BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ Bölüm de, doğrusal regresyo tek değişkeli basit model olarak ele alıarak açıklamıştı. Bölüm 4 de ise çok değişkeli (k değişkeli) model içi giriş yapılacaktır. Çok değişkeli modelde değişke sayısıa paralel olarak tahmilemesi gereke parametre sayısı da artmaktadır. Buu soucu olarak işlemler içi bazı hesaplama zorlukları ortaya çıkmaktadır. İşte bu hesaplama zorluklarıı giderebilmek amacı ile kitabı bu bölümüde itibare matris ve vektör işlemleri kullaılacaktır. Doğal olarak regresyo aalizide kullaılacak ola bu matris ve vektör işlemlerii taıtılması faydalı olacaktır. Kitabı bu bölümüü amacı temel doğrusal cebir koularıı sadece regresyo kapsamıda ele almaktır. Ayrca Bölüm 5 de verilecek ola regresyo geometrisi kısmıa temel oluşturmak üzere bu kısımda vektör geometrisi iceleecektir. Bu edele temel teoremleri bazıları ispatsız olarak verilecektir. Bu kitapta matrisler büyük koyu harf ile vektörler ise küçük koyu harf ile gösterilecektir. 3. VEKTÖRLER Bir boyutlu öklit (Euclidea) uzayıdaki gerçel sayılar kümesi uzayı m ise her biri bir m ile taımlaır. m ile gösterilir. m-boyutlu öklit kümesii taımlaya m adet kümei kartezye (Catesia) çarpımı, uzayıdaki bir elema x x x m bir vektör olarak adladırılır. Bu vektördeki xi değerleri vektörü elemaları m ise vektörü boyutu olarak adladırılır. Diğer bir ifade ile m elemalı bir vektör düzelemiş m adet gerçel sayıda oluşmuştur. Derecesi m= ola vektörler skaler olarak adladırılırlar. Bular geellikle bir boyutlu değişkelerdir. Taım 3. Uzuluk, ala, hacim, yoğuluk, kütle gibi cebirsel değerlere skaler büyüklük deir. Taım 3. Hareket, hız, kuvvet gibi hem yöü hem büyüklüğü ola değerlerlere vektörel büyüklük deir. Vektör aalizi hem cebirsel hem de geometrik olarak uygulaabilir. Her iki bakış açısı da öemlidir. Eğer xi elemaı belirli bir ülkedeki belirli bir yılda i-ici ailei gelirii ifade ediyorsa x vektörüü m uzayıdaki bir okta olarak düşümek oldukça matıklıdır. Buula birlikte kuvvet ve ivme gibi değerler ele alıdığıda her ikisii de hem büyüklük hem de yö değerlerie sahip olduğu görülebilir. Bu değerleri orijide yayıla oklarla ifade etmek e uygu yoldur. İlk bakış açısı cebirsel ikicisi ise geometriktir. 59
3.. Vektör İşlemleri Vektörlere uygulaa iki temel işlem, vektörel toplama ve skaler çarpımdır. Ayı boyuta sahip x ve y gibi iki vektörü toplamı x+y olup ayı boyutlu bir vektörü, x y x y x y m m (3.) taımlar. Bir x vektörüü bir skaleri ile çarpımı, x x x m (3.) olup x çarpımı da ayı soucu verir. Bu cebirsel taımları geometrik gösterimi Şekil 3. ve Şekil 3.4 de verilmiştir. İki vektörü toplamı x+y, vektörler ile orijii taımladığı paralel kearı köşegei olarak elde edilir. İki elemalı bir vektör, 3 x şeklide taımlaabilir. Bu vektör Şekil (3.) de olduğu gibi yölü bir doğru parçası ile gösterilebilir. Doğru parçası, orjide başlayıp, (3,) oktasıda biter. Ok ise vektörü yöüü belirtir. Bir başka y vektörü ise, y şeklide verilebilir. Bu iki vektör geometrik olarak aşağıda belirtildiği şekilde toplaabilir: İki vektörde herhagi biri orji dikkate alıarak çizilir (şekilde ilk çizile x vektörüdür). Daha sora diğer vektör ilk vektörü bitim koordiatıda itibare (bu bitim oktası ikici vektör içi orji olarak kabul edilebilir) çizilir. Şekilde varıla okta p dir. İlk vektörü başlagıç oktası ile bu p oktasıı birleştire doğru parçası x+y vektörüü verir. Elde edile bu vektörü koordiatları (4,3) dür. x+y vektörü x ve y vektörlerii geometrik olarak toplaması ile elde edilir. Eğer bu iki vektör cebirsel olarak toplaırsa, 3 4 x y 3 soucu elde edilir. Görüldüğü gibi hem geometrik hem de cebirsel olarak tamame ayı souçlar elde edilmiştir. Şekilde görüldüğü gibi ilk olarak y vektörü çizilseydi de ayı oktaya (p ye) varılacak ve souç değişmeyecekti. Vektörel çıkarma ise Şekil 3. ve 3.3 de gösterilmiştir. 60
Şekil 3. Vektörel toplama işlemi Şekil 3. Vektörel çıkarma Şekil 3.3 de (x+y) vektörel toplamıı, x ve y vektörleride oluşturulmuş paralel kearı bir köşegei, (x-y) farkıı ise paralel kearı diğer bir köşegei olduğu görülmektedir. Şekil 3.3 Vektörel toplama ve çıkarmaı karşılaştırılması: Toplama x okuu takip ede y okuu ucuu x i başlagıcı ile birleştire köşegedir. Çıkarma ise y oktasıda x oktasıa oluşturula köşege ile taımlaır. 6
Vektörü skaler ile çarpımıda vektördeki her bir elema skaleri ile çarpılır ve büyüklükler değişir. Eğer >0 ise yö ayı kalır, <0 ise vektör zıt yödedir. Eğer her hagi bir skaleri içi y= x ise ya da y=0 veya x=0 ise x ve y vektörleri arasıda doğrusal bağlatı (colliear) vardır. Şimdi bir vektörü bir skalerle çarpımı ele alısı. Bu duruma bir örek olarak x vektörü ile çarpılmış ve 3 6 x soucu elde edilmiştir. Elde edile bu vektörü yöü x vektörü ile tamame ayıdır. Aradaki fark ise elde edile vektörü uzuluğuu x vektörüü iki katı olmasıdır. Bu skaler egatif bir sayıda olabilir. 3 3 x Elde edile bu iki vektör orjial x vektörü ile birlikte Şekil 3.4 de gösterilmiştir. Şekilde görüldüğü gibi bu üç vektörü hepside orjide geçe bir tek doğru parçası üzeridedir ve bu doğru parçası da x vektörü ile taımlamıştır. Şekil 3.4 Bir vektörü skalerle çarpımı Teorem 3. u, v ve w uzayıdaki vektörler ve α skaler olmak üzere vektörel toplama ve skaler çarpım aşağıdaki özelliklere sahiptir:. u+v vektörü de uzayıdadır, (toplama işlemie göre kapalılık).. u+v=v+u (değişme özelliği). 3. (u+v)+w=u+(v+w) (birleşme özelliği). 4. u+0=u (toplamada birim elema). 5. v+(-v)=0 (toplamada ters elema). 6. u vektörü de uzayıdadır, (skaler çarpım işlemie göre kapalılık). 7. (u+v)= u+ v (dağılma özelliği). 6
8. ( +α)u= u+ αu (dağılma özelliği). 9. (αu)=( α)u (birleşme özelliği) 0. (u)=u (skaler çarpım işlemide birim elema). Teoremde görüldüğü gibi uzayıdaki 0 vektörü uzayıdaki toplama işlemii birim elemaıdır. Bezer şekilde v vektörü, v vektörü içi, toplama işlemii ters elemaıdır. Teorem 3. uzayıdaki bir vektör v ve skaler olmak üzere vektörel toplama ile skaler çarpım işlemiii birim ve ters elemaları aşağıdaki özelliklere sahiptir:. Toplama işlemie göre birim elema eşsizdir, eğer v+u=v ise u=0.. Toplama işlemie göre ters elema eşsizdir, eğer v+u=0 ise u=-v. 3. 0v=0. 4. 0=0. 5. Eğer v=0 ise =0 ya da v=0. 6. (-v)=v. Vektörleri basit cebirsel işlemleri ve bu işlemleri geometrik yorumları Tablo 3. de verilmiştir. Tablo 3. Vektörleri cebirsel ve geometrik karşılaştırılması Cebirsel işlem Geometrik Yorumu Pozitif bir skalerle çarpım (3,)=(6,) Uzuluk değişir. (Şekil 3.4) Negatif bir skalerle çarpım -(3,)=(-3,-) Yö değişir. (Şekil3.4) Toplam (3,)+(,)=(4,3) Çıkarma (3,)-(,)=(,-) x ve y okları birbirii takip edecek şekilde ekleir. Oluşturula paralel kearı köşegei toplam vektörü belirtir.(şekil 3.) x +(-y) toplamıa eşittir. Oluşturula paralel kearı diğer köşegei fark vektörüü belirtir. (Şekil 3. ve 3.3) Bu verileler dikkate alıarak bir vektör uzayıı taımı yapılabilir. 3.. Vektör Uzayı Matris teorisi cebirsel ya da geometrik olarak iceleebilir. Her iki bakış açısı da ayı derecede öemlidir. Vektör uzayıı icelemesi geometrik bir bakış açısı kazaabilmek içi gereklidir. Taım 3.3 İkili işlem, vektörel toplama ve skaler çarpım, üzeride taımlamış bir küme olsu. Eğer Teorem 3. deki aksiyomlar kümesideki her u, v ve w vektörleri içi ve her ve skalerleri içi sağlaıyor ise kümesi bir vektör uzayı olarak adladırılır. Taımda da alaşılacağı gibi bir vektör uzayı dört elemada oluşmaktadır: bir vektörler kümesi, bir skalerler kümesi ve bu iki küme üzerie taımlaa iki işlem. Bu özelliklerde görüldüğü gibi toplama ve bir skalerle çarpma işlemleri soucuda elde edile vektör yie ayı vektör uzayıdadır. 63
Taım 3.4 Bir vektör uzayıı alt kümesi, eğer kedisi de uzayıda taımlaa vektörel toplama ve skaler çarpım işlemie göre vektör uzayı ise uzayıı alt uzayı olarak adladırılır. Bir kümesii vektör uzayıı oluşturabilmesi içi Teorem 3. ile taımlaa aksiyomları hepsii doğrulaması gerekmektedir. Buula birlikte uzayıı alt kümesi ise ve kümesi eğer daha büyük bir vektör kümesi üzerie taımlaa işlemler kümesi üzerie taımlaa işlemler ile ayı ise bu o aksiyomu büyük bir kısmı daha büyük uzay tarafıda garati altıa alıdığı içi kümesii bir alt uzay olabilmesi içi sadece aşağıda verile teoremdeki kapalılık ile ilgili aksiyomları sağlaması yeterli olacaktır. Teorem 3.3 Eğer bir vektör uzayıı boş olmaya alt kümesi ise kümesii uzayıı bir alt uzayı olabilmesi acak ve acak aşağıdaki iki aksiyomu sağlamasıı gerektirir: kümeside ise u+v vektörü de kümesidedir.. Eğer u vektörü kümeside ise ve bir skaler ise u vektörü de kümesidedir. Eğer bir vektör uzayıı alt uzayı ise hem hem de ayı 0 vektörüe sahip. Eğer u ve v vektörleri olmalıdırlar. Bir vektör uzayıı bir alt uzayıı kedisi de bir vektör uzayı olduğuda sıfır vektörüü içermelidir. Bir vektör uzayıı e basit alt uzayı sadece sıfır vektörüde, 0 oluşur. Bu alt uzayı sıfır (trivial) alt uzayı olarak adladırılır. vektör uzayıı bir diğer özel alt uzayı kedisidir. Her vektör uzayı bu iki özel alt uzaya sahiptir. Bu özel durumları haricideki diğer alt uzaylar uygu (proper, otrivial) alt uzaylar olarak adladırılır. Taım 3.5 Bir vektör uzayıdaki v vektörüü doğrusal kombiasyou, vektör uzayıdaki x, x,, x vektörlerii, v= x+ x+ + x yapısı ile taımlaa bir toplamıdır. Vektörleri toplaması ve bir skalerle çarpılması işlemlerii birlikte ele alıması soucuda x ve x vektörlerii doğrusal kombiasyou ola herhagi bir iki elemalı vektör elde edilebilir. Elde edile bu y vektörü, y x x şeklide ifade edilebilir. Bu eşitlikteki λ ve λ skalerleri temsil etmektedir. Eğer y vektörü, 4 y 0 şeklide taımlamış ise bu vektör x ve x vektörlerii doğrusal bir kombiasyou olarak, 64
y 4 5 5 3 ifade edilebilir. Bu eşitlikte λ=/5 ve λ=-4/5 dir. Bu değerler aşağıdaki şekilde, deklem çiftii eşalı olarak çözülmesi ile elde edilebilir. 4 3 0 3 Bir başka örek içi y vektörü, 6 y 3 olarak verilmiş olsu. Bu durumda x ve x vektörlerii doğrusal bir kombiasyou olarak, y 3 0 3 şeklide ifade edilebilir. Bu eşitlikte λ=3 ve λ=0 dır. Bu örekler daha da arttırılabilir. Taım 3.6 Bir vektör uzayıı alt kümesi S v, v,, v olsu. Eğer uzayıdaki her bir vektör S kümesideki vektörleri doğrusal kombiasyou olarak yazılabiliyor ise S kümesie uzayıı türete (spaed) kümesi adı verilir. Örek 3. S,0,0, 0,,0, 0,0, kümesi, 3 vektör uzayıdaki her hagi bir vektör u u, u, u3, u u,0,0 u 0,,0 u3 0,0, u u, u, u3 şeklide yazılabildiği içi S kümesi Teorem 3.4 Eğer bir türete S kümesi 3 uzayıı türete kümesidir. vektör uzayıdaki vektörler kümesi S v, v,, v ise bu uzayı vektör uzayıı bir alt uzayıdır. Türete S kümesii de içere vektör uzayıı e küçük alt uzayı S kümesi olup uzayıı tüm diğer alt uzayları türete S kümesii de içermek zorudadır. Teorem 3.5 Solu sayıdaki x, x,, x ( ) vektörler kümesi içi, x+ x+ + x=0 eşitliğii sağlaya ve hepsi sıfır olmaya (e az biri sıfırda farklı),, skalerleri mevcut ise vektörler doğrusal bağımlı aksi durumda doğrusal bağımsızdırlar. Teorem 3.6 Bir S v, v,, v kümesi acak ve acak vj vektörleride e az bir taesi S kümesideki diğer vektörleri doğrusal bir kombiasyou olarak yazılabiliyor ise doğrusal bağımlıdır. 65
Souç 3.6. Bir vektör uzayıdaki iki vektör u ve v acak ve acak bir vektör diğerii skalerle çarpımı, u= v olarak ifade edilebilitor ise doğrusal bağımlıdır. Taım 3.7 Bir vektör uzayıdaki S v, v,, v vektörler kümesi, eğer V vektör uzayıı türetiyorsa, S kümesi doğrusal bağımsız ise, vektör uzayıı bazıdır. Bu taım her vektör uzayıı solu sayıda vektörde oluşa bir baza sahip olduğuu belirtmez. Birim vektörlerde oluşa bir S e, e,, e kümesi içi stadart baz olarak adladırılır. Teorem 3.7 Eğer S v, v,, v bir vektör uzayı içi baz oluştura vektör kümesi ise vektör uzayıdaki her vektör S kümesideki vektörleri bir ve yalız bir doğrusal kombiasyou ile yazılabilir. İspat: vektör uzayı S kümesi tarafıda türetildiğide vektör uzayıdaki her hagi bir u vektörü u c v c v c v ile ifade edilebilir. u vektörüü bir diğer doğrusal kombiasyouu u b v b v b v olduğu varsayılsı. İkici ifade ilk kombiasyoda çıkarılarak, u u c b v c b v c b v 0 buluur. S kümesideki vektörler doğrusal bağımsız olduklarıda bu deklem içi elde edilebilecek tek çözüm, c b 0,, c b 0 sıfır çözümüdür. Diğer bir deyişle tüm i=,, içi bi=ci olup u vektörü verile S baz kümesi içi tek bir şekilde temsil edilebilir. Teorem 3.8 Eğer S v, v,, v bir vektör uzayı içi baz oluştura vektör kümesi ise vektör uzayıdaki adet vektörde daha fazlasıı içere her küme doğrusal bağımlıdır. Taım 3.8 Eğer bir vektör uzayı adet vektörde oluşa baza sahip ise sayısı vektör uzayıı boyutu olarak adladırılır. Bir vektör uzayı eğer adet doğrusal bağımsız vektör içeriyor ise bu uzaydaki her hagi + adet vektör doğrusal bağımlıdır. Bu durumda vektör uzayıı boyutu olarak belirleir. Eğer bir vektör uzayı solu sayıda adet x, x,, x doğrusal bağımsız vektör kümesi içeriyorsa ve her hagi + adet vektörü taımladığı küme doğrusal bağımlı ise örek uzayıı boyutu olarak belirleir. Bu vektör uzayı adet vektörde daha azı ile türetilemez ve doğrusal bağımsız vektör sayısı adette daha fazla olamaz. 66
Şekil 3.5 uzayıdaki sıfırda farklı iki vektörü x ve x göstermektedir. Bu vektörler bir diğeri ile oratısal bir ilişkiye sahip olmadıkları içi doğrusal bağımsızdırlar. Pozitif bölgedeki taralı ala, x ve x vektörleri tarafıda türetilmiştir. Bu bölge, x ve x vektörleri sadece λ ve λ gibi pozitif skalerler ile çarpıldıkta sora λx+λx olarak elde edilebilirler. Vektörler egatif skalerler ile çarpıldığıda egatif bölgedeki taralı ala ortaya çıkar. uzayıdaki bir diğer okta ola x-x vektörleri doğrusal kombiasyou ile buluabilir. Doğrusal bağımsız her hagi x ve x gibi vektör çifti uzayıı türetir. Şekil 3.5 x ve y vektörleri ile türetile Daha geel olarak her hagi doğrusal bağımsız vektör kümesi x, x,, x uzayıı türetir. Öreği Şekil 3.5 de verile x ve x vektörlerii taımladığı oktalar Şekil 3.6 da tekrar ele alısı bu oktalar oriji ile ilişkili tüm düzlemi türetmekle birlikte 3 uzayıı tümüü türetemezler. 67
Şekil 3.6 x ve y vektörleri ile türetile düzlem Bazı öemli vektör uzayları aşağıda verilmiştir: ikilileri kümesi,, 3 uzayıı bir alt uzayıdır. tüm gerçel sayılar kümesi, tüm elemalı gerçel sayılar kümesi, m tüm gerçel sayı tüm m boyutlu matrisler kümesi. Bir boyutlu uzay ile belirtilsi. Sabit bir x vektörüü mümkü olabilecek tüm skalerleriyle çarpılması soucu orijile x doğrultusuda bir düz doğru oluştuğu Şekil 3.7 de görülmektedir. Her bir x vektörü ok veya okta ile ifade edilebilir. Yukarıdaki açıklama L: x (3.4) ifadesiyle özetleebilir. Şekil 3.7 x vektörü ile oluşturula L doğrusu 68
Şekil 3.8 da boyut sayısı bir arttırılmıştır ve iki farklı rekte ok başı kullaılmıştır. Düzlem içide bulua ok başları beyaz olup, düzlem dışıdaki siyahtır. Üç boyutlu uzayda iki adet sabitlemiş vektörü oluşturduğu oktalar seti Şekil 3.8 da gösterilmektedir:, P: x+ x (3.5a) P ifadesi x ve x i tüm mümkü doğrusal kombiasyolarıı seti olarak adladırılır ve x, x vektörleri ile oriji arasıda kala düzlemi belirtir. Geometrik olarak, x ve x i uygu doğrusal kombiasyoları dikkate alıarak P düzlemide herhagi bir okta oluşturabileceği görülmektedir. Uygu doğrusal kombiasyo ile açıklamak istee ve i eşitlik (3.5a) ya uygu olarak seçilmiş olmasıdır. Bu koşula uyulması durumuda elde edile okta, P düzlemii altıda ya da üstüde olmayacaktır. Aşağıda ve skalerlerii asıl belirleebileceği açıklamıştır. Şekil 3.8 x ve x vektörleri ile oluşturulabile P düzlemi. P= x+ x olup ve değerlerie bağlı olarak düzlem sıırsız bir şekilde geişletilir. İki boyutlu uzay ile belirtilsi. Bu vektör uzayı tüm iki elemalı gerçel vektörlerde oluşur. Bu uzaydaki herhagi bir vektörü x ve x vektörlerii doğrusal kombiasyou olarak ifade edilebileceği açıktır. Buula birlikte x ve x vektörleri keyfi olarak seçilmişti. Bu edele aşağıdaki iki boyutlu birim vektör çifti ele alısı, e 0 0 e deki herhagi bir c vektörü de bu vektörleri doğrusal bir kombiasyou olarak ifade edilebilir. Bu durum içi λ değerlerii belirlemesi basittir. Daha öce verile iki örek içi, 0 4 0 40 0, 4 ve 0 0 6 3 60 3, 6 ve 3 şeklide λ ve λ değerleri buluabilir. Görüldüğü gibi elde edile bu değerler x vektörlerii elemalarıdır. 69
Bu öreklerdeki vektör çiftlerii herbiri (x,x ve e, e) iki boyutlu uzay içi uygu bir baz teşkil edebilir. Bu souca göre bir bazı bezersiz (eşsiz) olmadığı söyleebilir. Herhagi iki vektörü de uygu bir baz olabilmesi içi oları farklı yölerde olması gereklidir. Eğer x ve x ayı yöde ise Şekil 3.4 de gösterildiği gibi bir vektör bir skalerle çarpılarak diğer vektöre döüştürülebilir ve daha sora bu vektörü çarpımları x ve x vektörlerii doğrusal bir kombiasyou olarak ifade edilebilir. Farklı yölerdeki bu baz vektörler, doğrusal bağımsız vektörler olarak ifade edilebilecektir. x ve x vektörleri eğer sadece, x+ x=0 (3.5b) eşitliğii λ=λ=0 içi sağlıyorsa doğrusal bağımsızdırlar. Eğer λi içi sıfırda farklı bir tek değer bile buluabiliyorsa bu vektörler doğrusal bağımlıdır. x ve x vektörleri, x 6 x 3 şeklide taımlaırsa, bu iki vektörü ayı yöde farklı uzulukta olduğu görülebilir. Bu durumda 3x-x doğrusal kombiasyou sıfır değerii verecektir. Buula birlikte aşağıda verile x ve x vektörleri, x x 3 içi λx+λx=0 eşitliğii sağlaya sıfırda farklı λ ve λ değerleri bulmak imkasızdır. Bu vektörler içi birici elemaı sıfıra idirgeyecek λ ve λ çifti buluabilir, öreği, λ= ve λ=- gibi. Fakat bu λ çifti ikici elemaları asla sıfıra idirgeyemeyecektir. Bu taıma göre içi bir baz vektör çifti, birbiride bağımsız herhagi iki elemalı vektör olarak taımlaabilir. İki boyutlu vektör geometriside görüleceği üzere, verile bir baza göre belirtile bir vektörü eşsiz olarak temsil edilebilmesi içi y x x eşitliğii bir ve yalız bir adet λ, λ çiftii sağlaması gerekmektedir. de x ve x i baz vektörler olarak verilmesi durumuda bu uzaydaki herhagi bir y vektörüü bu baz vektörleri eşsiz bir doğrusal kombiasyou olarak ifade edilebileceği belirtilmişti. Bua göre x, xve y vektörleri doğrusal bağımlıdır. Çükü, x x y 0 deklemide sıfırda farklı bir λ (y i katsayısı olduğu içi) değeri mevcuttur. Bu durumda de geişletilmiş x, x ve y vektör setie göre ifade edilebilecek herhagi bir v vektörüü mevcut olup olmadığı sorulabilir. Bu soruya verilecek yaıt şüphesiz evettir, fakat katsayılar eşsiz olmayacaktır. Öreği; x, x ve y vektörleri, 70
x x 3 y şeklide verilmiş ise x, xve y i doğrusal bir kombiasyou olarak, 6 v 8 vektörü elde edilebilir. Bu kombiasyo, v x x 0y şeklidedir. Fakat v içi (6,8) değerii verebilecek pek çok λ değerleri mevcuttur. Geel doğrusal kombiasyo, v x x 3y yeide düzeleerek, v 3y x x şeklide de yazılabilir. Daha sora da λ3 içi herhagi bir keyfi değer ataarak sol taraf belirli iki elemalı bir vektör halie getirilir ve bu vektör x ve x i doğrusal bir kombiasyou şeklide ifade edilebilir. x, xve y i oluşturduğu bu tür vektör setleri, daha öce belirtildiği gibi zicir (spa) ya da türete seti olarak adladırılır. Tam bir üç boyutlu uzay oluşturmak içi diğerleride bağımsız olarak belirtilebilecek üçücü bir vektöre ihtiyaç vardır. Bu edele P düzlemii dışıa çıkılır. Buu soucu olarak bu üç boyutlu uzaydaki oktalar setii bütüü T: x+ x+ 3x3,, 3 (3.6) ifadesiyle oluşturulabilir. Bu ifade üç boyutlu uzayda x, x ve x3 oluşumu (veya ziciri) olarak belirtilir. Başka bir deyişle x, x ve x3 bu üç boyutlu uzayı temelii oluşturmaktadır. Elemaları gerçel sayı ola üç elemalı bir vektör üç boyutlu uzayda bir okta taımlar. Üç boyutlu uzay 3 ile taımlaır ve bu uzaydaki herhagi bir v vektörü üç doğrusal bağımsız vektörü uygu bir setii eşsiz doğrusal kombiasyou olarak ifade edilebilir. Bu üç vektör 3 içi bir baz oluşturur. Bu bazı oluştura vektörler, e 0 0 0 e 0 0 e3 0 şeklide seçildikleride bir vt 3 5 vektörü, v 3e e 5e3 eşitliği ile verilebilir. Bu vektörlerde herhagi iki taesi (öreği e, e) ele alıdığıda buları tüm doğrusal kombiasyoları 3 uzayıda bir alt vektör uzayı oluşturur. Buu edei herbir zicir vektörüde üçücü bileşei sıfır olmasıdır. Öreği; 7
x 3 5 x şeklide üç elemalı iki vektör ele alıdığıda bu vektörler Şekil 3.9 da görüldüğü gibi bir düzlem yüzeyi oluştururlar. Şekilde bu düzlem xox ile belirtilmiştir. Şekil 3.9 Eşitlik (3.6), boyutlu uzay içi geelleştirilebilir. M: x+ x+ + mxm i (3.8a) Eşitlik (3.8a), m adet sabit vektörü tüm mümkü doğrusal kombiasyolarıı setidir ve m boyutlu bir alt uzay olarak adladırılır. Eğer m= ise alt uzay düz bir doğru m= ise alt uzay bir düzlemdir. m> olması durumuda ise alt uzay bir hiper düzlem olarak adladırılır. Sadece m= olması durumuda adet birbiride bağımsız vektör mevcuttur (x, x,, x) ve bu vektörleri tümü boyutlu uzayı oluşturur. Bu boyutlu uzaydaki herhagi bir vektör veya bir y oktası içi,,, m katsayılarıı sadece ve sadece bir tek seti mevcuttur ve bu set, y= x+ x+ + x (3.8b) eşitliği ile buluabilir. Bu katsayılar, (x, x,, x) vektörlerie göre y i koordiatları olarak adladırılırlar. Kou daha da geelleştirilirse, tüm adet gerçel elema içere vektörler uzayıı oluştururlar. deki her bir vektör, doğrusal bağımsız vektörü bazı uygu setlerii bir eşsiz doğrusal kombiasyou olarak ifade edilebilir. Teorem 3.7 ile bu doğrusal kombiasyo eşsiz olmak zorudadır. Eğer k adet elemalı doğrusal bağımsız vektörü bir seti alımış ise bu set i bir alt uzayıı oluşturur. Bu alt uzayı boyutu bu alt uzaydaki doğrusal bağımsız vektör sayısıa eşittir. elemalı vektörler içi v, v,,vk eğer, vi v j 0 tüm i j içi soucu sağlaıyorsa bu vektör seti ayrık ortogoal settir. 3..3 İç Çarpım Uzayı 7
Buraya kadar bir vektörü yölü bir doğru parçası olduğu vurguladı buula birlikte bir vektörü uzuluk, açı, uzaklık gibi farklı geometrik özellikleri de mevcuttur. Bu kısımda itibare taımlaa özellikler açıklamaya çalışılmıştır. m adet sırada oluşa vektör sütu vektörüdür. Öreği, x4 vektörü bir sütu vektörüdür. 3 4 x 4 x 7 6 adet sütuda oluşa vektör ise sıra vektörüdür. x 3 vektörü örek olarak verilebilir. xx3 5 Bir sütu vektörüü sıra vektörü olarak ifadesi o vektörü traspozu (evriği) olarak adladırılır ve xt ile gösterilir. Yukarıdaki taımda alaşılacağı gibi bir sütu vektörüü traspozu, 3 4 x 4 x 7 6 xt 4 3 4 7 6 şeklide bir sıra vektörü, bir sıra vektörüü traspozu da, yx3 5 y T 3 5 şeklide bir sütu vektörü oluşturur. Ayı boyutlu m iki gerçel vektör x ve y i öemli bir skaler foksiyou okta (dot) çarpımdır, xt m y m x x y m y x y x y xm y m xi y i c xm i y m xt m y m yt m xm x, y i xi yi. m (3.4) Bu çarpım iç (ier) çarpım olarak da adladırılır. Elde edile souç değeri c bir skalerdir. Teorem 3.9 u, v ve w uzayıdaki vektörler skaler olmak üzere iç çarpım aşağıdaki özelliklere sahiptir:. utv=vtu. ut(v+w)= utv+utw 3. (utv)=( ut)v=ut( v) 4. vt v v 73
5. vtv 0, ve vtv=0 acak ve acak v=0. Pisagor teoremi ile bir vektörü uzuluğu veya ormu, bir vektörü kedisiyle okta çarpımıı x xxt x x (3.5) kare kökü olup vektörü uzuluğu x sembolü ile gösterilir. Taım 3.9 İç çarpım işlemi kullaılarak uzayıdaki bir v v, v,, v vektörüü uzuluğu (ormu), x x, x xt x v v v (3.6) olarak elde edilir. Vektörü ormu geometrik bir özelliğii temsil eder. Vektörleri okta çarpımı iki boyutlu uzayda vektörü karesel uzuluğu olarak düşüülebilir, Şekil 3.0 de bu durum Pisagor teoremiyle açıklamıştır. Örek 3. x =(3,) vektörüü karesel uzuluğuu buluuz. Çözüm: xxt x x 3 0 şeklide olup uzuluğu 0 dur. Şekil 3.0 Vektörleri karesel uzulukları ve Pisagor teoremiyle ilişkisi a)iki boyutlu, b)üç boyutlu Teorem 3.0 uzayıdaki bir vektör v ve bir skaler olsu. Skaleri mutlak değeri olmak üzere skaler ile vektörü çarpımıı uzuluğu: v v. Her hagi bir v vektörü v ise birim uzulukta (ormalize) vektör olarak adladırılır. Teorem 3. uzayıdaki sıfırda farklı her hagi bir v* vektörü, 74
v * v v* uygulaarak ormalize edilir. Örek 3.3 v=(3,-,) vektörüü birim vektörüü buluuz ve uzuluğuu olduğuu doğrulayıız. Çözüm: Birim vektör, v 3 3,,,, v 4 4 4 3 olup, 4 3 4 4 4 4 koşulu sağladığı içi birim vektördür. uzayıdaki iki vektör arasıdaki uzaklığı (distace) taımlamak içi ilk olarak uzayıda taımlaa iki okta u=(u,u) ve v=(v,v) ele alıacaktır. Düzlemdeki iki okta arasıdaki d uzaklığı, aalitik geometri ile, d u v u v eşitliği ile taımlaır. Vektör cebride bu uzaklık Şekil 3. de gösterildiği gibi, u-v vektörüü uzuluğu olarak düşüülebilir: u v u v u v. Şekil 3. İki boyutlu uzayda iki vektör arasıdaki uzaklık Taım 3.0 uzayıdaki iki vektör, u ve v, arasıdaki uzaklık, 75
d u, v u v ile belirleir. Uzaklık ile ilgili öemli özellikler aşağıda verilmiştir:. d(u,v) 0. d(u,v)=0, acak ve acak u=v ise. 3. d(u,v)= d(v,u). Doğrusal bağımsız vektörler farklı yölerde oldukları içi bu vektörler arasıdaki açıda sıfırda farklıdır. Bu açı vektör elemalarıa göre ifade edilebilir. Sıfırda farklı iki vektör x ve y arasıdaki açıyı belirlemek içi Şekil 3. deki OAB üçgei dikkate alısı. Şekilde görüldüğü gibi y ve x-y vektörleri buluabilir. x-y vektörüü uzuluğu AB arasıdaki uzaklığa eşittir. Kosiüs kuralı, c a b ab cos kullaılarak, x y x y x y cos (3.7a) ve bu ifade basitleştirilerek, xt y x y cos x ve y vektörleri arasıdaki açı, xt y x, y cos x y x y (3.7b) formülü ile hesaplaır. Eşitlik (3.7b) i iki özel durumu mevcuttur. Bularda biricisi x ve y vektörlerii doğrusal bağımlı olmasıdır. Bu durumda, x= λy yazılabilir. Vektörleri doğrusal bağımlı olması durumuda (3.7b) eşitliğii sağ tarafı içi bir, buu soucuda θ=00 olarak buluur. İkici bir durumda x ve y vektörlerii birbirie dik olmasıdır. Bu durumda θ=900 olup Cos θ=0 olarak elde edilir. Cos θ=0 olması içi xty=0 olması gerekir. Bu durum gerçekleştiğide, diğer bir deyişle iki vektör arasıdaki açı 900 olduğuda bu iki vektörü ortogoal olduğu söyleebilir. Bazı özel durumlar içi eşitlik (3.7b) i değerleri aşağıda verilmiştir: xt y x, y cos 0 x y x y cos xt y x, y x y x y cos xt y x, y 0 x y x y 76
Şekil 3. x ve y vektörleri arasıdaki açı Eşitlik (3.7b) i sağ tarafı mutlak değerce değerii aşamaz. Bu souç vektör ormu ile ilgili öemli bir eşitsizliği taımlaya, aşağıdaki teoremi ispatı ile elde edilebilir. Teorem 3. Eğer u ve v, uzayıdaki iki vektör ise, ut v u v eşitsizliği sağlaır, burada ut v, utv iç çarpımıı mutlak değeridir. İspat: Eğer u=0 ise ut v 0T v 0 ve u v 0 v 0 olduğuda eğer u=0 ise teorem sağlaır. Eğer u 0 ise, t her hagi bir gerçel sayı olmak üzere, tu+v vektörü dikkate alısı. (tu+v)t(tu+v) 0 olduda, tu v tu v t ut u t ut v vt v 0 T ve a=utu, b=(utv) ve c=vtv yazılarak at+bt+c 0 karesel eşitsizliği elde edilir. Karesel ifade asla egatif olamayacağı içi ya karmaşık köke sahiptir ya da tekrarlı bir gerçel köke sahiptir. Buula birlikte karesel formül diskrimiatı sıfırda küçük ya da eşit olduğuu belitmektedir, souç olarak, b-4ac 0 b 4ac 4(uTv) 4(uTu)(vTv) (utv) (utu)(vtv) ve her iki tarafı köre kökü alıarak, ut v ut u vt v u v ispat tamamlaır. Bu eşitsizlik Cauchy-Schwarz eşitsizliği olarak adladırılır. Teorem 3.3 Eğer u ve v, uzayıdaki iki vektör ise, u v u v 77
İspat: İç çarpım özellikleri kullaılarak, u v u v u v T u v ut u v vt u v u v ut u ut v vt v u v u ut v v Cauchy-Schwarz eşitsizliği ut v u v ile, u v u u v v u v u v (3.8) eşitsizliği her tarafı da büyük eşit sıfır olduğuda karekök alıarak, u v u v ispat tamamlaır. Bu eşitsizlik üçge eşitsizliği olarak adladırılır Eşitsizlik (3.8) Cauchy-Schwarz eşitsizliğii iki vektörü toplamıı karesel uzuluğu içi de geçerli olduğuu belirtmektedir. Sıfırda farklı iki vektör acak ve acak dik açı olşuşturuyor ise okta çarpımları sıfırdır. Bu tipteki vektörler ortogoal vektör olarak adladırılır. Taım 3. uzayıdaki iki vektör u ve v olsu. Eğer, u, v ut v 0 (3.9) ise ortogoaldirler. Eşitlik (3.9) da iki vektörü okta çarpımlarıı sıfır olması durumuda bu iki vektörü birbirie ortogoal olduğu belirtilmişti. Ortogoallik vektör uzulukları dikkate alıarak da ifade edilebilir. Şekil 3.3 de görüldüğü gibi, eğer (x+y) i uzuluğu (x-y) i uzuluğua eşit ise x ile y vektörleri birbirie ortogoaldir: x y x y x y T x y x y T x y x T x x T y y T y x T x x T y y T y 4x T y 0 78
Souç olarak ortogoallik özelliğii sağlaabilmesi içi eşitlik (3.9) u sağlaması gerektiği görülmektedir. Şekil 3.3 Bu şekiller herhagi bir boyut içi de geçerlidir. a) x ve x ortogoal b) x ve x ortogoal değil. Eğer u ve v vektörleri birbirie ortogoal ise eşitsizlik (3.8) eşitlik durumuu taımlayarak Pisagor deklemii verir. Teorem 3.4 Eğer u ve v, u v u v uzayıdaki iki vektör ise, acak ve acak koşulu sağlaıyorsa ortogoaldirler. Üç boyutlu uzay içi de x değerii vektörü karesel uzuluğu olduğu doğrulaabilir. Öreği Şekil 3.0b de Pisagor teoremi ilk olarak ABC üçgeie uygulaarak AC i karesel uzaklığı x x elde edilir. Daha sora teorem ACD üçgeie uygulaarak, AD vektörüü karesel uzuluğu ( x x ) x3 x (3.7) olarak elde edilir ve teorem üç boyutlu uzay içi de doğrulamış olur. x=( 4 3) şeklide verilmiş vektörü karesel uzuluğu içi, x xxt 4 3 9 ve uzuluğu içi ise x 9 soucu elde edilir. Taım 3. Bir iç çarpım uzayıdaki S v, v,, v vektörler kümesi eğer S kümesideki her vektör çifti ortogoal ise ortogoal vektörler kümesi olarak adladırılır. Ortogoallik özelliğie ek olarak S kümesideki her bir vektör birim vektör ise S kümesi ortaormal olarak adladırılır. Eğer S kümesi bir bazı taımlıyor ve Taım 3. deki özelliklere sahip ise ortogoal baz ya da ortaormal baz olarak adladırılır. uzayıı bazıı oluştura birim vektörler, 79
0 0 0 em e 0 0 e 0 ile taımlaıp ortaormaldirler ve stadart bazı taımlarlar. Buula birlikte özelliğie sahip tek baz birim vektörleri taımladığı baz değildir. içi ortaormallik içi stadart olmaya ortaormal bazlar da vardır. Örek 3.4 Aşağıdaki S kümesii 3 uzayı içi bir ortaormal baz olduğuu gösteriiz. S,, 0,,,,,, 3 3 3 3 6 6 Çözüm: İlk olarak üç vektörü ortogoal olduğu gösterilir: vv 0 0 6 6 vv3 3 v v3 3 0 0 0 9 9 9 İkici aşamada üç vektörü her birii uzuluğuu birim olduğu gösterilir. v vt v 0 v vt v 8 36 36 9 v3 vt3 v3 4 4. 9 9 9 Teorem 3.5 Eğer S v, v,, v bir iç çarpım uzayı deki sıfırda farklı vektörleri ortogoal kümesi ise S kümesi doğrusal bağımsızdır. 3..3 Vektör Geometriside Ortogoal İzdüşüm İki boyutlu uzayda x=( -) ve x=( ) vektörleri dikkate alısı. Bu vektörler bütü uzayı taımlayacaklardır. y = (4 ) şeklide verile bir vektörü x ve x ye göre koordiatlarıı bulabilmek içi eşitlik (3.5a) kullaılarak, xt xt y 4 80
4 yazılabilir ve bu deklem sistemii çözümüyle λ=, λ= elde edilir. y vektörüü x ve x i doğrusal bir kombiasyou olarak ifade edileceği görülmektedir. Bu durum Şekil 3.4 de geometrik olarak görülmektedir. L doğrusuu (alt uzayıı) x tarafıda L alt uzayıı ise x tarafıda oluşturulduğu görülmektedir. Daha sora λ= ve λ= alıarak bir paralel kear ile şekil tamamlamıştır. Şekil 3.4 İzdüşüm ile y i koordiatlarıı x ve x ye göre geometrik olarak ifade edilmesi. Başka bir deyişle, y i koordiatlarıı bulmak içi ilk olarak L ye paralel olacak şekilde L üzerie y i izdüşümü alıarak λ elde edilir. Daha sora bezer bir işlem λ içi yapılır, L e paralel olacak şekilde L üzerie y i izdüşümü alıır. E basit izdüşüm yapısı ortogoal izdüşümdür. Bu durum x ile x i birbirie ortogoal olmaları durumuda ortaya çıkar, (bkz Şekil 3.5). Şekil 3.5 x üzerie y i ortogoal izdüşüm Şekil 3.6 İki boyutlu ortogoal izdüşüm 8
Eşitlik (3.9) ile taımlaa vektörler içi ortogoallik şartı oldukça basit olduğu içi ortogoal izdüşümü hesaplamak da oldukça basittir. x vektörüü taımladığı L doğrusu üzerie y i ortogoal izdüşümü y ile belirtilmiş ve Şekil 3.6 de gösterilmiştir. y izdüşüm vektörü L üzeride buluacağı içi eşitlik (3.) de verile bir vektörü x bir skalerle λ çarpımı şeklide y=λx (3.9) ifade edilebilir. Burada soru λ katsayısıı belirleebilmesidir. Şekil 3.6 da görülebileceği gibi y ile y birleştirilerek y-y vektörü taımlaabilir. Bu işlemde elde edile vektör ile x arasıdaki ortogoal yapı korumalıdır. (y-y) ve x ortogoal olduğuda eşitlikler (3.9) ve (3.9) kullaılarak, (y-λx)t x=0 yt x xt x 0 y T x xt x (3.0) elde edilir. Eşitlik (3.0), eşitlik (3.9) da yerie koarak T yt x (3.) y T x x x soucu buluabilir. Eşitlik (3.) i sağıdaki ilk bileşei payı ve paydası bir skaleri taımladığı içi traspozları kedilerie eşittir. Bu eşitlikteki y ifadesi x üzerie y i ortogoal izdüşümüü belirtmektedir. Bazı çzlışmalarda y izdüşüm vektörü projx y ile gösterilir. Taım 3.3 Bir iç çarpım uzayıdaki vektörler u ve v olsu v 0 olmak üzere v vektörü üzerie u vektörüü ortogoal izdüşümü, ut v projv u T v v v ile taımlaır. Örek 3.5 uzayıdaki ut=(4,) vektörüü vt=(3,4) vektörü üzerie ortogoal izdüşümüü buluuz. Çözüm: projv u 4, 3, 4 3, 4 0 3, 4 ut v v T v v 5 3, 4 3, 4 6,. 5 5 Geometrik yapı Şekil 3.7 de gösterilmiştir. 8
Şekil 3.7 Örek 3.5 içi ortogaal izdüşüm Bu izdüşüm vektörüü karesel uzuluğu, y y T y xt x yt x T xt x x x y y x T (3.) xt x olup, ormu veya uzuluğu ise y T x (3.3) y x şeklidedir. Şekil 3.6 icelediğide, ortogoal izdüşüm y i L üzerideki y ye e yakı alt okta olduğu görülebilir. Ortogoal olmaya ve y * ile gösterilebilecek diğer herhagi bir izdüşümü y oktasıa ola uzaklığı daha fazla olacaktır. y y * uzaklığı y y uzaklığıda daha büyüktür. Çükü y y * dik üçgei üçgeii hipoteüsüdür. Üç boyutlu durum Şekil 3.8 de gösterilmiştir. Şekil 3.8 Üç boyutlu uzayda ortogoal izdüşüm 83
Teorem 3.6 x+ x+ + mxm alt uzayı üzerie y vektörüü ortogoal izdüşümü bu alt uzaydaki y vektörüe e yakı oktayı belirtir. Diğer bir ifade ile iç çarpım uzayıdaki vektörler u ve v içi v 0 olmak üzere, d u, projvu d u, v eşitsizliği geçerlidir. Burada ut v. vt v Doğrusal cebirde bir ortaormal bazı kullaarak işlem yapmaı bir çok avatajı vardır. Aşağıda böyle bir bazı asıl elde edilebileceği açıklamıştır. Süreç üç adımda oluşmakta ve Gram-Schmidt ortaormalizasyo süreci olarak adladırılmaktadır:. İç çarpım uzayı içi bir baz ile başla. Bazı birim vektörlerde oluşması ya da ortogoal olması gerekli değildir.. Verile bazı ortogoal baza döüştür. 3. Ortogoal bazdaki her bir vektörü ortaormal baza döüştümek içi ormalize et. Bu süreç aşağıdaki teorem kullaılarak uygulaabilir. Teorem 3.7 Gram-Schmidt ortaormalizasyo süreci içi,, v bir iç çarpım uzayıdaki baz olsu.. B v,. içi ortogoal bir bazı taımlaya B w,, w kümesi, w v vt w w v T w w w w3 v3 vt3 w vt3 w w w wt w wt w w v vt w vt w w w wt w wt w vt w w wt w ile hesaplaır. wi olmak üzere B u, wi 3. ui Öreği, u kümesi içi bir ortaormal bazı taımlar. uzayı içi baz vektör kümesi Şekil 3.9 da gösterildiği gibi {v,v} olsu. W ile taımlaa ortogoal baz kümesii taımlamak içi ilk olarak orijial vektörlerde her hagi biri keyfi olarak seçilir. Seçile vektör v olsu. İkici aşamada v vektörüe ortogoal ikikci bir vektör buluur. Şekil 3.9 de görüldüğü gibi v projv v vektörü bu özelliğe sahiptir. Souç olarak, w v 84
w v projv v v vt w w wt w ortogoal {w,w} kümesi elde edilir. W kümesideki vektörler ormalize edilerek, w w, w w u, u içi ortaormal baz buluur. Şekil 3.9 düzlemide Gram-Schmidt ortaormalizasyo süreci Örek 3.6 içi aşağıda verile baz vektör kümesie Gram-Schmidt ortaormalizasyo sürecii uygulayı. B,, 0, Çözüm: w v, w v 0, vt w w wt w,, Bulua B w, w kümesi içi ortogoal bir bazdır. Bu kümedeki her bir vektör ormalize edilerek, u w,,, w u w,,, w Bulua B u, u kümesi içi ortaormal bir bazdır ve Şekil 3.0 de gösterilmiştir. 85
Şekil 3.0 Örek 3.6 içi baz ve ortaormal baz. Gram-Schmidt ortaormalizasyo sürecide elde edile ortaormal küme bazdaki vektörleri sıralamasıa bağımlıdır. Örek 3.6 da keyfi olarak seçile vektör v yerie v alısaydı bulua ortaormal baz değişecekti. 3. MATRİSLER Matris sayı veya elemaları sıralar ve sütular şeklide düzelediği dikdörtge bir dizidir. Matrisi oluştura bu sıra ve sütuları sayısı matrisi boyutuu belirler. Öreği, m adet sıra ve adet sütuda oluşa bir A matrisi aşağıda gösterilmiştir. A mx a a a m a a am a a a m Matrisi içideki aij değerleri matrisi elemalarıdır. Bu kitapta Amx ifadesi, m sıra ve sütuda oluşa bir matrisi ifade edecektir ve sıra sayısı ilk sütu sayısı ise ikici idisle taımlaacaktır. Öreği aij, i-ci sıra j-ici sütudaki elemadır. Tüm elemaları gerçel sayılarda oluşa matrisler gerçel matrislerdir ve A m ile taımlaır. Matrisler üzerie açıklaacak ilk kou matris işlemleridir. Temel matris işlemleri ise toplama ve çarpma işlemleridir. 3.. Matris İşlemleri İki matrisi toplaabilmesi içi boyutlarıı eşit olması gereklidir. Boyutları eşit ola iki matrisi, Am, Bm toplamı karşılıklı elemalarıı toplamıa, A B aij bij cij C (3.4) eşittir. Örek 3.6 Aşağıdaki A ve B matrislerii toplamıı elde ediiz. 86
3 A x 4 6 4 B x 7 5 6 7 Çözüm: A x B x 4 7 3 4 7 C. 5 7 x Bir matrisi skaleri ile çarpımı, a a A A a m a a a a a m a m (3.5) olarak taımlaır. Eğer A boyutu m ve B boyutu p ola matrisler ise bu matrisleri çarpımı, AB aij b jk aibk ai b k ai bk cik C j (3.6a) eşitliği ile taımlaır. Her bir cik elemaı içi bu çarpım işlemi eşitlik (3.4) ile taımlaa vektörleri okta çarpımıa dektir. A matrisii i-ici satır elemaı B matrisii karşılık gele kıcı sütu elemaı ile çarpılır ve elde edile değerler toplaarak C matrisii cik elemaı elde edilir. Çarpım işlemlerii ö koşulu soldaki matrisi sütu sayısıı sağdaki matrisi satır sayısıa eşit olmasıdır. Çarpım soucuda elde edile C matrisii boyutu m p olur. Eşitlik (3.6a) da bu matrisi ik-ıcı elemaıı, cik aij b jk (3.6b) j eşitliği ile elde edilebileceği görülebilir. Matris çarpımlarıda matrisleri koumu (sıralaması) öemlidir. Boyutları dikkate alıdığıda AB çarpımı geçerli olup BA çarpımı geçerli değildir. B matrisi içi p=m alıarak, BA bri aij c rj C i çarpımı elde edilebilir. Örek 3.7 Aşağıdaki A ve B matrislerii çarpımıı elde ediiz. A 3x 3 4 5 0 3 B x 4 Çözüm: A 3 x B x C3 x 3 ( )( 3) (3)( 4) ( )() (3)() 9 3 4 4 = (4)( 3) ( )( 4) (4)() ( )() 4 6. (5)( 3) (0)( 4) 5 (5)() (0)() 5 0 0 87
Yukarıda belirtildiği gibi matrisleri çarpımı matrisleri oluştura vektörleri çarpımları ile elde edilir. Vektörel çarpımlar istatistikte olukça öemlidir. Öreği verile a ve b boyutlu a x a a a b x b b b vektörler iki şekilde çarpılabilir: Biricisi eşitlik (3.4) ile taımlaa okta çarpımdır ve soucuda bir skaler elde edilir. İkicisi ise aşağıda taımlaa ve dış çarpım olarak adladırıla çarpım, a bt a a b a b ab a b b a b ab a b a b ab a b C x a b (3.7) olup işlem soucuda bir matris elde edilir. Teorem 3. Çarpmaı toplama üzerie dağılma özelliği, matrisleri boyutları çarpmaya uygu olmak üzere, A(B C) AB AC şeklide matrisler içi uygulaabilir. Bir Am matrisii traspozu (evriği) A T m şeklide ifade edilir ve A matrisii sıraları ile sütuları yer değiştirilerek elde edilir. Başka bir deyişle A matrisii i-ici sırası AT matrisii iici sütuuu oluşturur. A 3x matrisii kedisi ve traspozu aşağıda verilmiştir. A 3x 3 4 5 7 3 A T 3 5 4 7 Teorem 3.3 AT matrisii (vektörüü) traspozu A matrisie (vektörüe) eşittir. A T T A Teorem 3.4 Matris toplamlarıı traspozu, (A B C)T AT BT CT şeklidedir. Teorem 3.5 Matris çarpımlarıı traspozu, ABC T CT BT AT şeklidedir. 88
Teorem 3.6 A ve B matrisleri acak ve acak boyutları birbirie eşit ve karşılık gele tüm elemaları birbirie eşit aij= bij i=, m j=, ise eşit A=B matrislerdir. Sıra ve sütu sayıları eşit ola (m = ) matrisler kare matris olarak adladırılır. 5 4 6 4 9 3 A 3x 3 Köşege elemaları haricideki elemaları sıfıra eşit ola kare matris, köşege matris olarak biliir. Bir matrisi köşege matris olabilmesi içi köşege elemalarıda bir taesii sıfırda farklı olması yeterlidir. Köşege matrisler geellikle D harfi ile taımlaırlar. 0 0 0 D 4x4 0 0 3 0 0 7 0 0 0 0 0 5 Teorem 3.7 Eğer D ve D köşege matrisler ise bu matrisleri çarpımları da bir köşege matristir. DD=DD=D D matrisii i-ici elemaı, D ve D i i-ici elemalarıı çarpımıda elde edilir. Tüm elemaları bire () eşit ola köşege matris birim matristir ve I harfi ile belirtilir. I 3x 3 0 0 0 0 0 0 (3.8) Teorem 3.8 Herhagi bir A matrisii solda ya da sağda birim matris ile çarpılması A matrisii değiştirmez. IA AI A Bu özelliği birim matrisi matris işlemleride etkisiz elema olarak kullaılmasıı sağlar. Matrisleri sağda ya da solda çarpılmalarıı öemii de dikkate ala, aşağıdaki işlem bu duruma bir örek olarak verilebilir. A BA IA BA (I B)A Birim matris baz vektörler üzerie dış çarpı uygulaarak, I e e Eii i T i i i elde edililebilir. Bir baz vektörü bir diğeri ile dış çarpımı Eij=eiej soucuda elde edile matrisi ij-ici elemaı diğer elemaları sıfırdır. Öreği, 89
0 e 0 ve e 0 0 0 0 E eet 0 0 0. 0 0 0 Birim matrisi bir skaleri ile çarpımı soucu elde edile ve tüm köşege elemeları eşit fakat birde () farklı köşege matris ise skaler matristir. D 3 x 3 I 3 3 0 0 0 0 0 0 Tüm elemaları sıfır ola matris boş (ull) ya da sıfır matrisi olarak adladırılır ve 0 ile gösterilirler. Alt üçge matris, a a A a 0 a a 0 0 a ve üst üçge matris, a 0 A 0 a a 0 a a a şeklide taımlaır. Köşege elemalarıı üstüdeki (üst üçge) aij elemaları ile köşege elemalarıı altıdaki (alt üçge) aji elemalarıı tümüü bire bir eşit olduğu matris simetrik matristir. Simetrik matrisi traspozuda kedisie eşittir, A=AT (3.9) Başka bir deyişle A matrisii aij elemaı, AT matrisii aji elemaıa eşittir. Simetrik bir matris aşağıda gösterilmiştir. A 3x 3 4 3 3 6 Teorem 3.9 Her hagi bir gerçel kare matris A içi, A matrisi simetrik olmasa da A+AT simetrik matristir. Teorem 3.0 Her hagi iki gerçel kare matris A ve B içi, A ve B matrisleri simetrik olsa da AB matrisi simetrik olmayabilir. Teorem 3. Her hagi iki gerçel kare matris A ve B içi, eğer B matrisi simetrik ise ATBA matrisi simetrik olup bu ifadei tersi geçerli olmayabilir. 90
Eğer bir matrisi elemaları AT=-A özelliğii sağlıyor ve köşege elemaları sıfır ise çarpık simetrik matris olarak adladırılır. Diğer bir ifade ile aii=0 ve aij=-aji olmalıdır. 0 6 A 0 5 6 5 0 Matrisi çarpık simetrik bir matrisdir. Teorem 3. Her hagi bir gerçel kare matris A içi A-AT matrisi çarpık simetrik matrisi taımlar. Teorem 3.3 Her hagi bir gerçel kare matris A, simetrik ve çarpık simetrik bir matrisi toplamı A A AT A A T olarak elde edilebilir. Bir kare matrisi köşege elemalarıı toplamı matrisi izi (trace) olarak adladırılır, tr(a) şeklide gösterilir ve m tr A a a a mm aii (3.30) i eşitliğide hesaplaır. Eşitlik (3.30) da görülebileceği gibi matrisi izi bir skalerdir. Matris kare matris değilse izi taımsızdır. Teorem 3.4 I matrisi boyutlu birim matris ise tr I dir. Teorem 3.5 A matrisi kare matris ise traspozuu izi kedi izie eşittir. tr A T tr A. Teorem 3.6 Her hagi bir gerçel matris A içi, tr A T A 0 olup, acak ve acak A=0 ise tr A T A 0 sağlaır. Teorem 3.7 Her hagi bir gerçel matris A içi, tr A T A tr AA T aij. i j Teorem 3.8 A ve B ayı boyutlu kare matrisler ise toplamlarıı izi, izlerii toplamıa eşittir. tr A B tr A tr B. Teorem 3.9 Eğer ABC, BCA, CAB matris çarpımları kare matrisleri taımlıyor ise, tr ABC tr BCA tr CAB. İspat: Sadece A ve B matrisleri içi tr(ab)=tr(ba) olduğu ispatlaacaktır. AB matrisii boyutu m m dir. Bu matrisi i-ici köşege elemaı, 9
cii aij b ji j şeklide olduğu içi, m tr ( AB) aij b ji i j eşitliği ile elde edilir. BA matrisi ise boyutludur. Bu matrisi j-ici köşege elemaı, m d ii b ji aij i şeklide elde edildiği içi, m tr (BA) b ji aij tr ( AB) j i soucu elde edilir. Bu souç, tr (ABC) tr (BCA) tr (CAB) şeklide geişletilebilir. Sıraları ortaormal vektör setide oluşa boyutu r c ola bir P matrisi içi PPT=Ir eşitliği sağlaır. Buula birlikte PTP çarpımı c boyutlu bir birim matrisi Ic vermesi şart değildir. Eğer P matrisii sütuları ortaormal vektör setii taımlıyor ise PTP=Ic sağlaır fakat PPT çarpımı birim matrise eşit olmayabilir. Ortaormal sıralara sahip kare matrisler doğrusal cebirde özel bir sııfı taımlar bu matrisleri ayı zamada sütuları da ortaormaldir ve PT P PT P I (3.3) eşitliğii sağlarlar. Koşulu sağlaya P matrisi ortogoal matris olarak adladırılır. Eğer i) P kare matris ii) PTP=I ve iii) PPT=I koşullarıda her hagi ikisii sağlaması üçücü de sağladığıı ve P matrisii bir ortogoal matris olduğuu belirtir. Ortogoal matrisler ile ilgili eşitlik (3.3) e dek bir diğer özdeşlik ters matrisler kısmıda verilecektir. Teorem 3.0 Eğer P ortogoal bir matris ise tr(ptap)=tr(a) dır. Bir matrisi kuvvetii alıabilmesi içi kare matris olması gereklidir. Boyutu m ola bir A matrisi içi AA çarpımı acak ve acak m= durumu içi geçerlidir. Diğer bir deyişle A matrisi sadece A kare matris ise mevcuttur. Bu durumda tüm pozitif k tam sayıları içi Ak matrisi taımlıdır. Skaler aritmetikte x0= olup matris cebride eğer A kare matris ise A0=I ile taımlamıştır. Gerçel sayılar cebride a=- eşitliğii sağlaya bir gerçel skaler yoktur. Buula birlikte, 0 A 0 gerçel matrisi A=-I eşitliğii sağlar. Bu matris ortogoal bir matris olup solda her hagi bir (x,y)t oktası ile çarpılması soucuda, orijide merkezlemiş bir daire boyuca, bu oktayı 900 açı ile saat yöüde dödürerek (y,-x)t oktasıı elde eder: 9
0 x y 0 y x Skaler cebride farklı olarak her hagi bir B 0 matrisi içi B=0 soucu sağlaabilir. Öreği, 5 B 4 0 5 matrisi B=0 eşitliğii sağlar. Bk- 0 ve Bk=0 koşullarıı sağlaya matrisler, k ideksli, ilpotet matrisler olarak adladırılır. Yukarıda taımlaa B matrisi ideksi olaa bir ilpotet matristir. Skaler cebride farklı olarak AB=0 eşitliğii sağlaması içi e A matrisii e de B matrisii sıfıra eşit boş matris olması gerekli değildir. Öreği, A B matrisleri içi AB=0 eşitliği sağlamaktadır. Teorem 3. A her hagi bir gerçel matris olmak üzere, acak ve acak A=0 ise ATA=0 eşitliği sağlaır. Teorem 3. A ve B her hagi iki gerçel matris olmak üzere, acak ve acak ATAB=0 ise AB=0 eşitliği sağlaır. Teorem 3.3 A, B ve C her hagi üç gerçel matris olmak üzere, acak ve acak ATAB= ATAC ise AB=AC eşitliği sağlaır. Kare matrisleri bir diğer öemli özel durumu ise idempotet matristir. A matrisi bir kare matris olsu. Eğer; A A (3.3) eşitliği sağlaıyorsa A matrisi idempotet matristir. Başka bir deyişle matrisi kedisi ile çarpımı orijial matrisi veriyorsa bu matris idempotet matristir. Simetrik olsu olması herhagi bir kare matris (3.3) eşitliğii sağlıyorsa idempotet matristir. Fakat bu kitapta sadece simetrik idempotet matrislerle ilgileilecektir. Bu matrisler istatistik teoriside öemli bir yer tutmaktadır. Öreği bir x değişkei yi xi x döüşüm ile ortalamada sapmaları ifade ede bir değişkee döştürülebilir. Bu döüşüm bir idempotet matris kullaılarak aşağıda açıkladığı şekilde gerçekleştirilebilir: Tüm elemaları bir değeride oluşa boyutlu, (3.33) vektörü taımlası. Bu vektörü kedi ile iç çarpımı, 93
T (3.34) vektörü boyutuu taımlaya bir skaleri verir. Vektörü dış çarpımı ise, T J (3.35) tüm elemaları değeride oluşa ve J ile gösterile boyutlu bir matrisdir. Eşitlik (3.33) de taımlaa vektör kullaılarak elde edile, M I T (3.36) matrisi, M I T I T I T T T T I T T T I T T M eşitliğide görüldüğü gibi simetrik ve idempotet bir matristir. x değişkeii ortalaması matris gösterimide, x T x (3.37) eşitliği ile taımlaır. Eşitlik (3.36) de verile M matrisi kullaılarak, y=mx vektör deklemi ile y Mx I T x x T x x x (3.38) ortalamada sapmalara döüştürülmüş değişke elde edilir. Görüldüğü gibi simetrik ve idempotet M matrisi her hagi bir değişke içi ortalamada sapmalara göre taımlaa değişkei elde ede bir döüşümü vermektedir. Yukarıda elde edile yei değişke y içi y 0 olacaktır. Yei bir döüşüm z=my ile taımlası. Eşitlik (3.38) de z y y y olduğu ya da z=my=mx= Mx görülebilir. Diğer bir deyişle idempotet bir matris ile gerçekleştirile bir operasyou tekrarlamasıı her hagi bir etkisi yoktur. İstatistikteki kullaıla bir diğer öemli özellik ola ortalamada sapmaları kareler toplamıı ifade ede x x değeri xtmx eşitliği ile elde edilebilir: xt Mx xt I T x xt x xt T x xt x xt x xt x x (3.39a) 94
Diğer bir deyişle aşağıdaki ifadeler birbirie dektir: x x x i x xt x x xt Mx (3.39b) Eşitlik (3.39) ile verile xtmx değeri Kısım 3.6 da açıklaacak ola bir karesel formu taımlamaktadır. İdempotet matrislerle ilgili bazı öemli teoremler aşağıda verilmiştir. Teorem 3.4 Eğer A idempotet ve tekil olmaya bir matris ise A=I dır. Teorem 3.5 Eğer A, elemaları aij ve i-ici köşege elemaı sıfır ola bir idempotet matris ise A matrisii i-ici sıra ve j-ici sütu elemalarıı hepsi sıfırdır. Teorem 3.6 Eğer A ve B her ikisi de idempotet ola matrisler ise, AB çarpımıı da idempotet olması içi AB=BA olması gereklidir. Teorem 3.7 Eğer A idempotet ve A+B=I ise B matrisi de idempotedir ve AB=BA=0 dır. Teorem 3.8 Eğer A idempotet P ortogoal matris ise PTAP matrisi idempotetdir. Teorem 3.9 Eğer A, rakı r ola idempotet bir matris ise PT AP Er olacak şekilde bir P ortogoal matrisi mevcuttur. Burada Er, r adet köşege elemaı bir ve kala elemaları sıfır ola bir köşege matristir. Doğrusal cebirdeki bir diğer matris yapısı permütasyo matrisidir. Eğer bir A kare matrisii her bir sırası ve her bir sütuu sadece bir tek elemaıı içeriyor ve geri kala elemaları sıfır ise permütasyo matrisi olarak adladırılır. Derecesi ola kare matrisler içi! kadar permütasyo matrisi vardır. Öreği =3 ise altı adet permütasyo matrisi P, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ile taımlamıştır. Permütasyo matrisii her bir sırası p Ti bir adet ve (-) adet sıfır değeri içerdiğide p Ti p i ve bir diğer sıra p Tj, değerii farklı bir elemaıda içerdiği içi p Ti p j 0 olup bu souçlar P matrisii ortogoal bir matris olduğuu gösterir. Eğer bir A kare matrisi ATA=AAT (3.40) özelliğie sahip ise ormal matris olarak adladırılır. Bir gerçel matrisi ormu, A A, A i j aij tr A T A (3.4) şeklide hesaplaır. 3.. Matrisi Bölümlemesi Bazı durumlarda bir matrisi alt matrislere ayrılması faydalı olabilir. Bu işleme matrisi bölümlemesi işlemi adı verilir. Bir matris çeşitli şekillerde bölümleebilir. Öreği, m boyutlu bir A matrisi, 95
A A A A A (3.4) şeklide alt matrislere ayrılabilir. Burada A matrisi m, A matrisi m, A matrisi m ve A matrisi m, boyutludur. Ayrıca m+m=m ve += olduğu görülebilir. Bölümlemiş bir matrisi traspozu, A A A T T T A A T A A AT AT (3.43) şeklidedir. Bölümlemiş matrisler içi toplama kuralı matrisler içi taılaa geel kuralla ayıdır. Diğer bir deyişle karşılıklı bölümleri boyutları ayı olmalıdır. Teorem 3.30 Eğer A ve A kare alt matrisler ise, matrisleri boyutları ayı olmak zoruda değil, A tr A tr A A tr A tr A A Teorem 3.3 Eğer A matrisi simetrik ise A ve A matrisleri de simetriktir. Teorem 3.3 Eğer A matrisi köşege ise A ve A matrisleri de köşegedir. Teorem 3.33 Eğer A matrisi üst üçge matris ise A ve A matrisleri de üst üçgedir. AB şeklide iki matrisi çarpımı, bu matrisler alt matrislere ayrılmış olsalar bile sembolik olarak gösterilebilirler. Buu içi matrisleri boyutlarıı çarpım içi uygu olması yeterlidir. Eğer B matrisi p boyutlu ve, B B B B B şeklide parçalamış ise Bjk alt matrisleri j pk boyutludur. Bu durumda AB çarpımı mevcuttur. Çükü Aij i boyutları mi j ve Bjk i ise j pk dır ve alt matrisleri karşılıklı elemaları, A AB A A B B AB AB A B B A B A B AB AB A B A B (3.44) şeklide çarpılıp, toplaarak çarpım matrisi elde edilir. 3..3 Bir Matrisi Rakı ve Ters Matrisi Herhagi bir m boyutlu A matrisi ele alısı. A matrisii sütuları taımlar. Ayı şekilde A ı sıraları da m uzayıdaki vektörü uzayıda m vektörü belirler. A matrisideki maksimum doğrusal bağımsız sıra sayısı r ile belirtilsi, r m. Eğer r, m de küçük ise doğrusal bağımsız sıra vektörlerii alt seti sayısı birde daha fazla olabilir. Öreği, dört sıralı (m=4) bir matris ele alıdığıda,,,4 sıraları bir doğrusal bağımsız set taımlayabildiği gibi,3,4 sıraları da bir diğer doğrusal bağımsız seti taımlayabilir. Fakat dört sıraı tümü doğrusal bağımlıdır. Bu durumda r=3 dür. Bu A matrisi içi herhagi r doğrusal bağımsız sıraı bir setii oluşturduğu ve 96