...\) O"'''t" ~.Q~Cıo;>~';. ANADOLU ÜNivERSiTESi BiLiM VE TEKNOLOJi DERGiSi cl o ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY \ L Cilt/Vol.: 3 - Sayı/No: 3 : 41-45 (00) ı ṯ rri('ho~o)\ Q~ XLV. Ulusal Matematik Sempozyumu Özel Sayısı/Special Issue for XIVth Natioal Mathematics Symposium ARAŞTIRMA MAKALESiiRESEARCH ARTICLE.... SZASZ TIPI OPERATORlERlE poıinom AGIRUKU UZAYLARDA YAKLAŞıM Nurhayat ispir 1 Bu çalışmada pozitif eksei tamamıda Szasz tipi operatörlerle sürekli foksiyolara ağırlıklı ve yaklaşım hızı üzerie teoremler ispat edilmiştir. Aahtar Kelimeler: öz Szasz tipi operatör, Ağırlıklı yaklaşım, Süreklilik modülü, Yaklaşım hızı. APPROXIMATION BY SZASZ TYPE OPERATORS IN POlYNOMIAl WEIGHT SPACES ABSTRACT yaklaşım The theorems o weighted approximatio ad the rate of approximatio of cotiuous fuctios by Szasz type operators o all positive axis are established. Key Words: Szasz type operator, Weighted approximatio, Modulus of cotiuity, Rate of covergece. 1. ciaiş Bu çalışmada Szasz tipi -ı co (x)k (k) L(f, x) = (chx) L (k)! 1 --;, E N, N:= {1,,...}, x;:: O (1) operatörüü [0,00) da taımlı, sürekli 1 foksiyolarıa yaklaşım teoremi ağırlıklı uzaylarda verilecek, bir ağırlıklı süreklilik modülü taımlaarak buu yardımı ile yaklaşım hızı elde edilecektir. Lieer pozitif operatörler dizisii pozitif yarı eksede sürekli foksiyolara yaklaşım özelliklerii icelediği çalışmalarda yaklaşım teoremleri ya [O, 00) u bir solu alt aralığıda veya oktasal olarak verilmektedir (Altomare ve Campiti (1994)). Lesiewicz ve Rempulska (1997) tarafıda Szasz tipi operatörleri yaklaşım özellikleri üstel ağırlıklı uzaylarda araştırılmış ve yaklaşım teoremi uzayı ormuda değil sup ormda verilmiş yaklaşım hızı ise oktasalolarak bulumuştur. Walzack (000) geelleştirilmiş Szasz operatörler ile [0,00) x [0,00) da sürekli foksiyolara ağırlıklı yaklaşım teoremlerii Lesiewicz ve Rempulska'ı (1997) çalışmasıa bezer olarak elde etmiştir. Her iki çalışmaı da ilham kayağı Becker, Kucharski ve Nessel'i (1978) S(1) -x ~ (x)k 1 (k) N,x =e ~lk)! ~,E,X;::O olarak taımlaa Szasz operatörleri ile ilgili çalışması Bu çalışmaı amacı, pozitif yarı eksei tamamıda (1) ile taımlaa Szasz tipi operatörler yardımıile sürekli foksiyolara ağırlıklı yaklaşım ve yaklaşım hızı üzerie teoremler vermektir. 1Gazi Üiversitesi, Fe Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 06500 Beşevler Akara E-posta: ispir@gazi.edu.tr Ge1İ : 01 Şubat 00; Düzeltme: 04 Kasım 00; Kabul: 0 Aralık 00.
4 Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 3 (3). AGIRLlKLI UZAYLARDA YAKINSAKLIK VE YAKLAŞıM HIZI Burada ilk olarak, poliom ağırlıklı uzaylarda (1) operatörüü [0,00) da sürekli foksiyolara yakısaklık koşulları verilecektir. Buu içi Gadzhiev'i ((1974), (1976)) ağırlıklı uzaylarda verdiği Korovki tipi teorem kullaılacaktır. Teorem A (Gadzhiev (1974), (1976)). rp(x), x i sürekli ve arta bir foksiyou ve M i sadece i ye bağlı bir sabit olmak üzere Ep li(x)1 ::; Mı p(x),,p(x) = 1+rp (x), -00 < x < 00, koşuluu sağlaya foksiyoları sııfı olsu. Ep üzerideki orm Ili(x)llp = sup ı~~~u) ile verilsi. R c., R (reel xe sayılar kümesi) de sürekli ola i E Ep foksiyolarıı sııfıı ve C;, xeııoo ~f:? = k (k, i ye bağlı bir sabit) koşuluu sağlayai E C p foksiyolarıı sııfıı göstersi. Cp da Ep döüşüm yapa pozitif lieer operatörleri öyle bir {T} dizisi buluabilir ki bu T ler içi koşuları sağlaır ve bu durumda her i E C; içi lim IIT(j, x) - i(x)llp = --+oo Fakat öyle bir f* E C p /C; vardır ki lim IIT(j*, x) - f*(x)llp ~ 1 --+oo dir. Teorem A ı bir soucu olarak aşağıdaki teorem verilmiştir. Teorem B (Gadjiev vd (1998)). {a}, lim a = --+oo 00 olacak biçimdeki pozitif sayıları bir dizisi olsu. Cp da Ep ya taımlı {T} pozitif lieer operatörler dizisi içi eğer lim IIT(rpv, x) - rpv(x)ll p [o a J = 0, ı/ = 0,1, -too ', koşulları gerçekleiyorsa bu durumda her i E C; foksiyou içi Ep [0,00); i, [0,00) da taımlı ve li(x)/ ::; Mı p(x), x E [0,00) koşuluu sağlaya foksiyoları uzayıı göstersi. Burada p ağırlık Mı, i ye bağlı bir sabiti göstermektedir. foksiyou p(x) = 1 + x olup C p [0,00), [0,00) da sürekli ola bütü i E Ep [0,00) foksiyolarıı alt uzayıı ve C;' [0,00), lim i((x)) = ki < 00 koşuluu x--+oo p x sağlaya bütü i E C p [0,00) foksiyolarıı alt uzayıı göstersi. Bu uzaylar her i E C p [0,00) içi li(x)1 Ilillp, [0,00) = sup p(x) xe[o,oo) ağırlıklı ormu ile birer ormlu uzay Teorem ı. {L }, (1) ile verile operatörleri bir dizisi olsu. L : Cp [0,00) -+ Ep [0,00) lieer pozitif operatörleri bii dizisi olup eğer ı/ = 0,1, içi lim IILW,x) - xvll p [O 00) = --+oo 1, ise bu durumda her i E C;' [0,00) içi Kaıt. L operatörüü lieer pozitif operatör olduğu açıktır. Operatörü taımı kullaılarak L(t,X) = x +::. tahx, x E [0,00), E N (4) olduğu 1, x tah x, görülebilir. p(x) = 1 + x, x E [0,00) içi -ı 00 (x)k (k) L(p, x) (chx) {; (k)! p --;: () (3) Burada -1 00 (x)k ( (k)) (chx) (; (k)! 1 + --;: Ilillp,[O,a ] = sup li(x)1 p(x) xe[o,a ] dir (Gadzhiev vd, 1998). Teorem B dikkate alıarak Teorem A da R yerie [0,00) alıması halide aşağıdaki taımları ve yaklaşım teoremii verebiliriz. olup L(l,x) + L(t,x) < p(x)
Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Techology, 3 (3) 43 ifadeside dolayı t.; ep [0,00) da Ep [O, 00) uzayıa döüşüm yapar. Diğer tarafta, () eşitliği dikkate alıdığıda ı/ = içi J~~ IIL (1, x) - 11I p,[0,00) = olduğu açıktır. Ayı zamada (3) eşitliğide IL(t,x) - z] Ix(1 - tahrıx)1 sup xe(o,oo) 1 + x < sup - xe[o,oo) 1 + x x + sup -- xe(o,oo) 1 + x olup r E N, rı E N, x ~ olmak üzere eşitsizliği kullaılarak lim IIL(t, x) - z]ip [O 00) = -too ' 1 elde edilir. Bezer şekilde (4) eşitliği ve (5) eşitsizliği yardımı ile buluur. Dolayısıyla cp(x) = x olmak üzere Teorem A ı hipotezleri gerçeklemiş olduğuda her f E e;ı [0,00) içi 3.Bir m doğal sayısı içi olup herhagi A > içi (6) Şimdi L operaörleri ile f E e;ı [0,00) foksiyoları içi yaklaşım hızı ile ilgili aşağıdaki teoremi verelim. Teorem. f E e;ı [0,00) ve yeterice büyük rı içi IL(j, x) - f(x)1 < Kiıt] -ı/) sup () H,rı xe[o,oo) 1 + x - olup burada K, rı de bağımsız bir sabittir. (7) Kaıt. (j, <5) ağırlıklı süreklilik modülüü taımı kullaılarakher f E e;ı [0,00) ve x,t E [0,00) içi If(t) - f(x)1 ::; (1 + x )(1 + (t - x))(j; it - xi) ve (6) da If(t) f(x)l:::; 4 (It;xi + l) su], ")(l + x )( ı + (t - x)) (8) yazılabilir. (8) eşitsizliği göz öüe alıarak L pozitif lieer operatörü içi soucu elde edilir. Şimdi {L } operatörler dizisii yaklaşım hızıı vermek içi [0,00) da bir ağırlıklı süreklilik modülü taımlamak istiyoruz. Bilie w(j, <5) ı. süreklilik modülü <5 -+ ike aralıklarda ve sosuz aralıkta sıfıra gitmez. Bu açık özelliği gerçekleyecek biçimde bir (j; <5) ağırlıklı süreklilik modülüü her f E e;ı [0,00) içi (j' <5) - sup If(x + h) - f(x)1, - Ihl:So, xe[o,oo) (1 + h ) (1 + x ) olarak taımlayalım. ı. süreklilik modülü içi bildiğimiz özellikler bazı farklılıklarla (j; <5) içi sağlaır: Lemma (Gadzhiev ve İspir (1999)). f E e;ı [0,00) ve (j; <5) yukarıda taımlaa ağırlıklı süreklilik modülü olsu. Bu durumda, 1. (j; <5), <5 ya göre pozitiftir ve mooto arta foksiyodur.. Her fe e;ı [0,00) içi, lim(j;<5) = o-to elde edilir. Bu ifadeyi IL(J, x) - f(x)1 :::; 4(J; ")(1+x )(Aı +A+Aa+A4) (9) biçimide yazalım. Burada -ı 00 (rıx )k A ı = (chrıx) L (k)! = 1 olduğu açıktır. A ifadesi yazılıp Cauchy-Schwartz eşitsizliği uygulaırsa < (chrıx)-ı f (rıx)k 1 k _ xi <5 (k)! rı 1 -ı 00 (rıx)k k ( ) <5 (chrıx) t; (k)! (~- x) ı/
44 Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 3 (3) buluur. Diğer tarafta dir. (9) ifadeside bu değerler yerie yazılırsa ( 3X) x L ( (t - X),X) = x - -:;;: (1 - tahx) +;;: ve her E N, x E [0,00) içi IL(f,x)-f(x)1 < 4(fj8)(ı+x ) ı +.ı /3(x + ı) [ s; V 6(x+ı) 47 (x +x+ı)] u + + ;: olduğuda (Lesiewicz ve Rempulska (1997)), A içi elde edilir. Ayı zamada olup yazılır. < 1( x + 1) 1/ A < - 3-- - Ö -1 00 (x)k (k ) A 3 = (chx) := (k)! -:;;: - x A3< 3- x + 1 - (chx)-ı f (x)k 1 k _ xi (k _ x) 8 (k)! ( h r ' '" (x)k i~ - xi (k _ ) C x L (k)! 8 x 1~-xl<J ( h ) - ı '" (x)k 1 : xi ( _ x) + c x L (k)! -'--'-"---:c 8 - --' k 1~-xl~J - ı ~ (x?k (k _ ) ( h ) C x L (k)! x (chx)-ı ~ (x)k (k _ )4 + 8~ L (k)! x dir. L operatörüü taımı dikkate alıarak ve bir dizi hesaplamalarla 8x 4 (ı - tah x) ı 3 +-x (ı - tahx) 4 +-x (ı - tahx) x 3x x --+-+ 3 olduğu gösterilebilir. (5) eşitsizliği kullaılarak her E N ve x E [0,00) içi elde edilir. Burada Ö = - 1 / alıırsa IL(f, x) - f(x)1 < 4(ı + x )(f; - ı / ) [1+ V3(x + 1) + 6(x + 1) +47(x + x + 1)] olup yeterice büyük ler içi (7) soucua ulaşılır. Böylece ispat tamamlaır. KAYNAKÇA Altomare, F. ad Campiti M. (ı994). Koroıiki-tsjpe Ap. proximatio Theory ad its Applicatios. Walter de Gruyter, Berli, New York. Becker, M., Kucharski, D. ad Nessel, R.J. (1978). Global approximatio theorems for Szasz-Mirakja operators i expoetial weight spaces. Liear Spaces ad Approximatio. (Proc. Cof. Oberuiolfach, 1977). Birkhauser Verlag, Basel, ISNM 40, 319-333. Gadjiev, A.D. (1974). The covergece problem for a sequece of positive liear operators o ubouded sets, ad theorems aalogous to that of P.P.Korovki. Dokl.Akad.Nauk SSSR, 18(5), 1001-1004 (I Russia). Soviet Math.Dokl. 15(5), ı433-1436 (I Eglish). Gadzhiev, A.D. (1976). O P.P.Korovki type theorems. Math.Zametki 0(5),781-786 (I Russia). Eglish traslated i Math. Notes 0(5-6), 996-998. Gadjiev A.D., Efediev,İ. ve İbikli, E. (1998). Geeralized Berstei-Cholodowsky poloomials. Rocky Mt. Jour. Math. 8(4), 167-177. Gadzhiev, A.D. ad İspir, N. (1999). O a Sequece of Liear Positive Operators i Weighted Spaces. Proc. Ist. Math. Mech. XI, 45-56. Lesiewicz, M. ad Rempulska, L. (1997). Approximatio by some operators of the Szasz-Mirakja type i expoetial weight spaces. Glasik Math. 35(5), 57-69. Wa1czak, Z. (000). O certai modified Szasz-Mirakja operators for fuctios of two variables. Demoııstratio Math. XXXIII(l), 91-100. L((t _ x)4,x) :::; 47(x + x + 1) buluur. Bu so eşitsizlik ve A 3 eşitsizliği gözöüe alıdığıda A 3 X + 1 47 (x + x + 1) 4 < -- + - -'-------'- - Ö~
Aadolu Uiversity Joural of 8ciece ad Techology, 3 (3) 45 Nurhayat İspİR öğretim üyesidir. 198 yılıda Akara Üiversitesi, Fe Fakültesi, Matematik Bölümü'de mezu oldu. 1984 yılıda yüksek lisasıı, 1989 yılıda doktorasıı tamamladı. Hale Gazi Üiversitesi, Fe-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü'de