2 = C diyelim. Bu durumda y = Acoskx + Bsinkx = A 2 + B 2 [cos (kx θ)] = Ccos(kx + α) yazabiliriz. Bu ifadenin şeklinde yazılacağı açıktır. y = CRe[e i(kx+α) ] = Re[Ce iα e ikx ] Burada C = A 2 + B 2 ve α = θ = arctan ( B A ) dir. 19