T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI LATİSLERDE TÜREVLER YÜKSEK LİSANS TEZİ UTKU PEHLİVAN DENİZLİ, OCAK - 2015

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI LATİSLERDE TÜREVLER YÜKSEK LİSANS TEZİ UTKU PEHLİVAN DENİZLİ, OCAK - 2015

Bu tez çalışması PAUBAP tarafından 2013 FBE043 nolu proje ile desteklenmiştir.

ÖZET LATİSLERDE TÜREVLER YÜKSEK LİSANS TEZİ UTKU PEHLİVAN PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI (TEZ DANIŞMANI: YARD. DOÇ. DR. ŞAHİN CERAN) DENİZLİ, OCAK - 2015 Bu tezde latislerde tanımlanmış olan türevlerin tanımı verilip türevler hakkında detaylı bilgiler ele alınmıştır. Birinci bölümde, diğer bölümlerde kullanılan temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde latislerde bazı türevlerin tanımları ve o türevle ilgili daha önceden yapılmış çalışmalar verilmiştir. Üçüncü bölümde ise; latislerde permuting n-türevler üzerinde detaylı olarak durulmuş olup üçüncü bölümün son kısmında ise yapılan çalışmadan elde ettiğimiz sonuçlar üzerinde durulmuştur. ANAHTAR KELİMELER: Latis, Türev, Modüler, Dağılmalı, İzoton i

ABSTRACT DERİVATİONS OF LATTİCES MSC THESIS UTKU PEHLİVAN PAMUKKALE UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE MATHEMATİCS (SUPERVISOR:ASSİST. PROF. DR. ŞAHİN CERAN) DENİZLİ, JANUARY 2015 In this thesis the definitions of derivations which are defined in lattices are given. About these derivations, detailed informations are also given. In the first chapter the definitions are some basic theorems are which will be used in the other chapters. In the second chapter the definitions, some properties and theorems of the derivations in lattices are given without proof. In the third chapter the definitions of permuting n- derivations are given. About these deivations detailed informations are given. Finally in the last part of the thesis some conclusions from these researchers are given that we have proved. KEYWORDS: Lattice, Derivation, Modular, Distributive, Isotone ii

İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET...i ABSTRACT...ii İÇİNDEKİLER..iii SEMBOL LİSTESİ...iv ÖNSÖZ...v 1.GİRİŞ...1 1.1. Temel Tanım ve Teoremler...1 2. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR...5 2.1. Latislerde Türevler..5 2.1.1 Latislerde Türev..5 2.1.2 Latislerde f- Türev..6 2.2 Latislerde Simetrik Bi- Türevler...7 2.2.1 Latislerde Simetrik Bi- Türev.....7 2.2.2 Latislerde Simetrik Bi-f- Türev......8 2.3 Latislerde Permuting Tri- Türevler...8 2.3.1 Latislerde Permuting Tri- Türev....9 2.3.2 Latislerde Permuting Tri-f- Türev...10 2.3.3 Latislerde Permuting Tri-(f,g)- Türev..10 3. LATİSLERDE PERMUTİNG n- TÜREVLER...11 3.1 Latislerde Permuting n- Türev....12 3.2 Latislerde Permuting n-f- Türev... 28 3.3 Latislerde Permuting n-(f,g)- Türev... 44 4. SONUÇ VE ÖNERİLER... 64 5. KAYNAKLAR... 65 6. ÖZGEÇMİŞ... 67 iii

SEMBOL LİSTESİ : Join, Veya : Meet, Ve D : Türev d : İz iv

ÖNSÖZ Bu tezi hazırlarken, değerli vakitlerini ve yardımlarını esirgemeyen, her safhasında bilgi ve tecrübelerine başvurduğum Sayın Hocam Yard. Doç. Dr. Şahin CERAN a, Sayın Hocam Doç. Dr. Mustafa AŞÇI ya ve tezi yazmamda bana maddi olanak sağlayan PAUBAP a teşekkür ederim. Ayrıca maddi ve manevi her türlü desteği veren babam Lütfü Pehlivan, annem Nevin Pehlivan, kardeşim Erinç Pehlivan ve dedem Salih Tunç a teşekkürü bir borç bilirim. v

1 G IR IŞ Latis cebiri teorisi; bilgi ekonomisi, bilgi edinimi, bilgi erişimi kontrolü ve kriptanaliz gibi çeşitli dallarda önemli bir rol oynar. Szazs latis türevi kavram n tan tt ve ilgili sonuçlar verdi Ayr ca latis türevinde çal şt. Xin ve arkadaşlar bir latis için türevi geliştirdiler ve ilgili sonuçlar tart şt lar. Bir türevin modüler ve da¼g lmal latisler için izoton oldu¼gu alt nda denk koşullar verdiler. Çeven latisler üzerinde simetrik bi- türevi, Öztürk ve Çeven f - türevi tan tt. Bu türevle modüler ve da¼g lmal latisleri karakterize etti. Ayr ca near halkalar nda simetrik bi-(; )- türevi tan tt ve ilgili özellikler verdi. Özbal ve F rat latislerin simetrik bi-f- türev kavram n tan tt lar. Bu türev ile modüler ve da¼g lmal latisleri karakterize ettiler. Yazarl ve Öztürk latislerde permuting tri-türevi tan tt lar. Bu türevi permuting tri-f- türeve geliştirdi. Aşç, Ceran ve Keçilio¼glu latislerde permuting tri-(f; g)- türevi, Aşç ve Ceran latislerde genelleştirilmiş (f; g)- türev kavramlar n tan tt. Bu türevler ile modüler ve da¼g lmal latisi karakterize etti. Bu tezde latislerin permuting tri- türev, tri-f- türev ve tri-(f; g)- türev kavram ndan permuting n- türev, n-f- türev ve n-(f; g)- türev kavram n tan tt k ve ilgili örnekler verdik. Bu türevlede modüler ve da¼g lmal latisi karakterize ettik. 1.1 Temal Tan m ve Teoremler Bu bölümde ikinci ve üçüncü bölümlerde kullan lan temel tan m ve teoremler verilmektedir. Tan m 1.1.1: Boştan farkl bir X kümesinde yans ma, ters simetri ve geçişme özellikleri olan bir ba¼g nt ya k smi s ralama ba¼g nt s veya s ralama ba¼g nt s denir. S ralama ba¼g nt s ile gösterilir. (X; ) ikilisi, X kümesinin ba¼g nt s yla s raland ¼g n gösterir. Bu durumda X kümesine k smi s ralanm ş küme veya poset denir. Buna göre 8 x; y; z 2 X için (1) x 2 X ) x x 1

(2) x y, y x ) x = y (3) x y, y z ) x z Örnek 1.1.1: R de adi s ralama ba¼g nt s = f(x; y) : x y, x 2 R, y 2 Rg şeklinde tan mlans n. 8 x; y; z 2 R için (1), (2) ve (3) özellikleri sa¼gland ¼g ndan k smi s ralama ba¼g nt s ve (R; ) bir posettir. Örnek 1.1.2: A herhangi bir küme ve P (A) da alt küme ba¼g n t s = f(x; Y ) : X Y, X 2 P (A), Y 2 P (A)g olarak tan mlans n. 8 X; Y; Z 2 P (A) için (1), (2) ve (3) özellikleri sa¼gland ¼g ndan k smi s ralama ba¼g nt s ve (P (A); ) bir posettir. Örnek 1.1.3: N de bölünebilme ba¼g nt s j = f(x; y) : xjy, x 2 N, y 2 Ng şeklinde tan mlans n. 8 x; y; z 2 N için (1), (2) ve (3) özellikleri sa¼gland ¼g ndan k smi s ralama ba¼g nt s ve (N; j) bir posettir. Tan m 1.1.2: L, ^ ve _ işemleri ile belirlenmiş boştan farkl bir küme olsun. E¼ger 8 x; y; z 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan rsa bu durumda L ye latis denir. (L; ^; _) ile gösterilir. (1) x ^ x = x; x _ x = x (2) x ^ y = y ^ x; x _ y = y _ x (3) (x ^ y) ^ z = x ^ (y ^ z) ; (x _ y) _ z = x _ (y _ z) (4) (x ^ y) _ x = x; (x _ y) ^ x = x Örnek 1.1.4: C, \ ve [ işlemleri ile tan ml kümelerin bir kolleksiyonu olsun. Bu takdirde 8 X; Y; Z 2 C için (C; \; [) bir latistir. (1) X \ X = X, X [ X = X (2) X \ Y = Y \ X, X [ Y = Y [ X (3) X \ (Y \ Z) = (X \ Y ) \ Z, X [ (Y [ Z) = (X [ Y ) [ Z (4) X \ (X [ Y ) = X, X [ (X \ Y ) = X Örnek 1.1.5: (N; ^; _), 8 a; b 2 N için a ^ b = (a; b) ve a _ b = [a; b] işlemleri alt nda latistir. 2

(1) a ^ a = (a; a), a _ a = [a; a] (2) a ^ b = (a; b) = (b; a) = b ^ a, a _ b = [a; b] = [b; a] = b _ a (3) (i) (a ^ b) ^ c = ((a; b) ; c) = (a; (b; c)) = a ^ (b ^ c) (ii) (a _ b) _ c = [[a; b] ; c] = [a; [b; c]] = a _ (b _ c) (4) a ^ (a _ b) = (a; [a; b]) = a, a _ (a ^ b) = [a; (a; b)] = a Tan m 1.1.3: (5) ve (6) özellikleri sa¼glan rsa L latisi da¼g lmal d r. (5) x ^ (y _ z) = (x ^ y) _ (x ^ z) (6) x _ (y ^ z) = (x _ y) ^ (x _ z) Tan m 1.1.4: Aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa L latisi modülerdir. E¼ger x z ise x _ (y ^ z) = (x _ y) ^ z. Tan m 1.1.5: bir idealdir. L latisinin boştan farkl bir alt kümesi I, aşa¼g daki özelliklerle (i) x y, y 2 I ) x 2 I (ii) x; y 2 I ) x _ y 2 I Tan m 1.1.6: (L; ^; _) bir latis olsun. x y ile tan ml ikili ba¼g nt d r ancak ve ancak 8 x; y 2 L için x ^ y = x ve x _ y = y dir. Lemma 1.1.1: (L; ^; _) bir latis olsun. ikili ba¼g nt tan mlans n. Bu durumda (L; ) bir posettir ve 8 x; y 2 L için x ^ y, fx; yg nin ebob u ve x _ y, fx; yg nin ekok udur: Tan m 1.1.7: L bir latis olsun.8 x; y 2 L için D(x; y) = D(y; x) sa¼glan rsa D : L L! L dönüşümüne simetrik dönüşüm denir. Tan m 1.1.8: L bir latis olsun. n 3 için (1); (2); :::; (n) birer permutasyonlar olmak üzere 8 x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için D (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D x (1) ; x (2) ; :::; x (n) sa¼glan rsa D : L L ::: L! L dönüşümüne permuting dönüşüm denir. Tan m 1.1.9: D permuting dönüşüm oldu¼gunda d(x) = D (x; x; ::; x) ile tan ml d : L! L dönüşümüne D nin izi denir. 3

Tan m 1.1.10: (L; ^; _) ve (M; ^; _ ) iki latis olsun. 8 x; y 2 L için f(x ^ y) = f(x) ^ f(y) f(x _ y) = f(x) _ f(y) sa¼glan rsa f : L! M fonksiyonu latis homomor zmidir. 4

2 ÖNCEK I ÇALIŞMALAR Bu bölümde çal şt ¼g m z konuyla ilgili, daha önceden yay nlanm ş makalelerin özetleri, yazar ad ve yay nland ¼g y l belirtilerek uygun bir s ra içinde ispats z olarak verilmektedir. 2.1 Latislerde Türevler (Xin ve di¼g. 2008) latislerde türev üzerinde ve (Ceven ve Ozturk 2008) latislerde f-türev üzerinde çal şm şt r. 2.1.1 Latislerde Türev Tan m 2.1.1.1: L bir latis ve D : L! L bir dönüşüm olsun. E¼ger 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin türevi denir. D(x ^ y) = (D(x) ^ y) _ (x ^ D(y)) Önerme 2.1.1.1: L bir latis ve D : L! L bir türev olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) D(x) x (ii) D(x) ^ D(y) D(x ^ y) D(x) _ D(y) (iii) L nin en küçük eleman 0 ise D(0) = 0 (iv) D 2 (x) = D(x) Önerme 2.1.1.2: L bir latis ve D : L! L bir türev olsun. y x ve D(x) = x ise D(y) = y dir. Tan m 2.1.1.2: L bir latis ve D : L! L bir türev olsun. (i) x y iken D(x) D(y) ise D ye izoton türev denir. (ii) D 1-1 ise D ye monomorf türev denir. (iii) D örten ise D ye epik türev denir. 5

Teorem 2.1.1.1: L bir da¼g lmal latis ve D : L! L bir türev olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellikler denktir: (i) D izotondur. (ii) D(x ^ y) = D(x) ^ D(y) (iii) D(x _ y) = D(x) _ D(y) 2.1.2 Latislerde f- Türev Tan m 2.1.2.1: L bir latis, D : L! L bir dönüşüm ve f : L! L fonksiyon olsun. E¼ger 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin f-türevi denir. D(x ^ y) = (D(x) ^ f(y)) _ (f(x) ^ D(y)) Önerme 2.1.2.1: L bir latis ve D : L! L bir f-türev olsun. Böylece 8x,y 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) D(x) f(x) (ii) D(x ^ y) f(x) _ f(y) (iii) L nin en küçük eleman 0 ve f(0) = 0 ise D(0) = 0 Önerme 2.1.2.2: L en büyük eleman 1 olan bir latis, D : L! L bir f-türev ve f(1) = 1 olsun. Böylece aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) x D(1) ise D(x) = f(x) (ii) x D(1) ise D(x) D(1) Teorem 2.1.2.1: L bir modüler latis ve D : L! L bir f-türev olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) D izoton f-türev, D(x ^ y) = D(x) ^ D(y) (ii) D izoton f-türev ve f(x _ y) = f(x) _ f(y) oldu¼gunda D(x) = f(x) ise D(x _ y) = D(x) _ D(y) 6

2.2 Latislerde Simetrik Bi- Türevler (Ceven 2009) latislerde simetrik bi- türev üzerinde ve (Ozbal ve F rat 2010) latislerde simetrik bi-f - türev üzerinde çal şm şt r. 2.2.1 Latislerde Simetrik Bi- Türev Tan m 2.2.1.1: L bir latis ve D : L L! L bir simetrik dönüşüm olsun. E¼ger 8 x,y,z 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin simetrik bi- türevi denir. D(x ^ z; y) = (D(x; y) ^ z) _ (x ^ D(z; y)) Ayr ca D simetrik bi-türevi aşa¼g daki özelli¼gi de sa¼glar. D(x; y ^ z) = (D(x; y) ^ z) _ (y ^ D(x; z)) Önerme 2.2.1.1: L bir latis ve D : L L! L simetrik bi- türev olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) D(x; y) x ve D(x; y) y (ii) D(x; y) x ^ y (iii) d(x) x (iv) d 2 (x) = d(x) Tan m 2.2.1.2: L bir latis ve D : L L! L simetrik dönüşüm olsun. E¼ger 8 x,y,z 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye joinitiv dönüşüm denir. D(x _ y; z) = D(x; z) _ D(y; z) Önerme 2.2.1.2: L bir latis ve d, D : LL! L joinitiv simetrik bi-türevinin izi olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sla¼glan r: d(x _ y) = d(x) _ d(y) _ D(x; y) Teorem 2.2.1.1: L bir latis ve d, D : L L! L simetrik bi-türevinin izi olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan r: d(x ^ y) = (y ^ d(x)) _ (x ^ d(y)) _ D(x; y) 7

2.2.2 Latislerde Simetirk Bi-f- Türev Tan m 2.2.2.1: L bir latis, D : L L! L bir dönüşüm ve f : L! L bir fonksiyon olsun. E¼ger 8 x,y,z 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin simetrik bi-f- türevi denir. D(x ^ z; y) = (D(x; y) ^ f(z)) _ (f(x) ^ D(z; y)) Ayr ca D simetrik bi-f- türevi aşa¼g daki özelli¼gi de sa¼glar. D(x; y ^ z) = (D(x; y) ^ f(z)) _ (f(y) ^ D(x; z)) Önerme 2.2.2.1: L bir latis ve D : L L! L simetrik bi-f- türev olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) D(x; y) f(x) ve D(x; y) f(y) (ii) D(x; y) f(x) ^ f(y) (iii) d(x) f(x) Teorem 2.2.2.1: L bir latis ve d, D : L L! L simetrik bi-f- türevinin izi ve f(x ^ y) = f(x) ^ f(y) olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan r: d(x ^ y) = (f(y) ^ d(x)) _ (f(x) ^ d(y)) _ D(x; y) Önerme 2.2.2.2: L en büyük eleman 1 olan bir latis ve D : L L! L simetrik bi- f-türev ve f(1) = 1 olsun. Böylece aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) f(x) d(1) ise d(x) = f(x) (ii) f(x) d(1) ise d(x) d(1) (iii) x y ve f artan fonksiyon iken d(y) = f(y) ise d(x) = f(x) 2.3 Latislerde Permuting Tri- Türevler (Ozturk ve di¼g. 2009) latislerde permuting tri-türev üzerinde, (Khan ve Chaudhry 2011) latislerde permuting tri-f-türev üzerinde ve (Asc ve di¼g. 2011) latislerde permuting tri-(f; g)-türev üzerinde çal şm şt r. 8

2.3.1 Latislerde Permuting Tri- Türev Tan m 2.3.1.1: L bir latis ve D : L L L! L bir dönüşüm olsun. E¼ger 8 x,y,z,w 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin permuting tri-türevi denir. D(x ^ w; y; z) = (D(x; y; z) ^ w) _ (x ^ D(w; y; z)) Ayr ca D permuting tri-türevi aşa¼g dakileri de sa¼glar. D(x; y ^ w; z) = (D(x; y; z) ^ w) _ (y ^ D(x; w; z)) D(x; y; z ^ w) = (D(x; y; z) ^ w) _ (z ^ D(x; y; w)) Önerme 2.3.1.1: L bir latis ve D : L L L! L permuting tri-türev olsun. Böylece 8 x,y,z 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) D(x; y; z) x, D(x; y; z) y ve D(x; y; z) z (ii) D(x; y; z) x ^ y ^ z (iii) d(x) x (iv) d 2 (x) = d(x) Tan m 2.3.1.2: L bir latis ve D : L L L! L permuting dönüşüm olsun. E¼ger 8 x,y,z,w 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye joinitiv dönüşüm denir. D(x _ w; y; z) = D(x; y; z) _ D(w; y; z) Önerme 2.3.1.2: L bir latis ve d, D : L L L! L joinitiv permuting tri-türevinin izi olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan r: d(x _ y) = d(x) _ d(y) _ D(x; x; y) _ D(x; y; y) Teorem 2.3.1.1: L bir latis ve d, D : L L L! L permuting tri-türevinin izi olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan r: d(x ^ y) = (y ^ d(x)) _ (x ^ d(y)) _ D(x; x; y) _ D(x; y; y) 9

2.3.2 Latislerde Permuting Tri-f- Türev Tan m 2.3.2.1: L bir latis, D : L L L! L bir permuting dönüşüm ve f : L! L bir fonksiyon olsun. E¼ger 8 x,y,z,w 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin permuting tri- f-türevi denir. D(x ^ w; y; z) = (D(x; y; z) ^ f(w)) _ (f(x) ^ D(w; y; z)) Ayr ca D permuting tri- f-türevi aşa¼g dakileri de sa¼glar. D(x; y ^ w; z) = (D(x; y; z) ^ f(w)) _ (f(y) ^ D(x; w; z)) D(x; y; z ^ w) = (D(x; y; z) ^ f(w)) _ (f(z) ^ D(x; y; w)) Önerme 2.3.2.1: L bir latis ve D : L L L! L permuting tri- f-türev olsun. Böylece 8 x,y,z 2 L için aşa¼g daki özellikleri sa¼glan r: (i) D(x; y; z) f(x), D(x; y; z) f(y) ve D(x; y; z) f(z) (ii) D(x; y; z) f(x) ^ f(y) ^ f(z) (iii) d(x) f(x) Teorem 2.3.2.1: L bir latis ve d, D : L L L! L permuting tri- f- türevinin izi olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan r: d(x ^ y) = (f(y) ^ d(x)) _ (f(x) ^ d(y)) _ D(x; x; y) _ D(x; y; y) 2.3.3 Latislerde Permuting Tri-(f; g)- Türev Tan m 2.3.3.1: L bir latis, D : L L L! L bir permuting dönüşüm ayr ca f : L! L ve g : L! L fonksiyonlar olsun. E¼ger 8 x,y,z,w 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin permuting tri-(f; g)-türevi denir. D(x ^ w; y; z) = (D(x; y; z) ^ f(w)) _ (g(x) ^ D(w; y; z)) Ayr ca D permuting tri-(f; g)-türevi aşa¼g dakileri de sa¼glar. D(x; y ^ w; z) = (D(x; y; z) ^ f(w)) _ (g(y) ^ D(x; w; z)) D(x; y; z ^ w) = (D(x; y; z) ^ f(w)) _ (g(z) ^ D(x; y; w)) 10

Önerme 2.3.3.1: L bir latis ve D : LLL! L permuting tri-(f; g)-türev olsun. Böylece 8 x,y,z 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) D(x; y; z) f(x)_g(x), D(x; y; z) f(y)_g(y) ve D(x; y; z) f(z)_g(z) (ii) D(x; y; z) (f(x) _ g(x)) ^ (f(y) _ g(y)) ^ (f(z) _ g(z)) (iii) d(x) f(x) _ g(x) Önerme 2.3.3.2: L bir latis ve D : LLL! L permuting tri-(f; g)-türev olsun. Böylece 8 x,y,z 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) f(x) D(1; y; z) ve g(x) D(1; y; z) ise D(x; y; z) = f(x) _ g(x) (ii) f(x) D(1; y; z) ve g(x) D(1; y; z) ise D(x; y; z) D(1; y; z) 11

3 LAT ISLERDE PERMUT ING n- TÜREVLER Bu bölümde latislerde permuting n- türevlerin tan m yap larak baz önemli özellikler ispatl olarak verilmektedir. Bu bölümün son k sm nda önceki çal şmalar n ş ¼g nda elde etti¼gimiz sonuçlar verilmektedir. 3.1 Latislerde Permuting n- Türev Tan m 3.1.1: L bir latis ve D : L L ::: L! L, n tane L nin kartezyen çarp m ndan L ye bir permuting dönüşüm olsun. E¼ger 8 x 1 ; x j 1; x 2 ; :::; x n ; x j n 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin permuting n-türevi denir. D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) Aç kça bir permuting n-türev aşa¼g daki özelli¼gi de sa¼glar. D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ^ x j n) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j n) _ (x n ^ D(x 1 ; x 2 ; :::; x j n)) Şimdi permuting n- türev için birkaç özellik ve örnekler verelim. Örnek 3.1.1: L bir latis olsun ve L üzerinde 8 x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için D dönüşümü D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n şeklinde verilsin. Böylece D permuting n- türevdir. Çözüm: D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n oldu¼gundan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = ((x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ (x j 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n )) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) oldu¼gundan D permuting n- türevdir. Örnek 3.1.2: L bir latis ve a 2 L olsun. L üzerinde 8 x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için D dönüşümü D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) ^ a şeklinde verilsin. Böylece D permuting n- türevdir. Çözüm: D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) ^ a oldu¼gundan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (((x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) ^ a) ^ x j 1) _(x 1 ^ ((x j 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) ^ a)) 12

böylece D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) oldu¼gundan D permuting n- türevdir. Örnek 3.1.3: L bir latis olsun ve L üzerinde 8 x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için D dönüşümü D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 _ x 2 _ ::: _ x n şeklinde verilsin. Böylece D permuting n- türev de¼gildir. Çözüm: D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 _ x 2 _ ::: _ x n oldu¼gundan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ x j 1) _ x 2 _ ::: _ x n Ayr ca (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) = ((x 1 _ x 2 _ ::: _ x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ (x j 1 _ x 2 _ ::: _ x n )) Böylece D(x 1 ^ x j 1x 2 ; :::; x n ) 6= (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) oldu¼gundan D permuting n- türev de¼gildir. Önerme 3.1.1: L bir latis ve L üzerindeki D permuting n-türevinin izi d olsun. Bu durumda8 x; x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1,..., D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x n (ii) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) (x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) (iii) d(x) x (iv) d 2 (x) = d(x) Ispat: (i) x 1 = x 1 ^ x 1 oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) _ (x 1 ^ D(x 1 ; x 2 ; ::; x n )) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ^ D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) 13

Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1 elde edilir. Benzer şekilde D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 2,..., D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x n oldu¼gu da görülür. (ii) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1,..., D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x n oldu¼gundan ^ işlemi uygulan rsa böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ ::: ^ D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n elde edilir. (iii) x = x ^ x oldu¼gundan d(x) = D(x; x; :::; x) = D(x ^ x; x; :::; x) = (D(x; x; :::; x) ^ x) _ (x ^ D(x; x; :::; x)) = (d(x) ^ x) elde edilir. Böylece d(x) x olur. (iv) d 2 (x) = d (d(x)) d(x) x oldu¼gundan olur ve böylece d(x) = d (x ^ d(x)) = D(x ^ d(x); :::; x ^ d(x)) d(x) = (D(x; x ^ d(x); :::; x ^ d(x)) ^ d(x)) elde edilir. Bu şekilde devam edersek _ (x ^ D(d(x); x ^ d(x); :::; x ^ d(x))) d 2 (x) = d(x) _ (x ^ D(x; d(x); :::; d(x)) ^ d(x)) _::: _ (x ^ D(d(x); x; :::; x) ^ d(x)) _ x ^ d 2 (x) olur ve Önerme 3.3.1 (i) den olur. d 2 (x) = d(x) _ D(x; d(x); :::; d(x)) _ ::: _ D(d(x); x; :::; x) _ d 2 (x) d 2 (x) = d(x) Sonuç 3.1.1: L bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. Ayr ca L nin en büyük eleman 1 ve en küçük eleman 0 olsun. Bu takdirde aşa¼g dakiler sa¼glan r: 14

(i) D(0; x 2 ; :::; x n ) = 0 (ii) D(1; x 2 ; x 3 ; ::x i ; :::; x n ) x i (i = 2; 3; :::; n) Ispat: (i) Önerme 3.1.1 (i) den D(0; x 2 ; :::; x n ) 0 ve 0 en küçük eleman oldu¼gundan D(0; x 2 ; :::; x n ) 0 D(0; x 2 ; :::; x n ) D(0; x 2 ; :::; x n ) = 0 elde edilir. (ii) Önerme 3.1.1 (ii) den D(1; x 2 ; :::; x i ; :::; x n ) 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x i ^ ::: ^ x n ve 1 en büyük eleman oldu¼gundan D(1; x 2 ; :::; x i ; :::; x n ) 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x i ^ ::: ^ x n olur. 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x i ^ ::: ^ x n = x 2 ^ ::: ^ x i ^ ::: ^ x n x i oldu¼gundan böylece D(1; x 2 ; :::; x i ; :::; x n ) x i elde edilir. Önerme 3.1.2: L bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. Böylece aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) (ii) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) x 1 _ x j 1 Ispat: (i) Önerme 3.1.1 (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1 ve D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) x j 1 oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1 15

elde edilir. _ işlemi uygulan rsa D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) (x 1^D(x j 1; x 2 ; :::; x n ))_(D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^x j 1) Böylece (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) _ (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) = D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Ayr ca D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) olup (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^x j 1)_(x 1^D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) D(x j 1; x 2 ; :::; x n )_D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. Böylece D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) olur. (ii) Tan mdan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) _ (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) olur. (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) _ (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) x 1 _ x j 1 oldu¼gundan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) x 1 _ x j 1 elde edilir. Önerme 3.1.3: L en büyük eleman 1 olan bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. E¼ger D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) ise D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) Ispat: D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) ise D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ x j 1) ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) olup latis tan m ndan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) ^ (x j 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) 16

böylece D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. Teorem 3.1.1: L bir latis ve L üzerindeki D permuting n-türevinin izi d olsun. Bu takdirde8 x 1 ; x j 1 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan r: d(x 1^x j 1) = (d(x j 1)^x 1 )_D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1)_:::_D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 )_(d(x 1 )^x j 1) Ispat: Iz tan m ndan d(x 1 ^ x j 1) = D(x 1 ^ x j 1; x 1 ^ x j 1; :::; x 1 ^ x j 1) Türev tan m ndan d(x 1 ^ x j 1) = (D(x 1 ; x 1 ^ x j 1; :::; x 1 ^ x j 1) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 1 ^ x j 1; :::; x 1 ^ x j 1)) Bu şekilde devam edersek d(x 1 ^ x j 1) = (d(x 1 ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) ^ x j 1) _::: _ (x j 1 ^ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) ^ x 1 ) _ (d(x j 1) ^ x 1 ) Önerme 3.1.1 (i) den D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) x 1 ve D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) x j 1 böylece ^ işlemi uygulan rsa D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) x 1^x j 1 benzer durum D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) için de görülür. Böylece d(x 1^x j 1) = (d(x j 1)^x 1 )_D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1)_:::_D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 )_(d(x 1 )^x j 1) Sonuç 3.1.2: L bir latis ve L üzerindeki D permuting n-türevinin izi d olsun. Böylelikle 8 x 1 ; x j 1 2 L için aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) d(x 1 ^ x j 1) (ii) d(x j 1) ^ x 1 d(x 1 ^ x j 1) ve d(x 1 ) ^ x j 1 d(x 1 ^ x j 1) (iii) d(x 1 ) ^ d(x j 1) d(x 1 ^ x j 1) Ispat: (i) Teorem 3.1.1 den d(x 1^x j 1) = (d(x j 1)^x 1 )_D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1)_:::_D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 )_(d(x 1 )^x j 1) 17

oldu¼gundan D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) d(x 1 ^ x j 1) (ii) Teorem 3.1.1 den d(x 1^x j 1) = (d(x j 1)^x 1 )_D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1)_:::_D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 )_(d(x 1 )^x j 1) oldu¼gundan d(x j 1)^x 1 (d(x j 1)^x 1 )_D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1)_:::_D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 )_(d(x 1 )^x j 1) olup böylece d(x j 1) ^ x 1 d(x 1 ^ x j 1) Benzer şekilde d(x 1 ) ^ x j 1 d(x 1 ^ x j 1) oldu¼gu da görülür. (iii) Sonuç 3.1.2 (ii) den d(x j 1) ^ x 1 d(x 1 ^ x j 1) ve d(x 1 ) ^ x j 1 d(x 1 ^ x j 1) oldu¼gundan ^ işlemi uygulan rsa (d(x j 1) ^ x 1 ) ^ (d(x 1 ) ^ x j 1) = (d(x j 1) ^ x j 1) ^ (d(x 1 ) ^ x 1 ) d(x 1 ^ x j 1) d(x 1 ) ^ d(x j 1) d(x 1 ^ x j 1) Dikkat edersek (i) ve (ii) özelliklerinde L nin en büyük eleman 1 olmak üzere x j 1 yerine x j 1 = 1 ald ¼g m zda D(1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ :::: _ D(x 1 ; 1; 1; :::; 1) d(x 1 ^ 1) = d(x 1 ) (d(1) ^ x 1 ) d(x 1 ^ 1) = d(x 1 ) eşitsizliklerini elde ederiz. Sonuç 3.1.3: L en büyük eleman 1 ve en küçük eleman 0 olan bir latis ve L üzerindeki D permuting n-türevinin izi d olsun. Bu durumda aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) x d(1) ise d(x) d(1) (ii) x d(1) ise d(x) = x (iii) x 1 x j 1 ve d(x j 1) = x j 1 ise d(x 1 ) = x 1 Ispat: 18

(i) x d(1) ise d(1) = x ^ d(1) olur. Ayr ca sonuç 3.1.2 (ii) den d(1) = x ^ d(1) d(x ^ 1) = d(x) d(x) d(1) (ii) x d(1) ise x = x ^ d(1) olur. Ayr ca sonuç 3.1.2 (ii) ve Önerme 3.1.1 (iii) den x = x ^ d(1) d(x ^ 1) = d(x) x d(x) = x (iii) x 1 x j 1 ve d(x j 1) = x j 1 ise x 1 = x 1 ^ x j 1 olur. Böylece d(x 1 ) = d(x 1 ^ x j 1) elde edilir. Teorem 3.1.1 den d(x 1^x j 1) = (d(x j 1)^x 1 )_D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1)_:::_D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 )_(d(x 1 )^x j 1) elde edilir. Önerme 3.1.1 (iii) den d(x 1 ) x 1 x j 1 = d(x j 1) olur. Böylece d(x 1 ^ x j 1) = x 1 _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ d(x 1 ) sa¼glan r. Ayr ca Önerme 3.1.1 (i) den D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) x 1 olur. Benzer durum D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) için de geçerlidir. Böylece _ işlemi uygulan rsa D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) x 1 olur. Böylece d(x 1 ) = d(x 1 ^ x j 1) = x 1 elde edilir. Sonuç 3.1.4: L en büyük eleman 1 olan bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. Bu takdirde aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) x 1 D(1; x 2 ; :::; x n ) ise D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 (ii) x 1 D(1; x 2 ; :::; x n ) ise D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(1; x 2 ; :::; x n ) Ispat: (i) x 1 D(1; x 2 ; :::; x n ) ise x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) = x 1 olur. Ayr ca 1 en büyük eleman oldu¼gundan x 1 = x 1 ^ 1 olur. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ 1) _ (x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) 19

olur. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ x 1 = x 1 (ii) 1, L nin en büyük eleman oldu¼gundan x 1 = x 1 ^ 1 olur. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Türev tan m ndan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ 1) _ (x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) x 1 D(1; x 2 ; :::; x n ) ise x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) = D(1; x 2 :::; x n ) olur. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ 1) _ D(1; x 2 :::; x n ) elde edilir. 1, Lnin en büyük eleman oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(1; x 2 :::; x n ) olur. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(1; x 2 :::; x n ) elde edilir. Önerme 3.1.4: L bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. x j 1 x 1 ve D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ise D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x j 1 Ispat: x j 1 x 1 ise x j 1 = x 1 ^ x j 1 olur. Böylece D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Türev tan m ndan D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) olup Önerme 3.1.1 (i) den D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) x j 1 x 1 = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) olur. Böylece D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x j 1 _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x j 1 elde edilir. Tan m 3.1.2: L bir latis ve L üzeinde D : L L ::: L! L, n tane L nin kartezyen çarp m ndan L ye bir permuting dönüşüm olsun. E¼ger 8 x 1 ; x j 1; x 2 ; :::; x n ; x j n 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D joinitivdir D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) 20

Benzer şekilde D(x 1 ; x 2 ; :::; x n _ x j n) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x 1 ; x 2 ; :::; x j n) dönüşümünün de joinitiv oldu¼gu görülür. Teorem 3.1.2: L bir latis olsun. L üzerindeki her permuting n- türev joinitiv ise L da¼g lmal latistir. Ispat: Örnek 3.1.1 deki D permuting n- türevini göz önüne ald ¼g m zda x 1 yerine x 1 _ x j 1 al n rsa D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 _ x j 1) ^ x 2 ^ ::: ^ x n elde edilir. D joinitiv oldu¼gundan D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) _ (x j 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) olur. Bu durumda (x 1 _ x j 1) ^ x 2 ^ ::: ^ x n = (x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) _ (x j 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) Böylece L da¼g lmal d r. Sonuç 3.1.5: L bir latis olsun. L üzerindeki her permuting n- türev joinitiv ise L modüler latistir. Ispat: Teorem 3.1.2 den L da¼g lmal d r. Ayr ca her da¼g lmal latis modüler oldu¼gundan L modülerdir. Tan m 3.1.3: L bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. (i) x 1 x j 1 iken D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) oluyorsa D ye izoton permuting n- türev denir. (ii) D bire bir ise D ye monomor k permuting n- türev denir. (iii) D örten ise D ye epik permuting n- türev denir. Önerme 3.1.5: L bir latis ve D, L üzerinde izoton permuting n-türev olsun. E¼ger D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ve D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x j 1 oldu¼gunda aşa¼g daki sa¼glan r: D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x 1 _ x j 1 21

Ispat: D izoton olsun. Böylece x 1 x 1 _ x j 1 ve x j 1 x 1 _ x j 1 oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. _ işlemi uygulan rsa ayr ca Önerme 3.1.1 (i) den biliyoruz ki D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) x 1 _ x j 1 dir. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x 1 _ x j 1 D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) x 1 _ x j 1 D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x 1 _ x j 1 elde edilir. Önerme 3.1.6: L bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. Böylece aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) D dönüşümü için D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) (ii) D izoton dönüşüm ise D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) (iii) D izoton dönüşümdür ancak ve ancak D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) Ispat: (i) x 1 x j 1 _ x 1 oldu¼gundan x 1 = x 1 ^ (x j 1 _ x 1 ) olur. D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ (x j 1 _ x 1 ); x 2 ; :::; x n ) Türev tan m ndan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ (x j 1 _ x 1 )) _ (D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) Bir D dönüşümü için D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1 x j 1 _ x 1 oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) 22

elde edilir. (ii) x 1 x j 1 _ x 1 oldu¼gundan x 1 = x 1 ^ (x j 1 _ x 1 ) olur. D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ (x j 1 _ x 1 ); x 2 ; :::; x n ) Türev tan m mdan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ (x j 1 _ x 1 )) _ (D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) D izoton dönüşüm olsun. Bu durumda x 1 x 1 _ x j 1 ve Önerme 3.1.1 (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) x j 1 _ x 1 olur. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) elde edilir. (iii) D izoton dönüşüm olsun. x 1 x 1 _ x j 1 ve x j 1 x 1 _ x j 1 oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ işlemi uygulan rsa D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. Tersine olarak D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olsun. Ayr ca x 1 x j 1 olsun. Böylece x j 1 = x j 1 _ x 1 olur. Böylece D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. O halde D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olup bu durumda D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. Böylece D izoton dönüşümdür. 23

Önerme 3.1.7: L bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. Bu takdirde aşa¼g daki sa¼glan r: D izoton dönüşümdür ancak ve ancak D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) Ispat: D izoton dönüşüm olsun. x 1 ^ x j 1 x 1 ve x 1 ^ x j 1 x j 1 oldu¼gundan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ işlemi uygulan rsa D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) Ayr ca Önerme 3.1.1 (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1 ve D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) x j 1 oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^x 1 )^(D(x j 1; x 2 ; :::; x n )^x j 1) latis tan m ndan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^x j 1)^(D(x j 1; x 2 ; :::; x n )^x 1 ) olur. Bu durumda D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^x j 1)_(D(x j 1; x 2 ; :::; x n )^x 1 ) elde edilir. Böylece (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) = D(x j 1 ^ x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1 ^ x 1 ; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. O halde D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1 ^ x 1 ; x 2 ; :::; x n ) olur. Böylece D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) Tersine olarak D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) 24

olsun. Ayr ca x 1 x j 1 olsun. O halde x j 1 ^ x 1 = x 1 dir. Bu durumda D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) O halde D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) Böylece D izoton dönüşümdür. Önerme 3.1.8: L en büyük eleman 1 olan bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. Bu durumda aşa¼g daki sa¼glan r: D, L üzerinde izoton permuting n-türev ise D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) Ispat: D, L üzerinde izoton permuting n-türev olsun. Önerme 3.1.1 (i) den ve 1 en büyük eleman oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(1; x 2 ; :::; x n ), D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1 ^ işlemi uygulan rsa D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 olur. Ayr ca Önerme 3.1.6 (ii) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (x 1 ^ D(x 1 _ 1; x 2 ; :::; x n )) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) Böylece D(1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) olur. Bu durumda D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 elde edilir. Önerme 3.1.9: L bir latis ve L üzerindeki D joinitiv permuting n-türevinin izi d olsun. Bu durumda 8x 1 ; x j 1 2 L için aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) d(x 1 _ x j 1) = d(x 1 ) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x 1 ; x 1 ; ; :::; x 1 ; x j 1) _ d(x j 1) (ii) d(x 1 ) _ d(x j 1) d(x 1 _ x j 1) Ispat: 25

(i) D joinitiv olsun. Böylece d(x 1 _ x j 1) = D(x 1 _ x j 1; x 1 _ x j 1; :::; x 1 _ x j 1) = D(x 1 ; x 1 _ x j 1; :::; x 1 _ x j 1) _ D(x j 1; x 1 _ x j 1; :::; x 1 _ x j 1) Bu şekilde devam edersek d(x 1 _ x j 1) = D(x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ D(x j 1; x j 1; x j 1; :::; x j 1) olur. Böylece d(x 1 _ x j 1) = d(x 1 ) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x 1 ; x 1 ; ; :::; x 1 ; x j 1) _ d(x j 1) (ii) Önerme 3.1.9 (i) den d(x 1 ) _ d(x j 1) d(x 1 ) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x 1 ; x 1 ; ; :::; x 1 ; x j 1) _ d(x j 1) olur. Böylece d(x 1 ) _ d(x j 1) d(x 1 _ x j 1) Önerme 3.1.10: L bir modüler latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. D izoton ve D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ise D joinitivdir. Ispat: D izoton dönüşüm olsun. Önerme 3.1.6 (ii) den D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ (x j 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n )) D izoton ve x j 1 x 1 _ x j 1 oldu¼gundan D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Ayr ca L modüler oldu¼gundan D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ x j 1) ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) Böylece Önerme 3.1.1 (i) den D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x j 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Bu durumda D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x 1 _ (x j 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n )) 26

L modüler oldu¼gundan ve Önerme 3.1.1 (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 _ x j 1) ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Önerme 3.1.1 (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. Böylece D joinitivdir. Önerme 3.1.11: L bir da¼g lmal latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. D izotondur ancak ve ancak D joinitivdir. Ispat: D izoton dönüşüm olsun. Önerme 3.1.6 (ii) den D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ (x j 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n )) olur. L da¼g lmal oldu¼gundan D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ x j 1) ^ (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n )) olur. D izoton, x j 1 x 1 _ x j 1 ve Önerme 3.1.1 (i) den D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x j 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) Benzer şekilde D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. _ işlemi uygulan rsa D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n )) _ (x j 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n )) L da¼g lmal oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 _ x j 1) ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) Önerme 3.1.1 (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) Böylece D joinitivdir. 27

Tersine olarak D joinitiv olsun. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Ayr ca x 1 x j 1 olsun. Böylece x 1 _ x j 1 = x j 1 dir. Bu durumda D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. O halde D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) Böylece D izoton dönüşümdür. 3.2 Latislerde Permuting n-f- Türev Tan m 3.2.1: L bir latis ve D : L L ::: L! L, n tane L nin kartezyen çarp m ndan L ye bir permuting dönüşüm olsun. 8 x 1 ; x j 1; x 2 ; :::; x n ; x j n 2 L için D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j 1)) _ (f(x 1 ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) olacak şekilde f : L! L fonksiyonu varsa D ye permuting n-f-türev denir. Aç kça L üzerindeki bir D permuting n-f-türev aşa¼g daki ba¼g nt y da sa¼glar. D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ^ x j n) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j n)) _ (f(x n ) ^ D(x 1 ; x 2 ; :::; x j n)) Şimdi L üzerindeki permuting n- f-türev için birkaç özellik ve örnekler verelim. Örnek 3.2.1: L bir latis ve L üzerinde8 x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için D dönüşümü D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) şeklinde verildi¼ginde f : L! L fonksiyonu için f(x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) = f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) sa¼glan rsa D, L üzerinde bir permuting n-f-türevdir Çözüm: D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 ^ x j 1) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) = (f(x 1 ) ^ f(x j 1) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n )) _ işlemi uygulan rsa D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (f(x 1 ) ^ (f(x j 1) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ))) _ (f(x j 1) ^ (f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ))) 28

olur. Bu durumda D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j 1)) _ (f(x 1 ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) Böylece D permuting n-f-türevdir. Örnek 3.2.2: L bir latis ve a 2 L olsun. L üzerinde 8 x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için D dönüşümü D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n )) ^ a şeklinde verildi¼ginde f : L! L fonksiyonu için f(x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) = f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) oldu¼gunda D, L üzerinde bir permuting n-f-türevdir. Çözüm: Örnek 3.1.2 dekine benzer şekilde çözülür. Örnek 3.2.3: L bir latis ve L üzerinde 8 x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için D dönüşümü D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 ) _ f(x 2 ) _ ::: _ f(x n ) şeklinde verildi¼ginde f : L! L fonksiyonu için f(x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) = f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) sa¼gland ¼g nda D, L üzerinde bir permuting n-f-türev de¼gildir. Çözüm: Örnek 3.1.3 dekine benzer şekilde çözülür. Önerme 3.2.1: L bir latis ve L üzerindeki bir D permuting n-f-türevinin izi d olsun. Bu durumda 8 x; x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) f(x 1 ),...,D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) f(x n ) (ii) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) (f(x 1 ) ^ ::: ^ f(x n )) (iii) d(x) f(x) Ispat: (i) x 1 = x 1 ^ x 1 oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ x 1 ; x 2 ; :::; x n ) türev tan m ndan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x 1 )) _ (f(x 1 ) ^ D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )) olur. Bu durumda D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (f(x 1 ) ^ D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )) Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) f(x 1 ). Benzer şekilde D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) f(x 2 ),..., D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) f(x n ) oldu¼gu da görülür. 29

(ii) Önerme 3.1.1 (ii) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. (iii) Önerme 3.1.1 (iii) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. Sonuç 3.2.1: D, en büyük eleman 1 ve en küçük eleman 0 olan bir L latisi üzerinde permuting n-f-türev olsun. Ayr ca f(0) = 0 ve f(1) = 1 olsun. Bu takdirde aşa¼g dakiler sa¼glan r : (i) D(0; x 2 ; :::; x n ) = 0 (ii) D(1; x 2 ; x 3 ; ::x i ; :::; x n ) f(x i ) (i = 2; 3; :::; n) Ispat: (i) 0 = 0 ^ 0 oldu¼gundan D(0; x 2 ; :::; x n ) = D(0 ^ 0; x 2 ; :::; x n ) türev tan m ndan D(0; x 2 ; :::; x n ) = (D(0; x 2 ; :::; x n ) ^ f(0)) _ (f(0) ^ D(0; x 2 ; :::; x n )) f(0) = 0 oldu¼gundan ve 0 en küçük eleman oldu¼gundan D(0; x 2 ; :::; x n ) = (D(0; x 2 ; :::; x n ) ^ 0) _ (0 ^ D(0; x 2 ; :::; x n )) = 0 _ 0 = 0 elde edilir. (ii) Sonuç 3.1.1 (ii) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. Önerme 3.2.2. L bir latis ve D, L üzerinde bir permuting n-f-türev olsun. Böylece aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) (ii) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) f(x 1 ) _ f(x j 1) Ispat: (i) Önerme 3.2.1 (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) f(x 1 ) ve D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) f(x j 1) oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) f(x 1 ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j 1) 30

olur. _ işlemi uygulan rsa D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) (f(x 1 ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) _ (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j 1)) Türev tan m ndan (f(x 1 ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) _ (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j 1)) = D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olup böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. Ayr ca türev tan m ndan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j 1)) _ (f(x 1 ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) olup bu durumda D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. (ii) Önerme 3.1.2 (ii) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. Önerme 3.2.3: L en büyük eleman 1 olan bir latis ve D, L üzerinde permuting n-f-türev, D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 ) ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) ve f(x 1 ) ^ f(x j 1) = f(x 1 ^ x j 1) olsun. Bu takdirde aşa¼g daki sa¼glan r: D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) ise Ispat: D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 )^D(1; x 2 ; :::; x n ) ve f(x 1 )^f(x j 1) = f(x 1^x j 1) D(x 1^x j 1; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1^x j 1)^D(1; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 )^f(x j 1)^D(1; x 2 ; :::; x n ) olur. Böylece D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (f(x 1 ) ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) ^ (f(x j 1) ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) olup bu durumda D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. 31

Teorem 3.2.1: L bir latis ve L üzerindeki bir D permuting n-f-türevinin izi d olsun. 8 x 1 ; x j 1 2 L için f(x 1 ^ x j 1) = f(x 1 ) ^ f(x j 1) oluyorsa bu durumda aşa¼g daki sa¼glan r: d(x 1 ^ x j 1) = (d(x j 1) ^ f(x 1 )) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ (d(x 1 ) ^ f(x j 1)) Ispat: Iz tan m ndan d(x 1 ^ x j 1) = D(x 1 ^ x j 1; x 1 ^ x j 1; :::; x 1 ^ x j 1) türev tan m ndan d(x 1 ^x j 1) = (D(x 1 ; x 1 ^x j 1; :::; x 1 ^x j 1)^f(x j 1))_(f(x 1 )^D(x j 1; x 1 ^x j 1; :::; x 1 ^x j 1)) Bu şekilde devam edersek d(x 1 ^ x j 1) = (d(x 1 ) ^ f(x j 1)) _ (f(x 1 ) ^ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) ^ f(x j 1)) _ ::: ::: _ (f(x j 1) ^ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) ^ f(x 1 )) _ (d(x j 1) ^ f(x 1 )) Önerme 3.2.1 (i) den D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) f(x j 1) ve D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) f(x 1 ) oldu¼gundan ^ işlemi uygulan rsa D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) f(x 1 )^f(x j 1) olur. Böylece d(x 1 ^ x j 1) = (d(x j 1) ^ f(x 1 )) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ (d(x 1 ) ^ f(x j 1)) elde edilir. Sonuç 3.2.2: L bir latis ve L üzerindeki bir D permuting n-f-türevinin izi d olsun. Bu takdirde aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ :::_ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) d(x 1 ^ x j 1) (ii) d(x j 1) ^ f(x 1 ) d(x 1 ^ x j 1) ve d(x 1 ) ^ f(x j 1) d(x 1 ^ x j 1) (iii) d(x 1 ) ^ d(x j 1) d(x 1 ^ x j 1) Ispat: (i) Sonuç 3.1.2 (i) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. (ii) Teorem 3.2.1 den d(x j 1) ^ f(x 1 ) (d(x j 1) ^ f(x 1 )) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ (d(x 1 ) ^ f(x j 1)) 32

olup d(x 1 ^ x j 1) = (d(x j 1) ^ f(x 1 )) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ (d(x 1 ) ^ f(x j 1)) oldu¼gundan d(x j 1) ^ f(x 1 ) d(x 1 ^ x j 1) elde edilir. Benzer şekilde d(x 1 ) ^ f(x j 1) d(x 1 ^ x j 1) oldu¼gu da görülür. (iii) Sonuç 3.1.2 (iii) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. Sonuç 3.2.3: L en büyük eleman 1 olan bir latis ve d, L üzerindeki bir D permuting n-f-türevinin izi olsun. Böylece aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) f(x) d(1) ise d(x) d(1) (ii) f(x) d(1) ise d(x) = f(x) (iii) x 1 x j 1 ve f bir artan fonksiyon iken d(x j 1) = f(x j 1) ise d(x 1 ) = f(x 1 ) Ispat: (i) Sonuç 3.1.3 (i) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. (ii) Sonuç 3.1.3 (ii) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. (iii) x 1 x j 1 ise x 1 = x 1 ^ x j 1 olur. Böylece d(x 1 ) = d(x 1 ^ x j 1) olup Teorem 3.2.1 den d(x 1 ^ x j 1) = (d(x j 1) ^ f(x 1 )) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ (d(x 1 ) ^ f(x j 1)) Ayr ca d(x 1 ) f(x 1 ) f(x j 1) = d(x j 1) oldu¼gundan d(x 1 ^ x j 1) = f(x 1 ) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ d(x 1 ) Önerme 3.2.1 den D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) f(x 1 ) ve D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) f(x 1 ) olur. _ işlemi uygulan rsa D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) f(x 1 ) olur. Böylece d(x 1 ) = d(x 1 ^ x j 1) = f(x 1 ) elde edilir. 33

Sonuç 3.2.4: L en büyük eleman 1 olan bir latis ve D, L üzerinde permuting n-f-türev ayr ca f(1) = 1 olsun. Bu takdirde aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) f(x 1 ) D(1; x 2 ; :::; x n ) ise D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 ) (ii) f(x 1 ) D(1; x 2 ; :::; x n ) ise D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(1; x 2 ; :::; x n ) Ispat: (i) f(x 1 ) D(1; x 2 ; :::; x n ) ise f(x 1 ) ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 ) olur. Ayr ca 1 en büyük eleman oldu¼gundan x 1 = x 1 ^ 1 dir. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Türev tan m ndan D(x 1 ^ 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(1)) _ (f(x 1 ) ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) olup f(1) = 1 oldu¼gundan ve 1 en büyük eleman oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ f(x 1 ) Bu durumda f(x 1 ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) olur. Önerme 3.2.1 (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) f(x 1 ) böylece f(x 1 ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. (ii) Sonuç 3.1.4 (ii) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. Önerme 3.2.4: L bir latis, f bir artan fonksiyon olmak üzere D, L üzerinde bir permuting n-f-türev olsun. E¼ger x j 1 x 1 ve D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 ) ise D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = f(x j 1) Ispat: x j 1 x 1 ise x j 1 = x 1 ^ x j 1 olur. Böylece D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) türev tan m ndan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j 1)) _ (f(x 1 ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) 34

f artan fonksiyon oldu¼gundan ve Önerme 3.2.1 (ii) den D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) f(x j 1) f(x 1 ) olur. Böylece Bu durumda D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = f(x j 1) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) f(x j 1) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) Ayr ca Önerme 3.2.1 (i) den D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) f(x j 1) Böylece f(x j 1) = D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. Teorem 3.2.2: L bir latis olsun. f(x 1 _ x j 1) = f(x 1 ) _ f(x j 1) oldu¼gunda L üzerindeki her permuting n-f-türev joinitiv ise L da¼g lmal latistir. Ispat: Örnek 3.2.1 den biliyoruz ki D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 )^f(x 2 )^:::^f(x n ) bir permuting n-f- türevdir. x 1 yerine x 1 _ x j 1 ald ¼g m zda D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 _ x j 1) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) = (f(x 1 ) _ f(x j 1)) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) D joinitiv oldu¼gundan D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Böylece D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n )) _ (f(x j 1) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n )) Bu durumda (f(x 1 ) _ f(x j 1)) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) = (f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n )) _ (f(x j 1) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n )) Böylece L da¼g lmal d r. Sonuç 3.2.5: L bir latis olsun. f(x 1 _ x j 1) = f(x 1 ) _ f(x j 1) oldu¼gunda L üzerindeki her permuting n-f-türev joinitiv ise L modüler latistir. 35