DÜŞEY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU

Transkript

1 DÜŞEY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU Prof.Dr. Ahmet Tuğrul BAŞOKUR Jeofzk Mühendslğ Bölümü Mayıs 4

2 İletşm: Prof. Dr. Ahmet T. BAŞOKUR Ankara Ünverstes, Mühendslk Fakültes Jeofzk Mühendslğ Bölümü 6 Tandoğan Ankara E-posta: basokur@eng.ankara.edu.tr Bu esern br kısmı veya tamamı, şekller ve yazılım gb dğer unsurları yazarın zn olmadan çoğaltılamaz ve kaynak gösterlmeden kullanılamaz. Kşsel kullanım çn blgsayar ortamında kopyalanablr ve yazıcı çıktısı alınablr.

3 Önsöz Türkye Petroller Anonm Ortaklığı 984 yılında, 'Düşey Elektrk Sondaı' adlı br ktabımı yayımlamıştı. Bu tarhde kşsel blgsayarların lk örnekler yaygınlaşmaya başlamıştı. Önce hem pahalı hem de yavaş olan kşsel blgsayarların yaygınlaşması, düşey elektrk sondaı verlernn yorumunda öneml gelşmelere yol açtı. Bu ktapta ele alınan konular bu gelşmeler kapsamaktadır. Blgsayar hızlarının artması, aynı zaman dlmnde k-boyutlu modelleme ve k-boyutlu ters-çözüm şlemlern de kullanılablr hale getrd. İk-boyutlu teknklern standard br uygulama halne gelmes, br-boyutlu uygulamaların sınırlarını daralttı. Bu nedenle, bu ktapta sözü edlen yorumlama teknklernn, eolok tabakaların yataya yakın br geometr sunduğu durumlarda kullanılmasını öğütlerm. Bazı okuyucular, özellkle uygulamacılar ktapta gereğnden fazla ayrıntı bulablrler. Hang ayrıntılara önem verleceğne okuyucu karar vermeldr. Ancak, her bölümün genel hatları le kavranmasında yarar bulunmaktadır. Sekznc bölümden tbaren verlen kavramlar, yorumlama açısından önemldr. Ktapta sözü geçen yorumlama teknklern kullanan IPES6 adlı yazılım adresnden ndrleblr. Yararlı olması umudu le... Prof. Dr. Ahmet Tuğrul Başokur. Mayıs.4

4 İçndekler Bölüm GERİLİM BAĞINTILARI GİRİŞ..YARI SONSUZ HOMOJEN BİR ORTAMDA POTANSİYEL BAĞINTISI.. ELEKTROT AÇILIMLARI 3.3. NOKTA AKIM KAYNAĞININ KATMANLI ORTAMLARDA OLUŞTURDUĞU POTANSİYEL.3.. Çözümün sınır koşullarına uygulanması Yeryüzündek br noktadak potansyel Slchter çekrdek fonksyonunun sayısal değerlendrlmes çn Pekerıs yneleme bağıntısı Dönüşük özdrenç fonksyonu bağıntıları Dönüşük özdrenç fonksyonunun sayısal değerlernn hesabı Bölüm 8 GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇ BAĞINTILARI.. KATMANLI ORTAM İÇİN GERİLİM BAĞINTISI 8... İk nokta elektrot görünür özdrenç bağıntısı 8... Wenner görünür özdrenç bağıntısı Schlumberger görünür özdrenç bağıntısı Dpol görünür özdrenç bağıntıları 3.. GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇLER ARASINDAKİ BAĞINTILAR İk nokta elektrot ve Wenner görünür özdrençler arasındak bağıntı İk nokta elektrot ve Schlumberger görünür özdrençler arasındak bağıntı Wenner ve Schlumberger görünür özdrençler arasındak bağıntı Schlumberger ve dpol arasındak bağıntı İk nokta elektrot ve dpol görünür özdrençler arasındak bağıntı 35

5 ..6. Wenner ve dpol görünür özdrençler arasındak bağıntı 35 v.3. GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇLER ARASINDAKİ BAĞINTILARIN LOGARİTMİK DEĞİŞKEN İLE YAZILMASI HANKEL DÖNÜŞÜMÜ 37 Bölüm 3 38 GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇ VE DÖNÜŞÜK ÖZDİRENÇ FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLERİ 3... Dar-Zarrouk parametreler Dar-Zarrouk eğrs ETKİN UZAKLIK ARAŞTIRMA DERİNLİĞİ GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇ VE DÖNÜŞÜK ÖZDİRENÇ EĞRİLERİNİN BİÇİMSEL ÖZELLİKLERİ 3.5. GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇ VE DÖNÜŞÜK ÖZDİRENÇ EĞRİLERİNİN ASİMTOTİK ÖZELLİKLERİ EŞDEĞERLİLİK İLKESİ ÖRTME ETKİSİ ELEKTROT AÇILIMLARININ KARŞILAŞTIRILMASI 58 Bölüm 4 6 DOĞRUSAL SÜZGEÇ KURAMI 4.. FOURIER DÖNÜŞÜMÜ DOĞRUSAL SÜZGECİN ÖZELLİKLERİ ÖRNEKLEME KURAMI VE ÖRNEKLEME ARALIĞININ SEÇİMİ Sayısallaştırma Sürekl vernn yenden kurulmas snc yanıt snsh yanıt SÜZGEÇLERİN YATAY KAYMASININ SAPTANMASI 76

6 v 4.6. SÜZGEÇLERİN KURULMASI VE DENENMESİ SÜZGEÇLERİN KULLANIMI 8 Bölüm 5 83 BİR ELEKTROT AÇILIMINDA ELDE EDİLEN GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇ EĞRİSİNİN DİĞER AÇILIMLARDAKİ GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇ DEĞERİNE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ 5.. İKİ-NOKTA ELEKTROT GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇ DEĞERLERİNİ, WENNER GÖRÜNÜR ÖZDİRENCE ÇEVİREN SÜZGEÇLER 5.. WENNER GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇ DEĞERLERİNİ, İKİ-NOKTA ELEKTROT GÖRÜNÜR ÖZDİRENCE ÇEVİREN SÜZGEÇLER 5.3. İKİ-NOKTA ELEKTROT GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇ DEĞERLERİNİ, SCHLUMBERGER GÖRÜNÜR ÖZDİRENCE ÇEVİREN SÜZGEÇLER 5.4. SCHLUMBERGER GÖRÜNÜR ÖZDİRENCİ, İKİ-NOKTA ELEKTROT GÖRÜNÜR ÖZDİRENCE ÇEVİREN SÜZGEÇLER WENNER-SCHLUMBERGER SÜZGECİ SCHLUMBERGER-WENNER SÜZGECİ DİPOL GÖRÜNÜR ÖZDİRENCİ SCHLUMBERGER GÖRÜNÜR ÖZDİRENCE ÇEVİREN SÜZGEÇLER SCHLUMBERGER-DİPOL SÜZGEÇLERİ WENNER-DİPOL SÜZGECİ 5.. DİPOL-İKİ NOKTA ELEKTROT SÜZGECİ 5.. İKİ NOKTA ELEKTROT-DİPOL SÜZGECİ DİPOL-WENNER SÜZGECİ YAYINLANMIŞ SÜZGEÇ KATSAYILARI 6 Bölüm 6 9 GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇ MODEL EĞRİLERİNİN HESAPLANMASI 6... İk nokta elektrot G. Ö. model eğrlernn hesabı çn doğrusal süzgecn kurulması Wenner G.Ö. model eğrlernn hesabı çn doğrusal süzgecn kurulması 3

7 v Schlumberger G. Ö. model eğrlernn hesabı çn doğrusal süzgecn kurulması Dpol-dpol G. Ö. model eğrlernn hesabı çn doğrusal süzgecn kurulması SÜZGEÇLERİN ÇOK YÖNLÜ KULLANIMI Dpol-dpol G.Ö. model eğrlernn Schlumberger süzgec le hesaplanması Wenner, Schlumberger ve dpol-dpol G.Ö. model eğrlernn k-elektrot süzgec le hesaplanması 6.3. YAYINLANMIŞ SÜZGEÇ KATSAYILARI 4 Bölüm 7 3 ÖLÇÜLEN GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇ DEĞERLERİNDEN DÖNÜŞÜK ÖZDİRENÇ FONKSİYONUNUN SAPTANMASI 7... İk elektrot görünür özdrenç eğrsn dönüşük özdrenç eğrsne dönüştüren doğrusal süzgecn kurulması 7... Wenner görünür özdrenç eğrsn dönüşük özdrenç eğrsne dönüştüren doğrusal süzgecn kurulması Schlumberger görünür özdrenç eğrsn dönüşük özdrenç eğrsne dönüştüren süzgecn kurulması Dpol görünür özdrenç eğrsn dönüşük özdrenç eğrsne dönüştüren süzgecn kurulması YAYINLANMIŞ SÜZGEÇ KATSAYILARI 35 Bölüm 8 4 JEOFİZİK YORUMUN İLKELERİ 8.. JEOFİZİK UYGULAMALAR İÇİN AKIŞ ŞEMASI VERİ TOPLAMA VERİ SUNUMU MODEL DÜZ ÇÖZÜM TERS ÇÖZÜM YORUM VE KARAR 44

8 v Bölüm 9 46 AĞIRLIKLI EN KÜÇÜK-KARELER YÖNTEMİ İLE VERİ İYİLEŞTİRME VE DÖNÜŞÜM İŞLEMLERİ 9.. ÖLÇÜ YANILGILARI VE GÜRÜLTÜLERİN SINIFLANDIRILMASI GÜRÜLTÜ GİDERME YÖNTEMLERİ EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ İLE VERİ İYİLEŞTİRİLMESİ KATSAYILARIN ÇÖZÜMÜ KATSAYILARIN DİZEY DENKLEMİ İLE ÇÖZÜMÜ YAKLAŞTIRMA FONKSİYONUNUN KURULMASI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİNİN DOĞRU AKIM VERİLERİNİN DÖNÜŞÜMÜ İÇİN KULLANIMI Kuram Yalıtkan Temel 58 Bölüm 7 İKİ-BOYUTLU YAPILARIN GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇ EĞRİLERİNE ETKİLERİ.. BİR BOYUTLU ORTAMDA İNCE KATMANIN DAVRANIŞI 7.3. BAZI İKİ-BOYUTLU YAPILARIN ETKİLERİ İletken Yüzeysel Br Csmn Yakın Ölçü Noktalarındak Etks Yalıtkan Yüzeysel Br Csmn Yakın Ölçü Noktalarındak Etks İletken Yüzeysel Br Csmn Uzak Ölçü Noktalarındak Etks Yalıtkan Yüzeysel Br Csmn Uzak Ölçü Noktalarındak Etks GÜRÜLTÜ GİDERME YÖNTEMİNİN KULLANIMINA ÖRNEKLER 88 Bölüm 9 DOĞRUDAN YORUM YÖNTEMİ.. DOĞRUDAN YORUMUN TANIMI 9.. İKİ KATMANLI ORTAM İÇİN DOĞRUDAN YORUM 9... İlk Katman Özdrencnn Saptanması 9

9 v... İlk Katman Kalınlığının Saptanması İknc Katman Özdrencnn Saptanması ÇOK KATMAN DURUMU İlk Katman Özdrenç ve Kalınlığının Saptanması Ara Katmanların Özdrenç ve Kalınlıklarının Saptanması Son Katman Özdrencnn Saptanması DOĞRUDAN YÖNTEMİN UYGULANIŞI DEĞERLENDİRME ÖRNEĞİ 96 Bölüm KATMAN PARAMETRELERİNİN TERS ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ İLE SAPTANMASI.. TERS ÇÖZÜM KURAMI... Parametre Düzeltme Dzeynn Hesaplanması... Tekl Değer Ayrışımı Sönüm Faktörü Sönüm Faktörünün Tekl Değer Ayrışımı Yöntemne Uygulanması Ağırlıklı Ters Çözüm Parametre Çözünürlüğü Ver Ayrımlılık Dzey Parametre Ayrımlılık Dzey İlşk Dzey le Çözünürlüğün İncelenmes 9.. DOĞRU AKIM VERİLERİNİN TERS ÇÖZÜMÜ... Logartmk Parametre Uzayı... Logartmk Ver Uzayı..3. Eşdeğerllk..4. Kısm Türevler Dzeynn Hesaplanması

10 ..5. Ağırlık Atama Yneleme İşlemnn Durdurulması 5 x Bölüm 3 6 DOĞRUDAN VE YİNELEMELİ YORUM YÖNTEMLERİNİN BİRLİKTE KULLANIMI 3.. YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI SIRALI YORUM EŞ-ZAMANLI YORUM GERÇEK ARAZİ VERİSİNİN DEĞERLENDİRİLMESİNE ÖRNEKLER SONUÇLAR 4 Kaynaklar 6

11 Bölüm GERİLİM BAĞINTILARI GİRİŞ Düşey elektrk sondaının amacı yüzeyden yapılan gerlm ölçümleryle yeraltı katmanlarının dernlk ve özdrenç değerlernn saptanmasıdır. Bu amaç çn yeryüzüne k noktadan elektrk alan uygulanır ve dğer k nokta arasında gerlm farkı ölçülür. Elektrk alanın uygulandığı elektrotlar akım elektrotları ve gerlm farkının ölçüldüğü elektrotlar gerlm elektrotları olarak adlandırılır. Akım elektrotları arasındak uzaklığın arttırılması akımın daha dernlere nmesn sağlar ve dolayısıyla daha dernlern özdrenç özellkler hakkında blg toplanır. Dernlk le lşkl görünür özdrenç değerler elde edeblmek çn akım uçları arasındak uzaklığın her ölçüm sonunda arttırılması yoluyla br dz ölçü alımını gerektrr. Elektrotların ölçüm sırasındak çeştl konumlarına göre gelştrlen ölçü alım teknkler, elektrot açılımları olarak adlandırılır. Elektrot açılım türler verlmeden önce, bazı temel fzksel prenspler ele alınacaktır...yari SONSUZ HOMOJEN BİR ORTAMDA POTANSİYEL BAĞINTISI Özdrenc olan, sonsuz zotrop br ortama herhang br yerndek nokta kaynaktan akım verldğn düşünelm. Kaynaktan R uzaklığındak noktalarda akım yoğunluğu Ohm Yasası gereğnce; J E V (.. R olmalıdır. Burada, J akım yoğunluğu, E elektrk alan, V gerlm, R kaynaktan olan uzaklıktır. Akım yoğunluğu, akımın kest yüzölçümüne oranı olarak tanımlanır: I Amper J. (.. A m Kaynaktan R uzaklığında olan noktaların br küre yüzey oluşturduğu göz önüne alınarak, (.. ve (.. denklemlernn sağ yanlarını brbrlerne eştlenmes le I 4π R V R (..3 ve (..3 denklemnn gerlm çn düzenlenmes le V I R (..4 4π R elde edlr. Her k tarafın ntegrasyonu, nokta akım kaynağının zotrop ortam çn kendsnden R uzaklığında oluşturduğu gerlm verr: V I + 4π R C. (..5

12 C ntegrasyon sabtdr. Kaynaktan çok uzak noktalarda gerlmn sonlu br değer olamayacağından C ntegrasyon sabt sıfır olmalıdır. Gerçekte yeryuvarı hava le sınırlı olduğundan, ortamın yarısonsuz alınması gerekr. O zaman gerlm denklem : V I π R (..6 le verlmeldr. Şekl. de görüldüğü gb akımın A noktasından (yan yeryüzünden verldğ varsayılsın. R uzaklığının yatay düzleme zdüşümü r ve düşey düzleme zdüşümü z olmak üzere B noktasındak gerlm V Ι ( r + π z (..7 bağıntısıyla verleblr. r A z R B Şekl.. Akımın verldğ (A ve gerlmn ölçüldüğü (B varsayılan noktalar. Weber-Lpschtz bağıntısı kullanılarak gerlm bağıntısı ntegral denklem bçmnde de yazılablr. Weber-Lpschtz bağıntısı; exp λ λ λ + ( z J ( r d ( r z denklem (..7 de yerne konarak, (..8 V I exp( λz J ( λr dλ (..9 π elde edlr. Burada, λ ntegral değşken olup, uzaklığın ters boyutundadır, ( λr J sıfırıncı dereceden brnc cns Bessel fonksyonu olup, davranışı Şekl. de gösterlmştr.

13 J (x J (x Şekl.. Sıfırıncı ve brnc dereceden brnc cns Bessel fonksyonları. Akımın verldğ ve gerlmn hesaplandığı noktaların yeryüzünde olması durumunda, yan z ve rr çn, (..7 ve (..9 denklemler aşağıdak bçmde yazılablr: V I π r (.. V I π J ( λ r dλ. (.... ELEKTROT AÇILIMLARI Düşey elektrk sondaı ölçümlernde kullanılan yol, A ve B akım elektrotları yardımıyla yere akım vermek, M ve N gerlm elektrotları le de gerlm farkını ölçmektr. Şekl.3 de genel gösterm verlmştr. M N A B Şekl.3. Akım ve gerlm elektrotları arasındak uzaklıklar. İzotrop ve yarısonsuz br ortam üzernde M noktasındak gerlm (.. bağıntısı kullanılarak, I V M (.. π AM BM ve N noktasındak gerlm, I V N (.. π AN BN

14 olarak verleblr. Araz uygulamalarında M ve N noktaları arasındak gerlm farkı ölçüldüğünden, I VM VN V + (..3 π AM BM AN BN yazılablr. Blnen uzaklık değerlernden, geometrk faktör olarak adlandırılan k aşağıdak tanım le π k (..4 + AM BM AN BN ve böylece özdrenç zleyen bağıntıyla verleblr : k V. (..5 I Gerçekte yeryuvarı zotrop yarısonsuz ortam yerne karmaşık yapılardan oluşmuştur. Bu nedenle özdrenç bağıntıları yern gerçek özdrenç değerlern vermezler. Yer çne verlen akım ve yeryüzünde ölçülen gerlmn yukarıdak denklemlerde yerne konulmasıyla elde edlen özdrenç değerlerne görünür özdrenç adı verlr. Görünür özdrenç sadece zotrop yarısonsuz ortam durumunda gerçek özdrence eşt olur. Akım ve gerlm elektrotlarının konumları çn çeştl açılımlar türetlmştr. Wenner elektrot açılımı br smetr merkez etrafında ve br doğru boyunca, çerde gerlm elektrotları M, N ve dışarıda akım elektrotları A, B olacak şeklde düzenlenmştr. Şekl.4 de görüldüğü gb her br elektrot arasındak uzaklık a kadardır. 4 Ι V A a a a B M N Şekl.4. Wenner elektrot açılımı. Açılımın geometrk faktörü (..4 denklemnden k π a (..6 olarak bulunablr. O zaman görünür özdrenç, aw V π a (..7 I le verleblr.

15 Schlumberger elektrot açılımında da br doğru boyunca akım ve gerlm elektrotları smetrk olarak yerleştrlmştr. Gerlm elektrotları arasındak b uzaklığı, akım elektrotları uzaklığı s e göre çok küçük alınır. Geometrk faktör (..4 denklemnn br uygulamasıyla, s b k π (..8 b 4 olarak bulunablr. 5 Ι V A S S B M b N Şekl.5. Schlumberger elektrot açılımı. Görünür özdrenç (..8 bağıntısının (..5 de yerne konmasıyla, as s b V π b 4 (..9 I olarak elde edleblr. İk-elektrot açılımında akım ve gerlm elektrotlarından brer tanes çok uzak noktalara yerleştrlrler ve pratk olarak sonsuzda oldukları düşünülür. Şekl.6 da, kağıt düzlem A I B L N V M Şekl.6. İk-elektrot açılımı (harta düzlem. araz yüzeyn göstermek üzere k nokta elektrot açılımı tanıtılmaya çalışılmıştır. A akım ve M gerlm elektrotları arasındak uzaklığın orta noktası smetr merkez oluşturacak şeklde, her k

16 elektrot açılarak düşey elektrk sondaı gerçekleştrlr. L, k hareketl elektrot arasındak uzaklık olmak üzere geometrk faktör ve görünür özdrenç aşağıdak denklemlerle tanımlanır: k π L (.. 6 al V π L. (.. I B ve N elektrotları sonsuzda olduklarından, ( L V V (.. gerlm farkı, M noktasındak gerlme eşttr. Dern eoelektrk çalışmalar amacıyla kullanılan dpol açılımında se akım ve gerlm elektrotları brer çft olarak düşünülür. Akım elektrotları çft akım dpolü ve gerlm elektrotları çft gerlm dpolü olarak adlandırılır. Şekl.7 de dpol açılımının genel br gösterm verlmştr. AB akım dpolü, MN gerlm dpolü, Q ve O sırasıyla akım ve gerlm dpollarının orta noktalarıdır. Düşey elektrk sondaı amacıyla dpol açılımının kullanılması durumunda dpol boyu L, dpol merkezler arasındak uzaklığa (R oranla küçük alınır. Dpolların brbrlerne göre konumları başlıca dört tür dpol elektrot açılımı tanımlar. Bunlar Şekl.8 den de görülebleceğ gb azmutal, radyal, paralel ve dk dpol açılımlarıdır. Ayrıca, θ açısı ( π / olduğunda, azmutal dzlme ekvatoryal ve θ sıfır olduğunda radyal dzlme polar dzlm adı verlr. y x RL M O N W A Q L θ B V Y Şekl.7. Dpol açılımının genel gösterm (Bhattacharya ve Patra 968.

17 7 Mq Nq Nr M θ M r N θ M x N y N x M y A θ B M p N p Şekl.8. Dpol açılım türler. r; radyal, x; paralel, y; dk dpol, θ; azmutal, q; ekvatoryal, p; polar dpol türlern göstermektedr. Dpol açılım türler çn geometrk faktörü saptamak amacıyla, yenden Şekl.7 ye dönersek, A ve B akım elektrotlarından dolayı O noktasındak gerlm, (.. denklemnn uygulanmasıyla I V D π AO BO (..3 olarak verleblr. Şekl.7 den yararlanarak AO ve BO uzaklıklarını L ve R cnsnden yazmaya çalışalım. AOY üçgen br dk üçgen olduğundan, AO v + w bulunablr. Aynı şeklde QOY dk üçgennden, L R v + ve + w w R snθ olduğu görüleblr. w değernn yukarıdak denklemde yerne konulması le, v + L R R R sn θ

18 8 ( θ sn + R R L v ve v çeklerek cos L R v θ bulunablr. v ve w nn değerlern, AO çn verlen denklemde yerne yazarak cos + θ R L R L R AO ve benzer br yol le cos + + θ R L R L R BO bulunablr. AO ve BO uzaklıklarının L ve R cnsnden denklem (..3 de yerne yazılması le V I R L R L R L R L R D π θ θ cos cos (..4 ve bu denklemn serye açılması le; ( + + Ι termler dereceden yüksek 3 5cos cos θ π θ R L R L V D (..5 elde edleblr. Eğer R, 3L den büyük se yüksek derecedek termlerden dolayı oluşacak yanılgı % 3 den daha az olduğundan (..5 denklem yaklaşık olarak aşağıdak bçmde verleblr (Bhattacharya and Patra 968: cos R L V D Ι π θ. (..6 Elektrk alan gerlmn gradyanı olarak verlr: E V grad. Şekl.9 da elektrk alan bleşenler gösterlmştr. Şekl.8 ve Şekl.9 un karşılaştırılmasından görülebleceğ gb, radyal dpol durumunda E r, paralel dpol durumunda x E, dk dpol

19 durumunda E y, ve azmutal dpol durumunda E θ elektrk alan bleşenler ölçülür. Polar koordnat sstemnn göz önüne alınması le her dpol durumu çn elektrk alan fadeler bulunablr: 9 E r dvd dr I L cosθ 3 π R Radyal (..7 dvd I L snθ Eθ Azmutal (..8 3 R dθ π R E x dv dx D dvd cos θ dr snθ dvd + R dθ 3cos θ I L Paralel (..9 3 π R E y dv dy D dvd sn θ dr cosθ dvd R dθ snθ cosθ 3 I L Dk. (.. 3 π R E E E y r θ E x R A L B Şekl.9. Elektrk alan bleşenler. Elektrk alan M ve N gerlm elektrotları yardımıyla ölçülür, eğer L yeter kadar küçükse ( E V / L yazılablr. O zaman yukarıda verlen elektrk alan formüllernden V bulunablr. Gerlm farkının, görünür özdrenç formülünde yerne konulmasıyla, ad V k I

20 ve 3 π R k r L cosθ Radyal (.. 3 π R k θ Azmutal (.. L snθ 3 π R k x Paralel (..3 L ( 3cos θ 3 π R k y Dk (..4 3 L snθ cosθ bağıntıları le her dpol türü çn geometrk faktör ve dolayısıyla görünür özdrençler saptanmış olur (Bhattacharya and Patra NOKTA AKIM KAYNAĞININ KATMANLI ORTAMLARDA OLUŞTURDUĞU POTANSİYEL Bölüm. de Wenner, k-elektrot, Schlumberger ve dpol-dpol açılımları çn görünür özdrenç bağıntıları elde edlmştr. Bu bağıntılarda, gerlm farkı ve akım şddet çn arazde ölçülen değerler yerne yazılır se ölçülen görünür özdrenç değerler hesaplanır. Düşey elektrk sondaının amacı, yeraltı katmanlarının gerçek özdrençlern ve dernlklern saptamak olduğundan, ölçülen görünür özdrenç değerlernden anılan parametrelern hesabı amacıyla her elektrot açılımı çn kuramsal görünür özdrenç bağıntılarının elde edlmes gerekr. Bu amaç çn görünür özdrenç bağıntılarında, gerlm farkı yerne kuramsal gerlm farkı bağıntıları yazılır. Böylelkle, yeraltının belrl br özdrenç dağılımı çn kuramsal görünür özdrenç değerler hesaplanablr. İşlemn lk adımı, nokta akım kaynağının yarattığı gerlm dağılımını ncelemektr. Düşey elektrk sondaında yeryuvarının sonlu sayıda ve yatay sınırlarla ayrılmış, homoen ve zotrop katmanlardan oluştuğu varsayılır (Şekl.. Nokta akım kaynağı yeryüzüne yerleştrlmştr ve hava sonsuz özdrençldr. Her katmanın kalınlığı t, t,,t, t +,...,t n- katman sınırlarının yeryüzüne uzaklığı yan katman dernlkler h, h,,h, h +,,h n- ve her katmanın özdrenc,,...,, +,..., n le gösterlmektedr. En alttak katmanın kalınlığı sonsuzdur. Gerlm doğru akım durumunda Laplace denklemn sağlar: V V x V + y V + z. (.3. Yatay katmanlardan oluşan br model çn gerlm, akım kaynağından geçen düşey eksene göre smetrk olmalıdır. Bu nedenle Laplace denklemn slndrk koordnatlarda yazmak daha uygun olur. Şekl. de slndrk koordnat sstem gösterlmştr.

21 Şekl.. Yatay katmanlardan oluşan yeryuvarı model. y θ x ' dz r.d θ Z dr Şekl.. Slndrk koordnat sstem

22 Gerlm doğru akım çn Laplace denklemn gerçekler: θ V r z V r V r r V V. (.3. z aşağıya doğru poztftr ve r akım kaynağından geçen düşey eksene olan uzaklıktır.gerlm düşey eksene göre smetrk olduğundan θ açısına bağlı olarak gerlmde br değşm olmaz. Bu yüzden θ V ve bu term denklemden çıkartılablr: + + z V r V r r V. (.3.3 Kısm dferansyel denklemlern çözümü çn genellkle özel çözümler aranır ve genel çözüm, özel çözümlern brleştrlmes le elde edlr. Bu dferansyel denklemn yalnız r ye ve yalnız z ye bağlı k fonksyonun çarpımı şeklnde br çözümü olduğunu varsayalım: ( ( ( z W r U r V z,. (.3.4 Böylece (.3.3 denklem aynı mertebeden k ad dferansyel denkleme ayrılablr. O zaman (.3.3 denklem, ( ( ( z r W U r W U r W U + br çarpımın türevnden, z z r W r U r r W U U W r U r W W U U W (.3.5 olarak yazılablr. W yalnız z nn ve U da sadece r nn br fonksyonu olduğundan, z, r W, r U W dır. Her k tarafı U.W ya bölerek, dz W d W dr du r U dr U d U + (.3.6 elde edleblr. Bu denklemn sağ ve sol yanlarının brer sayısal değer olduğunu düşüneblrz; λ + dr du r U dr U d U (.3.7

23 3 W d W dz λ. (.3.8 (.3.8 denklemnn çözümü zleyen bçmdedr: W ( z ve WC exp( λz C exp λ. (.3.9 (.3.7 denklemnn çözümü brnc cns sıfırıncı mertebeden Bessel fonksyonu le verleblr. U ( λr C J. (.3. (.3.9 ve (.3. denklemlernn yardımıyla (.3.3 denklemnn özel çözümü elde edleblr: ( z J ( r ve VC ( λz J ( λr V C exp λ λ exp. (.3. Burada C ve λ sabtlerdr. Çözümlern doğrusal bleşm dferansyel denklemn aynı zamanda br çözümüdür. λ ya sıfırdan sonsuza kadar değerler vererek ve C katsayılarını λ nın br değşken şeklnde yazarak, genel br çözüm elde edeblrz; ( φ( λ exp( λz + ψ ( λ exp( λz J ( λr V dλ. (.3. ( λ ve X ( λ θ fonksyonlarını aşağıdak bçmlerde tanımlarsak, φ ψ I π ( λ θ ( λ I π ( λ X ( λ gerlm, I V ( θ ( λ exp( λz + X ( λ exp( λz J ( λr dλ (.3.3 π olarak yazılablr. Bu denkleme nokta akım kaynağının homoen ortamdak gerlm bağıntısı (..9 denklemn eklemek yararlı olacaktır. Böylece, zotrop n katmanlı br ortamda, yeryüzündek nokta akım kaynağından dolayı oluşan gerlm, herhang br katmanda zleyen bçmde verleblr (Stefanesco ve dğ. 93: I V ( exp( + ( exp( + ( exp( ( λz θ λ λz X λ λz J λr dλ. (.3.4 π Burada, gerlmn yazıldığı katman numarasını belrtr. Örneğn yazılarak knc katmandak gerlm belrleneblr.

24 4.3.. Çözümün sınır koşullarına uygulanması ( λ ve ( λ θ X sınır koşullarından çözüleblen fonksyonlardır. Yatay katmanlardan oluşan ortamda aşağıdak sınır koşulları sağlanmalıdır:. Yeraltındak her sınır düzlemnde gerlm sürekl olmalıdır.. Her sınır düzlemnde akım yoğunluğunun düşey bleşen sürekl olmalıdır. 3. Akım kaynağı harç, yeryüzünde akım yoğunluğunun düşey bleşen sıfır olmalıdır. İkncde yazılan koşul gereğnce havada akım yoğunluğu sıfır olduğundan, sıfır dernlğnde yan yeryüzünde düşey bleşen de sıfır olur. 4. Kaynaktan uzak noktalarda gerlm sıfıra yaklaşmalıdır. Brnc koşul gereğnce, h sınır yüzeynde nc ve (+ nc katmanların gerlmler brbrne eşt olmalıdır: V V + h sınır yüzey çn. (.3.4 denklemn kullanarak, I V ( exp( + ( exp( + ( exp( ( λh θ λ λh X λ λh J λr dλ (.3.5 π ve I V λ (.3.6 ( ( ( ( ( ( ( + exp λh + θ + λ exp λh + X + λ exp λh J λr d π yazılablr. Brnc sınır koşulu gereğnce, (.3.5 ve (.3.6 brbrne eştleneblr. r nn bütün değerler çn eştlğn sağlanması gerektğnden, θ ( λ ( λh + X ( λ exp( λh θ ( λ exp( λh + X ( λ exp( λh exp + + (.3.7 bağıntısı elde edleblr. İknc sınır koşuluna göre h sınır yüzeynde akım yoğunlukları eşt olmalıdır: z Ez V z ve V z + V z +. (.3.8 (.3.5 ve (.3.6 denklemlernn türevnn alınıp, (.3.8 de yerne konulmasıyla,

25 5 (( + θ ( λ exp( λh X ( λ exp( λh elde edleblr. + (( + θ ( λ exp( λh X ( λ exp( λh Üçüncü sınır koşulu, yeryüzünde akım yoğunluğunun düşey bleşennn sıfır olmasını gerektrmektedr: + + (.3.9 V z z çn. (.3. z (.3.4 gerlm denklemn lk katman çn yazıp, türevn alarak V z I π ( λ exp( λz λ θ ( ( + ( ( ( λ exp λz λ X λ exp λz J λr dλ elde edleblr. z yan yeryüzünde, ( θ ( λ + ( ( λ J λr X λ dλ (.3. sıfıra eşt olmalıdır. İntegral çndek lk term, homoen yeryuvarına at olduğu çn kendlğnden sınır koşullarını sağlar. Ancak, dğer k term katmanlı ortam çn yazıldıklarından, r değşkennn bütün değerler çn yeryüzünde toplamları sıfır olmalıdır. Bu koşulun sağlanması çn, ( λ ( λ θ X olmalıdır. (.3. Dördüncü sınır koşulu gerlmn sonsuzda sıfıra yaklaşmasını gerektrr. Son katmanın dernlğ sonsuz olduğundan, exp(λh n term de sonsuz olur. Gerlm çn bu davranış kabul edlemeyeceğnden, n ( λ X (.3.3 olmalıdır..3.. Yeryüzündek br noktadak potansyel Uygulamada gerlm ölçümler yeryüzünde yapıldığından, z çn (.3.4 genel gerlm bağıntısını kullanarak, yeryüzündek gerlm fadesn elde etmemz gerekmektedr:

26 6 I V ( + θ ( + ( ( λ X λ J λr dλ. π (.3. sonucunu uygulayarak, I V ( + θ ( ( λ J λr dλ (.3.4 π yazılablr. θ (λ Stefanescu çekrdek fonksyonu olarak adlandırılır. θ (λ yerne, aşağıdak bçmde tanımlanan Slchter çekrdek fonksyonunu kullanmak, gerlm bağıntısının daha bast bçmde gösterlmesne olanak verr; ( + θ ( λ K (.3.5 ve λ I V K( λ J ( λr dλ. (.3.6 π Burada, θ (λ veya K (λ sınır koşullarından çözüleblen fonksyonlardır. Örneğn k katmanlı yer model çn çözüm zleyen bçmdedr. (.3. ve (.3.3 de bulduğumuz sonuçları (.3.7 ye uygulayarak, ( λ exp( λh θ ( λ ( exp( λh ( λh θ + (.3.7 exp ve aynı sonuçların (.3.9 a uygulanmasıyla, (( + θ( λ exp( λh θ( λ exp( λh ( + θ ( λ exp( λh (.3.8 (.3.7 ve (.3.8 denklemlernden θ (λ zleyen bçmde bulunablr; θ ( λ ( exp( λh ( + exp( λh ( exp( λh. (.3.9 (.3.9 bağıntısının pay ve paydası ( +.exp(-λh le çarpılır ve k yansıma katsayısı aşağıdak gb tanımlanırsa, ( ( + k (.3.3 k katmanlı ortam çn θ (λ, θ ( λ k exp( λh ( k exp( λh (.3.3

27 olarak bulunablr. İkden fazla katmanlar çn çekrdek fonksyonlarının elde edlmes, denklem ve blnmeyen sayısı arttığından zorlaşır. Dzey uygulamalarıyla sonuç alınablr. Bu güçlük yneleme bağıntılarıyla aşılmış ve çekrdek fonksyonlarının sayısal değerlendrlmes veya elementer fonksyonlar cnsnden elde edlmes çn yöntemler gelştrlmştr Slchter çekrdek fonksyonunun sayısal değerlendrlmes çn Pekers yneleme bağıntısı Bast ve blgsayar uygulamaları çn elverşl yapısı dolayısıyla Pekers (94 yneleme bağıntısı sayısal değerlendrme çn en uygun bağıntıdır. Pekers n (94 yneleme bağıntısı, temeln üzerne yen br katman eklenmes ve ölçü sstemn yen eklenen katman üzerne taşınmasıyla yürütülür. Şekl. de şlem tanıtılmaya çalışılmıştır. Örneğn üç katmanlı ortam çn çekrdek fonksyonu elde edlmek stenrse, önce ve 3 özdrençl k katman çn çekrdek bağıntısı bulunur ve en üste özdrençl katman eklenerek, üç katmanlı ortama at çekrdek fonksyonu yneleme bağıntısı le hesaplanablr. 3 3 Şekl.. Üç katmanlı ortam çn Pekers yneleme bağıntısının yürütülmes. Yneleme bağıntısının çıkarılması amacıyla, sınır koşullarından elde edlen, (.3.7 denklemnn her k yanına exp(-λh eklenr ve (.3.9 denklemne bölünürse, + θ + θ ( λ + X ( λ exp( λh ( λ X ( λ exp( λh + θ ( λ + X + ( λ exp( λh ( λ X ( λ exp( λh + + (.4. + θ + + elde edlr. Şmd zleyen bçmde verlen K (λ fonksyonu tanımlansın: K ( ( λ + X ( λ exp( λh ( λ X ( λ exp( λh + θ λ. (.4. + θ En üst katmanda h - sıfır ve θ (λ X (λ olduğundan K (λ çn, K ( + θ ( λ λ (.3.3 denklem elde edleblr.

28 K (λ nın tanımından, (.4. denklemnn sağ yanının + K + (λ ya eşt olduğu görüleblr. O zaman (.4. denklem zleyen bçmde verleblr; ( λ + X ( λ exp( λh ( λ X ( λ exp( λh + θ θ K ( λ. (.4.3 (.4. bağıntısının sağ yanı X (λ le çarpıp bölünür ve denklem (+θ (λ / X (λ çn düzenlenrse, 8 ( λ ( λ + ( λh ( K + θ exp X K (.4.4 elde edlr. Bu sonuç (.4.3 de yerne konulur ve denklem düzenlenrse, ( λh ( + K ( λ + exp( λh ( K ( λ ( λh ( + K ( λ exp( λh ( K ( λ exp + K + exp ( λ eştlğ elde edleblr. Bu eştlğn sol yanını exp(λh - le çarpıp, bölelm ve / + oranını p le gösterelm. (h -h - dernlklernn farkı katman kalınlığı t değernn verr: K + p K ( λ ( exp( λt + ( exp( λt ( exp( λt + K ( λ ( exp( λt. (.4.5 Tanant hperbolk fonksyonunun tanımından, exp exp ( λt ( λt tan + ( λt (.4.6 (.4.5 zleyen bçmde verleblr: K K tanh ( λt ( λt + p. (.4.7 K tanh Bu denklem K çn çözerek, K K p K p + tanh tanh ( λt ( λt (.4.8 yneleme bağıntısı Koefoed (979 tarafından verlen çözüm yolu le elde edlmş olur. Böylece, katman parametrelernn blnmes durumunda Slchter çekrdek fonksyonu sayısal olarak hesaplanablr. Önce temel katmanda K fonksyonunun saptanmasıyla şleme başlanır. Denklem (.3.3, X n (λ nın temel katmanda sıfır olmasını gerektrmektedr. Sınır koşullarına göre X (λθ (λ olduğu göz önüne alınırsa, K n (λ (.4.9

29 9 bulunur. Örneğn, üç katmanlı ortam çn Slchter çekrdek fonksyonunun saptanması zleyen şekldedr. Önce, özdrençler ve 3 olan, lk katmanın kalınlığı t olan k katmanlı ortam çn K yazılır; K K + tanh ( λt K3 tanh( λt 3 Üç tabakalı br ortam çn K 3 bre eşt olduğundan K + tanh 3 + tanh 3 ( λt ( λt yazılablr. K se zleyen denklem le verlr: K K + tanh ( λt. + K tanh( λt K değern K de yerne yazarak üç katmanlı ortam çn çekrdek fonksyonu hesaplanmış olur. Dört katmanlı ortam çn K 4 bre eşt alınır, 3 ve 4 özdrençl, t 3 kalınlıklı k tabakalı ortamdan başlanarak, K elde edlnceye kadar yneleme bağıntısı tekrarlanır..4.. Dönüşük özdrenç fonksyonu bağıntıları Koefoed (97 dönüşük özdrenç fonksyonunu (resstvty transform aşağıdak bağıntıyla tanımlamıştır: T K.. (.4. Pekers (94 yneleme bağıntısı dönüşük özdrenç çn, T T+ + tanh T+ + tanh ( λt ( λt (.4. olarak verlr. Temel katman çn, T n K n. n (.4. ve K n bre eşt olduğundan,

30 T n n (.4.3 bulunur. Temel katmanın üzerne eklenen her br katman çn yneleme bağıntısı λ nın her br değer çn tekrarlanır ve bu şleme üst katman düzlemne yükseltme adı verlr. Dönüşük özdrenç fonksyonunu u/ λ nın br fonksyonu olarak düşünmek uygulamada daha kolaydır. Çünkü λ uzaklığın ters boyutunda olduğundan, u uzaklık boyutunda olacaktır. (.4. yneleme bağıntısı u çn yazılır se, T ( u t T+ ( u + tanh u T+ ( u t + tanh u (.4.4 elde edleblr. Aşağıdak trgonometrk özellk göz önüne alınarak; tanh tanh a m tanhb m (.4.5 m tanh a tanhb ( a b yneleme bağıntısı dğer br bçmde de yazılablr (Van yan ve dğ. 96: T ( u ( u T + t tanh arg th +. (.4.6 u Bu bağıntı (T + (u/ < olduğu sürece çalışır. (T + (u/ olduğunda, argth(t + (u/ belrsz olur. Bu oranın brden büyük olduğu durumlarda, daha lerde göreceğmz karşıt özdrençl (recprocal yerelektrk kest kavramından yararlanılarak türetlen aşağıdak bağıntı kullanılablr: T ( u tanh argth T t + + u ( u. (.4.7 Böylece, (.4.6 bağıntısı (T + / < ve (.4.7 bağıntısı (T + / > olduğunda kullanılablr. argth fonksyonu bulunmayan hesap maknelernde veya blgsayarlarda aşağıdak eştlk yardımıyla şlem yürütüleblr. + a arg th( a ln a < (.4.8 a ln doğal logartmayı göstermektedr. n katman çn T(u yu veren tam br fade (.4.6 denklemnn her katman çn açılması le fade edleblr (Vanyan ve dğ. 96: T tanh t3 / arg th tanh( t + / u + arg th(... ( 3 u t / u + arg th tanh t / u + arg th tanh( u +...

31 n... arg th + n tanh t n n / u arg th + n (.4.9 Bu bağıntıdan u değşkennn çok küçük ve çok büyük değerler çn dönüşük özdrenç fonksyonunun asmptotk değerler elde edleblr. Örneğn üç katmanlı ortam çn T ( u t tanh u + arg th t.tanh u + arg th 3 yazılablr. u değşken çok küçük br değer alır se t /u oranı çok büyük değerler alır ve tanh fonksyonunun değer brme ve dönüşük özdrenç fonksyonunun değer brnc katmanın özdrencne yaklaşır. Bu özellk, katman sayısına bağımlı olmaksızın tüm dönüşük özdrenç fonksyonları çn geçerldr. u değşken çok büyük değerler aldığında t/u oranı sıfıra yaklaşır: ( t 3 T u tanh + arg th.tanh arg th, u t T, ( 3 u + tanh arg th u T, ( 3 u tanh arg th ( u 3 T sonucu elde edlr. Bu sonuç, u değşkennn görece büyük değerler çn dönüşük özdrenç fonksyonunun son katmanın özdrencne yaklaştığını gösterr Dönüşük özdrenç fonksyonunun sayısal değerlernn hesabı Dönüşük özdrenç fonksyonunun sayısal değerler, u yatay eksen olmak üzere çft logartmk kağıda çzlr. Çft logartmk kağıtta dönüşük özdrenç değerlernn eşt aralıklı yerleşmes çn açılım oranı olarak adlandıracağımız br katsayı saptanır. u değşkennn lk değer u se, knc değer d açılım oranı le lk değern çarpımından bulunablr: u d. u ve u 3 d. u ya da eksen değerlernn sırasını göstermek üzere, u + d. u,, 3, (.4.

32 genel bağıntısı yazılablr. Yukarıda da değnldğ gb bu kavram logartmk kağıt kullanılması nedenyle türetlmştr. Yatay eksen çn y ln(u değşken kullanılırsa, bu kez D.Ö fonksyonu y değşkenne bağlı olarak görüntüleneblr. Ardışık k yatay eksen değer arasında, y + y + y bağıntısı yazılablr. y, örnekleme aralığıdır (samplng dstance. (.4. denklemnn her k yanının logartması le, ln u + ln d + ln bulunablr. ln(u y olduğundan, y ln d (.4. olduğu görüleblr ve örnekleme aralığı le açılım oranı arasındak lşk bulunablr. Dğer br kavram se, örnekleme oranı dır (samplng rate ve logartmk kağıdın her br dönemnn kaç eşt parçaya ayrıldığının sayısı olarak tanımlanır. Eğer, br dönem dört eşt parçaya ayrılmış se örnekleme oranı dörttür. Bu durumda örnekleme aralığı, ln y 4 olarak verleblr. Örnekleme oranı M le gösterlrse, ln y M genel bağıntısı yazılablr. Açılım oranı çn, (.4. den ln( M d exp( y exp (.4. M yazılablr. D.Ö. (dönüşük özdrenç ve G.Ö. (görünür özdrenç fonksyonlarının çft logartmk kağıtta görüntülenmesnn k neden bulunmaktadır. Brncs, hem bu fonksyonların değerler genş br aralıkta değşr, hem de yatay eksen değer çok büyük değerlere varablr. İkncs, br yer model çn katman parametrelernn br grubu, yan kalınlıklar veya özdrençler brer sabt le çarpılır veya bölünürse bu fonksyonların bçmler değşmez yalnızca logartmk eksenler boyunca kayarlar.

33 3 PROGRAM. DİL: BASIC Bu program, (.4.8 ve (.4.9 denklemlern kullanır ve aşağıdak soruları sorar.. VERI SAYISI > : Dönüşük özdrenç fonksyonunun kaç adet sayısal değernn stendğ.. KATMAN SAYISI > : Katman sayısı. 3. ILK YATAY EKSEN DEGERI (u >: u nun lk değer. 4. ORNEKLEME ORANI > : Örnekleme oranı. 5. OZDIRENC > : İlk katmandan başlamak üzere, özdrençler. 6. KALINLIK > : İlk katmandan başlamak üzere kalınlıklar. Bu verlern grlmes le yatay eksen değerler ve bu değerlere karşılık gelen T(u değerler ekrana yazılır. PROGRAM. DIM R(, T( DEF FNTANH (X FNTANH ( - EXP(- * X / ( + EXP(- * X END DEF CLS INPUT " cks dosyasının ad (*.dat varsaylan>", outf$ outf$ LEFT$(outF$, 8 + ".DAT" INPUT "VERI SAYISI >", N INPUT "KATMAN SAYISI >", L INPUT "ILK YATAY EKSEN DEGERI (u >", U INPUT "ORNEKLEME ORANI >", M FOR I TO L - PRINT USING "##"; I; INPUT " OZDIRENC >", R(I PRINT USING "##"; I; INPUT " KALINLIK >", T(I NEXT I PRINT USING "##"; L; INPUT " OZDIRENC >", R OPEN "O", #, outf$ PRINT #, "U"; SPC(; "TU" PRINT " cks dosyas "; outf$ E ^ ( / M FOR I TO N T R W L PRINT SPC(; PRINT "U"; PRINT USING "##"; I; PRINT SPC(3; PRINT USING "#####.####"; U; PRINT SPC(3;

34 4 PRINT USING "#####.####"; T; PRINT #, USING "#####.####"; U; PRINT #, SPC(; PRINT #, USING "#####.####"; T; W W - AA FNTANH(T(W / U T (T + R(W * AA / ( + T * AA / R(W PRINT SPC(3; PRINT USING "#####.####"; T; PRINT #, SPC(; PRINT #, USING "#####.####"; T; IF W > THEN PRINT "" PRINT #, "" U U * E NEXT I CLOSE # END ÖRNEK : Katman parametreler ohm-m, t m, 5 ohm-m, t 5 m ve 3 ohm-m olan üç katmanlı ortam çn T(u nun sayısal değerler Çzelge. de verlmştr. Örnekleme oranı dır. Program, u değşkennn br değer çn katman parametreler 5 Ωm, t 5 m. ve 3 ohm-m olan k katmanlı ortama at T (u değerlern ve yneleme bağıntısını kullanarak T(uT (u değern hesaplar. Hesaplanan dönüşük özdrenç değerler Şekl.3 de görüntülenmştr. ÖRNEK : Katman parametreler ohm-m, t m,.5 ohm-m, t 5m, 3 ohmm, t 3 5 m ve 4 3 ohm-m olan dört katmanlı ortam çn T(u nun sayısal değerler Çzelge. de verlmştr. u değşkennn br değer çn, önce katman parametreler 3 ohm-m, t 3 m ve 4 3 ohm-m olan k katmanlı ortama at T 3 (u, sonra katman parametreler.5 ohm-m, t 5m, 3 ohm-m, t 3 5 m ve 4 3 ohm-m olan üç katmanlı ortama at T (u değerler ve sonuçta verlen modele karşılık gelen T(uT (u değerler hesaplanılır. Örnekleme oranı olarak alınmıştır. Hesaplanan dönüşük özdrenç değerler Şekl.4 de görüntülenmştr.

35 5 Çzelge.. Örnek de verlen katman parametrelerne karşılık gelen dönüşük özdrenç vers. u T (u T(u T (u

36 Görünür Özdrenç (ohm-m 6 T Görünür Özdrenç (ohm-m T T3 AB/ (metre Şekl.3. Örnek de verlen katman parametrelerne karşılık gelen dönüşük özdrenç vers. T3 T T4 T. AB/ (metre Şekl.4. Örnek de verlen katman parametrelerne karşılık gelen dönüşük özdrenç vers.

37 7 Çzelge.. Örnek de verlen katman parametrelerne karşılık gelen dönüşük özdrenç vers. u T 3 (u T (u T(u T (u

38 8 Bölüm GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇ BAĞINTILARI.. KATMANLI ORTAM İÇİN GERİLİM BAĞINTISI Bölüm. de verlen görünür özdrenç bağıntıları zotrop, yarısonsuz br ortam çn hesaplanmışlardır ve arazde ölçülen gerlm farkı ve verlen akım yardımıyla görünür özdrenç değerlern hesaplamak amacıyla kullanılırlar. Katmanlı ortama at özdrenç bağıntılarını bulmak çn Bölüm. de verlen özdrenç bağıntılarında ölçülen gerlm farkı yerne, katmanlı ortama at gerlm denklemnden bulunacak kuramsal gerlm farkını koymak yeterldr. Katmanlı ortam çn verlen (.3.6 gerlm bağıntısında Slchter çekrdek fonksyonu yerne, (.4. denklemyle tanımlanan Koefoed un (97 dönüşük özdrenç fonksyonu yazılarak, V I π ( ( T λ J λr dλ (.. hesaplamalara temel oluşturacak gerlm bağıntısı elde edlr.... İk nokta elektrot görünür özdrenç bağıntısı Bölüm. de bu dzlmn ölçü alım lkeler kısaca anlatılmıştır. Akım ve gerlm elektrotlarından brer tanes teork olarak sonsuza atılmışlardır. D.E.S., akım ve gerlm elektrotları arasındak L uzaklığının arttırılması yoluyla yürütülür. Gerlm farkı M noktasındak gerlme eşt olduğundan, (.. denklem zleyen bçmde yazılablr: π LV ( AL L I M. (.. (.. katmanlı ortam gerlm bağıntısından yararlanılarak, r L çn M noktasındak gerlm aşağıdak şeklde yazılablr: I V M π ( λ ( λ λ T J L d. (..3 (..3 denklemnn (.. denklemnde yerne konulmasıyla, k nokta elektrot dzlm çn görünür özdrenç bağıntısı elde edleblr (Das ve Verma 98: ( L L T ( λ J ( λ L AL d λ. (..4

39 Görünür özdrenç değerler se, k hareketl elektrot arasındak L uzaklığının fonksyonu olarak görüntülenr Wenner görünür özdrenç bağıntısı Wenner elektrot dzlm Bölüm. de kısaca tanıtılmaya çalışılmıştı. Homoen yeryuvarı çn verlen (..7 denklemnde, katmanlı ortama at V konularak, görünür özdrenç bağıntısı kolayca elde edleblr. V, M ve N elektrotları arasındak gerlm farkıdır: V V V. (..5 M N M noktasında poztf ve negatf akım uçlarından dolayı oluşan gerlm, (.. denklemnde poztf uç çn r a ve negatf uç çn r a yazarak bulunablr: I V T( J ( a T( J ( a M λ λ d λ λ λ d λ. (..6 π V N çn (.. denklemnde, artı akım ucu çn r a ve eks akım ucu çn r a yazılarak; I V T( J ( a T( J ( a N λ λ d λ λ λ d λ (..7 π elde edlr. (..6 ve (.7 denklemlern (..5 de yerne konularak, gerlm farkı zleyen bçmde bulunablr: V I T( λ J( λa d λ T( λ J( λa d λ. (..8 π Gerlm farkını (..7 denklemnde yerne konularak, görünür özdrenç bağıntısı elde edlr: aw ( a a T( λ J ( λa λ T( λ J ( λ a λ d d veya aw ( a a T( λ ( J( λa J( λa d λ. (..9 Wenner görünür özdrenç değerler, elektrotlar arası uzaklık a nın fonksyonu olarak görüntülenr. D.E.S. bu dzlmde a uzaklığının arttırılması le yürütülür ve her ölçü sonunda hem akım, hem de gerlm elektrotları yen yerlerne hareket ederler...3. Schlumberger görünür özdrenç bağıntısı Schlumberger dzlm çn akım ve gerlm elektrotlarının konumları Bölüm. de verlmştr. Gerlm elektrotları arasındak MN uzaklığı, akım elektrotları arasındak AB uzaklığına göre küçük alınır. Bunun amacı smetr merkezndek elektrk alanı ölçmeye çalışmaktır. Teork

40 olarak, D.E.S. amacıyla akım elektrotları arasını açtıkça, gerlm farkı ölçülemeyecek kadar küçük olur ve araz çalışmalarında MN uzaklığı brkaç ölçü sonunda kademel olarak büyütülür. Bu dzlmde elektrk alanının ölçüldüğü düşünüldüğünden, görünür özdrenç (.4. denklemnden r s çn aşağıdak bçmde yazılablr: E ( as s ( π s. (.. I E le gösterlen elektrk alan, gerlmn negatf türev olarak verlr: E V s. (.. Brnc cns sıfırıncı dereceden Bessel fonksyonunun türev özellğ kullanılarak, d( J ( λr λ J ( r λ (.. dr (burada J (λr brnc cns brnc dereceden Bessel fonksyonudur ve (.. gerlm denklemnn türevyle elektrk alan bulunablr: V I E T J r r π ( λ ( λ λ dλ. (..3 (..3 denklemnn (.. denklemnde yerne konulmasıyla, Schlumberger dzlmnde katmanlı ortam çn görünür özdrenç bağıntısı elde edleblr: ( ( λ ( λ as s s T J s λ d λ. (..4 Schlumberger görünür özdrenç değerler akım elektrotları arasındak uzaklığın yarısı olan s uzaklığının fonksyonu olarak görüntülenr...4. Dpol görünür özdrenç bağıntıları Bölüm. de zotrop ve yarısonsuz ortamda dpol tarafından oluşturulan gerlm 3 I L V cosθ D π R (..6 olarak verlmştr. Dpol gerlm, zotrop yarısonsuz ortamda nokta akım kaynağının oluşturduğu gerlm cnsnden yazılablr. Nokta akım kaynağının oluşturduğu gerlmn (..6 denklem negatf türev aşağıdak gbdr: V I r π R. Yukarıdak denklemn (..6 denklemnde yerne konulmasıyla,

41 VD L V cos θ (..5 r dpol gerlm yen bçmyle yazılmış olur. Katmanlı ortamda dpol tarafından oluşturulan gerlm bulmak çn, (..5 denklemnde tek nokta akım kaynağının katmanlı ortamda oluşturduğu gerlm bağıntısını koymak yeterldr. Brnc cns sıfırıncı dereceden Bessel fonksyonunun türev göz önünde tutularak (.. denklemnn R ye göre türevnn alınıp, (..5 denklemnde yerne konulmasıyla, katmanlı ortamlar çn dpol gerlm elde edlmş olur: V D I L cosθ T( J ( R π λ λ λ d λ. (..6 Dpol dzlmnde de, Schlumberger dzlmne benzer olarak elektrk alan ölçülmeye çalışılır. Görünür özdrenç bağıntılarını bulmak çn, Bölüm. de her dpol türü çn ayrı ayrı verdğmz özdrenç-elektrk alan bağıntılarından yararlanablrz. Bu bağıntılarda homoen yeryuvarı gerlm yerne, katmanlı ortamlar çn dpol gerlm koymak yeterldr. Radyal dpol dzlmnde, (..7 denklemnden homoen ve zotrop ortam çn özdrenç zleyen bçmde elde edleblr: 3 π R r V I L cosθ R. (..7 (..6 bağıntısı le verlen dpol gerlmn R ye göre türev alınıp, brnc cns brnc dereceden Bessel fonksyonunun türev özellğ göz önünde tutulursa, d( J ( λr λ J ( R J ( R λ λ (..8 dr R R sonuç aşağıdak gbdr: 3 V R D I L cosθ J ( λ R λ T( λ λ J ( λr dλ π. (..9 R (..9 denklemnn, (..7 denklemnde yerne konulması le radyal dpol görünür özdrenç bağıntısı elde edlr: ( R T( λ J ( λr λ λ R T( λ J ( λr λ λ ar R d d. (.. Aynı yol le dğer dpol dzlmler çnde görünür özdrenç bağıntıları elde edleblr. Azmutal dpol çn görünür özdrenç (..8 denklemnden zleyen bçmde yazılablr:

42 3 3 3 π R π R V D θ Eθ. (.. I L snθ I L snθ R θ (.. denklemnn θ ya göre türevnn alınıp, (.. de yerne konulması le görünür özdrenç bağıntısı kolaylıkla bulunulablr: ( ( λ ( λ λ λ θ a R R T J R Paralel dzlmde özdrenç, (..9 denklemnden, d. (.. 3 π R x I L ( 3cos θ θ θ VD + sn R VD cos R θ (..3 olarak bulunur. (..6 denklemnn R ye ve θ ya göre türevler (..3 de yerlerne konarak, paralel dpol dzlm çn görünür özdrenç bağıntısı bulunablr: ax R θ λ λ λ d λ θ λ λ λ d λ. 3cos θ ( R ( cos T( J ( R R T( J ( R cos Dk dpol çn (.. denklemnden, 3 π R θ θ y I L θ θ VD cos R VD sn 3 sn cos R θ (..4 (..5 (..6 denklemnn türevlernn yerne konulması le, ( R T( λ J ( λr λ λ R T( λ J ( λr λ λ ay R 3 d d (..6 görünür özdrenç bağıntısı bulunur. Böylece, dört dpol türü çn görünür özdrenç bağıntıları elde edlmş olur. Bu bağıntıların karşılaştırılmasıyla, dört dpol türünde de ntegrallern aynı olduğu sadece katsayıların ayrı olduğu kolayca görüleblr. Bu özellk her dpol türü çn değşen br katsayıya bağlı olarak, görünür özdrenç bağıntılarının genel br ntegral denklem le verlmesne olanak sağlar (Das ve Ghosh 973: ( ( ( λ ( λ λ λ ( λ ( λ ad R R p T J R d p R T J R λ d λ. (..7 Burada, p katsayısı azmutal dpol çn sıfır, radyal çn /, dk dpol çn /3, paralel dpol çn (cos θ / (3cos θ - olarak verlr. Yalnız paralel dzlmde p katsayısı θ açısına bağlı olarak değşr, dğerlernde sabttr.

43 Dpol görünür özdrenç eğrlerne at başlıca özellkler şunlardır (Das ve Ghosh 973: a Azmutal dzlmde, θ açısının değşmyle zotrop ve yatay katmanlar çn görünür özdrenç değşmez ve Schlumberger görünür özdrencne eşttr. b Radyal dzlmde, çeştl θ açılarında elde edlen görünür özdrenç aynıdır ve polar dzlme eşttr. c Dk dzlmde çeştl θ açılarında ölçülen görünür özdrenç aynıdır. d Paralel dzlmde görünür özdrenç θ açısının farklı değerler çn farklıdır. Bu sonuçlar le en yaygın kullanılan elektrot dzlmler olan; k nokta elektrot, Wenner, Schlumberger ve dpol elektrot dzlmler çn görünür özdrenç bağıntıları saptanmış olur. Dönüşük özdrenç fonksyonu T(λ, kullanılan elektrot dzlmnden bağımsızdır. Yan, belrl br yeryuvarı model çn dönüşük özdrenç, her elektrot dzlm çn aynıdır. Aynı model çn çeştl elektrot dzlmleryle elde edlen görünür özdrenç değerler se değşk olacaktır... GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇLER ARASINDAKİ BAĞINTILAR... İk nokta elektrot ve Wenner görünür özdrençler arasındak bağıntı Wenner G.Ö. bağıntısı (..9 k parçaya ayrılablr: ( ( λ ( λ λ ( λ ( λ aw a a T J a a T J d a d λ. Bu denklem k nokta elektrot G.Ö. bağıntısı (..4 le karşılaştırılır se, a L çn sağ yanda lk termn k nokta elektrot G.Ö. bağıntısının k le çarpımına eşt olduğu ve knc termn, (L nn fonksyonu olarak yne k nokta elektrot G. Ö. bağıntısını verdğ görülür. s, Wenner G.Ö. çn a yı, k nokta elektrot çn L y göstermek üzere bu açılımlar arasındak bağıntı zleyen bçmde verlr (Das ve Verma 98: ( s ( s ( s. (.. aw al al İk nokta elektrot ve Schlumberger görünür özdrençler arasındak bağıntı İk nokta elektrot G.Ö. bağıntısının (..4, br çarpımın türev özellğn göz önünde tutarak, L le çarpalım. Brnc cns sıfırıncı dereceden Bessel fonksyonunun türev, ( J ( λl ( L λ J λ (.. L olarak verldğnden, al ( L L ( λ ( λ d λ ( λ ( λ λ dλ L L T J L L T J L elde edleblr. Bu denklemn ncelenmesyle s L çn, sağ yanda lk termn k nokta elektrot G.Ö. ve knc termn Schlumberger G.Ö. olduğu görüleblr: ( al s s ( s ( s al as. s

44 34 Burada s, Schlumberger çn akım elektrotları uzaklığının yarısına, k nokta elektrot çn hareketl elektrotlar arasındak uzaklığa (L eşttr. Yukarıdak denklemn düzenlenmesyle G.Ö. ler arasındak bağıntı, ( al s ( ( as s al s s (..3 s bçmnde verleblr (Das ve Verma Wenner ve Schlumberger görünür özdrençler arasındak bağıntı Wenner G.Ö. bağıntısı (..9 k parçaya ayrılablr. s a yazılarak, aw s T J s s T J s ( λ ( λ d λ ( λ ( λ d λ ve her k yanın s e göre türevnn alınıp, s le çarpılması le ( aw s s s T( λ J ( λs d λ s T( λ J ( λs λ dλ s T( λ J ( λ s dλ s + ( s T ( λ J ( λs λ dλ elde edleblr. Sağ yanda brnc ve üçüncü termlern toplamı Wenner görünür özdrenc, knc term ve dördüncü term sırasıyla s ve s n fonksyonu olarak Schlumberger görünür özdrenc verr (Başokur 983: ( aw s s ( s ( s ( s aw as + as. s Bu denklemn düzenlenmesyle, ( aw s ( ( ( aw s s as s as s (..4 s G.Ö. ler arasındak bağıntı tanımlanmış olur. Bu denklemde s, Wenner açılımı çn a ya eşttr...4. Schlumberger ve dpol arasındak bağıntı Brnc cns brnc dereceden Bessel fonksyonunun türev zleyen bçmde verlr: ( J ( λs J ( λs λ J ( λs. (..5 s s Bu özellk kullanılarak, Schlumberger G.Ö. n türevn alınıp, s le çarpılırsa,

45 ( s 3 ( λ ( λ λ d λ ( λ ( λ λ d λ ( λ ( λ λ dλ as s s T J s + s T J s s T J s s 35 ve kısaltmalar le ( as s 3 s s T( λ J ( λs λ λ+ s T( λ J ( λs d λ dλ s bulunablr. Dpol G.Ö. bağıntısında (..7, R yerne s yazılır ve zleyen şeklde düzenlenr se ad s s T J s d p s T J s d s T J s d 3 ( ( λ ( λ λ λ ( λ ( λ λ λ+ ( λ ( λ λ λ (..6 elde edlr. Bu denklemn sağ yanında lk termn Schlumberger G.Ö. e ve parantez çndek termn Schlumberger G.Ö. n türevne eşt olduğu görüleblr (Al pn 95: ( as s ( ( ad s as s p s. (..7 s Burada s, dpol dzlm çn dpol uzaklığı R ye eşttr...5. İk nokta elektrot ve dpol görünür özdrençler arasındak bağıntı (..3 bağıntısının türev alınıp, her k yan s le çarpılırsa, ( s ( s as al s s (..8 s s elde edlr. (..7 denklemnde (..3 ve (..8 denklemlern yerne koyarak, k nokta elektrot ve dpol arasındak bağıntı saptanablr (Das ve Verma 98: ( ( al s al s ( ( ad s al s s + p s. (..9 s s Bu bağıntıda s, dpol çn R ve k nokta elektrot çn L uzaklığına eşttr...6. Wenner ve dpol görünür özdrençler arasındak bağıntı Wenner ve dpol G.Ö. ler arasındak bağıntı, buraya kadar verlen dğer bağıntılardan yararlanılarak bulunablr. İşlem Fourer dönüşümlernden yararlanarak, frekans bölgesnde yürütmek son derece kolaydır. İspatı daha lerye bırakarak, bu k G. Ö. arasındak bağıntıyı zleyen bçmde vereceğz (Başokur 983:

46 ( s ( s aw aw ad ( s ad ( s aw ( s s + p s. (.. s s Burada s, dpol çn R ye ve Wenner açılımı çn a ya eşttr GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇLER ARASINDAKİ BAĞINTILARIN LOGARİTMİK DEĞİŞKEN İLE YAZILMASI Gelecek bölümlerdek kullanımları açısından, Bölüm.. de verlen bağıntıları logartmk değşken le yazmak yararlı olacaktır. Bu yen değşkenn G.Ö. ler arasındak bağıntıları lneer yaptığını zleyen denklemlerde göreceğz. Bu amaç çn xlns değşken dönüştürümü kullanılacaktır. ln doğal logartmayı göstermektedr. Wenner ve k nokta elektrot G. Ö. ler arasındak (.. denklem, x lns ve x + ln ln(s değşkenler le aşağıdak bçmde yazılablr: ( x ( x ( x + c, (.3. aw al al c ln.693. İk nokta elektrot ve Schlumberger G.Ö. ler arasındak (..3 bağıntısı, aşağıdak türev özellğnden, (Koefoed 977, Nyman ve Landsman 977, ( s ( x a a s s x (.3. zleyen bçmde verleblr: ( al x ( ( as x al x. (.3.3 x Wenner ve Schlumberger G.Ö. ler arasındak (..4 bağıntısı yukarıdak denklemlerden, aw ( x aw ( x as ( x as ( x + c (.3.4 x şeklnde yazılablr (Başokur 983. Schlumberger ve dpol G.Ö. ler arasındak (..7 bağıntısı, (..3 denklemnn elde edlmesne benzer olarak, ( as x ( ( ad x as x p x (.3.5 şeklnde bulunablr (Koefoed 977, Nyman ve Landsman 977. Dpol ve k nokta elektrot G.Ö. ler arasındak (..9 bağıntısı, (.3. ve zleyen knc türev özellğ kullanılarak,

47 37 ( s ( s ( x a a a s + s s s x (.3.6 aşağıdak gb yazılablr: ad ( x ( x ( p al ( x al ( x p al + +. (.3.7 x x Wenner ve dpol G.Ö. ler arasındak (.. bağıntısı se, daha öncek blgler ışığında kolayca tanımlanablr: ( ( aw x aw x ( ( ( ad x ad x + c aw x ( + p + p. (.3.8 x x Burada c ve p katsayılar olup anlamları daha önce verlmştr..4. HANKEL DÖNÜŞÜMÜ Eğer f(s, s değşkenne bağlı br fonksyon se, Hankel dönüşümü : F( λ f ( s Jn( λs sds (.4. le verlr. Burada J n (λs, n nc dereceden brnc cns Bessel fonksyonudur. F(λ, f(s n λ bölgesndek göstermdr. Ters Hankel dönüşümü, fonksyonu λ bölgesnden kend bölgesne dönüştürür: f s F J s ( ( λ n ( λ λ dλ. (.4.

48 38 Bölüm 3 GÖRÜNÜR ÖZDİRENÇ VE DÖNÜŞÜK ÖZDİRENÇ FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLERİ 3... Dar-Zarrouk parametreler Düşey elektrk sondaında genel olarak yer çnn yatay homoen ve zotrop katmanlardan oluştuğu varsayımı yapılır. Ancak bu katmanlar br bütün çnde düşünüldüğünde, yeryuvarı anzotrop olarak gözükür. İzotrop katmanların yarattığı bu anzotropye, yapay anzotrop adı verlr. Bu kavramı açıklamak çn, brm kestnde katmanlı br yapı ele alınablr (Şekl 3.. Enne drenç (T, katmanlara dk akım yönlenmes halnde eksen katmanlara dk olan br kare przmanın drenc olarak tanımlanır. Boyuna letm (S se, katmanlara paralel br akım varken, eksen katmanlara normal olan brm kare przmanın letkenlğ olarak tanımlanır (Mallet 947. Şekl 3.. Brm kestnde katmanlı yapı (A. İk katmanın eşdeğer tek katmana ndrgenmes (B. Anzotrop eşdeğer katman (I ve zotrop eşdeğer katman (II. İlk katmanda przma yüzeyne dk drenç (enne drenç T t le ve przma yüzeyne paralel letm (boyuna letm t S le verleblr.