GERÇEL ANALİZ Hüseyi IRMAK
Prof. Dr. Hüseyi IRMAK Çakırı Karateki Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Çakırı 207 2
. BÖLÜM DİZİ KAVRAMI Dizi kavramı matematik bilimide oldukça kullaışlı bir kavramdır. Karşımıza ya sayı dizileri ya da foksiyo dizileri şeklide sıkça çıkar. Öcelikli olarak sayı dizlerii ele alalım... Reel Gerçel Sayı Dizileri Bu kavramlara girmede öce üzeride temel dört işlemle taımlaa sayılar kümesii hatırlayalım. Bular; doğal sayılar, tam sayılar, rasyoel sayılar ve irrasyoel sayılar olarak bildiğimiz sayıları oluşturduğu ve geellikle N, Z, Q ve Q şeklide belirtile ve sırasıyla aşağıdaki gibi: N = { 0,, 2, 3, }, Z = {, 3, 2,, 0,, 2, 3, }, ve Q = { m Q : m :, m Z ve 0}, m Z ve 0 şeklide yazılamaya sayılar kümesi şeklide gösterile bilidik kümelerdir. Ayrıca üstteki herbir sayı kümesii içere ve R otasyou ile gösterile küme de yie bildiğimiz ve üzeride çalıştığımız reel gerçel sayılar kümesidir. Ayrıca, N m şeklideki bir otasyola da N m = { N : m ve m N } = { m, m +, m + 2, : m N } şeklideki doğal sayıları ardışık ve sosuz elamalı kümesi olarak gösterilecektir. Örekledirecek olursak: N 0 = { N : 0 } = { 0,, 2, } N, N = { N : } = {, 2, 3 } N + N +,. N 5 = { N : 5 } = { 5, 6, 7, },. şeklideki doğal sayıları birer alt kümesi durumuda ola sosuz elamalı kümeler olacaktır. 3
Öcelikli olarak matematik bilimide sıkça kullaıla öemli bir terim de komşuluk kavramıdır. Buu da hatırlatalım. Taım.. Bir x 0 R sayısı verilsi. Bu sayıı bir ɛ ɛ > 0 açık komşuluğu U ɛ x 0, Ux 0 ; ɛ, D ɛ x 0 veya Dx 0 ; ɛ otasyolarıda herhagi biri ile gösterilir ve { x R : x x0 < ɛ ɛ > 0 } şeklideki kümeyle taımlaır. Bazı elemeter işlemler soucu, { x R : x x0 < ɛ ɛ > 0 } = { x R : x 0 ɛ < x < x 0 + ɛ ɛ > 0 } = x 0 ɛ, x 0 + ɛ şeklideki bilidik açık aralık kolayca elde edilir. Bu taım oldukça öemlidir ve alamlıdır. Çükü, ilgili ɛ > 0 sayısı küçültükçe elde edilecek x 0 ı komşulukları iç içe geçmiş açık aralıklar dizisi olarak karşımıza çıkar. Doğal olarak e içteki açık aralık üzeride yapıla her bir elemeter işlem dıştakiler içi de yapıla elemeter işlemleri gerektirir. Tabii ki bu işlevi karşıtı doğru olmak zoruda değildir. Bu açıda iligili ɛ > 0 sayısı e kadar küçük seçilse işlevimiz içi de o kadar daima doğru ola işlevler söz kousu olur. Bu durum matematik derslerideki öemli taımlarda kedii gösterecektir. Taım. i R uzayıdaki karşılığıı x 0 ɛ, x 0 + ɛ şeklideki kümeye, yai bir açık aralığa karşılık geldiği açıktır. Bazı örekler olarak; Örek.. a U ɛ 0 = { x R : x 0 < ɛ ɛ > 0 } = ɛ, ɛ kümesi x 0 = 0 ı bir açık ɛ komşuluğudur. b U ɛ = { x R : x < ɛ ɛ > 0 } = ɛ, + ɛ kümesi x 0 = ı bir açık ɛ komşuluğudur. c U ɛ = { x R : x < ɛ ɛ > 0 } = { x R : x + < ɛ } = ɛ, + ɛ kümesi de x0 = i bir açık ɛ komşuluğu olur. Bu üstteki komşuluklardaki ilgili ɛ pozitif sayısı sırasıyla ɛ =, ɛ = /2 ve ɛ = /0 olarak seçilirse; ilgili oktaları daha özel komşulukları da aşağıdaki gibi olur. a U 0 = { x R : x 0 < } =, şeklideki x 0 = 0 oktasıı ɛ = açık komşuluğu elde edilir. b U /2 0 = { x R : x < /2 } = /2, + /2 = /2, 3/2 şeklideki x 0 = oktasıı ɛ = /2 açık komşuluğu elde edilir. c U /0 0 = { x R : x + < /0 } = /0, + /0 = /0, 9/0 şeklideki x 0 = oktasıı ɛ = /0 açık komşuluğu elde edilir. 4
Şimdi bu dersi öemli koularıda biri ola dizi kavramı ve bularla ilgili temel taımları verilim ve bazı örekledirmeler yapalım. Taım.2. i N m kümeside R kümesie taımlaa foksiyolara dizi veya reel gerçel sayı dizisi adı verilir ve geellikle x, x =m, x m veya x m şeklide gösterilmesie rağme dizi vurgulaması yapılarak sadece x N m ile de ifade edilebiliir. İlgili foksiyou değer kümesi eğer reel sayılar kümeside ise iligili dizi reel sayı dizisi, eğer değer kümesi kompleks sayılar kümeside ise kompleks sayı dizisi adıı alır. Dolayısıyla, x = f : N m R şeklideki foksiyolar birer reel gerçel sayı dizisi olacaktır. Bu durumda, N m kümesi ilgili dizi foksiyo içi bir taım kümesi ve { x : N m } kümesi de ilgili dizi foksiyo içi bir değer kümesi koumuda olur. Öcede belirtmiş olduğumuz N m kümesii degi ve üstteki taımda belirtile bir dizii foksiyo olma şartları göz öüe alıırsa, her N m içi x = f şeklideki bir foksiyou taımlılığı zorulu olmak durumudadır. Bu açıda, baze ilgili dizii erede başlayacağıı da vurgulamak içi fosikyo formuda göstermeksizi doğruda x m gibi bir otasyola gösterimi de kullaılır. ii Bir x m reel gerçel sayı dizisi verilsi. Bu dizii xm, x m+, x m+2,, x m+, veya { x m, x m+, x m+2,, x m+, } şeklideki açık ifadesie x m dizisii açık formu adı verilir ve açık formdaki her bir x m reel sayısıa da ilgili dizii terimleri adı verilir. Bu terimler, elde edilme sırasıa göre; ilgili dizii. terim, 2. terim,...,. terimi veya geel terimi şeklide adladırılır. iii Bir kural dahilide x 0 gibi reel sayı dizisii öğeleride oluşa her bir diziye x 0 dizisii bir alt dizisi adı verilir. Bu tür diziler geellikle x k şeklide ifade edilir. Örek.2. a x = / şeklideki bir dizi içi, bir doğal sayı olması gerektiğide dolayı, ilgili m = 0 seçimi / dizisii foksiyo olma şartıa uygu olmadığıda dolayı ilgili küme, yai N N + şeklideki küme olarak seçilmelidir. Yai, x = / şeklideki bir dizi söz kousu olup x = f dır. Bu dizii açık formu ise, x = / = x = f, x 2 = f2, x 3 = f3,, x = f, = /, /2, /3,, /, şeklide olup ve bu dizi içi;. terim : / =, 2. terim : /2, üçücü terim : /3,... ve. terim : / ola x = f : N + R, x = f = şeklideki foksiyodur. Dolayısıyla;. terim : x = f, 2. terim : x 2 = f2, 3. terim : x 3 = f3,. 5
Ayrıca, x2 = /2 = /2, /4, /6,, /2,, x2 = /2 =, /3, /5, /7,, /2,, x7 3 = /7 3 = /4, /, /8,, /7 3, dizilerii hepsi bir kuralla oluşturulmuştur ve her biri x = / dizisii bire alt kümesi şeklide ola birer alt dizileridir. b x = 4 şeklideki bir ifade bir diziyi ifade edemez. Kısacası dizi değildir. Çükü, öyle bir 0 N sayısı var ve her N 0 içi ilgili ifade taımlı olamaz. Bu da foksiyo olma özelliğii bozar. Eğer ilgili ifade x = 4 olsaydı, o zama bir diziyi iafde ederdi ve her N 0 =4 ilgili ifade bir foksiyo olma şartıı sağlardı ve ilgili dizii açık formu da x 4 = 4 = x 4 4, x 5, x 6,, x, = 0 = 0, =, 2, 3, şeklideki dizi olur du ve bu dizii de. terim : 0, 2. terim :, 3. terim : 2, 4. terim : 3 şeklide gide dizi olurdu. Bu dizi içi, x2 4 = 2 4, x 2 4 = 2 3, x +5 4 = + birer alt dizisidir. Herbirii açık formlarıı da sizler elde ediiz. Alıştırmalar.. Aşağıda geel terimiyle verile reel sayı dizileri içi öce uygu bir başlagıç doğal sayısıı belirleyiiz ardıda da açık formlarıı oluşturuuz. siπ,,!, 2, + 2, cos π, 2 4 3 5,, + 2 4,!,,,,, 2 2, e, l +. iii Bir x m reel gerçel sayı dizisi verilsi. Eğer her N m içi x M olacak şekilde e az bir M R sayısı varsa bu diziye üstte sıırlı bir dizi veya kısacası üstte sıırlıdır deir. Bezeri matıkla, eğer her N m içi x K olacak şekilde e az bir K R sayısı varsa ilgili diziye altta sıırlı bir dizi veya kısacası altta sıırlıdır deir. Hem altta hem de üstte sıırlı dizilere altta ve üstte sıırlı bir dizi veya kısacası sıırlı diziler adı verilir. Baze belirtile sıırlılık durumuu her N m içi x M olacak şekildeki e az bir M pozitif sayısıı varlığı şeklide de taımlaır. Doğal olarak, üstte belirtile m ve M reel sayıları mutlak değeri taımı gereğice, m = M x M = M şeklideki sıırladırıla reel sayılar olacağı açıktır. Ayrıca, her N m içi x m sıırlı dizisi içi x M i koşuluu sağlaya herbir M i reel sayısıa x dizisii bir üst sıırı 6
ve x M i koşuluu sağlaya herbir m i reel sayısıa da x dizisii bir alt sıırı adı verilir. Örek.3. a Örek. de verile dizii her N+ içi x M i olduğuda dolayı üstte sıırlı ve her N + içi x M i 0 olduğuda dolayı da altta sıırlı bir dizidir. Dolayısıyla, / dizisi sıırlı bir dizi olur. Ayrıca, M i koşuluu sağlaya her reel sayı ilgili dizi içi bir üst sıır ve m i 0 koşuluu sağlaya herbir reel sayı da dizi içi bir alt sıır olur. b 0 = 0,, 2, 3, 4, 5, 6, =, 5, 3,, 0, 2,, 4, 6, dizisii de e altta e de üstte sıırlı olmadığı açıktır. Dolayısıyla, bu dizii e bir üst sıırı e de bir alt sıırı vardır. c =,,,,, =,,,,,, 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 9 25 36 6 4 dizisii de hem üstte hem de altta sıırlı olduğu açıktır. Terimler bir egatif bir pozitif veya bir pozitif bir egatif ola dizilere alteratif dizi adı verilir. Bu dizi içi M i /4 koşuluu sağlaya her reel sayı bir üst sıır ve m i koşuluu sağlaya herbir reel sayı da bir alt sıır olur. 2 ç 0 = 0,, 2, 3, 4, 5, =, 5, 3, 2,, 0 dizisii üstte sıırşı ama altta sıırlı olmadığı açıktır. Dizisi içi herhagi bir alt sıırıda bahsedemeyiz ama M i 0 koşuluu sağlaya herbir reel sayı bir üst sıır olur. d 2 0 = 0 2, 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, = 0,, 4, 9, 6, 25, dizisii de üstte sıırlı olmadığı ama altta sıırlı olduğu açıktır. Dizisi içi herhagi bir üst sıır söz kousu değildir ama m i 0 koşuluu sağlaya herbir reel sayı ise bir alt sıır olur. e 3 0 = 3, 3, 3, 3, 3, dizisii hem üstte hem de altta sıırlı olduğu açıktır. Bu tür, yai bütü terimler biribirie eşit ola dizilere sabit diziler olarak adladırılır. Bu sabit dizi içi, M i 3 koşuluu sağlaya her reel sayı bir üst sıır ve m i 3 koşuluu sağlaya herbir reel sayı da bir alt sıır olur. Alıştırmalar.2. Aşağıda geel terimiyle çeşitli reel sayı dizileri verilmiştir. Herbiri içi öce uygu başlagıç bir doğal sayısıı belirleyiiz ardıda da herbirii sıırlı olup olmadıklarıı araştırıız. 6, 2 π, /, 2+, 3 5, 3 2 2 6,,, 2 9, 3 3, 3 5, 2,, +,,, 2+ 5 2 6 +, 2+ 3 6, /, l, 2, 2 5, 6, 3 2 4,, 2 5. iv Bir x m reel gerçel sayı dizisi verilsi. Eğer her N m içi x M i olacak şekilde e az bir M i R sayıları var olsu. Bu durumda, mi { K i : K i R } sayısıa 7
x m dizisi supremumu veya kısacası sup u deir ve geellikle sup { x : N m } şeklide gösterilir. Bezeri şekilde, her N m içi x M i olacak şekilde e az bir M i R sayıları var olsu. Bu durumda, max { M i : M i R } sayısıa x m dizisi ifiimumu veya kısacası if i deir ve geellikle if { x : N m } şeklide gösterilir. Örek.4. Aşağıda verileleri doğru olup olmadıklarıı araştırıız. { sup } { N 3 2 = 5, if } { N 3 2 =, if } N + 2 = 2, { sup { N!} =, 2 } sup N 3 = 2, if { 2 } { 3 N 3 =, 2 } sup N 3+ = 2, 3 { } { sup } { } { N + 4 = 3, if N + =, if N4 4 = 2, sup } N + 2 =, { sup } { } { { N + + 2 =, if N + e = 0, sup N + } } = 0, if N + =. Souç.. Üstte sıırlı her reel sayı dizisii bir supremumu, alltta sıırlı her sayı dizii ifiimumu ve dolayısıyla sıırlı her reel sayı dizisii de hem supremumu hem de ifiimumu vardır. Şimdi dizlerle üzeride taımlaa temel işlemleri verelim. Taım.3. x m ve y m reel sayı diziler ile α ve β reel sabitleri skalarları verilsi. Bu durumda; i Her N m içi x = y ise x m ve y m dizilerie eşit diziler deir ve x = y şeklide gösterilir. ii x m dizisii bir α sabiti ile çarpımı α x m şeklide gösterilir ve α x m = α x m şeklide taımlaır. iii x m ve y m dizileri toplamları x m + y m şeklide gösterilir ve x m + y m = x + y m şeklide taımlaır. iv x m ve y m dizileri çarpımı x m y m şeklide gösterilir ve x m y m = x y m şeklide taımlaır. v x m dizisii y m dizisie bölümü xm y m şeklide gösterilir ve xm şeklide taımlaır. Tabii ki her N m içi y 0 dır. y m = x y m Bildiğimiz R kümeside taımlaa temel işlemler yardımıyla üstteki gibi oluşturula taımlamalar paralelide: x = x = x = x, x y = x + y = x y α x + β y = α x + β y olacağı açıktır. Ayrıca, ikide fazla sayı dizisi, öreği; x m, y m ve z m dizileri içi de x y z = x y z gibi taımlaacaktır. 8
Örek.5. x 0 = 0, y 0 = 0 ve z 0 = 2 0 reel sayı dizileri içi; 3 x 0 = 3 0 = 3 0 = 3 0, x 0 + y 0 = 0 + 0 = + 0, x 0 y 0 = x y 0 = 0 = 0 ve y 0 x 0 = 0 0 = =, 0 0 x 0 y 0 z 0 = x y z 0 = 2 0 = 2 0. Alıştırmalar.3. x 0 =, y = ve z 0 = / dizilerii kullaarak, aşağıda verileleri belirleyiiz. 3x 2z + 5y, x z y, x y z, x y, y z +y + x z Aşağıda geel terimiyle çeşitli reel sayı dizileri verilmiştir. Her biri içi öce uygu başlagıç bir doğal sayısıı belirleyiiz ardıda da herbirii sıırlı olup olmadıklarıı araştırıız. Şimdi, reel sayı dizileri artalığıa ve azalalığıa ilişki öce taımlamaları yapalım ardıda da örekledirelim. Taım.4. Bir x m reel sayı dizisi verilsi. Bu durumda: i Her N m içi x x + koşulu sağlaıyor ise x m dizisie mooto arta dizi veya kısaca mooto artadır deir. ii Her N m içi x x + koşulu sağlaıyor ise x m dizisie mooto azala dizi veya kısaca mooto azaladır deir. iii Her N m içi x < x + koşulu sağlaıyor ise x m dizisie kesi arta dizi veya kısaca kesi aratdır deir. iv Her N m içi x > x + koşulu sağlaıyor ise x m dizisie kesi azala dizi veya kısaca kesi azaladır deir. Dizileri mootolukları arta ya da azala araştırmada verile dizii durumua göre güçlükler yaşayabiliriz. Bu kouda aşağıda bilgileri göz öüe almakta fayda görebiliriz. Uyarı.. i İlgili eşitsizler bazı elemeter işlemlerle yürütülmeye çalışılır ve herhagi bir çelişki yoksa ilgili eşitsizliği doğruluğu kesileşir. ii Dizileri N m şeklide taımlı olduğu küme doğal sayıları ardışık ve sosuz elemada oluşa bir küme olması Tümevarım yötemie uyguluk göstere bir ispat yötemi işaret eder. Buu içi de; q : x x + x x + veya q : x x + x x + 9
öermesii her I=N m içi doğruluğuu tümevarım yötemi yardımıyla araştırma yolua gidilir. iii İlgili araştırmları yapılması içi foksiyo kavramlarıı kullaılabiliir. Burada N m [m, olduğua göre, verile u x gibi bir geel terimli dizii reel x değişkeli fx = u x şeklideki foksiyou birici türev araştırılması yolua gidilebilir. Yai, ilgili aralıktaki her x içi f x < 0 ya da f x > 0 olması mootoluk araştırması içi yeterli olacaktır. Şimdi, bu durumları birer örekle ele alalım. Örek.6. a x = 3 geel terimli reel sayı dizisii artalığıı ya da azalalığıı araştıralım. 2+ Bu dizi içi ilgili m doğal sayısıı e az m = 0 alımasıda problem olmadığı açıktır. Yai, x 0 = 3 şeklide dizi söz kousudur. Bua göre, 2+ 0 w = x x + = 3 2+ 3+ 2++3 = 6 2+2+5 elde edilir ki bu da her N içi w = x x + 0, yai x x + demektir. Bu ise ilgili dizii azala bir dizi olduğuu gösterir. Daha doğrusuu söylemek isteseydik, bu dizi içi mooto azala mı yoksa kesi azala mı dememiz gerekirdi? Tartışıız. b N 4 olmak üzere x = 3! geel terimli reel sayı dizisii mooto arta olup olmadığıı tümevarım metoduu kullaarak sizler araştırıız. Yai, her 4 içi q = x + x = > 0 öermesii doğruluğuu tümevarım yötemiyle araştırıız. c So olarak x = arcta geel terimli reel sayı dizisii artalığıı ya da azalalığıı araştıralım. Bu dizi içi ilgili m doğal sayısıı e az m = alıması gerektiği açıktır. Bu durumda, N [, olduğuda dolayı [, kümesi üzeride sürekli ola fx = arcta x foksiyouu icelemesi yeterli olacaktır. İeleyelim: f x = x2 2 = + x elde edilir ki bu da bizi her x [, içi f x < 0 soucua götürür. O halde, ilgili foksiyo [, aralığıda azala bir foksiyo olması arcta / dizisii de azala olmasıı gerektirir. Alıştırmalar.4. Aşağıda geel terimleri verile reel sayı dizilerii mootoluklarıı araştırıız. + 2 + 3 + + N +, 2 2 3 N +, +x 2! N +, +! N +, +! N +,! N +, + + + + 2 3 N+, + + + + N +, 2 2 2 3 2 2 0
2 / N +, 2 / N +, 2 N +, 2 N +, l N 2, l N 3, l N 3, l N +, si si/ N, cos/ N, N, cos N+, 2! N, 2! N 3,! 2 N 3,! N +,! N 3. Şimdi reel sayı dizilerii yakısaması ile ilgili taımları, bazı temel öermeleri ve uygulamaları verelim. Taım.5. Bir x m reel sayı dizisi ve bir de x 0 reel sayısı verilsi. Her ɛ > 0 keyfi sayısı verildiğide öyle bir N doğal sayı var ve bu N sayısıı geçe her doğal sayısı içi x x 0 < ɛ oluyorsa, x m dizisie x 0 a yakısıyor deir. Yakısak ola dizilere kısaca yakısaktır ve yakısak olmaya dizilere de ıraksak dizi veya kısaca ıraksaktır deir. Bilidiği üzere ilgili yakısama zama zama dizii limiti olarak da adladırılır ve bu durum sosuza giderke yaklaşırke x dizisi de x 0 a gider yaklaşır deir. Bu durum, kısaca x dizisii limiti x 0 dır deir ve durum ya ike x x 0 şeklide ya da lim x = x 0 şeklide gösterilir. Bu taımda öemli ola iki husus vardır. Buları belirtmekte vurgulamakta öem görmekteyiz. Bular: Baze ilgili araa N doğalsayısı Nɛ şeklide de ifade edilir. Bu oldukça açık bir ifadedir. Çükü, taımda da alaşılacağı üzere, ɛ > 0 sayısı verilmekte ve x x 0 < ɛ eşitsizliğii sağlaması ifade edilmektedir. Elbette ki böylesi bir eşitsizlik verile ɛ > 0 keyfi sayısıa göre belirleecektir. Diğeri ise, ilgili keyfilik isteile kadar küçük olmasıyla öem arz eder. Çükü, her ɛ i < ɛ j i, j N içi o < ɛ i o < ɛ j gerektirmesi daima doğru olur. Lütfe dikkat: o < r r > 0 eşitsizliğii doğru olamsı durumuda R > r > 0 koşuluu sağlaya her R sayısı içi o < R eşitsizliği de daima doğru olur. Ama böylesi bir öermei karşıtı daima doğru olmaz! Örek.7. a x = geel terimli reel sayı dizisii 0 a yakısadığıı, diğer bir ifade ile = 0 olduğuu gösterelim. lim Her ɛ > 0 keyfi sayısı verildiğide öyle bir N := Nɛ doğal sayısıı bulmalıyız ki her N doğal sayısı içi x x 0 = 0 < ɛ doğru olsu. ɛ > 0 keyfi sayısı verilsi. O zama,
x x 0 = 0 = < ɛ doğru olur, eğer N := Nɛ > /ɛ olacak şekildeki herhagi bir öreği, N := Nɛ = + [ /ɛ ] doğal sayı seçimi yapılırsa. Lütfe dikkat: Doğru olması istee < ɛ eşitsizliği göre çözülürse < soucu kolayca görülür. Bu matıkla, her keyfi ɛ > 0 sayısı içi ɛ < şeklideki bir çözümü varlığı daima var olacağıa göre, isteei de bir doğal ɛ sayısı ilişkisi de her N := Nɛ = + [ /ɛ ] sağlamış olur. b x = + geel terimli reel sayı dizisii a yakısadığıı, yai lim 2 + = olduğuu görelim. 2 Yie ilgili taım gereği, her ɛ > 0 keyfi sayısı verildiğide öyle bir N := Nɛ doğal sayısıı bulmalıyız ki her N doğal sayısı içi x x 0 = + < ɛ doğru 2 olsu. Keyfi ɛ > 0 sayısı verilsi. O zama, x x 0 = + 2 = 2 = 2 doğru olur, eğer N := Nɛ > / ɛ koşuluu sağlayacak şekilde öreği, N := Nɛ = + [ / ɛ ] seçimi yapılırsa. Gerçekte de, her ɛ > 0 sayısı verildiğide her N := Nɛ > / ɛ öreği, N := Nɛ = + [ / ɛ ] şeklide bir doğal sayısı seçilirse içi + < ɛ daima doğru olur. ɛ > 0 sayısıı keyfiliği, yai daima işe yaraya ɛ 0 2 ilişkisi + 0 bu da + 2 0 veya dek olarak + doğal 2 2 soucua götürür. Bu da zate bilmiş olduğumu limit ilişkisidir. c x = + dizisii e yakısadığıı yai, + lim x = lim = olduğuu görelim. Buu içi de, her ɛ > 0 keyfi sayısı içi öyle bir 0 N doğal sayısı bulmalıyız ki her > 0 içi + < ɛ olsu. O zama, + = = < ɛ > ɛ olacağıa göre, e basitte sayısıda büyük ola ilk doğal sayıyı ɛ 0 ile gösterirsek o zama her > 0 = 0 ɛ içi + < ɛ olur. O halde, + lim = dir. ç Her κ > 0 sabit sayısı içi x = κ dizisi 0 a yakısar. Buu içi, her ɛ > 0 2 içi öyle bir N = Nɛ doğal sayısı bulmalıyız ki her > N içi 0 [ ] < ɛ olsu. Eğer κ her ɛ > 0 sayısı içi N = Nɛ = + κ ɛ seçilirse, gerektirmesi doğru olur. O zama, [N = Nɛ > κ ɛ ve κ > 0 ] N κ < ɛ < ɛ N = Nɛ κ 0 = κ N κ < ɛ 2
gerektirmesi de doğru olur. Bu ise, κ dizisii yakısak ve κ 0 olmasıdır. d Her α ve r reel sayıları içi, r < ise αr dizisi 0 a yakısar ve r > içi de αr dizisi ıraksaktır. α > ɛ > 0 koşulu sağlaya her ɛ > 0 içi öyle bir N doğal sayısı bulmalıyız ki her > N içi αr 0 < ɛ olsu. o zama, αr 0 = α r = α r < ɛ r < ɛ/ α ve burada da elde edilir. Eğer log r < log ɛ/ α > logɛ/ α log r N Nɛ = + [ logɛ/ α log r ] seçersek, her ɛ > 0 keyfi sayısı verildiğide ilgili eşitsizliği gerektire bir N doğal sayısı bulabiliriz. r > olması durumuda da lim αr = sgα olcaktır. Yai, limit olmaz. Alıştırmalar.5. i Aşağıda verileleri doğruluklarıı görüüz. lim 3 5 = 3, lim 5 3+2 = 5 3, lim 3 5 3 4 = 5 3, lim 3 5+2 = 3 5, lim + lim si = 0, lim 2 4 = 0, lim 3+2 2 + =, lim 2 = 0, 3 = 0, lim =, cos lim = 0, lim 2 2 3 = 0. ii Aşağıda geel terimi verile dizileri limitlerii öce belirleyiiz sora da doğruluklarıı görüüz., + +, 2, 3 2, 2, 2 2 + 2+ 2 3, 2 5 5, 5 2, 5, + 2, 2 +. iii Aşağıda geel terimi verile dizileri karakterlerii yakısak mı yoksa ıraksak mı araştırıız., 2, 3 2 2, 2+ 2+5 2 l,,,, l 5 + 2, 2 + 2 +0, 2, 5 3,. Dizileri yakısaklıkları ile ilgili daima doğru ola öermeler vardır ki biz bulara ispatı mümkü ola öerme, yai teorem deriz bulara sıkça kullaılmaktadır. Şimdi buları verelim. Teorem.. Bir x 0 ve y 0 reel sayı dizileri ile α ve β reel skalarları verilsi. Bu durumda; i x 0 yakısak ise yakısadığı sayı sadece bir taedir. Diğer bir ifade ile ilgili dizisii limiti var ise bu sadece bir taedir. 3
ii x 0 yakısak ise sıırlıdır. Yai, x 0 yakısak ise her 0 içi x M olacak şekilde e az bir M > 0 reel sayısı vardır. iii x 0 iv x 0 arta azalmaya ve üstte sıırlı bir dizisi ise yakısaktır. azla artmaya ve altta sıırlı bir dizisi ise yakısaktır. v Bir x 0 dizisi yakısak ise her bir x k 0 alt dizisi de yakısaktır. vi x 0 yakısak ise x 0 = x 0 dizisi de yakısaktır. vii x 0 yakısak ise αx 0 dizisi de yakısaktır. Diğer bir ifade ile, x 0 dizisii limiti, yai lim x = x 0 ise αx 0 dizisii limiti, yai lim x = αx 0 dır. viii x 0 yakısak ve her 0 içi x 0 ise /x 0 dizisi de yakısaktır. Burada ilgili dizi elbette ki sıfıra yakısamaya bir dizidir. ix x 0 ve y 0 dizileri yakısak ise αx + βy 0 dizisi de yakısaktır. x x 0 ve y 0 dizileri yakısak ise x y 0 dizisi de yakısaktır. xi x 0 ve y 0 dizileri yakısak ise x /y 0 dizisi de yakısaktır. Burada elbette ki y 0 dizi sıfıra yakısamaya ve her 0 içi y 0 ola bir dizidir. xii x 0 dizisi yakısak ve ve verile herhagi bir r R sayısı içi dizii herbir terimi x r taımlı, r < 0 olması durumuda herbir terimi sıfırda farklı ve sıfıra yakısamaya bir dizi ise x r dizisi de yakısaktır. 0 Ütteki teoremi elbetteki limit olarak ifade etseydik aşağıdaki gibi olurdu. Teorem.. Bir x 0 ve y 0 reel sayı dizileri ile α ve β reel skaları verilsi. Bu durumda; i lim x = x 0 ise yakısak ise x 0 reel sayısı biriciktir. ii lim x = x 0 ise x 0 sıırlıdır. iii x 0 arta ve üstte sıırlı bir dizisi ise lim ν x = x 0 olacak şekilde sadece bir tae x 0 reel sayısı vardır. iv x 0 azla ve altta sıırlı bir dizisi ise lim ν x = x 0 olacak şekilde sadece bir tae x 0 reel sayısı vardır. v lim x = x 0 ise x 0 dizisii her bir x k 0 gibi yie lim x k = x 0 dır. vi lim x = x 0 ise lim ν x = x 0 dır. vii lim x = x 0 ise lim ν αx = α limν x = αx0 dır. viii lim x = x 0 0 ve her 0 içi x 0 ise lim ν x = lim ν x = x 0 4
dır. ix lim x = x 0 ve lim y = y 0 ise lim αx + βy = lim αx + lim βy = α lim x + β lim x = αx 0 + βx 0 dır. x lim x = x 0 ve lim y = y 0 ise lim x y = lim x lim y = x0 y 0 dır. xi lim x = x 0 ve lim y = y 0 0 ve her 0 içi y 0 ise lim x y = lim x lim y dır. xii lim x = x 0 ve verile herhagi bir r R sayısı içi dizii herbir terimi x r taımlı, r < 0 olması durumuda herbir terimi sıfırda farklı ve sıfıra yakısamaya bir dizi ise lim x r = x r 0 dır. İspat. Şimdi ilk ikisii ispatlayıp diğerlerii de sizleri araştırmasıa bırakalım. i İlgili dizii x a ve x b şeklideki iki farklı sayıya yakısadığıı kabul edelim. Bu durumda, verile her ɛ > 0 sayısı içi öyle birer N ve N 2 doğal sayıları vardır öyleki N içi x a < ɛ/2 x a < ɛ ve N 2 içi x b < ɛ/2 x a < ɛ dır. Bua göre, eğer M = Nɛ = mi{n, N 2 } olarak seçilirse her N içi a b = a x + x b = x a + x b x a + x b < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ elde edilir. O halde araa doğal sayısı bulumuş olur. Verile ɛ > 0 sayısı keyfi olduğuada dolayı, üstteki eşitsizlikte kolayca a b ifadesi e küçük olarak sıfır olur. Bu da a = b demektir. Bu ise, başlagıçtaki varsayımımızla iki farklı limiti kabulü ile çelişki oluşturur ki bu da ispatı bitirir. ii x 0 reel sayı dizisi yakısak olsu. O zama, verile her ɛ > 0 sayısı içi öyle birer N = Nɛ doğal sayısı vardır ve her N içi x x 0 < ɛ dır. İsteile ise her 0 içi x K olacak şekildeki bir k > 0 sayısıı bulmaktır. Araştıralım. İlgili dizii yakısaklığıda dolayı, ilgili N. doğal sayısıda öceki dizisii terimleri içi, yai M = max { x 0, x 0 +,, x 0 +N, ɛ } 5
seçimi ile birlikte ɛ < seçimi göz öüe alıırsa, x = x x 0 + x 0 x x 0 + x 0 M + ɛ < + M = K elde edilir ki, bu da x 0 dizisii sıırlı olması demektir. iii x 0 dizisi mooto arta azalmaya ve üstte sıırlı bir dizi olsu. O zama, x 0 x 0 + x 0 +2 x 0 + olacağı içi α = sup{x : N 0 } gibi reel sayısı mutlaka vardır. ɛ > 0 sayısı verildiğide α ɛ sayısı {x : N 0 } kümesii bir üst sıırı olamayacağıda dolayı, α ɛ < x eşitsizliğii sağlayacak şekilde bir N doğal sayısı vardır ve N α ɛ < x N x α < α + ɛ x α < ɛ olur ki, bu da, x α demektir. x x dizisi X 0 R sayısıa ve y dizisi de y 0 R sayısıa yakısası. O zama, her keyfi ɛ > 0 ve ɛ 2 > 0 sayıları içi birer N = N ɛ ve N 2 = N 2 ɛ 2 doğal sayıları vardır ve N içi x x 0 < ɛ ve N 2 içi y y 0 < ɛ 2 dır. O halde, her ɛ > 0 keyfi sayısı verildiğide öyle bir N = Nɛ doğal sayısı bulmalıyız ki N içi x y x 0 y 0 < ɛ olsu. Bua göre, N koşuluu sağlaya her N sayısı içi x y x 0 y 0 = x y x 0 y 0 x y 0 + x y 0 = x y y 0 bx x 0 x y y 0 + y 0 x x 0 < x ɛ + y 0 ɛ 2 eşitsizliğii sağlaya keyfi ɛ = ɛ ve ɛ ɛ 2+M 2 = 2+ y 0 seçimleri yapılırsa, N = Nɛ = max {N ɛ, N 2 ɛ 2 } = max {N, N 2 olması durumuda ɛ 2+M ɛ 2+ y 0 x y x 0 y 0 x y y 0 + y 0 x x 0 < x ɛ + y 0 ɛ 2 < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ soucua kolayca varılır. Böylece, verile N doğal sayısıı kabülü istee ispat bitirir. Soyut matematik derside bilmiş olduğumuz gerektirme türüdeki öermeleri karşıtı ve karşıt tersleri ile ilgili çok sayıda öermeyi üstteki öermelerde elde edebiliriz. Bazılarıı bizler elde edelim. Diğerlerii de sizleri araştırmasıa bırakalım. i i de verile öermei karşıt terside kolayca Bir x 0 dizisii birde fazla limiti var ise ilgili dizii limit yoktur. Öreği, dizisi göz öüe alıırsa: 0 lim x { = lim } { } {, eğer çift ise = lim =, eğer tek ise elde edilir ki iki farkılı limitle karşılaşılır. Bu ise limiti tekliği gereği verile dizii limiti olamaz. Yai yakısak olmaya bir ıraksak dizi olur. 6 }
ii ii deki öermei karşıtı doğru olamaz. Yai, Bir x 0 dizisii sıırlı olması yakısak olmasıı gerektirmez. Öreği, dizisi sıırlıdır fakat yakısak 0 olmadığıı gördük. Diğer tarafta, / dizisi de hem sıırlıdır hem de yakısaktır. iii iii de Bir x 0 dizisii sıırlı değilse yakısak da değildir. Öreği, dizisi e üstte e de altta sıırlı değildir ve yakısak da olmaz. Gayet açık; olur ki iş biter. lim x { = lim } {, eğer çift ise = lim, eğer tek ise } = { x x da verile öermei karşıtı, yai x y 0 dizisi yakısak ise x 0 ve y 0 dizileri yakısak olmak zoruda değildir. Öreği, x y = / = / diziside x = dizisi ıraksaktır ama y = / yakısaktır. Sizler de x de verile öermei karşıt tersii düşüüüz ve örek veriiz. Yakısak ola diziler ile sürekli ola foksiyolar arasıda öemli bir ilişki vardır. Bu öemli souç hem ilerideki bazı dersleriiizde hem de buda soraki kısımlarda kullamak durumuda kalacağız. Bu açıda, aşağıdaki teoremi vermekte fayda görmekteyiz. Teorem.2. Bir f foksiyou bir x 0 oktasıda sürekli olsu ve bir x 0 dizisi de x 0 oktasıa yakısası. O zama, fx 0 dizisi de fx 0 oktasıa yakısar. İspat. Bildiğimiz gibi, f foksiyou x 0 oktasıda süreklidir acak veacak her ɛ > 0 sayısı içi öyle bir δ > 0 saysı vardır ve x x 0 < δ fx fx 0 < ɛ dır. Ayrıca, x x 0 dır acak va acak her ˆɛ > 0 sayısı içi öyle bir N N 0 sayısı vardır ve öyleki N x x 0 < ˆɛ dır. Burada ve ilgili foksiyou sürekliliğide kolayca N x x 0 < ˆɛ := δ fx fx 0 < ɛ olur ki, bu da fx fx 0 demektir. Teoremi birer uygulaması olarak aşağıdaki öreekleri dikkatlice iceleyiiz. Örek.8. a x = dizisii x 0 = 0 oktasıa yakısadığıı ve fx = si x foksiyouu da her reel sayı içi sürekli olduğuu, dolayısıyla x 0 = 0 da da sürekli olacaktır. O halde, lim si = lim f = f lim = f0 = 0 7
olur. b x = dizisii x + 0 = oktasıa yakısadığıı ve fx = l x foksiyouu da yie her pozitif reel sayısı içi sürekli olduğuuda dolayı x 0 = de de sürekli olduğuu yie biliyoruz. Bu durumda, lim l + = lim f + = f lim + = f = l = 0 olur. Dikkat ederseiz, dizilerdeki limit kavramı foksiyolardaki limit kavramıı adırmaktadır. Çükü, dizilerdeki limit kavramıı doğal olarak foksiyolardaki limit kavramııyla taımlayabiliriz. Ykarıdaki bilgiler dahilide, detaylı araştırmayı sizlere bırakıp ve Bir f foksiyouu içi lim x fx = α ise lim f = α dır. öermesii vurgulamakla yetiiyoruz. Bu üstteki öermei karşıtıı doğru olmak zoruda olmadığıı biliyoruz. Öreklediriiz. Alıştırmalar.6. Teorem.2 de yararlaarak aşağıda geel terimi verile dizileri karakterlerii araştırıız. l cos +si, arcta π +, cos π, si π 2+3, 5 log5 +5, 4 +, e e + Dizileri, zama zama a veya a yakısamada da bahsedilir. Yakısak olmaya bu tür dizler içi gerekli taımlamaları da vermekte fayda vardır. Taım.6. Herhagi bir x 0 reel sayı dizisi verilsi. O zama; i Herhagi bir M reel sayısı verildiğide öyle bir N N 0 sayısı var ve bu sayıyı geçe her > N içi x > M oluyorsa, ilgili diziye sosuz yakısıyor deir. Bu tür dizileri ıraksaklığı edeiyle baze sosuza ıraksıyor da demektedir. Bu durum, lim x = veya x ike şeklideki gösterimleride biri ile ifade edilir. ii Herhagi bir M reel sayısı verildiğide öyle bir N N 0 sayısı var ve bu sayıyı geçe her > N içi x < M oluyorsa, ilgili diziye eksi sosuz yakısıyor deir. Bu tür dizileri yie ıraksak oluşu edeiyle baze eksi sosuza ıraksıyor da demektedir. Bu durum, lim x = veya x ike şeklideki gösterimleride biri ile ifade edilir. Bu üstteki heriki taımda da verile her M reel sayısıa göre ilgili N doğal sayısıı varlığıda bahsediliyor. Buda dolayı, aye dizileri N ɛ ilişkiside olduğu gibi 8
araa N doğal sayısı verile M doğal sayısıa göre belirlediği içi ilgili N doğal sayısı NM şeklide de ifade edilebilmektedir. Örek.9. a x = 2 0 geel terimli reel sayı dizisi sosuza yakısar ıraksar. Çümkü, herhagi bir M reel sayısı verildiğide x = 2 0 > M 2 > M + 0 > M + 0 eşitsizliği daima doğru olur eğer araa M reel sayısı M + 0 sayısıda büyük olacak şekilde seçilirse. b x = 3 3 + 8 geel terimli reel sayı dizisi eksi sosuza yakısar ıraksar. Çümkü, herhagi bir M reel sayısı verildiğide x = 3 3 + 8 < M 3 3 < 8 M 3 < 6 M/3 < 3 6 M/3 eşitsiliği daima doğru olur, eğer M reel sayısı 3 6 M/3 sayısıda küçük olacak şekilde seçilirse. Alıştırmalar.7. Aşağıda çeşitli reel sayı dizileri verilmiştir. Her birii öce sosuza ya da eksi sosuz yakısar ıraksar olduklarıı kestiriiz ve doğruluklarıı görüüz. 5 3, 6 3 2,, +, 2 +, 2 +2, 2, 5 4, 2 2, l.2. Alt ve Üst Limitler Öceki öreklerimizde bazıları dikkatle iceleirse, bir dizii limiti olmamasıa rağme alt dizisi koumuda ola dizileri limitleri söz kousu olabilmektedir. Bu açıda, sıkça karşılaşabileceğimiz öemli iki kavram ola limit supremum ve limit ifiimum kavramlarıı taıtalım. Taım.7. Bir x 0 reel sayı dizisi verilsi. Bu durumda, i x 0 dizisii limit supremumu veya üst limiti lim sup x, lim sup x veya lim x şeklide gösterilir ve { lim sup k x k = lim sup xk : k } şeklide taımlaır. ii x 0 dizisii limit ifiimumu veya alt limiti lim if x, lim if x veya lim x şeklide gösterilir ve { lim if k x k = lim if xk : k } 9
şeklide taımlaır. Elbette ki bir dizii alt limiti veya üst limiti bir gerçel sayıya karşılık gelebileceği gibi herhagi reel sayıya karşılık da gelmeyebilir. Baze, Geelleiştirilmiş reel gerçek sayılarda bahsedilir ve bu sayılar kümesi de R R {0} şeklide gösterilir. Böylesi bir durumda, üstte sıırlı olmaya bir x 0 dizisii limit supremumu doğal olarak lim sup x = ve bezeri olarak da allta sıırlı olmaya bir x 0 dizisii limit ifiimumu da doğal olarak lim if x = şeklide ifadeleri sık sık karşılaşıla ifadelerdir. Böylesi durumlarda, geişletilmiş gerçel sayıları göz öüe alıdığıı ama gerçekte bu souçları bir limit olarak kabul edilmediğii, yai R kümeside gerçekte ilgili limitleri olmadığıı bilmekteyiz. Uyarı.2. Alt ve üst limitler ile dizii gerçek limiti arasıdaki ilişkiye dikkat etmek gerekir. Buu içi bir x 0 dizisi verildiğide, aşağıdaki öermeler daima doğru olur. i lim sup x = r = lim if x ve r R ise lim x = r olur. ii lim sup x lim if x ise lim x limiti olamaz. Şimdi, aşağıda verile üç dizii limtlerii, limit supremumlarıı ve limit ifimumlarıı belirleyelim. Örek.0. a x = reel sayı dizisii ele alalım. Bu dizi içi, Taım.7 de belirtile { 0 xk : k } = { k : k } kümesii {x k = k : k } = { x 2 : N } { x 2+ : N } şeklideki temel iki küme olduğu açıkça görülür. Burada da, lim sup { } = ve lim if { } = souçları açıkça elde edilir. Birde fazla lmiti olması söz kousu olmadığıa göre, ilgili dizi limiti yoktur. Diğer bir ifadeyle dizi yakısak değil, yai ıraksaktır. b x = / reel sayı dizisii ele alalım. Bu dizi içi de yie Taım.7 de belirtile { x k : k } = { k /k : k } kümesii de {x k = k /k : k } = { x 2 /2 : N +} { x 2+ /2 + : N +} şeklideki iki esas kümede ibaret olacaığı göz öüe alıırsa sup { 2 /2 = /2 : N +} = /2 ve if { 2 /2 = /2 : N +} = /2 oldukları açıkça görülür. Burada da lim sup { / } { = lim /2 = 0 ve lim if / } = lim /2 = 0 istee limitler elde edilir. Ayrıca lim x = 0 olduğu, yai dizii limiti 0 olduğu açıktır. c x = 2 reel sayı dizisii ele alalım. Bu dizi içi de yie Taım.7 de belirtile { x k : k } = { k 2 k : k } kümesii ve buu eşiti koumuda ola {x k = k 2 k : k } = { x 2 2 : N +} { x 2+ 2+ : N +} şeklideki iki esas kümeyle ilişkisi elde edilir. Burada sup { { 2 2 2 : N +} = 2 2, 4 2, 6 2, } = + ve if { 2 2 2 : N +} = { 2, 3 2, 5 2, } = 20
olur ki acak geelleştirişmiş gerçel reel sayılar kümeside lim sup { 2 } = ve lim if { 2 } = şeklide olur ama bu limitleri gerçekte olmadıklarıı uutmayıız. Ayrıca dizii limiti yoktur. ç Bir x dizisii geel terimi:, 0 Mod 3 ise +, Mod 3 ise x = +, 2 Mod 3 ise şeklide verildiğie göre, ilgili dizii limit, alt limit ve üst limit araştırması yapalım. Dikkatli bir iceleme soucu, verile dizii temel bazda a = x 3 = 3 = 3, 6, 9,, 3+ 4 7 0 b = x 3 2 = 3 2 =, 4, 7, 3 2 5 8 ve c = x 3 = =,,, 3 5 8 şeklideki üç alt dizisi söz kousudur. Nede? Bua göre; lim x 3 =, lim x 3 2 = ve lim x 3 = 0 olduğu kolayca görülür. Burada, lim x = ve lim x = olduğu heme görülür. d Bir x 0 = si π dizisii ele alalım. Dikkat edilirse: 2 x = si π 2 0 a = 0, {0, 2, 4, 6, } ise = b =, {, 5, 9, } ise c =, {3, 7,, } ise şeklide ki üç öemli alt dizleri söz kousudur. Nede? Bua göre, lim a = 0, lim b = ve lim c = olup ve burada lim x = ve lim x = elde edilir. Alıştırmalar.8. Aşağıda çeşitli reel sayı dizilerii geel terimleri verilmiştir. Her biri içi limit, al limit ve üst limit araştırması yapıız. Varsa belirleyiiz., +,,,,, 3 6 si, cos π, l 2 +, 4 +, 2,, +, +.2. Reel Gerçel Cauchy Dizileri 2
Bilidiği gibi yakısak dizileri limiti var ve sadece bir taedir. Dolayısıyla, verile herhagi bir dizii limitii belirleme yolua giderek verile dizileri yakısak olduklarıı hakkıda bilgilemekteyiz. Baze, bir dizii limitii bulma belirleme yolua gitmede yakısaklığı hakkıda bilgi verbilmekteyiz ki butür dizilere Cauchy dizisi adı verilir. Şimdi bu dizileri taımıı öcelikli olarak verelim. Taım.8. Bir x m reel sayı dizisi verilsi. Her ɛ > 0 keyfi sayısı verildiğide öyle bir N doğal sayı var ve bu N sayısıı geçe her, m doğal sayıları içi x x m < ɛ oluyorsa x m dizisie reel veya gerçel Cauchy dizisi adı verilir. Cauchy dizilerii terimlerii belli bir doğal sayısıda soraki her bir ve m doğal sayılarıda sorak dizii terimler arasıdaki farkı isteile kadar küçük olması gerektiği ilgil taımda açıkça görülmektedir. Yakısak ola bu tür diziler içi elbette ki verile her keyfi ɛ > 0 sayısıa göre ilgili ilgili N doğal sayısı söz kousu olduğuda dolayı, çoğu zama N = Nɛ gösterimii kullaımı da yie doğaldır ve her, m N = Nɛ doğal sayıları arasıdaki x x m mesafesi de isteile kadar olacaktır. Yie, herhagi bir x dizisii Cauchy olduğuu ispatlamak içi x + x şeklideki ardışık terimler arasıdaki farkı isteile kadar küçük olması x x m ifadesii isteile kadar küçük olmasıı gerektirmeyebilir. Örek.. a x = dizisii göz öüe alalım. Bu dizii ardışık terimleri arasıdaki fark, yai her N + içi x + x = + = + ++ ++ = ++ 0 olmasıa rağme, ıraksak olduğu ve doğal olarak bir Cauchy dizisi olamayacağı açıktır. b x = + 2 geel terimli dizii ardışık terimleri arasıdaki mutlak fark, her N içi x + x = + + 2 + 2 ++ = 2 + ++ 2 2 + + 2 ++ 2 + + 2 2+ = 2 +2+2+ = 2+ [ 2 + + + 2 + + 2 ] olur ki, bu da x + x mutlak farkı isteildiği kadar küçük olamayacağıı gösterir. Zate, x = + 2 dizisii ıraksak olduğu da açıktır. Doğal olarak, böylesi bir 0 dizii cauchy dizisi olamaz. c dizisi bir Cauchy dizisidir. Çükü, verile her keyfi ɛ > 0 sayı içi araa doğal sayısı N = Nɛ > 2/ɛ olacak şekildeki bir seçimle, her, m N = Nɛ içi x x m = / /m / + /m < /N + /N = 2/N < ɛ 22
olur ki bu da daima doğrudur. ç dizisi bir Cauchy dizisidir. Her keyfi ɛ > 0 sayısıa karşılık N = Nɛ > 3 3 2/ɛ koşuluu sağlaycak şekildeki herhagi bir seçim yapılırsa, her, m N = Nɛ içi eşitsizliği daima olur. x x m = / 3 /m 3 / + m /m < /N 3 + /N 3 = 2/N 3 < ɛ d dizisi bir Cauchy dizisidir. Her keyfi ɛ > 0 sayısıa karşılık N = Nɛ > 7 log 7 2/ɛ koşuluu sağlayacak şekildeki herhagi bir seçim yapılırsa her, m N = Nɛ içi x x m = /7 /7 m /7 + /7 m < /7 N + /7 N = 2/7 N < ɛ eşitsizliği daima olur. e 3 dizisi bir Cauchy dizisi olamaz. Çükü ilgili dizi e üstte e de allta sıırlıdır. Böylesi, yai sıırlı olmaya bir dizii limitii varlığı zate söz kousu bile değildir. Yie de, her ɛ > 0 sayısı içi öyle bir N = Nɛ doğal sayısıı var olduğuu kabul edelim. Bu durumda, her, m N = Nɛ içi x x m = 3 m m 3 3 + m m 3 < N 3 + N 3 = 2N 3 şeklideki eşitsizlik elde edilir ki, bu da ɛ > 0 sayısı kadar küçük olması ile çelişki oluşturur. O halde, aksiyomumuz, yai N = Nɛ doğal sayısıı varlığıı kabulü doğru olamaz. Bu da işi bitirir. f dizisi bir Cauchy dizisi değildir. Buu içi de verile dizii yakısak olmamamsı yeterlidir ama farklı bir matıkığı ileri sürelim. Bu içi de verile dizii Cauchy dizisi olduğuu kabul edelim. O zama, her ɛ > 0 sayısı içi bir N = Nɛ doğal sayısı kesi vardır. Dolayısıyla, = 2N ve m = 2N + doğal sayıları ilgili N doğalsayıları geçe sayılardır. Bu durum da x x m < ɛ olması gerekir. Halbuki x x m = x 2N x 2N+ = 2N 2N+ = + = 2 < ɛ elde edilir ki bu da her ɛ > 0 içi doğru değildir. O halde, varsayımımız, yai Cauchy dizisidir kabulümüz doğru olamaz. O halde, ilgili dizi Cauchy dizisi olamaz. Alıştırmalar.9. Aşağıda çeşitli dizilere ilişki geel terimler verilmiştir. Herbirii birer Cauchy dizisi olup olmadıklarıı araştırıız. cos, cos cos si,, 2,,,, 5 si!, 3,!, cos, 3, l,, 5,,!, 5, 3, 2, si 5, cos 5, cos, si,, +, 3, 3,, 23
cos +, cos, cos, 3, 2, 3 5 4, e, e 2, e / Şimdi de Cauchy dizileriyle ilgili teoremleri bazılarıı verelim. Teorem.3. Bir x 0 ve y 0 reel sayı dizileri ile α ve β reel skaları verilsi. Bu durumda; i x 0 ii x 0 iii x 0 Cauchy dizisi ise sıırlıdır. yakısak ise Cauchy dizisidir. Cauchy dizisi ise yakısaktır. iv x 0 Cauchy dizisi ise her bir x k 0 alt dizisi de Cauchy dizisidir. v x 0 Cauchy dizisi ise x 0 dizisi de Cauchy dizisidir. vi x 0 Cauchy dizisi ise αx 0 de Cauchy dizisidir. vii x 0 bir Cauchy dizisi ve her 0 içi x 0 ise /x 0 dizisi de Cauchy dizisidir. tabii ki x 0 dizisi sıfıra yakısamay bir dizidir. viii x 0 ve y 0 Cauchy dizileri ise αx + βy 0 dizisi de Cauchy dizisidir. ix x 0 ve y 0 dizileri Cauchy dizileri ise x y 0 dizisi de Cauchy dizisidir. x x 0 ve y 0 dizileri Cauchy dizileri ise x /y 0 dizisi de Cauchy dizisidir. Tabii ki y 0 dizi sıfıra yakısamaya ve her 0 içi y 0 ola bir dizidir. İspat. Şimdi bazılarıı ispatlayıp diğerlerii de szileri araştırmasıa bırakalım. i Bir x dizisii Cauchy dizisi olduğuu kabul edelim ve kolaylık olsu diye ilgili ɛ = seçelim. O zama, öyle bir N doğal sayısı vardır ki, her, m N doğal sayısı içi, x x m < ɛ = omak durumudır. Bu ise, her N içi x x N+ < olmasıı gerektirir. Burada, elde edilir. Eğer x x N+ < x N+ < x < x N+ + b = max{x 0, x,..., x N, x N+ + } ve a = mi{x 0, x,..., x N, x N+ } olarak seçersek, her N içi, a x b elde edilir ki, bu da x dizisii sıırlı olmasıdır. ii x 0 dizisi yakısak olsu. Bu durum da x 0 dizisii bir Cauchy dizisi olduğuu gösterelim. x 0 dizisi yakısak olduğuda dolay x x 0 olacak şekilde bir x 0 reel sayısı vardır. İlgili taım gereği, verile her ɛ > 0 sayısıa karşı daima e az bir N = Nɛ doğal sayısı var ve bu sayıyı geçe her N içi x x 0 < ɛ dır. 24
Keyfi ɛ > 0 sayısı verilsi. Bu durumda, x x m = x x 0 + x 0 x m = x x 0 x m x 0 < x x 0 + x m x 0 < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ elde edilir ki bu da ispatı bitirir. iv Bir x dizisi Cauchy dizisi olsu. Teorem.3-i ye göre x dizisi sıırlıdır. Her sıırlı dizii yakısak bir alt dizisi olduğua göre, x dizisii de yie bir x k alt dizisi vardır. Burada, x k a olsu. O zama, x a olduğuu görmemiz gerekir. Her keyfi ɛ > 0 sayısı verilsi. x dizisi Cauchy dizisi olduğuda dolayı öyle bir N doğal sayısı vardır ve her, m N doğal sayısı içi x x m < ɛ/2 olmak zorudadır. k doğal sayısı k N ve x k a < ɛ/2 olacak şekilde ve yeteri kadar büyük seçilebilir. Bu durumda, her N içi x a = x x k + x k a x x k + x k a < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ elde edilir. Yai, x a olur. vi Bir x dizisi Cauchy dizisi olsu ve α skaları verilsi. x dizisi Cauchy dizisi olduğuda dolayı, her keyfi ɛ > 0 sayısı verildiğide öyle bir N = Nɛ doğal sayısı var ve bu sayıyı geçe her, m N sayısı içi x x m < ɛ dır. Keyfi ɛ > 0 sayısı verilsi. O zama, αx αy = α x y = α x y < ɛ α elde edilir. O halde, verile N doğalsayısı N = N ɛ/ α şeklideki doğal sayı seçilirse iş biter. Teorem.3 de elde edilebiliecek çok sayıda hem öerme hem de teorem mevcuttur. Öcede düşüdüğümüz gibi, her bir teoremi karşıtıda ve karşıt terside hepsi ortaya çıkarılabiliir. Bazıları aşağıda verilmiş olup, diğerlerii de belirlemesi ve örekledirilmesi sizleri araştırmasıa bırakılmıştır. Souç.2. i i i karşıt göz öüe alıırsa: Bir x 0 dizisi sıırlı ise Cauchy dizisidir. öermesi doğru olmak zoruda değildir. Öreği, x = geel terimli dizisii sıırlı olduğuu ve Cauchy dizisi olmadığıı biliyoruz. ii i i karşıt tersi göz öüe alıırsa: Bir x 0 dizisi sıırlı deeğil ise Cauchy dizisi değildir. öermesi daima doğrudur. Nede? iii ii i karşıt göz öüe alıırsa: Bir x 0 Cauchy dizisi ise yakısaktır. öermesii doğru olduğu ispatlamıştı. iv ii i karşıt tersi göz öüe alıırsa: Bir x 0 Cauchy dizisi değilse yakısak da değildir. öermesii daima doğru olduğuu zate biliyoruz. Nede? 25
b N 3, x =, x 2 = 2, x = x x 2 26.3. Özel Taımlı Bazı Diziler Çok sayı taımlamış bilidik diziler vardır. Şimdi bazıları hatırlayalım. Taım.9. i x reel sayı dizisii geel terimi: x = + + + + + = 2 2 = şeklide ola dizilere harmoik dizi adı verilir. Bu tür diziler ıraksak dizilerdir. Doğal olarak Cauchy dizisi de olamaz. Farklı bir araştırma yolu olarak ilgili dizii yakısak olduğuu kabul edelim. Bu durumda, x 2 dizisi x dizisii bir alt dizisi olup her ikisii de limitler s olsu. O zama, x 2 = + 2 + 3 + 4 + + 2 + 2 = + 2 + + 3 4 + + + 2 2 + 2 + + 4 4 + + + 2 2 = + + + + + 2 2 3 = 2 + x, yai x 2 2 + x eşitsizliği elde edilir. Burada, hem x s hem de x 2 s olması gerektiği kabul ettik çükü göz öüe alıır ve limite geçilirse, doğru olmaya bir öerme karşılaşılır. Bu da, yai varsayımımız ola x dizisii yakısaklığı ile çelişki elde edilir. Bu da işi bitirir. ii Bir dizii ilk birkaç terimi verilir ve diğer terimleri de verilelerde yararlaarak buluur. Bu tür dizilere rekürsif dizi adı verilir. Öreği;. terimi x = a R olarak verilsi. Dizii x 2, x 3, x 4, terimleri de her N 2 içi x = b + x şeklideki geel terimle oluşturulması isteirse, ilgili rekürsif dizi x = x, x 2, x 3, x 4, = a, a + b, a + b + b, [a + b + b] + b, = a, a + b, a + 2b, a + 3b,, a + b, şeklideki dizi olacaktır. Sizler de aşağıda rekürsif formda verile dizileri ilk beş terimii buluuz. a N 2, x = 2, x = + x
c N 3, x =, x 2 = 2, x = x 2 x ç N 2, x = 2, x = x d N 3, x =, x 2 = 2, x = x + x 2 iii Her bir ardışık terimleri arasıdaki fark hep ayı ise bu diziye aritmetik dizi adı verilir. Olayı matematiksel boyutta ve m = seçimiyle ele alırsak: x = x, x 2, x 3,, x, şeklideki bir dizi her N içi x + x = d R ise x dizisie aritmetik dizi ve r sayısıa da aritmetik dizii aritmetik farkı adları verilir. Bua göre, ilgili dizii geel terimii belirleyelim:. terim : x 2. terim : x 2 = x + d 3. terim : x 3 = x 2 + d = x + d + d = x + 2d 4. terim : x 4 = x 3 + d = x + 2d + d = x + 3d.. terim : x = x + d = x + 2d + d = x + d elde edilir ki her N içi x = x + d şeklideki geel terimli bir dizi olur. Bu tür dizileri yakısak olmadıkları ve doğal olarak Cauchy dizileri de olmadıkları açıktır. Aaşagıda verile bilgiler dahilide, ilgili aritmetik dizileri geel terimlerii belirleyiiz. x 0 = 3, x 20 = 56 ; x 2 = 5, d = 3 ; x = 3, d = 5 ; x 8 = /3, d = /5 iv Her bir ardışık terimlerii oraı hep ayı ise bu diziye geometrik dizi adı verilir. Bu diziyi de matematiksel boyutta ele alırsak: x = x, x 2, x 3,, x, şeklideki bir dizi her N + içi x + /x = r R ise x dizisie geometrik dizi ve r sayısıa da geometrik dizii geometrik oraı adları verilir. Bua göre, ilgili dizii geel terimii belirleyelim:. terim : x 2. terim : x 2 = rx 3. terim : x 3 = rx 2 = rrx = r 2 x 4. terim : x 4 = rx 3 = rr 2 x = r 3 x.. terim : x = rx = = r x 27
elde edilir ki her N + içi x = r x şeklideki geel terimli bir dizi olur. Aşagıda verile bilgiler dahilide, ilgili geometrik dizileri geel terimlerii belirleyiiz. x = 3, x 7 = 28 ; x 0 = 5, r = /3 ; x = /3, r = 5 ; x 2 = 3, r = 2/3 Örek.7-v de belirttiğimiz gibi, geometrik dizileri hem yakısaklığı hem de ıraksaklığı söz kousudur. Bu durumu, tekrar aşağıdaki gibi uyarı şeklide vurgulamakta fayda görüyoruz. Doğruluklarıı N ɛ ilişkisiyle tekrar görülmesi sizlere bırakılmıştır. Uyarı.3. x geometrik dizisii geel terimii limitii icelemesi: şeklidedir. Doğal olarak; { Yakısaktır, eğer r < ise x = r Iraksaktır, eğer r ise lim e =, lim e = lim 5 = 0, lim π = 0, lim 0, = 0, lim 0, 0 = 0, lim, =, lim 4 3 =, lim 0, = 0, lim, 0 =, lim π =, lim 3 4 = 0, lim l 2 = 0, lim l 3 = şeklide olur. 28