Sürekl Olasılık Dağılım Brkml- KümülatFonksyonu Yrd. Doç. Dr. Tjen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr
Sürekl olasılık onksyonları X değşken - ;+ aralığında tanımlanmış br sürekl rassal değşken olsun. Aşağıdak şartları sağlayan olasılık onksyonu X sürekl rassal değşkennn olasılık onksyonu olarak tanımlanır. 2 d Sürekl br rassal değşkenn tanım aralığındak herhang br değer tam olarak alma olasılığı sıırdır. Bu durumda Pa X b = Pa<X<b = Pa X<b = Pa<X b olur. b P a X b P a X b d şeklnde hesaplanır. a
onksyonu olasılık yoğunluk onksyonu oy olarak adlandırılır. F le gösterlen onksyon dağılım onksyonu od olup olasılık yoğunluk onksyonunun eklenk kümülat haldr. Buna göre dağılım onksyonu od şöyle ade edlr. F P u u du Dağılım onksyonu od blndğ taktrde yoğunluk onksyonu oy şöyle ade edlr. df d Bu durumda X rassal değşkennn a;b aralığında olma olasılığı şöyle yazılablr. b P a X b d F b F a a
Örnek: Aşağıda br yoğunluk onksyonu verlmştr k 5 3 dger 5 a Yukarıdak onksyonun olasılık onksyonu olablmes çn k ne olmalıdır? b PX>3 olasılığını bulunuz. c Olasılık dağılım onksyonunu elde ednz. d P2<X< olasılığını hesaplayınız e Medyanı bulunuz.
Çözüm: a Fonksyonun oy olablmes çn k şart gerekldr.. şart olup k> çn bu şart sağlanır. 2. şart se onksyonun tanım aralığındak ntegralnn e eşt olmasıdır. Bunu şöyle yapablrz. 5 k 5 3 d olmaldr k 2 5 k 2 k 2 25 Şu halde olasılık yoğunluk onksyonu şöyle yazılır. 3 dger 5
b c Olasılık dağılım onksyonu od,87 5 8 3 5 3 5 3 3 d X P 3 u du u F 5 5 F
d Veya e Medyan,38 2 2 6 256 2 2 2 P olur F F P 2 2 2 2 3 d P,2 32,5,5,5,5 3 Medyan Med Med Medyan med Med
Sürekl Olasılık Dağılım Brkml-KümülatFonksyonu Örnek: X rassal değşkennn olasılık yoğunluk onksyonu şöyle verlmştr. k a Yukarıdak onksyonun olasılık yoğunluk onksyonu olablmes çn k ne olmalıdır? b Olasılık dağılım onksyonunu dağılım onksyonu belrleynz. c Olasılık dağılım onksyonundan hareketle P,2<X<.6 olasılığını bulunuz. dger haller
Sürekl Olasılık Dağılım Brkml- KümülatFonksyonu Çözüm: a Yukarıdak onksyonun olasılık yoğunluk onksyonu oy olablmes çn aşağıdak k şartın sağlanması gerekr. Brnc şart çn k katsayısının pozt olması yeterldr. Şu halde 2. şartın sağlanması gerekr. 2 d k. 2 2 2 2 2 2 olur k k k k d k
Sürekl Olasılık Dağılım Brkml- KümülatFonksyonu Bu durumda oy şöyle yazılır. b Olasılık dağılım onksyonu od haller dger 2 du u X P F 2 2 2 2 2 u u du u F o 2 2 o F
Sürekl Olasılık Dağılım Brkml- KümülatFonksyonu c..8.6.2.36.8.6.2.2.2 2.6.6 2.2.6.6.2 2 2 olur P P F F P
Dağılım onksyonunun özellkler Dağılım onksyonu aşağıdak k öneml özellğe sahptr. Teorem a F olasılık dağılım onksyonu azalmayan br onksyondur. 2 > olmak üzere F 2 >F olur. b Lm F ve Lm F olur. Yan F, F olur.
Dağılım onksyonunun özellkler Teorem 2 a F olasılık dağılım onksyonu, olasılık yoğunluk onksyonuna sahp sürekl br rassal değşkenn kümülat onksyonu olsun. Bu durumda her çn; lşks vardır. df d b X, < 2 < 3 gb sıralı, 2, 3 değerlern alablen keskl rassal br değşken olsun. F, X n dağılım onksyonu se bu takdrde; =PX= =F, 2 =PX= 2 =F 2 -F ve nhayet =PX= =F -F - olur.
Olasılık Dağılım Fonksyonu Örnek: Br akaryakıt stasyonuna günün bell br zaman dlmnde dakkada gelen araç sayılarının olasılık dağılım onksyonu aşağıda verlmştr. Bu verlerden hareketle bu dakkada gelen araç sayılarının olasılık yoğunluk onksyonunu belrleynz. 5 5,9 3,75 2,5,25, F
Olasılık Dağılım Fonksyonu Çözüm: Olasılık yoğunluk onksyonu 5 5,,9.,5,75,9 3,3,5,75 2,2,25,5,5,,25,
Sürekl Olasılık Dağılım Brkml-Kümülat Fonksyonu Örnek: Aşağıda olasılık yoğunluk onksyonu verlmştr. 2 6 3 c dger haller n olasılık yoğunluk onksyonu olablmes çn c sınır değer ne olmalıdır? PX<c/3 olasılığını bulunuz. F olasılık dağılım onksyonunu bulunuz. PX>3,5 olasılığını bulunuz.
İk veya Daha Çok Boyutlu Rassal Değşkenlern Dağılımı Çoğu zaman bell br olay üzernde sadece br karakterstğn değl brden çok karakterstğn aynı anda gözlenmes le lglenlr. Mesela br Mamulün kaltes çn sadece boyut değl, bunun yanında sertlğ, yüzey düzgünlüğü gb brden dazla özellğ dkkate alınır. Br nsanın zk durumu çn sadece uzunluğu değl ağırlığı da brlkte ele alınır. Yukarıdak örneklerde olduğu gb br olayı etkleyen k ya da daha azla karakterstğn ortak etklern belrleyeblmek çn bleşk olasılık dağılımlarından yararlanılır.
İk veya Daha Çok Boyutlu Rassal Değşkenlern Dağılımı Örnek: Br para le yapılan 3 atış deneynde X: yazı sayısı, Y: lk k atışta tura gelme sayısı değşken olmak üzere X, Y nn bleşk olasılık onksyonunu oluşturunuz. Bunun çn S örnek uzayı, X ve Y nn karşılık gelen değerler aşağıda verlmştr. S TTT TTY TYT YTT TYY YTY YYT YYY X 2 2 2 3 Y 2 2
İk veya Daha Çok Boyutlu Rassal Değşkenlern Dağılımı Yukarıdak X ve Y keskl rassal değşkenlernn bleşk olasılık onksyonu şöyle yazılır. X Y 2 Satır Toplamı /8 /8 X çn olasılık 2/8 /8 3/8 onksyonu 2 /8 2/8 3/8 3 /8 /8 Sütun Toplamı 2/8 /8 2/8 Y çn olasılık onksyonu y y
İk veya Daha Çok Boyutlu Rassal Değşkenlern Dağılımı Tanım: Bleşk olasılık yoğunluk onksyonu: X ve Y sıralı kls br S örnek uzayında tanımlanan k boyutlu keskl rassal değşkenler olsun. X, Y nn alableceğ değerler,y j =,2,.M ve j=,2,,n olmak üzere aşağıdak şartları sağlayan,y j = y,y j = PX=, Y=y j Fonksyonuna X,Y rassal değşkenlernn bleşk olasılık yoğunluk onksyonu adı verlr.,y j onksyonunun bleşk olasılık onksyonu olablmes çn gerekl şartlar:
İk veya Daha Çok Boyutlu Rassal Değşkenlern Dağılımı,y j onksyonunun bleşk olasılık onksyonu olablmes çn gerekl şartlar:, y j tum, y degerler cn 2 M N j, y j olmaldr. X,Y keskl rassal değşkenlernn bleşk olasılık onksyonu yukarıdak tabloda verlmştr. Bu tablodan X ve Y nn olasılık onksyonları elde edleblr.
İk veya Daha Çok Boyutlu Rassal Değşkenlern Dağılımı Marjnal onksyonlar Br bleşk olasılık onksyonundan hareketle dğer değşkenlern etklernden bağımsız olarak tek br değşkene at olasılıkları veren onksyona marjnal olasılık yoğunluk onksyonu adı verlr. X keskl rassal değşken çn marjnal olasılık onksyonu şöyle ade edlr. Benzer şeklde Y çn marjnal yoğunluk onksyonu N N j j N j y 2,2,...,, M j j M j M y y y 2,2,...,, olur.
İk veya Daha Çok Boyutlu Rassal Değşkenlern Dağılımı Marjnal onksyonlar Keskl X,Y değşkenler bleşk olasılık ve marjnal olasılık onksyonları X Y Y Y 2 Y N Toplam [ ] X,y,y 2,y N X 2 2,y 2,y 2 2,y N 2 X M M,y M,y 2 M,y N M Toplam [ y y ] y y y y 2 y y N Y nn marjnal olasılık yoğunluk onksyonu X n marjnal olasılık yoğunluk onksyonu
İk veya Daha Çok Boyutlu Rassal Değşkenlern Dağılımı Marjnal onksyonlar Örnek: X ve Y takımlarının yaptıkları maçlarda attıkları gol saylarının bleşk olasılık onksyonu aşağıda verlmştr. a X takımının Y le yaptığı br maçı kazanma olasılığını bulunuz b Berabere kalma olasılıklarını bulunuz. c Her k takım çn marjnal olasılık onksyonunu bulunuz.
İk veya Daha Çok Boyutlu Rassal Değşkenlern Dağılımı Marjnal onksyonlar Y takımının attığı gol sayısı c X takımının attığı gol sayısı 2 3 c y y,,5,,5,,,,5,3,28 2,5,7,5,,2 3,2,,5,,25,3,2,7
İk veya Daha Çok Boyutlu Rassal Değşkenlern Dağılımı Marjnal onksyonlar a X takımının kazanma olasılığı: PX>Y =,5+,+,5+,5+,3+, PX>Y =,2 b X le Y nn berabere kalma olasılığı: PX=Y =,+,+,5+,5 PX=Y =,3
İk veya Daha Çok Boyutlu Sürekl Rassal Değşkenlern Dağılımı Tanım: Sürekl rassal değşken: X,Y br Öklt düzlemnn br R bölgesndek tüm değerler alan k boyutlu sürekl br rassal değşken olsun. Aşağıdak şartları sağlayan br onksyonuna X,Y nn bleşk olasılık yoğunluk onksyonu adı verlr. 2 R, y, y dyd tüm, y R 2. şart Z=,y denklemyle verlen yüzeyn altındak hacmn e eşt olduğunu ade eder.,y R düzlemndek bütün,y değerler çn tanımlı olduğu düşünülürse 2. şart, y dyd olur.
İk veya Daha Çok Boyutlu Sürekl Rassal Değşkenlern Dağılımı Marjnal onksyonlar,y sürekl bleşk olasılık onksyonu verldğnde X çn marjnal olasılık yoğunluk onksyonu şöyle yazılır:, y dy y Benzer şeklde Y çn marjnal olasılık yoğunluk onksyonu y, y y d
Marjnal Olasılık Fonksyonları Marjnal olasılık yoğunluk onksyonu Marjnal olasılık dağılım onksyonları: Br rassal değşkenn dğer değşkenlerden bağımsız olarak olasılıklarını veren onksyona marjnal yoğunluk onksyonu adı verlr. X ve Y keskl rassal değşkenlernn bleşk olasılık yoğunluk onksyonu,y olmak üzere marjnal olasılık yoğunluk onksyonları şöyle yazılır. P X, y y j y P Y y, y y j y j y j j
İk veya Daha Çok Boyutlu Sürekl Rassal Değşkenlern Dağılımı Örnek: Aşağıda br bleşk onksyon verlmştr., y k 2 y 2; y 3 dger haller a Yukarıdak onksyonun olasılık yoğunluk onksyonu olablmes çn k ne olmalıdır? b PX<; Y>2 olasılığını bulunuz. c marjnal olasılık yoğunluk onksyonunu bulunuz. d yy marjnal olasılık yoğunluk onksyonunu bulunuz.