Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010
Kuantum grubu örgülü bir Hopf cebridir.
Cebir Tanım Bir k-vektör uzayı A için, µ : A A A ve η : k A birer k-doğrusal fonksiyon olsun. Eğer aşağıdaki çizgeler değişme özelliğini sağlarlarsa, (A, µ, η) üçlüsü bir cebir oluşturur: A A A µ id A A id µ A A µ A, µ id η k A η id A A A k µ = = A.
Bir cebir olarak grup cebri k[g] Örnek Bir k cismi ve birim elemanı e olan sonlu bir G grubu için, tabanı G grubunun elemanları olan k-vektör uzayı k[g] = g G kg üzerinde bir cebir yapısı tanımlayabiliriz: Her g 1, g 2 G için, µ(g 1 g 2 ) = g 1 g 2, η(1) = e. Oluşan k[g] cebrine G grubunun (k üzerindeki) grup cebri denir.
Eşcebir Tanım Bir k-vektör uzayı A için, : A A A ve ε : A k birer k-doğrusal fonksiyon olsun. Eğer aşağıdaki çizgeler değişme özelliğini sağlarlarsa, (A,, ε) üçlüsü bir eşcebir oluşturur: A A A id A A id A A A, ε id k A A A id ε A k = = A.
Bir eşcebir olarak grup cebri k[g] Örnek Grup cebri k[g] = g G kg üzerinde doğal bir eşcebir yapısı vardır. Bu eşcebirin, eşçarpımı ve eşbirimi, her g G için şöyle tanımlanır: (g) = g g, ε(g) = 1.
Sweedler ın Sigma Gösterimi Gösterim (Sweedler ın sigma gösterimi) Gösterimde indislerin oluşturduğu zorluğu aşmak amacıyla her x A için (x) aşağıdaki gibi yazılır: (x) = (x) x x.
Cebir Yapısal Dönüşümü Tanım Diyelim ki, (A, µ, η), (A, µ, η ) cebirleri ve bir f : A A k-doğrusal fonksiyonu verilmiş olsun. Eğer f aşağıdaki koşulları sağlarsa, f ye cebir yapısal dönüşümü denir: µ (f f ) = f µ ve f η = η.
Eşcebir Yapısal Dönüşümü Tanım Diyelim ki, (A,, ε), (A,, ε ) eşcebirleri ve bir f : A A k-doğrusal fonksiyonu verilmiş olsun. Eğer f aşağıdaki koşulları sağlarsa, f ye eşcebir yapısal dönüşümü denir: (f f ) = f ve ε = ε f.
Gözlemler Gözlem Eğer (A, µ, η) bir cebir ise, τ(a b) = b a olmak üzere (A A, (µ µ) (id τ id), η η) da bir cebirdir.
Gözlemler Gözlem Eğer (A, µ, η) bir cebir ise, τ(a b) = b a olmak üzere (A A, (µ µ) (id τ id), η η) da bir cebirdir. Eğer (A,, ε) bir eşcebir ise, (A A, (id τ id) ( ), ε ε) da bir eşcebirdir.
Çifte cebir Tanım Diyelim ki, (A, µ, η) bir cebir ve (A,, ε) bir eşcebir olsun. Eğer µ ve η eşcebir yapısal dönüşümleri veya denk olarak ve ε cebir yapısal dönüşümleri ise (A, µ, η,, ε) beşlisine çifte cebir denir.
k[g] Örnek Daha önce tanımladığımız çarpım, birim, eşçarpım ve eşbirim ile k[g] bir çifte cebirdir.
Kanıt Kanıt Eşcebir işlemleri ve ε un birer cebir yapısal dönüşümü olduğunu göstereceğiz. Benzer şekilde µ ve η nın eşcebir yapısal dönüşümü olduğunu da gösterebiliriz.
k[g] Kanıt (µ µ)(id τ id)( ) = µ, η = η η, µ k (ε ε) = εµ ve εη = η k olduğunu göstermeliyiz: (µ µ)(id τ id)( )(g 1 g 2 ) = (µ µ)(id τ id)(g 1 g 1 g 2 g 2 ) = (µ µ)(g 1 g 2 g 1 g 2 ) = g 1 g 2 g 1 g 2 = µ(g 1 g 2 ),
k[g] Kanıt (µ µ)(id τ id)( ) = µ, η = η η, µ k (ε ε) = εµ ve εη = η k olduğunu göstermeliyiz: (µ µ)(id τ id)( )(g 1 g 2 ) = (µ µ)(id τ id)(g 1 g 1 g 2 g 2 ) = (µ µ)(g 1 g 2 g 1 g 2 ) = g 1 g 2 g 1 g 2 = µ(g 1 g 2 ), η(1) = (e) = e e = (η η)(1),
k[g] Kanıt (µ µ)(id τ id)( ) = µ, η = η η, µ k (ε ε) = εµ ve εη = η k olduğunu göstermeliyiz: (µ µ)(id τ id)( )(g 1 g 2 ) = (µ µ)(id τ id)(g 1 g 1 g 2 g 2 ) = (µ µ)(g 1 g 2 g 1 g 2 ) = g 1 g 2 g 1 g 2 = µ(g 1 g 2 ), η(1) = (e) = e e = (η η)(1), µ k (ε ε)(g 1 g 2 ) = µ k (1 1) = 1 = εµ(g 1 g 2 ),
k[g] Kanıt (µ µ)(id τ id)( ) = µ, η = η η, µ k (ε ε) = εµ ve εη = η k olduğunu göstermeliyiz: (µ µ)(id τ id)( )(g 1 g 2 ) = (µ µ)(id τ id)(g 1 g 1 g 2 g 2 ) = (µ µ)(g 1 g 2 g 1 g 2 ) = g 1 g 2 g 1 g 2 = µ(g 1 g 2 ), η(1) = (e) = e e = (η η)(1), µ k (ε ε)(g 1 g 2 ) = µ k (1 1) = 1 = εµ(g 1 g 2 ), εη(1) = ε(e) = 1 = η k (1).
Konvolusyon Tanım Diyelim ki, (A, µ, η) bir cebir ve (C,, ε) bir eşcebir olsun. Her f, g Hom(C, A) için f ve g nin konvolusyonu f g ile gösterilir ve aşağıdaki fonksiyonların birleşimi şeklinde tanımlanır: C C C f g A A µ A.
Hopf Cebiri Tanım Bir çifte cebir (H, µ, η,, ε) için, H nin bir özyapı dönüşümü S olsun. Eğer aşağıdaki koşul sağlanırsa S ye H nin antipodu denir: S id H = id H S = η ε. Antipodu olan çifte cebire Hopf cebiri denir.
k[g] Örnek Aşağıda tanımlanan antipotla birlikte (k[g], µ, η,, ε) çifte cebiri, bir Hopf cebiridir: S(g) = g 1.
İspat Kanıt µ (S id) = η ε ve µ (id S) = η ε olduğunu göstermeliyiz:
İspat Kanıt µ (S id) = η ε ve µ (id S) = η ε olduğunu göstermeliyiz: µ (S id) (g) = µ (S id)(g g) = µ(g 1 g) = e = η ε(g),
İspat Kanıt µ (S id) = η ε ve µ (id S) = η ε olduğunu göstermeliyiz: µ (S id) (g) = µ (S id)(g g) = µ(g 1 g) = e = η ε(g), µ (id S) (g) = µ (id S)(g g) = µ(g g 1 ) = e = η ε(g).
Yarı eşdeğişmeli Hopf Cebiri Tanım Bir (H, µ, η,, ε) çifte cebirini düşünelim. Her x H için, op (x) = R (x)r 1 koşulunu sağlayan tersinir bir R H H varsa H ye yarı eşdeğişmeli denir. op = τ H,H, τ H,H (h 1 h 2 ) = h 2 h 1.
Yarı eşdeğişmeli Hopf Cebiri Tanım Bir (H, µ, η,, ε) çifte cebirini düşünelim. Her x H için, op (x) = R (x)r 1 koşulunu sağlayan tersinir bir R H H varsa H ye yarı eşdeğişmeli denir. op = τ H,H, τ H,H (h 1 h 2 ) = h 2 h 1. R ye H çifte cebirinin evrensel R-matrisi denir.
Yarı eşdeğişmeli Hopf Cebiri Tanım Bir (H, µ, η,, ε) çifte cebirini düşünelim. Her x H için, op (x) = R (x)r 1 koşulunu sağlayan tersinir bir R H H varsa H ye yarı eşdeğişmeli denir. op = τ H,H, τ H,H (h 1 h 2 ) = h 2 h 1. R ye H çifte cebirinin evrensel R-matrisi denir. Bir Hopf cebirine, eğer altında yatan çifte cebir yarı eşdeğişmeli ise yarı eşdeğişmeli Hopf cebiri denir.
Gösterim Diyelim ki, R = i s i t i olsun. R 12, R 13, R 23 ile aşağıdaki elemanlar gösterilir: R 12 = i s i t i 1, R 13 = i s i 1 t i, R 23 = i 1 s i t i.
Örgülü Hopf Cebiri Tanım Bir (H, µ, η,, ε, R) yarı eşdeğişmeli çifte cebirini düşünelim. Eğer evrensel R-matrisi R aşağıdaki eşitlikleri sağlarsa H ye örgülü çifte cebir denir: ( id H )(R) = R 13 R 23, (id H )(R) = R 13 R 12. Bir Hopf cebirine, eğer altında yatan çifte cebir örgülü ise örgülü Hopf cebiri denir.
C[Z/nZ] Örnek Hopf cebiri (C[Z/nZ], µ, η,, ε, S) için, eğer g Z/nZ bir üreteç ise, bir evrensel R-matrisi aşağıda verilmiştir: R = 1 n n 1 a,b=0 e 2πiab n g a g b.
Eşörgülü Hopf Cebiri Tanım Bir (H, µ, η,, ε) çifte cebirini düşünelim. Eğer H H üzerinde aşağıdaki koşulları sağlayan doğrusal bir r formu varsa H ye eşörgülü denir: (i) H H üzerinde r r = r r = ε koşulunu sağlayan bir r formu vardır, (ii) µ op = µ τ olmak üzere, µ op = r µ r, (iii) r(µ id H ) = r 13 r 23 ve r(id H µ) = r 13 r 12. r 12 = r ε, r 23 = ε r, r 13 = (ε r)(τ H,H id H ).
Eşörgülü Hopf Cebiri Tanım Bir (H, µ, η,, ε) çifte cebirini düşünelim. Eğer H H üzerinde aşağıdaki koşulları sağlayan doğrusal bir r formu varsa H ye eşörgülü denir: (i) H H üzerinde r r = r r = ε koşulunu sağlayan bir r formu vardır, (ii) µ op = µ τ olmak üzere, µ op = r µ r, (iii) r(µ id H ) = r 13 r 23 ve r(id H µ) = r 13 r 12. r 12 = r ε, r 23 = ε r, r 13 = (ε r)(τ H,H id H ). r ye H nin evrensel R-formu denir.
Eşörgülü Hopf Cebiri Tanım Bir (H, µ, η,, ε) çifte cebirini düşünelim. Eğer H H üzerinde aşağıdaki koşulları sağlayan doğrusal bir r formu varsa H ye eşörgülü denir: (i) H H üzerinde r r = r r = ε koşulunu sağlayan bir r formu vardır, (ii) µ op = µ τ olmak üzere, µ op = r µ r, (iii) r(µ id H ) = r 13 r 23 ve r(id H µ) = r 13 r 12. r 12 = r ε, r 23 = ε r, r 13 = (ε r)(τ H,H id H ). r ye H nin evrensel R-formu denir. Bir Hopf cebirine, eğer altında yatan çifte cebir eşörgülü ise eşörgülü Hopf cebiri denir.
Modül Tanım Diyelim ki, (A, µ, η) bir cebir, V bir k-vektör uzayı ve µ V : A V V k-doğrusal bir fonksiyon olsun. (V, µ V ) ikilisine eğer aşağıdaki çizgeler değişme özelliğini sağlarsa A-modülü denir: A A V µ id A V id µ V µ V A V µ V V, k V η id A V µ V = V.
Eşmodül Tanım Diyelim ki, (A,, ε) bir eşcebir, V bir k-vektör uzayı ve V : V A V k-doğrusal bir fonksiyon olsun. (V, V ) ikilisine eğer aşağıdaki çizgeler değişme özelliğini sağlarsa A-eşmodülü denir: V V A V V id V A V id A A V, ε id k V A V = V. V
Sweedler eşmodül gösterimi Gösterim Gösterimde indislerin oluşturduğu zorluğu aşmak amacıyla her x V için V (x) aşağıdaki gibi yazılır: V (x) = (x) x A x V.
R-matris Tanım Bir k-vektör uzayı V için, V V nin bir eşözyapı dönüşümü c olsun. Eğer aşağıda verilen Yang-Baxter denkleminin bir çözümü ise c ye R-matrisi denir: (c id V )(id V c)(c id V ) = (id V c)(c id V )(id V c).
Teorem Eğer (H, µ, η,, ε, R) bir örgülü Hopf cebiri ve V bir H-modülü ise, V V nin aşağıdaki gibi tanımlanan eşözyapı dönüşümü c R V,V bir R-matrisidir: c R V,V (v w) = τ V,V [R(v w)].
Teorem Eğer (H, µ, η,, ε, r) bir eşörgülü Hopf cebiri ve V eşetki fonksiyonu V olan bir H-eşmodülü ise, V V nin aşağıdaki gibi tanımlanan eşözyapı dönüşümü cv r,v bir R-matrisidir: c r V,V = (r id V V ) (id H τ V,H id V ) ( V V ) τ V,V.
FRT inşası Teorem Diyelim ki, V bir k-vektör uzayı ve c, V V nin Yang-Baxter denklemini sağlayan bir eşözyapı dönüşümü olsun. Bu durumda aşağıdaki koşulları sağlayan eşörgülü bir çifte cebir A(c) ve doğrusal bir fonksiyon V : V A(c) V vardır: V, V için A(c) üzerinde bir eşmodül yapısı oluşturur, c bu yapıya göre eşmodül yapısal dönüşümü olur, A(c) A(c) üzerinde tanımlı, A(c) ye, c r V,V = c olacak şekilde, eşörgülü çifte cebir yapısı veren yalnızca bir doğrusal form r vardır, çifte cebir A(c) eşözyapı dönüşümü farkıyla tektir.
Modül-eşcebiri Tanım Bir çifte cebir H ve bir eşcebir C düşünelim. Eğer C ye H-modül yapısı veren bir eşcebir yapısal dönüşümü H C C varsa C ye H üzerinde modül-eşcebiri denir.
Eşlenmiş çifte cebir ikilisi Tanım Bir (X, A) çifte cebir ikilisini düşünelim. Eğer aşağıdaki koşulları sağlayan, X e A-modül-eşcebiri yapısı veren doğrusal bir fonksiyon α : A X X ve A ya sağ X -modül-eşcebiri yapısı veren doğrusal bir fonksiyon β : A X A varsa (X, A) ikilisine eşlenmiş denir: α(a x) = a x ve β(a x) = a x olmak üzere her a, b A ve x, y X için, a (xy) = (a)(x) (a x )(a x y), a 1 = ε(a)1, (ab) x = (b)(x) ab x b x, 1 x = ε(x)1, (a)(x) a x a x = (a)(x) a x a x.
Teorem Eşlenmiş bir çifte cebir ikilisi (X, A) için, k-vektör uzayı X A üzerinde, X ve A nın çifte çapraz çarpımı denilen ve X A ile gösterilen tek bir çifte cebir yapısı vardır. Çarpması, birimi, eşçarpması ve eşbirimi aşağıdaki gibidir: Her x, y X ve a, b A için, (x a)(y b) = (a)(y) x(a y ) a y b, η(1) = 1 1, (x a) = (a)(x) (x a ) (x a ), ε(x a) = ε(x)ε(a).
Teorem Eşlenmiş bir çifte cebir ikilisi (X, A) için, k-vektör uzayı X A üzerinde, X ve A nın çifte çapraz çarpımı denilen ve X A ile gösterilen tek bir çifte cebir yapısı vardır. Çarpması, birimi, eşçarpması ve eşbirimi aşağıdaki gibidir: Her x, y X ve a, b A için, (x a)(y b) = (a)(y) x(a y ) a y b, η(1) = 1 1, (x a) = (a)(x) (x a ) (x a ), ε(x a) = ε(x)ε(a). Eğer X ve A çifte cebirlerinin antipotları varsa, X A nın antipodu aşağıdaki gibidir: S(x a) = S A (a ) S X (x ) S A (a ) S X (x ). (x)(a)
Teorem Diyelim ki, H = (H, µ, η,, ε, S, S 1 ) sonlu boyutlu bir Hopf cebiri ve X = (H op ) = (H,, ε, (µ op ), η, (S 1 ), S ) H nin karşıt Hopf cebirinin duali olsun. α : H X X ve β : H X H, her a H ve f X için, α(a f ) = a f = (a) f (S 1 (a )?a ), β(a f ) = a f = (a) f (S 1 (a )a )a şeklinde verilen doğrusal fonksiyonlar olsun. Bu durumda (H, X ) ikilisi eşlenmiştir. Burada f (S 1 (a )?a ) ile f (S 1 (a )?a )(b) = f (S 1 (a )ba ) fonksiyoneli gösterilmektedir.
Kuantum Çifti Tanım Tersinir antipodu olan sonlu boyutlu bir Hopf cebiri H için, X = (H op ) olmak üzere, H nin kuantum çifti olarak tanımlanır. D(H) = X H
Teorem Her f, g X ve a, b H için, aşağıda tanımlanan işlemlerle, D(H) bir Hopf cebiridir: (f a)(g b) = (a) fg(s 1 (a )?a ) a b, η(1) = 1 1, (f a) = (a)(f ) (f a ) (f a ), ε(f a) = ε(a)f (1), S(f a) = (a) f (S 1 (a?s(a ))) S(a ).
Teorem Bir Hopf cebiri H nin tabanı {e i } i I ve onun dual tabanı {e i } i I olsun. Bu durumda D(H) örgülü bir Hopf cebiridir ve evrensel R-matrisi aşağıdaki gibidir: R = i I (1 e i ) (e i 1).
k[g] Örnek Sonlu ve değişmeli bir G grubunu düşünelim. Grup cebiri k[g] nin bir tabanı {g} g G ve {e g } g G bu tabanın dual tabanı olsun. Bu durumda X = (k[g] op ) aşağıda işlemleri verilen Hopf cebiridir: e g e h = δ gh e g, η(1) = g G e g, (e g ) = uv=g e v e u, ε(e g ) = δ ge, S(e g ) = e g 1.
k[g] Örnek Grup cebiri k[g] nin kuantum çifti D(k[G]) nin işlemleri, her e g, e h X ve a, b H için, aşağıda verilmiştir: (e g a)(e h b) = δ g,aha 1(e g ab), η(1) = g G e g e, (e g a) = uv=g (e v a) (e u a), ε(e g a) = δ ge, S(e g a) = e a 1 g 1 a a 1.
k[g] Örnek Bu durumda D(k[G]) nin evrensel R-matrisi aşağıdaki elemandır: R = (e h g) (e g e). g,h G
Örnek Örnek Bir k cisminin sıfırdan farklı ve birim elemanın kökü olmayan bir q elemanını düşünelim. Sabit bir m > 1 için, V m, k üzerinde tabanı {v 1,, v m } olan m boyutlu bir vektör uzayı olsun. V m V m nin eşözyapı dönüşümü olan ve aşağıdaki gibi tanımlanan c m bir R-matrisidir: q 1 m v i v i i = j ise c m (v i v j ) = q m v j v i i < j ise q m v j v i + q m (q q 1 )v i v j i > j ise
Örnek Örnek Yönlü bir link L R 3 için, L nin geçitleri farklı yüksekliklerde olan bir çizgesini alalım ve L ile gösterelim. Yatay çizgiler çizip L yi sadece bir geçit ya da sadece bir lokal maksimum ya da sadece bir lokal minimum içeren şeritlere bölelim. Bu şeritler aşağıdaki parçaların bir kısmından oluşacaktır: {,, X +, X,,,, }.
Örnek Örnek Bu parçaların her biri için aşağıdaki doğrusal fonksiyonları tanımlayalım : F m,q ( )(v i ) = v i, F m,q ( )(v i ) = v i, F m,q ( )(1) = m i=1 v i v i, F m,q ( )(1) = m i=1 q2i 1 m v i v i, F m,q ( )(v i v j ) = F m,q ( )(v i v j ) = δ ij, q m 2i+1 δ ij, F m,q (X + ) = c m, F m,q (X ) = cm 1.
Örnek Örnek Her bir şerit için, şeritteki parçalara karşılık gelen fonksiyonların tensör çarpımını alalım. Sonra bulduğumuz bu fonksiyonların uygulanış sırası önce aşağıdaki, sonra yukarıdaki olacak şekilde birleşimini alalım. Elde edeceğimiz fonksiyon k dan k ya k-doğrusal bir fonksiyon olacaktır. Sonuç olarak bir link L için F m,q (L)(1) k dır.
Örnek Örnek
Örnek Örnek
Örnek Örnek Birinci şekilde verilen Y ±, Z ±, T ± geçitleri için, ikinci şekildeki izotopi denkliklerini kullanarak karşılık gelen fonksiyonları aşağıdaki gibi buluruz: Y ± = ( ) ( X ± ) ( ), T ± = ( ) ( X ± ) ( ), Z ± = ( ) ( ) ( X ± ) ( ) ( ), Z ± = ( ) ( ) ( X ± ) ( ) ( ).
Örnek Örnek Şekil: Trefoil
Örnek Örnek Şekil: Trefoil
Örnek Örnek Örneğin, üçüncü ve dördüncü şekilde verilen trefoil düğümü için karşılık gelen k-doğrusal fonksiyon F m,q (L) yi aşağıdaki gibi hesaplarız: F m,q ( ) (F m,q ( ) F m,q ( ) F m,q ( )) (F m,q ( ) F m,q (T + ) F m,q ( )) (F m,q (Z + ) F m,q ( ) F m,q ( )) (F m,q ( ) F m,q (Y + ) F m,q ( )) (F m,q ( ) F m,q ( ) F m,q ( )) F m,q ( ).
Örnek Örnek Bu metot bize F (L) = F m,q (L)(1) olmak üzere, F link değişmezini verir. Bu değişmezin çözükteki değeri F (O) = qm q m q q 1 olarak bulunur ve herhangi bir link L için aşağıdaki bağıntıyı sağlar: q m F (L+ ) q m F (L ) = (q q 1 ) F (L 0 ).